UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CLAVE-118-4-M-2-00-2019-S-A

CURSO: Matemática Aplicada 1

SEMESTRE: Segundo

CÓDIGO DEL CURSO: 118

TIPO DE EXAMEN: Examen Final

FECHA DE EXAMEN: 19 de noviembre del 2019

RESOLVIÓ EL EXAMEN: Andrés Fernando Divas Cojti

DIGITALIZÓ EL EXAMEN: Andrés Fernando Divas Cojti

COORDINADOR: Ing. José Alfredo González Díaz

INSTRUCCIONES: Escriba o Marque la Respuesta Correcta (según sea el caso) a cada uno
de los planteamientos siguientes, en las series 1, 2 y 3 (NAC significa Ninguna de las
Anteriores es correcta).

TEMA 1 (28 pts, 7 pts c/u):

1.1 Que teorema se le pueden aplicar a la siguiente transformada L{𝑒 𝑡 𝑓(𝑡)} sabiendo que “n” es un
número natural.

a) 1er. Teorema de b) Derivada de una c) Teorema de d) a y b son e)

traslación trasformada Convolución correctas NAC

1.2 Calcular L {𝑒 −𝑡 ∫0𝑡 𝑒 2𝜏 𝑔(𝜏) 𝑑𝜏}

𝑮(𝒔−𝟏) 𝑮(𝒔−𝟑) 𝑮(𝒔−𝟐) d) NAC

a) b) c)
𝒔+𝟏 𝒔−𝟏 𝒔(𝒔−𝟏)

4
1.3 La Transformada Inversa de Laplace de la función 𝐹(𝑠) = 𝑠2−4𝑠 es:

a) 𝑓(𝑡) = 1 − 𝑒 4𝑡 b) 𝑓 (𝑡) = 1 − 𝑒 −4𝑡 c) 𝑓 (𝑡) = 2 sinh(2𝑡) d) 𝑓 (𝑡) = 𝑒 4𝑡 − 1 e) NAC

−2𝑡−𝑡)2
1.4 La transformada de Laplace de 𝑓 (𝑡 ) = (𝑒 𝑒𝑡
es:

a) 𝐹 (𝑠) = (𝑠+3)
1 1 2
2 + 𝑠+5+(𝑠+1)3 b) 𝐹 (𝑠) = 𝑠+5
1
+
2
(𝑠+1)3
c) 𝐹 (𝑠) = 2
(𝑠+3)2
1
+ 𝑠+5 +
2
(𝑠+1)3
d) NAC

4 −14 0
TEMA 2. (25 pts, 5 pts c/u) Se sabe que para el sistema lineal homogéneo 𝑋 ′ = (10 20 8) , uno
𝑎 10 4
de sus valores propios es 10.

2.1. ¿Cuál es el valor de la constante “a” que cumple con la indicación?

a) 0 b) 2 c) -1 d) NAC

2.2. Cual es el conjunto de valores propios del sistema:

a) 𝜆 = 4 , 10 , 14 b) 𝜆 = 10 , 4 ± 2𝑖 c) 𝜆 = 10 , 0 , 0 d) NAC

2.3. El vector propio que le corresponde a 𝜆 = 10 es:

 a) 𝐾
̅ = (−7 , 3 , 5 )𝑡 b) 𝐾
̅ = (−4 , 0 , 5)𝑡 c) 𝐾
̅ = (7 , 3 , 1 − 2𝑖)𝑡 d) NAC

2.4. Escriba la solución general del sistema:

2.5 Para un sistema se sabe que los valores y vectores propios son 𝐾
̅𝜆=2 = ( 3 , 1 , 2 )𝑡 , 𝐾
̅𝜆=1+𝑖 =
( 1 , 2 − 𝑖 , 3 )𝑡 , Escriba en el siguiente espacio la solución general de dicho sistema:

TEMA 3. 20 pts. (5 pts c/u): Una masa que pesa 80 libras alarga un resorte 2 pies, llegando a la posición
de equilibrio. La masa se libera al inicio desde el reposo de un punto 12 pulgadas arriba de la posición de
equilibrio dentro de un medio proporciona una fuerza de amortiguamiento equivalente a 20 veces la velocidad
instantanea, Determinar lo siguiente:

3.1. Cuál es la constante “k” del resorte

a) 𝑘 = 40 𝑛𝑡⁄𝑚𝑡 b) 𝑘 = 40 𝑙𝑏⁄𝑝𝑖𝑒 c) 𝑘 = 20 𝑙𝑏⁄𝑝𝑖𝑒 d) NAC

3.2. Cuál es el valor de la masa en Slugs:

a) 𝑚 = 80 b) 𝑚 = 8.16 c) 𝑚 = 5 d) NAC

3.3. Cual de las siguientes ecuaciones es equivalente a la ecuación del sistema después haber sido
transformada y aplicadas condiciones iniciales.:

a) 𝑠 2 𝑋(𝑠) + 8 𝑠 𝑋(𝑠) − 16𝑋(𝑠) = −1 b) 𝑠 2 𝑋(𝑠) + 8 𝑠 𝑋(𝑠) + 16𝑋(𝑠) = 1 c) 𝑠 2 𝑋(𝑠) + 8 𝑠 𝑋(𝑠) + 16𝑋(𝑠) = −1 d) NAC

3.4. Cuál es la posición (en pulgadas) de la masa en el instante t=1 segundos:

a) −0.175 b) −0.2198 c) 0.1523 d) NAC

TEMA 4. (12 pts, 4 c/u): f(t)
Para la Función Periódica mostrada en la gráfica indique 1: Período de la función, 2

2. Función 𝑓(𝑡) sobre el primer período 3. La transformada de Laplace de la Función. 1 2 3 4 5 6 t

1:___________________ 2:_______________________________

3:______________________________________________________

Tema 5 (15 pts):

Para la ecuación diferencial (𝑥 2 − 1)𝑦 ′′ + 2𝑥𝑦 ′ = 0 determine 2 soluciones linealmente independientes

en forma de series en torno al punto singular 𝑥0 = 0, DEJANDO CONSTANCIA DE TODO SU
PROCEDIMIENTO EN EL ESPACIO A CONTINUACIÓN.
 SOLUCIÓN DEL EXAMEN

TEMA 1 (28 pts, 7 pts c/u):

1.1 Que teorema se le pueden aplicar a la siguiente transformada L{𝑒 𝑡 𝑓(𝑡)} sabiendo que “n” es un
número natural.

a) 1er. Teorema de b) Derivada de una c) Teorema de d) a y b son e)

traslación trasformada Convolución correctas NAC

1.2 Calcular L {𝑒 −𝑡 ∫0𝑡 𝑒 2𝜏 𝑔(𝜏) 𝑑𝜏}

𝑮(𝒔−𝟏) 𝑮(𝒔−𝟑) 𝑮(𝒔−𝟐) d) NAC

a) b) c)
𝒔+𝟏 𝒔−𝟏 𝒔(𝒔−𝟏)

No. Explicación Operatoria

Aquí es aplicación de concepto, aplicamos L {𝑒 −𝑡 ∫0𝑡 𝑒 2𝜏 𝑔(𝜏) 𝑑𝜏} = 𝐺(𝑠−1)
𝑠+1
1. la definición de convolución y el primer
teorema de traslacion y obtenemos de forma
directa la solicion:

4
+1.3 La Transformada Inversa de Laplace de la función 𝐹(𝑠) = 𝑠2−4𝑠 es:

a) 𝑓(𝑡) = 1 − 𝑒 4𝑡 b) 𝑓 (𝑡) = 1 − 𝑒 −4𝑡 c) 𝑓 (𝑡) = 2 sinh(2𝑡) d) 𝑓 (𝑡) = 𝑒 4𝑡 − 1 e) NAC

No. Explicación Operatoria

Primero aplicamos factor común a nuestra 4
𝐹 (𝑠 ) =
1. expresión en el denominador: 𝑠(𝑠 − 4)

2. Aplicando Fracciones parciales obtenemos 1 1

𝐹 (𝑠 ) = −
que: 𝑠−4 𝑠

3. Ahora aplicamos la transformada de 𝑓 (𝑡) = 𝑒 −4𝑡 − 1

Laplace y obtenemos la siguiente función:
 −2𝑡 −𝑡)2
1.4 La transformada de Laplace de 𝑓(𝑡 ) = (𝑒 𝑒𝑡
es:

a) 𝐹 (𝑠) = (𝑠+3)
1 1 2
2 + 𝑠+5+(𝑠+1)3 b) 𝐹 (𝑠) = 𝑠+5
1
+
2
(𝑠+1)3
c) 𝐹 (𝑠) = 2
(𝑠+3)2
1
+ 𝑠+5 +
2
(𝑠+1)3
d) NAC

No. Explicación Operatoria

Primero aplicamos factor común a nuestra (𝑒 −2𝑡 − 𝑡)2
1. expresión en el denominador: 𝑓 (𝑡 ) =
𝑒𝑡

2. Ahora desarrollamos el cuadrado: 𝑒 −4𝑡 − 2𝑒 −2𝑡 + 𝑡 2

𝑓 (𝑡 ) =
𝑒𝑡

3. Ahora desarrollamos la división: 𝑓(𝑡) = 𝑒 −5𝑡 − 2𝑒 −3𝑡 + 𝑡 2 𝑒 −𝑡

4. Ahora por medio de Voyage obtenemos el 1 2 2

𝐹 (𝑠 ) = − +
resultado: 𝑠 − 3 (𝑠 + 3)2 (𝑠 + 3)3
 4 −14 0
TEMA 2. (25 pts, 5 pts c/u) Se sabe que para el sistema lineal homogéneo 𝑋 ′ = (10 20 8) , uno
𝑎 10 4
de sus valores propios es 10.

2.1. ¿Cuál es el valor de la constante “a” que cumple con la indicación?

a) 0 b) 2 c) -1 d) NAC

No. Explicación Operatoria

Primero sacamos los valores propios, pero 4−𝜆 −14 0
𝑋 ′ = ( 10 20 − 𝜆 8 )
1. en este caso ya nos dan el valor de un varlo
𝑎 10 4−𝜆
propio el cual es 10:

2. Ahora nuestra matriz queda de la siguiente 4 − 10 −14 0

( 10 20 − 10 8 )=0
manera igualada a 0.
𝑎 10 4 − 10

−6 −14 0
( 10 10 8 ) =0
𝑎 10 −6

3. Sacamos su determinante y hallamos el −6[(10 ∗ −6) − (10 ∗ 8)] + 14[(10 ∗ −6) − (8𝑎)] = 0

valor de a-

4. El valor de a queda: 𝑎=0

 2.2. Cual es el conjunto de valores propios del sistema:

a) 𝜆 = 4 , 10 , 14 b) 𝜆 = 10 , 4 ± 2𝑖 c) 𝜆 = 10 , 0 , 0 d) NAC

No. Explicación Operatoria

Primero sacamos los valores propios, pero 4−𝜆 −14 0
( 10 20 − 𝜆 8 )
1. en este caso ya nos dan el valor de un varlo
𝑎 10 4−𝜆
propio el cual es 10:
−8[10(4 − 𝜆) + 14𝑎] + (4 − 𝜆)[(4 − 𝜆)(20 − 𝜆) + 140] = 0
2. Aplicando determinante tenemos que:

3. Factor común: (4 − 𝜆)(−80 + 220 − 24𝜆 + 𝜆2 ) = 0

4. Valores propios obtenemos: 𝜆=4

𝜆 = 14
𝜆 = 10

2.3. El vector propio que le corresponde a 𝜆 = 10 es:

a) 𝐾
̅ = (−7 , 3 , 5 )𝑡 b) 𝐾
̅ = (−4 , 0 , 5)𝑡 c) 𝐾
̅ = (7 , 3 , 1 − 2𝑖)𝑡 d) NAC

No. Explicación Operatoria

Por medio de programa de Voyage o −6𝑘1 −14𝑘2 0𝑘3
1. GeoGebra podremos obtener la ( 10𝑘1 10𝑘2 8𝑘3 )=0
0𝑘1 10𝑘2 −6𝑘3
solución de nuestros valores propios,
para lambda = 10
2. Solucion
 2.4. Escriba la solución general del sistema:

No. Explicación Operatoria

Para lambda = 4 0𝑘1 −14𝑘2 0𝑘3
1. (10𝑘1 16𝑘2 8𝑘3 ) = 0
0𝑘1 10𝑘2 0𝑘3

2. Solucion

3. Para lambda = 14 −10𝑘1 −14𝑘2 0𝑘3

( 10𝑘1 4𝑘2 8𝑘3 ) = 0
0𝑘1 10𝑘2 −10𝑘3

4. Solucion

5. La solución general es:

−𝟕 −𝟒
𝒙(𝒕) = 𝒄𝟎 ( 𝟑 ) 𝒆𝟏𝟎𝒕 + 𝒄𝟏 ( 𝟎 ) 𝒆𝟒𝒕
𝟓 𝟓

2.5 Para un sistema se sabe que los valores y vectores propios son 𝐾
̅𝜆=2 = ( 3 , 1 , 2 )𝑡 , 𝐾
̅𝜆=1+𝑖 =
( 1 , 2 − 𝑖 , 3 )𝑡 , Escriba en el siguiente espacio la solución general de dicho sistema:

𝟑 𝟏
𝒙(𝒕) = 𝒄𝟎 (𝟏) 𝒆𝟐𝒕 + 𝒄𝟏 (𝟐 − 𝒊) 𝒆(𝟏+𝒊)𝒕
𝟐 𝟑

TEMA 3. 20 pts. (5 pts c/u): Una masa que pesa 80 libras alarga un resorte 2 pies, llegando a la posición
de equilibrio. La masa se libera al inicio desde el reposo de un punto 12 pulgadas arriba de la posición de
equilibrio dentro de un medio proporciona una fuerza de amortiguamiento equivalente a 20 veces la velocidad
instantánea, Determinar lo siguiente:

3.1. Cuál es la constante “k” del resorte

 a) 𝑘 = 40 𝑛𝑡⁄𝑚𝑡 b) 𝑘 = 40 𝑙𝑏⁄𝑝𝑖𝑒 c) 𝑘 = 20 𝑙𝑏⁄𝑝𝑖𝑒 d) NAC

3.2. Cuál es el valor de la masa en Slugs:

a) 𝑚 = 80 b) 𝑚 = 8.16 c) 𝑚 = 5 d) NAC

3.3. Cual de las siguientes ecuaciones es equivalente a la ecuación del sistema despues haber sido
transformada y aplicadas condiciones iniciales.:

a) 𝑠 2 𝑋(𝑠) + 8 𝑠 𝑋(𝑠) − 16𝑋(𝑠) = −1 b) 𝑠 2 𝑋(𝑠) + 8 𝑠 𝑋(𝑠) + 16𝑋(𝑠) = 1 c) 𝑠 2 𝑋(𝑠) + 8 𝑠 𝑋(𝑠) + 16𝑋(𝑠) = −1 d) NAC

3.4. Cuál es la posición (en pulgadas) de la masa en el instante t=1 segundos:

a) −0.175 b) −0.2198 c) 0.1523 d) NAC

No. Explicación Operatoria

1. Primero debemos sacar las condiciones

iniciales, si leemos detenidamente me indica
que al inicio se tiene el resorte con una X(0)=-1
velocidad 0 y una posición de 12 pulgadas X´(0)=0
arriba de su punto de equilibrio y sabemos
que un pie es igual a 12 pulgadas, entonces
obtenemos que:
También nos piden sacar la constante del
2. resorte y al tener la sumatoria de fuerzas 𝑊 = 𝐾𝑋
igualada a 0 (se iguala a 0 por la condición 𝑊
𝐾=
en equilibrio) se obtiene la siguiente 𝑋
ecuación.

Tenemos el peso de 80lb y la distancia que 80 𝑙𝑏

3. se estira el resorte y obtenemos nuestra 𝐾= = 40
2 𝑝𝑖𝑒
constante.

Ahora nos piden la masa en slug y sabemos

4. que 1lb=0.031081slug, en este caso solo 80*0.031081= 2.48648 slug
multiplicamos de la siguiente manera.

5. Ahora ingresamos la ecuación diferencial y 2.5𝑥´´ + 20𝑥 ′ + 40𝑥 = 0

nos queda: 2.5

𝑥´´ + 8𝑥 ′ + 16𝑥 = 0
6. Aplicamos la transformada de Laplace en la ℒ(𝑥´´ + 8𝑥 ′ + 16𝑥 = 0)
ecuación diferencial: ℒ(𝑥´´) = (𝑠 2 𝑥(𝑠) − 𝑠𝑥 (0) − 𝑥′(0)
ℒ (𝑥´) = 𝑠𝑥(𝑠) − 𝑥(0)
ℒ(𝑥 ) = 𝑥(𝑠)

7. Metiendo los datos de nuestra condición 𝑠 2 𝑥(𝑠) + 𝑠 + 8𝑠𝑥(𝑠) + 8 + 16𝑥 (𝑠) = 0

inicial obtenemos que:
8. Agrupando términos reescribimos la −8 − 𝑠
𝑥 (𝑠 ) =
ecuación y obtenemos lo siguiente: 𝑠2
+ 8𝑠 + 16
9 Por medio de una voyage obtenemos 𝑥 (𝑡) = −4𝑡𝑒 −4𝑡 − 𝑒 −4𝑡

10 Ahora nos piden la posición en el tiempo 1, 𝑥 (1) = −0.091 𝑝𝑖𝑒𝑠

y lo sustituimos en la ecuación de x(t) y el
resultado es el siguiente:

TEMA 4. (12 pts, 4 c/u): f(t)

Para la Función Periódica mostrada en la gráfica indique 1: Período de la función, 2

2. Función 𝑓(𝑡) sobre el primer período 3. La transformada de Laplace de la Función. 1 2 3 4 5 6 t

No. Explicación Operatoria

 Para hallar el período observamos la
1. gráfica y vemos que cada 2 unidades T=2.
se repite la misma función por ende
el periodo es:
Ahora obtenemos la función y esta es
2. una función por tramos:
2𝑡 0 ≤ 𝑡 ≤ 1
𝑓 (𝑡 ) = {
01 ≤ 𝑡 ≤2

𝑇
Ahora aplicamos la formula del 1
3. período: ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 ∗ 𝑓 (𝑡)𝑑𝑡
1 − 𝑒 −𝑇𝑠 0

Ahora sustituimos:
1 2
4. 1 −𝑠𝑡
[∫ 𝑒 ∗ 2𝑡𝑑𝑡 + ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 ∗ 2𝑡𝑑𝑡]
1 − 𝑒 −2𝑠 0 1

5. Utilizando calculadora Voyage. 1 2 2𝑒 −𝑠 2𝑒 −𝑠

[ − 2 − 2 ]
1 − 𝑒 −2𝑠 𝑠 2 𝑠 𝑠
Tema 5 (15 pts.):

Para la ecuación diferencial (𝑥 2 − 1)𝑦 ′′ + 2𝑥𝑦 ′ = 0 determine 2 soluciones linealmente independientes

en forma de series en torno al punto singular 𝑥0 = 0, DEJANDO CONSTANCIA DE TODO SU
PROCEDIMIENTO EN EL ESPACIO A CONTINUACIÓN.

1. Primero convertimos nuestras ecuaciones diferenciasl en la definición de las series:

∞ ∞
(𝑥 2 − 1) ∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝐶𝑛 𝑥 𝑛−2 + 2𝑥 ∑ 𝑛𝐶𝑛 𝑥 𝑛−1 = 0
𝑛=2 𝑛=2

2. Ahora trabajamos las series pasando todo a términos de n:

∞ ∞ ∞

∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝐶𝑛 𝑥𝑛 − ∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝐶𝑛 𝑥 𝑛−2 + ∑ 2𝑛𝐶𝑛 𝑥 𝑛 = 0

𝑛=2 𝑛=2 𝑛=2

3. Ahora trabajamos con la variable K.

∞ ∞ ∞

∑ 𝑘(𝑘 − 1)𝐶𝑘 𝑥𝑘 − ∑(𝑘 + 2)(𝑘 + 1)𝐶𝑘 𝑥𝑘 + ∑ 2𝑘𝐶𝑘 𝑥 𝑘 = 0

𝑘=2 𝑛=2 𝑛=2

4. Trabajamos las series:

∞
−2𝑐2 − 6𝑐3 𝑥 + 2𝑐1 𝑥 + ∑ [𝑘(𝑘 − 1)𝐶𝑘 − (𝑘 + 2)(𝑘 − 1)𝑐𝑘+2 + 2𝑘𝑐𝑘 ] 𝑥𝑘 =0
𝑘=2

5. Realizamos un cuadro y le damos valores a la variable K y obtener los valores de nuestras

constantes y ver como tiende la serie:

1
−2𝐶2 = 0 →→ 𝐶2 = 0 −6𝐶3 + 2𝐶1 = 0 →→ 𝐶3 = 3 𝐶1
K 𝐾
𝐶𝐾+2 = 𝐶
𝐾+2 𝐾

2 2 𝐶4 = 0
𝐶4 = 𝐶2
4

3 3 1
𝐶5 = 𝐶3 𝐶4 = 𝐶
5 5 1

4 4 𝐶6 = 0
𝐶6 = 𝐶4
6

5 5 1
𝐶7 = 𝐶5 𝐶7 = 𝐶
7 7 1

1 1 1
𝑌 = 𝐶0 𝑋 + 𝐶1 𝑋 + 0 + 𝐶3 𝑋3 + 0 𝐶5 𝑋5 + 𝐶7 𝑋7 … … …
3 5 7

𝑌1 = 𝐶0
6. Ahora vemos como tiende la serie y obtenemos nuestro resultado.
∞
1 3
1 5
1 7
𝑋2𝑛−1
𝑌2 = 𝐶1 𝑋 + 𝐶3 𝑋 + 𝐶5 𝑋 + 𝐶7 𝑋 + ⋯ … . = ∑
3 5 7 2𝑛 − 1
𝑛=1