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    Facultad de Ingenier Ia Departamento de Matem Aticas, F Isica y Estad Istica

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    Maria Alejandra Albornoz Poveda
    Este documento presenta el programa de un taller de cálculo integral con 8 temas. Incluye ejercicios sobre sumas de Riemann, evaluación de integrales definidas utilizando sumas de Riemann, propiedades de integrales, gráficas de funciones integrandas y aplicaciones a problemas de física como velocidad y posición de un automóvil y trayectoria de una pelota lanzada hacia arriba.

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    Maria Alejandra Albornoz Poveda
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    Este documento presenta el programa de un taller de cálculo integral con 8 temas. Incluye ejercicios sobre sumas de Riemann, evaluación de integrales definidas utilizando sumas de Riemann, propiedades de integrales, gráficas de funciones integrandas y aplicaciones a problemas de física como velocidad y posición de un automóvil y trayectoria de una pelota lanzada hacia arriba.

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    Facultad de Ingenierı́a

    Departamento de Matemáticas, Fı́sica y Estadı́stica

    TALLER DE CÁLCULO INTEGRAL


    SEMANA 2
    TEMAS: Sumas de Riemann e Integral definida

    1. Encuentre la Suma de Riemann S


    n
    X
    S= f (x⋆i ) ∆x
    i=1

    con n = 4 y tomando a x∗i como

    i) x∗i = xi−1 ii) x∗i = xi xi−1 + xi


    iii) x∗i =
    2

    para las funciones f (x) en el intervalo indicado:


     2 ln x
    1 b) f (x) = , [1, e]
    a) f (x) = x − , [0, 2] x
    2

    2. Exprese el lı́mite de la Suma de Riemann como una integral definida


    n
    X tan(xi )
    a) lı́m ∆x [2, 4]
    n→∞
    i=1
    xi
    n
    X √
    b) lı́m (1 + 2 xi ) ∆x, [2, 3]
    n→∞
    i=1
    n
    X i4
    c) lı́m
    n→∞
    i=1
    n5

    3. Use la definición de la integral definida como el lı́mite de una suma de Riemann


    Z b n
    X
    f (x) dx = lı́m f (xi )∆x
    a n→∞
    i=1

    para evaluar las siguientes integrales.


    Programa de Cálculo Integral Página 2 de 3
    Z 2 Z 3 Z 1
    2
    a) (2 − x ) dx b) (3x + 2) dx c) (3x − x3 ) dx
    0 −1 0

    4. Suponga que f (x) y g(x) son integrables y que


    Z 9 Z 9 Z 9
    f (x)dx = −1 f (x)dx = 5, g(x)dx = 4
    1 7 7

    Determine:
    Z 9 Z 9
    a) −2f (x)dx c) (f (x) + g(x)) dx
    1 7
    Z 7 Z 9
    b) f (x)dx d) (2f (x) − 3g(x)) dx
    1 7

    5. Grafique los integrandos y use fórmulas de áreas conocidas para evaluar cada una de
    las siguientes integrales:
    Z 1 Z 1 √ 
    a) A = (2 − |x|) dx b) B = 2
    1 + 1 − x dx
    −1 −1

    6. Calcule Z 5
    A= f (x) dx
    0
    siendo √
    2
     4−x
     0≤x<2
    f (x) = 5 2<x<3

    4 − 2x 3<x≤5

    7. La velocidad de un automóvil (en pies por segundo) t segundos a partir del reposo está
    dado por la función √
    f (t) = 2 t
    Determine la posición del automóvil, s(t), en cualquier momento. Asuma que s(0) = 0.

    8. Una pelota se arroja hacia arriba con una velocidad inicial de 20 pies/s desde la cima
    de un acantilado, y golpea el fondo del acantilado 5 segundos después. Determine:

    a) La altura de la pelota, h(t), en cualquier instante.


    b) ¿Desde qué altura fue lanzada la pelota?

    la altura del acantilado.


    Programa de Cálculo Integral Página 3 de 3

    Respuestas
    1. a) I) 0.75, II) 1.125, III) 1.75
    b) I) 0.4061, II) 0.5073, III) 0.5641
    Z 4 Z 3 1
    √ 
    Z
    tan(x)
    x4 dx
    
    2. a) dx b) 1 + 2 x dx c)
    2 x 2 0

    4 b) 20 5
    3. a) c)
    3 4
    4. a) 2 b) −6 c) 9 d ) −2
    π
    5. a) A = 3 b) B = 2 + ≈ 3.5708
    2

    6. A = π − 3
    4√ 3
    7. s(t) = t
    3
    8. a) h(t) = −16t2 + 20t + 300 pies b) 300 pies

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