Fundamentos Matemáticos para

Robótica
Robótica Industrial I
Introducción
Localización Espacial
• La manipulación de piezas llevada a cabo por un robot implica el
movimiento espacial de su extremo.
• Para que el robot pueda recoger una pieza, es necesario conocer la
posición y orientación de ésta con respecto de la base del robot.

Modos de Aproximación
 Localización Espacial
• Especificación conjunta de la posición y orientación de un
sólido rígido en el espacio, con respecto a un sistema de
referencia fija S={O,X,Y,Z}.
• Al sólido rígido se le asocia un sistemas de coordenadas
(dextrógiro) S’= {O’,A,B,C} .
• La posición y orientación del sólido con respecto al sistema S,
queda totalmente determinada por la del sistema S’ con
respecto a S.
C B
A
Z

Y
X
Localización Espacial
Localización Espacial
Conceptos Previos
• Un manipulador robótico consta de una secuencia de elementos estructurales
rígidos, denominados enlaces o eslabones, conectados entre sí mediante
juntas o articulaciones, que permiten el movimiento relativo de cada dos
eslabones consecutivos.

 El conjunto de eslabones y articulaciones se denomina cadena

cinemática.
Representación de la posición

Coordenadas Cartesianas 2D Coordenadas Polares 2D

Coordenadas Cartesianas 3D Coordenadas Polares 3D

Representación de la posición

Coordenadas Esféricas
Orientación de los ejes en 3-D

Regla de la mano derecha

Z Z Z
Y X
Y X Y
X
Ejercicio#1
• Para los siguientes sistemas de referencia, indique la orientación de
los ejes (el lado positivo).

Y
Y
Y
Z
X
X Z X
Z

Z Z

Y X Y

Z
X
Y X
Transformación de Coordenadas
Rotación de un sistema de coordenadas
C Z Eje +

B
α

α Y
0 θ+
X
A
• Considere el XYZ como sistema de referencia y ABC como un sistema que ha girado
un ángulo α con respecto a XYZ.
• Se implementará la función R( eje, ángulo)
• La función indica la orientación del nuevo sistema de referencia con respecto al
primero, cuando se rota cierto eje en cierto ángulo.
• La rotación positiva se considera tomando en consideración la regla de la mano
derecha.
Rotación de un sistema de coordenadas
C Z
P

B
α

α Y
0
• Un punto P con componentes (a,b,c) en el sistema ABC, se representa por el vector:
P = a.ia +b.jb + c.kc. Donde ia, jb, kc son vectores unitarios del sistema ABC.
• Para expresarlo en el sistema coordenado XYZ con vectores unitarios ix, jy, kz se
realiza el producto escalar entre P y los vectores unitarios de XYZ:
• x = P . ix = a
• y = P . jy = b cosα – c senα x 1 0 0 a
• z = P . kz = b senα + c cosα y = 0 cosα –senα b
z 0 senα cosα c
Rotación de un sistema de coordenadas
• De manera general se puede la rotación de los ejes se puede
representar de la siguiente forma:

x ia.ix jb.ix kc.ix a

y = ia.jy jb.jy kc.jy b
z ia.kz jb.kz kc.kz c

 En la expresión anterior la matriz de 3x3 de productos escalares es la

matriz general de rotación.
 En resumen para los tres ejes tenemos:

1 0 0 cosβ 0 senβ
Rx,α = 0 cosα –senα Ry,β = 0 1 0
0 senα cosα -senβ 0 cosβ

cos –sen 0
Rz, = sen  cos  0
0 0 1
Matrices de rotación. Composición de rotaciones
Concatenación de rotaciones Multiplicación de matrices
Orden de la composición:
Rotación sobre OX Las rotaciones se especifican con
Rotación sobre OY respecto a los
Rotación sobre OZ EJES FIJOS PREMULTIPLICAR
Matrices de rotación. Composición de rotaciones
• A tener en cuenta:
• Cuando se efectúan varios giros sobre el sistema ABC con respecto al
sistema de referencia XYZ, la matriz total de rotación para convertir
coordenadas del sistema móvil al sistema fijo se obtiene multiplicando
las matrices de rotación independientes desde la última hacia la
primera.
• Rtot = Rn Rn-1 Rn-2 … R2 R1

• Por ejemplo:
1. Rotación de 30º con respecto al eje X
2. Rotación de 45º en el eje Z
3. Giro de 60º con respecto al eje Y.
• Para calcular la matriz de rotación total para convertir de ABC a XYZ, se
procedería a calcular las matrices de rotación de independientes y se
multiplican en orden inverso, es decir, (Ry,60º)x(Rz,45º) x(Rx,30º) .
Usos de la matriz de rotación
La matriz de rotación R permite:

1. Representar la orientación del sistema móvil S’ con respecto al

fijo S
2. Obtener las coordenadas de un punto en el sistema S,
conocidas sus coordenadas en el sistema móvil
3. Obtener en que punto b se convierte un punto a si se rota.
Propiedades de las Matrices de Rotación.
Son matrices ortonormales:

• Sus vectores por columnas o por filas son ortonormales entre si:

• Producto escalar
 de un vector por otro cualquiera = 0
 de un vector por si mismo =1
• Producto vectorial
 de un vector por el siguiente da el tercero

• Su Inversa coincide con su Traspuesta

• Su determinante es la unidad
Características del uso de Matrices para
representar una orientación
• Su composición se realiza mediante el álgebra de matrices
(facilidad de uso).

• Precisan 9 elementos (redundancia).

• Riesgo de inconsistencia tras varias operaciones

(redondeos).
• Adecuadas para la formulación y el cálculo manual.
• Inadecuadas para el calculo computacional.
Ejercicio #2
• El sistema ABC que inicialmente coincide con el sistema XYZ, se rota 60°, alrededor del
eje Z, calcule la ubicación en el sistema XYZ del punto P = (2, 3, 4), dado en
coordenadas del sistema ABC.
 Paso1: Identificar los ángulos de rotación para aplicar las respectivas matrices, para
lo cual es conveniente realizar gráficas.

Z Z
C C
B

X Y
A
X Y
A B

 Paso2: Calcular las matrices de rotación correspondientes.

cos60º –sen60º 0 0.5 –0.866 0

Rz,60 = sen60º cos60º 0 = 0.866 0.5 0
0 0 1 0 0 1
Ejercicio #2
• El sistema ABC que inicialmente coincide con el sistema XYZ, se rota 60°, alrededor del
eje Z, calcule la ubicación en el sistema XYZ del punto P = (2, 3, 4), dado en
coordenadas del sistema ABC.
 Paso3: Ubicar los puntos dados en el sistema ABC y calcular su equivalente visto
desde el sistema XYZ.

Px 0.5 –0.866 0 2 -1.598

Py = 0.866 0.5 0 3 = 3.232
Pz 0 0 1 4 4
Ejercicio #2
• El sistema ABC que inicialmente coincide con el sistema XYZ, se rota 60°, alrededor del
eje Z, calcule la ubicación en el sistema XYZ del punto P = (2, 3, 4), dado en
coordenadas del sistema ABC.
 Paso4: Verificación gráfica de puntos.

Z
C

X
A Y
Ejercicio #2
• El sistema ABC que inicialmente coincide con el sistema XYZ, se rota 60°, alrededor del
eje Z, calcule la ubicación en el sistema XYZ del punto P = (2, 3, 4), dado en
coordenadas del sistema ABC.
 Simulación en MATLAB (Nombre_Apellido_ej2.m)
Ejercicio #2
• El sistema ABC que inicialmente coincide con el sistema XYZ, se rota 60°, alrededor del
eje Z, calcule la ubicación en el sistema XYZ del punto P = (2, 3, 4), dado en
coordenadas del sistema ABC.
 Simulación en MATLAB (Nombre_Apellido_ej2.m)
Ejercicio #2
• El sistema ABC que inicialmente coincide con el sistema XYZ, se rota 60°, alrededor del
eje Z, calcule la ubicación en el sistema XYZ del punto P = (2, 3, 4), dado en
coordenadas del sistema ABC.
 Simulación en MATLAB (Nombre_Apellido_ej2.m)
Ejercicio #2
• El sistema ABC que inicialmente coincide con el sistema XYZ, se rota 60°, alrededor del
eje Z, calcule la ubicación en el sistema XYZ del punto P = (2, 3, 4), dado en
coordenadas del sistema ABC.
 Simulación en MATLAB (Nombre_Apellido_ej2.m)
Ejercicio #3
• El sistema ABC que inicialmente coincide con el sistema XYZ, se rota 90° alrededor del
eje X y luego 45° alrededor del eje Y. Calcule la ubicación en coordenadas XYZ del
punto P = (0, 4, 1), dado en el sistema ABC.
 Primera Operación: Rotación de ABC 90º alrededor del eje X.

Z
C Z B

X Y X Y
A B A
Ejercicio #3
• El sistema ABC que inicialmente coincide con el sistema XYZ, se rota 90° alrededor del
eje X y luego 45° alrededor del eje Y. Calcule la ubicación en coordenadas XYZ del
punto P = (0, 4, 1), dado en el sistema ABC.
 Segunda Operación: Rotación de ABC 45º alrededor del eje Y.

C
B

X
Y

A
Ejercicio #3
• El sistema ABC que inicialmente coincide con el sistema XYZ, se rota 90° alrededor del
eje X y luego 45° alrededor del eje Y. Calcule la ubicación en coordenadas XYZ del
punto P = (0, 4, 1), dado en el sistema ABC.
 Ubicación del punto y resultado.

Z
C
B C
B

X
Y

A A
Ejercicio #3
• El sistema ABC que inicialmente coincide con el sistema XYZ, se rota 90° alrededor del
eje X y luego 45° alrededor del eje Y. Calcule la ubicación en coordenadas XYZ del
punto P = (0, 4, 1), dado en el sistema ABC.
Ejercicio #3
• El sistema ABC que inicialmente coincide con el sistema XYZ, se rota 90° alrededor del
eje X y luego 45° alrededor del eje Y. Calcule la ubicación en coordenadas XYZ del
punto P = (0, 4, 1), dado en el sistema ABC.
Ejercicio #3
• El sistema ABC que inicialmente coincide con el sistema XYZ, se rota 90° alrededor del
eje X y luego 45° alrededor del eje Y. Calcule la ubicación en coordenadas XYZ del
punto P = (0, 4, 1), dado en el sistema ABC.
Ejercicio #4
• El sistema ABC que inicialmente coincide con el sistema XYZ, se rota 60° alrededor del
eje X, luego 60° alrededor del eje Y y luego 60° alrededor del eje Z. Calcule la ubicación
en coordenadas XYZ del punto P = (2, 3, 4), dado en el sistema ABC.

1 0 0 1 0 0
Rx,60 = 0 cos60º –sen60º = 0 0.5 –0.866
0 sen60º cos60º 0 0.866 0.5

Cos60º 0 sen60º 0.5 0 0.866

Ry,60 = 0 1 0 = 0 1 0
-sen60º 0 cos60º –0.866 0 0.5

cos60º –sen60º 0 0.5 –0.866 0

Rz,60 = sen60º cos60º 0 = 0.866 0.5 0
0 0 1 0 0 1
Ejercicio #4
• El sistema ABC que inicialmente coincide con el sistema XYZ, se rota 60° alrededor del
eje X, luego 60° alrededor del eje Y y luego 60° alrededor del eje Z. Calcule la ubicación
en coordenadas XYZ del punto P = (2, 3, 4), dado en el sistema ABC.

0.5 –0.866 0 0.5 0 0.866 1 0 0

RT = 0.866 0.5 0 0 1 0 0 0.5 –0.866
0 0 1 –0.866 0 0.5 0 0.866 0.5

0.250 -0.058 0.966

RT = 0.433 0.899 -0.058
-0.866 0.433 0.250

Px 0.250 -0.058 0.966 2 4.192

Py = 0.433 0.899 -0.058 3 = 3.332
Pz -0.866 0.433 0.250 4 0.567
Ejercicio #4
• El sistema ABC que inicialmente coincide con el sistema XYZ, se rota 60° alrededor del
eje X, luego 60° alrededor del eje Y y luego 60° alrededor del eje Z. Calcule la ubicación
en coordenadas XYZ del punto P = (2, 3, 4), dado en el sistema ABC.
Ejercicio #4
• El sistema ABC que inicialmente coincide con el sistema XYZ, se rota 60° alrededor del
eje X, luego 60° alrededor del eje Y y luego 60° alrededor del eje Z. Calcule la ubicación
en coordenadas XYZ del punto P = (2, 3, 4), dado en el sistema ABC.
Ejercicio #4
• El sistema ABC que inicialmente coincide con el sistema XYZ, se rota 60° alrededor del
eje X, luego 60° alrededor del eje Y y luego 60° alrededor del eje Z. Calcule la ubicación
en coordenadas XYZ del punto P = (2, 3, 4), dado en el sistema ABC.

Pxyz
Ejercicio #4
• El sistema ABC que inicialmente coincide con el sistema XYZ, se rota 60° alrededor del
eje X, luego 60° alrededor del eje Y y luego 60° alrededor del eje Z. Calcule la ubicación
en coordenadas XYZ del punto P = (2, 3, 4), dado en el sistema ABC.
Rotación de un sistema de coordenadas
• Cuando se tiene el proceso inverso:
• Cuando se efectúan varios giros sobre el sistema ABC con respecto al sistema de
referencia XYZ, la matriz total de rotación para convertir coordenadas del
sistema fijo al sistema móvil se obtiene multiplicando la inversa del producto de
las matrices de rotación independientes desde la última hacia la primera.
Rtot = [Rn Rn-1 Rn-2 … R2 R1]-1

• Por ejemplo:
1. Rotación de 30º con respecto al eje X
2. Rotación de 45º en el eje Z
3. Giro de 60º con respecto al eje Y.
• Para calcular la matriz de rotación total para convertir de XYZ hacia ABC, se
procedería a calcular las matrices de rotación de independientes y a obtener la
inversa de este producto, es decir: [(Ry,60º) x(Rz,45º) x(Rx,30º) ]-1.
Ejercicio #5
• El sistema ABC que inicialmente coincide con el sistema XYZ, se rota
30° alrededor del eje X, luego 45° alrededor del eje Y y luego 30°
alrededor del eje Z. Calcule la ubicación en coordenadas ABC del
punto P = (2, 3, 4), dado en el sistema XYZ.

1 0 0 1 0 0
Rx,-30 = 0 cos-30º –sen-30º = 0 0.866 0.5
0 sen-30º cos-30º 0 -0.5 0

Cos-45º 0 sen-45º 0.707 0 -0.707

Ry,-45 = 0 1 0 = 0 1 0
-sen-45º 0 cos-45º 0.707 0 0.707

Cos-30º –sen-30º 0 0.866 0.5 0

Rz,-30 = Sen-30º cos-30º 0 = -0.5 0.866 0
0 0 1 0 0 1
Ejercicio #5
• El sistema ABC que inicialmente coincide con el sistema XYZ, se rota
30° alrededor del eje X, luego 45° alrededor del eje Y y luego 30°
alrededor del eje Z. Calcule la ubicación en coordenadas ABC del
punto P = (2, 3, 4), dado en el sistema XYZ.

1 0 0 0.707 0 -0.707 0.866 0.5 0

RT = 0 0.866 0.5 0 1 0 -0.5 0.866 0
0 -0.5 0 0.707 0 0.707 0 0 1

0.612 0.354 -0.707

RT = -0.127 0.927 0.354
0.78 -0.127 0.612

Pa 0.612 0.354 -0.707 2 -0.543

Pb = -0.127 0.927 0.354 3 = 3.9409
Pc 0.78 -0.127 0.612 4 3.6297
Representación de la orientación.
Ángulos de Euler
• Giros consecutivos en torno a 3 ejes, debiendo ser perpendicular cada
eje con el siguiente.

• Posibilidad
de especificar los giros sobre ejes fijos (XYZ) o sobre ejes
móviles (UVW)

• 12 combinaciones posibles sobre ejes fijos y 12 sobre ejes móviles

• De todas las más frecuentes son:

Ejes Móviles: WUW (ZXZ) y WVW (ZYZ)

Ejes Fijos (XYZ)
 Ángulos de Euler WUW
• Girar el sistema OUVW un ángulo 
con respecto al eje OZ,
convirtiéndose así en el OU'V'W'.

• Girar el sistema OU'V'W' un ángulo

 con respecto al eje OU',
convirtiéndose así en el OU''V''W''.

• Girar el sistema OU''V''W'' un

ángulo  con respecto al eje OW''
convirtiéndose finalmente en el
OU'''V'''W'''

Si  es nulo el primer y tercer giro se

producen sobre el mismo eje (Z)
 Ángulos de Euler WVW
• Girar el sistema OUVW un ángulo 
con respecto al eje OZ,
convirtiéndose así en el OU'V'W'.

• Girar el sistema OU'V'W' un ángulo

 con respecto al eje OV',
convirtiéndose así en el sistema
OU''V''W''.

• Girar el sistema OU’’V’’W’’ un

ángulo  con respecto al eje OW'',
convirtiéndose finalmente en el
OU'''V'''W'''.
Si  es nulo el primer y tercer giro se
producen sobre el mismo eje (Z)
Ángulos Euler XYZ
(guiñada, cabeceo y alabeo)

• Giros entorno a los ejes fijos (XYZ)

• Guiñada-Cabeceo-Alabeo
• Yaw-Pitch-Roll
• Girar el sistema OUVW un ángulo 
con respecto al eje OX. (Yaw)
• Girar el sistema OUVW un ángulo 
con respecto al eje OY. (Pitch)
• Girar el sistema OUVW un ángulo 
con respecto al eje OZ. (Roll)
Características del uso de Ángulos de
Euler para representar una orientación
• No existe un álgebra para concatenar o componer rotaciones.
• Precisan 3 elementos
• Poco intuitivos
• Inadecuadas para la formulación y el cálculo manual
• Inadecuados para el cálculo computacional
 Representación de la orientación.
Par de rotación
• Dados los sistemas {O,X,Y,Z} y {O,U,V,W}, existe un único vector k (kx,ky.kz),
tal que girando alrededor de él un ángulo  se convierte el primer sistema
en el segundo.

k es el vector propio real de la matriz de rotación.

 Se puede obtener como el argumento de los valores propios complejos de la
matriz de rotación.
Representación de la orientación.
Cuaternios
Algebra de cuaternios (I)
Algebra de cuaternios (II)
SUMA

PRODUCTO

MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR

CUATERNIO CONJUGADO

NORMA

CUATERIO INVERSO

GIRO DE UN VECTOR MEDIANTE CUATERNIO Q  0, r  Q*

Resumen representación de la orientación

Matrices Redundancia, Algebra de matrices, Uso cómodo

Ángulos de Euler Mínima información. No hay álgebra asociada

Par de rotación 4 elementos, paso intermedio hacia los cuaternios

4 elementos, Algebra de cuaternios, eficientes

Cuaternios
computacionalmente.
Traslación
• La traslación de un sistema de coordenadas con respecto a otro se
representa por medio de la suma vectores.

• Un punto P del sistema ABC de coordenadas (a, b, c), considerando que

los ejes ABC se mantienen paralelos a XYZ respectivamente, el punto
Pabc = a.iA +b.jB + c.kC se convierte en Pxyz = (a+d1).iX +(b+d2).jY +
(c+d3).kZ
C

P
Z

0’
B
d
0 A
Y

X
Traslación
• Expresando la relación de coordenadas de ABC y XYZ en forma matricial (con
Px, Py y Pz expresados como componentes de un vector columna),
tendremos:
Px 1 0 0 d1 a
Py 0 1 0 d2 b
Pxyz = =
Pz 0 0 1 d3 C
1 0 0 0 1 1

 La matriz 4x4 es una matriz de traslación, [Tr] que se pude escribir:

Pxyz = [Tr] PABC

1 0 0 d1
0 1 0 d2
Tr = 0 0 1 d3
0 0 0 1
Traslación
• A tener en cuenta:
• Cuando tenemos varios desplazamientos del sistema ABC con respecto al origen
del sistema XYZ, se obtiene la matriz de desplazamiento total a través de la
sumatoria de las componentes de los vectores desplazamiento (dn+…+d2+d1).

1 0 0 d1n+…+d12+d11
0 1 0 d2n+…+d22+d21
Tr = 0 0 1 d3n+…+d32+d31
0 0 0 1

 Sentido inverso:
 Cuando se desea transformar coordenadas de un punto dado en el sistema
XYZ a coordenadas en el sistema ABC, la matriz de traslación se obtiene con el
sentido contrario del vector d, mediante el cual ABC fue desplazado.

Pa 1 0 0 -d1 x
Pb 0 1 0 -d2 y
Pabc = =
Pc 0 0 1 -d3 z
1 0 0 0 1 1
Ejercicio #6
Sea el espacio ABC que inicialmente coincide con espacio XYZ y el vector
d = [2 3 4]T.

1. Indique la matriz de traslación para desplazar el origen del sistema

ABC, una distancia dada por el vector d.
Recuerde que esta matriz permite trasladar cualquier punto en el
espacio ABC hacia el espacio XYZ.
2. Indique la ubicación, en el espacio XYZ de los siguientes puntos
dados en el espacio ABC: (1,2,3);(3,4,5);(3,2,1)
3. Indique la ubicación, en el espacio ABC de los siguientes puntos
dados en el espacio XYZ: (1,2,2);(3,3,5);(3,2,2)
Ejercicio #6
 Matriz de traslación para convertir puntos del
sistema ABC hacia XYZ. Puntos Puntos
ABC XYZ

1 0 0 2 Px 1 0 0 2 1 3
0 1 0 3 Py
= 0 1 0 3 2 = 5
Tr = Pz
0 0 1 4 0 0 1 4 3 7
1 0 0 0 1 1 1
0 0 0 1

Px 1 0 0 2 3 5
d = [d1 d2 d3]T
Py
= 0 1 0 3 4 = 7
Pz 0 0 1 4 5 9
1 0 0 0 1 1 1
d = [2 3 4]T

Px 1 0 0 2 3 5
Py
= 0 1 0 3 2 = 5
Pz 0 0 1 4 1 5
1 0 0 0 1 1 1
Ejercicio #6
 Matriz de traslación para convertir puntos
del sistema XYZ hacia ABC. Puntos Puntos
XYZ ABC

1 0 0 -2 Pa 1 0 0 -2 1 -1
= 0 1 0 -3 2 = -1
0 1 0 -3 Pb
Tr = Pc
0 0 1 -4 0 0 1 -4 2 -2
1 0 0 0 1 1 1
0 0 0 1

Pa 1 0 0 -2 3 1
d = [d1 d2 d3]T
Pb
= 0 1 0 -3 3 = 0
Pc 0 0 1 -4 5 1
1 0 0 0 1 1 1
-d = [-2 -3 -4]T

Pa 1 0 0 -2 3 1
= 0 1 0 -3 2 = -1
Pb
Pc 0 0 1 -4 2 -2
1 0 0 0 1 1 1
Ejercicio #6
 Matriz de traslación para convertir puntos del sistema XYZ hacia ABC.
Ejercicio #6
 Matriz de traslación para convertir puntos del sistema XYZ hacia ABC.
Ejercicio #6
 Matriz de traslación para convertir puntos del sistema XYZ hacia ABC.

???

???
???
 Ejercicio #7
• Cierto sistema ABC que coincide inicialmente con el sistema XYZ, se
traslada una distancia d1, luego se traslada una distancia d2 y luego d3.
• d1 = [-3, 3, 2]T, d2 = [2, 4 -1]T, d3 = [0, -2, 4]T

• Indique la ubicación, en el espacio XYZ de los siguientes puntos dados

en el espacio ABC: (1,2,3);(3,4,5);(3,2,1)
• Indique la ubicación, en el espacio ABC de los siguientes puntos dados
en el espacio XYZ: (-1,2,3); (2,2,2);(3,-2 ,1)
Representación conjunta mediante matrices
Matrices Homogéneas de Transformación

• Matriz 4x4 que representa la transformación de un vector en

coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro

R3x3 p3x1  Rotacion Traslacion

T  
 f 1x3 w1x1  Perspectiva Escalado 

• R3x3: matriz de rotación

• p3x1: vector de traslación
• f1x3: transformación de perspectiva ((0,0,0) en el caso de robótica)
• w1x1: escalado global (1 en el caso de robótica)
Matrices Homogéneas de Transformación
• Las matrices homogéneas de transformación 4x4 se usan en robótica para
representar rotación y traslación por medio de una sola matriz.
• En robótica la última hilera siempre tiene todos los elementos iguales a cero
excepto el último que es igual a uno.

R3x3 T3x1 Rotación Traslación

A = =
0 1 0 1

• Aplicaciones:
• Representar la posición y orientación de un sistema girado y trasladado
(ABC), con respecto a un sistema fijo de referencia (XYZ), que es lo mismo
que representar una rotación y una traslación realizada sobre un sistema de
referencia.
• Transformar un vector: expresado en coordenadas con respecto a un
sistema ABC, a su expresión en coordenadas del sistema de referencia XYZ.
• Rotar y trasladar un vector: con respecto a un sistema de referencia fijo XYZ.
Matrices Homogéneas de Transformación
• Para expresar un punto P = (a, b, c), dado en un sistema ABC que ha
sido sometido a varias operaciones, en el sistema de referencia
original XYZ, utilizamos la matriz homogénea de transformación de la
siguiente manera:

Pxyz = A . PABC

• Hay que recordar que para hallar correctamente la matriz de

homogénea de transformación de 4x4 se multiplican las matrices de
las diferentes operaciones realizas, teniendo en cuenta que el orden
correcto de estas multiplicaciones comienza desde la última
operación hasta la primera (Premultiplicación).
Composición general de matrices homogéneas
Transformaciones definidas sobre el sistema fijo (OXYZ)  PREMULTIPLICACIÓN

Ejemplo:
• Obtener la matriz de transformación que representa al sistema
O'UVW obtenido a partir del sistema OXYZ mediante
– giro de ángulo –π/2 alrededor del eje OX,
– traslación de vector pxyz(5,5,10)
– giro de π/2 sobre el eje OZ

0 1 0 0  1 0 0 5  1 0 0 0   0 0 1 5
1 0 0 0 0 1 0 5  0 0 1 0 1 0 0 5 
T  Rotz( ) T(p) Rotx( )   
0 0 1 0  0 0 1 10 0 1 0 0 0 1 0 10 
     
0 0 0 1  0 0 0 1  0 0 0 1  0 0 0 1
Combinación de rotaciones y traslaciones
• Es posible combinar rotaciones y traslaciones básicas multiplicando
las matrices correspondientes
• El producto no es conmutativo:
rotar y trasladar  trasladar y rotar

Trasladar T(p) y
Girar Rotz(π)

Girar Rotz(π) y
trasladar T(p)

Transformaciones expresadas en el sistema móvil

Ejercicio #8
 El punto (0,1,0) es dado en el sistema ABC. ABC gira con respecto al eje X
de XYZ en un ángulo α. En seguida se traslada el origen de ABC en una
distancia “d” a lo largo del eje X y finalmente el origen de ABC se traslada
en la dirección Z una distancia “e”. Determinar las coordenadas del punto
en el sistema XYZ después de las operaciones descritas, considerando:
α=45º, d=1 y e=0.707.
 Primera Operación: Rotación de ABC 45º con respecto X.

Z
C C Z

O1 O2 B

O1
X Y O2
A B X
A Y
Ejercicio #8
 El punto (0,1,0) es dado en el sistema ABC. ABC gira con respecto al eje X
de XYZ en un ángulo α. En seguida se traslada el origen de ABC en una
distancia “d” a lo largo del eje X y finalmente el origen de ABC se traslada
en la dirección Z una distancia “e”. Determinar las coordenadas del punto
en el sistema XYZ después de las operaciones descritas, considerando:
α=45º, d=1 y e=0.707.
 Segunda Operación: Traslación del origen de ABC una distancia de 1 en dirección al
eje X.

C Z

B
O1
O2
X
A Y
Ejercicio #8
 El punto (0,1,0) es dado en el sistema ABC. ABC gira con respecto al eje X
de XYZ en un ángulo α. En seguida se traslada el origen de ABC en una
distancia “d” a lo largo del eje X y finalmente el origen de ABC se traslada
en la dirección Z una distancia “e”. Determinar las coordenadas del punto
en el sistema XYZ después de las operaciones descritas, considerando:
α=45º, d=1 y e=0.707.
 Tercera Operación: Traslación del origen de ABC una distancia de 0.707 en dirección
al eje Z.
C
Z

B
O2

A O1
Y
X
Ejercicio #8
 El punto (0,1,0) es dado en el sistema ABC. ABC gira con respecto al eje X
de XYZ en un ángulo α. En seguida se traslada el origen de ABC en una
distancia “d” a lo largo del eje X y finalmente el origen de ABC se traslada
en la dirección Z una distancia “e”. Determinar las coordenadas del punto
en el sistema XYZ después de las operaciones descritas, considerando:
α=45º, d=1 y e=0.707.
 Ubicación del punto dado en coordenadas ABC.

C
Z

B
O2

A O1
Y
X
Ejercicio #8
 El punto (0,1,0) es dado en el sistema ABC. ABC gira con respecto al eje X
de XYZ en un ángulo α. En seguida se traslada el origen de ABC en una
distancia “d” a lo largo del eje X y finalmente el origen de ABC se traslada
en la dirección Z una distancia “e”. Determinar las coordenadas del punto
en el sistema XYZ después de las operaciones descritas, considerando:
α=45º, d=1 y e=0.707.
 Cálculo de la matriz de transformación homogénea:
A = Tz Tx Rx,α
1 0 0 0 1 0 0 d 1 0 0 0
A= 0 1 0 0 0 1 0 0 0 cosα –senα 0
0 0 1 e 0 0 1 0 0 senα cosα 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Considerando d = 1, e = 0.707, α = 45º
1 0 0 1
A= 0 0.707 –0.707 0 Matriz de Transformación
Homogénea
0 0.707 0.707 0.707
0 0 0 1
Ejercicio #8
 El punto (0,1,0) es dado en el sistema ABC. ABC gira con respecto al eje X
de XYZ en un ángulo α. En seguida se traslada el origen de ABC en una
distancia “d” a lo largo del eje X y finalmente el origen de ABC se traslada
en la dirección Z una distancia “e”. Determinar las coordenadas del punto
en el sistema XYZ después de las operaciones descritas, considerando:
α=45º, d=1 y e=0.707.
 Cálculo del punto en coordenadas XYZ.
Pxyz = A . PABC

1 0 0 1 0
Pxyz = 0 0.707 –0.707 0 1
0 0.707 0.707 0.707 0
0 0 0 1 1
1
Pxyz = 0.707
Pxyz = (1, 0.707, 1.414)
1.414
1
Ejercicio #8
 El punto (0,1,0) es dado en el sistema ABC. ABC gira con respecto al eje X
de XYZ en un ángulo α. En seguida se traslada el origen de ABC en una
distancia “d” a lo largo del eje X y finalmente el origen de ABC se traslada
en la dirección Z una distancia “e”. Determinar las coordenadas del punto
en el sistema XYZ después de las operaciones descritas, considerando:
α=45º, d=1 y e=0.707.
 Verificación:

C
Z

B
O2
O1
A
Y
X
Ejercicio #9
 Se quiere obtener la matriz de transformación homogénea que representa
al sistema ABC obtenido mediante un giro de -90° alrededor del eje X, de
una traslación a través del vector d [5,5, 10]T y un giro de 90° sobre el eje Z.
Considere la coincidencia inicial del sistema ABC con el sistema fijo XYZ
 Representar el punto (4,5,6) dado en el sistema ABC en el sistema XYZ.
Ejercicio #10
 Dado un punto (2,4,3) en el sistema XYZ expréselo en el sistema ABC
sabiendo que el sistema ABC se formó después de las siguientes
operaciones al sistema XYZ: traslación del origen ABC un vector d[-3,10,10]T
; giro de -90° con respecto al eje X y giro de 90° sobre el eje Y.
 Primera Operación: traslación del origen ABC un vector d [-3,10,10]T

C
O2
C Z B
A

O2
O1
O1
A B X
Y Y
X
Ejercicio #10
 Dado un punto (2,4,3) en el sistema XYZ expréselo en el sistema ABC
sabiendo que el sistema ABC se formó después de las siguientes
operaciones al sistema XYZ: traslación del origen ABC un vector d[-3,10,10]T
; giro de -90° con respecto al eje X y giro de 90° sobre el eje Y.

 Segunda Operación: Z
giro de -90° sobre el O1
eje X X Y

O2
A C

B
Ejercicio #10
 Dado un punto (2,4,3) en el sistema XYZ expréselo en el sistema ABC
sabiendo que el sistema ABC se formó después de las siguientes
operaciones al sistema XYZ: traslación del origen ABC un vector d[-3,10,10]T
; giro de -90° con respecto al eje X y giro de 90° sobre el eje Y.
 Tercera Operación: giro de 90° sobre el eje X

B
Z O2

O1 C
A
X Y
Ejercicio #10
 Dado un punto (2,4,3) en el sistema XYZ expréselo en el sistema ABC
sabiendo que el sistema ABC se formó después de las siguientes
operaciones al sistema XYZ: traslación del origen ABC un vector d[-3,10,10]T
; giro de -90° con respecto al eje X y giro de 90° sobre el eje Y.
 Ubicación del punto dado en coordenadas XYZ.

Z O2

C
O1
A

Y
X
Ejercicio #10
Dado un punto (2,4,3) en el sistema XYZ expréselo en el sistema ABC
sabiendo que el sistema ABC se formó después de las siguientes
operaciones al sistema XYZ: traslación del origen ABC un vector d[-3,10,10]T
; giro de -90° con respecto al eje X y giro de 90° sobre el eje Y.
 Cálculo de las coordenadas ABC para el punto dado en coordenadas XYZ.

Z O2

C
O1
A

Y
X
Ejercicio #11
• Se quiere obtener la matriz de transformación que representa al sistema
ABC obtenido a partir del sistema fijo XYZ mediante un giro de -45°
alrededor del eje Z, un giro de 30° sobre el eje Y y una traslación de vector d
[-1,2, 2]T
• Representar el punto (2,8,1) dado en el sistema ABC en el sistema XYZ.
 Matrices Homogéneas de Transformación
• A tener en cuenta:
• Hasta el momento se ha hecho referencia a operaciones de traslación y
rotación que se han realizado a un determinado sistema ABC con
respecto a un sistema fijo XYZ. Es decir que este sistema ABC siempre
ha girado en torno en torno a los ejes de XYZ.

• Pero , ¿Qué pasaría si el sistema ABC gira en torno a sus propio ejes?
¿Cómo se calcularía la matriz homogénea de transformación para
expresar un punto ABC con respecto a XYZ? .

• Para el caso mencionado: Cuando las operaciones de un sistema ABC

(giros o traslaciones) son realizados con respecto a sus propios ejes
(A,B,C) la matriz homogénea de transformación se obtiene mediante la
multiplicación de las matrices homogéneas de cada operación en el
orden en el cual se fueron suscitando. (Postmultiplicación)
Composición general de matrices
homogéneas
Transformación definidas sobre el sistema móvil (OUVW) 
POSMULTIPLICACIÓN
Ejemplo:
• Obtener la matriz de transformación que representa las siguientes
transformaciones:
– Traslación de un vector pxyz(-3,10,10);
– giro de -90 sobre el eje O'U del sistema trasladado
– giro de 90 sobre el eje O'V del sistema girado.

1 0 0 3 1 0 0 0  0 0 1 0  0 0 1 3
0 1 0 10  0 0 1 0  0 1 0 0 1 0 0 10 
T  T(p) Rotx( ) Roty( )   
0 0 1 10  0 1 0 0 1 0 0 0 0
 1 0 10 
     
0 0 0 1  0 0 0 1  0 0 0 1  0 0 0 1
Matrices Homogéneas de Transformación
 A tener en cuenta:

 Por ejemplo:
 Considerando la coincidencia inicial del eje ABC con el sistema XYZ.
1. Traslación a través de un vector d1.
2. Rotación de 30° con respecto al eje A.
3. Rotación de 45° en el eje C.
4. Giro de 60° con respecto al eje B.
 La matriz homogénea de transformación para convertir un punto dado en
el sistema ABC hacia XYZ, se procedería a calcular las matrices homogéneas
independientes normalmente y se multiplican en el orden que sucedieron,
es decir, (T1)x(RA,30°)x(RC,45°) x(RB,60°) .
Reglas de composición de MTH
Si el sistema O´UVW se obtiene mediante transformaciones definidas con
respecto al:
• Sistema fijo OXYZ, las MTH de cada transformación se deben premultiplicar
• Sistema móvil O´UVW, las MTH de cada transformación se deben
postmultiplicar
Interpretación geométrica de las MTH
n x ox a x px 
 p  n o a p
n o a
T y

y y y

n z oz a z pz  0 0 0 1
 
 0 0 0 1 

• p representa la posición del origen de O'UVW con respecto del sistema OXYZ.
• n representa las coordenadas del eje O'U del sistema O'UVW con respecto del
sistema OXYZ.
• o representa las coordenadas del eje OY del sistema O'UVW con respecto del
sistema OXYZ.
• a representa las coordenadas del eje O'W del sistema O'UVW con respecto del
sistema OXYZ.
Interpretación geométrica de las MTH.
Aplicación en un robot
Z La localización del extremo del robot
respecto a su base queda definida
asociando a la base del robot un sistema
de referencia fijo {R}=(OXYZ) y al extremo
un sistema de referencia {H} que se
mueva con él. Expresado en la base {R},
el origen de {H} está en el punto p y los
{R} Y
vectores directores de {H} son n, o, a
escogidos de modos que:

o {H} •a: vector en la dirección de

X n aproximación del extremo del robot a su
a
destino (approach).
n x o x a x p x  •o: vector perpendicular a a en el plano
 
  n o a p 
n o a p definido por la pinza del robot.
T
y y y y
 n z o z a z p z   0 0 0 1 •n: vector que forme terna ortogonal con
  los dos anteriores.
 0 0 0 1 
Ejercicio #12
 Se quiere obtener la matriz de transformación homogénea que representa
al sistema ABC obtenido mediante un giro de 90º sobre el eje B, de una
traslación a través del vector d [10,10, 5]T y un giro de 90º alrededor del eje
A. Considere la coincidencia inicial del sistema ABC con el sistema fijo XYZ.
Representar el punto (4,5,6) dado en el sistema ABC en el sistema XYZ.
Ejercicio #13
 Se quiere obtener la matriz de transformación homogénea que representa
al sistema ABC obtenido mediante un giro de 45° sobre el eje A, de una
traslación a través del vector d [-1,1,5]T y un giro de 30° alrededor del eje
B. Considere la coincidencia inicial del sistema ABC con el sistema fijo XYZ
 Representar el punto (10,0,10) dado en el sistema ABC en el sistema XYZ.
Ejercicio #14
 Obtenga la matriz de transformación que representa al sistema ABC
obtenido a partir del sistema fijo XYZ mediante un giro de 30° alrededor del
eje X, un giro de -30° sobre el eje Y y una traslación de vector d [-5,5, 5]T
 Representar el punto (5,0,-5) dado en el sistema ABC en el sistema XYZ.
Representación conjunta mediante
vectores
Uso de los cuaternios para manipular
traslaciones y rotaciones
• Los puntos se presentan por el vector (0,rxyz)
• Las traslaciones equivalen a la suma de vectores
• Las rotaciones se realizan mediante el álgebra de cuaternios
Comparación entre métodos de localización
espacial
Método Ventajas Inconvenientes
Matrices de  Posición y orientación  Alto nivel de redundancia
transformación de forma conjunta (12 compon. para 6 gdl)
homogénea  Comodidad  Coste computacional
Angulos de  Notación compacta  Sólo orientación
Euler  Dificultad de manejo para
composición
Par de rotación  Notación compacta  Sólo orientación
 Dificultad de manejo para
composición
Cuaternios  Composición simple y  “Poca familiaridad con su
eficiente de rotaciones y algebra”
traslaciones