Physics">
2 Ieg3680 Continuo s2 23
2 Ieg3680 Continuo s2 23
2 Ieg3680 Continuo s2 23
4/12/23
E. Sáez
Aplicación de la mecánica del continuo a
Introducción
Tensiones
suelos
Deformaciones IEG-3680: Modelación Computacional en Geotecnia
Equilibrio
Elasticidad
Esteban Sáez
4 de Diciembre 2023
1/11
Hipótesis
IEG-3680
4/12/23
E. Sáez
Introducción
Tensiones
◮ Hipótesis: el suelo puede ser modelado como un continuo
Deformaciones
◮ Requisitos:
Equilibrio
◮ Cualquier segmento continuo lo sigue siendo luego de la
Elasticidad
deformación
◮ Se puede “atravesar” la materia continuamente de un
punto a otro
◮ Las propiedades representan valores “promedio” sobre un
Volumen Elemental Representativo (VER)
2/11
Hipótesis
IEG-3680
4/12/23
Equilibrio
Elasticidad
H
L
Elasticidad
Estabilización
L/H
2/11
Tensor de tensiones en un continuo
IEG-3680
4/12/23
Tensiones
Ω
Tensor de tensiones
z x
Invariantes
Representación
gráfica
Deformaciones
Equilibrio
Elasticidad y
x = x ex + y ey + z ez
3/11
Tensor de tensiones en un continuo
◮ Sea x un punto material en Ω
IEG-3680
4/12/23 ◮ La descripción de tensiones requiere de 6 componentes
E. Sáez independientes z
Introducción σzz
Tensiones
Tensor de tensiones τzy
Invariantes
τzx
Representación
gráfica τyz
Deformaciones τxz σyy
Equilibrio
τyx
Elasticidad τxy
y
σxx
x
Mediante equilibrio de momentos se obtiene:
τyx = τxy ; τxz = τzx ; τyz = τzy
3/11
Tensor de tensiones en un continuo
IEG-3680
4/12/23
E. Sáez
Introducción
◮ Sea x un punto material en Ω
Tensiones
Tensor de tensiones ◮ La descripción de tensiones requiere de 6 componentes
Invariantes
Representación
gráfica
independientes
Deformaciones
Entonces el tensor de tensiones en un sistema cartesiano
Equilibrio queda:
Elasticidad σxx τxy τxz
[σ] = σyy τyz = σ (x)
sim. σzz
3/11
Tensor de tensiones en un continuo
◮ Sea x un punto material en Ω
IEG-3680
4/12/23 ◮ La descripción de tensiones requiere de 6 componentes
E. Sáez
independientes
Introducción ◮ En suelo conviene distinguir la parte isotrópica de la de
Tensiones corte
Tensor de tensiones
Invariantes
◮ Tensión promedio o confinamiento
Representación
gráfica
1 1
Deformaciones p = tr σ = (σxx + σyy + σzz )
3 3
Equilibrio
Deformaciones
Equilibrio
Elasticidad
Ω
σ(x)
4/11
Invariantes de tensiones
◮ Sea n una normal unitaria arbitraria
IEG-3680
4/12/23 n
E. Sáez
Introducción σ
Tensiones
Tensor de tensiones
Invariantes
Representación
gráfica
Ω
Deformaciones
Equilibrio σ(x)
Elasticidad
E. Sáez
◮ Sea n una normal unitaria arbitraria
Introducción
◮ Polinomio caracterı́stico
Tensiones
Tensor de tensiones
Invariantes
Representación
−α3 + I1 α2 − I2 α + I3 = 0.
gráfica
4/11
Invariantes de tensiones
IEG-3680
4/12/23
◮ Sea n una normal unitaria arbitraria
E. Sáez ◮ Polinomio caracterı́stico
Introducción ◮ Como σ es definida positiva, existen tres soluciones reales
Tensiones
Tensor de tensiones
Invariantes
σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
Representación
gráfica
Deformaciones
o tensiones principales asociadas a tres direcciones
Equilibrio
principales: e1 , e2 y e3
Elasticidad e3 z
σ1 0 0
[σ] = 0 σ2 0
e2 0 0 σ3
y → Matriz diagonal
x
e1
4/11
Invariantes de tensiones
IEG-3680
4/12/23
E. Sáez
Introducción
Tensiones
◮ Sea n una normal unitaria arbitraria
Tensor de tensiones
Invariantes
◮ Polinomio caracterı́stico
Representación
gráfica ◮ Entonces, los invariantes resultan:
Deformaciones
Equilibrio I1 = σ1 + σ2 + σ3
Elasticidad I2 = σ1 σ2 + σ2 σ3 + σ3 σ1
I3 = σ1 σ2 σ3
4/11
Invariantes de tensiones
IEG-3680
4/12/23
E. Sáez
◮ Sea n una normal unitaria arbitraria
◮ Polinomio caracterı́stico
Introducción
Equilibrio
J1 = tr s = 0
Elasticidad h
1 2
1 2 2
J2 = 2 tr s =
(σxx − σyy ) + (σyy − σzz ) + . . .
6 i
(σzz − σxx )2 + τxy 2 2
+ τyz 2
+ τxz
= 21 s21 + s22 + s23
1 3
J3 = 3 tr s = det σ
4/11
Representación gráfica de tensiones
IEG-3680
◮ Sea A un estado de tensiones arbitrario
4/12/23 σ1
E. Sáez
Introducción
A
Tensiones
Tensor de tensiones
Invariantes B
Representación
gráfica
Deformaciones
Equilibrio
O
Elasticidad σ3
σ2
OA = σ1 e1 + σ2 e2 + σ3 e3
5/11
Representación gráfica de tensiones
◮ Sea A un estado de tensiones arbitrario
IEG-3680
4/12/23 σ1
E. Sáez
A σ1 = σ2 = σ3
Introducción
Tensiones
Tensor de tensiones
Invariantes
B
Representación
gráfica
Deformaciones
Equilibrio
O
Elasticidad
σ3
σ2
Sea el vector unitario que apunta en la dirección del eje
hidroestático:
1
√ (e1 + e2 + e3 )
3
5/11
Representación gráfica de tensiones
IEG-3680
◮ Sea A un estado de tensiones arbitrario
4/12/23 σ1
E. Sáez
A σ1 = σ2 = σ3
Introducción
Tensiones
Tensor de tensiones
Invariantes B
Representación
gráfica
Deformaciones
Equilibrio
O
Elasticidad √1 I1 σ3
3
σ2
Luego:
1 1 √ 1
|OB| = OA √ (e1 + e2 + e3 ) = √ (σ1 + σ2 + σ3 ) = 3 p = √ I1
3 3 3
5/11
Representación gráfica de tensiones
◮ Sea A un estado de tensiones arbitrario
IEG-3680
4/12/23 σ1
E. Sáez
A σ1 = σ2 = σ3
Introducción
Tensiones
Tensor de tensiones
Invariantes B
Representación
gráfica
Deformaciones
Equilibrio
O
Elasticidad √1 I1 σ3
3
σ2
Entonces:
BA = OA − OB = (σ1 − p) e1 + (σ2 − p) e2 + (σ3 − p) e3
| {z } | {z } | {z }
s1 s2 s3
5/11
Representación gráfica de tensiones
IEG-3680 ◮ Sea A un estado de tensiones arbitrario
4/12/23
σ1
E. Sáez
A √ σ1 = σ2 = σ3
Introducción 2J2
Tensiones
Tensor de tensiones
Invariantes
Representación
B
gráfica
Deformaciones
Equilibrio
O
Elasticidad
√1 I1 σ3
3
σ2
Entonces: q √
|BA| = s21 + s22 + s23 = 2 J2
5/11
Ángulo de Lode
IEG-3680
4/12/23
◮ Ubicándose sobre el eje hidroestático y mirando hacia el
E. Sáez
origen: Plano Π
Introducción
Tensiones
σ1
Tensor de tensiones
Invariantes
θ es el Ángulo de Lode
Representación
gráfica 2√σ1 −σ2 −σ3
tan θ = 3(σ3 −σ2 )
Deformaciones
Equilibrio A
Elasticidad
θ
B θ = 0◦
σ2 σ3
6/11
Ángulo de Lode
IEG-3680
4/12/23
◮ Ubicándose sobre el eje hidroestático y mirando hacia el
E. Sáez
origen: Plano Π
Introducción ◮ Alternativamente a J2 se puede usar el desviador de
Tensiones
Tensor de tensiones
tensiones q
Invariantes
Representación
gráfica
q
Deformaciones
q = σ12 + σ22 + σ32 − σ1 σ2 − σ2 σ3 − σ3 σ1
Equilibrio q
1
Elasticidad
= √ (σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 (σ3 − σ1 )2
2
q
= I12 − 3 I2
o bien r
2 p p
q = 2 J2 → q= 3 J2
3
6/11
Ángulo de Lode
IEG-3680
4/12/23
◮ Ubicándose sobre el eje hidroestático y mirando hacia el
E. Sáez
origen: Plano Π
Introducción
◮ Alternativamente a J2 se puede usar el desviador de
Tensiones
Tensor de tensiones tensiones q
Invariantes
Representación ◮ Conclusión: en tensiones principales se puede usar:
gráfica
Deformaciones
◮ σ1 , σ2 y σ3
◮ p, q y θ
Equilibrio
◮ I1 , J2 y θ
Elasticidad
Observación: el principio de Terzaghi sigue siendo válido
σ ′ = σ − pw I → p′ = p − pw
o bien
σ ′ = p′ I + s
6/11
Deformaciones de un medio continuo
IEG-3680
4/12/23
E. Sáez
◮ Condición: las deformaciones no pueden “superponer” el
Introducción
material o crear orificios
Tensiones Ω
Deformaciones
Equilibrio
Elasticidad
z x
y
Φ (x)
x
◮ x: punto material arbitrario
◮ Φ(x): posición del mismo punto en la configuración
deformada
7/11
Deformaciones de un medio continuo
IEG-3680
4/12/23
E. Sáez
◮ Condición: las deformaciones no pueden “superponer” el
material o crear orificios
Introducción Ω
Tensiones
Deformaciones
Equilibrio
z x
Elasticidad
u (x)
y
Φ (x)
x
Definición: desplazamiento
7/11
Deformaciones de un medio continuo
IEG-3680
4/12/23
E. Sáez
Introducción
Tensiones
◮ Condición: las deformaciones no pueden “superponer” el
Deformaciones
Equilibrio
material o crear orificios
Elasticidad ◮ Tensor de deformaciones de Green-Lagrange
1h i
e= grad(u) + gradt (u) + gradt (u) grad(u)
2
7/11
Deformaciones de un medio continuo
IEG-3680
4/12/23
E. Sáez
◮ Condición: las deformaciones no pueden “superponer” el
Introducción material o crear orificios
Tensiones
◮ Tensor de deformaciones de Green-Lagrange
Deformaciones
Equilibrio 1h i
e= grad(u) + gradt (u) + gradt (u) grad(u)
Elasticidad 2
la relación anterior es no lineal, pero si
grad(u) << 1 ∀ x ∈ Ω
1h i 1 ∂ui ∂uj
ε= grad(u) + gradt (u) ó εij = +
2 2 ∂xj ∂xi
7/11
Deformaciones de un medio continuo
IEG-3680
4/12/23 ◮ Condición: las deformaciones no pueden “superponer” el
E. Sáez material o crear orificios
Introducción ◮ Tensor de deformaciones de Green-Lagrange
Tensiones ◮ En suelos:
Deformaciones ◮ Distorsión:
Equilibrio γij = 2 εij i 6= j
Elasticidad
◮ Deformación de volumen:
εv = tr ε = εxx + εyy + εzz
◮ Deformación desviadora:
1
ε̄ = ε − εv I
3
→ como tr ε̄ = 0 no hay cambio de volumen
7/11
Equilibrio en sentido continuo
IEG-3680
4/12/23
◮ A escala del VER ∂σzz
E. Sáez
σzz + ∂z dz ∂τzy
τzy + ∂z dz
Introducción ∂τzx
τzx + ∂z dz ∂τ
Tensiones dy τyz + ∂yyz dy
Deformaciones τxz + ∂τ∂xxz dx
∂τxy ∂σ
Equilibrio τxy + ∂x dx σyy + ∂yyy dy
dz dx
Elasticidad
∂σxx ∂τ
σxx + ∂x dx τyx + ∂yyx dy
z ü f
y
x
X ∂σxx ∂τxy ∂τxz
Fx = 0 : + + + fx = ρ üx
∂x ∂y ∂z
8/11
Equilibrio en sentido continuo
IEG-3680
4/12/23
Deformaciones
∂σxx ∂τxy ∂τxz
Equilibrio
+ + + fx = ρ üx
Elasticidad ∂x ∂y ∂z
∂τxy ∂σyy ∂τyz
+ + + fy = ρ üy
∂x ∂y ∂z
∂τxz ∂τyz ∂σzz
+ + + fz = ρ üz
∂x ∂y ∂z
→ div σ + f = ρ ü
8/11
Equilibrio en sentido continuo
IEG-3680
4/12/23
E. Sáez
◮ A escala del VER
Introducción
◮ Ecuaciones:
div σ + f = ρ ü
h i 3 + 6 =9 → faltan 6 !
ε = 12 grad(u) + gradt (u)
8/11
Equilibrio en sentido continuo
IEG-3680
4/12/23
◮ A escala del VER
E. Sáez ◮ Ecuaciones de Cauchy:
Introducción
◮ Resumen
Tensiones
◮ Incógnitas:
Deformaciones
σ, ε y u 6+6+3=15
Equilibrio
Elasticidad ◮ Ecuaciones:
div σ + f = ρ ü
h i 3 + 6 =9 → faltan 6 !
ε = 12 grad(u) + gradt (u)
E. Sáez
Introducción
Tensiones
Deformaciones
◮ Ley de Hooke:
Equilibrio
Elasticidad σ̇ = C e : ε̇
9/11
Elasticidad lineal
IEG-3680
4/12/23
E. Sáez
◮ Ley de Hooke:
Introducción
◮ En términos de los parámetros de Lamé
Tensiones
Deformaciones
Equilibrio
σ̇ = λ tr ε̇ I + 2µε̇
Elasticidad
o bien
1+ν ν
ε̇ = σ̇ − tr σ̇ I
E E
donde
νE E
λ= y µ= =G
(1 + ν) (1 − 2 ν) 2 (1 + ν)
9/11
Elasticidad lineal
IEG-3680
4/12/23
E. Sáez
Introducción
Elasticidad
◮ En términos de E y ν:
µ (3λ + 2µ) λ E − 2G
E= ; ν= =
λ+µ 2 (λ + µ) 2G
9/11
Elasticidad lineal
IEG-3680
4/12/23
Equilibrio
◮ En suelos conviene disponer de relaciones en términos de ṗ
Elasticidad
tr σ̇ = 3 ṗ = 3 λ tr ε̇ +2 µ tr ε̇
| {z } | {z }
ε̇v ε̇v
2µ
→ ṗ = λ+ ε˙v
3
donde K = λ + 32 µ = 3(1−2E
ν) es el módulo de
deformación volumétrica o Bulk Modulus
9/11
Elasticidad lineal
IEG-3680
4/12/23
E. Sáez
Equilibrio
◮ En términos de E y ν:
Elasticidad ◮ En suelos conviene disponer de relaciones en términos de ṗ
◮ . . . y de ṡ
9/11
Restricciones para los parámetros elásticos
IEG-3680
4/12/23
◮ Sea W e el trabajo de deformación elástica
E. Sáez
1 1
Introducción
W e = tr σ ε = σ : ε
Tensiones 2 2
Deformaciones
Equilibrio σ
Elasticidad
We
ε
De acuerdo a la termodinámica: W e ≥ 0
Entonces: E > 0, G > 0, K > 0,
λ + 2µ > 0 → −1 < ν ≤ 0,5
10/11
Restricciones para los parámetros elásticos
IEG-3680
4/12/23
◮ Sea W e el trabajo de deformación elástica
E. Sáez
◮ ¿ Qué pasa si ν = 0,5 ?
Introducción
Equilibrio E, ν
Elasticidad
Directamente: εxx = σExx y εyy = εzz = −ν εxx
Entonces:
εv = tr ε = εxx + εyy + εzz = (1 − 2 ν) εxx
Si
ν ≈ 0,5 → εv ≈ 0 Incompresible !
además E ≈ 3 G, K → ∞ y λ → ∞:
problemas de resolución numérica
10/11
Restricciones para los parámetros elásticos
IEG-3680
4/12/23
E. Sáez
◮ Sea W e el trabajo de deformación elástica
Introducción
10/11
IEG-3680
4/12/23
E. Sáez
Introducción
Tensiones
Deformaciones
Equilibrio
Elasticidad ¿ Preguntas ?
11/11