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Clase Semana 5 Estadistica
Clase Semana 5 Estadistica
Clase Semana 5 Estadistica
Una variable aleatoria X es una función que asigna un número real a cada resultado en el
espacio muestral S de un experimento aleatorio. El conjunto de los posibles valores de la
variable aleatoria X se denomina rango.
Una función real F(x), definida sobre todo (−∞ , ∞ ), no decreciente, continua por la derecha y
que satisface F (−∞ ) =0 y F ( ∞ ) =1 se denomina función de distribución.
Sea X una variable aleatoria, definida sobre un espacio muestral. Se define una función
puntual F(x) sobre (−∞ , ∞ ) mediante la relación
F ( x )=P( X ≤ x)
Esta función F(x) se denomina la función de distribución de la variable aleatoria X.
Teorema
Si F(x) es función de distribución de una variable aleatoria X entonces es una función de
distribución según la definición del segundo párrafo.
Sea X una variable aleatoria con función de distribución F(x). Se dice que X es una variable
aleatoria continua si existe una función f(x) tal que para cada número real x se satisface
x
F ( x )= ∫ f ( t ) dt
−∞
Esta función f(x) se denomina función de densidad de la variable aleatoria X.
∫ f ( x ) dx=1
−∞
Inversamente, cualquier función f(x) que satisfaga las dos propiedades anteriores y sea
integrable, es la función de densidad de alguna variable aleatoria continua X.
x
En resumen: F ( x )=P ( X ≤ x ) =∫ f ( t ) dt
−∞
El cálculo de la probabilidad de que la variable aleatoria X adopte un valor entre los números
reales a y b se reduce a efectuar
b
P ( a ≤ X ≤ b )=∫ f ( x ) dx
a
Como consecuencia, para una variable aleatoria continua cualquiera X se tiene que
P ( a ≤ X ≤ b )=P ( a< X ≤ b ) =P ( a≤ X < b )=P ( a< X <b )
f2(x)
f3(x)
f1(x) f4(x)
x1 x2 x3 X
{
f 1 ( x ) si−∞< x ≤ x 1
f ( x )= f 2 ( x ) si x 1< x ≤ x 2
f 3 ( x ) si x 2< x ≤ x 3
f 4 ( x ) si x3 < x ≤ ∞
Entonces la función de distribución acumulada F(x) se construye mediante la integración
F ( x )=¿
Esperanza
1. E(X + Y) = E(X) + E(Y)
2. E(aX) = aE(X)
3. E(a) = a
Por lo tanto de los puntos 1, 2 y 3 se tiene que E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c, es decir, la
esperanza es lineal con respecto a las variables aleatorias.
Varianza
1. V(aX) = a2 V(X)
2. V(a) = 0
Por lo tanto de los puntos 1 y 2 se tiene que V( aX + b) = a2V(X). Como consecuencia se tiene
P (a ≤ X ≤ b) ≈ P
B ( a−np−0.5
√ npq
≤Z ≤
√ npq )
b−np+ 0.5