índice

Introdução ......................................................................................................................... 5

1. Números Complexos ................................................................................................. 6

1.1. Definição de números complexos ...................................................................... 6

1.2. Números complexos na forma geométrica, algébrica, trigonométrica e

exponencial ................................................................................................................... 6

1.3. Operações sobre números complexos ................................................................ 8

1.4. Elevação a uma potência e extracção da raiz de um número complexo ............ 9

1.5. Conjuntos no plano complexo ........................................................................... 9

2. Funções de variáveis Complexas ............................................................................ 12

2.1. Funções de variáveis Complexas ..................................................................... 12

2.2. Limite e continuidade de funções de variável complexa ................................. 12

2.3. Derivação e Funções analíticas ........................................................................ 13

2.4. Integrais de contorno ....................................................................................... 14

2.5. Séries de Taylor e de Laurent .......................................................................... 15

2.6. Singularidades isoladas .................................................................................... 16

2.7. Resíduos e suas aplicações............................................................................... 17

3. Conclusão ................................................................................................................ 20

4. Referência Bibliografica ......................................................................................... 21

Introdução
Os números complexos são uma extensão do sistema de números reais, introduzindo a
unidade imaginária “i”, que é definida como a raiz quadrada de -1. Assim, um número
complexo pode ser expresso na forma a + bi, onde “a” representa a parte real e “b”
representa a parte imaginária do número. Os números complexos desempenham um papel
fundamental na matemática e em diversas aplicações práticas, como na engenharia, física
e teoria das funções. As funções de variáveis complexas, por sua vez, são funções que
têm um número complexo como entrada e saída. Ou seja, tanto o domínio quanto o
contradomínio dessas funções são conjuntos de números complexos. Essas funções
podem ser representadas por expressões matemáticas envolvendo números complexos, e
seus comportamentos e propriedades muitas vezes diferem significativamente das
funções de variáveis reais.

Uma das características distintivas das funções de variáveis complexas é que elas podem
ser diferenciáveis em um sentido mais amplo do que as funções de variáveis reais. Isso
se deve à natureza suave e contínua dos números complexos, o que leva a propriedades
interessantes relacionadas à análise complexa. Além disso, as funções de variáveis
complexas têm aplicações em diversas áreas da física teórica, engenharia elétrica, teoria
dos sistemas dinâmicos e muitos outros campos.

A análise das funções de variáveis complexas envolve tópicos como séries de potências
complexas, integração ao longo de curvas no plano complexo e teoremas fundamentais
da análise complexa, como o teorema das singularidades ou o teorema da integral de
Cauchy.

5
 1. Números Complexos
1.1. Definição de números complexos
Um número complexo é qualquer número da forma 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, em que a e b são números
reais e 𝑖 = √−1 é a unidade imaginária.

O número real x, em z = x + yi, é chamado parte real de z, e o número real y é chamado

de parte imaginária de z, denotadas respectivamente por Re(z) e Im(z). Quando x = 0,
então z é um número imaginário puro.

Definição 2

(Igualdade de Números Complexos). Os números complexos 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑦1 𝑖 e 𝑧2 = 𝑥2 +

𝑦2 𝑖 são iguais, ou seja, 𝑧1 = 𝑧2 , 𝑠𝑒 𝑥1 = 𝑥2 𝑒 𝑦1 = 𝑦2 .

1.2. Números complexos na forma geométrica, algébrica, trigonométrica e

exponencial
Imagine um plano cartesiano, também chamado de plano de Argand-Gauss. Cada número
complexo z = a + bi pode ser representado por um ponto nesse plano, onde:

A coordenada horizontal (a) é a parte real.

A coordenada vertical (b) é a parte imaginária.

Os números complexos podem ser representados geometricamente em um plano

construído de forma semelhante ao plano cartesiano: dois eixos perpendiculares que, por
sua vez, são retas numéricas. Além disso, essas duas retas encontram-se em suas origens.

A diferença entre esse plano e o plano cartesiano é somente a interpretação: o eixo x desse
plano é chamado de eixo real, e o eixo y é chamado de eixo imaginário. Assim, para
representar um número complexo nesse plano, conhecido como plano de Argand-Gauss,
devemos transformar esse número em um par ordenado, em que a coordenada x é a parte
real do número complexo e a coordenada y é sua parte imaginária.

Feito isso, o vetor que representa um número complexo é sempre o segmento de reta
orientado que tem início na origem do plano de Argand-Gauss e finda no ponto (a, b), em
que a é a parte real do número complexo e b é sua parte imaginária.

6
A representação geométrica do número complexo z = 2 + 3i.

Forma algébrica

A forma algébrica, também conhecida como forma de binômio complexo, é a maneira

mais comum de expressar um número complexo. Ela se escreve como z = a + bi, onde:

a é a parte real, que pode ser qualquer número real.

b é a parte imaginária, que pode ser qualquer número real.

i é a unidade imaginária, a raiz quadrada de -1.

Forma Trigonométrica

A forma trigonométrica expressa um número complexo em termos de módulo e

argumento. O módulo (r) representa a distância do ponto que representa o número
complexo na origem do plano de Argand-Gauss, enquanto o argumento (θ) é o ângulo
formado entre o eixo real positivo e o segmento que une a origem ao ponto.

z = r(cosθ + i senθ)

Forma Exponencial

A forma exponencial, também conhecida como forma de Euler, utiliza a função

exponencial complexa para expressar um número complexo. Ela é dada por:

z = r(e^(iθ))

Onde r e θ são as mesmas definições da forma trigonométrica.

7
 1.3. Operações sobre números complexos
Módulo: O módulo de um número complexo é sempre um número real não negativo. |z|
= √(a² + b²)

Argumento: O argumento de um número complexo está entre 0° e 360°. Arg(z) =

tan⁻¹(b/a)

Conjugação: O conjugado de um número complexo z = a + bi é z̅ = a – bi.

Adição: A adição de números complexos é realizada somando-se as partes reais e

imaginárias separadamente. (a1 + b1) + (a2 + b2) = (a1 + a2) + (b1 + b2)

Multiplicação: A multiplicação de números complexos segue as regras da multiplicação

de binômios, com a propriedade fundamental 𝑖 2 = −1(𝑎1 + 𝑏1 𝑖) ∗ (𝑎2 + 𝑏2 𝑖) =
(𝑎1 𝑎2 − 𝑏1 𝑏2 ) + (𝑎1 𝑏2 + 𝑏1 𝑎2 )𝑖

Inverso: Um número complexo z = a + bi tem inverso se e somente se a ≠ 0. O inverso

1 𝑎 𝑏
de z é dado por: = ((𝑎2+𝑏2)) − ((𝑎2+𝑏2)) 𝑖.
𝑧

Elevação a uma potência e extracção da raiz de um número complexo

Para elevar um número complexo z = a + bi a uma potência natural n, podemos utilizar

a fórmula de Euler:

𝑧 𝑛 = 𝑟 𝑛 (cos(𝑛𝜃) + +𝑖 sin(𝑛𝜃))

Onde:

r é o módulo de z, ou seja, 𝑟 = √(a² + b²)

𝑏
θ é o argumento de z, ou seja, 𝜃 = tan−1 (𝑎)

Exemplo:

Calcule (3 + 2i)4

𝑟 = √(32 + 22 ) = √13

2
𝜃 = tan−1 (3) ≈ 36.87° .

8
Portanto, (3 + 2)4 ≈ 240.178(cos 147.48° + 𝑖 sin 147.48°).

Propriedades Importantes:

(𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎 (𝑚∗𝑛)

(𝑎𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 𝑏 𝑛

(𝑧 𝑛 )(𝑚) = 𝑧 (𝑛∗𝑚)

1.4. Elevação a uma potência e extracção da raiz de um número complexo

Extração de Raízes

A extração da n-ésima raiz principal de um número complexo z = a + bi pode ser realizada

utilizando a fórmula de Euler:

𝜃 𝜃
𝑛√𝑧 = √𝑟 (cos ( ) + 𝑖 sin ( ))
𝑛 𝑛

Onde:

r é o módulo de z ou seja, 𝑟 = √(𝑎2 + 𝑏 2 )

𝑏
θ é o argumento de z, ou seja, 𝜃 = tan−1 (𝑎)

Exemplo:

Calcule a raiz quadrada de 5 + 2i.

𝑟 = √(52 + 22 ) = √29

2
𝜃 = tan−1 (5) ≈ 22.64°.

Portanto, √(5 + 2𝑖) ≈ 2.732 (cos 11.32° + 𝑖 sin 11.32°).

1.5. Conjuntos no plano complexo

A unidade imaginária, ou i, é um número com as seguintes propriedades equivalentes:

9
 • 𝑖 2 = −1
• √−1 = 𝑖

Um número complexo é qualquer número que possa ser escrito como 𝑎 + 𝑏𝑖, onde 𝑖 é a
unidade imaginária e a e b são números reais.

Se 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, a é a parte real de z e b é a parte imaginaria de z.

Plano complexo

Tal como podemos usar a reta para visualizar o conjunto dos números reais, podemos
usar o plano complexo (também conhecido como plano de Argand) para visualizar o
conjunto de números complexos.

O plano complexo consiste em duas retas que se intersectam segundo um ângulo reto no
ponto (0,0).

A reta horizontal (que conhecemos como sendo o eixo das abcissas no plano Cartesiano)
é o eixo real.

A reta vertical (que conhecemos como sendo o eixo das ordenadas no plano Cartesiano)
é o eixo imaginário.

Representação um número no plano complexo

Qualquer número complexo pode ser representado por um ponto no plano complexo.

10
Por exemplo, consideremos o número 3 − 5𝑖. Este número, também expresso como 3 +
(−5)𝑖, tem uma parte real igual a 3 e uma parte imaginaria a – 5.

A localização deste número no plano complexo é o ponto que corresponde ao 3 no eixo

real e ao – 5 no eixo imaginário.

Assim, o número 3 + (−5)𝑖 está associado ao ponto (3, −5). Em geral, o número
complexo 𝑎 + 𝑏𝑖 corresponde ao ponto (𝑎, 𝑏) no plano complexo.

11
 2. Funções de variáveis Complexas
2.1. Funções de variáveis Complexas
Uma variável complexa é uma regra que associa a cada numero complexo z(chamado de
variável independente) outro numero complexo w (chamado de valor ou imagem da
função). Essa associação pode ser representada por w = f(z).

Ex: a função 𝑓(𝑥) = 𝑧 2 é uma funcao de variavel complexa z, ela associa outro numero
𝑤 = 𝑧2.

2.2. Limite e continuidade de funções de variável complexa

Seja 𝑤 = 𝑓(𝑧) definida em um conjunto aberto D, exceto possivelmente em 𝑧0 ∈ 𝐶. Diz-
se que o número w0 ∈ C é o limite de f quando z ∈ D tende a z0, isto é,

lim 𝑓(𝑧) = 𝑤0
𝑧→𝑧0

se, dado 𝜀 > 0, é possível encontrar 𝛿 > 0 tal que, se 𝑧 ∈ 𝐷 satisfaz 0 < |𝑧 − 𝑧0 | < 𝛿,
então |𝑓(𝑧) − 𝑤0 | < 𝜖.

A definição de limite é similar ao caso de função de uma variável real, mas, pela falta de
representação gráfica de uma função complexa, esse conhecimento torna-se mais
abstrato. No entanto, a ideia é a mesma. Em outras palavras, a Definição anterior diz que
a função 𝑓(𝑧) pode ficar tão perto quanto deseja-se de w0, desde que z esteja
suficientemente próximo de z0.

Assim como os limites de funções em várias variáveis reais, o limite de uma função
complexa tendendo a um ponto z0 ∈ C pode ser avaliado ao se aproximar do ponto de
qualquer direção. Sendo assim, para que um limite exista, para qualquer dessas direções
escolhidas, o valor do limite obtido deve ser o mesmo. Então, caso sejam escolhidas duas
direções quaisquer, nas quais os limites obtidos sejam diferentes, pode-se afirmar que
esse limite não existe no dado ponto.

Função Contínua

Diz-se que uma função 𝑓 complexa é contínua em um ponto 𝑧0 do seu domínio se

lim 𝑓(𝑧0 ).
𝑧→𝑧0

12
Quando f é contínua em todos os pontos de seu domínio, é dito, simplesmente, que f é
contínua.

É possível definir 3 critérios para verificar se f é uma função contínua em 𝑧0 ∈ 𝐷.

i. lim 𝑓(𝑧) existe

𝑧→𝑧0

ii. f está definida no ponto z0.

iii. lim 𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑧0 ).
𝑧→𝑧0

Propriedades da Continuidade

Seja 𝐴, 𝐵 ⊆ 𝐶, conjuntos abertos e 𝑓1 : A → C, 𝑓2 : A → C e g: B → C funções

complexas com 𝑓1 (𝐴) ⊆ 𝐵 e c uma constante complexa. Se f1 e f2 são contínuas em z0 ∈
A e g é contínua em f1(z0), então

i. as funções c ·f1 : A → C, f1 +f2 : A → C e f1 ·f2 : A → C

1
ii. Se 𝑓1 (𝑧0 ) ≠ 0, entao a funcao 𝑓 : 𝐴 → 𝐶 é contínua em z0.
1

iii. a função composta g ◦ f1 : A → C é contínua em z0.

2.3. Derivação e Funções analíticas

A derivada de uma função de variável complexa f(z) = u(x, y) + v(x, y)i (onde u e v são
funções reais de duas variáveis) em um ponto z₀ = x₀ + y₀i é definida como o limite da
razão incremental:

0)
𝑙𝑖𝑚(ℎ → 0)(𝑓(𝑧 0 + ℎ)– 𝑓(𝑧 0 ))
𝑓’(𝑧 =
ℎ

𝑙𝑖𝑚(ℎ → 0)((𝑢(𝑥 0 + ℎ0 , 𝑦 0 + ℎ1 ) + 𝑣(𝑥 0 + ℎ0 , 𝑦 0 + ℎ1 )𝑖)– (𝑢(𝑥 0 , 𝑦 0 ) + 𝑣(𝑥 0 , 𝑦 0 )𝑖))

=
ℎ

𝑙𝑖𝑚(ℎ → 0) ((𝑢(𝑥 0 + ℎ0 , 𝑦 0 + ℎ1 )– 𝑢(𝑥 0 , 𝑦 0 )) + (𝑣(𝑥 0 + ℎ0 , 𝑦 0 + ℎ1 )– 𝑣(𝑥 0 , 𝑦 0 ))𝑖)

=
ℎ

13
Para que a derivada exista, as derivadas parciais de u e v em relação a x e y devem existir
e ser contínuas em z₀. Ou seja:

∂u ∂v
e ∂y devem existir em z₀.
∂x

∂u ∂v ∂u ∂v
, ∂y, ∂y e ∂x devem ser contínuas em z₀.
∂x

Funções Analíticas
Uma função de variável complexa f(z) é dita analítica em um ponto z₀ se ela for derivável
em z₀ e a derivada for contínua em z₀. Ou seja, se f’(z₀) existir e f’(z) for contínua em z₀.

Uma função de variável complexa f(z) é dita analítica* em um ponto z₀ se ela for derivável
em z₀ e a derivada for contínua em z₀. Ou seja, se f’(z₀) existir e f’(z) for contínua em z₀.

2.4. Integrais de contorno

𝑏
Para uma integral ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 na reta real, existe apenas um caminho para ir de a até b.
Quando deseja-se trabalhar com integrais curvilíneas, utilizando funções complexas, é
preciso especificar o caminho ou curva γ que será utilizada entre dois dados pontos no
plano complexo.

Definição: Sejam f uma função complexa definida em 𝐴 ⊆ 𝐶 𝑒 𝛾 ∶ [𝑎, 𝑏] → 𝐶 uma

curva suave tal que 𝛾([𝑎, 𝑏]) ⊂ 𝐴. Definimos a integral curvilínea ao longo de γ por

𝑏
∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = ∫ 𝑓(𝛾(𝑡))𝛾´(𝑡)𝑑𝑡
𝛾 𝑎

Observação:

1. Quando a curva γ é seccionalmente suave, a integral curvilínea de γ é calculada

como a soma das integrais de cada curva suave que compõe γ. Portanto, se γ1, · ·
· , γn são curvas suaves tal que γ = γ1∪· · ·∪γn, temos

14
 2. Quando γ é fechada, denotamos ∮𝛾 𝑓(𝑧)𝑑𝑧.

2.5. Séries de Taylor e de Laurent

Seja f uma função analítica em um disco D(z0, R), com raio de convergência0 < 𝑅 <
∞. Então, f tem uma representação por série de potências

para todo z ∈ D(z0, R), em que

são os coeficientes da série de Taylor.

Observação: Quando z0 = 0, a primeira Série com os coeficientes dados pela Equação é

chamada série de MacLaurin. É importante ressaltar que uma série de potências só é dita
de Taylor se os seus coeficientes são dados pela ultima equação Equação.

Série de Laurent

Para casos em que a função f(z) possui singularidades, não é possível representá-la como
uma série de Taylor em torno desses pontos. No entanto, pode-se expandi-la como série
de Laurent.

Teorema. Seja f uma função analítica em uma coroa circular

𝐶(𝑧0 , 𝑟, 𝑅) = {𝑧 ∈ 𝐶 ∶ 𝑟 < |𝑧 − 𝑧0 | < 𝑅}, 𝑐𝑜𝑚 𝑟 > 0 𝑒 𝑅 > 𝑟 Então f tem uma
representação da forma

em que os coeficientes an, com n ∈ Z, são dados por

15
e γ é uma curva de Jordan contida em C(z0, r, R), contendo z0 em seu interior.

A Figura abaixo ilustra a região de analiticidade da função f, juntamente com a curva γ

sobre a qual se calcula a integral em an, como especificado no Teorema anterior. O termo
(1) da Série ultima série é chamado de parte principal, que converge para |z−z0| < r. O
termo (2) é a parte regular da série, que converge para |z − z0| < R.

Região em que f é analítica e a curva γ.

Observação: Se f é analítica em todos os pontos no interior do círculo |z − z0| = R, então

a série de Laurent é igual à série de Taylor da função.

2.6. Singularidades isoladas

Definição: Seja f uma função complexa. Diz-se que z0 é um ponto singular de f, se f não
é analítica em z0. Se existe uma vizinhança de z0 onde f é analítica, então z0 é um ponto
singular isolado.

Exemplo

1. Dada a função

os pontos z1 = 1 e z2 = −1 são pontos singulares de f. Além disso, considerando um disco

de raio E1 centrado em z1 como sendo uma vizinhança de z1, a função f é analítica nessa
região, ou seja, não há outros pontos singulares nesta vizinhança. De forma análoga,

16
considerando uma vizinhança do ponto z2 como sendo um disco de raio E2 e centro em
z2, f também é analítica nessa região. Sendo assim, os pontos z1 e z2 são pontos singulares
isolados.

1
2. O ponto z0 = 0 é ponto singular isolado da função 𝑓(𝑧) = z pois é o único ponto em C

em que essa função não é analítica.

Dentro da teoria de resíduos, é crucial a identificação desses pontos de singularidade.

2.7. Resíduos e suas aplicações

Seja f uma função analítica definida em um aberto Ω. Se γ é um contorno contido em Ω
tal que no seu interior a função f tenha somente singularidades isoladas e apenas um
numero finito delas, denotadas por z1, . . . , zn, então

com o contorno sendo percorrido no sentido anti-horário.

Tome círculos 𝛾𝑗 (𝑡) = 𝑧𝑗 + 𝑟𝑗 𝑒 𝑖𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋, satisfazendo

i. cada γj esta contido no interior de γ.

ii. Se 𝑓𝑖 ≠ 𝑗2 entao 𝛾𝑗1 esta contido no exterior de 𝛾𝑗2

Então, por 14.3 temos

∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 + ⋯ + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑧

𝛾 𝛾1 𝑦𝑛

Aplicando o corolário 11 a cada uma das integrais do lado direito da igualdade acima,
obtemos

17
Antes de aplicarmos o teorema acima no calculo de integrais, vejamos como podemos
proceder para o calculo do resíduo de uma função f em um polo zo.

Se zo é um polo simples, isto é, de ordem um então a serie de Laurent de f em torno deste

ponto é da seguinte forma.

Multiplicando a expressão acima por z−zo e tomando o limite quando z tende a zo,
obtemos

Aplicação

Seja f uma função real definida em um conjunto A, com 𝑥 ∈ 𝐴 ⊆ 𝑅. A integral definida

de f é dita imprópria se

• dado um intervalo de integração [𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐴, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 existe uma

descontinuidade infinita dentro desse intervalo;
• o intervalo de integração não é limitado, ou seja, possui limites de integração
infinitos.

No contexto do item (ii), é enunciada a seguinte definição.

Definição

Seja f uma função real.

1. Se f é integrável em um intervalo [𝑎, ∞), então define-se

18
 2. Se f é integrável em um intervalo (−∞, 𝑏], então define-se

3. Se f é integrável em R, então define-se

Se, para cada caso, o limite existir e for igual a um número real, a integral é dita
convergente. Caso o limite não exista ou seja infinito, a integral é dita divergente.

Considere uma integral imprópria da forma

em que f(x) é uma função real. É possível utilizar o Teorema do Resíduo para calcular
esse tipo de integral.

p(x)
Considera-se f como sendo uma função racional 𝑓(𝑥) = , em que p e q são
q(x)

polinômios com coeficientes reais tais que

i. (𝑥) 6 ≠ 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ∈ 𝑅

ii. se n é o grau de p(x) e m é o grau de q(x), então 𝑛 ≤ 𝑚 − 2.

19
 3. Conclusão
Os números complexos representam uma extensão significativa do sistema de números
reais, introduzindo a unidade imaginária “i” e permitindo a representação de quantidades
que não podem ser expressas apenas com números reais. A sua apresentação em formas
geométrica, algébrica, trigonométrica e exponencial proporciona uma riqueza de
representações que são úteis em diferentes contextos matemáticos e aplicados. As
operações sobre números complexos seguem propriedades específicas, como
comutatividade, associatividade e distributividade, permitindo manipulações algebraicas
consistentes. A elevação a uma potência e a extração da raiz de um número complexo têm
interpretações geométricas interessantes e propriedades que se alinham com as
expectativas da álgebra.

No plano complexo, conjuntos como retas, círculos e regiões delimitadas por curvas têm
interpretações claras e muitas vezes elegantes em termos de números complexos,
proporcionando uma conexão visual poderosa entre a álgebra e a geometria.

Quanto às funções de variável complexa, elas apresentam propriedades distintas em

relação às funções de variáveis reais. A noção de limite e continuidade é estendida para
o contexto complexo, assim como a derivação para funções analíticas. As integrais de
contorno permitem a análise de quantidades ao longo de curvas no plano complexo,
enquanto as séries de Taylor e de Laurent oferecem ferramentas poderosas para
representar funções complexas em termos de polinômios.

As singularidades isoladas das funções complexas levam ao conceito de resíduos, que

têm aplicações importantes em diversas áreas da matemática aplicada.

Em resumo, os números complexos e as funções de variável complexa formam um campo

matemático rico e fascinante, com aplicações abrangentes em várias disciplinas
científicas e engenharias. A compreensão desses conceitos é fundamental para o avanço
da matemática pura e aplicada, proporcionando ferramentas poderosas para a modelagem
e resolução de problemas em diversas áreas do conhecimento.

20
 4. Referência Bibliográfica
Brown, J. W. e Churchill, R. V. Variáveis complexas e aplicações. McGraw Hill Brasil,
2015.

CHURCHILL, R. V. Variáveis Complexas e Aplicações, Editora McGraw-Hill, 1975,

São Paulo.

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Representação geométrica da soma de números

complexos"; Brasil Escola. Disponível em:
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/representacao-geometrica-soma-numeros-
complexos.htm. Acesso em 16 de maio de 2024.

Soares, M. G. Cálculo em uma variável complexa. Impa, 2012.

21