EE354 - Clase 10P1 - Despacho Económico Con Pérdidas de Transmisión 2021-III

Universidad Nacional de Ingeniería
Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica
Escuela Profesional de Ingeniería Eléctrica
Curso: EE354N
Análisis de Sistemas de Potencia II
Expositor : Manfred F. Bedriñana Aronés

Doctor en Ingeniería Eléctrica
Ingeniero Electricista C.I.P. Nº 95644
2022
Escuela Profesional de Ingeniería Eléctrica, FIEE-UNI
Curso EE354 – Análisis de Sistemas de Potencia II
Capítulo 3
Operación Económica de
Sistemas de Potencia
26/02/2022 manfred.bedrinana@ieee.org 2
Despacho Económico
con Pérdidas de Transmisión
A. Introducción (1)
◼ En grandes sistemas interconectados, cuando la potencia es transmitida a
grandes distancias desde los generadores hacia las áreas de carga:
◼ Las pérdidas en las líneas son relevantes (no pueden ser despreciadas).
◼ Las pérdidas afectan el despacho óptimo de generación.
dC3
($ / MWh) dC1 dC2
dP3 ($ / MWh) ($ / MWh)
dP1 dP2
C
Línea A
P
 ($ / MWh)
Por ejemplo, a pesar de que la unidad 3 es la más barata (costo incremental menor)
respecto a las otras unidades, las pérdidas en la línea A pueden ser tan altas que el
despacho económico podría realizarse con mayor participación de las unidades 1 y 2.
◼ En la práctica, es común incluir el efecto de las pérdidas de transmisión en el
despacho económico.
◼ Para esto se expresan las pérdidas de potencia de la red de transmisión como
una función cuadrática de las potencias de generación.
◼ Una forma común de representar las pérdidas es mediante la siguiente

expresión cuadrática:
donde Bij es denominado “coeficiente de pérdidas”.
◼ Los coeficientes de pérdidas Bij se suponen constantes.

◼ Se espera una precisión razonable de la solución de despacho económico cuando
las condiciones de operación de las soluciones estén próximas a las condiciones
de operación del caso base usado para el cálculo de los coeficientes.
◼ Una forma más genérica de la expresión de las pérdidas se obtiene de la
fórmula de pérdidas de Kron:
Términos Términos Término

cuadráticos lineales constante
◼ Esta expresión contiene un término lineal B0i y un término constante B00.
◼ Existen varios métodos para obtener los coeficientes de pérdidas.

◼ Un método para obtener los coeficientes de pérdidas es a partir del desarrollado
por Kron e implementado por Kirchmayer.
B. Formulación del despacho económico con pérdidas (1)

◼ El problema de despacho económico es minimizar los costos de generación,
los cuales están en función de las potencias de generación.
◼ Restricciones
◼ La generación total es igual a la demanda total más las pérdidas de transmisión
(restricción de igualdad).
◼ La potencia de generación de cada unidad se encuentra dentro de sus límites

mínimos y máximos (restricciones de desigualdad).

◼ La función de Lagrange, que incluye los multiplicadores asociados a la
restricción de igualdad λ y restricciones de desigualdad μi, será:
◼ Si ninguna de las restricciones de desigualdad es transgredida, los valores de

μi son cero. El mínimo de la función asumiendo que la generación está
dentro de sus límites puede ser obtenido como:

◼ De la primera condición de optimalidad se tiene:
◼ Como entonces:
◼ La condición para el despacho económico será:
𝑑𝑃𝐿
donde el término se denomina pérdidas incrementales de transmisión.
𝑑𝑃𝑖
◼ De la segunda condición de optimalidad se tiene:
que viene a ser la misma restricción de igualdad.

◼ Reordenando los costos incrementales y el multiplicador λ se tiene:
Término que multiplica
al costo incremental
◼ También:
donde Li se denomina “factor de penalidad de la unidad i”:
Notas
◼ El efecto de las pérdidas de transmisión se introduce mediante el factor de
penalidad que depende de la localización de la unidad.
◼ Las pérdidas incrementales de transmisión pueden ser positivas o negativas,
por lo que los factores de penalidad pueden ser mayores o menores a uno,
respectivamente.
◼ Los costos mínimos se obtienen cuando el producto del costo incremental de
cada unidad por el factor de penalidad es el mismo para todas las unidades.

Factores de penalidad
◼ Los factores de penalidad fueron estudiados por Fernando Alvarado en el
siguiente artículo del IEEE:
F. Alvarado, “Penalty factors from Newton´s method”, IEEE Trans. Power
Apparatus and Systems, PAS-97, No.6, p.2031-2040, 1978.

Ejemplo: Dos generadores y una línea de transmisión
◼ Se tiene el siguiente sistema de potencia de dos generadores y una línea
de transmisión.
◼ Las pérdidas en la línea de transmisión son proporcionales al cuadrado del
flujo de potencia activa.
◼ Las unidades de generación son idénticas y el costo de producción se modela
mediante la siguiente ecuación cuadrática:

◼ Solución de despacho económico
Se resuelve mediante el método de Lagrange.
Entonces:
Despacho económico:

◼ Solución de pérdidas mínimas
◼ Nótese que el despacho óptimo tiende a reducir las pérdidas desde la unidad
más cercana a la carga, y también resultó en un valor bajo de pérdidas.
◼ Tenga en cuenta que la mejor solución económica no se logra necesariamente
con pérdidas mínimas.
◼ La solución de pérdidas mínimas se obtiene al disminuir el despacho de la
unidad 1 e incrementar la unidad 2 lo más posible.
◼ Como resultado se tiene que la unidad 2 estará en el límite superior.
Pérdidas mínimas:
C. Resolución del despacho económico con pérdidas (1)
◼ Ahora se puede incorporar la fórmula de pérdidas de Kron para determinar

𝑑𝑃
las pérdidas incrementales 𝐿 :
𝑑𝑃𝑖
𝑑𝐶𝑖
◼ Reemplazando la expresión de los costos incrementales y las pérdidas
𝑑𝑃𝑖
𝑑𝑃𝐿
incrementales se tiene:
𝑑𝑃𝑖
◼ Ordenado la ecuación:

◼ Extendiendo la ecuación anterior a todas las unidades se puede obtener un
sistema de ecuaciones lineales en la forma matricial siguiente:
◼ Para obtener el despacho económico para un valor estimado de λ(k):

◼ Se resuelve el sistema lineal: EP = D, es decir, P = E-1 D.
◼ Entonces el proceso iterativo continúa usando el método del gradiente.

Método del gradiente
◼ La potencia Pi de la unidad i para la iteración k se expresa como:
◼ Reemplazando en la restricción de igualdad se tiene:
◼ La expresión del lado izquierdo se expande mediante las series de Taylor en

el punto de operación λ(k), despreciando los términos de mayor orden se tiene:
◼ La corrección de Δλ(k) se obtiene como:
donde:
◼ Por tanto, la siguiente estimación λ(k+1) será:
donde:
◼ El proceso continua hasta que ΔP(k) sea menor a una tolerancia especificada.

Fórmula de pérdidas aproximada
◼ Si se usa una fórmula de pérdidas aproximada como:
donde, Bij = 0, B00 = 0, y la solución del sistema lineal EP = D se reduce a la

siguiente expresión:
Ecuaciones de coordinación
considerando el efecto de las
pérdidas eléctricas
◼ También para calcular la corrección de Δλ(k) se tiene:
donde:

Ejemplo 1 – Despacho económico con pérdidas eléctricas
◼ Encontrar el despacho económico y el costo total en $/h.
◼ El costo de combustible de cada unidad se expresa asumiendo la potencia de
generación en MW:
donde cada unidad presenta los siguientes límites:
◼ La demanda total es 150 MW y las pérdidas eléctricas se expresan de forma

aproximada, en por unidad, para una base de 100 MVA como:
◼ Dado que la función de costos si tiene a Pi expresado en MW, se procede a

convertir la función de pérdidas en términos de Pi expresado en MW.
◼ Los valores por unidad a una potencia base de 100 MVA se incorporan en la
fórmula de pérdidas obteniendo lo siguiente:

Método del gradiente (iteración Lambda)
◼ La primera iteración con un valor inicial de λ(1) = 8.0, usando las ecuaciones
de coordinación, se tiene:
Ecuaciones de coordinación
◼ Las pérdidas eléctricas serán:
◼ Las correcciones de ΔPi serán:
◼ También:
◼ La corrección Δλ(1) será:
◼ Una nueva estimación λ(2) se obtiene como:

◼ Segunda iteración

◼ Tercera iteración

◼ Cuarta iteración
◼ Se obtiene un valor de ΔP(4) menor a una tolerancia ΔP(4) < ε, entonces se

encontró la solución del despacho económico.
◼ El costo de operación será:

Resolución con MATLAB
◼ Usar los programas en MATLAB dispatch.m y gencost.m para resolver el despacho
económico con y sin límites de generación, con y sin pérdidas (COMPARAR).
◼ Nota: Crear las siguientes matrices antes de ejecutar los programas:

▪ Pdt: carga total en MW
▪ cost: matriz cuyos elementos son los coeficientes de costos (cada fila es un generador y cada
columna es un tipo de coeficiente).
▪ mwlimits: matriz cuyos elementos son los limites de generación (cada fila es un generador y
cada columna es un límite: mínimo y máximo).
▪ B, B0, B00: matrices con los coeficientes de la fórmula de pérdidas.
▪ basemva: potencia base 100 MVA.

◼ ¿Por qué los costos incrementales de los generadores no son iguales al valor del
multiplicador λ? (pregunta en clase)
◼ En la solución del problema de despacho económico con límites de generación y
considerando las pérdidas de transmisión se tiene:
Programa dispatch.m
3. Solution
+ Incremental cost of delivered power (system lambda) = 7.678935 $/MWh
+ Optimal Dispatch of Generation: Pi
P1 = 35.091 MW
P2 = 64.132 MW
P3 = 52.477 MW
Programa gencost.m
2. Output
+ Total generation cost Ct = 1592.65 $/h
+ Incremental production cost: dCi/dPi
dC1/dP1 = 7.561 $/MWh
dC2/dP2 = 7.454 $/MWh
dC3/dP3 = 7.535 $/MWh

◼ ¿ Por qué los costos incrementales de los generadores no son iguales al
valor del multiplicador λ? (pregunta en clase)
◼ Las condiciones que deben ser cumplidas por toda solución de despacho
económico considerando las pérdidas de transmisión son equivalentes a incluir
los factores de penalidad Li siguientes:
◼ En este caso ningún costo incremental será igual a λ. Las condiciones anteriores
se aplican estrictamente a aquellos generadores que no transgreden los límites
de generación.
◼ Si existe transgresión de los límites de generación usar las condiciones de Kuhn-
Tucker, similar al caso sin pérdidas de transmisión.

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Expositor : Manfred F. Bedriñana Aronés

◼ Una forma común de representar las pérdidas es mediante la siguiente

donde Bij es denominado “coeficiente de pérdidas”.

◼ Los coeficientes de pérdidas Bij se suponen constantes.

Términos Términos Término

◼ Esta expresión contiene un término lineal B0i y un término constante B00.

◼ Existen varios métodos para obtener los coeficientes de pérdidas.

B. Formulación del despacho económico con pérdidas (1)

◼ La potencia de generación de cada unidad se encuentra dentro de sus límites

B. Formulación del despacho económico con pérdidas (2)

◼ Si ninguna de las restricciones de desigualdad es transgredida, los valores de

B. Formulación del despacho económico con pérdidas (3)

◼ La condición para el despacho económico será:

◼ De la segunda condición de optimalidad se tiene:

que viene a ser la misma restricción de igualdad.

B. Formulación del despacho económico con pérdidas (4)

donde Li se denomina “factor de penalidad de la unidad i”:

B. Formulación del despacho económico con pérdidas (5)

B. Formulación del despacho económico con pérdidas (6)

B. Formulación del despacho económico con pérdidas (7)

B. Formulación del despacho económico con pérdidas (8)

C. Resolución del despacho económico con pérdidas (1)

◼ Ahora se puede incorporar la fórmula de pérdidas de Kron para determinar

C. Resolución del despacho económico con pérdidas (2)

◼ Para obtener el despacho económico para un valor estimado de λ(k):

C. Resolución del despacho económico con pérdidas (3)

◼ Reemplazando en la restricción de igualdad se tiene:

◼ La expresión del lado izquierdo se expande mediante las series de Taylor en

C. Resolución del despacho económico con pérdidas (4)

◼ La corrección de Δλ(k) se obtiene como:

◼ Por tanto, la siguiente estimación λ(k+1) será:

C. Resolución del despacho económico con pérdidas (5)

donde, Bij = 0, B00 = 0, y la solución del sistema lineal EP = D se reduce a la

◼ También para calcular la corrección de Δλ(k) se tiene:

C. Resolución del despacho económico con pérdidas (6)

donde cada unidad presenta los siguientes límites:

◼ La demanda total es 150 MW y las pérdidas eléctricas se expresan de forma

C. Resolución del despacho económico con pérdidas (7)

◼ Dado que la función de costos si tiene a Pi expresado en MW, se procede a

C. Resolución del despacho económico con pérdidas (8)

◼ Las pérdidas eléctricas serán:

C. Resolución del despacho económico con pérdidas (9)

◼ Las correcciones de ΔPi serán:

◼ La corrección Δλ(1) será:

◼ Una nueva estimación λ(2) se obtiene como:

C. Resolución del despacho económico con pérdidas (9)

C. Resolución del despacho económico con pérdidas (10)

C. Resolución del despacho económico con pérdidas (11)

◼ Se obtiene un valor de ΔP(4) menor a una tolerancia ΔP(4) < ε, entonces se

C. Resolución del despacho económico con pérdidas (12)

◼ Nota: Crear las siguientes matrices antes de ejecutar los programas:

C. Resolución del despacho económico con pérdidas (13)

C. Resolución del despacho económico con pérdidas (14)

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