GEOMETRÍA

SEGMENTOS,
ÁNGULOS Y
TRIÁNGULOS I
Los conceptos a estudiar en este tema son los siguientes:

- Segmentos
- Ángulos
- Ángulos entre rectas paralelas
- Triángulos

PUCP 01
ipluton.com/pucp Mucho más que videos
EJERCICIOS TIPO ADMISIÓN PUCP Segmentos, ángulos y triángulos I GEOMETRÍA

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIO 1 EJERCICIO 3
En un triángulo ABC, los ángulos La suma del complemento y el
interiores se encuentran en la relación de suplemento de dos ángulos es 140º.
3, 4 y 5 respectivamente. Halle el ángulo Calcule el suplemento de la suma de
comprendido entre la altura y la bisectriz dichos ángulos.
que parten del ángulo B. A) 40º
A) 12º B) 60º
B) 24º C) 50º
C) 15º D) 70º
D) 20º

EJERCICIO 2 EJERCICIO 4
En la figura mostrada L1 y L2 son Se tiene un triángulo rectángulo con uno
bisectrices y md = 103º, ¿cuántos de sus ángulos agudos que mide 20º.
ángulos como máximo se pueden Calcula el ángulo que forman la altura y
determinar? la mediana que parten del vértice del
ángulo recto.
d A) 40º
L2 c B) 50º
L1 C) 30º
D) 25º
f g
h a e b
a b

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7

CLAVES
1C - 2A - 3C - 4D

01 ipluton.com/pucp
EJERCICIOS TIPO ADMISIÓN PUCP Segmentos, ángulos y triángulos I GEOMETRÍA

EJERCICIO 5 EJERCICIO 7
En la figura calcula “α”, si CE es bisectriz En el segmento AB, se ubica los puntos
del ángulo BCF. P y Q de modo que se cumple que
B AQ AB 1
E = = y AP + AQ = AB.
AP AQ R
Calcule el valor de R.

60º α A) 5
A C F
−2 + 5
A) 30º B)
2
B) 40º
C) 60º −1 + 5
C)
D) 75º 2
1+ 5
D)
2

EJERCICIO 6 EJERCICIO 8
En la figura mostrada, halle la medida Convierta a = 42º a radianes y
del mEOA si mEOC = 8α. 2π
b= rad a grados sexagesimales.
7
C D
4π
A) a = rad; b = 52º
30
π
B E B) a = rad; b = 52, 48º
3α O 10
7π
C) a = rad; b = 51, 43º
A 30

A) 120º π
D) a = rad; b = 47,13º
B) 126º 6
C) 124º
D) 144º

CLAVES
5D - 6B - 7C - 8C

02 ipluton.com/pucp
EJERCICIOS TIPO ADMISIÓN PUCP Segmentos, ángulos y triángulos I GEOMETRÍA

EJERCICIO 9 EJERCICIO 11
En un triángulo ABC; si “S” es el Se tiene cuatro ángulos consecutivos que
suplemento de B además se cumple que: forman un ángulo llano, se sabe que
S − B = C − A = 15º; hallar la medida del dichos ángulos están en progresión
ángulo C. aritmética. La medida del mayor ángulo
es el doble de la medida del menor.
A) 56º 30'
Hallar la diferencia de las medidas de los
B) 54º 15'
ángulos medios.
C) 65º 15'
D) 56º 15' A) 5º
B) 8º
C) 10º
D) 12º

EJERCICIO 10 EJERCICIO 12
La suma de dos ángulos es 5π/4 rad y el En el siguiente gráfico, calcular:
mayor excede al menor en 75º. Calcule x+y+z
el suplemento del mayor ángulo. m+n
A) 15º
B) 30º
C) 60º y
m
D) 75º
x

n z

A) 2
B) 1
C) 4
D) 0,5

CLAVES
9D- 10B - 11C - 12B

03 ipluton.com/pucp
EJERCICIOS TIPO ADMISIÓN PUCP Segmentos, ángulos y triángulos I GEOMETRÍA

EJERCICIO 13 EJERCICIO 15
 
En la figura, calcule x. En la figura mostrada, L 1 // L 2 .

80º a b
L1
c d
3α 3β
α β
x
e f
L2
A) 110º g h
B) 115º
C) 105º
Indique cuáles de las siguientes afirma-
D) 100º
ciones son verdaderas.
I. ma + mf = 180º
II. ma = mh
III. mb + mh = 180º
EJERCICIO 14 A) Solo I y II
Se tienen los puntos consecutivos A, B, B) Solo II y III
C y D tal que AC = 5 cm, AD = 2AB y C) Solo I y III
BC = 3CD. Halle AD. D) Todas
35
A) cm
7
15
B) cm
7
40
C) cm
7
20
D) cm
7

CLAVES
13B - 14C - 15D

04 ipluton.com/pucp
EJERCICIOS TIPO ADMISIÓN PUCP Segmentos, ángulos y triángulos I GEOMETRÍA

SOLUCIONARIO

EJERCICIO 1 EJERCICIO 2
Datos Datos
 Ángulos en relación de 3, 4 y 5  L1 y L2 son bisectrices y md = 103º
 Calcule la medida del ángulo entre la  Cuántos ángulos se pueden
altura y bisectriz que parten de “B” determinar

Resolución Resolución
B
103º
4k
L2 c
L1
3k 5k
A C f g
h a e b
a b
 Teorema: Si = 180º
3k + 4 k + 5k = 180º
k = 15º  ∑ 2int = ext → 2a + 2b = 103º
a + b = 51,5º
B
 ∑ int = 180º → a + b + e = 180º
60º 51,5º +e = 180º
30º
e = 128,5º
x
45º 75º  C + 103º = 180º → C = 77º
A M H C
 g + e = 180º → 128,5º + g = 180º
 BM: bisectriz g = 51,5º
⇒ mABM = mMBC = 30º
 g = f → f = 51,5º
 30º + x = 45º
x = 15º ∴4

05 ipluton.com/pucp
EJERCICIOS TIPO ADMISIÓN PUCP Segmentos, ángulos y triángulos I GEOMETRÍA

EJERCICIO 3 EJERCICIO 5
Datos Datos
C(α) + S(θ) = 140º  CE es bisectriz BCF
S(α + θ) = ?  Calcular “α”

Resolución Resolución
 C(α) + S(θ) = 140º
B
90º −α + 180º −θ = 140º
E
130º = α + θ

 Calcular S(α+θ) α
60º α
S(130) = 180º −130º = 50º
A C F

EJERCICIO 4  CE: bisectriz ext.

Datos
 magudo = 20º  ∑ 2int = ext
 Calcula la medida del ángulo que 60º +90º = 2α = 150º
forma la altura y la mediana que α = 75º
parten del vértice del ángulo recto.

Resolución EJERCICIO 6
Datos
C
 mEOC = 8α
 Calcule mEOA

45º Resolución
x
C D
20º
B H M A
3α
8α
 BM: Bisectriz B E
3α O
mACM = mBCM = 45º

 BM: altura A
x + 45º = 70º
x = 25º  mEOC = 8α

 Ángulos opuestos por el vértice

90º +3α = 8 α
90º = 5α
18º = α

06 ipluton.com/pucp
EJERCICIOS TIPO ADMISIÓN PUCP Segmentos, ángulos y triángulos I GEOMETRÍA

EJERCICIO 7 EJERCICIO 8
Datos Resolución
AQ AB 1  a = 42º convertir a radianes
 = = , AP + AQ = AB S R 42
AP AQ R = ⇒ ⋅π = R
180º π 180
 Calcular “R”
7π
=R
Demostración 30
n m 2π
m  b= → convertir a sexagesimales
7
S R S 2π
A P Q B = ⇒ =
180 π 180 7 ⋅ π
m+n
360º
S= = 51, 43º
AQ 1 n 1 m 7
 = ⇒ = →R=
AP R m R n
AQ AB n m+n EJERCICIO 9
 = ⇒ =
AP AQ m n Datos
 n2 = m2 + mn  S − B = C − A = 15º
n2 − mn − m2 = 0  S = 180º − β
 Calcule la medida del ángulo “C”
 Fórmula general
ax 2 + bx + c = 0 Resolución
a = 1 ∧ b = −m ∧ c = −m2 B

−(−m) ± (−m)2 − 4(1)(−m2 )

 n= β
2(1)
2n = m + m 5
α θ
2n = m(1 + 5)
A C
2
m
= ⇒ Racionalizar
1+ 5 n  ∑ int = 180º = α + β + θ
2( 5 − 1) 2( 5 − 1) 5 −1 m
= = =  S = 180º −β
( 5 + 1)( 5 − 1) 5 −1 2 n

07 ipluton.com/pucp
EJERCICIOS TIPO ADMISIÓN PUCP Segmentos, ángulos y triángulos I GEOMETRÍA

 S − B = 15º EJERCICIO 11
180º −β − β = 15º Datos
165º  mmayor = 2mmenor
β=
2  Calcular la diferencia de las medidas
β = 82,5º de los ángulos medios

 180º = α + θ = 82,5º Resolución

97,5º = α + θ
15º = θ − α
112,5º = 2θ α + 2R
56º15 ' = θ α+R
α + 3R α

 α + 3R + α + 2R + α + R + α = 180º
EJERCICIO 10
4 α + 6R = 180º
Datos 2α + 3R = 90º
5π
 α+θ=
4  α + 3R = 2α → dato
 α − θ = 75º 3R = α
 Calcule S(α)
 Reemplazamos
Resolución 2α + 3R = 90º
 Cambiar radiantes a sexagesimales. 2(3R) + 3R = 90º
R = 10º
S R S 5π
= ⇒ = α = 30º
180 π 180º 4π
45º

S = 225º  α + 2R = 30º +2(10º ) = 50º

α + θ = 225º  α + R = 30º +10º = 40º

α − θ = 75º
∴ 50º −40º = 10º
2α = 300º
α = 150º

 S(150º) = 180º −150º = 30º

08 ipluton.com/pucp
EJERCICIOS TIPO ADMISIÓN PUCP Segmentos, ángulos y triángulos I GEOMETRÍA

EJERCICIO 12 EJERCICIO 13
Datos Datos
x+y+z  Calcule “x”

m+n
Resolución
Resolución
80º

y 3α 3β
m
x α β
x
a

 ∑ int = 180º
a α + β + x = 180º
n z
 Teorema del cuadrilátero convexo
x + 80º = 3α + 3β
 Teorema x + 80º
x +y = m+a = α+β
3
 ∑ 2int = ext  Reemplazo
a+ z = n⇒ a = n−z α + β + x = 180º
x + 80º
 Reemplazar + x = 180º
x +y = m+n−z 3
x +y+ z = m+n x + 80º +3 x = 540º
4 x = 460º
x+y+z x+y+z x = 115º
∴ = =1
m+n x+y+z

09 ipluton.com/pucp
EJERCICIOS TIPO ADMISIÓN PUCP Segmentos, ángulos y triángulos I GEOMETRÍA

EJERCICIO 14 EJERCICIO 15
Datos Resolución
 AC = 5, AD = 2AB, BC = 3CD
 Hallar AD. a b
L1
Resolución c d

2n
n 3a a
e f
L2
A B C D g h
5

 AD = 2AB ⇒ AB = a ∧ AD = 2a I. ma + mf = 180º (V)

ma = me ∧ me + mf = 180º
 BC = 3CD ⇒ CD = a ∧ BC = 3a ma + mf = 180º

 5 = n + 3a II. ma = mh (V)

ma = me ∧ me = mh
 2n = n + 4a ma = mh
n = 4a
III. mb + mh = 180º (V)
 Reemplazo mb = mf ∧ mf + mh = 180º
5 = 4 a + 3a mb + mh = 180º
5
=a
7 Todas

5 40
 AD = 5 + a = 5 + =
7 7

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GEOMETRÍA Y MEDIDA
SEGMENTOS,
ÁNGULOS Y
TRIÁNGULOS II
Los conceptos a estudiar en este tema son los siguientes:

- Segmentos
- Ángulos entre rectas paralelas
- Triángulos

PUCP 01
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EJERCICIOS TIPO ADMISIÓN PUCP Segmentos, ángulos y triángulos II GEOMETRÍA

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIO 1 EJERCICIO 3
En la figura, halle x. Los puntos consecutivos A, B, C y D es-
AB BC CD
tán sobre una recta. Si = =
x 4 3 2
y la distancia entre los puntos medios de
88º AB y BC mide 28 cm; halle AD.
80º A) 48 cm
β B) 56 cm
α
α β C) 68 cm
D) 72 cm

A) 44º
B) 78º
C) 80º
D) 84º

EJERCICIO 2 EJERCICIO 4
 
En la figura, halle el ángulo x. En la figura, halle x si L 1 // L 2 .
B L1 L2

α α
M
x

x 74º 52º θ
2θ
A H P C
A) 9º x
B) 10º
C) 11º A) 140º
D) 15º B) 150º
C) 135º
D) 120º

CLAVES
1D - 2C - 3B - 4D

01 ipluton.com/pucp
EJERCICIOS TIPO ADMISIÓN PUCP Segmentos, ángulos y triángulos II GEOMETRÍA

EJERCICIO 5 EJERCICIO 7
Halle x en la figura mostrada. Según el gráfico, calcule x.
B

40º 80º θ

x C 70º
θ
20º
100º
D
A α
A) 20º 120º
B) 40º x
C) 50º α
D) 30º A) 40º
B) 50º
C) 60º
D) 70º

EJERCICIO 6 EJERCICIO 8
 
Las medianas AM y CN de un triángulo En la figura L 1 // L 2 . Halle el valor de x,
ABC miden 21 cm y 3 cm, respectiva- si a + b = 220º.
mente. Calcule el mayor valor entero
L1
que puede tomar AC. 170º − x
A) 16 cm
B) 15 cm a
C) 14 cm
D) 17 cm b
160º − x
L2

A) 15º
B) 20º
C) 10º
D) 5º

CLAVES
5C - 6B - 7B - 8A

02 ipluton.com/pucp
EJERCICIOS TIPO ADMISIÓN PUCP Segmentos, ángulos y triángulos II GEOMETRÍA

EJERCICIO 9 EJERCICIO 10
 
Dadas las rectas paralelas L 1 // L 2 , indi- Si las medidas de los ángulos internos de
que si las siguientes afirmaciones son un triángulo forman una progresión
verdaderas (V) o falsas (F), respectiva- aritmética, calcule la medida del mayor
mente. ángulo determinado por la intersección
b de las bisectrices del menor y mayor
a ángulo interno.
L1
A) 90º
x B) 135º
C) 120º
m
D) 150º
p L2

I. a + p = x
II. x + b − p = 180º
III. m + b + x = 360º
A) VFV
B) VFF
C) VVV
D) FVV

CLAVES
9A - 10C

03 ipluton.com/pucp
EJERCICIOS TIPO ADMISIÓN PUCP Segmentos, ángulos y triángulos II GEOMETRÍA

SOLUCIONARIO

EJERCICIO 1  B
Datos
27º
 Halle “x”

Resolución

79º 52º
x

88º  AMP → 90º + x + 79º = 180º

x = 11º
80º
α β
α β EJERCICIO 3
Datos
AB BC CD
Teorema  = =
4 3 2
88º +80º 168º  Calcule AD
x= = = 84º
2 2
Resolución

EJERCICIO 2 28
Datos
 Calcule “x” A M B N C D

Resolución 4k 3k 2k

B  AB = 4k
AB BC CD 
 = = = k → BC = 3k
α α 4 3 2 CD = 2k

M
 Si AC = 7k, “M” y “N”
x 74º 79º 52º puntos medios
A H P C 7k
= 28
2
 HBC (∑ int = 180º ) k=8
74º +52º +2α = 180º
2α = 54º  AD = 4 k + 3k + 2k = 9k
α = 27º = 9(8) = 56

04 ipluton.com/pucp
EJERCICIOS TIPO ADMISIÓN PUCP Segmentos, ángulos y triángulos II GEOMETRÍA

EJERCICIO 4 EJERCICIO 5
Datos Datos
 Hallar “x”  Halle “x”

Resolución Resolución
B
L1 L2
40º 80º

x 80º C

x 30º
20º
100º
θ 40º 30º
2θ D
A
x
 Completar ángulos

   ABD ∧  BCD: isósceles

x   ACD: isósceles
180º − x mACD = mCAD = 30º
θ
 x
30º
20º x = 30º +20º = 50º
θ + 180º − x = 90º
θ + 90º = x
θ = x − 90º

2θ 2θ
x

x + 2θ = 180º

 Reemplazar
x + 2( x − 90º ) = 180º
3 x = 360º
x = 120º

05 ipluton.com/pucp
EJERCICIOS TIPO ADMISIÓN PUCP Segmentos, ángulos y triángulos II GEOMETRÍA

EJERCICIO 6 EJERCICIO 7
Datos Datos
 AM y CN medianas  Calcular “x”
 Calcule mayor valor entero de AC.
Resolución
Resolución B

B
θ 70º − θ

70º
θ
N
N M M
1 G 7
P

14 2 α

120º Q
A x C º −α
60 α x
A C
 Baricentro
AM = 21 → AG = 14 ∧ GM = 7
CN = 3 → CG = 2 ∧ GN = 1  ∑ 2int = ext ( BNM) 
θ + mMBN = 70º
 Existencia triangular mMBN = 70º −θ
14 − 2 < x < 14 + 2
12 < x < 16 
 ∑ int = 180º ( APQ)
x = 15 mPAQ + 120º +α = 180º
mPAQ = 60º −α


 ∑ int = 180º ( ABC)
θ + 70º − θ + 60º − α + α + x = 180º
130º + x = 180º
x = 50º

06 ipluton.com/pucp
EJERCICIOS TIPO ADMISIÓN PUCP Segmentos, ángulos y triángulos II GEOMETRÍA

EJERCICIO 8 I. a + p = x (V)
Datos a
 a + b = 220º a L1
 Calcular “x”
x
Resolución p
p L2
10º + x
D L1 x = a+b
170º − x
180º − a
C II. x + b − p = 180º (F)
a
b
180º − b L1
180º − b
b
B x x
160º − x
20º + x p
L2 L2
A p

 Prolongar AB y BC 180º −b + x = p
180º = b + p − x
 Completamos por par lineal
III. m + b + x = 360º (V)
 Teorema b
20º + x + 180º −b + 180º − a + 10º + x = 180º L1
180º − b
2 x + 210º = a + b
2 x + 210º = 240º x x
2 x = 30º m 180º − m
x = 15º L2

EJERCICIO 9 180º −b + 180º −m = x

Datos 360º = m + b + x
 Colocar (V) o (F)
∴ VFV
Resolución

a b
L1

x
m
p L2

07 ipluton.com/pucp
EJERCICIOS TIPO ADMISIÓN PUCP Segmentos, ángulos y triángulos II GEOMETRÍA

EJERCICIO 10
Datos
 Ángulos internos en progresión arit-
mética
 Calcule el mayor ángulo determinado
por la intersección de las bisectrices
del menor y mayor ángulo interior

Resolución
 Progresión aritmética

α+R α−R

 ∑ int = 180º
α + α + R + α − R = 180º
α = 60º


60º

θ
x

Teorema
60º
x = 90º +
2
x = 120º

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