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Curso de Flujo en Medios Porosos
Curso de Flujo en Medios Porosos
Curso de Flujo en Medios Porosos
Flujo en
Medios Porosos
ei(x)
ei(x) ei(x) ei(x)
-ln x
-ln x
x
ei(x)-ln x)=-lnx-0.5772
INTRODUCCION 4
CAPITULO I 5
INTRODUCCIÓN AL FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS 5
1.1. DIFERENCIA ENTRE RESERVORIO, YACIMIENTO Y ÁREA DE DRENAJE
DE UN POZO. 5
1.2. CLASIFICACIÓN DEL FLUJO DE FLUIDOS EN UN MEDIO POROSO. 6
1.3. COMPORTAMIENTO DE LA PRESIÓN EN EL YACIMIENTO. 10
1.4. PERFILES DE LAS PRESIONES EN EL YACIMIENTO 16
CAPÍTULO II 18
LA LEY DE DARCY Y SUS APLICACIONES 18
2.1. LA LEY DE DARCY 18
2.2. SIGNIFICADO DE H 21
2.3. ECUACIÓN DE DARCY 23
2.4. CONVENCIÓN DE SIGNO 25
a. Flujo lineal 25
b. Flujo radial 25
2.5. UNIDADES DE CONVERSIÓN 26
a. Unidades Darcy 27
b. Unidades de campo 28
2.6. POTENCIAL REAL DEL GAS 34
2.7. PRESIÓN AL PLANO DE REFERENCIA O DATUM 35
2.8. SISTEMAS DE FLUJO CONTINUO 38
2.9. ECUACIÓN DE FLUJO PARA FLUIDO INCOMPRESIBLE, FLUJO
CONTINUO 40
A. FLUJO LINEAL 40
B. FLUJO RADIAL 41
2.10. APLICACION DE LA ECUACIÓN DE DARCY A UN LÍQUIDO
LIGERAMENTE COMPRESIBLE, FLUJO CONTINUO. 43
2.11. ECUACIONES DE FLUJO PARA FLUIDO COMPRESIBLE, FLUJO
CONTINUO. 45
A. FLUJO LINEAL, HORIZONTAL 45
B. FLUJO RADIAL, HORIZONTAL 47
2.12. ESTRATOS EN SERIE, FLUJO CONTINUO 48
A. FLUJO LINEAL 48
B. FLUJO RADIAL 49
2.13. ESTRATOS EN PARALELO, FLUJO CONTINUO 49
A. FLUJO LINEAL 49
B. FLUJO RADIAL 50
2.14. EFECTO DE PIEL (SKIN EFFECT) O EFECTO DE DAÑO 51
Análisis del signo de S 53
CAPITULO III 63
LA ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD PARA LÍQUIDO LIGERAMENTE
COMPRESIBLE 63
3.1. DERIVACIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL RADIAL BÁSICA DE
FLUJO EN MEDIOS POROSOS EN UNIDADES DE CAMPO, USADA PARA
MODELAR SISTEMAS DE FLUJO DEPENDIENTES DE TIEMPO. 63
3.2. COMPRESIBILIDAD 66
Notas sobre la compresibilidad 68
3.3. SOLUCIONES EXACTAS DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD RADIAL 70
A. YACIMIENTOS CILÍNDRICOS CERRADOS 71
A.1. Condiciones de frontera e inicial 71
A.2. Variables adimensionales 72
A.3. Solución analítica 74
B. YACIMIENTOS CILINDRICOS ABIERTOS 76
B.1. Condiciones de frontera e inicial 76
B.2. Solución Analítica 76
CAPÍTULO IV 78
SOLUCIONES PRÁCTICAS DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD 78
4.1. YACIMIENTO INFINITO: 78
4.1.1. SOLUCIÓN PARA EL PERÍODO DE FLUJO TRANSITORIO TEMPRANO
(YACIMIENTO ∞). 78
4.1.2. APROXIMACIÓN LOGARÍTMICA DE LA SOLUCIÓN PARA
YACIMIENTO INFINITO 81
4.1.3. FUNCIÓN DE LA DERIVADA DE PRESIÓN 83
4.1.4. DURACIÓN DE LA ACTUACIÓN DEL YACIMIENTO COMO INFINITO
O DEL PERÍODO DE FLUJO TRANSIENTE TEMPRANO. 84
4.1.5. SOLUCIÓN PARA EL TRANSIENTE TARDÍO 85
4.2. YACIMIENTO FINITO (CERRADO) 86
4.2.1. SOLUCIÓN PARA EL ESTADO SEUDOCONTINUO 86
4.2.2. DEFINICIÓN DE Y 87
4.2.3. OTRAS RELACIONES DE LA ECUACIÓN DE FLUJO DE ESTADO
SEUDOCONTINUO 88
4.2.4. FUNCION DE LA DERIVADA DE PRESION 89
4.2.5. RESUMEN 90
4.2.6. ÍNDICE DE PRODUCTIVIDAD 92
4.2.7. TIEMPO DE FLUJO DE ESTADO SEUDOCONTINUO 92
4.2.8. LÍMITES DE LA APLICACIÓN DE LA SOLUCIÓN FUNCIÓN-Ei Y DE
LA SOLUCIÓN DE FLUJO SEUDOCONTINUO. 93
4.2.9. PERMEABILIDAD Y EXTENSIÓN DE LA ZONA DAÑADA O
ESTIMULADA 99
4.2.10. INCLUSION DEL FACTOR “S” 100
A. SOLUCIÓN DEL FLUJO TRANSIENTE TEMPRANO CONSIDERANDO “S”
100
B. SOLUCIÓN DEL FLUJO SEUDOCONTINUO CONSIDERANDO “S” 102
4.2.11. EFICIENCIA DE FLUJO 102
4.2.12. RADIO APARENTE 103
CAPITULO V 106
INTRODUCCION A PRUEBA DE POZOS 106
5.1. RADIO DE INVESTIGACIÓN 106
5.2. PRINCIPIO DE SUPERPOSICION 109
APENDICE 128
BIBLIOGRAFIA 132
INTRODUCCION
Estos Apuntes sobre el Flujo de Fluidos en Medios Porosos han sido escritos
principalmente para estudiantes de pre-grado de Ingeniería en Petróleos como disciplina
fundamental del área de ingeniería de yacimientos. También están dirigidos a
ingenieros, educadores y profesionales involucrados en estudios de yacimientos,
deseosos de contar con un refresco de los conceptos fundamentales del flujo en medios
porosos como base para un mejor análisis e interpretación de pruebas de presión
transitoria en pozos que producen crudo, gas y/o agua.
Iniciamos, en los dos primeros capítulos, con la diferenciación entre roca reservorio,
yacimiento de hidrocarburos y área de drenaje de un pozo; clasificación de los tipos de
flujo en el medio poroso; una presentación breve de cómo se comporta la presión en el
yacimiento una vez que el pozo es abierto a producción; y, presentamos la descripción,
análisis y ejemplos de aplicación de la Ley de Darcy. En el Capítulo III y IV derivamos
la ecuación diferencial de la difusividad para flujo radial de un liquido ligeramente
compresible en un medio que actúa como homogéneo, en términos de variables reales y
adimensionales; y, examinamos posteriormente las condiciones inicial y de fronteras así
como las soluciones analíticas exactas y, en particular, las soluciones aproximadas,
prácticas y útiles en la interpretación de pruebas de presión transitoria en pozos.
También revisamos el concepto de Factor de Piel (S) o de daño alrededor del pozo y la
forma de incluirlo en las soluciones a la ecuación de difusividad. Finalmente, en el
Capitulo V, revisamos el concepto de radio de investigación, el principio de
superposición y el fenómeno de almacenamiento de pozo. Dado el propósito de estos
apuntes, se incluye algunos ejercicios orientados a fijar los conceptos importantes y
algunos ejemplos de aplicación de las soluciones a la ecuación de difusividad orientados
al análisis del comportamiento de la presión en el yacimiento. También, en Anexos se
incluye algunos problemas prácticos sin resolver.
Espero con gusto recibir las críticas y sugerencias orientadas a mejorar estos Apuntes,
cuya elaboración se los debía a mis estudiantes de la materia en la Facultad de
Ingeniería en Ciencias de la Tierra de la ESPOL. Con ellos, al tiempo que les he
enseñado esta disciplina he incrementado mi aprehensión intelectual sobre esta
interesante materia. Por la retroalimentación que recibiré de los lectores, lo que me
permitirá introducir mejoras en las próximas revisiones, anticipo a ellos mis sinceros
agradecimientos.
CAPITULO I
Pozo 6 MX: Pozo productor. El área rayada es el área de drenaje del pozo 6 MX.
Pozo 11 MX: Pozo no productor (seco de petróleo) fuera del área de yacimiento.
Pozo productor de petróleo
o Pozo seco (no produce petróleo)
Cuando los pozos de un yacimiento son puestos a producir, los fluídos fluyen hacia el
pozo, cada instante desde más lejos hasta que se establece una “línea” de interferencia
entre un pozo y sus vecinos, configurándose así el área de drenaje de un pozo.
o Flujo lineal
A: Fluido incompresible
En este tipo de fluido tenemos que =0
Ej.: el agua
C: Fluido compresible
COMPRESIBILIDAD
COMPONENTE RANGO DE COMPRESIBILIDAD
TIPICA
cg 49 x10-6 – 211 x 10-6 psi-1 @ 4978 # 200 x 10-6 psi-1
914 x10-6 – 1266 x 10-6 psi-1 @ 1000 #
co 4.9 x10-6 –100 x 10-6 psi-1 10 x 10-6 psi-1
cw 2.1 x10-6 – 4.2 x 10-6 psi-1 3 x 10-6 psi-1
cf 2.8 x10-6 – 10 x 10-6 psi-1 5 x 10-6 psi-1
o Homogéneo
o Heterogéneo
kx = ky = kz
o Anisotrópico: las propiedades varían en el espacio, es decir:
kx ≠ ky ≠ kz
Φx ≠ Φy ≠ Φz
donde:
Φ : porosidad
kx es la permeabilidad en la dirección x
ky es la permeabilidad en la dirección y
kz es la permeabilidad en la dirección z
rw
Hueco
qw
rw Cemento
pwf
Casing
r Tubing
re
Entonces, de los tipos de flujo descritos anteriormente, podemos ver que el flujo podría
ser, por ejemplo:
FLUJO RADIAL, DE FLUIDO LIGERAMENTE COMPRESIBLE, EN MEDIO
HOMOGÉNEO E ISOTRÓPICO, A TASA CONSTANTE AL POZO.
En la frontera exterior .
Yacimientos con empuje hidráulico: hay flujo en la frontera exterior; intrusión
de agua en el yacimiento.
Al tiempo t1, el perfil de la presión vs. el radio es como se muestra en t1. La perturbación
del yacimiento por efecto de abrir el pozo a producción alcanza el radio r 1. Esto es,
desde el radio r1 los fluidos se mueven hacia el pozo. Atrás de r 1 no hay flujo de fluido y
por lo tanto la presión en el yacimiento desde r1 hasta re es la misma e igual a pi y no hay
flujo .
Al tiempo t2, la perturbación alcanza ahora el radio r2. Un mayor volumen del
yacimiento está bajo la influencia de la producción del pozo. Obviamente, la presión a r 1
que antes era pi, ahora ha descendido. La presión más allá de r 2 es la misma e igual a pi
Al tiempo t3, todo el yacimiento esta bajo la influencia del pozo en producción, la
perturbación ha alcanzado re, es decir el radio externo de drenaje. El flujo o drenaje
ocurre ahora desde la distancia re. Como se trata de un yacimiento cerrado, más allá de
pwf3.
La presión al radio r1 que al tiempo t1 era pi, al tiempo t2 es p = p (r1, t2) < pi y al tiempo
t3 será p = p (r1, t3) < p = p (r1, t2) < pi. Luego de t3, es decir a t4, t5, etc., la presión al
radio re decrece desde pi a p (re, t4) < pi, p (re, t5) < p (re, t4) < pi. Es decir, en todo el
(Fig. 1.2).
Resumiendo, para r = rw
0
p wf
3
p16
q
p wf
4
p17
pwf5
t1 t2 t3 t4 t5, t6, t7,…
pwf6
pwf7 0
r1 r2 r3 r4 r5 = re
r (radio)
rw
Ejemplo de lectura de P(r,t)
Pxy Tiempo
Flujo Transiente Flujo Seudocontinuo
Radio
Presión vs. TIEMPO
PERFIL DE PRESION
pi p10,p11 p55
p56
p4 5
p57
p12
p2 3
p3 4
p4 6
r5
pwf1 p35 p47
p24 p36
p1 3
p2 5
r4
pwf2 p37
p14 p26 r3
Presión
p15 p27
pwf3 p16 r2
pwf
4
pwf5 p17
p wf
6
r1
p wf
7
F. Transiente rw
F. Seudo-Continuo
0 t1 t2 t3 t4 t5 = tS t6 t7
Tiempo
18 Ing. Gabriel J. Colmont
Flujo en medios porosos
CAPÍTULO II
En 1856 Henry Darcy publicó su trabajo sobre el filtro que debía procesar los
Manómetros de agua
requerimientos de agua de la ciudad de Dijón en Francia, con lo cual dedujo la fórmula
que lleva su nombre. Este fue el primer trabajo publicado sobre el flujo de fluidos en
q
medios porosos. A
L
h1
h2
∆h = h1- h2
q
Empaquetamiento de arena no
consolidada
La investigación de Darcy consistió en conocer que grande debía ser el filtro, para que a
través de éste, pueda fluir el volumen de agua que necesitaba la ciudad.
En la Fig. 2.1 se observan las siguientes variables:
q: caudal [cc/seg]
A: área seccional del filtro [cm2]
u: velocidad aparente de flujo [cm/seg]
∆h: diferencia (cabeza) de niveles manométricos [cm de agua equivalente]
L: longitud del empaquetamiento [cm]
donde .
Ec. 2.1
p1
q p2
z
z+ q
Despejando h tenemos:
Ec. 2.2
Estas otras investigaciones demostraron que sin importar la orientación del filtro, la
diferencia de los niveles manométricos, ∆h, siempre fue la misma para una misma tasa
de flujo, q, dada. Sin embargo, estas otras investigaciones, permitieron conocer el
significado de ∆h.
donde:
k: permeabilidad (propiedad del empaquetamiento)
: densidad del fluido
: viscosidad del fluido
g: aceleración de la gravedad
Para descubrir las fuerzas que actúan en el fluido inclinado supongamos el siguiente
ejemplo conocido. En una tubería colocada horizontalmente, si la presión a la entrada
(izquierda) es mayor que la presión a la salida (derecha), el flujo ocurrirá de la presión
mayor a la presión menor, es decir en este caso de izquierda a derecha. Si las presiones
a la entrada y salida fueran iguales, no existiría flujo. Sin embargo, bajo éstas últimas
condiciones, si inclináramos la tubería con fluido se producirá flujo hacia abajo, lo cual
nos lleva a pensar que el flujo en este caso tiene que ver con la atracción de la gravedad
o energía potencial del fluido.
2.2. SIGNIFICADO DE h
La presión a cualquier punto en la trayectoria de flujo de la Fig. 2.2, el cual tiene una
elevación z, relativa al plano datum o de referencia, puede ser expresada en unidades
absolutas como:
Ec. 2.3
También,
Ec. 2.3A
Ec. 2.4
Ec. 2.5
dado que
h: distancia [cm]
[Dinas/grm]
entonces,
hg esta dado en
; pabsoluta
Ec. 2.8
Los potenciales no siempre son referidos a la presión atmosférica y elevación cero, sino
con respecto a cualquier presión y elevación bases arbitrarias (pb, zb).
Entonces:
Ec. 2.9
La razón de esto es que el flujo de fluido entre dos puntos A y B, es gobernado por el
diferencial de potencial entre los puntos, no por los potenciales individuales, esto es:
Ec. 2.10
Ec. 2.12
Ec. 2.13
Donde:
k = permeabilidad, propiedad del medio poroso y permeable.
u = velocidad del fluido a las condiciones de presión y temperatura que ocurre el flujo
en la arena.
La ecuación 2.13 es la ecuación generalizada de Darcy para cualquier fluido, cualquier
inclinación de la arena.
Ec. 2.14
donde .
Por lo tanto,
Ec. 2.15
Ejercicio 2.1.- Derivar las unidades de k en el sistema cgs y en el SI, para la ecuación
dada.
Ec. 2.14
o En unidades cgs:
o En unidades SI:
a. Flujo lineal
Ec. 2.16
b. Flujo radial
Nótese que ahora r aumenta en dirección contraria al flujo, de la misma manera que .
Entonces en la dirección de flujo el potencial disminuye al igual que lo hace el radio, y
por lo tanto, d/dr tendrá signo positivo y por lo tanto:
Ec. 2.17
En cualquier set de unidades absolutas, la ecuación de Darcy para flujo lineal es:
Ec. 2.16
Donde:
u L/T
M/L3
M/LxT
LL
L2/T2 (energía potencial / unidad de masa)
Entonces:
Lo que revela que las unidades de permeabilidad son unidades de longitud al cuadrado
como cm2 en el sistema cgs y m2 en el SI.
Habíamos visto que:
Es decir:
a. Unidades Darcy
1 poise (p) = 1
Ec. 2.19
donde
Por lo tanto,
Ec. 2.20
Ec. 2.21
b. Unidades de campo
Cuando se tratan los aspectos más prácticos de ingeniería de yacimientos, tales como los
de “pruebas de pozos”, es conveniente cambiar a las unidades llamadas prácticas o de
campo. La palabra prácticas es aplicada a tales sistemas porque todas las unidades
empleadas son de una magnitud conveniente. No hay reglas que gobiernen a las
unidades de campo las cuales por lo tanto varían entre países y compañías. Las unidades
de campo son las empleadas en EEUU, Ecuador y en varios otros países.
Stb/d ≡ stock tank barrel/ day (barriles stock tank o estandares por día)
Mscf ≡ millar of standard cubic feet per day (miles de pies cúbicos estándares por día)
Condiciones estándares: 14.696 psia, 60 ºF.
Ejercicios de conversión:
Ejercicio 2.2.- Conversión de la ecuación 2.18 de unidades darcy a unidades de
campo.
Ec. 2.18
, en unidades darcy.
GAS
GAS
Separador
POZO
OIL
Oil
14.696#, 60°F
Tanque de almacenamiento
(stock tank)
YACIMIENTO
Para evaluar la constante, se debe recordar que las ecuaciones deben estar balanceadas.
Así, si q en la ecuación darcy es, digamos 200 cm 3 reservorio/seg, entonces el lado
izquierdo de la ecuación de campo debe también tener el valor numérico de 200, aun
cuando q en este caso esta en stb/d, esto es:
q (stb/d)xfactor de conversión = q (cm3 res/seg)
lo cual es satisfecho por:
y puesto que
Ejercicios de conversión:
Ejercicio 2.3
1.- Cual es el factor de conversión entre k, expresada en Darcies, y en cm 2 y m2,
respectivamente.
2.- Convierta la ecuación 2.20 a unidades de campo.
Ec. 2.20
, Unidades Darcy
de donde
Ec. 2.21
Para convertir la segunda parte que tiene el término de la gravedad, usando la manera
convencional descrita en los apuntes, es algo tedioso pero puede fácilmente lograrse en
una manera intuitiva. El segundo término, (g/1.0133x106) dz/dL, debe, luego de la
conversión a unidades de campo, tener las unidades de psi/pie. La única variable
involucrada en este último término es , la densidad del fluido. Si ésta es expresada
como una gravedad específica , entonces, puesto que el agua tiene un gradiente de
presión vertical de 0.4335 psi/pie, el término de gravedad puede expresarse como:
Ec.
2.23
La función del potencial del fluido fue definida, en unidades absolutas, como
Ec. 2.24
Ec. 2.25
Se considera generalmente que los líquidos tienen una compresibilidad pequeña pero, lo
mismo no puede sostenerse para los gases y por lo tanto, es importante investigar la
aplicación de la función potencial a la descripción del flujo de gas.
La densidad de un gas real puede expresarse (en unidades absolutas) como:
Pero, ya que
Ec. 2.26
Lo de arriba nuevamente indica que el flujo de gas real puede describirse usando
precisamente la misma forma de ecuaciones que para un líquido incompresible.
A p A g ( z A zo )
pB , z B
B
medidas con respecto a una presión datum de cero, entonces como es mostrado en la
figura, los valores calculados de y son simplemente las presiones observadas
en los pozos referidas al plano datum, esto es:
En un sentido práctico es muy útil referir las presiones medidas en los pozos a un nivel
datum y mapear la distribución de las presiones al datum del yacimiento entero. De
esta manera la distribución del potencial y por lo tanto la dirección del movimiento del
fluido en el yacimiento puede apreciarse de un vistazo puesto que la distribución de la
presión datum es equivalente a la distribución del potencial.
Ejercicio 2.4
Cálculo de las presiones referidas al nivel del datum gradientes de presión y flujo en
el yacimiento a partir de mediciones de presión estática en los pozos.
Dados:
Distancia entre pozos (gráfico) = 1320 pies
Espesor verdadero del estrato = 20 pies
Buzamiento del estrato entre los pozos = 8º 37’
Nivel del datum del yacimiento = 7600 pies debajo del mar (SS)
Gravedad específica del fluído en el yacimiento = 0.693 (agua = 1.0)
Permeabilidad del yacimiento = 145 md
Viscosidad del fluído en el yacimiento = 0.32 cp
Desarrollo:
L
pies
8º 37’
1320
La velocidad es entonces:
Bbl/día/pie2
pie/día
Solución alternativa usando la Ec. 2.23. Tome como dirección positiva desde pozo 1 al
pozo 2. Entonces = 8º37’
Bblres/día/pie2
pie/día
Nótese que debería ser igual a 0.045 psi/pie para que no exista flujo. Si
En sistemas de estado continuo (steady state), la tasa de flujo y la presión en cada punto
del sistema se ajustan instantáneamente a un cambio en la presión o tasa de flujo en
cualquier parte del sistema, de modo que q(r,t) = cte y a cualquier radio.
dp
pe dt ¦ r =0
pwf
q = cte
ts t
pi
dp= variable
dt
dp= 0
p Flu jo d e e st a d o dt
Tr a n sie n t e
Flu jo d e e st a d o
c o n t in u o
A. FLUJO LINEAL
Ec. 2.16
velocidad = q/A
Ec. 2.29
Si el fluido es incompresible y
Ec. 2.30
Ec. 2.31
Ec. 2.32
, asumiendo k y constantes
ó
Ec. 2.21A
B. FLUJO RADIAL
Ec. 2.33
flujo horizontal y
Ec. 2.35
Ec. 2.37
donde
pi = presión inicial, psia
pwf = presión de flujo al pozo, psia
re = radio externo del yacimiento, pies
rw = radio del pozo, pies
Ec. 2.38
Integrando los diferenciales de volumen y presión entre sus límites y asumiendo una
compresibilidad promedia se tiene:
Ec. 2.39
donde ,
, tasa de flujo a la presión p
tasa de flujo a la presión pR
Ec. 2.21
Ec. 2.42
Esta integración asume una compresibilidad constante en toda la caída de presión. Por
ejemplo, bajo una presión diferencial de 100 psi para una permeabilidad de 250 md, una
viscosidad del fluido de 2.5 cp, una longitud de 450 pies, un área seccional de 45 pies 2,
una compresibilidad de 65x 10-6 psi-1, y escogiendo la presión p1 como la presión de
referencia, la tasa de flujo es:
Cuando se compara con el cálculo de la tasa de flujo para líquido incompresible con
:
bbl/día, a la presión p2
Los cálculos demuestran que q1 y q2 no son muy diferentes, lo que confirma que: para
fluidos ligeramente compresibles el volumen no es una marcada función de presión y
pueden, por consiguientes, ser representados por la ecuación para fluidos
incompresibles, siempre que las presiones se mantengan constantes en el tiempo,
.
Ec. 2.44
Ec. 2.45
Finalmente,
Por ejemplo, cuando Tsc = 60 ºF, A = 45 pie2, k = 125 md, p1 = 1000 psia, p2 = 500
psia, pSC =14.7 psia, T = 140 ºF, = 0.92, L = 450 pies y = 0.015 cp.
Mscf/día
Aquí T, k y el producto han sido sacadas del integral como si estos fueran
invariantes con presión, y en este caso, valores promedios pueden usarse. Es importante
examinar una observación realizada por Wattenbarger y Ramey acerca del
comportamiento del producto como función de presión. La Fig. 2.9 es un gráfico
típico de vs presión para un gas real. Nótese que el producto, , es casi
constante para presiones menores que 2000 psia aproximadamente. Arriba de 2000 psia,
el producto /p es constante. No obstante la forma de la curva varía levemente para
gases diferentes a diferentes temperaturas, la dependencia de presión es representativa
de la mayoría de los gases naturales de interés. La presión a la cual la curva cambia de
giro varía desde cerca de 1500 psia a 2000 psia para varios gases. Esta variación sugiere
que la Ec. 2.46 es válida solo para presiones menores a 1500-2000 psia, dependiendo de
las propiedades del gas que fluye. Arriba de este rango de presión, sería más preciso
asumir que el producto /p es constante.
Para el caso /p constante, se obtiene:
Ec. 2.47
Ec. 2.48
Ec. 2.49
Ec. 2.50
A. FLUJO LINEAL
Considere dos o más estratos de igual sección transversal pero de diferente longitud L y
permeabilidad k, Fig. 2.10, en los cuales existe el mismo flujo linear q, asumiendo un
fluido ligeramente compresible.
P1 P2 P3 P4
A
k1 k3
k2
L1 L2 L3
Obviamente la caída de presión total es igual a la suma de los p de los estratos, así:
Ec. 2.51
Ec. 2.52
B. FLUJO RADIAL
Ec. 2.53
A. FLUJO LINEAL
Considere dos o mas estratos de igual longitud pero diferentes área de sección
transversal y permeabilidad, fluyendo el mismo fluido bajo la misma caída de presión
(p1 – p2) como se muestra en la Fig. 2.11.
P1 P2
q1
A1
q2 h3
A2
q3 k2 h2
A3
k3
h1
L
Fig. 2.11. Flujo lineal en estratos en paralelo
k
1
Ec.
2.54
Y, cuando todos los estratos son del mismo ancho, las áreas son proporcionales al
espesor h,
A=hxa
At = ht x a
A1 = h1 x a
A2 = h2 x a
A3 = h3 x a
Ec.
2.55
B. FLUJO RADIAL
Ec.
2.56
Este es un efecto de caída de presión que ocurre cerca del pozo (a unos cuantos pies).
Cuando el pozo es perforado el filtrado de lodo entra en la formación que contiene
petróleo y ocurren reacciones químicas y físicas que alteran la permeabilidad en la zona
invadida por el filtrado. En las figuras 2.12 y 2.13 se muestra un esquema de este efecto.
donde:
Pwf´ = Presión al pozo en ausencia de daño.
Pwf = Presión al pozo cuando hay daño.
∆PS = Pwf’ – Pwf
Pe – Pwf = Caída de presión total en presencia de daño.
Pe – Pwf’ = Caída de presión total en ausencia de daño.
Asumiendo estratos en serie de diferentes permeabilidades, se tendría:
Ec. 2.57
Ec. 2.58
También, de la Figura 2.13 se tiene:
Ec. 2.59
Ec. 2.60
donde: = caída de presión adicional que ocurre por efecto del daño. Esto equivale
a suponer que esta caída ocurre alrededor del mismo pozo, como si el daño estuviera
concentrado en un estrato en serie próximo al pozo de espesor pelicular. De ahí que al
efecto de daño algunos lo llaman “efecto de piel” (en inglés: skin effect).
Expandiendo en la ecuación 2.60, se tiene:
Ec.
2.61
Ec. 2.62
Ec. 2.63
Reemplazando la caída de presión en cada zona con el equivalente de la Ley de Darcy:
o,
donde
Ec. 2.64
Ec. 2.65
Ec. 2.66
Ec. 2.67
, k darcy
pies
Ejercicio 2.6
Retrabaje el problema 2.5 asumiendo que se trata de un yacimiento de gas en vez de
yacimiento de petróleo y que está produciendo 100 MMscfd. El ∆pskin y la caída de
presión adicional causada por turbulencia totalizan 200 psia. No se produce agua.
Factor de desviación del gas en el yacimiento = 0.9
Viscosidad del gas en el yacimiento = 0.01 cp
Temperatura del yacimiento = 120 ºF
, k = darcies
pies
Se asume que la permeabilidad efectiva al gas en presencia de una saturación
irreductible de agua, es prácticamente igual a la permeabilidad absoluta.
Ejercicio 2.7
El pozo 1 en la Fig. 2.14 está localizado cerca de la falla y está balanceado en todas
las otras direcciones por pozos similares a una distancia de 600 pies. Encuentre el
producto promedio permeabilidad-espesor para el área de drenaje del pozo 1 con
Los datos de permeabilidad relativa son como en la Fig. 2.15. Asuma no daño al pozo y
flujo steady-state (continuo).
, ko = darcy
dividimos para ½ para aplicar la ecuación de flujo a solo la mitad del sistema radial
completo, porque eso es lo que el pozo drena.
Darcy-pie
Fig. 2.15. Datos de permeabilidad relativa (sintético) para Ejs. 2.7 y 2.12.
Ejercicio 2.8
Un pozo descubridor de un yacimiento de petróleo con gorra de gas produce a una
relación inicial gas/petróleo (GOR) de 2000 scf/stb desde un yacimiento cuya presión
es 2000 psia y temperatura de 120 ºF. Asumiendo que la zona de petróleo no contiene
gas libre y la zona de gas no contiene petróleo, estime el espesor del intervalo de la
zona de gas, en el pozo, dados:
Gas de solución = 500 scf/stb
o = 1.25
kg/ko = 1.0 (asuma que la permeabilidad relativa del gas y del petróleo son
ambas 1.0)
μo = 1.2 cp
μg = 0.02 cp
Intervalo productor = 30’
kg/ko = kkrg/kkro = krg/kro = 1.0
Gas de la gorra = 2000-500= 1500 scf/stb
R = Rs + Rflow
, rpie3/scf
, rb/scf
pie
Ejercicio 2.9
Usando la ecuación de Wyllie, calcule los datos de permeabilidad relativa para una
muestra de núcleo cuyos datos de saturación constan en la tabla del ejercicio 2.9
analizada en el Ej. 2.1 (Slider). Asuma que el núcleo es una arenisca bien cementada
y que el agua irreductible satura 30% a la muestra.
Swi = 0.30
kro krg
Arena no consolidada – bien clasificada (S*)3.0 (1 - S*)3
Arena no consolidada – pobremente clasificada (S*)3.5 (1 - S*)2(1- S*1.5)
Arena cementada, caliza oolítica y caliza vugular (S*)4.0 (1 - S*)2(1- S*2)
kro krw
Arena no consolidada – bien clasificada (1 - S*)3 (S*)3.0
Arena no consolidada – pobremente clasificada (1 - S*)2(1- S*1.5) (S*)3.5
Arena cementada, caliza oolítica y caliza vugular (1 - S*)2(1- S*2.0) (S*)4.0
Ejercicio 2.10
Verifique la constante 1.127 de la Ec. 2.21
Ec. 2.21
donde
q = b/d; k = darcy.
A = pie2
dp/dx = psi/pie
μ = cp
En sistema darcy:
donde
q’ = cc/s
A = cm2
dp’/dx’ =atm/cm
μ = cp
k = darcy
Ejercicio 2.11
Un calentador de fondo de pozo es usado en un pozo que tiene una zona dañada con
el propósito de disminuir la viscosidad del petróleo.
A. Cuál será la tasa de producción si el efecto del calentador es equivalente a
reducir la viscosidad en un radio de 7’ alrededor del pozo de 7.08 a 0.708 cp
B. Encuentre . Asuma flujo de estado continuo y los datos de yaciminto
siguientes:
Presión a la frontera externa = 2000 psia
A. , k = darcy
ko (md) μ (cp)
Entre 0.7’ y 7’ 10 0.708
Entre 7’ y 10’ 10 7.08
Entre 10’ y 700’ 100 7.08
Zonas en serie:
stb/d
B. , k = darcy
PROBLEMA PROPUESTO
Ejercicio 2.12 (Slider)
Un pozo drena un yacimiento radial que consiste de dos zonas con permeabilidades sin
daño de 100 y 75 md. Cerca del pozo la formación está dañada hasta un radio de 33
pies, resultando en una reducción de la permeabilidad a 60 y 30 md, respectivamente.
Si el radio del pozo es 0.33 pies y no existe movimiento vertical de los fluidos, cuál es la
tasa de flujo continuo (steady state) de gas cuando la saturación de gas es 30% y pe y pw
son 1000 y 800 psia, respectivamente. Asuma que no existe caída presión adicional
NOTA: Antes de empezar a resolver haga un dibujo de la distribución de las zonas, con
sus permeabilidades y espesores.
CAPITULO III
2. VE = 2rdrh
dr
2r
h
3.
5. Masaque
Cambio
Masa del fluido deldefluido
masaque
entra del sale
fluido
del
dentro
V
al VE en una unidad
E del
en una
V
de E en
unidad
una unidad
de
tiempo, a latiempo,
distancia -
a la distancia r =
de tiempo,r+dr (VE)
desde el pozo, (q) pozo,
desde el r+dr (q) r
POZO
rw r dr
6.
Simplificando dr
Aquí q, y son variables que dependen de presión y esta última varía con tiempo y
espacio.
A efectos de encontrar una ecuación diferencial que pueda resolverse analíticamente en
términos de presión cuya solución sea:
p = f(r,t)
es necesario hacer unas sustituciones y asunciones de modo de dejar la ecuación
diferencial expresada en términos de presión.
Darcy puede aplicarse para sustituir q en la ecuación de continuidad:
Flujo radial horizontal
unidades:
q = rb/d r = pies
k = md = cp
h = pies p = psi
Asumiendo k, constantes
Por otro lado se puede usar una ecuación de estado; del inglés: EOS (equation of state),
que relacione con presión:
3.2. COMPRESIBILIDAD
Ligeramente compresible
Medianamente compresible
67 Muy compresible
Ing. Gabriel J. Colmont
Flujo en medios porosos
, asume c = constante
Vp
p Ec. 3.4
Ec. 3.5
donde:
Constante de difusividad
hidráulica
ct = cgSg + cwSwi + cf
B.- Suponga que p/r en un yacimiento petrolífero sin gas libre en el yacimiento sea
0.57 psi/pie y que co = 12.4x10-6 psi-1, cw = 3.2x10-6 psi-1, So = 0.85 y Swi = 0.15. Calcule:
c(p/r)2.
c = coSo + cwSwi = 12.4x10-6(0.85) + 3.2x10-6(0.15) = 11.02x10-6 psi-1
c(p/r)2 = 11.02x10-6(0.57)2 = 3.58x10-6 psi/pie2, valor bien pequeño, que puede
despreciarse, como se hizo al derivar la ecuación de difusividad.
Compresibilidad promedio
Ec. 3.7
V es el volumen anterior, es decir, el volumen a la mayor presión. Así es comúnmente
reportado.
a) co = entre 5000 y 4400 psig
p1 = 5000 # V1 = 0.97390
p2 = 4400 # V2 = 0.97979
p1 = 4400 # V1 = 0.97979
p2 = 3400 # V2 = 0.99090
p1 = 3400 # V1 = 0.99090
p2 = 2695 # V2 = 1.00000
p pwf = f(t)
pi
Flujo transiente
activo)
cerrado)
rw
0
ts t
Tasa de flujo al pozo, qβ, cte.
a condiciones de p y T de flujo.
A. YACIMIENTOS CILÍNDRICOS CERRADOS
pi
t1
pwf1 t2 FLUJO
t3
pwf2
pwf3
q = f(r,t)
0
rw ri 1
r i
2
r = re
i
3
Por varias razones que más adelante serán explicadas, es mucho más conveniente
expresar las soluciones de la ecuación de difusividad radial, en términos de las
variables adimensionales siguientes:
En unidades de campo
rD = radio adimensional,
definido como:
Ec. 3.12
Ec. 3.13
tD = tiempo adimensional
re
definido como:
Ec. 3.14
Ec. 3.15
pD = presión adimensional,
definido como:
Ec. 3.16
Sustituyendo estas variables en la ecuación de difusividad y sus condiciones iniciales y
de contorno, se tiene:
Por definición:
a)
b)
c)
, Ec. de difusividad
Ec. 3.17
sujeta a las condiciones iniciales y de fronteras para yacimiento cilíndrico cerrado las
cuales son:
1. pD = 0 , a tD = 0 Ec. 3.18
Ec.
3.21
Está ecuación es llamada por algunos autores como la ecuación de van Everdingen y
Hurst.
Donde n son las raíces o valores eigenes de la ecuación:
Ec. 3.22
Debe resaltarse que las ecuaciones 3.21 y 3.22 son una solución global que contienen
todos los períodos o regímenes de flujo para un yacimiento cilíndrico cerrado, a saber:
El transiente temprano
El transiente tardío (se presenta cuando el pozo no esta en el centro del área de
drenaje o las fronteras no son equidistantes al pozo).
El de estado seudo-continuo
sujeta a
1. , condición inicial
sujeta a
a Ec. 3.23
Ec. 3.24
donde:
Al pozo, la solución es
Ec. 3.25
CAPÍTULO IV
Ec. 4.1
Ec. 4.2
Estas soluciones son de más fácil manejo que las soluciones exactas desarrolladas por
van Everdingen y Hurst (1949) y presentadas por Mattheus y Russell(1967) (radio del
pozo finito, yacimiento cerrado).
En términos de la presión, radio y tiempo dimensionales las ecuaciones 4.1 y 4.2 se
expresan de la siguiente manera:
y,
Ec. 4.5
Del análisis del comportamiento de las ecuaciones anteriores se tiene que la solución
función Ei es una aproximación precisa a la solución exacta para tiempos:
incluyendo los períodos de flujo transiente temprano y flujo transiente tardío, mostrados
en la Fig. 4.1.
de la ecuación de línea fuente o sumidero. Luego de transcurrido este tiempo desde que
el pozo empezó a producir a tasa constante es que la tasa q a r w llega a ser igual a la tasa
q al radio r = 0 y, entonces la solución función Ei es aplicable con precisión. La Fig.
1.1, en el Capítulo I, ilustra la variación de la tasa q con radio y tiempo y muestra
además cuando la tasa real al pozo llega a ser igual a la tasa al radio asumido de cero.
Ei(-x) = ln γx
donde γ es la constante de Euler la cual es igual a 1.78108. Para pequeños valores del
argumento, x, la función Ei puede ser aproximada por la ecuación 4.6, que representa
sólo el primer término del miembro del lado derecho de la ecuación 4.7.
Tabla 4.2
Ec. 4.10
Así, la presión de flujo a la cara de la arena, p wf, para un yacimiento que actúa como si
fuera infinito viene dada, en unidades de campo, por:
Ec. 4.11
La ecuación 4.11 provee la base teórica para el análisis de los datos del transiente
temprano en una prueba de drawdown (declinación) de presión. Esta muestra que un
gráfico de p (rw, t) vs. log t será lineal con una pendiente negativa dada por:
Ec. 4.12
Ec. 4.13
Ec. 4.14
Y la presión inicial del yacimiento puede ser calculada del intercepto de presión como:
Ec. 4.15
La Fig. 4.2 muestra la variación de Pwf con tiempo para el modelo de yacimiento –pozo
asumido, durante el flujo transiente en papel semilog.
pwf
Efectos de almacenamiento y
(psia)
daño
m = - 162.6q
kh
pwf 1 (1 hr.) Período de flujo Transiente
(sobre la recta) (línea recta en gráfico Semilog)
1 10 log t
Ec. 4.16
Ec. 4.17
La ecuación 4.17 muestra que para el flujo transiente temprano (yacimiento actuando
como infinito) la función derivada de presión adimensional es constante e igual a ½.
Debe resaltarse que el valor constante de la función derivada corresponde al modelo
semilog representado por la ecuación 4.9.
La función derivada de presión también puede ser calculada para variables
dimensionales y datos en unidades de campo. Diferenciando la ecuación 4.11 se obtiene
la función derivada de presión en unidades de campo como:
Ec. 4.18
Para un pozo localizado al centro de un área de drenaje circular, la duración del período
de flujo transiente temprano (yacimiento actuando como si fuera infinito) ha sido
presentada por E. J. Peters en el curso: “Advanced Well Test Analysis with Emphasis in
Horizontal and Directional Well” (2001), y es dada aproximadamente por:
Ec. 4.19
donde tDE es un tiempo adimensional definido con respecto al radio externo de drenaje
del yacimiento. La ecuación 4.19 puede escribirse también como:
Ec. 4.20
donde tDA es un tiempo adimensional definido con respecto al área de drenaje del
yacimiento. La duración del período de flujo transiente temprano puede ser obtenida de
las ecuaciones 4.19 y 4.20 como:
Ec. 4.21
Ec. 4.22
En la ecuación de Van Everdingen y Hurst los valores eigenes, αn, son números
positivos que aumentan con el incremento de n. Por consiguiente, los términos de la
suma infinita decrecen como n incrementa. Definimos la solución del transiente tardío
como la solución para la cual todos los términos de la suma son insignificantemente
pequeños, excepto el primero. Así, para el período de flujo transiente tardío y para r eD
>> 1, la solución viene dada por:
…. Ec. 4. 23
La solución al pozo viene a ser:
Ec. 4.24
Ec. 4.25
Ec. 4.26
Ec. 4.27
Ec. 4.28
para,
Ec. 4.29
Ec. 4.30
Esta es la otra solución aproximada de la ecuación de difusividad radial que es muy útil
en la interpretación de los datos de prueba de pozos. La solución de estado seudo
continuo es simplemente una forma limitada de la ecuación de van Everdingen y Hurst,
la cual describe el comportamiento de la presión con tiempo y distancia para un pozo
centrado en un yacimiento cilíndrico de radio r e, una vez que el transiente o
perturbación de la presión es sentido en todas las fronteras del yacimiento finito cerrado.
La forma limitada de interés es válida para tiempos grandes, cuando la sumatoria que
incluye funciones exponenciales y de Bessel, llega a ser insignificante.
Así, durante el período de estado seudo continuo y asumiendo que reD >> 1.
Ec. 4.31
Al pozo,
Ec. 4.32
Ec. 4.33
Por otro lado, para cualquiera que sea la forma geométrica del contorno exterior:
Ec. 4.34
donde:
= 1.78108 y CA es un factor de forma característico de la forma del área de drenaje y
localización del pozo en ella. Para un pozo al centro de un área de drenaje de forma
circular como hemos venido asumiendo, CA=31.62.
Los factores de forma de una variedad de formas de drenaje y localizaciones del pozo
dentro de ellas se presentan en la Tabla 1.2 del libro Well Testing del Dr. Lee o Tabla
3.6 de las notas del Dr. Ekwere. Para propósitos de completar estos apuntes, también se
presentan aquí en la Tabla 4.3.
4.2.2. DEFINICIÓN DE Y
Ec. 4.35
Por definición
Ec. 4.36
Ec. 4.36A
Ampliando,
O también
Entonces,
Ec. 4.37
la cual indica que la presión declina a la misma tasa constante en cualquier parte de la
región de drenaje.
También, la ecuación 4.33 puede escribirse usando la ecuación 4.37
Ec. 4.39
Ec. 4.39A
que demuestra que la caída de presión con respecto a la presión promedio, , del
yacimiento:
= constante Ec. 4.40
también es constante.
También de la ecuación 4.31 y 4.32:
Ec.
4.41
Ec. 4.42
que demuestra también que la caída de presión con respecto a la presión al contorno
exterior, pe, es una constante durante el flujo de estado seudocontinuo, como se aprecia
a continuación:
Ec. 4.43
Ec. 4.44
La ecuación 4.44 expresa que durante el tiempo que ocurre flujo de estado
seudocontinuo, la función derivada de presión incrementa linealmente con el tiempo.
Adicionalmente,
Ec. 4.45
muestra que un gráfico de log pD’ versus log tD tendrá una pendiente unitaria. Tal
gráfico puede ser usado para el diagnóstico de la presencia de los efectos de frontera en
los datos de presión.
4.2.5. RESUMEN
Sumarizando, las ecuaciones que describen al flujo de estado seudocontinuo pueden ser
escritas en términos de variables reales y en unidades de campo como:
De la ecuación 4.31
Ec. 4.46
Ec. 4.47
Ec. 4.48
Ec. 4.49
Ec. 4.50
Ec. 4.51
Ec. 4.52
De la ecuación 4.48
, Ec. 4.53
Ec. 4.54
Ec. 4.55
La ecuación 4.46 es útil para el cálculo del perfil de la presión durante el período del
estado seudocontinuo en la región de drenaje de un yacimiento circular.
Las ecuaciones 4.48 y 4.53 son útiles para el análisis de los datos de la presión de estado
seudocontinuo obtenidos al pozo. La ecuación 4.48 muestra que durante el flujo de
estado seudocontinuo la presión de flujo al pozo es una función lineal del tiempo de
flujo. La ecuación 4.53 muestra que durante el flujo de estado seudocontinuo la presión
declina a una tasa constante en cualquier parte del área de drenaje.
La ecuación 4.54 expresa que la función derivada de presión incrementa con tiempo
durante el flujo seudocontinuo.
La ecuación 4.55 indica que un gráfico log-log de la función derivada de presión tendrá
una pendiente unitaria positiva.
Las ecuaciones 4.49 y 4.51 son las relaciones del comportamiento de afluencia (inflow
performance relationship = IPR), las mismas que son útiles para predecir la capacidad
productiva de largo plazo de un pozo. La ecuación 4.49 es el IPR ideal con respecto a la
presión promedia del yacimiento mientras que la ecuación 4.51 es el IPR ideal con
respecto a la presión a la frontera externa. El IPR real será presentado más adelante al
considerar el factor de daño en las ecuaciones de flujo.
Pb
Pwf
Ec. 4.56
Ec. 4.57
Debe enfatizarse que el índice de productividad solo toma sentido bajo flujo de estado
seudocontinuo o de estado continuo en los cuales el drawdown (declinación) de presión
es constante con tiempo, debido a que el J sería una cantidad variable si se lo
determinara bajo el flujo transiente temprano.
Ec. 4.58
Ec. 4.59
Ec. 4.60
Para todos los otros casos de la forma del área de drenaje, el inicio del flujo de estado
seudocontinuo es más demorado que el indicado por las ecuaciones 4.59 y 4.60.
Por otro lado, en la misma Tabla 4.3, en la columna “Use infinite system solution with
less than 1% error for tDA ” se indica el límite máximo por debajo del cual se puede
usar la solución función-Ei siendo ésta precisa en por lo menos 99%.
x→0
ei(-x)~(lnγx)= -ln x - 0.5772
pD (rD,tD)
tD//rD2
Fig. 4.4. Presión adimensional para un pozo en un sistema infinito,
sin efecto de almacenamiento, sin daño.
Solución exponencial integral
tD//rD2
Fig. 4.5. Solución exacta y solución aproximada de Theis
La diferencia entre la solución función-Ei y la solución exacta es que la primera asume
el radio del pozo igual a cero (r w=0), mientras que la segunda emplea el radio finito del
pozo, rw, ambas soluciones siendo para yacimientos de actuación como infinitos. A
valores pequeños de la solución exacta es una función de y más que
y la solución exacta para cualquier coinciden muy bien con la solución exacta al
pozo, es decir para . Esto significa que la solución función-E i puede ser usada
para modelar el comportamiento de las presiones en un yacimiento que actúa como
infinito, a partir de :
solución aproximada.
Para hallar el límite superior de aplicación de la solución función-E i podemos hacer uso
de varios enfoques, uno de estos, que es considerado como mejor definido, es el
presentado por H. C. Slider en su libro: “Worldwide Practical Petroleum Reservoir
Engineering Methods” (1983), pag. 99. Sabemos que a tiempos largos cuando el
yacimiento deja de actuar como infinito, la solución al pozo es:
Ec. 4.32
pD(1, tD)
tD
Fig. 4.6. Valores para ptD de van Everdingen y Hurst
Para encontrar el punto donde la diferencia es un mínimo, evalúe el punto sobre la curva
donde la pendiente es cero:
después de éste tiempo los efectos de frontera serán sentidos y el flujo será
seudocotinuo. El tiempo aquí definido deberá usarse simplemente como una guía y es
válido para el flujo de un yacimiento circular con el pozo en el centro como fue asumido
en la deducción de las soluciones a la ecuación de difusividad. Para otras geometrías de
drenaje y posición de pozo, el tiempo aquí definido puede variar.
Para un pozo ubicado en el centro de un área de drenaje circular, el tiempo adimensional
con base en el área A es:
Para derivar una relación entre el radio de daño y la permeabilidad de la zona dañada,
tratamos el arreglo como dos permeabilidades en serie. Asumiendo flujo de estado
continuo (ec. de Darcy) en la zona no dañada se tiene:
Ec. 4.61
Y en la zona dañada,
Ec. 4.62
Ec. 4.63
Ec. 4.64
Ec. 4.65
La ecuación 4.65 puede ser usada para estimar si fuera conocida o para
estimar si fuera conocida.
Debe recordarse que y pueden ser estimadas de una prueba de presión transiente
ejecutada en un pozo del yacimiento (ecuaciones 4.69y 4.70 o 4.71).
Ec. 4.68
La ecuación 4.68 demuestra que un gráfico de pwf versus log t será una recta con una
pendiente dada por:
Ec. 4.69
La ecuación 4.68 puede ser arreglada para resolver por el factor de piel como:
Para calcular el factor de piel usando la ecuación 4.70, pwf es escogida en el gráfico de
una prueba de drawdown sobre la línea recta semilog o su extrapolación, cuyo valor
puede ser muy diferente a la presión de flujo registrada (medida en la prueba de pozo)
al tiempo t.
Es costumbre escoger pwf a t = 1 hora (ver Fig. 4.2) para calcular el factor de piel. Con
esta selección, la ecuación 4.70 queda de la siguiente manera:
La ecuación 4.71 puede ser escrita en términos del valor absoluto de la pendiente de la
recta semilog como:
La ecuación 4.71 ó 4.72 puede usarse para calcular el factor de piel total, ya que el signo
del factor de piel total provee información muy útil. Es importante que las ecuaciones
sean correctamente aplicadas para obtener el signo correcto del factor de piel. El signo
del factor de piel es controlado ampliamente por el primer término del paréntesis recto
del lado derecho de la ecuación 4.71 o 4.72. El error común cometido usualmente en la
evaluación del primer término está en la falla de no usar p wf (1 hora) de la recta semilog
en la ecuación 4.71 o 4.72 y en la falla de no usar el signo correcto de la pendiente de la
o Ec. 4.73
o Ec. 4.74
o Ec. 4.75
Donde m es la pendiente de la recta semilog (por ejemplo: -7). Para un pozo con un
factor de piel positivo, el cambio de presión es positivo mientras que para un pozo con
un factor de piel negativo, el cambio de presión es negativo.
Ec. 4.76
Ec. 4.77
Ec. 4.78
Ec. 4.79
Ec. 4.80
Ec. 4.81
Ec. 4.82
Ec. 4.83
Ec. 4.84
las presiones pwf´y pwf pueden ser visualizadas en la Fig. 4.9, siendo p wf ´ para cuando no
existe zona alterada alrededor del pozo, es decir ningún daño, ninguna estimulación, S
= 0.
También,
Ec. 4.85
Ec. 4.86
siendo y .
Ec. 4.84
Expresando la caída de presión con la ley de Darcy:
Ec. 4.85
de donde:
Ec. 4.86
En yacimientos abiertos que producen a tasa constante y en los cuales la presión al radio
exterior es mantenida constante en función del tiempo, los períodos de flujo transiente
temprano y transiente tardío son descritos por las mismas ecuaciones encontradas para
estos períodos de flujo en la sección de yacimientos cerrados.
El período de flujo de estado continuo que aparece luego del tiempo , puede ser
descrito por las ecuaciones siguientes.
A tiempos suficientemente largos, el flujo de estado continuo se logrará y las ecuaciones
3.24 y 3.25 se simplifican a:
Ec. 4.87
Ec. 4.88
Ec. 4.89
Ec. 4.90
Ec. 4.91
entonces
Ec. 4.92
Ec. 4.93
Ec. 4.94
Ec. 4.95
CAPITULO V
2020
2000
1980
1960
1940
P(psi)
1920
1900
1880
1860
1840
1820
0,1 1 10 100 1000
r(pies)
así,
Ec.5.1
Comparando estos resultados con la distribución de presión del gráfico, se observa que
ri, calculado con la ecuación 5.1 está cerca del punto al cual la caída de presión en el
yacimiento causada por la producción al pozo es despreciable.
La ecuación 5.1 es usada para calcular el radio de investigación logrado a un tiempo
dado después de un cambio de tasa del pozo. Esto es importante porque la distancia que
el transiente se ha movido dentro de la formación es aproximadamente la distancia
desde el pozo a la cual las propiedades de la formación están siendo investigadas a un
tiempo dado por una prueba de pozo.
El radio de investigación tiene grandes usos en el análisis y diseño de una prueba en
estado transiente. Un uso cualitativo es que ayuda a interpretar la forma de las curvas de
restauración de presión (buildup) y de caída de presión (drawdown). Por ejemplo, en
una curva de restauración se puede tener dificultades para interpretar la forma o
pendiente a tiempos tempranos cuando el radio de investigación se encuentra dentro de
la zona de permeabilidad dañada, ks, cerca al pozo. O, mas comúnmente, una curva de
restauración de presión puede cambiar de forma a tiempos largos cuando el radio de
investigación alcanza las vecindades de las fronteras del reservorio (semejante a una
falla impermeable) o a alguna heterogeneidad masiva de la formación. En la práctica,
encontramos que una heterogeneidad o frontera influencia la respuesta de presión de un
pozo cuando el radio de investigación calculado es del orden del doble de la distancia a
las heterogeneidades.
El concepto de radio de investigación proporciona una guía para el diseño de prueba de
pozos. Por ejemplo, si quisiéramos una muestra sobre las propiedades del reservorio a
por lo menos 500 pies de un pozo en prueba. ¿Cuánto debería durar la prueba? ¿Seis
horas? ¿24 horas? No estamos forzados a adivinar o a correr la prueba por una longitud
arbitraria del tiempo que puede ser muy corto o muy largo. Podemos usar el concepto
del radio de investigación para estimar el tiempo de prueba que se requiere para
alcanzar la profundidad deseada dentro de la formación.
La ecuación de radio de investigación además suministra un medio para estimar la
longitud del tiempo requerido para lograr la “estabilización”. Por ejemplo, para un pozo
centrado en un área de drenaje cilíndrica de radio r e, entonces, cambiando ri = re, el
tiempo requerido para la estabilización, ts, es hallado así,
Ec. 5.2
No es coincidencia que este sea el tiempo al cual comienza el flujo de estado seudo-
continuo. Debe tenerse en cuenta que para otras formas del área de drenaje, el tiempo
de estabilización puede ser bien diferente.
El concepto de radio de investigación es muy útil, pero el lector debe estar prevenido de
que ri no es una panacea. Primero, se debe notar que es exactamente correcto solo para
un reservorio cilíndrico homogéneo e isotrópico; en un reservorio heterogéneo debe
decrecer la exactitud de la ecuación 5.1.
Adicionalmente, la ecuación 5.1 es exacta solo para describir el tiempo en que la
máxima perturbación de presión llega a ri cuando se realiza una inyección instantánea o
producción dentro de un pozo. La localización exacta del radio de investigación viene a
ser menos definida para una inyección continua o producción a tasa constante a
continuación de un cambio de tasa.
La solución mas útil para la ecuación de flujo parece ser la solución función-E i, que se
describe como aplicable solamente para la distribución de presión en un yacimiento
infinito y para un pozo que inicia su producción a tasa constante a un tiempo cero y la
mantiene constante en el tiempo. Veremos cómo con el principio de superposición
podemos omitir estas restricciones y simplificar el cálculo modelando el
comportamiento de un pozo que produce a tasas variables. Este enfoque del problema
hace posible crear funciones que respondan a yacimientos con situaciones complejas,
usando solamente modelos básicos simples.
Para nuestro propósito plantearemos el principio de superposición de la siguiente
manera:
La caída total de presión en algún punto en un yacimiento es la suma de las caídas de
presiones a ese punto causado por el flujo en cada uno de los pozos del yacimiento.
Superposición en espacio
Es decir,
(pi – pwf )total en el pozo A = (pi – p)caída al pozo A ocasionada por la
producción en el propio pozo A.
+ (pi - p) caída al pozo A ocasionada por la
producción en el pozo B.
+ (pi - p) caída al pozo A ocasionada por la
producción en el pozo C.
POZO A
rAC rAB
POZO C POZO B
qB 948Ct rAB 2
70.6 Ei
kh kt
Ec. 5.4
Donde qA se refiere a la tasa a la cual produce el pozo A; q B, al pozo B y qC al pozo C.
Note que esta ecuación incluye el factor de daño para el pozo A, pero no incluye el
factor de daño para los pozos B y C. Debido a que la mayoría de los pozos tiene un
factor de daño diferente a cero y porque estamos modelando presión dentro de la zona
de permeabilidad cercana al pozo A, debemos incluir su factor de daño. Sin embargo, la
presencia del factor de daño diferente de cero para los pozos B y C afecta solamente a
la presión dentro de su zona de permeabilidad alterada y no tiene influencia sobre la
presión en el pozo A si el pozo A no esta dentro de la zona alterada ya sea del pozo B o
del pozo C. En la ecuación de arriba hemos escrito para el propio pozo A la ecuación en
términos del logaritmo porque se trata de la solución al mismo pozo; y, para los pozos
B y C, en términos de Ei porque estamos buscando, para esos pozos, sus efectos
Falla impermeable
como el pozo A) a la producción que ocurre en uno o más pozos (tal como los pozos B
y C) dentro de un mismo yacimiento.
L L
q q
No Flow Boundary
quiere conocer la caída de presión en el pozo real dada por el propio pozo y por el pozo
imagen el cual se encuentra a una distancia de 2L:
(pi – pwf ) =
Ec. 5.5
Aquí también se puede notar que si el pozo imagen tiene un factor de daño diferente de
cero, esto es indiferente, ya que la influencia del factor de daño fuera de la zona de
permeabilidad alterada es independiente de si esta zona existe.
Esta técnica puede ser usada también para modelar otros casos, como por ejemplo:
o Distribución de presión para un pozo entre dos limites que se intersectan a 90º.
o El comportamiento de presión de un pozo entre dos limites paralelos.
o El comportamiento de presión para pozos en varias locaciones completamente
rodeado por límites sin flujo en yacimientos con forma rectangular.
IMAGEN IMAGEN
IMAGEN
Este último caso ha sido estudiado completamente por Matthew y otros y es uno de los
métodos mas frecuentemente usados para estimar la presión promedio del área de
drenaje a partir de las pruebas de restauración de presión.
Superposición en tiempo
q POZO A
q2
q1
q3
t1 t2
t
q POZO A-1
q1
Well 1
t
q POZO A-2
(q2 – q1)
Well 2
t1
t
q POZO A-3
t2
Well 3
(q3 – q2)
t
Ec. 5.6
Nótese que este primer pozo no sólo produce por tiempo t1 sino por todo el tiempo t.
Empezando a un tiempo t1, la nueva tasa total real es q2. Introduciremos ficticiamente un
pozo 2, produciendo a una tasa (q2 – q1) empezando a un tiempo t1, así que la tasa total
real después de t1 es la requerida q2. Note que el tiempo total transcurrido desde que
empezó a producir es (t – t1), note además que este pozo esta todavía dentro de la zona
de permeabilidad alterada.
Así, la contribución del pozo 2 a la caída de presión del yacimiento es:
Ec.5.7
Ec. 5.8
Así, la caída total para el pozo con dos cambios en la tasa es:
= FVF, RB/STB
qsf = tasa a la cara de la arena (sandface), RB/D
qws = tasa (descarga) del almacenamiento (wellbore storage), RB/D
q = tasa en superficie
q ó
q = tasa al fondo del pozo
q = qws + qsf
q
qws qws
qsf
0
0 t1 t2 t3
flujo cierre
qsf
Fig. 5.6. Demostración del efecto de almacenamiento
COEFICIENTE DE ALMACENAMIENTO
Ec. 5.10
donde:
C = coeficiente de almacenamiento, RB/psi
Vu = volumen del pozo por unidad de longitud, B/pie
= gravedad especifica del fluido en el pozo
0.433 = gradiente de presión del fluido en el pozo, psi/pie
Ec. 5.11
o,
Ec. 5.12
Ec. 5.13
donde qws es RB/hr. Si qws es expresado en RB/D, entonces la ecuación 5.13 viene a
quedar:
Ec. 5.14
Ec. 5.15
La ecuación 5.14 o 5.15 puede ser usada para calcular qws versus t a partir de presiones
medidas en el pozo.
Ec. 5.17
Ec. 5.18
Ec. 5.19
Ec. 5.20
SOLUCIÓN NUMÉRICA
Soluciones numéricas del problema de valor inicial y frontera con almacenamiento han
sido presentadas en la literatura. La Fig. 5.7 es un gráfico log-log de p D(tD,CD) vs. tD, el
cual presenta las soluciones al pozo obtenidas por Wattenbarger y Ramey (1970) usando
un modelo numérico de diferencias finitas, para un yacimiento que se comporta como
infinito.
10
CD = 0
pD(tD,CD))
CD =100
1
1000
10000
100000
0.1
0.01
Varias observaciones pueden hacerse acerca de estas soluciones. Las soluciones son
funciones de CD. La solución para CD = 0 corresponde a la aproximación logarítmica de
la solución función-Ei para un sistema ideal sin almacenamiento. Como era de
esperarse, todas las soluciones para diferentes valores de C D eventualmente se unen a la
solución función-Ei a un tiempo adimensional suficientemente largo. Así, a un tiempo
suficientemente largo, el efecto de almacenamiento será insignificante y la respuesta de
presión al pozo entonces seguirá la solución semilog de la ecuación de difusividad si la
prueba es lo suficientemente larga. El reto en el análisis de prueba de pozos es
determinar el tiempo al cual la presión del pozo se unirá a la línea semilog. Los datos de
presión adquiridos más allá de ese tiempo pueden entonces ser analizados por el método
semilog convencional.
Debe observarse que todas las soluciones con almacenamiento empiezan con una línea
recta de pendiente unitaria sobre el gráfico de log p D versus log tD. Esta línea recta de
pendiente unitaria indica que la presión al pozo esta completamente dominada por el
almacenamiento y es usada para diagnosticar la presencia de almacenamiento en los
datos medidos de presión.
Los datos de presión que caen sobre esta línea de pendiente unitaria no pueden usarse
para estimar propiedades de la formación, ya que están completamente dominados por
el almacenamiento. Todas las soluciones con almacenamiento pasan a través de un
período de transición antes de unirse a la solución función Ei.
Una regla de mano comúnmente usada para estimar la duración de este período de
transición es que este ocupa cerca de 1-1/2 ciclo logarítmico. Otra característica que se
aprecia de la Figura 5.7 es que el tiempo al cual la solución se junta a la solución
función-Ei incrementa con aumento del coeficiente adimensional de almacenamiento.
Para ganar cierta visión del comportamiento de presión en una prueba dominada por el
efecto de almacenamiento, consideremos el caso extremo en el cual la tasa constante de
producción de un pozo es debido enteramente a la descarga del pozo. Para este caso, la
ecuación 5.16 viene a quedar:
q = qws Ec. 5.21
Ec. 5.22
Ec. 5.23
La ecuación 5.23 indica que si los datos de presión transiente están dominados por el
almacenamiento, un gráfico de log p versus log ∆t o log t será lineal con una pendiente
unitaria como se muestra en la figura 5.8. Asi, un gráfico de log p versus log t con una
pendiente unitaria indica la presencia del efecto de almacenamiento en los datos de
presión. Se debe enfatizar que los datos de presión de tiempo temprano que caen sobre
la línea recta log-log de pendiente unitaria no pueden ser analizados para determinar las
propiedades del yacimiento. La ecuación 5.23 se aplica a pruebas de drawdown asi
como a pruebas de buildup.
Para una prueba de buildup:
t = t y p = pws - pwf
donde
pws = presión al pozo después del cierre, pws(t)
pwf = presión de flujo al pozo justo al cierre
t = tiempo de cierre
p (psi)
t (hr)
Ec.
5.23
La ecuación 5.23 puede rescribirse como:
Ec. 5.24
Ec.5.25
A tiempos tempranos, la función derivada de presión para los datos dominados por
almacenamiento puede ser obtenida de la ecuación 5.25 como:
Ec.5.26
Una comparación de las ecuaciones 5.25 y 5.26, muestra que la función de presión
y la función de derivada de presión son idénticas para los datos de presión
totalmente dominados por almacenamiento. Las dos funciones se desviarán entre si en
el período de transición a medida que el efecto de almacenamiento disminuye. Después
que el efecto de almacenamiento ha desaparecido, la función de derivada de presión
debe retornar a un valor de ½, y permanecerá constante a ese valor a lo largo del
período de flujo transiente temprano.
para tD 25
Esto causa que la función de derivada de presión exhiba un máximo durante el período
de transición. Esta “joroba” característica en la función derivada es diagnóstico del
efecto de almacenamiento en los datos de la prueba de pozos. El tiempo al cual la
función derivada llega a ser constante al valor de ½ da el tiempo más allá del cual los
datos de presión pueden ser analizados por el método semilog convencional.
Debe resaltarse que en los casos severos de almacenamiento, puede ser inalcanzable
este período durante la prueba. En este caso, los datos de presión no pueden ser
analizados por el método semilog convencional.
PD,P´D
tD
Fig. 5.9. Curvas tipo Con Almacenamiento
CD3
Solución de transiente
CD2 temprano
CD1
Pwf CD = 0
Solución de flujo
seudocontinuo
1 10
t
Fig. 5.10. Gráfico semilog de datos de presión
dominados por el efecto de almacenamiento
Ec. 5.27
Ec. 5.28
Una nueva función de derivada de presión para ecuación 5.28 puede ser definida como:
Ec. 5.29
La ecuación 5.29 muestra que con la nueva definición, la función derivada para la
solución función-Ei permanece inalterable.
Ec. 5.30
La ecuación 5.30 sugiere que las curvas tipo con efectos de almacenamiento y piel
pueden ser correlacionadas en términos de tD/CD y CDe2S. Las curvas tipo de Bourdet y
otros, que se muestran en la Fig. 5.11, son correlacionadas de esa manera.
102
CDe2S = 1060
PD y (tD/CD)P´D
CDe2S = 1020
101 1010
104
102
100
10-1
10-1 100 101 102 103
tD/CD
Fig. 5.11. Curvas tipo para un modelo de yacimiento homogéneo
con almacenamiento y piel
(Bourdet, D., Ayoub, J.A. & Pirard, Y.M.
“Use of Pressure Derivative in Well Test Interpretation”
SPE Formation Evaluation (June 1989) 293-302).
APENDICE
Tabla 4.3
Dentro de un reservorio con fractura vertical: usar (re/Lf) por A/rw2 para los sistemas fracturados
No se puede
2.6541 0.9761 -0.0835 0.175 0.08
usar
No se puede
2.0348 0.7104 0.0493 0.175 0.09
usar
No se puede
1.9886 0.6874 0.0608 0.175 0.09
usar
No se puede
1.6620 0.5080 0.1505 0.175 0.09
usar
No se puede
1.3127 0.2721 0.2685 0.175 0.09
usar
No se puede
0.7887 -0.2374 0.5232 0.175 0.09
usar
Tabla 4.1*
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.00 + 6.332 5.639 5.235 4.948 4.726 4.545 4.392 4.259 4.142
0.01 4.038 3.944 3.858 3.779 3.705 3.637 3.574 3.514 3.458 3.405
0.02 3.355 3.307 3.261 3.218 3.176 3.137 3.098 3.062 3.026 2.992
0.03 2.959 2.927 2.897 2.867 2.838 2.810 2.783 2.756 2.731 2.706
0.04 2.681 2.658 2.634 2.612 2.590 2.568 2.547 2.527 2.507 2.487
0.05 2.468 2.449 2.431 2.413 2.395 2.377 2.360 2.344 2.327 2.311
0.06 2.295 2.279 2.264 2.249 2.235 2.220 2.206 2.192 2.176 2.164
0.07 2.151 2.138 2.125 2.112 2.099 2.087 2.074 2.062 2.050 2.039
0.08 2.027 2.015 2.004 1.993 1.982 1.971 1.960 1.950 1.939 1.929
0.09 1.919 1.909 1.899 1.889 1.879 1.869 1.860 1.850 1.841 1.832
0.10 1.823 1.814 1.805 1.796 1.788 1.779 1.770 1.762 1.754 1.745
0.11 1.737 1.729 1.721 1.713 1.705 1.697 1.689 1.682 1.674 1.667
0.12 1.660 1.652 1.645 1.638 1.631 1.623 1.616 1.609 1.603 1.596
0.13 1.589 1.582 1.576 1.569 1.562 1.556 1.549 1.543 1.537 1.530
0.14 1.524 1.518 1.512 1.506 1.500 1.494 1.488 1.482 1.476 1.470
0.15 1.464 1.459 1.453 1.447 1.442 1.436 1.431 1.425 1.420 1.415
0.16 1.409 1.404 1.399 1.393 1.388 1.383 1.378 1.373 1.368 1.363
0.17 1.358 1.353 1.348 1.343 1.338 1.333 1.329 1.324 1.319 1.314
0.18 1.310 1.305 1.301 1.296 1.291 1.287 1.282 1.278 1.274 1.269
0.19 1.265 1.261 1.256 1.252 1.248 1.243 1.239 1.235 1.231 1.227
0.20 1.223 1.219 1.215 1.210 1.206 1.202 1.198 1.195 1.191 1.187
0.0 + 4.038 3.335 2.959 2.681 2.468 2.295 2.151 2.027 1.919
0.1 1.823 1.737 1.660 1.589 1.524 1.464 1.409 1.358 1.309 1.265
0.2 1.223 1.183 1.145 1.110 1.076 1.044 1.014 0.985 0.957 0.931
0.3 0.906 0.882 0.858 0.836 0.815 0.794 0.774 0.755 0.737 0.719
0.4 0.702 0.686 0.670 0.655 0.640 0.625 0.611 0.598 0.585 0.572
0.5 0.560 0.548 0.536 0.525 0.514 0.503 0.493 0.483 0.473 0.464
0.6 0.454 0.445 0.437 0.428 0.420 0.412 0.404 0.396 0.388 0.381
0.7 0.374 0.367 0.360 0.353 0.347 0.340 0.334 0.328 0.322 0.316
0.8 0.311 0.305 0.300 0.295 0.289 0.284 0.279 0.274 0.269 0.265
0.9 0.260 0.256 0.251 0.247 0.243 0.239 0.235 0.231 0.227 0.223
1.0 0.219 0.216 0.212 0.209 0.205 0.202 0.198 0.195 0.192 0.189
1.1 0.186 0.183 0.180 0.177 0.174 0.172 0.169 0.166 0.164 0.161
1.2 0.158 0.156 0.153 0.151 0.149 0.146 0.144 0.142 0.140 0.138
1.3 0.135 0.133 0.131 0.129 0.127 0.125 0.124 0.122 0.120 0.118
1.4 0.116 0.114 0.113 0.111 0.109 0.108 0.106 0.105 0.103 0.102
1.5 0.1000 0.0985 0.0971 0.0957 0.0943 0.0929 0.0915 0.0902 0.0889 0.0876
1.6 0.0863 0.0851 0.0838 0.0826 0.0814 0.0802 0.0791 0.0780 0.0768 0.0757
1.7 0.0747 0.0736 0.0725 0.0715 0.0705 0.0695 0.0685 0.0675 0.0666 0.0656
1.8 0.0647 0.0638 0.0629 0.0620 0.0612 0.0603 0.0595 0.0586 0.0578 0.0570
1.9 0.0562 0.0554 0.0546 0.0539 0.0531 0.0524 0.0517 0.0510 0.0503 0.0496
2.0 0.0489 0.0482 0.0476 0.0469 0.0463 0.0456 0.0450 0.0444 0.0438 0.0432
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4.89x10-2 4.26x10-2 3.72x10-2 3.25x10-2 2.84x10-2 2.49x10-2 2.19x10-2 1.92x10-2 1.69x10-2 1.48x10-2
3 1.30x10-2 1.15x10-2 1.01x10-2 8.94x10-3 7.89x10-3 6.87x10-3 6.16x10-3 5.45x10-3 4.82x10-3 4.27x10-2
4 3.78x10-3 3.35x10-3 2.97x10-3 2.64x10-3 2.34x10-3 2.07x10-3 1.84x10-3 1.64x10-3 1.45x10-3 1.29x10-3
5 1.15x10-3 1.02x10-3 9.08x10-4 8.09x10-4 7.19x10-4 6.41x10-4 5.71x10-4 5.09x10-4 4.53x10-4 4.04x10-4
6 3.60x10-4 3.21x10-4 2.86x10-4 2.55x10-4 2.28x10-4 2.03x10-4 1.82x10-4 1.62x10-4 1.45x10-4 1.29x10-4
7 1.15x10-4 1.03x10-4 9.22x10-5 8.24x10-5 7.36x10-5 6.58x10-5 5.89x10-5 5.26x10-5 4.71x10-5 4.21x10-5
8 3.77x10-5 3.37x10-5 3.02x10-5 2.70x10-5 2.42x10-5 2.16x10-5 1.94x10-5 1.73x10-5 1.55x10-5 1.39x10-5
9 1.24x10-5 1.11x10-5 9.99x10-6 8.95x10-6 8.02x10-6 7.18x10-6 6.44x10-6 5.77x10-6 5.17x10-6 4.64x10-6
10 4.15x10-6 3.73x10-6 3.34x10-6 3.00x10-6 2.68x10-6 2.41x10-6 2.16x10-6 1.94x10-6 1.74x10-6 1.56x10-6
BIBLIOGRAFIA