¿QUIEN ES ARQUÍMEDES?

Arquímedes fue un físico y matemático griego que realizó grandes progresos y fue considerado el
padre de la hidrostática. Viajar en barco, medir superficies… son algunos de sus descubrimientos
tras una vida dedicada a la investigación en la ciencia. Nació en la antigua Siracusa,su padre era
astrónomo y quien le contagió su pasión por la ciencia. A día de hoy, su muerte continua siendo un
misterio. Sin embargo, en algo que coinciden multitud de historiadores es que fue víctima de un
homicidio.

La muerte de Arquímedes

A lo largo de esta Master Class, Santiago García hace un repaso de las diferentes hipótesis que se
ciernen sobre la muerte del brillante matemático.

La leyenda más famosa tiene que ver, precisamente, con las matemáticas. Arquímedes estaba
dibujando circunferencias en plena investigación cuando de repente entró un soldado. «No
molestes a mis círculos» fueron las palabras que Arquímedes dedicó al soldado que no dudo en
matarlo.

El youtuber de RaizdePi destaca las tres frases estrellas que marcaron la historia de Arquímedes:
¡Eureka!, «Dame un punto de apoyo y moveré el mundo» y «no molestes a mis círculos». Es fácil
pensar que Arquímedes era un genio no solo por sus descubrimientos sino también por la
elocuencia de sus palabras.
ARQUÍMEDES

(Siracusa, actual Italia, h. 287 a.C. - id., 212 a.C.) Arquímedes de Siracusa un matemático griego. Los
grandes progresos de las matemáticas y la astronomía del helenismo son deudores, en buena
medida, de los avances científicos anteriores y del legado del saber oriental, pero también de las
nuevas oportunidades que brindaba el mundo helenístico. En los inicios de la época helenística se
sitúa Euclides, quien legó a la posteridad una prolífica obra de síntesis de los conocimientos de su
tiempo que afortunadamente se conservó casi íntegra y se convirtió en un referente casi
indispensable hasta la Edad Contemporánea.

Pero el más célebre y prestigioso matemático fue Arquímedes. Sus escritos, de los que se han
conservado una decena, son prueba elocuente del carácter polifacético de su saber científico. Hijo
del astrónomo Fidias, quien probablemente le introdujo en las matemáticas, aprendió de su padre
los elementos de aquella disciplina en la que estaba destinado a superar a todos los matemáticos
antiguos, hasta el punto de aparecer como prodigioso, "divino", incluso para los fundadores de la
ciencia moderna. Sus estudios se perfeccionaron en aquel gran centro de la cultura helenística que
era la Alejandría de los Tolomeos, en donde Arquímedes fue, hacia el año 243 a.C., discípulo del
astrónomo y matemático Conón de Samos, por el que siempre tuvo respeto y admiración.

Allí, después de aprender la no despreciable cultura matemática de la escuela (hacía poco que
había muerto el gran Euclides), estrechó relaciones de amistad con otros grandes matemáticos,
entre los cuales figuraba Eratóstenes, con el que mantuvo siempre correspondencia, incluso
después de su regreso a Sicilia. A Eratóstenes dedicó Arquímedes su Método, en el que expuso su
genial aplicación de la mecánica a la geometría, en la que «pesaba» imaginariamente áreas y
volúmenes desconocidos para determinar su valor. Regresó luego a Siracusa, donde se dedicó de
lleno al trabajo científico.

Al parecer, más tarde volvió a Egipto durante algún tiempo como "ingeniero" de Tolomeo, y diseñó
allí su primer gran invento, la "coclea", una especie de máquina que servía para elevar las aguas y
regar de este modo regiones a las que no llegaba la inundación del Nilo. Pero su actividad madura
de científico se desenvolvió por completo en Siracusa, donde gozaba del favor del tirano Hierón II.
Allí alternó inventos mecánicos con estudios de mecánica teórica y de altas matemáticas,
imprimiendo siempre en ellos su espíritu característico, maravillosa fusión de atrevimiento
intuitivo y de rigor metódico.

Sus inventos mecánicos son muchos, y más aún los que le atribuyó la leyenda (entre estos últimos
debemos rechazar el de los espejos ustorios, inmensos espejos con los que habría incendiado la
flota romana que sitiaba Siracusa); pero son históricas, además de la "coclea", numerosas
máquinas de guerra destinadas a la defensa militar de la ciudad, así como una "esfera", grande e
ingenioso planetario mecánico que, tras la toma de Siracusa, fue llevado a Roma como botín de
guerra, y allí lo vieron todavía Cicerón y quizás Ovidio.
La biografía de Arquímedes está más poblada de anécdotas sabrosas que de hechos como los
anteriormente relatados. En torno a él tejieron la trama de una figura legendaria primero sus
conciudadanos y los romanos, después los escritores antiguos y por último los árabes; ya Plutarco
atribuyó una «inteligencia sobrehumana» a este gran matemático e ingeniero.

La más divulgada de estas anécdotas la relata Vitruvio y se refiere al método que utilizó para
comprobar si existió fraude en la confección de una corona de oro encargada por Hierón II, tirano
de Siracusa y protector de Arquímedes, y quizás incluso pariente suyo. Se cuenta que el tirano,
sospechando que el joyero le había engañado poniendo plata en el interior de la corona, pidió a
Arquímedes que determinase los metales de que estaba compuesta sin romperla.

Arquímedes meditó largo tiempo en el difícil problema, hasta que un día, hallándose en un
establecimiento de baños, advirtió que el agua se desbordaba de la bañera a medida que se iba
introduciendo en ella. Esta observación le inspiró la idea que le permitió resolver la cuestión que le
planteó el tirano: si sumergía la corona en un recipiente lleno hasta el borde y medía el agua que
se desbordaba, conocería su volumen; luego podría comparar el volumen de la corona con el
volumen de un objeto de oro del mismo peso y comprobar si eran iguales. Se cuenta que,
impulsado por la alegría, Arquímedes corrió desnudo por las calles de Siracusa hacia su casa
gritando «Eureka! Eureka!», es decir, «¡Lo encontré! ¡Lo encontré!».

La idea de Arquímedes está reflejada en una de las proposiciones iniciales de su obra Sobre los
cuerpos flotantes, pionera de la hidrostática, que sería estudiada cuidadosamente por los
fundadores de la ciencia moderna, entre ellos Galileo. Corresponde al famoso principio de
Arquímedes (todo cuerpo sumergido en un líquido experimenta un empuje hacia arriba igual al
peso del volumen de agua que desaloja), y, como allí se explica, haciendo uso de él es posible
calcular la ley de una aleación, lo cual le permitió descubrir que el orfebre había cometido fraude.

Según otra anécdota famosa, recogida entre otros por Plutarco, Arquímedes se hallaba tan
entusiasmado por la potencia que conseguía obtener con sus máquinas, capaces de levantar
grandes pesos con esfuerzo relativamente pequeño, que aseguró al tirano que, si le daban un
punto de apoyo, conseguiría mover la Tierra; se cree que, exhortado por el rey a que pusiera en
práctica su aseveración, logró sin esfuerzo aparente, mediante un complicado sistema de poleas,
poner en movimiento un navío de tres mástiles con su carga.
Análoga concentración mental y abstracción en la meditación demuestra el episodio de su muerte.
Según se dice, los ingenios bélicos cuya paternidad le atribuye la tradición permitieron a Siracusa
resistir tres años el asedio romano, antes de caer en manos de las tropas de Marcelo. Mientras
saqueaban Siracusa los soldados de Marcelo, que al fin habían conseguido expugnar la ciudad, el
viejo matemático estaba meditando, olvidado de todo, en sus problemas de geometría.

Sorprendido por un soldado que le preguntó quién era, Arquímedes no le respondió, o, según otra
versión, le respondió irritado que no le molestara ni le estropeara los dibujos que había trazado en
la arena; y el soldado, encolerizado, lo mató. Marcelo se entristeció mucho al saberlo y mandó que
le levantaran un monumento, sacando su figura del tratado Sobre la esfera y del cilindro. Cicerón
reconoció por esta figura, muchos años más tarde, su tumba olvidada.

Esta pasión de Arquímedes por la erudición, que le causó la muerte, fue también la que, en vida, se
dice que hizo que se olvidara hasta de comer y que soliera entretenerse trazando dibujos
geométricos en las cenizas del hogar o incluso, al ungirse, en los aceites que cubrían su piel. Esta
imagen contrasta con la del inventor de máquinas de guerra de que hablan los historiadores
Polibio y Tito Livio; pero, como señala Plutarco, su interés por esa maquinaria estribó únicamente
en el hecho de que planteó su diseño como mero entretenimiento intelectual.

El esfuerzo de Arquímedes por convertir la estática en un cuerpo doctrinal riguroso es comparable

al realizado por Euclides con el mismo propósito respecto a la geometría. Tal esfuerzo se refleja de
modo especial en dos de sus libros; en el primero de ellos, Equilibrios planos, fundamentó la ley de
la palanca, deduciéndola a partir de un número reducido de postulados, y determinó el centro de
gravedad de paralelogramos, triángulos, trapecios y el de un segmento de parábola.

En la obra Sobre la esfera y el cilindro utilizó el método denominado de exhaustión, precedente del
cálculo integral, para determinar la superficie de una esfera y para establecer la relación entre una
esfera y el cilindro circunscrito en ella. Este último resultado pasó por ser su teorema favorito, que
por expreso deseo suyo se grabó sobre su tumba, hecho gracias al cual Cicerón pudo recuperar la
figura de Arquímedes cuando ésta había sido ya olvidada.
Aportes científicos de Arquímedes
El principio de Arquímedes y su ¡eureka!

El principio de Arquímedes es la ley base de la náutica por la que se afirma que todo cuerpo
sumergido en un líquido experimenta una fuerza hacia arriba equivalente al peso del volumen
desalojado.

Esta fuerza recibe el nombre de empuje hidrostático y se mide en Newtons. El empuje depende de
la densidad de fluido, del volumen del cuerpo y de la gravedad existente en ese lugar. El empuje
actúa verticalmente hacia arriba y está aplicado en el centro de gravedad del cuerpo.

Muchos creen que Arquímedes cuando descubrió el Principio de Arquímedes expresó su famoso
grito ¡eureka! que se ha convertido en una expresión muy reconocida en la ciencia. ¡Eureka! es una
celebración del descubrimiento y una metáfora de lograr aquello que se busca con mucho ahínco.

Santiago García, de RaizdePi, destaca esta famosa no surgió cuando descubrió el principio de
Arquímedes sino cuando desenmascaró al orfebre que estaba haciendo una corona de oro para el
rey Hierón II.

El rey Hierón II quería posee una corona de oro que reconociera todos sus logros y le encomendó
esta tarea a el orfebre. Este último se puso manos a la obra tratando de timar al rey realizando una
mezcla de oro y plata que simulará una corona de oro verdadera. Lo que no sabia el orfebre ,pero
si Arquímedes es que la densidad es igual a masa entre volumen. Por lo que cuando el orfebre
terminó su trabajo se dio cuenta de que el peso final de la corona no equivalía a la de una corona
hecha 100% con oro.

Método mecánico

Otro de los aportes más importantes de Arquímedes a la ciencia fue la inclusión de un método
puramente mecánico –es decir, técnico– en el razonamiento y argumentación de problemas
geométricos, lo cual significó una manera inédita de resolver este tipo de problemas.

En el contexto de Arquímedes se consideraba la geometría como una ciencia exclusivamente

teórica, y lo común era que de la matemática pura se descendiera hacia otras ciencias de índole
práctica en las que se pudieran aplicar sus principios.
Por tal motivo, hoy en día se le considera como el precursor de la mecánica como disciplina
científica.

En el escrito en el que el matemático expone el nuevo método a su amigo Eratóstenes, indica que
este permite abordar cuestiones de la matemática a través de la mecánica, y que en cierto modo
es más fácil construir la demostración de un teorema geométrico si ya se tiene algún conocimiento
práctico previo, que si no se tiene ninguna idea al respecto.

Este nuevo método de investigación elaborado por Arquímedes vendría a ser precursor de la etapa
informal del descubrimiento y formulación de hipótesis del moderno método científico.

Explicación de la ley de la palanca

Si bien la palanca es una máquina simple que fue utilizada desde tiempos muy anteriores a
Arquímedes, fue él quien formuló el principio que explica su funcionamiento en su tratado Sobre el
equilibrio de los planos.

En la formulación de esta ley, Arquímedes establece principios que describen los distintos
comportamientos de una palanca al situar dos cuerpos sobre ella, dependiendo de su peso y su
distancia del punto de apoyo.

De esta manera, apunta que dos cuerpos capaces de ser medidos (conmensurables), situados
sobre una palanca, se equilibran cuando se encuentran a distancias inversamente proporcionales a
su peso.

De igual manera, lo hacen los cuerpos inconmensurables (que no se pueden medir), pero esta ley
fue demostrable por Arquímedes únicamente con cuerpos del primer tipo.

Su formulación del principio de la palanca es un buen ejemplo de la aplicación del método

mecánico, ya que según explica en una carta dirigida a Dositeo, lo elaboró en un primer momento
a través de métodos de la mecánica que puso en práctica.

Posteriormente los formuló usando métodos de la geometría (teóricos). De esta experimentación

sobre los cuerpos también se desprendió la noción de centro de gravedad.

Desarrollo del método de exhaución o agotamiento para la demostración científica

La exhaución es un método utilizado en la geometría que consiste en aproximar figuras
geométricas cuya área se conoce, por medio de la inscripción y circunscripción, sobre alguna otra
cuya área se pretenda conocer.

Si bien Arquímedes no fue el creador de este método, sí lo desarrolló de manera magistral,

logrando calcular por medio de él un valor preciso de Pi.

Arquímedes, utilizando el método de exhaución, inscribió y circunscribió hexágonos a una

circunferencia de diámetro 1, reduciendo hasta el absurdo la diferencia entre el área de los
hexágonos y el de la circunferencia.

Para ello, biseccionó los hexágonos creando polígonos de hasta 16 lados. De este modo, llegó a
precisar que el valor de Pi (de la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro) se
encuentra entre los valores 3,14084507… y 3,14285714….

Arquímedes utilizó magistralmente el método de exhaución debido a que no solo logró

aproximarse al cálculo del valor de Pi con un margen de error bastante bajo, y por lo tanto,
deseado, sino que además, por ser Pi un número irracional, a través de este método y los
resultados obtenidos sentó las bases que germinarían en el sistema de cálculo infinitesimal, y
posteriormente, en el cálculo integral moderno.

La medida del círculo

Para determinar el área de un círculo, Arquímedes empleó un método que consistía en trazar un
cuadrado que encajara exactamente dentro de un círculo.

A sabiendas de que el área del cuadrado era la sumatoria de sus lados y que el área del círculo era
mayor, comenzó a trabajar en obtener aproximaciones. Esto lo hizo sustituyendo el cuadrado por
un polígono de 6 lados y luego trabajó con polígonos más complejos.

Arquímedes fue el primer matemático de la historia en aproximarse a hacer un cálculo serio del
número Pi.
La geometría de esferas y cilindros

Entre los nueve tratados que compilan la obra de Arquímedes en las matemáticas y la física, se
encuentran dos volúmenes sobre la geometría de esferas y cilindros.

Esta obra versa sobre la determinación de que la superficie de cualquier esfera de radio es cuatro
veces la de su círculo más grande, y que el volumen de una esfera es dos tercios la del cilindro en el
que se inscribe.

Inventos de Arquímedes
El odómetro

El odómetro es una invención de la Antigua Grecia que sigue estando de actualidad. Gracias a ella,
coches de todo el mundo pueden calcular cuánta distancia han recorrido y así llevar un mejor
control sobre sus necesidades de mantenimiento. Si quieres saber qué es exactamente este
dispositivo clásico que sigue estando plenamente vigente, sigue leyendo. Te contamos en qué
consiste, cómo funciona y por qué es muy útil en los coches modernos.

Los odómetros son instrumentos de medición utilizados para saber qué distancia han recorrido
objetos en movimiento. Consisten en una rueda que hace girar un engranaje calibrado de manera
que es posible saber que, cuando este ha dado una vuelta completa, se ha recorrido una
determinada distancia exacta. Y, aunque en Europa es frecuente encontrarlo en metros o
kilómetros, también puede regularse para medir en millas, yardas, etcétera.

• Según los textos de Vitrubius, que datan del siglo I a. C., fue Arquímedes de Siracusa quien
inventó esta herramienta durante la Primera Guerra Púnica. Utilizaba las ruedas de un carruaje de
cuatro pies que, tras girar cuatrocientas veces, recorrían una milla romana.

• Para poder contar la distancia, cada revolución de las ruedas hacía girar uno de los 400 dientes
de un engranaje. Por cada vuelta completada, que indicaba una milla, se accionaba un mecanismo
que hacía caer un guijarro en una caja. Así, al final del trayecto solo había que contar cuántas
piedras habían caído para poder calcular la distancia recorrida.

• El mecanismo ha ido evolucionando, y personajes célebres como Benjamin Franklin, Leonardo da

Vinci, Blaise Pascal o Thomas Savery han realizado sus aportaciones hasta dar con la versión actual,
desarrollada por William Clayton y Orson Pratt.
El primer planetario

Basándose en lo dicho por muchos escritores clásicos, entre ellos Cicerón, Ovidio, Claudiano,
Marciano Capela, Casiodoro, Sexto Empírico y Lactancio se considera que Arquímedes inventó el
primer planetario.

Seguramente construyó dos, de acuerdo con Cicerón. Uno de ellos representaba a la Tierra y varias
constelaciones cercanas a ella, mientras que otro, que solo tenía una rotación, representaba al Sol,
la Luna, los planetas que realizaban los movimientos propios e independientes con relación a las
estrellas fijas

El tornillo de Arquímedes

El tornillo de Arquímedes o tornillo sinfín, es una máquina de estilo gravimétrica helicoidal, lo que
quiere decir que su diseño determina la cantidad de volumen o sustancia que va a transportar, el
cual se ubica sobre una superficie inclinada formando un ángulo y las aspas se hacen girar
alrededor de su eje, permitiendo transportar materiales que se encuentran ubicados por debajo
del eje de giro, pudiendo ser: agua, harina, cereales, componentes generados de la actividad
minera, entre otros materiales y en cada giro del tornillo el material ira pasando de una sección a
otra de la hélice interna, hasta llegar al lugar predestinado, en donde realiza la autodescargada
controlada.

Es una máquina compuesta de un cilindro que en su interior posee un sistema de aspas helicoidal y
a través de un movimiento giratorio, realiza la acción de transportar elementos líquidos y sólidos,
de un nivel bajo hacia un nivel más alto, este sistema fue inventado por el físico Siciliano
Arquímedes en el siglo III a.C; en la actualidad se existen varios modelos, los cuales se adaptan a
las diferentes necesidades. A continuación, te invitamos a conocer un poco más de esta
interesante máquina.

Las características generales que posee el tornillo de Arquímedes son los que, a continuación, se
mencionan:

La máquina cuenta con un tornillo con superficie geométrica helicoidal que rodea a un cilindro,
que está girando dentro de un tubo sobre su propio eje, realizando una trayectoria de forma
oscilatoria.

El tornillo gira, haciendo que los elementos que están en el extremo inferior asciendan por medio
de la superficie de las hélices que lo rodea.

El sistema helicoidal permite que, si alguno de los elementos cae de una sección a la otra, la misma
sea recogida por la siguiente aspa.

Algunos modelos del tornillo de Arquímedes, están diseñados para que el tubo también pueda
rotar en vez de quedarse estático.
El flujo del traslado de los elementos se realiza de manera uniforme y continua, ya que la velocidad
de traslado es constante, no se producen pulsaciones, turbulencias, ni agitaciones.

El tornillo de Arquímedes, se destaca por su simplicidad, ya que, al contar con un solo elemento
giratorio a través del rotor, hace que sea una bomba muy simple, ya que no se presentan válvulas,
ni engranajes en su diseño.

Según el diseño, el tornillo de Arquímedes, también se puede utilizar de forma inversa,

manteniendo su misma inclinación, ejecutando la tarea desde el punto superior haciéndolo girar
de manera contraria y de esta manera se trasladan los materiales desde la parte superior a la
inferior.

Funcionamiento

El tornillo de Arquímedes, funciona como una bomba de extracción helicoidal, que gira en el
estator, este es el dispositivo que trasmite la potencia a los motores, el cual se vincula con el área
transversal del rotor que es de forma circular, así como también con todos sus puntos excéntricos
esta área, la cual es la zona que no esta relacionada con el centro de la maquinaria y es el
instrumento que la que hace que se ejecute el desplazamiento circular de manera continua y
permite que la parte central de las secciones se apoyen a lo largo de la hélice, en el cual se ubica el
eje es el rotor que es la pieza que hace que gire las aspas, las piezas hacen un vínculo que permite
que la sección del rotor tenga un movimiento de oscilación dentro del conducto del estator.

El movimiento de oscilación, hace que se formen unas cavidades, las mismas se encuentran
definidas por una línea de ajuste que se sitúan en ambos extremos, cuando el rotor comienza sus
vueltas, las cavidades que están colocadas en forma helicoidal se van desplazando, incluyendo los
materiales que se están transportando, sea este líquido o sólido, de esta manera la cavidad queda
en la zona del medio de la línea de ajuste, de forma independiente de la próxima que se va a
trasladar, evitando el retorno del material a trasportar.

De esta manera por cada vuelta completa que realice el rotor, se conforma una nueva cavidad, por
esta situación el sistema se adapta perfectamente a los procedimientos por medio del cual, la
bomba del tornillo de Arquímedes actúa haciendo su transferencia de manera dosificada.

En relación con la altura que debe de poseer el tornillo de Arquímedes, se deberá tomar en
consideración el caudal de los materiales a transportar, ya que esta se vincula directamente con el
grado de hermeticidad que tiene la línea de ajuste, entre el rotor y es estator.

Otro aspecto relacionado con el funcionamiento, es que el tornillo de Arquímedes, no es objeto de

atascamientos, trabas u obstrucciones, debido al sistema de movimiento ondulatorio.
Conceptos de física que se aplican
Movimiento

movimiento es cambio de posición que experimenta un cuerpo en el espacio en un

determinado período de tiempo. Todo movimiento depende del sistema de referencia
desde el cual se lo observa.
El movimiento de los cuerpos se estudia mediante la cinemática y la dinámica y ambas se
integran dentro de la mecánica. La mecánica clásica estudia fenómenos que involucran
cuerpos macroscópicos con velocidades pequeñas comparadas a la de la luz.
Por otra parte, la mecánica cuántica describe las leyes del comportamiento de partículas
subatómicas con velocidades cercanas a la de la luz. Por ultimo, el movimiento de cuerpos
sujetos a fuertes campos gravitatorios, se estudia en el marco de la relatividad general.

Tipos de movimiento:

movimiento rectilíneo:
es aquel en el que el móvil se desplaza a lo largo de una línea recta y por lo tanto
transcurre en una dimensión, de allí que también reciba el nombre de movimiento
unidimensional. Esta línea recta es la trayectoria o camino seguido por el objeto que se
mueve.
Aquí algunos ejemplos:
– Al correr a lo largo de una pista rectilínea de 200 metros.
– Conduciendo un auto por una carretera recta.
– Dejando caer un objeto libremente desde cierta altura.
Características

Posición
Es el vector que va desde el origen hasta el punto donde el objeto se encuentra en un
instante dado. En la figura 2, el vector x1 indica la posición del móvil cuando este se
encuentra en la coordenada P1 y el en tiempo t1. Las unidades del vector de posición en el
sistema internacional son metros.

Desplazamiento
El desplazamiento es el vector que indica el cambio de posición. En la figura 3 el auto ha
pasado de la posición P1 a la posición P2, por lo tanto su desplazamiento es Δx = x2 – x1. El
desplazamiento es la resta de dos vectores, se simboliza con la letra griega Δ (“delta”) y es
a su vez un vector. Sus unidades en el Sistema Internacional son metros.

Distancia recorrida
La distancia d recorrida por el objeto en movimiento es el valor absoluto del vector de
desplazamiento:

d = ΙΔxΙ= Δx

Al ser un valor absoluto, la distancia recorrida siempre es mayor o igual a 0 y sus unidades
son las mismas que las de la posición y el desplazamiento. La notación de valor absoluto se
puede hacer con las barras de módulo o simplemente retirando la letra negrita en texto
impreso.

Velocidad media
¿Qué tan rápido cambia la posición? Hay móviles lentos y móviles rápidos. La clave
siempre ha sido la velocidad. Para analizar este factor se analiza la posición x en función
del tiempo (t).
La velocidad media vm (ver figura 4) es la pendiente de la recta secante (fucsia) a la curva x
vs t y brinda una información global acerca del desplazamiento del móvil en el intervalo de
tiempo considerado.
La velocidad media es un vector cuyas unidades en el sistema internacional son metros
/segundo (m/s).

Velocidad instantánea
La velocidad media se calcula tomando un intervalo de tiempo mensurable, pero no
informa acerca de lo que sucede dentro de dicho intervalo. Para conocer la velocidad en
un instante cualquiera, hay que hacer muy pequeño el intervalo de tiempo,
matemáticamente equivale a hacer:

Δt→ 0

La ecuación anteriormente es dada para la velocidad media. De esta manera se obtiene la

velocidad instantánea o simplemente velocidad:
Geométricamente, la derivada de la posición con respecto al tiempo es la pendiente de la
recta tangente a la curva x vs t en un punto dado. En la figura 4 el punto es de color
naranja y la recta tangente es de verde. La velocidad instantánea en dicho punto es la
pendiente de esa recta.

Rapidez
La rapidez se define como el valor absoluto o módulo de la velocidad y siempre es positiva
(las señalizaciones, las carreteras y las autopistas siempre son positivas, nunca negativas).
Puede que cotidianamente los términos “rapidez” y “velocidad” se usen indistintamente,
pero en física la distinción entre vector y escalar es necesaria.

v = ΙvΙ= v

Aceleración media y aceleración instantánea

La velocidad puede cambiar en el transcurso del movimiento y la realidad es que se espera
que lo haga. Hay una magnitud que cuantifica este cambio: la aceleración. Si notamos que
la velocidad es el cambio de la posición respecto al tiempo, la aceleración es el cambio de
la velocidad respecto al tiempo.

movimiento rectilíneo uniforme

El movimiento rectilíneo uniforme o a velocidad constante es aquel en el cual la partícula
se mueve a lo largo de una línea recta y con velocidad constante. De esta forma el móvil
recorre distancias iguales en tiempos iguales. Por ejemplo, si en 1 segundo recorre 2
metros, al cabo de 2 segundos habrá recorrido 4 metros y así sucesivamente.
Para realizar una descripción acertada del movimiento, ya sea rectilíneo uniforme o
cualquier otro, es necesario establecer un punto de referencia, también llamado origen,
respecto al cual el móvil cambia de posición.
Si el movimiento transcurre íntegramente a lo largo de una línea recta, interesa saber
también en qué sentido el móvil la recorre.
Sobre una línea horizontal, es posible que el móvil vaya hacia la derecha o hacia la
izquierda. La distinción entre ambas situaciones se hace mediante signos, siendo la
convención usual la siguiente: hacia la derecha sigo (+) y hacia la izquierda signo (-).

Características

Las principales características del movimiento rectilíneo uniforme (MRU) son las
siguientes:
-El movimiento siempre transcurre a lo largo de una línea recta.
-Un móvil con MRU recorre distancias o espacios iguales en tiempos iguales.
-La velocidad permanece inalterable tanto en magnitud como en dirección y sentido.
-El MRU carece de aceleración (no hay cambios en la velocidad).
-Puesto que la velocidad v se mantiene constante en el tiempo t, la gráfica de su magnitud
en función del tiempo es una línea recta. En el ejemplo de la figura 2, la recta es de color
verde y el valor de la velocidad se lee sobre el eje vertical, aproximadamente +0.68 m/s.

Figura 2. Gráfica de la velocidad en función del tiempo para un MRU. Fuente: Wikimedia
Commons.
-El gráfico de la posición x respecto al tiempo es una línea recta, cuya pendiente equivale a
la velocidad del móvil. Si la recta de la gráfica x vs t es horizontal, el móvil se encuentra en
reposo, si la pendiente es positiva (gráfica de la figura 3), la velocidad también lo es.

Figura 3. Gráfica de la posición en función del tiempo para un móvil con MRU que partió
del origen. Fuente: Wikimedia Commons.

Distancia recorrida a partir de la gráfica v vs. t

Conocer la distancia recorrida por el móvil cuando se dispone de la gráfica v vs. t es muy
sencillo. La distancia recorrida equivale al área bajo la recta y comprendida dentro del
intervalo de tiempo deseado.
Supóngase que se desea saber la distancia recorrida por el móvil de la figura 2 en el
intervalo comprendido entre 0.5 y 1.5 segundos.
Esta área es la del rectángulo sombreado en la figura 4. Se calcula encontrando el
resultado de multiplicar la base del rectángulo por su altura, cuyos valores se leen del
gráfico.
Figura 4. El área rayada equivale a la distancia recorrida. Fuente: modificado de Wikimedia
Commons.
Distancia recorrida = (1.5 – 0.5) x 0.68 m = 0.68 m

La distancia siempre es una cantidad positiva, sin importar si se va hacia la derecha o hacia
la izquierda.

movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es un movimiento que se realiza en
línea recta. "Uniformemente acelerado" significa que ahora hay una aceleración, es decir,
un incremento de velocidad. Este incremento de velocidad o aceleración se hará siempre
en la misma proporción. Esto hará que acabemos a una velocidad final que será mayor que
la inicial.
La ecuación de la posición del móvil en el instante tt en un MRUA es
x(t)=x0+v0⋅(t−t0)+a2⋅(t−t0)2x(t)=x0+v0⋅(t−t0)+a2⋅(t−t0)2
siendo x0x0 la posición inicial, v0v0 la velocidad inicial, aa la aceleración, tt el tiempo
y t0t0 el tiempo inicial.
La gráfica de la posición en función del tiempo es una parábola:

La velocidad en un MRUA, vv, no es generalmente constante debido a la presencia de la

aceleración, aa. En el instante tt, la velocidad, v(t)v(t), viene dada por la fórmula
v(t)=v0+a⋅(t−t0)v(t)=v0+a⋅(t−t0)
donde v0v0 es la velocidad inicial, aa es la aceleración y t0t0 es el tiempo inicial.
En el Sistema Internacional (SI), las unidades de la posición y del tiempo son metros y
segundos, respectivamente. Por tanto, en el SI, las unidades de las variables involucradas
en las ecuaciones anteriores serían:
 Posición: metros: mm.
 Velocidad: metros por segundo: m/sm/s.
 Tiempo: segundos: ss.
 Aceleración: metros por segundo al cuadrado: m/s2m/s2.
La gráfica de la velocidad en función del tiempo es una recta cuya pendiente es la
aceleración:
La velocidad en un MRU o en un MRUA puede ser positiva, negativa o nula. Normalmente,
el signo de la velocidad nos informa del sentido del movimiento del móvil.
En un MRUA, la aceleración, aa, es constante, pero puede ser positiva o negativa. Si es
nula (a=0a=0), no se trata de un MRUA, sino de un MRU.
Supongamos que la velocidad inicial de un móvil en un MRUA es positiva, entonces:
 si la aceleración es positiva, la velocidad aumenta con el tiempo:

 mientras que, si la aceleración es negativa, la velocidad disminuye con el tiempo:

Movimiento curvilíneo.
Llamamos movimiento curvilíneo al movimiento que realiza una partícula o un móvil que
sigue una trayectoria parabólica, elíptica, vibratoria, oscilatoria o circular.
Las magnitudes que utilizamos para describir un movimiento curvilíneo son las siguientes:

Vector posición: 
sabemos que la posición en la que se encuentra una partícula o un móvil depende del
tiempo en el que nos encontremos, es decir, que varía en función del tiempo. Por tanto,
como podemos observar en la siguiente imagen, la partícula se encuentra en el punto P
cuando estamos en el instante t, y su posición viene dada por el vector r.
Vector desplazamiento: 
Cuando nuestra partícula pasa de estar en el punto P en el instante t, al punto P´en el
instante t´, diremos que ésta se ha desplazado, y lo indicamos con el vector Dr , que como
podemos observar en la imagen anterior, es el vector que une P y P´.

Vector velocidad media: llamamos velocidad media al cociente entre el

desplazamiento y el tiempo que emplea en desplazarse, es decir:

Tanto el vector de la velocidad media, como el vector desplazamiento tienen la misma

dirección.

Vector velocidad instantánea:

 Este vector se obtiene al hacer el límite cuando el Dt tiende a cero:

Este vector es tangente en el punto P a la trayectoria que sigue la partícula.

Vector aceleración media: De forma similar al caso de la velocidad media, la aceleración
media es igual al cociente entre el incremento de velocidad y el incremento del tiempo:

Vector aceleración instantánea:

Es el vector obtenido al hacer el límite cuando Dt tiende a cero:
Movimiento plano
Considera que una partícula que se desplaza en un plano a lo largo de una curva fija, en un
instante dado esta estará en la posición s, medida con respecto al punto O. Considere un
sistema de coordenadas con su origen en un punto fijo de la curva, y en el instante
considerado este origen coincide con la ubicación de la partícula. El eje t es tangente a la
curva en el punto y es positivo en la dirección de s creciente. El eje normal n es
perpendicular al eje t con su sentido positivo dirigido hacia el centro de curvatura. El plano
que contiene los ejes n y t se conoce como plano abrazador u osculonte y en este caso está
fijo en el plano del movimiento.2

Movimiento parabólico
El movimiento parabólico, también conocido como tiro oblicuo, consiste en lanzar un
cuerpo con una velocidad que forma un ángulo α con la horizontal. En la siguiente figura
puedes ver una representación de la situación.
El cuerpo en movimiento parabólico puede ser cualquier cosa: una pelota de futbol, de
tenis, un dardo, un misil... a todos ellos los denominaremos de manera genérica
proyectiles.

Movimiento circular
El movimiento circular (también llamado movimiento circunferencial) es el que se basa en
un eje de giro y giro constante, por lo cual la trayectoria es una circunferencia. Si además,
la velocidad de giro es constante (giro ondulatorio), se produce el movimiento circular
uniforme, que es un caso particular de movimiento circular, con radio, centro fijo y
velocidad angular constante.
En el movimiento circular hay que tener en cuenta algunos conceptos básicos para la
descripción cinemática y dinámica del mismo:
Eje de giro: es la línea recta alrededor de la cual se realiza la rotación, este eje puede
permanecer fijo o variar con el tiempo pero para cada instante concreto es el eje de la
rotación (considerando en este caso una variación infinitesimal o diferencial de tiempo). El
eje de giro define un punto llamado centro de giro de la trayectoria descrita (O).
Arco: partiendo de un centro fijo o eje de giro fijo, es el espacio recorrido en la trayectoria
circular o arco de radio unitario con el que se mide el desplazamiento angular. Su unidad
es el radián (espacio recorrido dividido entre el radio de la trayectoria seguida, división de
longitud entre longitud, adimensional por tanto).
Velocidad angular: es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo
(omega minúscula, ).
Aceleración angular: es la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo (alfa
minúscula, ).

Fuerza:
Es toda aquella causa que tiene la capacidad de modificar el estado en que un cuerpo se
encuentra, ya sea en reposo o en movimiento. También, la fuerza puede ser aquello que
cause la deformación de un determinado cuerpo.
Para representarla, los físicos dibujan una flecha, puesto que se trata de una magnitud
vectorial. Para ser medida, no sólo se debe conocer sus unidades y valores, como ocurre
con la masa. Sino que también se debe tener en cuenta en qué lugar se aplica y hacia qué
dirección. Su unidad de medición se denomina Newton y se abrevia N.