AN- 230

Matemática Financiera e
Ingeniería Económica
Desarrollo Unidad Cuatro
 Anualidades, rentas o series uniformes de pago.

• Concepto. o Derivación de las fórmulas de valor presente y valor futuro.

• Clasificación de las anualidades
• Anualidades ordinarias o vencidas “end” o Valor presente o principal Valor futuro o
monto o Cuota o pago o Tiempo o plazo o Tasa de interés, PV, PMT, FV, i% o n en
situaciones complejas.
• Anualidades anticipadas o prepagables “BEGIN” o Concepto o Formas de convertir
una anualidad anticipada en vencida o Definición de PV y FV o Definición de las
variables PMT, n, i%.
• Anualidades diferidas o Concepto o Definición de las variables: FV, PV, PMT , i%, n.
• Anualidades perpetuas o perpetuidades o Definición de las variables PV, PMT, i%, n.
Análisis para el cálculo de las anualidades

Anualidades
Vencidas Anticipadas
Valor Pesente Valor Futuro Valor Pesente Valor Futuro

Principal Principal Principal Principal

Cuota Cuota Cuota Cuota

Plazo Plazo Plazo Plazo

 Anualidad ordinaria o vencida
Es una serie de flujos de cajas iguales o constantes que se realizan a intervalos iguales de tiempo, que
no necesariamente son anuales, sino que pueden ser diarios, quincenales, mensuales, bimestrales,
trimestrales, cuatrimestrales, semestrales, anuales.
Ecuaciones

donde: donde:
•A: valor presente •S: valor futuro
•i: tasa de interés efectiva •i: tasa de interés
•R: valor de pagos uniformes •R: valor de pagos uniformes
•n: cantidad de periodos •n: cantidad de periodos

Un documento estipula pagos trimestrales de $80.000 durante seis años. Si este documento se cancela
con un solo pago de A) Al principio o B) al final. Determinar $P y $S suponiendo un interés del 32%
Valor Presente $842.301 Valor Futuro $5,341,181
Ejercicios anualidad ordinaria
• Depósitos por $2.000 semestrales durante 8 ½ años al 8%,
capitalizable semestralmente.
• 24.331,34 valor presente
• 47.395,07 valor futuro

• Depósitos por $4.000 anuales durante 6 años al 7,3%, capitalizable

anualmente.
• 28.830,35 valor futuro
• 18.890,85 valor presente
Anualidades, Determinar la cuota
Valor Presente
• Determine la cuota trimestral a pagar por un crédito de $115,562,50
en un plazo de 1.5 años, con una tasa de interés del 32% anual.
R/$25,000

• Una deuda de $50.000 se va a cancelar mediante doce pagos

uniformes. Con una tasa del 24% anual, hallar el valor de la cuota.
• R/$4,727.98
Anualidades, cuota de ahorro
Valor Futuro
• Que monto se necesita depositar periódicamente en un Banco para
obtener al final de 6 meses la suma de $30,760.08 a una tasa
capitalizable mensualmente del 12% anual.
• R/ $5.000
• Monto = $30,760,08
• Interés = 12.00% anual
• Periodicidad =12
• Plazo 6 meses
Anualidades, determinar el plazo
Valor Futuro
• Cuantos depósitos por $5,000.00 debo realizar periódicamente en un
Banco para obtener al final la suma de $30,760.08 a una tasa
capitalizable mensualmente del 12% anual.
• R/ 6
• Monto = $30,760.08
• Cuota = $5,000
• Periodicidad =12
• Interés = 12.00% anual
Seguimiento
Unidad cuatro
Anualidades, determinar el plazo
Valor Presente
• Una deuda de $50.000 se va a cancelar mediante pagos de $4,727.98
uniformes. Con una tasa del 24% anual, hallar la cantidad de cuotas.

Monto 50.000,00 Desarrollo

Cuota 4.727,98 Plazo = - Log (- 50,000) * 0,02 +1
Tasa 24% 0,02 4.727,98
Periodicidad 12 Log (1+0,02)

Plazo = - Log 0,79

Log 1,02

Plazo = - -0,10320206
0,00860017

Plazo = 12
Anualidades, determinar el plazo
Valor Presente
• Un documento estipula pagos trimestrales de $80.000 por un
crédito de $842,301. Si este documento estipula una tasa de
interés del 32% cuántos pagos se deben realizar?

Monto 842.301,00 Desarrollo

Cuota 80.000,00 Plazo = - Log (- 842.301) * 0,08 +1
Tasa 32% 0,08 80.000,00
Periodicidad 4 Log (1+0,08)

Plazo = - Log 0,16

Log 1,08

Plazo = - -0,80217106
0,03342376

Plazo = 24 6
Anualidades, determinar el plazo
• Depósitos por $4.000 anuales con un valor futuro de $28,830.35 al
7,3%, capitalizable anualmente.
• R/ 6 años
Monto 28.830,35 Desarrollo
Cuota 4.000,00 Plazo = log (28.830,35 * 0,073) + 1
Tasa interés 7,30% 4.000,00
Periodicidad 1 log (1 + ,073)

Plazo Log 1,53

Log 1,07

Plazo 0,18359833
0,03059972

Plazo 6,00
 Anualidades Anticipadas – Valor Presente – Valor Futuro
Una compañía alquila un terreno por $ 4 000
mensuales y propone al propietario pagar el
alquiler anual al principio del año con la tasa
del 12% capitalizable mensualmente. Que Datos Desarrollo
Cuota: 4.000 P = 4.000 (1+0,01) * (1-(1+0,01)^-12
monto debería pagar? Valor Presente
Tasa: 12% 0,01 0,01
Periodicidad 12
Plazo 1 12 P = 4.000 (1+0,01) * 11,25507747

P= 45.471

Desarrollo
S= 10,000 (1+0,03) *(1+0,03)^10 - 1
Una corporación reserva $ 10 000 al principio 0,03
de cada año para crear un fondo en caso de Datos
Cuota: 10.000 S = 10,000 (1+0,03) * 11,46387931
futura expansión. Si el fondo gana el 3% Tasa interés 3% 0,03
¿Cuál será el monto al término del décimo Periodicidad 1 S= 118.078
año? Valor Futuro Plazo 10 10
 Anualidad anticipada – Valor Futuro – Cuota?
• Una familia necesita $ 4 000 para el mes de agosto de 2024. En
agosto del 2020 ellos efectúan el primero de los 4 pagos anuales
iguales en un fondo de inversiones que gana el 6% de interés anual.
¿Cuál será el importe de cada depósito de manera de tener
acumulados los $ 4 000?

Datos Desarrollo
Valor Futuro: 4.000 R = 4,000 * 0,06
Tasa Interés: 6% 0,06 (1+0,06)(1+0,06)^4 - 1
Periodicidad 1
Plazo 4 4 R= 240
0,27822558

R= 863
Anualidad Anticipada, Valor Futuro. Plazo
Datos:
Un empleado consigna $ 300 al Cuota 300,00
Tasa Interés 8% 0,0067
principio de cada mes en una Periodicidad 12

cuenta de ahorros que paga el Valor Futuro

Plazo
30.000,00

8% convertible mensualmente Desarrollo

¿En cuánto tiempo logrará Plazo = Log {(30,000 * 0,0067 + 300(1+0,0067)} - Log 300(1+0,0067)
ahorrar $ 30.000? Log (1+0,0067)

Plazo = Log 502 302

Log 1,0067

Plazo = 2,70070372 -2,48000694

0,00288569

Plazo = 76,4797705 -0,47977052 - 143,93

R/ Se requieren 76 cuotas de $300 y una por $143.93

 Ejercicios Anualidad Anticipada, Valor Fututo
• ¿Cuánto dinero se obtendrá si se invierten $120 USD
Mensuales en un fondo de inversión durante 3 años
iniciando desde hoy, si pagan una tasa de interés
mensual del 1,5%? R/ 5,758.21
• Que monto se necesita depositar mensualmente,
para obtener $5,758.21 en un plazo de 3 años, con
una tasa de interés del 18% anual capitalizable
mensualmente. R/ $120.00
• Una persona requiere tener $5,758.21 y puede
depositar $120.00 mensuales en un Banco que le
paga la tasa del 18% de interés anual capitalizable
mensualmente. Cuanto tiempo requiere? R/ 3 años
Anualidad anticipada - Valor presente - cuota

• Un cliente del Banco se le otorga un crédito por $ 10.000.000 al 24%

anual a 36 meses de plazo pagando cuotas mensuales anticipadas,
¿Cuál es el valor de la cuota?

Un cliente del Banco se le otorga un crédito por $ 10.000.000 al 24% anual

a 36 meses de plazo pagando cuotas mensuales anticipada, ¿Cuál es el valor de la cuota?

Datos: Desarrollo
Principal 10.000.000 Cuota = 10.000.000
Plazo 3 36 1+ (1- (1+ 0,02)^-(36-1)
Periodicidad 12 0,02
Tasa Interés 24% 0,02
Cuota = 10.000.000
25,9986193

Cuota = 384.636
Anualidad Anticipada, Valor Presente. Plazo?
Usted tiene ahorrados $ 100. Datos:

000 en una institución de Valor Presente

Tasa de Interés
$100.000
6% 0,03
ahorro y préstamo que paga el Periodicidad
Cuotas
2
$10.000
6% capitalizable Desarrollo:
semestralmente. Si se retiraran
Plazo: Log 10,000(1+0,03)-Log{10,000(1+0,03)-100,000*0,03}
$10.000 al inicio de cada Log (1+0,03)

semestre ¿Qué tantos retiros Plazo: Log 10300 7300

se podrán efectuar? ¿Cuál Log 1,03

sería del retiro final? Plazo: 4,01283722 -3,86332286

0,012837225

Plazo: 11,6469383 0,64693834 $6.469

R/ Podría realizar 11 retiros y uno al final por $6,469

 Ejercicios de Anualidad Anticipada, Valor Presente
• Calcular el valor de Contado de una propiedad vendida a 15
años de plazo, con pagos de $3.000 mensuales por mes
anticipado, si la tasa de interés es del 12% convertible
mensualmente. R/ $252,465

• Calcular la cuota mensual por mes anticipado, si valor de

Contado de una propiedad es de $252,464.64 vendida a 15
años de plazo, con una tasa de interés es del 12%
convertible mensualmente. R/ $3,000

• Se vende una propiedad por $252,464.64 se deposita el

dinero en un Banco que paga el 12% convertible
mensualmente y se solicita retirar $3,000 mensuales por
mes anticipado, cuantos años podrá retirar la mensualidad?
R/ 15
Seguimiento
Anualidades Diferidas
Anualidades Perpetuas
CAUE – VAN - TIR
Anualidad Diferida – Valor Presente
• Las anualidades diferidas son; en las que el primer pago, no se realiza
en el primer periodo, si no que por el contrario pueden pasar varios
periodos, antes que se realice el primer pago.
Anualidades Diferidas - Valor Presente
Datos
Cuotas 20
Periodicidad 4
Cuota 3.000 Desarrollo
Periodo diferido 3 3.000 13,61499703
Tasa de interés 12% 0,03
Valor Presente 40.845

La panadería del Pueblo, quiere comprar un nuevo horno con el cual podrán incrementar su
producción. La compañía de hornos le ofrece pagar a crédito el horno, serán 20 pagos
trimestrales de $3.000 USD iniciando dentro de un año. Si la tasa de interés es del 3% trimestral,
¿Cuál es el valor al contado del horno?
Anualidad Diferida - Cuota
• Roger quiere comprar un televisor para ver el mundial de futbol, la tienda de electrodomésticos le
ofrece un crédito que consiste en llevar el tv hoy comenzar a pagar en 3 meses. La tasa de interés
es del 2,3% mensual. El pago del TV será a 24 cuotas mensuales. El televisor vale $1.200 USD.
¿Cuál es el valor de las cuotas?

Anualidades Diferidas - Cuota

Datos
Valor presente 1200
Diferido 2
Tasa Interés 27,60% 0,023
Cuotas 24
Periodicidad 12 Desarrollo
27,6
0,95553969 0,420591595

68,68
Anualidad Diferida - Plazo
• Luis compró una lavadora con valor de $2 700, la cual acordó pagar mediante pagos mensuales de
$350 cada uno con un interés de 24% capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos mensuales se
deben realizar para liquidar la videograbadora, si el primero se realiza 3 meses después de
haberla adquirido?

Anualidad Diferida - Plazo

Datos Desarrollo
Valor presente 2700 Log 0,839481143
Cuotas 350 Log 1,020
Tasa interés 24% 2,00%
Periodicidad 12 -0,075989055
Diferido 2 0,008600172

n= 8,84
• Calcula el valor actual de una renta semestral de $8 645 efectuada durante 10 años, si el
primer pago se debe realizar dentro de 4 años y consideramos una tasa de 18% capitalizable
semestralmente. R/ $43,170

• Jorge deposita el día de hoy $150 000 en una cuenta del BNCR que le paga 18% anual
convertible trimestralmente, para que dentro de 5 años pueda disponer de una cantidad
trimestral fija para para la universidad durante 7 años. ¿Cuál es el valor de cada retiro
trimestral? R/ $21,989.57

• ¿Cuántos retiros bimestrales de $10 420 se podrán realizar, comenzando dentro de año y
medio, si la cuenta tiene actualmente $240 000 y gana un interés de 18% anual capitalizable
bimestralmente? R/ 70,43
 Anualidad Perpetua
• Una anualidad perpetua es aquella en la que no existe el último pago, o
aquella que tiene infinito números de pagos. Se puede utilizar para cuotas
de mantenimiento, para de un seguro.
• Usted recibe como herencia $250.000 en • Nos ofrecen una casa por $370.000 Sabemos
bonos a perpetuidad que pagan anualmente que es posible alquilarla por $2.600
el 6% vencido en concepto de intereses, mensuales por adelantado. Si la tasa que
¿Cuánto recibirá usted cada año? podemos conseguir por nuestros ahorros es
R = 250.000 * 0, 06 = 15.000 de un 7.8% anual ¿Cuánto es la ganancia por
Por lo que usted recibirá la suma de $15.000 al final de la compra del inmueble.?
cada año por el resto de su vida.
• El Estado se compromete a entregar todos los A = {2,600 / (7,8/12)}(1 + 0, 0065) = 402,600
meses (a mes vencido) la suma de $15.000 a Ganancia = 402,600 – 370,000 = $32,600
una fundación. ¿Cuál es el valor actual de
dicha renta, si la fundación puede depositar
sus excedentes de fondos al 1,3% mensual?
• VA (0) = 15.000 / 0, 013 = $1.153.846,15
Ejercicios Anualidades Perpetuas
• Hallar el valor presente de una renta perpetua de $10.000 mensuales, suponiendo un interés del
33% convertible mensual. R/ $363,636,36

• Hallar el pago semestral de una perpetuidad, cuyo valor presente es de $60.000, suponiendo un
interés del 8% anual convertible semestralmente. R/ $2,400

• Analizar la compra de una bodega en el Coyol por $6,000,000.00 Amazon esta dispuesta a rentarla
$110,000 mensuales por adelantado. Si la tasa del crédito es del 14% anual ¿Cuánto es la
ganancia por la compra del inmueble.? R/ $3,538,571
Evaluación de Proyectos CAUE
“Costo Anual Uniforme Equivalente”

• El método del CAUE consiste en convertir todos los ingresos y egresos, en una serie uniforme de
pagos. Obviamente, si el CAUE es positivo, es porque los ingresos son mayores que los egresos y
por lo tanto, el proyecto puede realizarse; pero, si el CAUE es negativo, es porque los ingresos son
menores que los egresos y en consecuencia el proyecto debe ser rechazado.
• Cuando un activo en una alternativa dada tiene un valor final de salvamento (VS), existen varias
maneras de calcular el CAUE.
• El método del fondo de amortización de salvamento

• Método del Valor Presente de Salvamento

• Método Recuperación de capital más interés

• Se Adquiere un activo por el valor de $800,000.00 se calcula una vida útil de 3 años y un valor de
rescate por $200,000.00 los costos anuales de operación son por $25,000.00 si la tasa de interés
es del 36% anual. Cual será el costo anual equivalente?

Fondo de amortización de salvamento Valor Presente de Salvamento

CAUE CAUE

Datos Datos
Valor Presente 800.000 Desarrollo Valor Presente 800.000
Valor salvamento 200.000 - 25.000 - 478.041,81 47.510,45 Valor salvamento 200.000 Desarrollo
Costo Anual Operativo25.000 Costo Anual Operativo25.000 - 25.000 - 720.492
Tiempo años 3 CAUE - 455.531 Tiempo años 3 1,67349379
Tasa interés 36% Tasa interés 36%
CAUE - 455.531

Recuperación de capital más interés

CAUE

Datos
Valor Presente 800.000
Valor salvamento 200.000 Desarrollo
Costo Anual Operativo25.000 - 25.000 - 600.000 -72000
Tiempo años 3 1,67349379
Tasa interés 36%
CAUE - 455.531
• Una empresa tiene un costo de fondos del 15%requiere almacenar su
información financiera y le ofrecen las siguientes alternativas:

1. Comprar un servidor 2. Comprar equipo para almacenar en la Nube

• Costo Inicial $26,000 Contrato servicio $36,000
• Costo anual mantenimiento $800 Costo anual mantenimiento $300
• Costo Anual de mano de obra $11,000 Costo Anual de mano de obra $7,000
• Impuestos por el servicio $2,600
• Valor de Salvamento $2,000 Valor de Salvamento $3,000
• Vida útil 6 años Vida útil 10 Años

• Respuesta CAUE $18,442 CAUE $16,925

 Ejercicio de Clase

Datos Proyecto A Datos Proyecto B

Valor Presente 165.000 Valor Presente 225.000
Valor Salvamento 75.000 Valor Salvamento -
Costo Anual Operación 18.000 Costo Anual Operación 16.500
Tiempo años 10 Tiempo años 8
Tasa de interés 14% Tasa de interés 14%
Fondo de Amortización de Salvamento
CAUE

Datos
Valor Presente 165.000
Valor Salvamento 75.000 Desarrollo
Costo Anual Operación 18.000 - 18.000 - 31.632,73 3.878,52
Tiempo años 10
Tasa de interés 14% CAUE - 45.754,22

Fondo de Amortización de Salvamento

CAUE

Datos
Valor Presente 225.000
Valor Salvamento - Desarrollo
Costo Anual Operación 16.500 - 16.500 - 48.503,26 -
Tiempo años 8
Tasa de interés 14% CAUE - 65.003,26
• El valor actual neto, también conocido como valor actualizado neto o valor presente neto cuyo
acrónimo es VAN es un procedimiento que permite calcular el valor presente de un determinado
número de flujos de caja futuros, originados por una inversión.
• La Empresa WERBEL se dedica a la venta de bicicletas y está pensando la posibilidad de ampliar su
negocio hacia la venta de ropa y complementos utilizados para la práctica del ciclismo. Para ello,
ha previsto un desembolso de 600.000 euros. y los siguientes cobros y pagos que se generarían
durante la vida de la inversión, que es de 4 años:
• Se pide: Determinar si es conveniente realizar la inversión propuesta: Según el Valor Actual Neto, supuesta una
rentabilidad requerida o tipo de descuento del 8%. R/ El proyecto no tiene viabilidad.

Valor Actual Neto

Años Cobros Pagos Flujo Neto

1 100.000 50.000 50.000
2 200.000 60.000 140.000
3 300.000 65.000 235.000
4 300.000 65.000 235.000

Tasa Descuento 8%

VAN = - 600.000,00 € 46.296,30 € 120.027,43 € 186.550,58 € 172.732,02 €

VAN = - 74.393,68 €
Ejercicio VAN
• A Juan le ofrecen las siguientes posibilidades para realizar una
determinada inversión:
• Determinar la alternativa más rentable, según el criterio del Valor Actualizado
Neto (VAN), si el costo de fondos o la tasa de descuento es del 7%.

Desembolso Flujo neto Flujo neto Flujo Neto Flujo Neto Flujo Neto
Inicial Caja año 1 Caja año 2 Caja Año 3 Caja Año 4 Caja Año 5
Proyecto A 1.000.000 100.000 150.000 200.000 250.000 300.000
Proyecto B 1.700.000 400.000 600.000 300.000 600.000 400.000

Proyecto A
VAN = - 1.000.000 93.458 131.016 163.260 190.724 213.896
VAN = - 207.647

Proyecto B
VAN = - 1.700.000 373.832 524.063 244.889 457.737 285.194
VAN = 185.716
Ejercicio de Clase

Desembolso Flujo neto Flujo neto Flujo Neto Flujo Neto Flujo Neto
Inicial Caja año 1 Caja año 2 Caja Año 3 Caja Año 4 Caja Año 5
Proyecto A 10.000.000 1.750.000 2.150.000 2.800.000 3.100.000 3.500.000
Proyecto B 14.000.000 2.200.000 3.100.000 4.300.000 5.250.000 6.300.000
N= 1 2 3 4 5
Costo de Fondos 12,00%
 Desembolso Flujo neto Flujo neto Flujo Neto Flujo Neto Flujo Neto
Inicial Caja año 1 Caja año 2 Caja Año 3 Caja Año 4 Caja Año 5
Proyecto A 10.000.000 1.750.000 2.150.000 2.800.000 3.100.000 3.500.000
Proyecto B 14.000.000 2.200.000 3.100.000 4.300.000 5.250.000 6.300.000
N= 1 2 3 4 5
Costo de Fondos 12,00%

Proyecto A
VAN = - 10.000.000 1.562.500 1.713.967 1.992.985 1.970.106 1.985.994
VAN = - 774.448

Proyecto B
VAN = - 14.000.000 1.964.286 2.471.301 3.060.655 3.336.470 3.574.789
VAN = 407.501
TIR por medio de excel
• La tasa interna de retorno o tasa interna de rentabilidad (TIR) de una
inversión es la media geométrica de los rendimientos futuros
esperados de dicha inversión, y que implica por cierto el supuesto de
una oportunidad para "reinvertir".

Desembolso Flujo neto Flujo neto Flujo Neto Flujo Neto Flujo Neto
Inicial Caja año 1 Caja año 2 Caja Año 3 Caja Año 4 Caja Año 5
Proyecto A - 1.000.000 100.000 150.000 200.000 250.000 300.000
Proyecto B - 1.700.000 400.000 600.000 300.000 600.000 400.000

TIR A 0,00%
TIR B 10,98%
Ejercicios de Clase
Capitalizable mensualmente.