3 Eso. Probabilidad. Repaso y Apoyo
3 Eso. Probabilidad. Repaso y Apoyo
3 Eso. Probabilidad. Repaso y Apoyo
• E
xperimento aleatorio es aquel cuyo resultado no se puede predecir, es decir, que por muchas veces que repitamos el
experimento en igualdad de condiciones, no se conoce el resultado que se va a obtener.
El lenguaje utilizado para expresar experimentos aleatorios está relacionado con situaciones de incertidumbre, ya que se
trata de situaciones de azar: «es más probable, es igual de probable, es imposible, es poco probable, es más seguro, es
improbable, es casi seguro…».
Por ejemplo:
– Si lanzamos un dado, no podemos predecir el número que saldrá.
– Cuando sacamos una bola de una caja que contiene bolas de diferentes colores, no podemos predecir
el color que obtendremos.
ACTIVIDADES
1 Clasifica los siguientes experimentos. En el caso de que el experimento sea aleatorio, escribe un posible resultado.
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REPASO Y APOYO OBJETIVO 2
ESPACIO MUESTRAL
l espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento
• E
aleatorio. Se representa por E.
• Cada uno de los resultados posibles se denomina suceso elemental.
EJEMPLO
Determina el espacio muestral y sus sucesos elementales en estos experimentos.
SUCESOS
Cada suceso está formado por uno o varios sucesos elementales.
• El suceso seguro está formado por todos los resultados posibles (sucesos elementales). Se verifica siempre.
• El suceso imposible no contiene ningún suceso elemental. Nunca se verifica.
EJEMPLO
En el experimento de lanzar un dado al aire determina un suceso seguro y uno imposible.
Un suceso seguro es obtener un número menor que 7.
Un suceso imposible es obtener el número 30.
ACTIVIDADES
1 Con una baraja de cartas española, se realiza el experimento de sacar una carta. Escribe los sucesos
elementales que componen estos sucesos.
a) Sacar oros.
b) Sacar un 5.
c) Sacar figura.
d) Sacar bastos.
2 Dadas ocho cartas numeradas del 1 al 8, se realiza el experimento aleatorio de sacar una carta. Escribe los sucesos
elementales que componen los siguientes sucesos.
a) Obtener número par.
b) Obtener múltiplo de 3.
c) Obtener número mayor que 4.
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REPASO Y APOYO OBJETIVO 3
• Intersección de sucesos: la intersección de dos sucesos A y B está formada por los elementos (sucesos elementales)
comunes de los sucesos A y B.
A > B = A intersección B
• Si dos sucesos no tienen ningún suceso elemental en común, se dice que son incompatibles:
AùB=Ø
• Si dos sucesos tienen algún suceso elemental en común, se dice que son compatibles:
A>B!Ø
—
• Dado un suceso A, el suceso contrario o complementario, A , está formado por los sucesos elementales del espacio
muestral que no están en A.
EJEMPLO
En el experimento consistente en lanzar un dado, consideramos los sucesos:
A = Obtener número menor que 4 = {1, 2, 3} B = Obtener número impar = {1, 3, 5}
Calcula la unión e intersección de estos sucesos y escribe sus sucesos contrarios.
• Escribimos el suceso unión, formado por todos los sucesos elementales de A y B:
A < B = {1, 2, 3, 5}
• Escribimos el suceso intersección, formado por todos los sucesos elementales comunes de A y B:
A > B = {1, 3}
scribimos el suceso contrario de A, formado por todos los sucesos elementales del espacio muestral
• E
del experimento que no están en A:
w = {4, 5, 6}
A
De la misma manera, el suceso contrario de B será:
w = {2, 4, 6}
B
Vemos que la unión de un suceso y su contrario es siempre el espacio muestral.
ACTIVIDADES
1 Considera el experimento de lanzar un dado con ocho caras numeradas del 1 al 8 y los sucesos A = Salir puntuación par
y B = Salir puntuación impar. Escribe el espacio muestral y obtén los siguientes sucesos.
a) A < B = w=
d) B
b) A > B = w>B=
e) A
w=
c) A w<B=
f) A
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REPASO Y APOYO OBJETIVO 3
2 De una baraja española de 40 cartas se extrae una carta y se consideran los siguientes sucesos.
A = Salir oros B = Salir un rey C = Salir un as D = No salir oros
Señala si los sucesos son compatibles, incompatibles o contrarios.
Compatibilidad
Suceso Contrarios
Compatibles Incompatibles
AyB
AyC
AyD
ByC
3 De una baraja española de 40 cartas hemos separado los ases y los reyes. Con este grupo de cartas realizamos
el experimento de sacar dos cartas.
a) Escribe el espacio muestral.
d) ¿Qué sucesos componen la unión de los sucesos de sacar oros y sacar rey?
4 En una caja hay ocho bolas, numeradas del 1 al 8. Escribe un suceso compatible, otro incompatible y otro contrario de
estos sucesos.
C = Sacar múltiplo de 2
D = Sacar múltiplo de 7
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REPASO Y APOYO OBJETIVO 4
EJEMPLO
Roberto ha lanzado un dado 50 veces, obteniendo los resultados de la tabla.
Cara 1 2 3 4 5 6 Suma
fi 7 6 14 9 10 4 50
ACTIVIDADES
1 En un bombo hay diez bolas numeradas del 0 al 9. Se repite 100 veces el experimento de extraer una bola
y reemplazarla a continuación. Los resultados obtenidos se expresan en la tabla.
Bola 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Suma
fi 7 13 11 12 8 10 12 6 10 11 100
hi
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REPASO Y APOYO OBJETIVO 5
PROBABILIDAD DE UN SUCESO
La probabilidad de un suceso es el número hacia el cual se aproxima la frecuencia relativa de ese suceso conforme
aumenta el número de repeticiones de un experimento aleatorio.
EJEMPLO
Se lanza un dado de cuatro caras y se anotan las veces que aparece el número 1.
Lanzamientos 20 40 60 80 100
fi 7 11 15 18 27
hi 0,35 0,275 0,25 0,225 0,27
Al obtener la tabla de frecuencias relativas correspondiente a este experimento, se observa que el número hacia el cual se
aproxima la frecuencia del suceso de aparecer el número 1 es 0,25.
Por tanto, la probabilidad de obtener número 1 al lanzar un dado de cuatro caras es P = 0,25.
ACTIVIDADES
Cruz
¿Son las frecuencias relativas números próximos a 0,5? ¿Qué consecuencias obtienes de tus resultados?
REGLA DE LAPLACE
Cuando todos los sucesos elementales de un experimento aleatorio son equiprobables, la probabilidad de un suceso A es el
cociente entre el número de casos favorables al suceso y el número de casos posibles.
Casos favorables
Esta expresión es la regla de Laplace: P(A) =
Casos posibles
EJEMPLO
Se lanza un dado de seis caras al aire. El espacio muestral es: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Calcula las siguientes probabilidades.
Casos favorables
Suceso Casos favorables Casos posibles P=
Casos posibles
3 1
Salir número par {2, 4, 6} {1, 2, 3, 4, 5, 6} P= =
6 2
4 2
Salir número menor que 5 {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4, 5, 6} P= =
6 3
5
Salir número par o menor que 5 {1, 2, 3, 4, 6} {1, 2, 3, 4, 5, 6} P=
6
1
Salir número par y 4 {4} {1, 2, 3, 4, 5, 6} P=
6
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REPASO Y APOYO OBJETIVO 5
2 Se hacen quinielas con un dado que tiene tres caras con el 1, dos caras con la X y la otra cara con el 2. Si se lanza
una vez el dado, calcula aplicando la regla de Laplace.
a) El espacio muestral.
b) La probabilidad de obtener 1.
c) La probabilidad de obtener X.
d) La probabilidad de obtener 2.
3 Una urna contiene 1 bola roja, 1 azul, 1 verde y 1 blanca. Si se sacan dos bolas a la vez, calcula.
a) El espacio muestral.
b) La probabilidad de que una bola sea blanca y la otra roja.
c) La probabilidad de que las dos bolas sean rojas.
d) La probabilidad de que ninguna de las dos bolas sea blanca.
4 Se saca una carta de una baraja española de 40 cartas. Halla la probabilidad de que salga:
a) Un rey. e) Una carta que no sea de copas.
b) Oros. f) Una figura de bastos.
c) Un 4 o un 6. g) Una carta que no sea figura.
d) El rey de oros. h) Una carta menor que 5.
5 En una comida hay 28 hombres y 32 mujeres. Han tomado carne 16 hombres y 20 mujeres, y el resto ha tomado
pescado. Fijándote en la tabla, y completando los datos que faltan, si elegimos una persona al azar, calcula:
Hombres 16 28
Mujeres 20 32
Suma 36
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REPASO Y APOYO OBJETIVO 6
• La suma de las probabilidades de todos los sucesos elementales de un experimento aleatorio es 1.
Por ejemplo: en el lanzamiento de un dado, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}:
1
P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) =
6
P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1
• La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1.
• La probabilidad del suceso seguro es 1 y la probabilidad del suceso imposible es 0.
• Siendo A y B dos sucesos del espacio muestral E:
– Si son incompatibles: P(A < B) = P(A) + P(B).
Por ejemplo, al lanzar un dado, dados los sucesos incompatibles A = Salir cara número primo y B = Salir cara
múltiplo de 4, la probabilidad de que ocurra uno de los dos es:
3 1 4
A = {1, 3, 5} y B = {4} " P(A < B) = + =
6 6 6
– Si son compatibles: P(A < B) = P(A) + P(B) - P(A > B).
3 2 1 4
Por ejemplo, si al lanzar un dado tenemos los sucesos A = {1, 3, 5} y B = {3, 6} " P(A < B) = + - =
6 6 6 6
w, es: P(A
• La probabilidad del suceso contrario de A, A w) = 1 - P(A).
2 4
w = {1, 2, 4, 5} " P(A) =
Por ejemplo, si al lanzar un dado consideramos A = {3, 6}, entonces A w) =
P(A
6 6
4 2
w) = 1 - P(A) "
Se comprueba que: P(A = 1-
6 6
ACTIVIDADES
1 De una baraja española de 40 cartas se extrae una carta al azar. Calcula estas probabilidades.
2 Una urna contiene 4 bolas blancas, 1 roja y 5 negras. Se considera el experimento de sacar una bola al azar.
Calcula estas probabilidades.
A = Salir bola blanca P(A) = D = Salir bola que no sea roja P(D) =
C = Salir bola que no sea negra P(C) = F = Salir bola blanca o negra P(F) =
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