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Aula 2611
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Edson A. Coayla T.
25/11 de 2021
Funciones de varias variables: Continuidad
Contenido
Introducción
Referencias
Funciones de varias variables: Continuidad
Introducción
Definición
Una función z = f (x, y ) es llamada continua en (a, b) si
Teorema
Si f es una función de dos variables continua en (a, b) y g es una
función de una variable continua en f ((a, b)), entonces g ◦ f es
continua en (a, b).
Dem: Ver [3] pagina 186.
Ejemplo
1) Todos las funciones polinomio son continuas.
2) Las funciones racionales, i.e. fracciones de polinomios, son
continuas en su dominio. Por tratarse de cocientes de funciones
continuas.
x
3) La función z = x 2 +y 2 es discontinua en (0, 0) pues no esta
definida en ese punto.
Funciones de varias variables: Continuidad
Introducción
Ejemplo
1) Sea x
x 2 +y 2
si (x, y ) 6= (0, 0)
g (x, y ) =
0 si (x, y ) = (0, 0).
Aqui g esta definida en (0, 0) mas aun es discontinua en (0, 0)
x
pues lı́m(x,y )→(0,0) g (x, y ) = lı́m(x,y )→(0,0) x 2 +y 2 no existe (vimos
en 25/11).
2) Sea ( 2
x y
x 2 +y 2
si (x, y ) 6= (0, 0)
h(x, y ) =
0 si (x, y ) = (0, 0).
Aqui h es continua para (x, y ) 6= (0, 0), pues es una función
racional en este caso. Ya que
2
lı́m(x,y )→(0,0) h(x, y ) = lı́m(x,y )→(0,0) x 2x+yy 2 = 0 = h(0, 0) (vimos en
25/11), la función h es continua en R2 .
Funciones de varias variables: Continuidad
Referencias
Bibliografia