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Compendio Maximización de Utilidad y Marshallianas
Compendio Maximización de Utilidad y Marshallianas
Compendio Maximización de Utilidad y Marshallianas
Tema 1 ...................................................................................................................................................... 4
Objetivo ..................................................................................................................................................... 4
Introducción.............................................................................................................................................. 4
Subtema 1: Las preferencias y la utilidad ............................................................................................ 4
Subtema 2: Aplicación para diversos tipos de funciones de utilidad ............................................. 15
Subtema 3: Comparación de resultados entre funciones de utilidad, poniendo énfasis en las
preferencias del consumidor ................................................................................................................ 21
PREGUNTAS DE COMPRENSIÓN DE LA UNIDAD .............................................................................. 22
MATERIAL COMPLEMENTARIO ............................................................................................................ 23
REFERENCIAS ......................................................................................................................................... 23
Tema 1
Objetivo
Introducir las bases teóricas y aplicar la herramienta cuantitativa para maximizar una función de utilidad
sujeta a una restricción presupuestaria.
Introducción
En este apartado se realizará una introducción sobre cómo toman decisiones los consumidores a partir
de sus preferencias de consumo. En lo posterior, se planteará formalmente el problema al que se
enfrentan y las restricciones que tienen cuando desean demandar bienes en el mercado. De esta forma,
se encontrarán las demandas óptimas de consumo tanto marshallianas como compensadas.
No obstante, desde la óptica de Nicholson (2011) a más de este componente, también hay que tomar en
cuenta a las restricciones que tienen los consumidores - presupuestaria más que todo - pues el cómo
asignan su renta o riqueza en la compra de distintos bienes - con el objetivo de alcanzar el mayor grado
de satisfacción posible - también interfiere finalmente en la elección del consumidor.
De esta forma, Nicholson (2011) sugiere que las preferencias y las restricciones determinan la cantidad
demandada del consumidor, es decir, la cesta (o canasta) de bienes que maximiza su bienestar dentro
del conjunto de opciones posibles.
Siguiendo a los manuales tradicionales de la Microeconomía, una forma de iniciar el análisis de las
elecciones de los individuos es especificando un conjunto de axiomas que caracterizan la conducta
racional. En este sentido, se describirá a continuación las propiedades que deben de cumplir la relación
de preferencias por parte del consumidor, siguiendo a Nicholson (2011):
1. Las preferencias son completas: si A y B son dos situaciones cualesquiera, el individuo siempre
puede especificar exactamente una de las tres posibilidades siguientes:
• Prefiere A que B
• Prefiere B que A
• A y B son igual de atractivas
Por lo tanto, se asume que la indecisión no paraliza a los individuos, pues estos comprenden totalmente
y pueden decidir la conveniencia de consumir dos opciones cualesquiera dentro de una cesta de bienes.
2. Las preferencias son transitivas: Si un individuo indica que prefiere A que B, y que prefiere B que
C, esto implica que debe declarar que prefiere A que C. Este supuesto sugiere que las elecciones
de un individuo son internamente coherentes y consistentes.
3. Las preferencias son continuas: si una persona afirma que prefiere A que B, también debe preferir
las situaciones debidamente parecidas que A y B. Este supuesto es necesario si se desea analizar
las respuestas de los individuos a las alteraciones relativamente pequeñas de la renta y los
precios.
La función de utilidad
Este autor considera que las situaciones más deseables reportan más utilidad que las menos deseables.
Es decir, si un individuo prefiere la situación A que la B, se establece que la utilidad asignada a la opción
A, indicada por U(A), es superior a la utilidad asignada a la B, U(B).
De esta forma, nace el concepto de utilidad que supone, según Nicholson (2011) que las preferencias de
los individuos se representan por medio de una función de utilidad de la forma:
U(𝑋1 , 𝑋2 … , 𝑋𝑛 )
De esta forma, una función de utilidad de tipo 𝑈1 puede representarse gráficamente sobre la base de la
combinación de dos tipos de bienes – por citar un caso – X e Y. Así, en la gráfica 1, se puede ilustrar las
distintas combinaciones de bienes 𝑋1 , 𝑌1 así como 𝑋2 , 𝑌2 que le ofrecen al consumidor el mismo nivel de
utilidad 𝑈1 . Es decir, este es igual de feliz consumiendo ambas combinaciones de cestas de consumo, que
el individuo ordena por igual.
𝑑𝑌
RMS= − 𝑑𝑋|
𝑈=𝑈1
1
En algunas versiones de textos de Microeconomía, también conocida como Tasa Marginal de Sustitución
Técnica (TMS).
Al igual que en el caso de la gráfica 1, en el caso de la gráfica 2, existe una curva de indiferencia que
pasa por cada punto del plano X-Y. Cada una de estas curvas – ilustradas en un mapa de curvas de
indiferencia - indican las combinaciones de X e Y que reportan un determinado nivel de satisfacción al
individuo. Los movimientos en dirección noreste indican desplazamientos a niveles de satisfacción más
altos y que por consiguiente son los más deseados.
Gráfica 2: Mapa de curvas de indiferencia
En base a los antecedentes revisados previamente, pasamos ahora a definir de manera formal, la
composición de un función de utilidad:
Utilidad= U(𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 ) (1)
Donde 𝑋1 , 𝑋2 ,…, 𝑋𝑛 son las cantidades consumidas de cada uno de los “n” bienes X. Así, si la intención
es profundizar sobre que sucede con el nivel de bienestar (o utilidad) de los individuos a medida que se
demandan diversos tipos de bienes (𝑋1 , 𝑋2 ,…, 𝑋𝑛 ), pasaremos a estudiar el concepto de utilidad marginal.
Es decir, que la utilidad marginal de 𝑋𝑛 sugiere el cambio que existe en la utilidad por cada unidad
adicional que se consume del bien 𝑋n , manteniendo todo lo demás constante.
Para desarrollar el concepto de RMS, veamos que ocurre si sólo se altera el novel de dos bienes,
X e Y, de tal forma que el individuo sea indiferente. Lo anterior sugiere que la variación del nivel
de utilidad debe permanecer constante dados los consumos que se realicen en ambos bienes o
lo que es lo mismo, plantear el supuesto de dU=0.
𝜕𝑈 𝜕𝑈
𝜕𝑋
𝑑X +
𝜕𝑌
𝑑Y=0
O en otros términos:
𝑈𝑀𝑋 𝑑X = −𝑈𝑀𝑌 𝑑𝑌
Despejando las diferenciales totales para dejarlas en función de las utilidades marginales, tendríamos:
𝑈𝑀𝑋 𝑑𝑌
=−
𝑈𝑀𝑌 𝑑𝑋
Por consiguiente, aplicando la definición de RMS vista en los párrafos previos, se obtiene:
𝜕𝑈
𝑑𝑌 𝑈𝑀𝑋 𝑈𝑀𝑋 𝜕𝑋 (5)
𝑹𝑴𝑺 = − 𝑑𝑋| ; 𝑐𝑜𝑛 𝑹𝑴𝑺 = 𝑈𝑀𝑌
y = 𝜕𝑈
𝑈=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑈𝑀𝑌
𝜕𝑌
Siguiendo a Nicholson (2011) existen 4 tipo de funciones de utilidad que representan las diversas formas
de selección de consumo de los individuos por intermedio de sus preferencias, las cuales se enumerarán
a continuación:
Utilidad= U (X,Y)= 𝑿𝜶 𝒀𝜷
En términos generales los términos 𝛼 y 𝛽 (dos constantes positivas) indican la importancia de relativa
que tienen los bienes de consumo para el individuo. Dado que la función de utilidad es única, salvo se le
aplique una transformación monótona, se sugiere plantear el supuesto de que 𝛼 + 𝛽 = 1.
Utilidad= U (X,Y)= 𝛼𝑋 + 𝛽𝑌
Donde 𝛼 y 𝛽 son dos constantes positivas. Dado que la RMS es constante (e igual a 𝛼/𝛽) a lo largo de
toda la curva de indiferencia, el concepto de relación marginal decreciente no es válido en este caso.
En este caso 𝛼 y 𝛽 son parámetros positivos. El operador “min” significa que la utilidad está dada por el
menor de los dos términos entre corchetes. En términos generales, no habrá un exceso de ninguno de
los dos bienes si:
𝛼𝑋 = 𝛽𝑌
𝑌 𝛼
=
𝑋 𝛽
Las tres funciones de utilidad específicas mostradas hasta ahora son tomadas como casos especiales
de la elasticidad de sustitución constante más general (CES; por sus siglas en inglés) que adopta la
forma:
𝑿𝜹 𝒀𝜹
Utilidad= U (X,Y)= +
𝜹 𝜹
Donde 𝛿 ≠ 0 y
Utilidad= U (X,Y)= lnX + lnY
De esta forma, todas las funciones de utilidad mostradas previamente se exponen de manera gráfica a
continuación:
Principios de optimización
Hasta ahora hemos revisado cómo se comportan las preferencias que tiene el consumidor para demandar
bienes en el mercado y la conformación de estas preferencias representadas gráficamente por intermedio
de una función de utilidad compuesta de cestas de consumo.
Con estos antecedentes, pasaremos ahora a revisar los principios básicos para la maximización de las
funciones de utilidad planteadas, y para eso, es necesario definir formalmente esta dinámica. Desde la
óptica de Nicholson (2011) para maximizar una utilidad, dada una cantidad fija de dinero para gastar, es
importante tomar en consideración a la restricción presupuestaria de los individuos.
La restricción presupuestaria
Supongamos que una persona tiene I dólares para repartir entre el bien X y el Y. Si 𝑃𝑥 es el precio del
bien X y 𝑃𝑦 el de Y, el individuo está sujeto a la restricción:
𝑷𝒙 𝑿+ 𝑷𝒀 𝒀 ≤ 𝑰
.
𝑷𝒙
fondos que se dispone. La pendiente de esta frontera en forma de línea recta viene dada por -
𝑷𝒚
A más de este componente se incluye también la restricción presupuestaria que posee el individuo y el
problema de maximización se resolvería en un punto como el C, dado que en ese punto se obtiene el
mayor nivel de utilidad posible y se gasta todo el ingreso o renta para consumo.
Para el caso de los niveles de utilidad 𝑈1 , y 𝑈3 no son puntos óptimos dado que en 𝑈1 aún se puede
consumir más contemplando el ingreso disponible, mientras que en 𝑈3 es un punto inalcanzable dada la
restricción presupuestaria.
Por lo tanto, solo en el puno C, donde la pendiente de la curva de indiferencia (con nivel de utilidad 𝑈2 )
es tangente a la pendiente de la restricción presupuestaria, se resuelve el problema de maximización del
consumidor y se puede obtener las demandas de consumo óptimas que le otorgan al individuo el máximo
nivel de bienestar posible.
𝜕𝑈
𝑷𝒙
𝜕𝑈 =- 𝑷
𝜕𝑋
𝒚
𝜕𝑌
𝜕𝑈
Al ser la RMS ( 𝜕𝑈
𝜕𝑋
) la negativa de la pendiente de la curva de indiferencia se cruza con el signo negativo
𝜕𝑌
Cuando hay “n” bienes entre los que elegir, el objetivo del individuo es maximizar la utilidad de estos “n”
bienes:
Utilidad: Utilidad= U(𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 )
O en otros términos:
I- 𝑃1 𝑋1 - 𝑃2 𝑋2 − ⋯ − 𝑃𝑛 𝑋𝑛 =0
Utilizando las más convencionales técnicas de para la maximización de una función de utilidad sujeta a
una restricción presupuestaria por el método de multiplicadores de Lagrange, formulamos el Lagrangiano:
ℒ = 𝑈(𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 ) ++ λ(I- 𝑃1 𝑋1 - 𝑃2 𝑋2 − ⋯ − 𝑃𝑛 𝑋𝑛 )
𝜕ℒ 𝜕𝑈
=
𝜕𝑋1 𝜕𝑋1
- λ 𝑃1 =0
𝜕ℒ 𝜕𝑈
=
𝜕𝑋2 𝜕𝑋2
- λ 𝑃2 =0
.
.
.
𝜕ℒ 𝜕𝑈
=
𝜕𝑋𝑛 𝜕𝑋𝑛
- λ 𝑃𝑛 =0
𝜕ℒ
𝜕λ
= I- 𝑃1 𝑋1 - 𝑃2 𝑋2 − ⋯ − 𝑃𝑛 𝑋𝑛 = 0
De las condiciones de primer orden representadas por las ecuaciones previas podemos destacar
la regla de maximización para poder resolver el problema del consumidor, asumiendo dos bienes
cualesquiera, 𝑋𝑖 𝑦 𝑋𝑗 tenemos que:
𝜕𝑈 𝜕𝑈
Si 𝜕𝑋𝑖
- λ 𝑃𝑖 =0 tendríamos que λ =
𝜕𝑋𝑖 𝑃𝑖
𝜕𝑈 𝜕𝑈
De igual forma, si 𝜕𝑋𝑗
- λ 𝑃𝑗 =0 tendríamos que λ =
𝜕𝑋𝑗 𝑃𝑗
Si igualamos los multiplicadores monetarios λ para cada uno de los bienes obtendríamos
𝜕𝑈 𝜕𝑈
=
𝜕𝑋𝑖 𝑃𝑖 𝜕𝑋𝑗 𝑃𝑗
O en otros términos:
Ecuación que describe la regla de maximización vista en los párrafos previos en la ecuación 6. Es decir,
que el consumidor encuentra sus demandas óptimas de consumo cuando la pendiente de la curva de
indiferencia es igual a la pendiente de la restricción presupuestaria. A partir de esta interpretación se
puede calcular las cestas óptimas de consumo, que de aquí en más se llamarán demandas Marshallianas,
las cuales estarán en función de la renta y los precios relativos.
El dual del problema de maximización del gasto del individuo es alcanzar un determinado nivel de utilidad
𝑈2 con el menor gasto posible. Un nivel de gasto 𝐸1 tal como consta en la gráfica 5, no permite alcanzar
𝑈2 , mientras que 𝐸3 da más poder al gasto que el estrictamente necesario. No obstante, con el gasto 𝐸2 ,
el individuo puede alcanzar 𝑈2 consumiendo 𝑋 ∗ 𝑒 𝑌 ∗ .
De esta forma, para encontrar la demandas compensadas que caracterizan la minimización del gasto por
parte del individuo habría que especificar a la función objetivo como el gasto, sujeta a una restricción que
será el nivel de utilidad:
Sujeto a:
Utilidad= 𝑈=(𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 )
ℒ = 𝑃1 𝑋1 + 𝑃2 𝑋2 + λ(𝑈- 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 )
Al efectuar lo anterior, se obtendrá la regla de minimización del gasto que contempla la igualdad entre
las pendientes de la curva de indiferencia y la restricción presupuestaria, contemplando un cambio en la
función objetivo y restricción. De esta forma, se obtendrá las demandas compensadas, la cual
muestra la relación entre el precio de un bien y la cantidad comprada suponiendo que otros
precios y la utilidad se mantiene constantes.
Demandas Marshallianas
Maximización de utilidad para el caso de una función Cobb Douglas
Función de utilidad: 𝑈 = 𝑋 0.7 𝑌 0.3
Restricción presupuestaria: 𝐼 = 𝑃𝑥𝑋 + 𝑃𝑦𝑌
𝜆 = 𝜆 de 1 y 2, tenemos:
0.7𝑋 −0.3 𝑌 0.3 0.3𝑌 −0.7 𝑋 0.7
=
𝑃𝑥 𝑃𝑦
Paso 4: ubicar los precios relativos de un lado de la ecuación y las cantidades demandadas del otro.
Siendo consistentes con lo expuesto por Nicholson (2011) esta expresión representa la regla de
maximización del consumidor, debido a que del lado izquierdo se encuentra la operacionalización de las
utilidades marginales sobre cada uno de los bienes consumidos y del lado derecho los precios relativos.
Es decir, se está igualando la pendiente de la curva de indiferencia del consumidor con la pendiente de
su restricción presupuestaria.
0.7𝑌 𝑃𝑥
=
0.3𝑋 𝑃𝑦
0.3𝑃𝑥
𝑌 = 0.7𝑃𝑦 𝑋
0.7𝑃𝑦
𝑋= 𝑌
0.3𝑃𝑥
Paso 6: se introduce estos dos resultados, de forma parcial en la ecuación 3 igualada a cero:
𝜕ℒ
= 𝐼 − 𝑃𝑥𝑋 − 𝑃𝑦𝑌
𝜕𝜆
𝐼 − 𝑃𝑥𝑋 − 𝑃𝑦𝑌=0
0.7𝑃𝑦 0.3𝑃𝑥
𝐼 − 𝑃𝑥 [0.3𝑃𝑥 𝑌] − 𝑃𝑦𝑌 =0 𝐼 − 𝑃𝑥𝑋 − 𝑃𝑦 [0.7𝑃𝑦 𝑋] = 0
De esta forma hemos encontrado en función de los 6 pasos claramente especificados previamente, las
demandas Marshallianas de consumo, las cuales se encuentran en función de la renta y los precios
relativos.
Por último, con ambas demandas óptimas de consumo, se puede calcular el máximo nivel de bienestar
asociado, de la siguiente forma:
𝐼
= 𝑋𝑀
1.43𝑃𝑥
Demanda Marshalliana del bien Y
𝐼
= 𝑌𝑀
3.33𝑃𝑦
Función de utilidad:
𝑈 = 𝑋 0.7 𝑌 0.3
Al introducir las demandas en la función de utilidad obtenemos la función de utilidad óptima o también
conocida como función de utilidad indirecta “V” para diferenciarla de la función de utilidad convencional
“U”:
0.7 0.3
𝐼 𝐼
𝑈=( ) ( )
1.43𝑃𝑥 3.33𝑃𝑦
𝐼
𝑈=
(1.43𝑃𝑥)0.7 (3.33𝑃𝑦)0.3
𝐼
U=V=
1.84(𝑃𝑥)0.7(𝑃𝑦)0.3
Función de utilidad: 𝑈 = −𝑋 −1 − 𝑌 −1
Restricción presupuestaria: 𝐼 = 𝑃𝑥𝑋 + 𝑃𝑦𝑌
𝑋−2
De 1 → 𝜆=
𝑃𝑥
𝑌−2
De 2 → 𝜆=
𝑃𝑦
𝜆 = 𝜆 de 1 y 2, tenemos:
𝑋 −2 𝑌 −2
=
𝑃𝑥 𝑃𝑦
Paso 4: ubicar los precios relativos de un lado de la ecuación y las cantidades demandadas del otro.
Tomar en consideración que para dejar libre a las cantidades X e Y, hay que elevar el lado izquierdo y el
lado derecho a la ½.
1⁄ 1⁄
𝑋 −2 2 𝑃𝑥 2
( −2 ) =( )
𝑌 𝑃𝑦
𝑋 −1 𝑃𝑥 0.5
=
𝑌 −1 𝑃𝑦 0.5
Por último se invierte el orden de las variables X e Y para dejarlas con exponente positivo.
𝑌 𝑃𝑥 0.5
=
𝑋 𝑃𝑦 0.5
Siendo consistentes con lo expuesto por Nicholson (2011) esta expresión representa la regla de
maximización del consumidor, debido a que del lado izquierdo se encuentra la operacionalización de las
utilidades marginales sobre cada uno de los bienes consumidos y del lado derecho los precios relativos.
Es decir, se está igualando la pendiente de la curva de indiferencia del consumidor con la pendiente de
su restricción presupuestaria.
𝑌 𝑃𝑥 0.5
=
𝑋 𝑃𝑦 0.5
𝑃𝑥 0.5 𝑃𝑦 0.5
𝒀= 𝑋; 𝑿= 𝑌
𝑃𝑦 0.5 𝑃𝑥 0.5
Paso 6: se introduce estos dos resultados, de forma parcial en la ecuación 3 igualada a cero:
𝜕ℒ
= 𝐼 − 𝑃𝑥𝑋 − 𝑃𝑦𝑌
𝜕𝜆
𝑃𝑥 0.5 𝑝𝑦 0.5
𝐼 − 𝑃𝑥𝑋 − 𝑃𝑦 [ 0.5
𝑋] = 0 𝐼 − 𝑃𝑥 [ ] − 𝑃𝑦𝑌 = 0
𝑃𝑦 𝑝𝑥 0.5
De esta forma, se ha encontrado las demandas óptimas de consumo para una función CES. La
interpretación de estas demandas no se aleja de los resultados evidenciados para la Cobb
Douglas, pues la renta o ingresos sigue teniendo una relación directamente proporcional con la
cantidad demanda – manteniendo lo demás constante - por encontrarse en el numerador. La
única diferencia es que ahora no solo depende del precio del bien que se está consumiendo sino
que también depende del bien sustituto.
2
Recordemos que para el caso de la función complementaria, la regla de maximización viene dada por
la igualdad entre las variables del consumo al interior del mínimo. Revisar especificaciones de funciones
de utilidad.
𝐼 𝐼
𝑋𝑀 = = 𝑌𝑀
𝑃𝑥+0.25 𝑝𝑦 4𝑃𝑥 +𝑃𝑌
Demandas Compensadas
𝜕ℒ
= 𝑃𝑦 − 𝜆0.3𝑌 −0.7 𝑋 0.7 = 0 (2)
𝜕𝑌
𝜕ℒ
= 𝑈 − 𝑋 0.7 𝑌 0.3 (3)
𝜕𝜆
𝑃𝑥
De 1 → 𝜆=
0.7𝑋 −0.3𝑌 0.3
𝑃𝑦
De 2 → 𝜆=
0.3𝑌 −0.7𝑋 0.7
𝜆 = 𝜆 de 1 y 2, tenemos:
𝑃𝑥 𝑃𝑦
=
0.7𝑋 −0.3 𝑌 0.3 0.3𝑌 −0.7 𝑋 0.7
Paso 4: ubicar los precios relativos de un lado de la ecuación y las cantidades demandadas del otro.
0.7𝑃𝑦
𝑋= 𝑌
0.3𝑃𝑥
Paso 6: introducimos los puntos semi óptimos parcialmente en la ecuación 3 igualada a cero:
𝜕ℒ
= 𝑈 − 𝑋 0.7 𝑌 0.3 =0
𝜕𝜆
Como se ha podido apreciar a lo largo del compendio, la diferencia entre una demanda
Marshalliana y una Compensada radica en la forma de especificación del problema al que se
Para las demandas Marshallianas encontramos una relación directa entre renta y demanda, a
mayor dinero en el bolsillo de las personas mayor será la demanda por consumo de los bienes
ceteris paribus. Por el lado del precio se evidenció una relación negativa, a mayor nivel de
estos se produce una disminución de la cantidad demandada, manteniendo todo lo demás
constante.
Para las demandas Compensadas, se usa la función de gasto para que con el mínimo costo
posible el bienestar o función de utilidad no se vea afectado. Es por ello que estas demandas
dependen de una función de utilidad (fija) y los precios relativos.
A. La restricción presupuestaria
B. La curva de indiferencia
C. La función de consumo
D. La función de gasto
MATERIAL COMPLEMENTARIO
Los siguientes recursos complementarios son sugerencias para que se pueda ampliar la
información sobre el tema trabajado, como parte de su proceso de aprendizaje autónomo:
REFERENCIAS