Conicas

Álgebra y Geometría Analítica
Cónicas
Secciones cónicas
Las secciones cónicas (o cónicas) son curvas que resultan del corte transversal de un
plano con una superficie cónica.
Si el plano contiene al vértice, la intersección del plano con el cono es un punto, una recta
o un par de rectas que se cortan. Por lo general, éstas se denominan cónicas degeneradas
para distinguirlas de las curvilíneas a las cuales llamaremos cónicas verdaderas
Circunferencia
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo llamado centro.
Elementos
Centro: Radio:
Ahora bien, si el centro de una circunferencia coincide con el origen de
coordenadas, la ecuación toma la forma:
Ecuación canónica de la circunferencia.

Ejemplos
Escribir la ecuación de la circunferencia de radio 5, con centro en el origen de coordenadas.
Escribir la ecuación de la circunferencia de radio 9 con el centro en el punto P(3; −6).
Hallar el centro y el radio de la circunferencia de ecuación
Demostrar que la ecuación es una ecuación de una

circunferencia. Hallar el centro y el radio.
Parábola
Se denomina parábola al conjunto de todos los puntos en un plano, para cada uno de
los cuales la distancia a un punto fijo es igual a la distancia a una recta fija, que no pasa
por el punto fijo. El punto fijo se denomina foco de la parábola y la recta fija, directríz.
La distancia del foco a la directríz se denomina parámetro focal de la parábola y se
designa como 2p.
Ecuación canónica de una parábola horizontal
Ecuación canónica de una parábola vertical
Elementos de la parábola
• Eje focal: recta que pasa por el foco y es
perpendicular a la directriz.
• Vértice (V ): punto de intersección de la
parábola con su eje focal.
• Parámetro (p): constante distinta de cero
cuyo valor absoluto (p) es la distancia del
vértice al foco o a la directriz.
• Cuerda: segmento que une dos puntos
cualesquiera de la parábola.
• Cuerda focal: cuerda que pasa por el foco.
• Lado recto: cuerda focal perpendicular al
eje focal.
Ecuación de una parábola horizontal con vértice en
La ecuación ordinaria de toda parábola horizontal referida a un sistema de ejes

cartesianos con vértice en , cuyo eje focal es paralelo al eje de
abscisas, es de la forma:
Ecuación de una parábola vertical con vértice en
La ecuación ordinaria de toda parábola vertical referida a un sistema de ejes

cartesianos con vértice en V (h; k), cuyo eje focal es paralelo al eje de
ordenadas, es de la forma:
Ejemplos
Escribir la ecuación de la parábola con vértice en el origen y el foco en (0; 4).

Graficar la parábola.
Escriba la ecuación de la parábola y encuentre las coordenadas del foco, la longitud del
lado recto, la ecuación de la directriz. Grafique cada curva.
Exprese la ecuación canónica de la parábola con vértice en el punto (3; 2) y foco en

el punto (3; 4).
Escriba y grafique la ecuación ordinaria de la parábola

Elipse
Se denomina elipse al conjunto de todos los puntos en un plano, para cada uno de los
cuales la suma de las distancias a dos puntos dados del mismo plano es constante y
mayor que la distancia entre estos puntos. Los puntos dados se denominan focos de la
elipse y la distancia entre ellos, distancia focal.
Ecuación canónica de una elipse horizontal
La ecuación canónica de una elipse horizontal referida a un sistema de ejes

cartesianos cuyo origen de coordenadas coincide con el centro y el eje de
abscisas con el eje focal, es de la forma:
Donde y
Ecuación canónica de una elipse vertical
La ecuación canónica de una elipse vertical referida a un sistema de ejes

ordenadas con el eje focal, es de la forma:
Donde y
Elementos de una elipse
Excentricidad
Se llama excentricidad (Ɛ) de una elipse al cociente entre la distancia focal y la

longitud del eje mayor, es de la forma:
Observemos que como , resulta que la excentricidad de una elipse

siempre estará dada entre 0 < Ɛ < 1.
Significado geométrico de la excentricidad

La excentricidad de una elipse nos da la idea del alargamiento de la misma.
 Cuando Ɛ → 1 el parámetro b → 0, por lo tanto los focos se acercan a los

vértices
 Cuando Ɛ→ 0 el parámetro b tiende a ser igual que a y por lo tanto los focos se
acercan al centro y la elipse se vuelve más redondeada, confundiéndose con una
circunferencia.
Longitud del lado recto
Ecuaciones de elipse con centro en
Elipses con eje focal paralelo al eje de abscisas
donde y
Elipses con eje focal paralelo al eje de

ordenadas
donde y
Ejemplos
Hallar la ecuación de una elipse con focos en (0; ±4) y un vértice en (0; 6).
Esbozar la elipse de ecuación .
Dada la ecuación de la elipse encuentre las coordenadas de los vértices, los focos, el
eje mayor, el eje menor, la excentricidad, el lado recto y grafique cada curva.
a) 4
( ) ( )
Escribir la ecuación ordinaria de la elipse

Realizar la gráfica y hallar los elementos.
Hipérbola
Se denomina hipérbola al conjunto de todos los puntos en un plano, para cada uno de
los cuales el módulo de la diferencia de las distancias a dos puntos fijos del plano es una
cantidad constante y menor que la distancia entre estos puntos.
Los puntos fijos se denominan focos de la hipérbola y la distancia entre ellos, distancia
focal.
Ecuación canónica de una hipérbola horizontal
La ecuación canónica de una hipérbola horizontal referida a un sistema de ejes

abscisas con el eje focal, es de la forma:
Ecuación canónica de una hipérbola vertical
La ecuación canónica de una hipérbola vertical referida a un sistema de ejes

ordenadas con el eje focal, es de la forma:
Excentricidad
Se llama excentricidad (Ɛ) de una hipérbola al cociente entre la distancia focal y la

longitud del eje transversal, es de la forma:
Observemos que 2c > 2a > 1, es decir Ɛ> 1. Además, cuando Ɛ → 1 la

hipérbola es más cerrada, en cambio cuando Ɛ >>> 1 la hipérbola es más
abierta
Hipérbola con eje focal paralelo con el eje de
abscisas
Hipérbola con eje focal paralelo con el eje de

ordenadas
Asíntotas de una hipérbola
A diferencia de las otras cónicas, una hipérbola tiene asociadas dos rectas que
guardan una relación importante con la curva. Estas rectas son las diagonales
extendidas del rectángulo que se muestra a continuación
Ecuaciones de las asíntotas
Hipérbola con eje focal paralelo con el eje de abscisas
Para la hipérbola de ecuación
Las asíntotas están dadas por las ecuaciones:
Hipérbola con eje focal paralelo con el eje de ordenadas
Para la hipérbola de ecuación
Las asíntotas están dadas por las ecuaciones:

Ejemplos
Hallar la ecuación de una hipérbola cuyas asíntotas son . Graficar y dar

sus elementos.
Esbozar la hipérbola de ecuación .
En cada uno de los siguientes ejercicios, encontrar las coordenadas de los

vértices y de los focos, la longitud de cada lado recto y las ecuaciones de
las asíntotas. Dibujar las asíntotas y esboce la hipérbola
( )
Escribe y grafica la ecuación ordinaria de la hipérbola

Dar sus elementos

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Álgebra y Geometría Analítica

Ecuación canónica de la circunferencia.

Escribir la ecuación de la circunferencia de radio 9 con el centro en el punto P(3; −6).

Hallar el centro y el radio de la circunferencia de ecuación

Demostrar que la ecuación es una ecuación de una

La ecuación ordinaria de toda parábola horizontal referida a un sistema de ejes

La ecuación ordinaria de toda parábola vertical referida a un sistema de ejes

Escribir la ecuación de la parábola con vértice en el origen y el foco en (0; 4).

Exprese la ecuación canónica de la parábola con vértice en el punto (3; 2) y foco en

Escriba y grafique la ecuación ordinaria de la parábola

La ecuación canónica de una elipse horizontal referida a un sistema de ejes

La ecuación canónica de una elipse vertical referida a un sistema de ejes

Se llama excentricidad (Ɛ) de una elipse al cociente entre la distancia focal y la

Observemos que como , resulta que la excentricidad de una elipse

Significado geométrico de la excentricidad

 Cuando Ɛ → 1 el parámetro b → 0, por lo tanto los focos se acercan a los

Elipses con eje focal paralelo al eje de abscisas

Elipses con eje focal paralelo al eje de

Esbozar la elipse de ecuación .

Escribir la ecuación ordinaria de la elipse

La ecuación canónica de una hipérbola horizontal referida a un sistema de ejes

La ecuación canónica de una hipérbola vertical referida a un sistema de ejes

Se llama excentricidad (Ɛ) de una hipérbola al cociente entre la distancia focal y la

Observemos que 2c > 2a > 1, es decir Ɛ> 1. Además, cuando Ɛ → 1 la

Hipérbola con eje focal paralelo con el eje de

Hipérbola con eje focal paralelo con el eje de abscisas

Para la hipérbola de ecuación

Las asíntotas están dadas por las ecuaciones:

Hipérbola con eje focal paralelo con el eje de ordenadas

Para la hipérbola de ecuación

Las asíntotas están dadas por las ecuaciones:

Hallar la ecuación de una hipérbola cuyas asíntotas son . Graficar y dar

Esbozar la hipérbola de ecuación .

En cada uno de los siguientes ejercicios, encontrar las coordenadas de los

Escribe y grafica la ecuación ordinaria de la hipérbola

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