CUADRADOS MÁGICOS

xiste un libro chino muy antiguo llamado Yih King. Nadie sabe quién lo escribió. En el libro se

E cuenta la historia de una gran tortuga que apareció un día en el río Amarillo. En el dorso de su
caparazón había extraña marcas. Las marcas eran puntos que indicaban los números del 1 al 9.
Estaban dispuestos de la forma que, no importaba en qué dirección sumaron los números, la respuesta
era siempre 15. Era un cuadrado mágico. Supongamos ahora que tenemos un tablero cuadrado que
comprende 5 casillas por lado o sea 25 casillas en total; inscribamos en cada casilla uno de los números 1,
2, 3 ….. 25, de forma que la suma de los números de una línea cualquiera, la de los números de una columna
cualquiera o de una de las dos diagonales sean iguales. Un cuadrado así, se denomina cuadrado mágico de
5º orden (es un cuadrado de orden impar, puesto que 5 es un número impar), de forma general un
cuadrado mágico de n casillas por línea comprenderá n casillas en total, y se llamará par o impar según la
paridad de n; en cada casilla estará (una sola vez) uno de los números de la sucesión: 1, 2, 3, … n. La
construcción de un cuadrado mágico es un problema teórico bastante difícil, los primeros estudios se
remontan al bizantino Emanuel Moschopoulos en el siglo XIII. Damos, aquí, el método dado por Bachete
de Meziriac en 1612, en su libro: Problemas Placenteros y Deleitables, este método es sólo válido para un
cuadrado de orden impar (que supondremos de 5 casillas por línea, para simplificar la explicación).
1. Dibujar el cuadrado, trazando líneas paralelas a
los lados.
2. Alargar las paralelas más allá de cada lado, y
construir así, fuera del cuadrado unos pequeños
cuadrados semejantes a los primeros y que vayan
decreciendo siempre en número de dos hasta que
terminen en un solo “cuadradito de arriba”. (ver
la figura). 1

3. Inscribir la cifra 1 en “el cuadradito de arriba“ 6 2

11 7 3
después en diagonal inscribir los números en su
16 12 8 4
orden natural: 1, 2, 3, 4, … Se sitúan así dentro
21 17 13 9 5
del gran cuadrado leyéndolos línea a línea los
22 18 14 10
números 11, 7, 3 para la primera línea 23 19 15
(separadazos por dos casillas blancas). Los 24 20
números 12 y 8 para la segunda línea, etc. 25
4. Para terminar pasamos los números que
11 24 7 20 3
“rebasan”, dentro del cuadrado grande según lo
4 12 25 8 16
siguiente: los de arriba van abajo, los de abajo 17 5 13 21 9
van arriba, los de la derecha van a la izquierda y 10 18 1 14 22
los de la izquierda van a la derecha, señalando 23 6 19 2 15
que hay que llevar el número que se halla fuera
El número secreto en un cuadrado
del cuadrado a la misma fila donde se encuentra mágico de orden impar es el del centro.
tantos lugares más adelante como unidades hay Multiplica este número por cinco para
en el lado del cuadrado. En nuestro ejemplo, la obtener los totales de las líneas. En este
cifra 1 debe bajarse 5 casillas puesto que el
cuadrado mágico dicho total es 65.
cuadrado tiene un lado de 5 unidades.

“SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” 63

 AÑOS ACONTECIMIENTOS
Los signos de razón y de proporción: Fueron introducidos por Guillermo
Oughtred.
1631

Las escuelas pitagoricas tuvieron conocimiento de las proporciones aritmética,

V a.C. geométrica y armónica. Fue en esta etapa que Pitágoras crea su famoso
teorema: a2 = b2 + c2.

Leonardo Pisano. Escribió un libro titulado Liber Abaci, donde explica las

1200 matemáticas usada por los árabes que fue aprendida de los Indus. El cero es la
nada.

406 a.C.
al El astrónomo Eudoro, establece una teoría de la semejanza.
315 a.C.

Omar Khayyan desarrolla un método para dibujar un segmento cuya longitud

1100 d.C.
fuera igual a una raíz real positiva de un polinomio cúbico dado.

64 “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”

 “El pensamiento es más que un derecho, es
el aliento mismo del hombre”

PROPORCIÓN

Proporción Proporción
Geométrica Aritmética

P.G. Discreta P.G. Continua P.A. Discreta P.A. Continua

Cuarta Tercera Y Media Cuarta Tercera y Media
Proporcional Proporcional Diferencial Diferencial

PROPIEDADES PROPIEDADES

Prop. Arit.  R. Aritmética

Prop. Geométrica  R. Geométrica

“SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” 65

 NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 2 TERCER AÑO

PROPORCIONES

“El hombre fuerte crea los acontecimientos y el débil

soporta lo que el destino le impone”

PROPORCIÓN ARITMÉTICA (P.A.)

Tratemos de
buscar cocientes
10 – 2 = 12 – 4
que den como
resultado 5.
R. Aritmética = R. Aritmética

20 = 10
4 2
Luego:

R. Geométrica R. Geométrica

Proporción Aritmética: Es comparar 2 ó

más razones aritméticas. Luego:

Proporción Geométrica: Es comparar 2

Completa las siguientes proporciones:
ó más razones geométricas.

13 – 2 = 16 - = -1
Completa las siguientes proporciones:

EN FORMA GENERAL: 18 9
= = = =
4 5

a -b = c–d a y c: antecedentes
b y d: consecuentes EN FORMA GENERAL

a c a y c: antecedentes
=
b d b y d: consecuentes
a y d: extremos
b y c: medios

Existe 2 tipos de P.A.

a – b = x – y → P.A. Discreta
a – b = b – c → P.A. Continua Existe 2 tipos de P.G.
a x
= → P.G. Discreta
b y
a b
= → P.G. Continua
b c

66 “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”

 a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) N.A.
Algo más sobre
proporciones.
3. Coloca verdadero o falso:
A) P.G. es comparar razones Aritmética ( )
B) P.A. es comparar razones geométricas ( )
C) P.G. es comparar R. Geométricas ( )

4. El producto de los extremos de una proporción

Tipos geométrica es 12; hallar el producto de los
Clases
Discreta Continua cuatros términos.

A–B=C–D A–B=B–C
“D” es cuarta “C” es tercera
diferencial de diferencial de
Proporción
A, B y C AyB
Aritmética
“B” media
diferencial de
AyC
A C A B
= =
B D B C 5. En una proporción aritmética se sabe que los
“D” cuarta C: Tercera extremos son 10 y 2 hallar la media diferencial.

Proporción proporcional de proporcional de

Geométrica A, B y C AyB
B: Media 6. En una proporción aritmética, continua, se sabe
proporcional de que los extremos son 10 y 4. Hallar media
AyC diferencial.

a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) N.A.

A B C
7. Si: = =
4 2 3
y A + B + C = 18
Hallar: “B”
1. En una proporción geométrica discreta los
consecuentes son 2 y 7 hallar el 1er.
a) 1 b) 2 c) 3
antecedente. Si los antecedentes suman 90.
d) 4 e) N.A.

A B
8. a) Si: = ; además:
B C
A x C = 10. Hallar: A x B x B x C

a) 20 b) 30 c) 40
a) 80 b) 90 c) 100
d) 50 e) N.A.
d) 110 e) N.A.

2. En una proporción geométrica continua se sabe

2 B
que A = 8 y B = 4. Hallar la tercera proporcional. b) Si: = . Hallar la media proporcional:
B 8

“SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” 67

 a) 4 b) 3 c) 2
d) 1 e) N.A.
2 x
1. Hallar “x”: =
9. a) En una proporción geométrica continua la 8 16
suma de los extremos es 90 y la diferencia
de los mismos es 54. Hallar la media a) 4 b) 8 c) 10
proporcional. d) 12 e) 1

a) 18 b) 24 c) 32 2. ¿Cuál es la tercera diferencial de 30 y 23?

d) 36 e) 30

b) En una proporción geométrica continua la

suma de los 4 términos es 405. El primer
término excede al último en 315 unidades. a) 16 b) 15 c) 14
Halle la media proporcional. d) 12 e) N.A.

a) 12 b) 30 c) 35 3. Calcular la cuarta proporcional de 36, 12 y 9.

d) 40 e) N.A.

10. Calcular la media diferencial de: 18, 12 y 15.

a) 17 b) 15 c) 12
d) 10 e) 9 a) 3 b) 5 c) 7
d) 11 e) N.A.
a b c d
11. Sea: = = = donde la constante de
3 2 7 9 4. ¿Cuál es la tercera proporcional de 9 y 12?
proporcional vale 2. Hallar el producto del
primer y último antecedente.

a) 144 b) 108 c) 72
d) 156 e) 124

12. En una proporción geométrica continua la suma a) 16 b) 15 c) 20

de los términos de la primera razón es la suma d) 18 e) N.A.
de los términos de la segunda razón como 3 es a
1 además. La suma de los cuadrados de los 5. ¿Cuál es la tercera diferencial de 30 y 23?
cuatro términos es 400. Hallar la media
proporcional. a) 16 b) 15 c) 12
d) 14 e) N.A.
a) 15 b) 12 c) 10
d) 6 e) 8

6. Calcular la tercera proporcional de 9 y 12.

a) 13 b) 14 c) 15
d) 16 e) N.A.

68 “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”

 a) 12 b) 15 c) 13
7. Determinar la media proporcional de 9 y 25. d) 14 e) 16

a) 13 b) 14 c) 15 14. La media proporcional da “a” y 27 es “b” y

d) 16 e) N.A. además “a” es la tercera proporcional entre 3 y
27. Hallar (a - b)
8. Julio tiene 38 años y Juan 24 años hace cuántos
años sus edades fueron como 2 es a 1. a) 81 b) 162 c) 243
d) 30 e) 54
a) 15 b) 12 c) 10
d) 8 e) N.A. 15. En una reunión se observó que por cada 5
hombres hay 3 mujeres si llegaron 10 hombres y
9. La suma de los 4 términos de una proporción 8 mujeres la nueva relación será de 3 hombres
geométrica y continua es 18. Hallar la por cada 2 mujeres. ¿Cuántas personas habían
diferencia de los extremos. inicialmente en la reunión?

a) 7 b) 4 c) 6 a) 48 b) 42 c) 32
d) 5 e) N.A. d) 38 e) 24

10. Hallar la tercia proporcional entre la media

proporcional de 9, 16 y la cuarta proporcional de
10, 15 y 14.

a) 38 b) 36,75 c) 40
d) 34,25 e) N.A.

11. En una proporción geométrica continua los

términos extremos están en relación de 4 a 9
siendo su suma 65. Hallar la media
proporcional.

a) 30 b) 45 c) 50
d) 60 e) 90

12. Tres números están en la misma relación que 5,

9 y 13. Si la suma de ellos es 216. indicar el
mayor de ellos.

a) 100 b) 104 c) 28
d) 29 e) 30

13. En una proporción geométrica continua la suma

de los extremos es 34 y su diferencia es 16.
Hallar la media proporcional.

“SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” 69

 ADIVINA EL DÍA Y EL MES DE NACIMIENTO
DE QUIEN QUIERAS:

Pídele a una persona que escriba el número del día que nació; que a este número le agregue un
cero a la derecha; que a este total lo multiplique por 2 y luego le sume 73; a ese nuevo total lo
multiplique por 5; finalmente que sume el número del mes de su nacimiento. El resultado será
un número al que tú le restarás 365 y obtendrás la respuesta.

Por ejemplo: Si una persona nació el 28 de Setiembre hará lo siguiente: a 28 le agrega

0  280, lo multiplica 2  560, luego le suma 73, quedando 633, lo que multiplica por 5, 3165,
a lo que les suma 9 (que corresponde a Setiembre) y obtiene 3174, lo que él te dice a ti.
Ahora tú a 3174 le restan 365 (siempre se resta 365)  3174 – 365 = 2809

28 09 28 de Setiembre
día mes

¡Interesante ¿No?!
Prácticalo y lo más importante, intenta
averiguar porqué se obtiene este
resultado tan preciso.
Recuerda: ¡Las matemáticas pueden
ser divertidas, sólo debes conocerla
más!

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