Elaboración: 08 de abril de 2022

Raúl Grajeda Bonifacio 2193000290

Laboratorio del Cuerpo Rígido y Oscilaciones
Práctica 5. Péndulo Físico vs péndulo simple
Objetivo. Cálculo de la magnitud de la gravedad (g).
Consideraciones teóricas.
Péndulo Simple.
Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida de un punto por un
hilo de longitud inextensible de longitud l y de masa despreciable; si la partícula se desplaza a
una posición θ0 y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar.

Figura1. El péndulo describe una trayectoria circular, un

arco de una circunferencia de radio l . Las fuerzas que
actúan sobre la partícula de masa m son dos: el peso
mg y la tensión T del hilo.

De la segunda ley de Newton, la suma de las fuerzas en la dirección tangencial es

−mgsenθ=ma(1)

Donde:
2
d θ
a=l 2
(2)
dt

Sustituyendo (2) en (1):

2
d θ
−mgsenθ=ml 2
(3)
dt

En la aproximación de ángulos pequeños ( θ ≤ 10° ) , senθ ≈ θ ;así que eliminando m y dividiendo

entre l , la ecuación (3) queda como:
 2
d θ g
2
+ θ=0(4)
dt l

que corresponde a la ecuación de un oscilador armónico simple con el cuadrado de la

frecuencia angular:
2 g
ω = (5)
l

Por otro lado, el tiempo que tarda el péndulo en realizar una oscilación completa, T, se
conoce como período de oscilación y es igual a

T=
2π
ω
=2 π
l
g√(6)

Como puede verse en esta ecuación, el periodo de oscilación, T, depende únicamente de la

longitud de la cuerda y de la constante g. Es una ecuación no lineal entre las variables, T ,l .
Péndulo Físico o Compuesto.
El péndulo compuesto es un sólido en rotación alrededor de un eje fijo. Cuando se separa un
ángulo θ de la posición de equilibrio y se suelta, sobre el sólido actúa el momento del peso,
que tiene signo contrario al desplazamiento.

Figura2. La ecuación de la dinámica de rotación se escribe:

−M gxsenθ=I CM a (7)

Donde x es la distancia (d CM ) entre el centro de masa y el

centro de oscilación O.

I CM es el momento de inercia del cuerpo respecto del eje de

rotación que pasa por O.

Si la amplitud es pequeña podemos aproximar el seno del ángulo al ángulo medido en

radianes senθ ≈ θ. La ecuación diferencial se escribe entonces:
d θ M g d CM
2

2
+ =0 (8)
dt I CM

Esta es la ecuación diferencial de un movimiento armónico simple de frecuencia angular ω y

periodo P:
 2 Mg d CM
w= (9)
I CM

T =2 π
√ I CM
mg dCM
(10)

Momento de Inercia.
Es el nombre que se le otorga a la inercia rotacional, una magnitud escalar que refleja la
distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación respecto a un eje
de giro que solo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro, no
depende de las fuerzas que intervienen en el cuerpo.
Para esta práctica, el momento de inercia para el péndulo barra-disco, es:
1 2 1 2 MB M D L 2
I CM = MB L + MD R + ( + R) (11)
12 2 M B+ M D 2

Consideraciones
Se calculó el valor teórico del momento de inercia desde el centro de masa del péndulo barra-
disco utilizando la ecuación (11):
1 2 1 2 (0.404 )(0.485) 0.694 2
I CM = (0.404) ( 0.694 ) + (0.485)(0.0385) + ( +0.0385)
12 2 (0.404)+(0.485) 2
I CM =0. 049 kgm

Detalles experimentales
Los materiales que se utilizaron en esta práctica:
Eje de rotación
Nuez
Flexómetro
Soporte universal
Balanza
Barra con perforaciones y un disco
Para el péndulo físico
A la barra con perforaciones y el disco, como es un cuerpo compuesto, se debió encontrar
primero su centro de masa (CM ), como también sus medidas como la longitud y masa de la
barra, como también la masa y el radio de la esfera, para poder calcular después el momento
de inercia con ayuda de la ecuación (11) siendo el resultado el valor teórico.
Después, se montó el soporte universal con el eje de rotación sujetado con la nuez, para
poder colocar el péndulo barra-disco desde el primer pivote o perforación, siendo el punto de
oscilación del péndulo en relación con su centro de masa.
Se tomó el tiempo de 10 oscilaciones en 10 ocasiones por cada intervalo de longitud de la
barra a su centro de masa, y cada tiempo se dividió entre 10 para obtener el tiempo que tarda
entre cada periodo; se fabricó una tabla de longitud vs el tiempo del periodo para poder
realizar una gráfica para observar su comportamiento.
Este procedimiento fue idéntico para el péndulo simple.
Tabla de resultados
Para el péndulo físico
Masa (kg) Longitud y radio (m)
Barra 0.404 0.694
Disco 0.485 0.0385
Tabla1. Medidas para el péndulo barra-disco.
Para el registro del tiempo (s) de las 10 distancias diferentes:
L (cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
55.7 16.48 16.54 16.53 16.53 16.57 16.53 16.35 16.35 16.00 16.36
51.7 16.08 16.29 16.61 16.04 16.08 16.20 16.13 16.14 16.14 16.02
47.7 15.67 15.80 15.65 15.73 15.64 15.75 15.86 15.68 15.60 15.58
43.7 15.23 15.50 15.42 15.45 15.45 15.27 15.13 15.07 15.49 14.98
39.7 15.07 15.02 15.04 14.85 14.55 14.79 14.80 14.74 14.72 14.70
35.7 14.61 14.69 14.66 14.58 14.52 14.37 14.53 14.31 14.47 14.57
31.7 14.23 14.30 14.17 14.22 14.42 14.27 14.31 14.12 14.16 14.29
27.7 14.23 14.22 14.03 13.85 13.92 13.85 13.84 14.32 14.17 14.09
23.7 14.49 13.62 13.80 13.95 13.92 13.80 13.57 14.02 14.12 14.09
19.7 14.01 14.20 14.00 14.09 13.97 14.00 13.77 14.13 14.03 14.04

Tabla2. Registro de 10 tiempos para cada una de las distancias tomadas.

Para poder obtener el periodo, se dividió el promedio de los tiempos para cada distancia de la
tabla2 entre 10:
dcm(m) t(s)
0.557 1.64
0.517 1.62
0.477 1.57
0.437 1.53
0.397 1.48
0.357 1.45
0.317 1.42
0.277 1.41
0.237 1.39
0.197 1.40
Tabla3. Promedio de tiempo para cada distancia, d CM (m) vs t (s ).
Para el péndulo simple
Para el registro del tiempo (s) de las 10 distancias diferentes:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
55.7 15.29 15.55 14.72 15.92 14.73 15.29 15.43 15.19 15.76 14.93
51.7 14.22 14.49 14.29 14.37 14.40 14.40 14.38 14.05 14.88 14.32
47.7 14.00 13.94 13.74 13.94 13.92 13.92 13.72 13.84 13.82 13.96
43.7 13.21 13.42 13.43 13.37 13.33 13.21 13.25 13.17 13.12 13.52
39.7 12.54 12.80 12.81 12.65 12.67 12.62 12.75 12.79 12.57 12.67
35.7 12.24 12.43 12.41 12.10 12.38 12.28 12.19 12.25 12.23 12.47
31.7 11.81 11.49 11.30 11.41 11.31 11.52 11.16 11.19 11.25 11.44
27.7 10.75 10.66 10.57 10.62 10.62 10.64 10.62 10.55 10.70 10.56
23.7 9.95 9.87 9.84 9.77 9.81 9.79 9.91 9.83 9.72 9.85
19.7 9.34 9.07 9.06 9.37 9.05 9.91 9.23 8.93 9.44 9.32

Tabla4. Registro de 10 tiempos para cada una de las distancias tomadas.

Para poder obtener el periodo, se dividió el promedio de los tiempos para cada distancia de la
tabla4 entre 10:
l(m) t(s)
0.557 1.53
0.517 1.44
0.477 1.39
0.437 1.33
0.397 1.27
0.357 1.23
0.317 1.14
0.277 1.06
0.237 0.98
0.197 0.93

Tabla5. Promedio de tiempo para cada distancia, l(m) vs t (s ).

Análisis de resultados
Péndulo Físico
Los datos de la tabla3 al graficarlos sugieren una parábola, por tanto; se realizó una regresión
lineal utilizando la ecuación (10) y realizando un cambio de variable obtenemos que:
2 2
2 4π 4π 2
T d CM = I CM + d CM (12)
MT g

Donde, al tener la ecuación forma de la ecuación de la recta del tipo y=mx+b , obtenemos el
cambio de variable ya mencionado:
2
y=T d CM (1 2 a)
 2
4π
m= (1 2 b)
g
2
x=d CM (12 c )
2
4π
b= I CM (12 d )
MT

Tomando la ecuación (12b) y despejando g obtendremos el valor de valor de la aceleración de

la gravedad, siendo m la pendiente de la recta ya linealizada.
Tabla6. d CM 2 ( m2 ) vs T 2 d CM (s 2 m) para la linealización por mínimos cuadrados.
݀஼ ெ ଶ ሺ݉ଶ ሻ ܶଶ ݀஼ ெ ሺ ‫ݏ‬ଶ ݉ሻ
0.310249 1.50249511
0.267289 1.35229585
0.227529 1.17515826
0.190969 1.02283958
0.157609 0.87288225
0.127449 0.75380536
0.100489 0.64361778
0.076729 0.54696061
0.056169 0.46041479
0.038809 0.38744497

Péndulo Físico
1.6
f(x) = 4.15411848498965 x + 0.226536387789042
1.4 R² = 0.999619569010658

1.2

1
T2dCM(s2m)

0.8
m=4.1541
0.6

0.4

0.2

0
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

dCM 2(m2)
Gráfica1. Linealización
por mínimos cuadrados para el péndulo barra-disco.
Para el cálculo del valor de la gravedad, tomamos la ecuación (12b) despejando g:
2
4π
g= (i)
m
2
4π m
g= =9.50 2
4.1541 s

Se calculó también el momento de inercia desde el centro de masa del péndulo barra-disco
con ayuda de la ecuación (12d), despejando I CM y utilizando el valor experimental de la
gravedad obtenido:
MT g
I CM = 2
b (ii)
4π
( 0.8888 ) ( 9.50 )
I CM = 2
( 0.2265 )=0.048 kgm
4π

Péndulo Simple
Se tomó la ecuación (6) y se realizó una regresión lineal:
2 2 l
T =4 π (13)
g

Donde, al tener la ecuación forma de la ecuación de la recta del tipo y=mx+b , obtenemos un
cambio de variable:
2
y=T (13 a)
2
4π
m= (13 b)
g
x=l(13 c )

Tomando la ecuación (13b) y despejando g obtendremos el valor de valor de la aceleración de

la gravedad, siendo m la pendiente de la recta ya linealizada.
Tabla7. l(m) vs T 2 (s 2) para la linealización por mínimos cuadrados.
ሺ݉ ሻ
݈ ܶ ଶ ሺ ‫ݏ‬ଶ ሻ
0.557 2.33508961
0.517 2.067844
0.477 1.926544
0.437 1.76969809
0.397 1.60959969
0.357 1.51240804
0.317 1.29686544
0.277 1.12975641
0.237 0.96707556
0.197 0.85969984

pendulo simple
2.5

f(x) = 4.01265372121212 x + 0.0346876151030298

2 R² = 0.994806906478907

1.5
m=4.0127
T2(s2)

0.5

0
0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6
l(m)

Gráfica2. Linealización por mínimos cuadrados para el péndulo simple.

Para el cálculo del valor de la gravedad, tomamos la ecuación (13b) despejando g:
2
4π
g= (i ii)
m
2
4π m
g= =9.83 2
4.0127 s

Entonces, los valores obtenidos para la gravedad tanto por péndulo físico como por péndulo
simple son:
Por Péndulo Físico:
 m
g=9.50 2
s
Por Péndulo Simple:
m
g=9.83 2
s
Por último, se calculó el porcentaje de error tanto para la gravedad obtenida por cada
péndulo, como para el momento de Inercia desde el centro de masa del péndulo barra-disco:
Porcentaje de error de valores de la gravedad y momento de inercia por péndulo físico
o barra-disco:

g %error= | 9.50−9.7639
9.7639 |
x 100=2.70 %

=| |x 100=2.04 %
0.048−0.049
I CM
0.049

Porcentaje de error del valor de la gravedad por péndulo simple:

g %error= | 9.83−9.7639
9.7639 |
x 100=0.67 %

Nota. El valor teórico de la gravedad es igual al valor de la gravedad en la Ciudad de México:

m
2.
9.7639
s

Conclusión.
Conforme al porcentaje de error obtenido tanto para el valor de la gravedad por el péndulo
físico y el péndulo simple, puedo concluir que los valores resultantes son correctos, ya que los
porcentajes de error tuvieron valores pequeños, esto quiere decir que durante el cálculo el
error fue humano, ya sea en la toma de los tiempos o en el redondeo de los valores utilizados.

Universidad Autónoma Metropolitana.