Presentado por: Sergio Andrés Bejarano Rodríguez

Grupo: LCAT - 6

Clasificación de las proposiciones

1. Demuestre que las siguientes proposiciones son tautologías para cualesquiera
proposiciones φ, ψ, τ :

b) ((φ ≡ ψ) ≡ (ψ ≡ φ)).

Por la nota 2.20 del metateorema 2.19 existen cuatro casos:

 0. v(φ) = F (Suposición)
1. v(ψ) = T (Suposición)
2. v((φ ≡ ψ)) = F (MT 2.23 caso ≡ , pasos 0 y 1)
3. v((ψ ≡ φ)) = F (MT 2.23 caso ≡ , pasos 1 y 0)
4. v(((φ ≡ ψ) ≡ (ψ ≡ φ))) = T (MT 2.23 caso ≡ , pasos 2 y 3)

 0. v(φ) = T (Suposición)
1. v(ψ) = F (Suposición)
2. v((φ ≡ ψ)) = F (MT 2.23 caso ≡ , pasos 0 y 1)
3. v((ψ ≡ φ)) = F (MT 2.23 caso ≡ , pasos 1 y 0)
4. v(((φ ≡ ψ) ≡ (ψ ≡ φ))) = T (MT 2.23 caso ≡ , pasos 2 y 3)

 0. v(φ) = F (Suposición)
1. v(ψ) = F (Suposición)
2. v((φ ≡ ψ)) = T (MT 2.23 caso ≡ , pasos 0 y 1)
3. v((ψ ≡ φ)) = T (MT 2.23 caso ≡ , pasos 1 y 0)
4. v(((φ ≡ ψ) ≡ (ψ ≡ φ))) = T (MT 2.23 caso ≡ , pasos 2 y 3)

 0. v(φ) = T (Suposición)
1. v(ψ) = T (Suposición)
2. v((φ ≡ ψ)) = T (MT 2.23 caso ≡ , pasos 0 y 1)
3. v((ψ ≡ φ)) = T (MT 2.23 caso ≡ , pasos 1 y 0)
4. v(((φ ≡ ψ) ≡ (ψ ≡ φ))) = T (MT 2.23 caso ≡ , pasos 2 y 3)
En todos los casos v (((φ ≡ ψ) ≡ (ψ ≡ φ))) = T.
Por lo tanto, por definición |=((φ ≡ ψ) ≡ (ψ ≡ φ)).

c) ((φ ≡ true) ≡ φ).

Por la nota 2.20 del metateorema 2.19 existen dos casos:

 0. v(φ) = F (Suposición)
1. v(true) = T (Dado)
2. v((φ ≡ true)) = F (MT 2.23 caso ≡ , pasos 0 y 1)
3. v(((φ ≡ true) ≡ φ)) = T (MT 2.23 caso ≡ , pasos 2 y 0)

 0. v(φ) = T (Suposición)
1. v(true) = T (Dado)
2. v((φ ≡ true)) = T (MT 2.23 caso ≡ , pasos 0 y 1)
3. v(((φ ≡ true) ≡ φ)) = T (MT 2.23 caso ≡ , pasos 2 y 0)
En todos los casos v (((φ ≡ true) ≡ φ)) = T.
Por lo tanto, por definición |=((φ ≡ true) ≡ φ).

f ) ((φ ∨ false) ≡ φ).

Por la nota 2.20 del metateorema 2.19 existen dos casos:

 0. v(φ) = F (Suposición)
1. v(false) = F (Dado)
2. v((φ V false)) = F (MT 2.23 caso V , pasos 0 y 1)
3. v(((φ V false) ≡ φ)) = T (MT 2.23 caso ≡ , pasos 2 y 0)

 0. v(φ) = T (Suposición)
1. v(false) = F (Dado)
2. v((φ V false)) = T (MT 2.23 caso V , pasos 0 y 1)
3. v(((φ V false) ≡ φ)) = T (MT 2.23 caso ≡ , pasos 2 y 0)
En todos los casos v (((φ V false) ≡ φ)) = T.
Por lo tanto, por definición |= ((φ V false) ≡ φ).

g) ((φ ∨ φ) ≡ φ).

Por la nota 2.20 del metateorema 2.19 existen dos casos:

 0. v(φ) = F (Suposición)
1. v((φ ∨ φ)) = F (MT 2.23 caso V , paso 0)
2. v(((φ ∨ φ) ≡ φ))= T (MT 2.23 caso ≡ , pasos 1 y 0)

 0. v(φ) = T (Suposición)
 1. v((φ ∨ φ)) = T (MT 2.23 caso V , paso 0)
2. v(((φ ∨ φ) ≡ φ))= T (MT 2.23 caso ≡ , pasos 1 y 0)
En todos los casos v (((φ ∨ φ) ≡ φ)) = T.
Por lo tanto, por definición |= ((φ ∨ φ) ≡ φ).

k) (¬(φ ∧ (¬φ))).

Por la nota 2.20 del metateorema 2.19 existen dos casos:

 0. v(φ) = F (Suposición)
1. v((¬φ)) = T (MT 2.23 caso ¬ , paso 0)
2. v ((φ ∧ (¬φ))) = F (MT 2.23 caso ∧ , paso 1)
3. v((¬(φ ∧ (¬φ)))) = T (MT 2.23 caso ∧ , paso 2)

 0. v(φ) = T (Suposición)
1. v((¬φ)) = F (MT 2.23 caso ¬ , paso 0)
2. v ((φ ∧ (¬φ))) = F (MT 2.23 caso ∧ , paso 1)
3. v((¬(φ ∧ (¬φ)))) = T (MT 2.23 caso ∧ , paso 2)

En todos los casos v ((¬(φ ∧ (¬φ)))) = T.

Por lo tanto, por definición |= (¬(φ ∧ (¬φ))).

l) (φ → (ψ → φ)).

Por la nota 2.20 del metateorema 2.19 existen cuatro casos:

 0. v(φ) = F (Suposición)
1. v(ψ) = F (Suposición)
2. v((ψ → φ)) = T (MT 2.23 caso → , paso 1 y 0)
3. v((φ → (ψ → φ))) = T (MT 2.23 caso → , paso 0 y 2)

 0. v(φ) = T (Suposición)
1. v(ψ) = T (Suposición)
2. v((ψ → φ)) = T (MT 2.23 caso → , paso 1 y 0)
3. v((φ → (ψ → φ))) = T (MT 2.23 caso → , paso 0 y 2)

 0. v(φ) = F (Suposición)
1. v(ψ) = T (Suposición)
2. v((ψ → φ)) = F (MT 2.23 caso → , paso 1 y 0)
3. v((φ → (ψ → φ))) = T (MT 2.23 caso → , paso 0 y 2)
  0. v(φ) = T (Suposición)
4. v(ψ) = F (Suposición)
5. v((ψ → φ)) = T (MT 2.23 caso → , pasos 1 y 0)
6. v((φ → (ψ → φ))) = T (MT 2.23 caso → , pasos 0 y 2)

En todos los casos v ((φ → (ψ → φ))) = T.

Por lo tanto, por definición |= (φ → (ψ → φ)).

n) ((φ → ψ) ≡ ((¬ψ) → (¬φ))).

Por la nota 2.20 del metateorema 2.19 existen cuatro casos:

 0. v(φ) = F (Suposición)
1. v(ψ) = F (Suposición)
2. v ((φ → ψ)) = T (MT 2.23 caso → , pasos 0 y 1)
3. v ((¬ψ)) = T (MT 2.23 caso ¬ , paso 1)
4. v ((¬φ)) = T (MT 2.23 caso ¬ , paso 0)
5. v(((¬ψ) → (¬φ))) = T (MT 2.23 caso → , pasos 3 y 4)
6. v(((φ → ψ) ≡ ((¬ψ) → (¬φ)))) = T (MT 2.23 caso ≡ , pasos 2 y 5)

 0. v(φ) = T (Suposición)
1. v(ψ) = T (Suposición)
2. v ((φ → ψ)) = T (MT 2.23 caso → , pasos 0 y 1)
3. v ((¬ψ)) = F (MT 2.23 caso ¬ , paso 1)
4. v ((¬φ)) = F (MT 2.23 caso ¬ , paso 0)
5. v(((¬ψ) → (¬φ))) = T (MT 2.23 caso → , pasos 3 y 4)
6. v(((φ → ψ) ≡ ((¬ψ) → (¬φ)))) = T (MT 2.23 caso ≡ , pasos 2 y 5)

 0. v(φ) = F (Suposición)
1. v(ψ) = T (Suposición)
2. v ((φ → ψ)) = T (MT 2.23 caso → , pasos 0 y 1)
3. v ((¬ψ)) = F (MT 2.23 caso ¬ , paso 1)
4. v ((¬φ)) = T (MT 2.23 caso ¬ , paso 0)
5. v(((¬ψ) → (¬φ))) = T (MT 2.23 caso → , pasos 3 y 4)
6. v(((φ → ψ) ≡ ((¬ψ) → (¬φ)))) = T (MT 2.23 caso ≡ , pasos 2 y 5)

 0. v(φ) = T (Suposición)
1. v(ψ) = F (Suposición)
2. v ((φ → ψ)) = F (MT 2.23 caso → , pasos 0 y 1)
3. v ((¬ψ)) = T (MT 2.23 caso ¬ , paso 1)
4. v ((¬φ)) = F (MT 2.23 caso ¬ , paso 0)
5. v(((¬ψ) → (¬φ))) = F (MT 2.23 caso → , pasos 3 y 4)
6. v(((φ → ψ) ≡ ((¬ψ) → (¬φ)))) = T (MT 2.23 caso ≡ , pasos 2 y 5)
En todos los casos v (((φ → ψ) ≡ ((¬ψ) → (¬φ))))= T.
Por lo tanto, por definición |= ((φ → ψ) ≡ ((¬ψ) → (¬φ))).

2. Demuestre que las siguientes proposiciones son satisfacibles pero no tautologías:

a) (p ≡ q).
Por la nota 2.20 del metateorema 2.19 existen cuatro casos, pero solo se analizan dos
para la demostración:
 0. v(p) = T (Suposición)
1. v(q) = F (Suposición)
2. v ((p ≡ q)) = F (MT 2.23 caso ≡ , pasos 0 y 1)

 0. v(p) = T (Suposición)
1. v(q) = T (Suposición)
2. v ((p ≡ q)) = T (MT 2.23 caso ≡ , pasos 0 y 1)

Por definición la proposición es satisfacible porque se demostró que hay por lo menos
un caso donde el resultado de la valuación es T. Y al demostrar que existe al menos un
caso donde la valuación es F, se concluye por definición que la proposición no es
tautología.

b) ((¬p) ∨ q).
Por la nota 2.20 del metateorema 2.19 existen cuatro casos, pero solo se analiza uno
para la demostración:
 0. v(p) = T (Suposición)
1. v(q) = F (Suposición)
2. v((¬p)) = F (MT 2.23 caso ¬ , paso 0)
3. v (((¬p) ∨ q)) = F (MT 2.23 caso ∨ , pasos 1 y 2)

 0. v(p) = F (Suposición)
1. v(q) = T (Suposición)
2. v((¬p)) = T (MT 2.23 caso ¬ , paso 0)
3. v (((¬p) ∨ q)) = T (MT 2.23 caso ∨ , pasos 1 y 2)
Por definición la proposición es satisfacible porque se demostró que hay por lo menos
un caso donde el resultado de la valuación es T. Y al demostrar que existe al menos un
caso donde la valuación es F, se concluye por definición que la proposición no es
tautología.
3. Proponga 3 proposiciones que sean contradicciones.

1) (((⌐p)˄(⌐q))˄p)
Por la nota 2.20 del metateorema 2.19 existen cuatro casos:
 0. v(p) = T (Suposición)
1. v(q) = T (Suposición)
2. v((¬p)) = F (MT 2.23 caso ¬ , paso 0)
3. v((¬q)) = F (MT 2.23 caso ¬ , paso 1)
4. v (((⌐p)˄(⌐q))) = F (MT 2.23 caso ˄ , pasos 2 y 3)
5. v ((((⌐p)˄(⌐q))˄p)) = F (MT 2.23 caso ˄ , pasos 4 y 0)

 0. v(p) = F (Suposición)
1. v(q) = F (Suposición)
2. v((¬p)) = T (MT 2.23 caso ¬ , paso 0)
3. v((¬q)) = T (MT 2.23 caso ¬ , paso 1)
4. v (((⌐p)˄(⌐q))) = T (MT 2.23 caso ˄ , pasos 2 y 3)
5. v ((((⌐p)˄(⌐q))˄p)) = F (MT 2.23 caso ˄ , pasos 4 y 0)

 0. v(p) = T (Suposición)
1. v(q) = F (Suposición)
2. v((¬p)) = F (MT 2.23 caso ¬ , paso 0)
3. v((¬q)) = T (MT 2.23 caso ¬ , paso 1)
4. v (((⌐p)˄(⌐q))) = F (MT 2.23 caso ˄ , pasos 2 y 3)
5. v ((((⌐p)˄(⌐q))˄p)) = F (MT 2.23 caso ˄ , pasos 4 y 0)

 0. v(p) = F (Suposición)
1. v(q) = T (Suposición)
2. v((¬p)) = T (MT 2.23 caso ¬ , paso 0)
3. v((¬q)) = F (MT 2.23 caso ¬ , paso 1)
4. v (((⌐p)˄(⌐q))) = F (MT 2.23 caso ˄ , pasos 2 y 3)
5. v ((((⌐p)˄(⌐q))˄p)) = F (MT 2.23 caso ˄ , pasos 4 y 0)
Por definición la proposición es insatisfacible porque se demostró que en los cuatro
casos la valuación es siempre F.
 2) ((p ≡ q) ≡ ((⌐ q) ≡ p))
Por la nota 2.20 del metateorema 2.19 existen cuatro casos:
 0. v(p) = F (Suposición)
1. v(q) = T (Suposición)
2. v((p ≡ q)) = F (MT 2.23 caso ≡ , pasos 0 y 1)
3. v((¬q)) = F (MT 2.23 caso ¬ , paso 1)
4. v (((⌐ q) ≡ p)) = T (MT 2.23 caso ≡ , pasos 3 y 0)
5. v (((p ≡ q) ≡ ((⌐ q) ≡ p))) = F (MT 2.23 caso ≡ , pasos 2 y 4)

 0. v(p) = T (Suposición)
1. v(q) = F (Suposición)
2. v((p ≡ q)) = F (MT 2.23 caso ≡ , pasos 0 y 1)
3. v((¬q)) = T (MT 2.23 caso ¬ , paso 1)
4. v (((⌐ q) ≡ p)) = T (MT 2.23 caso ≡ , pasos 3 y 0)
5. v (((p ≡ q) ≡ ((⌐ q) ≡ p))) = F (MT 2.23 caso ≡ , pasos 2 y 4)

 0. v(p) = T (Suposición)
1. v(q) = T (Suposición)
2. v((p ≡ q)) = T (MT 2.23 caso ≡ , pasos 0 y 1)
3. v((¬q)) = F (MT 2.23 caso ¬ , paso 1)
4. v (((⌐ q) ≡ p)) = F (MT 2.23 caso ≡ , pasos 3 y 0)
5. v (((p ≡ q) ≡ ((⌐ q) ≡ p))) = F (MT 2.23 caso ≡ , pasos 2 y 4)

 0. v(p) = F (Suposición)
6. v(q) = F (Suposición)
7. v((p ≡ q)) = T (MT 2.23 caso ≡ , pasos 0 y 1)
8. v((¬q)) = T (MT 2.23 caso ¬ , paso 1)
9. v (((⌐ q) ≡ p)) = F (MT 2.23 caso ≡ , pasos 3 y 0)
10. v (((p ≡ q) ≡ ((⌐ q) ≡ p))) = F (MT 2.23 caso ≡ , pasos 2 y 4)

Por definición la proposición es insatisfacible porque se demostró que en los cuatro

casos la valuación es siempre F.

3) ((q→(⌐p))˄(p ˄ q))
Por la nota 2.20 del metateorema 2.19 existen cuatro casos:
 0. v(p) = F (Suposición)
1. v(q) = F (Suposición)
2. v((⌐p)) = T (MT 2.23 caso ⌐ , paso 0)
3. v((q→(⌐p))) = T (MT 2.23 caso → , pasos 1 y 2)
4. v((p ˄ q)) = F (MT 2.23 caso ˄ , pasos 0 y 1)
 5. v(((q→(⌐p))˄(p ˄ q))) =F (MT 2.23 caso ˄ , pasos 3 y 4)

 0. v(p) = T (Suposición)
1. v(q) = T (Suposición)
2. v((⌐p)) = F (MT 2.23 caso ⌐ , paso 0)
3. v((q→(⌐p))) = F (MT 2.23 caso → , pasos 1 y 2)
4. v((p ˄ q)) = T (MT 2.23 caso ˄ , pasos 0 y 1)
5. v(((q→(⌐p))˄(p ˄ q))) =F (MT 2.23 caso ˄ , pasos 3 y 4)

 0. v(p) = F (Suposición)
1. v(q) = T (Suposición)
2. v((⌐p)) = T (MT 2.23 caso ⌐ , paso 0)
3. v((q→(⌐p))) = T (MT 2.23 caso → , pasos 1 y 2)
4. v((p ˄ q)) = F (MT 2.23 caso ˄ , pasos 0 y 1)
5. v(((q→(⌐p))˄(p ˄ q))) =F (MT 2.23 caso ˄ , pasos 3 y 4)

 0. v(p) = T (Suposición)
1. v(q) = F (Suposición)
2. v((⌐p)) = F (MT 2.23 caso ⌐ , paso 0)
3. v((q→(⌐p))) = T (MT 2.23 caso → , pasos 1 y 2)
4. v((p ˄ q)) = F (MT 2.23 caso ˄ , pasos 0 y 1)
5. v(((q→(⌐p))˄(p ˄ q))) =F (MT 2.23 caso ˄ , pasos 3 y 4)

Por definición la proposición es insatisfacible porque se demostró que en los cuatro

casos la valuación es siempre F.

6. En cada uno de los siguientes casos, determine si existe una proposición φ que
sea una tautología y explique su respuesta:

b) φ tiene a false como único conectivo lógico.

v (false) = F por nota 2.20 de MT 2.19.
Por definición no es tautología.

d) φ tiene a ≢ como único conectivo lógico.

Por MT 2.23, caso ≢ y nota 2.20 de MT 2.19 siempre existen dos casos donde v(φ) = F.
Sea φ = (ψ≢ φ)
Por nota 2.20 se presenta un caso:
 0. v(ψ) = T (Suposición)
1. v (φ) = T (Suposición)
 2. v ((ψ≢ φ)) = F (MT 2.23 caso ≢ , pasos 0 y 1)
Por tanto, no hay proposición que sea tautología.

f ) φ tiene a ∧ como único conectivo lógico.

Sea φ = (ψ∧ φ)
Por nota 2.20 se presenta un caso:
 0. v(ψ) = F (Suposición)
3. v (φ) = F (Suposición)
4. v ((ψ∧ φ)) = F (MT 2.23 caso ∧ , pasos 0 y 1)
Por tanto, no hay proposición que sea tautología.

g) φ tiene a → como único conectivo lógico.

Sea φ = (ψ→ φ)
Por nota 2.20 se presenta un caso:
 0. v(ψ) = T (Suposición)
5. v (φ) = F (Suposición)
6. v ((ψ→ φ)) = F (MT 2.23 caso → , pasos 0 y 1)
Por tanto, no hay proposición que sea tautología.

8. Demuestre para cualesquiera proposiciones φ, ψ, τ :

a) Si |= (φ → ψ) y |= (ψ → τ ), entonces |= (φ → τ ).
Por la nota 2.20 del metateorema 2.19 se analizan tres casos para (φ → ψ) e igualmente
para (φ → τ ) donde se cumple que |= (φ → ψ) y |= (ψ → τ ):
0. |= (φ → ψ) (Suposición)
1. |= (ψ → τ ) (Suposición)
2. v ((φ → ψ) ) = T (Definición 0)
3. v((ψ → τ )) = T (Definición 1)
4. a) v(φ) = T b) v(φ) = F c) v(φ) = F (MT 2.23 caso →, paso 2)
5. a) v(ψ) = T b) v(ψ) = T c) v(ψ) = F (MT 2.23 caso →, paso 2)
6. a) v(τ) = T b) v(τ) = T c) v(τ) = T d) v(ψ) = F (MT 2.23 caso →, paso 3 y 5)
7. v((φ → τ )) = T (MT 2.23 caso →, pasos 4 y 6)
8. |= (φ → τ ) (Definición 7)
 b) Si |= (φ → ψ) y |= φ, entonces |= ψ.
Por la nota 2.20 del metateorema 2.19 y cumpliendo que |= (φ → ψ) y |= φ (v(φ) = T):
0. v(φ) = T (Suposición)
1. v((φ → ψ)) = T (Suposición)
2. v(ψ) = T (MT 2.23 caso →, pasos 0 y 1)
3. |= ψ (Definición 2)

c) Si |= (φ → ψ) y |= (ψ ≡ τ ), entonces |= (φ → τ ).

0. |= (φ → ψ ) (Suposición)
1. |= (ψ ≡ τ ) (Suposición)
2. v((φ → ψ)) = T (Definición 0)
3. v((ψ ≡ τ)) = T (Definición 1)
4. a) v(φ) = T b) v(φ) = F c) v(φ) = F (MT 2.23 caso →, paso 2)
5. a) v(ψ) = T b) v(ψ) = T c) v(ψ) = F (MT 2.23 caso →, paso 2)
6. a) v(ψ) = T b) v(ψ) = F (MT 2.23 caso ≡, paso 3)
7. a) v(τ) = T b) v(τ) = F (MT 2.23 caso ≡, paso 3)
8. a) v((φ → τ)) = T (MT 2.23 caso →, pasos 4 y 7)
9. |= (φ → τ ) (Definición 2)

9. Demuestre para cualquier proposición φ:

a) φ es insatisfacible si y solo si |= (φ ≡ false).

Parte I
0. |= (φ ≡ false) (Suposición)
1. v ((φ ≡ false)) = T (Definición en 0)
2. v(false) = F (Definición en 1)
3. v(φ) = F (MT 2.23 caso ≡, paso 1 y 2)
4. φ es insatisfacible (Definición en 3)

Parte II
 0. φ es insatisfacible (Suposición)
1. v(φ) = F (Definición en 0)
2. v(false) = F (Por definición)
3. v(φ≡ false) = T (MT 2.23 caso ≡, paso 1 y 2)
4. |= (φ ≡ false) (Definición en 4)
φ es insatisfacible sii |= (φ ≡ false).

b) φ es insatisfacible si y solo si |= (¬φ).

Parte I
0. |= (¬φ) (Suposición)
1. v ((¬φ)) = T (Definición en 0)
2. v(φ) = F (MT 2.23 caso ⌐, paso 1 )
3. φ es insatisfacible (Definición en 2)
Parte II
0. φ es insatisfacible (Suposición)
1. v (φ) = F (Definición en 0)
2. v ((¬φ)) = T (MT 2.23 caso ⌐, paso 1 )
3. a) {} es satisfacible b) {} no es satisfacible (Por definición)
4. a) |= (¬φ) (Definición en 2 y 3a) b) |= (¬φ) (MT 2.34 )
φ es insatisfacible sii |= (¬φ).
10. Demuestre o refute para cualesquiera proposiciones φ y ψ:
a) |= (φ ≡ ψ) si y solo si |= φ y |= ψ.
Parte I
0. |= φ (Suposición)
1. |= ψ (Suposición)
2. v (φ) = T (Definición 0)
3. v (ψ) = T (Definición 1)
4. v ((φ ≡ ψ)) = T (MT 2.23 caso ≡, pasos 1 y 2).
5. {} es satisfacible (Definición en 0 y 1)
6. |= (φ ≡ ψ) (Definición en 4 y 6)

Parte II
 0. |= (φ ≡ ψ) (Suposición)
1. v((φ ≡ ψ)) = T (Definición en0)
2. {} es satisfacible (Definición en0)
3. a) v(φ) = T b) v(φ) = F (MT 2.23 caso ≡, pasos 1)
4. a) v(ψ) = T b) v(ψ) = F (MT 2.23 caso ≡, pasos 1)
5. a) |= φ (Definición en 2 y 3a) b) |≠ φ (Definición en 2 y 3b)
6. a) |= ψ (Definición en 2 y 4a) b) |≠ ψ (Definición en 2 y 4b)
Por tanto, es incorrecto afirmar que |= (φ ≡ ψ) sii |= φ y |= ψ por las conclusiones en 5b
y 6b de la parte II de la demostración.

b) |= (φ ∧ ψ) si y solo si |= φ y |= ψ.
Parte I
0. |= φ (Suposición)
1. |= ψ (Suposición)
2. v (φ) = T (Definición 0)
3. v (ψ) = T (Definición 1)
4. v ((φ ∧ ψ)) = T (MT 2.23 caso ∧, pasos 2 y 3)
5. {} es satisfacible (Definición en 0 y 1)
6. |= (φ ∧ ψ) (Definición en 4 y 5)

Parte II
0. |= (φ ∧ ψ) (Suposición)
1. v ((φ ∧ ψ)) = T (Definición en 0)
2. {} es satisfacible (Definición en 0)
3. a)v (φ) = T b)v (ψ) = T (MT 2.23 caso ∧, paso1)
4. |= φ (Definición en 2 y 3a)
5. |= ψ (Definición en 2 y 3b)

Por tanto, |= (φ ∧ ψ) sii |= φ y |= ψ.

Consecuencia tautológica
1. Demuestre que un conjunto de proposiciones Γ es insatisfacible si y solo si para
cualquier valuación v hay al menos una proposición φ ∈ Γ tal que v(φ) = F.

0. Sea Γ = { φ , ψ , τ } (Suposición)
1. v (φ ) = F. (Suposición)
2. Γ es insatisfacible. (Por definición en 1)

2. Demuestre para cualesquiera proposiciones φ, ψ, τ :

a) {φ} |= φ.

0. v satisface a {φ}(Suposición)
1. v(φ)= T (Definición en 0)
2. {φ} |= φ (Definición 0 y 1)

b) {(¬(φ ≡ φ))} |= ψ.

0. v satisface a {(¬(φ ≡ φ))}(Suposición)

1. v((¬(φ ≡ φ)))= T (Definición en 0)
2. v((φ ≡ φ))= F (MT 2.23 caso ¬, paso 1)
3. v (φ) ≠v(φ) (MT 2.23 caso ≡, paso 2, contradicción)
4. v no satisface {(¬(φ ≡ φ))} (Definición en 3)
5. {(¬(φ ≡ φ))} |= ψ (MT 2.34)

c) {φ} |= (φ ∨ ψ).

0. v satisface a {φ} (Suposición)

1. v(φ) = T (Definición en 0)
2. v(ψ)= T o v(ψ) = F (Nota 2.20)
3. v((φ ∨ ψ)) = T (MT 2.23 caso ∨, paso 1)
4. {φ} |= (φ ∨ ψ) (Definición 0 y 3)

d) {(φ ∨ ψ),((¬φ) ∨ τ )} |= (ψ ∨ τ )

0. v satisface a {(φ ∨ ψ),((¬φ) ∨ τ )} (Suposición)

1. v((φ ∨ ψ)) = T (Definición en 0)
2. v(((¬φ) ∨ τ)) = T (Definición en 0)
3. a) v(φ) = T b) v(φ) = F c) v(φ) = T (MT 2.23 caso V, paso 1)
4. a) v(ψ) = F b) v(ψ) = T c) v(ψ) = T (MT 2.23 caso V, paso 1)
5. a) v((¬φ))=F b) v((¬φ))=T c) v((¬φ)) = F (MT 2.23 caso ⌐, paso 1)
6. a) v(τ) = T b) v(τ) = F o v(τ) = T c) v(τ) = T (MT 2.23 caso V, paso 1)
7. v((¬φ) ∨ τ )) = T (MT 2.23 caso V, pasos 5 y 6)
8. {(φ ∨ ψ),((¬φ) ∨ τ )} |= (ψ ∨ τ ) (Definición en 7)

6. Sean Γ un conjunto de proposiciones y φ, ψ proposiciones. Demuestre o refute:

a) Γ |= (φ ∨ ψ) si y solo si Γ |= φ o Γ |= ψ.
Parte I
0. Γ |= φ (Suposición)
1. Γ |= ψ (Suposición)
2. v(φ)= T (Definición 0)
3. v(ψ)= T (Definición 1)
4. v((φ ∨ ψ)) = T (MT 2.23 caso ∨, pasos 2 y 3)
5. Γ |= (φ ∨ ψ) (Definición 4)
Parte II
0. Γ |= (φ ∨ ψ) (Suposición)
1. Γ es satisfacible (Definición 0)
2. v((φ ∨ ψ)) = T (Definición 0)
3. a) v(φ)= T b) v(φ)= T c) v(φ)= F
4. a) v(ψ)= T b) v(ψ)= F c) v(ψ)= T
5. a) Γ |= φ y Γ |= ψ b) Γ |= φ y Γ |≠ ψc) Γ |≠φ y Γ |= ψ (Definición pasos 1, 3 y 4)
6. Γ |= φ o Γ |= ψ (Definición en 5)

Se concluye que Γ |= (φ ∨ ψ) sii Γ |= φ o Γ |= ψ

c) Γ |= (φ → ψ) si y solo si Γ |≠ φ o Γ |= ψ.
Parte I
0. Γ |≠ φ (Suposición)
1. Γ |= ψ (Suposición)
 2. a) v(φ) = F (Definición en 0) b) v(ψ) = T (Definición en 1)
3. a) v satisface a Γ (Definición 0) b) v satisface a Γ (Definición en 1)
4. a)v((φ → ψ)) = T (MT 2.23 caso →, pasos 2a y 3)
b) v((φ → ψ)) = T (MT 2.23 caso →, pasos 2b y 3b)
5. Γ |= (φ → ψ) (Definición en 3 y 4)
Parte II
0. Γ |= (φ → ψ) (Suposición)
1. v((φ → ψ))= T (Definición en 0)
2. Γ es satisfacible (Definición en 0)
3. a) v(φ)= T b) v(φ)= F
4. a) v(ψ)= T b) v(ψ)= T o v(ψ)= F
5. a) Γ |¿ φ (Definición en 2 y 3a) b) Γ |≠ φ (Definición en 2 y 3b)
6. a) Γ |¿ ψ (Definición en 2 y 4a) b) Γ |≠ ψ o Γ |¿ ψ (Definición en 2 y 4b)

Γ |= (φ → ψ) sii Γ |≠ φ o Γ |= ψ

d) Γ |≠ (φ ∨ ψ) si y solo si Γ |≠ φ y Γ |≠ ψ.
Parte I
0. Γ |≠ φ (Suposición)
1. Γ |≠ ψ (Suposición)
2. v(φ) = F (Definición en 0)
3. v(ψ) = F (Definición en 1)
4. Γ es satisfacible (Definición en 0 y 1)
5. v((φ ∨ ψ)) = F (MT 2.23 caso ∨, pasos 2 y 3)
6. Γ |≠ (φ ∨ ψ) (Definición en 4 y 5)
Parte II
0. Γ |≠ (φ ∨ ψ) (Suposición)
1. Γ es satisfacible (Definición en 0)
2. v((φ ∨ ψ)) = F (Definición en 0)
3. v(φ)= F (MT 2.23 caso ∨, paso 2)
4. v(ψ)= F (MT 2.23 caso ∨, paso 2)
5. Γ |≠ φ (Definición en 1 y 3)
6. Γ |≠ ψ (Definición en 1 y 4)

En conclusión, Γ |≠ (φ ∨ ψ) si y solo si Γ |≠ φ y Γ |≠ ψ.
 7. Sean Γ y ∆ conjuntos de proposiciones, y φ, ψ proposiciones. Demuestre:

a) Si |= φ, entonces Γ |= φ.

0. |= φ (Suposición)
1. Γ |= φ (Metateorema 2.34)

b) Si Γ |= φ y Γ ⊆ ∆, entonces ∆ |= φ.

0. Γ |= φ (Suposición)
1. v(φ) = T (Definición en 0)
2. Γ ⊆ ∆ (Suposición)
3. v satisface a Γ (Definición en 0)
4. a) Γ = ∆ (Definición en 2)
a1) v satisface a ∆. (Definición en 4.a y 3)
a2) ∆ |= φ (Definición en 4.a2 y 1)
4. b) Γ ⊂ ∆ (Definición en 2)
b1) v satisface a ∆. b2)v no satisface a ∆. (Definición en 4.b y 3)
b1.1) ∆ |= φ (Definición en b1 y 1) b2.2) ∆ |= φ (MT 2.34)
5. ∆ |= φ (b1.1 , b2.2 , y a2 concluyen con la misma afirmación)

c) Γ ∪ {φ} |= ψ si y solo si Γ |= (φ → ψ).

Primera parte
0. Γ |= (φ → ψ) (Suposición)
1. v((φ → ψ)) = T (Definición en 0)
2. v satisface a Γ (Definición en 0)
3. a) v (φ) = T b) v (φ) = F (MT 2.23 caso →, paso 1)
4. a) v(ψ)= T b1) v (ψ) = F b2) v (ψ) = T (MT 2.23 caso →, paso 1)
5. a) Γ ∪ {φ} |= ψ (Definición 3a , 4a y 2)
b1)Γ ∪ {φ} |= ψ (Definición 3b , 4b1 y 2)
b2) Γ ∪ {φ} |= ψ (Definición 3b , 4b2 y 2)
Segunda parte
0. Γ ∪ {φ} |= ψ (Suposición)
1. v satisface a Γ ∪ {φ} (Definición 0)
2. v(ψ) = T (Definición 0)
 3. v satisface a Γ (Definición en 1 y 2)
4. v satisface a {φ} (Definición en 1 y 2)
5. v (φ) = T (Definición en 4)
6. v((φ → ψ)) = T (Definición en 2 y 5)
7. Γ |= (φ → ψ) (Definición en 3 y 6)

d) Si Γ ∪ {φ} |= ψ y Γ ∪ {(¬φ)} |= ψ, entonces Γ |= ψ.

0. Γ ∪ {φ} |= ψ (Suposición)
1. v satisface a Γ ∪ {φ} (Definición en 0)
2. v(ψ) = T (Definición en 0)
3. v satisface a Γ (Definición en 1)
5. Γ |= ψ (Definición en 2 y 3)

Argumentaciones

2. Demuestre que cada una de las siguientes argumentaciones son válidas:

b) (φ → ψ),(¬ψ),(¬φ).

0. Sea Γ = { (φ →ψ ) ,(¬ψ ) } (Dado)

1. v satisface a Γ (Suposición)
2. v(¿)) = T (Definición en 1)
3. v(¿)) = T (Definición en 1)
4. v(ψ )= F (MT 2.23 caso ⌐, paso 3)
5. v(φ ) = F (MT 2.23 caso →, paso 2 y 4)
6. v((¬φ))= T (MT 2.23 caso ⌐, paso 5)
7. Γ |= (¬φ). (Definición 6 y 1)
La argumentación es válida.
d) (φ → ψ),(φ → (¬ψ)),(¬φ)

0. Sea Γ = { (φ →ψ ) ,(φ →(¬ψ )) } (Dado)

1. v satisface a Γ (Suposición)
2. v(¿)) = T (Definición en 1)
3. v(¿)) = T (Definición en 1)
4. a) v(φ ) = F b) v(φ ) = F (MT 2.23 caso →, pasos 2 y 3)
5. a) v (ψ ) = F b) v(ψ ) = T (MT 2.23 caso →, pasos 2 y 3)
6. v((⌐ φ ¿) = T (MT 2.23 caso ⌐, paso 4)
7. Γ|= (¬φ). (Definición 6 y 1)

La argumentación es válida.

3. Demuestre que cada una de las siguientes argumentaciones es inválida:

a) (p → q), q, p.

0. Sea Γ = { ( p → q) , q } (Dado)

1. v satisface a Γ (Suposición)
2. v(¿)) = T (Definición en 1)
3. v(q) = T (Definición en 1)
4. a) v( p ¿=T b ¿v( p ¿=F (MT 2.23 caso →, pasos 2 y 3)
5. Γ|≠ (p). (Definición de consecuencia no tautológica en 4b y 1)

La argumentación es inválida.
 b) (p → q),(¬p),(¬q).

0. Sea Γ = { ( p → q) ,(¬ p) } (Dado)

1. v satisface a Γ (Suposición)
2. v(¿)) = T (Definición en 1)
3. v((¬ p))= T (Definición en 1)
4. v( p) = F (MT 2.23 caso ⌐, paso 3)
5. a) v(q ¿=T b ¿ v(q ¿=F (MT 2.23 caso →, pasos 2 y 4)
6. a) v((⌐ q)¿=F b ¿ v((⌐ q)¿=T (MT 2.23 caso ⌐, paso 5)
7. Γ|≠ (¬q). (Definición de consecuencia no tautológica en 6a y 1)
La argumentación es inválida.