V-1

V-BASE UNIFICADA

Se nos presenta el caso de tener que proyectar bases unificadas cuando se producen interferencias
en la fundación de dos o más columnas , o por cualquier otra restricción del proyecto. Conviene
tener presente que , en general, la base centrada es la más económica y se usa unificada cuando no
hay otra solución.
Cualquiera que fuera la distribución de presiones o la forma de la base siempre la reacción del
terreno debe coincidir con la resultante de cargas .
La primera dificultad que se nos presenta en la base unificada es considerar la distribución de
presiones del terreno, caso bien estudiado en el libro de Hahn “VIGAS FLOTANTES SOBRE
FUNDACIÓN ELÁSTICA”.
La distribución de presiones se concentrará más debajo de las columnas, siendo mayor la
concentración cuanto menor sea la rigidez que tenga la viga de fundación , o sea que la distribución
nunca es lineal pero, a los efectos prácticos, si se hace la fundación suficientemente rígida ,
podremos suponer con muy poco margen de error, la distribución lineal.
Ésta suposición nos pone del lado de la seguridad en el hormigón (pero no en el terreno), pues al no
concentrarse las cargas en las columnas nos dan mayores momentos y esfuerzos de corte en los
tramos, que los obtenidos con la teoría de la fundación elástica.
Para ver cuando estamos en un caso u otro apelamos al concepto de luz elástica:
4 4*Ec*I
Le= C*B
Donde: Ec = 4.700* f´c (MNm2) (δ 8.5.1) Módulo elasticidad del hormigón
I = Inercia viga (m4) . se supone sin fisurar.
B = Ancho de la solera de fundación (m).
c = Coeficiente de balasto suelo ( MN/m3) .( Coeficiente de proporcionalidad entre
presiones y asentamiento del terreno p= c*y)
VALORES APROXIMADOS DE c:
c= 5 N/cm3 = 5 MN/m3 , para suelo malo
c= 40 N/cm3 = 40 MN/m3, para suelo medio ( Tensión terreno 0,2 MN/m2)
c= 120N/cm3 = 120 MN/m3, para suelo muy bueno.
Tendremos distribución lineal en el terreno cuando la luz o separación entre las columnas es tal que
verifica:
π π
l <= 2 * le = 1,57*le para el tramo ; l <= 4 * le = 0,78*le para voladizo.
Nota: Cuando no pueda verificarse la luz elástica y no queremos modelarlo por computadora, no
deberíamos hacernos problemas pues con el hormigón casi siempre estaremos del lado de la
seguridad, y del lado del terreno bastaría con reducir un poco la tensión admisible del terreno con lo
que aumentaría el ancho b de la solera , algo similar a la reducción que se hizo de la tensión
admisible para la base excéntrica.
 V-2

MODELO DE BASE UNIFICADA DE TRES COLUMNAS PARA RESOLVER POR

ELEMENTOS FINITOS CON UN PROGRAMA DE PÓRTICO PLANO.

Como vemos en la figura se divide en tantas barras como creamos conveniente, y en los nudos se
colocan resortes . La carga de la columna se puede introducir mediante una carga repartida en la
barra. Una vez resuelto el pórtico, para obtener la tensión del terreno en cada resorte se divide la
carga por su área de influencia.

BASE UNIFICADA DE TRES COLUMNAS CON VIGA RÍGIDA.

Lo primero que se hace es hallar la resultante Ru y su punto de punto de paso G.

Ru= P1u+P2u+P3u ( Cargas últimas o mayoradas) ; XG = Absisa Ru
Rs = P1s+P2s+P3s ( Cargas sin mayorar)
Ru
Tensión de terreno de referencia σref = σadm *
Rs
Ru
Area solera Ω= ⇒ A*B >= Ω
σref
Los valores de A y B dependen de las restricciones y de la posición de Ru.
- Caso sin restricciones: (Ru coincide con XG)
Ru Ω
q= A ; B >=A
- Caso Ru cae dentro del núcleo central (diagrama trapecial de tensiones)
cuando la excentricidad de Ru ( e = XG-A/2) es e <=A/6
Nos da un diagrama de tensiones lineales :
Ru 6*Ru*e
σmax ,min = A*B +_ A2*B <=σref (σmin>=0 , compresión positivo)
- Caso Ru cae fuera del núcleo central ( Sección eficaz): e >A/6
En este caso el diagrama de tensión es triangular , con Ru en el baricentro del triángulo :
Se calcula x= A-(A/2+e) . El lado del triángulo será 3*x.
Para evitar el vuelco debe ser 3*x.>A/2.
2*Ru
Se calcula el ancho B : B>=
3*x*σref
V-3
 V-4

BASE TRAPECIAL O TRIANGULAR.

Este tipo de base se usa cuando se debe unificar , por ejemplo la fundación de dos columnas,
una medianera C1 con carga P1u y otra columna C2 con carga P2u .siendo P1u>P2u ,o sea la
resultante de ambas cargas Ru=P1u+P2u está mas cerca de C1 que de C2

- Si está dentro del tercio central tengo:

BASE TRAPECIAL
Ru B1+B2
Ω= (tensión uniforme) ; Ω= 2 * A (Área trapecio) ;
σref
A 2*B2+B1
XG= 3 * B2+B1 (baricentro trapecio) (Sistema de 2 ecs. con 2 incógnitas B1 Y B2)
- Si la resultante cae en el tercio lateral tengo :
BASE TRANGULAR:

Ru B1*3 XG 2*Ω
Ω= Ω= ; B1= 3*XG
σref 2
La solera en ambos casos se resuelve para el ancho de 1m y con la carga mayor en cada caso.
Ver TIPOLOGIAS.
CÁLCULO DE BASE UNIFICADA DE TRES COLUMNAS.
Datos:
Dimensiones : C1(dx1,dy1); C2(dx2,dy2) ; C3(dx3,dy3)
CARGAS ( MN )P1u , P1s; P2u, P2s; P3u, P3s en MN
Tensión del terreno σadm(MN/m2) , Coef. de balasto C(MN/m3)
Cota de fundación CF(m)
l1(m),l2(m) y, restricciones si las hay.
Ru
- Resultantes: Ru = P1u+P2u+P3u ; Rs= P1s+P2s+P3s ; σref = σadm * Rs
- Punto de paso (sumatoria momento respecto a P3u =0)
P1u*(l!+l2)+P2u*l2
AG = Ru (distancia de G a P1)
Ru
- Area solera Ω=
σref
A
- Adopción de B de manera que de valores razonables. Importante: cuidar que la relación B <=5 .En
caso de superarlo la base se calculará como muro continuo( ojo cambia σadm).
Ω
- Cálculo de A : A= B (Múltiplo de 0,05m)

- Centrado solera :
XG = A/2
 V-5

Cálculo de las solicitaciones .

Aplicamos el método de los incrementos finitos. Calculamos todo como si fueran cargas
concentradas y luego hallamos los diagramas definitivos, teniendo en cuenta la carga uniforme.

PUNTO Aui (MN)↑+ Vui(MN) Δxi(m) ΔMui(MNm) Mui(MNm)

(1) A1↑ M1=0
V1= A1 Δx1 V1*Δx1
(2) A2↓ M2=M1+ V1*Δx1
V2= V1-A2 Δx2 V2*Δx2
(3) A3 ↑ M3=M2+ V2*Δx2
V3=V2+A3 Δx3 V3*Δx3
(4) A4↓ M4=M3+ V3*Δx3
V4=V3-A4 Δx4 V4*Δx4
(5) A5 ↑ M5=M4+ V4*Δx4
V5=V4+A5 Δx5 V5*Δx5
(6) A6↓ M6=M5+ V5*Δx5
V6=V5-A6 Δx6 V6*Δx6
(7) A.7 ↑ M7=M6+ V6*Δx6=0
V7=0
V-6
 V-7

CALCULO DE LA VIGA.
Para el cálculo caben las mismas consideraciones que para la viga de equilibrio :

- Adoptar b0
- Calcular Mnmax
- Calcular d (puede ser placa)
- Calcular h (múltiplo de 0,05m
- Verificar luz elástica:
4 4*Ec*I
Le= C*B ; l1; l2 <=3,14/2*Le ( si no verifica se puede aumentar I )
- Verificar el corte
- Calcular armadura principal .
- Calcular armaduras de corte
- Si es más de 1m de alto calcular armadura transversal y verificar
- Calcular longitudes de anclaje
-
- Detalles de armado

CÁLCULO DE LA SOLERA.
Es igual que la solera de la viga de equilibrio.

EJEMPLO V-1 – BASE UNIFICADA DE TRES COLUMNAS.

DATOS: H20 – ADN 420
- C1 (0,40 x 0,55) P1s= 1,8 MN ; P1u = 2,25 MN
C2 (0,40 x 0,45) P2s= 1,4 MN ; P2u = 1,75 MN
C3 (0,40 x 0,50) P3s= 1,6 MN ; P3u = 2,0 MN
- σadm= 0,3 MN/m2 ,
- c = 40 N/cm3 = 40 MN/m3 =40000KN/m3 (Coef. De balasto)
- Cota fund. Cf= -3,00m
- l1= 2,07m ; l2 = 2,30m ( entre ejes de columnas)
Sin restricciones.
1) Cálculo de la resultante y su posición
Rs=1,80+1,40+1,60 = 4,80 MN Resultante cargas sin mayorar.
Ru= 2,25+1,75+2,00= 6,00MN Resultante cargas mayoradas
1.75*2.07+2.0*4.37
ΣMC1= 0 ⇒ xR = 6.00 = 2,06042 m
Adoptamos redondeando xR = 2,06 m ( despreciamos ΔxR= 0,00042m)
2) Área de la solera.
Ru 6
σref = σadm * Rs =0,3 * 4.8 = 0,375
Rs Ru 6.0
Ω= = = 0.375 = 16 m2
σadm σref
3) Adoptamos B = 2,5m
Ω 16
A= B = 2.5 = 6,40 m
3) CENTRAMOS LA SOLERA:
XG= A/2 = 3,20 ( se coloca A/2 a cada lado XG)
4) CARGA REPARTIDA DE LA VIGA
 V-8

Ru 6.0
qu= A = 6.40 =0,9375 MN/m
5) Se concentran las cargas:
A1=0,9375* 0,94=0,88125 MN
A2=2,25 - 0,9375* 0,40 = -1,875
A3= 0,9375*1,67 = 1,565625
A4= 1,75 - 0,9375* 0,40 = -1,375
A5= 0,9375* 1,90 = 1,78125
A6= 2,0 - 0,9375* 0,40 = - 1,625
A7= 0,9375*0,69 = 0,646875
========
Sumatoria ∑ Ai= 0,00000 OK

PUNTO Aui (MN)↑+ Vui(MN) Δxi(m) ΔMui(MNm) Mui(MNm)

(1) 0,88125↑ M1=0
0,88125 0,67 0.590438
(2) -1,875↓ 0.590438
-0,99375 1,035 -1.028531
(3) 1,565625 ↑ -0.438093
0,571875 1,035 0.591179
(4) -1,375↓ 0.153086
-0,803125 1,15 -0.9235938
(5) 1,78125 ↑ - 0.7705078
0,978125 1,15 1.124844
(6) - 1,625↓ 0.3543363
-0,646875 0,545 -0.352547
(7) 0,646875 ↑ 0.0017893≅ 0
0,0000

0.0017893
Error relativo máximo de (Mu) = 0.7705078 =0,0023 = 0,23 % (muy aceptable)
Notar el diagrama de momento da un ΔM = 0,0017893 (no termina en 0). Eso proviene
despreciar 0,00042 m en la posición de la resultante:
Verificación: Ru*ΔxR= 6*0,00042 =0.00252 ≅ 0,00178
Si se quiere minimizar el error se pueden realizar los cálculos de izquierda a derecha y luego
promediar los resultados
6) CALCULO VIGA
En este caso ln/h=(2.3-0.4)/0.95=2,0<4 ( Sería de gran altura pero a la flexión la calculamos como
esbelta, da la misma armadura)
Adopto b0 = 0,65 m ; Mumax= 0,485 MNm Mnmax= 0,485/0,9 = 0,539 MNm

(Mnmax) 0.539
d(m)=Kd* b0(m) = 0,469* 0.65 = 0,43 m
Adoptamos h= 0,95 m (altura que será necesaria para el corte)
Suponemos barras ∅B = 16mm
d = h – (∅B/2 +0,01+0,05) = 0,95 – (0,016/2+0,01+0,05) = 0,88 m
d=0,88 m.
 V-9

VERIFICACIÓN LUZ ELÁSTICA

Ec = 4.700* f´c = 4700* 20 = 21019 (MN/m2) (δ 8.5.1) Mód. Elast. hormigón
b0*h3 0.65*0.953
I = 12 = 12 = 0,046m4 ; B = 2,5 m . c = 40 MN/m3

4 4*Ec*I 4 4*21019*0.046
Le= C*B = 40*2.5 = 2.49 m
π π
Debe ser l2=2,30 m <=2 *Le= 2 *2,49 = 3,91m OK verifica tramo
π π
Debe ser l= 1,14m <= 4 *Le =4 *2,49 =1,95 OK verifica
VERIFICACIÓN AL CORTE VIGA
Apoyo directo el esfuerzo de corte se podría verificar a una distancia d del apoyo (δ11.1.3.1).
Pero en este caso ln/d=(2.3-0.4)/0.88=2,16<4 : para el corte viga de gran altura ( δ 11.5.1)
El corte se verifica al borde de la columna
El esfuerzo de corte máximo se produce en C1
Vu= Vumax= 0,99375
Vu 0.99375
Vn >= = 0.75 = 1,325 MN
Φ
f 'c(MN/m2) 20
Vc (MN) = ( 6 )* b0(m) * d(m) = ( 6 )* 0,65 * 0,88 = 0,426 MN
Verificación biela comprimida:
Vn=1,325<=5*Vc=5*0,426=2,15 OK verifica
Vu
Además 3* Vc <= < =5* Vc Corresponde cuarto caso de corte.
Φ
Armadura de corte:
Como d=0,95<1,00m no corresponde calcular la armadura de piel del ( 10.6.7). Pero al ser por el
corte viga de gran altura deben proveerse estribos mínimos verticales y horizontales :
Armadura vertical Av(cm2)>=0,0025*bw(cm)*s(cm)=0,0025*65cm*100cm=16,25 cm2/m
Armadura horizontal Avh(cm2)>=0,0015*bw(cm)*s(cm)=0,0015*65cm*100cm= 9,75 cm2/m
==========
Armadura total Avt= 26,00 cm2/m
Nota: para el caso 4 de corte s deberá cumplir s <= d/4 ; además s <=0,20 m (δ 11.5.4.3)
La armadura necesaria de estribos es:
Vs=Vn-Vc = 1,325-0,426 = 0,899 Mn
Vs*s 0.899*1m
Armadura necesaria: Avtcorte = fy*d = 420*0.88 = 0,00243m2 = 24,3 cm2/m Ec. (11.15)
Vemos que con la armadura necesaria para viga de gran altura cubro el corte:
Estribos verticales: si adoptamos estribos ∅ = 12mm de 2 ramas
1.22
Av12mm = 2* 3,14 * = 2,26 cm2
4
Av(cm2/m) 16.25 100cm
Nº de estribos en 1m : nv= = =7,19 sv(cm)= = 12,19 cm ∅ 12c/12
Av12mm 2.26 7.19
(s<0,20m y s<d/4 por cuarto caso)
Estribos (barras) horizontales: si adoptamos estribos ∅ = 12mm de 2 ramas

Avh(cm2/m) 9.75 100cm

Nº de estribos en 1m nh= Av12mm =2.26 =4,31 sh(cm)= 4.31 =23cm ∅ 12c/23
V-10
 V-11

CALCULO ARMADURA PRINCIPAL VIGA.

Cálculo por tablas: Tabla FLEXION 3 (Cirsoc 201) ( Se supone esbelta)

Se trabaja con el momento exterior nominal:
Sección (2) Mumax = 0,485 MNm
0.485
Mnmax = 0.9 = 0,539 MNm
Entrando con f`c ; fy y kd
d 0.88
kd = = = 0,97 ⇒ ke =24,7 ; kz =0,96 ; z =kz*d= 0,96*0,88= 0,84
Mnmax 0.539
b0 0.65
Mnmax(MNm) 0.539
As2 = ke * d(m) = 25 * 0.88 = 15,31 cm2 As2 = 16,04 cm2 8 ∅ 16 (abajo)
Sección (3) Mu =- 0,145 MNm ; Mn =- 0,145/0.9 = -0,161 MNm ( notar que es viga placa )
0.88 0.161
kd = = 3.47 ⇒ ke =24 ; As3 = 24 * 0.88 = 4,4 cm2 3 ∅ 16 (arriba)
0.161
2.5
0.08 0.089
Sección (4) Mu = 0,08 ; Mn = = 0,089 As4 = 24 * = 2,43 cm2 2 ∅ 16(abajo)
0.9 0.88
-0.369 0.405
Sección (5) Mu =-0,365 ; Mn= 0.9 =-0,405MNm As5 =24* 0.88 =11,04cm2 6∅16(arriba)
0.439
Sección (6) Mu=0,395 ; Mn =0,395/0.9=0,439 As6 = 24* =11,97cm2 colocar 6 ∅16(abajo)
0.88
Notar que en todos los casos los hierros entran bien en el ancho b0 = 0,65 m
NOTA: A pesar de ser viga de gran altura a la armadura principal la calculamos como viga esbelta
.. Para relaciones de luz/altura menores de 2 ya deberíamos considerarla como viga de gran altura,
como lo hacia la norma DIN, en ese caso deberíamos tomar z=2/3*d .

ARMADURA LONGITUDINAL
Como d= 0,95 <1,00m no corresponde armadura de piel ( 10.6.7)
ANCLAJES ARMADURA PRINCIPAL
Anclajes en sección (2) Columna C1. (voladizo armadura inferior: 8 ∅ 16 )
Ψt =α = 1,0 ; Ψe= β = 1,0 ; Ψs =γ = 0,8 (∅<= 16mm); λ = 1,0
Espacios entre barras: 0,65– ( 0,05+0,05+0,012+0,012+ 8*0.016)= 0,65 –0252 = 39,8 cm
Un espacio = 39,8/7= 5,7 cm c= (5,7+1,6)/2 = 3,65cm (es determinante frente al recubr.)
As =18,82 cm2 (∅ 12c/12) armadura de estribos verticales.
As fyt 0.001888 *420
Ktr = 10 s n = 10 *1.00*8 =0,01m
c+Ktr 0.0365+0.01 c+Ktr
( d )= 0.016 = 2,9 >2,5 ( corresponde adoptar d = 2,5)
b b
ld 9 fy ΨtΨeΨs λ 9 *420 1.01.0*0.8*1.0
db = 10 f`c * c+Ktr =
10 20 2.5 = 27 ; ld = 27*1,6 = 43cm
( d )
b
Longitud embebida le = 1,07 > ld= 0,43 m OK verifica
Nota1: de los 8 ∅ 16 : (abajo)
6 ∅ 16 se prolongan de extremo a extremo ( en extremo derecho : le = 0,85 > ld ≅ 0,43 )
2 ∅ 16 se cortan en la abscisa marcada ( después del punto de mto. nulo).Se prolongan
a=d=0,88(decalaje) después del momento nulo.
 V-12

Nota2: No obstante lo anterior se aconseja prolongar en ambos extremos los hierros hacia arriba en
por lo menos 0,43m , )
Anclaje de las 2 ∅ 16 (abajo), después del punto de mto. nulo , se prolongan por lo menos
d =a=0,88m.
Se ve que la longitud embebida es mayor que ld. : le= 88+72=1,60 >ld=0,43 OK
Además se debe cumplir con el art. (δ 12.11.3) del Cirsoc:
Mn= n*As*fy*z=2*0,0002*420*0,90*0,88 = 0,133MNm (momento nominal que desarrollan los 2
∅ 16)
Vu = 0,5 MN Esfuerzo de corte en el punto de mto. nulo
Mn 0.133
Debe ser ld<= Vu +d (δ 12.11.3) ld ≅ 0,43<= 0.5 +0.88 = 1,15 m OK verifica
Anclaje de las 6 ∅ 16 (arriba), antes del punto de mto. nulo , se prolongan por lo menos
d =a=0,88m.
ld= 0,43 *1,3 = 0,56 m (α = 1,3 arriba: zona de mala adherencia)
Esta longitud se puede disminuir por (δ 12.2.5), armadura exceso:
0.145
ld= 0,56 * 0.365 = 0,22 ( se supone armaduras proporcional al momento)
Se ve que la longitud embebida es mayor que ld. : le= 0,88+0,5=1,38 >ld=0,22 OK
Art. (δ 12.11.3) del Cirsoc:
Mn= n*As*fy*z=6*0,0002*420*0,9*0,88 = 0,40MNm (momento nominal que desarrollan los
6 ∅ 16)
Vu = 0,5 MN Esfuerzo de corte en el punto de mto. nulo .
0.40
ld ≅ 0,22<= +0.88 = 1,68 m OK verifica
0.5
CÁLCULO DE LA SOLERA.
El esfuerzo de corte y el momento al borde viga:
Ru (B-b0) 6.0 (2.5-0.65)
Vu = B * 2 = 2.5 * 2 = 2,22 MN ( Esf .de corte máx.)
(B-b0) (2.5-0.65)
Mumax = Vu * 4 = 2,22* 4 = 1,027 MNm ( momento último máx)
Mnmax= Mumax/0.9= 1,14 Mn ( momento máximo nominal)
Cálculo por tablas: Tabla FLEXION 3 (Cirsoc 201)
Entrando con f`c ; fy y kd
Mnmax 1.14
db = kd * A =0.469 * 6.4 =0,20m Se debe aumentar para verificar corte:
Conviene adoptar una altura mayor que la que da este cálculo para que verifique el corte
Calculo altura por corte:
Ru 6.0
q(MN/m2)= B = 2.5 = 2.4 MN/m2
bw= A= 6.4
(B-b0) (2.5-0.65)
l(m)= 2 = 2 = 0,935 m
6*q(MN/m)*l(m) 6*2.4*0.935
db(m) = = =0,37 m
Φ* f 'c(MN/m2) *bw(m)+6*q(MN/m) 0.75* 20 *6.40+6*2.4
Vemos que da mucho más que para el momento
Adoptamos h = 0,45m (múltiplo de 0,05 m)
d = h - 0,05 - ∅/2 = 0,45 – 0,05 - 0,016/2 = 0,392 m d= 0,39m
 V-13

VERIFICACIÓN AL CORTE DE LA SOLERA (VIGA ANCHA). (como ejercicio)

Tenemos apoyo directo:
Ru B-b0 6.0 (2.5-0.65)
Vu = B *( 2 - db)= 2.5 *( 2 - 0,39) = 1,284 MN caso apoyo directo
20
Vc= 0,75*( 6 ) * 6,4*0,39 =1,395 MN>=Vu(MN) = 1,284 MN OK verifica
Nota: al ser tan baja la solera no se justifica hacerla de altura variable.
ARMADURA DE LA SOLERA.
Cálculo por tablas: Tabla FLEXION 3 (Cirsoc 201)
Mnmax= 1,14 MNm ( momento máximo nominal

db 0.39
kd= = = 0,924 ⇒ ke= 24,3 ; kz = 0,98 ; kc= 0.048
Mnmax 1.14
A 6.4
Mnmax(MNm) 1.14
As (cm2) = ke * d(m) = 24,3* 0.39 = 71,03 cm2
Asmin = 0,0018* b*h = 0,0018 * 6,4 * 0,45= 0,005184m2 = 51,84 m2 < 71,03 OK verifica
Adoptamos 36 ∅ 16 o sea ∅16c/18cm ( cumple sep. Máxima)
ARMADURA DE REPARTICIÓN:
Armadura de repartición por metro:
As(cm2) 71.03
Asr(cm2/m) = 0,2 * A = 0,2* 6.4 = 2,22 cm2/m ∅10c/25cm (s <= 25 *∅)

MODELADO POR ELEMENTOS FINITOS:

 V-14

EJEMPLO V-2 – BASE UNIFICADA TRAPECIAL (Restricción de medianera).

DATOS: H30 – ADN 420

- C1 (0,40 x 0,40) P1s= 1,0 MN ; P1u = 1,25 MN (Medianera)
C2 (0,30 x 0,40) P2s= 0,8 MN ; P2u = 1,00 MN
- σadm= 0,25 MN/m2 ,
- c = 40 N/cm3 = 40 MN/m3 =40000KN/m3 (Coef. De balasto)
- Cota fund. Cf= -3,00m - l1= 3,20m ( entre ejes de columnas)
Restricciones. C1 : columna medianera .(Notar:Piu>P2u)
Rs=P1s+P2s= 1,00+0,8,0=1,80MN
Ru=P1u+P2u= 1,25+1,0=2,25MN
2.25 MN
σref=0,25 * 1.8 =0,3125 m2
Ru 2.25 1.0*3.2
Ω= = 0.3125 = 7,2 m2 x= 2.25 =1,42 → xG=1,42+0,20=1,62
σref
Como P1u>P2u el baricentro está más cerca de P1u que de P2u .Si adoptamos un ancho de base
A A
A=3,60, notamos que e= 2 -xG=1,80-1,62=0,18 < 6 dentro del núcleo central (si la base fuera
rectangular ,con tensión del terreno no uniforme) ; por lo tanto podemos adoptar una base en forma
de trapecio cuyo baricentro coincida con xG ( con tensión del terreno uniforme) . Trapecio con
base mayor B1; base menor B2 y altura A=3,60.
Cálculo de B1 y B2:
B1+B2 A (2B2+B1)
2 *A=Ω ; 3 * B1+B2 =xG ; sistema de 2 ecs. con dos incógnitas
B1+B2 3.60 (2B2+B1)
2 *3,60=7,2 ; 3 * B1+B2 =1,62
De la primera ec. : B1+B2=4 ; reemplazo en la segunda ec.

3.60 (2B2+B1) 2B2+B1 2B2+4-B2

3 * 4 =1,62 → 4 = 1,35 → 4 = 1,35 →B2=1,45 ; B1=2,60
2.60+2.40
Verificación: Ω= 2 *3,60=7,2 OK
Cálculo del Mto máximo:
Donde el esfuerzo de corte Vu es nulo , la ecuación de Vu es cuadrática, y se debe platear una
ecuación de 2º grado, viniendo de la derecha : Vu=0:
0.375 x
1-0,4375*x - 3.60 * 2 *x=0 →0,052*x2 +0,4375*x -1=0
-4.375+- 0.43752 +4*0.052*1
x1;x2= → x1=1,88 x2=-10,28 ( no va)
2*0.052
0.375 1.88
Verificación( de la derecha): Vu=0,4375*1,88+ 3.60 *1,88* 2 =1 OK
1.882 1.882
Mumax=-1*(1,88-0,2)+0,4375* 2 +0,196 6 = 0,792 MNm
Nota: El diagrama de Momentos sigue una parábola cúbica. En forma simplificada y muy por el
lado de la seguridad se podría calcular como una viga con una carga concentrada: Ru= 2,25MN
Ru*a*b 2.25*1.42*1.78
Daría un momento M0= l = 3.20 =1,77MNm
Si trazamos la parábola cuadrática me un momento mayor que el calculado, como se ve en el
dibujo.
V-15
 V-16

ALTURA DE LA VIGA
Adoptamos b0=0,50m ( aunque la viga es placa la supongo rectangular)
0.792 0.88
Mn= 0.90 =0,88 d=0.383 * 0.50 =0,51 .Adopto h=0,95m d=0,95-0,05-0,01-0,01=0,88m
Verificación de la luz elástica:
Como el ancho de la base es variable tomamos un ancho promedio: B=2,00m
Ec = 4.700* f´c = 4700* 30 = 25743 (MN/m2) (δ 8.5.1) Mód. Elast. hormigón
b0*h3 0.50*0.953
I = 12 = 12 = 0,0357m4 ; B = 2,5 m . c = 40 MN/m3

4 4*Ec*I 4 4*25743*0.0357
Le= C*B = 40*2.0 = 2.60 m l=3,20<1,57*2,60=4,08 OK

VERIFICACIÓN AL CORTE.
Como ln/d=(3,20-0.4)/0.88=3,18<4 : para el corte viga de gran altura ( δ 11.5.1)
El corte se verifica al borde de la columna C1:
0.8125+0.77 0.933
Vu=1,25- 2 *0,40=0,933 Vn= 0.75 =1,244
30
Vc = ( 6 )* 0,50 * 0,88 = 0,40 MN 5*0,40=2,0>Vn=1,244 4º Caso
ARMADURA PRINCIPAL DE LA VIGA.
A flexión la calculamos como viga esbelta:
0.88 0.88
kd = = 0,661 ⇒ ke =25,2 As= 25,2* 0.88 =25,2 cm2 8 ∅ 20 (arriba)
0.88
0.50
ARMADURA DE CORTE
Se arma como una viga de gran altura
0.80*1m
Vs=Vn-Vc=1,24-0,40=0,80 Avt= 420*0.88 =0,002164= 21,64 cm2/m
Arm. Regl. Horizontal : Avh=0,0015*b*s=0,0015*50*100= -7,5 cm2/m ∅ 10c/20
======
Armadura de estribos (vertical) Av= 14,14 cm2/m ∅ 12c/16
Notar que 14,14cm2/m>0,002*50*100=10cm2/m ( cumple arm. min estr. vig.de g.a)
SOLERA.
Se toma 1 m de ancho en la parte más ancha de la base:
2.60-0.50
l= 2 =1,05 qu=σref=0,3125MN/m
1.052 0.172
Mu=0,3125* 2 =0,172 Mn= 0.9 =0,191MNm

6*q*l 6*0.3125*1.05
db(m) = = =0,3 m Adopto hb=0,45
Φ* f'c *bw+6*q 0.75* 30 *0.50+6*0.3125

0.39
d=0,45-0,05-0,01=0,39 kd = = 0,89 →Ke=24,7
0.191
1.00
0.191
As = 24,7* 0.39 = 12,09 cm2 → ∅ 16c/19
Asmin = 0,0018* b*h = 0,0018 * 100 *45= 8,1<12,09 OK
Armadura de repartición
 V-17

Asr=0,2*12,09=2,41 cm2/m → ∅ 10c/25

NOTA1: La armadura puede cambiar de acuerdo a la luz de la solera, se recomienda tomar de a
tercios.
NOTA2: Si la base se hiciera rectangular con tensión del terreno variable nos daría una solera de
2,60x3,60 , la viga quedaría exactamente igual.

EJEMPLO V-3 – BASE UNIFICADA DE DOS COLUMNAS

DATOS: H30 – ADN 420

- C1 (0,30 x 0,40) P1s= 0,8 MN ; P1u = 1,00 MN
C2 (0,40 x 0,40) P2s= 1,0 MN ; P2u = 1,25 MN
- σadm= 0,25 MN/m2 ,
- c = 40 N/cm3 = 40 MN/m3 =40000KN/m3 (Coef. De balasto)
- Cota fund. Cf= -3,00m - l1= 3,20m ( entre ejes de columnas)
.Notar que como Piu<P2u y del lado de C2 no hay restricciones puedo proyectar una solera
rectangular, es como el ejemplo anterior pero la cargas están invertidas
Rs=P1s+P2s= 0,8 +1,00=1,80MN
Ru=P1u+P2u= 1,0+1,25=2,25MN
2.25 MN
σref=0,25 * 1.8 =0,3125 m2
Ru 2.25 1.25*3.2 A
Ω= = 0.3125 = 7,2 m2 x= 2.25 =1,78 → xG=1,78+0,20=1,98 = 2 →A=3,96m
σref

Ru 2.25 7.2
Ω= = 0.3125 = 7,2 m2 B= =1,85m
σref 3.96
Ru 2.5
qu= A = 3.06 = 0,568MN/m
Cálculo del Mto máximo:
Donde el esfuerzo de corte Vu es nulo , viniendo por la izquierda : Vu=0
1 1.762
χ= 0.568 =1,76 Mumax=-1*1,56+,568* 2 = 0,68MNm
También podríamos hallarlo por incrementos finitos y hacerlo gráficamente como se ve el dibujo
 V-18

VERIFICACIÓN AL CORTE.
Como ln/d=(3,20-0.4)/0.88=3,18<4 : para el corte viga de gran altura ( δ 11.5.1)
El corte se verifica al borde de la columna C2:
 V-19

0.8178
Vu=0,8178 Vn= 0.75 =1,09
30
Vc = ( 6 )* 0,50 * 0,88 = 0,40 MN 5*0,40=2,0>Vn=1,09 3º Caso
ARMADURA PRINCIPAL DE LA VIGA.
A flexión la calculamos como viga esbelta: (Sección (2) momento máximo)
0.88 0.68
kd = = 0,647 ⇒ ke =25 As= 25* 0.88 =19,31 cm2 7 ∅ 20 (arriba)
0.68
0.50
Sección (3) Mu=0,077
Es una ménsula corta
0.07
As= =.75*420* 0.88*0.85 =2,7 cm2 3 ∅ 12 (abajo)
ARMADURA DE CORTE
Se arma como una viga de gran altura
0.69*1m
Vs=Vn-Vc=1,09-0,40=0,69 Avt= 420*0.88 =0,001867= 18,67cm2/m
Arm. Regl. Horizontal : Avh=0,0015*b*s=0,0015*50*100= -7,5 cm2/m ∅ 10c/20
======
Armadura de estribos (vertical) Av= 11,17 cm2/m ∅ 12c/20
Notar que 11,17cm2/m>0,002*50*100=10cm2/m ( cumple arm. min estr. vig.de g.a)

SOLERA.
Se toma 1 m de ancho en la parte más ancha de la base:
1.85-0.50
l= 2 =0,65 qu=σref=0,3125MN/m
0.652 0.0066
Mu=0,3125* 2 =0,066 Mn= 0.9 =0,0733MNm

6*q*l 6*0.3125*0.65
db(m) = = =0,12 m Adopto hb=0,30
Φ* f'c *bw+6*q 0.75* 30 *0.50+6*0.3125

0.24
d=0,30-0,05-0,01=0,24 kd = = 0,89 →Ke=24,7
0.0733
1.00
0.0733
As = 24,7* 0.24 = 7,54 cm2 → ∅ 12c/15
Asmin = 0,0018* b*h = 0,0018 * 100 *30= 5,4 <7,54 OK
Armadura de repartición
Asr=0,2*7,54=1,51 cm2/m → ∅ 10c/25