Fonaments Físics de l’Enginyeria 1r EI

Tema 1. Introducció 1.1

Anàlisi dimensional

1. Una pilota llençada horitzontalment des d'una altura H amb velocitat v recorre una
distància horitzontal total R. (a) És d'esperar que R augmenti o decreixi en disminuir H? I
en augmentar v? (b) Mitjançant anàlisis dimensional, esbrineu una possible dependència
de R amb H, v i g.

H
Sol.: (a) R augmenta quan H i v creixen, (b) R ∝ v
g

2. Una massa m es troba enganxada a una molla de pes menyspreable i constant elàstica k.
Es comprimeix la molla i després es deixa anar sobtadament. La massa es posa a oscil·lar
al voltant de la seva posició d'equilibri (suposeu que no existeix fregament). Trobeu a
partir de l'anàlisi dimensional, la dependència del període T de l'oscil·lació, en funció dels
paràmetres del sistema m, k i g.

m
Sol.: T ∝
k

3. Un objecte lligat a l'extrem d'una corda es mou tot descrivint un cercle. La força feta per
la corda depèn de la massa de l'objecte, de la seva velocitat i del radi del cercle. Quina
combinació d'aquestes variables té les dimensions correctes (MLT-2) d’una força?

v2
Sol.: F ∝ m
r

4. La tercera llei de Kepler relaciona el període d'un planeta amb el radi r de la seva òrbita,
la constant G de la llei de Newton de la gravitació ( F = Gm1m2 r 2 ) i la massa del Sol ms.
Quina combinació d'aquest factors te les dimensions correctes del període d'un planeta?

r3
Sol.: T ∝
G ⋅ ms

5. Un projectil llençat amb una inclinació de 45° recorre una distància total R, anomenada
abast, que només depèn de la velocitat inicial v i de l'acceleració de la gravetat g
(dimensions LT-2). Mitjançant anàlisis dimensional, esbrineu com R depèn de la velocitat
i de g.

v2
Sol.: R ∝
g
 Fonaments Físics de l’Enginyeria 1r EI
Tema 1. Introducció 1.2

Lleis de Newton

6. En la figura següent els objectes es troben subjectats per dinamòmetres calibrats en

newtons. Doneu les lectures dels dinamòmetres en cada cas, suposant les cordes sense
massa i el pla inclinat sense fricció.

Sol.: a) 98,1 N, b) 98,1 N, c) 49,05 N, d) 49,05 N.

7. Una caixa es manté en una posició determinada sobre un pla

inclinat sense fricció gràcies a un cable. (a) si θ=60º i m=50 kg,
calculeu la tensió en el cable i la força normal exercida pel pla
inclinat. (b) trobeu la tensió com a funció de θ i m, i comproveu el
resultat per θ=0º i θ=90º.

Sol.: a) T= 424 N, N=245 N; b) T = mgsinθ .

8. Un cos es deixa anar des de dalt d'una rampa de 37º d'inclinació. Calculeu la velocitat que
té a l'instant en què ja ha recorregut el primer metre. Considereu negligible la fricció.

Sol.: 3,4 m/s.

9. Determineu l'acceleració del conjunt i la tensió de la corda en

funció de la massa dels blocs. Podeu negligir els efectes de fricció
entre els cossos.

Sol: a = m1 g ; T = m1 m2 g
+
m1 m2 m1 + m2

10. El cilindre de la figura té una massa de 25 Kg i es

recolza sobre un carretó sotmès a una acceleració de 2g
en el sentit ascendent de la rampa que forma un angle de
151 amb l’horitzontal. Avalueu les reaccions en A i B.

Sol: NA= 574 N, NB = 385 N.

 Fonaments Físics de l’Enginyeria 1r EI
Tema 1. Introducció 1.3

Forces de Fricció

11. Sobre un terra horitzontal es dispara un cos amb una velocitat de 6 m/s. Si el coeficient de
fricció entre el cos i el terra és de 0,20, calculeu el temps que triga en parar-se.

Sol.: 3s.

12. Sobre un cos de 20 kg s'exerceix, mitjançant una corda, una força de 100 N, la direcció de
la qual forma un angle de 37º amb l'horitzontal. Calculeu la força de fricció i l'acceleració
amb la qual s'arrossega el cos si el coeficient de fricció és de 0,20.

Sol.: 27,2 N, 2,6 m/s2.

13. El coeficient de fregament estàtic entre la plataforma del

camió i la caixa que transporta és de 0,3. Determineu la
distància mínima de frenat s que pot recórrer el camió
sense que la caixa rellisqui cap endavant si la velocitat del
camió abans de començar a frenar es de 72,4 km/h. Suposeu que la desacceleració és
constant durant tot el temps que triga en aturar-se.

Sol: s = 68,7 m.

14. Si el coeficient de fregament estàtic entre la plataforma i la càrrega del camió del
problema anterior es de 0,3, avalueu la velocitat màxima que pot assolir el camió sense
que la càrrega rellisqui cap enrera en un recorregut de 45 m, si inicialment està aturat i
puja per un pendent del 10%.

Sol: 13,13 m/s.

15. La carrega del camió pesa 750 Kp. En engegar el camió, amb
una acceleració constant, la caixa rellisca cap avall una
distància de 3 m en el mateix temps que el camió a assolit una
velocitat de 40 km/h i ha recorregut 15 m al llarg del pendent.
Determineu el coeficient de fricció entre la caixa i la
plataforma.

Sol: µD = 0,38.

16. Dos cossos, lligats per una corda de massa menyspreable que
passa per una politja sense frec, descansen sobre els plans
inclinats, essent els coeficients de frec a dreta i esquerra de
0,2 i 0,1 respectivament (vegeu la figura). En quin sentit es
mourà el sistema? Quina serà l’acceleració del sistema? Quan
valdrà la tensió?

Sol: Cap a l’esquerra. 0,075 m/s2. 477 N.

 Fonaments Físics de l’Enginyeria 1r EI
Tema 1. Introducció 1.4

17. Un cos de 20 kg es troba sobre un pla inclinat de 37º, amb un coeficient de fricció de
0,20. Sobre aquest cos exercim una força horitzontal de 300 N i el fem pujar per la rampa.
Calculeu el temps que tarda en recórrer 3 m des que comença a pujar.

Sol.: 1,5 s.

18. Demostreu que el mòdul de la màxima força que podem

aplicar sobre el bloc B de la figura sense que aquest llisqui
és:
 m 
F max = µ E m g  1 + 
 M 
On m es la massa del bloc B i M la massa del bloc C. Podeu
negligir la forca de fricció entre el bloc C i el terra.

19. Determineu l’expressió del valor mínim que pot assolir la força
horitzontal F de manera que el bloc B no llisqui cap avall. La
massa del carro (bloc C) és M, la massa del bloc B és m, i el
coeficient de fricció estàtica entre els blocs és µE.

mg m
Sol: F min =  1+ 
µE  M
20. Trobeu totes les forces de contacte entre els cossos i
l'acceleració que actua sobre els cossos de la figura. El
coeficient de frec és 0,3 i m1= 3 m2, m2=1,5 m3 i m3=10 kg.

Sol : 250 N, 100 N; a= 7,06 m/s2.

21. Donat el sistema de la figura, on només existeix fregament entre la

massa de 2 kg i la massa de 3kg amb un coeficient de fricció
dinàmic de 0,3; (a) Dibuixeu el diagrama de sòlid lliure per a cada
bloc; (b) determineu l'acceleració del sistema i (c) Trobeu la tensió
de les cordes.

Sol: 5,75 m/s2; T2 = 17,4 N , T1 = 40,5 N.

22. El bloc B descansa sobre el bloc A, tal i com s'indica a la

figura adjunta. El coeficient de fricció entre els dos blocs és de
1/4 i entre el bloc A i el terra és de 1/3. El bloc A té una massa
de 30 kg i el B de 20 kg. Quina força seria necessària per
iniciar el moviment.

Sol : F = 225,21 N.
 Fonaments Físics de l’Enginyeria 1r EI
Tema 1. Introducció 1.5

Treball i energia

23. Calculeu el treball que realitzem amb una maleta de 15 kg: (a) l'aguantem 5 minuts
esperant l'autobús, (b) correm darrera l'autobús una distància horitzontal de 10 m en 2
segons, a velocitat constant, (c) l'aixequem 1 m verticalment, a velocitat constant.

Sol.: a) 0; b) 0; c) 147 J.

24. Sobre un cos de 20 kg situat en un pla horitzontal actua una força de 200 N, que forma un
angle de 37º amb l'horitzontal. El coeficient de fricció entre el cos i el pla es 0,1. Calculeu
el treball realitzat per la força aplicada, per la gravetat i el desenvolupat per la força de
fricció en traslladar l'objecte 5 m pel pla.

Sol.: 800 J, 0 J i -38 J.

Potència.

25. El motor d'una bomba d'aigua pot desenvolupar una potència de 1000 W. Si el canvi
d'energia cinètica és negligible quants quilograms d'aigua pot pujar per segon des d'un
pou de 20 m de profunditat?

Sol.: 5,10 kg.

26. Avalueu la potència mitja desenvolupada per un Seat Ibiza 1.6i per accelerar de 0 a 100
Km/h en 10,8 s si la seva massa és de 1000 Kg.

Sol: 49 Cv.

Energia Potencial

27. Calcula el treball que fa el camp gravitatori quan movem

la carreta des del punt A fins el punt B quan:
(a) Portem la vagoneta fins al muntacàrregues situat a C i
després la pugem fins el punt B.
(b) Pugem la vagoneta passant per la rampa.

Sol: W =-mgh; W =-mgh.

28. Quin treball ha de realitzar una bomba per pujar 100 kg d'aigua des del fons d'un pou de
300 m fins a la superfície a velocitat constant?

Sol.: 294000 J.
 Fonaments Físics de l’Enginyeria 1r EI
Tema 1. Introducció 1.6

29. La escala mecànica d’uns grans magatzems s’ha dissenyat de manera que pugui traslladar
100 persones per minut des de una planta a la superior que es troba 6 m per sobre. Si el
pes mitjà de les persones és de 68 Kg i el 30 % de la potència es perd per culpa del
fregament, calculeu la potència que cal que subministri el motor.

Sol: 9520 W.

30. La llum solar arriba a una superfície horitzontal a un ritme de 200 W per metre quadrat
d'àrea. Aquest valor es el resultat de la mitjana realitzada sobre dies i nits, estacions de
l'any i dies núvols i clars. Suposeu que el 10% d'aquesta energia solar es pogués convertir
en energia elèctrica, quina àrea es necessitaria per substituir una gran central nuclear que
produeix 109 W?

Sol.: 50 km2.

31. Els salts d'aigua del riu Niàgara a Canadà, fan aproximadament de 50 m d'alçada i 800 m
d'amplada. L'aigua es mou a una velocitat de 10 m/s i tenen una profunditat de 1 m en el
moment de caure. a) Quin volum d'aigua cau per cada segon? b) Quin es la pèrdua
d'energia potencial d'aquest volum d'aigua en caure? c) Si aquesta energia es convertís
directament en energia elèctrica, quina potència es produiria? d) La capacitat total de
producció d'energia elèctrica dels Estats Units és aproximadament 5 1011 W, quin
percentatge d'aquesta energia es podria produir si s'aprofités el 80 % de l'energia dels
salts d'aigua del Niàgara?

Sol.: a) 8000 m3; b) 3,92 109 J; c) 3,92 109 W; d) 0,63 %.

32. En una erupció volcànica són expulsats 4 km3 de muntanya amb una densitat de 1600
kg/m3 a una alçada de 500 m, a) quina energia s'ha alliberat en l'erupció? b) L'energia
alliberada per les bombes es mesura en megatones de TNT on una megatona de TNT
equival a 4,2 1015 J. Expresseu el resultat anterior en megatones de TNT.

Sol.: a) 3,14 1016 J; b) 7,47 megatones de TNT.

33. Un dipòsit té un volum de 107 m3. Si l'aigua del dipòsit cau des d'una alçada mitjana de
30 m i si el 80 % de l'energia potencial perduda per l'aigua es transforma en energia
elèctrica mitjançant turbines, quina energia elèctrica es produeix? (densitat de l'aigua
1000 kg/m3)

Sol.: 2,354 1012 J.

 Fonaments Físics de l’Enginyeria 1r EI
Tema 1. Introducció 1.7

Energia mecànica

34. Amb quina velocitat surt un objecte de 4 Kg d’una molla de constant 400 N/m, si
inicialment l’objecte estava en repòs amb contacte amb la molla que es troba comprimida
5 cm. Tot el moviment es desenvolupa en el pla horitzontal.

Sol: v = 0,5 m/s.

35. Un cos de 20 kg de massa es llança per un pla inclinat 37º, amb una velocitat de 20 m/s.
Calculeu la distància que recorre fins que es para: a) si es negligeix la fricció, b)
considerant que el coeficient de fricció entre el cos i el terra és 0,2.

Sol.: a) 34 m; b) 26,8 m.

36. Ajuntem dos blocs mitjançant una corda fina que passa per una
politja (vegeu la figura). Inicialment els mantenim aturats, i
quan els alliberem es posen en moviment. (a) Comproveu que la
suma del treball fet per la corda sobre ambdós blocs és zero. (b)
Utilitzant el teorema de conservació de l'energia, avalueu el
mòdul de la velocitat comú d'ambdós blocs a l'instant que la
massa m1 ha baixat una alçada h. Expresseu el resultat en funció
de m1, m2, g i h. Negligiu el fregament.

 
Sol : v = 2 g h  m1 
 m1 + m2 

37. El pèndol de la figura està constituït per un fil de longitud L i

massa menyspreable del qual penja una bola de massa m. Si
inicialment està en repòs formant un angle θ0 amb la vertical,
avalueu la seva velocitat quan passa pel punt A i la màxima alçada
que assolirà al costat dret del punt A.

Sol: v A = 2 g L (1 − cos θ 0 ) ; h max = L (1 − cos θ 0 )

38. El bloc de massa m de la figura es troba inicialment al

punt A aturat amb contacte amb la molla de constant
elàstica K, que està comprimida una llargada L (xA=-L).
Quan es deixa anar el bloc puja per la rampa fins una
alçada màxima h. Avalueu L en funció de l’alçada h.
Avalueu la velocitat de la massa quan passa pel punt B
(x=0) en funció de l’alçada h. La posició d’equilibri de
la molla es troba a x=0.

2m g h
Sol: L = ; vB = 2 g h
K
 Fonaments Físics de l’Enginyeria 1r EI
Tema 1. Introducció 1.8

39. Calculeu la velocitat amb la que arriba al final del pla

inclinat la massa de 40 kg representada a la figura, si
inicialment la massa està aturada a la part mes alta del pla (4
m), i el pla forma un angle de 30º amb l’horitzontal. El
coeficient de frec dinàmic entre la superfície del pla i el bloc
és de 0,2.

Sol: v = 7,16 m/s.

40. Es deixa caure un bloc de massa 0,73 kg al llarg d’un pla

inclinat de 5m de longitud i sense fricció. Al final de la
rampa hi ha una molla de constant k = 1200 N/m. (a)
Avalueu la compressió de la molla quan la massa es troba
a baix i aturada. (b) Quina magnitud té la velocitat quan la
massa contacte amb la molla?

Sol. 0,19 m; 7,7 m/s.

41. Repetiu el problema anterior, però suposant que hi ha frec entre el pla inclinat i la massa,
suposeu que el coeficient de fricció dinàmic és µD = 0,1.

Sol: 0,18 m; 7,14 m/s.

42. Un bomber de 60 kg llisca a través d'una barra, la força de fricció dinàmica és constant i
val 300 N. Al final de la barra, per tal d'esmorteir el cop es troba una plataforma
horitzontal de 20 kg recolzada sobre el terra mitjançant una molla de constant 2500 N/m.
Si el bomber baixa 5 m abans de tocar la plataforma horitzontal, i suposant que
inicialment la seva velocitat és zero, calculeu: (a) la velocitat del bomber just abans del
xoc amb la plataforma, (b) la distància màxima que es comprimeix la molla.

Sol: 6,93 m/s; 1,14 m.

43. Dues forces iguals actuen sobre dos cossos de masses diferents (1kg i 1g respectivament)
i que inicialment es troben aturats. Si el temps que actuen ambdues forces es el mateix
avalueu: (a) la relació entre les velocitats d’ambdues masses, (b) la relació entre l’energia
cinètica d'ambdues masses.

Sol: a) v2/v1 = 1000; b) Ec2/Ec1 = 1000.

44. La esfera de la figura surt inicialment de la posició A amb una

velocitat inicial de 1,82 m/s, oscil·lant en el pla vertical. A la
posició més baixa el cordill xoca amb una barra fixa B i l'esfera
continua oscil·lant, segons s'indica la trajectòria puntejada,
calculeu la velocitat de la bola al punt C.

Sol: 2,5 m/s.

 Fonaments Físics de l’Enginyeria 1r EI
Tema 1. Introducció 1.9

45. Un pes de 1 kg es troba inicialment aturar i comprimint una molla

vertical. La molla té una constant de 60 N/m. Si comprimim una
distància de 45 cm respecta la posició d’equilibri inicial, calculeu la
màxima altura que assolirà el pes pel damunt de la posició
d’equilibri. Quina és la velocitat màxima que assolirà el pes.

Sol: h = 45 cm; v = 3,48 m/s.

46. Un petit vehicle experimental que es mou mitjançant un motor de

reacció i amb una massa de 100 kg, i inicialment aturat al punt A
es mou amb un fregament negligible al llarg de la pista vertical,
tal i com es veu a la figura. Si el motor exerceix una força
constant de 1780 N entre els punts A i B (es talla l’aixeta de
combustible en el punt B) calculeu la distància s que recorre
abans d’aturar-se. Podeu negligir tant els efectes de fricció com la
pèrdua de massa deguda al motor de reacció.

Sol: s = 147 m.

47. Un esquiador inicialment aturat al punt A, llisca fins el punt B amb

un fregament negligible. En el punt B salta i terrissa sobre el
pendent de la muntanya que és de 45º. Calculeu la distància
màxima s que pot assolir l’esquiador si negligiu el fregament amb
l’aire.

Sol: 88,5 m.

Problemes de elevada dificultat

48. Una partícula de massa m es deixa anar en la posició inicial indicada a la

figura. La corda té una constant de recuperació unitària K, que és la raó entre
la força de tensió de la corda i l’estirament unitari o deformació (allargament
dividit per longitud inicial). Avalueu l’expressió de la velocitat de sortida en
la posició inicial (x=0), suposant que la velocitat inicial és zero.

2K
Sol : v = ( b2 + x 2 - b )
mb

49. La cadena de la figura es deixa anar a partir d’una velocitat inicial nul·la, i amb una part
de longitud b penjant. Calculeu la velocitat v de la cadena quan el darrer anella abandona
la cantonada. Negligiu els efectes de fricció.
 2

Sol: v = g L  1 - b 2 
 L 
 Fonaments Físics de l’Enginyeria 1r EI
Tema 1. Introducció 1.10

50. Repetiu el problema anterior però en el cas de que existeixi fregament entre la cadena i la
superfície horitzontal amb un coeficient de frec µD.

  b
2
 b
2

Sol: v = g L - µ D 1 −  +  1 - 2 
  L  L 

51. El Piu, del pistó vertical de 2,3 Kg, ocupa la posició ratllada quan es
troba en equilibri sota l’acció de la molla de constant elàstica k = 17,5
N/cm. Els extrems de la molla estan soldats a la part superior del pistó
i a la placa base. Aixequem el pistó 3,8 cm pel damunt de la seva
posició d’equilibri, i després es deixa anar amb una velocitat inicial
nul·la. Calculeu la velocitat v del pistó quan colpegi el botó A. Podeu
negligir els efectes de fregament.

Sol. v = 1,035 m/s.

52. El collar lliscant de 2,5 Kg de massa (indicat com C a la figura) està

soldat a una molla i es mou des de A fins a B al llarg de la barra fixa.
Si el collar C té una velocitat de 1,8 m/s quan es troba al punt A i una
velocitat de 2,4 m/s quan es troba al punt B, calculeu l’energia
perduda degut a la fricció del collar amb la barra. La molla té una
constant de 30 N/m i una longitud natural de 0,9 m. Trobeu també la
força de fregament promig Fm entre la barra i el collar en el trajecte
de A a B.

Sol: WFm = 8,715 J; Fm = 5.0 N.

53. Els dos objectes de la figura A i B tenen la mateixa massa m. Aquest

objectes estan connectats mitjançant unes varetes pivotades de pes
menyspreable. Si es deixa anar l’objecte A amb velocitat inicial nul·la des
de la posició indicada a la figura, calculeu la seva velocitat vA en passar
per la línia vertical central. Podeu negligir tots els efectes de fregament.

Sol: vA = 2,32 m/s.

54. Es deixa anar des de la posició A un cursor de 200 g de massa. La

velocitat inicial és zero, i llisca cap avall sense frec. Determineu la
reacció N de la guia quan el cursor passa pel punt B.

Sol: 11,53 N.
 Fonaments Físics de l’Enginyeria 1r EI
Tema 1. Introducció 1.11

55. La cinta transportadora superior de la figura descarrega

petits blocs metàl·lics a la rampa amb una velocitat de
27 m/min. Si el coeficient de fregament entre els blocs i
la rampa és de 0,3, determineu l’angle θ que ha de
formar la rampa amb l’horitzontal de manera que es
transfereixin els blocs, sense relliscar, a la cinta
transportadora inferior que es mou amb una velocitat de 9 m/min.

Sol: θ = 16,63º.

56. L’anell A pesa 6,8 Kg i llisca amb un fregament negligible per la

barra vertical. Mitjançant la força constant F = 222,4 N aplicada a
través d’una corda fem pujar l’anell cap amunt. La velocitat inicial
de l’anell al punt A és zero. Calculeu la constant k de la molla si la
molla pateix una compressió màxima de 7,7 cm. Negligiu els efectes
de frec.

Sol: 12100 N/m.