Determinantes Resumen

DETERMINANTES
DETERMINANTE DE 2X2 Y LA REGLA DE CRAMER

Definición:
Dada una matriz cuadrada 𝐴 ∈ 𝑅2𝑥2 , definimos el determinante de A, y lo
denotamos por det(𝐴) o |𝐴|, al numero:
Propiedad: Regla de Cramer para sistemas 2x2:
Matriz 𝐴2 : agarro la matriz A y la segunda columna la descarto y en su lugar

voy a poner la columna b1 y b2.
El determinante de una matriz va a tener que ser distinto de cero.
Se puede generalizar el concepto de determinantes para matrices de tamaño
nxn y la regla de Cramer para sistemas de n ecuaciones con n incógnitas.
Cuando una matriz cuadrada tiene una inversa el determinante de la matriz
va a ser distinto de cero y cuando no tiene inversa va a ser igual a cero.
Como el determinante de A es distinto de cero, ya sabemos que es un
sistema compatible determinado, por lo tanto, va a presentar una única
solución. Si es igual a cero o no tiene solución o tiene infinitas soluciones
El determinante está definido para la primera fila
El determinante de A 3x3 depende del determinante de 2x2, lo tienes que saber
para poder calcularlo.
DETERMINANTE POR DESARROLLO DE COFACTORES
Podes elegir cualquier columna y cualquier fila y vamos a llegar al mismo
resultado
PROPIEDAD:
Se puede obtener el det(𝐴) multiplicando los elementos de cualquier fila o
columna por sus respectivos cofactores y sumando los productos que resulten.
Es decir, para cada 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 y 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛
Es un menos uno elevado a la fila más columna. (Si no nos acordamos lo del
tablero de ajedrez)
Lo que tachamos es la fila y la columna a la que pertenece el numerito.
Ponemos los elementos de matriz de la fila/columna que elegimos en orden, pero
a cada uno de esos lo multiplicamos por el menos uno elevado a la fila más
columna y también lo multiplicamos por el determinante de la matriz que nos
quedaría si tachamos la columna y la fila a la que pertenece el numerito.
Siempre nos conviene elegir la fila o columna que más ceros tenga.
REGLA DE SARRUS
Solamente sirve para determinantes de 3x3.
Permite calcular el determinante de una matriz de 3x3 sin necesidad de aplicar
el método de los cofactores.
Agarras la primer columna y la segunda y las copias al final como una cuarta y
quinta columna.
Voy en la diagonal multiplicando los tres factores y cuando voy desde arriba
hacia debajo de izquierda a derecha, es suma y cuando va de derecha a
izquierda resta.
Cuando ya nos sale no es necesario copiar las primeras dos columnas atrás de
nuevo. Ya se puede ver solo en la matriz 3x3.
También es posible hacerlo en filas, en lugar de mandar las dos 1° columnas al
final, lo que mando para el final son las últimas dos filas
GENERALIZACIÓN DE LA REGLA DE CRAMER
Supongamos que tenemos un sistema de ecuaciones cuadrado. Además,
dos, matrices, una matriz A donde tiene los coeficientes de las ecuaciones, sería
la matriz que ya conocemos, sería la matriz ampliada. Y una matriz Ak donde tira
la columna k y la reemplaza por la columna de los términos independientes. Si
quiero hacer la matriz A1 lo que hago es tirar la columna 1 y reemplazarla por la
columna de los términos independientes.
Siempre parto desde la matriz A.

Después saca las matrices A1, A2 y A3 y calcula el determinante de cada una de
ellas.
Como el determinante de la matriz A nos dio un número ≠0 ya nos quedamos
tranquilos de que podemos aplicar la regla de cramer, ya que eso nos dice que
el sistema de ecuaciones es un sistema compatible determinado.
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
1. Si 𝐴 ∈ 𝑅𝑛𝑥𝑛 contiene una fila de ceros, es decir una fila nula, entonces el
determinante de A es igual a cero. det(𝐴) = 0
Siempre que una matriz tenga alguna fila nula, entonces el determinante va
a ser cero. Si tiene más de una fila nula es exactamente lo mismo. Más adelante
sabemos que toda matriz que tenga alguna columna con coeficientes todos nulos
también el determinante va a ser cero.
2. Si 𝐴 ∈ 𝑅𝑛𝑥𝑛 (matriz cuadrada) es una matriz triangular, entonces el det(𝐴)
es el producto de los elementos de la diagonal, es decir
det(𝐴) = 𝑎11 . 𝑎22 … 𝑎𝑛𝑛
Si nos avivamos de que tenemos una matriz que es triangular inferior o
superior, ya no hacemos sarrow o cofactores, sino que multiplicamos los
elementos de la diagonal y ya nos va a dar el determinante.
3. Si 𝐴 ∈ 𝑅𝑛𝑥𝑛 y At es la matriz transpuesta de A, entonces:
det(𝐴𝑡 ) = det(𝐴)
No solamente si tiene una fila nula, también si tiene una columna nula su
determinante va a ser igual a cero. Además, esto se puede ver claramente
gracias a la tercera propiedad porque si la que tiene columnas nulas se
transpone, nos va a quedar una con fila nula, por lo que es efectivo que su
determinante es cero.
4. Sea 𝐴 ∈ 𝑅𝑛𝑥𝑛 . Si A´ es la matriz que se obtiene cuando una sola fila de
A se multiplica por una constante k, entonces det(𝐴´) = 𝑘. det(𝐴)
5. Sea 𝐴 ∈ 𝑅𝑛𝑥𝑛 . Si A´ es la matriz que se obtiene al intercambiar dos filas

de A, entonces det(A´) = −det(A).
Esto pasaría cuando tengo una matriz y pasan la fila uno al lugar de la fila dos y
viceversa, entonces esto sería la relación entre ambas matrices resultantes que
la única diferencia que tienen es que hay dos filas cambiadas de lugar.
Es decir que el determinante de una es el determinante de la otra cambiada de
signo.
6. Sea 𝐴 ∈ 𝑅𝑛𝑥𝑛 . Si A´ es la matriz que se obtiene al sumar un múltiplo de
una de las filas de A a otra fila, entonces det(A´) = det(A).
Por ejemplo, a la fila 1 le sumo k.fila2; esto sería sumarle a la fila 1 un múltiplo
de la fila 2. De esta forma, ambas van a tener el mismo determinante.
7. Si 𝐴 ∈ 𝑅𝑛𝑥𝑛 , 𝐵 ∈ 𝑅 𝑛𝑥𝑛 y k∈R, entonces
det(𝑘𝐴) = 𝑘 𝑛 det(𝐴)
det(𝐴𝐵) = det(𝐴). det(𝐵)
“n” sería la cantidad de filas y de columnas. Si es 2x2 n seria 2, si es 3x3 n
es 3, etc.
8. Si 𝐴 ∈ 𝑅𝑛𝑥𝑛 , es decir que A es una matriz cuadrada, entonces:
det(𝐴𝑚 ) = [det(𝐴)]𝑚
𝑚∈𝑅
En uno lo que está al cuadrado es la matriz y en el otro lo que está al cuadrado
es el determinante de A.
9. 𝐴 ∈ 𝑅𝑛𝑥𝑛 es inversible si y solo si det(𝐴) ≠ 0. En el caso de que A sea
inversible vale:
1
det(𝐴−1 ) =
det(𝐴)
Ejercicio resuelto:
Determinar k ∈ R para los cuales la matriz a es inversible y para cuando no es
inversible.
Sabemos que A es inversible si solo si el determinante de A es ≠ 0.
Sacamos el determinante y lo igualamos a cero, de ahí despejamos “k” y nos va
a dar los k para los cuales la matriz A no es inversible ya que si su determinante
es cero no es inversible.
Observaciones:
Sean 𝐴 ∈ 𝑅𝑛𝑥𝑛 y 𝐵 ∈ 𝑅𝑛𝑥𝑛 . Entonces det(𝐴 + 𝐵) ≠ det(𝐴) + det(𝐵)
En el producto matricial, la matriz identidad funciona como multiplicar por un
1.
EL DETERMINANTE Y LOS SITEMAS LINEALES
Sea el sistema de ecuaciones 𝐴. 𝑥 = 𝑏 𝐴 ∈ 𝑅𝑛𝑥𝑛
Si det(𝐴) ≠ 0 Es un sistema compatible determinado (SCD) que tiene una sola
solución.
𝑁𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 (𝑆. 𝐼)
Si det(𝐴) = 0 {
𝐼𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 (𝑆. 𝐶. 𝐷)
Podemos tener dos situaciones, o una o la otra
Si 𝑏 = 0 y det(𝐴) = 0 Es un sistema con infinitas soluciones (SCI), pues ya tiene
la solución trivial, no puede ser sistema incompatible (SI).

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Propiedad: Regla de Cramer para sistemas 2x2:

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