Ingeniería Civil - UNSCH 2012 

Análisis Estructural II 

II 
IC-444)
TRABAJO 03 

Ingeniero:
Yachapa Condeña, Rubén

Alumno:
Cárdenas Quispe, Erbin Luis
Código: 16062905

Análisis Estructural II - Solucionario Práctica iii -1-

 

 
Ingeniería Civil - UNSCH 2012 

PROBLEMAS PROPUESTOS
EJERCICIO Nº 04

q0

 
Solución
  Las reacciones en la viga con carga uniformemente repartida son:

q0
M M'

V V'

 
  Para carga uniforme distribuida se tiene:
 L     3 X  2 2 X 3  
L
V    0
q 0 2 ( x)dx  q0  1    2  3 dx  
0
   L  L  
q0 L
V   

2
 
2
 L      X  
L

 M  
 0 q 0 3 ( x)dx 
2
  1   L   dx  
    0 q 0 X  
q 0 L
 M      
12
 L  X 2   2 X  
  L

0 
V '    q 0 5 ( x)dx   q0  2  3 
0
 L    L   
dx  
q  L
V '   0  
  

2
 L   X 2    X  
  L
 M '    q 0 6 ( x)dx    q0 1  dx  
0 0  L    L  
q 0 L2
 M ' 
  
12
 
  Entonces la viga con sus respectivas reacciones quedaría de la siguiente manera:

Análisis Estructural II - Solucionario Práctica iii -2-

 

 
Ingeniería Civil - UNSCH 2012 

2
q0 L
q0  
2
q0 L 12
 
12
q0 L
  q0 L
2
 
2  
EJERCICIO Nº 05

q0

Solución
  Las reacciones en la viga con carga uniformemente repartida son:

q0
M M'

V V'

  Para carga uniforme distribuida se tiene:

 L / 2    L / 2   3 X  2 2 X 3  

V     q  0 2 ( x)dx 
0 0  q0 1     L2   L3 dx  
   
13q0 L
V   

32
 
2
 L / 2    L / 2    X  
 M      0
q  0 3 ( x)dx     0
q0 X 1   dx  
   L  
  2
11q 0 L
 M      
192
 L / 2  X  2   2 X  
   L / 2

0 
V '    q  0 5 ( x)dx    q  0 2  3 
0  L  
dx  
 L   
3q  L
V '   0  
  

32
 L / 2   X  2    X  
   L / 2
 M '     q  0 6 ( x)dx     q0 1  dx  
0 0  L    L  
5q0 L2
 M ' 
  
192  

  Entonces la viga con sus respectivas reacciones quedaría de la siguiente manera:

Análisis Estructural II - Solucionario Práctica iii -3-

 

 
Ingeniería Civil - UNSCH 2012 

  2
q0 5q0 L
 
  2
11q0 L 192
 
192
13q0 L
  3q0 L
32
 
32  

EJERCICIO Nº 06
q0

Solución

  Las reacciones en la viga con carga uniformemente repartida son:

q0

M M'

V V'

  Teniendo presente que la variable Y corresponde a la variación de carga P(y) y que existe una
pendiente:

 P ( y)   q0 q0 X 
    P ( y)  
    
 X   L  L

  Para carga uniforme distribuida se tiene:

 L   L q0 X    3 X  2 2 X 3  

V     P ( y  )  ( x)dx 
0
  2
0   1     L2   L3 dx  
 L    
3q0 L
V   

20
 
2
 L q 0 X  2    X  
  L
 M    P ( y
0 
    ) 3 ( x) dx    
0
1   dx  
 L    L   
2
q 0 L
 M      
30
3
 L q0 X    2 X  
  L

0

V '   P    ) 5 ( x)dx   
  ( y
0
  3 3  dx   
 L    L  

Análisis Estructural II - Solucionario Práctica iii -4-

 

 
Ingeniería Civil - UNSCH 2012 

7
 
q0 L
V '
    
20
3
 L   q0 X     X  
L

0
 M '   P    ) 6 ( x) dx        
  ( y
0 2 
1  dx  
 L    L  
q 0 L2
 M ' 
  
20  

  Entonces la viga con sus respectivas reacciones quedaría de la siguiente manera:

q0

2 2
q0 L q0 L
   
30 20

3q0 L 7 q0 L  
   
20 20

EJERCICIO Nº 07
q0

Solución
  Distribuimos la carga uniforme a los largo de la barra (ejes locales), convirtiéndolo en cargas
puntuales: 

  n  a
 s e
 q   0  L q   
0    
L   
c   
o   
s   
a    
q 0L

 
De donde:
 H   L
 sen   y cos     
 H    L
2 2 2 2
 H    L

Análisis Estructural II - Solucionario Práctica iii -5-

 

 
Ingeniería Civil - UNSCH 2012 

  Las reacciones en la viga con carga uniformemente repartida a los largo de la barra son:
N    
'     M'

V'
  a
 e  n
  L s
 q   0 q   
0    
L   
c   
o   
s   
a    
q0L

M
N    

V
 
  Para carga puntual se tiene:
   H    L  
2 2

q 0 LH   2  
 N   q0 Lsen
  ( ) 1 ( x)  1
 H 2   L2   H 2   L2 
 
   
q0 LH 
 N    
2 2
2  H    L
       2  
2
  2    
3
  H 
2
 L  
 H 
2
  L 
2  3 2  2 2  
V   q 0 L cos( ) 2 ( x) 
q0 L 1
          
2  
 H    L
2

  H 2   L2
2

 H  2   L2
3

   
 
   
2
q0 L
V    
2 2
2  H    L
    2    
 H    L  
2
2
 
q0 L
2
  H 2   L2 1  2   
 M   q 0 L cos( ) 3 ( x)   
 H    L 
2 2 2   H    L  
2 2
 
      
 
q 0 L2
 M      
8

   H 2   L2  
 
q 0 LH   2 
 N '  q 0 Lsen
  ( ) 4 ( x) 
 H    L   H    L 
2 2 2 2
 
     

q0 LH 
 N '   
2  H    L 2 2

Análisis Estructural II - Solucionario Práctica iii -6-

 

 
Ingeniería Civil - UNSCH 2012 

    H  2  
2
 
      L 
2
  2   
 H    L 
2

2  2   2 
V '  q 0 L  cos( ) 5 ( x) 
q 0 L      3  2   
 H    L   H 2   L2   H    L  
2 2


2
  
2 2

     
   

q0 L2
V '  2 2  
2  H    L
     H 
  2
 2  
2
 
  L    2   
 H    L 
2

2   2   
 M '  q0 L  cos( ) 6 ( x) 
q 0 L      1  2   
 H  2   L2   H 2   L2   H 2   L2  
  
     
   
q 0 L2
 M ' 
    
8

  Entonces la viga con sus respectivas reacciones quedaría de la siguiente manera:

q0 LH 
 
2 2
2  H    L
2
q0 L
 
  L s
 e  n
  a 8
 q 
  0 q   
0    
L   
c   
o   
s   

2
a    
q0L

q0 L  
2 2 2
q0 L 2  H   L
  

q0 LH 
 
2 2
2  H   L 2
 
q0 L  
2 2
2  H    L

Para los siguientes ejercicios, selecciones un sistema de coordenadas Q –  q y encuentre la

expresión de las elásticas horizontal y vertical del elemento BC en términos de las coordenadas
q i y las funciones  1 ,   2 ,..., características del miembro.

Análisis Estructural II - Solucionario Práctica iii -7-

 

 
Ingeniería Civil - UNSCH 2012 

EJERCICIO Nº 08
B  A0 C
 I0

A=œ A=œ
I0 I0

A D

Solución
  El sistema de coordenadas Q – q es: 

1 2 3

 
  Para el elemento BC se tiene:
u1  q1 u2  q3

v1  0   v2  0  
 1  q2  2  q4

  Evaluamos las funciones de forma en el punto medio del elemento BC (X=L/2):

 L
 X  2 1
 1 ( x)  1     1    
 L  L 2

Análisis Estructural II - Solucionario Práctica iii -8-

 

 
Ingeniería Civil - UNSCH 2012 

2 3
  L    L 
3  2 
3 X  2 2 X  3
  1    2     3    
2 2 1
 2 ( x)  1  2
 3
 L  L  L  L 2

2
   L  
2  
   X    L 2  L
 3 ( x)   X 1      1     
   L   2  L  8

   
 L
 X  2 1
 4 ( x)       
 L  L 2
2
  L      L  
2    2  
 X    2 X     2     2    1  
 5 ( x)  3     2  3 
 L 
2
 L    L    L 2
 
   
2
  L      L  
    
 X   
2
 X  
      1    2      L  
2
 6 ( x)   1    
 L  L  L   L 
      8
   
  Reemplazamos las funciones de forma y las componentes de desplazamiento del elemento AB,
en las expresiones de la elástica:
u( x)  u1  1 ( x  )   u2 4 ( x)  

1 1
u ( x)    q1  q3  
2 2
v  x( )  v1 2 ( x)   1  3 ( x  )   v2 5 ( x)   2 6 ( x)  
 L  L
u ( x)     q 2  q4  
8 8
 ( x)
    v
 ' ( x)  
2 2
 ( x)  d  1     X     2  X   
 1 X   1   X    
d ( x)
    L    L    L  
  4 X  3 X  2     2 X  3 X  2  
 ( x)   1 1     2    2    2   
   L  L      L  L  
Para x=L/2:
1 1
 ( x )   q1    q2  
4 4

Análisis Estructural II - Solucionario Práctica iii -9-

 

 
Ingeniería Civil - UNSCH 2012 

EJERCICIO Nº 09

 A0
 I = œ

 A0
 I0 C

A0
 I0

A D

Solución
  El sistema de coordenadas Q – q es: 
2

1 3

 
  Para el elemento BC se tiene:

u1  q1 cos    q 2 sen  u2  q 4 cos  

v1  q 2 cos    q1 sen    v2  q 4 sen   

 1  q3  2  0

  De acuerdo a la figura    37º :

4 3 4
u1  q1  q2 u2  q4
5 5 5
4 3 3
v1  q2  q1   v2  q4  
5 5 5
 1  q3  2  0

Análisis Estructural II - Solucionario Práctica iii - 10 -

 

 
Ingeniería Civil - UNSCH 2012 

  Evaluamos las funciones de forma en el punto medio del elemento BC (X=L/2):

 L
 X  2 1
 1 ( x)  1     1    
 L  L 2
2 3
  L    L 
3  2 
3 X  2 2 X  3
  1    2     3    
2 2 1
 2 ( x)  1  2
 3
 L  L  L  L 2
2
   L  
2  
   X    L 2  L
 3 ( x)   X 1      1     
   L   2  L  8
 
   
 L
 X  2 1
 4 ( x)       
 L  L 2
2
  L      L  
2    2  
 X    2 X     2     2    1  
 5 ( x)  3     2  3 
 L 
2
 L    L    L 2
   
2
  L      L  
    
 X   
2
 X  
      1    2      L  
2
 6 ( x)   1    
 L    L    L   L  8
 
   
  Reemplazamos las funciones de forma y las componentes de desplazamiento del elemento AB,
en las expresiones de la elástica:
u( x)  u     u   ( x)  
1  1 ( x
  ) 2 4

1  4 3   2
u ( x)    q1   q 2   q 4  
2  5 5   5
v( x)  v1 2 ( x)   1  3 ( x
  )
  v2 5 ( x)   2 6 ( x)  
1  4 3    L 3
u ( x)      q1   q3  q 4  
 q2 
2  5 5   8 10
 ( x)     v
 ' ( x)  
   3 X  2 2 X  3   
d     X  
2 2
 X    2 X  
 ( x)   1
v 1  2

  3 
   
1  X  1    v 2 2 
3    
d ( x)   
  L  L      L    L    L  
  6 X  6 X  2     4 X  3 X  2    6 X  6 X  2  
 ( x)  v1   2      1 1   2   v2  2  3   
  L 3 
   L      L  L      L  L  
Para x=L/2:
3  4 3   1 9
 ( x)    q 2     q1   q3  q4  
2 L  5 5   4 10 L

Análisis Estructural II - Solucionario Práctica iii - 11 -

 

 
Ingeniería Civil - UNSCH 2012 

EJERCICIO Nº 10

C  A0 D
 I = œ
 A0
 I0
B

A0
 I0

Solución
  El sistema de coordenadas Q – q es: 
4

1 3

 
  Para el elemento BC se tiene:

u1  q1 cos    q 2 sen  u2  q 4 cos  

v1  q 2 cos    q1 sen    v2   q 4 sen   

 1  q3  2  0

  De acuerdo a la figura    37º :

4 3 4
u1  q1  q2 u2  q4
5 5 5
4 3 3
v1  q2  q1   v2  q4  
5 5 5
 1  q3  2  0

Análisis Estructural II - Solucionario Práctica iii - 12 -

 

 
Ingeniería Civil - UNSCH 2012 

  Evaluamos las funciones de forma en el punto medio del elemento BC (X=L/2):

 L
 X  2 1
 1 ( x)  1     1    
 L  L 2
2 3
  L    L 
3  2 
3 X  2 2 X  3
  1    2     3    
2 2 1
 2 ( x)  1  2
 3
 L  L  L  L 2

2
   L  
2  
   X    L
 2  L
 3 ( x)   X 1      1    
   L   2  L  8
 
   
 L
 X  2 1
 4 ( x)       
 L  L 2
2
    L  
  L 
2
  2  
 X    2 X     2 
 3    2    1  
 5 ( x)  2 3     2
 L    L 
   L L  2
 
 2  
  L      L  
2     
 X     X  
      1          
2 2  L
 6 ( x)   1    
 L    L    L   L  8
 
   
  Reemplazamos las funciones de forma y las componentes de desplazamiento del elemento AB,
en las expresiones de la elástica:
u( x)  u     u   ( x)  
1  1 ( x
  ) 2 4

1  4 3   2
u ( x)    q1   q 2   q 4  
2  5 5   5
( )  v1 2 ( x)   1  3 ( x  )   v2 5 ( x)   2 6 ( x)  
v  x

1  4 3    L 3
u ( x)      q1   q3  q 4  
 q2 
2  5 5   8 10
 ( x)     v
 ' ( x)  
   3 X  2 2 X  3   
d     X  
2 2
 X    2 X  
 ( x)  v1 1  2   3    1 X 1    v2 2  3    
d ( x)   
  L  L      L    L    L  

  6 X  6 X  2     4 X  3 X  2    6 X  6 X  2  
 ( x)  v1   2      1 1   2   v2  2  3   
  L 3 
   L      L  L      L  L  

Para x=L/2:
3  4 3   1 9
     
 ( x) 2 L   2
 5 q 5   q1  4 q 3 10 L q 4  

Análisis Estructural II - Solucionario Práctica iii - 13 -

 

 
Ingeniería Civil - UNSCH 2012 

EJERCICIO Nº 11

Encontrar v(x) en el punto medio (x = 2.5 m) del vano derecho del pórtico en la siguiente figura,
donde todos los elementos son totalmente flexibles:

35.4 kg/cm

B 30x40 C   30x25 E

25x25 25x25   25x25

A D   F

Solución
  El sistema de coordenadas Q – q es: 
2 5 8

1 3 4 7

6 9

 
  El cálculo del vector de coordenadas generalizadas q, se obtuvieron utilizando un programa de
computación:
  0.4069752 
  0.1181176 
 
4
  8.759498 x10 
 
  0.4152865

q    0.4196969   
 4 
  6 . 020483  x10 
  0.4336346 
 
  0 .1657211 
  3.31526210 3 
 

  Para el cálculo de v(x), es necesario encontrar las coordenadas locales del miembro CE:
v1 q5
   0  .4196969mm.  
 

  4
 1  q6    
6.020483
 

 x10 

rad .  
v2  q
  8    0.1657211mm.  

 
 2  q9   3.31526210
   x10 3 rad .  
  

Análisis Estructural II - Solucionario Práctica iii - 14 -

 

 
Ingeniería Civil - UNSCH 2012 

  Evaluamos las funciones de forma en X = 2.5 m:

2 3
3 X  2 2 X  3 32.5 22.5
 2 ( x)  1  2
 3
 1     0.5m.  
 L  L 52 53

2 2
   X   5   2.5 
 3 ( x)   X 1       1    0.5m.  
   L   2   5  

2
  2 X   2.5   22.5 
2
 X 
 5 ( x)  2 3       2  3    0.5m.  
 L    L   5   5  
2
 X 
2
   X   2.5   2.5 
 6 ( x)   1        1    0.625m.  
 L    L   5   5  

  Por otra parte el factor P 0/24EI es:

 P 0 35.4     1
  4.241028 x10 11  
24 EI   30 x  403   cm
3

24 x 217370 x65
 12 
   

  Luego:
4 2 2 3 4 2 2   3 4 12 4
 X    X   L  2 X   L  2.5 2
  .5  x5  2 x 2.5  x5  39m  39 x10 mm .
 

  Luego se reemplaza en la siguiente ecuación:

 P 0
v( x)  v1 2 ( x)   1 3 ( x
  )  v2 5 ( x)    2   6 ( x)   
 X  4
  X 
2
 L
2
 2 X  3 L  
24 EI 
v  x( )   0.4196969 x0.5 6.020483 x10 
4


 x 500 0.1657211
   x0.5
 3.31526210 x10 
 3
 x  625 4.241028 x10

14


39 10 
x
12

 
( )
v  x   4.319773
  mm.  

Ésta es la deformación instantánea en el centro del segundo vano, el signo menos

m enos indica que en
ese punto el eje de la viga se desplaza hacia abajo.

Análisis Estructural II - Solucionario Práctica iii - 15 -

 

 
Ingeniería Civil - UNSCH 2012 

EJERCICIO Nº 12
Deducir las ecuaciones correspondientes al momento y cortantes en el nudo inicial de una viga
de sección constante con carga trapezoidal.

q0

Solución
  Las reacciones en la viga con carga uniformemente repartida son:

q0

M M'

V V'

  Teniendo presente que la variable Y corresponde a la variación de carga P(y) y que existen dos
pendientes, y una uniforme:

Para 0<x<a
 P ( y )   q0   q 0 X 
    P ( y )
  

 X  a a  
Para L-a<x<L
 P ( y )   q0 q 0  L  X 


 

 L  X  a    P ( y ) a  

  Para carga uniforme distribuida se tiene:  

a q 0 X    2 3
     L  a   3 X  2  2 X 3   L q 0  L   X    2 3
 
1  3 X   2 X  dx  1  3 X   2 X  dx
V  

0 a      L2 3 
 L   a 
q 0 1 

   L

2
 3 dx 
 L    L  a a 
   L
2
 L3  
 
  L   a 
V   q 0  
  2    
2 2 2
a q 0 X  2    X      L  a    X   L q 0  L   X     X  
 M  
 0 a
1   dx 
   L    a 
q 0 X 1   dx 
   L   
 L  a a
 X 1   dx
   L    
 a 3  2   La 2   L3  
  
 M   q 0  
 12  L  

Análisis Estructural II - Solucionario Práctica iii - 16 -