T7-8-Cat. Pedro - Estructuras 2-2019-Flexion en Vigas

Tema: Flexión en vigas
Teórica Nº7-8 / 2019 Estructuras 2 /

face book: estructuras1-2-3 / cátedra pedro
VIGAS
/ELEMENTO LINEAL: una dimensión predomina sobre las dos restantes
/SALVAN LUCES
/SOLICITADO A FLEXION Y CORTE
/CARGAS LINEALES (kg/m)
CONCENTRADAS (t)
/ RECIBE CARGAS DE LAS LOSAS
/ TRASMITE CARGAS A LAS COLUMNAS SECCIÓN NORMAL
T7-8/ Estructuras 2 / FADU/UBA – Cátedra Arq. Beatriz PEDRO Prof. Adj. Arq. Eleonora ZOYA 2
VIGAS
Según sus apoyos y la continuidad pueden ser Viga / isostática

Isostáticas o hiperestáticas
Viga / hiperestática
Viga / hiperestática
VIGAS / Solicitaciones
Vigas
Carga lineal uniforme kN/m
o
Carga concentradas kN
FLEXION Y CORTE
q (Kg/m)
V +
M
+
VIGAS /Armadura
q (Kg/m)
M+
PERCHAS ∅6 - ∅ 8
C
e.n.
ESTRIBOS ∅6 - ∅ 8 - ∅ 10
V +
T
-
ARMADURA
M RESISTENTE ∅10 -∅12 - ∅16-
∅20- ∅25
+
As Resistente As Resistente
en una capa en dos capas
ds= 3 cm ds = 5 cm
d
h
• ≥ ∅ adoptado • ≥ 2,5 cm
ds • ≥ 2,5 cm
• ≥ ∅ adoptado
bw • ≥ 1.33 del diámetro máximo del agregado grueso
Tipos de VIGAS según la colaboración de las losas
El hormigón armado es un material esencialmente monolítico, los distintos

elementos que lo componen colaboran entre si ante las solicitaciones
q (Kg/m)
M+ C
Eje neutro
C
T
V +
M Viga (rectangular): Cuando la losa no colabora con la

+ viga en la zona de compresión
Cuando la losa colabora con la viga

Viga con alas (placa): en la zona de compresión de la
misma, en un ancho “b”.
Viga con alas (viga Cuando la losa colabora con la viga en la zona de
placa): compresión de la misma, en un ancho “b”.
Viga con ala en L Viga con alas en T

b b
M+ M+ C
C
Eje neutro Eje neutro
Aumento del área comprimida
b b b Aumento de la resultante “C” de todas las tensiones de

compresión
Aumento del par reactivo Mr = C . z
Aumento de la capacidad portante de la viga
Viga Viga invertida Viga con mensula
q (Kg/m) q (Kg/m) q (Kg/m)
C C T C
C
T T T
V + V + V +
- - -
M -
M M +
+ +
Ménsula Tramo
La losa colabora en la zona La losa no colabora en la zona
comprimida de la viga comprimida de la viga C
M- en
M+ en
M+ C Eje neutro T M+ C en C
Viga con alas Viga Viga rectangular Viga con

en T rectangular ala en L
VIGAS placas / ancho colaborante
b b
hf
be izq be der be izq

Distancia libre Distancia libre ¿De que depende el ancho de colaboración
entre vigas entre vigas
bw bw de la losa?
Viga “ T “ Viga “ L “ /de la longitud de la viga
El ancho de losa efectivo b como ala de una viga se determina: /del espesor de la losa
/de la luz libre de la losa que colabora
Viga “T” Viga “L”
b b
Ancho efectivo b b ≤L/4 b ≤ L / 12 hf hf
be ala ≤ 8 x hf be ala ≤ 6 x hf d d
Alas be izq ó be der be ala ≤ distancia libre be ala ≤ distancia libre
2 2
Si existe CARGA PUNTUAL se reduce el
Siendo b = be izq + bw + be der Ancho Colaborante en un 40%
De las tres expresiones se emplea la que de el “ b “ menor bf = 0,60 x b
VIGA PLACA /ubicación del eje neutro
SEGÚN LA UBICACIÓN DEL EJE NEUTRO PUEDEN DARSE 2 CASOS
Caso 1: El eje neutro corta la placa Caso 2 : El eje nuetro corta el nervio
a ≤ hf (espesor losa) a > hf (espesor losa)
b b
hf e.n a C hf C
a
. e.n. D E
d d
B C B C
T T
bw bw
Las tensiones de comprensión se encuentra Ya no podemos considerar la viga como si fuese

dentro de las ala. rectangular.
En el sector D y E, que esta en zona comprimida, no
Por debajo del eje neutro será el acero el que hay hormigo que tome las tensiones de compresión.
tome los esfuerzos de tracción, cumpliendo el
hormigón solo la función de materializar el brazo LA VIGA SE COMPORTA COMO UNA SECCION “T”, de
de palanca z. ancho “b”.
El procedimiento consiste en calcular por separado el
LA VIGA SE COMPORTA COMO UNA SECCION momento Muf que absorbe la placa y el momento
RECTANGULAR DE ANCHO EFECTIVO “b” Y Muw que absorbe el nervio.
ALTURA “h”.
VIGA placa – Secuencia de cálculo
/ Verificar de la sección de Hº ⁄ f’c= resistencia especificada del Hº

⁄ φ = 0.9 Factor de reducción en secciones controladas por tracción
Mu ⁄ b = ancho de estudio 100cm
mn = ⁄ d = dist. Desde la última fibra comprimida al baricentro de la
0.85 f’ c × ϕ × b × d2 armadura traccionada
/ ka > kamax No verifica la sección de hormigón Redimensionar la

sección
/ Verificar ubicación del Eje Neutro
SI el eje neutro corta la placa CASO 1: Se dimensiona como viga rectangular de ancho “b”
/ Determinar la Armadura resistente ⁄ fy= tensión de fluencia especificada

b
SI / kamin ≤ ka ≤ kamax ka As= 0.85f’c x ka x b x d
fy ka
d
SI / ka < kamin
Se calcula ka As= 0.85f’c x ka x b x d bw
b
fy
kamin Asmin= 0.85f’c x kamin x bw x d kamin d
fy
bw
VIGA placa – Secuencia de cálculo
SI el eje neutro corta el nervio CASO 2: Se dimensiona como viga placa de ancho “b”
a > hf (espesor losa)
Mu =Muw - Muf Momento que absorbe la placa . momento que absorbe el nervio
b Muf Muw
Mu 0.85 f’c 0.85 f’c
Cf
hf Cw
a
e.n.
d zf = d-hf/2 d-a/2
fy Tf fy Tw
bw
1- Muf: Momento que absorbe la placa 2. Muw: momento que absorbe el nervio
La fuerza que toman la placa: El momento a equilibrar con el Hº del nervio:

Cf = 0.85f`c x φ x (b - bw) x hf Muw =Mu - Muf
El momento tomado por la placa mn = Muw ka
Muf =Cf x (d-hf/2) 0.85f’c x φ x bw x d2
La armadura de la placa La armadura del nervio:
Asf= Tf . Asw= 0.85f’c x ka x bw x d
fy x φ fy
As = Asf + Asw As ≥ Asmin= kamin x bw x d

Se debe
fy / 0.85f’c
cumplir:
VIGAS – Secuencia de cálculo
1. Predimensionado: Adoptar una sección que luego se va a verificar
Determinar las acciones gravitatorias que

2. Análisis de cargas
actúan sobre la viga
3. Trasmisión de cargas Cálculo de Reacciones
4. Determinación de esfuerzos: Cálculo de Momentos

Esfuerzo de corte y flexión
5. Dimensionado Determinar Ancho Colaborante “b”
Verificar de la sección de Hº
Verificar ubicación del Eje Neutro
Determinar la Armadura resistente
Elección del Ø y Separación
6. Esquema de armado Dibujar plano de armaduras
EJEMPLO NUMÉRICO
Dimensionar el siguiente edificio de viviendas de PB y 5 pisos
Datos:
Hormigón H25 f’c = 2,50 Kn/cm2
Acero ADN-420 fy = 420 MPa = 42 KN/cm2
h= 14cm
Qs= 980Kg/m2
Qu= 1376Kg/m2
1.20
L1
C1 C2 C3
V1 V2
h= 14cm
Qs= 680Kg/m2 h= 14cm
V9
Qu= 896Kg/m2 Qs= 680Kg/m2
3.50
3.50
L2
Qu= 896Kg/m2
V7
V5
L3
V3 C4 C5
h= 10cm
Qs= 900Kg/m2
2.50
2.50
L4
V8
Qu= 1160Kg/m2
V6
C6 C7 C8
V4
3.40 2.80
EJEMPLO NUMÉRICO
/// Análisis de carga / viga 3: 15 x 40 viga isostática
qu= 2107 Kg/m
1.00
L1
C1 C2 C3
V1= 15 X 40 V2= 15 X 40
V9= 15 X 40
Ra=3582 Kg Rb=3582 Kg
V7= 15 X 40
3.50
3.50
V5= 15 X 60
L2
/ vigas 5: 15 x 60 viga isostática
L3
Pu= 3582Kg
V3= 15 X 40 C4 C5
qu1= 1753Kg/m
qu1= 1592Kg/m
V6= 15 X 40
V8= 15 X 40
2.50
2.50
L4
C6 V4= 15 X 40 C7 C8 C6 2.50 3.50 C1
3.40 2.80
Ra= 7035.8 Kg Rb= 6669.2 Kg
/ viga 6 y 7: 15 x 40 viga hiperestática dos tramos
qu2= 3692Kg/m
qu1= 2760Kg/m
C7 V6 C4 V7 C2
2.50 3.50
Ra=1771kg Rb=12789kg Rc=5262kg
EJEMPLO NUMÉRICO Dimensionamiento a flexión V3
/ Calculo de solicitaciones /V3
1.00
L1
C1 C2 C3
qu = 2107Kg/m = 21.07 KN/m
V1= 15 X 40 V2= 15 X 40
Mu = qu x l2 = 21,70 KN/m x (3.4 m)2 =
V9= 15 X 40
V7= 15 X 40
8 8
3.50
3.50
V5= 15 X 60
L2
Mu = 30,45KNm = 3045 KNcm
L3
Ra=Rb = qu x l = 21.07 KN/m x 3.4 m
V3= 15 X 40 C4 C5
2 2
Ra=Rb = 35.82KN
V6= 15 X 40
V8= 15 X 40
/ Determinación Ancho Colaborante “b” / V3
2.50
2.50
L4
V7 Viga L b= 340 cm = 28cm

C6 V4= 15 X 40 C7 C8
12
3.40 2.80 b hf = 14cm be ala ≤ 6 x hf = 6x 14cm = 84cm
be ala ≤ dist.libre / 2 = 335cm / 2 = 167,5cm
qu= 21,07KN/m be izq b = 84cm + 15cm = 99cm
b = 28 cm
3.40 15cm 335cm 15cm
V3 V1
Va=35.82KN Viga “T” Viga “L”
V +
- Ancho efectivo b b ≤L/4 b ≤ L / 12
Vb = 35.82KN
M
be ala ≤ 8 x hf be ala ≤ 6 x hf
+
Alas be izq ó be der be ala ≤ distancia libre be ala ≤ distancia libre
Mu = 30,45KNm
2 2
/ Verificación de la sección de hormigón / V3

Mu = 3045 KNcm VIGAS ⇒ 15 X 40
h= 40cm
r = 5cm
Mu
mn = 2
≤ mnmax d = h - r = 40cm - 5cm
0.85 f’ c × ϕ × bw × d
d =35cm
b = 28cm
3045 kNcm
mn = = 0,0464 < mnmax= 0,268
0,85 2,5 kN/cm2 x 0.9 x 28cm x (35cm)2
De Tabla A1 mn ka
mn = 0,046 ka = 0,050
kamin = 0,066
/ Verificación ubicación del eje neutro / V3
Posición del Eje Neutro a = ka x d
a = 0,050 x 35cm = 1,75 cm < hf = 14cm CASO 1 /

Viga rectangular
d = 35cm
/ Determinación de la Armadura resisten / V3 b = 28cm
Se calcula As= 0.85f’c x ka x b x d ka = 0,050
fy
Se debe cumplir que As ≥ Asmin= 0.85f’c x kamin x bw x d kamin = 0,066
fy
0,85 x 2,5 kN/cm2 x 0,050 x 28cm x 35cm
As = = 2.48 cm2
42kN/cm2
As = 2.48cm2
0,85 x 2,5 kN/cm2 x 0,066 x 15cm x 35cm = 1.75 cm2
Asmin =
42kN/cm2
/ Elección ø y esq. Armaduras / V3
3 φ 12 = 3.39 cm2
o
4 φ 10 = 3.14 cm2
/ esq. Armaduras / V3
PERCHAS 2 ∅8
ARMADURA
RESISTENTE 3 ∅12
PERCHAS 2 ∅8
ESTRIBOS
8 25 25 8
20 12 12 12 20
ARMADURA 20+8+12+25+12+25+12+8+20=14.2cm < 15cm
RESISTENTE 3 ∅12 ENTRAN LAS ARMADURAS EN 1 CAPA
EJEMPLO NUMÉRICO Dimensionamiento a flexión V6 y 7
/// Análisis de carga
1.00
L1
C1 C2 C3
V1= 15 X 40 V2= 15 X 40
V9= 15 X 40
V7= 15 X 40
3.50
3.50
V5= 15 X 60
L2
/ viga 6 y 7: 15 x 40 viga hiperestática dos tramos

L3
qu2= 3692Kg/m
V3= 15 X 40 C4 C5 qu1= 2760Kg/m
V6= 15 X 40
V8= 15 X 40 C7 V6 C4 V7 C2
2.50
2.50
L4
2.50 3.50
C6 V4= 15 X 40 C7 C8
3.40 2.80
/ Resolución hiperestático vigas 6 y 7: 15 x 40
qu2= 3692Kg/m
qu1= 2760Kg/m
C7 V6 C4 V7 C2
2.50 3.50
/// Calculo de esfuerzos flectores vigas hiperestáticas / viga 6 y 7: 15 x 40
1.00
C1 C2
L1
C3 qu2= 3692Kg/m
qu1= 2760Kg/m
V1= 15 X 40 V2= 15 X 40
V9= 15 X 40
V7= 15 X 40
C7 V6 1771Kg 6900KgC4 7642Kg V7 C2
3.50
3.50
V5= 15 X 60
L2
2.50 3.50
L3
V3= 15 X 40 C4 C5 Vu3= 7660Kg
Vu1= 1771Kg
V6= 15 X 40
V8= 15 X 40
2.50
2.50
L4
0,64 2,07
C6 V4= 15 X 40 C7 C8
3.40 2.80 Vu2= 5129Kg Vu4= 5262Kg
/ Momento máximo viga 6 MA=4198Kgm

Mmax V1= 1771Kg x 0.64m – 1771Kg x 0.32m=
-
Mmax V1= 567Kgm= 5.67KNm + +
Mmax=567Kgm
/ Momento máximo viga 7 Mmax=3749Kgm
Mmax V2= 1771Kg x 4.57m – 6900Kg x 3.32m + 12789Kg x 2.07m – 7642Kg x 1.035m =
Mmax V2= 3749Kgm= 37.49KNm
/ Determinación Ancho Colaborante “b”
1.00
L1
C1 C2 C3
Viga 6 Viga L b= 250 cm = 20cm
V1= 15 X 40 V2= 15 X 40 12
be ala ≤ 6 x hf be izq = 6 x 14cm = 84cm
V9= 15 X 40
V7= 15 X 40
3.50
3.50
V5= 15 X 60
L2 be ala ≤ dist.libre / 2 be izq = 265cm / 2 = 132.5cm

hf = 14cm b
L3
b = 84cm + 15cm = 99cm
V3= 15 X 40 C4 C5
L3 be izq
V6= 15 X 40
V8= 15 X 40 15cm 265cm 15cm

2.50
2.50
L4
V6 V8
C6 V4= 15 X 40 C7 C8 Viga 7 Viga T
b= 350 cm = 87cm
V7 4
3.40 2.80 hf = 14cm b
qu2= 3692Kg/m be ala ≤ 8 x hf
qu1= 2760Kg/m L2 L3
be izq be der be izq = 8x 14cm = 112cm
be der = 8x 14cm = 112cm
C7 V6 C4 V7 C2 15cm
Ra=1771kg Rb=12789kg Rc=5262kg b = 112 + 15 + 112 = 239
2.50 3.50
Viga “T” Viga “L”
MA=4198Kgm Ancho efectivo b b ≤L/4 b ≤ L / 12

be ala ≤ 8 x hf be ala ≤ 6 x hf
- Alas be izq ó be der
+ + be ala ≤ distancia libre be ala ≤ distancia libre
Mmax=567Kgm 2 2
Mmax=3749Kgm
/ Verificación de la sección de hormigón VIGAS ⇒ 15 X 40
h= 40cm
Viga 6 Viga L b = 20cm r = 5cm
Mu = 5.67 KNm = 567 KNcm d = 35cm
567 kNcm
mn = = 0,0121 < mnmax= 0,268
0,85 2,5 kN/cm2 x 0.9 x 20cm x (35cm)2
mn = 0,037 ka = 0,038
kamin = 0,066
/ Verificación ubicación del eje neutro

a = 0,038 x 35cm = 1,33 cm < hf = 14cm CASO 1
/ Determinación de la Armadura resistente
0,85 x 2,5 kN/cm2 x 0,038 x 20cm x 35cm = 1.35 cm2

As =
42kN/cm2
0,85 x 2,5 kN/cm2 x 0,066 x 15cm x 35cm

Asmin = = 1.75 cm2
42kN/cm2
/ Verificación de la sección de hormigón VIGAS ⇒ 15 X 40
h= 40cm
Viga 7 Viga T b = 87cm r = 5cm
Mu = 37.49 KNm = 3749 KNcm d = 35cm
3749 kNcm
mn = = 0,0184 < mnmax= 0,268
0,85 2,5 kN/cm2 x 0.9 x 87cm x (35cm)2
mn = 0,037 ka = 0,038
kamin = 0,066

a = 0,038 x 35cm = 1,33 cm < hf = 14cm CASO 1
0,85 x 2,5 kN/cm2 x 0,038 x 87cm x 35cm = 5.85 cm2

As =
42kN/cm2
0,85 x 2,5 kN/cm2 x 0,066 x 15cm x 35cm

Asmin = = 1.75 cm2
42kN/cm2
Apoyo viga 6 y 7 VIGAS ⇒ 15 X 40
/ Verificación de la sección de hormigón

Viga Rectangular h= 40cm
bw = 15cm r = 5cm
Mu = 41,98 KNm = 4198 KNcm d = 35cm
4198 kNcm
mn = = 0,119 < mnmax= 0,268
0,85 2,5 kN/cm2 x 0.9 x 15m x (35cm)2
mn = 0,122 ka = 0,130
kamin = 0,066

Viga rectangular no es necesario verificar
0,85 x 2,5 kN/cm2 x 0,130 x 15cm x 35cm = 3.45 cm2

As =
42kN/cm2
Viga 6 1.75 cm2 2 φ 12 = 2.26 cm2

Viga 7 5.85 cm2 3 φ 16 = 6.03 cm2
Apoyo viga 6 y viga 7 3.45 cm2 2 φ 16 = 4.02 cm2
MA=4198Kgm
-
+ +
Mmax=567Kgm Mmax=3749Kgm
2 ∅16 2 ∅8
2 ∅12 2 ∅16 1 ∅16
2 ∅8 2 φ 16 2 ∅8 2 ∅8
2 ∅16
2 φ 12 2 φ 12 3 ∅16
vigas de hº armado solicitadas a un momento flector Mu
SECCIÓN NORMAL DIAGRAMA DE DEFORMACIONES DIAGRAMA DE TENSIONES
DIAGRAMA UNITARIA UNITARIA
de Mu Mu
TENSIONES
INTERNAS
ε‘c = 3‰ 0.85f’c
DE FLEXION
c a/2
a = β1 x c
C
h d z
+
As T
r
εs ≥ 5‰ MR
bw
C = 0.85f’c x φ x a x bw
Mu = Mr = C.z = T.z
T = As x fy x φ
Momento Momento
Exterior Reactivo Como se obtiene el
interno Par reactivo interno
Parámetros a tener en cuenta Mu
1. Deformación limite del hormigón ec = 3%o mn = ≤ mn max
0.85 f’ c × ϕ × bw × d2
2. Deformación mínima del acero de es = 5%o
3. Tipo de falla controlada por tracción. Rotura dúctil.
4. Coef. reductor de resistencia para flexión f = 0.90.
5. El hormigón no resiste tracciones.
6. Las tensiones de compresión se asumen como un bloque de tensiones uniformes de valor 0.85 f´c
Repaso de las formas de rotura del hºa
Roturas en hormigón armado
Secciones controladas por tracción ROTURA DUCTIL
Secciones controladas por compresión ROTURA FRAGIL
Factores de reducción de resistencia

Rotura Dúctil εs ≥ 5%o φ = 0.9 Secciones controladas por tracción
Efecto de la magnitud de los Momentos en el diagrama de tensiones
DIAGRAMA de TENSIONES INTERNAS para Mu1
Mu = mn max ka max
mn =
Mu1 ε‘c=0.003 0.85 f’ c × ϕ × bw × d2
C1
c
Ka máximo. Cuando la deformación del acero es del
5%o y la del hormigón del 3%o estamos en el límite
h z de rotura dúctil
d
Si la deformación del acero es menor a 0,5%
As salimos de la zona controlada por tracción →
disminuye el coef. Φ
r
εs ˃ 0.005 T1 MR
bw NO VERIFICA LA SECCION DE HORMIGON
DIAGRAMA de TENSIONES INTERNAS para Mu2 > Mu1 DIAGRAMA de TENSIONES INTERNAS para Mu3 > Mu2
Mu2 ε‘c=0.003 Mu3 ε‘c=0.003

C2 C3
c c
h h
d z d
z
As As
r
εs = 0.005 T2 MR r
εs < 0.005 T3 MR
bw bw
vigas de HºA con armadura de compresión
¿Qué sucede cuando Ka supera el valor máximo y NO VERIFICA LA SECCION DE HORMIGON?

El par reactivo interno capaz de generar la viga es menor al momento externo actuante.
La zona de Hº comprimido es insuficiente para equilibrar el momento exterior.
Mu > MR MR = C . z
Ka supera el valor máximo
MR = T . z
Momento > Par reactivo
Exterior interno
Para resolver: / Redimensionar la sección para aumentar la sección de hormigón

// Agregar armadura en la zona comprimida para colaborar con el hormigón
vigas de HºA con armadura de compresión
mn ˃ mnmax / Redimensionar la sección de hormigón

NO verifica la sección de H°
/ se agrega armadura de compresión
Mu > MR
// VIGA CON ARMADURA DE COMPRESIÓN (Doble Armadura)

Mu = MRmax + M´s Momento sección de Hormigón Momento adicional
Mu
ε‘c=0.003 0.85f’c
C’s = A’s 1 f’s x φ
ε‘s
x
d’ a/2
A’s c a
C = 0.85f’c xφxaxbw
d
h z z’= d – d’
+
As T = As2 x fy x φ T´s = A’s2 fy x φ
εs = 0.005
x
bw MRmax = MR + M´s
Par reactivo interno Momento adicional

MR = C . z M’s = C’s . Z’
MR = T . z M’s = T’s . Z’
vigas de HºA con armadura de compresión – secuencia de calculo
Mu mn ˃ mnmax
mn = ≤ mnmax NO verifica la sección de H° se
0.85 f’ c × ϕ × bw × d2 Mu > MR agrega armadura de compresión
Momento sección de Hormigón Momento adicional
Mu ε‘c=0.003 0.85f
d’ ε‘ ’c
a/2 d C’s = A’s1 x f’s x φ
A’s c s a ’
d
h z= kz x d z’= d – d’
As +
T = As2 x fy x φ T´s = A’s2 x fy x φ
bw εs = 0.005 M’s = C’s . Z’
MRmax =MR + M´s
M’s = T’s . Z’
/ Determinación de MRmax :
Mu = MRmax + M´s  MRmax : El momento máximo que puede absorber la sección de Hormigón
M´s : Momento adicional
mnmax = MRmax  MRmax = mnmax x 0.85f’c x φ x bw x d2
0.85f’c x φ x bw x d2
/ Determinación de M´s :
M’s = Mu - MRmax
/ Determinación de A’s de compresión: Sección de armadura de compresión
M’s= C’s x z’ C’s = A’s1 x f’s x φ M’s = A’s1 x f’s x φ x (d-d’) M’s
z’ = d - d’ A’s1
f’s : Tensión de compresión en la sección de acero comprimido = f’s x φ x (d-d’)
Mu ε‘c=0.003 0.85f
d’ ε‘ ’c
A’s c s a ’
C
d
As + fy=42k
N/cm2
T T´s = A’s2 x fy x φ
bw εs = 0.005 MRmax = MR + M´s
TENSION DE TRABAJO DE LA ARMADURA COMPRIMIDA
f’s : Si el acero tiene una deformación ε’s inferior al limite f’s  ε‘s 2‰ ε
elástico, esta trabajando con una tensión menor a la
de fluencia fy f’s: Tensión de A’s en (kn/cm2)
⁄ Si el acero tiene una deformación ε’s MAYOR al limite elástico fy para d’/d
Kn/cm2
ε’s > 0,002 f’s = fy 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35
La armadura comprimida esta trabajando a la misma tensión 22 22 22 22 22 20 12 4

que la traccionada 42 42 42 36 28 20 12 4
⁄ Si el acero tiene una deformación ε’s MENOR al limite elástico
50 50 44 36 28 20 12 4
ε’s < 0,002 f’s = Es*ε’s
/ Determinación de armadura de tracción :
Mu ε‘c=0.003 0.85f
d’ ε‘ ’c
A’s c s a ’
d
As +
T = As2 x fy x φ T´s = A’s2 x fy x φ
bw εs = 0.005
MRmax =MR + M´s M’s = C’s . Z’
M’s = T’s . Z’
As = As2 + A’s2
As2 = kamax x 0.85f’c x bw x d

fy
A’s1 = Armadura de tracción adicional
M’s= T’s x z’ T’s = A’s2 x fy x φ

M’s = A’s2 x fy x φ x (d-d’) M’s
z’ = d - d’ A’s2 =
Si ε’s > 0,002 f’s = fy A’s1 = A’s2 fy x φ x (d-d’)
As(tracción) = kamax x 0.85f’c x bw x d + A’s1
fy
ejemplo numérico: viga con armadura de compresión
DATOS d‘=3 cm
A’s1
VIGA 12 X 40 H25 ⇒f’c= 2,5kn/cm2
Luz viga = 5.00m d=35cm
qu = 27KN/m Mu = 84.37KNm
As
8437 kNcm
mn = = 0,300 > mnmax= 0,268
12cm x (35cm)2 x 0,85 x 2,5 kN/cm2 x 0.9
NO verifica la sección de
Mu = MRmax + M’s hormigón
As compresión
mnmax= 0,268 kamax= 0,319

/ Determinación de MRmax
mnmax = MRmax MRmax = mnmax x 0.85f’c x φ x bw x d2
0.85f’c x φ x bw x d2
MRmax = 0.268 x 0.85 x 2,5kn/cm2 x 0.9 x 12cm x (35cm)2
MRmax = 7535kncm
/ Determinación de M’s
M’s = Mu - MRmax
M’s = 8437kncm – 7535kncm = 902kncm
ejemplo numérico: viga con armadura de compresión
DATOS
/ Determinación de A’s (Compresión)
VIGA 12 X 40 H25 ⇒f’c= 2,5kn/cm2
Luz viga = 5.00m M’s As en una fila
A’s1 =
qu = 27KN/m Mu = 84.37KNm d’/d= 3cm/ 35cm = 0.09
f’s x φ x (d-d’)
MRmax = 8372kncm M’s = 902kncm
kamax= 0,319 fy f’s: Tensión de A’s en (kn/cm2) para d’ / d
Kn/cm2
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35
22 22 22 22 22 20 12 4
2 φ 10
42 42 42 36 28 20 12 4
COMPRESIÓN
d‘=3 cm A’s1 50 50 44 36 28 20 12 4
Una armadura con fy=42kn/cm2 y d’/d=0.1 se encuentra en fluencia por lo tanto f’s=fy
1 φ 16 d=35cm 902 kNcm

As A’s1 = = 0.75cm2
As TRACCION 42kn/cm2 x 0.9 x (35cm-3cm)
2 φ 10 = 1.57cm2
/ Determinación de As (tracción)
2 φ 20 f’s = fy A’s1 = A’s2
As(tracción) = 0.85f’c x kamax x bw x d + A’s1
fy
As = 0.85 x 2,5kn/cm2 x 0.319 x 12cm x 35cm + 0.75 cm2
42kn/cm2
As = 6.78cm2 + 0.75 cm2
2 φ 20 + 1 φ 16
As = 7.53cm2
6.28cm2 + 2.01cm2 = 8.29cm2

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Tema: Flexión en vigas

Teórica Nº7-8 / 2019 Estructuras 2 /

Según sus apoyos y la continuidad pueden ser Viga / isostática

El hormigón armado es un material esencialmente monolítico, los distintos

M Viga (rectangular): Cuando la losa no colabora con la

Cuando la losa colabora con la viga

Viga con ala en L Viga con alas en T

Aumento del área comprimida

b b b Aumento de la resultante “C” de todas las tensiones de

Aumento del par reactivo Mr = C . z

Aumento de la capacidad portante de la viga

q (Kg/m) q (Kg/m) q (Kg/m)

Viga con alas Viga Viga rectangular Viga con

be izq be der be izq

De las tres expresiones se emplea la que de el “ b “ menor bf = 0,60 x b

Las tensiones de comprensión se encuentra Ya no podemos considerar la viga como si fuese

/ Verificar de la sección de Hº ⁄ f’c= resistencia especificada del Hº

/ ka > kamax No verifica la sección de hormigón Redimensionar la

/ Determinar la Armadura resistente ⁄ fy= tensión de fluencia especificada

La fuerza que toman la placa: El momento a equilibrar con el Hº del nervio:

As = Asf + Asw As ≥ Asmin= kamin x bw x d

1. Predimensionado: Adoptar una sección que luego se va a verificar

Determinar las acciones gravitatorias que

3. Trasmisión de cargas Cálculo de Reacciones

4. Determinación de esfuerzos: Cálculo de Momentos

6. Esquema de armado Dibujar plano de armaduras

C6 V4= 15 X 40 C7 C8 C6 2.50 3.50 C1

Mu = qu x l2 = 21,70 KN/m x (3.4 m)2 =

V7 Viga L b= 340 cm = 28cm

/ Verificación de la sección de hormigón / V3

/ Verificación ubicación del eje neutro / V3

Posición del Eje Neutro a = ka x d

a = 0,050 x 35cm = 1,75 cm < hf = 14cm CASO 1 /

/ Elección ø y esq. Armaduras / V3

/ viga 6 y 7: 15 x 40 viga hiperestática dos tramos

/ Resolución hiperestático vigas 6 y 7: 15 x 40

3.40 2.80 Vu2= 5129Kg Vu4= 5262Kg

/ Momento máximo viga 6 MA=4198Kgm

Mmax V2= 3749Kgm= 37.49KNm

L2 be ala ≤ dist.libre / 2 be izq = 265cm / 2 = 132.5cm

V8= 15 X 40 15cm 265cm 15cm

MA=4198Kgm Ancho efectivo b b ≤L/4 b ≤ L / 12

/ Verificación ubicación del eje neutro

/ Determinación de la Armadura resistente

0,85 x 2,5 kN/cm2 x 0,038 x 20cm x 35cm = 1.35 cm2

0,85 x 2,5 kN/cm2 x 0,066 x 15cm x 35cm

/ Verificación ubicación del eje neutro

/ Determinación de la Armadura resistente

0,85 x 2,5 kN/cm2 x 0,038 x 87cm x 35cm = 5.85 cm2

0,85 x 2,5 kN/cm2 x 0,066 x 15cm x 35cm

/ Verificación de la sección de hormigón

/ Verificación ubicación del eje neutro

/ Determinación de la Armadura resistente

0,85 x 2,5 kN/cm2 x 0,130 x 15cm x 35cm = 3.45 cm2

/ Determinación de la Armadura resistente

Viga 6 1.75 cm2 2 φ 12 = 2.26 cm2

2 ∅12 2 ∅16 1 ∅16

Roturas en hormigón armado