UBA XXI Modalidad virtual

Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales

Unidad 10. Vectores en ℜ2 y ℜ3

Temas del práctico.

Vectores en ℜ2 y en ℜ3. Vectores en el plano y en el espacio. Definición y
descripción geométrica. Operaciones: suma y producto por un escalar.
Componentes. Componentes de las operaciones. Vector unitario. Combinación
lineal de vectores. Bases canónicas de los espacios ℜ² y ℜ³. Producto escalar,
vectorial y mixto. Ángulo entre dos vectores. Planos y rectas en el espacio.
Posiciones relativas de rectas y planos.

Bibliografía obligatoria

 Material de apoyo de la cátedra

Bibliografía de consulta
 ALMAN, SILVIA et al. Vectores. Serie Libros Temáticos de Matemática. Ed.
Longseller, Bs. As. 2003
 GUZMAN, M. – COLERA, J. Matemática I. COU. Edit. Anaya, Barcelona,
1989

Practico 10. Vectores enℜ yℜ

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Primera parte. Vectores en ℜ2

1. Dado el vector AB construí:

a. Un vector de origen A de igual módulo y
distinta dirección
b. Un vector de origen C de la misma
dirección AB pero de distinto sentido y
módulo

c. Un vector equipolente a AB con origen

en E
d. Un vector con origen en D con igual
dirección y sentido que EC

2. Escribí las coordenadas cartesianas de los

vectores de la figura. .

3. Dados los puntos M = (1; 3), N = (3; 7), P = (5; 1) y Q= (2; 6)

a. Determiná si los siguientes vectores son equivalentes: MP y NQ ; MP y PQ

b. Dado A = (-1; 2), hallá B = (x; y) de modo que AB sea equivalente a MP .

4. a. Representá el vector z = (-4; 2). Dibujá y dá las coordenadas del origen y del extremo de tres
vectores cuyo vector canónico sea z.

b. Si v = (2; -3) es el representante del vector ST con origen en S = (1; 0), determiná las
coordenadas de T.

5. a. Calculá el módulo de los siguientes vectores:

a. 1. v = (-2; 5)
a. 2. MN si M = (-2; 0) y N = (3; 4)

b. Hallá los valores del número real m para que los siguientes vectores tengan el módulo dado:
b. 1) v = (m – 1; 3) y | v | = 5
b. 2) v = (– 2; m) y | v | = 4

6. Las componentes de un vector según el eje y y x valen 5 y –8 respectivamente. Determinar:

a. El módulo del vector
b. El ángulo que forma respecto al sentido positivo del eje x.

Practico 10. Vectores enℜ yℜ

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7. Dados los vectores a, b y c tales que |a|= 5, |b|=10 y |c| = 2, determinar las componentes x e y de cada
vector.
a. b.

c. d.

8. Las coordenadas cartesianas y polares de un vector son respectivamente


(2; y) y (| v |; 30º),

determiná | v | e y.
  
9. Dados los vectores a = ( 7; -3); b = (-1; 6) y c = (-4; -3)
a. Hallá:
 
a.1. a+b
 
a. 2. b − c
 
a. 3. 3 c − 4 a

b. Escribí las coordenadas de dos vectores paralelos a b

10. Un objeto que se encuentra en el punto de coordenadas A = (3; 2) se desplaza al punto B = (6; -4).
Representá el vector desplazamiento y calculen su módulo.

11. Dadas 4 fuerzas con el mismo punto de aplicación:


F1 = 6 horizontal y hacia la izquierda

F2 = 4 horizontal y hacia la derecha
 
F3 = 3 y F4 = 5 verticales y hacia abajo.

Dibújalas y encuentrá su resultante y la inclinación de su dirección.

12. Escriban el vector v = (3; 2) como composición lineal de:

a. w = (0; 1) y z = (-2; 1)
b. w = (-1; 0) y z = (-1; 1)

Practico 10. Vectores enℜ yℜ

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13. De los siguientes vectores ¿cuáles son perpendiculares y cuáles no?

 
a. v = ( −1; 3) w = (2; − 1)
 
b. v = i + 2 j w = − 2i − j

 
14. Dados los vectores u = (2; k ) y v = (3;−2) encontrá el número real k para que los vectores sean
perpendiculares.

15. Calculen:
 
a. El ángulo formado por los vectores u = (3; 4) y v = ( −2; 5)
 
b. El número real k para que los vectores u = (1; − 1) y v = (k; − 2) formen un ángulo de 45º
 
16. Dados los vectores u y v llamamos α al ángulo que forman entre ellos. ¿Qué valores puede tomar α
si:
 
a. u ⋅ v > 0 ?
 
b. u ⋅ v < 0 ?

17. Un nadador intenta cruzar un río cuyas aguas tienen una velocidad de 3km/h. Nada perpendicularmente
a la corriente con una velocidad de 4 km/h.
Calculá la velocidad resultante y el ángulo que forma con la costa.

18. Un auto viaja a una velocidad de 50km/h en dirección de 60º NO. Calculá las componentes de la
velocidad del automóvil en las direcciones Norte y Oeste.

19. Calculá el trabajo de una fuerza constante de 15 N cuyo punto de aplicación se mueve 10 metros, si el
ángulo entre las direcciones de la fuerza y el desplazamiento es de
a) 0º
b) 45º

20. Un cartel que pesa 35 Kg está sostenido por un

alambre fijo al extremo de una barra de madera de
peso despreciable, según se observa en la figura.
Determiná la tensión T y la fuerza C ejercida por la
barra.

Practico 10. Vectores enℜ yℜ

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Segunda parte. Vectores en ℜ3

 
21. Dados los vectores u = (5; 2;−1) y v = (1;− 2;− 5)
   
a. Calculá 5 u - v y u + v
b. Encontrá si es posible los números reales s y t tales que:
 
b.1. s u + t v = (1; 6; -1)
 
b.2. s u + t v = (-6; 0: 6)
22. Si e1; e2 y e3 son los versores elementales de ℜ3 calculá y representá:
a. (1; 2; -1) - e2 + e3
b. (2; 1; 0) – 2 e1 – e2 - (0; 1; 0)
   
23. Considerá el vector v = (1; 1; -1). Determiná los vectores u de ℜ3 que verifican u ⊥ v
24. Calculá la longitud de los siguientes vectores

a. u = (8; 4; 1)

b. v = (-2; 9; 6)

c. w = ( −1; − 1; 4)
 
25. Determiná la componente z del vector v = 4 i – 12 j + zk sabiendo que | v | = 13 .

26. Encontrá

a. El vector unitario en la dirección del vector v en los siguientes casos:
 
a.1. v = (-2; 9; 6) a. 2. v = (-1; 2; 0)
 
b. El ángulo comprendido entre los vectores u y v en cada uno de los siguientes casos
 
b.1. u = (1; 0; 1) y v = (1; 1; 0)
 
b. 2. u = (1; 1; 1) y v = (1; 0; 0)

c. Un vector paralelo a v = (-2; 9; 6)
 
27. Dado el vector v = (1; 2; 3) encontrar un vector w = (2,0,a) hallá a de modo que el coseno del angulo
comprendido por los vectores sea igual a 0,5976.

28. Calculá si es posible, los valores de a en los reales de modo que la longitud del vector v sea la dada.
 
a. v = (4; a+1; -3) y | v | = 13
 
b. v = (7; -1; a) y | v | = 5
 
29. Sean en ℜ3 los vectores u = (1; 0; -1), v = (2; 1; -2) . Encontrá:
  
a. Todos los z ∈ ℜ3 tal que v x z = 0
  
b. z ∈ ℜ3 tal que sea ortogonal a ( v x u )

30. a. Hallá el área del paralelogramo definido por los vectores AB = (2; − 2; − 3) y AC = (2; 0; 3)
b. Calcula el área del triángulo ABC tal que A = (1, 2, 1), B= (1, –1, 0) y C= (2, 1, 1)

Practico 10. Vectores enℜ yℜ

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 
31. Dados los vectores u = (2, –1, 1) y v = (3, m, –2):
 
a. Hallá m de forma que u y v sean perpendiculares.
 
b. Hallá m de forma que u y v sean paralelos.
 
c. Para m = 1, halla un vector unitario perpendicular a u y a v .
   
32. a. Encontrá un vector u tal que u = k. v (k ∈ℜ) y v = (1, –2, 3) que determine con el vector
 2
w = (–2, 4, –1) un paralelogramo de área 25 u .
b. Determiná el área del triángulo con vértices en A = (1, 1, 3), B = (2, −1, 5) y C = (−3, 3, 1).

 
33. a. Encontrá un vector unitario que sea perpendicular a v = (3; -1; 1) y w =(1; -2 0)
b. Considera en ℜ3 los vectores e1; e2 y e3. ¿Es cierto que (e1 x e2) x e3 = e1 x (e2 x e3)?
Explicá tu respuesta.
   
34. a. Dados los vectores a = (1, 2, –1) y b = (1, 3, 0), comprobá que el vector a x b es perpendicular
   
a a+ by a a- b
 
b. Comprobá que el paralelogramo determinado por los vectores a = (3, -2, 1) y b = (4, 3, -6) es
un rectángulo y calculá su área.
    
35. a. Indicá si el vector w es combinación lineal de u y v siendo: w =(38; 41; 29); u =(6; 5; 1);

v =(2;4;6) . Explicá tu respuesta.
  
b. Considerá los vectores u = (2, -1, 3), v = (4, 1, 2) y w = (1, 0, 0). Expresá, si es posible, el

vector t = (-1; 1; 1) como combinación lineal de ellos.

  
36. Considerá los vectores u = (1; 0, 1), v = (1, 1, 0) y w =(0, 1, 1)

a. Expresá el vector m = (1, 2; 3) como combinación lineal de ellos.
  
b. Decidí si el vector (3, -5, 0) es combinación lineal de u ; v y w

  
37. a. Comprobá que los vectores u = (1, 1, 3), v = (–1, 2, 0) y w = (1, 3, 5) son linealmente dependientes.
b. Decidí si los vectores del conjunto S={(2; 1; 2), (1;-3; 0), (5; -1; 4)} son linealmente independientes
c. Idem para T={(2; 0; 0), (0; 1; 5), (2; -1; 5), (2; -1; -5)}

38. Determiná, si es posible, los valores reales de k para los cuales el conjunto de vectores es linealmente
independiente.
a. S={(0; 1; -2), (1; -1; k), (1; -3; 0)}
b. T = {(1, -1,1), (4, 1, 2), (1, k, k)}

Considerá en ℜ los vectores canónicos e1; e2 y e3.

3
39.
Determiná si son linealmente independientes los vectores e1 - 2e2 + e3; e1+ e2 y e1 - e2

40. a. Decidí si los vectores (2; 1; 3); (-1; -1; -1) y (1; 0; 5) son coplanares.
 
b. Considerá los vectores u = (0; 1; -2) y v = (1; -3; 0). Encontrá si es posible un vector m de modo
 
que m , u y v resulten linealmente independientes
  
c. Comprobá que los vectores u = (1, a, b), v = (0, 1, c) y w = (0, 0, 1) son linealmente independientes
cualesquiera sean a, b y c en ℜ.

Practico 10. Vectores enℜ yℜ

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Tercera Parte. Rectas y planos en ℜ2 y ℜ3

41. Encontrá la ecuación de la recta que:


a. Pasa por A = (1,5) y tiene como vector director a v = (-2, 1)
b. Pasa por A = (1,3) y B = (2, -5)

c. Pasa por el origen de coordenadas en la dirección de n =(2, -1)

d. Pasa por el origen de coordenadas en la dirección de v =(0, 3)
e. Pasa por A = (0,3) y B = (-2, 4)

42. Calculá el ángulo que forman las rectas L1 y L2 sabiendo que:

 
a. Sus vectores directores son v = (-2, 1) y w =(2, -3)

b. L1: X = (-2,3)+t(1,-2) y v 2 = (6,3)

43. a. Determiná la distancia del punto P= (-2, 1) a la recta L de ecuación L: 5y + 3x = -1

x − 2 y +1
b. Idem para P = (2, -6) a la recta de ecuación L: =
4 −2
44. Determiná si las rectas son perpendiculares, paralelas, o coincidentes (considerá los pares de rectas
L1 y L 2 ; L1 y L 3 ; L 2 y L 3 )
x−2 y−4  x = 2 + 2t x = 6t
L1 = = L2 =  L3 = 
3 −2 y = 1 + 3t y = 4 − 4t
45. Encontrar las ecuaciones de la recta en cada uno de los siguientes casos.

a. Pasa por el punto A = (−1, 2, 1) y cuyo vector director es u = (4, 5, -1).

b. Pasa por el punto P = (8,2,3) en la dirección del vector j = (0, 0, 1)
c. Pasa por los puntos A = (1,0,1) y B = (0, 1, 1)

d. Contiene al punto (1, -1, 1) y es paralela al vector u =(1,0,2)

46. x−2 y+3 y−3

Dada la recta de ecuación L : = = comprobá si alguno de los puntos que se dan a
7 −6 −4
continuación pertenecen o no a ella.
A= (5, 0, 0) B = (3, 3, 4) C (15 , –15 , 4) D (1, 6, 0)

47. Encontrá las ecuaciones paramétricas de las rectas que pasan por:
a. A = (2, 0, 5) y B = (-1, 4, 6)
b. P = (5, 1, 7) y Q = (9, -3, -1)
48. Hallá las ecuaciones paramétricas de las rectas en cada uno de los siguientes casos:

a. Contiene al punto P= (1,−1 −1) y es paralela al vector s = (1, 0, 2).
b. Pasa por los puntos (2, 1,3) y (1, 2,-1)
c. Contiene el punto (-1, -6, 2) y es paralela al vector (4, 1, -3).
x − 10 y z
d. Pasa por el origen y es perpendicular a la recta de ecuación L : = =
4 3 2
49. Encontrá y graficá las ecuaciones paramétricas de las rectas en los siguientes casos:
a. Contiene los puntos (2, 1, 0) y (2,1, 5). ¿Cuál sería la ecuación del eje z?
b. Contiene los puntos (2, 0, 2) y (2,5, 2). ¿Cuál sería la ecuación del eje y?
c. Escribí ecuaciones paramétricas de rectas paralelas al eje x.

Practico 10. Vectores enℜ yℜ

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50. Estudiá la posición de los pares de rectas siguientes. En caso de que se corten en un punto da sus
coordenadas.
 x = 1 − 5λ x = 1 x = 3 + 2λ x = −1 − 6λ
   
a. L1 :  y = 2 + 3 λ L 2 : y = 1 b. L1 : y = 1 − λ L 2 :  y = 3 + 3λ
z = −5 + λ z = λ z = 5 z = 5
   
51. Encontrá la ecuación del plano que
a. Determinado por los puntos P1 = (2, -1, 0); P2 = (1,2,3) y P3=(-1,0,1)
b. Contiene al punto (-5,7,-2) y que es paralelo al plano Π: 3x − 4 y + z = 7

52. Dibujá los planos cuyas ecuaciones son:

a. Π1: 4x + 2y +6z =12
b. Π2: 3x + 6y + 2z = 6
c. Π3: y + z =5
d. Π4: x + 2y = 4
e. Π5: x – 3z = 3
f. Π6: x + y + z = 0

53. a. Da las ecuaciones de los planos coordenados: xy; xz e yz.

b. ¿Cómo es la ecuación del plano Π paralelo al plano xy? ¿por qué?
c. ¿Cómo son las ecuaciones de los planos paralelos al plano
c.1. zy?
c. 2. Y al zx?
c. 3. Paralelo al eje z?
c. 4. Paralelo al eje x?
c. 5. Paralelo al eje y?

54. Encontrá la ecuación del plano que pasa por P = (-5,7, -2) :
a. y es perpendicular al eje x.
b. y es paralelo al plano xz.
c. es paralelo tanto al eje x como al eje y.

55. En cada caso, encontrá la ecuación del plano que es perpendicular al vector n y pasa por P:

a. P = (4, 2, -1), n = (1, -1,3)

b. P = (2,3, 7), n = (-1, 0,5)

c. P = (0, 3, 4), n =(-3, 2, -1)

56. Dá la ecuación simétrica de la recta que es paralela a los planos x − 3y + z = 0 y 2x − y + 3z− 5 =0

y pasa por el punto (2, −1, 5).

Practico 10. Vectores enℜ yℜ

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57. Encontrá la ecuación del plano que pasa por el punto de intersección de la recta
x +1 z −1
L: =y = con el plano Π = x - 2y + 5z + 1 = 0 y es paralelo a las rectas:
2 −1
x −1 y −1 z +1 x y−2 z+4
L1 : = = y L2 : = =
−1 2 1 1 1 −2
58. x = 1 − λ

Sean Π: x + y + z + 1 = 0 y L : y = 2 + 2λ Mostrá que la recta L está incluida en el plano Π
z = −4 − λ


59. x = 1 − λ

Sean Π: x + y + z + 1 = 0 y L : y = 2 + λ
z = −4 − λ

a. Mostrá que la recta L interseca al plano en un solo punto.
b. Dá las coordenadas del punto de intersección
c. ¿Cuál es la distancia entre la recta y el plano?
d. Determiná la medida del ángulo que forman la recta y el plano

60. Encontrá el número real a para que los puntos (a, 0, 1), (0, 1, 2), (1, 2, 3) y (7, 2, 1) sean coplanarios.
Calculá también la ecuación del plano que los contiene.

61. Sea Π un plano que pasa por P = (1, 2, 1) y corta a los semiejes ordenados positivos en los puntos A; B
y C. Sabiendo que el triángulo ABC es equilátero, dá las ecuaciones de Π.

62. Encontrá las coordenadas del punto de intersección del plano Π: x + 2y – z- 2 = 0 y la recta determinada

por el punto (1, -3, 2) y el vector v = (22, 44, 11)
63. Hallá la ecuación del plano que pasa por el punto P = (1, 1, 1) y es paralelo al plano
x = 1 + 2λ − 3µ

∏ : y = 3 + 2λ
z = −1 − λ

x−2 y−2 z−4
64. Encontrá la ecuación del plano que contiene a la recta L : = = y es paralelo a la recta
1 −2 3
 x = 1 + 3λ

L : y = 1 + 2λ
z = λ

65. Nos dan las rectas L determinada por los puntos A= (2, -1, 1) , B = (0, 1, -1) y la recta L’ determinada
por los puntos C = (2, 0, -1) y D = (2, 1, -1)
a. Escribí la ecuación del plano paralelo a L y L’ que pasa por el origen de coordenadas.
b. Escribí la ecuación del plano que pasa por B y es perpendicular a L
66. Considerá los planos de ecuaciones Π1: x + 2y + z = 1, Π2: px + y + pz = 1 y Π3: px + y + 2z = 1 donde
p es un número real.
a. ¿Para qué valores de p los tres planos se cortan en un único punto? Hallá este punto cuando p = 1.
b. ¿Hay algún valor de p que haga que la intersección común sea una recta? Si es así, escribí
la ecuación vectorial de esta recta.
c. Describí la posición relativa de los tres planos cuando p = ½

Practico 10. Vectores enℜ yℜ

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67. En el espacio se consideran:

• La recta L , intersección de los planos de ecuaciones Π1: x + y - z = 5 y Π2: 2x + y - 2z = 2
• La recta L’ determinada por los puntos P = (3, 10, 5) y Q = (5, 12, 6)
Calculá el ángulo que determinan las recta L y L’

68. Calculá el ángulo que determinan los planos Π1: x + 2y – z = 0 y Π2: 2x – 3z + 7 = 0

x −1 y z + 2
69. Dados la recta L : = = y el plano Π: 4x -3y +5 = 0, calculá:
3 −1 1
a. La intersección de L y Π
b. El ángulo formado por L y Π

70. x = 2 + mλ

Dados la recta L : y = −λ y el plano Π: 2x – 3y + z =0 , calculá el número real m para que L
z = −1 + mλ

sea paralela a Π.

71. Considera el plano 2x - y +z - 4 = 0.

a. Hallá los puntos de intersección del plano con los ejes de coordenadas.
b. Calculá el área del triángulo formado por estos tres puntos.

72. Considera los puntos A=(1,1,1), B=(2,0,-1), C=(5,2,1) y D=(4,3,3)

a. Justificá que los puntos son los vértices consecutivos de un paralelogramo.
b. Decidí si dicho paralelogramo es un rectángulo.

Ejercicios de repaso

EN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS SOLO HAY UNA RESPUESTA CORRECTA

73. El módulo del vector suma de los vectores: a = 5i-3j+4k, b = 8i-5j-6k y c = 3(i+j+k),es:
a) 11, 3 b) 16,8 c) 21,5 d) 32,2 e) 44, 4
74. El módulo de un vector con origen en P = (3, 2, 1) y extremo en (-4, 6, -2) es:
a) 2,1 b) 4,3 c) 6,2 d) 8,6 e) 10,5

75. Dados los vectores v = 5i+2j-8k y w = 2i-λj-3k, el valor del número real para el que los vectores v y w
son perpendiculares es:
a) 10 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19
76. El plano Π tiene como vector normal a (1; -1, 3) y pasa por Q= (-2, 1, 0). El punto P= (0, 3,k) pertenece
a Π si:
a) k = -3 b) k = 0 c) k = -1 d) k = 1 e) k=3
77. x −1 y −1 z − 5
El punto de intersección entre la recta de ecuación = = y el plano Π: 3x -2y +z = 1 es:
2 1 1
a) (1,1,5) b) (3, -2, 1) c) (-1, 0, 4) d) (5, 3, -6) e) (1, 1, 4)

Practico 10. Vectores enℜ yℜ

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78. Los valores de t (t∈ℜ) para los cuales el conjunto de vectores {(t2, 0, 1), (0, t, 2), (1, 0,1) } es
linealmente independiente es:
a) 0, 1, y -1 b) 2 y -2 c) Para ningún t
d) Para todos los números reales e) Todos los números reales excepto 0, 1 y -1
79. Las rectas L1 : x = λ (1,−1,0 ) + (1,1,−1) y L 2 : x = λ (1,1,−1) + (1,−1,0 )
a) son coincidentes b) no secortan
c) se cortan en un P = (0, 1, 1) d) son paralelas y distintas

80.  
En ℜ3 se tienen los vectores u = (0, 1, -1), v = (1, -1, 0) y w = m v - u . El valor de m (m∈ℜ) para que

v y w sean perpendiculares es:
a) m = -2 b) m = - 1/2 c) m =2 d) m = 1/2 e) m = 0

81. 
Dados los vectores u = (1, 3, 0), v = (2, 1, 1), el área del paralelogramo determinado por ellos es:

a) 5 b) 10 c) 35 d) 10 e) 35

Considerá el punto P = (2, 0, 1) y la recta L = x + 2y = 6 . La ecuación del plano que contiene a P y a
82.
z = 2
L es:
a) x + 2y − 4z + 2 = 0 b) x + 2y − 4z = 0 c) x - 2y − 4z - 2 = 0 d) x + 2y + 2 = 0 e) x + 2y = 2

83. Tene en cuenta el plano Π: x+2y + 3z = 6. La ecuación del plano perpendicular a Π que contiene al eje
OZ es:
a) 2x + y = 0 b) 2x - y +1= 0 c) 2x - y = 0 d) 2x - y =1 e) 2x + y = 1

84. 
La ecuación del plano determinado por el punto Q = (1, -3, 2) y los vectores v = (2, 1, 0) y w = (-1,0.3)
es:
a) 3x + 6y+z=0 b) 3x – 6y + z – 23 = 0 c) 3x + 6y - z = 0
d) x – 6y + z + 23 = 0 e) 3x – 2y + 3z – 23 = 0

85. El valor de m para que los puntos A= (m, 0, 1), B= (0, 1, 2), C= (1, 2, 3) y D = (7, 2, 1) estén en un
mismo plano es:
a) m= 0 b) m = - 1 c) m = 1 d) para ningún m e) m = 1 ó m= -1

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Respuestas:

2.   13. a. No son perpendiculares

a = (3; 1); b = (2; 4);
 
c = (-3; 2) y d = (-4; -2) b. Son perpendiculares
3. a. En ningún caso los vectores son 14. k=3
equivalentes. 15. a. α ≡ 58º 40’
b. B = (3; 0)
b. k = 0
4. a. hay infinitos 16 a. 0 < α < 90º b. 90º < α < 180º
b. T = (3; -3) 17. a. Velocidad resultante = 5
5. a.1. | v | = 29 b. α ≅ 53º
a.2. MN = (5; 4); | MN | = 41 18. La componente hacia el Norte de la
b.1. m1 = - 3 y m2 = 5 velocidad del automóvil es 43,3 km /h
y la componente hacia el Oeste es 25
b.2 m1 = 2 3 y m2 = - 2 3 km /h
6. a. 89 ≡ 9,43 b. α ≅ 32º 19. a. 150 joule b. 106 joule

7. a. x = 5 ; y = 0 b. cx = -1,82 cy =0,845 20. a. T = 42,7 kg

c. bx = 5 y by = 8,67 b. C = 24,35 kg
d. x = 0; y = 10
8. vy ≡ 1, 15; | v | = 2,3 21.    
a. 5 u - v =(24; 12; 0) u + v =(6; 0; -6)
9. a.1. (6; 3); a. 2. = (3; 9); a.3. (-40; 3) b.1. no es posible b.2. s = t = -1
b. Podemos encontrar infinitos. 22. a. (1, 1, 0) b. (0, -1, 0)
10. 23.

AB =(3; -6) u ={(x, y, z) ∈ℜ3/ x+ y= z; z∈ℜ}
  
24. a. | u | = 9 b. | v |= 11 c. | w |= 18
| AB | ≡ 6,7
25. z = 4 ó z = -4
26.
 2 9 6  -1 2 
a.1.  − , ,  a.2.  , ,0 
 11 11 11   5 5 
π 3π
11. b.1. α = b.1. α ≅ ≅ 54º
3 10

c. u = (x; 9/2x; 3x); x ∈ℜ

27. a=1
28 a. a = 11 ó a = -13

 c. a = 5 23 ó a = - 5 23
R ≡ 8,25 α ≡ 76º

12 7  3 29. a. z = (2y; y,−4 y ) con y ∈ℜ
a. v = ((0;1) +  − ( −2;1)
2  2 
b. z = (-1, 1; -1)
b. (3; 2) = -5(-1; 0) + 2( -1; 1)
30.
a. Área = 52 b. Área = 19 / 2

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31. a. m = 4 b. no existe 47. x = 2 − 3t x = 5 − 4t

a. y = 4t b. y = 1 − 4t
 3 7 3 3  − 3 −7 3 − 3  z = 5 + t z = 7 − 8 t
c.  , , ó  , ,   
 15 15 3   15 15 3 
 
48.  x = 1 + 2t x = 2 − t
a. y + 1 = 0 b. y = 1 − t
32.
a. k = 5 ó k = - 5 z = −1 + 4t z = 3 − 4 t
 
b. Area = 3 2 x = 8t − 1

33. a. un vector perpendicular a ambos es el c. y = 2t − 6 (d = (8, 2, − 6))
resultante del producto vectorial: (2, 1, -5) z = −6t + 2

b. Sí. (Calcular los productos vectoriales)
 x = 2t 
d. y = 2t (d ⊥ ( 4, 3, 2))
35. a. Sí z = −7t

 1  4  19 
b. t = u+ v− w
Recta paralela al eje z. x − 2 = 0
49.
5 5 5
y − 1 = 0
36.   1 3 1 
a. m =  − u+ v + w b. Si
 2 2 2  Ecuación del eje z: x = 0
y = 0
37. b. Sí.
(Ver Anexo: rectas particulares)
c. No
50. a. No se cortan.
38. a. k ≠ -4 y k ≠2 b. k ≠ 3/7 b. Rectas coincidentes.
39. Sí 51. a. –y+z = 1
40. a. Sí. b. Hay infinitos, p.e. (0,0,5) b. 3x – 4 y + z = −45
x −1
41. a. = y − 5 ó x – 1 = -2y + 10 52. Usar la intersección de cada plano con los
−2 ejes coordenados.
y−3
b. x −1 = ó − 8x + 8 = y − 3 53. a. Plano x,y: z = 0; Plano x,z : y = 0
−8
Plano y,z: x =0
c. x
=− y
2 b y c. Plano paralelo al plano
d. y = 3t x,y: z = k; x,z : y = t y,z: x =s
e. x – 2 = (-2) (y – 4) (siendo k, t y s números reales)
c. Paralelo
42. a. α≅ 29º 44’ al eje x: by + cz + d = 0
al eje y: ax + cz + d =0
b. α= 90º al eje z: ax + by + d = 0
a. P pertenece a la recta por lo que la
43. distancia es cero. 54. a. x=-5 b. y = 7 c. z=-2

b. 20 ≅ 4,47 55. a. x – y + 3z =1 b. –x + 3z =33

44. L1 ⊥ L2 ; L1//L3 y L2⊥ L3 c. -3x +2y –z =2

x +1 y − 2 z −1
45. a. = = 56. a. X = (2,1,-5)+λ(8,1, -5)
4 5 −1
57. -5x-y-3z+6=0
b. X = (8,2,3) + λ(0,0,1)
 z −1
c. x − 1 = y d. x − 1 = 2 59. b. P=(1,2,.4) c. distancia es cero ya que
z = 1 y + 1 = 0
se cortan en un punto.

3
46. ByC d. a = arccos
6

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60. a. m = -1; b. Π: x-4y+3z-2=0 73. b.

61. x + y + z=4 74. d
62. λ = 1/11 B=(3,1,3) 75. d
63. y + 2z – 3 = 0 76. b
64. x–y–z+4=0 77. c.
65. x–z=0 78. c.
66. p ≠1/2. Para p = 1, P=(1,0,0) 79. b.
Para p = ½ sistema incompatible. 80. b.
67. π/4 81. e.
 
68. | n .v | 82. a.
senα =  
|n|⋅| v | 83. c.
70. m = -1 84. b.
71. a. A = (2,0,0) B = (0,-4,0) C = (0,0,4) 85. b.

b. 16 6

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