RESISTENCIA DE MATERIALES

Determinación de las tensiones en sólidos

deformables y procesos de ensayo
normalizados
Logro
Al término de la unidad, el estudiante estará familiarizado con los
conceptos fundamentales y aplicaciones prácticas relacionados
con las tensiones, en los sólidos, determinación de los esfuerzos
y las deformaciones y los ensayos normalizados.

Importancia
Esta unidad, es importante porque el estudiante estará
aplicando los conceptos fundamentales y las aplicaciones
prácticas para determinar tensiones, en los sólidos, y analizar
las curvas que nos muestran los ensayos mecánicos a
efectuarse en el laboratorio.
Contenido general
Método de la sección para el análisis y cálculo
de las tensiones en plano normal.
Carga tensional permisible.
Ley de Hooke.
Coeficiente de la deformación transversal.
Método básico para el cálculo de resistencia
de elementos constructivos.
Características mecánicas principales de los
materiales. Coeficiente de seguridad.
 Método de la sección para el análisis y
cálculo de las tensiones en plano normal
Método de la sección para
el análisis y cálculo de las
tensiones en plano normal

Analizar el problema

Trazar planos cortantes en

forma ordenada y adecuada

Aplicar los diagramas de cuerpo

libre

Aplicar las ecuaciones

matemáticas según el problema
Carga tensional permisible
Carga tensional permisible

Es la carga máxima que puede soportar un elemento sin fallar

antes de que termine su vida útil predeterminada.

Las fallas pueden ser por rotura, deformación o fatiga,

depende de cada aplicación y de cada tipo de esfuerzos que
se le estén aplicando, los esfuerzos pueden ser estáticos,
dinámicos o cíclicos o combinación de éstos.

Para especificar la carga permisible consiste en usar un

número llamado factor de seguridad (F,S) es una razón de la
carga de falla F falla sobre la carga permisible Fpermisible
Carga tensional permisible
Matemáticamente se expresa:

𝐹𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎
𝐹. 𝑆.
𝐹𝑝𝑒𝑟𝑚

Donde:

F.S. llamado factor de seguridad.

F falla carga de falla.
Fpermisible carga permisible.
Ley de Hooke
Ley de Hooke

Contenido general
Ley de Hooke
En la zona elástica se cumple; la ecuación de una recta, expresada como:

σ α
Significa que el esfuerzo es directamente proporcional a las deformaciones.

Para ser aplicados a la solución de problemas, se expresa como una igualdad, de la forma:

σ 𝐸
Ley de Hooke
Donde:
𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎
σ ∶ 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜
á𝑟𝑒𝑎

E: módulo de elasticidad del material, expresada en unidades del esfuerzo.

: deformación lineal, expresada en unidades lineales.

Coeficiente de deformación transversal
Coeficiente de
deformación transversal
Cuando un sólido deformable se somete a tracción, se alarga y
también se contrae, de igual manera sucede cuando se comprime,
en este caso disminuye su longitud; pero se ensancha
transversalmente.

Forma original Forma lineal

Tensión
Coeficiente de deformación transversal
𝛿 𝛿′
∈ 𝑙𝑜𝑛𝑔 y ∈ 𝑙𝑎𝑡
𝐿 𝑟

(nu), su valor numérico es único para cada material que sea homogéneo e isótropo, matemáticamente se
escribe:

∈ 𝑙𝑎𝑡 Donde:

∈ 𝑙𝑜𝑛𝑔 Por lo tanto 0 0.5

Ésta constante se conoce como Razón de Poisson.

Coeficiente de deformación transversal
Diagrama de esfuerzo – deformación cortante

Hooke para el esfuerzo cortante se puede escribir como:

y

𝜏 𝐺𝛾
x

Donde G es el módulo de elasticidad cortante o módulo de rigidez cortante. Su valor se representa

por la pendiente de la línea del diagrama ζ - es decir G = ζ / , las unidades de G son las misma que y 𝛾𝑥𝑦
las del esfuerzo cortante ζ y se mide en radianes, que es una unidad adimensional. 2

𝐸 𝛾𝑥𝑦
𝐺 2
2 1+ 𝜈 x
𝜋
𝛾𝑥𝑦
2
 Método básico para el cálculo de
resistencia de elementos constructivos
Método básico para el
cálculo de resistencia de
elementos constructivos

Se aplican las expresiones que a continuación se deducen y se

detallan, se muestran dos problemas resueltos, paso a paso.
Tracción y compresión axial
Q

Esfuerzos
debido a la
Tracción

P
𝛥l

P
P z
a) b) c)
Tracción Compresión
Tracción y compresión axial
Deformación elástica de un elemento cargado axialmente

𝑃
𝜎 ………( 1 )
𝐴0
𝛿
𝜀 ……….( 2 )
𝐿0
𝜎 𝐸 . 𝜀 …….( )

𝑃 𝛿
Reemplazando las ecuaciones 1,2 en 3 se tiene: =E.
𝐴0 𝐿0

𝑃 . 𝐿0
Despejando; 𝛿: 𝛿 =
E . 𝐴0
Tracción y compresión axial
Deformación elástica de un elemento cargado axialmente; usando ecuaciones diferenciales

Sabemos que:

𝑃 𝑥 Reemplazando las ecuaciones 1, 2 en 3:

𝜎= ...( 1 )
𝐴 𝑥
𝑃 𝑥 𝑑𝛿
𝑑𝛿 𝐸
𝜖= ...( 2 ) 𝐴 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥

σ=E …( 3 )
Tracción y compresión axial

𝐿
𝑃 𝑥 𝑑𝑥
Despejando 𝛿 :
0 𝐴 𝑥 𝐸

𝛿: desplazamiento de un punto de la barra en relación con el otro punto.

L: longitud original de la barra.
Donde: P(x): fuerza axial interna en la sección, que se ubica a una distancia x de un extremo.
A(x): área de la sección transversal de la barra, expresada como una función de x.
E: módulo de elasticidad para el material.
Fuerzas internas y tensiones
N Diagrama

Compresión Tracción
Diagrama de alargamiento
Construimos, a una escala adecuada, el diagrama de las fuerzas axiales, considerando que la fuerza axial de
tracción N es positiva y la de compresión, negativa.

A A N diagrama diagrama 𝛿 diagrama

II
L2 = 1m

II P = 4t FII = 2cm2 - -
B B
𝛿B = 0.075 cm
3t
I I 1500 kgf/cm2
L1 = 2m

+ +
D D

FI = 1cm2
C C

PI = 1t 1t
1000 kgf/cm2 𝛿C = 0.025 cm
Mecanismo de la deformación
Deformación elástica y plástica:

• Al suspender la fuerza aplicada

sobre el material, éste vuelve a su
Deformación longitud inicial. Los átomos de la
elástica red atómica se desplazan
momentáneamente de sus
posiciones de equilibrio.

• Cuando al suprimir la fuerza

Deformación aplicada sobre el material, éste no
recupera sus dimensiones iniciales.
plástica Los átomos de la red atómica se
desplazan hacia otras posiciones.
Mecanismo de la deformación

Mecanismos de
la deformación

Deformación Deformación
elástica plástica

Discolocación Discolocación Discolocación

Macla
de borde helicoidal Mixta

Tomado de: http://biblio3.url.edu.gt/Libros/2013/cmI/5-Deformacion.pdf

Mecanismo de la deformación

Mecanismos de
endurecimiento

Endurecimiento por Endurecimiento por

Endurecimiento por Endurecimiento por
disminución del precipitación de
solución sólida deformación en frío
tamaño del grano segundas fases

Tomado de: http://biblio3.url.edu.gt/Libros/2013/cmI/5-Deformacion.pdf

Mecanismo de la deformación

Mecanismos de
restauración

Crecimiento del
Recuperación Recristalización
grano

Tomado de: http://biblio3.url.edu.gt/Libros/2013/cmI/5-Deformacion.pdf

Mecanismo de la deformación
Deformación elástica y plástica:

Comportamiento de la tensión frente a la deformación.

Algunos parámetros importantes:

Regiones elástica y plástica
Límite elástico
Resistencia máxima a la tensión
Mecanismo de la deformación
Deformación elástica y plástica:

Comportamiento de la tensión frente a la deformación.

Algunos parámetros importantes:

Regiones elástica y plástica
Límite elástico
Resistencia máxima a la tensión
Mecanismo de la deformación
Deformación elástica y plástica:

Ejemplos en tipos de materiales (metálicos)

Mecanismo de la deformación
Deformación elástica y plástica:

Diagramas de tensión – deformación

a) real y b) ingenieril

Esfuerzo real - deformación real

Tensión

Esfuerzo-deformación usual en ingeniería

* Denota fractura

Deformación unitaria
Energía potencial de la deformación

En el proceso que un material se deforma debido a cargas

externas o interna, tiende a almacenar energía interna en todo
su volumen. Como esta energía se relaciona con las
deformaciones del material, se denomina energía de
deformación:
Energía potencial de la deformación
Se somete a un esfuerzo uniaxial, esto desarrolla una fuerza Δ F = σ ΔA = σ (Δ x Δ y ) , en
las caras superior e inferior del elemento, después que dicho elemento de longitud Δ z
experimenta un desplazamiento vertical de 𝜀 Δ z.

Como la fuerza se incrementa hasta ΔF cuando se alcanza el desplazamiento Δz, el

trabajo realizado por la fuerza sobre el elemento es igual a la magnitud de la fuerza
(ΔF/2) por el desplazamiento Δz. Este “trabajo externo” sobre el elemento es
equivalente al “trabajo interno” o energía de deformación almacenada en el elemento,
suponiendo que no se pierde energía en forma de calor.
Entonces la energía de deformación es ΔU = (1/2 ΔF) 𝜀Δz =(1/2 σ Δx Δy) Δz. Como el
volumen del elemento es
ΔV =Δx Δy Δz , entonces ΔU ½ σ ΔV .
Energía potencial de la deformación

En ciertas aplicaciones, se usa la energía de deformación por unidad de volumen del material. Tiene por nombre
densidad de la energía de deformación, se expresa así:
1
u = 𝜎
2

Si el comportamiento del material es elástico lineal, entonces se aplica la ley de Hooke, 𝜎 𝐸 · y es posible
expresar laa densidad de la energía de deformación elástica en términos del esfuerzo uniaxial como:

1 𝜎2
𝑢
2 𝐸
Energía potencial de la deformación

Módulo de resiliencia: Particularmente, si el esfuerzo alcanza el límite

de proporcionalidad, la densidad de la energía de deformación
determinada por las ecuaciones anteriores, se conoce como el módulo
de resiliencia, así:

1 1 𝜎 2 𝑝𝑙
𝑢𝑟 𝜎𝑝𝑙 𝑝𝑙
2 2 𝐸

En el diagrama esfuerzo-deformación, de la figura adjunta, observamos

que u, es equivalente al área sombreada bajo el diagrama. La
resiliencia de un material representa la capacidad de absorber la
energía sin experimentar ningún tipo de daño permanente, esto es sin
causar deformación permanente.
Energía potencial de la deformación

Módulo de tenacidad: Propiedad de un

material, módulo de tenacidad, 𝑢𝑡 . Esta cantidad
representa toda el área bajo el diagrama de
esfuerzo-deformación, por lo tanto indica la
densidad de la energía de deformación del
material justo antes de fracturarse. Esta
propiedad es importante en el diseño de
elementos de máquinas o elementos de
ingeniería que se pueden sobrecargar de manera
accidental.
Características mecánicas
principales de los materiales
Los ensayos principales son:

a) Ensayos b)Ensayos de
metalográficos dureza

c) Ensayos de d) Ensayo
tracción químico
Características mecánicas principales de los
materiales
Coeficiente de seguridad

Donde: F falla se determina mediante ensayos experimentales del material, el factor de seguridad se selecciona
con base en la experiencia.

Matemáticamente se expresa:
𝐹𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎
𝐹. 𝑆.
𝐹𝑝𝑒𝑟𝑚
Características mecánicas principales de los
materiales
Deformación:

Si se define la deformación unitaria normal mediante el símbolo épsilon

Δ s’ − Δ s
∈ 𝑝𝑟𝑜𝑚
Δs
Ejercicios
 Problema 1. Calcular la carga admisible P, para el sistema de barras de
acero. La viga AC se considera absolutamente rígida: Siendo la tensión
admisible 𝜎 .
Problema 1
 Solución:
Hacemos el diagrama de cuerpo libre:

S1 S2 S3

A B C
Problema 1

1. Tomando suma de momentos, con respecto al punto B.

↷
+ 0 ; 𝑆1 𝑎 𝑆 𝑎 ⇒ ∴ 𝑆1 𝑆 (1)
Donde: 𝑆1 𝑆 ; son fuerzas internas
 S1 S2 S3
2.- Por condición de equilibrio; sabemos:

𝐹 0 ; (+ );
2 𝑆1 + 𝑆2 𝑃 (2)
A B C
P

3.- Análisis de las deformaciones; por simetría las barras se alargan lo mismo;
Problema 1

entonces la deformación de la estructura es:

𝛿1 𝛿2 𝛿 (3)
𝑆1 𝑙 𝑆2 2𝑙
⇒ ∴ 𝑆1 2 𝑆2 (4)
𝐸 𝐴 𝐸 𝐴
 Reemplazando las ecuaciones (4) en (2): S1 S2 S3

2 2 𝑆1 + 𝑆2 𝑃
5 𝑆2 𝑃
𝑃
𝑆2 en la ecuación (4)
5 A B C
2𝑃
𝑆1 𝑆 P
5
Problema 1

Sabemos por la teoría de esfuerzos que:

La fuerza interna (Esfuerzo admisible) Área de la sección del elemento que se analiza

∴𝑆 𝛔 𝐀
 S1 S2 S3
Entonces:
2𝑃
Para: 𝑆1 𝛔 𝐀
5

A B C
P
5
𝑃 𝛔 𝐀 (𝛼)
2
𝑃
Para: 𝑆2 𝛔 𝐀
5
Problema 1

𝑃 5 𝛔 𝐀

Luego: se toma la menor carga:

𝑃𝑚á𝑥 2,5 𝛔 𝐀; en unidades de fuerza.
 Problema 2. En la figura mostrada, el elemento es deformable y soporta
pesos como se indican en la figura.

DETERMINE:
a) Los esfuerzos.
b) Las deformaciones lineales en la barra. Material aluminio. Calcule el esfuerzo.
c) Calcule su deformación total.
Problema 2

0,5 m
0,4 m
A = 2 cm2

0,5 m
2 tf
 1. Se trazan planos cortantes, A;B;C;D a partir del extremo libre y donde se analiza el
problema:

D
3 3
C

0,5 m
0,4 m
2 2
Problema 2

B
A = 2 cm2

0,5 m
1 1
X
A
2 tf
 Analizando el tramo ------:

2tf

𝝈
1 1

A = 2cm2
Problema 2

2tf
 TRAMO A-B
Corte 1-1:

* Determinación del esfuerzo:

𝟐 𝒕𝒇 𝒕𝒇 𝒌𝒈𝒇
𝝈𝟏−𝟏 𝟏 𝟏𝟎𝟎𝟎
𝟐 𝒄𝒎𝟐 𝒄𝒎𝟐 𝒄𝒎𝟐

* Determinamos el alargamiento:
Problema 2

𝑷𝑳 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒇 𝟎, 𝟓 𝒎 𝟐, 𝟐 𝒍𝒊𝒃 𝟏 𝒌𝒍𝒃

𝜹𝟏−𝟏 ×
𝑬𝑨 𝒌𝒍𝒃 𝟏 𝒑𝒖𝒍𝒈𝟐 𝟏 𝒌𝒈𝒇 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒍𝒃
𝟏𝟎, 𝟔 𝟏𝟎𝟑 𝟐 𝟐 𝒄𝒎 𝟐
𝒑𝒖𝒍𝒈 𝟐, 𝟓𝟒 𝟐 𝒄𝒎𝟐

𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒎 𝟏𝟎 𝒎𝒎
𝜹𝟏−𝟏 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟔𝟕𝟎 𝒎
𝟏𝒎 𝟏 𝒄𝒎
𝜹𝟏−𝟏 + 𝟎, 𝟔𝟔𝟗𝟓 𝒎𝒎.
 2tf

𝝈
2 2

B
A = 2cm2
Problema 2

2tf
 2. Analizando:
EL TRAMO B-C:
Corte 2-2

𝟒 𝒕𝒇 𝒕𝒇 𝒌𝒈𝒇
𝝈𝟐−𝟐 𝟐 𝟐𝟎𝟎𝟎
𝟐 𝒄𝒎𝟐 𝒄𝒎𝟐 𝒄𝒎𝟐
𝑷𝑳
𝜹𝟐−𝟐
𝑬𝑨
𝟒𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒈𝒇 𝟎, 𝟒 𝒎
𝒌𝒍𝒃 𝟏 𝒑𝒖𝒍𝒈𝟐
Problema 2

𝟏𝟎, 𝟔 𝟏𝟎𝟑 𝟐 𝟐 𝒄𝒎 𝟐
𝒑𝒖𝒍𝒈 𝟐, 𝟓𝟒 𝟐 𝒄𝒎𝟐
𝟐, 𝟐 𝒍𝒊𝒃 𝟏 𝒌𝒍𝒃
×
𝟏 𝒌𝒈𝒇 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒍𝒃

𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎
𝜹𝟐−𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎𝟕𝟏 𝒎
𝟏𝒎
𝜹𝟐−𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟎𝟕𝟏𝟐𝟎𝟗 𝒎𝒎.
 𝝈𝒕

3 3
C
X A = 2cm2
Problema 2

0,5 m
A
2tf
 3. Analizando:
EL TRAMO C-D:
Corte 3-3

𝟔 𝒕𝒇 𝒕𝒇 𝒌𝒈𝒇
𝝈𝟑−𝟑 𝟑 𝟑𝟎𝟎𝟎
𝟐 𝒄𝒎𝟐 𝒄𝒎𝟐 𝒄𝒎𝟐

𝑷𝑳 𝟔𝟎𝟎𝟎𝒌𝒈𝒇 𝟏𝒎 𝟐, 𝟐 𝒍𝒊𝒃 𝟏 𝒌𝒍𝒃

Problema 2

𝜹𝟑−𝟑 ×
𝑬𝑨 𝒌𝒍𝒃 𝟏 𝒑𝒖𝒍𝒈𝟐 𝟏 𝒌𝒈𝒇 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒍𝒊𝒃𝒇
𝟏𝟎, 𝟔 𝟏𝟎𝟑 𝟐 𝒄𝒎 𝟐
𝒑𝒖𝒍𝒈 𝟐 𝟐, 𝟓𝟒 𝟐 𝒄𝒎𝟐
𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎
𝜹𝟑−𝟑 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟒𝟎𝟏𝟕 𝒎
𝟏𝒎

La deformación total del bloque es:

𝜹𝟑−𝟑 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟎𝟏𝟕𝟎𝟑𝟒 𝒎𝒎.
𝜹𝑻 = 𝜹𝟏−𝟏 + 𝜹𝟐−𝟐 + 𝜹𝟑−𝟑
Conclusiones
• El método de las secciones se aplica para determinar esfuerzos y
deformaciones.

• La carga tensional permisible, permite conocer, el comportamiento de

los materiales según recomendaciones de los fabricantes.

• La ley de Hooke, así como el coeficiente de la deformación transversal,

son algunos de los conceptos básicos para el cálculo de resistencia de
elementos constructivos, por tracción y compresión axial, se han
desarrollado en esta unidad.

• El diagrama de alargamiento, indica como en un elemento, se expresa

una de las características mecánicas principales de los materiales.

• La energía potencial de la deformación, se analiza en el diagrama de

esfuerzos deformación.