1

Capítulo 2

FACTORES
DE EQUIVALENCIA

Prof. Carmen Quiroz F.

2021-2
 2

FACTORES DE EQUIVALENCIA
Son expresiones que permiten resolver flujos de caja
considerando la equivalencia del dinero en el tiempo.

En general, para Factor de equivalencia

cualquier flujo de caja,
se puede calcular su
valor equivalente en
cualquier punto del
tiempo, si se conoce la
tasa de interés.
 3

Factores de Equivalencia: Principales casos

Pago simple Serie uniforme

0 1 2 3 n 0 1 2 3 n

Serie gradiente lineal Serie gradiente geométrico

1 2 3 n 1 2 3 n
 4

PAGOS SIMPLES
F = Px(1+i)n
F?
(1+i)n = (F/P, i%, n) 1
i%

0 1 2 3 n-1 n Factor de Capitalización

de un Pago Simple

P Por tanto:
F = P (F/P, i%, n)
 5

PAGOS SIMPLES P = F .
(1+i)n
F
1 = (P/F, i%, n) 2
i% (1+i)n

0 1 2 3 n-1 n
Factor de Actualización
de un Pago Simple
P? Por tanto:
P = F (P/F, i%, n)
 6
Ejemplo 1 (Problema 2 de la Hoja de Ejercicios – Capítulo 1)
F?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 m

1 000
2 000
3 000
3% m. 5% m.

t=9 ∑ Entradas = ∑ Salidas

F = 1 000 (F/P,3%,4) (F/P,5%,5) + 2 000 (F/P,3%,1) (F/P,5%,5) + 3 000 (F/P,5%,3)
F = 1 000 (1,03)4 x (1,05)5 + 2 000 (1,03) x (1,05)5 + 3 000 (1,05)3
F = S/ 7 538,48
 7

SERIE UNIFORME DE PAGOS

i% P?
A

=
0 1 2 3 n-1 n 0 1 2 n-1 n

Se calcula el equivalente de ambos flujos en t = 0:

P = A(P/F,i%,1) + A(P/F,i%,2) + A(P/F,i%,3) + …….. + A(P/F,i%,n)
P= A + A + A + ....… + A (1)
(1+i) (1+i)2 (1+i)3 (1+i)n
artificio: x (1+i)
 8

SERIE UNIFORME DE PAGOS

P(1+i) = A + A_ + A_ + .....….. + A _ (2)
(1+i) (1+i)2 (1+i)n-1
Restando (2) - (1)
P(1+i) - P = A - A .
(1+i)n
P = A x (1+i)n - 1 (1+i)n - 1 = (P/A, i%, n) 3

(1+i)n x i (1+i)n x i

Factor de Actualización
Por tanto: P = A (P/A, i%, n) de una Serie Uniforme
 9

SERIE UNIFORME DE PAGOS

Valor Presente de una Serie Uniforme de Pagos:
i% P = A (P/A, i%, n)
A

=
0 1 2 3 n-1 n 0 1 2 n-1 n

Condiciones:
• El primer flujo A siempre está en el periodo 1.
• El último flujo A siempre está en el periodo n.
• Los flujos no se interrumpen.
• La tasa de interés es constante los “n” períodos.
 10

SERIE UNIFORME DE PAGOS

Valor Futuro de una Serie Uniforme de Pagos:
i% F?
A

=
0 1 2 3 n-1 n 0 1 2 n-1 n

Se calcula el equivalente de ambos flujos en t = n:

F = A(F/P,i%,n-1) + A(F/P,i%,n-2) + ……… + A(F/P,i%,1) + A
Luego se reemplazan los factores y se simplifica la expresión:
 11

SERIE UNIFORME DE PAGOS

F = A x (1+i)n - 1  (1+i)n - 1 = (F/A, i%, n) 4
i i

Por tanto: Factor de Capitalización

F = A (F/A, i%, n) de una Serie Uniforme

i% F = A (F/A,i%.n)
A

=
0 1 2 3 n-1 n 0 1 2 n-1 n
 12

SERIE UNIFORME DE PAGOS

En resumen:
i% P = A (P/A, i%,n)
A

=
0 1 2 3 n-1 n 0 1 2 n-1 n

F = A (F/A,i%.n)

=
0 1 2 n-1 n
 13

Ejemplo 2
¿Cuál es el único depósito P, que permite retirar un monto fijo de
S/ 1 000, todos los próximos 12 meses, si la tasa de interés es 4%
mensual?
Solución:
i = 4%m t=0 ∑↑= ∑↓
A = 1 000
P = 1 000 (P/A, 4%, 12)

0 1 2 3 12 m
P = 1 000 x (1,04)12 - 1 .
(1,04)12 x 0,04

P = S/ 9 385,10
P?
 14

Ejemplo 3

Si durante 12 meses se deposita una cantidad uniforme de S/ 1 000

mensuales ¿de cuánto disponemos al final del mes 12, si la tasa de
interés es 4% mensual?
Solución:
F? t = 12 ∑↑= ∑↓
i = 4%m
F = 1 000 (F/A, 4%, 12)

0 1 2 3 12 m F = 1 000 x (1,04)12 - 1 .
0,04

A = 1 000 F = S/ 15 025,81
 15

Nota: Considerando los resultados de los ejemplos 1 y 2:

i = 4% P = 9 385,10
A = 1 000

=
1 2 3 12 0 1 2 12

F = 15 025,81

=
0 1 2 12

¿Existe una relación entre los valores P y F? SI, son equivalentes.

F = P (F/P,4%,12) = 9 385,10 (1,6010)  F = 15 025,81
P = F (P/F,4%,12) = 15 025,81 (0,6246)  P = 9 385,10
 16
Ejemplo 4
Una persona está evaluando la posibilidad de hacer un depósito hoy
día, de tal manera que pueda retirar del quinto al doceavo mes,
S/ 2 000 mensuales. Si la tasa de interés es de 5% mensual ¿Cuánto
debe depositar?
Solución:
t=0 ∑↑= ∑↓
i = 5% 2 000
P = 2 000 (P/A, 5%, 8) (P/F, 5%, 4)
P = S/ 10 634,60
0 1 2 3 4 5 6 7 … … … 12 m
t=4 ∑↑= ∑↓
P (F/P, 5%, 4) = 2 000 (P/A, 5%, 8)
P? P = S/ 10 634,60
 17
Ejemplo 5
Un aparato electrónico que tiene un precio al contado de S/ 4 000 se
compra al crédito bajo las siguientes condiciones: interés mensual de 3%,
pago de seis mensualidades iguales, las primeras 3 al final de los meses
1, 2 y 3; se suspenden los pagos en los meses 4, 5, 6 y 7, y las últimas
tres mensualidades se cubren al final de los meses 8, 9 y 10. Calcule el
valor de cada una de las seis mensualidades.
Solución:
P = 4 000
t=0 ∑↑= ∑↓
i = 3%
4 000 = C (P/A, 3%, 3) +
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 m C (P/A, 3%, 3) (P/F, 3%, 7)

C = S/ 779,95
C C
 18

SERIE DE PAGOS CON GRADIENTE LINEAL

Valor Presente
A+(n-1)G
1)G P?
G = Gradiente Lineal

i%
A+2G
A+G
A
=
0 1 2 3 4 n 0 1 2 n
Condiciones:
• El primer flujo A siempre está en el periodo 1.
• Los flujos de incrementan aditivamente un valor G constante todos los períodos.
• Los flujos no se interrumpen.
• La tasa de interés es constante los “n” períodos.
 19

SERIE DE PAGOS CON GRADIENTE LINEAL

A+(n-1)G
(I) (II)
A+2G (n-1)G
A+G
A
A 2G
G
= +
0 1 2 3 n 0 1 n 0 1 2 3 n

La serie se puede dividir en dos partes: (I) y (II)

La serie (I) corresponde a un flujo de pagos uniformes para la cual ya se
ha determinado su valor presente y su valor futuro.

Ingeniería Económica
 20
Se desarrollará la serie (II) (Serie “Triángulo”)
Valor Presente de un Gradiente
1)G
Lineal
(n-1)G P?

2G
G
=
0 1 2 3 n 0 1 2 n

Se demuestra que: 5

P = G x (1+i)n - 1 - n .  (1+i)n - 1 - n = (P/G, i%, n)

(1+i)n x i2 (1+i)n x i (1+i)n x i2 (1+i)n x i

Por tanto: Factor de Actualización de

P = G (P/G, i%, n) una Serie Gradiente Lineal

Ingeniería Económica
 21

Valor Futuro de un Gradiente Lineal

1)G

(n-1)G F?

2G
G
=
0 1 2 3 n 0 1 2 n

Se demuestra que:
F = G x (1+i)n - 1 - n .  (1+i)n - 1 - n = (F/G, i%, n) 6
i2 i i2 i
Por tanto: Factor de Capitalización de
F = G (F/G, i%, n) una Serie Gradiente Lineal

Ingeniería Económica
 22

Observación: Relación entre los valores presente y futuro

Considerando que se conoce el valor presente:

P = G (P/G, i%, n) = G x (1+i)n - 1 - n .

(1+i)n x i2 (1+i)n x i

Si se requiere calcular el valor futuro:

F = P (F/P, i%, n) = G x (1+i)n - 1 - n . X (1+i)n

(1+i)n x i2 (1+i)n x i

F = G x (1+i)n - 1 - n .
i2 i

 F = G (F/G, i%, n)

Ingeniería Económica
 23

Ejemplo 6
Una persona deposita el primer mes S/ 700 y durante los próximos
meses, hasta el mes 10 inclusive, el monto a depositar aumentará en
S/ 80 mensuales. Si la tasa de interés es 6% mensual, determinar
¿cuánto hubiera tenido que depositar fijo mensualmente para disponer
del mismo monto al final del décimo mes?
Solución: F*

i = 6% m Nuevo plan de ahorro:

• Montos mensuales iguales (A)
• Plazo: 10 meses
1 2 3 10
• Tasa: 6% m
700 • El mismo valor F*
G= 80
 24
F* F*

i = 6% m i = 6% m

=
1 2 3 10 1 2 3 10

700
G= 80 A?

Haciendo equivalentes ambos flujos, tomando como referencia t = 10

700 (F/A, 6%, 10) + 80 (F/G, 6%, 10) = A (F/A, 6%, 10)
700 (13,1808) + 80 (53,0132) = A (13,1808)
A = S/ 1 021,76
 25

Ejemplo 7
Dado el siguiente flujo de caja, calcular el valor presente equivalente (en
t=0) y el valor futuro en t=12, si la tasa de interés es 4% por periodo.

5 500
G = -250
i=4%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Solución:
Los factores (P/G, i%, n) y (F/G, i%, n) se aplican solo si la serie gradiente
es creciente en el tiempo.
 26

G = 250
(-) (-)
5 500 5 500
(+) (+)
i=4% i=4%

=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

t=0 P = [ 5 500 (P/A, 4%,9) - 250 (P/G, 4%,9) ](P/F, 4%, 3)

P = 30 176,10
t=12 F = [ 5 500 (F/A, 4%,9) - 250 (F/G, 4%,9) ]
F = 48 312,92
 27

SERIE DE PAGOS CON GRADIENTE GEOMETRICO

Valor Presente 1)G P?
A(1+g)n-1
g% = Gradiente Geométrico
i%
A A(1+g)
=
0 1 2 3 n 0 1 2 n
Condiciones:
• El primer flujo A siempre está en el periodo 1.
• Los flujos de incrementan geométricamente g% constante todos los períodos.
• Los flujos no se interrumpen.
• La tasa de interés es constante los “n” períodos.
 28
Se demuestra que:
7
n n
1+g 1+g
1− 1+i 1−
1+i
P=Ax , i≠g  = (𝐏/𝐀∗ , 𝐢%, 𝐠%, 𝐧)
i − g i−g

Por tanto: Factor de Actualización de

una S.Gradiente Geométrico
P = A (P/A*, i%, g%, n)

Caso Particular:
Si i = g P = Axn = Axn.
(1+i) (1+g)

Ingeniería Económica
 29

Ejemplo 8
Un joven profesional se propone ahorrar el 25% de su sueldo mensual, con
el propósito de disponer de una importante suma de dinero dentro de 3
años. Su sueldo inicial asciende a S/ 3 000 el mismo que se incrementará
2% mensual.
Si los ahorros serán depositados en una cuenta que paga 3,5% mensual,
determinar el valor total acumulado al final del tercer año.
Solución: F? t=1 S1= 3 000  A1= 750
2% 2%
i= 3,5%m
t=2 S2= 3 060  A2= 765

0 1 2 3 36
t = 36 ∑↑= ∑↓
F = 750 (P/A*,3.5%,2%,36) (F/P,3.5%,36)
A =750
g=2%
F = S/ 70 518,95
 30

Ejemplo 8*
Un joven profesional se propone ahorrar el 25% de su sueldo mensual, con el
propósito de disponer de una importante suma de dinero dentro de 3 años.
Su sueldo inicial asciende a S/ 3 000 el mismo que se incrementará 2%
mensual.
Si los ahorros serán depositados en una cuenta que paga 3,5% mensual,
durante los dos primeros años, y luego disminuye a 2,7% mensual;
determinar el valor total acumulado al final del tercer año.

Rpta: S/ 65 150,98
 31

Solución
F* ? La serie gradiente se debe
dividir.
El valor X es necesario para
3,5%m 2,7%m
resolver la segunda serie.

X = 750 (1,02)24
0 1 2 3 25 36
X = 1 206,33

A =750 g=2%
X Tomando la referencia en t = 24
g=2%

F* (P/F,2.7%,12) = 750 (P/A*,3.5%,2%,24) (F/P,3.5%,24)

+ 1 206,33 (P/A*,2.7%,2%,12)
F* = S/ 65 150,98
 32

SERIE UNIFORME INFINITA

i% P?
A

=
0 1 2 ∞ 0 1 2 ∞
Considerando que el factor P/A es una expresión numérica:
t = 0: P = A (P/A, i%, n) = A Lim (1+i)n -1 = A 1 .
(1+i)n x i i
(1+i)n - 1 = (P/A, i%, n) P = A .
(1+i)n x i
Por tanto:
i
 33

Ejemplo 9 renta infinita

¿Qué cantidad debería invertirse hoy, para lograr una renta perpetua
de S/ 640 mensuales, si la tasa de interés es 1,1% mensual?

Solución:
640 i = 1,1%m
t=0 ∑↑= ∑↓

P= 640 .
0 1 2 3 4 5 6 7 … … … ∞m 0,011

P = S/ 58 181,82
P?
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Observaciones Generales

1. Los factores de equivalencia son expresiones numéricas. Solo son

función de i% y n (excepto en la serie gradiente geométrica).
2. En todos los casos se requiere que la tasa de interés sea
constante a lo largo de los n periodos de tiempo. Ejm: (X/Y, i%, n).
3. El cálculo de los factores de equivalencia exige que la tasa de interés
a utilizar sea una tasa efectiva. Se verá en el Capitulo 3
4. Todos los factores de equivalencia tienen su expresión inversa; así
por ejemplo el inverso del factor (P/A,i%,n) existe y es igual a
(A/P, i%, n).
 35
Ejemplo:
Cuando se conoce el monto de un préstamo, la tasa de interés, el plazo y se
desea conocer el valor de las cuotas mensuales de pago (cuotas iguales),
Una forma frecuente de hallar las cuotas es planteando la equivalencia en t = 0

P = A (P/A, i%, n)  A = P .= Px 1 . = P (A/P, i%, n)

(P/A, i%, n) (P/A, i%, n)

A = P (A/P, i%, n)

Donde, si (P/A, i%, n) = (1+i)n - 1  (A/P, i%, n) = (1+i)n x i

(1+i)n x i (1+i)n - i
 36
Resumen