FACULTAD DE JURISPRUDENCIA

CARRERA DE DERECHO

ESTADISTICA II

DOCENTE: Ing. Omayra Franco,Msc

 Distribución Normal
La distribución normal también tiene una importante aplicación en inferencia estadística.

La distribución normal es una curva en forma de campana. Toda el área bajo la curva de una
distribución normal es 1. Como esta distribución es simétrica el área bajo la curva y a la
izquierda de la media es 0.50 y el área bajo la curva y a la derecha de la media es 0.50

50% 50%
 Distribución Normal
3
 Distribución Normal
Características importantes:
1.- Toda familia de distribuciones normales se diferencia por medio de dos parámetros: la
media y la desviación estándar.
2.- La distribución normal es simétrica. Las colas de la curva normal se extienden al infinito en
ambas direcciones y en teoría jamás tocan el eje horizontal.
3.- El punto mas alto de una curva
normal se encuentra sobre la media.
4.- La desviación estándar determina
qué tan plana y ancha es la curva
normal.
REGLA EMPIRICA
Los porcentajes de los valores que se encuentran en algunos intervalos comúnmente usados son:

5
 Comparación entre Distribuciones Normales

Años de servicio del empleado Pesos de las presentaciones de productos

6
Distribución Normal ESTANDAR
Tiene una distribución normal con media cero y desviación estándar de uno.
Para designar esta variable aleatoria normal se suele usar la letra Z.

A continuación la gráfica:

7
 Distribución Normal ESTANDAR

Para la distribución normal estándar se usa una tabla donde ya están calculadas las áreas bajo la
curva de la normal, es decir son las probabilidades:

Existen tres tipos de probabilidades que se necesitan calcular y son:

1.- La probabilidad de que la variable aleatoria normal estándar z sea menor o igual

que un valor dado.

2.- La probabilidad de que z esté entre dos valores dados.

3.- La probabilidad de que z sea mayor o igual que

8 un valor dado.
 Distribución Normal ESTANDAR
9

Escenario para el uso de la tabla de la distribución normal estándar:

0
Distribución Normal ESTANDAR

10
 Usando la Simetría…

P( -1.00 < z < 0) = P( 0< z < 1.00) P( z < -0.83) = P( z > 0.83)

P( -0.25< z < 0) = P( 0 < z < 0.25)=0,0985

11
 Distribución Normal ESTANDAR
12
Escenario para el uso de la tabla de la distribución normal estándar:
Probabilidad entre dos valores dados

+ =

+ = 0,5859
 Distribución Normal ESTANDAR
13
Escenario para el uso de la tabla de la distribución normal estándar:

La probabilidad de que z sea mayor o igual

que un valor dado

Tambien se puede = 0,5 – P( 0 ≤ z ≤ 1,58)

0,50

=0,50 - 0,4429 = 0,0571

 Distribución Normal ESTANDAR
Escenario para el uso de la tabla de la distribución normal estándar:

La probabilidad de que z sea menor o igual que un

valor dado.

0,50

= 1 - P( z > 1) Tambien se puede = 0,5 – P( -1 ≤ z ≤ 0)

=0,5 - P( 0 ≤ z ≤ 1)

= 0,5 – 0,3413
= 1 - 0,8413 = 0,1587 = 0,1587
Distribución Normal ESTANDAR
15
 Grafica de la Distribución Normal Estandar
0,50
= 0,5 – P( -1,3 ≤ z ≤ 0 )
= 0,5 - P( 0 ≤ z ≤ 1,3 )
= 0,5- 0,4032
= 0,0968

=9,68%

-4 -2 -1,3 2 4
 Grafica de la Distribución Normal Estandar

= 0,5 + P( -1 ≤ z ≤ 0)
= 0,5 + P(0 ≤ z ≤ 1)
= 0,5 + 0,3413
0,5
= 0,8413

= 84,13%

-4 -2 -1 2 4
 Grafica de la Distribución Normal Estandar

= 0,5 + P(-1,5 ≤ z ≤ 0)
= 0,5 + P(0 ≤ z ≤ 1,5)
= 0,5 + 0,4332
= 0,9332

0,4332
0,5

= 93,32%

-4 -2 -1,5 2 4
 Grafica de la Distribución Normal Estandar

P(-3 ≤ z ≤ 0) = P(0 ≤ z ≤ 3)
= 0,4987
= 49,87%

-4 -3 -2 2 4
 P ( 0< z < 2)

EJERCICIO EXTRA

P( 0,5 < z < 2) = P( 0 < z < 2 ) - P( 0 < z < 0,5 )

= 0,4772 - 0,1915 2
= 0,2857

= 28,57% P ( 0< z < 0,5)

0,5

-4 -3 -2 0,5 2 4
Distribución Normal ESTANDAR
21
 Grafica de la Distribución Normal Estandar

P(z ≤ Z1) = 0,975

= 0,5 + P( 0 ≤ z ≤ Z1) 0,975
= 0,5 + 0,475

P( 0 ≤ z ≤ Z1) = 0,475

Z1=1,96

0,5 0,475

-4 -2 Z1=1,96
2 4
 Grafica de la Distribución Normal Estandar
0,5
P( 0 ≤ z ≤ Z1) =0,475

Z1= 1,96

-4 -2 Z1
2 4
 Grafica de la Distribución Normal Estandar
0,5

P(z ≤ Z1) = 0,7291

= 0,5 + P( 0 ≤ z ≤ Z1) 0,7291

P( 0 ≤ z ≤ Z1) = 0,2291

Z1= 0,61

0,2291
0,5

-4 -2 Z1=0,61
2 4
 Grafica de la Distribución Normal Estandar

0,5

P(z ≥ Z1) = 0,1314

= 0,5 – P( 0 ≤ z ≤ Z1)

P( 0 ≤ z ≤ Z1) = 0,3686

Z1= 1, 12

0,3686
0,1314
-4 -2 Z1=1,12
2 4
 Grafica de la Distribución Normal Estandar

P(z ≤ Z1) = 0,6700

0,67
=0,5 + P(0 ≤ z ≤ Z1)

P(0 ≤ z ≤ Z1) = 0,17

Z1 = 0,44

0,17
-4 -2 Z1=0,44
2 4
 Grafica de la Distribución Normal Estandar

0,50

P(z ≥ Z1) = 0,3300

= 0,5 - P(0 ≤ z ≤ Z1)

P(0 ≤ z ≤ Z1) = 0,1700

Z1= 0,44
0,1700

0,3300
-4 -2 Z1= 0,44
2 4
DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR
Calculo de probabilidades en cualquier distribución de probabilidad normal.

Se debe convertir la variable aleatoria X con media y desviación estándar en variable normal estándar z, con la fórmula:

28
DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR
29

DATOS
u = 15015
 = 3540
 Estandarizando la variable x
DATOS 18000 −150 15 2985
u = 15015 𝑧= = = 0,84
 = 3540 3540 3540
X = 18000
P(x > 18000 ) = ?
P(𝑧 > 0,84 ) = ?

0,50
P(z > 0,87 ) = 0,50 - P( 0 ≤ z ≤ 0.84)
P( 0≤ z ≤ 0.84)

0,2995

= 0,5 - 0,2995 = 0,2005

Tenemos el 20,05% de que una persona con Buena historia crediticia tenga una deuda mayor a $18000
 Estandarizando la variable x
DATOS 10000 −150 15 −5015
u = 15015 𝑧= = = −1,42
 = 3540 3540 3540
X = 10000
P(x < 10000 ) = ?
P(𝑧 < -1,42 )=?
P(z < -1,42 ) = 0,50 - P( -1,42 ≤ z ≤0)
= 0,50 - P( 0 ≤ z ≤ 1,42)
= 0,50 - 0,4222 0,50
= 0,0778

Tenemos el 7,78% de que una persona con Buena historia crediticia tenga una deuda
MENOR a $10000
DATOS Estandarizando la variable x = 12000
12000 −150 15 −3015
u = 15015 𝑧= = = −0,85
3540 3540
 = 3540
Estandarizando la variable x = 18000
P(12000< x < 18000 ) = ? 18000 −150 15 2985
𝑧= = = 0,84
3540 3540

P(−0,85 < 𝑧 < 0,84 )=?

P(−𝟎, 𝟖𝟓 < 𝒛 < 0,84 ) = P(𝟎< 𝒛 < 0,84) + 𝐏(𝟎 < 𝒛 < 0,85)
=0,2995 + 0,3023
=0,6018

Tenemos el 60,18% de que una persona con Buena historia crediticia tenga una deuda
ENTRE $12000 y $ 18000
DATOS Estandarizando la variable x = 14000
u = 15015 14000 −150 15 −1015
𝑧= = = −0,29
 = 3540 3540 3540
X = 10000
P( x > 14000 ) = ? P( 𝑧 > -0,29 )=?
0,6141

P(𝑧 > -0,29 ) = 0,5 + P( -0,29 ≤ z ≤ 0)

= 0,5 + P( 0 ≤ z ≤ 0,29)
= 0,5 + 0,1141
= 0,6141

Tenemos el 61,41% de que una persona con Buena historia crediticia tenga una deuda
MAYOR a $14000
Distribución T -student
 Distribución T -student

Características:
1. Es, como la distribución z, una distribución continua.
2. Es, como la distribución z, en forma de campana y simétrica.
3. No hay una distribución t, sino una familia de distribuciones t. Todas las
distribuciones t tienen una media de 0, pero sus desviaciones estándar
difieren según el tamaño de la muestra, n.
4. La distribución t está más extendida y más plana en el centro que la
distribución normal estándar. Sin embargo, a medida que aumenta el
tamaño de la muestra, la distribución t se acerca a la distribución normal
estándar,
5. El area total bajo la curva es 1
6. Se utiliza para tamaños de muestra pequeños (menores a 30 elementos; n
menor a 30)
Comparando las distribuciones z y t cuando n es pequeño
Distribución de Z

95%

−1.96 1.96 Z
Distribución de t

n=5

95%

−2.776 2.776 t
 Como se lee la tabla t
FORMULAS
𝑡α,𝑉 v=grados de Libertad ; n–1

𝑡0,2;8 = 0,8889 𝑡0,001;3 = 10,2145

𝑡α,𝑉 v=grados de Libertad ; n – 1

𝑐𝑜𝑛 9 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑑 𝑏𝑢𝑠𝑐𝑎𝑟 α 𝑡α;9 = 1,7894; α= 0,10

P( t > 1,7894) = 0,10
 Encuentre los valores t, con lo valores de α y grados de Libertad dados:
a. 𝑡0.05, 6 = 1,9432
b. 𝑡0.3, 20 = 0,5329 𝒕α ,𝒈.𝒍 = ?
c. 𝑡0.001,14

Encuentre los valores α : Encuentre los valores α/2, cuando α=0.1:

a. 𝑡α, 11 = 2,1908 ; α= a. 𝑡α/2, 11 =

b. 𝑡α, 30 = 0,5608 ; α= b. 𝑡α/2,30 =
c. 𝑡α, 5 = 1,047 ; α= c. 𝑡α/2, 5 =
 Distribución de medias
Ejemplo:
1. Un fabricante de cigarrillos asegura que el contenido medio de nicotina, en una de sus marcas es de 0.6 mg por
cigarrillo. Una organización independiente mide el contenido de nicotina de 16 cigarrillos de esta marca y
encuentra que el promedio y la desviación estándar son de 0.744 y 0.175 mg de nicotina, respectivamente. Si se
supone que la cantidad de nicotina de estos cigarrillos es una variable aleatoria normal, ¿cuál es la probabilidad
de que el promedio sea mayor a 0.744?

DATOS
u = 0,6 mg (media poblacional)
s = 0,175 mg (desv estandar muestral)
𝑥ҧ = 0,744 (media muestral)
n=16
v=n-1=16-1=15 grados de libertad
t =?

𝑥ത − µ P(T > t)= α

𝑡= 𝑠 P(T > 3,2914)= α
𝑛 P(T > 3,2914)= 0,0025 = 0,25%

0,744−0,6 0,144
𝑡= 0,175 = = 3,2914 𝑡0.0025 ,15 = 3,3257 Resp. 0.25%
0,04375 42
16
 Resp. a) 10% b) 70%
Ejemplo:

2. En la ciudad capital el precio medio de venta de las casas nuevas es 115mil dólares. Se toma una muestra
aleatoria de 10 casas nuevas resultando una desviación estándar de 25 mil dólares. ¿Cuál es la
probabilidad de que la media muestral de los precios de venta sea:
a) menor de 104 mil dólares?; b) mayor de 110500 dólares?
Resolución de a)
DATOS
u = 115000 (media poblacional)
s = 25000 (desv estandar muestral)
𝑥ҧ = 104000 (media muestral) α
n=10
v=n-1=10-1=9 grados de libertad
t =? P(T < - t) = P( T > t)
𝑥ത − µ
𝑡= 𝑠
𝑛
104000−115000 11000 P(T > t)= α
𝑡= 25000 = = -1,3914 P(T > 1,3914) = 0,10 = 10%
7905,69
10 44
Resolución de b)
DATOS α
u = 115000 (media poblacional)
s = 25000 (desv estandar muestral) 1- α
𝑥ҧ = 110500 (media muestral)
n=10
v=n-1=10-1=9 grados de libertad
t =?
P( T > -0,5692) = 1 - P( T < -0,5692)
𝑥ത − µ = 1 - P( T > 0,5692) 1- α α
𝑡= 𝑠 = 1 - 0,30
𝑛 = 0,7 70%

110500−115000 −4500
𝑡= 25000 = = -0,5692
7905,69
10
 Ejemplo:

3. El presidente de una compañía de focos dice que sus focos duran 300 días. Entonces la competencia va a
varios supermercados y compra 15 focos para probar esa afirmación. Los focos de la muestra duran en
promedio 290 días con una desviación estándar de 50 días. Podrá desmentir al presidente de la compañía de
focos. Calcular la probabilidad de que 15 focos seleccionados al azar tengan una vida promedio mayor de 290
días
DATOS
µ=300
𝑥̃=290
s=50
n=15 1- α
v=n-1=15-1=14 grados de libertad
t =?
𝑥ത − µ
𝑡= 𝑠 P(T > t)= α
P(T > -0,7745) = 1- P(T < -0,7745) 1- α
𝑛
= 1 - P(T > 0,7745)
290−300 − 10 = 1 – 0,25
𝑡= 50 = 12,91= -0,7745 = 0,75 75%
15
 Ejemplo: Ejercicio de dos colas

4. Una compañía manufacturera asegura que las baterías utilizadas en sus juegos electrónicos duran un
promedio de 30 horas. Para conservar este promedio se prueba 16 baterías mensualmente. Si el valor
calculado de t cae entre –t0.025 y t0.025 la compañía está satisfecha con su afirmación ¿Qué conclusión
sacaría la empresa de una muestra que tiene una media de 27.5 horas y una desviación estándar de 5 horas?
–t0.025 y + t0.025 significa que el area bajo la curva corresponde a las 2 colas

𝑡 α = 𝑡±0.025, 15 = ± 2,1315
± , 𝑛−1
2
1- α
t= - 2 esta dentro de -2,1315< t < 2,1315

La compañia esta satisfecha con su afirmacion.

𝑥ത − µ
𝑡= 𝑠
𝑛