Compendio de Matematicas III Villa

DIAGNÓSTICO MÉDICO Y ATENCIÓN AL PACIENTE
Edwin Dimitri Nieto Guerrero

Fernando Alonso Vaca de la Torre
Eduardo Lázaro Rodríguez Rodríguez
1
2
AUTORES
Master Ingeniero de la Industria Textil
ednieto@uce.edu.ec
Fernando Alonso Vaca de la Torre

Magister en Automatización y Control Electrónica Industrial;
Magister en Informática; Ingeniero en Electrónica y Control
favaca@uce.edu.ec

Master en Ciencias Físicas; Licenciado en Física
elrodriguez@uce.edu.ec
Docentes de la Universidad Central del Ecuador
3
4
REVISORES
Hugo Andrés Vinueza Peralta
Magister en Estadística mención en Gestión de la Calidad y Productividad;
Ingeniero Mecánico
Universidad Técnica Estatal de Quevedo
hugvinu87@gmail.com
Jorge Enrique Ordoñez García

Ingeniero en Electrónica y Telecomunicaciones;
Magister en Automatización y Control Industrial;
Máster en Didáctica de las Matemáticas en Educación Secundaria y Bachiller
Universidad de Guayaquil
jordonez.garcia@ug.edu.ec
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6
DATOS DE CATALOGACIÓN

AUTORES: Fernando Alonso Vaca de la Torre
Título: Compendio de Matemáticas Volumen III

Descriptores: Matemáticas; Compendio; Educación Superior
Codigo UNESCO: 12 Matemáticas; 1202 Análisis y Análisis Funcional
Edición: 1era
ISBN: 978-9942-826-22-0
Editorial: Mawil Publicaciones de Ecuador, 2020
Área: Educación Superior
Formato: 148 x 210 mm.
Páginas: 212
DOI: https://doi.org/10.26820/978-9942-826-22-0
Texto para Docentes y Estudiantes Universitarios
El proyecto didáctico Compendio de Matemáticas Volumen III, es una obra colectiva creada
por sus autores y publicada por MAWIL; publicación revisada por el equipo profesional y
editorial siguiendo los lineamientos y estructuras establecidos por el departamento de publi-
caciones de MAWIL de New Jersey.
© Reservados todos los derechos. La reproducción parcial o total queda estrictamente pro-
hibida, sin la autorización expresa de los autores, bajo sanciones establecidas en las leyes,
por cualquier medio o procedimiento.
*Director General: MBA. Vanessa Pamela Quishpe Morocho Ing.

*Dirección Central MAWIL: Office 18 Center Avenue Caldwell; New Jersey # 07006
*Gerencia Editorial MAWIL-Ecuador: Aymara Galanton.
*Editor de Arte y Diseño: Lic. Eduardo Flores
7
Prefacio
Este texto, que es el tercer volumen de una serie, de por lo menos diez volúme-
nes, ha sido realizado con el propósito de ayudar a todos aquellos estudiantes que
desean mejorar y profundizar sus conocimientos en esta materia y para todos aque-
llos que desean incrementar sus habilidades para resolver ejercicios de diferentes
niveles de dificultad del área de la matemática. Esté es el volumen de una serie de
volúmenes, que están siendo preparados para que cumplen con el programa obli-
gatorio que consta en el currı́culo de las Universidades que tienen la facultad de
Ingenierı́a, el cual consta principalmente de:
Conjuntos, los números reales, inducción matemática,relaciones y funciones, po-
linomios, funciones exponenciales y funciones logarı́tmicas,sistema de ecuaciones,
planificación optima, series,calculo diferencial de una variable, de dos o mas va-
riables,calculo integral de una o mas variables,ecuaciones diferenciales y métodos
numéricos. Los autores esperan, que cumpla con las exigencias de la facultad.
En este volumen se encuentra los temas de sistemas de ecuaciones lineales y pro-
gramación lineal. De la observación de estos últimos años, en los cuales hemos en-
señado esta materia, nos ha permitido llegar a la conclusión de que justamente el
nivel de conocimientos, ası́ como la habilidad de resolver diferentes tipos de proble-
mas, tiene gran influencia en el éxito de permanencia de los estudiantes en nuestra
facultad.
El libro pretende lograr los siguientes objetivos:
1. Introducir al alumno de ingenierı́a en temas técnicos de razonamiento.

Muchos de los problemas requieren un cuidadoso análisis de estructuras y
posibilidades lógicas, en el curso de ese análisis cuidadoso se observará con
frecuencia que, la solución de un problema requiere técnicas simples y la apli-
cación de ellas dará una solución.
2. Incluir una gran variedad de problemas, ası́ como indicar una gran variedad
de aplicaciones.
Las soluciones de algunas aplicaciones conducen por sı́ mismas a procedi-
mientos deductivos que llevan a algoritmos especı́ficos. Este enfoque refuer-
za la relación ı́ntima existente entre esta disciplina y diferentes campos de la
ciencia.
3. Desarrollar la madurez matemática del estudiante mediante el estudio de es-

tos temas, que son de un área tan diferente a otras; como es el cálculo.
4. La de ayudar a los profesores en la preparación de sus clases, de las diferentes

formas de evaluación, ası́ como a los estudiantes en su preparación y mejorar
su nivel de conocimientos de la materia.
1
Los pre-requisitos para este libro son principalmente un interés por abordar y resol-
ver diversos tipos de problemas, una formación básica en el álgebra de secundaria.
Nuestra mayor motivación para escribir este libro ha sido el impulso recibido en
los últimos 10 años de nuestros alumnos, ası́ como por recomendaciones de las au-
toridades de la facultad de Ingenierı́a. En el libro se ha tratado de presentar los
diferentes temas en la forma más simple y clara posible, además al final de cada te-
ma hay un conjunto de ejercicios diversos cuya solución quizá requiera la aplicación
de varios teoremas. Los ejercicios al final de los temas están diseñados para:
1. Aplicar las ideas presentadas en cada tema.
2. Enlazar ideas de temas anteriores con las ideas de los nuevos temas.
3. Desarrollar otros conceptos relacionados con el material dado.
Si el espacio lo permitiera mencionarı́a a cada uno de nuestros estudiantes que asis-

tieron a nuestros cursos y sugirieron la redacción de un texto a partir de las notas de
clase. No obstante, si hay alguna persona a quien debemos el mayor agradecimien-
to es, sin duda, a cada una de nuestras familias, esposas e hijos, que sin su aporte,
paciencia y motivación; este libro hubiese sido imposible de elaborar.
Los Autores.
2
Compendio de Matemáticas
Volumen III
Índice general
1. Sistema de Ecuaciones 5
1.1. Definición de un Sistema de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Sistema de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Métodos de Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . 10
1.3.1. Método Gauss-Jordán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2. Método Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3. Método Matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.4. Elementos de una Matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.5. Sistema lineales con Matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.6. Métodos de Calculo de la Matriz Inversa. . . . . . . . . . . . . 32
1.3.7. Método de Operaciones Elementales para Obtener la Matriz
Inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3.8. Método de Cofactores, determinantes . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.9. Matriz Ortogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.10. Ecuación Caracterı́stica de una Matriz. . . . . . . . . . . . . . . 39
1.3.11. Rango de una Matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.3.12. Sistema de m Ecuaciones Lineales de n Variables . . . . . . . . 41
1.4. Sistema de Ecuaciones No-lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.5. Ejercicios de Sistema de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.5.1. Ejercicios Resueltos de Sistema de ecuaciones . . . . . . . . . . 45
1.5.2. Ejercicios Propuestos de Sistema de ecuaciones . . . . . . . . . 57
2. Programación Lineal 71
2.1. Definición de Programación Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.2. Caracterı́sticas de la Programación Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.3. Objetivos de la Programación Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4. Aplicaciones de la Programación Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.5. Conceptos Básicos de Programación Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.6. El Problema de la Programación Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.7. Métodos de Solución de Programación Lineal . . . . . . . . . . . . . . 75
2.8. Método Gráfico en Programación Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.8.1. Ejercicios Resueltos Método Gráfico . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.8.2. Ejercicios de Maximización Método Gráfico . . . . . . . . . . . 78
2.8.3. Ejercicios de Minimización Método Gráfico . . . . . . . . . . . 87
2.8.4. Ejercicios Combinados Método Gráfico . . . . . . . . . . . . . . 90
2.9. Análisis de Sensibilidad de las Restricciones . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.10. Análisis de Sensibilidad: Evaluación de Nuevos Productos. . . . . . . 103
2.11. Análisis de Sensibilidad: Coeficientes de la Función Objetivo. . . . . . 104
3
CAPITULO 1. Sistema de Ecuaciones
2.12. Ejercicios Propuestos de Programación Lineal Método Gráfico . . . . 112

2.13. Método Simplex en Programación Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.13.1. Caracterı́sticas del Método Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.13.2. Ejercicios de Maximización Método Simplex . . . . . . . . . . . 122
2.13.3. Ejercicios de Minimización Método Simplex . . . . . . . . . . . 137
2.14. Análisis del Dual en Programación Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . 179
2.14.1. Caracterı́sticas del Dual en Programación Lineal . . . . . . . . 180
2.14.2. Ejercicios Resueltos con Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
2.15. Ejercicios Propuestos de Programación Lineal Método Simplex . . . . 197
4 Sistema de Ecuaciones Lineales

Capı́tulo 1
Sistema de Ecuaciones
1. Definición de un sistema de ecuaciones
2. Tipos de sistemas
3. Caracterı́sticas de un sistema de ecuaciones
4. Métodos de solución de un sistema lineal, entre los cuales se analiza:
a) Método de Gauss-Jordán
b) Método de Cramer
c) Matrices
5. Métodos de solución de un sistema no-lineal

1.1. Definición de un Sistema de Ecuaciones

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de identidades ( o desigualdades) com-
puestas por variables, los coeficientes de las variables y los coeficientes libres. De la
definición de conjuntos se entiende que, el numero de variables puede llega a tener
n variables. Se tiene dos tipos de sistemas de ecuaciones que depende del exponente
de las variables:
1. Sistemas lineales, todas las variables tienen exponente uno (1).
2. Sistemas no lineales, por lo menos una de todas las variables tiene exponente
diferente a uno (1).
1.2. Sistema de Ecuaciones Lineales

Los sistemas lineales se caracterizan por:
1. Todas sus variables tienen exponente igual a 1, de ahı́ proviene el nombre de

lineal. Un sistema lineal de ecuaciones se lo puede representar como:



 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ··· + a1n xn = c1



 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + ··· + a2n xn = c2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + ··· + a3n xn = c3



··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···





 an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + ··· + ann xn = cn
Donde:
ai,j −→ Los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales.
cn −→ Los coeficientes libres del sistema de ecuaciones lineales.
xn −→ Las variables del sistema de ecuaciones lineales.
2. Los sistemas de ecuaciones lineales pueden ser cuadrangulares y rectangula-

res. Un sistema de ecuaciones es cuadrangular cuando el número de variables
(incógnitas) es igual al número de ecuaciones. Un sistema de ecuaciones es
rectangular cuando el número de incógnitas es mayor o menor al número de
ecuaciones en el sistema.
a) En sistema de ecuaciones, 2x2 cuadrangular, significa que el sistema tie-

ne dos ecuaciones y dos variables.
(
ax + by = c
a1 x + b1 y = c1

Sistema de Ecuaciones CAPITULO 1.
Donde:
a, b, a1 , b1 −→ Los coeficientes de las variables del sistema de ecuacio-

nes lineales.
c, c1 −→ Los coeficientes libres del sistema de ecuaciones lineales.
x, y −→ Las variables del sistema de ecuaciones lineales.
b) En sistema de ecuaciones, 3x3 cuadrangular, significa que el sistema tie-

ne tres ecuaciones y tres variables:



 ax + by + cz = d
a1 x + b1 y + c1 z = d1



 a2 x + b2 y + c2 z = d2

Donde:
a, b, c, a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 −→ Los coeficientes de las variables del sistema

de ecuaciones lineales.
d, d1 , d2 −→ Los coeficientes libres del sistema de ecuaciones lineales.
x, y, z −→ Las variables del sistema de ecuaciones lineales.
3. Un sistema lineal es rectangular cuando el número de variables es mayor o

menor al número de ecuaciones en el sistema lineal.
a) En sistema de ecuaciones, 3x2 rectangular, significa tres ecuaciones y dos

variables:



 ax + by = c
a1 x + b1 y = c1



 a2 x + b2 y = c2

Donde:
x, y −→ Las variables del sistema de ecuaciones lineales.
a, b, c, a1 , a2 , b, b1 , b2 −→ . Los coeficientes de las variables del sistema de

ecuaciones lineales.
c, c1 , c2 −→ Los coeficientes libres del sistema de ecuaciones lineales.
b) En sistema de ecuaciones, 4x3 rectangular, significa que el sistema tiene

cuatro ecuaciones y tres variables:
Sistema de Ecuaciones Lineales 7




 ax + by + cz = d


 a1 x + b1 y + c1 z = d1



 a2 x + b2 y + c2 z = d2
a3 x + b3 y + c3 z = d3


Donde:
x, y, z −→ Las variables del sistema de ecuaciones lineales.
a, b, c, a1 , a2 , a3 , b, b1 , b2 , c, c1 , c2 −→ . Los coeficientes de las variables del

sistema de ecuaciones lineales.
d, d1 , d2 , d3 −→ Los coeficientes libres del sistema de ecuaciones linea-

les.
La teorı́a general de resolución un de un sistema de ecuaciones lineales indica

que:
1. El sistema de ecuaciones lineales tiene una solución única; en el momento en

que, las ecuaciones tengan un punto en común, también conocido como punto
de equilibrio o como punto de intersección entre las ecuaciones lineales, que
en si, cada una de ellas representa la ecuación de una linea recta, lo que nos
informa que: para encontrar los puntos comunes entre funciones debo formar
y resolver un sistema.
Figura 1.0 Sistema de Ecuaciones Solución Única
2. El sistema de ecuaciones lineales no tiene una solución; esto sucede en el mo-

mento en que, las ecuaciones lineales no tengan un punto en común, o un

punto de intersección entre las ecuaciones lineales; por lo tanto , estas rectas
deben ser paralelas en toda su dominio.
Figura 1.1 Sistema de Ecuaciones No hay Solución
3. El sistema de ecuaciones lineales tiene una cantidad infinita de soluciones;

esto sucede en el momento en que, una ecuación dependa de otra de las ecua-
ciones las ecuaciones lineales no tengan un punto en común, o un punto de
intersección entre las ecuaciones lineales; por lo tanto , este sistema es conoci-
do como sistema paramétrico.

Figura 1.2 Sistema de Ecuaciones Solución Paramétrica
La solución de un sistema de ecuaciones lineales se basan en diferentes métodos de

solución, entre los cuales se tiene:
1. Métodos clásicos, entre los cuales se tiene: Suma-resta, gráfico, igualación y

substitución.
2. Métodos no-clásicos, como son : Gauss-jordan, determinantes y matrices.

En este libro se analizara los métodos no-clásicos.
1.3. Métodos de Resolución de Sistemas de Ecuaciones

Lineales
1.3.1. Método Gauss-Jordán.
Los métodos clásicos de resolución de un sistema de ecuaciones lineales, se vuel-
ven tediosos conforme se incrementa el numero de variables. En el siglo XVIII, Frie-
drich Gauss y Camille Jordán dieron inicio al uso de este método, que al inicio se lo
conocı́a como método de eliminación.
La aplicación de los métodos clásicos se los desarrollaba conjuntamente con sus va-
riables y si el numero de variables era alto, mayor a tres variables, esta repetición
era conflictiva. La idea de Gauss-Jordán, es simplemente el desarrollo de la solución
del sistema de ecuaciones sin sus variables; por lo tanto, no se las escribe, para lo
cual se creo, lo que se denomino, matriz aumentada.
( " #
ax + by = c a b c
Matriz Aumentada −→
a1 x + b1 y = c1 a1 b1 c 1
La solución de un sistema de ecuaciones lineales con el método Gauss-Jordán,
esta basado en las mismas propiedades que al aplicar los métodos clásicos; es decir,
propiedades básicas de álgebra. Se utiliza las propiedades de álgebra, tanta veces
sea necesario hasta obtener lo que se llama matriz unidad. Por lo tanto, el método
Gauss-Jordán tiene las caracterı́sticas:
1. Solamente se trabaja con filas, a las cuales se aplica las propiedades de álgebra.
2. A cada fila se puede multiplicar, dividir con un número cualquiera.
3. Se puede intercambiar filas.
4. Presenta algunas dificultades al tratar de escribir el algoritmo informático. Es

motivo por el cual, su aplicabilidad ha disminuido.
Se desea resolver el sistema de ecuaciones lineales:
( " #
2x + 3y = 4 2 3 4
x + y = 1 1 1 1

" # " #
2 3 4 1 1 1
f2 ↔ f1
1 1 1 2 3 4
Se ha intercambiado filas.
" # " #
1 1 1 1 1 1
(−2) · f1 + f2
2 3 4 0 1 2
A la fila uno se ha multiplicado por (-2) y se ha sumado a la fila dos. La fila uno
se mantiene constante, cualquiera sean los números
h que se hallen
i en la fila.
Como se observa en la segunda fila esta escrito: 0 1 2
Por lo cual, se puede escribir: 0x + y = 2 y de esta ecuación fácilmente encontra-

mos y = 2, se reemplaza en la primera fila y se obtiene el valor de x; si ası́ se lo hace,
es lo que se llama Gauss-Jordán incompleto.
" # " #
1 1 1 1 0 −1
(−1) · f2 + f1
0 1 2 0 1 2
En el lado izquierdo de la matriz aumentado se ha obtenido la matriz unidad;
por lo que, se ha resuelto el sistema de ecuaciones, de donde: x = -1, y = 2., y se ha
utilizado el método Gauss-Jordán completo.
Resolver el sistema lineal por el método de Gauss Jordán.

2x − 2x + x = 3 2 −2 1 3
 


 1 2 3 
 
3x + x − x = 7 Matriz Aumentada −→ 3 1 −1 7
 
1 2 3
 

  
 x1 − 3x2 + 2x3 = 0

1 −3 2 0
 2 −2 1 3  1 −3 2 0  1 −3 2 0
     
  
 3 1 −1 7
f1 ↔ f2  3 1 −1 7
 0 10 −7 7
 (−3)f1 + f2
   
   
1 −3 2 0 2 −2 1 3 2 −2 1 3
     
 1 −3 2 0  1 −3 2 0  1 −3 2 0
     
  
 0 10 −7 7  0 10 −7 7  0 2 −1 1
 (−2)f1 + f3  (−2)f3 + f2
  
   
2 −2 1 3 0 4 −3 3 0 4 −3 3
     
 1 −3 2 0  1 −3 2 0  1 −3 2 0 
     
 
 0 2 −1 1  0 2 −1 1  0 2 0 0 
 (−2)f2 + f3  (−1)f3 + f2
 
   
0 4 −3 3 0 0 −1 1 0 0 −1 1
     
 1 −3 2 0  1 −3 0 2  3  1 0 0 2 
     

 0 2 0 0  0 2 0 0   0 2 0 0 
 (2)f3 + f1  ( )f2 + f1

 2
   
0 0 −1 1 0 0 −1 1 0 0 −1 1
    
 1 0 0 2   1 0 0 2   1 0 0 2
     
1

 0 2 0 0   0 1 0 0   0 1 0 0
f (−1)f3

2 2
     
0 0 −1 1 0 0 −1 1 0 0 1 −1
     
Se ha obtenido la matriz unidad;por lo tanto, x1 = 2; x2 = 0; x3 = −1.

Se conoce que un sistema tiene tres diferentes tipos de solución.La pregunta natural
del estudiante en este momento seria: ¿Como se define que tipo de solución tiene un
sistema al resolverlo por Gauss-Jordán. La respuesta es la forma como se presente
la matriz aumentada:
1. Si la matriz aumentada tiene la forma:
 1 0 0 2
 

 0 1 0 0 
 
0 0 1 −1
 
Por lo tanto, para cada una de las filas se la puede escribir de la forma (se
considera la primera fila): x1 + 0x2 + 0x3 = 2. De donde x toma un solo valor.
Esto nos permite concluir que: el sistema tiene solución única.
 1 0 0 2
 

 0 1 0 0 
 
0 0 0 −1
 
Por lo tanto, en la matriz aumentada existe una fila, que se la puede escribir
de la forma: 0x1 + 0x2 + 0x3 = −1, lo que indicarı́a que: 0 = -1, lo cual es una
falacia.En este caso el sistema no tiene solución.
 1 0 0 2 
 
 0 1 0 0 
 
0 0 0 0
 
Por lo tanto, en la matriz aumentada existe una fila, que se la puede escribir
de la forma: 0x1 + 0x2 + 0x3 = 0, lo que indicarı́a que: 0 = 0, lo cual es una
tautologı́a.En este caso el sistema es paramétrico y tiene una cantidad infinita
de soluciones.
1.3.2. Método Determinantes

El método de determinantes inicio su aplicación en el siglo XVII, por el Japones,
Seki Kowa lo desarrollo mas ampliamente el alemán Leibniz Gottfried y fue popu-
larizado por Grabriel Cramer, es por lo cual, que a este método se lo conoce como el
método de Cramer.
Su inicio fue en base al análisis de resolver un sistema lineal por el método clásico:
El análsis se lo realiza en función de un sistema 2x2:
(
ax + by = c
a1 x + b1 y = c1

A la primea fila se multiplica por (b1 ) y a la segundo por (-b):

(
a · b1 x + b1 · by = b1 · c
−b · a1 x − b · b1 y = −b · c1
Se aplica el método de la suma-resta:
a · b1 x − b · a1 x = b1 · c − b · c1 −→ x(a · b1 − b · a1 ) = b1 · c − b · c1
Se despeja x:
b1 · c − b · c 1
x=
a · b 1 − b · a1
a la ultima expresión se la escribió de otra forma:

c b a c
b · c − b · a1 c1 b1 Dx Dy a1 c1
x= 1 = = , y= =
a · b1 − b · c1 a b Db Db a b
a1 b 1 a1 b1

Donde:
Dx significa el determinante en (x), Dy significa el determinante en (y) y Db el

determinante básico. El determinante Dx se obtiene al reemplazar los coeficientes
de la variable, que se desea calcular, por los coeficientes libres del sistema, en la
misma forma se obtiene el determinante Dy . El determinante básico se lo obtiene
en base a los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones a resolver.
Por analogı́a, se lo hace para resolver un sistema de 3x3:
El sistema seria:



 ax + by + cz = d
a1 x + b1 y + c1 z = d1



 a2 x + b2 y + c2 z = d2

Aplicando el método de Cramer:

d b c a d c a b d
d1 b1 c1 a1 d1 c1 a1 b1 d1
d 2 b2 c 2 Dy a2 d2 c2 a2 b2 d2

Dx Dz
x= = ; y = = ; z= =
Db a b c Db a b c Db a b c

a1 b1 c1 a1 b1 c1 a1 b1 c1
a2 b 2 c 2 a2 b2 c 2
a2 b2 c2

Como se puede observar, al momento que expresamos las variables en función

de determinantes, el signo menos desaparece, este es el motivo por el cual aparece
el teorema de Sarus, el cual dice: El valor del determinante se obtiene al multiplicar
la(s) diagonal(es) principal(es) del determinante menos la(s) diagonal(es) secunda-

ria(s).
La diagonal principal es la recta que va de izquierda a derecha, pero de arriba

hacia abajo en el determinante. La diagonal secundaria va de arriba hacia abajo,
pero de derecha a izquierda en el determinante.
En la solución de un sistema de ecuaciones de 3x3 se debe aumentar 2 filas ó 2
columnas para aplicar el teorema de Sarus, lo cual se presenta en la siguiente figura:
Figura 1.3 Teorema de Sarus en un Sistema 3x3
El método de Cramer es sencillo, entendible y es muy aplicable en la solución de

problemas teóricos-técnicos en la matemática y en otras ciencias exactas de la inge-
nierı́a.
El principal problema, que se tiene en este método, es que el teorema(regla) de Sa-
rus no se puede aplicar para resolver sistemas de orden mayor a 3; por lo que, es
una regla no una ley. Para resolver un sistema de ecuaciones de orden mayor a 3 se
debe obligatoriamente aplicar propiedades de un determinante.
Propiedades de Determinantes.
Las propiedades de determinantes se puede aplicar a cualquier sistema de ecua-
ciones de cualquier orden. Por facilidad de comprensión y visualización , se escri-
birán y demostrarán las propiedades de un determinante para un determinante de
orden 2x2. Estás son:

a b Este determinante se utilizara para analizar sus propiedades.
c d
1. Si todo un determinante esta compuesto por ceros,el valor del determinante

es igual a cero.

a b −→ 0 0 Al aplicar Sarus se tendrı́a :0 · 0 − 0 · 0 = 0
c d 0 0
2. Si dos filas o dos columnas son idénticas, el valor del determinante es igual a
cero.

a b −→ a b Al aplicar Sarus se tendrı́a: a · b − a · b = 0
c d a b
3. Si toda una fila ó columna se intercambia con otra fila ó columna, se debe es-
cribir el signo menos delante del determinante.


a b −→ c d = c · b − a · d = −(a · d − c · b) = − a b
c d a b c d
4. Si toda una fila o columna tiene un factor, el factor sale delante del determi-
nante.

a b −→ a · k b · k = a.k · d − bk · c = k(a · d − b · c) = k a b
c d c d c d
5. Si todas las filas ó columnas tienen un factor, el factor sale delante del deter-
minante con un exponente que es igual al orden del determinante.

a b −→ a · k b · k = a.k 2 · d − bk 2 · c = k 2 (a · d − b · c) = k 2 a b
c d c·k d ·k c d
6. Si a toda una fila ó columna le multiplicamos por un numero y le sumamos a

otra fila ó columna el valor del determinante no se altera.

a b −→ a b = a(d + b · k) − b(c + a · k) = ad + ab · k − bc − ab · k
c d c+a·k d +b·k

a b
= ad − bc =
c d

7. Esta propiedad se la conoce como el nombre de desarrollo de un determinante,

fue creada por Laplace, para su obtención se utilizara un determinante de 3x3:

a b c
d e f (se aplica Sarus) = aei + dhc + bf g − egc − ahf − bdi
g h i

Se observa que: se tiene 6 elementos, tres positivos y tres negativos, ademas se

tiene una suma y la suma acepta la asociativa y distributiva. Esto se lo realiza
según la primera fila.
= a(ei − hf ) + b(f g − di) + c(dh − eg) Se escribe de diferente forma:

e f f d d e
= a + b + c
h i i g g h
Al trazar una horizontal y perpendicular a cada elemento de la fila,con la cual

se desea desarrollar el determinante, todo lo que queda fuera de estas dos
lineas, es lo que se presente en estos determinantes de 2x2. En el segundo ele-
mento solo cambia el orden; por lo tanto, al aplicar la tercera propiedad se
tendrı́a:

e f d f d e
= a − b + c
h i g i g h


Todos los elementos están en un orden definido;por lo que, nos afecta en este
momento es el signo menos. Pero se lo puede escribir de la siguiente forma:
!
e f d f d e
= a + −b + c
h i g i g h
Esta estructura, ya permite escribir la formula general del desarrollo de un

determinante:

a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n P n
Det.A = .. .. .. .. .. = (−1)i+j ai,j Mi,j
. . . . . i=1
an1 an2 an3 · · · ann
Donde:
El elemento (−1)i +j . Nos indica que, en el desarrollo de un determinante de-

pende del lugar del elemento en el determinante. Si la suma de (i + j ) es par
su signo sera positivo y si esta suma (i + j ) es impar; por lo tanto, el signo sera
negativo.
El elemento ai,j serán todos los elementos de una fila ó columna, según se desa-
rrolla el determinante.
Mi,j Es el minorante del determinante, que siempre es un grado menor del

grado del determinante que se desarrolla.
El complemento algebraico del elemento aij del determinante A, se llama es-

calar A∗ij ó [a∗ ]ij definido con la fórmula:,
A∗ij = (−l)i+j · Mij.
El determinante formado de los complementos algebraicos A* del determi-

nante A, es el determinante formado por la substitución de cada elemento del
determinante A con los correspondientes complementos algebraicos, lo que
significa que:
A∗ = [Aij ].
8. El valor del determinante A es igual a la suma de multiplicaciones de los ele-

mentos de una fila multiplicados por los cofactores de esa fila, entonces:
n n
(−1)i+j ai,j Mi,j =
P P
Det. = ai,k Ai,k .Donde: i la fila que se desarrolla el de-
i=1 k=1
terminante

n n
(−1)i+j ai,j Mi,j =
P P
Det. = ak,j Ak,j .Donde: j la columna que se desarrolla
i=1 k=1
el determinante
Estas fórmulas, llamadas desarrollo de la Laplace, siempre dan un resultado

igual, independiente de la fila ó columna que se elegida.
Al desarrollar un determinante, el minorante es un grado menor; por lo tanto, se
puede realizar este proceso, tantas veces sean necesarias hasta reducir el orden del
determinante, hasta llegar a un determinante de tercer orden, en el cual, se puede
aplicar la regla de Sarrus. Pero ademas, si se aplica la sexta propiedad, que nos
permite obtener la mayor cantidad de ceros en la fila, con lo cual se facilita el calculo
del valor de un determinante.
Calcular el valor del determinante:

1 0 2
1. Det.A = 2 1 4
3 −1 4

el determinante es de tercer orden, se puede aplicar el teorema de Sarrus ó

propiedades. (El estudiante debe obtener el valor del determinante aplicando
Sarrus). En este ejercicio se aplicara propiedades.
Toda la columna tres tiene un factor el numero dos:

1 0 2 1 0 1 1 0 1
Det.A = 2 1 4 = 2 2 1 2 f2 (1) + f3 2 1 2

3 −1 4 3 −1 2 5 0 4

Ya se tiene la mayor cantidad de ceros en la columna (2). Se desarrolla el de-

terminante según la columna(2):

2 2 + (−1)2+2 · (1) · 1 1 + (−1)3+2 · (0) · 1 1
= (−1)1+2 · (0) · 5 4 5 4 2 2

El primer elemento y el tercero al multiplicarlos por cero son igual a cero; por
lo que, nos queda unicamente el segundo elemento.
En el segundo elemento nos queda: (−1)2+2 = (−1)4 = 1. El exponente (2 + 2)es
el lugar del elemento con el que se desarrolla el determinante ai,j = 1, y lo que
queda es el minorante(cofactor):
" #
1 1
Det.A = 2 (1)(1) = 2(4 − 5) = 2(−1) = −2
5 4

−1 2 1 1
−2 −2 2 −3
2. Det.A =
1 1 −1 2

2 1 3 −1
Lo primero que se observa, el determinante es de cuarto orden, no se puede

aplicar el teorema de Sarrus, unicamente propiedades. Ninguna fila ni colum-
na tiene un factor. Se escoje cualquier fila o columna, tomando encuenta que

es mas fácil trabajar con números pequeños.

−1 2 1 1 −1 3 1 1
−2 −2 2 −3 −2 0 2 −3
Det.A = c1 (−1) + c2
1 1 −1 2 1 0 −1 2

2 1 3 −1 2 −1 3 −1

−1 3 1 1 −1 3 0 1
−2 0 2 −3 −2 0 0 −3
1 0 −1 2 c1 (1) + c3 1 0 0 2

2 −1 3 −1 2 −1 5 −1
La tercera columna ya tiene la mayor cantidad de ceros; por lo tanto, desarro-

llamos el determinante en función de esta columna.

−1 3 1 −1 3 1
Det.A = (−1)i+j ai,j Mi,j = (−1)4+3 (5) −2 0 −3 = (−5)(−1i+j )(3) −2 0 −3
1 0 2 1 0 2

1+2 −2 −3
Det.A = (−5)(−1) (3) = (−5)(−1)(3) [(−2)(2) − (1)(−3)]
1 2
Det.A = (15)(−1) = −15 Es el valor del determinante.
3. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales:




 x − y + z = 8
2x + 3y − z = −2



 3x − 2y − 9z = 9

Aplicando las definiciones del método de determinante se obtendrı́a:

8 −1 1 1 8 1 1 −1 8
−2 3 −1 2 −2 −1 2 3 −2
Dx 9 −2 −9 Dy 3 9 −9 3 −2 9

Dz
x= = ; y= = ; z= =
Db 1 −1 1 Db 1 −1 1 Db 1 −1 1
2
3 −1 2 3 −1 2 3 −1
3 −2 −9 3 −2 −9 3 −2 −9

Se calcula los valores de los determinantes, aquı́ se aplicara propiedades (El

estudiante debe resolverlo por el método de Gauss-Jordán).
Se comienza por el calculo del determinante básico:

1 −1 1 1 0 1 1 0 0
2 3 −1 c1 (1) + c2 2 5 −1 c1 (−1) + c3 2 5 −3
3 −2 −9 3 1 −9 3 1 −12

Se obtuvo una fila con la mayor cantidad de ceros. Se desarrolla el determi-

nante para la primera fila.


5 −3
Db = (−1)1+1 (1) 1 −12
= (1)(−60 − 3) = −57

Se calcula el valor del determinante en (x):

8 −1 1 8 0 1 0 0 1
Dx = −2 3 −1 c3 (1) + c2 −2 2 −1 c3 (−8) + c1 6 2 −1
9 −2 −9 9 −11 −9 81 −11 −9

Se obtuvo una fila con la mayor cantidad de ceros. Se desarrolla el determi-

nante para la primera fila.

6 2
Dx = (−1)1+3 (1) 81 −11
= (1)(−66 − 162) = −228

Dx −228
Se calcula el valor de la variable (x): x = = =4
Db −57
Se calcula el valor del determinante en (y):

1 8 1 1 8 1 3 6 0 3 6 0
Dy = 2 −2 −1 = 3 2 −2 −1 f2 (1)+f1 2 −2 −1 f2 (−3)+f3 2 −2 −1
3 9 −9 1 3 −3 1 3 −3 −5 9 0

Se obtuvo una columna con la mayor cantidad de ceros. Se desarrolla el deter-

minante para la tercera columna.

3 6 1 2
Dy = (−1)1+3 (−1) −5 9 = (−1)3 −5 9 = (−3)(9 + 10) = (−3)(19) = −57

Dy (3)(−57)
Se calcula el valor de la variable (y): y = = =3
Db −57
Se calcula el valor del determinante en (z):

1 −1 8 1 −1 8 1 −1 8
Dz = 2 3 −2 f1 (−2) + f2 0 5 −18 f1 (−3) + f3 0 5 −18
3 −2 9 3 −2 9 0 1 −15

Se obtuvo una columna con la mayor cantidad de ceros. Se desarrolla el deter-

minante para la primera columna.

5 −18
Dz = (−1)1+1 (1) 1 −15
(1)(−75 + 18) = −57

Dz −57
Se calcula el valor de la variable (z): z = = =1
Db −57

1.3.3. Método Matrices.

1.3.4. Elementos de una Matrices.
Matrices es el método mas aplicado actualmente en los procesos técnicos y no-
técnicos. Su aplicación se debe principalmente al desarrollo de la informática. El
algoritmo informático, para su aplicación no es muy tedioso, como son los algorit-
mos de los otros dos métodos analizados.
Para su análisis, necesario es conocer las diferentes definiciones y teoremas que faci-
litan su aprendizaje. Todas estas definiciones están definidas en un campo (dominio)
K, que es un cuerpo, que admite las propiedades de:
1. Conmutatividad
2. Asociatividad
Por lo cual, ai,j ∈ K donde: (i,j)∈ N.
Definición de Matriz.
Llamamos una matriz a la representación compuesta de n filas y m columnas y

su dimensión, esta definida por n x m (n por m). Su representación gráfica es:
 a11 a12 a13 · · · a1n 

 
 a
 21 a22 a23 · · · a2n 

A =  .. .. .. .. .. 

 . . . . . 

Los números que aparecen en la definición, ai,j donde i representan las filas, j
representan las columnas (i = 1, 2,.., n, j = 1, 2, m) se llaman elementos o términos
de una matriz A. También, se usa la forma abreviada de notación: A = [ai,j ]nxm , A =
Anxm
Se define A = [aij ], cuando no hay ninguna duda sobre la dimensión de la matriz.
Cuando m = n, la matriz es cuadrada. La cifra n define el grado u orden de la matriz
y en forma corta se escribe A = [ai,j ]n o A = An . En cada otro caso la matriz es
rectangular.
Las matrices:
 1 −1 8 
 
A3x3 =  2 3 −2  Matriz cuadrada 3x3.
 
3 −2 9
 
En la matriz, a1,1 = 1, lo que nos indica es que: el elemento de la primera fila, pri-
mera columna es igual a 1 y ası́ sucesivamente con todos los elementos de la matriz.
 1 −1 8 5
 

A3x4 = [aij ]3x4 =  2 3 −2 7 Matriz rectangular 3x4.
 

3 −2 9 −3
 
La matriz dada consta de tres filas y cuatro columnas. El elemento a2,4 = 7.

Matriz Nula.
Una matriz, en la cual todos los elementos son iguales a cero, se llama matriz
nula y marcamos con la letra O o Omxn , cuando se conoce su dimensión, Nn . Como
fácil es observar en la matriz:
 0 0 0 
 
N3x3 = [N3 ] =  0 0 0  Matriz nula cuadrangular 3x3
 
0 0 0
 
Matriz Columna y Matriz Fila.

La matriz columna es aquella matriz que solo consta de una columna, al igual,
la matriz fila es aquella que solo consta de una fila, su terminologı́a es:
[a1,n ] Matriz fila, que consta de la primera fila y de n columnas.
A1,n = [a1,1 a1,2 a1,4 a1,4 · · · a1,n ]

 
 a1,3 
 a2,3 
 
an,3 =  a3,3  Matriz columna. La tercera columna en la matriz dada.
 · · · 
 
an,3
Matriz Diagonal.
La diagonal principal de la matriz cuadrada se compone de elementos con mis-
mos indicadores, es decir, i = j. Si la diagonal principal de una matriz esta formada
por cualquier numero, se la llama matriz diagonal. Y en el caso en que la diagonal
principal estas compuesta por un solo numero, se lo conoce con el nombre de matriz
escalar.
Matriz Triangular Superior(Inferior).

Los elementos de una matriz [ai,j ] (i = l, 2,...,n; j =1,2,3,4,..n) que estén en la posi-
ción sobre la diagonal principal de una matriz, pueden estar formado por cualquier
numero, se lo denomina elementos del triangulo superior de la matriz.
Una matriz cuadrada llamamos de triangulo superior (triangulo inferior), cuando
todos los elementos en posición por debajo (por encima) de la diagonal principal
tienen valor igual a cero. La matriz de triangulo superior de grado n tiene la forma:
 
 a11 a12 a13 a14 ··· a1n 
0 a22 a23 a24 ··· a2n
 
 
0 0 a33 a4 ··· a3n
 
 
An =  0 0 0 a44 ··· a4n
 Matriz de triangulo superior.

.. .. .. .. .. ..
 
 

 . . . . . . 

0 0 0 0 · · · ann

 
 a11 0 0 0 ··· 0 
a21 a22 0 0 ··· 0
 
 
a31 a32 a33 0 ··· 0
 
 
An =  a41 a42 a43 a44 ··· 0
 Matriz de triangulo inferior.

.. .. .. .. .. ..
 
 

 . . . . . . 

an1 an2 an3 an4 · · · ann
Matriz Transpuesta.
La matriz transpuesta AT de la matriz A, se llama a una matriz, que se forma
por un intercambio de filas por columnas correspondientes sin cambiar su orden;
entonces, es la substitución de elemento aij por elemento aji . Si la matriz A = [aij ]
la matriz transpuesta es AT = [aji ]
La operación que consiste en la determinación de una matriz transpuesta AT de la
matriz A, se llama transposición de la matriz. El resultado de transposición se cam-
bia las dimensiones de la matriz. Lo que significa que cuando la matriz A tiene una
dimensión n x m, la matriz AT tiene una dimensión m x n.
 1 2 3 
 
 1 −1 8 5
 
  −1 3 −2 
A3x4 =  2 3 −2 7 AT4x3 = 
   
 8 −2 9 
 
3 −2 9 −3
 
 
5 7 −3
De esta definición de la matriz transpuesta resulta las propiedades siguientes:
1. (AT )T = A
Demostración: Se considera una matriz cuadrada, aunque puede ser de cual-
quier orden:
(AT )T = ((aij )T )T = (aji )T = aij = A ∀i, j ∈ N
2. ET = E
Demostración: En una matriz unidad, su caracterı́stica es que, su diagonal
principal esta compuesta por unos. En el proceso de transposición la diago-
nal principal se mantiene constante.
3. Det.(Ai,j ) = Det.(Ai,j )T ∀i, j ∈ N
Demostración: Se conoce que el valor de un determinante de segundo orden
esta definido por la regla de Sarus:
" # " #
a b a c
= a·d −b·c = a·d −c·b =
c d b d
La operación multiplicación acepta la propiedad conmutativa. Si el determi-

nante es de mayor orden se aplica propiedades hasta obtener un determinante
de segundo o tercer orden , donde se puede aplicar Sarus.
Matriz Simétrica
Se llama matriz simétrica a la matriz cuadrada en la cual sus elementos ubica-
dos simétricamente con relación a la diagonal principal son iguales, donde. aik = aki

para i, k = 1, 2, 3, · · · , n
 a b c d
 

 b k r s 
 −→ A = AT ∀A ∈ K
 
 c r l p


 
d s p m
Una matriz anti-simétrica esta definida por: A = −AT ∀A ∈ K
Lo escrito permite formular los teoremas siguientes:
1. La suma de una matriz con su transpuesta es una matriz simétrica S = A + AT .

Demostración:
S T = (A + AT )T = AT + (AT )T = AT + A = S
2. la diferencia de una matriz con su transpuesta es una matriz anti-simétrica

S = A − AT .
Demostración:
S T = (A − AT )T = AT − (AT )T = AT − A = −(A − AT ) = −S
Operaciones Algebraicas con Matrices.

Las operaciones algebraicas con matrices son: la suma y la multiplicación. La di-
visión es una operación algebraica, que no se aplica a matrices; por lo que, en este
libro se analiza las dos primeras operaciones.Para todo tipo de análisis con matrices
de debe entender que, se esta en un campo matemático definido como K. mencio-
nadas.
Igualdad de Matrices.
Dos matrices A = [ai,j ] y B = [bi,j ] de la misma dimensión (n x m) se llaman igua-
les o idénticas; si todos sus elementos correspondientes de las dos matrices ubicados
en los mismos lugares son iguales. lo que significa que:
ai,j = bi,j donde: i = 1, 2, · · · , n. , j = l, 2, · · · , m.
Las propiedades de igualdad de las matrices son:
1. Reflexiva, A = A
2. Simétricas, lo que significa: Si A = B entonces B = A.
3. Transitiva, Si A = B y B = C entonces A = C
Suma de Matrices.
Si se considera el conjunto de todas las matrices de dimensión determinada n x
m, y en este conjunto se define la operación de suma y la operación de multiplicación
por una constante, ası́ definidos las operaciones de matrices es lo que se denomina
un conjunto lineal, también conocida como espacio lineal. Esta definición cada vez
toma mas importancia en la matemática moderna.

El espacio lineal sobre un cuerpo de números reales R se llama un conjunto de X en

el cual son dos operaciones:
1. Suma de elementos del conjunto X
2. Multiplicación de elementos del conjunto X por una constante.
La suma de dos matrices A = [ai,j ]nxm y B = [bi,j ]nxm se define solamente para matri-
ces de igual dimensión, se llama a la matriz C = [ci,j ]nxm , donde todos sus elementos
son el resultado de la suma de los elementos correspondientes de ambas matrices:
C=A+B ↔ [ai,j ]nxm + [bi,j ]nxm = [aij + bij ]nxm = [ci,j ]nxm ,
Donde: i = 1, 2, · · · , n y j = 1, 2, · · · , m.
La definición anterior se puede generalizar para cualquier número finito de ma-

trices. De esta definición resultan las siguientes propiedades:
1. La suma de matrices cumple la propiedad conmutativa; por lo tanto,

A+B=B+A
Demostración:
Se define dos matrices con la misma dimensión: Anxm , Bnxm sus elementos
están definidos: (aij )nxm , (bij )nxm ; por lo tanto:
Anxm + Bnxm = (aij )nxm + (bij )nxm = (aij + bij )nxm = (bij + aij )nxm =
= (bij )nxm + (aij )nxm = Bnxm + Anxm
2. La suma de matrices cumple la propiedad asociativa; por lo tanto:

(A + B) + C = A + (B + C).
Demostración:
Se define tres matrices, en el campo K, con la misma dimensión: Anxm , Bnxm y Cnxm
y sus elementos están definidos: (aij )nxm , (bij )nxm y (cij )nxm ; por lo tanto:
(Anxm + Bnxm ) + Cnxm = ((aij )nxm + (bij )nxm ) + (cij )nxm = (aij + bij )nxm + (cij )nxm =
= ((aij + bij + cij ))nxm = ((aij + (bij + cij )))nxm = ((aij )nxm + (bij + cij )nxm ) =
= Anxm + (Bnxm + Cnxm )
3. La suma de matrices cumple la propiedad de identidad; por lo tanto:

A+N=A
Demostración:
Se define dos matrices con la misma dimensión: Anxm , Nnxm sus elementos
están definidos: (aij )nxm , (0ij )nxm ; por lo tanto:
(Anxm + Nnxm ) = ((aij )nxm + (0ij )nxm ) = (aij + 0ij )nxm = (aij ) = Anxm
4. La suma de matrices cumple la propiedad de transpuesta; por lo tanto,

(A + B)T = AT + BT
Demostración:

Se define dos matrices, en el campo K, con la misma dimensión: Anxm , Bnxm y

sus elementos están definidos: (aij )nxm , (bij )nxm ; por lo tanto:
(Anxm + Bnxm )T = ((aij )nxm + (bij )nxm )T = (aij + bij )Tnxm = (cij )T = cji =
= ((aji + bji ))nxm = ((aji )nxm + (bji )nxm ) = ((aij )Tnxm + (bij )Tnxm ) = AT + BT
La diferencia de dos matrices: A - B se define igualmente para matrices de las mis-

mas dimensiones. Se llama una matriz, que es la suma de matriz A con la matriz
opuesta de la matriz B, lo que significa:
A - B = A + (-B)
De la definición resulta, que la diferencia entre la matriz A = [aij ]nxm con B =

[bij ]nxm de las mismas dimensiones, es la matriz C = [cij ]nxm = [aij − bij ]nxm y sus
elementos son la diferencia con los elementos correspondientes de las matrices.
Como se aprecia las dos matrices son de orden 3x3; por lo tanto , es posible la suma.
Realice las suma de dos matrices dadas:
 1 0 2   1 −6 2 
   
[ai,j ]3x3 =  2 1 4  [bi,j ]3x3 =  −5 1 4 
   
3 −1 4 3 −1 8
   
 1 0 2   1 −6 2   2 −6 4
     

 2 1 4 
 +  −5 1 4  =  −3 2 8
   
 
3 −1 4 3 −1 8 6 −2 12
     
Multiplicación de Matrices.
Multiplicación de una Constante por una Matrices.
El producto de una matriz A y un escalar λ se llama a la matriz B de dimensión
igual a la matriz A, donde los elementos de la matriz [bij ]nxm es el producto de los
elementos de la matriz [aij ]nxm correspondientes ( todos sus elementos) a la matriz
A y escalar λ, lo que significa:
B = λ · A ↔ [bij ]nxm = λ[aij ]nxm = [λ · aij ]nxm , donde: i = 1, 2, · · · , n y j =

1, 2, · · · , m.
De la misma forma, el conjunto de todas las matrices de dimensión determinada

n x m, y en este conjunto se define, además de la operación de suma y la operación
de multiplicación por una constante, ası́ definidos estas operaciones de matrices es
lo que se denomina un anillo lineal. Esta definición cada vez toma mas importancia
en la matemática moderna.
el espacio lineal sobre un cuerpo de números reales R se llama un conjunto de X en
el cual son dos operaciones:
1. Suma de elementos del conjunto X
2. Multiplicación de elementos del conjunto X por una constante.

Por lo tanto, la multiplicación de cualquier matriz por cualquier número, se lo

hace multiplicando todos los elementos de esta matriz por ese numero.
Si A, B son matrices con las mismas dimensiones y α, β son números reales o com-
plejos. Como resultado de la definición surgen las siguientes propiedades:
1. α · (βA) = (α · β) · A.
Demostración:
Se define la matriz, en el campo K, con la dimensión: Amxn y α, β ∈ K y sus
elementos están definidos:
α · (βAnxm ) = α · (β(aij )nxm ) = α · (βaij )nxm = (α · βaij )nxm = ((α · β)(aij ))nxm =
(α · β)((aij ))nxm = (α · β) · Anxm
2. (α + β) · Anxm = α · Anxm + βAnxm .

Demostración:
Se define la matriz, en el campo K, con la dimensión: Anxm y α, β ∈ K y sus
elementos están definidos:
(α + β) · A = (α + β) · (aij )nxm = ((α + β) · (aij ))nxm = ((α · (aij ) + (β · (aij ))nxm =
(α · (aij )nxm ) + (β · aij )nxm = α · ((aij )nxm ) + β · (aij )nxm = α · A + β · A
3. α · (Anxm + Bnxm ) = α · Anxm + α · Bnxm ,

Demostración:
Se define las dos matrices, en el campo K, con la misma dimensión: Anxm , Bnxm
y sus elementos están definidos:
α · (Anxm + Bnxm ) = α · ((aij )nxm + (bij )nxm ) = α(aij + bij )nxm = (α · aij + α · bij )nxm =
(αaij )nxm + (α · bij )nxm = α(aij )nxm + α · (bij )nxm = α · Anxm + α · Bnxm
4. (α · Anxm )T = α · (Anxm )T
Demostración:
Se define la matriz, en el campo K, con la misma dimensión: Anxm , y α ∈ K y
sus elementos están definidos:
(α · Anxm )T = (α · (aij )nxm )T = (α · aji ) = (α(aij )nxm ) = α(aij )nxm ) = α · (Anxm )T
5. α · Nnxm = 0
Demostración:
Se define la matriz, en el campo K, con la dimensión: Nnxm y sus elementos
están definidos:
α · Nnxm = α(nij )nxm = α(0ij )nxm = (α · 0ij )nxm = (0ij )nxm = (nij )nxm = Nnxm = 0
El producto (-1) por una matriz A se lo escribe con el sı́mbolo –A y lo se llama matriz
opuesta a la matriz A.
Determinar la matriz A = X - 2Y + 3E, cuando:
" # " #
−1 2 1 0
X2x2 = [x2x2 ] = Y2x2 = [y2x2 ] =
−1 3 2 −4

La letra E significa la matriz unitaria con la dimensión correspondiente. Como

las matrices X y Y son de segundo orden, la matriz unitaria E también es de segun-
do orden. Aplicando las definiciones; de multiplicación de matriz por una cifra, de
suma, diferencia de matrices y la ley asociativa se obtiene:
" # " # " #
−1 2 1 0 1 0
A = X − 2Y + 3E = −2 +3 =
−1 3 2 −4 0 1
" # " # " # " #
−1 2 −2 0 3 0 0 2
= + + =
−1 3 −4 8 0 3 −5 14
Multiplicación de Matrices.
la operación algebraica de la multiplicación de matrices esta definida, si el núme-
ro de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B, entonces
el producto An,r · Br,m de la matriz A = aij de dimensión n x r, por la matriz B = bjk
de dimensión r x m se llama una matriz C = cik de dimensión n x m en la cual, sus
elementos de la matriz Cik que están ubicados en la i-fila y k-columna es igual a la
suma de los productos de los elementos correspondientes de la i-fila de la primera
matriz por los elementos de la k-columna de la segunda matriz, lo que significa:
r
P
cik = ai1 · b1k + ai2 · b2k + ai3 · b3k + · · · + air · brk = aij · bjk
j=1
En la multiplicación de matrices, cómodo es aplicar lo que se conoce con el nom-

bre de esquema de Falk.
Figura 1.4 Esquema de Falk

De la formula anterior los elementos de Cij de la matriz C = A · B es la suma de los
productos de los elementos de fila i de la matriz A y los elementos de la columna j
de la matriz B.
Cuando el número de columnas en la matriz Anxp es diferente con número de lı́neas
de la matriz Bqxm , lo que significa p , q, en ese caso multiplicación es no realizable.

La multiplicación de matrices no es conmutable, que significa en general:
A·B , B·A
Por lo tanto, se debe diferenciar la multiplicación de izquierda a derecha de la ma-
triz A por la matriz B, es decir A · B y la multiplicación de derecha a izquierda de la
matriz A por la matriz B, por lo tanto, B · A.
Si las matrices A y B cumplen la condición:
A·B = B·A
Se las llama matrices conmutativas.
En base a las últimas definiciones resultan las siguientes propiedades:
1. A · (B · C) = (A · B) · C Asociativa.
Demostración:
Las matrices A,B y C pertenecen en un campo (dominio) K y son compatibles
para el producto. Se define el producto D = B · C
m
P
D = B · C −→ dij = bik · ckj ∀i, j ∈ N
k=1
Sea el producto de matrices E = A · D:
!! !
m
P m
P m
P m P
P m
E = A·D −→ eij = air · drj = air brk · ckj = air brk · ckj
r=1 r=1 k=1 r=1 k=1
Por el lado derecho de la igualdad se realiza un proceso parecido:
m
P
F = A · B −→ fij = aik · bkj
k=1
Sea el producto de matrices: G = F · C:
! ! ! !
Pm m P
P m m P
P m
G = F · C −→ gij = fir · crj = aik · bkj crj = aik · bkr · crj
r=1 r=1 k=1 r=1 k=1
Se obtuvo que, E = G; por lo tanto, (A · B) · C = A · (b · C)
2. (A + B) · C = A · C + B · C, Distributiva lado derecho

Demostración:
Las matrices A,B y C pertenecen en un campo K y son compatibles para el
producto y la suma.
Se define la suma D = A + B
D = A+B −→ dij = aij + bij
y E = D ·C
! ! !
m
P m
P m
P
E = D·C −→ eij = dik · ckj = (akj + bkj ) · ckj = (aik · ckj + bik · ckj )
k=1 k=1 k=1
! !
m
P m
P
= aik · ckj + bik · ckj = A · C + B · C
k=1 k=1

3. C · (A + B) = C · A + C · B Distributiva lado izquierdo.

Demostración:
Las matrices A,B y C pertenecen en un campo K y son compatibles para el
producto y la suma.
Se define la suma D = A + B
D = A+B −→ dij = aij + bij
y E = C ·D
! ! !
m
P m
P m
P
E = C·D −→ eij = cik · dkj = cik (akj + bkj ) = (cik · akj + cik · bkj )
k=1 k=1 k=1
! !
m
P m
P
= cik · akj + cik · bkj = C · A + C · B
k=1 k=1
4. (A · B)T = BT · AT Transpuesta con relación a la multiplicación.

Las matrices A y B pertenecen en un campo K y son compatibles para el pro-
ducto.
!T ! ! !
T
(A · B) =
P
aik · bkj =
P
ajk · bki =
P T T
(akj ) · (bik ) =
P T T
(bik ) · (akj ) =
∀k ∀k ∀k ∀k
= BT · AT
5. E · A = A y A·E = A
Demostración:
Las matrices E (matriz diagonal) y A pertenecen en un campo K y son compa-
tibles para el producto.
! !
P P
E · A = A −→ eik · akj = aij = A
k=1 k=1
6. O · A = O y A·O = O Identidad.
Demostración:
La matriz O, indica que es una matriz nula,es decir, todos sus elementos son
igual a cero, (nij )mxn = 0; por lo tanto, el producto de la matriz nula con cual-
quier matriz debe ser cero.
Realice la multiplicación de las matrices:
 2 −2 1   4 −3 
   
A =  3 1 −1  B =  6 −7 
   
1 −3 2 5 −3
   
La matriz A tiene 3 columnas, la matriz B tiene 3 filas; por lo que, es posible

realizar la multiplicación.
 2 −2 1   4 −3 
   
 3 1 −1   6 −7 
  ·   =
1 −3 2 5 −3
   

 2 · 4 + (−2 · 6) + 1 · 5 = 1 2 · (−3) + (−2 · (−7)) + 1 · (−3) = 5   1 5

   

=  3 · 4 + 1 · 6 + (−1 · 5) = 13 3 · (−3) + 1 · (−7) + (−1) · (−3) = 13   13 13
 = 
 

1 · 4 + (−3 · 6) + 2 · 5 = −3 1 · (−3) + (−3) · (−7) + 2 · (−3) = −24 −3 −24
   
División de Matrices en Sub-matrices, Matrices en Bloques.

Se Dice que la matriz A = [ai,j ]nxm toma forma de bloques (celular, caja, cuadro),
cuando, por medio de algunos lı́neas horizontales y verticales queda dividida en
cuadros y se llaman sub-matrices.
Por ejemplo, por medio de una recta horizontal y otra vertical la matriz, se obtiene:
 2 −2 1 3
 

A =  3 1 −1 7
 

1 −3 2 0
 
De esta matriz se puede obtener diferentes sub-matrices:
 2 −2 1 3  2 −2 1 3  2 −2 1 3
     
  
A1 =  3 1 −1 7 A2 =  3 1 −1 7 A3 =  3 1 −1 7
     
  
1 −3 2 0 1 −3 2 0 1 −3 2 0
     
Como se puede observar de una Matriz se puede obtener diferentes sub-matrices,

ya que, en cada uno de los casos las sub-matrices tienen diferentes elementos y si el
caso fuese necesario se podrı́a construir mas de 4 sub-matrices.
En cada uno de estas sub-matrices se la puede escribir de la forma:
 Q T 
 
A =   Donde: D,T,R, Y M son sub-matrices.
R M
1.3.5. Sistema lineales con Matrices.

Representación de un Sistema de Ecuaciones Lineales con n Variables con Matri-
ces.
Con el conocimiento de los elementos y operaciones con matrices, se puede re-
presentar un sistema de ecuaciones lineales de n variables. Un sistema de n ecua-
ciones esta dado:

a x + a12 x2 + a13 x3 + · · · a1n xn = b1
 11 1



 21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · a2n xn = b2
a


 .. .. .. .. .. .. .. .. ..



 . . . . . . ··· . . .
 an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + · · · ann xn = bn

El sistema se lo puede representar en su forma de matriz:
 a11 a12 a13 · · · a1n 

 
 a
 21 a22 a23 · · · a2n 

 .. .. .. .. ..  Matriz de los coeficientes de las variables

 . . . . . 
 

x1
 
 

 x2 

x3
 
  Matriz columna de las variables.
 .. 
.
 
 
 
xn
b1
 
 

 b2 

b3
 
  Matriz columna de los coeficientes libres.
 .. 
.
 
 
 
bn
Con esta matrices se presenta un sistema de ecuaciones lineales de n variables:
 a11 a12 a13 · · · a1n   x1 b1

     
  
 a a22 a23 · · · a2n   x2   b2 
 21   
 a31 a32 a33 · · · a3n  ·  x3 b3
     
 =  
 .. .. .. .. ..   ..   .. 
. . . . .   . .
   
   
   
an1 an2 an3 · · · ann xn bn
Si se representa a la matriz de los coeficientes de las variables con A, a la matriz

de variables con X y a la matriz de los coeficientes libres con B, se puede representar
a un sistema de ecuaciones en forme mas sencilla:
A·X = B
Como se observa, lo escrito , es una identidad y por lo tanto, se puede escribir:
B
A·X = B −→ X= −→ X = A−1 · B
A
Lo ultimo se pudo escribir gracias a las propiedades de una función exponencial.

Con lo cual aparece un nuevo tipo de matriz, que se denomina, matriz inversa. A−1
es la matriz inversa de A.
Se debe poner atención que, el lado derecho de la igualdad se escribió: A−1 · B, en
esta forma cumple con la condición de existencia de multiplicación de matrices y
no B · A−1 ya que, en esta forma no cumple la condición de existencia de una multi-
plicación de matrices. Por lo cual , aparece la condición de : A , 0.
En el momento en el cual, en vez de una constante se utiliza una variable Y; por lo
tanto, se tiene lo que se define como transformaciones lineales:
 a11 a12 a13 · · · a1n   x1 y1

     
  
 a a22 a23 · · · a2n   x2   y2 
 21   
 a31 a32 a33 · · · a3n  ·  x3 y3
     
 =  
 .. .. .. .. ..   ..   .. 
. . . . .   . .
   
   
     
an1 an2 an3 · · · ann xn yn

1.3.6. Métodos de Calculo de la Matriz Inversa.

Los métodos de calculo de una matriz inversa están basados en lo que, hasta aho-
ra se ha analizado en la resolución de un sistema de ecuaciones lineales. El método
de operaciones elementales ,que esta basado en el método de Gauss-Jordán, el se-
gundo, de la matriz adjunta, que esta basado en determinantes.
1.3.7. Método de Operaciones Elementales para Obtener la Matriz

Inversa.
El método de operaciones elementales sobre la matriz se llama cada uno de si-
guientes transformaciones:
1. Transposición (intercambio de puestos) de dos filas cualquiera (columnas).
2. Se suma a todos los elementos de una fila (columna) los correspondientes ele-
mentos de otros elementos de otra fila (columna), multiplicados por la cifra.
3. Multiplicar a todos los elementos de una fila (columna) por una cifra diferente
a cero
Cuando la matriz B se forma de la matriz A por medio de operaciones elementales,
entonces las matrices A y B se llaman equivalentes y se anota: A ∼ B.
Las operaciones elementales pueden ser utilizadas para determinar la matriz inver-
sa. Nos interesa la matriz inversa de una matriz no singular A, la matriz B significa
una matriz de bloques construida del modo siguiente: B = [A|E]. Donde: E es la ma-
triz unitaria con mismo grado que la matriz A.
Si la matriz de bloques C = [E | D] es el resultado de la aplicación de operaciones
elementales sobre las filas de la matriz B = [A | E], entonces D = A−1 .
El método de Gauss-Jordán crea la matriz aumentada, en la cual, se aplica operacio-
nes elementales, suma y multiplicación, para obtener la matriz unidad, cuando esto
se logra, se ha resuelto el sistema de ecuaciones. En este método se parte de la pro-
piedad, toda matriz multiplicada por su matriz inversa es igual a la matriz unidad,
que es una propiedad de la función exponencial:
1
an = −→ an · a−n = 1 −→ si n = 1 −→ a1 · a−1 = 1
a−n
Si esto se considera en matrices, se puede relacionar que: la matriz A y su inversa
A−1 deben ser del mismo orden y que su producto debe ser igual a la unidad,ademas
en nuestro caso, se conoce los elementos de la matriz A, que son los coeficientes de
las variables y la matriz inversa A−1 no se conoce.
En este análisis se utiliza un sistema de ecuaciones de 2x2, por lo que se puede decir:
(
ax + by = c
Donde : a, b, a1 , b1 son coeficientes conocidos.
a1 x + b1 y = c1
Se aplica lo escrito:
" # " # " #
a b e f 1 0
A · A−1 =1 −→ · =
a1 b 1 g h 0 1

Los coeficientes e, f, g, h son los coeficientes de la matriz inversa y es lo que se

desea conocer. Se realiza la multiplicación de matrices:
" # " #
a·e+b·g a·f +b·h 1 0
=
a1 · e + b1 · g a1 · f + b1 · h 0 1
Para que dos matrices sean iguale sus correspondientes elementos deben ser
iguales. La aplicación de esta propiedad permite obtener el sistema:



 a·e+b·g = 1
 a1 · e + b 1 · g = 0





 a·f +b·h = 0
 a ·f +b ·h = 1

1 1
Como se observa, la primera y segunda ecuación tienen las mismas variables(e,g),
la tercera y cuarta tienen las variables(f,h). Se forma dos sistemas:
( (
a·e+b·g = 1 a·f +b·h = 0
El segundo sistema
a1 · e + b 1 · g = 0 a1 · f + b1 · h = 1
Se aplica el método de Gauss-Jordán a cada sistema; por lo que:
( " #
a + b = 1 a b 1
a1 + b 1 = 0 a1 b1 0
( " #
a + b = 1 a b 0
a1 + b 1 = 0 a1 b1 1
Como se observa, en ambos sistemas la parte izquierda es la misma, varia la par-
te derecha, pero también se observa, que la matriz aumentada esta formada por la
matriz de coeficientes de las variables y por la matriz unidad, es decir:
" #
a b 1 0
a1 b1 0 1
Al aplicar propiedades y operaciones elementales, suma multiplicación, a esta
ultima matriz aumentada, para lograr pasar la matriz unidad del lado derecho al
lado izquierdo de la matriz, en ese momento, se habrá resulto los sistemas y por lo
tanto, se habrá obtenido los coeficientes de la matriz inversa.
Resuelva el sistema:



 x + 2y + 3z = 14
3x + y + 2z = 11



 2x + 3y + z = 11

Se represente el sistema con matrices:
 1 2 3   x   14 
     
 3 1 2   y   11 
  ·   =  
2 3 1 z 11
     
La matriz columna de las variables es igual:

−1 
 x   1 2 3   14 
   
 y   3 1 2   11 
  =    
z 2 3 1 11
     
Se requiere el calculo de la matriz inversa:
 1 2 3 1 0 0   1 2 3 1 0 0 
   
 3 1 2 0 1 0   0 −5 −7 −3 1 0 
  f1 (−3) + f2  
2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 1
   
 1 2 3 1 0 0   1 2 3 1 0 0 
   
 0 −5 −7 −3 1 0   0 −5 −7 −3 1 0 
  f1 (−2) + f3  
2 3 1 0 0 1 0 −1 −5 −2 0 1
   
 1 2 3 1 0 0   1 0 −7 −3 0 2 
   
 0 −5 −7 −3 1 0   0 −5 −7 −3 1 0 
  f3 (2) + f1  
0 −1 −5 −2 0 1 0 −1 −5 −2 0 1
   
 1 0 −7 −3 0 2   1 0 −7 −3 0 2 
   
 0 −5 −7 −3 1 0   0 0 18 7 1 −5 
  f3 (5) + f2  
0 −1 −5 −2 0 1 0 −1 −5 −2 0 1
   
 1 0 −7 −3 0 2   1 0 −7 −3 0 2
   

 0 0 18 7 1 −5   0 −1 −5 −2 0 1
f3 ↔ f2

   
0 −1 −5 −2 0 1 0 0 18 7 1 −5
   
 1 0 −7 −3 0 2
 
 1 0 −7 −3 0 2
  
1
 0 −1 −5 −2 0 1
 
 0 −1 −5 −2 0 1
f3
  
18 7 1 −5
   
0 0 18 7 1 −5
 
0 0 1
 
18 18 18
 
 1 0 −7 −3 0  2
 
 1 0 −7 −3 0 2
   
 0 −1 −5 −2
  1 5 7 
 0 1 
 f3 (5) + f2  0 −1 0 −

− 
 7 1 −5   18 18 18 
0 0 1
   

18 18 18  7 1 −5 

0 0 1

18 18 18
 1 0 0 − 5 7 1
   
 1 0 −7 −3 0 2 
18 18 18
  
   
   
 1 5 7   
 0 −1 0 − −  0 −1 0 − 1 5 7 
 
18  f3 (7) + f1 −


 18 18  18 18 18 

  
  
 7 1 −5  
7 1 −5 

0 0 1
 
 0 0 1
18 18 18 18 18 18

 1 0 0 − 5 7 1 5 7 1
   
  1 0 0 − 

 18 18 18 


 18 18 18


   
   
 0 −1 0 − 1 5 7  1 5 7 
  
−  f2 (−1)  0 1 0 − 

 18 18 18  
 18 18 18 
   
   

 0 0 1 7 1 −5  
 0 7 1 −5 
0 1
18 18 18 18 18 18
Por el lado derecho se tiene la matriz unidad; por lo tanto, al lado derecho se
tiene la matriz inversa.
 5 7 1 
 − 
 18 18 18 

−1 
 x   1 2 3   14   x   1   14 
         
 y   3 1 2   11  5 7   
  11 
 y  
  =     −→   =  −
   18 18 18   11 
z 2 3 1 11 z
     
 
 
 7 1 −5 

18 18 18
Todos los elementos de la matriz inversa, tienen un factor; por lo que, se aplica
la propiedad de matrices:
 5 7 1 
 − 
 18 18 18 

 x   1   14  x  −5 7 1   14 
          
5 7     
 1 
  11  −→  y  =  1 −5 7
 y     11 
  =  −

 
 

  18 
  
   18 18 18   11 
z z 7 1 −5 11
 
 
 
 7 1 −5 

18 18 18
Después de realizar la multiplicación de matrices, queda:
 x   18   x   1 
       
 y  1  36   y   2 
  = −→   =   −→ x = 1; y = 2; z = 3
  18 
 
z 54 z 3
    
1.3.8. Método de Cofactores, determinantes

Si se considera una matriz cuadrada A = [ai,k ] (i,j = 1, 2, 34, · · · , n) y de cada ele-
mento de ella, se forma su complemento algebraico para formar una nueva matriz
de complementos algebraicos, es decir:
 a11 a12 a13 · · · a1n   A11 A12 A13 · · · A1n

   

 a a22 a23 · · · a2n   A A22 A23 · · · A2n 
 21  21 
A =  a31 a32 a33 · · · a3n  A =  A31
∗ A32 A33 · · · A3n
   
−→ 
 .. .. .. .. ..   .. .. .. .. .. 
. . . . .  . . . . .
  
  
 
an1 an2 an3 · · · ann An1 An2 An3 · · · Ann
De la matriz obtenida se forma una matriz transpuesta:

 A11 A12 A13 · · · A1n  A11 A21 A31 · · · An1

   
 
 A A22 A23 · · · A2n   A A22 A32 · · · An2 
 21   12 
A =  A31
∗ A32 A33 · · · A3n (A ) =  A13
∗ T A23 A33 · · · A3n3
   
 −→ 
 .. .. .. .. ..   .. .. .. .. .. 
. . . . . . . . . .
   
   
 
An1 An2 An3 · · · Ann A1n A2n A3n · · · Ann
La matriz obtenida se denomina matriz adjunta y se simboliza: AD
Si una matriz cuadrada A = [aij ] es una matriz no-singular, es decir, su Det.A , 0,
implica que existe su matriz inversa A−1 , la cual es igual al producto de la matriz
adjunto multiplicada por la inversa de su determinante:
 A11 A21 A31 · · · An1

 

 A A22 A32 · · · An2 
 12
1

−1 ·  A13 A23 A33 · · · A3n3
 
A = 
Det.A  .. .. .. .. .. 
. . . . .

 
 
A1n A2n A3n · · · Ann
Obtenga la matriz inversa de :
 2 7 3 
 
A =  3 9 4 
 
1 5 3
 
Primero se obtiene el valor del determinante A, para confirmar si existe la matriz

inversa.
 2 7 3   1 5 3   1 5 3   1 5 3
       

 3 9 4   3 9 4   0 −6 −5 
 = −   f1 (−3) + f2   f1 (−2) + f2  0 −6 −5
 
 
1 5 3 2 7 3 2 7 3 0 −3 −3
       
Se desarrolla la matriz para la columna uno:

" #
−6 −5
1 · (−1)1+1 = −(18 − 15) = −3
−3 −3
Como el det.A , 0, existe la matriz inversa. Se obtiene la matriz de complemen-

tos algebraicos:

9 4 3 4 3 4 



 5 3 1 3 1 3 
 


   7 5 6 
7 3 2 3 2 7  =  6 3 3
 
 
 5 3 1 3 1 5   
1 −1 −3
 
 
 

7 3 2 3 2 7 


 9 4 3 4 3 9
A la ultima matriz la multiplicamos por (−1)i,j :

 7 5 6   7 −5 6 
   
 6 3 3   −6 3 −3 
  =  
1 −1 −3 1 1 −3
   
Se obtiene la matriz adjunta,para lo cual se transpone la matriz de complemen-

tos algebraicos:
 7 −6 1 
 
AD = [A∗i,j ]T =  −5 3 1 
 
6 −3 −3
 
Se obtiene la matriz inversa, que es el producto de la matriz adjunta AD por el

valor inverso del determinante de A:
 7 1 
 − 2 − 
  3 3 

7 −6 1  
 
1 1  
−1
A = · A = − ·  −5 3 1  =  5 −1 − 1 
D  

Det.A 3 
6 −3 −3  3 3 
 
 
 
−2 1 1
Como ejercicio se deja al estudiante la demostración del producto de A · A−1 = 1
 7 1 
 − 2 − 
  3 3  

 2 7 3     1 0 0 

 
A =  3 9 4   5 −1 − 1  =  0 1 0 
  
1 5 3  3 3  0 0 1
   
 
 
−2 1 1
Propiedades de una Matriz Inversa.

Las propiedades de la matriz inversa Son:
1. E−1 = E
2. (A−1 )−1 = A
3. (A−1 )T = (AT )−1
4. (A · B)−1 = B−1 · A−1
5. detA · detA−1 = 1
1 −1
6. Si λ , 0 −→ (λ · A)−1 = ·A
λ
1.3.9. Matriz Ortogonal.

De geometrı́a analı́tica se conoce, que las coordenadas de un punto (x,y) que gi-
ra alrededor del punto de origen con un angulo α en dirección positiva, cambia al
punto (x1 , x2 ) por lo cual:

(
x1 = x · cos(α) − y · sin(α)
y1 = x · sin(α) + y · cos(α)
Es la transformación lineal de puntos del plano (x,y) a los puntos del plano de
coordenadas (x1 , y1 ). la matriz de esta transformación lineal es:
" #
cos(α) − sin(α)
W=
sin(α) cos(α)
Esta matriz es una matriz no-singular, ya que:

cos(α) − sin(α)
Det.W = = cos2 (α) + sin2 (α) = 1 , 0
sin(α) cos(α)
Al formar la matriz de complementos algebraicas de la matriz W y después de
ella, obtener la matriz transpuesta, se obtiene la matriz adjunta W D y al multipli-
1
carla por = 1:
Det.W
" #
−1 cos(α) sin(α)
Det.W =
− sin(α) cos(α)
Pero a la vez, esta matriz es igual a ala matriz transpuesta:
W −1 = W T
Es un ejemplo de lo que se denomina , matriz ortogonal.

El análisis general indica que:
 a11 a12 a13 · · · a1n 

 
 a a22 a23 · · · a2n 
 21
A =  a31 a32 a33 · · · a3n 
 
 .. .. .. .. .. 

 . . . . . 

es una matriz ortogonal, si su matriz inversa A−1 es igual a su matriz AT es decir:
A−1 = AT .
Si una matriz es ortogonal, entonces:
A · AT = a · A−1 = E, ademas, AT · A = E
De estas identidades, se puede obtener las siguientes propiedades:
1. La suma de los cuadrados de todos los elementos de cualquier fila o columna

de una matriz ortogonal es igual a 1
a2i1 + a2i2 + a2i3 + · · · + a2in = 1 para i = 1, 2, 3, 4, · · · ,n

a21k + a22k + a23k + · · · + a2nk = 1 para k = 1, 2, 3, 4, · · · ,n

2. La suma del producto de todos los correspondientes elementos de dos diferen-

tes filas o dos diferentes columnas de una matriz ortogonal es igual a cero
ai1 · aj1 + ai2 · aj2 + ai3 · aj3 + · · · + ain · ajn = 0 para i,j i, j = 1, 2, 3, · · · , n
a1k · a1l + a2i · a2l + a3i · a3l + · · · + ank · anl = 0 para k,l k, l = 1, 2, 3, · · · , n
3. Det.A · Det.At = E Pero como, Det. A = Det. AT ; Det.E = 1
(Det.A)2 = Det.E −→ Det.A = ±1
Se demostró que, el determinante de una matriz ortogonal puede ser solamen-

te igual a ±1.
1.3.10. Ecuación Caracterı́stica de una Matriz.

De una matriz cuadrada A de grado n con elementos [aik ] donde: i, k = 1, 2, 3, 4, · · · , n,
se forma una nueva matriz, restando la variable λ de todos los elementos ubicados
en la diagonal principal y los demás elementos quedan sin cambios.
 a11 − λ a12 a13 ··· a1n

 


 a21 a22 − λ a23 ··· a2n 

a a a 33 − λ ··· a3n
 
A =   31 32  = 0
 .
.. .
.. .. .. .. 

 . . . 

an1 an2 an3 · · · ann − λ
El determinante de esta nueva matriz igualando a cero se obtiene una ecuación
de grado n con relación a λ, la cual, se llama ecuación caracterı́stica de la matriz
A. Las raı́ces de esta ecuación, diferentes de cero de la matriz no-singular se llaman
valores propios de la matriz A.
encontrar los valores propios de la matriz:
" #
2 1
A=
1 5
Se obtiene la ecuación caracterı́stica de la matriz:

2 − λ 1
=0
1 5−λ
De donde: (2 − λ)(5 − λ) − 1 = 0 se obtiene: λ2 − 7λ + 9 = 0
Su discriminante ∆ = 49 − 36 = 13 > 0 por lo cual, la ecuación tiene dos raı́ces:
1 √ 1 √
λ1 = (7 − 13) λ2 = (7 + 13)
2 2
Son los valores propios de la matriz A.
Ademas, se puede demostrar que la matriz A es la raı́z de su ecuación caracterı́stica,
para lo cual, debe cumplir:

A2 − 7A + 9E = O
" # " # " # " # " #
2 2 1 2 1 2 1 1 0 0 0
A − 7A + 9E = · −7 +9 =
1 5 1 5 1 5 0 1 0 0
" # " # " #

2·2+1·1 2·1+1·5 − 14 7 + 9 0 = 0 0 =
=
1·2+5·1 1·1+5·5 7 35 0 9 0 0
" # " # " # " #
5 7 −14 −7 9 0 0 0
= + + = =
7 26 −7 −35 0 9 0 0
" # " # " # " # " #
−9 0 9 0 0 0 0 0 0 0
= + = −→ =
0 −9 0 9 0 0 0 0 0 0
En base a lo cual, aparece el teorema de Cayley-Hamilton: Una matriz cuadrada

cualquiera, es raı́z de su ecuación caracterı́stica.
1.3.11. Rango de una Matriz.

Si en una matriz A = [aij ]mxn tachamos un número determinado de filas i colum-
nas, entonces se obtiene una matriz nueva A que se llama submatriz de la matriz A.
Si una submatriz A de la matriz A es una matriz cuadrada, entonces el determinante
de esta matriz se llama determinante extraı́do de la matriz A.
El rango r(A) de una matriz A, se llama el valor de mayor grado de un determinante,
extraı́do de esta matriz A y que no es igual a cero.
De la definición de rango de una matriz, resultan las siguientes implicaciones:
1. A = [aij ij]mxn −→ 0 ≤ r(A) ≤ min(m, n),
2. Si el valor del Det. Anxn , 0 −→ r(A) = r(AT ) = r(A−1 = n.
3. Si el valor del Det.Anxn = 0 −→ 0 ≤≤ r(A) − r(AT ) ≤ n.
El cálculo del rango de una matriz solamente en base a la definición seria pro-
blemático, este problema se lo soluciona por medio de la transformación de una
matriz por medio de las operaciones elementales, como ya se sabe, la matriz no
cambia de valor de su rango, cuando se aplica operaciones elementales.
Se puede demostrar que, para cualquier matriz A de dimensiones m x n, se puede
utilizar las transformaciones elementales para reducir a la forma:
 
 Ek R 
A =   .

N1 N2
La cual es conocida como matriz canónica la que contiene: una sub-matriz unita-
ria Ekl de grado k, una sub-matriz R llamada matriz residual y sub-matrices nulas
N1 y N1 .
Los casos que pueden suceder entre k y la dimensión de la matriz:
1. Si k = m, entonces la matriz canónica no tiene sub-matrices nulas

2. Si k = n, entonces no tiene sub-matriz R.

De lo escrito se puede deducir que: el rango de la matriz A, es igual al grado de la
matriz unitaria, que aparece en su forma canónica.
Encontrar el rango de la matriz A:
 1 2 −2 0 
 
A =  2 5 0 −2 
 
−3 −6 6 0
 
Se aplica el método de operaciones básicas:
 1 2 −2 0   1 2 −2 0 
   
A =  2 5 0 −2  f1 (−2) + f2  0 1 4 −2 
   
−3 −6 6 0 −3 −6 6 0
   
1 2 −2 0   1 2 −2 0 
   


 0 1 4 −2  f1 (3) + f3
 0 1 4 −2 
 
−3 −6 6 0 0 0 0 0
   
 1 2 −2 0   1 0 −10 4 
   
 0 1 4 −2   0 1 4 −2 
  f2 (−2) + f1 
0 0 0 0 0 0 0 0
   
De la matriz obtenida se puede obtener las sub-matrices; por lo que, el rango de

la matriz es dos.
 1 0 −10 4 
 
 0 1 4 −2 

0 0 0 0
 
Las definiciones de rango, también permite aplicarlas en la resolución de sis-

temas de ecuaciones lineales, en especial en sistemas rectangulares. Si se tiene un
sistema rectangular lo que se desea conocer es si es posible su resolución.
1.3.12. Sistema de m Ecuaciones Lineales de n Variables

Un sistema de m ecuaciones lineales de n variables es:

a x + a12 x2 + a13 x3 + · · · a1n xn = b1
 11 1



 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · a2n xn = b2


 .. .. .. .. .. .. .. .. ..



 . . . . . . ··· . . .
 am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + · · · amn xn = bm

El sistema puede ser homogéneo o no-homogéneo, todas las ecuaciones o algunas

de ellas. por lo que puede suceder::
1. El número de ecuaciones puede ser menor que el numero de variables (m ¡n)
2. El número de ecuaciones puede ser igual que el numero de variables (m = n)
3. El número de ecuaciones puede ser mayor que el numero de variables (m ¿n).

Del sistema escrito se puede formar varias matrices:
1. La matriz de los coeficientes de las variables, definida como W
 a11 + a12 + a13 + · · · a1n

 

 21 + a22 + a23 + · · · a2n
 a 

W =  .. .. .. .. .. .. ..  .
 . . . . . . ··· . 


am1 + am2 + am3 + · · · amn

2. la matriz completa, que es la matriz formada por los coeficientes de las varia-
ble y los coeficientes libres del sistema de ecuaciones lineales, definida como
U:
 a11 + a12 + a13 x3 + · · · a1n b1 

 
 21 + a22 + a23 x3 + · · · a2n b2 
 a 
U =  .. .. .. .. .. .. ..  .
 . . . . . . · · · . 


am1 + am2 + am3 x3 + · · · amn bm

La matriz U se obtuvo de la matriz W al aumentar una columna mas, formada por

los coeficientes libres del sistema.
El rango de la matriz W, es decir, r(W), es el determinante de mayor grado sacado
de ella diferente de cero. Si todos los elementos de la matriz son cero, entonces su
rango es igual a cero.
el teorema de Kronecker-Capelli, el cual habla sobre la solución de un sistema de
ecuaciones lineales, dice: La condición suficiente y necesaria para la solución de un
sistema de m ecuaciones de n variables es la igualdad del rango de la matriz W y U:
r = r(W) = r(U).
Puede suceder:
1. El rango de estas matrices son iguales al numero de variables n del sistema;

por lo tanto, el sistema de ecuaciones tiene exactamente una solución
2. El rango de estas matrices es menor al numero de variables n del sistema; por

lo tanto, el sistema de ecuaciones tiene una cantidad infinita de soluciones, el
cual depende de n - r parámetros.
3. El rango de estas matrices es mayor al numero de variables n del sistema; por

lo tanto, el sistema de ecuaciones no tiene solución.
Se debe observar, que siempre: r(W ) ≤ n




 5x + 3y − z = 3
 2x + y − z = 1

A=



 3x − 2y + 2z = −4
 x − y + 2z = −2


Se forma la matriz de coeficientes de las variables; ası́ como, la matriz completa:
 5 3 −1 
 
 2 1 −1 
W =  .

 3 −2 2 
 
1 −1 2
El determinante máximo que se puede obtener es de grado cuatro, sin embargo la
matriz completa:
 5 3 −1 3 
 
 2 1 −1 1 
U =  .

 3 −2 2 −4 
 
1 −1 2 −2
Se requiere determinar el rango de U, para lo cual se calcula el valor del deter-
minante:

5 3 −1 3 5 2 −1 3
2 1 −1 1 2 0 −1 1

Det.U = c3 (1) + c2 .
3 −2 2 −4
3 0 2 −4
1 −1 2 −2 1 1 2 −2

5 2 −1 3 3 0 −5 7
2 0 −1 1 2 0 −1 1

= f4 (−2) + f1
3 0 2 −4
3 0 2 −4
1 1 2 −2 1 1 2 −2
Se desarrolla el determinante con relación a la columna dos:

3 −5 7 −7 −5 7
(1)(−1)i+j=6 = 6 2 −1 1 c2 (2) + c1 0 −1 1
3 2 −4 7 2 −4

−7 −5 7 −7 −5 2
0 −1 1 c2 (1) + c3 0 −1 0
7 2 −4 7 2 −2

Se desarrolla el determinante con relación a la fila dos:

−7 2 = (14 − 14) = 0
7 −2
Por lo tanto, el rango de r(U ) < 4. Se analiza el rango de r(W) y en el caso ue sea
diferente de cero r(W) = r(U). Se calcula el valor del determinante de W.

5 3 −1 −1 3 −1
W = 2 1 −1 c2 (−2) + c1 0 1 −1
3 −2 2 7 −2 2



−1 3 −1 −1 3 2
= 0 1 −1 c2 (1) + c3 0 1 0
7 −2 2 7 −2 0

Se desarrolla el determinante con relación la fila dos:

−1 −2 = ((−1)0 + 2 · 7 = 14)
7 0
Por lo tanto, r(W) = r(U) = 3. El sistema tiene solución única, que es igual a
2 10 1
x = − ;y = ; z = − El estudiante debe comprobar las respuestas.
7 7 7
1.4. Sistema de Ecuaciones No-lineales

Si se Define a D como un conjunto de todos los subconjuntos del plano cartesiano
RxR; por lo tanto, su dominio será el conjunto de pares ordenados de los números
reales y a Z como un conjunto de todos los subconjuntos de los números reales; por
lo tanto, sera su codominio. La relación del Conjunto D al conjunto Z se llama fun-
ción de dos variables en x e y. Lo cual se escribe:
z = f(x,y) cuando (x, y) ∈ D
Si A(x,y) y B(x,y) son polinomios de dos variables. El sistema de ecuaciones se lo

representa:
(
A(x, y) = 0
B(x, y) = 0
Se llama sistema de ecuaciones no-lineales algebraicas, en este caso, de dos varia-
bles. Todo par ordenado que cumple el sistema ası́ definido, se le domina solución
al sistema de ecuaciones no-lineales. En el proceso de resolver un sistema de ecua-
ciones no-lineales de dos variables, se utiliza los métodos clásicos de solución, es
decir:
1. Substitución
2. Igualación
3. Suma y resta
4. Productos notables.
( 2
x + y 2 = 26
x · y = 5
De la segunda condición despejamos una de las variables:
5
x · y − 5 = 0 −→ y =
x

Se substituye en la primera condición:

2
5
x2 + y 2 = 26 −→ x2 + = 26
x
Se realiza operaciones algebraicas:
25

x2 + 2 = 26 −→ x4 + 25 = 26 · x2 −→ x4 − 26x2 + 25 = 0
x
Se realiza un cambio de variable, x2 = t
x4 − 26x2 + 25 = 0 −→ t 2 − 26t + 25 = 0
Se obtiene las raı́ces del polinomio de segundo orden en función de t:
t 2 − 26t + 25 = 0 −→ (t − 25)(t − 1) = 0
t1 = 25 −→ x12 = 25 −→ x1 = ±5
Se obtiene y:
5 5 5 5
y= −→ y = −→ y1 = = 1; y2 = = −1
x x 5 −5
t2 = 1 −→ x22 = 1 −→ x2 = ±(−1)
5 5 5 5
y= −→ y = −→ y2 = = −5; y2 = = 5
x −1 −1 1
Los pares ordenados que cumplen la condición son: (5, 1); (5,- 1); (1,5); (-1,5), y
son la respuesta.
1.5. Ejercicios de Sistema de Ecuaciones

Los ejercicios aquı́ presentados, son de diferente grado de dificultad y que además,
son bien aplicables en la realidad. El estudiante tendrá una visión mas clara de co-
mo y donde se puede aplicar matrices. También, se solicita al estudiante que ponga
mucha atención en los ejercicios, en los cuales, se aplican las diferentes propieda-
des de matrices, propiedades que, serán utilizadas en los niveles superiores de su
carrera cualquiera que esta sea.
1.5.1. Ejercicios Resueltos de Sistema de ecuaciones

1. Obtenga el valor del determinante:

3 2 −1 −5 4
7 5 −3 −7 12
A = −9 −6 4 3 −2
4 3 −2 −2 1
5 −2 6 −3 4


Primeramente se debe buscar la presencia de factores tanto en filas como en

columnas, en este caso no hay:

3 2 −1 −5 4 3 2 −1 −5 4
7 6 −3 −7 12
−2 0 0 8 0

A = −9 −6 4 3 −2 f1 (−3) + f2
−9 −6 4 3 −2
4 3 −2 −2 1 4 3 −2 −2 1
5 −2 6 −3 4 5 −2 6 −3 4

3 2 −1 −5 4 3 2 −1 7 4
−2 0 0 8 0
−2 0 0 0 0

−9 −6 4 3 −2 C1 (4) + C4 −9
−6 4 −33 −2

4 3 −2 −2 1 4 3 −2 14 1
5 −2 6 −3 4

5 −2 6 17 4

Se desarrolla el determinante según la segunda fila:

2 −1 7 4 2 −1 7 4
−6 4 −33 −2 0 1 −12 10
(−2)(−1)3 f (3) + f2
3 −2 14 1 1 3 −2 14 1

−2 6 17 4 −2 6 17 4

2 −1 7 4 2 −1 −5 4
0 1 −12 10 0 1 0 10
3 −2 14 1 C2 (12) + C3 3 −2 −10 1

−2 6 17 4 −2 6 89 4

2 −1 −5 4 2 −1 −5 14
0 1 0 10 0 1 0 0
3 −2 −10 1 C2 (−10) + C4 3 −2 −10 21

−2 6 89 4 −2 6 89 −56

2 −5 14 2 −5 14 0 5 0
3 −10 21 f1 (−1) + f2 1 −5 7 f2 (−2) + f1 1 −5 7
−2 89 −56 −2 89 −56 −2 89 −56

Se desarrolla el determinante según la primera fila:

1 7 = −10(2) 1 7
(5)(−1)3 −2 −56
= −20(−28 + 7) = −20(−21) = 420
−1 −28

√ √ √ √ √ √ √ √
√2 √ 3 √ 5 3
√ √ √
2 3
√ √ √ √ 5 √3
6 √21 10 −2√3
3 2 √7√3 √5√2 √ −2√3
√ −→ √ √
10 2 √
15 √ 5 √ 6
√5√2 2√5√3 √5√5 √3√2
2 2 6 10 15 2 2 2 3 2 5 2 5 3

√1 1
√ √ 1 1 √1 √1 √1 1
√ √ √ √ 3 √ 3

√7 √2 √ −2 √7 √2 √−2
2 3 5 3 √ −→ 3 10 √
√5 2 √5 √5 √2
√5 2√5 √5 √2
2 2 2 2 5 2 2 2 2 5

√1 √1 √1 1
√1 √ √0 √1 1

3
√7 √2 −2 3 7 − 3 2 −2

√ √ C1 (−1) + C2 √
√ √ √ √
√5 2√5 √5 2
√
5 2 5 − 5
√ √ √ √5 √2

2 2 2 2 5 2 2 2− 2 2 5

√1 √ 0 √ 1
√ 1 √1 √ 0 √ √ √0 1
3 ( 7 − 3) 2 −2 3 ( 7 − 3) ( 2 − 3) √
−2
√ √ √ √ C1 (−1) + C3 √ √
√5 √5 √5 √2
√5 √5 0 2
√
2 2 2 5 2 2 0 5
Se desarrolla el determinante según la tercera columna:

√ √ √1 √0 √1 √1 √0 √ 0√
( 2 − 3) √5 √5 √2
C1 (−1) + C3 5 5 √2 − √5

√ √
2 2 5 2 2 5− 2
Se desarrolla el determinante según la primera fila:

√ √ √
5 √ √ √ √ √ √ √ √
√ √2 − √5 = 5( 5 − 2) − 2( 2 − 5) = (5 − 10) − (2 − 10)
2 5− 2
√ √ √ √
= (5 − 10) − (2 − 10) = 5 − 10 − 2 + 10 = 3
√ √ √ √ √ √
La respuesta al ejercicio es: 3 · 3 10( 2 − 5) = 9 10( 2 − 5)
3. Obtenga el valor del determinante::
1 ln 2 ln2 2 ln3 2 ln2 2 ln3 2

1 ln 2
1 ln 4 ln2 4 ln3 4 1 ln 22 ln2 4 ln3 22
2 8 −→
ln 23 ln2 8 ln8 23

1 ln 8 ln 8 ln 8 1
1 ln 16 ln2 16 ln3 16 1 ln 24 ln2 16 ln3 24
ln2 2 ln3 2 ln2 2 ln3 2

1 ln 2 1 ln 2
1 ln 22 ln2 4 ln3 22 1 2 ln 2 4 ln2 2 8 ln3 2
−→
ln 23 ln2 8 ln8 23 9 ln2 2 27 ln3 2

1 1 3 ln 2
1 ln 24 ln2 16 ln3 24 1 4 ln 2 16 ln2 2 64 ln3 2

Los coeficientes de la segunda columna se obtienen al aplicar propiedades de

una función logarı́tmica. Los coeficientes de la tercera y cuarta columna se ob-
tienen:
ln2 4 = (ln 4)(ln 4) = (ln 22 )(ln 22 ) = (2 ln 2)(2 ln 2) = 4 ln2 2
ln3 4 = (ln 4)(ln 4)(ln 4) = (ln 22 )(ln 22 )(ln 22 ) = (2 ln 2)(2 ln 2)(2 ln 2) = 8 ln3 2
Se tiene factores, se aplica la propiedad de determinantes:

1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 1 2 4 8 6 1 2 4 8
(ln 2)(ln 2)(ln 2) −→ (ln 2)
1 3 9 27 1 3 9 27

1 4 16 64 1 4 16 64

1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 4 8 0 1 3 7
1 3 9 27 f1 (−1) + f2 1 3 9 27

1 4 16 64 1 4 16 64

1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 3 7 0 1 3 7
1 3 9 27 f1 (−1) + f3 0 2 8 26

1 4 16 64 1 4 16 64

1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 3 7 0 1 3 7
0 2 8 26 f1 (−1) + f3 0 2 8 26

1 4 16 64 0 3 15 63
Se desarrolla el determinante según la primera columna:

1 3 7 1 3 7 1 3 7
2 8 26 f1 (−2) + f2 0 2 12 f1 (−3) + f3 0 2 12
3 15 63 3 15 63 0 6 42

Se desarrolla el determinante según la primera columna:

2 12 = (2)(6) 1 6 = 12(7 − 6) = 12(1)(ln 2)6
6 42 1 7
4. Obtenga el valor del determinante::
x2 − 1 x3 − 1

x − 1
2x − 4 x2 − 4 x3 − 8
3x − 9 x2 − 9 x3 − 27


(x − 1)(x2 + x + 1)

x−1 (x − 1)(x + 1)
2(x − 2) (x − 2)(x + 2) (x − 2)(x2 + 2x + 4)
3(x − 3) (x − 3)(x + 3) (x − 3)(x2 + 3x + 9)

(x2 + x + 1)

1 (x + 1)
(x − 1)(x − 2)(x − 3) 2 (x + 2) (x2 + 2x + 4)
3 (x + 3) (x2 + 3x + 9)

(x2 + x + 1) (x2 + x + 1)

1 (x + 1) 1 (x + 1)
2 (x + 2) (x2 + 2x + 4) f1 (−2) + f2 0 −x −x2 + 2
3 (x + 3) (x2 + 3x + 9) 3 (x + 3) 2
(x + 3x + 9)

(x2 + x + 1) (x2 + x + 1)

1 (x + 1) 1 (x + 1)
0 −x −x2 + 2 f1 (−3) + f3 0 −x −x2 + 2
3 (x + 3) (x2 + 3x + 9) 0 −2x −2x2 + 6

Los elementos de la segunda columna se obtuvieron de la siguiente forma:
-2(x + 1) + (x + 2) = -2x - 2 + x + 2 = -x.
-3(x + 1) + (x + 3) = -3x - 3 + x + 3 = -2x.
En igual forma se obtuvieron los elementos de la tercera columna. Se desarro-

lla el determinante según la primera columna:
−x2 + 2 −x2 + 2

−x = (−x) 1 = (−x)(−2x2 + 6 + 2x2 − 4) = (−x)(2)
−2x −2x2 + 6 2 −2x2 + 6
La respuesta al ejercicio es: (x - 1)(x - 2)(x - 3)(-2x).

a − b − c 2a 2a a − b − c 2a 0
2b b−c−a 2b C2 (−1)+C3 2b b−c−a a+b+c
2c 2c c−a−b 2c 2c −(a + b + c)

La tercera columna tiene un factor:

a − b − c 2a 0 a − b − c 2a 0
(a + b + c) 2b b−c−a 1 f2 (1) + f3 2b b−c−a 1
2c 2c −1 2c + 2b a+b+c 0


a−b−c 2a a − b − c 2a
(−1) f (1) + f
1 2

2c + 2b b−a+c a+b+c a+b+c

La segunda fila tiene un factor:

a−b−c 2a
(a + b + c) = (a − b − c − 2a) = −(a + b + c)
1 1
La respuesta del ejercicio:(−1)(a + b + c)(−1)(a + b + c)(a + b + c) = (a + b + c)3

x a a a ··· ··· a
a x a a ··· ··· a
a a x a ··· ··· a

A = a a a x ··· ··· a
· · · · · · · · · · · · ··· ··· a

· · · · · · · · · · · · ··· ··· a

a a a a ··· ··· x
En este tipo de ejercicios de determinantes, se debe tomar en cuenta:
a) El determinante es cuadrangular
b) No se conoce el numero de filas
c) El método de solución es el mismo; es decir, una de las filas (columnas) se
suma a todas las demás filas ( columnas), de tal forma que aparezca una
constante, que sera factor en el determinante.
Todas las filas se suman a la primera fila:

x + (n − 1)a x + (n − 1)a x + (n − 1)a x + (n − 1)a ··· · · · x + (n − 1)a
a x a a ··· ··· a

a a x a ··· ··· a

A = a a a x ··· ··· a
··· ··· ··· ··· ··· ··· a

··· ··· ··· ··· ··· ··· a

a a a a ··· ··· x
Se ha obtenido un factor, se aplica propiedades de determinantes:

1 1 1 1 ··· ··· 1
a x a a ··· ··· a

a a x a ··· ··· a

A = x + (n − 1)a a a a x ··· ··· a
··· ··· ··· ··· ··· ··· a

··· ··· ··· ··· ··· ··· a

a a a a ··· ··· x
En este caso la primera columna se multiplica por (-1) y se suma a todas las
demás columnas; por lo cual, en todo lugar donde este a se hará cero. Quedan-
do unicamente la diagonal principal del determinante:


1 1 1 1 ··· ··· 1
0 x−a 0 0 ··· ··· 0

0 0 x−a 0 ··· ··· 0

A = x + (n − 1)a 0 0 0 x−a ··· ··· 0
··· ··· ··· ··· ··· ··· 0

··· ··· ··· ··· ··· ··· 0

0 0 0 0 ··· ··· x − a
Por lo tanto, la respuesta es la multiplicación de todos los elementos de la

diagonal principal, que es: (x + (n − 1))(1)(x − a)n−1
7. Resuelva el sistema:
(
x2 + y 2 + x · y = 13
(x + y) + x · y + x · y 2 = 28
2 2
Se puede observar que la primera ecuación se puede transformar:
x2 + y 2 + xy = 13 −→ x2 + y 2 + xy + xy − xy = 13
Lo que se obtiene:
x2 + y 2 + xy + xy − xy = 13 −→ x2 + y 2 + 2xy − xy = 13
x2 + y 2 + 2xy − xy = 13 −→ (x + y)2 − xy = 13
El sistema se ha transformado en:

(
(x + y)2 − x · y = 13
(x + y)2 + x2 · y + x · y 2 = 28
Cambio de variable: x + y = t; y xy = k
El sistema tiene la forma:

(
t2 − k = 13
2
(x + y) + xy(x + y) = 28
Finalmente el sistema queda:

(
t2 − k = 13
t 2 + k · t = 28
de la primera ecuación se despeja k y se reemplaza en la segunda ecuación:
K = t 2 − 13 −→ t 2 + (t 2 − 13)t = 28 −→ t 2 + t 3 − 13t = 28

t 2 + t 3 − 13t = 28 −→ t 3 + t 2 − 13t − 28 = 0
Se encuentra las raı́ces del polinomio:
1 1 −13 −28
4 4 20 28
1 5 7 0
Por lo tanto, se puede escribir:
t 3 + t 2 − 13t − 28 = (t − 4)(t 2 + 5t + 7 = 0)
Se analiza el discriminante del polinomio de segundo orden:
4 = b2 − 4a · c = (5)2 − 4(1)(7) = 25 − 28 = −3
El polinomio tiene su discriminante menor a cero, lo que significa , que el po-

linomio nunca la corta al eje x; por lo tanto, el polinomio de primer orden es el
que decide, cuando el polinomio de tercer orden es igual a cero y esto sucede
cuando t= 4,con este valor, k que es igual a 3. Se forma un nuevo sistema:
(
x + y = 4
x · y = 3
De la segunda ecuación se despeja y:
3
x · y = 3 −→ y =
x
Se reemplaza en la primera ecuación:
3
x + y = 4 −→ x + = 4 −→ x2 + 3 = 4x −→ x2 − 4x + 3 = 0
x
x2 − 4x + 3 = 0 −→ (x − 3)(x − 1) = 0 −→ x1 = 3; x2 = 1
Se obtiene los valores de y:
x + y = 4 −→ 3 + y = 4 −→ y1 = 1
x + y = 4 −→ 1 + y = 4 −→ y2 = 3
Los pares ordenados que cumplen las condiciones son: (4,1); (1,3). Que es la
respuesta del ejercicio.

8. Resolver el sistema:
(
x(x + 1)(3x2 + 5y) = 144
4x2 + x + 5y = 24
Se transforma la segunda ecuación:
4x2 +x+5y = 3 −→ 3x2 +x2 +x+5y = (3x2 +5y)+(x2 +x) = (3x2 +5y)+x(x+1) = 24
Cambio de variable: x(x + 1) = t y 3x2 + 5y = k
El sistema queda:
(
t · k = 144
t + k = 24
De la primera ecuación se despeja una de las variables y se la reemplaza en la

segunda:
144
t · k = 144 −→ t =
k
144
t + k = 24 −→ + k = 24 −→ 144 + k 2 = 24k −→ k 2 − 24k + 144 = 0
k
Se encuentra las raı́ces del polinomio de segundo orden:
k 2 − 24k + 144 = 0 −→ (k − 12)(k − 12) = 0 −→ k = 12
Se obtiene el valor de t, que es igual a 12.
Se escribe el sistema:
(
x(x + 1) = 12
3x2 + 5y = 12
De la primera ecuación se obtiene:
x(x + 1) = 12 −→ x2 + x − 12 = 0 −→ (x + 4)(x − 3) = 0
x1 = −4 y x2 = 3
Se reemplaza en la segunda ecuación:
−36
3x2 + 5y = 12 −→ 3(−4)2 + 5y = 12 −→ 48 + 5y = 12 −→ y =
5

−25
3x2 + 5y = 12 −→ 3(3)2 + 5y = 12 −→ 27 + 5y = 12 −→ y = = −5
5
−36

Los pares ordenados: −4, ; (3, −5). Son las respuestas al ejercicio.
5
9. Resolver el sistema:



 x + y + z = 9



1 1 1



 + + = 1
x y z









 xz + xy + yz = 27
A la segunda ecuación se multiplica por xyz:

!
1 1 1 1 1 1
+ + = 1 −→ xyz · + + = xyz −→ yz + xz + xy = xyz
x y z x y z
De la tercera ecuación se tiene que: xyz = 27
Se trabaja con la tercera ecuación:
xz + xy + yz = 27 −→ x · (xz + xy + yz) = 27x −→ x2 z + x2 y + xyz = 27x
x2 z + x2 y + xyz = 27x −→ x2 (z + y) + 27 = 27x
De la primera ecuación de despeja z + y = 9 - x y se remplaza en la ultima

ecuación:
x2 (z + y) + 27 = 27x −→ x2 (9 − x) + 27 = 27x −→ 9x2 − x3 + 27 − 27x = 0
Se ordena el polinomio y se multiplica por (-1):
9x2 − x3 + 27 − 27x = 0 −→ x3 − 9x2 + 27x − 27 = 0 −→ (x − 3)3 = 0
x=3
Se reemplaza este valor en:
xyz = 27, co lo cual se obtiene yz = 9. Ademas, se tiene que: y + z = 9 - x, lo

cual da: y +z = 6. Esto permite obtener un nuevo sistema:
(
yz = 19
y +z = 6

De la primera se despeja cualquiera de las variables y se reemplaza en la se-

gunda:
9
yz = 9 −→ z =
y
9
y + z = 6 −→ y + = 6 −→ y 2 + 9 = 6y −→ y 2 − 6y + 9 = 0
y
y 2 − 6y + 9 = 0 −→ (y − 3)2 = 0 −→ y = 3;
Con el valor de y se obtiene el valor de z:
9 9
z= −→ z = −→ z = 3
y 3
La respuesta del ejercicio es: (3,3,3).
10. Resolver el sistema de ecuaciones no-lineales:
1

+x = 6


2




 x − y


x2


 1
 2y 2 − 2x 2 = 12
+



Se puede observar que en la primera y segunda ecuación, se tiene un elemento

en común; gracias a lo cual, se puede reemplazar con un cambio de variable:
1
= t. Por lo cual ,se obtiene el sistema:
x − y2

 t+x = 6 
 t+x = 6

 

 
−→ 
 

1 x 2
 −t + x2 = 24

 

 − t+ = 12


2 2
Se suma las dos ecuaciones del sistema:
x + x2 = 30 −→ x2 + x − 30 = 0 −→ (x + 6)(x − 5) = 0
De donde se obtiene: x1 = −6 y x2 = 5. Se reemplaza en el segundo sistema el

valor de x y se obtiene:
t + x1 = 6 −→ t − 6 = 6 −→ t1 = 12
t + x2 = 6 −→ t + 5 = 6 −→ t2 = 1
Se regresa al cambio de variable y se obtiene dos casos:

1 1
a) = 12 y x = −6 −→ = 12 −→ 1 = −72 − 12y 2
x − y2 −6 − y 2

√
12y 2 = −71 −→ y = −71
Con x = -6, y pertenece a los números imaginarios; por lo tanto, no es

parte de la solución.
1 1
b) 2
= 1 y x = 5 −→ = 1 −→ 1 = 5 − y 2 −→ y = ±2
x−y 5 − y2
La solución seria los pares ordenados: (5,2), (5,-2).
11. Resolver el sistema de ecuaciones no-lineales:
( (
x3 − y 3 = 19(x − y) (x − y)(x2 + xy + y 2 ) = 19(x − y)
−→
x3 + y 3 = 7(x + y) (x + y)(x2 − xy + y 2 ) = 7(x + y)
El sistema tendrı́a cuatro condiciones:

( 2
x + xy + y 2 = 19
a)
x2 − xy + y 2 = 7
Se suma las ecuaciones del sistema y se obtiene: x2 + y 2 = 13
Se resta las ecuaciones del sistema y se obtiene: 2xy =12
Se suma las dos ultimas ecuaciones y se obtiene:
x2 + y 2 + 2xy = 25 −→ (x + y)2 = 25 −→ x + y = ±5
Ahora se resta las mismas ecuaciones y se obtiene:
x2 + y 2 − 2xy = 1 −→ (x − y)2 = 1 −→ x − y = ±5 −→ x − y = ±1
Se ha( obtenido los sistemas:
x+y = 5
1) Su solución: x1 = 3; y1 = 2
x−y = 1
(
x+y = 5
2) Su solución: x2 = 2; y2 = 3
x − y = −1
(
x + y = −5
3) Su solución: x3 = −2; y3 = −3
x−y = 1
(
x + y = −5
4) Su solución: x4 = −3; y4 = −2
x − y = −1
b) La condición :
(
x+y = 0
Su solución: x5 = 0; y5 = 0
x−y = 0
c) La condición:
√ √
(
x+y = 0
2 2 Su solución: x6 = ± 19; y6 = ∓ 19
x + xy + y = 19
d) la condición:
√ √
(
x−y = 0
2 2 Su solución: x7 = ± 7; y7 = ∓ 7
x − xy + y = 7
La solución del sistema consta de siete pares ordenados.

1.5.2. Ejercicios Propuestos de Sistema de ecuaciones

1. Resolver los siguientes ejercicios de matrices:
1. Dada las matrices A2x2 ; B2x2 ; C2x3 ; D3x3 . Realizar las siguientes operaciones:
" # " # " #
2 3 2 3 2 3 5
A2x2 = ; B2x2 = C2x3 == .
−4 1 −4 1 −4 1 −2
 2 3 5
 

D2x3 ==  6 7 −8  .
 
−4 1 −2
 
1) A + 3B 1) AT − B
2) 3A + 2C 2) BT · C
3) A · C 3) D · C T
4) C · D 4) (D · C)T
5) C · B 5) A + C · C T
6) B - A 6) D − C T
 4 3  2 5 
   

2. Dada las matrices A =  −1 5  , B =  6 −2  . y la matriz unitaria E.
  
2 1 1 0
   
Encontrar la matriz C, si:
1) C = 2A 1) C = 3B − 5A
2) C = A + E 2) C = BT − AT
3) (C = B − E)T 3) C = (2A − 7B) · 4E
4) C = (A · B)T 4) C = A − 5E + 6B
3. Verifique, si la igualdad (A + B)2 = A2 + 2A · B + B2 , es una identidad si:
" # " #
2 5 1 −2
A= B= .
−1 0 1 1
" #
2 5 1
4. Dada es la matriz: A = Calcular valor de la expresión:
−1 0 −2
W = Det.(A · AT )–Det.(AT · A).
5. Demostrar que existen las matrices A y B que cumplen la identidad:
A · B − B · A = E.

6. Determinar la matriz C = A · B , cuando:
2 1 
  " #
 0 3 0 5
a = 
 3 1  B=
2 −1 1 0
−1 2
 
" # " #
2 1 5 6 7
7. Dada las matrices A = y, B= .Encontrar matriz C ,
3 1 8 9 0
si:
1) C = 2A · B 1) C = AT · A2
2) C = BT · A 2) C = BT · AT
3) (C = A · AT 3) C = B · BT
8. 12. Para cuales valores del parámetro a, la matriz A es no-singular:
 1 a 1  a 1 1 
   

1)  1 a 2 1)  1 a 1 
   

2 a2 1 1 1 a
   
 −2 1 a  3 0 1 
   

2)  4 0 3 2)  −1 a −3 
   

1 1 a a 1 0
   
" # " #
a−2 a+2 x+3 x−3
3) 3)
a+2 a−2 x−3 x+3
9. Resolver la inecuación:
 x 1 1 
 
 1 1 2 1
 
  x −3 0 
1)  1 x 1  > 0
 
 0 1 3 2   
  0 1 1 
1 1 x 1)   ≥ 
  
 1 1 3 3

1 1 x
  
 
1 1 2 4
 1 0 1 1
 
 " #
 1 1 1 1  x 1
 2 x + 2 −1
 
2)   ≥
 
 2 3 3 2 2x x

2)  1 1 −2  > 0
  
 
1 1 1 1 
5 −3 x

" #  1 x 1  # " #! "

x 1 1 2 1 1
+  0 2 0  ≥ x2
 
3) +x 3) Det. ≤0
2x x 1 1 2 1
1 x x
 
" #
1 n
10. Demostrar, que la matriz B = es el resultado de elevar a la n la
0 1
" #
1 1
matriz A =
0 1
11. Encontrar todas las matrices X que cumplen con la ecuación X 2 = E, si E
es la matriz unitaria de segundo grado, y la matriz X es matriz de triangulo
superior.

 3 1 
" #  
2 5 0
12. Dada las matrices A = y B =  0 2 . Encontrar la matriz C si:
 
7 1 3
2 5
 
1) C = AT + B 1) C = (3A + 2B)T
2) C = 2A − BT 2) C = AT − BT
3) C = (BT − A)T ) 3) C = B · AT
 2 4 
" #   " #
1 3 2 −1 2 0
13. Dada las matrices A = B =  1 1  y C = . De-
 

0 2 1 2 0 5
0 2
 
terminar la matriz D cuando:
1) D = 2A + C, 1) D = B · A,
2) D = A − 3C, 2) D = A · BT
3) D = A · B, 3) D = B · AT
14. Encontrar la matriz inversa de la matriz A:
 −1 2 1
 

1) C =  1 −1 0  −2 1 1
   
 
1 3 1 1) F =  5 −1 1
   

3 4 2
 
 −1 1 1
 

2) D =  2 −1 1  −2 1 6
   
 
3 1 2 2) G =  5 −1 1
   

4 0 2
 
 −1 1 1
 

3) E =  2 −1 1  −2 1 6 −1 
   

3 1 2  5 −1 1 2 
 
3) M = 
 
 5 −1 1 0 

 −4 1 6 −1 
   
 5 −2 1 2  4 0 2 3
4) H = 
 
 5 −1 3 −1   −5 1 6 −1
  
  
4 0 2 3  0 −1 3 2 
4) N = 
 
 1 −1 1 0


 −2 1 6 −3 
   
 0 −4 1 2  4 0 2 3
5) A = 
 
 6 −2 1 0   −4 1 7 
  
 
4 1 2 3 5) G =  5 −2 1 
 
4 0 2
 
 −2 1 3 −3 
 
 2 −4 0 2 
 −4 1 7 
 
6) B = 
 
 6 −2 1 0  6) R =  5 −2 1 
  
 
4 0 2 1 4 0 2
 
 −1 1 0 −3   −4 1 −3 
   
 2 −4 1 2  7) R =  5 −2 1 
 
7) B = 
 
 6 −2 1 0  3 −1 2
  
 
4 −1 2 1

15. Determinar la matriz de complementos algebraicos (cofactores) de la ma-

triz A ,si:
" # " #
−4 1 −7 1
1) A = 1) E =
5 −2 5 −3
 −4 −3 7  −4 1 −3 
   

2) B =  5 −2 1 2) F =  −2 −2 1 
   

4 8 −2 3 −1 3
   
 −5 1 6 −1   −2 1 9 −1 
   
 0 −1 3 2   3 −1 3 2 
3) C =  3) G = 
   
 1 −1 1 0   1 −1 2 0 
 
   
4 0 2 3 4 0 2 3
 −7 1 −2 −4   −6 1 9 −5 
   
 −1 −2 3 −2   3 −2 3 2 
4) D =  4) H = 
   
 1 −3 2 0   1 −3 2 0 

   
4 0 2 −3 4 0 2 −3
16. Aplicando leyes de operaciones con matrices, determinar de las expresio-
nes dadas, la matriz X, si se conoce que las matrices A y B son no-singulares
y de mismo grado:
1) A−1 · X · A = E 1) B · X · (AT )−1 = B + (A−1 )T
2) A−1 · (E − xT ) 2) ((A−1 )X T − A) · B−1 = E
3) A.X T –E = A2 . 3) (A−1 )T · E = X
 1 2 3 
 
17. La matriz A cumple con la condición: A + A−1 = B, donde: B =  2 3 4  ,
 
3 4 0
 
Calcular C = A2 + A−1 .
18. Determinar w W = Det.(A−3 ), sabiendo que la matriz A es matriz cuadrada
de segundo orden, con elementos reales y cumplen con las ecuaciones:
1) Det.(2AT ) = Det.A2 + 4.
2) Det.(2AT ) = 8Det.A2 ,
3) A−2 − AT = O.
19. Determinar W = Det.A2 sabiendo que la matriz A es matriz cuadrada de
segundo orden, con elementos reales y que cumplen la ecuación:
1) Det(A−3 ) = det(4 · AT ),
2) (AT )2 = A−1 .
3) A · AT = 2A−2 .
" #
3 2 1 2
20. Determinar Det.(A · AT ), si :B= ,
4 1 1 3
" #
1 2
21. Determinar la matriz B = 6(A + A−1 ), si se sabe ,que: (−3A)−1 = ,
1 4

22. Para que valores del parámetro t, la suma de los complementos algebraicos
(cofactores) de los elementos de la segunda columna de la matriz:
2
 1 t 0 
 
B =  t 1 1  , Es igual al determinante de la matriz A.
 
0 1 2
 
 1 0 1 
 
23. Demostrar que si A, es igual a A =  0 1 0  , An = 2n−1 .
 
1 0 1
 
24. Para que valores del parámetro λ, existe la matriz transpuesta de la matriz:
" #
0 1 λ
A = B · BT .Donde :B=
1 0 λ
25. Determinar el Determinante de X, si se sabe que (X + B.BT )−1 = A, donde:
 1 −1 0  −1 0 
   

A =  2 1 1 y B =  1 2 
   

2 1 −1 0 1
   
26. Encontrar la condición para el cual (E − A)−1 = E + A + A2 .

" #
1 2
27. Determinar la matriz A , si se sabe, que: (7A)−1 =
1 4
28. Para que valores del parámetro t existe la igualdad: |Det.A| = 2|A11 + A21 |, si
A11 y A21 significan los correspondientes
" # complementos algebraicos (co-
1 2
factores) de la matriz A =
1 4
" # " #
3 4 7
29. Dadas son: A = i B= Determinar la matriz C = (E−X.X T )−1 ,
1 −1 0
si A · X = B.
 
3  2 −1 
30. Resolver la ecuación: λ · Det.(A−1 ) − Det.(λ · A) = , si A =  1 
2 0 
2
 1 0 0 
 
31. Determinar la condición para que la matriz A =  0 −1 0  , cumpla :
 
0 0 −1
 
A−1 = A.
" #
T 2 3 4
32. Resolver la ecuación: (X −E)·A = A12 +A , si A == , y A12 significa
2 3
el complemento algebraico (cofactores ) de la matriz A.
33. Encontrar (si existen) todas las matrices cuadradas A de segundo orden que
cumplen con las condiciones:
1) AT = A−1 si a12 = 1,

2) AT = A−1 si a12 = 0.
34. Encontrar la matriz X, para que cumple la ecuación matricial:
" # " #
1 1 0 1
1) X · A = B, donde A = ,B =
2 −1 3 −1
" #
2 1 1
2) X −1 = A · AT –2 · E, donde: A =
0 1 2
" # " #
2 1 1
3) A · X = AT · X–B · Det.A, donde: A = ,B =
1 −1 3
" # " #
1 1 4 0
4) B−1 · X · A = E , donde: A = ,B =
3 2 1 2
 1 1 1 
  " # " #
 0 1 1  2 1 −2 1 0 5
5) X·A = C+2B, donde: A =   , B = ,C =
1 0 −3 1 −2 8
0 0 1
 
1 0 −1 
 

6) A · X = A + A2 , donde: A =  0 2 0  ,

−4 0 2
 
" #
1 2
7) (A2 · DetA + A · DetA2 )X − E = O, donde: A =
1 1
" #
1 2
8) (A · DetA + X) · A = E, donde: A =
1 1
" # " #
3 4 −1 2
9) A · X · B = E, donde: A = ,B = ,
1 1 3 −5
" # " #
1 1 1 3 3
10) A · AT · X = B, donde: A = ,B = ,
2 3 1 1 2
" #
1 0 1
11) X · (AT · A + E) = E, Donde: A = ,
0 1 0
" # " #
3 4 −1 2
12) A · (X + E) · B = E, Donde: A = ,B = ,
1 1 3 −5
" #
0 2
13) A · X = E · X + E, Donde: A = ,
3 0

 0 1 2   0 1 
   
14) A · X = 4B, Donde: A =  1 0 1  , B =  1 2  ,
   
1 2 1 0 1
   
" # " #
3 4 3 0 1
15) A · X = B. Donde: A = ,B = ,
2 3 2 1 1
 2 −1   −2 1 
   
16) 2X - 3A = B, Donde: A =  0 1  , B =  1 0  ,
   
2 3 0 1
   
 −1 −2 −1   1 
   
 2 −3 1 
17) A · X + 2X = B, Donde: A =   , B =  3  ,
 
3 −4 0 8
   
" # " #
1 2 1 1
18) X · A = 3B, Donde: A = ,B = ,
2 1 3 3
"# " # " #

1 1 1 1 1 4
19) A · X · B = C, donde: A = ,B = ,C = ,
3 1 3 3 3 −3
 3 0 1
" # " #  
1 1 1 1 3 
20) A · X · B = C, Donde: A = ,B = , C =  0 −1 1
 
3 −3 2 1 −1

0 0 1
 
 1 0 1   1 1 1 
   
21) AT · X · A−1 = B, Donde: A =  0 2 1  , B =  2 0 −1  .
   
1 1 1 −2 −1 5
   
# !2 "
" #2 " #
2 −1 1 −2 3 h i
22) 2X · , − = 1 −2 ,
3 −2 −1 −3 −1
2 −1 0  0 −1
  " #!T  
 1 0 3 
 
23) 
 0 1 −1  X + = 2 ·  −1 2 

0 1 2
−1 0 0 0 1
   
" # " #2
−1 −1 −4 0 h iT h i
24) X · + = 2 −1 · 3 −4 − 6E = 0
−1 2 1 −2
" # " #T " #2 " #

2 −4 −1 2 1 2 −1
25) · − +3·E− · =0
−3 5 −3 0 2 −1 −1
" #2 " # T h
2 −1 5 −1 1 iT h i
26) − · X = 2 −1 · 1 −1
0 −1 0 −2 10

35. Determinar el rango de las siguientes matrices: si:
 −3 2 1
 

1) C =  1 −1 4  −2 6 12 
   

−2 3 1
 
1) F =  5 −3 1 

8 4 2
 
 −1 6 −4
 

2) D =  2 −3 1  −9 3 6 
   

5 0 2
 
2) G =  5 0 10 

4 6 2
 
 −7 −3 1 
 
3) E =  2 −1 4   −14 2 6 0 
  
3 0 2
   5 −10 15 20 
3) M = 

5 −0 1 0 


 −4 1 3 −1 
   
 5 −2 1 2  4 −8 2 3
4) H = 
 
 2 −1 3 −1 

 −5 1 6 −1 
 
 
4 0 2 3  0 −1 3 2 
4) N = 
 
 1 −1 1 0 

 −2 8 6 −3 
   
 0 −4 1 2  4 0 2 3
5) A = 
 
 6 −2 1 −1 

 −8 2 7 
 
 
4 6 2 3 5) G =  5 −2 1 
 
4 12 2
 
 −2 0 3 −3 
 
 2 −4 0 2 
 −3 21 6 
 
6) B = 
 
 6 −2 1 0 

6) R =  12 −2 6 
 
 
4 0 2 1 
4 8 2

 −3 1 7 −3 
 
 1 4 −3 
 
 2 −4 −2 2 
7) R =  3 −2 1 
 
7) K = 
 
 6 −2 1 9 

3 −1 2
 
 
4 −1 2 −2
1 3 2 2 −1
1 4 2 −2 −1 −2 1 3 9 5
−3 1 3 9 6 8) A = 3 1 2 8 −4
8) A = 3 1 2 8 4 0 3 3 0 0
0 4 4 0 0
2 5 8 2 3

2 5 8 2 −3

 −12 16 6
 

5 10 15 −20 0 9) G = 
 5 −15 25 

2 0 3 9 6 
4 0 2

9) A = 6 0 2 8 4
 −22 11 0
 
0 5 5 0 0 
2 10 8 2 −6 10) G =  3 −12 15
 

6 0 −3
 

4 0 2 −2 −12
 −6 1 4
 
2 1 6 9 0


10) A = 2 0 2 8 4 11) G =  0 −1 1
 

4 14 2
 
6 3 3 12 0
2 4 8 2 −16


36. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. Se solicita al estu-

diante que, aplique todos los métodos que en este libro fueron explicados.

2x − 3x2 + 3x3 = −15
 1
 
 x + 2x2 − 3x3 = 7
 1
 
1)  3x 1 + 2x2 − 5x3 = −19



 5x1 − 4x2 − 2x3 1)  2x1 + 5x2 − 9x3 = 16
= −2
 
 2x1 + 4x2 − 3x3

= 4

3x − 2x2 − 4x3 = −8
 1
 
 x + 2x2 − 3x3 = 7
 1
 
2)  4x 1 + 4x2 − 5x3 = −5



 6x1 − 5x2 + 2x3 2)  2x1 + 5x2 − 9x3 = 16
= −17
 
 x1 + 5x2 − 7x3

= 13

4x − 2x2 − 3x3 = 0
 1
 
 4x − 2x2 − 3x3 = 0
 1
 
3)  3x1 − 5x2 − 2x3 = −12



 2x1 + 4x2 − 3x3 3)  3x1 − 5x2 − 2x3 = −12
= 4
 
 2x1 + 4x2 − 3x3

= 4

x + 2x2 + 3x3 = 14
 1
 
 5x − 3x2 + 2x3 = 3
 1
 
4)  3x1 + x2 + 2x3 = 11



 2x1 + 3x2 + x3 4)  4x1 + 5x2 − 3x3 = 21
= 11
 
 5x1 − 2x2 − 3x3

= −12

 2x1 − x2 + x3 = 1 
 3x + 12x2 + 5x3 = −43
 1
 
5)  3x 1 + x2 − 2x3 = 0
 


 2x1 − 3x2 − x3 = 2
 5) 
 5x1 − 3x2 − 10x3 = −76
 4x1 − 17x2 + 2x3

= 23

 4x1 − 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2 
 3x − 4x2 − x3 = 1
 1

 2x − 3x + 5x + 7x 
= 1

 1
 2 3 4

6)  6)  2x1 − 3x2 + x3 = 1
 2x1 − 3x2 − 11x3 − 15x4 = 1 
 x1 − 2x2 − 3x3 = 2

 
 x − 2x + 2x + 3x

= 3
1 2 3 4

  x1 + x2 + x3 + x4 = 4
 x1 − 3x2 + 2x3 + 3x4 = 2 



 2x1 + 3x2 + x3 + 7x4 = 1

 −x1 + 2x2 + x3 = 0
7) 
 
7)  2x1 + 3x2 + x3 − x4 = 6
 
x1 − x2 − x3 − 2x4 = 1
 

−2x1 + x2 − 2x3 + 2x4 = −1

 

 3x + 2x + 2x + 3x = 3

1 2 3 4

3x − 2x2 + 2x3 = 6
 1
 
 x1 − x2 − x3 − x4 = 1 


 8)  7x1 − 3x2 + 2x3 = −1
 2x
 1
 + x2 + x3 + 2x4 = 3 
8)   2x1 − 3x2 + 4x3 = 0



 x1 − 2x2 − 2x3 − 3x4 = 0
 3x − 4x + x + 35x = −3
 
1 2 3 4 5x + 6x2 − 3x3 = 6
 1



 9)  4x1 − 7x2 − 2x3 = −3
 2x1 + x2 + x3 = 5 
 5x1 + 1x2 − 7x3 = 1

 
9)  4x1 − x2 − 3x3 = 1


 8x1 + 1x2 − x3 = 5
 
x + 2x2 − x3 = −3
 1



 10)  2x1 − 4x2 + x3 = −7
2x + 5x2 − x3 = 2
 1
 

  −2x1 + 2x2 − 3x3 = 4

10) 
 2x1 + x2 + x3 = 7
 x1 − 1x2 + 2x3 =

11 


 1x1 + 3x2 − 2x3 − 2x4 = 6
 −2x + 1x − 3x + 9x = 5
1 2 3 4
 
 2x1 + 5x2 − x3 + x4 = 2 

11)  3x − 1x + 2x − 8x = −4
 
1 2 3 4

 2x + x + x + 2
 1 2 3 4 = 7 
11)  x1 − 3x2 + 3x3 + x4 = 0
 

−x − x + x + 2 = 4


1 2 3 4
 
 2x − 5x − 8x − 2x = 3


 x − 1x + 2x + x

= 11 1 2 3 4
1 2 3 4

37. En los siguientes ejercicios se presenta sistemas de ecuaciones con expo-

nentes y funciones logarı́tmicas.
x2 + xy + y √ 2 · y = a2
(
√ √ √
√
(
x+y = 2 3
x−y 1)
1) log √x a ( a) + log √y b ( b) = a · 3
(x + y) · 2y−x = 3
(
xlog(y) = 16
642x + 642y
(
= 12
√ 2)
2) x · y = 400
64x+y = 4 2
logx (10) + logy (10) = 5

(
3y · 4x

= 18 
3) 

5
3)
4y · 9x = 48  log10 (x) + log10 (y) =

4
2 +x+2
(
yx

4)
= 1  2 log(x) − log(y) = log(9)


x+y = 3 4)  1

 10y−x =
( 2
100
xx = y ( log(y)
5) x = 100
x4x−1 = y4 5)
logy (x) = 2
8x−2 · 4y+1 = 16
(
6)
(
22(x−1) · 8y = 1 2x = 3 y
6) 2
x + xy = 10
82x+1 = 32 4y−1
(
7) √·2 ( y
x = 9
5 · 5x−y = 252y+1 7)
y = log3 (3)
2
(
y x +7x12 = 1 
5
8)
 logy (x) + logx (y) =

x+y = 6 
8)  2
x + y = a + a2


 2


 y

x2! = y 5

9) 
 3 = x 


9)  x log(x)

 y = 1 + log (x) 
3
 log y = log(y)


( x+y
x = y x−y
10) (
x2 · y = 1 logx (y) − 2 log(x) = 1
10)
( log(x + y) − log(x − y) = 1
2x−y = 4
11)
x · y = a2
(
log2 (y + 3) = 2 + log2 (x)
11)
( 2(log2 (x) + log2 (y) = 5(log2 (a2 ))
3x · 2y = 576
12) 
log2 (y − x) = 2 

 log2 (x) + log4 (y) + log4 (z) = 2
12)  log9 (x) + log3 (y) + log9 (z) = 2

(
2x = 4 · 8y

 log (x) + log (y) + log (z) = 2

13) 16 16 4
log3 (x) + log3 (y) = 0  1
√ √ (x + y)x−y =
( 

9−1 y 9x − 27 · x 27y = 0 64


13) 

14)
log(x − 1) − log(1 − y) = 0 

 (x + y) · 2y−x

= 32
(
x·y = 2 (
15) log(4y√+ 16) = 1 − 2 log(2) + log(x)
logx (y) − 4 logy (x) = 3 14) √
2 x− y = 4


1 3 2 −2 −1
2 1 3 9 5
1) A = 3 1 2 8 4 1 3 2 −2 −1
0 3 3 0 0

2 1 3 9 5

2 5 8 2 −3 1) J = 3 1 2 8 4

0 3 3 0 0

2 5 8 2 −3

4 6 2 −2 −1
2 1 3 9 4
2) B = 3 1 2 8 4 1 3 2 −2 −1
2 1 3 9 5

0 3 3 0 2

2 4 8 2 −3 2) K = 3 1 2 8 4

0 3 3 0 0
2 5 8 2 −3

8 6 4 −2
2 1 3 9

3) C =
0 6

4 −2
3 1 2 8
2 1 3 9

0 3 3 0 3) L =

3 1 2 8
0 3 1 0

1 1 1 1
1 2 −3 4

4) D =
1 1 1 1

1 4 9 16
1 −2 −3 6

1 8 −27 64 4) M =

1 2 5 16
1 8 −9 32

0 1 1 1
1 0 c2 b2

5) E =
0 1 1 1

1 c2 0 a2
1 b 2 a2 0 1 0 c b
5) N =

1 c 0 a

1 b a 0

1 1 1 1
x 2 3 4

6) F =
1 3 −5 0

x2 22 32 42
x 3 23 33 43 4 0 −7 3
6) O =

2 5 0 9

1 2 3 −4

1 3 −5 2

4 5 −7 3
7) G =
−1 5 −9 1

2 5 −2 9
0 0 −5 1

1 2 3 −4
7) P = 1
0 − x2 0
2

1 3 2 −1
−2 x2 0 2

−3 1 3 −2

8) H =
2 3 −1 2
−2 4 −16 1
2 10 3 1

1 −1 −5 1

8) Q = 1
x2 0

2 3 4 −2 3 −
4
−3 2 3 −4

−2 x2

9) I =
4 2
4 3 −1 4
1 15 3 1


1 1 1 1
log(2) log(20) log(200) log(2000)
A = 2 2 2 2
log (2) log 20 log (200) log (2000)

log3 (2) log3 (20) log3 (200) log3 (2000)
12 22 32 n2

··· ···
22 32 42 ··· · · · (n + 1)2

3 2 4 2 52 ··· · · · (n + 2)2

A =
42 52 62 ··· · · · (n + 3)2
··· ··· ··· ··· ··· ···
n2 (n + 1)2 (n + 2)2 ··· · · · (2n − 1)2


− 1 1 1
a a+c a+b

1 1 1
O = −
b + c b a + b

1 1 1
b+c −
a+c c

1 1 1 ··· ··· 1
1 1+a 1 ··· ··· 1
1 1 1+a ··· ··· 1

A =
1 1 1 ··· ··· 1
··· ··· ··· ··· ··· ···
1 1 1 ··· ··· 1 + a


1 1 1 1 1
log(3) log(30) log(300) log(3000) log(30000)
A = log2 (3) log2 30 log2 (300) log2 (3000) log2 (30000)

3 3 3 3 3
log (3) log (30) log (300) log (3000) log (30000)

log4 (3) log4 (30) log4 (300) log4 (3000) log4 (30000)


−2 8 −32 1

1 −1 −10 1

Q =
1 2
3 − 8 x −1

−2 x 2 8 4

cos(ϕ) sin(ϕ) cos(ϕ) sin(ϕ)

cos(2ϕ) sin(2ϕ) 2 cos(2ϕ) 2 sin(2ϕ)
Q =


1 2 3 4 ··· ··· n

2 1 2 3 ··· · · · n − 1
3 2 1 2 ··· · · · n − 2

A =
4 3 2 1 ··· · · · n − 3
··· ··· ··· ··· ··· · · · · · ·
n n−1 n−2 n−3 ··· ··· 1


a1 x x x · · · ··· x
x a2 x x · · · ··· x

x x a3 x · · · ··· x

A = x x x a4 · · · ··· x
··· ··· ··· ··· ··· ··· x

··· ··· ··· ··· ··· ··· x

x x x x ··· ··· x

1 x x2 x3

3 2
x x x 1

Q =
2x 3x2 4x3
1

4x3 3x2 2x 1

49. Resolver los siguientes sistemas no-lineales.
(
x2 + y 2 + x + y = 62 (
1 2xy − 3y − 3 = 0
x2 − y 2 + x − y = 50 1)
y 2 − 4xy + 15 = 0
(
x2 + 2y 2 − 3 = 0 (
2 xy(x + y) = 30
2x2 − 3xy − y 2 = 0 2)
x3 + y 3 = 35
(
x2 − xy + 2y 2 = 16 
3 x + y + z = 14
2x2 − 3xy − y 2 = 4



3)  xyz = 70

 y 2 − xz = 11
( 

(x + y)2 (y + 1)2 = 27xy
4
(x2 + 1)(y 2 + 1)2x2 = 10xy (
y 4 − x4 = 15
4)

 xy = 2 y −x = 1


5 

yz = 6 ( √ √

 xz = 3 x+ y = 4
5)

xy = 9
( 2
x + xy + y 2 = 6 (
6 (x + 2)2 (y − 1)2 = 25
x + xy + y = 29 6)
(x + 2)(y − 1) = 12
( 2
x + y 2 = 58 ( 2
7 x + xy + y 2 = 7
xy = 21 7)
2x2 − xy − y 2 = 5
(
2y − x − 3 = 0 (
8 x2 + xy + y 2 = 13
xy = 5 8)
2(x + y) + x y + xy 2 + 30 = 0
2 2
( 2
x + xy + y 2 − 3x − 3y = 6 ( 3
9 x + y 3 = 28
4x + xy + 4y = 0 9)
x+y = 4
( 2
x + y 2 = 13 (
10 x2 − xy − y 2 = 5
x4 + y 4 = 97 10)
2x2 − 5xy + 6y 2 = 9
( 2
x + 3xy = 7 
11 xy = x + y
xy + 3y 2 = 14



11)  xz = x + z


(  yz = z + y

x3 + y 3 = 9
12
x2 + y 2 − xy = 3 ( 2
(x + y 2 )(x3 + y 3 ) = 280
12)
( 2
x − xy − 3(x − y) = 0 x+y = 4
13
x2 − 3x + 5y − y 2 = 4 
2
−y = 2



3x − y 2

x + y x − y 10
 


+ =

13) 

 
 x−y x+y 3


1

14  
+ 2y 2 =

8
 

 
 6x − 2y 2
2 2

 x + 18 + y = 9x + 9y − 2xy

(
( x2 + y 2 = 13
2xy − 5y − 5 = 0 14)
15 x + y + xy = 11
y 2 − 4xy + 15 = 0

Capı́tulo 2
Programación Lineal
1. Definición de programación lineal,

2. Caracterı́sticas de la programación lineal,
3. Objetivos de programación lineal,
4. Aplicaciones de programación lineal,
5. Conceptos básicos de programación lineal
6. El problema de programación lineal
7. Métodos de solución de programación lineal, entre los cuales se analiza:
a) Método gráfico
b) Método simplex
8. El Problema del Dual en la Programación Lineal
CAPITULO 2. Programación Lineal
2.1. Definición de Programación Lineal

La programación lineal es una capitulo de las matemáticas, que se la define
como, un tipo de los modelos de programación matemática destinados a la
asignación eficiente de los recursos limitados en actividades conocidas, con
el objetivo de satisfacer las metas deseadas; tal como, maximizar beneficios o
minimizar costos.
2.2. Caracterı́sticas de la Programación Lineal

La caracterı́stica distintiva y principal de los modelos de programación lineal
es que, las funciones que representan el objetivo y las restricciones son linea-
les y estas pueden ser: inecuaciones o ecuaciones de primer grado. La Progra-
mación Lineal tuvo sus orı́genes a raı́z de la Segunda Guerra Mundial, cuando
George Dentzin, quien realizó investigaciones y aplicaciones en distintos casos
de operación aero-militar. Leonfiel aportó principalmente en procesos relacio-
nes con la industria a través de su Matriz de Insumo-Producto. Koopmans, in-
cursionó profundamente en aplicaciones macro-económicas resolviendo casos
de producción, asignación de recursos, maximización de beneficios y minimi-
zación de costos.
En toda producción industrial deben ser aplicados los diferentes principios de
economı́a racional. Entre estos principios, uno de ellos dice: Se debe aprove-
char de todos los recursos disponibles para el desarrollo de cualquier pro-
yecto y deben ser utilizados para garantizar una máxima realización del
mismo.
Este principio puede ser aplicado, cuando el o los objetivos; ası́ como, los re-
cursos pueden ser considerados de modo cuantitativo.
La aplicación de los principios de economı́a racional en la práctica se reduce a
solucionar los problemas de optimización. Lo que significa, tomar decisiones
con un determinado criterio de optimización. Se puede tener en consideración,
en el momento de realización del proyecto, con el principio de máxima efec-
tividad; es decir, con un determinado nivel de recursos se obtiene un máximo
grado del objetivo fijado. Otra variante de este principio de economı́a racional,
es el principio de mı́nima utilización de recursos. Tenemos con ella contacto
cuando: fijadas las tareas de producción las conseguimos con un mı́nimo de
recursos. El plan que, de acuerdo, con el principio de economı́a racional que
estemos aplicando, llamamos plan óptimal. Esto es un plan, donde las tareas
de producción se consiguen con mı́nimo gasto de recursos, o de los recursos
dados, se consigue un máximo efecto de producción.
Para construir un plan óptimal, es necesario el conocimiento de métodos de
programación matemática. La más conocida de los métodos de programación
matemática es lo que llamamos, programación lineal. Desde el punto de vis-
ta de su efectividad, se encuentra múltiples aplicaciones en la práctica. Con
su ayuda se fija, por ejemplo: el programa de asignación de producción de m
plantas industriales para n mercados mayoristas con minimización de costos
de transporte. Se puede determinar también, la dieta optima con m recursos
alimenticios y n componentes nutritivos.
72 Obtimización de Procesos
Programación Lineal CAPITULO 2.
Una de las principales hipótesis en los principios de programación lineal es:

la proporcionalidad de los resultados con relación a los gastos.
2.3. Objetivos de la Programación Lineal

Después de que el estudiante finalice satisfactoriamente este capı́tulo, debe
estar en capacidad de:
a) Determinar las soluciones óptimas para problemas de programación li-

neal utilizando el criterio pesimista, el criterio optimista y el criterio del
valor esperado.
b) Utilizar técnicas de asignación de cantidades fijas de recursos para la sa-
tisfacción6n de diferentes tipos de demandas.
La programación lineal es un modelo matemático y sistemático para enfocar,

analizar un determinado problema, técnico o tecnológico, para lograr una so-
lución óptima o la mejor posible, empleando una ecuación, denominada, ecua-
ción objetivo (propósito del problema), un conjunto de restricciones lineales y
una condición de eliminar valores negativos (condición de no negatividad).
2.4. Aplicaciones de la Programación Lineal

El objetivo principal de la programación lineal es encontrar soluciones me-
diante métodos matemáticos, utilizando sistemas lineales, a problemas de carácter
técnico-económico que se presentan en la industria en general, por la limita-
ción de recursos. A través de la programación lineal se pueden resolver intere-
santes casos tales como:
a) Combinación óptima de mezclas de producción,

b) Disposición interna de recursos en los procesos,
c) Maximización de beneficios,
d) Localización de productos,
e) Asignación de recursos,
f ) Minimización de costos,
g) Transporte,
En cuanto al área de aplicación se resuelven casos en la industria en general y

dentro de esta con mejores opciones:
a) En la industria quı́mica,
b) En la industria hierro y acero,
c) En la industria papel y cartón,
d) En la industria petrólera,
e) En la industria farmacéutica,
Obtimización de Procesos 73
f ) En la industria de alimentos y,
g) En la industria textil.
Se han realizado aplicaciones también:
a) En la agricultura,
b) En la construcción,
c) Aviación,
d) Sistemas hidroeléctricos,
e) Transporte.
2.5. Conceptos Básicos de Programación Lineal

Linealidad Todo proceso consta de diferentes actividades y tienen una rela-
ción lineal utilizada para identificar con la cantidad unitaria de cada uno de
los factores con respecto a los demás y a las cantidades de cada uno de los pro-
ductos.
Divisibilidad Los procesos pueden utilizarse en extensiones positivas divisi-
bles mientras se dispongan de recursos.
Finitud Tanto el numero de procesos identificados cuanto los recursos dispo-
nibles, deberán corresponder a cantidades finitas, esto es, conocidas y cuanti-
ficadas en forma determinı́stica.
Algoritmos o Iteraciones Como se indico anteriormente, en lo que se refiere a
la programación lineal se utiliza métodos mediante aproximaciones sucesivas,
ensayos, intentos que reciben el nombre de algoritmos o iteraciones y, según
los cuales, se determina pasos o etapas hasta obtener el objetivo planteado.
2.6. El Problema de la Programación Lineal

Los problemas de la programación lineal se presentan por la limitación de re-
cursos, que se tratan de distribuir en la mejor forma. Los recursos a la vez que
son limitados en términos ”per se”(por si mismo), pueden ser distribuidos en
tantas formas, como combinaciones matemáticas permitan relacionarlos a un
mismo objetivo. De allı́ que, es necesario distribuirlos adecuadamente en for-
ma equilibrada y armónica entre los factores que intervienen en el problema,
a fin de encontrar las mejores alterativas de uso, cumpliendo con el propósito
fijado. Un problema de programación lineal trae implı́citamente el sentido de
función, propósito o meta de los recursos disponibles y la habilidad o forma
para seleccionar, comparar y decidir la mejor alternativa (decisión). Los pro-
blemas de programación lineal planteados y resueltos por cualquiera de los
métodos deberán cumplir las condiciones necesarias y suficientes:
a) Función Objetivo Es la ecuación, que expresa la cantidad que va a ser

maximizada o minimizada según el objetivo planteado y es de la forma:
Z = C1 X1 + C2 X2 + C3 X3 + · · · + Cn Xn ,
Donde:
Z(MAX): para los casos de maximización
Z(MIN): para los casos de minimización.
C1 , C2 , C3 , · · · , Cn son coeficientes de la función objetivo, pueden ser márge-
nes de beneficios, precios, costos unitarios,
X1 , X2 , X3 , · · · , Xn Variables del problema, lo que se quiere lograr.
b) Limitaciones y Restricciones
Es el conjunto de inecuaciones o ecuaciones, que expresan las condiciones
finitas del problema, denominados también, COEFICIENTES TÉCNICOS
de producción, tecnológicos, de transporte, etc., según sea el caso de es-
tudio; lo cual, se representa:



 A11 X1 + A12 X2 + A13 X3 · · · A1n Xn T1 b1
 A21 X1 + 22 X2 + A23 X3 · · · A2n Xn T2 b2



 .. .. .. .. .. .. .. .. ..



 . . . . . . . . .
 An1 X1 + An2 X2 + An3 X3 · · · Ann Xn Tn bn

En donde:
 A11 A12 A13 · · · A1n

 

 A
 21 A22 A23 · · · A2n


 . .. .. .. ..  . Coeficientes técnicos
 .. . . . . 
 
An1 An2 An3 · · · Ann
 
X1 , X2 , X3 · · · Xn Variables o incógnitas del problema.
T1 , T2 , T3 · · · Tn Signos o limites del sistema.(6; >; <; >; =)

c) No Negatividad
En la resolución de los Problemas de programación lineal, en ningún caso,
se aceptaran resultados negativos en las respuestas; pues, no se concibe
producción negativa, gastos negativos, tendrán que ser por lo menos igual
o mayor que cero.
d) Condiciones de Optimización
Se van obteniendo por aproximaciones sucesivas.
Solución factible: Aquella que satisface las limitaciones y restricciones
del problema.
Solución básica factible: Es aquella que satisface tanto las limitaciones o
restricciones como la función objetivo del problema (optimización).
2.7. Métodos de Solución de Programación Lineal

De la teorı́a de conjuntos y de la solución de un sistema de inecuaciones, re-
sulta que: cada una de las inecuaciones que aparecen en el sistema mostrado
representa una hipótesis:
(ai1 )2 + (ai2 )2 + ... + (ain )2 > 0 Donde: i = l, 2, · · · , m,
Es un conjunto y se conoce que, la parte común de un conjunto es también un

conjunto. Por lo tanto, el conjunto de soluciones permitidas, es un conjunto
y especı́ficamente es un conjunto poliédrico con finito número de vértices. La
función objetivo toma su valor extremo en uno de esos vértices. Aprovechamos
de esta condición para definir dos métodos:
a) El método gráfico, se lo aplica cuando el número de variables es hasta

tres.
b) El método simplex, se lo aplica cuando el número de variables es igual o

mas de tres.
2.8. Método Gráfico en Programación Lineal
El problema de programación lineal, en el caso cuando tenemos dos variables

de decisión, se resuelve fácilmente con en el método gráfico. Supongace, que
la función objetivo de las variables x1 y x2 es: z = c1 x1 + c2 x2 donde: c1 >
0, c2 > 0, Y el sistema de condiciones tiene la forma:
(
a11 x1 + a12 x2 ≤ b1
a21 x1 + a22 x2 ≤ b2
Dónde: aik > 0 (i, k = 1, 2) y b1 , b2 > 0 y x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
llamadas, condiciones de frontera. Se desea encontrar los valores de las varia-

bles de decisión x1 , x2 para que, cumplan con el sistema de condiciones y que
cumplan con la función objetivo:
z = c1 x1 + c2 x2 , y tome su valor máximo.
Si se designa con l1 y l2 las rectas de las ecuaciones:
l1 : a11 x1 + a12 x2 = b1 ; l2 : a21 x1 + a22 x2 = b2 .
Entonces, en el plano Ox1 x2 , la inecuación a11 x1 + a12 x2 ≤ b1 toma los puntos

del plano, que pueden estar sobre o debajo de recta l1 , pero deben cumplir con
las condiciones del problema.
Analógicamente, para la inecuación a21 x1 + a22 x2 ≤ b2 todos los puntos del
plano que estén sobre o debajo de recta l2 .
Se define también las condiciones de frontera x1 ≥ 0 y x2 ≥ 0, se obtiene que,
el espacio de soluciones admisibles forman puntos en el primer cuadrante del
sistema de coordenadas, que se encuentran al mismo tiempo por bajo o por
encima de las rectas l1 y l2 ; es decir, las coordenadas de todos los puntos de
cuadrángulo OABC (ver figura 2.1).
Figura 2.1 Posición l1 y l2
Si la función objetivo z = c1 x1 + c2 x2 cambia los valores de z; entonces, las

ecuaciones muestran un haz de rectas paralelas, que se representan en la forma
direccional, es decir:
c z
x2 = − 1 x1 +
c2 c2
Si más alto es el valor de z; es decir, más alto será el grado de realización de la
función objetivo y más alto será la posición de la recta correspondiente al haz
de rectas paralelas. La recta más alta en posición, entre las rectas, que tiene por
lo menos un punto común con el cuadrángulo OABC, representa la solución
óptima.
2.8.1. Ejercicios Resueltos Método Gráfico

Es necesario realizar la formulación algebraica; ya que, la multiplicidad de da-
tos en interpelaciones hace difı́cil el planteamiento de los problemas de pro-
gramación lineal. Una forma de resumir la información, consiste en elaborar
una matriz de recursos y productos con sus respectivos coeficientes de con-
sumo; con la oferta disponible de los insumos y con la utilidad generada por
cada producto. Previo a ello, conviene definir con claridad el significado de las
variables utilizadas. Analice detenidamente la formulación de los ejemplos.
SOLUCIÓN GRÁFICA:
El método gráfico permite una comprensión visual de la resolución de un pro-
blema. De acuerdo a las condiciones deberá cumplir con los requisitos básicos.
a) Función Objetivo,
b) Conjunto de limitaciones o restricciones,
c) Condición de no negatividad,
d) Condiciones u optimización,
e) Solución factible,
f ) Solución básica factible,

g) Solución óptima factible,
Mediante el método gráfico se trata de resolver por aproximaciones o interac-

ciones gráficas, las posibilidades de mejorar las soluciones de conformidad a
la función objetivo determinada.
Z(MAX) = C1 X1 + C2 X2
Las restricciones o limitaciones serán:



 A11 x1 + A12 x2 ≤ b1
 A x x + A22 x2 ≤ b2
 21 1




 A31 x1 x + A32 x2 ≤ b3
x1 ≥ 0





 x2 ≥ 0
La función objetivo puede representarse mediante un conjunto de rectas para-
lelas con pendiente:
C
M= 1
C2
Donde C1 es el coeficiente de X1 y C2 el coeficiente de X2 . Cada recta indica

un conjunto de puntos que proporcionan un beneficio idéntico.
Cuando se trata de problemas de maximización, la solución esta determinada
por la región interior, formada por el polı́gono convexo.
Para este caso, se utilizara las expresiones ≤ (menor o igual), lo que indica que,
la empresa no podrá utilizar mas recursos de los que dispone (finitud) y los
coeficientes de X1 y X2 corresponden a las necesidades técnicas de producción.
2.8.2. Ejercicios de Maximización Método Gráfico

1. Una empresa elabora los productos I y II por medio de tres tipos de máqui-
nas M1 , M2 , M3 . Capacidad de producción en miles de ejemplares por año
(CPA) de cada una de las maquinas es el siguiente:
CPA
Producto
M1 M2 M3
I 6 – 5
II 6 4 10
La ganancia por unidad del producto I es de 2 unidades monetarias, por
unidad del producto II es de 4 unidades monetarias. Determinar la canti-
dad de producción de los productos I y II; tal manera que, la ganancia de la
empresa sea máxima.
De las condiciones del ejercicio se debe transforma a inecuaciones y funcio-
nes. Se designa a la producción anual de producto I con x1 , al producto II
con x2 . De acuerdo a las condiciones del ejercicio la ganancia anual de esta
producción, es decir, la función de objetivo es:

z = 2x1 + 4x2 . Dónde: x1 ≥ 0 y x2 ≥ 0.
Como las capacidades productivas de las maquinas son limitadas durante
el año, se puede escribir:
x1 + x2 ≤ 6
Por lo que, la producción no puede ser mayor a la que capacidad productiva
de la maquina M1 .
x2 ≤ 4
Por lo que, la producción del producto II no puede ser mayor que capacidad
productiva de la maquina M2
2x1 +x2 ≤ 10 Por lo que, la producción de dos productos no puede ser mayor
que la capacidad productiva de la maquina M3 .
La solución a este ejercicio, es encontrar lo óptimo desde el punto de vista
de la función objetivo: z = 2x1 + 4x2 un punto en el espacio definido por las
inecuaciones siguientes:



 x1 + x2 ≤ 6
 2x x + x2 ≤ 10
 1




 x2 ≤ 4
x1 ≥ 0





 x2 ≥ 0
Para esto se gráfica las rectas en el plano cartesiano:
l1 : x1 + x2 = 6; l2 : x2 = 4; l3 : 2x1 + x2 = 10.
El espacio de soluciones permitidas, están en el primer cuadrante, ver figu-
ra 2.2; lo cual, es un pentágono OABCD.
Figura 2.2 Ejercicio 1

Se considera ahora la función objetivo: z = 2x1 + 4x2 , para z = 0, se obtiene
la recta p : 2x1 + 4x2 = 0. Esta recta es singular y pasa por los puntos (2, -1)
y (0, 0). Las rectas que corresponden a la función objetivo para diferentes
valores son paralelas a la recta p(2x1 + 4x2 = 0).
Cuando más alto es valor de z, más arriba (“y” más a la derecha), está la
correspondiente recta. Por lo tanto, la ganancia más alta le corresponde la
recta paralela a la recta p, que pasa por zona de soluciones permitidas y
localizada lo más alto posible.
De la figura 2.2 se logra observar, que el punto de resolución correspon-

diente a la más alta ganancia es el punto C (2, 4).
Por lo tanto, cuando la empresa produzca 2000 ejemplares por año del pro-
ducto I y 4000 ejemplares de producto II, se obtendrá las máximas ganan-
cias.
2. La dieta de un soldado se compone de dos componentes alimenticios; de
pan y de carne, que contienen dos elementos nutritivos, por ejemplo; ca-
lorı́as y proteı́nas. A cada unidad de peso de pan contiene: 1 unidad de pro-
teı́nas y 5 unidades de calorı́as, A cada unidad de peso de carne contiene: 5
unidades de proteı́nas y 1 unidad de calorı́as. Un soldado cada dı́a necesita
por lo menos de 15 unidades de calorı́as y 15 unidades de proteı́nas. ¿Cuál
es el costo mı́nimo de la dieta, si el precio de pan es 1 y el precio de carne
es de 3 unidades monetarias?
De las condiciones del ejercicio se traduce a la lengua de inecuaciones y
funciones. Supongace, que un soldado reciba diariamente x1 unidades de
pan y x2 unidades de carne. El costo diario de alimentación de un soldado
la función objetivo es:
z = x1 + 3x2 .
La zona de soluciones permitidas está definida con las siguientes inecua-
ciones, vea figura 2.3.
x1 + 5x2 ≥ 15
La cantidad de unidades de proteı́nas obtenidas en el pan y carne no puede
ser menor a 15 unidades: 5x1 + x2 ≥ 15

La cantidad de unidades de calorı́as obtenidas en el pan y en la carne no
puede ser menor a 15 unidades y además debe ubicarse en el primer cua-
drante (x1 ≥ 0 y x2 ≥ 0).
Se dibuja las rectas:
l1 : x1 + 5x2 = 15; l2 : 5x1 + x2 = 15.
La zona de soluciones permitidas esta en y sobre de las rectas l1 y l2 ; por lo
tanto, es la zona convexa infinita limitada por los segmentos, y correspon-
dientes a los fragmentos de el eje Ox1 y Ox2 .

Teniendo en consideración la función objetivo: z = x1 +3x2 y tomando el va-
lor de z = 0 obtenemos la recta: p : x1 + 3x2 = 0; la cual, en el caso particular
pasa por los puntos (-3.1) y el punto (0,0).
Las rectas correspondientes a la función objetivo:
z = x1 + 3x2
para diferentes valores de z son paralelas a la recta p(x1 + 3x2 = 0). Cuan
menor es el valor de z, cuan más abajo y más a la izquierda está la recta co-
rrespondiente. Por lo tanto, el costo mı́nimo corresponde la recta paralela
a la recta p que pasa por la zona de soluciones permitidas y localizadas lo
más abajo posible. De la figura 2.3 se aprecia que el punto correspondiente
al mı́nimo costo es el punto B (5/2, 5/2). Lo que significa, que la dieta per-
mitida más barata es de dos y media unidades de peso de pan y dos y media
unidades de peso de carne.
3. Un taller fabrica dos clases de maletas de piel. En cada maleta A de alta ca-
lidad, gana 40 dolares, y en cada maleta B de baja calidad, gana 30 dolares.
El taller puede producir diariamente 500 maletas de tipo B o 250 maletas
de tipo A. Sólo se dispone de piel para 400 maletas diarios A y B combi-
nados y de 200 sierres elegantes para el maletas A y de 350 sierres diarias
para el cinturón B ¿Qué producción maximiza la ganancia?
Formulación del problema:



 A B = P roductos
x x2 = N umero producido


 1
 40

30 = U tilidad



 Recursos Consumo Disponibilidad



 P iel 1 1 400
Sieres A 1 0 200



Sieres B 0 0 350





 Capasidad 2 1 500
Función objetivo: Maximizar la utilidad total.
Z(MAX) = 40X1 + 30X2
Restricciones:



 x1 + x2 ≤ 400 Consumo de piel



 x1 ≤ 200 Consumo de sierres A
x2 ≤ 350 Consumo de sierres B



2x1 + x2 ≤ 500 P roductividad





 x1 , x2 ≥ 0 N o − negatividad
Se Gráfica Las Ecuaciones:

1) Se gráfica todas las ecuaciones,
2) Se define el campo para el cual cumple la desigualdad,
3) Se obtiene los puntos comunes entre las rectas; para lo cual, se resuelve
el sistema, que se forma de las rectas que se cruzan ( punto de intersec-

ción),
4) Se calcula la función objetivo con cada uno de estos puntos,
5) Se escoje el valor máximo, si se desea maximizar, o el valor mı́nimo, se
se desea minimizar, según sea el caso.

Se ha determinado la región básica factible, que debe ser positiva y satisfa-
ga las condiciones o restricciones del problema. Cualquier punto por fuera
de esta región no satisface los requerimientos técnicos y nos interpreta, que
estamos utilizando recursos por encima de los existentes.
Conocida la región básica factible, se procede a ensayar puntos combinados
que nos den respuesta; es decir, que cumplan con las restricciones del pro-
blema y con el propósito de la función objetivo (maximizar) para lo cual, se
resuelve las ecuaciones.
Resolución de las sistemas:
Se resuelve los sistemas, para obtener los puntos de intersección:
C(Ecuaciones 1 y 3)
(
x1 + x2 = 400
−→ C(50,350)
x2 = 350
D(Ecuaciones 1 y 4):
(
x1 + x2 = 400
−→ D(100,300)
2x1 + x2 = 500
E(Ecuaciones 2 y 4):
(
x1 = 200
−→ E(200,100)
2x1 + x2 = 500
Los puntos C, D y E se reemplazan en la función objetivo:
p(X1 , X2 ) : Z(MAX) = 40X1 + 30X2 ,
para determinar la solución óptima:
1) Punto C(50, 350) = 40(50) + 30(350) = 12.500,

2) Punto D(100,300) = 40(100) + 30(300) = 13.000. Punto Optimo,
3) E(200,100) = 40(200) + 30(100) = 11.000.
La mejor alternativa se presenta cuando x1 = 100 y x2 = 300; es decir, cuan-
do se fabrique 100 maletas de clase A y 300 maletas de la clase B. En efecto,
si reemplazamos en la función objetivo, tenemos.
Z(MAX) = 40x1 + 30x2
Z(MAX) = 40(100) + 30(300)
Z(MAX) = 4.000 + 9.000
Z = 13.000 Máxima utilidad.
Siempre el punto de maximización estará en uno de los vértices del área
factible de solución. Que es un conjunto convexo de puntos, hacia adentro
y habrá una curva de isobeneficio, que sera tangente al punto encontrado y
ésta es la función objetivo.
4. La Compañı́a ECASA está produciendo dos clases de refrigeradoras, tipo A
y tipo B. De estudios hechos sobre las necesidades del paı́s, se estima que
en el próximo año los requerimientos de estos dos tipos de refrigeradoras
serán:
1) Un máximo de 80.000 unidades de A,
2) Un máximo de 120.000 unidades de B.
La utilidad que, cada refrigeradora le deja a la empresa es: 150 dólares
por unidad de A y 300 dólares por unidad de B. Cuantas unidades de A
y Cuantas de B deben producirse para que ECASA alcance la máxima utili-
dad anual, si solo se dispone de:
1) 10.000 unidades de hierro,
2) 16.000 unidades de fibra de vidrio,
3) 14.000 unidades de aluminio.
Considerando que la composición de estas refrigeradoras debe ser la si-
guiente para A:
1) 10 por ciento de hierro,
2) 12 por ciento de fibra de vidrio,
3) 7 por ciento de aluminio.
para B:
1) 5 por ciento de hierro,
2) 10 por ciento de fibra de vidrio,
3) 10 por ciento de aluminio.
Formulación del Problema



x x2 = N umero producido


 1
 150

300 = U tilidad
Recursos Consumo Disponibilidad




Hierro 0.10 0.05 10000







 Fibra de vidrio 0.12 0.10 16000



 Aluminio 0.07 0.10 14.500
DemandaA 1 0 80.000





 DemandaB 0 1 120.000
Función Objetivo:
Z(MAX) = 150X1 + 300X2
Restricciones
0.10x1 + 0.05x2 ≤ 10.000 Consumo de hierro




0.12x1 + 0.10x2 ≤ 16.000 Consumo de Fibra de vidrio





 0.07x1 + 0.10x2 ≤ 14.000 Consumo de aluminio





 x2 ≤ 120.000 Demanda B
x1 ≤ 80.000 Demanda A





Se gráfica las ecuaciones ( abstracción):
0.10x1 + 0.05x2 = 10.000




0.12x1 + 0.10x2 = 16.000





 0.07x1 + 0.10x2 = 14.000





 x2 = 120.000
x1 = 80.000





 x1 , x2 = 0
Solución de las sistemas:
C(Ecuaciones 3 y 5)
(
0.07x1 + 0.1x2 = 14000
−→ C(28.571,120.000)
x2 = 120000
D(Ecuaciones 2 y 3)
(
0.12x1 + 0.1x2 = 16.000
−→ D(40,112.000)
0.07x1 + 0.10x2 = 14.000
(
0.10x1 + 0.05x2 = 10.000
−→ E(50.000,100.000)
0.12x1 + 0.10x2 = 16.000
F(Ecuaciones 1 y 4):
(
0.10x1 + 0.05x2 = 10.000
−→ F80.000,40.000)
x1 = 80.000
Figura 2.5 Ejercicio 4 Cantidades en Miles

P (X1 , X2 ) −→ Z(MAX) = 150X1 + 300X2
C(28572, 43; 120.000) −→ Z = 150(28571)+300(120, 000) = 40.285.650P untooptimo.
D(40.000, 112000) −→ Z = 150(40.000) + 300(112.000) = 39.600.000
E(50.000, 100.000) −→ Z = 150(50.000) + 300(100.000) = 30.000.000
F(80.000, 40.000) −→ Z = 150(80.000) + 300(40.000) = 24.000.000
La solución óptima será, cuando se produzca 28.571,43 unidades de A y
120.000 unidades de B.
P(28.571; 120.000)
X1 = 28.571 Refrigeradoras tipo A;
X2 = 120.000 Refrigeradoras tipo B.
Z(MÁX) = 40.285.650 dólares
5. Una fabrica produce dos tipos de muebles A y B, dispone del taller de tor-
neado, el mismo que puede procesar 25 unidades/hora de A y 40 unida-
des/hora de B, siendo el costo por hora de 20 dolares, el taller de rectifi-
cación, puede procesar 28 un/h de A y 35 un/h de B y su costo es de 14
dolares. El taller de pintura puede atender a 35 un/h de A y 25 un/h de B
y su costo es de 17,5 dolares. El precio de venta de A, es de 5 dolares y el
de B, 4 dolares. ¿Cuantas unidades de A y B debe producir para obtener la
máxima ganancia?



 A B −→ tipo de muebles
x1 x2 −→ N umero producido



 4

3 −→ U tilidad



 T aller Consumo Capacidad Costo



 A B
T orneado 1 1 1 20



Rectif icacion 1 0 1 14





 P intura 0 0 1 17.5
Cuando no hay información sobre la capacidad de cada departamento ( ta-
ller), se habla de capacidad representada por 1 (100 por ciento), y cada ta-
ller ocupa tanto en A como en B, un porcentaje de esa capacidad en forma

de fracción.
Para encontrar la utilidad, se halla el costo total de cada producto:
Costo:



 Costo A Costo unidad



 T orneado 20 ÷ 25 0.8
Rectif icacion 14 ÷ 28 0.5



P intura 17.5 ÷ 35 0.5





 Costo total 1.8



 Costo B Costo unidad



 T orneado 20 ÷ 40 0.5
Rectif icacion 14 ÷ 35 0.4



P intura 17.5 ÷ 25 0.7





 Costo total 1.6
Utilidad:
Se define, como la diferencia entre el precio del producto menos el costo
por unidad del mismo.
Unidad de A = 5 - 1.8 = 3.2
Unidad de B = 4 - 1.6 = 2.4
Función objetivo:
Z(MAX) = 3, 2X1 + 2, 4X2
Restricciones:
1 1

x1 + x2 ≤ 1






 25 40




 1 1
x1 + x2 ≤ 1





 28 35


1 1




 x1 + x2 ≤ 1
35 25



x ,x ≥ 0 N o − negatividad


1 2
Abstracción:
Trasformamos las desigualdades fraccionarias en igualdades enteras; para
lo
 cual, buscamos el mı́nimo común denominador.
8x + 5x2 = 200
 1




 5x1 + 4x2 = 140
 5x1 + 7x2 = 175

Se Considera el punto C(Ecuaciones 1 y 3):

(
8x1 + 5x2 = 200
−→ C(16.93;12.91) = C(17;13)
5x1 + 7x2 = 175
Z(MÁX) = 3,2(17) + 2,4(13) = 85,60

Solución óptima:
Z(MÁX) = 85,60
X1 = 17 Muebles tipo A,
X2 = 13 Muebles tipo B.
2.8.3. Ejercicios de Minimización Método Gráfico
De igual manera, que en los casos, de maximización, por el método gráfico,

se pueden resolver problemas de minimización, se utilizara la expresión ≥
(mayor o igual) para las desigualdades.
En estos casos el problema se ajusta a encontrar un conjunto de puntos con-
vexos, hacia fuera, e identificar un punto extremo (vértice), que minimice
la función objetivo.
Una vez determinada la región básica factible, área positiva y que satisface,
las limitaciones o restricciones del problema. Un punto por debajo de esta
región, no satisface los requerimientos técnicos y nos interpretará que no
cumplimos con las necesidades mı́nimas del ejercicio.
6. Una compañı́a quı́mica, esta diseñando una planta para producir dos tipos
de minerales M y N. La planta debe ser capaz de producir al menos 100
unidades de M y 420 unidades de N cada dı́a. Existen dos posibles diseños
para las cámaras principales de reacción que vienen incluidas en la planta.
Cada cámara de tipo A cuesta 600 mil dólares y es capaz de producir 10
unidades de M y 20 unidades de N por dı́a; el tipo B es un diseño mas
económico, cuesta 300 mil dólares y es capaz de producir 4 unidades de M
y 30 unidades de N por dı́a. A causa de los costos de operación, es necesario
tener al menos 4 cámaras de cada tipo en la planta. ¿Cuantas cámaras de
cada tipo deben ser incluidas para minimizar el costo de construcción y
satisfacer el programa de producción requerido?
Función objetivo:
x1 = cámaras tipo A
x2 = cámaras tipo B
Z(MIN ) = 600x1 + 300x2
Restricciones:



 10x1 + 4x2 ≥ 100 P roduccion mineral M



 20x1 + 30x2 ≥ 420 P roduccion mineral N
x1 ≥ 4 Camara tipo A



x2 ≥ 4 Camara tipo B





Abstracci
 ón:


 10x 1 4x2
+ = 100
 20x1 + 30x2 = 420





 x1 = 4
x2 = 4


C(Ecuaciones 1 y 3):
(
10x1 + 4x2 = 100
−→ C(4;15)
x1 = 4
(
10x1 + 4x2 = 100
−→ D(6;10)
20x1 + 30x2 = 420
(
20x1 + 30x2 = 420
−→ E(15;4)
10x2 = 420

P (x1 , x2 )Z = 600x1 + 300x2
C(4, 15) −→ Z = 600(4) + 300(15) = 6.900
D(6, 10) −→ Z = 600(6) + 300(10) = 6.600 P unto optimo
E(15, 4) −→ Z = 600(15) + 300(4) = 10.200
Solución optima:
Z(MÍN) = 6.600 Mil unidades monetarias
x1 = 6 Cámaras tipo A,
x2 = 10 Cámaras tipo B.
7. Productora Cia. Ltda., fabrica 2 productos A y B a partir de tres componen-
tes C1 , C2 y C3 , cuyo costo unitario es de 3 dólares por tonelada, el producto
A y 5 dólares por tonelada el producto B. El producto A contiene un 10 por
ciento de C1 , un 16 por ciento de C2 y un 12 por ciento de C3 ; mientras

que el producto B contiene un 40 por ciento de C1 y un 10 por ciento de
C3 . Para satisfacer sus contratos requiere de al menos 600 toneladas de C1 ,
400 toneladas de C2 y 450 toneladas de C3 . ¿Que cantidades de los A y B se
debe elaborar para minimizar el costo?



 A B −→ P roductos
x1 x2 −→ Cantidades



 3

5 −→ U tilidad



 Componentes Cantidades T oneladas



 A B
C1 0.10 0.40 600



C 0.16 0 400




 2
 C
3 0.12 0.10 450
Función Objetivo:
Z(MIN ) = 3X1 + 5X2
Z(MÍN) = Minimizar los costos de los insumos



 0.10x1 + 0.4x2 ≥ 600
 0.16x1 + 0x2 ≥ 400





 0.12x1 + 0.1x2 ≥ 450
x1 , x2 ≥ 0 N o − negatividad


Abstracción:

 0.10x1 + 0.4x2 = 600


0.16x1 = 400



 0.12x1 + 0.10x2 = 450

(
0.12x1 + 0.10x2 = 450
−→ C(2500;1500)
x1 = 2500
(
0.10x1 + 0.40x2 = 600
−→ D(3157.89;710.53)
0.12x1 + 0.10x1 = 450
P (x1 , x2 ) −→ Z(MIN ) = 3x1 + 5x2
C(2.500, 1.500) −→ Z = 3(2.500) + 5(1.500) = 15.000
D(3157, 89; 710, 53) −→ Z = 3(3157, 89)+5(710, 53) = 13026, 32 P unto Optimo
Solución Óptima:
Z(MÍN) = 13.026,32 dolares,
x1 = 3157.89 Toneladas del producto A,
x2 = 710.53 Toneladas del producto B.
Se logrará un costo mı́nimo de (13.026,32 dólares) cuando se produzca
3157,89 toneladas del producto A y 710,53 toneladas del producto B.
2.8.4. Ejercicios Combinados Método Gráfico

8. La compañı́a Metales Ltda. fabrica dos metales A y B, a través de dos mi-
nerales: cobre y Zinc. El metal A contiene 90 por ciento de cobre y 10 por
ciento de zinc y al venderlo deja una ganancia de 5 dolares por kilo. El metal
B contiene 50 por ciento de cobre y 50 por ciento de zinc y da una ganancia
de 7 dolares por kilo. Cada semana debe producir 150 kilos del metal A
y 100 kilos del metal B, por lo menos. Su proveedor le puede suministrar
cada semana 270 kilos de cobre y 100 de zinc. Calcular la cantidad de kilos
de A y B que den la máxima ganancia ?






 5

7 −→ U tilidad
Función Objetivo:
Z(MIN ) = 5X1 + 7X2
Restricciones:



 0.90x1 + 0.5x2 ≤ 270 Consumo de Cobre



 0.10x1 + 0.5x2 ≤ 100 Consumo de Zinc
x1 ≥ 150 Demanda de A



x ≥ 100 Demanda de B




 2
 x ,x ≥ 0
1 2 N o − negatividad
Abstracci
 ón:


 0.90x1 + 0.5x2 = 270
 0.10x1 + 0.5x2 = 100





 x1 = 150
x2 = 100


(
0.10x1 + 0.50x2 = 100
−→ C(150;170)
0.10x1 = 150
(
0.90x1 + 0.50x2 = 270
−→ D(212.5;157.5)
0.10x1 + 0.50x1 = 100
(
x1 = 150
−→ E(150;100)
x2 = 100
(
0.90x1 + 0.50x2 = 270
−→ F(244.44;100)
x2 = 100
P (x1 , x2 ) −→ Z(MAX) = 5x1 + 7x2
C(150, 170) −→ Z = 5(150) + 7(170) = 1.940
D(212, 5; 157, 5) −→ Z = 5(212, 5) + 7(157, 5) = 2.165 P unto Optimo
E(150, 100) −→ Z = 5(150) + 7(100) = 1.450
F(244, 44, 100) −→ Z = 5(244, 4) + 7(100) = 1.922, 2
9. Un agricultor quiere cultivar maı́z y trigo en un terreno de 200 hectáreas.

Sabe que, una hectárea puede rendir 4 quintales de maı́z o 2 de trigo. Cada
hectárea requiere un capital de 6 dólares, si se cultiva con maı́z y de 2 dóla-
res si se cultiva con trigo. El capital disponible es al menos de 600 d6lares.
Las necesidades de agua de riego son de 50 m2 por hectárea de maı́z y 50 m2
por hectárea de trigo, en octubre. De 200 m2 por hectárea de maı́z y 100 m2
por hectárea de trigo, en el mes de noviembre. La disponibilidad de agua en
octubre es al menos de 6.250 m3 y en noviembre, cuando mucho de 25.000
m3 . Si los precios de venta del maı́z y el trigo son 6 dólares y 10 dólares por
quintal métrico, respectivamente. Determinar la cantidad de maı́z y trigo
que debe producirse para obtener el beneficio máximo?.
Función Objetivo:
Z(MAX) = 6x1 + 10x2
Restricciones:
1 1

x1 + x2 ≥ 200 Hectarias de Maiz y trigo






 4 2




 6 2
x1 + x2 ≤ 600 Capital para Maiz y trigo






 4 2


50 50


 x 1 + x ≥ 6.250 Agua octubre para maiz y trigo
2 2

4








 200 100
x1 + x ≤ 25.000 Agua noviembre para maiz y trigo


2 2




 4



x ,x ≥ 0 N o − negatividad


1 2
Abstracci
 ón:


 x1 + 2x 2 = 400
 3x1 + 2x2 = 1.200





 x1 + 2x2 = 500
x1 + x2 = 500


(
3x1 + 2x2 = 1.200
−→ C(200;300)
x1 + x2 = 500
(
3x1 + 2x2 = 1.200
−→ D(350;75)
x1 + 2x2 = 500
(
x1 + 2x2 = 500
−→ F(500;0)
x1 + x2 = 500

P (x1 , x2 ) −→ Z(MAX) = 6x1 + 10x2
C(200, 300) −→ Z = 6(200) + 10(300) = 4.200 P unto Optimo
D(350, 75) −→ Z = 6(350) + 10(75) = 2.850
E(500, 0) −→ Z = 6(500) + 10(0) = 3.000
Z(MÁX)= 4.200 dólares,
x1 = 200 Unidades de maı́z,
x2 = 300 Unidades de trigo.
10. Un taller de calzado confecciona zapatos para hombre y mujer. El producir
un par de zapatos de hombre, requiere el doble de tiempo que para produ-
cir un par de zapatos de mujer. El taller esta en capacidad de producir al
menos 14 pares de zapatos. En el mercado solo se puede conseguir diaria-
mente la cantidad de cuero y suela para 12 pares de zapatos. Los zapatos
de mujer requieren de una fibra, la cual solo existe para 7 pares de zapatos
diariamente. Para la confección de los zapatos de hombre, se puede conse-
guir exactamente 6 pares de tacos de caucho diariamente. ¿Que cantidad
de zapatos de hombre y mujer debe producir diariamente dicho taller pa-
ra maximizar el beneficio, si se sabe, que al vender un par de zapatos de
hombre se obtiene 25 dólares de utilidad y 30 dólares al vender un par de
zapatos de mujer?

 Hombre
 Mujer −→ Zapatos




25 30 −→ U tilidad


Función Objetivo:
Z(MAX) = 25x1 + 30x2
Restricciones:



 2x1 + x2 ≥ 14 Capacidad
 x + x ≤ 12 Materiales
 1 2




 x2 ≤ 7 Fibra
x = 6 T acos




 1
Abstracci
 ón:


 2x1 + x2 = 14
 x1 + x2 = 12





 x2 = 7
x1 = 6


(
x1 + 2x2 = 12
−→ C(6;6)
x1 = 6
(
2x1 + x2 = 14
−→ D(6;2)
x1 = 6
Como la restricción x1 = 6, lleva el signo de igualdad, en consecuencia la re-
gión básica factible, esta formada por la recta comprendida entre los puntos
C y D.
P (x1 , x2 ) −→ Z(MAX) = 25x1 + 30x2
C(6, 6) −→ Z = 25(6) + 30(6) = 330P untooptimo
D(6, 2) −→ Z = 25(6) + 30(2) = 210
Z(MÁX) = 330
x1 = 6 zapatos de hombre,
x2 = 6 zapatos de mujer.

11. El Ministerio de Obras Publicas ha decidido añadir exactamente 200 kilóme-
tros de carretera y exactamente 100 de autopista, en el sector de la costa. El
precio estándar para construcción de carretera es de un millón de d6lares
por Km. y de 5 millones por Km. de autopista. Solo dos contratistas, la com-
pañı́a Prefabricados y la compañı́a Erazo Ltda. Pueden realizar este tipo de
construcciones. Ası́ que, los 300 Km. de camino deben ser construidos por
estas compañı́as. Sin embargo, la compañı́a Prefabricados puede construir
a lo mas 200 Km. de carretera y autopista y la segunda compañı́a puede
construir a lo mas 150 Km. Por razones polı́ticas, a cada compañı́a debe ad-
judicársela un contrato de al menos 250 millones (antes del descuento). La
primera compañı́a ofrece un descuento de 1.000 dólares por Km. de carre-
tera y 6.000 dólares por Km. de autopista, la segunda compañı́a ofrece un
descuento de 2.000 dólares por Km. de carretera y 5.000 dólares por Km.
de autopista.
1) Six1 y x2 representan el numero de Km. de carretera y autopista, res-
pectivamente adjudicados a la compañı́a Prefabricados, demuestre que
el descuento total D recibido de ambas compañı́as (en miles) este dado
por: D = 900 − x1 + x2
Solución:
D = 1 · x1 + 6x2 + 2(200 − x1 + 5(100 − x2 )
D = 1 · x1 + 6x2 + 400 − 2x1 + 500 − 5x2
D = 900 − x1 + x2
2) El Ministerio de Obras y Comunicaciones desea maximizar el descuen-
to total D, resuelva el problema mediante el método gráfico.
Función objetivo:
Z(MAX) = D = 900 − x1 + x2
Restricciones:
(200 − x1 ) + (100 − x2 ) ≤ 150

300 − x1 − x2 ≤ 150
−x1 − x2 ≤ −150 −→ x1 + x2 ≥ 150
1 · (200 − x1 ) + 5(100 − x2 ) ≥ −450 −→ x1 + x2 ≤ 450



 x1 + x2 ≤ 200
 x + x2 ≥ 150
 1




 x 1 + 5x2 ≥ 250
x1 + 5x2 ≤ 450






1x ,x ≥ 0
2 N o − negatividad
Abstracci
 ón:


 x 1 + x2 = 200
 x1 + x2 = 150


 x + 5x = 250
1 2



 x + 5x =

450
1 2
C(Ecuaciones
( 2 y 4):
x1 + x2 = 150
−→ C(75;75)
x1 + 5x2 = 450
D(Ecuaciones
( 1 y 4):
x1 + x2 = 200
−→ D(137.5;62.5)
x1 + 5x2 = 250
E(Ecuaciones
( 2 y 3):
x1 + x2 = 150
−→ E(125;25)
x1 + 5x2 = 250
F(Ecuaciones
( 1 y 3):
x1 + x2 = 200
−→ F(187.5;12.5)
x1 + 5x2 = 450
P (x1 , x2 ) −→ Z(MAX) = D = 900 − x1 + x2
C(75, 75) −→ D = 900 − 75 + 75 = 900 Punto óptimo.
D(137.5, 62.5) −→ D = 900 − 137.5 + 62.5 = 825
E(125, 25) −→ D = 900 − 125 + 25 = 800
F(187.5, 12.5) −→ D = 900 − 187.5 + 12.5 = 725
Z(MÁX) = Descuento total = 900 MIL DOLARES
x1 = 75 Kilómetros de carretera
x2 = 75 Kilómetro de autopista
2.9. Análisis de Sensibilidad de las Restricciones
La búsqueda de la solución de un modelo de decisión, es solo el primer

paso del análisis. También es importante que, el gerente comprenda cuan
sensible es la solución a los cambios en las suposiciones y a los factores
exógenos. Esto también, se aplica a los modelos de programación lineal, y
una de las caracterı́sticas agradables de los modelos de programación lineal
es que, gran parte de este análisis de sensibilidad proviene directamente de
la solución del problema. Primero se vera estos conceptos en forma gráfica
y después por medio de la interpretación de las salidas de los programas
de computación que se usan para resolver problemas de programación li-
neal. Para entender mejor el análisis de sensibilidad, se partirá del siguiente
ejemplo:
Una empresa fabrica dos productos A y B. Cada uno requiere tiempo en
dos máquinas. La primera maquina tiene 24 horas disponibles y la segunda
tiene 16. Cada unidad del producto A requiere 2 horas en ambas maquina
y cada unidad del producto B necesita 3 horas en la primera máquina y una
hora en la segunda. Los beneficios son de seis dólares por unidad de A y de
7 dólares por unidad de B, y la empresa puede vender todas las unidades
que fabrique de ambos productos. El objetivo es maximizar el beneficio.
Función objetivo:
Z(MAX) = 6x1 + 7x2
Restricciones:

2x + 3x2 ≤ 24
 1




 2x1 + x2 ≤ 16
x1 , x2 ≥ 0


Abstracción:
(
2x1 + 3x2 = 24
2x1 + x2 = 16
El punto C es el óptimo, para encontrar sus coordenadas resolvemos las
ecuaciones:
(
2x1 + 3x2 = 24
−→ C(6;4)
2x1 + x2 = 16
Z(MÁX) = 6(6) + 7(4),
Z(MÁX) = 64
x1 = 6 unidades del producto A,
x2 = 4 unidades del producto B.
Para realizar su sensibilidad, primero se obtiene el gráfico que representa
el ejercicio; es decir:
Figura 2.13 Análisis de Sensibilidad
Se Amplia el problema que, se ha usado como ejemplo. Suponga que el

Lı́mite del mercado es la venta de seis unidades del producto B. Ahora la
formulación es:
Z(MAX) = 6x1 + 7x2
Restricciones:



 2x1 + 3x2 ≤ 24
 2x1 + x2 ≤ 16





 x2 ≤ 6
x1 , x2 ≥ 0


El nuevo gráfico es:
La solución es la misma:
Z(MÁX.) = 64
x1 = 6 unidades del producto A,
x2 = 4 unidades del producto B
Precios duales:
Considere la ecuación de restricción para la maquina 1, que especifica un

máximo de 24 horas disponibles. En términos de la programación lineal,
este lı́mite de la capacidad con frecuencia se denomina valor del término
independiente o segundo miembro de la restricción (o sencillamente bj).
Suponga que puede agregar una hora, para que, la restricción sea:
2x1 + 3x2 ≤ 25
Su gráfico seria:

La nueva solución optima se traslada al punto C ,, , con x1 = 5.75 y x2 = 4.5.
Como la solución anterior requerı́a x1 = 6 y x2 = 4, una hora adicional dis-
ponible en la maquina 1 da como resultado una reducción de 0.25 unidades
de producto A y un aumento de 0.5 unidades en el producto B.. El cambio
neto en la función objetivo es, entonces:
Z(MÁX.) = 6(5.75) + 7(4.5) = 66
Incremento neto = 6(-0.25) + 7(0.5) = 2.
Lo cual, representa un incremento de dos dólares en el beneficio de A, esto
se le conoce, como precio dual, valor marginal o precio sombra y es el au-
mento en los beneficios por cambio unitario en el término independiente
de una restricción.
Observe que, el precio dual se mantiene para una reducción en el valor del
término independiente. Por ejemplo, si sólo hubiera 23 horas disponibles
en la maquina 1, el punto C”serı́a la solución óptima (x1 = 6.25 y x2 = 3.5),
Gráfico con reducción de una hora en el termino independiente (23)
Z(MÁX.) = 6(6.25) + 7(3.5) = 62

Reducción neta = 6(0.25) + 7(-0.5) = -2
con una reducción de dos dólares en el beneficio. Entonces, el precio dual
o valor marginal representa el aumento en el beneficio, cuando una restric-
ción, se amplio en una unidad y una reducción en el beneficio cuando la
restricción se estrecha en una unidad.
Se puede aplicar el mismo análisis a la restricción de la máquina 2. Cuando
la segunda restricción se amplia agregando una hora, se convierte en:
2x1 + x2 ≤ 17
y el punto óptimo es C , con x1 = 6.75 y x2 = 3.5. Esto representa un aumento
de 0.75 en el número de unidades del producto A y una reducción de 0.5
unidades del producto B. El efecto neto en el beneficio:
Z(MÁX.) = 6(6.75) + 7(3.5) = 65
Incremento neto = 6(0.75) + 7(-0.5) = 1
Una reducción similar en el término independiente (es decir, en el numero
de horas disponibles) de la restricción 2 da como resultado una solución de
x1 = 5.25 y x2 = 4.5, y una reducción de un dólar en el beneficio. Por lo
tanto, el precio dual asociado a la restricción de la maquina 2 es un dólar.
Z(MÁX) = 6(5.25) + 7(4.5) = 63
Reducción neta= 6(-0.75) + 7(0.5) = -1
Ahora consideremos la tercera restricción:

x2 ≤ 6
El aumento de una unidad en este limite, a x2 ≤ 7, y la reducción de una
unidad, a x2 ≤ 5, se muestran gráficamente en el figura 2.18. Se observa que,
ninguno de los cambios afecta a la solución, ya que la restricción x2 ≤ 6 no
es efectiva. La solución óptima requerı́a sólo cuatro unidades del producto
B, por lo cual no importa el lı́mite de seis unidades que impone el mercado.
Por lo tanto, el precio dual es cero. De hecho, el precio dual de cualquier
restricción no efectiva siempre es cero.

Costos Reducidos:
Precios duales, para las restricciones de no negatividad. También, es posi-
ble determinar los valores marginales asociados a introducir al menos una
unidad de una variable de decisión en la solución. Recuerde que las res-
tricciones de no negatividad son x1 ≥ 0 y x2 ≥ 0. El incluir una unidad en
la solución, implica modificar una restricción de no negatividad a x1 ≥ 1 o
x2 ≥ 1. Los valores marginales de hacer esto, se denominan costos reduci-
dos. Se considera de nuevo el problema básico que se presenta en el figura
2.18. La solución optima requiere x1 = 6 y x2 = 4. Los dos son valores po-
sitivos y, por lo tanto, ninguna de las restricciones de no negatividad es
efectiva. Entonces, el valor marginal (es decir, el costo reducido) asociado a
su modificación es cero, al igual que para las demás restricciones no efecti-
vas.
Suponga ahora que, la función objetivo es Z(MAX) = 10x1 + 8x2 , como se
muestra en la figura 2.19 El punto extremo E, es la solución optima, con x1
= 8 y x2 = 0 y beneficio es:
Z(MÁX) = 10(8) + 3(0) = 80
Observe que x2 = 0, por lo cual, la restricción de no negatividad x2 ≥ 0 es
efectiva. Suponga ahora que, debe producirse por lo menos una unidad del
producto B, debido a un compromiso con un cliente, por lo cual, se cam-
bia la restricción de no negatividad a x2 ≥ 1. Con esto cambia la solución
optima de la figura 2.20, a E , .


(
2x1 + x2 = 16
−→ E , (7.5;1)
x2 = 1
Z(MÁX.) = 10(7.5)+ 3(1) = 78
Una reducción de dos d6lares con respecto al nivel anterior. En este caso el
costo reducido o valor marginal asociado con la restricción de no negativi-
dad de x2 es de dos dólares, que representa el costo de conservar al cliente.
Utilización de Precios Duales:
Los precios duales tienen muchas aplicaciones empresariales. Aunque, en
el mundo existen restricciones y limitaciones, la mayorı́a de ellas no son
absolutas. Por ejemplo, el gerente que formula el problema de programa-
ción lineal determine las horas disponibles en cada una de las maquinas
en circunstancias normales, pero podrı́a obtener horas adicionales, con tra-
bajo en tiempo extra, comprando equipo adicional o re-programando otras
actividades. Los precios duales indican si vale la pena hacerlo y con que
margen, y ası́ ayudan a identificar los cuellos de botella clave. En nuestro
ejemplo, el gerente sabe que vale el doble (dos dólares en lugar de uno) ob-
tener horas adicionales para la maquina 1 que para la maquina 2. Un pre-
cio dual representa el valor marginal asociado con un cambio unitario en el
término independiente de una restricción. Un costo reducido representa el
valor marginal de introducir en la solución una unidad de una variable de
decisión. Los costos reducidos se pueden considerar, como precios duales
de las restricciones de no-negatividad. Si una restricción no es efectiva, su
precio dual es cero.
Intervalos de Variación del Termino Independiente
Los precios duales proporcionan el valor marginal de la realización de un
cambio pequeño en el lı́mite de una restricción (es decir, el valor del ter-
mino independiente), pero seria un error, creer que estos valores serı́an los
mismos si la capacidad se cambiara en forma arbitrara. Se llega a un punto
en el cual la capacidad adicional es excesiva y no tiene valor; por lo tanto,
hay Lı́mites con respecto al intervalo de capacidad en el cual se mantienen
los valores marginales. Considere de nuevo la restricción de 24 horas dis-
ponibles para la maquina 1.
En la figura 2.19, muestra lo que sucede al añadir horas. Recuerde que, an-

teriormente se mencionó que, cada hora adicional daba como resultado una
reducción de 0.25 unidades del producto A y un aumento de 0.5 unidades
del producto B. El precio dual asociado con cada hora de variación era de
dos dólares. Con 28 horas disponibles, la solución óptima pasa de C a F.
En F, la solución óptima es x1 = 5 y x2 = 6. Las horas adicionales en la
máquina 1 no tendrán efecto más allá de este punto, ya que la restricción
x2 = 6 ahora es efectiva. Con las demás restricciones del problema, la canti-
dad de 28 horas en la maquina 1, es la máxima, que puede usarse de manera
rentable. Entonces, este incrementó de cuatro horas, para llegar a 28 horas
disponibles, representa el lı́mite superior del intervalo en el cual es valido
el precio dual de dos dólares.
De manera análoga, al reducir las horas disponibles de la maquina 1, la

solución óptima se desplaza hasta del punto F* de la figura 2.20 , donde
se usan 16 horas del tiempo de la maquina. Al reducir las horas, disminu-
ye el beneficio por aumentar el numero de unidades del producto A y por
reducir el número de unidades del producto B, pero al llegar al punto F*
no se producen unidades de B, por lo cual ya no es posible este proceso de
sustitución. Entonces, el limite inferior del intervalo del precio dual de dos
dólares para el tiempo de la maquina 1 es una reducción de ocho horas (de
24 a 16).
Se puede efectuar un análisis similar para la maquina 2; figura 2.21, pre-
senta los lı́mites. Al añadir horas a las 16 disponibles, la solución óptima se
desplaza de C a F. En este punto, se han agregado ocho horas (de 16 a 24) y
las horas adicionales ya no añadirán valor. Si se reducen cuatro horas dis-
ponibles (de 16 a 12), la solución optima pasa de C a F*. Entonces, el precio
dual de un dólar se mantiene en el intervalo de 12 a 24 horas disponibles
en la maquina 2.
La restricción de la demanda del mercado para el producto B, x1 ≤ 6, es un
poco diferente. Recuerde que esta restricción no es efectiva y tiene precio
dual de cero.

La solución óptima, requiere solo cuatro unidades del producto B, por lo

cual se puede aumentar indefinidamente el limite de la demanda sin que
tenga efecto; no importarı́a si la restricción fuera x2 ≤ 10 o x2 ≤ 100. Por
otra parte, si el lı́mite de la demanda fuera cuatro unidades, de manera que
la restricción fuera x1 ≤ 4, seria efectiva. Cualquier reducción por debajo de
este lı́mite de cuatro unidades reducirı́a el beneficio. Entonces, el intervalo
del Lı́mite de la demanda (es decir, el termino independiente) de la tercera
restricción, es de cuatro unidades al infinito y dentro de este intervalo se
mantiene el precio dual de cero.
El análisis de sensibilidad ha producido los siguientes intervalos, para los
valores del término independiente de las tres restricciones.
Los precios duales expresan el valor marginal del cambio del término inde-
pendiente de una restricción, pero estos valores solo se mantienen en ciertos
intervalos:
Análisis de Sensibilidad
Restricción
Limite Actual Precio Dual Aumento Permitido Reducción Permitida
Horas de la Maquina 1 24 2 4 8
Horas de la Maquina 2 16 1 8 4
Demanda Producto B 6 0 infinito 2
Cuadro 2.1: Análisis de Sensibilidad
2.10. Análisis de Sensibilidad: Evaluación de Nue-

vos Productos.
Los precios duales pueden servir para identificar cuellos de botella o res-
tricciones costosas, que se pueden modificar de manera rentable. Los pre-
cios duales, también pueden ser útiles para evaluar productos nuevos. Con-
sidere una ampliación de nuestro ejemplo. El departamento de investiga-
ción y desarrollo de la compañı́a a creado un producto, C. Es muy rentable
(10 dólares por unidad), pero requiere cuatro horas en la maquina 1 y tres
horas en la máquina 2. ¿Deben producirse unidades del producto C?.

Por supuesto, se podrı́a formular de nuevo todo el problema de progra-

mación lineal para añadir este producto nuevo, pero se puede obtener una
respuesta rápida con los precios duales. La producción del producto C re-
querirá la reducción de las cantidades de los otros dos productos, ya que
todos compiten por el tiempo disponible de las dos maquinas. Recuerde
que los precios duales implican que, una hora de la máquina 1 vale dos
dólares y una hora de la máquina 2 vale un dólar. Una unidad del producto
C requiere cuatro y tres horas en las dos máquinas, respectivamente. En-
tonces, el costo de oportunidad de una unidad de producto C es:
[(Precio dual de las horas de la maquina 1) · (Horas requeridas por máqui-
na 1)] + [(Precio dual de las horas de la máquina 2) · (Horas requeridas
por máquina 2)]
o sea: 2 · 4 + 1 · 3 = 11
Esto representa el costo de perdida en la oportunidad de la producción de
A y B. El beneficio del producto C, es solo de 10 dólares; por lo cual, no de-
be producirse. Ya que el costo de oportunidad excede el beneficio unitario.
La misma empresa, tiene otro artı́culo, el producto D, que requiere una ho-
ra en cada una de las maquinas y produce un beneficio unitario de cinco
dólares. ¿Debe producirse? El costo de oportunidad de este producto es:
2·1+1·1 = 3
Como el beneficio es de cinco dólares por unidad; el cual, excede el cos-

to de oportunidad de tres dólares, hay que producir algunas unidades del
producto D.
Este análisis no indica cuantas unidades del producto D se deben fabricar;
solo indica que debe incluirse en la combinación de productos.
El gerente formularia de nuevo el problema de programación lineal, para
incluir otra variable de decisión para el producto D y luego resolverı́a de
nuevo el problema con programación lineal.
El costo de oportunidad de un producto nuevo, se calcula como la suma de:
(Precio dual) x (Unidades requeridas)
Para todas las restricciones afectadas. Si el costo de oportunidad en menor

que el beneficio por unidad del nuevo producto, entonces este es rentable
y debe incluirse en la solución óptima. Si el costo de oportunidad es mayor
que el beneficio por unidad, entonces no debe fabricarse el producto.
2.11. Análisis de Sensibilidad: Coeficientes de la

Función Objetivo.
Un gerente puede interesarse en lo que puede suceder, con la solución de
un problema de programación lineal, si cambia uno de los coeficientes de
la función objetivo, por ejemplo: debido a un aumento en el precio de la
materia prima. Se puede efectuar un análisis gráfico, similar al que se hizo

para los cambios en los coeficientes del término independiente.

Suponga que, el beneficio por unidad del producto A permanece fijo, en
seis dólares, pero que el beneficio por unidad de B, que se espera sea de
siete dólares puede cambiar. Cuando el coeficiente de x2 en la función ob-
jetivo es 8 dólares; (es decir, beneficio de ocho por unidad del producto B),
la función beneficio es:
Z(MAX) = 6x1 + 8x2
El punto: C(6; 4), Z(MAX) = 6(6) + 8(4) = 68
y el punto C, es aun la solución6n óptima. Si el coeficiente de x2 aumenta a

9 dólares, la pendiente de la función beneficio es idéntica a la pendiente de
la restricción. Por lo tanto, hay varias soluciones óptimas alterativas y, tanto
C como D son vértices óptimos. Suponga que, el coeficiente de x2 aumenta
mas, hasta 10 dólares por unidad, de manera que la función de beneficio es:
Z(MAX) = 6x1 + 10x2
Para C(6, 4): Z(MÁX) = 6(6) + 10(4) = 76
Observe que en la región factible hay puntos por encima de la lı́nea (es de-
cir, con mayores beneficios), por lo cual el punto C, ya no es optimo. Ahora
el punto D es la única solución óptima. En otras palabras, si el coeficiente
de x2 excede a nueve dólares, el punto optimo pasa del punto C al D.
El análisis es el mismo si se reduce el coeficiente de x2 . Con un coeficiente
de 3, la función de beneficio es:
Z(MAX) = 6x1 + 3x2
Z(MÁX.) = 6(6) + 3(4) = 60
la función de beneficio coincide con la restricción de la maquina 2 y los

puntos C y D son óptimos. Si el coeficiente se reduce más, a 1, el punto
óptimo se desplaza a D. Se puede aplicar el mismo análisis para los benefi-
cios de A, manteniendo constante el coeficiente de x2 y modificando el de
x1 . Aunque, no se muestra el análisis gráfico, los resultados indican que, el
coeficiente de x1 puede disminuir de 6 a 4.67 antes de que el punto óptimo
cambie a D. Por otra parte, el coeficiente puede aumentar de 6 a 14 antes
de que el punto óptimo se desplace a E. Estos resultados se pueden resumir
como sigue:
Intervalos de los coeficientes de la función objetivo (Intervalo en el cual no
cambia la solución optima básica):
Los intervalos del termino independiente y los intervalos de los coeficien-
tes de la función objetivo: Conceptual-mente, los intervalos del análisis de
sensibilidad son similares para los coeficientes de la función objetivo que,
se desarrollaron previamente y los correspondientes a los coeficientes del

Análisis de Sensibilidad: Coeficientes de la Función Objetivo

Variables
Coeficiente Actual Aumento Permitido Reducción Permitida
Producto A 6 8 1.33
Producto B 7 2 4
Cuadro 2.2: Análisis de Sensibilidad
termino independiente. Sin embargo, existen diferencias importantes: La

solución óptima no cambia, en el intervalo que se especifica, para los co-
eficientes de la función objetivo; es decir, la empresa debe producir seis
unidades del producto A y cuatro unidades del producto B. Fuera del inter-
valo, la solución óptima cambia abrupta-mente a otro vértice. Por supuesto,
los beneficios totales varı́an de acuerda con los cambios en los coeficientes,
pero, una vez mas, la solución no varia dentro de los intervalos.
Por otra parte, en los intervalos del término independiente la solución cam-
bia, ya que el punto óptimo se desplaza sobre una de las lı́neas de restric-
ción. En nuestro ejemplo se producen diferentes cantidades de los produc-
tos A y B al moverse el punto óptimo. Al llegar al lı́mite del intervalo, un
nuevo vértice se convierte en la solución óptima.
Los intervalos, tanto para, los coeficientes del término independiente, co-
mo para, los de la función objetivo, proporcionan información importante
en la interpretación de la solución de un programa lineal. Los intervalos
del término independiente determinan los Lı́mites dentro de los cuales, se
mantiene el precio dual para cada restricción. Los intervalos de los coefi-
cientes de la función objetivo determinan los lı́mites dentro de los cuales la
solución es la misma.
Ejemplo:
Una fábrica vende dos productos diferentes A y B, los beneficios son: para
el producto A 30 dólares y para el producto B 25 dólares.
Los dos productos se fabrican en un proceso de producción común y se
venden a dos mercados distintos. El proceso de producción tiene capacidad
de 30 mil horas de trabajo. Se requieren 3 horas para producir una unidad
de A y 1 hora para producir una unidad de B. El mercado se ha estudiado
y los funcionarios de la compañı́a consideran que, el número máximo de
unidades de A que pueden vender es 8 mil; el máximo de B es 12 mil uni-
dades. Los productos se pueden vender en cualquier combinación, con las
limitaciones anteriores.
1) Resuelva el problema aplicando programación lineal, mediante el méto-

do gráfico, para encontrar la combinación óptima del producto.
Función objetivo:
Z(MAX) = 30x1 + 25x2
Restricciones:



 3x1 + x2 ≤ 30


 x1 ≤ 8



 x2 ≤ 12
x1 , x2 ≥ 0


Abstracción:


3x + x2 = 30
 1




 x1 = 8
x2 = 12


C(ecuaciones
( 1 y 3):
3x1 + x2 = 30
−→ C(6;12)
x2 = 12
D(ecuaciones
( 1 y 2):
3x1 + x2 = 30
−→ D(8;6)
x1 = 8
P (x1 , x2 ) −→ Z(MAX) = 30x1 + 25x2
C(6, 12) −→ Z = 30(6) + 25(12) = 480 mil. Punto optimo.
D(8, 6) −→ Z = 30(8) + 25(6) = 390 mil.

Z(MÁX.) = 480 Mil dólares
x1 = 6 Unidades del producto A,
x2 = 12 Unidades del producto B.
2) Suponga que, el número máximo de unidades del producto A que pue-
den venderse es de 9 mil (en lugar de 8). ¿Cuál es el efecto en la solu-
ción?. ¿Cuál es el efecto en los beneficios?. ¿Cuál es el precio dual para
la restricción que limita las ventas del producto A?.
Función objetivo:
Z(MAX) = 30x1 + 25x2
Restricciones:



 3x1 + x2 ≤ 30


 x1 ≤ 9



 x2 ≤ 12
x1 , x2 ≥ 0


Abstracción:

3x + x2 = 30
 1




 x1 = 9
x2 = 12


C(ecuaciones
( 1 y 3):
3x1 + x2 = 30
−→ C(6;12)
x2 = 12

D(ecuaciones
( 1 y 2):
3x1 + x2 = 30
−→ D ∗ (9;3)
x1 = 9
P (x1 , x2 ) −→ Z(MAX) = 30x1 + 25x2
C(6, 12) −→ Z = 30(6) + 25(12) = 480 mil. Punto óptimo.
D ∗ (9, 3) −→ Z = 30(9) + 25(3) = 345 mil.
Z(MÁX.) = 480 Mil dólares x1 = 6 Unidades del producto A,
x2 = 12 Unidades del producto B.
Un aumento de una unidad en el producto A, no afecta la solución
óptima ni el beneficio, por tanto el precio dual es cero.
3) Suponga que, el número máximo de unidades del producto B, que pue-

de venderse es 13 mil.
Restricciones:



 3x1 + x2 ≤ 30


 x1 ≤ 8



 x2 ≤ 13
x1 , x2 ≥ 0


Abstracción:

3x + x2 = 30
 1




 x1 = 8
x2 = 13


C(ecuaciones
( 1 y 3):
3x1 + x2 = 30
−→ C ∗ (5.67;13)
x2 = 13
D(ecuaciones
( 1 y 2):
3x1 + x2 = 30
−→ D(8;6)
x1 = 8

P (x1 , x2 ) −→ Z(MAX) = 30x1 + 25x2

C ∗ (5.67, 13) −→ Z = 30(5.67) + 25(13) = 495.1mil Punto óptimo.
D(8, 6) −→ Z = 30(8) + 25(6) = 390mil
Z(MÁX.) = 495.1 Mil dólares.
x1 = 5.67 Unidades del producto A,
x2 = 13 Unidades del producto B,
Incremento del beneficio = 495.1 - 480 = 15.1
Cada aumento de una unidad en el limite de producción de B, el bene-
ficio aumenta en 15.1 dólares.
4) Suponga que hay 31 mil horas de trabajo disponibles, en lugar de 30

mil del caso base. ¿Cuál es el efecto en el problema?. ¿Cuál es el efecto
en los beneficios?. ¿Cuál es el precio dual de la restricción del número
de horas de trabajo?.
Restricciones:



 3x1 + x2 ≤ 31


 x1 ≤ 8



 x 2 ≤ 12
x1 , x2 ≥ 0


Abstracción:

 3x1 + x2 = 31


x1 = 8



x2 = 12


C(ecuaciones
( 1 y 3):
3x1 + x2 = 31
−→ C ∗ (6.33;12)
x2 = 12
D(ecuaciones
( 1 y 2):
3x1 + x2 = 31
−→ D ∗ (8;7)
x1 = 8
P (x1 , x2 ) −→ Z(MAX) = 30x1 + 25x2
C ∗ (6.33; 12) −→ Z = 30(6.33) + 25(12) = 489.9mil Punto óptimo
D ∗ (8, 6) −→ Z = 30(8) + 25(7) = 415mil


Z(MÁX.) = 4.899.000 Dólares
x1 = 6.33 Unidades del producto A,
x2 = 12 Unidades del producto B,
Incremento neto = 489.9 - 480 = 9.9
Por lo tanto el precio dual de la hora de trabajo es 9.9dólares
5) Remı́tase a los literales (b), (c) y (d) anteriores. Determine en forma
gráfica los intervalos del termino independiente, en los cuales, se man-
tienen los precios duales de las tres restricciones.
Se refiere a los lı́mites de venta del producto A. De acuerdo a la figura
2.24, el precio dual de esta restricción es cero, podemos observar que
el aumento en el limite del producto A, no tendrá ningún efecto; por lo
tanto, no hay limite superior. La solución óptima incluye 6 mil unida-
des del producto A. Una reducción en el lı́mite de ventas, por debajo
de esas cifras si afectara la solución optima. Por ello, el intervalo es de
6 mil en adelante (sin limite superior) y en este intervalo se mantiene
el precio dual de cero.

Ahora, se determina el limite de ventas del producto B. El producir
unidades adicionales de B, el óptimo se traslada hasta el punto C*(A
= 0 y B = 30). Más allá de este punto, no es posible fabricar unidades
adicionales de B, por las horas de trabajo. Por consiguiente, el lı́mite
superior es 30 mil unidades. Al reducir el limite de ventas de B hasta 6

mil unidades, se llega al vértice C**(A = 8 y B = 6). La solución cambia

al pasar de este punto. Por lo tanto, el lı́mite inferior es 6 mil unidades.
En resumen, el precio dual de 15.1 dólares (literal c) por unidad de B
se mantiene en el intervalo de 6 mil a 30 mil del lı́mite de ventas del
producto B. Lı́mite de horas de trabajo. Cuando las horas de trabajo se
aumenta hasta 36 mil, se alcanza un nuevo vértice (A = 8 y B = 12), Si
se reduce a 12 mil horas, se llega al vértice (A = 0 y B = 12). Por lo tanto,
el intervalo para las horas de trabajo es de 12 mil a 36 mil, en el cual se
mantiene el precio dual de 9.9 dólares.

2.12. Ejercicios Propuestos de Programación Lineal

Método Gráfico
1. Grafiqué en el plano cartesiano el conjunto de soluciones del sistema de
inecuaciones lineales: 
x + x2 ≤ 2
 1
 
 −x1 + 2x2 ≥ −2 


 1)  x1 + 2x2 ≥ 6
1)  2x1 − x2 ≥ −2
 
x1 ; x2 ≥ 0
 

x1 ; x2 ≥ 0



  −x1 + x2 ≤ 2
 2x 1 + 4x 2 ≤ 8 

2)  2x1 + x2 ≤ 4

 
 −4x1 + 2x2 ≥ 8
 
2)  x1 ; x2 ≥ 0
 



 −2x1 − 4x2 ≤ 12
x1 ; x2 ≥ 0

 


 x1 + x2 ≥ 1
 
 x1 + x2 ≤ 6
 x1 + x2 ≥ 2 

3)  −x1 + x2 ≤ 2

 
3)  x1 + 2x2 ≤ 4
 
−x1 − x2 ≤ 2
 

x1 ; x2 ≥ 0

 


 x1 ; x2 ≥ 0

 x1 + x2 ≥ 1 

  x1 + x2 ≤ 4
 x1 + x2 ≤ 6

 

4)   −3x1 + 2x2 ≤ 3


 −x1 + x2 ≥ −2 4) 
−x1 + x2 ≥ −2

 
x1 ; x2 ≥ 0

 

x1 ; x2 ≥ 0



x + x2 ≥ 5
 1
 

  x1 − 2x2 ≤ 0
5)  2x 1 + x 2 ≤ 2 

 2x − x ≥ 0
1 2
 
x1 ; x2 ≥ 0 5) 

 


 x1 + 2x 2 ≤ 3
x1 ≥ 0
 



 x1 − x2 ≥ −2
 x1 + 2x2 ≤ 6

 
6)   −3x1 + x2 ≤ 3
 x 1 ≥ 4 

 x1 + x2 ≤ 6

 
x1 ; x2 ≥ 0 6) 

 


 −x1 + x2 ≥ −2
  x ;x

≥ 0
4x + 3x2 ≤ 4 1 2
 1



 −x1 + x2 ≥ 0
7)  
 x1 + x2 ≤ 2
x1 ; x2 ≥ 0

 

7)  x1 + x2 ≤ 4


  −x1 + 2x2 ≥ 1



 x1 + x2 ≥ 1
 −x + x ≥ −2
1 2
 
8)  x + x2 ≤ 4

 1

2x + x ≤ 8

1 2
 
8) x1 + 2x2 ≥ 4


x1 ; x2 ≥ 0

 

x1 ≥ 0



 −2x1 + x2 ≤ 2 
 x1 + 2x2 ≤ 4

 
9)  x1 + x2 ≤ 4
 
9)  2x1 + x2 ≥ 0
 
 −x1 + 2x2 ≥ 1
 
x2 ≥ 0



 x1 + x2 ≤ 4 

  −2x1 − x2 ≤ −7
 x1 + x2 ≥ 1

 

10)   −2x1 + x2 ≤ 3




 x1 ≥ 0 10) 
 2x1 − 5x2 ≤ 1
x2 ≥ 0

 

x1 ; x2 ≥ 0



2. Maximizar la función objetivo f (x1 ; x2 ) :


 f (x1 ; x2 ) = 2x1 + 2x2
f (x1 ; x2 ) = 3x1 + 2x2



x1 + x2 4


 
 ≤

 x1 + 3x2 ≤ 45 

1)  x1 + 2x2 ≥ 4

 
1)  2x1 + x2 ≤ 40
 
x1 + x2 ≥ 1
 

4x1 + x2 ≤ 76

 


x1 ; x2 ≥ 0

 

 x1 ; x2 ≥ 0

  f (x1 ; x2 ) = x1 + x2
 f (x1 ; x2 ) = 5x1 + 3x2 

 −x1 + x2

  ≤ 1
 3x1 + 5x2 ≤ 15 2) 

 
2)   x1 − x2 ≥ 1
5x1 + 2x2 ≤ 10
 

x1 ; x2 ≥ 0

 

x1 ; x2 ≥ 0



  f (x1 ; x2 ) = 2x1 + 3x2
 f (x1 ; x2 ) = 2x1 + 3x2 

 x1 − 2x2 ≤ 0

 

 3x1 + x2
 ≥ 6 3) 
3)  2x1 − x2 ≥ 0
 
x1 + 4x2 ≥ 4
 


  x +x

≥ 1
1 2
x1 ; x2 ≥ 0



  f (x1 ; x2 ) = 3x1 + 2x2
 f (x1 ; x2 ) = x1 − 2x2 

 x1 − 3x2 ≥ 0

 

 x1 − x2

 ≤ 1 4) 
 3x1 − x2
4)  ≤ 0
x1 + x2 ≥ 2
 


  x +x

≥ 2
1 2
x1 ; x2 ≥ 0



 f (x1 ; x2 ) = 2x1 − x2
f (x1 ; x2 ) = x1 + 3x2



 x +x 2


  1 2 ≥

 x1 − x2 ≤ 1 

5)  x + x ≤ 1
 
1 2

5)  2x 1 + x2 ≤ 2
 
x − x ≤ 0

 1 2

x1 − x2 ≥ 0

 


x1 ; x2 ≥ 0

 

 x1 ; x2 ≥ 0

 f (x1 ; x2 ) = 9x1 + 4x2
f (x1 ; x2 ) = 5x1 − 4x2


 

 
 −x1 + x2 ≥ 1
 x1 + x2 ≤ 4

 

6)  6)  −x1 + x2 ≤ 3

 x1 + 2x2 ≥ 4 
2 ≤ x1 ≤ 5

 

x1 ; x2 ≥ 0

 


 x1 ; x2 ≥ 0

 f (x1 ; x2 ) = 3x1 + x2 

  f (x1 ; x2 ) = 2x1 + x2
 x1 + x2 ≤ 4

 

7) 
 2x1 + x2

 x1 + x2 ≤ 2
≥ 4 7) 

x1 + x2 ≤ 4

 
x2 ≥ 0

 

 −x + 2x

≥ 1
1 2

 f (x1 ; x2 ) = x1 − x2 

  f (x1 ; x2 ) = 3x1 + x2
 x1 + x2 ≤ 4

 

8)   x1 + x2 ≤ 4


 2x1 + x2
 ≥ 0 8) 
 x1 + 2x2
 ≥ 4
x2 ≥ 0

 

x1 ≥ 0



 f (x1 ; x2 ) = 2x1 + 3x2 

  f (x1 ; x2 ) = 6x1 + 3x2
 3x1 + 3x2 ≤ 6

 

9)   x1 + 2x2 ≤ 4


 x1 + x2 ≥ 1 9) 
 2x1 + x2 ≥ 0

 
x1 ; x2 ≥ 0

 
x2 ; x1 ≥ 0



3. Maximizar y minimizar la función objetivo f (x1 ; x2 ) :


 f (x1 ; x2 ) = x1 + 3x2


 f (x1 ; x2 ) = 3x1 + 4x2


 3x + 3x2 ≤ 30


 2x1 + x2 ≤ 10
 1
 
1)  2x1 + 3x2 ≤ 18

 
1)  x1 + 2x2 ≥ 10 
x1 − x2 ≤ 2
 

x1 − x2 ≥ 0

 

 


 x1 ; x2 ≥ 0
 x1 ; x2 ≥ 0


 f (x1 ; x2 ) = 2x1 + x2


 f (x1 ; x2 ) = 6x1 + 5x2
 2x1 + x2 ≥ 8

 


 3x1 − x2 ≥ 1 2) 
 x1 − x2 ≥ 1

 
2)  2x1 − 2x2 ≤ 19
 
x1 ; x2 ≥ 0
 

 x1 + 4x2

 ≥ 9


 x1 ; x2 ≥ 0 
 f (x1 ; x2 ) = 2x1 + 3x2


3)  x1 + 4x2 ≥ 11

f (x1 ; x2 ) = x1 + x2

 
x1 ; x2 ≥ 0
 

2x1 + 3x2 30




 ≤
 x1 + 2x2 ≥ 10

 
3)   f (x1 ; x2 ) = 130x1 + 20x2
x1 − x2 ≥ 0
 


 
 1≤ x1 ≤6
4) 

x1 ≥ 0


0 ≤ x2 ≤ 12

 
 
 x2 ≥ 2 
 x +x

≤ 16
1 2



 f (x1 ; x2 ) = 7x1 + 3x2 
 f (x1 ; x2 ) = 9x1 + 4x2
 x1 + x2 ≤ 4

 

 −x + x ≥ 1
4)   1 2
2x1 + x2 ≥ 0
 

5)  −x + x ≤ 3
 
 1 2
 x −x ≤ 0
 
1 2 

 2 ≤ x1 ≤5



 f (x1 ; x2 ) = 5x1 − 3x2
 x1 ; x2 ≥ 0


 x1 + x2 ≤ 4

 
5) 
 2x1 + x2
 f (x1 ; x2 ) = 5x1 + 4x2

 ≥ 4 


 −x1 + x2 ≥ 1
 x −x ≤ 2
 

1 2 6) 

−x1 + x2 ≤ 3

3 ≤ x1 ≤ 7


f (x1 ; x2 ) = 4x1 + 3x2
 

 



 2x1 + x2 ≥ 8
 x1 ; x2 ≥ 0





 2x1 + 3x2 ≥ 16 
 f (x1 ; x2 ) = 2x1 + 4x2
6)  x1 + 3x2 ≥ 11
 
x1 + x2 5

 
 ≤
x1 ≤ 20

 

 x1 + 2x2 ≥ 2

 

7) 




 x2 ≤ 20  x1 − 2x2 ≥ 0

x1 ; x2 ≥ 0
 
x2 ≤ 4






 f (x1 ; x2 ) = 3x1 + x2
 x1 ; x2 ≥ 0


 2x1 + x2 ≤ 20

 
7)   f (x1 ; x2 ) = 2x1 − x2
−x1 + 8x2 ≤ 24
 

 x1 + x2 ≥ 2

 

x2 ; x1 ≥ 0 8) 


 x1 + x2

 ≤ 1
x1 ; x2 ≥ 0
 



 f (x1 ; x2 ) = 25x1 + 35x2
 x1 + 3x2
 ≤ 24 

  f (x1 ; x2 ) = 2x1 + 3x2
8)  x1 + x2 ≤ 10
 

 x + 2x ≤ 6
  1
 2

 2x 1 + x2 ≤ 16 9) 


 
 2x 1 + x2 ≥ 0
 x2 ; x1 ≥ 0 

 x2 ; x1 ≥ 0

4. Una fábrica produce dos productos P1 y P2 por medio de máquinas M1 y

M2 .El tiempo máximo de trabajo de la máquina M1 es de 8 horas, de la
máquina M2 es de 12 horas diarias. La carga unitaria de trabajo de las ma-
quinas M1 y M2 para la elaboración de productos P1 y P2 muestra la tabla
1.
Productos
Maquinas
P1 P2
M1 1 4
M2 2.5 2
Tabla 1
La ganancia de la venta por unidad del producto P1 es de 6 dólares, y de

la venta de unidad del producto P2 es de 5 dólares. Escribir el modelo ma-
temático de este ejercicio ¿Qué plan de producción diaria es necesario para
que las ganancias sean máximas?
5. Una fábrica elabora dos productos W1 y W2 y utiliza para esto, de tres ma-
terias primas S1 , S2 y S3 . Los gastos de las materias primas necesarias para
la elaboración por unidad para cada uno de los productos, las reservas de
los materiales y las ganancias unitarias se indica en la tabla 2.
Materias Productos
Primas W1 W2 reservas materiales
S1 3 1 18
S2 2 4 40
S3 3 2 40
Ganancias U nitarias 2 3 –
Tabla 2
Construir el correspondiente modelo matemático que garantice las ganan-
cias máximas.
6. Una empresa elabora productos W1 y W2 por medio de máquinas U1 , U2 y U3 ,
las cuales durante el dı́a pueden trabajar correspondientemente: 24000,
40000 y 27000 segundos. La norma de tiempo expresadas en segundos para
elaboración de una unidad del producto por medio de la adecuada maqui-
na muestra la tabla 3:
Productos
Maquinas
W1 W2
U1 3 6
U2 8 4
U3 9 3
Tabla 3
La ganancia de la producción por unidad del producto W1 es de 9 dólares,

del producto W2 es de 6 dólares. ¿Qué plan de producción diaria garantiza-
ra la ganancia máxima ¿Construir el correspondiente modelo matemático?

7. La fábrica de productos quı́micos elabora dos preparados: P1 y P2 . Cada uno

de los preparados es el resultado de la mezcla de tres substancias. Cada
tonelada P1 contiene 12 kg de la substancia primera, 5 kg de la substancia
secundaria y 30 kg de la tercera substancia. La ganancia en una tonelada
de P1 es de 100 dólares, de una tonelada de P2 es de 85 dólares. La fabrica
dispone de 480 kg de la substancia primaria, de 180 kg de la substancia
secundaria y 720 kg de la tercera substancia. Para que valores de x - cifras
de toneladas de P1 e y - cifras de toneladas de P2 , la ganancia es máxima?.
8. Para producir dos productos W1 y W2 se usa de tres diferentes materias pri-
mas. La cantidad de unidades de cada una de las materias necesarias para
la producción de una unidad de cada producto ilustra la tabla 4:
Materia prima
Productos
S1 S2 S3
W1 1 1 4
W2 3 1 2
Tabla 4
Considerando que, el acceso a cada una de las materias primas correspon-

de a 1500, 700 y 2400 unidades y que la ganancia de elaboración de cada
unidad de producto W1 es dos veces mejor que elaboración de unidad de
producto W2 , elaborar un plan de producción que maximice las ganancias.
9. Una fabrica produce dos tipos de camisas: A y B. Las camisas tipo A re-
quiere 2.5 minutos para cortarlas y 5 minutos para confeccionarlas; las de
tipo B requieren 4 minutos para cortarlas y 4 minutos para confeccionarlas.
Se necesita 1 hora y 40 minutos para corte y 2 horas para confeccionar. El
beneficio es de 2.5 dólares por cada camisa tipo A y 3 dólares por cada ca-
misa tipo B. ¿Cuántas camisas de cada clase debe producirse para obtener
la máxima ganancia?
10. Una empresa fabrica dos productos A y B. El beneficio para A es 25 dóla-
res por tonelada y para B 20 dólares por tonelada. La planta consta de 3
departamentos de producción: Cortado, Mezclado y Enlatado. El equipo en
cada departamento puede, emplearse 4 horas diarias. El proceso de pro-
ducción es el siguiente El producto A emplea 1/4 hora de la capacidad de
cortado y enlatado, y 0.5 hora de mezclado por tonelada, El producto B re-
quiere 0.5 hora por tonelada de la capacidad de mezclado y 1/3 de hora de
la capacidad de enlatado. ¿Qué combinación de producto deberá elaborar
la empresa para maximizar su beneficio?
11. Una compañı́a produce dos tipos de pantalones: A y B. Cada pantalón tipo
A requiere del doble de mano de obra que el de tipo B. Se deben produ-
cir por lo menos 2.500 pantalones combinados. El mercado limita la venta
diaria de pantalones tipo A, a un máximo de 75 y los de clase B a un total
de 125 pantalones. Los beneficiados por pantalón son 6 dólares para el tipo
A y 4 dólares para el tipo B. Determinar el número de pantalones de cada
clase que maximice la ganancia.
12. Dos productos tienen el siguiente proceso. Hay un taller que, lo más que
puede hacer es 200 productos del tipo A o 100 del tipo B por dı́a. El taller

de pintura tiene una capacidad diaria de 120 productos del tipo A o 160
del tipo B. También el tratamiento técnico puede procesar un total de 90
artı́culos del tipo A por dı́a. El producto A tiene una utilidad de 4 dólares y
el producto B de 6 dólares. Determinar la producción optima que maximice
los beneficios.
13. Se producen dos artı́culos A y B los mismos que son procesados por tres
maquinas M1 , M2 y M3 . La máquina M1 procesa 0.5 unidad de A y 0.5 de
B, M2 procesa 1 de A, 0.5 de B, M3 procesa 0.5 de A y 2 de B. Se dispone
al menos de 65 horas semanales para M1 , 95 para M2 y 100 para M3 . El
costo de A es de 3 dólares y 5 dólares el de B. ¿Cuantas unidades de A y B
se deben producir para que el costo sea mı́nimo?.
14. Un fabricante de gasolina para aviación vende dos clases de combustible A
y B. El combustible A tiene 12.5 por ciento de grade 1 y 2 y 25 por ciento
de gasolina grado 3. El combustible B tiene 25 por ciento de gasolina grado
2 y 3. Disponible para producción hay 25 galones/hora grado 1 y 100 galo-
nes/hora grado 2 y 3. Los costos son 15 centavos por galón grado 1, el galón
grado 2 cuesta 30 centavos y 45 centavos por galón grado 3. El combustible
A puede venderse a 0.71 dólares por galón, mientras que, el combustible B
alcanza a 58.75 centavos por galón, ¿Que cantidad debe fabricarse de cada
combustible para obtener el mayor beneficio?
15. Un estacionamiento puede atender cuando más a 100 vehı́culos entre au-
tomóviles y camiones. Un automóvil ocupa 10 metros cuadrados, mientras
que un camión necesita un área de 20 metros cuadrados, y se sabe que, el
área total del estacionamiento es de 1.200 metros cuadrados. La tarifa que
se cobra mensualmente es de 20 dólares por auto y 35 por camión. ¿Cuantos
vehı́culos de cada tipo le proporcionara el estacionamiento una ganancia
máxima?
16. Un laboratorio farmacéutico desea preparar un tónico de tal manera que ca-
da frasco contenga al menos 32 unidades de vitamina A, 10 de vitamina B y
40 de vitamina C. Para suministrar estas vitaminas, el laboratorio emplea el
aditivo X1 a un costo de 2 dólares por onza, el cual contiene 15 unidades de
vitamina A, 2 de B y 4 de C, un aditivo X2 a un costo de 4 dólares por cada
onza, que contiene 4 unidades de vitamina A, 2 de B y 14 de C. ¿Cuántas
onzas de cada aditivo se deben incluir en el frasco para minimizar el costo?
17. Un vivero desea añadir árboles frutales y arbustos orientales a sus cultivos
existentes. Los árboles proporcionan 14 dólares por unidad. Cada árbol re-
quiere de 2 metros cuadrados. Para exhibición, mientras que cada arbusto
necesita de 3 metros cuadrados. Además, el tiempo necesario para preparar
un árbol para exhibición es de dos minutos, mientras que el tiempo, que se
requiere para cada arbusto es de un minuto. Las restricciones de espacio y
tiempo son las siguientes:
1) Hay a lo más 12 metros cuadrados para exhibición disponibles.
2) Se dispone a lo más de 8 minutos de tiempo de preparación.
Si el vivero puede vender todos Los árboles y arbustos en exhibición. ¿Cuántos
árboles y cuantos arbustos deberán exhibir diariamente para maximizar su
ganancia?. (Suponga que es posible preparar una exhibición solamente una
vez al dı́a).

18. Las máquinas A y B pueden fabricar el mismo articulo, la maquina A pro-

duce 18 unidades por hora, mientras que la maquina B produce 10 uni-
dades por hora. Se deben producir a lo mucho 600 unidades del articulo
trabajando 40 horas semanales por lo menos; sin embargo la maquina B
tiene una capacidad máxima de 35 horas semanales. Si el costo de operar la
maquina A es de 25 dólares y 20 dólares la maquina B. Determinar cuantas
horas por semana debe operar cada máquina para satisfacer las necesidades
de producción a un costo mı́nimo?
19. Una fábrica elabora dos clases de cerveza: Pilsener y Club. Para lo cual,
dispone de ingredientes para llenar por lo menos 30 botellas combinadas.
Toma 1 hora llenar 20 botellas de la cerveza Pilsener y 2 horas llenar 25
botellas de cerveza Club, se dispone a lo mucho de 2 horas. La demanda
de la cerveza Pilsener se estima en el mercado un total de 22 botellas y
a lo mucho 10 botellas de la cerveza Club. Cada botella de Pilsener deja
una utilidad de 10 centavos y 15 centavos cada botella de la cerveza Club.
¿Cuántas botellas de cada cerveza se deben llenar para alcanzar la máxima
ganancia?
20. Una fabrica elabora dos clases de champú A y B. Para lo cual, dispone de
ingredientes para llenar a lo mucho 80 botellas combinadas de A y B. Toma
1 hora llenar 10 botellas de A y 4 horas llenar 10 botellas de B, se dispone
cuando mucho de 20 horas, la demanda de A se estima a lo mas en 70 bo-
tellas. La fabrica esta en capacidad de llenar cuando mucho 90 botellas de
A o 60 botellas de B. Cada botella de A le deja una utilidad de 80 centavos
y 90 centavos la de B. ¿Cuántas botellas de A y B se deben llenar para que
la fábrica obtenga Los mayores beneficios?
21. Se fabrica dos productos A y B. Cada unidad de A toma 2 dólares la mano
de obra y 6 dólares cada unidad de B. De materia prima,cuesta 4 dólares
cada unidad de A y 2 dólares cada unidad de B. El desgaste de equipo se
supone proporcional a la producción y es de 2 dólares por cada unidad de
A y 2 dólares por cada unidad de B. Se dispone al menos de 36 dólares
para salarios, al menos 48 dólares para materia prima y cuando mucho 32
dolares, para desgaste de equipo. Se estima que la demanda de A en el
mercado es al menos 20 unidades. El beneficio de A es de 20 dólares cada
unidad y 10 dólares cada unidad de B. ¿Cuál es la cantidad que se debe
producir de cada producto para obtener las utilidades mas altas posibles?
22. Una compañı́a produce dos tipos de sombreros vaqueros. Cada sombrero
del primer tipo requiere el doble de tiempo en mano de obra que el segundo
tipo. Si todos los sombreros son solamente del segundo tipo, la compañı́a
puede producir un total de 1.000 sombreros al dı́a. El mercado limita las
ventas diarias del primero y segundo tipo a 300 y 500 sombreros. Suponga
que los beneficios por sombrero son 16 dólares para el tipo A y 12 dólares
para el tipo B. Determine el número de sombreros que deben producirse de
cada tipo a fin de maximizar el beneficio.

2.13. Método Simplex en Programación Lineal

El método Simplex se basa en el álgebra, y se lo emplea para resolver problemas
de programación Lineal tanto de maximización como de minimización.
Es un proceso repetitivo numérico, que permite llegar a una solución óptima par-
tiendo de un punto extremo conocido; es decir, partiendo de una solución básica,
si esta solución básica es factible, tomada como punto de partida no satisface, es
necesario tomar otra solución, que nos da un valor para Z mayor o menor y ası́ su-
cesivamente hasta llegar a la solución final.
Es un método iterativo (aproximaciones sucesivas), fue ideado por George Dantrig
(1947), quien realizó investigaciones basadas en relaciones matemáticas de carácter
lineal.
Existen tres requisitos en la solución de un problema de programación lineal por el
método simplex:
1. Todas las limitaciones deben estar establecidas como ecuaciones,
2. El segundo miembro de una limitante, no puede ser negativo,
3. Todas las variables están restringidas a valores no negativos
Después de finalizar este capitulo el estudiante estará en capacidad de:
1. Explicar detalladamente, por que el método simplex encuentra soluciones ópti-

mas, para problemas de programación lineal,
2. Determinar, cuando un problema de programación lineal tiene múltiples so-

luciones óptimas,
3. Determinar, cuando un problema de programación lineal no tiene solución.
Cualquiera que, sea el numero de inecuaciones y de incógnitas de un sistema,que

representa un proceso, este por si mismo, se ajusta a un tratamiento de identifica-
ción, que nos da una idea; de que, es sujeto de solución.
Cuando el proceso a analizar es representado por un sistema que, reúne a un número
de ecuaciones inferior al número de incógnitas; es decir, existen muchas soluciones.
Justamente, este es el caso mas frecuente de los problemas de programación lineal.
De allı́ que, es necesario introducir nuevas variables, que son:
1. Se aumenta (+) variables de holgura, que se introduce en el sistema, cuando,

se tiene la expresión ≤, (+ variable de holgura),
2. Se resta (-) variables de holgura y se aumenta variables artificiales, en los casos

de ≥, (- variables de holgura + variables artificiales),
3. En los casos de igualdad (=) se introduce variables artificiales con signo mas
(+ variables artificiales).
Cada caso se comprenderá con un ejemplo y ası́ podremos establecer su similitud y

diferencias.

2.13.1. Caracterı́sticas del Método Simplex

En cualquiera de los casos del método simplex se requiere que conste de:
1. Planteamiento del problema: que consiste en identificar a las variables:

Producto Uno = x1
Producto Dos = x2
Producto Tres = x3
Producto Cuatro = x4 .
Se crea tantas variables lo requiera el ejercicio.
2. Función Objetivo: que tiene la forma:

Z(max.) = C1 x1 + C2 x2 + C3 x3 + C4 x4 + · · · + Cn xn
3. Limitaciones o Restricciones: se forma el sistema de inecuaciones, que repre-

sentan al proceso:


 A11 x1 + A12 x2 + A13 x3 + ···+ A1n xn ≤ b1




 A21 x1 + A22 x2 + A23 x3 + ···+ A2n xn ≤ b2
A31 x1 + A32 x2 + A33 x3 + ···+ A3n xn ≤ b3






 A41 x1 + A42 x2 + A43 x3 + ···+ A4n xn ≤ b3
 .. .. .. .. .. .. . .. ..
· · · ..

. . . . . . . .





 Am1 x1 + Am2 x2 + Am3 x3 + ··· + Amn xn ≤ bn
4. No-negatividad de todas las variables que identifican el proceso: xi ≥ 0,
5. Resolución:
Cuando se trata de un sistema de inecuaciones, no existe una solución única; si
no que, implica muchas posibilidades que dan solución al sistema, razón por
la cual, el método simplex va generando soluciones básicas.
6. Introducción de Variables de Holgura:

Como, los miembros, lado izquierdo de la inecuación, es inferior al lado dere-
cho, en este caso se tiene un problema de Maximación (≤), es necesario intro-
ducir una variable denominada de HOLGURA que, cubra imaginariamente el
valor faltante, para convertirlo en igualdad:


 A11 x1 + A12 x2 + A13 x3 + · · · A1n xn + S1 = b1




 A21 x1 + A22 x2 + A23 x3 + · · · A2n xn + S2 = b2
 A31 x1 + A32 x2 + A33 x3 + · · · A3n xn + S3 = b3





 A41 x1 + A42 x2 + A43 x3 + · · · A4n xn + S4 = b4

 .. .. .. .. .. .. .. .. ..
. . . . . . ··· . . .





 A x + A x + A x + ··· A x + S = b
m1 1 m2 2 m3 3 mn n n n
Al convertir el sistema de desigualdades en un sistema de ecuaciones mediante

la introducción de variables de holgura, se ha logrado un importante punto
de partida. Estas variables, en la función objetivo irı́an ante-puestas de un
coeficiente cero de beneficio:
Z(max.) = C1 x1 + C2 x2 + C3 x3 + C4 x4 + · · · + Cn xn + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 + · · · + 0Sn

7. Generación de una solución básica factible:

En el caso de una forma de producción, el primer supuesto o alternativa del
método simplex, es no fabricar nada de los productos reales (variables funda-
mentales); esto quiere decir, dar respuesta al sistema manteniendo inutilizados
los recursos existentes; por lo tanto:
x1 = 0 −→ S1 = b1



 x2 = 0 −→ S2 = b2




 x3 = 0 −→ S3 = b3





 x4 = 0 −→ S4 = b4
··· ··· ···





 x = 0 −→ S = b
n n n
8. Proceso Iteractivo:
En función de los criterios del método simplex, se van obteniendo ensayos, in-
teracciones o algoritmos hasta lograr la respuesta ideal.
El objetivo es, ir eliminando las variables de holgura e ir las reemplazando por
alterativas, en función de variables fundamentales, propósito del problema.
El proceso se lo desarrolla por cuadros o etapas. Cada uno de ellas nos repre-
sentará una mejor combinación de producción y un mayor beneficio, para lo
cual se necesita aplicar el método matricial de coeficientes. Donde se tiene:
a) Cj = Coeficientes de la función objetivo,

b) Xj = Solución básica de cada Etapa; es la base vectorial, que da solución
al sistema,
c) ∗ = Elemento Pivote,
d) ◦ = Elementos semipivotes,
e) bn = Parámetros; datos conocidos, que nos indican la cuantificación de los
recursos disponibles,
f ) Zj = Valores que va tomando la función objetivo en cada posición,
g) Zj − Cj = Se la conoce como el Çriterio del simplex”; permite continuar o
no la generación de alterativos
Cuando la expresión Zj − Cj corresponde en todas las posiciones a valores PO-

SITIVOS O CEROS, se habrá terminado el problema de maximización.
9. Pasos para formar la nueva tabla:
a) Se elige el elemento (Zj − Cj ) de menor valor negativo, la variable que

le corresponde debe entrar a la base de la nueva tabla para mejorar la
solución,
b) Para determinar que fila sale, se obtiene el elemento pivote, el mismo
que, es la intersección de la columna, que ingresa y la fila que sale, para
lo cual, se divide los elementos de la columna de bn , para los elementos
de la columna que ingreso, se escoge el menor cociente, que representara
al pivote, los restantes elementos de la columna son los semipivotes. No
se toma en cuenta la división para números negativos o cero,

c) Formar los nuevos elementos de la fila de la variable de holgura, que

es reemplazada por la variable fundamental, basándose en el elemento
PIVOTE, que se encuentra en la intersección de la columna que entra y la
fila que sale
Elementos Anteriores
Elementos de la nueva Fila =
P ivote
d) Los restantes elementos de la columna, que entra, se denominan: SEMI-
PIVOTES (◦ )
e) Los elementos de las demás filas, se obtienen restando los elementos an-
teriores de dicha fila menos los elementos de la nueva fila, que ingreso,
multiplicados por el semipivote correspondiente:
Elementos de otra fila = Elementos anteriores de dicha fila - (elementos
de la fila que ingreso) · (el semipivote correspondiente),
f ) Zj se obtiene multiplicando el coeficiente de la variable fundamental, que
ingreso por todos los elementos de dicha fila.
g) Se obtiene la fila Zj − Cj , restando los elementos de la fila de Zj menos
los elementos de la fila Cj , si todos sus elementos son positivos o ceros
el proceso se ha terminado, esto quiere decir que la tabla es optima, caso
contrario construimos la nueva tabla eliminando el menor negativa, que
exista y se realiza el mismo proceso escrito en los pasos de a al paso e,
h) El máximo beneficio esta dado por el valor del elemento de Zj de la co-
lumna bn .
2.13.2. Ejercicios de Maximización Método Simplex

1. Un taller fabrica dos clases de cinturones de piel. En cada cinturón A de alta
calidad gana 40 dólares y en cada cinturón B de baja calidad gana 30 dólares.
El taller puede producir diariamente 500 cinturones de tipo B o 250 cintu-
rones de tipo A. Solo se dispone de piel para 400 cinturones diarios A y B
combinados y de 200 hebillas elegantes para el cinturón A y de 350 hebillas
diarias para el cinturón B. ¿Qué producción maximiza la ganancia?
Función Objetivo:
Z(MAX.) = 40X1 + 30X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4
Restricciones:



 x1 + x2 ≤ 400 Cantidad de piel



 x1 ≤ 200 Hebillas elegantes
x2 ≤ 350 Capacidad



 2x1 + x2 ≤ 500




 x1 ; x2 ≥ 0
Variables de holgura:
Z(MAX.) = 40X1 + 30X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4



 x1 + x2 + S1 = 400


 x1 + S2 = 200



 x2 + S3 = 350
 2x + x

+ S4 = 500
1 2

TABLA I:
Formamos la primera Tabla, con los coeficientes de las variables fundamen-

tales y su holgura. En la columna de xj , irán las variables de holgura, por ser
recursos no utilizados; por lo tanto, deben ingresar al proceso y no tienen uti-
lidad.
Cj 40 30 0 0 0 0 Tabla I
xi bn x1 x2 S1 S2 S3 S4
0 S1 400 1◦ 1 1 0 0 0
←− 0 S2 200 1∗ 0 0 1 0 0
0 S3 350 0◦ 1 0 0 1 0
0 S4 500 2◦ 1 0 0 0 1
Zj 0 0 0 0 0 0 0
Zj − C j — -40 -30 0 0 0 0
Al iniciarse el proceso productivo, no existe utilidad; por lo tanto, todos los

coeficientes de la fila Zj son ceros.
Los elementos de la fila Zj −Cj , que se denomina criterio del simplex, se forma
restando los coeficientes de la fila Zj menos la fila Cj .
TABLA II:
Como se trata de problemas de maximización, en la fila Zj − Cj deben quedar

ceros o valores positivos. Esto significa que, es necesario eliminar los valores
negativos, para lo cual, tomamos el menor valor negativo, en este case (-40); es
decir, la variable que pertenece a esta columna ingresa (x1 ) con una utilidad
de 40.
Para saber, cual es la fila que sale, dividimos los coeficientes de la columna de
(bn ) para los coeficientes de x1 . El menor cociente, indica la fila que, debe salir
y nos señalará el PIVOTE.
1◦


 400 ÷ 1 = 400 Semipivote
1∗

bn 
 200 ÷ 1 = 200 pivote
=

x1 

 350 ÷ 0 = No 0◦ semipivote
500 ÷ 2 = 250 2◦ semipivote


Los divisores que, son cero o negativos, no se toman en cuenta para el menor
cociente, pero si, se los considera como semipivote.
El menor cociente, se obtiene, al dividir 200 ÷ 1 = 200; entonces, en la intersec-
ción de la fila S2 y la columna x1 se encuentra el pivote, los demás elementos
son semipivotes, lo cual, significa que, la fila que sale es S2 y en su lugar in-
gresa x1 con una utilidad de 40. Al pivote, se lo representa por un asterisco (∗ )
y los semipivotes con un punto (◦ ).
Para obtener, los coeficientes de la nueva fila, se divide los coeficientes ante-
riores de S2 para el pivote; es decir:

200 ÷ 1 = 200 −→ 1∗ pivote = 1




1÷1 = 1








 0÷1 = 0
0÷1 = 0



1÷1 = 1








 0÷1 = 0
0÷1 = 0

Los valores de las demás filas, se las obtiene de la siguiente forma:

Coeficientes de la fila anterior - [(Coeficientes Nueva fila) × (Semipivote
correspondiente)]
Coeficientes de S1 : Coeficientes de S3 :
400 − 200 · 1 = 200 350 − 200 · 0 = 350

 

 

1 − 1·1 = 0 0 − 1·0 = 0

 


 

 



 1 − 0·1 = 1 


 1 − 0·0 = 1
1 − 0·1 = 1 0 − 0·0 = 0
 

 

0 − 1·1 = −1 0 − 1·0 = 0

 


 

 



 0 − 0·1 = 0 


 1 − 0·0 = 1
0 − 0·1 = 0 0 − 0·0 = 0
 
Coeficientes de S4 :
500 − 200 · 2 = 100



2 − 1·2 = 0








 1 − 0 · 2 = 1
0 − 0·2 = 0



0 − 1 · 2 = −2








 0 − 0·2 = 0
1 − 0·2 = 1

Con los coeficientes calculados anteriormente, se vuelve a formar una nueva

tabla, y el procedimiento se repite.
Cj 40 30 0 0 0 0 Tabla II
0 S1 200 0 1◦ 1 -1 0 0
−→ 40 x1 200 1 0◦ 0 1 0 0
0 S3 350 0 1◦ 0 0 1 0
←− 0 S4 100 0 1∗ 0 -2 0 1
Zj 8.000 40 0 0 40 0 0
Zj − Cj — 0 -30 0 40 0 0
La dirección de las flechas en las tablas, nos ayuda a definir donde ingresa una
fila con los nuevos datos, y cual fila sale, según los cálculos realizados. Los
coeficientes de la fila Zj , se obtienen multiplicando 40 por cada coeficiente de
esa fila:
Se indica los cinco primeros elementos de como se calcula Zj




 200 × 40 = 8.000



 1 × 40 = 40
Zj =  0 × 40 = 0


0 × 40 = 0





 1 × 40 = 40
TABLA III:
Al tener un valor negativo (-30) en la fila (Zj − Cj ) se debe eliminarlo, eso
significa que, la variable de esa columna es la que ingresa (x2 ); para saber, que
fila sale se procede como en el caso anterior.
200 ÷ 1 = 200 −→ 1◦ Semipivote



 200 ÷ 0 = N o −→ 1◦ semipivote

bn 
=

x1  
 350 ÷ 1 = 350 −→ 0◦ semipivote
 100 ÷ 1 = 100 −→ 1∗ pivote

El pivote nos indica, que la fila sale, en este caso, es (S4 ) e ingresa la fila de x2
con una utilidad de 30.
Coeficientes de x2 : Coeficientes de S1 :
100 ÷ 1 = 100 200 − 100 × 1 = 100
 

 

0 ÷ 1 = 0 0 − 0×1 = 0

 


 

 



 1 ÷ 1 = 1 


 1 − 1 × 1 = 0
0 ÷ 1 = 0 1 − 0×1 = 1
 

 

 −2 ÷ 1 = −2

  −1 − (−2 × 1) =

 1

 




 0 ÷ 1 = 0 


 0 − 0×1 = 0
1 ÷ 1 = 1 0 − 1×1 = −1
 
200 − 100 × 0 = 200 350 − 100 × 1 = 250
 

 

1 − 0×0 = 1 0 − 0×1 = 0

 


 

 



 0 − 1×0 = 0 


 1 − 1×1 = 0
0 − 0×0 = 0 0 − 0×1 = 0
 

 

1 − (−2 × 0) = 1 0 − (−2 × 1) = 2

 


 

 



 0 − 0×0 = 0 


 1 − 0×1 = 1
0 − 1×0 = 0 0 − 1×1 = −1
 
Se indica los cinco primeros elementos de como se calcula Zj




 40 × 200 + 30 × 100 = 11.000



 40 × 1 + 30 × 0 = 40
Zj =  40 × 0 + 30 × 1 = 30


40 × 0 + 30 × 0 = 0





 40 × 1 + 30 × (−2) = −20
Cj 40 30 0 0 0 0 Tabla III
0 S1 100 0 0 1 1∗ 0 -1
−→ 40 x1 200 1 0 0 1 0 0
0 S3 250 0 0 0 2◦ 0 -1
−→ 30 x2 100 0 1∗ 0 −2◦ 0 1
Zj 11.000 40 30 0 -20 0 30
Zj − Cj — 0 0 0 -20 0 30

TABLA IV:
Como, queda otro valor negativo (-20), se requiere hacer otra vez el mismo
proceso, la variable, que ingresa es S2:
100 ÷ 1 = 100 −→ 1∗ pivote



bn   200 ÷ 1 = 200 −→ 1◦ semipivote

=

S2  
 250 ÷ 2 = 125 −→ 0◦ semipivote
 100 ÷ −2 = N o −→ 1◦ semipivote

Coeficientes de S2 : Coeficientes de x1 :
 100 ÷ 1 = 100 200 − 100 × 1 = 100
 
 

0 ÷ 1 = 0 1 − 0×1 = 1

 


 

 



 0 ÷ 1 = 0 


 0 − 0×1 = 0
1 ÷ 1 = 1 0 − 1×1 = −1
 

 

1 ÷ 1 = 1 1 − (1 × 1) = 0

 


 


0 ÷ 1 = 0








 0 − 0×1 = 0
−1 ÷ 1 = −1 0 − −1 × 1 = 1
 
250 − 100 × 2 = 50 100 − 100 × (−2) = 300
 

 

0 − 0×2 = 0 0 − 0 × (−2) = 0

 


 

 



 0 − 0×2 = 0 


 1 − 0 × (−2) = 1
0 − 1×2 = −2 0 − 1 × (−2) = 2
 

 

2 − (1 × 2) = 0 −2 − (1 × (−2) = 0

 


 

 



 0 − 0×2 = 0 


 0 − 0 × (−2) = 0
−1 − −1 × 2 = 1 1 − −1 × (−2) = −1
 
Cj 40 30 0 0 0 0 Tabla IV
−→ 0 S2 100 0 0 1 1 0 -1
40 x1 100 1 0 -1 0 0 1
0 S3 50 0 0 -2 0 0 1
30 x2 300 0 1 2 0 0 -1
Zj 13.000 40 30 0 -20 0 30
Zj − Cj — 0 0 20 0 0 10
la fila (Zj −Cj ), ya no tiene valores negativos; por lo tanto, el proceso ha conclui-
do. Se presenta la solución del ejercicio en una sola tabla (siguiente pagina).
Para definir la solución del ejercicio, se toma los valores de la columna xj y los
de bn .
Solución optima:
Z(MÁX) = 13.000 dolares,
x1 = 100 Cinturones de clase A,
x2 = 300 Cinturones de clase B,
S1 = 0 Se utiliza toda la piel,
S2 = 100 Hebillas elegantes no utilizadas,

Cj 40 30 0 0 0 0 Tabla I
0 S1 400 1◦ 1 1 0 0 0
←− 0 S2 200 1∗ 0 0 1 0 0
0 S3 350 0◦ 1 0 0 1 0
0 S4 500 2◦ 1 0 0 0 1
Zj 0 0 0 0 0 0 0
Zj − C j — -40 -30 0 0 0 0
Cj 40 30 0 0 0 0 Tabla II
0 S1 200 0 1◦ 1 -1 0 0
−→ 40 x1 200 1 0◦ 0 1 0 0
0 S3 350 0 1◦ 0 0 1 0
←− 0 S4 100 0 1∗ 0 -2 0 1
Zj 8.000 40 0 0 40 0 0
Zj − C j — 0 -30 0 40 0 0
Cj 40 30 0 0 0 0 Tabla III
0 S1 100 0 0 1 1∗ 0 -1
−→ 40 x1 200 1 0 0 1 0 0
0 S3 250 0 0 0 2◦ 0 -1
−→ 30 x2 100 0 1∗ 0 −2◦ 0 1
Zj 11.000 40 30 0 -20 0 30
Zj − C j — 0 0 0 -20 0 30
Cj 40 30 0 0 0 0 Tabla IV
−→ 0 S2 100 0 0 1 1 0 -1
40 x1 100 1 0 -1 0 0 1
0 S3 50 0 0 -2 0 0 1
30 x2 300 0 1 2 0 0 -1
Zj 13.000 40 30 0 -20 0 30
Zj − C j — 0 0 20 0 0 10
S3 = 50 Hebillas de menor calidad no utilizadas,

S4 = 0 Se utiliza toda la capacidad de producción.
Comprobación:
x1 + x2 + S1 = 400 −→ 100 + 300 + 0 = 400
x1 + S2 = 200 −→ 100 + 100 = 200
x2 + S3 = 350 −→ 300 + 50 = 350
2x1 + x2 + S4 = 500 −→ 2(100) + 300 + 0 = 500
2. La Compañı́a ECASA está produciendo dos clases de refrigeradoras, tipo A y

tipo B. De estudios hechos sobre las necesidades del paı́s, se estima que en el
próximo año los requerimientos de estos dos tipos de refrigeradoras serán:
a) Un máximo de 80 Mil unidades de A,

b) Un máximo de 120 Mil unidades de B.
La utilidad que, cada refrigeradora deja a la empresa es: 150 dólares por uni-
dad de A y 300 dólares por unidad de B. Cuantas unidades de A y Cuantas de
B deben producirse para que ECASA alcance la máxima utilidad anual, si sólo
se dispone de:
a) 10 Mil unidades de hierro,

b) 16 Mil unidades de fibra de vidrio,
c) 14 Mil unidades de aluminio.
Considerando que, la composición de estas refrigeradoras debe ser la siguien-

te:
a) Para refrigeradora tipo A: 10 por ciento de hierro, 12 por ciento de fibra

de vidrio y 7 por ciento de aluminio.
b) Para refrigeradora tipo B: 5 por ciento de hierro, 10 por ciento de fibra de
vidrio, 10 por ciento de aluminio.




x1 x2 = N umero producido



 150

300 = U tilidad
Recursos Consumo Disponibilidad



Hierro 0.10 0.05 10000





 Fibra de vidrio

 0.12 0.10 16000



 Aluminio 0.07 0.10 14.500
Demanda A 1 0 80.000





 Demanda B 0 1 120.000
Función Objetivo:
Z(MAX) = 150X1 + 300X2
Restricciones
0.10x1 + 0.05x2 ≤ 10.000 Consumo de hierro



0.12x1 + 0.10x2 ≤ 16.000 Consumo de Fibra de vidrio





 0.07x1 + 0.10x2 ≤ 14.000 Consumo de aluminio





 x2 ≤ 120.000 Demanda B
x1 ≤ 80.000 Demanda A





Z(MAX) = 150x1 + 300x2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 + 0S5



 0.10x1 + 0.05x2 + 0S1 = 10.000



 0.12x1 + 0.10x2 + 0S2 = 16.000
0.07x1 + 0.10x2 + 0S3 = 14.000



x2 + 0S4 = 120.000





 x1 + 0S5 = 80.000
TABLA I:

La tabla I, se forma en base a los datos originales, que se define en las restric-
ciones:
Cj 150 300 0 0 0 0 0 Tabla I

xi bn x1 x2 S1 S2 S3 S4 S5
0 S1 10.000 0.1 0.05 1 0 0 0 0
0 S2 16.000 0.12 0.1 0 1 0 0 0
0 S3 14.000 0.07 0.1 0 0 1 0 0
←− 0 S4 120.000 0 1∗ 0 0 0 1 0
0 S5 80.000 1 0 0 0 0 1 0
Zj 0 0 0 0 0 0 0 0
Zj − C j — -150 -300 0 0 0 0
TABLA II:
La formación de la tabla I, tiene el objetivo principal de indicar el camino, que
se va a seguir en la solución del problema. Por lo tanto, se aconseja al estu-
diante que, siempre la haga, esto facilita el resolver el ejercicio con el método
de simplex.
La tabla I nos indica que, en la fila (Zj − Cj ) se tiene valores negativos, se es-
coje el menor de ellos, en este caso sera (-300); por lo tanto, la columna que
ingresa es x2 , para saber cual fila sale, se divide los coeficientes de bn para los
coeficientes de x2 .
 10 ÷ 0.05 = 200 −→ 0.05∗ semipivote


 16 ÷ 0.1 = 160 −→ 0.1◦ semipivote



bn 
= 14 ÷ 0.1 = 140 −→ 0.1◦ semipivote

x2 
80 ÷ 0 = N o −→ 0◦ semipivote




 120 ÷ 1 = 120 −→ 1∗

pivote
Para obtener los nuevos coeficientes de x2 . Se divide los coeficientes anteriores
de S4 para el pivote , que es 1:

  10 − 120 × 0.05 = 4
 120 ÷ 1 = 120 

0.1 − 0 × 0.05 = 0.1

 

0 ÷ 1 = 0

 

0.05 − 1 × 0.05 = 0

 

1 ÷ 1 = 1

 

 
1 − 0 × 0.05 = 1

 


 0 ÷ 1 = 0 
0 − (0 × 0.05) = 0
 


 0 ÷ 1 = 0 

0 − 0 × 0.05 = 0

 

0 ÷ 1 = 0

 

 

 
 0 − 1 × 0.05 = −0.05

 1 ÷ 1 = 1 

0 − 0 × 0.05 = 0

 

0 ÷ 1 = 0


 


 14 − 120 × 0.1 = 2 

 80 − 120 × (0) = 80
 0.07 − 0 × 0.1 = 0.07  1 − 0 × (0) = 1

 




 0.1 − 1 × 0.1 = 0



 0 − 1 × (0) = 0

 0 − 0 × 0.1 = 0  0 − 0 × (0)

= 0

 


 0 − (0 × 0.1) = 0 

 0 − (0 × (0) = 0
 0 − 0 × (0) = 0
 1 − 0 × 0.1
 = 1






 0 − 1 × 0.1 = −0.1



 1 − 1 × (0) = 1
 0 − 0 × 0.1

= 0  0 − 0 × (0) = 0

 


 16 − 120 × (0.1) = 4 

 1 − (0 × (0.1) = 1
 0.12 − 0 × (0.1) = 0.12

  0 − 0 × (0.1) = 0


 0.1 − 1 × (0.1) = 0 0 − 1 × (0.1) = −0.1

 

 

0 − 0 × (0.1) = 0  0 − 0 × (0.1) = 0

 
Cj 150 300 0 0 0 0 0 Tabla II

0 S1 4 0.1 0 1 0 0 -0.05 0
0 S2 4 0.12 0 0 1 0 -0.1 0
←− 0 S3 2 0.07 0 0 0 1 -0.1 0
−→ 300 x2 120 0 1 0 0 0 1 0
0 S5 80 1 0 0 0 0 1 0
Zj 36.000 0 300 0 0 0 300 0
Zj − Cj — -150 0 0 0 0 0 0
TABLA III:
El siguiente elemento a eliminar de la tabla es el número negativo (-150); es
decir, ingresa la columna de x1 con una utilidad de 150, se debe obtener la fila
sale:
−→ 0.1◦ semipivote


 4 ÷ 0.1 = 40
 4 ÷ 0.12 = 33.33 −→ 0.12◦ semipivote



bn 
= 2 ÷ 0.07 = 28.57 −→ 0.07∗ pivote

x1 





 80 ÷ 1 = 80 −→ 1 ∗ semipivote
Por lo tanto, ingresa la columna de x1 y sale la fila S3 y el numero 0.07 sera el
pivote:
 


 2 ÷ 0.07 = 28.57 

 4 − 23.33 × 0.1 = 1.14
0.07 ÷ 0.07 = 1 0.1 − 1 × 0.1 = 0

 


 

0 ÷ 0.07 = 0 0 − 0 × 0.1 = 0

 


 

 


 0 ÷ 0.07 = 0 

 1 − 0 × 0.1 = 1



 0 ÷ 0.07 = 0 


 0 − (0 × 0.1) = 0
1 ÷ 0.07 = 14.28 0 − 14.28 × 0.1 = −1.43

 


 

 



 −0.1 ÷ 0.07 = −1.43 


 −0.05 − −143 × 0.1 = 0.09
0 ÷ 0.07 = 0 0 − 0 × 0.1 = 0

 


 


 4 − 28.57 × 0.12 = 0.57 

 80 − 28.57 × (1) = 51.43
0.12 − 1 × 0.12 = 0 1 − 1 × (1) = 0

 


 

0 − 0 × 0.12 = 0 0 − 0 × (1) = 0

 


 

 


 0 − 0 × 0.12 = 0  0 − 0 × (1)

 = 0



 1 − (0 × 0.12) = 1 


 0 − (0 × (1) = 0
0 − 14.28 × 0.12 = −1.71 0 − 14.28 × (1) = −14.28

 


 

 



 −0.1 − −1.43 × 0.12 = 0.07 


 1 − −1.43 × (1) = 2.43
0 − 0 × 0.12 = 0  0 − 0 × (1) = 0

 
Coeficientes de x2 :



 120 − 28.57 × (0) = 120
0 − 1 × (0) = 0




1 0 (0) = 1




 − ×


 0 − 0 × (0) = 0



 0 − (0 × (0) = 0
0 − 14.28 × (0) = 0








 0 − −1.43 × (0) = 0
1 − 0 × (0) = 1


Cj 150 300 0 0 0 0 0 Tabla III

0 S1 1.14 0 0 1 0 -1.43 0.09 0
0 S2 0.57 0 0 0 1 -1.71 0.07 0
−→ 150 x1 28.57 1 0 0 0 14.28 -1.43 0
300 x2 120 0 1 0 0 0 1 0
0 S5 51.43 0 0 0 0 -14.28 2.48 0
Zj 40.285.5 150 300 0 0 0 300 0
Zj − Cj — 0 0 0 0 0 0 0
Z(MÁX) = 40.285.000 dólares
x1 = 28.57 mil. Unidades de refrigeradoras tipo A,
x2 = 120 mil. Unidades de refrigeradoras tipo B,
S1 = 1.14 mil. Unidades de hierro no utilizadas,
S2 = 0.57 mil. Unidades de fibra de vidrio no utilizadas,
S3 = 0 Se ha utilizado todo el aluminio,
S5 = 51.43 mil. No se ha cubierto toda la demanda de A,
S4 = 0 Se ha cubierto toda la demanda de B.
Como elemento final en la resolución del ejercicio, se presenta todos los resul-
tados en una sola tabla.

Cj 150 300 0 0 0 0 0 Tabla I

0 S1 10.000 0.1 0.05 1 0 0 0 0
0 S2 16.000 0.12 0.1 0 1 0 0 0
0 S3 14.000 0.07 0.1 0 0 1 0 0
←− 0 S4 120.000 0 1∗ 0 0 0 1 0
0 S5 80.000 1 0 0 0 0 1 0
Zj 0 0 0 0 0 0 0 0
Zj − Cj — -150 -300 0 0 0 0
Cj 150 300 0 0 0 0 0 Tabla II
0 S1 4 0.1 0 1 0 0 -0.05 0
0 S2 4 0.12 0 0 1 0 -0.1 0
←− 0 S3 2 0.07 0 0 0 1 -0.1 0
−→ 300 x2 120 0 1 0 0 0 1 0
0 S5 80 1 0 0 0 0 1 0
Zj 36.000 0 300 0 0 0 300 0
Zj − Cj — -150 0 0 0 0 0 0
Cj 150 300 0 0 0 0 0 Tabla III
0 S1 1.14 0 0 1 0 -1.43 0.09 0
0 S2 0.57 0 0 0 1 -1.71 0.07 0
−→ 150 x1 28.57 1 0 0 0 14.28 -1.43 0
300 x2 120 0 1 0 0 0 1 0
0 S5 51.43 0 0 0 0 -14.28 2.48 0
Zj 40.285.5 150 300 0 0 0 300 0
Zj − Cj — 0 0 0 0 0 0 0
Comprobación:
0, 10x1 + 0, 05x2 + S1 = 10.000 −→ 0.10(28.57) + 0.05(120) + 1.14 = 9.999
0, 12x1 + 0, 10x2 + S2 = 16.000 −→ 0.12(28.57) + 0.10(120) + 0.57 = 15.999
0, 07x1 + 0, 10x2 + S3 = 14.000 −→ 0.07(28.57) + 0.10(120) + 0 = 13.999
x1 + S4 = 80.000 −→ 28.57 + 51.43 = 80.000
x2 + S5 = 120.000 −→ 120 + 0 = 120.000
3. Una fabrica produce dos tipos de muebles A y B, dispone del taller de torno, el
mismo que, puede procesar 25 unidades/hora de A y 40 unidades/hora de B,
siendo el costo por hora de 20 dólares. El taller de rectificación puede procesar
28 un/h de A y 35 un/h de B y su costo es de 14 dólares. El taller de pintura
puede atender a 35 un/h de A y 25 un/h de B y su costo es de 17,5 dólares. El

precio de venta de A es de 5 dólares y el de B, 4 dólares. ¿Cuantas unidades de

A y B debe producir para obtener la máxima ganancia?



x1 x2 = N umero producido



 3.2

2.4 = U tilidad



 T aller P roceso Capacidad Costo



 A B
T orno 25 40 1 20



 Rectif icacion 28 35 1 14




 P intura 35 25 1 17.5
Cuando no se dispone sobre la capacidad de los departamentos, se sobre en-
tiende que, la capacidad es del 100 por ciento. la misma que, es representa por
1, y cada taller ocupa su tiempo de producción, tanto para A, como para B, un
porcentaje de esa capacidad en forma de fracción.
Costos/unidad



A B





 T orno

 20 ÷ 25 = 0.8 20 ÷ 40 = 0.5
 Rectif icacion


 28 ÷ 28 = 0.5 14 ÷ 35 = 0.4
P intura 17.5 ÷ 35 = 0.5 17.5 ÷ 25 = 0.7





 Costos totales 0.8 + 0.5 + 0.5 = 1.8 0.5 + 0.4 + 0.7 = 1.6
La utilidad se define, como la diferencia entre el precio de cada unidad menos
los costos de cada unidad que haya pasado por los diferentes departamentos:



 U tilidad
A B



 P roducto 5 − 1.8 = 3.2 4 − 1.6 = 2.4

Función Objetivo:
Z(MAX) = 3, 2x1 + 2, 4x2
Restricciones:
1 1

x1 + x2 ≤ 1 torno






 25 40


1 1



x1 + x2 ≤ 1 Rectif icacion


 28 35





1 1


x1 + x1 ≤ 1 P intura



35 35









Variables de Holgura:
Se trasforma las desigualdades fraccionarias en igualdades enteras, para lo
cual, se aumenta las variables de holgura,y se obtiene el mı́nimo común deno-
minador:
Z(MAX.) = 3.2x1 + 2.4x2 + 0S1 + 0S2 + 0S3


8x + 5x2 + S1 = 200
 1




 6x1 + 4x2 + S2 = 140
 5x1 + 7x2

+ S3 = 175
Tabla I:
Cj 3.2 2.4 0 0 0 Tabla I

xi bn x1 x2 S1 S2 S3
←− 0 S1 200 8 ∗ 5 1 0 0
0 S2 140 5 4 0 1 0
0 S3 175 5 7 0 0 1
Zj 0 0 0 0 0 0
Zj − Cj — -3.2 -2.4 0 0 0
Los elementos de la tabla I, se forma de las ecuaciones de las restricciones.

Al iniciarse el proceso productivo, no existe utilidad; por lo tanto, todos los
coeficientes de la fila Zj son ceros.
Los elementos de la fila (Zj − Cj ), que se denomina criterio del simplex, se
forma restando los coeficientes de la fila Zj menos la fila Cj .
Tabla II:
La tabla I nos indica que, en la fila (Zj − Cj ) se tiene valores negativos, se es-
coje el menor de ellos, en este caso sera (-3.2); por lo tanto, la columna que
coeficientes de x1 .
 200


 = 25 −→ 8∗ pivote
 8






bn   140

= = 28 −→ 5◦ semipivote
x1  
 5



175


= 35 −→ 0.1◦ semipivote



5

Por lo tanto, ingresa la columna de x1 y sale la fila S1 y el numero 8 sera el
pivote.
de S2 para el pivote , que es :
140 − 25 × 5 = 15

200 ÷ 8 = 25
 

5 − 1×5 = 0

 


8 ÷ 8 = 1

 



 
 4 − 0.625 × 5 = 0.875
5 ÷ 8 = 0.625

 
0 − 0.125 × 5 = −0.625
 

1 ÷ 8 = 0.125

 

1 − (0 × 5) = 1

 


0 ÷ 8 = 0

 



  0 − 0×5 = 0
 0 ÷ 8 = 0

175 − 25 × 5 = 50



5 − 1×5 = 0







 7 − 0.625 × 5 = 3.875



 0 − 0.125 × 5 = −0.625
0 − (0 × 5) = 0





 1 − 0×5 = 1
Cj 3.2 2.4 0 0 0 Tabla II

−→ 3.2 x1 25 1 0.625 0.125 0 0
0 S2 15 0 0.875 -0.625 1 0
←− 0 S3 50 0 3.875 -0.625 0 1
Zj 80 3.2 2 0.4 0 0
Zj − Cj — 0 -0.4 0.4 0 0
Tabla III:
La tabla II nos indica que, en la fila (Zj −Cj ) se tiene, todavı́a, valores negativos,
se escoje el menor de ellos, en este caso sera (-0.4); por lo tanto, la columna que
coeficientes de x2 :
 25


 = 40
0.625







bn   15

= = 17.14 −→ 0.875◦ semipivote
x2  
 0.875



 50


= 12.90 −→ 3.875∗ pivote


3.875

Por lo tanto, ingresa la columna de x2 y sale la fila S3 y el numero 3.875 sera el
pivote.
de S3 para el pivote , que es :
50 ÷ 3.875 = 13 15 − 12.90 × 0.875 = 3.625

 

 

0 3.875 = 0 0 0 0.875 = 0
 



 ÷ 


 − ×
 3.875 ÷ 3.875 = 1  0.875 − 1 × 0.875 = 0

 




 −0.625 ÷ 3.875 = −0.1612 


 −0.625 − −0.1612 × 0.875 = 0.4839
0 ÷ 3.875 = 0 1 − (0 × 0.875) = 1

 


 

 
 1 ÷ 3.875 = 0.2580  0 − 0.2580 × 0.875 = −0.2257
Coeficientes de x1 : Coeficientes de x1 :
 


 25 − 13 × 0.625 = 16.875 

 0, 125 − 0.1612 × 0.625 = 0.56
1 − 0 × 0.625 = 1 0 − (0 × 0.625) = 0
 

 

 0.625 − 1 × 0.625 = 0
 
 0 − 0.2580 × 0.625 = −0.1612

Cj 3.2 2.4 0 0 0 Tabla III

3.2 x1 16.875 1 0 0.024 0 -0.1612
0 S2 3.625 0 0 0.4839 1 -0.2257
−→ 2.4 x2 13 0 1 -0.1612 0 0.258
Zj 85.6 3.2 2.4 -0.3868 0 0.6192
Zj − Cj — 0 0 0.336 0 0.1034
La fila (Zj − Cj ) esta compuesta por números positivos y ceros; por lo tanto el
proceso ha concluido.
Solución óptima Z(MÁX.) = 85.6 dólares
x1 = 17 Se debe producir 17 elementos de tipo A
x2 = 13 Se debe producir 13 elementos de tipo B
S1 = 0 Se utilice toda la capacidad del departamento de torno.
S2 = 3.625. No se ha utilizado toda la capacidad del departamento de recti-
ficación
S3 = 0 Se ha utilizado toda la capacidad del departamento de pintura.
Se presenta en una sola tabla el ejercicio.
Cj 3.2 2.4 0 0 0 Tabla I

←− 0 S1 200 8∗ 5 1 0 0
0 S2 140 5 4 0 1 0
0 S3 175 5 7 0 0 1
Zj 0 0 0 0 0 0
Zj − Cj — -3.2 -2.4 0 0 0
Cj 3.2 2.4 0 0 0 Tabla II
−→ 3.2 x1 25 1 0.625 0.125 0 0
0 S2 15 0 0.875 -0.625 1 0
←− 0 S3 50 0 3.875 -0.625 0 1
Zj 80 3.2 2 0.4 0 0
Zj − Cj — 0 -0.4 0.4 0 0
Cj 3.2 2.4 0 0 0 Tabla III
3.2 x1 16.875 1 0 0.024 0 -0.1612
0 S2 3.625 0 0 0.4839 1 -0.2257
−→ 2.4 x2 13 0 1 -0.1612 0 0.258
Zj 85.6 3.2 2.4 -0.3868 0 0.6192
Zj − Cj — 0 0 0.336 0 0.1034

2.13.3. Ejercicios de Minimización Método Simplex

Los casos de minimización se puede también resolver empleando la metodologı́a
del método ”Simplex”, con algunas variaciones. En los problemas de minimización
se introduce las variables:
1. variables de holgura con signo negativo Sj y,
2. las variables artificiales con signo positivo mj .
Las variables artificiales tienen un coeficiente (M) que es un valor indeterminado.

Cuando hay variables de holgura y artificiales, primero se eliminan las variables ar-
tificiales y luego las de holgura.
Si la restricción es una igualdad, entonces se introduce solamente variables artifi-
ciales con signo positivo.
Para resolver un problema de minimización, se empieza eliminando los mayores
valores positivos de la fila (Zj − Cj ). El proceso habrá concluido cuando en la fila
(Zj − Cj ) queden valores negativos o ceros.
La función objetivo se representara por Z(MIN) y las variables artificiales llevaran
en esta función un coeficiente M.
Z(Min.) = a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn + 0S1 + 0S2 + · · · + 0Sn + Mm1 + Mm2 + · · · + Mmn
Restricciones,
 variables de holgura y artificiales:

 A11 x1 + A12 x2 + A13 x3 + · · · + A1n xn − S1 + Mm1 = b1




 A21 x1 + A22 x2 + A23 x3 + · · · + A2n xn − S2 + Mm2 = b2
 A31 x1 + A32 x2 + A33 x3 + · · · + A3n xn − S3 + Mm3 = b3





 A41 x1 + A42 x2 + A43 x3 + · · · + A4n xn − S4 + Mm4 = b4

 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
. . . . . . . . . . . .





 A x + A x + A x + · · · + A x − S + Mm = b
m1 1 m2 2 m3 3 mn n n n n
1. Se producen dos artı́culos A y B los mismos que son procesados por 3 maqui-
nas M1 , M2 y M3 que disponen de 130, 190, 200 horas semanales al menos.
La M1 procesa 1 unidad de A y 1 de B; M2 procesa 2 de A y 1 de B; M3 procesa
1 de A y 4 de B. El costo de procesar es 2 dólares por cada unidad del articulo
A y 3 dólares por cada unidad del articulo B. Cuantas unidades de A y B se
deben procesar para que el costo sea mı́nimo.?



x1 x2 −→ N úmero producido



 2

3 −→ U tilidad
Restricciones:
x1 + x2 ≥ 130 Capacidad de procesar M1








 2x + x2 ≥ 190 Capacidad de procesar M2
 1





x1 + 4x1 ≥ 200 Capacidad de procesar M3










Variables de holgura y Artificiales:


x + x2 − S1 +m1 ≥ 130
 1




 2x1 + x2 − S2 +m2 ≥ 190
 x1 + 4x1

− S3 +m3 ≥ 200
TABLA I:
Para formar la tabla I, se utiliza los coeficientes de las variables fundamenta-
les, de holgura y artificiales. Primero se elimina las variables artificiales, las
mismas que, en la función objetivo irán con un coeficiente (M), que representa
un valor indeterminado.
Cj 2 3 0 0 0 M M M Tabla I
xi bn x1 x2 S1 S2 S3 m1 m2 m3
M m1 130 1 1 -1 0 0 1 0 0
M m2 190 2 1 0 -1 0 0 1 0
←− M m3 200 1 4 ∗ 0 0 -1 0 0 1
Zj 520M 4M 6M -M -M -M M M M
Zj − C j — 4M 6M -M -M -M 0 0 0
La fila Zj se obtiene:
Zj = M X 130 + M x 190 + M x 200 =520M
= 1 x M + 2 x M + 1 x M = 4M
= 1×M +1×M +4×M = 6×M
=−1 × M + O × M + 0 × M = −M
= 0 × M − 1 × M + 0 × M = −M
= 0 × M + O × M − 1 × M = −M
= 1×M +0×M +0×M = M
= 0×M +1×M +0×M = M
= 0×M +0×M +1×M = M
TABLA II:
Cuando la función objetivo es de minimización, de la fila Zj −Cj se debe elimi-
nar los valores positivos, empezando por el mayor, en este caso 6M, de modo
que ingresa X2 con un costo de 3, para saber que fila sale se procede como en
los problemas de maximización.
130

= 130 −→ 1◦ semipivote



1







bn   190

= = 190 −→ 1◦ semipivote
x2  
 1



200


= 50 −→ 4∗ pivote



4


Coeficientes de x2 : Coeficientes de m1 :
 


 200 ÷ 4 = 50 

 130 − 50 × 1 = 80



 1 ÷ 4 = 0.25 


 1 − 0.25 × 1 = 0.75
4 ÷ 4 = 1 1 − 1×1 = 0

 


 

 



 0 ÷ 4 = 0 


 −1 − 0×1 = −1
0 ÷ 4 = 0 0 − (0 × 1) = 0
 

 

−1 ÷ 4 = −0.25 0 − (−0.25) × 1 = 0.25

 


 


0 ÷ 4 = 0








 1 − 0×1 = 1
0 ÷ 4 = 0 0 − 0×1 = 0

 


 

1 ÷ 4 = 0.25 0 − 0.25 × 1 =

−0.25
 

Coeficientes de m2 :



 190 − 50 × 1 = 140



 2 − 0.25 × 1 = 1.75
1 − 1×1 = 0








 0 − 0 × 1 = 0
−1 − (0 × 1) = −1



0 − (−0.25) × 1 = 0.25








 0 − 0×1 = 0
1 − 0×1 = 1




0 − 0.25 × 1 = −0.25


Cj 2 3 0 0 0 M M M Tabla II
M m1 80 0.75 0 -1 0 0.25 1 0 -0.25
←− M m2 140 1.75∗ 0 0 -1 0.25 0 1 -0.25
−→ 3 x2 50 0.25 1 0 0 -0.25 0 0 0.25
Zj 220M 2.5M 0M -M -M 0.5M M M -0.5M
Zj − Cj — 2.5M 0M -M -M 0.5M 0 0 -1.5M
La fila Zj − Cj tiene los mismos valores de la fila Zj , con excepción de las tres
ultimas columnas. Para los valores de Zj no se toma en cuenta la fila x2 por
tener coeficiente numéricos.
TABLA III:
De la fila Zj − Cj se toma el valor el mayor valor positivo, en este caso, 2,5M.
Es decir, ingresa x1 con un costo de 2 dolares. Se determina la fila que sale:
80

= 106.66 −→ 0.75◦ semipivote



0.75







bn   140

= = 80 −→ 0.25∗ pivote
x1  
 1.75



50




 = 200
0.25

Sale la fila m2 e ingresa la columna x1

 


 140 ÷ 1.75 = 80 

 80 − 80 × 0.75 = 20
 1.75 ÷ 1.75 =
 1  0.75 − 1 × 0.75
 = 0

 

0 ÷ 1.75 = 0 0 − 0 × 0.75 = 0

 


 

 



 0 ÷ 1.75 = 0 


 −1 − 0 × 0.75 = −1
−1 ÷ 1.75 = −0, 57 0 − (−0.57 × 0.75) = 0.43
 

 

0.25 ÷ 1.75 = 0.14 0.25 − (0.14) × 0.75 = 0.15

 


 

 



 0 ÷ 1.75 = 0 


 1 − 0 × 0.75 = 1
1 ÷ 1.75 = 0.57 0 − 0.57 × 0.75 = −0.43

 


 

 −0.25 ÷ 1.75 =

−0.14  −0.25 − (−0.14) × 0.75

= −0.15



 50 − 80 × 0.25 = 30



 0.25 − 1 × 0.25 = 0
1 − 0 × 0.25 = 1








 0 − 0 × 0.25 = 0
0 − (−0.57 × 0.25) = 0.14



−0.25 − (0.14) × 0.25 = −0.28








 0 − 0 × 0.25 = 0
0 − 0.57 × 0.25 = −0.14




 0.25 − −0.14 × 0.25

= 0.28
Cj 2 3 0 0 0 M M M Tabla III
←− M m1 20 0 0 -1 0.43∗ 0.15 1 -0.43 -0.15
−→ 2 x1 80 1 0 0 -0.57 0.14 0 0.57 -0.14
3 x2 30 0 1 0 0.14 -0.28 0 -0.14 0.28
Zj 20M 0M 0M -M -M 0.43M 0.15M -0.43M -0.15M
Zj − Cj — 0M 0M -M 0.43M 0.15M 0 -1.43M -1.15M
TABLA IV:
De la fila (Zj − Cj ) se toma el valor positivo 0,43M; es decir, que ingresa S2 :
20

= 46.5 −→ 0.43∗


 pivote
0.43







bn 
 80

= = No −→ −0.57◦ semipivote
S2 

 −0.57



30


= 214.3 −→ 0.25◦ semipivote



0.14

Sale la fila m1 y en su lugar ingresa S2 . Al desaparecer las variables artificiales,

las tres últimas columnas no intervienen en el proceso.

80 − 46.51 × (−0.57) = 106.51

20 ÷ 0.43 = 46.51
 

1 − 0 × (−0.57) = 1

 


0 ÷ 0.43 = 0

 



 
 0 − 0 × (−0.57) = 0
0 ÷ 0.43 = 0

 
0 − −2.33 × (−0.57) = −1.33
 

−1 ÷ 0.43 = −2.33

 

−0.57 − (1 × (−0.57)) = 0

 


0.43 ÷ 0.43 = 1

 

  0.14 − (0.35) × (−0.57)


 0.15 ÷ 0.43 = = 0.34
0.35
30 − 46.51 × 0.14 = 23.5




0 − 0 × 0.14 = 0







 1 − 0 × 0.14 = 1



 0 − 2.33 × 0.14 = 0.33
0.14 − (1 × 0.14) = 0





 −0.28 − (0.35) × 0.14 = −0.33
Cj 2 3 0 0 0 Tabla IV
←− 3 x2 23.5 0 1 0.33 0 -0.33
−→ 2 x1 106.51 1 0 -1.33 0 0.34
0 S2 46.51 0 0 -2.33 1 0.35
Zj 20M 2 3 -1.67 0 -0.31
Zj − Cj — 0 0 -1.67 0 -0.31
La fila (Zj − Cj ), se denomina criterio del simplex, cuando se tiene valores ne-
gativos o ceros; entonces, el proceso ha terminado.
Z(MÍN) = 183,5 Dólares.
x1 = 106,51 Unidades del artı́culo A
x2 = 23,5 Unidades del articulo B
S1 = 0 Se utilice toda la capacidad de la maquina uno
S2 = 46,5 Capacidad no utilizada de la maquina dos
S3 = 0 Se utilice toda la capacidad de la maquina tres
Comprobación:
x1 + x2 − S1 = 130
106.5 + 23.5 - 0 = 130
2x1 + x2 − S1 = 190
2(106.5) + 23.5 - 46.5 = 190.
La solución del ejercicio se presenta en una sola tabla.

Cj 2 3 0 0 0 M M M Tabla I
M m1 130 1 1 -1 0 0 1 0 0
M m2 190 2 1 0 -1 0 0 1 0
←− M m3 200 1 4∗ 0 0 -1 0 0 1
Zj 520M 4M 6M -M -M -M M M M
Zj − Cj — 4M 6M -M -M -M 0 0 0
Cj 2 3 0 0 0 M M M Tabla II
M m1 80 0.75 0 -1 0 0.25 1 0 -0.25
←− M m2 140 1.75∗ 0 0 -1 0.25 0 1 -0.25
−→ 3 x2 50 0.25 1 0 0 -0.25 0 0 0.25
Zj 220M 2.5M 0M -M -M 0.5M M M -0.5M
Zj − Cj — 2.75M 0M -M -M 0.5M 0 0 -1.5M
Cj 2 3 0 0 0 Tabla III
←− 3 x2 23.5 0 1 0.33 0 -0.33
−→ 2 x1 106.51 1 0 -1.33 0 0.34
0 S2 46.51 0 0 -2.33 1 0.35
Zj 20M 2 3 -1.67 0 -0.31
Zj − Cj — 0 0 -1.67 0 -0.31
2. Una compañı́a quı́mica esta diseñando una planta para producir dos tipos de
minerales M y N. La planta debe sen capaz de producir al menos 100 unida-
des de M y 420 unidades de N cada dı́a. Existen dos posibles diseños para las
cámaras principales de reacción que vienen incluidas en la planta. Cada cáma-
ra tipo A cuesta 600 mil dólares y es capaz de producir 10 unidades de M y 20
unidades de N por dı́a; el tipo B es un diseño mas económico, cuesta 300 mil
dólares y es capaz de producir 4 unidades de M y 30 unidades de N por dı́a.
A causa de los costos de operación, es necesario tener al menos 4 cámaras de
cada tipo en la planta. ¿Cuantas cámaras de cada tipo deben ser incluidas pa-
ra minimizar el costo de construcción y satisfacer el programa de producción
requerido?



 A B −→ Camaras
x x −→ N úmero de Camaras


 1 2
 600 mil

300 mil −→ Costos
Restricciones:



 x1 ≥ 4 Camaras tipo A



 x2 ≥ 4 Camaras tipo B
10x1 + 4x2 ≥ 100 P roduccion Mineral M



20x1 + 30x2 ≥ 420 P roduccion Mineral N









 x1 − S1 +m1 = 4


 x2 − S2 +m2 = 4



 10x1 + 4x1 − S3 +m3 ≥ 100
 20x + 30x

− S +m4 ≥ 420
1 2 4
Función Objetivo:
Z(MIN ) = 600X1 + 300X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 + Mm1 + Mm2 + Mm3 + Mm4
TABLA I:
La primera tabla se forma con los coeficientes originales de la función objetivo,

las variables fundamentales, las variables de holgura y las variables artificia-
les. Los coeficientes de la fila (Zj − Cj ), se obtienen sumando los productos de
los coeficientes de cada columna con los coeficientes M de cada variable artifi-
cial: M × 4 + m × 4 + M × 100 + M × 420 = 528M.
El resto de valores se obtienen aplicando el mismo procedimiento.
Cj 600 300 0 0 0 0 M M M M Tabla I

xi bn x1 x2 S1 S2 S3 S 4 m1 m2 m3 m4
←− M m1 4 1 0 -1 0 0 0 1 0 0 0
M m2 4 0 1 0 -1 0 0 0 1 0 0
M m3 100 10 4 0 0 -1 0 0 0 1 0
M m4 420 20 30 0 0 0 -1 0 0 0 1
Zj 528M 31M 35M -M -M -M -M M M M M
Zj − Cj — 31M 35M -M -M -M -M 0 0 0 0
TABLA II:
El mayor valor positivo de la fila del criterio simplex es 35M, de manera que
la columna que ingresa es x2 con un costo de 300. Para obtener la fila que sale,
se busca el menor cociente de dividir:

4
= N o −→ 1◦ semipivote



0







4


−→ 1∗ pivote


 = 4
1

bn  

=
x2   100



4







420





30

El menor cocientes es 4; por lo tanto, el pivote es 1, el resto son semipivotes. La

fila que sale es m2 . Los coeficientes de la nueva fila x2 , se obtienen dividiendo
los anteriores para el pivote 1:

4 − 4×0 = 4

4 ÷ 1 = 4
 

 1 − 0×0 = 1

 

0 ÷ 1 = 0

 



 
 0 − 1×0 = 0
1 ÷ 1 = 1

 

−1 − 0 × 0 = −1

 

0 ÷ 1 = 0

 


0 − (−1 × 0) = 0

 



 −1 ÷ 1 = −1 

0 − (0) × 0 = 0

 
0 ÷ 1 = 0
 

0 − 0×0 = 0

 

0 ÷ 1 = 0

 


1 − 0×0 = 1

 



 0 ÷ 1 = 0 

0 − 1 × 0 = 0

 

1 ÷ 1 = 1

 

0 − 0×0 = 0

 


0 ÷ 1 = 0

 

  0 − 0×0


 0 ÷ 1 = 0 = 0
Coeficientes de m3 : Coeficientes de m4 :
100 − 4 × 4 = 84

420 − 4 × 30 = 300


 

10 − 0 × 4 = 10

 20 − 0 × 30 = 20
 


 
 



 4 − 1×4 = 0 


 30 − 1 × 30 = 0
0 − 0×4 = 0 0 − 0 × 30 = 0

 


 

 



 0 − (−1 × 4) = 4 


 0 − (−1 × 30) = 30
−1 − (0) × 4 = −1 0 − (0) × 30 = 0
 

 

0 − 0×4 = 0 −1 − 0 × 30 = −1

 


 


0 − 0×4 = 0








 0 − 0 × 30 = 0
0 − 1×4 = −4 0 − 1 × 30 = −30

 


 

1 − 0×4 = 1 0 − 0 × 30 = 0

 


 

 
 0 − 0×4 = 0  1 − 0 × 30 = 1
Cj 600 300 0 0 0 0 M M M M Tabla II

xi bn x1 x2 S1 S2 S3 S 4 m1 m2 m3 m4
M m1 4 1 0 -1 0 0 0 1 0 0 0
−→ 300 x2 4 0 1 0 -1 0 0 0 1 0 0
M m3 84 10 0 0 4 -1 0 0 -4 1 0
←− M m4 300 20 0 0 30 0 -1 0 -30 0 1
Zj 388M 31M 0M -M 34M -M -M M -34M M M
Zj − Cj — 34M 0M -M 33M -M -M 0 25M 0 0
TABLA III:
Se elimina el mayor valor positivo de la fila del criterio simplex, que es 34M;
de manera que, la columna que ingresa es S2 con un costo de 0. Para obtener
la fila sale se busca el menor cociente de dividir:



 4 ÷ −1 = N o −→ 1◦ semipivote

bn  
=
S2  
 84 ÷ 4 = 21 −→ 0◦ semipivote
 300 ÷ 30 = 10 −→ 30∗ pivote

En este análisis los números divididos para cero o negativos no se toman en

consideración. El menor cocientes es 10; por lo tanto, el pivote es 30, el resto

son semipivotes. La fila que sale es m4 . Los coeficientes de la nueva fila S2 , se

obtienen dividiendo los anteriores para el pivote 30.
Los coeficientes de m1 son los mismos, que los anteriores, porque el semipivote
correspondiente a esa fila es cero (0).
Coeficientes de S2 : Coeficientes de m1 :
300 ÷ 30 = 10 4 − 10 × 0 = 4
 

 

 20 ÷ 30 = 066  1 − 0.66 × 0 = 1

 


 




 0 ÷ 30 = 0 


 0 − 0×0 = 0
0 ÷ 30 = 0 −1 − 0 × 0 = −1

 


 

 



 30 ÷ 30 = 1 


 0 − (1 × 0) = 0
0 ÷ 30 = 0 0 − (0) × 0 = 0
 

 

−1 ÷ 30 = −0.03 0 − −0.03 × 0 = 0

 


 

 



 0 ÷ 30 = 0 


 1 − 0×0 = 1
−30 ÷ 30 = −1 0 − −1 × 0 = 0

 


 

0 ÷ 30 = 0 0 − 0×0 = 0

 


 

 
 1 ÷ 30 = 0.03  0 − 0.03 × 0 = 0
Coeficientes de m3 : Coeficientes de x2 :
84 − 10 × 4 = 44

4 − 10 × (−1) = 14


 

10 − 0.66 × 4 = 7.36

0 − 0.66 × (−1) = 0.66
 


 

 



 0 − 0×4 = 0 


 1 − 0 × (−1) = 1
0 − 0×4 = 0 0 − 0 × (−1) = 0

 


 

 



 4 − (1 × 4) = 0 


 −1 − (1 × (−1)) = 0
−1 − (0) × 4 = −1 0 − (0) × (−1) = 0
 

 

0 − −0.03 × 4 = 0.12 0 − −0.03 × (−1) = 0.03

 


 


0 − 0×4 = 0








 0 − 0 × (−1) = 0
−4 − −1 × 4 = 0 1 − −1 × (−1) = 0

 


 

1 − 0×4 = 1 0 − 0 × (−1) = 0

 


 


 0 − 0.03 × 4 
= −0.12  0 − 0.03 × (−1) = 0.03
Cj 600 300 0 0 0 0 M M M M Tabla III

xi bn x1 x2 S1 S2 S3 S4 m1 m2 m3 m4
←− M m1 4 1 0 -1 0 0 0 1 0 0 0
300 x2 14 0.66 1 0 0 0 0.03 0 0 0 0.03
M m3 44 7.36 0 0 0 -1 0.12 0 0 1 -0.12
−→ 0 S2 10 0.66 0 0 1 0 -0.03 0 -1 0 0.03
Zj 48M 8.36M 0M -M 0M -M 0.12M M 0M M M
Zj − Cj — 8.36M 0M -M 0M -M 0.12M 0 -M 0 0
TABLA IV:
Se elimina el mayor valor positivo de la fila del criterio simplex, que en este ca-
so es 8.36M, de manera que la columna que ingresa es x1 con un costo de 600,
se determina la fila que sale, para lo cual, se busca el menor cociente de dividir:


4
−→ 1∗


 = 4 pivote
1







14


= 21.21 −→ 0.66◦ semipivote



0.66

bn 

=

x1 
 44

= 5.97






 7.36


10


= 15.15 −→ 10◦


 semipivote
0.66

El menor de los cocientes es 4; por lo tanto, el pivote es 1, el resto son semi-

pivotes. La fila que sale es m1 . Los coeficientes de la nueva fila x1 se obtienen
dividiendo los anteriores para el pivote 1.
4 ÷ 1 = 4

10 − 4 × 0.66 = 7.36


 

1 ÷ 1 = 1

0.66 − 1 × 0.66 = 0
 


 

 



 0 ÷ 1 = 0 


 0 − 0 × 0.66 = 0
−1 ÷ 1 = −1 0 − (−1 × 0.66) = 0.66

 


 

 



 0 ÷ 1 = 0 


 1 − (0) × 0.66 = 1
0 ÷ 1 = 0 0 − 0 × 0.66 = 0
 

 

0 ÷ 1 = 0 −0.03 − 0 × 0.66 = −0.03

 


 


1 ÷ 1 = 1








 0 − 1 × 0.66 = −0.66
0 ÷ 1 = 0 −1 − 0 × 0.66 = −1

 


 

0 ÷ 1 = 0 0 − 0 × 0.66 = 0

 


 


 0 ÷ 1 = 0 
 0.03 − 0 × 0.66 = 0.03
14 − 4 × (0.66) = 11.36

44 − 4 × 7.36 = 14.56
 

 0.66 − 1 × (0.66) = 0

 

7.36 − 1 × 7.36 = 0

 



 
 1 − 0 × (0.66) = 1
0 − 0 × 7.36 = 0

 

0 − −1 × (0.66) = 0.66

 

0 − −1 × 7.36 = 7.36

 


0 − (0 × (0.66)) = 0

 



 0 − (0 × 7.36) = 0 

0 − (0) × (0.66) = 0

 
−1 − (0) × 7.36 = −1
 

0.03 − 0 × (0.66) = 0.03

 

0.12 − 0 × 7.36 = 0.12

 


0 − 1 × (0.66) = −0.66

 



 0 − 1 × 7.36 = −7.36 

0 − 0 × (0.66) = 0

 

0 − 0 × 7.36 = 0

 

0 − 0 × (0.66) = 0

 


1 − 0 × 7.36 = 1

 

  0.03 − 0 × (0.66)


 −0.12 − 0 × 7.36 = 0.03
= −0.12
La tabla IV esta en la siguiente pagina.

TABLA V:
Se elimina el mayor valor positivo de la fila del criterio simplex, que en este ca-
so es 7.36M, de manera que la columna que ingresa es S1 con un costo de cero,
se determina la fila que sale, para lo cual, se busca el menor cociente de dividir:

Cj 600 300 0 0 0 0 M M M M Tabla IV

xi bn x1 x2 S1 S2 S3 S4 m1 m2 m3 m4
−→ 600 x1 4 1 0 -1 0 0 0 1 0 0 0
300 x2 11.36 0 1 0.66 0 0 0.03 -0.66 0 0 0.03
←− M m3 14.56 0 0 7.36 0 -1 0.12 -7.36 0 1 -0.12
0 S2 7.36 0 0 0.66 1 0 -0.03 -0.66 -1 0 0.03
Zj 14.56M 0M 0M 7.36M 0M -M 0.12M -7.36M 0M M -0.12M
Zj − Cj — 0M 0M 7.36M 0M -M 0.12M -8.36M -M 0 -1.12M

4
−→ 1◦


 = No semipivote
−1







11.36


= No −→ −0.66◦ semipivote



−0.66

bn 

=

S1 
 14.56
−→ 7.36∗

= 2 pivote


7.36







7.36


= 11.15 −→ 0.66◦


 semipivote
0.66

El menor cocientes es 2; por lo tanto, el pivote es 7.36, el resto de elementos son

semipivotes. La fila que sale es m3 . Se eliminan todas las variables artificiales,
entonces en la tabla V, no tomamos en cuenta las cuatro últimas columnas:
4 − 2 × −1 = 6

14.56 ÷ 7.36 = 2
 

1 − 0 × −1 = 1

 

0 ÷ 7.36 = 0

 


0 − 0 × −1 = 0

 



 0 ÷ 7.36 = 0 

−1 − (1 × −1) = 0

 
7.36 ÷ 7.36 = 1
 

0 − (0) × −1 = 0

 

0 ÷ 7.36 = 0

 


0 − −0.13 × −1 = −0.13

 



 −1 ÷ 7.36 = −0.13 

0 − 0.01 × −1 = 0.01

 
0.12 ÷ 7.36 = 0.01

11.36 − 2 × 0.66 = 10 7.36 − 2 × (0.66) = 6

 

 

0 − 0 × 0.66 = 0 0 − 0 × (0.66) = 0

 


 

 



 1 − 0 × 0.66 = 1 


 0 − 0 × (0.66) = 0
0.66 − 1 × 0.66 = 0 0.66 − 1 × (0.66) = 0
 

 

0 − (0 × 0.66) = 0 1 − (0 × (0.66)) = 1

 


 


0 − (−0.13) × 0.66 = 0.08








 0 − (−0.13) × (0.66) = 0.08
0.03 − 0.01 × 0.66 = −0.03 −0.03 − 0.01 × (0.66) = −0.03
 
Tabla V esta en la siguiente pagina.

Como en la fila del criterio simplex (Zj −Cj ), solo hay valores negativos y ceros;
entonces, el proceso ha concluido.

Cj 600 300 0 0 0 0 Tabla V

600 x1 6 1 0 0 0 -0.13 0.01
300 x2 10 0 1 0 0 0.08 -0.03
0 S1 2 0 0 1 0 -0.13 0.01
0 S2 6 0 0 0 1 0.08 -0.03
Zj 6.600 600 300 0 0 0 -3
Zj − C j — 0M 0M 0 0 0 -3
Z(MIN ) = 6.600 dólares
x1 = 6 Cámaras tipo A
x2 = 10 Cámaras tipo B
S1 = 2 Se tiene 2 cámaras mas del limite
S2 = 6 Cámaras mas del limite
S3 = 0 Se ha cubierto la producción de P1
S4 = 0 Se ha cubierto la producción de P2 .
El estudiante debe presentar la solución del ejercicio en una sola tabla.
3. Se fabrican dos clases de muebles A y B, se dispone de madera para 80 muebles

por lo menos, toma 2 horas preparar 10 muebles tipo A y 4 horas preparar 10
muebles tipo B, se dispone hasta de 20 horas. La demanda de A es de un total
de 70. Cada mueble tipo A deja una utilidad de 10 dólares y 8 dólares cada
mueble tipo B. ¿Cuántos muebles tipo A y B se deben fabricar para obtener la
máxima ganancia?

 A
 B −→ Muebles

x1 x2 −→ N úmero de Muebles



 10

8 −→ U tilidad
Restricciones:
x1 + x2 ≥ 80 Cantidad de madera




 2 4
x1 + x2 ≤ 20 T iempo



 10 10
x1 = 70 Demanda de A





 x ,x1 2 ≥ 0 N o − negatividad

 x1 + x2 − S1
 +m1 = 80

x1 + 2x2 + S2 = 100



x1 +m3 = 70


Función Objetivo:
Z(MIN ) = 10X1 + 8X2 + 0S1 + 0S2 + Mm1 + Mm3
TABLA I:

Cj 10 8 0 0 M M Tabla I
xi bn x1 x2 S1 S2 m1 m3
M m1 80 1 1 -1 0 1 0
←− M m3 70 1∗ 0 0 0 0 1
0 S2 100 1 2 0 1 0 0
Zj 150M 2M M -M 0M M M
Zj − Cj — 2M M -M 0 0 0
TABLA II:
Se elimina el mayor valor positivo de la fila del criterio simplex, que en este
caso es 2M, de manera que la columna que ingresa es x1 con una utilidad de
diez, se determina la fila que sale, para lo cual, se busca el menor cociente de
dividir:
80




1







bn 
 70

= = 70 −→ 1∗ pivote
x1 

 1



100





1

A pesar de que la función objetivo es de maximización, el problema se empieza

a resolver como un problema de minimización, por haber variables artificia-
les; sin embargo, al final del proceso en la fila (Zj − Cj ) deben quedar valores
positivos o ceros.
80 − 70 × 1 = 10

70 ÷ 1 = 70
 

 1 − 1×1 = 0

 

1 ÷ 1 = 1

 

1 0 1 = 1


 
 − ×

 0 ÷ 1 = 0 

−1 − (0 × 1) = −1

 
0 ÷ 1 = 0
 

0 − (0) × 1 = 0

 

0 ÷ 1 = 0

 


1 − 0×1 = 1

 


 0 ÷ 1 = 0
 

0 − 1×1 = −1

 
1 ÷ 1 = 1

100 − 70 × 1 = 30



1 − 1×1 = 0








 2 − 0 × 1 = 2
0 − 0×1 = 0



1 − (0 × 1) = 1








 0 − (0) × 1 = 0
0 − 1×1 = −1

La tabla II esta en la siguiente pagina.

Cj 10 8 0 0 M M Tabla II
xi bn x1 x2 S1 S2 m1 m3
M m1 10 0 1 -1 0 1 -1
←− 10 x1 70 1∗ 0 0 0 0 1
0 S2 30 0 2 0 1 0 -1
Zj 10M 0 M -M 0M M -M
Zj − C j — 0 M -M 0 0 -2M
TABLA III:
Se elimina el mayor valor positivo de la fila del criterio simplex, que en este
caso es M, de manera que la columna que ingresa es x2 con una utilidad de
ocho dolares, se determina la fila que sale, para lo cual, se busca el menor co-
ciente de dividir:
10

−→ 1∗ pivote


 = 10
1







bn 
 70
= = N o −→ 1◦ semipivote

x2 

 0



30





2

Las variables artificiales, m1 , m3 ya no se les considera en el análisis; ya que,
en la columna xi no están.

 70 − 10 × 0 = 70
 10 ÷ 1 = 10




 
 1 − 0 × 0 = 1

 0 ÷ 1 = 0 

0 − 1×0 = 0

 
1 ÷ 1 = 1
 

 0 − (−1 × 0) = 0

 

−1 ÷ 1 = −1

 



  0 − (0) × 0 = 0
 0 ÷ 1 = 0

 30 − 10 × 2 = 10 (

 0 − −1 × 2 = 2
0 − 0×2 = 0



 2 − 1×2 = 0
 1 − (0 × 2) = 1
Cj 10 8 0 0 Tabla III
xi bn x1 x2 S1 S2
−→ 8 x2 10 0 1 -1 0
10 x1 70 1∗ 0 0 0
0 S2 10 0 0 2 1
Zj 780 10 8 -8 0M
Zj − Cj — 0 0 -8 0

TABLA IV:
Se escoje el valor negativo de la fila del criterio simplex, que en este caso es -8;
ya que, en esta fila deben constar de valores positivos o ceros. De manera que,
la columna que ingresa es S1 con una utilidad de cero dolares, se determina la
fila que sale, para lo cual, se busca el menor cociente de dividir:
10

= N o −→ −1◦ semipivote



−1







bn 
 70

S1 

 0



10


−→ 2∗


 = 5 pivote
2

 


 10 ÷ 2 = 5 

 70 − 5 × 0 = 70



 0 ÷ 2 = 0 


 1 − 0 × 0 = 1
0 ÷ 2 = 0 0 − 0×0 = 0
 

 

2 ÷ 2 = 1 0 − (1 × 0) = 0

 


 


 1 ÷ 2 = 0.5 
 0 − (0.5) × 0 = 0



 10 − 5 × −1 = 15



 0 − 0 × −1 = 0
1 − 0 × −1 = 1



−1 − 1 × −1 = 0





 0 − (0.5 × −1) = 0.5
Cj 10 8 0 0 Tabla IV
xi bn x1 x2 S1 S2
−→ 8 x2 15 0 1 0 0.5
10 x1 70 1∗ 0 0 0
0 S1 5 0 0 1 0.5
Zj 820 10 8 0 4
Zj − Cj — 0 0 0 4
SOLUCIÓN ÓPTIMA:
Z (MÁX) = 820 dólares
x1 = 70 Número de muebles tipo A
x2 = 15 Número de muebles tipo B
S1 = 5
S2 = 0
El valor S1 = 5 significa que, se esta produciendo 5 mas de lo previsto, que
tiene como limite mı́nimo 80.

Comprobación:
x1 + x2 − S1 = 80 −→ 70 + 15 - 5 = 80
x1 + 2x2 + S2 =100 −→ 70 + 2(15) + 0 = 100.
4. Se producen tres productos a través de tres operaciones diferentes, los tiempos

requeridos (en minutos) por unidad de cada producto son: Operación I, 1 mi-
nuto por producto de A; 2 minutos por producto de B y 1 minuto por producto
C. Operación II, 3 minutos por producto de A y 2 minutos por producto de C.
Operación III, 1 por producto de A y 4 minutos por producto de B, la capaci-
dad diaria de las operaciones es 430, 460 y 420 minutos respectivamente. El
producto A da una utilidad de 3 dólares, el producto B da una utilidad de 2
dólares y el de C, 5 dólares. Determinar la producción diaria óptima para los
tres productos que maximice el beneficio?.



 A B C −→ P roductos
x x x 3 −→ T iempo de Operacion


 1 2
 3

Restricciones:

 x1 + 2x2 + x3
 ≤ 430 Operacion I



 3x1 + 2x3 ≤ 460 Operacion II



 x1 + 4x2 ≤ 420 Operacion III
x1 , x2 , x3 ≥ 0 N o − negatividad






 x1 + 2x2 + x3 + S1 = 430
3x 1 + 0x2 + 2x3 + S2 = 460



 x1 + 4x2 + 0x3

+ S3 = 420
Función Objetivo:
Z(MIN ) = 3X1 + 2X2 + 5x3 + 0S1 + 0S2 + S3
TABLA I:
Cj 3 2 5 0 0 0 Tabla I
xi bn x1 x2 x3 S1 S2 S3
0 S1 430 1 2 1 1 0 0
←− 0 S2 460 3 0 2∗ 0 1 0
0 S3 420 1 4 0 0 0 1
Zj 0 0 0 0 0 0 0
Zj − C j — -3 -2 -5 0 0 0
TABLA II:
Se escoje el menor de los valores negativos de la fila del criterio simplex, que
en este caso es -5; ya que, en esta fila deben constar de valores positivos o
ceros. De manera que, la columna que ingresa es x3 con una utilidad de cinco

dolares. Se determina la fila que sale, para lo cual, se busca el menor cociente
de dividir:
 430 ÷ 1 = 430 −→ 1◦ semipivote

bn 
460 ÷ 2 = 230 −→ 2∗ pivote

=

x3   430 ÷ 0 = N O −→ 0◦ semipivote

460 ÷ 2 = 230 430 − 230 × 1 = 200

 

 

3 ÷ 2 = 1.5 1 − 1.5 × 1 = −0.5

 


 

 



 0 ÷ 2 = 0 


 2 − 0×1 = 2
2 ÷ 2 = 1 1 − (1 × 1) = 0
 

 

0 ÷ 2 = 0 1 − (0 × 1) = 1

 


 

 



 1 ÷ 2 = 0.5 


 0 − (0.5) × 1 = −0.5
0 ÷ 2 = 0 0 − (0) × 1 = 0
 
420 − 230 × 0 = 420




1 − 1.5 × 0 = 1








 4 − 0×0 = 4
0 − 1×0 = 0



0 − 0×0 = 0








 0 − 0.5 × 0 = 0
1 − (0 × 0) = 1

Cj 3 2 5 0 0 0 Tabla II
0 S1 200 -0.5 2 0 1 -0.5 0
←− 5 x3 230 1.5 0 1 0 0.5 0
0 S3 420 1 4 0 0 0 1
Zj 1150 7.5 0 5 0 2.5 0
Zj − C j — 4.5 -2 0 0 2.5 0
TABLA III:
en este caso es -2; ya que, en esta fila deben constar de valores positivos o ceros.
De manera que, la columna que ingresa es x2 con una utilidad de dos dolares.
Se determina la fila que sale, para lo cual, se busca el menor cociente de dividir:
200

= 100 −→ 1∗ pivote



2







bn 
 230

x2 

 0



420





4


200 ÷ 2 = 100 230 − 100 × 0 = 230

 

 

−0.5 ÷ 2 = −0.25 1.5 − −0.25 × 0 = 1.5

 


 

 



 2 ÷ 2 = 1 


 0 − 1×0 = 0
0 ÷ 2 = 0 1 − (0 × 0) = 1
 

 

1 ÷ 2 = 0.5 0 − (0.5 × 0) = 0

 


 

 



 −0.5 ÷ 2 = −0.25 


 0.5 − (−0.25) × 0 = 0.5
0 ÷ 2 = 0 0 − (0) × 0 = 0
 

 420 − 100 × 4 = 20 

  0 − 0.5 × 4 = −2

 1 − −0.25 × 4 = 2 

0 − −0.25 × 4 = 1
 

 4 − 1×4 = 0 

 1 − (0 × 4) = 1

 
0 − 0×4 = 0


Cj 3 2 5 0 0 0 Tabla III
2 x2 100 -0.25 1 0 0.5 -0.25 0
←− 5 x3 230 1.5 0 1 0 0.5 0
0 S3 20 2 0 0 -2 1 1
Zj 1350 7.0 2 5 1 2.0 0
Zj − Cj — 3.5 0 0 1 2.25 0
Z(MÁX) = 1350 Dólares de utilidad
x1 = 0 S1 = 0
x2 = 100 S2 = 0
x3 = 230 S3 = 20 minutos.
El valor de S3 significa que existe 20 minutos de la Operación que no han sido
utilizados.
5. Una empresa puede fabricar con determinada máquina trabajando 45 horas

semanales tres productos diferentes A, B y C. El articulo A deja un beneficio
neto de 4 dólares, B un beneficio de 12 dólares y C un beneficio de 3 dólares. La
producción por hora de la maquina es para cada uno de Los tres productos de
50, 25 y 75 dólares respectivamente. Por último, las ventas posibles ascienden
a 1.000 unidades de A, 500 unidades de B y 1.500 unidades. De C. ¿Cómo se
deberá repartir la producción de manera que se maximice el beneficio de la
empresa?



 A B C −→ P roductos
x1 x2 x3 −→ N úmero de P roductos



 4


Restricciones:


 x1 ≤ 1000 V enta Articulo A




 x2 ≤ 500 V enta Articulo B
x3 ≤ 1500 V enta Articulo C


 x1 x x
+ 2+ 3

≤ 45 T iempo





 50 25 75
 x ,x ,x
1 2 3 ≥ 0 N o − negatividad



 x1 + 0x2 + 0x3 + S1 = 1000
 0x1 + x2 + 0x3 + S2 = 500





 0x1 + 0x2 + x3 + S3 = 1500
 3x + 6x + 2x

+ S4 = 6750
1 2 3
En la cuarta restricción se obtuvo buscado el mı́nimo común denominador de
los quebrados y realizando las operaciones necesarias (150).
Función Objetivo:
Z(MIN ) = 4X1 + 12X2 + 3x3 + 0S1 + 0S2 + S3
TABLA I:
Cj 4 12 2 0 0 0 0 Tabla I
xi bn x1 x2 x3 S1 S2 S3 S4
0 S1 1000 1 0 0 1 0 0 0
←− 0 S2 500 0 1 0 0 1 0 0
0 S3 1500 0 0 1 0 0 1 0
0 S3 6750 3 6 2 0 0 0 1
Zj 0 0 0 0 0 0 0 0
Zj − Cj — -4 -12 -2 0 0 0 0
TABLA II:
en este caso es -12; ya que, en esta fila deben constar de valores positivos o
ceros. De manera que, la columna que ingresa es x2 con una utilidad de doce
de dividir:
 1000

 = No −→ 0◦ semipivote
0







500


= 500 −→ 1∗ pivote



1

bn 

=

x2 
 1500

= No −→ 0◦ semipivote


0







 6750 = 1125


−→ 0◦ semipivote


6

 


 500 ÷ 1 = 500 

 1000 − 500 × 0 = 1000
0 ÷ 1 = 0 1 − 0×0 = 1

 


 

1 ÷ 1 = 1

0 − 1×0 = 0
 


 

 


 0 ÷ 1 = 0 

 0 − (0 × 0) = 0



 0 ÷ 1 = 0 


 1 − (0 × 0) = 1
1 ÷ 1 = 1 0 − (1) × 0 = 0

 


 

 



 0 ÷ 1 = 0 


 0 − (0) × 0 = 0
0 ÷ 1 = 0 0 − (0) × 0 = 0

 

 


 1500 − 500 × 0 = 1500 

 6750 − 500 × 6 = 3750
0 − 0×0 = 0 3 − 0×6 = 3

 


 

0 − 1×0 = 0 6 − 1×6 = 0

 


 

 


 1 − 0×0 = 1 

 2 − 0×6 = 2



 0 − 0×0 = 0 


 0 − 0×6 = 0
0 − 1×0 = 0 0 − 1×6 = −6

 


 

 



 1 − (0 × 0) = 1 


 0 − 0×6 = 0
0 − (0 × 0) = 0 1 − (0 × 6) = 1

 

Cj 4 12 2 0 0 0 0 Tabla II
0 S1 1000 1 0 0 1 0 0 0
←− 12 x2 500 0 1 0 0 1 0 0
0 S3 1500 0 0 1 0 0 1 0
0 S4 3750 3 0 2 0 -6 0 1
Zj 6000 0 12 0 0 12 0 0
Zj − Cj — -4 0 -2 0 12 0 0
TABLA III:
en este caso es -4; ya que, en esta fila deben constar de valores positivos o ce-
ros. De manera que, la columna que ingresa es x1 con una utilidad de cuatro
de dividir:
 1000

 = 1000 −→ 1◦ pivote
1







500





0

bn 

=

x1 
 1000



0







 3750 = 1250


−→ 3◦ semipivote


3

 


 1000 ÷ 1 = 1000 

 500 − 1000 × 0 = 500
1 ÷ 1 = 1 0 − 1×0 = 0

 


 

0 ÷ 1 = 0 1 − 0×0 = 1

 


 

 


 0 ÷ 1 = 0 

 0 − (0 × 0) = 0



 1 ÷ 1 = 1 


 0 − (1 × 0) = 0
0 ÷ 1 = 0 1 − (0) × 0 = 1

 


 

 



 0 ÷ 1 = 0 


 0 − (0) × 0 = 0
0 ÷ 1 = 0 0 − (0) × 0 = 0

 

 


 1500 − 1000 × 0 = 1500 

 3750 − 1000 × 3 = 750
0 − 1×0 = 0 3 − 1×3 = 0

 


 

0 − 0×0 = 0 0 − 0×3 = 0

 


 

 


 1 − 0×0 = 1 

 2 − 0×3 = 2



 0 − 1×0 = 0 


 0 − 1×3 = −3
0 − 0×0 = 0 −6 − 0 × 3 = −6

 


 

 



 1 − (0 × 0) = 1 


 0 − 0×3 = 0
0 − (0 × 0) = 0 1 − (0 × 3) = 1

 

Cj 4 12 2 0 0 0 0 Tabla III
←− 4 x1 1000 1 0 0 1 0 0 0
12 x2 500 0 1 0 0 1 0 0
0 S3 1500 0 0 1 0 0 1 0
0 S4 750 0 0 2 -3 -6 0 1
Zj 10000 4 12 0 4 12 0 0
Zj − C j — 0 0 -2 4 12 0 0
TABLA IV:
en este caso es -2; ya que, en esta fila deben constar de valores positivos o ceros.
De manera que, la columna que ingresa es x3 con una utilidad de dos dolares.
Se determina la fila que sale, para lo cual, se busca el menor cociente de dividir:
 1000

 = No −→ 0◦ semipivote
0







500





0

bn 

=

x3 
 1500



1







 750 = 375


−→ 2∗ pivote


2

 


 750 ÷ 2 = 375 

 500 − 375 × 0 = 500
0 ÷ 2 = 0 0 − 0×0 = 0

 


 

0 ÷ 2 = 0 1 − 0×0 = 1

 


 

 


 2 ÷ 2 = 1 

 0 − (1 × 0) = 0



 −3 ÷ 2 = −1.5 


 0 − (−1.5 × 0) = 0
−6 ÷ 2 = −3 1 − (−3) × 0 = 1

 


 

 



 0 ÷ 2 = 0 


 0 − (0) × 0 = 0
1 ÷ 2 = 0.5 0 − (0.5) × 0 = 0

 

 


 1500 − 375 × 1 = 1125 

 1000 − 375 × 0 = 1000
0 − 0×1 = 0 1 − 0×0 = 1

 


 

0 − 0×1 = 0 0 − 0×0 = 0

 


 

 


 1 − 1×1 = 0 

 0 − 1×0 = 0



 0 − −1.5 × 1 = 1.5 


 1 − −1.5 × 0 = 1
0 − −3 × 1 = 3 0 − −3 × 0 = 0

 


 

 



 1 − (0 × 1) = 1 


 0 − 0×0 = 0
0 − (0.5 × 1) = −0.5 0 − (0.5 × 0) = 0

 

Cj 4 12 2 0 0 0 0 Tabla IV
←− 4 x1 1000 1 0 0 1 0 0 0
12 x2 500 0 1 0 0 1 0 0
0 S3 1125 0 0 0 1.5 3 1 -0.5
2 x3 375 0 0 1 -1.5 -3 0 0.5
Zj 10750 4 12 2 1 6 0 0
Zj − Cj — 0 0 0 1 6 0 0
Solución optima:
Z(MÁX) = 10.750 Utilidad
A = x1 = 1000
B = x2 = 500
C = x3 = 375
S1 = 0
S2 = 0
S3 = 1125
S4 = 0
El valor de S3 = 1125 significa que, no se ha vendido lo previsto del producto
C; es decir, se ha vendido 375 unidades de las 1.500 unidades.
Comprobación:
x1 + S1 = 1000 −→ 1000 + 0 = 1000

x2 + S2 = 500 −→ 500 + 0 = 500

x3 + S3 = 1500 −→ 375 + 1125 = 1500
x1 x2 x3
+ + + S4 = 45
50 25 75
1000 500 375
+ + + S4 = 45 −→ 20 + 20 + 5 + 0 = 45.
50 25 75
6. Un comerciante de frutas transporta sus productos en un camión, que tiene
una capacidad de 800 cajas de frutas. El comerciante debe transportar al me-
nos 200 cajas de naranjas, que le rendirán 20 dólares por caja, al menos 100
de toronjas, que le rendirán una ganancia de 10 dólares por caja y cuando mu-
cho 200 cajas de mandarinas, que le rendirán 30 dólares de ganancia por caja.
¿Cómo debe distribuirse el cargamento del camión para obtener la máxima
ganancia?



 N aranjas T oronjas Mandarinas −→ Frutas
x1 x2 x3 −→ N úmero de Cajas



20 10 30 −→ U tilidad


Restricciones:



 x1 + x2 + x3 ≤ 800 Capacidad Cajas



 x1 ≥ 200 Cajas de N aranjas
x2 ≥ 100 Cajas de T oronjas



x3 ≤ 200 Cajas de Mandarinas





 x1 , x2 , x3 ≥ 0 N o − negatividad
Variables de Holgura y Artificiales:



 x1 + x2 + x3 + S1 = 800
 x1 + 0x2 + 0x3 − S2 +m2 = 200





 0x 1 + x2 + 0x3 − S 3 +m3 = 100
 0x + 0x + x

+ S4 = 200
1 2 3
Función Objetivo:
Z(MIN ) = 20x1 + 10x2 + 30x3 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 + Mm2 + Mm3
TABLA I:
Cj 20 10 30 0 0 0 0 M M Tabla I
xi bn x1 x2 x3 S1 S2 S3 S4 m2 m3
0 S1 800 1 1 1 1 0 0 0 0 0
←− M m2 200 1∗ 0 0 0 -1 0 0 1 0
M m3 100 0 1 0 0 0 -1 0 0 1
0 S4 200 0 0 1 0 0 0 1 0 0
Zj 300M M M 0 0 -M -M 0 M M
Zj − Cj — M M 0 0 -M -M 0 0 0
TABLA II:
Se escoje el mayor de los valores positivos de la fila del criterio simplex, que
en este caso existe dos valores posibles , se escoje cualquiera de ellos, es 1; ya

que, en esta fila deben constar de valores positivos o ceros. De manera que, la
columna que ingresa es x1 con una utilidad de veinte dolares. Se determina la
 800

 = 800 −→ 1◦ semipivote
1







200


= 200 −→ 1∗ pivote



 1

bn  
=
x1   100
= N o −→ 0◦ semipivote



0







 200 = N o −→ 0◦ semipivote




0
 

 200 ÷ 1 = 200 
 800 − 200 × 1 = 600
 



 1 ÷ 1 = 1 


 1 − 1×1 = 0
0 ÷ 1 = 0 1 − 0×1 = 1

 


 

0 1 = 0 1 (0 1) = 1
 



 ÷ 


 − ×


 0 ÷ 1 = 0 

 1 − (0 × 1) = 1
 −1 ÷ 1 = −1 0 − (−1) × 1 = 1

 

 

0 ÷ 1 = 0 0 − (0) × 1 = 0

 


 

 



 0 ÷ 1 = 0 


 0 − (0) × 1 = 0
1 ÷ 1 = 1 0 − (1) × 1 = 0

 


 

 
 0 ÷ 1 = 0  0 − (0) × 1 = 0
Coeficientes de m3 : Coeficientes de S4 :
 

 100 − 200 × 0 = 100 
 200 − 200 × 0 = 200
 



 0 − 1×0 = 0 


 0 − 1×0 = 0
1 − 0 × 0 = 1 0 − (0 × 0) = 0

 


 

0 − 0×0 = 0 1 − (0 × 0) = 1

 


 

 


 0 − 0×0 = 0 

 0 − 0×0 = 0



 0 − −1 × 0 = 0 


 0 − −1 × 0 = 0
−1 − 0 × 0 = −1 0 − 0×0 = 0

 


 

 



 0 − 0 × 0 = 0 


 1 − (0 × 0) = 1
0 − 1×0 = 0 0 − 1×0 = 0

 


 

 
 1 − 0×0 = 1  0 − 0×0 = 0
Cj 20 10 30 0 0 0 0 M M Tabla II
xi bn x1 x2 x3 S1 S2 S3 S4 m2 m3
0 S1 600 0 1 1 1 1 0 0 0 0
←− 20 x1 200 1∗ 0 0 0 -1 0 0 1 0
M m3 100 0 1 0 0 0 -1 0 0 1
0 S4 200 0 0 1 0 0 0 1 0 0
Zj 100M 0M M 0M 0 0M -M 0 0M M
Zj − Cj — 0M M 0M 0 0M -M 0 -M 0

TABLA III:
Se escoje el mayor de los valores positivos de la fila del criterio simplex, es M;
ya que, en esta fila deben constar de valores positivos o ceros. De manera que,
la columna que ingresa es x2 con una utilidad de diez dolares. Se determina la
600 ÷ 1 = 600 −→ 1◦ semipivote



 200 ÷ 0 = N o −→ 0∗ semipivote

bn  
=
x2  
 100 ÷ 1 = 100 −→ 1∗ pivote
 200 ÷ 0 = N o −→ 0◦ semipivote

 

 100 ÷ 1 = 100 
 600 − 100 × 1 = 500
 



 0 ÷ 1 = 0 


 0 − 0×1 = 0
1 ÷ 1 = 1 1 − 1×1 = 0

 


 

0 ÷ 1 = 0 1 − (0 × 1) = 1

 


 

 


 0 ÷ 1 = 0 

 1 − (0 × 1) = 1



 0 ÷ 1 = 0 


 1 − (0) × 1 = 1
−1 ÷ 1 = −1 0 − (−1) × 1 = 1

 


 

 



 0 ÷ 1 = 0 


 0 − (0) × 1 = 0
0 ÷ 1 = 0 0 − (0) × 1 = 0

 


 

 
 1 ÷ 1 = 1  0 − (1) × 1 = −1
 

 200 − 100 × 0 = 200 
 200 − 100 × 0 = 200
 



 1 − 0×0 = 1 


 0 − 0×0 = 0
0 − 1×0 = 0 0 − (1 × 0) = 0

 


 

0 − 0×0 = 0 1 − (0 × 0) = 1

 


 

 


 0 − 0×0 = 0 

 0 − 0×0 = 0
 −1 − 0 × 0 = −1 0 − 0×0 = 0

 

 

0 − −1 × 0 = 0 0 − −1 × 0 = 0

 


 

 



 0 − 0×0 = 0 


 1 − (0 × 0) = 1
1 − 0×0 = 1 0 − 0×0 = 0

 


 

 
 0 − 1×0 = 0  0 − 1×0 = 0
Cj 20 10 30 0 0 0 0 Tabla III
0 S1 500 0 0 1 1 1 1 0
20 x1 200 1 ∗ 0 0 0 -1 0 0
←− 10 x2 100 0 1 0 0 0 -1 0
0 S4 200 0 0 1 0 0 0 1
Zj 5000 20 10 0 0 -20 -10 0
Zj − Cj — 0 0 -30 0 -20 -10 0
Como ya desaparecen los valores de M, del lado izquierdo de la table , se puede

no considerar las dos ultimas columnas.
TABLA IV:

Ahora se escoje el menor de los valores negativos, de manera que, la columna

que ingresa es x3 con una utilidad de treinta dolares. Se determina la fila que
sale, para lo cual, se busca el menor cociente de dividir:
 500

 = 500 −→ 1◦ semipivote
1







200


= No −→ 0∗ semipivote



0

bn 

=

x2 
 100
−→ 0∗ semipivote

= No


0







200


= 200 −→ 1∗ pivote



1
 


 200 ÷ 1 = 200 

 500 − 200 × 1 = 300
0 ÷ 1 = 0 0 − 0×1 = 0

 


 

0 1 = 0 0 0 1 = 0
 



 ÷ 


 − ×


 1 ÷ 1 = 1 

 1 − (1 × 1) = 0



 0 ÷ 1 = 0 


 1 − (0 × 1) = 1
0 ÷ 1 = 0 1 − (0) × 1 = 1

 


 

 



 0 ÷ 1 = 0 


 1 − (0) × 1 = 1
1 ÷ 1 = 1 0 − (1) × 1 = −1

 

 


 200 − 200 × 0 = 200 

 100 − 200 × 0 = 100
1 − 0×0 = 1 0 − 0×0 = 0

 


 

0 − 0×0 = 0 1 − (0 × 0) = 1

 


 

 


 0 − 1×0 = 0 

 0 − (1 × 0) = 0



 0 − 0×0 = 0 


 0 − 0×0 = 0
−1 − 0×0 = −1 0 − 0×0 = 0

 


 

 



 0 − 0×0 = 0 


 −1 − 0 × 0 = −1
0 − 1×0 = 0 0 − (1 × 0) = 0

 

Cj 20 10 30 0 0 0 0 Tabla IV
0 S1 300 0 0 0 1 1 1 -1
20 x1 200 1 ∗ 0 0 0 -1 0 0
←− 10 x2 100 0 1 0 0 0 -1 0
30 x3 200 0 0 1 0 0 0 1
Zj 11000 20 10 30 0 -20 -10 30
Zj − C j — 0 0 0 -20 -10 30
TABLA V:
Ahora se escoje el menor de los valores negativos, de manera que, la columna

que ingresa es S2 con una utilidad de cero dolares. Se determina la fila que
sale, para lo cual, se busca el menor cociente de dividir:
300 ÷ 1 = 300 −→ 1∗ pivote



 200 ÷ −1 = N o −→ −1∗ semipivote

bn  
=
S2   100 ÷ 0 = N o −→ 0∗ semipivote

 200 ÷ 0 = N o −→ 0∗ semipivote

 


 300 ÷ 1 = 300 

 200 − 300 × 0 = 200
0 ÷ 1 = 0 0 − 0×0 = 0

 


 

0 ÷ 1 = 0 0 − 0×0 = 0

 


 

 


 0 ÷ 1 = 0 

 1 − (0 × 0) = 1



 1 ÷ 1 = 1 


 0 − (1 × 0) = 0
1 ÷ 1 = 1 0 − (1) × 0 = 0

 


 

 



 1 ÷ 1 = 1 


 0 − (1) × 0 = 0
 −1 ÷ 1 = −1
 
 1 − (−1) × 0 = 1
 


 200 − 300 × −1 = 500 

 100 − 300 × 0 = 100
1 − 0 × −1 = 1 0 − 0×0 = 0

 


 

0 − 0 × −1 = 0 1 − (0 × 0) = 1

 


 

 


 0 − 0 × −1 = 0 

 0 − (0 × 0) = 0



 0 − 1 × −1 = 1 


 0 − 1×0 = 0
−1 − 1 × −1 = 0 0 − 1×0 = 0

 


 

 



 0 − 1 × −1 = 1 


 −1 − 1×0 = −1
0 − −1 × −1 = −1 0 − (−1 × 0) = 0

 

Cj 20 10 30 0 0 0 0 Tabla V
0 S2 300 0 0 0 1 1 1 -1
20 x1 500 1∗ 0 0 1 0 1 -1
←− 10 x2 100 0 1 0 0 0 -1 0
30 x3 200 0 0 1 0 0 0 1
Zj 17000 20 10 30 20 0 10 10
Zj − C j — 0 0 0 20 0 10 10
Z(MÁX) = 17.000 dólares
x1 = 500 Cajas de Naranjas
x2 = 100 Cajas de Toronjas
x3 = 200 Cajas de Mandarinas
S2 = 300.
El valor S2 = 300 significa que, el camión esta llevado 300 cajas de naranjas
mas de lo previsto.

7. Una empresa desea preparar dos productos A y B, se dispone de materia prima

para llenar 60 botellas de los dos productos por lo menos. Toma una hora
llenar 10 botellas del producto A, y tres horas llenar 10 botellas del producto
B, se dispone de 12 horas cuando mucho. Se estima que la demanda en el
mercado es de 50 botellas del producto A cuando mucho. La capacidad de la
empresa le permite llenar 80 botellas de A o 55 botellas de B. Cada botella de
A deja una utilidad de 10 y 6 cada botella de B. ¿Cuantas botellas de A y B se
deben llenar para que la empresa alcance la máxima utilidad?
a) Resuelva gráficamente,
b) Por el método simplex
a) Solución gráfica:

 A
 B −→ P roductos

x1 x2 −→ N úmero de botellas



 10

6 −→ U tilidad
Restricciones:


 x1 + x2 ≥ 60 Cantidad de Botellas
x1 3x2




 + ≤ 12 T iempo de LLenado
10 10






 x1 + x2 ≤ 1

Capacidad de Empresa




 80 55
x1 ≤ 50 Demanda de A




 x ,x ,x ≥ 0

N o − negatividad
1 2 3
Abstracci
 ón:


 x1 + x2 = 60


 x1 + 3x2 = 120



 11x1 + 16x2 = 880
x1 = 50


Función Objetivo:
Z(MIN ) = 10x1 + 6x2
Se gráfica cada una de las ecuaciones presentadas en abstracción, se en-
cuentra cada uno de los puntos de intersección, resolviendo los respecti-
vos sistemas entre cada par de funciones:
Punto C (Ecuaciones 1 y 2):
(
x1 + x2 = 60
−→ C(30,30)
x1 + 3x2 = 120
Punto D (Ecuaciones 2 y 4):
(
11x1 + 16x2 = 880
−→ D(42,26)
x1 + 3x2 = 120
Punto E (Ecuaciones 3 y 4):
(
11x1 + 16x2 = 880
−→ E(50,21)
x1 = 50

Figura 2.28 Solución Gráfica

Punto F (Ecuaciones 1 y 3):
(
x1 + x2 = 60
−→ F(50,10)
x1 = 50
P (x1 , x2 ) −→ Z(MAX) = 10x1 + 6x2
C(30, 30) −→ Z = 10(30) + 6(30) = 480
D(42, 26) −→ Z = 10(42) + 6(26) = 576
E(50, 21) −→ Z = 10(50) + 6(21) = 626 Óptimo
F(50, 10) −→ Z = 10(50) + 6(10) = 560
Z = (MAX) = 626 Dólares
x1 = 50 Botellas de A
x2 = 21 Botellas de B.
Para que la empresa obtenga una utilidad de optima de 626 dólares, debe
llenar 50 botellas de A y 21 botellas de B.
b) Método Simplex:
Formulaci
 ón del Problema:


x1 x2 −→ N úmero de Botellas



 10

6 −→ U tilidad
Restricciones:


 x1 + x2 ≥ 60 Cantidad de Botellas
x 3x


 1 2

 + ≤ 12 T iempo de LLenado
10 10






 x1 x2
+ ≤ 1 Capacidad de Empresa





 80 55
x1 ≤ 50 Demanda de A






Variables de Holgura y Artificiales:




 x1 + x2 − S1 +m1 = 60


 x1 + 3x2 + S2 = 120



 11x1 + 16x2 + S3 = 880
x1 + S4 = 50



Función Objetivo:
Z(MIN ) = 10x1 + 6x2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 + Mm1
TABLA I:
Cj 10 6 0 0 0 0 M Tabla I
xi bn x1 x2 S1 S2 S3 S4 m1
M m1 60 1 1 -1 0 0 0 1
0 S2 120 1∗ 3 0 1 0 0 0
0 S3 880 11 16 0 0 1 0 0
←− 0 S4 50 1 0 0 0 0 1 0
Zj 60M M M -M 0M 0M 0M M
Zj − Cj — M M -M 0 0 0 0
TABLA II:
Se escoje el mayor de los valores positivos, ya que el ejercicio consta de
los dos signos de programación lineal. Como hay varios valores se esco-
je cualquiera de ellos de manera que, la columna que ingresa es x1 con
una utilidad de diez dolares. Se determina la fila que sale, para lo cual, se
busca el menor cociente de dividir:
1◦


 60 ÷ 1 = 60 −→ semipivote
1◦

bn  120 ÷ 1 =

 120 −→ semipivote
=
x1 
 880 ÷ 11 = 88 −→ 11◦ semipivote
50 ÷ 1 = 50 −→ 1∗ pivote


 


 50 ÷ 1 = 50 

 60 − 50 × 1 = 10
1 ÷ 1 = 1 1 − 1×1 = 0

 


 

 0 ÷ 1 = 0  1 − 0×1 = 1

 


 

 0 ÷ 1 = 0 −1 − (0 × 1) = −1

 





 0 ÷ 1 = 0 


 0 − (0 × 1) = 0
0 ÷ 1 = 0 0 − (0) × 1 = 0

 


 

 



 1 ÷ 1 = 1 


 0 − (1) × 1 = −1
 0 ÷ 1 = 0
  1 − (0) × 1 =

1
 


 120 − 50 × 1 = 70 

 880 − 50 × 11 = 330
1 − 1×1 = 0 11 − 1 × 11 = 0

 


 

3 − 0×1 = 3  16 − (0 × 11) = 16

 


 
 


 0 − 0×1 = 0 

 0 − (0 × 11) = 0



 1 − 0×1 = 1 


 0 − 0 × 11 = 0
0 − 0×1 = 0 1 − 0 × 11 = 1

 


 

 



 0 − 1×1 = −1 


 0 − 1 × 11 = −11
0 − 0×1 = 0 0 − (0 × 11) = 0

 

la tabla II en la siguiente pagina.

Cj 10 6 0 0 0 0 M Tabla II
xi bn x1 x2 S1 S2 S3 S4 m1
←− M m1 10 0 1 -1 0 0 -1 1
0 S2 70 0 3 0 1 0 -1 0
0 S3 330 0 16 0 0 1 -11 0
−→ 10 x1 50 1 0 0 0 0 1 0
Zj 10M 10 M -M 0M 0M -M M
Zj − Cj — 0 M -M 0 0 -M 0
TABLA III:
Se escoje el mayor de los valores positivos, como hay varios valores se
escoje cualquiera de ellos de manera que, la columna que ingresa es x2 con
una utilidad de seis dolares, ademas la columna de m1 ya no se considera
Se determina la fila que sale, para lo cual, se busca el menor cociente de
dividir:
−→ 1∗


 10 ÷ 1 = 10 pivote
70 ÷ 3 = 23.3 −→ 3◦ semipivote

bn  
=

x2  
 330 ÷ 16 = 20.6 −→ 16◦ semipivote


10 ÷ 1 = 10 70 − 10 × 3 = 40
 

 

0 ÷ 1 = 0 0 − 0×3 = 0

 


 

 



 1 ÷ 1 = 1 


 3 − 1 × 3 = 0
−1 ÷ 1 = −1 0 − (−1 × 3) = 3
 

 

0 ÷ 1 = 0 1 − (0 × 3) = 1

 


 


0 ÷ 1 = 0








 0 − (0) × 3 = 0
−1 ÷ 1 = −1 −1 − (−1) × 3 = 2
 
330 − 10 × 16 = 170 50 − 10 × 0 = 50
 

 

0 − 0 × 16 = 0 1 − 0×0 = 1

 


 

 



 16 − 1 × 16 = 0 


 0 − (1 × 0) = 0
0 − −1 × 16 = 16 0 − (−1 × 0) = 0
 

 

0 − 0 × 16 = 0 0 − 0×0 = 0

 


 

 



 1 − 0 × 16 = 1 


 0 − 0×0 = 0
−11 − −1 × 16 = 5 1 − −1 × 0 = 1
 
Cj 10 6 0 0 0 0 Tabla III
−→ 6 x2 10 0 1 -1 0 0 -1
0 S2 40 0 0 3 1 0 2
←− 0 S3 170 0 0 16 0 1 5
10 x1 50 1 0 0 0 0 1
Zj 560 10 6 -6 0 0 4
Zj − C j — 0 0 -6 0 0 4

TABLA IV:
Se escoje el menor de los valores negativos, de manera que, la columna
que ingresa es S1 con una utilidad de cero dolares. Se determina la fila
que sale, para lo cual, se busca el menor cociente de dividir:
10 ÷ −1 = N o −→ 1◦ semipivote



40 ÷ 3 = 13.3 −→ 3◦ semipivote

bn  
=

S1   170 ÷ 16 = 10.6 −→ 16∗ pivote



170 ÷ 16 = 10.6 40 − 10.6 × 3 = 8.2

 

 

0 ÷ 16 = 0 0 − 0×3 = 0

 


 

 



 0 ÷ 16 = 0 


 0 − 0×3 = 0
16 ÷ 16 = 1 3 − (1 × 3) = 0
 

 

0 ÷ 16 = 0 1 − (0 × 3) = 1

 


 


1 ÷ 16 = 0.06








 0 − (0.06) × 3 = −0.18
5 ÷ 16 = 0.3 2 − (0.3) × 3 = 1.1
 
10 − 10.6 × −1 = 20.6 50 − 10.6 × 0 = 50

 

 

0 − 0 × −1 = 0 1 − 0×0 = 1

 


 

 



 1 − 0 × −1 = 1 


 0 − (0 × 0) = 0
−1 − 1 × −1 = 0 0 − (1 × 0) = 0
 

 

0 − 0 × −1 = 0 0 − 0×0 = 0

 


 

 



 0 − 0.06 × −1 = 0.06 


 0 − 0.06 × 0 = 0
−1 − 0.3 × −1 = −0.7 1 − 0.3 × 0 = 1
 
Cj 10 6 0 0 0 0 Tabla IV
−→ 6 x2 20.6 0 1 0 0 0.06 -0.7
0 S2 8.2 0 0 0 1 -0.18 1.1
←− 0 S1 10.6 0 0 1 0 0.06 0.3
10 x1 50 1 0 0 0 0 1
Zj 623.6 10 6 0 0 0.48 5.8
Zj − Cj — 0 0 0 0 0.48 5.8
Solución óptima: Por el método simplex:

Z(MÁX) = 623.6 Dólares
x1 = 50 Botellas de A
x2 = 20.6 Botellas de B
S1 = 10.6
S2 = 8.2
El valor S1 = 10.6 nos indica que se han llenado 10.6 botellas mas de lo
previsto (60)
El valor S2 = 8.2 significa que no se han utilizado 8.2 horas de un total de
12.

Comprobación:
x1 + 3x2 + S2 = 120 −→ 50 + 3(20.6) + 8.2 = 120 −→ 120 = 120
8. La Compañı́a ECASA fábrica dos modelos de refrigeradoras: tipo normal y de

doble puerta. El mercado puede absorber toda la producción a precios compe-
titivos de 200.000 dólares y 260.000 dólares respectivamente. Los costos de los
elementos unitarios se estiman en 170.000 dólares y 200.000 dólares respec-
tivamente. Los insumos de los elementos unitarios se encuentran en cantidad
ilimitada y a un costo constante, excepto los compresores.
Los dos tipos de refrigeradoras llevan el mismo compresor y la compañı́a tie-
ne un cupo limitado de 100 compresores mensualmente. El sistema de doble
puerta requiere de una lı́nea especial de montaje y de pintura de unas 5 horas
para cada refrigeradora, de las 350 horas disponibles por cada mes. Adicio-
nalmente ambos tipos pasan por una lı́nea común de montaje y pintura en
la que el tipo normal consume el doble de tiempo que el de doble puerta, la
capacidad de esta lı́nea común permite completar mensualmente hasta 80 re-
frigeradoras de tipo normal.
Hallar la producción optima que permita obtener la máxima utilidad?
a) Por el método gráfico

b) Por el método simplex
c) Si la capacidad de la lı́nea común de pintura y montaje se incrementa en
un 20 por ciento. ¿Aumentarı́a o disminuirı́a la producción de refrigera-
doras normales?
d) Asuma que la demanda creciente del mercado permite incrementar en 20
dólares el precio de venta de las refrigeradoras de doble puerta. Tendrı́a
eso algún efecto en la producción.
a) Método gráfico:

 N ormal
 Doble puerta −→ Ref rigeradoras

x1 x2 −→ N úmero de ref rigeradoras



 30.000

60.000 −→ U tilidad = P recio de venta − Costos
Restricciones:



 x1 + x2 ≤ 100 Compresores


 5x2 ≤ 350 Linea especial



 x1 + 0.5x2 ≤ 80 Linea comun
x1 , x 2 ≥ 0 N o − negatividad


Abstracci
 ón:


 x1 + x2 = 100
5x2 = 350



 x1 + 0.5x2 = 80

Función Objetivo:
Z(MIN ) = 30x1 + 60x2 (En miles)


(
x1 + x2 = 100
−→ C(30,70)
5x2 = 350
(
x1 + x2 = 100
−→ D(40,60)
x1 + 0.5x2 = 80
P (x1 , x2 ) −→ Z(MAX) = 30.000x1 + 60.000x2
C(30, 70) −→ Z = 30.000(30) + 60.000(70) = 5.100.000 Punto óptimo
D(40, 60) −→ Z = 30.000(40) + 60.000(60) = 4.800.000
Z = (MÁX) = 5.100.000 Dólares
x1 = 30 Refrigeradoras tipo normal
x2 = 70 Refrigeradoras doble puerta
b) Método Simplex:



 N ormal Doble puerta −→ Ref rigeradoras
x x −→ N úmero de ref rigeradoras


 1 2
 30.000

60.000 −→ U tilidad = P recio de venta − Costos
Restricciones:



 x1 + x2 ≤ 100 Compresores


 5x2 ≤ 350 Linea especial



 x1 + 0.5x2 ≤ 80 Linea comun





 x1 + x2 + S1 = 100
5x + S = 350


 2 2
 x1 + 0.5x2

+ S3 = 80
Función Objetivo:
Z(MIN ) = 30x1 + 60x2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 (En miles)
TABLA I:

Cj 30 60 0 0 0 Tabla I
0 S1 100 1 1 1 0 0
←− 0 S2 350 0 5 0 1 0
0 S3 80 0.5 0 0 0 1
Zj 0 0 0 0 0 0
Zj − Cj — -30 -60 0 0
TABLA II:
que ingresa es x2 con una utilidad de sesenta dólares. Se determina la fila
 100 = 100 −→ 1◦ semipivote



1







bn   350

= = 70 −→ 5∗ pivote
x2  
 5



 80 = N o −→ 0◦ semipivote




0

350 ÷ 5 = 70 100 − 70 × 1 = 30
 

 

0 ÷ 5 = 0 1 − 0×1 = 1

 


 

 


 5 ÷ 5 = 1 

 1 − 1×1 = 0



 0 ÷ 5 = 0 


 1 − (0 × 1) = 1
1 ÷ 5 = 0.2 0 − (0.2 × 1) = −0.2

 


 

 
 0 ÷ 5 = 0  0 − (0) × 1 = 0
80 − 70 × 0 = 80



 0.5 − 0 × 0 = 0.5




 0 − 1×0 = 0





 0 − 0 × 0 = 0
0 − 0.2 × 0 = 0





 1 − 0×0 = 1
0 S1 30 1 0 1 -0.2 0
−→ 60 x2 70 0 1 0 0.2 0
0 S3 80 0.5 0 0 0 1
Zj 4200 0 60 0 12 0
Zj − Cj — -30 0 0 12 0

TABLA III:
que ingresa es x1 con una utilidad de treinta dólares. Se determina la fila
30

= 30 −→ 1∗


 pivote
1







bn 
 70

x2 

 0



80


= 160 −→ 0.5◦ semipivote



0.5

30 ÷ 1 = 30 70 − 30 × 0 = 70
 

 

1 ÷ 1 = 1  0 − 1×0 = 0

 


 
 


 0 ÷ 1 = 0  1 − 0×0

 = 1



 1 ÷ 1 = 1 


 0 − (1 × 0) = 0
−0.2 ÷ 1 = −0.2 0.2 − (−0.2 × 0) = 0.2

 


 

 
 0 ÷ 1 = 0  0 − (0) × 0 = 0
80 − 30 × 0.5 = 65



 0.5 − 1 × 0.5 = 0




 0 − 0 × 0.5 = 0





 0 − 1 × 0.5 = −0.5
0 − −0.2 × 0.5 = 0.1





 1 − 0 × 0.5 = 1
←− 30 x1 30 1 0 1 -0.2 0
−→ 60 x2 70 0 1 0 0.2 0
0 S3 65 0 0 -0.5 0.1 1
Zj 5100 30 60 30 6 0
Zj − C j — 0 0 30 6 0
Solución Óptima por el método simplex:

Z(MÁX) = 5.100.000 Dólares
x1 = 30 Refrigeradoras normales
x2 = 70 Refrigeradoras tipo doble puerta
S1 = 30 No se han utilizado 30 compresores
S2 = 6 horas no utilizadas en la linea especial

c) El aumento de la capacidad de la lı́nea común, no afectara en la pro-

ducción. Un incremento del 20 por ciento solo aumentarı́a el exceso de
capacidad, pero no su utilidad.
d) Al incrementarse el precio de las refrigeradoras de doble puerta en 20
dólares, la producción hallada sigue siendo la ÓPTIMA.
9. La Empresa SONY del Ecuador Cia. Ltda. Ensambla televisores a color y en

blanco y negro. Puede importar mensualmente hasta 500 tubos pantalla de
los cuales hasta la mitad de ellos puede ser a color. La capacidad del taller y
de la mano de obra le permite ensamblar mensualmente hasta 600 televiso-
res en blanco-negro. El ensamble de un televisor a color requiere un 50 por
ciento, más de tiempo que el de un televisor en blanco-negro. No existen a la
fecha limitaciones de mercado sobre los televisores a color, sin embargo las
ventas de televisores en blanco-negro se estima en 150 mensuales. Contratos
previamente establecidos con algunos hoteles requieren la entrega de 300 te-
levisores en blanco-negro en los próximos DOS meses. La utilidad estimada
es de 150 dólares por cada televisor a color y de 60 dólares por cada televisor
blanco-negro.
a) Resuelva por el método gráfico y establezca cuantos televisores de cada

tipo debe producir en los próximos dos meses y cual es la utilidad espe-
rada?
b) Resuelva por el método simplex
c) ¿Cuáles son los recursos que se agotan y cuales sobran?
d) Si puede obtener en un plazo de 3 meses un incremento de la cuota de
importación. Solicitarı́a Ud. Aumentar el cupo global o mantener este y
aumentar el de los televisores a color. ¿Por que?.
e) Si el incrementar la cuota mensual de importación, requiere el pago adi-
cional cada mes. Hasta que cantidad máxima debiera pagarse por incre-
mentar esa cuota.
a) Método gráfico:
Formulaci
 ón del Problema:


 Color Blanco N egro −→ T elevisores
x1 x2 −→ N úmero de T elevisores



 150

60 −→ U tilidad
Restricciones:
x1 + x2 ≤ 500 T ubos de pantalla importados



x1 ≤ 250 T ubo de pantalla a color





 1.5x1 + x2 ≤ 600 Capacidad de ensamblaje





 x2 ≤ 300 Contratos de pantalla a blanco − negro
x2 ≥ 150 Demanda de pantalla a blanco − negro





 x ,x ≥ 0
1 2 N o − negatividad
Las restricciones tienen que duplicarse, porque las preguntas están he-
chas para dos meses.

x1 + x2 ≤ 1000 T ubos de pantalla importados




x1 ≤ 500 T ubo de pantalla a color





 1.5x1 + x2 ≤ 1200 Capacidad de ensamblaje





 x2 ≤ 600 Contratos de pantalla a blanco − negro
x2 ≥ 300 Demanda de pantalla a blanco − negro





Abstracci ón:
x1 + x2 = 1000 T ubos de pantalla importados



x1 = 500 T ubo de pantalla a color





 1.5x1 + x2 = 1200 Capacidad de ensamblaje





 x2 = 600 Contratos de pantalla a blanco − negro
x2 = 300 Demanda de pantalla a blanco − negro





 x ,x ≥
1 2 0 N o − negatividad
Función Objetivo:
Z(MIN ) = 150x1 + 60x2

(
x1 + x2 = 1000
−→ C(400,600)
1.5x1 + x2 = 1200
(
1.5x1 + x2 = 1200
−→ D(500,450)
x1 = 500
Punto E (Ecuaciones 2 y 4):
(
x2 = 300
−→ D(500,300)
x1 = 500
P (x1 , x2 ) −→ Z(MAX) = 150x1 + 60x2
C(400, 600) −→Z = 150(400) + 60(600) = 96.000
D(500, 450) −→ Z = 150(500) + 60(450) = 102.000 Punto óptimo
E(500, 300) −→ Z = 150(500) + 60(300) = 93.000
Z = (MÁX) = 102.000 dólares
x1 = 500 Televisores a color

x2 = 450 Televisores blanco-negro

b) Método simplex:



 Color Blanco N egro −→ T elevisores
x1 x2 −→ N úmero de televisores



 150

60 −→ U tilidad
Restricciones:



 x1 + x2 ≤ 1000 T ubos de pantallas importados


 x1 ≤ 500 T ubos de pantalla a color



 1.5x1 + x2 ≤ 1200 Capasidad de ensamblaje
x2 ≥ 300 Demanda de pantalla blanco − negro


Restricciones:
(
x2 ≤ 600 Contratos de pantalla a blanco − negro



 x1 + x2 + S1 = 1000



 x1 + S2 = 500
1.5x1 + x2 + S3 = 1200



x − S + m 4 = 300




 2 4
 x2 + S5 = 600
Función Objetivo:
Z(MIN ) = 150x1 + 60x2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 + 0S5 + Mm1
TABLA I:
Cj 150 60 0 0 0 0 0 M Tabla I
xi bn x1 x2 S1 S2 S3 S4 S5 m4
0 S1 1000 1 1 1 0 0 0 0 0
0 S2 500 1 0 0 1 0 0 0 0
0 S3 1200 1.5 1 0 0 1 0 0 0
←− M m4 300 0 1∗ 0 0 0 -1 0 1
0 S5 600 0 1 0 0 0 0 1 0
Zj 300M 0 M 0 0 0 -M 0 M
Zj − Cj — 0 M 0 0 0 -M 0 0
TABLA II:
Se escoje el mayor de los valores positivos, de manera que, la columna
que ingresa es x2 con una utilidad de sesenta dólares. Se determina la fila
1◦


 1000 ÷ 1 = 1000 −→ semipivote
0◦


 500 ÷ 0 = No −→ semipivote
bn 
1◦

= 1200 ÷ 1 = 1200 −→ semipivote

x2 
300 ÷ 1 = 300 −→ 1∗ pivote




1◦

 600 ÷ 1 = 600 −→ semipivote

 


 300 ÷ 1 = 300 

 1000 − 300 × 1 = 700
0 ÷ 1 = 0 1 − 0×1 = 1

 


 

1 ÷ 1 = 1

1 − 1×1 = 0
 


 

 


 0 ÷ 1 = 0 

 1 − (0 × 1) = 1



 0 ÷ 1 = 0 


 0 − (0 × 1) = 0
0 ÷ 1 = 0 0 − (0) × 1 = 0

 


 

 



 −1 ÷ 1 = −1 


 0 − (−1 × 1) = 1
0 ÷ 1 = 0 0 − (0 × 1) = 0

 

 


 500 − 300 × 0 = 500 

 1200 − 300 × 1 = 900
1 − 0×0 = 1 1.5 − 0 × 1 = 1.5

 


 

0 − 1×0 = 0

1 − 1×1 = 0
 


 

 


 0 − (0 × 0) = 0 

 0 − (0 × 1) = 0



 1 − (0 × 0) = 1 


 0 − (0 × 1) = 0
0 − (0) × 0 = 0 1 − (0) × 1 = 1

 


 

 



 0 − (−1 × 0) = 0 


 0 − (−1 × 1) = 1
0 − (0 × 0) = 0 0 − (0 × 1) = 0

 




 600 − 300 × 1 = 300
0 − 0×1 = 0




1 − 1×1 = 0







 0 − (0 × 1) = 0



 0 − (0 × 1) = 0
0 − (0) × 1 = 0








 0 − (−1 × 1) = 1
1 − (0 × 1) = 1


Cj 150 60 0 0 0 0 0 Tabla II
0 S1 700 1 0 1 0 0 1 0
←− 0 S2 500 1∗ 0 0 1 0 0 0
0 S3 900 1.5 0 0 0 1 1 0
−→ 60 x2 300 0 1 0 0 0 -1 0
0 S5 300 0 0 0 0 0 1 1
Zj 18000 0 60 0 0 0 -60 0
Zj − C j — -150 0 0 0 0 -60 0
TABLA III:
que ingresa es x1 con una utilidad de ciento cincuenta dólares. Se deter-
mina la fila que sale, para lo cual, se busca el menor cociente de dividir:

1◦


 700 ÷ 1 = 700 −→ semipivote
1∗


 500 ÷ 1 = 500 −→ pivote
bn 
1.5◦

=  1200 ÷ 1.5 = 800 −→ semipivote

x2 
300 ÷ 0 = No −→ 0◦ semipivote




0◦

 300 ÷ 0 = No −→ semipivote
 


 500 ÷ 1 = 500 

 700 − 500 × 1 = 200
1 ÷ 1 = 1 1 − 1×1 = 0

 


 

0 ÷ 1 = 0 0 − 0×1 = 0

 


 

 


 0 ÷ 1 = 0 

 1 − (0 × 1) = 1



 1 ÷ 1 = 1 


 0 − (1 × 1) = −1
0 ÷ 1 = 0 0 − (0) × 1 = 0

 


 

 



 0 ÷ 1 = 0 


 1 − (0 × 1) = 1
0 ÷ 1 = 0 0 − (0 × 1) = 0

 

 


 300 − 500 × 0 = 300 

 900 − 500 × 1.5 = 150
0 − 1×0 = 0 1.5 − 1 × 1.5 = 0

 


 

1 0 0 = 1 0 0 1.5 = 0
 



 − × 


 − ×


 0 − (0 × 0) = 0 

 0 − (0 × 1.5) = 0



 0 − (1 × 0) = 0 


 0 − (1 × 1.5) = −1.5
0 − (0) × 0 = 0 1 − (0) × 1.5 = 1

 


 

 



 −1 − (0 × 0) = −1 


 1 − (0 × 1.5) = 1
0 − (0 × 0) = 0 0 − (0 × 1.5) = 0

 




 300 − 500 × 0 = 300
0 − 1×0 = 0




0 0 0 = 0




 − ×


 0 − (0 × 0) = 0



 0 − (1 × 0) = 0
0 − (0) × 0 = 0








 1 − (0 × 0) = 1
1 − (0 × 0) = 1


Cj 150 60 0 0 0 0 0 Tabla III

0 S1 200 0 0 1 -1 0 1 0
150 x1 500 1 ∗ 0 0 1 0 0 0
←− 0 S3 150 0 0 0 -1.5 1 1 0
−→ 60 x2 300 0 1 0 0 0 -1 0
0 S5 300 0 0 0 0 0 1 1
Zj 93000 150 60 0 150 0 -60 0
Zj − Cj — 0 0 0 150 0 -60 0

TABLA IV:
que ingresa es S4 con una utilidad de cero dólares. Se determina la fila
200 ÷ 1 = 200 −→ 1◦ semipivote



 500 ÷ 0 = 500 −→ 0∗

 semipivote
bn   ∗
=  150 ÷ 1 = 150 −→ 1 pivote

x2  ◦ semipivote
300 ÷ −1 = N o −→ −1




 300 ÷ 1 = 300 −→ 1◦ semipivote

 


 150 ÷ 1 = 150 

 200 − 150 × 1 = 50
0 ÷ 1 = 0 0 − 0×1 = 0

 


 

0 ÷ 1 = 0 0 − 0×1 = 0

 


 

 


 0 ÷ 1 = 0 

 1 − (0 × 1) = 1



 −1.5 ÷ 1 = −1.5 


 −1 − (−1.5 × 1) = 0.5
1 ÷ 1 = 1 0 − (1) × 1 = −1

 


 

 



 1 ÷ 1 = 1 


 1 − (1 × 1) = 0
0 ÷ 1 = 0 0 − (0 × 1) = 0

 

 


 300 − 150 × −1 = 450 

 500 − 150 × 0 = 500
0 − 0 × −1 = 0 1 − 0×0 = 1

 


 

1 0 = 1

− × −1 0 − 0×0 = 0
 


 

 


 0 − (0 × −1) = 0 

 0 − (0 × 0) = 0



 0 − (−1.5 × −1) = −1.5 


 1 − (−1.5 × 0) = 1
0 − (1) × −1 = 1 0 − (1) × 0 = 0

 


 

 



 −1 − (1 × −1) = 0 


 0 − (1 × 0) = 0
0 − (0 × −1) = 0 0 − (0 × 0) = 0

 




 300 − 150 × 1 = 150
0 − 0×1 = 0




0 − 0×1 = 0







 0 − (0 × 1) = 0



 0 − (−1.5 × 1) = 1.5
0 − (1) × 1 = −1








 1 − (1 × 1) = 0
1 − (0 × 1) = 1


Solución óptima por el método simplex:
x1 = 500 Televisores a Color
x2 = 450 Televisores Blanco- Negro
S1 = 50 Existe 50 tubos de pantalla no utilizadas.
c) Si S2 = 0 Se agota el cupo de importación de los tubos de color.
S3 = 0 Se agota la capacidad de ensamblaje
S1 = 50 Existe en stock 50 tubos para televisores blanco-negro

Cj 150 60 0 0 0 0 0 Tabla IV
0 S1 50 0 0 1 0.5 -1 0 0
←− 60 x2 450 0 1 0 -1.5 1 0 0
150 x1 500 1 0 0 0 0 0 0
−→ 0 S4 150 0 0 0 -1.5 1 1 0
0 S5 150 0 0 0 1.5 -1 0 1
Zj 102000 150 60 0 90 0 60 0
Zj − Cj — 0 0 0 90 0 60 0
S4 = 150 Hay un exceso de 150 televisores blanco-negro en el mercado.

S5 = 150 Falta cubrir 150 contratos de televisores.
d) Aumentar el cupo global no interesa, porque hay un exceso de 50 tubos
para televisor blanco-negro, pero convendrı́a.aumentar el cupo de tubos
de pantalla a color que se agoto.
e) El pago debe ser menos a 60 dólares, que es el valor que deja utilidad los
televisores blanco-negro, caso contrario no tendrı́a sentido.
f ) No pagarı́a publicidad, puesto que hay un exceso de mercado tanto en la
demanda como en los contratos.
2.14. Análisis del Dual en Programación Lineal

Programación lineal es un herramienta matemática, que ha permitido, en los
últimos años, resolver muchos problemas de carácter técnico-económico. Estos pro-
blemas están muy relacionados con los procesos y problemas que suceden cada dı́a,
en una empresa de tipo productivo, académico o de tipo administrativo.
Este es el motivo, por el cual la popularidad de la aplicación de este modelo ha cre-
cido casi en forma exponencial últimamente y muy probablemente siga creciendo
de la mismo forma en los próximos años. Programación lineal esta muy unida a las
técnicas informáticas-digitales y conforme estas técnicas vayan mejorando, cosa que
es muy dinámica actualmente, los modelos matemáticos aplicados en programación
lineal irán mejorando.
Los procesos técnicos-económicos de los diferentes tipos de empresas, que se desa-
rrollan en el mundo actual, tienen muchas variables y con el tiempo este número
de variables se irán incrementando, para estar al acorde con las necesidades de la
empresa.
Con el aumento del número de variables, en los diferentes procesos, va a provocar
la aplicación de técnicas informáticas mas avanzadas. Esto podrı́a causar una baja
en la popularidad de la aplicación de programación lineal en las empresas y/o in-
dustrias. Este problema ha determinado la necesidad de mejorar o encontrar nuevas
técnicas, que se apliquen en los diferentes modelos matemáticos, que se encuentran
en programación lineal. El modelo matemático, simplex, es un modelo recursivo,
que permite eficientemente asignar recursos limitados, para poder alcanzar un ob-
jetivo, que es: maximizar o minimizar un proceso dado, pero en el momento que

estamos alcanzando ese objetivo, maximizar, ese mismo objetivo se lo podrı́a repre-
sentar, como el deseo de alcanzar un mı́nimo, y viceversa.
Esta asociación de los dos problemas se conoce como ”Dualidad.o ”Problema dual”.
El estudio del problema dual tiene un interés matemático - económico porque:
1. Permite entender mejor el método de la programación lineal.
2. Puede ayudar a disminuir el tamaño de un modelo lineal; con el consiguiente

ahorro de trabajo al resolverlo a través del dual.
3. Es una herramienta adicional para realizar los análisis post-óptimales.
4. Complementa y facilita la interpretación económica de las variables, de los

coeficientes de la función objetivo y de los términos independientes de las
restricciones.
Lo escrito nos permite definir los objetivos del problema dual, que son:
1. Formular los diferentes procesos e interpretarlos con ayuda de los modelos de

programación dual.
2. Explicar la importancia de resolver los diferentes problemas técnicos-económi-

cos, de negocios y administrativos aplicando programación lineal utilizando el
dual.
2.14.1. Caracterı́sticas del Dual en Programación Lineal

La programación lineal aplicando el dual se caracteriza por:
1. Si el primal implica maximización, el dual se lo define con minimización, y

viceversa.
2. Los coeficientes de la función objetivo del dual están formados por los térmi-
nos independientes de las restricciones del primal.
3. El dual tiene restricciones como variables tiene el primal.
4. Si las restricciones del primal son del tipo ≥, las restricciones del dual serán
del tipo ≤ y viceversa.
5. Los términos independientes en el dual están formados por los coeficientes de

la función objetivo del primal.
6. El coeficiente de la variable jesima en la restricción jesima del primal, se trans-

forma en el coeficiente de la variable jesima de la restricción jesima de la jesima
del dual.
Máximo del Primal = Mı́nimo Dual”
En el lenguaje matemático nos ayuda a representara cada una de las caracterı́sticas

escritas anteriormente, las cuales nos ayudan y permiten resolver los diferentes ti-
pos de ejercicios, que se presentan en la vida practica, y que además, fácilmente nos

Primal Dual
Función Objetivo Función Objetivo

p
P p
P
Z(max) = Cj Xj Z(min) = b j Yj
j=1 j=1
Restricciones Restricciones
Pp Pp
Ai,j Xj ≤ bj Ai,j Yj ≥ Cj
j=1 j=1
i=(1,2,· · · p) j=(1,2,· · · p)
No-negatividad No-negatividad
Xj ≥ 0 Yj ≥ 0
j=(1,2,· · · p) i=(1,2,· · · p)
Xj = variables primales Yj = variables duales
permite apreciar el ahorro de tiempo, la facilidad y la ventaja de estas caracterı́sti-

cas, que se tiene al aplicarlas.
Para mejor comprensión , se escribe un ejercicio. Dados los siguientes primales
escribir sus duales, respectivos:
1. Problema primal:
Z(Max) = 4x1 + 5x2 + 9x3
Restricciones:
x1 + x2 + 2x3 ≤ 16
7x1 + 5x2 + 3x3 ≤ 25
xj ≥ 0
EL dual sera:
Siendo la función objetivo del primal de maximización, entonces la del dual
será minimización. Los términos independientes del primal pasan a ser los
coeficientes de la función objetivo del dual:
Z(MIN ) = 16y1 + 25y2
Para formar las restricciones del dual se toma s los coeficientes de las restric-
ciones del primal en sentido vertical:
y1 + 7y2 ≥ 4
y1 + 5y2 ≥ 5
2y1 + 3y2 ≥ 9
yj ≥ 0
Los términos independientes de las restricciones del dual son los coeficientes
de la función objetivo del primal.
Se ha planteado el problema dual, pero no se ha resuelto, para hallar el valor
de las variables del dual, es necesario el método simplex.

2. Primal: El dual sera:

Z(MIN ) = 2x1 + 3x2 Z(MAX) = 130y1 + 190y2 + 200y3
Restricciones: Restricciones:
x1 + 2x2 ≥ 130 y1 + 2y2 + y3 ≤ 2
2x1 + x2 ≥ 190 2y1 + y2 + y3 ≤ 3
x1 + x2 ≥ 200
xj ≥ 0 yj ≥ 0
3. Cuando el primal este formado por todos los sı́mbolos matemáticos conocidos;
es decir: ≤, ≥ y =, en ese caso se resuelve de la siguiente manera:
Z(MAX) = 8x1 + 5x2
Restricciones:
4x1 + 3x2 ≥ 120
2x1 + 8x2 ≤ 160
x1 + 2x2 = 60
xj ≥ 0
Siendo el primal un problema de maximización, todas las restricciones deben
ser puestas en la forma ≤.
La primera se multiplica por (-1) para que cambie de sentido de la inecuación:
−4x1 − 3x2 ≤ −120
La tercera restricción por ser una igualdad se remplazara por dos: una con
signo ≥ y la otra con signo ≤.
x1 + 2x2 ≤ 60 y x1 + 2x2 ≥ 60
La segunda ecuación le multiplicamos por (-1) para que, cambia de signo de
la desigualdad para igualar al resto de inecuaciones; por lo tanto se obtiene:
−x1 − 2x2 ≤ −60.
Por lo tanto, el primal transformado a su forma canónica de maximización es:
Z(MAX) = 8x1 + 5x2
Restricciones:
−4x1 − 3x2 ≤ −120
2x1 + 8x2 ≤ 160
x1 + 2x2 ≤ 60
−x1 − 2x2 ≤ −60
xj ≥ 0
Después de haber transformado el primal, el dual tendrá la siguiente forma:
Z(MIN ) = −120y1 + 160y2 + 60y3 − 60y4
Restricciones:
−4y1 + 2y2 + y3 − y4 ≥ 8

−3y1 + 8y2 + 2y3 − 2y4 ≥ 5

yj ≥ 0
Solución del Dual a través del primal: Una de las aplicaciones de la dualidad exis-
tente en programación lineal es la posibilidad de obtener la solución de un modelo
lineal a partir o por inspección de la solución de su dual o de su primal.
Esto significa que habiendo resuelto un problema, implı́citamente esta resuelto
el otro.
Entonces, esto da la posibilidad de trabajar con aquel modelo que tenga menor
número de restricciones, disminuyendo por tanto el tiempo de solución.
Con un análisis sencillo se establece las relaciones entre la solución óptima del
primal y la solución óptima de su dual.
La relación entre las funciones objetivas óptimas:
Utilizando la notación matricial se puede expresar un modelo de maximización,
como: 


 Funcion Objetivo
 Z(max) = Cj Xj


P rimal = 


 Restricciones :
 A·X ≤ b

j n
En donde:
Cj = matriz de una sola fila.
Xj = matriz de una sola columna (variables primales).
A = matriz de los coeficientes tecnológicos.
bn matriz de una sola columna que representa a los términos independientes.
Le corresponde un dual:


 Funcion Objetivo
 Z(max) = bnT yj



Dual =  Restricciones :


 AT · Y ≥ C T

j
En donde:
CjT = matriz transpuesta de C de una sola fila.
Yj = matriz de una sola columna (variables duales).
AT = matriz transpuesta de A que son los coeficientes tecnológicos.
Supongamos que X sea una solución factible cualquiera, reemplazando en el pri-

mal se tiene:
CX = X T C T ≤ X T (AT Y ), porque C T ≤ AT Y
Pero, X T (AT Y ) = (AX)T Y
Por lo tanto: CX ≤ (AX)T Y
Se tiene que: AX ≤ bn −→ (AX)T ≤ bnT .
lo que se puede escribir que:: Z(MAX) ≤ Z(MIN )
Lo que significa que: Z(MÁX) no puede sobrepasar el valor de Z(MÍN), y esta a
su vez no puede ser menor que Z(MÁX).
Una vez desarrollado el problema primal se puede obtener los valores de las
variables principales y de holgura del dual de la siguiente manera: Las variables

óptimas principales del dual son numéricamente iguales al valor absoluto de los co-
rrespondientes elementos de las variables de holgura, que se encuentran en la fila
del criterio simplex en la tabla óptima del primal. Ya se indico que, un problema
de maximización esta asociado matemáticamente a otros de minimización, y como
matemáticamente el problema dual puede extraerse del primal.
Los dos problemas: Primal Y Dual; son en realidad modelos que representan la asig-
nación eficiente, optima de recursos limitados de una empresa. Por tanto, es natural
que también deben estar asociados en su interpretación económica. La interpreta-
ción económica nos permite:
1. Explicar por qué las desigualdades de las restricciones se invierten.
2. Dar una interpretación del papel de los Cj y bn en uno y en el otro problema.
2.14.2. Ejercicios Resueltos con Dual

Los ejercicios aquı́ presentados, ya han sido resueltos por el método gráfico y el
método simplex ( método primal), mi interés es que, se observe que al aplicar el
método dual, también se llega al mismo resultado y ver la facilidad, que presenta al
aplicarlo o no.
1. Un taller fabrica dos clases de cinturones de piel. En cada cinturón A de alta

calidad gana 40 dólares y en cada cinturón B de baja calidad gana 30 dólares.
El taller puede producir diariamente 500 cinturones de tipo B o 250 cintu-
rones de tipo A. Solo se dispone de piel para 400 cinturones diarios A y B
combinados y de 200 hebillas elegantes para el cinturón A y de 350 hebillas
diarias para el cinturón B. ¿Qué producción maximiza la ganancia?
Método Primal:
Función Objetivo:
Z(MAX.) = 40X1 + 30X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4
Restricciones:



 x1 + x2 ≤ 400 Cantidad de piel



 x1 ≤ 200 Hebillas elegantes
x2 ≤ 350 Capacidad



2x1 + x2 ≤ 500





 x1 ; x2 ≥ 0
Z(MAX.) = 40X1 + 30X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4



 x1 + x2 + S1 = 400


 x1 + S2 = 200



 x2 + S3 = 350
 2x + x

+ S4 = 500
1 2
Se presenta hasta aquı́, lo que se ha realizado por el método simples, método
primal, ahora se aplica el método del dual:
Solución del ejercicio aplicando el método del Dual:
Función objetivo:

Z(MIN ) = 400y1 + 200y2 + 350y3 + 500y4

Restricciones o limitaciones:

y + y + 2y4 ≥ 40 Costo incorporado a A
 1 2




 y1 + y3 + y4 ≥ 30 Costo incorporado a B
yj ≥ 0


Z(MIN ) = 400y1 + 200y2 + 350y3 + 500y4 + 0S1 + 0S2 + Mm1 + Mm2
(
y1 + y2 + 2y4 − S1 +m1 = 40
y1 + y3 + y4 − S2 +m2 = 30
Tabla I:
Cj 400 200 350 500 0 0 M M Tabla I

yi bn y1 y2 y3 y4 S1 S2 m1 m2
←− M m1 40 1 1 0 2 -1 0 1 0
M m2 30 1 0 1 1 0 -1 0 1
Zj 70M 2M M M 3M -M -M M M
Zj − Cj — 2M M M 3M -M -M 0 0
Se escoje el mayor de los valores positivos de M que, en este caso es 3M de

manera que, la columna que ingresa es y4 con un valor de 500. Se determina
la fila que sale, para lo cual, se busca el menor cociente de dividir:
(
bn 40 ÷ 2 = 20 −→ 2∗ pivote
=
y4 30 ÷ 1 = 30 −→ 1◦ semipivote
Coeficientes de y4 : Coeficientes de m2 :
 


 40 ÷ 2 = 20 

 30 − 20 × 1 = 10



 1 ÷ 2 = 0.5 


 1 − 0.5 × 1 = 0.5
1 ÷ 2 = 0.5 0 − 0.5 × 1 = −0.5

 


 

 



 0 ÷ 2 = 0 


 1 − (0 × 1) = 1
2 ÷ 2 = 1 1 − (1 × 1) = 0
 

 

−1 ÷ 2 = −0.5 0 − (−0.5) × 1 = 0.5

 


 

 



 0 ÷ 2 = 0 


 −1 − (0 × 1) = −1
1 ÷ 2 = 0.5 0 − (0.5 × 1) = −0.5

 


 

 0 ÷ 2 = 0
  1 − (0 × 1)

= 1
Tabla II:
Cj 400 200 350 500 0 0 M M Tabla II

−→ 500 y4 20 0.5 0.5 0 1 -0.5 0 0.5 0
←− M m2 10 0.5 -0.5 1 0 0.5 -1 -0.5 1
Zj 10M 0.5M -0.5M M 500 0.5M -M M M
Zj − Cj — 0.5M -0.5M M 0 0.5M -0.5M 0 0

Se escoje el mayor de los valores positivos de M que, en este caso es M, de la

fila Zj −Cj de manera que, la columna que ingresa es y3 con un valor de 350. Se
determina la fila que sale, para lo cual, se busca el menor cociente de dividir:
(
bn 20 ÷ 0 = N o −→ 0◦ semipivote
=
y4 10 ÷ 1 = 10 −→ 1∗ pivote
Coeficientes de y3 : Coeficientes de y4 :
 


 10 ÷ 1 = 10 

 20 − 10 × 0 = 20



 0.5 ÷ 1 = 0.5 


 0.5 − 0.5 × 0 = 0.5
−0.5 ÷ 1 = −0.5 0.5 − −0.5 × 0 = 0.5

 


 

 



 1 ÷ 1 = 1 


 0 − (1 × 0) = 0
0 ÷ 1 = 0 1 − (0 × 0) = 1
 

 

0.5 ÷ 1 = 0.5 −0.5 − (0.5) × 0 = −0.5

 


 

 



 −1 ÷ 1 = −1 


 0 − (−1 × 0) = 0
−0.5 ÷ 1 = −0.5 0.5 − (−0.5 × 0) = 0.5

 


 

1 ÷ 1 = 1 0 − (1 × 0) = 0

 

Tabla III:
Las dos ultimas columnas se puede no tomarlas encuenta; ya que, las variables
artificiales de la columna yj se han eliminado.
Cj 400 200 350 500 0 0 Tabla III

yi bn y1 y2 y3 y4 S1 S2
500 y4 20 0.5 0.5 0 1 -0.5 0
←− 350 y3 10 0.5 -0.5 1 0 0.5 -1
Zj 13.500 425 75 350 500 -75 -350
Zj − Cj — 25 -125 0 0 -75 -350
Se escoje el mayor de los valores positivos que, en este caso es 25, de la fila
Zj − Cj de manera que, la columna que ingresa es y1 con un valor de 400. Se
(
bn 20 ÷ 0.5 = 40 −→ 0.5◦ semipivote
=
y1 10 ÷ 0.5 = 20 −→ 0.5∗ pivote
10 ÷ 0.5 = 20 20 − 20 × 0.5 = 10
 

 

0.5 ÷ 0.5 = 1 0.5 − 1 × 0.5 = 0

 


 

 



 −0.5 ÷ 0.5 = −1 


 0.5 − −1 × 0.5 = 1
1 ÷ 0.5 = 2 0 − (2 × 0.5) = −1
 

 

0 ÷ 0.5 = 0 1 − (0 × 0.5) = 1

 


 

 



 0.5 ÷ 0.5 = 1 


 −0.5 − (1) × 0.5 = −1
−1 ÷ 0.5 = −2 0 − (−2 × 0.5) = 1
 
Tabla IV:
El ejercicio es de minimización; por lo tanto, en la fila de decisión, Zj − Cj
debe constar de ceros o números negativos. Como este es el caso, el proceso ha
terminado.

Cj 400 200 350 500 0 0 Tabla III

yi bn y1 y2 y3 y4 S1 S2
500 y4 10 0 1 -1 1 -1 1
−→ 400 y1 20 1 -1 2 0 1 -2
Zj 13.000 400 100 300 500 -100 -300
Zj − Cj — 0 -100 -50 0 -100 -300
Z(MIN ) = 13.000 Dolares
y1 = 20 y3 = 0 Son los mismos valores
y2 = 0 y4 = 10
2. Se producen dos artı́culos A y B los mismos que son procesados por 3 maqui-
nas M1 , M2 y M3 que disponen de 130, 190, 200, horas semanales al menos
respectivamente. La M1 procesa 1 unidad de A y 1 de B, M2 procesa 2 de A y
1 de B, M3 procesa 1 de A y 4 de B. El costo de procesar es 2 dólares por ca-
da unidad del articulo A y 3 dólares por cada unidad del articulo B. ¿Cuantas
unidades de A y B se deben procesar para que el costo sea mı́nimo?.
Método Primal:
Función Objetivo:
Z(MIN .) = 2X1 + 3X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3
Restricciones:



 x1 + x2 ≥ 130 Capasidad de M1
 2x + x ≥ 190 Capasidad de M2
 1
 2



 x1 + 4x 2 ≥ 200 Capacidad de M3
x1 ; x2 ≥ 0


Z(MAX.) = 2X1 + 3X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3

x + x2 −S1 +Mm1 = 130
 1




 2x1 + x1 −S2 +Mm2 = 190
 x1 + 4x2

−S3 +Mm3 = 200
Solución óptima del problema primal: El lector debe verificar las respuestas.
Z(MÍN) = 283,5 Dólares
x1 = 106,51 Unidades del articulo A
S1 = 1.7 Capacidad no utilizada de M1
S2 = 0 Capacidad no utilizada de M2
S3 = 1.6 Capacidad no utilizada de M3
Método dual:
Función objetivo:

Z(Max) = 130y1 + 190y2 + 200y3

Restricciones o limitaciones:

 y1 + 2y2 + y3 ≤ 2
 U tilidad incorporada de A

y1 + y2 + 4y3 ≤ 3 U tilidad incorporado de B.



yj ≥ 0


Z(Max) = 130y1 + 190y2 + 200y3 + 0S1 + 0S2
(
y1 + 2y2 + y3 +S1 =2
y1 + y2 + 4y3 +S2 =3
Tabla I:
Cj 130 190 200 0 0 Tabla I

yi bn y1 y2 y3 S1 S2
0 S1 2 1 2 1 1 0
←− 0 S2 3 1 1 4 0 1
Zj 0 0 0 0 0 0
Zj − C j — -130 -190 -200 0 0
Se escoje el menor de los valores negativos que, en este caso es -200, de la fila
(
bn 2÷1 = 2 −→ 1◦ semipivote
=
y3 3 ÷ 4 = 0.75 −→ 4∗ pivote
Coeficientes de y3 : Coeficientes de S1 :
3 ÷ 4 = 0.75 2 − 0.75 × 1 = 1.25

 

 

 1 ÷ 4 = 0.25  1 − 0.25 × 1 = 0.75

 


 

 1 ÷ 4 = 0.25  2 − 0.25 × 1 = 1.75

 




 4 ÷ 4 = 1 


 1 − (1 × 1) = 0
0 ÷ 4 = 0 1 − (0 × 1) = 1

 


 


 1 ÷ 4 = 0.25 
 0 − (0.25) × 1 = −0.25
Tabla II:
Cj 130 190 200 0 0 Tabla II

←− 0 S1 1.25 0.75 1.75 0 1 -0.25
−→ 200 y3 0.75 0.25 0.25 1 0 0.25
Zj 150 50 50 200 0 50
Zj − Cj — -80 -140 0 0 50
Se escoje el menor de los valores negativos que, en este caso es -140, de la fila

(
bn 1.25 ÷ 1.75 = 0.71 −→ 1.75∗ pivote
=
y2 0.75 ÷ 0.25 = 3 −→ 0.25◦ semipivote
1.25 ÷ 1.75 = 0.71 0.75 − 0.71 × 0.25 = 0.57

 

 

0.75 ÷ 1.75 = 0.43 0.25 − 0.43 × 0.25 = 0.14

 


 

 
 1.75 ÷ 1.75 = 1  0.25 − 1 × 0.25 = 0

 




 0 ÷ 1.75 = 0 


 1 − (0 × 0.25) = 1
1 ÷ 1.75 = 0.57 0 − (0.57 × 0.25) = −0.14

 


 


 −0.25 ÷ 1.75 = 
 0.25 − (−0.14) × 0.25
−0.14 = 0.28
Tabla III:
Cj 130 190 200 0 0 Tabla III

−→ 190 y2 0.71 0.43 1 0 0.57 -0.14
200 y3 0.57 0.14 0 1 -0.14 0.28
Zj 248.9 110 190 200 80.3 29.4
Zj − Cj — -20 0 0 80.3 29.4
Todavı́a hay valores negativos, se escoje el menor de los valores negativos que,
en este caso es -20, de la fila Zj − Cj de manera que, la columna que ingresa es
y1 con un valor de 190. Se determina la fila que sale, para lo cual, se busca el
menor cociente de dividir:
(
bn 0.71 ÷ 0.43 = 1.6 −→ 0.43∗ pivote
=
y2 0.57 ÷ 0.14 = 4.1 −→ 0.14◦ semipivote
0.71 ÷ 0.43 = 1.65 0.57 − 1.6 × 0.14 = 0.34

 

 

 0.43 ÷ 0.43 = 1  0.14 − 1 × 0.14 = 0

 


 



 1 ÷ 0.43 = 2.3 

 0 − 2.3 × 0.14 = −0.32



 0 ÷ 0.43 = 0 


 1 − (0 × 0.14) = 1
0.57 ÷ 0.43 = 1.3 −0.14 − (1.3 × 0.14) = −0.32

 


 


 −0.14 ÷ 0.43 = 
 0.28 − (−0.32) × 0.14
−0.32 = 0.32
Tabla IV:
Cj 130 190 200 0 0 Tabla III

−→ 130 y1 1.65 1 2.3 0 1.3 -0.32
200 y3 0.34 0 -0.32 1 -0.32 0.32
Zj 283.5 130 235 200 105 22.4
Zj − Cj — 0 45 0 105 22.4
Solución óptima del problema dual:

Z(MÍN) = 282,5 Dólares
x1 = 105,51 Unidades del articulo A


La diferencia con el problema primal, se debe a los decimales usados en los
cálculos respectivos, que en caso de Z(máx) = 283.5; x1 = 106,5, x2 = 23.5.
3. Se fabrican dos clases de muebles A y B, se dispone de madera para 80 muebles

por lo menos, toma 2 horas preparar 10 muebles tipo A y 4 horas preparar 10
muebles tipo B, se dispone hasta 20 horas. La demanda de A es de un total
de 70. Cada mueble tipo A deja una utilidad de 10 dólares y 8 dólares cada
mueble tipo B. ¿Cuántos muebles tipo A y B se deben fabricar para obtener la
máxima ganancia?.
Método primal:
Función Objetivo:
Z(MIN .) = 10X1 + 8X2
Restricciones:



 x1 + x2 ≥ 80 Cantidad de madera





 2 4
x1 + x2 ≤ 20 T iempo





 10 10






 x1 = 70 Demanda de A
x1 ; x2 ≥ 0


El presente problema primal tiene restricciones de diferente sentido, para en-
contrar su dual es necesario que, todas las limitaciones estén en el mismo sen-
tido; para lo cual, la primera se multiplica por (-1) y la tercera la reemplazamos
por dos, una con un signo ≤ y la otra con ≥.



 −x1 − x2 ≤ −80 Cantidad de madera
 2x1 + 4x2 ≤ 200

 T iempo

x1 ≥ 70 Demanda de A



x ≤ 70




 1
 x1 ; x2 ≥ 0
Multiplicamos la última por (-1) y se obtiene:



 −x1 − x2 ≤ −80 Cantidad de madera
 2x + 4x ≤ 200 T iempo
 1 2




 −x1 ≤ −70 Demanda de A
x ≤ 70




 1
 x1 ; x2 ≥ 0
Función Objetivo del Dual:
Z(MIN ) = −80y1 + 200y2 + 70y3 − 70y4
Restricciones o Limitaciones:



 −y1 + 2y2 + y3 − y4 ≥ 10 Costo incorporado a A
−y1 + 4y2 ≥ 8 Costo incorporado a B



y1 ; y2 ≥ 0


Z(MIN ) = −80y1 + 200y2 + 70y3 − 70y4 + 0S1 + 0S2 + Mm1 + Mm2

(
−y1 + 2y2 + y3 − y4 −S1 +Mm1 = 10
−y1 + 4y2 −S2 +Mm2 =8
Tabla I:
Cj -80 200 70 -70 0 0 M M Tabla I

M m1 10 -1 2 1 -1 -1 0 1 0
←− M m2 8 -1 4 0 0 0 -1 0 1
Zj 18M -2M 6M M -M -M -M M M
Zj − Cj — -2M 6M M -M -M -M 0 0
Se escoje el mayor de los valores positivos que, en este caso es 6M, de la fila
(
bn 10 ÷ 2 = 5 −→ 2◦ semipivote
=
y3 8 ÷ 4 = 2 −→ 4∗ pivote
 


 8 ÷ 4 = 2 

 10 − 2 × 2 = 6
 −1 ÷ 4 = −0.25

  −1 − −0.25 × 2

 = −0.5
 
 4 ÷ 4 = 1  2 − 1×2 = 0

 


 




 0 ÷ 4 = 0 


 1 − (0 × 2) = 1
0 ÷ 4 = 0 −1 − (0 × 2) = −1
 

 

0 ÷ 4 = 0 −1 − (0) × 2 = −1

 


 

 



 −1 ÷ 4 = −0.25 


 0 − (−0.25 × 2) = 0.5
0 ÷ 4 = 0 1 − (0 × 2) = 1

 


 

 0 ÷ 4 = 0
  0 − (0) × 2

= 0
Tabla II:
Cj -80 200 70 -70 0 0 M M Tabla II

←− M m1 6 -0.5 0 1 -1 -1 0.5 1 0
−→ 200 y2 2 -0.25 1 0 0 0 -0.25 0 0
Zj 6M -0.5M 200 M -M -M 0.5M M M
Zj − Cj — -0.5M 0 M -M -M 0.5M 0 0
Se escoje el mayor de los valores positivos que, en este caso es M, de la fila

(
bn 6÷1 = 6 −→ 1◦ pivote
=
y3 2 ÷ 0 = N o −→ 0◦ semipivote

 


 6 ÷ 1 = 6 

 2 − 6×0 = 2
 −0.5 ÷ 1 = −0.5
  −0.25 − −0.5 × 0
 = −0.25

 

0 ÷ 1 = 0 1 − 0×0 = 1
 

 

1 ÷ 1 = 1 0 − (1 × 0) = 0

 


 


 −1 ÷ 1 = −1 
 0 − (−1 × 0) = 0
 


 −1 ÷ 1 = −1 

 0 − (−1) × 0 = 0
 0.5 ÷ 1 = 0.5
  −0, 25 − (0.5 × 0)
 = −02.5
 



 1 ÷ 1 = 1 


 0 − (1 × 0) = 0
 0 ÷ 1 = 0
 
 0 − (0) × 0 = 0
Tabla III:
Cj -80 200 70 -70 0 0 M M Tabla III

−→ 70 y3 6 -0.5 0 1 -1 -1 0.5 1 0
200 y2 2 -0.25 1 0 0 0 -0.25 0 1
Zj 820 -85 200 70 -70 -70 -15 M M
Zj − Cj — -85 0 0 0 -70 -15 0 0
El proceso ha terminado; ya que, en la fila (Zj − Cj ) contiene solo números

negativos y ceros. El ejercicio pide minimizar y por lo tanto debe cumplir las
condiciones de mı́nimo, en el método de simplex.
Z(MIN ) = 820 Dólares
y1 = 0; y2 = 2; y3 = 6; y4 = 0
S1 = x1 = 70; S2 = x2 = 15 (Valor absoluto).
4. Un comerciante de frutas transporta sus productos en un camión que tiene

una capacidad de 800 cajas de frutas. El debe transportar al menos 200 cajas
de naranjas, que le rendirán 20 dólares por caja; al menos 100 cajas de toronjas,
que le rendirán una ganancia de 10 dolares por caja y cuando mucho 200 cajas
de mandarinas con 30 dólares de ganancia por caja. ¿Cómo debe distribuirse
el cargamento del camión para obtener la máxima ganancia?.
Función Objetivo:
Z(MAX) = 20x1 + 10x2 + 30x3
x1 = Cajas de naranjas
x2 = Cajas de toronjas
x3 = Cajas de mandarinas
Restricciones:




 x1 + x2 + x3 ≤ 800 Capasidad del camion



 x1 ≥ 200 Cajas de naranjas
x2 ≥ 100 Cajas de toronjas



x3 ≤ 200 Cajas de mandarinas





 x1 ; x2 ; x3 ≥ 0
Para transformar a su forma dual, el ejercicio requiere tener todas las desigual-
dades en una sola dirección; para lo cual, se multiplica por (−1) a las ecuacio-
nes que se desee cambiar la dirección de la desigualdad.






 −x 1 ≤ −200 Cajas de naranjas
−x2 ≤ −100 Cajas de toronjas



x ≤ 200 Cajas de mandarinas




 3
 x1 ; x2 ; x3 ≥ 0
Restricciones con los Cambios en Primal:






 −x1 + 0x 2 + 0x 3 ≤ −200 Cajas de naranjas
0x1 − x2 + 0x3 ≤ −100 Cajas de toronjas



0x1 + 0x2 + x3 ≤ 200 Cajas de mandarinas





 x1 ; x2 ; x3 ≥ 0
Función Objetivo en Dual:
Z(Min.) = 800y1 − 20y2 − 100y3 + 200y4
Variables de Holgura en Dual :
Z(Min.) = 800y1 − 200y2 − 100y3 + 200y4 − 0S1 − 0S2 − 0S3 + Mm1 + Mm2 + Mm3

y − y + 0y3 + 0y4 − S1 +Mm1 = 20
 1 2




 y1 + 0y2 − y3 + 0y4 − S2 +Mm 2 = 10
 y1 + 0y2 + 0y3 + y4

− S3 +Mm3 = 30
Tabla I:
Cj 800 -200 -100 200 0 0 0 M M M Tabla I

xi bn y1 y2 y3 y4 S1 S2 S3 m1 m2 m3
M m1 20 1 -1 0 0 -1 0 0 1 0 0
←− M m2 10 1 0 -1 0 0 -1 0 0 1 0
M m3 30 1 0 0 1 0 0 -1 0 0 1
Zj 60M 3M -M -M M -M -M -M M M M
Zj − Cj — 3M -M -M M -M -M -M 0 0 0
 20 ÷ 1 = 20 −→ 1◦ semipivote

bn 
10 ÷ 1 = 10 −→ 1∗ pivote

=

y1   30 ÷ 1 = 30 −→ 1◦ semipivote


20 − 10 × 1 = 10

10 ÷ 1 = 10


 

 1 − 1×1 = 0

1 ÷ 1 = 1

 

 
 



 0 ÷ 1 = 0



 −1 − 0 × 1 = −1
−1 ÷ 1 = −1 0 − (−1 × 1) = 1

 


 

 



 0 ÷ 1 = 0 


 0 − (0 × 1) = 0
0 ÷ 1 = 0 −1 − (0 × 1) = −1
 

 

−1 ÷ 1 = −1 0 − (−1 × 1) = 1

 


 


0 − (0 × 1) = 0




 0 ÷ 1 = 0 



0 ÷ 1 = 0 1 − (0 × 1) = 1

 


 

1 ÷ 1 = 1 0 − (1 × 1) = −1

 


 

 
 0 − (0 × 1) =
 0 ÷ 1 = 0 0
30 − 10 × 1 = 20


0 − (−1 × 1) = 1


 1 − 1×1 = 0

 



 
 −1 − (0 × 1) = −1
 0 − 0×1 = 0

 

0 − (0 × 1) = 0


 0 − (−1 × 1) = 1 

0 − (1 × 1) = −1

 

1 − (0 × 1) = 1

 

 
 1 − (0 × 1) =


 0 − (0 × 1) = 1
0
Tabla II:
Cj 800 -200 -100 200 0 0 0 M M M Tabla II

←− M m1 10 0 -1 1 0 -1 1 0 1 -1 0
−→ 800 y1 10 1 0 -1 0 0 -1 0 0 1 0
M m3 20 0 0 1 1 0 1 -1 0 -1 1
Zj 30M 800 -M 2M M -M 2M -M M M M
Zj − C j — 0 -M 2M M -M 2M -M 0 0 0
Zj − Cj de manera que, la columna que ingresa es y3 con un valor de -100. Se
 10 ÷ 1 = 10 −→ 1∗

pivote
bn   ◦
=  10 ÷ −1 = N o −→ −1 semipivote

y3   20 ÷ 1 = 20 −→ 1◦ semipivote

10 ÷ 1 = 10 10 − 10 × −1 = 20
 

 

0 ÷ 1 = 0 1 − 0 × −1 = 1

 


 

 



 −1 ÷ 1 = −1 


 0 − −1 × −1 = −1
1 ÷ 1 = 1 −1 − (1 × −1) = 0
 

 

0 ÷ 1 = 0 0 − (0 × −1) = 0

 


 


0 − (−1 × −1) = −1




 −1 ÷ 1 = −1 



1 ÷ 1 = 1 −1 − (1 × −1) = 0
 

 


 0 ÷ 1 = 0 

 0 − (0 × −1) = 0
 0 − (1 × −1) = 1
 1 ÷ 1 = 1
 





 −1 ÷ 1 = −1



 1 − (−1 × −1) = 0
 0 ÷ 1 = 0
  0 − (0 × −1) =

0
20 − 10 × 1 = 10


1 − (1 × 1) = 0


0 0 1 = 0
 

 − × 

 −1 − (0 × 1) =

  −1
 0 − −1 × 1 = 1

 

0 − (1 × 1) = −1


 1 − (1 × 1) = 0 

−1 − (−1 × 1) = 0

 

1 − (0 × 1) = 1

 

 
 1 − (0 × 1) =


 0 − (−1 × 1) = 1
1
Tabla III:
Cj 800 -200 -100 200 0 0 0 M M M Tabla III

800 y1 20 1 -1 0 0 -1 0 0 1 0 0
−→ -100 y3 10 0 -1 1 0 -1 1 0 1 -1 0
M m3 10 0 1 0 1 1 0 -1 -1 0 1
Zj 10M 800 M -100 M M -100 -M -M 100 M
Zj − Cj — 0 M 0 M M -100 -M -2M -M 0
Se escoje el mayor de los valores positivos que, en este caso es M, como hay tres
valores M, se escoje el de y4 ya que existen dos valores ceros en esta columna,
lo cual facilitara los cálculos. En la fila Zj − Cj se toma la columna para que
ingrese y4 con un valor de 200. Ademas, las variables artificiales ya no se les
considera. Se determina la fila que sale, para lo cual, se busca el menor cociente
de dividir:
 20 ÷ 0 = N o −→ 0◦ semipivote

bn 
 10 ÷ 0 = N o −→ 0◦ semipivote

=

S2   20 ÷ 1 = 20 −→ 1∗ pivote
Coeficientes de y4 :
10 ÷ 1 = 10



0 ÷ 1 = 0








 1 ÷ 1 = 1 Coeficientes de y1 y4 :
0 ÷ 1 = 0








 1 ÷ 1 = 1 Los valores de y1 e y4 son los mismos ;
1 ÷ 1 = 1


 ya que, el semipivote de estos elemen-
0 ÷ 1 = 0

tos es cero.







 −1 ÷ 1 = −1
−1 ÷ 1 = −1




0 ÷ 1 = 0





 1 ÷ 1 = 1
Tabla IV:

Cj 800 -200 -100 200 0 0 0 Tabla IV

xi bn y1 y2 y3 y4 S1 S2 S3
800 y1 20 1 -1 0 0 -1 0 0
−→ -100 y3 10 0 -1 1 0 -1 1 0
200 y4 10 0 1 0 1 1 0 -1
Zj 17.000 800 -500 -100 200 -500 -100 -200
Zj − C j — 0 -300 0 0 -500 -100 -200
El ejercicio requiere obtener un mı́nimo; para lo cual, todos los elementos de la

fila(Zj − Cj ) tienen que ser valores negativos o ceros. Se observa que dicha fila
cumple con la condición de minimización en el método simples. El proceso se
ha acabado.
Solución del problema dual:
S1 = x1 = 500 ( Valor absoluto) Cajas de naranjas.
S2 = x2 = 100 ( Valor absoluto) Cajas de toronjas.
S3 = x3 = 200 ( Valor absoluto) Cajas de mandarinas.

2.15. Ejercicios Propuestos de Programación Lineal Méto-

do Simplex
1. Se procesan tres productos A, B y C a través de tres operaciones diferentes I,
II y III, los tiempos (en minutos) requeridos por unidad de cada producto, la
capacidad diaria de las operaciones (en minutos) por dı́a y el beneficio por unidad
vendida de cada producto (en dólares) son como sigue:
Tiempo Capacidad en
Operación
A B C minutos dia
I 1 2 1 430
II 3 0 2 460
III 1 4 0 420
Ganancias 3 2 5 Dólares
a) Determinar la producción diaria óptima para los tres productos que maxi-
mice el beneficio.
b) Suponga que, un cuarto producto debe fabricarse con las mismas operacio-
nes. Los tiempos por unidad en las tres operaciones son 3, 5 y 1. El beneficio
por unidad es igual a 6. Vuelva a formular el modelo de programación li-
neal. Si además debe utilizarse la capacidad total de la operación 3 ¿Cómo
cambiarı́a esto la formulación?.
c) Suponga que, la suma de las capacidades no utilizadas de las tres operacio-
nes no debe exceder de 10 minutos por dı́a. Muestre como esta restricción
puede ser implantada en la formulación.
d) Suponga que, un estudio de mercado indica que la relación del número de
unidades del producto A al número de unidades de los productos B y C debe
ser al menos igual a 0.4. Muestre como esta restricción puede ser tomada en
cuenta en la formulación.
2. Se procesan cuatro productos sucesivamente en dos maquinas. Los tiempos de

manufacture en horas por unidad de cada producto se tabulan a continuación
para las dos maquinas:
Tiempo por Unidad (horas)

Máquina
Producto A Producto B Producto C Producto D
I 2 3 4 2
II 3 2 1 2
El costo total de producir una unidad de cada producto esta basado directamente
en el tiempo de maquina. Suponga que: el costo por hora para las maquinas I y
II es 10 dólares y 15 dólares. Las horas totales presupuestadas para todos los
productos en las maquinas I y II son 500 y 380. Si el precio de venta por unidad
para los productos A, B, C y D es 65 dólares, 70 dólares, 55 dólares y 45 dólares,
formule el problema como un modelo de programación lineal para maximizar el
beneficio neto total.

3. Una compañı́a produce dos tipos de sombreros vaquero. Cada sombrero del pri-
mer tipo requiere el doble de tiempo en mano de obra que el segundo tipo. Si
todos los sombreros son solamente del segundo tipo, la compañı́a puede pro-
ducir un total de 500 sombreros al dı́a. El mercado limita las ventas diarias del
primero y segundo tipos a 150 y 250 sombreros. Suponga que los beneficios por
sombrero son 8 dólares para el tipo A y 5 dólares para el tipo B. Determine el
número de sombreros que deben producirse de cada tipo a fin de maximizar el
beneficio.
4. Un fabricante produce tres modelos (I, II y III) de un cierto producto, y usa dos
tipos de materia prima (A y B) de los cuales se tiene disponibles 2000 y 3000
unidades, respectivamente. Los requisitos de materia prima por unidad de los
tres modelos son:
Requisitos
Materia Prima
I II III
A 2 3 5
B 4 2 7
El tiempo de mano de obra para cada unidad del modelo I es dos veces que del
modelo II y tres veces del modelo III. La fuerza laboral completa de la fábrica
puede producir el equivalente de 700 unidades del modelo I. Una encuesta de
mercado indica que la demanda mı́nima de los tres modelos es 200, 250 y 150
unidades respectivamente. Sin embargo, las relaciones del número de unidades
producidas debe ser igual a 3: 2: y 5. Suponga que los beneficios por unidad de
los modelos I, II y III son 30, 20 y 50 unidades monetarias. Formule el proble-
ma como un modelo de programación lineal a fin de determinar el número de
unidades de cada producto que maximizaran el beneficio.
5. Un empresario tiene la opción de invertir su dinero en 2 planes. El plan A ga-

rantiza que cada unidad monetaria invertida ganará 70 cts. Dentro de un año,
mientras que el plan B garantiza que cada unidad monetaria invertida ganar 2
dólares dentro de 2 anos. En el plan B se permiten únicamente las inversiones pa-
ra periodos que sean múltiples de dos años. ¿Cómo se deberán invertir 100.000
dólares a fin de maximizar las ganancias al final de tres altos?. Formule el pro-
blema como un modelo de programación lineal.
6. Para una cafeterı́a que trabaja 24 horas., se requieren las siguientes meseras:
Horas dı́a Número meseras

2-6 4
6-10 8
10-14 10
14-18 7
18-22 12
22-2 4

Cada mesera trabaja 8 horas, consecutivas por dı́a. El objetivo es encontrar el

número más pequeño requerido para cumplir los requisitos anteriores. Formule
el problema como un modelo de programación lineal.
7. Suponga que, el numero mı́nimo de autobuses requerido en la i-estima hora del

dı́a es bi , donde i = (1, 2 · · · 24). Cada autobús trabaja 6 horas consecutivas, si el
número de autobuses en el periodo i excede el mı́nimo requerido bi, se incurre en
un costo por exceso, ci, por autobús-hora. Formule el problema como un modelo
de programación lineal de tal manera que se minimice el exceso del costo tal
originado.
8. Considere el problema de asignar tres tamaños diferentes de avión a cuatro rutas.

La tabla siguiente da la capacidad máxima (en numero de pasajeros) y el numero
de aviones disponible para cada tipo, el numero de viajes diarios que cada avión
puede hacer en una ruta dada y el numero diario de clientes esperados para cada
ruta.
Capacidad de Número de viajes diarios
Tipo de aviones
pasajeros aviones I II III IV
A 50 5 3 2 2 1
B 30 8 4 3 3 1
C 20 10 5 5 4 2
Número diario de pasajeros 100 200 90 120
Los costos asociados de operación por viaje en las diferentes rutas junto con el
costo de penalización (beneficio perdido), por no servir a un cliente, se resumen
a continuación:
Costo en una ruta dada

Tipo de Avión
I II III IV
A 1000 1100 1200 1500
B 800 900 1000 1000
C 600 800 800 1000
Recargo por cliente 40 50 45 70
Formule el problema como un modelo de programación lineal, para determinar

la asignación de aviones a rutas que minimizara el costo total del sistema.
9. Una fabrica de papel recibió tres pedidos de rollos de papel con los anchos y
longitudes incluidos en la tabla siguiente:
Pedido N ◦ Anchura (pies) Longitud (pies)

1 5 10.000
2 7 30.000
3 9 20.000
Los rollos se producen en la fábrica con dos anchos estándar; 10 y 20 pies. Los
cuales hay que recortar a los tamaños especificados por los pedidos. No existe

Lı́mite sobre la longitud de los rollos estándar; ya que, para propósitos prácticos
los rollos de longitud limitada pueden unirse para proporcionar las longitudes
requeridas.
a) a) Determine el esquema de producción (modelos de corte) que minimice la
perdida por ajuste y satisfaga la demanda dada.
b) b) Reformule el problema suponiendo solamente la disponibilidad de un
rollo estándar con ancho de 15.
10. Re-formule el problema 9 según la hipótesis de que, los rollos de papel se reem-
plazan por troncos. Las longitudes estándar de los troncos son de 10 y 20 pies, los
números de troncos requeridos de longitudes 5, 7 y 9, son 1.000, 3.000 y 2.000,
respectivamente.
11. Dos aleaciones A y B se hacen de cuatro metales diferentes I, II, III, IV. De acuerdo
con las especificaciones siguientes:
Especificaciones
Aleación A no mayor a 0.8 de I
no mayor a 0.3 de II
no mayor a 0.5 de IV
Especificaciones
Aleación B entre 0.4 y 0.6 de II
al menos 0.3 de III
a lo mas 0.7 de IV
Los cuatro metales se extraen de diferentes minerales cuyos constituyentes en

porcentaje de estos metales, cantidad disponible y costo por tonelada se tabulan
como siguen: Suponiendo que lo,s precios de venta de las aleaciones A y B son
Cantidad Constituyentes (Por centaje)

Mineral Precio (Ton)
máxima (tons) 1 2 3 4 otros
I 1000 20 10 30 30 10 30
II 2000 10 20 30 30 10 40
III 3000 5 5 70 20 0 50
200 y 300 unidades monetarias por tonelada. Formule el problema como un mo-
delo de programación lineal eligiendo, la función objetiva apropiada, que hará el
mejor uso de la información dada [Sugerencia: sea Xp la cantidad (en toneladas)
del metal i (i = I, II, III, IV) obtenida de mineral j, (j = 1, 2, 3) y asignada en la
aleación k-estima (k = A, B)
12. Un jugador interviene en un juego que requiere dividir su dinero entre cuatro
elecciones diferentes. El juego tiene tres resultados. La tabla siguiente da la ga-
nancia o perdida correspondiente por unidad monetaria depositada en cada una
de las cuatro elecciones para los tres resultados:
Suponga que el jugador tiene un total de 500 dólares, con los cuales puede jugar
únicamente una vez. El resultado exacto del juego no se conoce a prior, y en vis-
ta de esta incertidumbre el jugador decide hacer la asignación que maximizarı́a

Ganancia o Perdida
Resultado
1 2 3 4
I -3 4 -7 15
II 5 -3 9 4
III 3 -9 10 -8
su rendimiento mı́nimo. Formule el problema como un modelo de programa-

ción lineal. (Sugerencia: El rendimiento del jugador puede ser negativo, cero o
positivo).
13. La Sta. Cristina Polo es una estudiante emprendedora de tercer año de la Javie-
rana. Comprende que: ”solo el trabajo y nada de diversión hacen de Cristina una
muchacha aburrida”. Como resultado, Cristina quiere distribuir su tiempo dis-
ponible, de alrededor de 10 horas al dı́a, entre el trabajo y la diversión. Calcula
que, el juego es dos veces más divertido que el trabajo. También quiere, estudiar
por lo menos tanto como jugar. Sin embargo, Cristina comprende, que si quie-
re terminar todas sus tareas universitarias, no puede jugar más de cuatro horas
al dı́a. ¿Cómo debe distribuir Cristina su tiempo para maximizar su satisfacción
tanto en el trabajo como en el juego?.
14. Tamy debe trabajar por lo menos 20 horas a la semana para completar su ingreso
mientras asiste a la Universidad. Tiene la oportunidad de trabajar en dos tiendas
al detalle: en la tienda 1 Tamy puede trabajar entre 5 y 12 horas a la semana, y en
la tienda 2 le permiten trabajar entre 6 y 10 horas. Ambas tiendas pagan el mismo
salario por hora. De manera que Tamy quiere basar su decisión acerca de cuántas
horas debe trabajar en cada tienda en un criterio diferente; el factor del estrés
en el trabajo. Basándose en entrevistas con los empleados actuales, Tamy calcula
que, en una escala de 1 a 10, los factores del estrés son de 8 y 6 en las tiendas 1 y
2, respectivamente. Debido a que el estrés aumenta por hora, ella supone que el
estrés total al final de la semana es proporcional al número de horas que trabaja
en la tienda. ¿Cuántas horas debe trabajar en cada tienda?
15. Dos productos se fabrican en un centro de industrial. Los tiempos de producción

por unidad de los productos A y B son de 10 y 12 minutos. El fabricante vende
entre 150 y 180 respectivamente. El tiempo regular total de la maquina es de
2.500 minutos por dı́a. En un dı́a cualquiera, es 200 unidades del producto A,
pero no más de 45 unidades del producto B. Se pueden emplear horas extras
para satisfacer la demanda a un costo adicional de 0.50 de dólar por minuto.
a) Suponiendo que las utilidades por unidad de los productos A y B son de

6 y 7.50 dólares, respectivamente, formule un modelo y determine el nivel
óptimo de fabricación para cada producto; ası́ como, cualesquier número de
horas extras necesarias en el centro.
b) Si el costo por minuto de hora extra se incrementa a 1.50 dólares, ¿la com-
pañı́a debe utilizar horas extras?
16. La tienda de comestibles Dimitri vende dos tipos de bebidas no alcohólicas: la

marca de sabor de cola A1 y la marca propia de la tienda, Dimitri de colas, más
económica. El margen de utilidad en la bebida de cola A1 es de alrededor de 5

centavos de dólar por lata, mientras que la de la bebida de cola Dimitri suma
una ganancia bruta de 7 centavos por lata. En promedio, la tienda no vende más
de 500 latas de ambas bebidas de cola al dı́a. Aún cuando A1 es una marca más
conocida, los clientes tienden a comprar mas latas de marca Dimitri, porque es
considerablemente más económica. Se calcula que la venta de la marca Dimitri
superan a las de la marca A1 en una razón de 2 a 1 por lo menos. Sin embargo,
Dimitri vende, como mı́nimo, 100 latas de A1 al dı́a.
a) ¿Cuantas latas de cada marca debe tener en existencia la tienda diariamente

para maximizar su utilidad?
b) Determine la razón de las utilidades por lata de A1 y Dimitri que mantendrá
inalterada la solución de (a).
17. Mueblina emplea a cuatro carpinteros durante 10 dı́as para ensamblar mesas y
sillas. Se requieren 2 horas para ensamblar una mesa y 30 minutos para ensam-
blar una silla. Por lo común, los clientes compran entre cuatro y seis sillas con
cada mesa. Las utilidades son de 13.5 dólares por mesa y 5 dólares por silla. La
compañı́a opera un tumo de 8 horas al dı́a:
a) Determine gráficamente y por el método simplex la mezcla de producción

óptima de los 10 dı́as.
b) Determine el rango de la razón de utilidades por unidad, que mantendrá
inalterada la optima (a).
c) Si las utilidades actuales por cada mesa y silla se reducen 10 por ciento,
utilice la respuesta en (b) para mostrar la forma en la cual este cambio afecta
la solución optima obtenida en (a).
d) Si las utilidades actuales por cada mesa y silla cambia a 12 y 2.5 dólares,
utilice el resultado de sensibilidad en (b) para determinar si cambiara o no
la solución en (a).
18. Electrolux produce dos tipos de motores eléctricos, cada uno en una lı́nea de
ensamble separada. Las respectivas capacidades diarias de las dos lı́neas son de
600 y 750 motores. El motor tipo A emplea 10 unidades de cierto componente
electrónico y el motor tipo B solo utiliza 8 unidades. El proveedor del compo-
nente puede proporcionar 8.000 piezas al dı́a. Las utilidades por motor para los
tipos A y B son de 60 y 40 dólares, respectivamente. Determine la mezcla optima
para la producción diaria.
19. El Supermaxi tiene un contrato para recibir 60.000 libras de tomates maduros a
7 centavos de dólar por libra, con las cuales produce jugo de tomate enlatado,
ası́ como pasta de tomate. Los productos enlatados se empacan en cajas de 24
latas. Una lata de jugo requiere una libra de tomates frescos y una lata de pasta
solo requiere 1/3 de libra. La participación de mercado de la compañı́a se limita
a 2.000 cajas de jugo y 6.000 cajas de pasta. Los precios de mayoreo por caja de
jugo y de pasta son de 18 y 9 dólares, respectivamente:
a) Desarrolle un programa de producción óptima para Supermaxi.

b) Determine la razón del precio por caja con el precio por caja de pasta que
permitirá que Supermaxi produzca más cajas de jugo que de pasta. limita a

2.000 cajas de jugo y 6.000 cajas de pasta. Los precios de mayoreo por caja
de jugo y de pasta son de 18 y 9 dólares, respectivamente
20. Mueblina ensambla dos tipos de gabinetes de cocina de madera precortada: re-
gulares y de lujo. Los gabinetes regulares están pintados de blanco y los de lujo
están barnizados. Tanto la pintura como el barnizado se llevan a cabo en un de-
partamento. La capacidad diaria del departamento de ensamble puede producir
un máximo de 200 gabinetes regulares y 150 gabinetes de lujo. El barnizado de
un gabinete de lujo se lleva el doble de tiempo que pintar uno regular. Si el depar-
tamento de pintura /barnizado se dedica únicamente a las unidades de lujo, ter-
minarı́a 180 unidades diarias. La compañı́a calcula que las utilidades por unidad
de los gabinetes regulares y de lujo son de 100 y 140 dólares, respectivamente.
a) Formule el problema como un programa lineal y encuentre el programa de

producción óptima por dı́a.
b) Supongamos que, debido a la competencia, las utilidades por unidad de las
unidades regulares y de lujo deben reducirse a 80 y 110 dólares, respecti-
vamente. Utilice el análisis de sensibilidad para determinar si la solución
optima en (a) se mantiene inalterada o no.
21. Se producen dos tipos de sombreros estilo vaquero. El sombrero tipo 1 requiere
el doble de tiempo de trabajo que el de tipo 2. Si todos los sombreros producidos
únicamente son del tipo 2, la compañı́a puede producir un total de 400 sombre-
ros al dı́a. Los limites diarios del mercado son de 150 y 200 sombreros de los
tipos 1 y 2, respectivamente. La utilidad del sombrero tipo 1 es de 8 dólares y la
del sombrero tipo 2 es de 5 dólares:
a) Utilice la solución gráfica y el método simples para determinar el número

de sombreros de cada tipo que se debe producir
b) Determine el valor de incrementar la capacidad de producción de la com-
pañı́a en un sombrero tipo 2 y el rango para la cual es aplicable este resul-
tado
c) Si el lı́mite de la demanda del sombrero tipo 1 disminuye a 120, determine
el efecto correspondiente en la utilidad óptima, utilizando el valor unitario
del recurso.
d) ¿Cuál es el incremento en el valor por unidad en la participación de mercado
del sombrero tipo 2? ¿En cuanto se puede incrementar la participación de
mercado, al mismo tiempo que rinde el valor calculado por unidad?
22. Una compañı́a fabrica dos productos, A y B. El volumen de ventas de A es por

lo menos 80 por ciento de las ventas totales de A y B. Sin embargo, la compañı́a
no puede vender más de 100 unidades de A por dı́as. Los dos productos utilizan
una materia prima, cuya disponibilidad máxima diaria se limita a 24 Iibras al
dı́a. Las proporciones de utilización de la materia prima son 2 Iibras para cada
unidad de A y 4 libras para cada unidad de B. Los precios unitarios de A y B son
de 20 y 50 dólares, respectivamente.
a) Determine la mezcla óptima de los dos productos.

b) Utilice el análisis de sensibilidad para determinar el efecto de cambiar la

demanda máxima del producto A por ± 10 unidades.
23. Una compañı́a que opera 10 horas al dı́a fabrica cada uno de los productos en
tres procesos en secuencia. La siguiente tabla resume los datos del problema:
a) Determine la mezcla óptima de los dos productos.
b) Supongamos que, se están considerando los tres procesos para una expan-
sión y usted necesita determinar su prioridad. Diseñe una forma lógica para
lograr esta meta
24. Un almacén Familiar puede anunciar sus productos en la radio o la televisión
locales. El presupuesto para anuncios esta limitado a 10.000 dólares al mes. Cada
minuto de anuncios por radio cuesta 154 dólares y cada minuto de comerciales
por televisión cuesta 300 dólares. A la empresa le agrada utilizar los anuncios
por radio por lo menos el doble de los anuncios por televisión. Por lo pronto, no
es práctico utilizar más de 400 minutos de anuncios por radio. La experiencia
pasada muestra que se calcula que los anuncios por televisión son 25 veces más
efectivos que los de la radio.
a) Determine la asignación óptima del presupuesto para los anuncios por radio
y televisión.
b) Determine el valor por unidad de incrementar el lı́mite mensual en la pu-
blicidad por radio.
c) Si el presupuesto mensual se aumenta a 15.000 dólares, utilice la definición
de valor de la unidad para determinar la medida resultante de la efectividad
publicitaria.
25. La división de Educación Continua ofrece un total de 30 cursos cada semestre.
Los cursos que ofrece generalmente son de dos tipos: prácticas, como trabajos en
madera, procesador de palabras y mantenimiento de automóviles; y humanı́sti-
cos, como historia, música y bellas artes. Para satisfacer las demandas de la comu-
nidad, es necesario ofrecer por lo menos 10 cursos de cada tipo, cada semestre. La
división calcula que los ingresos por ofrecer esos cursos prácticos y humanı́sticos
son aproximadamente de 500 y 1000 dólares por curso, respectivamente:
a) ¿Como debe asignar la división sus cursos?
b) Determine el ingreso, si se incrementa el requerimiento mı́nimo de los cur-
sos prácticos con un curso más.
c) Determine el ingreso si se incrementa el requerimiento mı́nimo de los cursos
humanı́sticos con un curso más
26. Una camisera Inglesa fabrica camisas para caballero y blusas para damas, para
Almacenes, como el, El Globo. Este aceptara toda la producción que le propor-
cione la camisera Inglesa. El proceso de producción que incluye corte, costura y
empacado. La camisera Inglesa emplea a 25 trabajadores en el Departamento de
corte, a 35 en el Departamento de costura y a 5 en el departamento de empacado.
La fábrica trabaja un turno de 8 horas, solo 5 dı́as a la semana. La siguiente tabla
proporciona los requerimientos de tiempo y las utilidades por unidad para las
dos prendas:

Minutos por Unidad

Producto
Corte Costura Empacado Utilidad
Camisas 20 70 12 3
Blusas 60 60 4 3.5
a) Determine el programa de producción semanal óptimo.

b) Si los requerimientos mı́nimos diarios de Almacenes el Globo son de 2.000
camisas y 3.000 blusas, ¿es posible que la camisera Inglesa proporcione estas
cantidades con su semana de trabajo actual de 5 dı́as? De no ser ası́, ¿puede
usted sugerir alguna forma para que satisfaga estos requerimientos? ¿Cual
será el programa de producción óptimo en este caso?
c) Determine el valor por hora de los procesos de corte, costura y empacado.
d) Supongamos que, se puedan trabajar horas extra en los departamentos de
corte y costura, ¿cual debe ser la tarifa máxima por hora que debe pagar la
fábrica por las horas extra?
27. Se fabrican dos productos de limpieza para el hogar, A y B procesando dos tipos
de materia prima, I y II. El procesamiento de una unidad de materia prima I
cuesta 8 dólares y produce.5 unidad de solución A y .5 unidad de solución B.
Además, el procesamiento de una unidad de materia prima II cuesta 5 dólares y
produce 6 unidad de solución A y 4 unidades de solución B. La demanda diaria
de la solución A es entre 10 y 15 unidades y la de la solución es entre 12 y 20
unidades.
a) Encuentre la mezcla óptima de A y B que se debe producir.

b) Determine el valor por cambio de unidad en los lı́mites de la demanda de
los productos A y B.
28. Una lı́nea de ensamble que consta de tres estaciones consecutivas produce dos
modelos de radios: A y B. La siguiente tabla proporciona los tiempos de ensamble
para las tres estaciones de trabajo. El mantenimiento diario de las estaciones 1,
Minutos por Unidad

Estación de trabajo
A B
1 6 4
2 5 5
3 4 6
2 y 3 consume 10 por ciento. 14 por ciento y 12 por ciento respectivamente, del

máximo de 480 minutos disponibles para casa estación, cada dı́a.
a) La compañı́a desea determinar la mezcla optima de productos que minimi-

zara los tiempos inactivos (o no utilizados) en las tres estaciones de trabajo.
b) Determine el valor de disminuir 1 punto de porcentaje el tiempo diario de
mantenimiento para cada estación.

Dados los siguientes problemas primales, plantear el problema dual y resol-

verlo, hallar los valores de las variables fundamentales y de la función objeti-
vo del dual.
29. Almacenes Chimborazo fabrica bolsos, estuches para afeitar y mochilas. La fa-
bricación de los tres productos requiere piel y material sintético y la piel es la
materia prima limitante. El proceso de fabricación utiliza dos tipos de mano de
obra calificada: costura y acabado. La siguiente tabla proporciona la disponibi-
lidad de los recursos, su utilización en los tres productos y las utilidades por
unidad: Formule el problema como un programa lineal y encuentre la solución
Requerimientos por unidad Disponibilidad

Recurso
Bolsa Mochila Estuche diaria
2
piel (pies ) 2 1 3 42
Costura (horas) 2 1 2 40
Acabado (horas) 1 0.5 1 45
Precio venta (dólares) 24 22 45
óptima del problema dual. Después indique si los siguientes cambios en los re-
cursos mantendrán factible la solución actual. Para los casos donde se mantiene
la factibilidad, determine la nueva solución óptima del primal (valores de las
variables y de la función objetivo).
a) La piel disponible se incrementa a 45 pies2 .
b) La piel disponible se disminuye en 1 pie2 .
c) Las horas de costura disponibles se cambian a 38 horas.
d) Las horas de costura disponibles se cambian a 46 horas.
e) Las horas de acabado disponibles se disminuyen a 15 horas.
f ) Las horas de acabado disponibles se incrementan a 50 horas.
30. Electrolux produce los modelos de artefactos electrónicos que utilizan resistores,
capacitores y chips. La siguiente tabla resume los datos de la situación:
Requerimiento por unidad Disponibilidad

Producto
Modelo I Modelo II maxima por unidad
Resistor 2 3 1200
Capasitor 2 1 1000
Chips 0 4 800
Utilidad por unidad 3 4
a) Encuentre la solución del primal y el dual.

b) Si el número disponible de resistores se incrementa a 1.300 unidades, en-
cuentre la nueva solución óptima.
c) Si el número disponible de chips se reduce a 350 unidades, ¿podrá usted
determinar la nueva solución óptima directamente de la información pro-
porcionada?

d) Un nuevo contratista ofrece vender a almacenes el Foco resistores adicio-

nales a 40 centavos de dólar cada uno; pero solo si, el Foco compra por lo
menos 500 unidades. ¿Debe aceptar la oferta el Foco?.
31. Estatex tiene un presupuesto diario de 320 horas de mano de obra y 350 unida-
des de materia prima para fabricar dos productos. De ser necesario, la compañı́a
puede emplear hasta 10 horas diarias de tiempo extra de mano de obra a un cos-
to adicional de 2 dólares por hora. Se necesitan una hora de mano de obra y tres
unidades de materia prima para producir una unidad del producto 1, y dos horas
de mano de obra y una unidad de materia para producir una unidad del produc-
to 2. La utilidad por unidad del producto 1 es de 10 dólares y la del producto 2 es
de 12 dólares. Sea que X1 y X2 defina el numero diario de unidades producidas
de los productos 1 y 2 y que X3 sea las horas extras diarias utilizadas:
a) Determine la solución óptima del problema primal y dual.

b) Determine los precios duales y los rangos de aplicabilidad de sus recursos
asociados.
c) Examine los precios duales de las horas de mano de obra (restricción 1) y de
las horas extra (restricción 3). ¿No deberı́an ser iguales estos dos valores?
d) En la actualidad, Estatex paga 2 dólares adicionales por hora extra. ¿Cuanto
es lo más que debe estar dispuesta a pagar la compañı́a?.
e) Si Estatex puede adquirir diariamente 100 unidades adicionales de materia
prima a 1.50 dólares por unidad, ¿aconsejarı́a usted a la compañı́a que lo
hiciera?.
f ) Suponiendo que, Estatex esta experimentado una escasez de materia prima
y que no puede adquirir más de 200 unidades al dı́a, determine la solución
óptima asociada.
g) Suponiendo que, Estatex no puede utilizar más de 8 horas extras diariamen-
te, encuentre la nueva solución optima.


Bibliografı́a
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DIAGNÓSTICO MÉDICO Y ATENCIÓN AL PACIENTE

Edwin Dimitri Nieto Guerrero

Fernando Alonso Vaca de la Torre

Eduardo Lázaro Rodríguez Rodríguez

Docentes de la Universidad Central del Ecuador

Jorge Enrique Ordoñez García

Edwin Dimitri Nieto Guerrero

Título: Compendio de Matemáticas Volumen III

Texto para Docentes y Estudiantes Universitarios

*Director General: MBA. Vanessa Pamela Quishpe Morocho Ing.

1. Introducir al alumno de ingenierı́a en temas técnicos de razonamiento.

3. Desarrollar la madurez matemática del estudiante mediante el estudio de es-

4. La de ayudar a los profesores en la preparación de sus clases, de las diferentes

1. Aplicar las ideas presentadas en cada tema.

3. Desarrollar otros conceptos relacionados con el material dado.

Si el espacio lo permitiera mencionarı́a a cada uno de nuestros estudiantes que asis-

2.12. Ejercicios Propuestos de Programación Lineal Método Gráfico . . . . 112

4 Sistema de Ecuaciones Lineales

1. Definición de un sistema de ecuaciones

3. Caracterı́sticas de un sistema de ecuaciones

4. Métodos de solución de un sistema lineal, entre los cuales se analiza:

5. Métodos de solución de un sistema no-lineal

1.1. Definición de un Sistema de Ecuaciones

1. Sistemas lineales, todas las variables tienen exponente uno (1).

1.2. Sistema de Ecuaciones Lineales

1. Todas sus variables tienen exponente igual a 1, de ahı́ proviene el nombre de

ai,j −→ Los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales.

cn −→ Los coeficientes libres del sistema de ecuaciones lineales.

xn −→ Las variables del sistema de ecuaciones lineales.

2. Los sistemas de ecuaciones lineales pueden ser cuadrangulares y rectangula-

a) En sistema de ecuaciones, 2x2 cuadrangular, significa que el sistema tie-

6 Sistema de Ecuaciones Lineales

a, b, a1 , b1 −→ Los coeficientes de las variables del sistema de ecuacio-

c, c1 −→ Los coeficientes libres del sistema de ecuaciones lineales.

x, y −→ Las variables del sistema de ecuaciones lineales.

b) En sistema de ecuaciones, 3x3 cuadrangular, significa que el sistema tie-

a, b, c, a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 −→ Los coeficientes de las variables del sistema

d, d1 , d2 −→ Los coeficientes libres del sistema de ecuaciones lineales.

x, y, z −→ Las variables del sistema de ecuaciones lineales.

3. Un sistema lineal es rectangular cuando el número de variables es mayor o

a) En sistema de ecuaciones, 3x2 rectangular, significa tres ecuaciones y dos

x, y −→ Las variables del sistema de ecuaciones lineales.

a, b, c, a1 , a2 , b, b1 , b2 −→ . Los coeficientes de las variables del sistema de

c, c1 , c2 −→ Los coeficientes libres del sistema de ecuaciones lineales.

b) En sistema de ecuaciones, 4x3 rectangular, significa que el sistema tiene

Sistema de Ecuaciones Lineales 7

x, y, z −→ Las variables del sistema de ecuaciones lineales.

a, b, c, a1 , a2 , a3 , b, b1 , b2 , c, c1 , c2 −→ . Los coeficientes de las variables del

d, d1 , d2 , d3 −→ Los coeficientes libres del sistema de ecuaciones linea-

La teorı́a general de resolución un de un sistema de ecuaciones lineales indica

1. El sistema de ecuaciones lineales tiene una solución única; en el momento en

Figura 1.0 Sistema de Ecuaciones Solución Única

2. El sistema de ecuaciones lineales no tiene una solución; esto sucede en el mo-

8 Sistema de Ecuaciones Lineales

Figura 1.1 Sistema de Ecuaciones No hay Solución

3. El sistema de ecuaciones lineales tiene una cantidad infinita de soluciones;

Sistema de Ecuaciones Lineales 9

Figura 1.2 Sistema de Ecuaciones Solución Paramétrica

La solución de un sistema de ecuaciones lineales se basan en diferentes métodos de

1. Métodos clásicos, entre los cuales se tiene: Suma-resta, gráfico, igualación y