Multiplicación de polinomios

Halla el área del rectángulo

Resolución:
R e cu e rda
Dividimos el rectángulo bn . xbm n+m
==αb
+β
2 2x 2.5
x+2
x x.x 5x

x+5 x 5
Se observa: (x + 5)(x + 2) = x2 + 2x + 5x + 10 = x2 + 7x + 10

I mport a nte
Producto de monomios
Multiplica los coeficientes (parte numérica), luego la parte literal. Propiedad
distributiva
(Axnym)(Bxayb) = (AB)xn + aym + b 1. a(b + c) = ab + ac
Ejemplos: 2. (b + c)a = b  a + ca

a) (3xy2)(5x2y3) = (3)(5)x1 + 2y2 + 3 = 15x3y5

b) (–4x3y)(–2x2y3) = (–4)(–2)x3 + 2y1 + 3 = 8x5y4
c) (6x3y4)(–7xy5) = (6)(–7)x3 + 1y4 + 5 = –42x4y9
d) (–9x2yz3)(2xy2z5) = (–9)(2)x2 + 1y1 + 2z3 + 5 = –18x3y3z8
Obse rva
Producto de monomio por polinomio Para multiplicar:
Se aplica la propiedad distributiva y se multiplica monomio por monomio. (a + b)(c + d)
recuerda PEIU
P: primeros [ac]
E: externos [ad]
2x2(4x5 – 3x3 – 2x + 7)  = 2x2(4x5) + 2x2(–3x3) + 2x2(–2x) + 2x2(7)  I : internos [bc]
= 8x7 – 6x5 – 4x3 + 14x2 U: últimos [bd]
Ejemplos:

a) 3x(4x2 + 5x – 2) = 3x(4x2) + 3x(5x) + 3x(–2)

= 12x3 + 15x2 – 6x

b) 4x2(5x3 – 3x + 7) = 4x2(5x3) + 4x2(–3x) + 4x2(7)

= 20x5 – 12x3 + 28x2

c) 5x3y(3xy + 2x2y – 4) = 5x3y(3xy) + 5x3y(2x2y) + 5x3y(–4)

= 15x4y2 + 10x5y2 – 20x3y

Producto de polinomio por polinomio

Para multiplicar polinomio por polinomio se aplican las propiedades distributivas, luego
multiplicamos los monomios.

(x + 3)(x2 + 4x – 5) = x(x2 + 4x – 5) + 3(x2 + 4x – 5) Distributiva: 2

= x(x2) + x(4x) + x(–5) + 3(x2) + 3(4x) + 3(–5) Distributiva: 1
= x3 + 4x2 – 5x + 3x2 + 12x – 15 Reducimos términos semejantes
= x3 + 7x2 + 7x – 15 Tenemos el producto
 Ejemplos:
a) (x + 4)(x + 9) = x(x + 9) + 4(x + 9) b) (x + 3)(x – 7) = x(x – 7) + 3(x – 7)
= x2 + 9x + 4x + 36 = x2 – 7x + 3x – 21
= x2 + 13x + 36 = x2 – 4x – 21
Obse rva
c) (x + 2)(x2 + 3x – 2) = x(x2 + 3x – 2) + 2(x2 + 3x – 2)
ab . cd
U: bd = x3 + 3x2 – 2x + 2x2 + 6x – 4
D: ad + bc = x3 + 5x2 + 4x – 4
C: ac
Si los polinomios tienen exponentes consecutivos, podemos multiplicar de esta manera:
Ejemplo: Sea P = (2x2 + x – 3)(2x + 1)
24 × 31 = 744 Entonces:
U: 4 × 1 = 4 2x2 + x – 3
D: 2 × 1 + 4 × 3 = 14 × 2x + 1
C: 1 + 3 × 2 = 7 2
2x + x – 3 1(2x2 + x – 3)
+ 3 2
4x + 2x – 6x 2x(2x2 + x – 3)
4x3 + 4x2 – 5x – 3

Productos notables
Son multiplicaciones conocidas en las que no se realizan operaciones previas de la
Obse rva multiplicación; entre ellas tenemos a:

ab2 = (a2)(2ab)(b2) Binomio suma al cuadrado

Ejemplo 1
CDU (x + y)2 x= =x2α++2xy
β +y
2

312 = 9 6 1
1.° U = 12 = 1 Sea un cuadrado de lado x + y.
2.° D = 2 . 1 . 3 = 6
3.° C = 32 = 9 y
x+y x
Ejemplo 2 y y2 yx
562 = 3 1 3 6
x+y (x + y)2
U : 62 = 36 x xy x2
D : 3 + 2 . 5 . 6 = 63
C : 6 + 52 = 31
UM : 3 = 3
Se observa que: (x + y)2 = x2 + xy + yx + y2 = x2 + 2xy + y2

Ejemplos:
a) (x + 2)2 = x2 + 2(x)(2) + 22 = x2 + 4x + 4
b) (a + 2b)2 = a2 + 2(a)(2b) + (2b)2 = a2 + 4ab + 4b2
I mport a nte c) (2x + 3)2 = (2x)2 + 2(2x)(3) + 32 = 4x2 + 12x + 9
Identidades de
Legendre Binomio diferencia al cuadrado
• (a + b)2 + (a – b)2
(x – y)2 x= =x2α–+2xy
β +y
2
2(a2 + b2)
• (a + b)2 – (a – b)2
Ejemplos:
4ab
a) (x – 3)2 = x2 – 2(x)(3) + 32 = x2 – 6x + 9
b) (2a – b)2 = (2a)2 – 2(2a)(b) + b2 = 4a2 – 4ab + b2
c) (x – 2y)2 = (x)2 – 2(x)(2y) + (2y)2 = x2 – 4xy + 4y2
Producto de suma por diferencia

(x – y)(xx += y) = βx2 – y2
Obse rva
α+
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Tenemos:
Ejemplo:
y y x y E = 5432 – 5412
y y
x x x – y x – y Entonces:
• S: 543 + 541
y x
x x • D: 543 – 541

x2 – y2 (x – y)(x + y) Luego:
E = 1084 . 2
se observa la equivalencia: (x – y)(x + y) = x2 – y2 E = 2164

Ejemplos:
a) (x – 2)(x + 2) = x2 – 22 = x2 – 4
b) (a – 6)(a + 6) = a2 – 62 = a2 – 36
c) (2n – 3)(2n + 3) = (2n)2 – 32 = 4n2 – 9

Producto de binomios con término común

Obse rva
x2
(x + a)(x + b) x= = α++(a
β + b)x + ab ab . cb
U: b2
Ejemplos: D: (a + c)b
C: ac
a) (x + 3)(x + 5) = x2 + (3 + 5)x + (3)(5) = x2 + 8x + 15
b) (n – 3)(n + 4) = n2 + (–3 + 4)n + (–3)(4) = n2 + 1n – 12 Ejemplo:
c) (a – 3)(a – 4) = a2 + (–3 – 4)a + (–3)(–4) = a2 – 7a + 12 32 × 42 = 1344
U: 22 = 4
D: (3 + 4) . 2 = 14
Ejemplos: C: 1 + 3 × 4 = 13
a)  Efectúa: UM: 1
M = (a + b + c)2
Tenemos:
M = ((a + b) + c)2 binomio suma al cuadrado
M = (a + b)2 + 2(a + b) . c + c2
M = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
M = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

También:

c c a.c b.c c.c

b b a.b b.b c.b

a a a.a b.a c.a

a b c a b c

(a + b + c)2 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Luego:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
 b) Sea A(x) = 2x2 – 3x + 1
B(x) = x – 2

 Halla AB.

Resolución:
Entonces: También:
A.B= (2x2 – 3x + 1)(x – 2) 2x2 – 3x + 1
Obse rva × x–2
A . B = x(2x2 – 3x + 1) – 2(2x2 – 3x + 1)
3
2
3 2 –4x2 + 6x – 2
2x + – 2x – A . B = 2x3 – 3x2 + x – 4x2 + 6x – 2
x x 2x3 – 3x2 + x
A . B = 2x3 – 7x2 + 7x – 2 2x3 – 7x2 + 7x – 2
3
= 4(2x) = 24
x
c) Efectúa:

(
2 2 M = (x + y)2 – (x – y)2
5+ 2( + ( 5– 2(
2 2
= 2( 5 + 2 ( Resolución:
= 2(5 + 2) Tenemos:
= 14
M = (x + y)2 – (x – y)2
M = x2 + 2 . x . y + y2 – (x2 – 2 . x . y + y2) Identidad de Legendre

M = x2 + 2xy + y2 – x2 + 2xy – y2 (a + b)2 –x (a 2

= α– +b)β = 4ab
M = 4xy

d) Efectúa:
R = (x + y)2 + (x – y)2

Resolución:
Tenemos:
R = (x + y)2 + (x – y)2
R = x2 + 2 . x . y + y2 + (x2 – 2 . x . y + y2) Identidad de Legendre
R= x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2
(a + b)2 + (a
x=– b)2 2 2
α + =β 2(a + b )
R = 2x2 + 2y2
R = 2(x2 + y2)

e) Efectúa:
S = (x + y)4 – (x – y)4

Resolución:
S = [(x + y)2] – [(x – y)2]2 Identidad de Legendre

S = [(x + y)2 – (x – y)2][(x + y)2 + (x + y)2] (a + b)2 + (a

x=– b)2 2 2
α + =β 2(a + b )
S = 4xy . 2(x1 + y2)
(a + b)2 x– =(aα–+b)β2 = 4ab
S = 8xy(x2 + y2)
Ejercicios resueltos

1
Relaciona: 5 Si a + b = 5 y ab = 3, halla el valor de M = a2 + b2.

(2x2)(–3x) –12x4 Resolución:

Recordamos:  (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(–3x3)(2x) –6x4

(–6x2)(2x2) –12x3 Si a + b = 5 ⇒ (a + b)2 = 52

a2 + 2ab + b2 = 25
(4x2)(–3x3) –12x5
M + 2 . 3 = 25 ← (ab = 3)
(–3x2) (4x) –6x3 M = 25 – 6 = 19
Rpta. 19
2 Determina el equivalente de H.
6 Encuentra el valor de H.
H = (–3x2)(5x3 + 4x2 – 2)
( 5+ 3 )2 + ( 5 – 3 )2
Resolución: H=
( 8+ 2 )2 – ( 8 – 2 )2
Tenemos:
Resolución:
H = (–3x2) . (5x3 + 4x2 – 2)
H = (–3x2)(5x3) + (–3x2)(4x2) – 3x2(–2) Recordamos: (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
H = (–3)(5)x2 + 3 + (–3)(4)x2 + 2 – 3(–2)x2 (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
H = –15x5 – 12x4 + 6x2
Entonces:
Rpta. –15x5 – 12x4 + 6x2
( 5+ 3 )2 + ( 5 – 3 )2 = 2( 5 2 + 3 2)
3 Efectúa N.  = 2(5 + 3)
 = 16
N = (2x + 5)(3x – 1)
( 8+ 2 )2 – ( 8 – 2 )2 = 4 8 . 2
Resolución:  = 4 8 . 2
Tenemos:  = 4 . 4 = 16
N = (2x + 5)(3x – 1) 16
Luego: H = =1
N = 2x(3x –1) + 5(3x – 1) 16
Rpta. 1
N = (2x)(3x) – (2x)(1) + 5(3x) + 5(–1)
N = 6x2 – 2x + 15x – 5 7 Dados los productos:
N = 6x2 + 13x – 5
a) (–3x2y)(5xy5) = axbyc
Rpta. 6x2 + 13x – 5 b) 2x3(7x2 – 3x – 1) = 14xd – ex4 –f x9

4 Efectúa P. Calcula el valor de M = a + b(c – d + (e – f . g)).

P = (x + 4)(x + 2) – x(x + 3) Resolución:

Tenemos:
Resolución:
a) (–3x2y1)(5x1y5) = (–3)(5)x2 + 1 . y1 + 5
Tenemos:
= –15x3y6
P = (x + 4)(x + 2) – x(x + 3)
Entonces: a = –15; b = 3; c = 6
Recordamos: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab b) 2x3(7x2 – 3x – 1) = (2x3)(7x2) – (2x3)(3x) – (2x3)(1)
= 14x5 – 6x4 – 2x3
P = x2 + (4 + 2)x + 4 . 2 – x . x – 3x
Entonces : d = 5; e = 6; f = 2; g = 3
P = x2 + 6x + 8 – x2 – 3x
Nos piden: M = –15 + 3(6 – 5 + (6 – 2 . 3))
P = 0x2 + 3x + 8
 M = –15 + 3(1 + 0) = –12
P = 3x + 8
Rpta. 3x + 8 Rpta. –12
 8 Efectúa N. 11 Efectúa E.
N = (a + b + 2c)(a + b – 2c) E = (x + a)(x – a)(x2 + a2) – (x2 – a2)2 – 2a2x2

Resolución: Resolución:
Tenemos: Tenemos:
N = [(a + b) + 2c][(a + b) – 2c] E = (x + a)(x – a)(x2 + a2) – [x2 – a2]2 – 2a2x2
Suma por diferencia Binomio al cuadrado
Recordamos: (x + y)(x – y) = x2 – y2
E= (x2 – a2)(x2 + a2) – [(x2)2 – 2x2 . a2 + (a2)2] – 2a2x2
Entonces:
Suma por diferencia
N = (a + b)2 – (2c)2
E = (x2)2 – (a2)2 – x4 + 2a2x2 – a4 – 2a2x2
N = a2 + 2ab + b2 – 4c2
E = x4 – a4 – x4 – a4
Rpta. a2 + 2ab + b2 – 4c2 E = –2a4
Rpta. –2a4
9 Determina el valor numérico de N, para x = 2020.
12 María prepara alfajores para (2x2 + x + 1) personas,
N= (x + 4 )(x + 2) + 1 (3x3 – x2 – 4x + 5) para cada uno, si ya tiene
6x5 + x4 – 6x3 + 7x2 + 3x + 5 alfajores:
Resolución:
a) ¿Cuántos alfajores le sobran?
N= (x + 4)(x + 2) + 1
b) Si el número de personas aumenta en x + 3,
Tenemos:  N= (x2 + (4 + 2)x + 4 . 2 + 1
¿cuántos alfajores más debe preparar?
N= x2 + 6x + 9
Resolución:
Observamos: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a) El número de alfajores que necesita es:
3x3 – x2 – 4x + 5
Entonces: N = x2 + 2 . x . 3 + 32
× 2x2 + x + 1
 N = (x + 3)2
3x3 – x2 – 4x + 5
 N = x + 3
3x4 – x3
– 4x2
+ 5x
Para: x = 2020 6x5 –2x4 3
– 8x + 10x 2

N = 2020 + 3 = 2023 6x5 + x4 – 6x3 + 5x2 + x + 5

Rpta. 2023 Le sobra:

6x5 + x4 – 6x3 + 7x2 + 3x + 5 Tiene
– (6x5 + x4 – 6x3 + 5x2 + x + 5) Necesita
1
10
Halla el valor de A, si x + = 53 .  2x2 + 2x + 0 Sobra
x
1 b) Si aumenta (x + 3) personas, necesita:
A=x–
x (2x2 + x + 1) + (x + 3) = 2x2 + 2x + 4
Resolución:
Luego: 3x3 – x2 – 4x + 5
Recordamos: (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab × 2x2 + 2x + 4
12x3 – 4x2 – 16x + 20
Entonces: 6x4
– 2x3 – 8x2 + 10x
2 2
1 1 1 6x5 – 2x4 – 8x3 + 10x2
x+ – x– = 4x .
x x x 6x5 + 4x4 + 2x3 – 2x2 – 6x + 20
Reemplazamos: Faltan:
2
53 – A2
=4.1 6x5 + 4x4 + 2x3 – 2x2 – 6x + 20 Aumentado
 53 – 4 = A2 – (6x5 + x4 – 6x3 + 7x2 + 3x + 5) Tiene

49 = A 3x4 + 8x3 – 9x2 – 9x + 15 Debe preparar

Luego: A = 7 Rpta. a) Le sobran: 2x2 + 2x

Rpta. 7 b) Debe preparar: 3x4 + 8x3 – 9x2 – 9x + 15
 Síntesis
Multiplicación de polinomios

1.º Multiplica los coeficientes. Productos notables

Monomio por
monomio 2.º Multiplica las variables. Binomio al cuadrado
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
1.º Aplica la propiedad distributiva: Identidades de Legendre
Monomio por
a(b + c) = ab + ac. (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
polinomio
2.º Multiplica los monomios. (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Suma por diferencia
1.º Aplica la propiedad distributiva. (a + b)(a – b) = a2 – b2
Polinomio por
2.º Multiplica los monomios.
polinomio Binomios con término común
3.º Reduce términos semejantes.
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Modela y resuelve
1 Efectúa M = A + R + I + A, si: 2 Efectúa P = A + U + L + A, si:
• A = (–2x)(–3x3) • A = (3x2)(–2x3)
• R = (6x2)(2x2) • U = (8x3)(2x2)
• I = (–2)(5x4) • L = (–2)(–4x5)

Resolución: Resolución:

Rpta. Rpta.

3 Desarrolla P. 4 Desarrolla Q.
P(x) = 3x(5x2 – 4x + 1) Q(x) = 2x(6x4 + 3x – 1)

Resolución: Resolución:

Rpta. Rpta.
 5
5
Efectúa R(x) = (2x – 1)(x + 3). 6
Efectúa M(x) = (3x + 2)(x – 1).

Resolución: Resolución:

Rpta. Rpta.

7 Si a + b = 5 ∧ ab = 2, halla el valor de T = a2 + b2. 8 Si x + y = 4 ∧ xy = 5, halla el valor de M = x2 + y2.

Resolución: Resolución:

Rpta. Rpta.

9 Aplicando productos notables, efectúa: 10 Aplicando productos notables, efectúa:

12.

a) M = 342 + 622 a) E = 432 + 512

E=
M=

b) A = 3252 – 3242 b) L = 4232 – 4212

A= L=

c) R = 43 × 63 c) I = 54 × 24

R= I=

d) Y = 121 × 119 + 1 d) Z = 129 × 131 + 1

Y= Z=
 4
11 Indica el valor de L. 16 Encuentra el valor de P = (n4 + 3)(n4 – 3) + 9 .

( 17 + 7 )2 + ( 17 – 7 )2
L=
( 18 + 2 )2 – ( 18 – 2 )2

A 1 B 2 C 3 A n B n4 C 0
D 4 E 6 D n2 E 1

Nivel II 17 Descubre el valor de E = a + b, si a2 + b2 = 17 ∧

a – b = 3.
12 Descubre el valor de A = 23422 – 23402.

A 4682 B 5286 C 8946

D 7374 E 9364
A 4 B 8 C 3
D 5 E 6
13 Calcula el valor de R = (x + 7)(x + 5) – (x + 6)2.

18 Luego de desarrollar Q, indica un término.

Q = (2a3 + 4b2)(2a3 – 4b2) – (2a + b2)2

A 71 B 2 C –5
D 1 E –1

14 Halla el valor de F = (2x + 3)(2x – 5) – 4x(x – 1).

A –16b4 B 15b4 C 16b4

D –17b4 E 0

A –15 B –11 C 11
19 Desarrolla y reduce R.
D 0 E 15
R = (x +1)(x – 1)(x2 + 1)(x4 + 1) + 1

15 Determina el valor de H = a + a2 + b2 + b, si
a + b = ab = n.

A n2 + 3n B n2 – n C n2 + n A 1 B –1 C x4
D n2 – 3n E n2 + 2n D x8 E x16
 Nivel III 22 Halla el valor de (a + b + c + d)(a + b – c – d).

20 El lado de un cuadrado es a + b y el de otro

cuadrado es a – b. Teniendo en cuenta que el
área de un cuadrado es lado al cuadrado, indica la
verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones.

( ) El área de un cuadrado es a2 + b2.

( ) La diferencia de áreas de los cuadrados es A a2 + b2 + c2 + d2 – 2ab + 2cd

4ab. B a2 – b2 – c2 + d2 + 2ab + 2cd
C a2 + b2 + c2 + d2 – 2ab – 2cd
D a2 + b2 – c2 – d2 + 2ab – 2cd
( ) La suma de áreas de los cuadrados es
2(a2 + b2). E a2 – b2 – c2 – d2 – 2ab + 2cd

( ) Si el perímetro de un cuadrado es cuatro 23 Determina el valor de E.

veces su lado, entonces la suma de los
( )
2
E= 5+ 24 + 5– 24
perímetros de los cuadrados es 4a.

A VVVV B FFVV C FVFV

D VFVF E FVVF

21 En una ciudad A el número de habitantes está dado

por H(x) = 3x2 – 2x – 1, si la cantidad promedio (en
litros) de agua que consume cada habitante en un
A 6 B 8 C 10
mes es A(x) = 3x3 + x2 – 2x – 1.
D 12 E 14
Calcula la cantidad de agua potable (en litros) que
consume la ciudad en un mes A.
24 Si a + b = 3 y ab = 3, halla el valor de L = a4 + b4;
luego, indica lo correcto.

A 9x5 + 3x4 – 10x3 + 4x + 1 A L es un número par

B 9x5 – 3x4 – 12x3 + 3x + 1 B L es un entero positivo
C 9x5 – 2x4 – 10x3 + 3x + 1 C L es un múltiplo de 5
D 9x5 – 3x4 – 11x3 + 4x + 1 D L es un número natural impar
E 9x5 + 3x4 + 11x3 – 4x + 1 E L es un número negativo
 División de polinomios
Halla la base B del rectángulo si su área es
A = x3 + 6x2 + 14x + 15 y su altura es H = x + 3
¿Sa bía s qu e...?
¿Qué operación matemática se debe Dividir (del latín
H realizar para hallar la base?¿Cómo dividere) es partir
realizamos esta cuando tenemos variables? o separar algo en
B partes.

División de monomio entre monomio

Para dividir monomios:
1.° Divide los signos usando la regla de signos.
2.° Divide los coeficientes.
3.° Divide las variables aplicando la teoría de exponentes. R e cu e rda
Ejemplo: Reglas de signos:
Divide: –12x3y2 (+) (–)
A= = (+) = (–)
6x2y (+) (+)
Resolución:
(–) (+)
Divide: signos coeficientes variables = (+) = (–)
(–) (–)
(–) 12 x 3 y2
= (–) =2 = x3 – 2y2 – 1 = x1y1
(+) 6 x2y1 Dividendo Divisor

Luego: A = –2xy D(x) d(x)

R(x) Q(x)
División de polinomio entre monomio
Para dividir un polinomio entre un monomio, dividimos cada término del polinomio entre Residuo Cociente
el monomio.
Donde:
Ejemplos: D(x) = d(x) . Q(x) + R(x)
6xy2 – 9x2y + 12x2y2
a) Calcula el cociente de .
3xy
Resolución:
Dividimos cada término del polinomio entre el monomio.
6xy2 9x2y 12x2y2
– + = 2y – 3x + 4xy
3xy 3xy 3xy

–4a3b2 + 12a2b4 – 24a5b3

b) Calcula el cociente de .
–4a2b2
Resolución:
Dividimos cada término del polinomio entre el monomio.
–4a3b2 12a2b4 24a5b3
+ – = a – 3b2 + 6a3b
–4a2b2 –4a2b2 –4a2b2

División de polinomio entre polinomio

Al dividir dos polinomios D(x) llamado dividiendo y d(x) llamado divisor, se obtienen
otros dos polinomios, Q(x) llamado cociente y R(x) llamado residuo, donde se cumple:

D(x) = d(x) . Q(x) + R(x) (Algoritmo de la división)

 Métodos para dividir polinomios
Not a Método de Ruffini
El método de Ruffini se utiliza cuando el divisor es un polinomio de primer grado de
la forma (x ± a).

Ejemplos:
a) Divide el polinomio (4x3 + 2x2 – 4) entre (2 + x)

Resolución:
Completamos y ordenamos los polinomios dividendo y divisor.
Paolo Ruffini (4x3 + 2x2 + 0x – 4) ÷ (x + 2)
Italia: 22/9/1765 Esquema de Ruffini
Italia: 9/5/1822 3.o 2.o 1.o T.I. Escribe los coeficientes del
4 2 0 –4 dividendo D(x) con sus signos. 1
Opuesto del término + + +
independiente del (4)(–2) = –8 ⇒ 2 – 8 = –6
2 divisor d(x) –2 –8 12 –24
(–6)(–2) = 12 ⇒ 0 + 12 = 12
× 4 –6 12 –28
(12)(–2) = –24 ⇒ –4 – 24 = –28
Coeficientes del Residuo
R e cu e rda cociente
Baja el coeficiente, multiplica por el valor Suma los elementos de esta columna
Grado: obtenido en el paso anterior. Escribe el y multiplica por el valor obtenido en el
Mayor exponente 3 resultado en la siguiente columna. paso 2. Repite el proceso. 4
de la variable en un
polinomio.
Luego: Q(x) = 4x2 – 6x + 12; R(x) = –28
Polinomio
completo y b) Divide el polinomio (–2x3 + x4 – 3x – 4) entre (x – 3).
ordenado: Términos
con exponentes Resolución:
consecutivos.
Completamos y ordenamos los polinomios dividendo y divisor.
(1x4 – 2x3 + 0x2 – 3x – 4) ÷ (x – 3)
Esquema de Ruffini
1 –2 0 –3 –4 1
+ + + +
2
3 3 3 9 18
× 1 1 3 6 14
3 4

Luego: Q(x) = 1x3 + 1x2 + 3x + 6

R(x) = 14

c) En la división (3x3 + x – 4x2 – n) ÷ (x – 2) el resto es 8, halla el valor de n.

Resolución:
Completamos y ordenamos los polinomios dividendo y divisor.
(3x3 – 4x2 + x – n) ÷ (x – 2)
Esquema de Ruffini
3 –4 1 –n 1
+ + +
2
2 6 4 10
× 3 2 5 –n + 10
3 4

Luego: 8 = –n + 10 ⇒ n = 2
El valor de n es 2.
Método de Horner
El método de Horner se utiliza para dividir polinomio cuyos divisores sean de grado Not a
mayor o igual a uno.

Ejemplo 1
6x5 – 4x3 – 5x4 – 7x2 + 3
Calcula el cociente y el residuo de
2x3 – 3x2 – 2
Resolución:
6x5 – 5x4 – 4x3 – 7x2 + 0x + 3
• Ordenamos y completamos los polinomios
2x3 – 3x2 + 0x – 2
• En el esquema de división:
William G. Horner
En columna los Coloca los coeficientes Reino Unido
coeficientes 2 6 –5 –4 –7 0 3 del dividendo D(x) con su
del divisor d(x), respectivo signo. 1786 - 1837
+3 1
el primero con
su signo y los 0
restantes con el +2
signo opuesto.
2 Coeficientes del Coeficientes del
cociente residuo
divisor de grado 3

Separamos con una línea vertical tantas columnas I mport a nte

como el grado del divisor a partir de la última columna. 3
fila

Suma los elementos de la columna, divide el resultado entre el primer

coeficiente del divisor y coloca el resultado en la parte inferior del gráfico. 4
columna

÷ 6 4 2 + + +
2 6 –5 –4 –7 0 3
+3 9 0 6
0 6 0 4
+2 3 0 2 Si la división:
3 2 1 2 4 5 Repite los pasos 4 y 5. 6 D(x) = d(x) . Q(x) + R(x)
×
Es exacta, entonces:
Multiplica este resultado por los coeficientes Suma los números de cada columna para R(x) ≡ 0
del divisor con el signo cambiado, y coloca los obtener los coeficientes del residuo. 7
productos en las columnas siguientes. 5

• Luego, el proceso del esquema anterior es:

6÷ 2 =3 ⇒ (3)(+3) = 9
(3)(0) = 0
(3)(+2) = 6
Luego: –5 + 9 = 4 ⇒ 4 ÷ 2 = 2
⇒ (2)(+3) = 6
(2)(0) = 0
(2)(+2) = 4
Después: –4 + 0 + 6 = 2 ⇒ 2 ÷ 2 = 1
⇒ (1)(+3) = 3
(1)(0) = 0
(1)(+2) = 2
Por último: –7 + 6 + 0 + 3 = 2
0 + 4 + 0 = 4
3 + 2 = 5
 En una división de polinomios completos y ordenados en forma decreciente, el cociente
Q(x) y residuo R(x) también son completos y ordenados.
R e cu e rda
Entonces:
El algoritmo de la
división está dado por: 2.° 1.° T.I.
• Coeficientes del cociente: 3 2 1 Q(x) = 3x2 + 2x + 1
D(x) = d(x) . Q(x) + R(x) 2.° 1.° T.I.
• Coeficientes del residuo: 2 4 5 R(x) = 2x2 + 4x + 5

Propiedades de grados
El grado del polinomio cociente es el grado del polinomio dividendo menos el grado del
polinomio divisor. En el ejemplo 1 de la página anterior: 5 – 3 = 2
¿Sa bía s qu e...?
El grado del polinomio residuo es el grado del polinomio divisor menos uno.
El algoritmo
constituye un En el ejemplo 1 de la página anterior: 3 – 1 = 2
método para
resolver un problema
mediante una Ejemplo 2
secuencia de pasos
a seguir. Calcula el cociente y el residuo de la división:

6x5 + 3x4 – 7x3 + 5x + 4

2x2 + x – 1
Resolución:

Del algoritmo de la división:

D(x) = d(x) . Q(x) + R(x)

Donde:
• Dividendo: D(x) = 6x5 + 3x4 – 7x3 + 5x + 4
Completando el D(x):
D(x) = 6x5 + 3x4 – 7x3 + 0x2 + 5x + 4

• Divisor: d(x) = 2x2 + x – 1

En el esquema de la división:

4 Repetimos pasos 4 y 5

÷ 6 0 –4 2 + + 1
2 6 3 –7 0 5 4
2
–1 –3 3
1 0 0
2 –2
–1 1 6

× 3 0 –2 1 2 5
3
5

Luego:
Q(x) = 3x3 + 0x2 – 2x + 1 = 3x3 – 2x + 1
R(x) = 2x + 5
Ejercicios resueltos

1 Encuentra los valores desconocidos. 4 Determina el cociente y residuo de la división.

–6xy4 (2x3 + x4 – x + 4) ÷ (x2 – 1 + x)
Bx2y5
• = 2xyn • = 4xym
Ay 3xy2 Resolución:
–12x2y4 Completamos y ordenamos los polinomios:
• = Cxy
–2xy3 (x4 + 2x3 + 0x2 – 1x + 4) ÷ (1x2 + 1x – 1)
Esquema de Horner.
Luego, calcula el valor de E.
A+B+C ÷ 1 1 0
E= 1 1 2 0 –1 4
m+n–1
–1 –1 1
Resolución: 1 –1 1
0 0
Completamos: 1 1 0 0 4
×
–6xy4 12x2y5
• = 2xy3 • = 4xy3 Luego: Q(x) = 1x2 + 1x + 0 = x2 + x
–3y 3xy2 R(x) = 0x + 4 = 4
–12x2y4 Rpta. Q(x) = x2 + x
• = 6xy
–2xy3 R(x) = 4

Nos piden:
5 Descubre la altura h del triángulo si se conoce su
–3 + 12 + 6 15
E= = =3 área.
3+3–1 5 A = 6x3 – 4x2 + 2x
Rpta. 3
h
2 Halla el cociente.
4x
(12x3y + 9x2y2 – 6xy3) ÷ (3xy)
Resolución:
Resolución: B.h 2A
Tenemos: A= ⇒ h=
Tenemos: 2 B
Entonces:
12x3y + 9x2y2 – 6xy3
Q= 2(6x3 – 4x2 + 2x) 12x3 – 8x2 + 4x
3xy h= =
4x 4x
12x3y 9x2y2 6xy3
Q= + – = 4x2 + 3xy – 2y2 12x3 8x2 4x
3xy 3xy 3xy h= – + = 3x2 – 2x + 1
4x 4x 4x
Rpta. 4x2 + 3xy – 2y2 Rpta. 3x2 – 2x + 1

3 Calcula el cociente. 6 Encuentra el resto de la división.

(4x3 + x – 5) ÷ (x + 1) (3x4 + 4x3 + 5x – 2) ÷ (x + 2)
Resolución: Resolución:
Completamos y ordenamos los polinomios: Completamos y ordenamos los polinomios:
(4x3 + 0x2 + 1x – 5) ÷ (x + 1) (3x4 + 4x3 + 0x2 + 5x – 2) ÷ (x + 2)
Esquema de Ruffini.
Esquema de Ruffini.
3 4 0 5 –2
4 0 1 –5
–2 –6 4 –8 6
–1 –4 4 –5
× 3 –2 4 –3 4
× 4 –4 5 –10
Entonces: Q(x) = 3x3 – 2x2 + 4x – 3
Luego: Q(x) = 4x2 – 4x + 5
R(x) = 4
Rpta. 4x2 – 4x + 5 Rpta. 4
 7 Halla el cociente de la división. 10 Descubre el valor de n si la suma de coeficientes
2x5 –3x4 – 11x2 +5 del cociente de (xn + xn – 1 + x + 5) ÷ (x – 1), es 42.
2
x – 2x – 1 Resolución:
Resolución: Aplicamos el método de Ruffini, luego completamos
y ordenamos los polinomios:
Completamos y ordenamos los polinomios:
(2x5 – 3x4 + 0x3 – 11x2 + 0x + 5) ÷ (x2 – 2x – 1) 1 1 0 0 ... 0 1 5
1 1 2 2 ... 2 2 3
Esquema de Horner:
× 1 2 2 2 ... 2 3 8
÷ 2 1 4 –2
1 2 –3 0 –11 0 5 Tenemos: 1 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 3 = 42
+2 4 2 (n – 2) veces
+1 2 1
8 4 Entonces: 1 + 2(n – 2) + 3 = 42
–4 –2 1 + 2n – 4 + 3 = 42
× 2 1 4 –2 0 3 2n = 42 ⇒ n = 21

Luego: Q(x) = 2x3 + 1x2 + 4x – 2 = 2x3 + x2 + 4x – 2 Rpta. 21

R(x) = 0x + 3 = 3
11 Encuentra el valor de a + b de manera que el
Rpta. 2x3 + x2 + 4x – 2
polinomio P(x) = x3 + ax + b sea divisible por (x – 1)2.
8 Calcula el valor de n, si en la siguiente división el Resolución:
residuo es 30.
Completamos y ordenamos los polinomios:
(x4 + x3 + x2 + n) ÷ (x – 2) (1x3 + 0x2 + ax + b) ÷ (x2 – 2x + 1)
Resolución: Esquema de Horner:
Completamos y ordenamos los polinomios: ÷ 1 2
1 1 0 a b
(1x4 + 1x3 + 1x2 + 0x + n) ÷ (x – 2) 2 2 –1
Esquema de Ruffini: –1 4 –2
× 1 2 0 0
1 1 1 0 n
2 2 6 14 28 Como el polinomio P es divisible entre el divisor, el
1 3 7 14 30 residuo es 0.
×
Luego: a – 1 + 4 = 0 ⇒ a = –3
Entonces: n + 28 = 30 ⇒ n = 2 b–2=0 ⇒ b=2
Rpta. 2 Nos piden: a + b = –3 + 2 = –1
Rpta. –1
9 Determina el cociente de la división.
12 Halla n + m si la siguiente división deja por
6x5 + 9x4 – 5x3 + x2 + 9x + 3
resto –27x – 11.
2x2 + 3x – 1
x4 – 4x3 + 6x2 – (n + 2)x + m + 3
Resolución:
x2 + 2x + 1
Completamos y ordenamos los polinomios:
Resolución:
(6x5 + 9x4 – 5x3 + 1x2 + 9x + 3) ÷ (2x2 + 3x – 1)
Aplicamos el método de Horner, luego
Esquema de Horner: completamos y ordenamos los polinomios:
÷ 6 0 –2 4 ÷ 1 –6 17
2 6 9 –5 1 9 3 1 1 –4 6 –n – 2 m+3
–3 –9 3 –2 –2 –1
+1 0 0 –1 12 6
3 –1 –34 –17
–6 2 1 –6 17 –27 –11
×
× 3 0 –1 2 2 5
Luego: –n – 2 + 6 – 34 = –27 ⇒ n = –3
Luego: Q(x) = 3x3 + 0x2 – 1x + 2 = 3x3 – x + 2 m + 3 – 17 = –11 ⇒ m=3
R(x) = 2x + 5 Nos piden: n + m = –3 + 3 = 0
Rpta. 3x3 – x + 2 Rpta. 0
 Síntesis
Divide:
monomio ÷ monomio 1.° Los signos
2.° Los coeficientes
3.° Las variables

División de Divide:
polinomio ÷ monomio
polinomios Cada término del polinomio entre el monomio

Dividendo divisor Algoritmo de la división

D(x) d(x)
polinomio ÷ polinomio D(x) = d(x) . Q(x) + R(x)
R(x) Q(x)
residuo cociente

Método de Ruffini Dividendo y divisor Método de Horner

completos y ordenados
D(x) Esquema: 4
Forma: Suma
x+a 5 Coeficientes del
Coeficientes del Divide ÷ dividendo 1
Esquema:
dividendo 1 Coeficientes
2 del divisor

opuesto cambian de
de a 2 –a signo

×
7
suma por (–a) 3 repetir 3 multiplica ×
en la siguiente 3
columna Resultado repetir separa Suma 8
de (5) 6 (4) al (7) esquema

Modela y resuelve
1 Efectúa las divisiones. 2 Efectúa las divisiones.
15x2y3 16x3y5
a) = a) =
–3xy2 –8xy2
–24a4b6 –12a3b7
b) = b) =
6ab5 3ab3
–18x3y3z2 –28x2y4z2
c) = c) =
–6xy3z –7xy3z2
36n5m8 35n4m7
d) = d) =
–9n4m5 –7n2m2
16x4 – 8x2 24x2 – 18x3
e) = e) =
4x 6x
24x3y – 15x2y2 24x2y2 – 16xy2
f) = f) =
3x2y 4xy2
28abc4 – 49abc2 27abc3 – 18abc2
g) = g) =
7abc 9abc2
 3 Halla el cociente y residuo. 4 Halla el cociente y residuo.
(x3 + 2x2 – 4) ÷ (x + 1) (x3 + x2 + 3) ÷ (x – 1)
Resolución: Resolución:

Q(x) = R(x) = Q(x) = R(x) =

5 Calcula el cociente y residuo de la división. 6 Calcula el cociente y residuo de la división.

(3x4 – 5x3 – x – 3) ÷ (x – 2) (2x4 – x3 + 2x2 + 12) ÷ (x + 2)

Resolución: Resolución:

Q(x) = R(x) = Q(x) = R(x) =

7 Determina el cociente y residuo de la división. 8 Determina el cociente y residuo de la división.

(x4 + x3 + 5) ÷ (x2 – x + 1) (x4 + 2x3 + 2) ÷ (x2 + x + 1)

Resolución: Resolución:

Q(x) = R(x) = Q(x) = R(x) =

 10 Divide (x3 – x2 – 17x + 33) ÷ (x – 3); luego, indica 13 Del siguiente esquema de Horner:
el cociente.
4 –4 8
–1 4
2 3
–4
1 –2
× 2 4 –1 4 5
A x2 – 2x – 11 B x2 + 4x – 2
Determina la suma de los números que debes
C x2 + 3x – 9 D x2 + 2x – 11 escribir en los recuadros vacíos.
E x2 – 3x – 7

A 2 B 7 C 1
11 Calcula las alturas de los rectángulos de áreas
iguales a A(x) = 12x3 – 9x2. D 5 E 3

14 Encuentra el valor de n + m si la división

H1
6x3 + 4x2 + nx + m tiene como residuo 70x.
3x x2 – 3x + 1

H2
A 22 B 18 C 42
D 12 E 32
x2

15 Si la división exacta, descubre el valor de E = nm.

A H1 = 12x – 9; H2 = 4x2 – 3x
6x5 + 2x4 – 11x3 + 5x2 + nx – m
B H1 = 3x2 – 4x; H2 = 4x – 3
2x2 – 3
C H1 = 12x2 – 9; H2 = 12x – 9
D H1 = 4x2 – 3x; H2 = 12x – 9
E H1 = 4x2 – 3x; H2 = 12x2 – 9x

Nivel II A 40 B 36 C 32
D 28 E 42
12 Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda
en la división:
16 En una ciudad, la cantidad de agua potable está
15x3y – 25x2y2 determinada por la expresión:
( ) = 3x – 5xy
5xy M(x) = 6x5 – 5x4 + 4x3 – 9x2 + x – 2. Si el número
de habitantes está dado por E(x) = 2x2 + x + 2;
32x3y3 – 8x2y2 donde x es el tiempo. Halla la cantidad de agua
( ) = 8xy2 – 2y
4x2y que le corresponde a cada habitante.

A 3x3 + 4x2 + 2x – 1
18xy2 – 12x3y2
( ) =3+ 2x2 B 3x3 – 4x2 + x – 1
–6xy2
C 3x3 – 2x2 + 4x – 1
A VVF B VFV C FVF D 3x3 + 4x2 – x – 1
D FFV E VFF E 3x3 – x2 + 4x – 1
 17 Si Q(x) es el cociente y R(x) es el residuo de Nivel III
12x5 + 12x4+ 11x3
– 4x + 1, calcula M(x).
(2x + 1)2 21
Q(x) es el cociente y R(x) el residuo de
12x5 + 6x4 + 17x2 – 17x3 + 14x – 13
M(x) = Q(x) + R(x)
3x3 – 2x + 5
Además, H(x) = Q(x) + 2R(x).
Halla el valor de H(2).

A 3x3 + 4x + 1 B 3x3 + 2x2 + 2x – 1

C 3x3 + 4x2 – x + 3 D 3x3 + 2x2 + 5
E 3x3 + 1
A 18 B 15 C 22

x4 + 7x2 + mx + 16 D 21 E 25
18 En la división exacta , halla el
valor de A = m + 6. x+2
22
Sobre la división por el método de Horner

a 3 1 d –6 5 3
2 c –1
b 2 –1
4 f
A 5 B 8 C 4
–2 1
D 6 E 9
1 1 2 e g h
Tenemos:
4x3 + 8x5 + m – nx
19 El resto de la división de es
–1 + 2x + 2x2 I. El término independiente del cociente es 1.
2x + 4. Encuentra el valor de R = n + m. II. El resto de la división es x + 4.
III. El valor de (b + c + d) es 6.
Son correctas:

A Solo I B I y II C Solo III

D II y III E Todas

A 30 B 16 C 40 x4 + 2x3 – x2 + 2 es igual al resto

23
Si el resto de ,
D 36 E 42 x–1
5 3 2
x + x + 3x + n ;
de calcula el cociente
x+1
20 Descubre el valor de F = n + m; si 2x + 5 es el x4 – x3 – 7x2 + 6
de .
residuo de la división. x–n
12x4 – x3 – 2x2 + nx – m
4x2 – 3 + x

A x3 + 3x2 – 2x – 1 B x3 – 2x2 – 3x + 1
A 5 B 6 C 3 C x3 + 2x2 – x – 3 D x3 + x2 – 2x – 2
D 7 E 8 E x3 + 3x2 – x – 2
Test
Nombre: n.° de orden: Sección:

Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.

1 Si P(x) = 3x2 – 4x + 7, calcula el valor de P(2). 4 Encuentra el valor de M(1; 2).

M(x; y) = 2x2y + 3xy

A 9 B 11 A 7 B 8
C 10 D 13 C 12 D 10

2 Si P(x) = 3x – 1 y Q(x) = 4x + 7, halla el valor de 5 Efectúa H.

Q(P(2)).
H(x) = (2x – 3)2

A 5 B 23 A 2x2 + 9 B 4x2 – 12x + 9

C 27 D 31 C 4x2 + 9 D 4x2 + 6x + 9

3 Dado P(x – 2) = 7x + 3, determina el valor de 6 Reduce H.

M = P(2).
H = (x – 2)2 – (x – 1)2

A 17 B 19 A 3 – 2x B 2x – 3

C 28 D 31 C 5 D 2x + 1
7 Indica (C) si la proposición es correcta e (I) si es 10
Halla el cociente de la división.
incorrecta: 4x5 – 8x4 + 9x3 – 9x2 + 8x – 6
( ) (a – b)2 = (b – a)2 2x2 – 3x + 1

( ) (a – b)2 + (a + b)2 = 2(a2 + b2)

( ) (a – b)2 – (a + b)2 = 4ab
( ) (a + c)(a + b) = a2 + (b + c)a + bc

A 2x3 + x2 + 2x – 5
B 2x3 – 3x2 + x – 3
A CCII B CCCC C 2x3 + x2 – 2x + 1
C CIIC D CCIC D 2x3 – x2 + 2x – 1

8 Efectúa R. x6 + 1
11
Determina el residuo de .
x2 + x + 1
R = (3x + 2)(3x + 4) – (3x + 1)2

A x+3 B x+1 A 2 B 0
C 3x + 8 D 12x + 7 C x+1 D x–3

9 Calcula el cociente de L. 12
Encuentra el valor de n si el resto de la división
2x4 – x3 + 2x2 + 3 2x3 + x2 – 17x + n es 4.
L= x+3
x2 – x + 2

A 2x2 – x – 1 B x2 + 2x – 3 A 2 B –5
C 2x2 + x – 1 D x2 + x – 2 C 6 D –2