Tema 7

Definiciów
axiomática De IR

.
SUBCOWJUNtOS De IR B VALOR GBsoutO

1.- axiomática IR

DeFinición
De

Admitimos La existancia de on conjunto IR awyos alementos son Los mimaros reales

,
,
que tiene todas las propiedades qwe iremos enumerando como ax iomars
uy aue

se refilter t re s enstructurans preserters an IR ahws operacioners relación

a
by ura

:
dhe orcher
.
OPERECIONES t
IRXIR IR .

IRXIRTIR
:
:
-Y
Cxiy 1 xty Cxiy xvy

)-3
x
)
5
A CASOCiativiBaDJ Lxtig x ( FX
]+Z=
.Y,ZEIR
xy1Z=xLyz)
1
+Cgtz)
-
12 LCONINEQTiVDGDJ XTYFLSTX XYFYX FXIBIZEIR

- A CDRiStRiBUtiViDGBJ
Xhlytz = FXIBZEIR
XLytXZ
3
)
5 A Lelemento FEwtROJ JCEIR FXEIR C
}
:XTC=D
^*

=O
4
w
IVEIR F XEIR W
:XUIX
=M
* simétricos J x

+C-X)=hnotaciónb=x-X=0
emento topwest
-XEIR:
ABC
I x X =3 wotasiónL =
Y Inverso

=1-+
-YEIR:
.x-1
Paial La estruatura de orcher paitimos ale l existencia de wn
subsarjunto dhe IR IRt curyos
4
,
,
anementos som los mionaros positivos
.
-
LTRicotomia 3 SiXEIR =3 X XEIRT O
TAG.
-XEIRT
=O,
verisica - nimero demotamos IR
XEIRT
wuarchor sa que decimos ave x es on
regativo by por

al
cornjurnto de Los
negantivos IR Y ASe IRFIRTWIOBW IR
-=h-x:XEIRT
:
.
-
,
IRTOFIRTUROL IRO W
=IRi
2Ob
IRE 1201.
=IR
X A LEStGBiLiDaDJ XIBEIRT XYEIR
+
= xtu
7
Y
,
-
A CAXIONa DEDEKINB EOIZUNWO J IR
8
DE O DEL A B swtssomjuntos rnc wasios dhe tales
T
.
,
,
a VAEA WbEB Entoncas existe XEIR verificando que aEXED VaEd by FbEB
que uy
.
<b
.
,
,
Lo diciardo IR conmutativo oraherado rerifican eh axioman dak
resumimos que as won
werpo que
,
continuo
.
-
Retlaxiva XEx
+ Z
3 4 7 Z 4 1
E
Ly
.
X =

F IR totol
YEZE Z
=

AG * XEY X A
S
- 4
7*
.
XEY DEZ XZEIZ
=S
liere orden
Transitiva
Antisimetria YEX
=3
XED X
,
=y
-
total
Orchen xEY 0
X
34.
Para X L ZE IR
.
1
,
 Demostración Ae A
C
An AC AI

=3
:
.
6IA7
-As
,
-Ag
agC

=sAØ
= Demostramos que se cormplan las cat astaristicars che oicen total
Il
-
Raflaxiridad OEIRY POT 1 X Por dafinición x +
xx

-x30
x

:
.
-XEIRTo.
Gs,
-
Aartisimalitian :
XLD Y
T
Y

-x30
=

-XEIRT
Y
bEX daf x
+
x

-430
por

.
-BEIRTo
obseiwamos que - Cx =- 4= remos are - 1 que contracice

-43
o
x-y.
C,CERRto,
xty=L-x=-C,
T
tricotorian C
X

=-C=O
meros
se
que

=bz
,
- Transitividad XEY
X to
.
-ngElR
=3

bEZ por dat G

-ZEIRTo
4
obsetvese are Cag = - Terar nos casos

:
x+Z=Z-X.
-x3+4z-y)=y-X+Z-Y
Z
=3 =3
-Y=D
xEZ
X
o

4-
X=0
=b=Z
1

= XEZ
L
=3
1
z xay
-y70
o

yrxF
=Z
J
0
Z =3 =7 XEZ
-YF0
o

ly X
-4=0
n
Y
<z
=y
Z Y =
=3 -
Z
ly 1 Cny
-YEIR+
*
o
Z
4
Y
+1

-xEIRt
z-y)
-Y40
XEZ-T
EZ.
x3
-x40
-XEIR+
x
totaalidanc
.

4- =0 + y
X
=x
.
D
Y +
y
-x00
-XEIR+
yxx
EIR x
o
x
30
x
+
X
-Cuz-x)
3Y
-y
EI HXEIR XEIRT - x
XEIRT
XI Si
0
XIO se cumple Queca demostrat que si
.
40.
XEIRT OXEIR

Por to talidad dhe Ag cado DyX XEO OEX Como XFOTX OCX Esto
40
0 ers
0
.
.
,
1
,
XEIRT XEIR -
-
=3
O
XEIRT
AAC
=3AZ
III chaf
XEY B Y T
L
+Z-CX+ZJIO
Y I =3
+ZDX+Z.
=
-X+Z-ZEIRT
3
-XEIRT
Y
ZEIR

Para el producto distinganse dos casos

:
,
1 =3 Z L
-4 =3
=3 z
2
4-4=0
=3
Y Zg =3 7
y=X
1
.Z-1
=ZX.
x
=4
=X
Y
ly Zsug EIR Zy
-ZIEIRT
= =3
+
-XEIR+
Zy
= =3
-ZX30
Zly Zuzs zuz
s
3ZX=3
Y
-x)
,
21
Xazl
CEl lemal
xEy Por transitividad XEZ Si X
2Z
.
xz
.
,
pasi X <
Z MT
.
,
aplicar XTYEIRT
ZEYCZ RYEIRt YOOLY
IR
=3 se poede AAH X
IS XTYJYTOL
+CIR
,
2O
4
.
0 1=0.
Si XFOFY
=34-0 xyy x
-1X=02+x=0
2. =
XY
=0
Lema X -1=3
=0
-1-
Y
XYCRt Como XIEIR
xyt = 0 wet
O
xiy
44xxito
0y
=+
+.
2- CINFIMO MåXino Y Mnrimo UN CONJUNtO

SUPRENO
De

.
Dado wm
conjunto no vacio ACIR se dise que está
mayorado auando existe
LEIR tal

todo tal aecionos

que 43 a
para a fA En canso
que mayoraute
A as un de

.
.
esta arando adhmite
ousi
que A
mayoracho un
manorante

.
axiste
acimos que Aaste minorado avanda XEIR tal are xsa para
todko atA En

.
idecimos wn
minorante deA minorado adrite

,
tal caso que es asi ae Aesta wando

un minorante
.
Si A estc mayorado y minurado decimos are A esta ancotado

.
,
Decimos qve A tiene mciximo siexiste LEA tal are a Dara todko aEA Tadl a es

.
=x
único lama el maximo de A A Es evicente maxA el único
y se Crmax que es

).
mayorante are parterece a A
.
Decimos are A tiere minimo si existe BEA tal are B pata todo aEA Tal Bes

.
=a
órico se kama el manimo de A LmimA Es evidente ave minA as al único
y

).
minorante are perterece a A
.
De INFIMLO de IR
Lexistencia SUPREMO C Sea A wn
conjunto no vacio

:
).
li Si A esta mayorado el
conjunto formado por los mayorarters the A tiare
,
)
minimo Al minimo de Los manorantes da A se le lama Supremmo de A (
.
SupA)
el formado minorantes A
ciil Si Aastá minorado conjurto pot los de tiere
,
máximo A L máximo de Los minorantes de A se le Llama infino de A cinf A
.
).
bemostracion

A
sea wn
conjunto no vacio de reales
mayorado Sea B el
conjunto de Los
mayorantes
.
.
Pot definición a paia todo afA
b para todo bEB Por al axiona del continuo
<b
.
,
,
existe XEIR tal que GEXEb AsT xe s un
mayorante y
as mais chico aue el
.
resto che
mayoianters Ast X min
B A
=
.
.
=SWP
,
Sea A un
conjunto no racio de reales minorando El comjurto A será
.
=h-a:aEAb
on
conjunto mayorado Por tanto tiere supremo Sea al supiemo dhe A Esto
.
.
!.
,
-ZEIR
as - pata todo - PoT tarto er A existiran al opwasto dha -
a=-z
Z,Z:
AEA!.
,
sera
z el intino de A pues es la mais
ggrande de las cotars inferiores
.
Dedekind el axioma de Dedekind
Al
igual aue este teorema se deduce del anxiona dhe
,
también dechucitse de
puece este teorema

sear B IR takers a todo bEB

A
y conjuntos no vacios de
que para aEA uy
<b
.
claramente todo elemento de Bes mayorante de A Por tarto existe el supremo che
.
,
,
A AsT Jx MEXEb
:
.
.
,
2.1- entre Mexino Y SupreMo B MNino eENFEMO

relación
,
Sea A un conjunto no vacio de reales con maximo Asi max A a swn
mayorante de A

,
.
,
serci
pero como maxAEA todo
mayorante igual o
maygor are max A arsin que

,
,
SwBA max A b en patticulat SUPAEA Recipiocamente Si SUBAEA SupA e s wn
=
.
,
,
,
mayorante are perterace al conjurto A wego A tiene maximo
yy
de nwerw maxA

=SuBA.
,
,
ACIR minimo s
Ancilogamente no vacio tiere si
wy solo infAEA en
cuazo
c a rs o

,
,
,
2,
min A = A
irf
.
VAEA

{
a a FEEA X

3A
3.
<=>
a A L C
=
max
FEERRT 2-

=)
JGEA

=SUPA
A

:
at

Eca
{
BEA FaFA BEA FAEA

B minA
C

{ B
C

=>
=3
FEEIRT B
=
=infA
BEA JaEA

:
+ESa
3- arquimediana
PROPICDaD
TeoreMa Sea A un conjunto no vacio de nimeios arteios
':
:
Ci Si A asta
mayoracho A tiare máximo En particular IN no esta ranorado
.
3
.
.
,
cii Si A cota minotacho extonces A tiera minimo
)
,
Citi Si A está acotado ertonces A es finito
.
)
,
Bemostracio

Li Como
Como A está
mayorado A tiere supremo Sea Z Z no
:
-1
)
=SwPA.
,
de KEA Z
mangotante A =3 Para
es existe ZCKt GEA se tiene
:
-1CK
1.
,
,
entonces a Kt Camo a K son arteios aEK AsT QEZEK Como KEA
que uy
<za
1.
,
.
.
,
Z wego K
=Z=MAXA=SWPA
=K,
Como IN no tiene maxionw IN no estamayorado
( por el contrattecipioco wyan que
sN
.
,
de 7
es wn subconjorto no vacio
t.
esta mayorado el ahal XELR
swpongase que li Por tarto por aixioma
supremo existe
.
,
tal ave X A Es cacit X Pacia swalquier n natural
=SuP
.
3n
.
Por alafinición X no sera wn magorarte ces mas chico aue el supremo
).
,
-5
Asi JMEIN
X =3
XEntIC n SiNEIN =3 MHEN Por definición Asi
:
.
+1.
.
-EER
,
wisho mincho el
hemos que x no poade set un
magorante meros suBremo
,
D
tanto o
sn está
t
no
mayorado
.
.
,
Ciis Como A estai minorado JinfA Asi ZEa FaEA Como 71 in
m n o eo
rs r a n te
=Z.
.
,
,
Pero
BYEA =3 um YEZE
=3
Y Y y
es
entero yEa a como
-14ZEa.
Lomo
2Z+1
:
.
,
=3
minA inf A
YE uy Z =
1h
=
=
.
 ciii Si A osta acotado podemos tomat p y GFmax A Pata ve r are ers finito

=minA
.
,
)
haubici definit aplicacion f

:ATIN
que una

atta ya qre asp xQ a

-P2O-
-ptes1,
-p+131
Wwego a

-B+IEIN
Evidantemente f as
inyectiva by
as creciente Asi ANSLAY ry
barstarc ve r
que que

.
,
JUA as
firito Corno
f FaFA (4= fLAJED 9- -
)
1...1
.
[alG-P+1
Iar-ptR.
maxA),
"2197

P+1Y
fLP

)
AST A es firito ya que AWFCA by fLA EIG finitio

.
)
)
,
-B+1
3.1. Parte CnteRG De UN RECL

.
Dacko XEIR el corjurto YKET KEXS no es vacio pwers tomanrdo MEin tal gue

:
-xan,es
,
,
claio que - - perternece a dicho conjunto
enteros
Como a s subcorjurto de wn
y
n
nex
.
manorado tiene maximo are recibe el nombie de parte arteran de x iy se
,
",
,
demcita ECX AsE define La parte entera DeX
por pwers se por

:
).
,
ECX max bKEH
3:=
:KEXY
Es chao are ECXIETE ELXIEXCECX
)+
,
4.- VALOr ABSOWtO

EL valoor absoluto da un mimato real X e rs por dafiniaion al mimato real lxl ahaado

,
,
'

por

{ }
x si x
70
ixl : =
(
manx
si
x1-x7
- x < D
x
XEIR Ix
1=0
Es evidente IX twdo de hecho si swlo si x Taurrbien
130
are para b uy

=0.
,
,
,
,
ers clato que
:
-
x 1 szi = 3I x 1 = = Y I
x1 4 x
D
3
X

X
=
x1.
si X =4 Ix s e t xaD XalxI xEIx
2- Como =3
40
x.
por
X
4-X
=3
1
1
I
Si = = Ix Ix
x
1. XY - =
4
As i txl
y
x40.
x
1=1-x1
,
x
1=4
=-C-x3
x1=SX1.
si X - x = D = x I
=0
=3
0 Asi
I
,
.
x
=
I
-
1
=3
Sir X -370. Asi hx I I -31=1
40
=3
y
12-X
x).
4k-x
,
-
X xR = 1 x 2 )
Si 0 = 1 wirggo X = 141-141=14 Como X =3 Ix s
xx
I
x1=x30,
.X
R.
.4=x?xO
.XI=IxCKx2
x
C
.
AST Ix
?1=1xR
,
Si =3 I x Por costabilidaid ( x 30, 1 32 30
woego
= =
x = 4.
40
2
x)4-4)
12-430.
x21
,
X
C = 1 x Asi remos que 1
x1.-1x1=1x1
-x1L-4)
0.
x?1=lx1?.
,
-
IxyL
x
=Ix1lyI
3
Ix EZ C -
ZExE Z
=Y
1
-
lxty lEIx y
se da Lan igwaldad si uy solo si xy Ixllyl exto ars
xy O
=
3,
,
,
1+1yl
,
-4
11 FXIYEIR

X1-y1lEJx-Y1
4
11 E 141+1 FXIBEIR

x1-lylEIxIY)
y),
La interpretación geonrátitica dhe valor absoluto en La recta real ers
suwns sencilla Para XEIR Ix

1
.
,
chal
ers la
conggitod segmento da extremnos 0
4 4. Mhais alta para XSYEIR se define La

,
dristanncia da pon
x a
by

:
dexing =

ly-x1
)
Bropiecades daducen dal valot abssobuto
Lars
signianters se

:
Ci chLx 30
,y)
)
4=3
Liis chLxiy x
3=0
=y
Lrivi dlx 73
=
dLys x
)
)
,
Lir CC Z
E dLxiys tdluy 73 us se dan L igualdad wands ly X ewando
XEYEZ o
1
4,
4
)
,
-X3CZ-o)
0,
ZELyEX I wancs as un Bunto del
segmanto de extremos z y X
4

.
y