El documento describe la teoría de flexión pura de vigas. Explica que una viga sometida solo a momentos iguales y opuestos en sus extremos experimenta flexión pura sin fuerzas cortantes. Desarrolla la teoría para hallar la distribución de esfuerzos y deformaciones, introduciendo conceptos como la superficie neutra y el eje neutro.
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El documento describe la teoría de flexión pura de vigas. Explica que una viga sometida solo a momentos iguales y opuestos en sus extremos experimenta flexión pura sin fuerzas cortantes. Desarrolla la teoría para hallar la distribución de esfuerzos y deformaciones, introduciendo conceptos como la superficie neutra y el eje neutro.
El documento describe la teoría de flexión pura de vigas. Explica que una viga sometida solo a momentos iguales y opuestos en sus extremos experimenta flexión pura sin fuerzas cortantes. Desarrolla la teoría para hallar la distribución de esfuerzos y deformaciones, introduciendo conceptos como la superficie neutra y el eje neutro.
El documento describe la teoría de flexión pura de vigas. Explica que una viga sometida solo a momentos iguales y opuestos en sus extremos experimenta flexión pura sin fuerzas cortantes. Desarrolla la teoría para hallar la distribución de esfuerzos y deformaciones, introduciendo conceptos como la superficie neutra y el eje neutro.
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FLEXIÓN PURA
Elementos sometidos a flexión:
https://gruasymaniobrasperu.com/proyectos/izaje-de-vigas-metro-linea-1/ Galileo Galilei (1564-1642) fue uno de los primeros científicos en estudiar la flexión de vigas
3 http://civil.lindahall.org/images/galileo_fullpage_450.jpg En esta clase desarrollaremos la teoría de flexión pura de vigas Una barra recta, simétrica con respecto a un plano, a la que se aplican momentos iguales en sus extremos, está sometida a flexión pura.
No hay fuerzas cortantes.
4 Los ensayos de vigas en flexión pura son muy útiles para estudiar el comportamiento de elementos estructurales
5 http://www.scielo.br/img/revistas/riem/v6n3/08f05.jpg Los ensayos de vigas en flexión pura son muy útiles para estudiar el comportamiento de elementos estructurales
Universidad de Reikiavik - https://www.youtube.com/watch?v=thd01MjOTeA 6
Los ensayos de vigas en flexión pura son muy útiles para estudiar el comportamiento de elementos estructurales
https://www.youtube.com/watch?v=6ycbDCnoO8M 7 Aplicaremos los principios fundamentales de la mecánica para hallar la distribución de esfuerzos y deformaciones en una viga simétrica sometida a flexión pura
Consideremos la barra recta AB. Tiene un plano
de simetría. En los extremos A y B actúan momentos M y M’ positivos contenidos en el plano de simetría.
Cortamos la viga en C con un plano perpendicular
al eje en C y observamos que el DCL de AC es similar al de AB.
Además las fuerzas internas deben
ser estáticamente equivalentes al momento M en la sección C
8 Planteamos ecuaciones de equilibrio para AC
Asumimos sentido positivo para todos los esfuerzos en la sección C.
∑ =0 ∫ =0 No hay fuerza axial (pero genera M)
∑ =0 ∫τ =0 En realidad τ = 0 en cualquier punto
En realidad τ = 0 en cualquier punto
∑ =0 ∫τ =0 Las únicas ecuaciones interesantes (por ahora) son las que involucran a σx
∑ =0 ∫ =0 es quien genera M. No hay carga axial
No hay flexión con
∑ =0 ∫ =0 respecto al eje y
∑ = ∫ (− ) = positivo produce momento negativo
No podemos calcular en cualquier punto de la sección.
¡El problema es estáticamente indeterminado! 11 Es necesario plantear una ecuación de compatibilidad de deformaciones
Consideremos nuevamente la barra simétrica AB,
inicialmente recta, sometida a flexión pura, debida a momentos M y M’.
Como el momento flector M es igual en cualquier
sección, la deformación de la viga debe ser uniforme.
Cualquier segmento inicialmente recto y paralelo al
eje, se deformará en una línea con curvatura uniforme. Los segmentos paralelos al eje se deforman como arcos de círculo, y las secciones planas permanecen planas. 12 Seccionamos la viga en cubitos diferenciales y observamos su deformación.
Las secciones verticales se mantienen planas y convergen
en C. Las secciones horizontales forman superficies cilíndricas con centro en C.
Los planos verticales y horizontales se mantienen
perpendiculares. Por lo tanto γxz= γxy=0, y τxz= τxy=0. Además, en la superficie de la viga vemos que σy = σz = 0, y que γyz = 0. Entonces τyz=0. Asumimos que lo mismo ocurre al interior de la viga. Cada elemento diferencial está sometido a esfuerzo uniaxial σx.
13 Ahora podemos describir la geometría deformada de la viga en flexión pura
Todos los segmentos horizontales (fibras) de la viga
se deforman en arcos de círculo.
El segmento AB se acorta y A’B’ se alarga. Las
deformaciones εx serán negativas (compresión) en la parte superior y positivas (tracción) en la parte inferior.
Existirá entonces una superficie perpendicular al
plano de simetría para la cual las deformaciones son nulas. Esa es la superficie neutra (SN). 14 La SN intersecta al plano de simetría en un arco de círculo (DE) y corta a la sección transversal en una recta llamada eje neutro (EN).
Por conveniencia, ubicamos el origen de
coordenadas en el EN.
Llamamos ρ al radio de curvatura de la SN, y
del arco DE subtendido por el ángulo θ. Entonces, la longitud del arco DE es
= L es también la longitud sin deformar de la viga (el arco DE no cambia de longitud). 15 El arco DE no se deforma y su longitud es = Examinemos el segmento JK ubicado a una altura y sobre el EN. Su longitud inicial (sin deformación) es L
Después de la deformación, JK mide
′= − La deformación de JK es entonces "= ′− =− Y su deformación unitaria es " # = =− =−
O sea, cualquier fibra a una altura y sobre
el EN tendrá una deformación unitaria
# =− 16 Una ecuación de compatibilidad de deformaciones es entonces
# =−
La deformación de cualquier fibra varía linealmente
con su distancia al EN . La deformación máxima será, en valor absoluto:
% #$ =
donde c es la altura de la fibra más
alejada del EN. Entonces,
# =− # % $ ¡Todavía no conocemos ni ni # $ ! 17 Ahora consideramos las propiedades del material Si el material es (elático, uniforme e isotrópico), se cumple la ley de Hooke = &# Pero la deformación varía linealmente con la distancia al EN:
Por lo tanto, el esfuerzo normal también varía linealmente con la distancia al EN:
Donde $ es el esfuerzo máximo (en valor
absoluto) y ocurre en la fibra más alejada del EN (¡Todavía no conocemos $!) Ahora regresamos a las ecuaciones de equilibrio Sabemos que los esfuerzos normales en la sección varían linealmente con y: =− % $ La ecuación de equilibrio de fuerzas en x es: ∫ =0 O sea, − ∫ $ =0 % De donde, ∫ =0
Por lo tanto, el eje neutro pasa por el centroide de la sección (¡sólo para eup!) 19 Ahora regresamos a las ecuaciones de equilibrio Sabemos que los esfuerzos normales en la sección varían linealmente con y: =− % $ La ecuación de equilibrio de momentos en z es: = ∫ (− ) 2 O sea, =∫ $ 2 % $ = % ∫
Pero ∫ 2 =( Donde I es el momento de inercia de la
sección c/r al EN $ Entonces, = ( y finalmente, % % $ = ( 20 En una viga recta, de sección simétrica, hecha de un material eup, y sometida a flexión pura se cumple que: Las secciones planas se mantienen planas, y giran c/r al EN, que pasa por el centroide de la sección. El material está sometido únicamente a esfuerzos uniaxiales. Las deformaciones varían linealmente con la distancia al EN: # =− =− # $ % Los esfuerzos varían linealmente con la distancia al EN:
El esfuerzo normal máximo es 21
Hemos demostrado que % =− $ donde $ = % (
Por lo tanto, el esfuerzo en cualquier fibra es
=− ( También demostramos que # = −
Pero # = =− & &( Entonces, la curvatura de la viga es 1 =*= &( 22 Ahora podemos establecer expresiones para diseñar vigas sometidas a flexión
El esfuerzo máximo en una viga
sometida a flexión pura es % $ = ( Pero para una sección dada, I/c es una constante, llamada módulo de sección. Entonces, el esfuerzo es
$ = + El proceso de diseño para una viga sometida a un momento flector M consiste en escoger la sección con el mayor módulo de sección S de modo ℎ que $ < , $ += 6 23 24 25 26 ESFUERZOS NORMALES EN VIGAS (MATERIALES ELASTICOS LINEALES) LIMITACIONES:
El análisis presentado es solo para vigas prismáticas de materiales
homogéneos linealmente elástico.
La fórmula de flexión no es aplicable cerca a apoyos o cerca a una
carga concentrada debido a que se generan concentración de esfuerzos. FLEXIÓN DE ELEMENTOS HECHOS DE VARIOS MATERIALES Barra compuesta de dos porciones de diferentes materiales. La deformación normal ϵx todavía varía linealmente con la distancia y al eje neutro de la sección. No puede suponerse que el eje neutro pasa por el centroide de la sección compuesta
El objetivo es determinar la posición de dicho eje:
Los esfuerzos normales en cada material serán también diferentes Transformamos la sección
Llamando n la relación: E2/E1
Se ejercerá la misma fuerza dF2 sobre un elemento de
área n dA del primer material. σ1 es el esfuerzo en un punto situado en la porción superior de la sección transversal de la barra compuesta original
Se multiplicará por n el esfuerzo σ1 calculado en el punto correspondiente
de la sección transformada. Ejemplo 01: Transformamos la sección todo a latón: n=E acero/E latón
Modificamos el ancho del acero y luego ubicamos el E.N. Calculamos la inercia de la sección:
Ejemplo 02: Transformamos toda la sección a madera: n=E acero/E madera
Modificamos el ancho del acero y luego
ubicamos el E.N. Calculamos el momento de inercia:
Calculamos el máximo esfuerzo en la madera:
σ madera = 4.57 MPa (TRACCION)
Calculamos el máximo esfuerzo en el acero:
σ acero = 43.8 MPa (COMPRESIÓN)
Caso de elemento de concreto reforzado con acero: Se reemplaza el área As de las barras de acero por un área equivalente nAs , donde n es la razón Eacero/Econcreto.
La posición del eje
neutro se obtiene calculando la distancia x de la cara superior de la viga al centroide C de la sección transformada. Ejemplo 03: RESUMEN: TAREA: Todo lo ejercicios deben tener un procedimiento detallado. Una represa pequeña con altura h = 2.0 m está construida con vigas verticales de madera AB con espesor t = 120 mm, como se muestra en la figura. Considere que las vigas están simplemente apoyadas en su parte superior e inferior. Determine el esfuerzo de flexión máximo smáx en las vigas suponiendo que el peso específico del agua es g = 9.81 kN/m3. Una viga con sección T está apoyada y cargada como se muestra en la figura. La sección transversal tiene ancho b = 2 1/2 in, altura h = 3 in y espesor t = 3/8 in. Determine los esfuerzos máximos de tensión y compresión en la viga. Determine el máximo esfuerzo por flexión en la viga de acero de sección circular. La viga de madera mostrada en la figura soporta la cargas indicada en la figura. Determine el menor valor que puede tener b si el esfuerzo admisible es de 10MPa. La viga tiene una carga concentrada W y una carga distribuida 4W. Determine el máximo valor W que puede soportar la viga si el esfuerzo permisible en tensión es 60 MPa y el esfuerzo permisible en tracción es 100MPa.
