DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MECANICA

CARRERA DE GESTION Y MANTENIMIENTO DE

MAQUINARIA PESADA

Matemática Aplicada

Tema: FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

Integrantes:
-Flores Huacca Frank Alex

- Caceres Ticona Alexander

-Encinas Aguirre Cristian Yoel

-Córdova Alvaro Juan José

-Oblitas Chavez Jhoel Alejandro

Docente: Mayta Chua Luz Marleni

Arequipa, Perú
2024-1
1. INDICE

1. INDICE ....................................................................................................... 2

2. INTRODUCCIÓN… ..................................................................................... 3

3. MOTIVACIÓN Y JUSTIFICACIÓN .............................................................. 4

4. OBJETIVOS…………………………………………………………………………………………4

5. ANALISIS DE LA DATA…………………………………………………………………………5

6. CONCLUSIONES…………………………………………………………………………………..7
MOTIVACION Y JUSTIFICACION

El tema de este informe es el estudio de las variables de estado y su aplicación al análisis y

diseño de sistemas dinámicos. Me interesa este tema porque quiero profundizar mis
conocimientos de matemática aplicada y aprender a modelar y controlar sistemas complejos
que involucran múltiples variables que cambian en el tiempo. Además, considero que las
variables de estado son una herramienta fundamental para la ingeniería y la ciencia, ya que
permiten describir y manipular sistemas físicos, químicos, biológicos, económicos, sociales,
entre otros.

OBJETIVOS:
El objetivo de este informe es dar a conocer como es que funcionan las funciones de transferencia,
dar una idea clara de como podemos enfocarnos en su desarrollo y la resolución de estas para esto
tenemos que aprender también como es que funcionan unos métodos numéricos, para ser mas precisos
seria conocer como resolver con el método de la transformada de Laplace para ello nos enfocaremos
en resolver las dudas punto por punto

INTRODUCCION
Funciones de transferencia
Es una expresión matemática que caracteriza las relaciones de “Entrada – Salida” de
sistemas sistemas lineales lineales invariantes invariantes en el tiempo. Se define como la relación
relación de la trasformada trasformada
de Laplace de la salida (función respuesta), a la transformada de Laplace de la entrada
(función excitadota), bajo la suposición de condiciones iniciales cero.

1. Transformada de Laplace:

La idea básica del uso de las transformadas integrales, no sólo de Laplace

sino de otras transformadas como la de Fourier, la de Hilbert, la de Henkel, la de Mellín o la
transformada Zeta consiste en lo siguiente: supongamos que estamos estudiando un determinado
fenómeno físico que describimos por medio de un modelo matemático. Dicho modelo estará
formado por una o varias ecuaciones diferenciales (ordinarias o en derivadas parciales) con sus
correspondientes condiciones iniciales y/o de contorno. El problema consiste en resolver dicho
modelo matemático, es decir, resolver una ecuación diferencial. Es ahora cuando intervienen
las transformadas integrales, en particular la transformada de Laplace, para transformar dicha
ecuación diferencial en otra ecuación (algebraica o también diferencial), la cual va a resultar más
fácil de resolver que la ecuación diferencial de partida.

1.1 DEFINICION Y PROPIEDADES BASICAS

A) 1 Dada f : [0,+∞[ →C, se define formalmente la transformada de Laplace de f como la función

de variable compleja

donde la integral anterior se entiende en el sentido de Riemann impropio, es decir…

El dominio de la función L(f) es el conjunto de números complejos z para los que la integral
anterior es convergente. Dicho conjunto se denomina dominio de la transformada de Laplace y lo
denotaremos por D(L(f)). Evidentemente, se dice que f es transformable Laplace si D(L(f)) 6= ∅.

B) Sean 0 ≤ a < b y X[a, b] la función característica del intervalo [a, b], esto es
 Esta función aparece frecuentemente en Teoría de Sistemas y se suele llamar también función
escalón. Para cualquier z ∈C \ {0} se tiene que

Si z = 0, entonces es inmediato comprobar que L¡X[a,b]¢(0) = b − a. En resumen

Esta gráfica de la función

característica del intervalo [a, b]

1.2) Algunas aplicaciones de la transformada de Laplace

Como hemos mencionado en la introducción, la transformada de Laplace es una herramienta
utilizada con asiduidad en diferentes campos de la ingeniería. En esta sección presentamos algunos
problemas concretos de interés en Teoría de Circuitos y en EDPs.

 Teoría de circuitos
La transformada de Laplace proporciona un método muy eficiente para resolver ecuaciones
y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes. Dichas
ecuaciones aparecen con mucha frecuencia en Teoría de Circuitos y, en general, en Teoría de
Sistemas. En lo que sigue intentaremos usar la notación propia de la Teoría de Circuitos.
Supongamos que tenemos un circuito RLC tal y como se muestra en la siguiente figura.
 Partiendo de las leyes de Kirchhoff se obtiene el modelo matemático para este circuito el cual
está dado por medio de la ecuación diferencial ordinaria

donde L representa la inductancia, R la resistencia, C la capacitancia, q = q (t) es la carga, y

finalmente e = e (t) es la entrada del circuito, es decir, la fuerza electromotriz que impulsa una
carga eléctrica y produce la corriente i = dq/dt

En nuestro modelo, L, R y C son constantes. Se suele conocer además el estado inicial del
sistema, es decir, se suele dar una condición inicial que nos permite obtener unicidad de
solución. Si en t = 0 se cierra el circuito, entonces i (0) = 0.
En Teoría General de Sistemas (ya sean éstos eléctricos, mecánicos, etc.) suele ser de gran
interés averiguar la respuesta del sistema (en el caso eléctrico la respuesta es la incógnita i(t))
ante lo que se llama un impulso, y que en matemáticas es lo que llamamos una delta de Dirac
y representamos por δ. El interés no es otro, sino que si se conoce la respuesta del sistema
ante el impulso (denotemos por h = h (t) dicha respuesta), entonces se conoce la respuesta i =
i(t) ante cualquier otra entrada e = e (t). En efecto, i(t) se expresa como la convolución de h y
e, esto es,

i(t)=(h ∗ e) (t)

En matemáticas, h es lo que llamamos la solución fundamental del operador integro-

diferencial

Para poder justificarlos adecuadamente (incluso el hecho de que L(δ)=1) tendríamos que
trabajar dentro del ámbito de la Teoría de Distribuciones de la cual hablaremos más adelante
en este curso. Supongamos que h = h (t) es solución del problema.

 Ecuaciones en derivadas parciales

 En esta sección aplicaremos el método de la transformada de Laplace para resolver algunos
problemas de ecuaciones en derivadas parciales. Fijados los parámetros α, β, γ ≥ 0, con αβ 6=
0, consideremos el siguiente problema para la llamada ecuación del telégrafo:

El término no homogéneo g representa la acción de la alguna fuente externa que actúa sobre el
sistema. Nótese también que la ecuación del telégrafo se reduce a la ecuación de ondas cuando α =
c−2 y β = γ = 0, y a la ecuación del calor cuando α = γ = 0 y β = a−2. Suponiendo que las funciones
u (·, x), f (·) y g (·, x) tienen transformada de Laplace se tiene que

donde en la segunda igualdad hemos de suponer que u es suficientemente regular para que sea
válida dicha identidad. Por tanto, si escribimos U = L(u), F = L(f) y G = L(g), entonces la ecuación
del telégrafo se transforma en

donde hemos usado el hecho de que u (0, x) = ut (0, x) =0. Disponemos además de la condición
inicial U (z, 0) = F (z). De esta forma hemos transformado la ecuación del telégrafo en una ecuación
diferencial ordinaria no homogénea de orden 2. Nótese que es x la variable independiente de esta
nueva ecuación y que la variable z es un parámetro. Al igual que en el caso de ecuaciones
diferenciales ordinarias con coeficientes reales, se puede probar que la solución general de esta
ecuación es

donde Ge (z, x) es una solución particular de la ecuación completa y

entendiendo siempre la determinación principal de la raíz cuadrada. Como x > 0, para poder
calcular la transformada inversa de Laplace y de esta forma poder recuperar la solución de la EDP
original, la función U ha de ser holomorfa y acotada en algún semiplano Re z>a. Esto en realidad es
consecuencia de ser u acotada. Una
forma de conseguir que se cumpla esta
propiedad es poniendo a1 (z)=0. Si imponemos finalmente la condición inicial U (z, 0) = F (z)
obtenemos.

Finalmente, calculando la transformada inversa de Laplace de la función U (·, x) obtenemos la

solución de nuestro problema original.

1.3) Ejemplo

 Consideremos el siguiente problema para la ecuación de ondas:

Aplicando el método de la transformada de Laplace, el problema original se transforma en

donde U (z, x) = L(u (·, x)) (z). La solución general de esta ecuación diferencial ordinaria es

Llegamos a que

Por otra parte, la condición de acotación de las oscilaciones implica que

Finalmente, para calcular la solución de problema original hemos de calcular la

transformada inversa de Laplace de esta función. Usando la propiedad de translación de la
transformada de Laplace se tiene que

Y aplicando el teorema nos quedaría

2.Ejemplos funciones de transferencia

a)

Desarrollamos diagrama de fuerzas a cada unidad de masa, aplicando transformada de Laplace a

cada fuerza por separado debido a la propiedad de superposición. Para la Masa 1 el diagrama de
cuerpo libre es el siguiente (el análisis debido a cada movimiento X(s) se hace por separado para
mayor claridad):
Para la Masa 2 el diagrama de cuerpo libre es:

La dinámica del sistema (ecuaciones de movimiento) es:

Así, aplicando álgebra lineal obtenemos la transferencia X2(s)/U(s) como:

b)

Desarrollamos diagrama de fuerzas a cada unidad de masa, aplicando transformada de Laplace a

cada fuerza por separado debido a la propiedad de superposición. Para la Masa 1 el diagrama de
cuerpo libre es el siguiente:

Para la Masa 2 el diagrama de cuerpo libre es:

Para la Masa 3 el diagrama de cuerpo libre es:

La dinámica del sistema (ecuaciones de movimiento) es:

C) Determinar la Función de Transferencia, G(s)=θ2(s)/T(s), para el sistema mecánico rotacional
mostrado

1. Dinámica del sistema:

Por otra parte:

Transformada de Laplace en la ecuación 1:

Transformada de Laplace en la ecuación 2:

Aplicando función de Transferencia:

Sustituyendo los valores:

Donde:
D.)

Debemos encontrar para este sistema su representación en variables de estado. 1er paso. Una vez
más, la clave para seleccionar las variables de estado es centrar la atención sobre aquellos
parámetros que son necesarios derivar para obtener las ecuaciones diferenciales que representan la
dinámica del sistema. Para la masa 1, 2 y 3, obtendremos las siguientes expresiones, aplicando la
segunda ley de Newton para movimiento traslacional y el criterio de superposición:

Donde:

Vemos claramente que debemos seleccionar x1, x2 y x3 como nuestras variables de estado, pero
además vemos que cada una de estas tres ecuaciones genera dos variables de estado, por lo tanto,
requerimos al menos seis variables de estado para representar este sistema. Para evitar confusión,
utilizaremos la letra Z para representar nuestras variables de estado. Y para facilitarnos la vida
seleccionamos a la derivada de x1 como Z2, y a x1 como Z1. Es decir:

Esto cumple con el objetivo del método: expresar el vector X’ en función de X, es decir:

De manera análoga, aplicamos el mismo procedimiento para el resto de las masas, y así obtenemos
las otras variables de estado:

2do paso. Vemos que este método nos brinda ciertas relaciones de manera directa, es decir, ya
sabemos cuáles son nuestras variables de estado, suficientes para poder representar al sistema en
toda su complejidad, además ya tenemos tres miembros del vector X‘en función de las variables de
estado. Es decir, sólo para aclarar de que estamos hablando:

Necesitamos ahora el resto de los términos del vector X‘en función de las variables de estado ya
seleccionadas, es decir:

Para hallar estas segundas derivadas, utilizamos la segunda ley de Newton y el criterio de
superposición: Masa 1:
Sustituyendo las variables y sus derivadas por las variables de estado ya seleccionadas, cumplimos
con nuestro propósito:

Sustituyendo el valor de las variables por los datos aportados en el problema, obtenemos:

Masa 2
 Es decir:

Masa 3:

Es decir:

Por último, si
seleccionamos x1 y x3 como nuestras salidas, nuestra representación del sistema en espacio de
estados, en términos generales, queda así:
Y en términos específicos:

Conclusiones del uso de las funciones de transferencia:

Las funciones de transferencia son una herramienta fundamental en el análisis y diseño de sistemas
de control. Algunas conclusiones importantes sobre el uso de funciones de transferencia son las
siguientes:

 Representación matemática: Las funciones de transferencia permiten representar de manera

matemática la relación entre la entrada y la salida de un sistema dinámico. Esta
representación facilita el análisis y diseño de sistemas de control.
 Análisis de estabilidad: Las funciones de transferencia son útiles para analizar la estabilidad
 de un sistema. Mediante el estudio de polos y ceros en el plano complejo, es posible
determinar la estabilidad de un sistema de control.
 Diseño de controladores: Con las funciones de transferencia, es posible diseñar
controladores que cumplan con ciertas especificaciones de desempeño, como la respuesta
transitoria, la precisión y la robustez.
 Simulación y modelado: Las funciones de transferencia se utilizan en la simulación y
modelado de sistemas de control. Esto permite predecir el comportamiento del sistema antes
de implementarlo en la práctica.