¿Qué es la Inferencia Matemática?

I) El Gran Mito Realista

Como en relación con cualquier otro caso de actividad o de disciplina humanas, las
matemáticas nos presentan con el tradicional problema de tener que distinguir entre
la práctica y la comprensión de dicha práctica. Lo primero no acarrea consigo de
manera automática lo segundo. En este como en muchas otros casos, parte del
problema consiste en que si bien los matemáticos disponen de la sólida plataforma
del conocimiento matemático carecen del entrenamiento que permite dar cuenta de
él, en tanto que los filósofos, si bien entrenados en el arte de ordenar pensamientos y
capacitados para en principio desarrollar dicha labor, carecen a menudo de
conocimientos sólidos en matemáticas, por la obvia razón de que en general no es
matemáticas lo que estudiaron. Naturalmente, una situación así redunda en demérito
de la filosofía de las matemáticas. Es cierto que siempre ha habido excepciones a
esto que parece una regla general. Pitágoras, Platón, Leibniz, Frege, Husserl,
Russell, Quine (por no citar más que a unos cuantos) son buenos ejemplos de feliz
síntesis de matemáticas con filosofía, pero es evidente que los filósofos matemáticos
grandes son más bien escasos. Parecería que lo problemático de la situación consiste
no sólo en que dar cuenta de manera filosóficamente convincente de las matemáticas
exige formarse simultáneamente en dos áreas completamente diferentes, sino
también que requiere fundir en una sola dos mentalidades radicalmente distintas.
Wittgenstein, se sabe, tenía una muy pobre opinión de los matemáticos filósofos:
“En filosofía no se puede interrumpir una enfermedad de pensamiento. Debe ésta
seguir su curso natural y la curación lenta es lo más importante. (Es por eso que los
matemáticos son tan malos filósofos).”1 No debería, pues, sorprendernos que fueran
los mismos matemáticos en sus momentos filosóficos quienes, en su afán de
aclaración de la naturaleza de su disciplina (sobre qué versa, cómo está constituida,
en qué se funda, cómo se opera en ella, etc.), hubieran echado a rodar la multitud de
mitos filosóficos en los que ahora está hundida la reflexión sobre las matemáticas.
Kurt Gödel, podría argumentarse, es un buen ejemplo de ello. Es justamente en
contra de ideas como la de que hay profundos problemas ontológicos en
matemáticas, que los matemáticos son exploradores de un universo infinito de
entidades abstractas, que hay hechos matemáticos, los cuales se caracterizan por
determinados rasgos o propiedades, etc., que se sublevó Wittgenstein. En este
ensayo me ocuparé de una porción mínima del inmenso terreno abarcado por su
pensamiento, es decir, presentaré exclusivamente algunas de sus ideas en relación

1
L. Wittgenstein, Zettel (Oxford: Basil Blackwell, 1967, sec. 382.
 60

con lo que son la inferencia y la experiencia matemáticas. Ahora bien, para estar en
mejor posición de apreciar y evaluar la posición que Wittgenstein se fue labrando
habremos primero de presentar, aunque sea en sus grandes lineamientos, los mitos
de filosofía de las matemáticas que quedan englobados bajo el rubro general de
“realismo”. Es sólo una vez desglosadas las creencias fundamentales de la
interpretación realista de las matemáticas que podremos abocarnos a reconstruir y
exponer los puntos de vista de Wittgenstein en relación con nuestro tema.

‘Realismo’ en filosofía de las matemáticas apunta a un conglomerado de tesis

de las cuales sus partidarios enfatizan las que más les convengan según sus
necesidades del momento. La lista de ellas que a continuación presento, y que ni
mucho menos pretende ser exhaustiva, se conforma sin embargo de tesis que
parecerían ser esenciales al realismo. Podemos agruparlas en dos grandes bloques,
uno concerniente a la naturaleza de las proposiciones matemáticas y otro referente
más bien a cuestiones de orden epistemológico. Así, tenemos que para el realista
común las proposiciones matemáticas:

a) son verdaderas o falsas en exactamente el mismo sentido en que

pueden serlo las del lenguaje común, las de historia o las de cualquier
ciencia natural, e.g., la física o la biología
b) vale para ellas el Principio del Tercero Excluido de manera
irrestricta
c) son verdaderas en virtud de algo externo a ellas
d) describen rasgos necesarios de la realidad
e) versan sobre objetos abstractos (puntos, números, espacios, etc.),
tan reales como los osos o las radiaciones
f) son a priori y verdaderas (o falsas) en todo mundo posible, es decir,
son necesariamente verdaderas. (La determinación de si son analíticas
o no es otro debate, aunque a primera vista al menos lo más
congruente para el realista sería defender la idea de que no lo son).

Por otra parte, podemos decir del matemático que:

g) es ante todo un explorador de un universo particular y un

descubridor de hechos de ese mundo. El matemático identifica y
reconoce conexiones objetivas, totalmente independientes de su
voluntad, gusto, etc.
h) su enunciación de verdades (matemáticas) presupone la realidad y
el funcionamiento de facultades cognitivas especiales (i.e., no
sensoriales)
 61

Es probable que un realista ambicioso y congruente defendiera todas las tesis

mencionadas, pero es claro que diversos pensadores de esta tendencia han optado
más bien por enfatizar una u otra en función, como dije, de los problemas que en el
momento de su reflexión estén enfrentando. M. Dummett, por ejemplo, ha insistido
en la importancia de (b), en tanto que filósofos matemáticos como H. Poincaré o
matemáticos como G. H. Hardy han resaltado más bien (g) y (h). Por su parte,
Platón y Frege subrayan más bien (c), (d) y (e). Como puede apreciarse, hay de todo,
pero en todo caso una cosa es clara: son todas estas tesis (entre muchas otras) que
Wittgenstein va a someter a una devastadora crítica. Antes de reconstruir sus
argumentos, sin embargo, será útil hacer una presentación un poco más precisa de la
perspectiva realista de los tópicos que aquí nos incumben, esto es, la inferencia y la
experiencia matemáticas.

II) Realismo, inferencia y experiencia

Es relativamente claro que lo que los realistas tienen que decir en torno a la
inferencia matemática es ante todo el resultado de una interpretación, o por lo menos
lógicamente parte de ella. Dicha interpretación se funda básicamente en un
paralelismo o analogía, bastante poco sofisticado dicho sea de paso. La idea motriz
parece ser la de que así como hay experiencia sensorial hay también lo que podría
llamarse ‘experiencia matemática’, esto es, una experiencia puramente intelectual, y
al igual que hay órganos para las experiencias sensoriales la experiencia matemática
también tendría su órgano, viz., la mente. Ahora bien, una diferencia importante
entre estas dos clases de experiencias es que en el caso de las sensoriales sólo
podemos establecer conexiones probables, en tanto que en el de las experiencias
matemáticas las conexiones que establecemos son necesarias. El matemático “ve”
(con el “ojo de la mente”) que ciertas conexiones (entre números, por ejemplo) se
dan y que ciertas proposiciones “se siguen” objetivamente de otras. Esto puede
ilustrarse de manera sencilla por medio de teorías como las de geometría o de teorías
axiomatizadas de números: partiendo de ciertos supuestos o axiomas o hipótesis, se
deducen teoremas, esto es, consecuencias lógicas de ellos por medio de reglas de
razonamiento que se asume que son objetivamente válidas. En otros casos, lo que se
tiene son ciertas fórmulas (e.g., para resolver ecuaciones de diverso grado) y el
matemático “ve” cómo la fórmula en cuestión nos permite resolver la ecuación de
que se trate. Así vistas las cosas, queda relativamente claro que lo que se debe hacer,
si lo que se quiere es razonar correctamente, es usar o aplicar las fórmulas tal
como a todas luces ellas mismas nos indican cómo hacerlo. O sea, de acuerdo con el
realista no hay más que una manera de leerlas. Es por eso que se dice que, cuando
efectivamente se les aprehende, el resultado ya estaba “predeterminado”. No hay
más que una forma objetivamente correcta de aplicar las fórmulas y, en general, de
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extraer conclusiones. O sea, no es que una vez alcanzado un cierto resultado éste se
vuelva definitivo, sino que ya lo era desde antes de ser descubierto. Puede, pues,
decirse que, en la medida en que para establecerlas no fue necesario recurrir a la
experiencia sensorial sino sólo a una puramente intelectual, las proposiciones
matemáticas son no sólo necesarias sino a priori. Inferir es precisamente el proceso
mental de descubrimiento o de reconocimiento de conexiones abstractas objetivas.

El cuadro realista global es, como puede apreciarse, complejo y rico en

insinuaciones, sugerencias e implicaciones. Ahora bien, en la primera parte de sus
Observaciones sobre los Fundamentos de las Matemáticas, Wittgenstein se enfrenta
a él con el claro propósito de desmantelarlo. Concentrándonos exclusivamente en la
cuestión de la inferencia lógica, es de dicho esfuerzo que ahora pasaré a ocuparme.

III) La Naturaleza de la Inferencia Matemática

Como era de esperarse, la inmensa labor de aclaración desarrollada por Wittgenstein

en el área de la filosofía de las matemáticas tenía que incluir un capítulo dedicado a
la inferencia matemática. Todo mundo entiende, por otra parte, que ni el peculiar
estilo de Wittgenstein ni su muy especial forma de abordar y lidiar con los enredos
de pensamiento permitirían presentar sus logros a la manera de un sistema
deductivo. Al reconstruir el pensamiento de Wittgenstein inevitablemente lo
mutilamos. Wittgenstein va abordando de manera libre las dificultades que su
tratamiento del tema de manera natural le va planteando y es sólo poco a poco que
se entiende cómo a través de su disquisición se va tejiendo una nueva concepción
del asunto. Así, pues, más que intentar sistematizar sus resultados lo que conviene es
entender su enfoque y su método de trabajo.

A este respecto, lo primero que tenemos que recordar es que la aclaración

filosófica no es ella misma un cálculo más. O sea, las dificultades de comprensión
que plantean las transiciones matemáticas no son un asunto más de números y no
son quienes las efectúan los más apropiados para dar cuenta de ellas. Lo que
tenemos que examinar es lo que los matemáticos dicen acerca de su propio trabajo.
Ahora bien, eso que ellos dicen y que es nuestro material de trabajo, es decir, las
descripciones que ellos ofrecen de lo que hacen, forzosamente lo enuncian en el
lenguaje natural, esto es, por medio de expresiones que son del dominio público.
Son, pues, los conceptos por así llamarlos ‘naturales’ lo que primeramente debemos
examinar. De seguro que los egipcios o los aztecas razonaban, por más que no
dispusieran de cálculos lógicos. “Y ¿en qué consiste la actividad especial de inferir?
– Es por ello que es necesario que examinemos cómo efectuamos inferencias en la
praxis del lenguaje; qué clase de procedimiento en el juego de lenguaje es la
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inferencia”.2 O sea, el concepto de inferencia no es un concepto matemático o

construido primeramente por o para los matemáticos, como lo es por ejemplo el de
número irracional, sino un concepto que emana del lenguaje natural y que los
matemáticos se apropian para describir lo que hacen. Pero es precisamente a través
de esa apropiación que se cuela la interpretación errada y, por consiguiente, que se
generan las incomprensiones de las cuales no podemos después librarnos.

Wittgenstein inicia su examen tratando de esclarecer lo que se quiere decir

cuando se habla de “determinación” en el contexto de las matemáticas. Se dice, por
ejemplo, que una fórmula “determina” un resultado, que ciertos axiomas y ciertas
reglas de inferencia “determinan” los teoremas que se pueden obtener (i.e., esos y no
otros son los que se siguen), etc. Pero ¿qué significa ‘determinar’ cuando se le
emplea en matemáticas? ¿Qué es la determinación (o la predeterminación)
matemática? Lo primero que salta a la vista es que el uso de ‘predeterminar’ por
parte de los matemáticos o de los filósofos de las matemáticas es, como era quizá de
esperarse, un uso básicamente analógico. La prueba de ello es que no se le usa en el
sentido literal o estricto en el que se usa en el discurso usual. En el sentido usual,
decir que lo que alguien escribe está determinado, por ejemplo, por lo que otra
persona dice o hace, podría querer decir, entre otras cosas, que la persona en
cuestión:

a) le da las respuestas al alumno pero en clave, de manera que éste

tiene primero que descifrar un texto para llegar a ellas
b) escribe las respuestas en el papel sólo que de manera muy tenue de
manera que el otro tenga que fijarse y recalcar lo escrito
c) le dicta (o, en general, le ordena) al alumno lo que tiene que escribir
d) lo fuerza a que escriba ciertos resultados (podemos imaginar a un
dictador que proporciona los resultados a los que quiere que sus
científicos lleguen).3
e) lo amenaza de modo que el alumno u oyente escribe precisamente
lo que la otra persona quiere.

Eso y cosas parecidas es “determinar” algo para alguien. En todos esos casos,
y otros que podríamos imaginar, tiene un sentido claro afirmar que los resultados ya
estaban predeterminados para el alumno: si el dictador ya sabía a qué resultados se
tenía que llegar, los resultados ya estaban predeterminados. El asunto es claro. Pero
es también evidente que no es en ese sentido literal como en general se usa el
término ‘predeterminar’ en el contexto de las matemáticas. En el caso de las

2
L. Wittgenstein, Remarks on the Foundations of Mathematics (Cambridge/London: The M.I.T. Press, 1975),
Parte I, sec. 17, p. 8.
3
Véase ibid., Parte I, sec. 22, pp. 9-10.
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operaciones matemáticas lo que se hace es algo sutilmente parecido, pero de todos

modos diferente, a saber, se entrena a alguien para que aprenda a producir diversos
resultados aplicando de cierto modo las reglas y fórmulas que se le proporcionan. Lo
interesante y sorprendente es que, en general y en condiciones normales todos
aplicamos las fórmulas o reglas de la misma manera. Por consiguiente, no es
particularmente sorprendente que coincidamos en los resultados. Ahora bien, es esa
concordancia lo que nos lleva a afirmar que el resultado tenía ya que haber estado
allí, esperando, predeterminado. “Si, por lo tanto, nosotros determinamos estas
transiciones en un sentido por completo diferente, a saber, sometiendo a nuestro
alumno a un entrenamiento como, e.g., el que reciben los niños con las tablas de
multiplicar y la multiplicación, de manera que todos aquellos que son así entrenados
hacen del mismo modo multiplicaciones al azar (multiplicaciones que no se hayan
hecho mientras eran entrenados) y con resultados en los que todos concuerdan (...),
entonces nos resultará natural usar lo siguiente como una imagen de la situación: los
pasos ya estaban dados y simplemente los está escribiendo”.4 Pero en lo que los
realistas no reparan es en el hecho de que la aceptación de resultados es ante todo la
expresión de un entrenamiento colectivo exitoso previo para operar con signos de
determinada manera.

Así, pues, hablar de que en matemáticas los resultados están

“predeterminados”, esto es, dados previamente a las operaciones, es hablar
metafóricamente o, mejor dicho, construir una imagen. Ahora bien, en sí mismo ni
mucho menos es el recurso a una imagen un procedimiento ilegítimo, siempre y
cuando no olvidemos que la imagen resulta más bien de una interpretación. El
problema surge cuando se pretende tomar la imagen (interpretación) por una
descripción. De ahí que si lo que queremos es comprender realmente qué pasa
cuando trazamos inferencias, lo que para empezar tenemos que hacer es
desprendernos de dicha imagen y describir lo más exactamente posible lo que
realmente hacemos cuando inferimos. O sea, el error generalizado consiste en pensar
que se describe un proceso cuando es una imagen lo que nos guía en nuestra
supuesta descripción. Nuestro objetivo debe ser más bien describir nuestro proceder
de manera neutral, sin prejuzgar la cuestión, es decir, sin dejar que las imágenes en
circulación se nos impongan y nos hagan encarar y comprender el tema a través de
ellas.

Como puede apreciarse, el paralelismo entre la estrategia argumentativa de

las Remarks on the Foundations of Mathematics y la de las Philosophical
Investigations es notable. Por ejemplo, en las Investigaciones Wittgenstein hace ver
cuando queremos aclarar lo que significa una palabra recurrimos a la expresión ‘La

4
L. Wittgenstein, ibid., Parte I, sec. 22, pp. 9-10.
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palabra ... significa ...’. Pero lo cierto es que decir eso no es todavía decir nada,
aparte de que es engañoso, puesto que sugiere equívocamente que el significado de
‘x’ es el objeto o la cosa X. Pero la misma forma de palabras aparecerá
independientemente de la clase de signo que esté en juego: ‘tendencia’, ‘π’, ‘hiena’,
átomo’, etc. O sea, siempre recurrimos a la formulación canónica,
independientemente de la clase de significado que esté involucrada. “En otras
palabras, la descripción deberá revestir la forma: ‘La palabra ... significa ...”.5 Sin
embargo, cuál sea el significado específico del término ‘x’ es algo que sólo la
descripción del uso concreto que de él se hace podrá proporcionar y los usos, claro
está, no son adivinables. Si queremos determinar el significado de una expresión,
por lo tanto, tenemos que atender a las aplicaciones que de ella se hagan. De igual
manera, decir que la fórmula predetermina el resultado no es todavía decir nada
preciso: no es más recurrir al esquema que nos dice qué forma debe revestir la
explicación de lo que es en el área de las matemáticas explicar que se obtuvo un
resultado. O sea, cuando se le explica a alguien lo que es una inferencia correcta se
le hacen las aclaraciones pertinentes y se le dice que “el resultado ya estaba
predeterminado por la fórmula”, o por las premisas. Pero, una vez más, decir eso no
es todavía explicar nada: es simplemente dar la forma canónica de explicación en
este contexto particular. Nosotros entenderemos por qué decimos que el resultado
estaba de antemano determinado cuando efectivamente comprendamos lo que
hacemos cuando inferimos, pero no simplemente porque expresemos nuestra
creencia de que el resultado estaba ya allí aguardándonos, puesto que esto último es
simplemente aplicar la imagen que se está cuestionando.

Describamos, pues, qué es lo que hacemos cuando inferimos algo.

Consideremos una prueba. En una prueba, lo que hacemos es “extraer” una
conclusión a partir de ciertas premisas.6 Una inferencia es más bien una transición,
pero una transición no es un fenómeno inexplicable o esotérico. Lo que llamamos
‘transición’ no es mas que una secuencia de proposiciones o de oraciones que tiene
como característica el que digamos que la última es la conclusión de las anteriores.
“Una prueba – podría decir – es un esquema, en uno de cuyos extremos están
escritas ciertas proposiciones y en el otro una oración (a la que llamamos
‘proposición demostrada’)”.7 En otras palabras, considerada neutralmente una
prueba no es más que una secuencia o lista ordenada de expresiones (proposiciones
o fórmulas). Una característica de una demostración es que en ella empleamos
expresiones como ‘y por lo tanto’, ‘se sigue que’, etc., por medio de las cuales

5
L. Wittgenstein, Philosophical Investigations (Oxford: Basil Blackwell, 1974), sec. 10.
6
Obviamente, el verbo ‘extraer’ ya prejuzga el asunto: nos induce a pensar que algo ya estaba allí de alguna
manera metido y que nuestra tarea consiste en sacarlo a la luz. Esto ya es una interpretación de lo que
hacemos, una interpretación que neutralizamos si entendemos lo que sucede.
7
L. Wittgenstein, Remarks on the Foundations of Mathematics, Parte I, sec. 28, p. 11.
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vinculamos a la última proposición con las anteriores. La expresión ‘y por lo tanto’

indica un uso especial del esquema. Frases así son simplemente la expresión de la
aceptación del esquema completo, es decir, del todo formado por premisas y
conclusión. Esto exige algunas aclaraciones.

Supóngase que lo que se quiere es resolver una ecuación de segundo grado.

Se requiere utilizar una fórmula particular. Pero ¿cómo podría una secuencia de
signos por sí sola forzar a alguien, a una persona, a hacer algo, esto es, a proceder de
una u otra manera? O, mejor dicho: ¿cómo podría un esquema forzar a todo mundo a
proceder de tal o cual modo? El esquema por sí solo no dice nada, es decir, no indica
cómo tiene que ser aplicado. Es el hecho de que concordemos en nuestro uso del
signo lo que constituye nuestro peculiar modo de empleo de dicha fórmula. O sea, lo
que nos enseñamos unos a otros es a usar dicho esquema de determinada manera y
de esa manera solamente. Al hacerlo y al privilegiar una aplicación particular,
excluimos o prohibimos todas las potenciales formas de utilización alternativas. De
hecho, como Wittgenstein se esfuerza por hacernos entender, múltiples otras
aplicaciones de uno y el mismo esquema son imaginables, inclusive en los casos
más elementales, pero precisamente por ello los procedimientos ya establecidos nos
parecerán incuestionables, los objetivamente correctos. Los modos de aplicación de
las fórmulas (reglas de inferencia, por ejemplo) que, por así decirlo, se hayan
impuesto automáticamente nos impiden contemplar seriamente cualesquiera otras
posibilidades de aplicación., a las que a partir de ese momento nos hacen verlas
como absurdas.

Por otra parte, es claro que nuestros modos de aplicación de las reglas, las
fórmulas, etc. (en otras palabras: nuestras matemáticas), tienen una justificación
práctica, es decir, nos son objetivamente útiles, nos dan buenos resultados y, por lo
tanto, no tenemos por qué cuestionarlos. La justificación última de nuestras
matemáticas no es una “operación de la mente”. La mente no es una garantía de
nada en este caso. Más bien, las matemáticas se justifican por su carácter pragmático
y en última instancia su éxito se funda en hechos brutos de la naturaleza humana
acerca de los cuales no tiene el menor sentido preguntar nada. El hecho que hay que
notar es que reaccionamos en general de la misma manera. Wittgenstein expone el
punto como sigue: “’Pero, si tienes razón, ¿cómo es que todos los hombres (o por lo
menos los hombres normales) aceptan estos esquemas como pruebas de estas
proposiciones?” – Sí, hay aquí una gran – e interesante – concordancia”.8 Si para
contar 2 + 2 no tendiéramos de manera espontánea a hacerlo como normalmente lo
hacemos (recurriendo a los dedos de las manos, por ejemplo), seguramente
tendríamos una aritmética diferente pero también, muy probablemente, una menos

8
L. Wittgenstein, ibid., Parte I, sec. 35, p. 13.
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beneficiosa o útil que la que tenemos. En todo caso, sin nuestra nunca cuestionada
concordancia en reacciones los juegos de lenguaje no se podrían siquiera gestar.9

Quizá no estaría de más preguntarnos: ¿cuál es la función de una prueba?

¿Por qué o para qué tenemos pruebas y no nada más, e.g., experimentos? Una
prueba es, como dijimos, un mecanismo que nos lleva de lo que denominamos
‘premisas’ a lo que llamamos ‘conclusión’. Un rasgo fundamental de una prueba es
que nos permite dejar establecido de manera definitiva un resultado y, por eso,
genera certeza. Se trata de una secuencia de oraciones mediante la cual imponemos
como regla que no admite excepciones una determinada proposición, a saber, la
última y razonamos de conformidad con ella. En este sentido, una prueba y su
conclusión son claramente diferentes de un experimento y su resultado. El resultado
de un experimento siempre puede ser un evento inesperado, pero en matemáticas la
sorpresa está excluida. No quiero decir que no hay resultados extraordinarios en
matemáticas. Lo que afirmo es que no se da el caso de que la mitad de la humanidad
infiera algo y la otra mitad algo diferente. Es en este segundo sentido que en
matemáticas no hay sorpresas. No obstante, a pesar de ser drásticamente diferentes,
no deja de ser curioso que la idea misma de inferencia esté formada a imagen y
semejanza de la idea de experimento y, así, que se le asocie a ideas como las de
exploración, aventura y descubrimiento. Pero en contraste con las proposiciones de
las ciencias empíricas, lo interesante de las reglas matemáticas es justamente su
peculiar status, el cual consiste en que una vez establecidas la posibilidad de su
modificación quedó cancelada. A diferencia de lo que acontece con los
experimentos, la experiencia futura no puede afectarla. La razón de ello es que se
trata precisamente de reglas que sirven para medir la experiencia (pasada, presente y
futura). El hecho de que las reglas matemáticas sean inmodificables no es un
misterio ni se explica por medio de alambicadas especulaciones, sino que
simplemente significa que nosotros nos forzamos a nosotros mismos a razonar de
conformidad con ellas, esto es, a ajustarnos a ellas. Pero esto último no significa ni
implica que la regla misma sea lo que se nos impone. Un signo o una regla no tiene
fuerza para obligarnos a deducir tal o cual cosa, para extraer tal o cual conclusión o
resultado, entre otras razones porque todo signo puede en principio ser interpretado
de un sinfín de formas. Wittgenstein nos recuerda esta posibilidad mediante una
pregunta retórica: “¿Acaso no puede derivarse todo de algo por medio de alguna
regla, o inclusive de acuerdo con una regla, con la interpretación apropiada?”.10 Por
9
El caso del juego de lenguaje de las sensaciones podría ayudarnos a ilustrar el punto que Wittgenstein está
estableciendo. Es claro que si cada vez que a alguien le duele algo éste hiciera una mueca diferente o
reaccionara de diferente de modo y si todos reaccionaran de manera diferente de cómo lo hacen los demás
cuando les duele algo, el juego de lenguaje del dolor (y todo lo que entraña) no habría podido construirse. El
dolor de los demás sería irreconocible. Lo mismo acontece, mutatis mutandis, con los juegos de lenguaje de la
aritmética, la geometría, la lógica, etc.
10
L. Wittgenstein, Remarks on the Foundations of Mathematics, Parte I, sec. 7, p. 5.
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lo tanto, si los signos adquieren el status de “verdades necesarias” ello se deberá a

que nosotros, los usuarios de dichos signos, les conferimos tal rango. Como dice
Wittgenstein, somos nosotros los inexorables.

Puede verse que aquí ya están constituidos y operan diversos conceptos sin
los cuales no podríamos dar cuenta del fenómenos de la inferencia matemática. El
concepto de inferencia, por ejemplo, acarrea consigo al de “seguirse de”. En
realidad, se trata de una misma idea presentada desde dos perspectivas diferentes,
viz., la de los hablante y la de los signos. Por una lado decimos que nosotros
inferimos algo, dando a entender que efectuamos una actividad peculiar de
descubrimiento de conexiones y resultados; por la otra, decimos que una proposición
o un resultado se siguen de ciertas premisas, insinuando que la relación entre
premisas y conclusión ya estaba allí y que lo único que requerían era su
verbalización. El problema es que la forma misma de expresarnos nos induce a
malinterpretar lo que hacemos y, por ende, a entender mal o no comprender la
situación: no es porque A se sigue de B que decimos que podemos inferir B de A,
sino que es porque como cuestión de hecho inferimos B de A que podemos decir que
A se sigue de B. Como bien señala Wittgenstein, el verbo ‘seguirse de’ es equívoco,
puesto que sugiere que algo se da independientemente de que nosotros así lo
consideremos, pensemos, creamos, etc. Pero en lo que no se repara es en el hecho de
que lo importante de decir (y aceptar) que A se sigue de B es que se aceptó una
regla, a la cual a partir de ese momento nos atenemos. La interpretación equivocada
es la que hace del verbo una descripción de un supuesto hecho lógico, cuando en
realidad no es más que la indicación de la aceptación de algo por parte de los
usuarios del simbolismo.

Lo anterior nos permite aclarar otro rasgo fundamental de las transiciones

matemáticas, a saber, su necesidad. Wittgenstein ciertamente comparte el punto de
vista tradicional de que las “proposiciones” matemáticas son necesarias. O sea, él no
cuestiona, como dice, “La dureza del debe lógico”.11 El adversario del carácter
necesario de las matemáticas (tanto de proposiciones como de inferencias) es el
empirista de corte milliano o quineiano. Ahora bien, aunque en su discusión
Wittgenstein rechazará la muy contra-intuitiva posición empirista, su inconformidad
se centra más bien en las explicaciones que se dan de la necesidad de los resultados
matemáticos. En relación con esto último el enemigo es ante todo, una vez más, el
realista. Ahora bien, puede verse que una vez desarticulado el cuadro realista (i.e., su
idea de que investigar en matemáticas es como realizar una exploración, que un
cálculo matemático es como un experimento, que el matemático percibe conexiones
especiales, etc.), su posición se torna realmente débil y el camino queda entonces

11
L. Wittgenstein, ibid., Parte I, sec. 121, p. 37.
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libre para generar las aclaraciones alternativas. Así, Wittgenstein hace ver que la
obtención de un resultado en matemáticas equivale al establecimiento de una regla
que, por razones que ya se adujeron, es inmodificable o inalterable. Esta nueva regla
se incrusta en el sistema ya establecido y paulatinamente construido de resultados
matemáticos fijos. Para referirse a estos resultados Wittgenstein habla de
“paradigmas”. Un paradigma es un patrón rígido e independiente ya por completo de
la experiencia (a la que regula) y, en ese sentido, es decir, por no ser algo meramente
probable, sujeto a nuevas corroboraciones, etc., puede decirse de él que establece
una nueva conexión necesaria y, por lo tanto, esencial. Al establecer que 2 + 2 = 4,
el matemático fija una conexión entre numerales que ya nada va a alterar.
Presentado esto de manera mitológico, podría decirse que el matemático enuncia
relaciones necesarias entre el objeto 2 y el objeto 4. Wittgenstein prefiere decir más
bien que “El matemático crea esencia”.12

Esto último puede resultar un pensamiento demasiado provocativo como para

tranquilamente dejarlo pasar sin elevar ninguna objeción. Una réplica a este
resultado de Wittgenstein que de inmediato se le podría ocurrir a un realista
consistiría en señalar que cuando nos las vemos con propiedades esenciales de
objetos (en este caso, supuestamente, de números) lo único que no podemos hacer es
hablar de “creación” por parte de nosotros. Esencialmente, las cosas son lo que son o
mantienen entre sí las relaciones que mantienen, independientemente de nosotros
(de que las percibamos, conozcamos, aprehendamos, etc.). Los matemáticos pueden
descubrir esencias, mas no crearlas. Esta estrategia, sin embargo, equivale a recurrir
a una línea de argumentación que ya fue descartada y lo que ello pone de manifiesto
es la incapacidad del realista para explicar, al margen de sus mitos, el carácter
necesario de las proposiciones matemáticas. Wittgenstein, en cambio, descubre aquí
una veta de valor filosófico incalculable: lo necesario emerge no de descripciones,
sino de convenciones. Hablar de esencias es hablar de marcas conceptuales.
“También podría haber dicho: no es la propiedad de un objeto lo que es ‘esencial’,
sino la marca de un concepto”.13 Aquí se siente la continuidad del pensamiento de
Wittgenstein, puesto que puede claramente rastrearse esta posición en la doctrina de
los conceptos formales y las propiedades internas expuesta en el Tractatus.14 Desde
esta perspectiva, lo esencial de un objeto brota de la caracterización inicial que de
éste se haga. De ahí que Wittgenstein se sienta autorizado a sostener que “cuando se
habla de esencia –, lo que se hace es constatar una convención”.15 La convención
fija conexiones que, una vez establecidas, son necesarias y obviamente (para

12
L. Wittgenstein, ibid., Parte I, sec. 32, p. 13.
13
L. Wittgenstein, ibid., Parte I, sec. 73, p. 23.
14
A este respecto véase, por ejemplo, mi “Relaciones Internas” en mi libro Lenguaje y Anti-Metafísica
(México: Plaza y Valdés, 2005). 2ª edición.
15
L. Wittgenstein, ibid., Parte I, sec. 74, p. 23.
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nosotros) a priori. Y para el realista que insiste en que tiene que haber una
diferencia radical o profunda entre proposiciones sobre esencias y proposiciones
temporales, accidentales o contingentes, Wittgenstein tiene preparada la respuesta:
“a la profundidad que vemos en la esencia corresponde la necesidad profunda de
una convención”.16 Factualidad y necesidad se excluyen mutuamente.

Para la aclaración del concepto de inferencia la alusión a cualquier proceso o

estado interno es completamente redundante. Pero si lo que llamamos ‘inferir’ no es
un proceso mental sino más bien la expresión del aprendizaje de manipulación de
ciertos signos (premisas, reglas de inferencia) de determinada manera, entonces es
inclusive engañoso hablar aquí de “transiciones”. Pregunta Wittgenstein: “Ahora
bien ¿a qué llamamos ‘inferencias’ en Russell o en Euclides? ¿Debería decir: a las
transiciones que en una prueba llevan de una proposición a la siguiente? Pero ¿en
dónde se encuentra la transición?”17 La idea de transición como una especie de
transformación interna y mecánica de los signos tan pronto se yuxtaponen unos a
otros y se les conecta por medio de reglas de inferencia es una ilusión gramatical, un
mito más. Las “transiciones” las efectuamos nosotros porque se nos enseñó a usar
ciertos signos de determinada manera, esto es, primero, de una manera que todos
reconocemos (todos procedemos igual), en la que todos concordamos y, segundo, de
una manera que nos es prácticamente útil.

Lo anterior nos permite comprender mejor lo que podría llamarse

‘experiencia matemática’. Los realistas gustan de hablar de visiones, de
representaciones, de aprehensiones, etc. El enfoque wittgensteiniano nos libera de
toda esta innecesaria mitología. La investigación matemática no es una exploración
por territorios ignotos, sino una contribución a la expansión de un simbolismo que
cumple con funciones precisas. No hay ninguna vivencia especial de por medio. No
hay conexiones que descubrir, sino estructuras simbólicas cada vez más complejas
que construir. Ahora bien ¿por qué o para qué se necesitan dichas estructuras? Las
necesitamos por su utilidad práctica, es decir, por su aplicación tanto a las
proposiciones del lenguaje natural como a las proposiciones de las diversas ciencias.
La genuina experiencia humana queda plasmada en las genuinas proposiciones, pero
no hay ninguna experiencia genuina conectada con lo que no son más que
instrumentos para la expresión de las experiencias. Las expresiones matemáticas son
esos instrumentos. Por lo tanto, no hay ninguna experiencia especial que sea la
experiencia matemática o lógica, puesto que no hay experiencias para regular las
experiencias. La experiencia matemática, en el sentido realista de percepción inusual
de conexiones entre entidades abstractas, es una inútil invención filosófica más.

16
L. Wittgenstein, loc. cit.
17
L. Wittgenstein, ibid, Parte I, sec. 18, p. 8.
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Que no está involucrado en la inferencia ningún proceso interno, de carácter

mental, etc., es algo que queda claro si, una vez más, confrontamos lo que
Wittgenstein tiene que decir sobre lo que es inferir con lo que dice en las
Investigaciones Filosóficas sobre lo que es leer. Es inútil intentar ver en la lectura un
proceso interno, lo que uno se dice a sí mismo cuando recorre con la vista ciertos
signos, una experiencia caracterizada por sensaciones especiales, etc. Más bien,
decimos de alguien que ya sabe leer cuando ya no comete errores o los comete sólo
ocasionalmente, cuando se detiene en los lugares apropiados, cuando la entonación
es la correcta, etc., es decir, cuando de manera general el aprendiz ya reacciona de
manera sistemática como cualquier persona de la que decimos que lee normalmente.
Lo que nos incumbe para la adscripción de la capacidad de leer es algo que está a la
vista de todo mundo. El concepto de leer no está vinculado a procesos neuronales, a
estados mentales, a intuiciones de ninguna índole. Es un concepto de carácter
eminentemente conductual. Lo mismo pasa con “inferencia”: para la formación de
este concepto no se tuvo que recurrir a nada que no fuera el registro de las
reacciones del alumno. Es un error pensar que no son imaginables o factibles otras
formas de inferencia y que si no las hemos hecho nuestras es porque hay un patrón
externo a nosotros, objetivo, eterno, divino que las descarta. Lo que pasa es más bien
que con esas otras formas de inferencia no habríamos logrado ponernos de acuerdo,
no habríamos concordado, nuestros juegos de lenguaje serían caóticos, inexactos,
menos exitosos, etc. Lo que llamamos ‘inferencia correcta’ es la manifestación de
una concordancia generalizada respecto a la utilización del simbolismo. Lo correcto
es lo que colectivamente la comunidad lingüística así determina. “Ya vi una prueba
– ahora estoy convencido. ¿Qué pasaría si súbitamente me olvido de esta
convicción?
Luego aquí hay un procedimiento especial: yo examino la prueba y luego
acepto su resultado. – Quiero decir: esto es implemente lo que hacemos. Esa es
nuestra costumbre, o un hecho de nuestra historia natural”.18 Es con este
reconocimiento que tocamos fondo. No hay nada más qué explicar.

Aquí se nos plantea, naturalmente, el gran problema: parecería que

Wittgenstein está defendiendo una tesis convencionalista a ultranza,19 viz., la tesis de
que absolutamente cualquier desarrollo y cualquier resultado son posibles: basta con
que todos nos pongamos de acuerdo y los aceptemos. Pero esto parecería trivializar
el concepto de inferencia, pues parecería implicar que la corrección de una
inferencia es un mero asunto de decisión colectiva, de sano acuerdo democrático.
Naturalmente, un punto de vista así equivale a la aniquilación de nuestro concepto
normal de corrección. Llevado al extremo esto sugiere la idea absurda de que si

18
L. Wittgenstein, ibid, Parte I, sec. 63, p. 20.
19
Que es, como se sabe, de lo acusó M. Dummett en su bien conocida reseña de las Observaciones sobre los
Fundamentos de las Matemáticas.
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todos nos ponemos de acuerdo en que ‘2 + 2 = 5’ entonces, por consenso universal,

2 + 2 = 5. Wittgenstein mismo plantea la objeción como sigue: “Pero, de todos
modos, yo puedo inferir sólo lo que realmente se sigue! – ¿debería eso significar:
sólo lo que se sigue cuando nos atenemos a las reglas de inferencia; o debería
significar: sólo aquello que se sigue cuando nos atenemos a tales reglas de
inferencia, como si de algún modo concordaran con alguna realidad? Aquí con lo
que de algún modo vago nos topamos es con que esta realidad es algo muy
abstracto, muy general y muy rígido. La lógica es una especie de ultra-física, la
descripción de la ‘estructura lógica’ del mundo, que nosotros percibimos mediante
una especie de ultra-experiencia (con el entendimiento, por ejemplo)”.20 La idea de
fondo es que lo que es “correcto” o “incorrecto” tiene que ser por completo
independiente de nuestro modo de manipular el simbolismo (lógico o matemático, y
el lenguaje en general) y sería precisamente porque el mundo se comporta de cierta
manera y no de otras que no cualquier transición es correcta o no.

Sería absurdo adscribirle a Wittgenstein la idea de que cualquier inferencia es

en principio válida. Su punto de vista no es que no podemos distinguir entre
“correcto” e “incorrecto”, sino más bien que por medio de ‘correcto’ e ‘incorrecto’
no aludimos a realidades sino a prácticas establecidas, a usos colectivos de signos:
“pero ¿con qué realidad concuerda aquí ‘correcto’? Supuestamente con una
convención, o con un uso, y quizá con requerimientos prácticos”.21 No hay nada por
debajo de las convenciones y las prácticas lingüísticas (en un sentido amplio de la
expresión) y que las “sustente” o “fundamente”. Estamos en la misma situación que
cuando queremos dar cuenta de la “dureza” del concepto lógico de deber.

Aquí un veloz recordatorio de un crucial pasaje de las Investigaciones se

impone. En la sec. 201, Wittgenstein enuncia su “paradoja”: “Esta era nuestra
paradoja: una regla no podría determinar ningún curso de acción, porque se puede
hacer concordar cualquier curso de acción con la regla. La respuesta es: si todo se
puede hacer concordar con la regla, entonces también se puede hacer que todo entre
en conflicto con ella. Por lo que no habría aquí ni acuerdo ni desacuerdo”. 22 Aunque
sea instintivamente, detectamos que algo debe estar mal en este resultado, puesto
que nos deja sin explicación de lo que es aplicar correctamente un término. La
respuesta la da el mismo Wittgenstein un poco más abajo: “A través de esto
mostramos que hay una aprehensión de una regla que no es una interpretación, sino
que se exhibe, de caso en caso de aplicación, en lo que llamamos ‘seguir la regla’ y
‘contravenirla’”.23 En otras palabras, Wittgenstein es el primero en admitir que no

20
L. Wittgenstein, ibid., Parte I, sec. 8, p. 6.
21
L. Wittgenstein, ibid., Parte I, sec. 9, p. 6.
22
L. Wittgenstein, Philosophical Investigations, sec. 201.
23
L. Wittgenstein, loc cit.
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todo es el resultado de una mera interpretación, es decir, que no podemos

arbitrariamente decidir llamar ‘correcto’ o ‘incorrecto’ a cualquier cosa, sino que
hay efectivamente una forma de aplicar una fórmula o una regla que ejemplifican lo
que es la aprehensión correcta de las mismas. Pero lo importante es notar que,
independientemente de si hablamos de aritmética o de ajedrez, el que algo sea una
aplicación correcta de un signo o de una regla (y, por ende, una inferencia correcta)
se explica en términos de usos, de convenciones, de prácticas, de concordancia en
reacciones, no de supuestas realidades extra-simbólicas. Recurrir a éstas es
simplemente apelar a una imagen y dejar ver que uno no ha podido aún liberarse de
su maleficio.

IV) Consideraciones Finales

Lo que he presentado no es más que una de las múltiples aristas del pensar
wittgensteiniano en torno a las matemáticas. Creo que podemos constatar que su
investigación tiene dos fases y dos facetas, a las que hay que mantener vinculadas.
La primera fase de su labor es eminentemente destructiva. En este caso, por ejemplo,
el blanco principal (aunque ni mucho menos el único) es el mito realista, esto es, la
concepción realista de las matemáticas. La otra fase de su trabajo es la positiva o
constructiva, sólo que ésta toma cuerpo no en una nueva teoría, sino a través de las
aclaraciones y rectificaciones que va haciendo a lo largo de su ataque. Lo exitoso de
la crítica de Wittgenstein se manifiesta en que, una vez aprehendido su pensamiento,
estamos en posición de desprendernos de diversos mitos filosóficos, los cuales son
sumamente dañinos. Por ejemplo, ahora entendemos por qué podemos hablar de
verdad y de falsedad en matemáticas sin tener que asumir la existencia de objetos
abstractos o podemos aceptar la idea de que hay una distinción objetiva entre lo
correcto y lo incorrecto sin para ello dotar a las matemáticas de carácter descriptivo
o factual. Vimos cómo lo que denominamos ‘inferencia’ en realidad está más bien
asociado con reacciones primitivas, animales o espontáneas, de tipo “El fuego
quema, eso es fuego y por lo tanto lo evito”. Wittgenstein hace un esfuerzo por
mostrar la esencial vinculación del concepto de inferir con otros conceptos
cognitivos, como “pensar”. Su idea es que es al aprender a pensar que se aprende a
inferir. No se trata de procesos separados. Otro rasgo interesante del enfoque de
Wittgenstein es que, sin convertir a las matemáticas en una ciencia empírica de
todos modos recupera su esencial conexión con la experiencia. El proceso en el que
Wittgenstein parece pensar es más o menos el siguiente: enunciamos leyes lógicas y
matemáticas de manera experimental, pero una vez establecidas las volvemos
inmunes a la experiencia. Si conjugamos estas reflexiones con los otros grupos de
pensamientos que Wittgenstein produjo en relación con los números, la inducción, la
existencia en matemáticas, el infinito, los problemas de fundamentación de las
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matemáticas, las contradicciones, etc., veremos que lo que nos legó es ni más ni
menos que un cuadro básicamente correcto de eso que llamamos ‘matemáticas’.