RAÍCES DE ECUACIONES NO LINEALES 

Una raíz de una función f (x) es un número x0 tal que f ( x0 )  0 . También se dice
x f ( x0 )  0
que 0 es una raíz de la ecuación . En este curso, consideraremos solamente
raíces reales.
Geométricamente, una raíz de una función representa un punto donde la gráfica de
f (x) cruza al eje x , 

En esta gráfica, vemos que la raíz es x  1 . 

Ejemplos.

1. Las raíces de f ( x )  x 2  9 son x  3 y x  3 .

4 2
1. 2.  La función f ( x)  x  x  1 no tiene raíces.
2. 3.  La función f ( x)  5  senx no tiene raíces.
3. 4.  Las raíces de f ( x)  ( x  1)( x  3)( x  7) son x  1, x  3 y x  7 .

Estudiaremos varios métodos numéricos para aproximar raíces de ecuaciones.

MÉTODO DE LA BISECCIÓN

El método de bisección se basa en el siguiente teorema de Cálculo: 

Teorema del Valor Intermedio

Sea f (x) continua en un intervalo a, b y supongamos que f (a )  f (b) . Entonces

x  a, b  tal que f ( x0 )  z . La
para cada z tal que f ( a )  z  f (b) , existe un 0
misma conclusión se obtiene para el caso que f ( a )  f (b) . 
 Básicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda función contínua en un
intervalo cerrado, una vez que alcanzó ciertos valores en los extremos del intervalo,
entonces debe alcanzar todos los valores intermedios.

En particular, si f (a ) y f (b) tienen signos opuestos, entonces un valor intermedio

es precisamente z  0 , y por lo tanto, el Teorema del Valor Intermedio nos asegura
x0  a, b  f ( x0 )  0
que debe existir tal que , es decir, debe haber por lo menos una
raíz de f (x) en el intervalo ( a, b) .

El método de bisección sigue los siguientes pasos:

Sea f (x) contínua,

xa , xb tales que f ( xa ) y f ( xb ) tienen signos

i) i) Encontrar valores iniciales
opuestos, es decir,

xa y
ii) ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio entre
xb :

iii) iii) Evaluar f ( xr ) . Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:

f ( xa ) y f ( xr ) tienen signos opuestos, y por

En este caso, tenemos que

lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo

xa , xr  .

f ( xa ) y f ( xr ) tienen el mismo signo, y de

En este caso, tenemos que
f ( xr ) yf ( xb ) tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se
aquí que

encuentra en el intervalo
xr , xb .
 

En este caso se tiene que f ( xr )  0 y por lo tanto ya localizamos la raíz. 

El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:

es decir,

Ejercicio modelo

La función f(x) = x3 + 4 x2 - 10 tiene una raíz en [1; 2] ya que f(1) = -5 y

f(2) = 14. Es fácil ver que hay una sola raíz en [1; 2].

En este caso termina la itereracion cuando se cumple la condicion dada

importante

si f(a) * f(p) > 0 entonces tomar a = p, si no, tomar b = p calculado

Tabla resumen

i a b pn fa fb fp fa*fp E%
1 1 2 1,5 -5 14 2,375 -11,875  
2 1 1,5 1,25 -5 2,375 -1,796875 8,984375 0,2
3 1,25 1,5 1,375 -1,796875 2,375 0,16210938 -0,291290283 -0,090909091
4 1,25 1,375 1,3125 -1,796875 0,16210938 -0,84838867 1,524448395 0,047619048
5 1,3125 1,375 1,34375 -0,84838867 0,16210938 -0,35098267 0,297769718 -0,023255814
6 1,34375 1,375 1,359375 -0,35098267 0,16210938 -0,09640884 0,033837833 -0,011494253
7 1,359375 1,375 1,3671875 -0,09640884 0,16210938 0,03235579 -0,003119384 -0,005714286
8 1,359375 1,3671875 1,36328125 -0,09640884 0,03235579 -0,03214997 0,003099541 0,00286533
0,00007202
9 1,36328125 1,3671875 1,365234375 -0,03214997 0,03235579 5 -0,000002316 -0,001430615
10 1,36328125 1,365234375 1,364257813 -0,03214997 0,000072025 -0,01604669 0,000515901 0,00071582
11 1,364257813 1,365234375 1,364746094 -0,01604668 0,000072025 -0,00798926 0,000128201 -0,000357782
12 1,364746094 1,365234375 1,364990234 -0,00798926 0,000072025 -0,00395911 0,000031630 -0,000178858
13 1,364990234 1,365234375 1,365112305 -0,00395911 0,000072025 -0,00194366 0,000007695 -0,000089422

Pn1= (a1+b1)/2…..promedio

Fa,fb,fp= evaluación de esos valores de a,b, p en la función dada

E= (pn-pn-1)/pn ; pn-1= valor anterior

Se itera hasta que se cumpla la condición dada

Entonces el valor buscado es 1.365112305

Ejercicio
a  1%
Aproximar la raíz de f ( x)  arctan x  x  1 hasta que . 

Solución
 Como vimos en el ejemplo 2 de la sección anterior, la única raíz de f (x) se localiza

en el intervalo
0,1
. Para poder aplicar el método de bisección, es importante checar
que sí se cumplen las hipótesis requeridas.

Sabemos que f (x) es contínua en el intervalo

0,1 , y checamos que f ( 0) y f (1)
tengan signos opuestos.

En efecto,

Mientras que,

 
 Por lo tanto, sí podemos aplicar el método de bisección.

Calculamos el punto medio del intervalo

0,1 ,

Que es la primera aproximación a la raíz de f (x) .

Evaluamos f (0.5)  arctan( 0.5)  0.5  1  0.0363  0 .

Y hacemos nuestra tabla de signos, 

Puesto que f (0.5) y f (1) tienen signos opuestos, entonces la raíz se localiza en el

intervalo
0.5,1 . 
xr1  0.5
En este punto, solo contamos con una aproximación, a saber, , que es el
primer punto medio calculado.
Repetimos el proceso, es decir, calculamos el punto medio ahora del intervalo
0.5,1 ,

Que es la nueva aproximación a la raíz de f (x) .

Aquí podemos calcular el primer error aproximado:

Puesto que no se cumple el objetivo, continuamos con el proceso.

Evaluamos f (0.75)  arctan( 0.75)  0.75  1  0.3935  0 .

Y hacemos la tabla de signos: 

 Puesto que f (0.5) y f (0.75) tienen signos opuestos, entonces la raíz se localiza en

el intervalo
0.5,0.75 .
Calculamos el punto medio,

Y el nuevo error aproximado:

El proceso se debe continuar hasta que se logre el objetivo.

Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla:

Aprox. a la raíz Error

aprox.
0.5  
0.75 33.33%
0.625 20%
0.5625 11.11%
0.53125 5.88%
0.515625 3.03%
0.5234375 1.49%
0.51953125 0.75%

xr8  0.51953125
De lo cual, vemos que la aproximación buscada es  
El método de bisección por lo general es lento, y en casos como el de la siguiente
gráfica, puede ser demasiado lento.
En un caso como éste, el proceso de bisección comienza a acercarse a la raíz de forma
muy lenta, ya que el método solamente toma en cuenta que la raíz se encuentra
dentro del intervalo, sin importar si se encuentra más cerca de alguno de los extremos
del intervalo. Sería bueno implementar un método que tome en cuenta este detalle.

Esto da lugar al siguiente método de aproximación de raíces.

MÉTODO DE LA REGLA FALSA 

Como mencionamos anteriormente, sería bueno considerar si la raíz de una ecuación
está localizada más cerca de alguno de los extremos del intervalo.

Consideremos nuevamente una gráfica como la anterior, 

Donde hemos agregado la línea recta que une los puntos extremos de la gráfica en el
intervalo
a, b .
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo, tomamos el punto
donde cruza al eje x esta recta, nos aproximaremos mucho más rápido a la raíz; ésta
es en sí, la idea central del método de la regla falsa y ésta es realmente la única
diferencia con el método de bisección, puesto que en todo lo demás los dos métodos
son prácticamente idénticos.

Supongamos que tenemos una función f (x) que es contínua en el intervalo xa , xb 
f ( xa ) y f ( xb ) tienen signos opuestos.
y además,

( xa , f ( xa )) , ( xb , f ( xb )) .
Calculemos la ecuación de la línea recta que une los puntos
Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por:

Por lo tanto la ecuación de la recta es:

Para obtener el cruce con el eje x , hacemos y  0 :

xb  xa nos da:
Multiplicando por

Finalmente, de aquí despejamos x:

Este punto es el que toma el papel de

xr en lugar del punto medio del método de
bisección.

Así pues, el método de la regla falsa sigue los siguientes pasos:

Sea f (x) contínua,

 xa , xb tales que f ( xa ) y f ( xb ) tienen signos
i) i) Encontrar valores iniciales
opuestos, es decir,

ii) ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual a:

iii) iii) Evaluar f ( xr ) . Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:

f ( xa ) y f ( xr ) tienen signos opuestos, y por

En este caso, tenemos que

lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo

xa , xr  .

f ( xa ) y f ( xr ) tienen el mismo signo, y de

En este caso, tenemos que
f ( xb ) tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se
f ( xr ) y
aquí que

encuentra en el intervalo
xr , xb .

En este caso se tiene que

f ( xr )  0 y por lo tanto ya localizamos la raíz.

El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:

Ejercicio modelo
 Usa el método de la regla falsa para aproximar la raíz de

comenzando en el intervalo y hasta que .

i a b pn fa fb fp fa*fp E%
1 1 2 1,2 2 -8 0,832 1,664  
2 1,2 2 1,275362319 0,832 -8 0,299011595 0,248777647 5,909090909
1,27536231 0,29901159
3 9 2 1,301470858 5 -8 0,101707916 0,030411846 2,006079425
1,30147085 0,10170791
4 8 2 1,310240113 6 -8 0,033943446 0,003452317 0,669286107

Importante. si a= p sino igual a b

Pn

Fa,fb,fp= evaluación de esos valores de a,b, p en la función dada

Xa= valor de a

Xb= valor de b

E= [(pn-pn-1)/pn]*100 ; pn-1= valor anterior

Se itera hasta que se cumpla la condición dada

Entonces el valor buscado es 1.310240113

Ejemplo 1
Usar el método de la regla falsa para aproximar la raíz de , comenzando en el

intervalo y hasta que

a  1%
. 
1,2
x
Solución f ( x)  e  ln x
Este es el mismo ejemplo 1 del método de la bisección. Así pues, ya sabemos que
f (x) es contínua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los extremos
de dicho intervalo. Por lo tanto podemos aplicar el método de la regla falsa.

Calculamos la primera aproximación:

Puesto que solamente tenemos una aproximación, debemos seguir con el proceso.

Así pues,
evaluamos

Y hacemos nuestra tabla de signos: 


De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo 1,1.397410482 . 

Con este nuevo intervalo, calculamos la nueva aproximación:

En este momento, podemos calcular el primer error aproximado:

Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso.

f ( xr2 )  f (1.321130513)  0.011654346  0

Evaluamos , y hacemos la tabla de
signos: 

De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo

1.1.321130513  , con el cual,
podemos calcular la nueva aproximación:
Y el error aproximado:

Como se ha cumplido el objetivo, concluímos que la aproximación buscada es:

Observe la rapidez con la cual converge el método de la regla falsa a la raíz, a

diferencia de la lentitud del método de la bisección.

Ejemplo 2
Usar el método de la regla falsa para aproximar la raíz de f ( x)  arctan x  x  1 ,

comenzando en el intervalo
0,1 y hasta que a  1%
. 

Solución
Este es el mismo ejemplo 2 del método de la bisección. Así pues, ya sabemos que se
cumplen las hipótesis necesarias para poder aplicar el método, es decir, que f (x)
sea contínua en el intervalo dado y que f (x) tome signos opuestos en los extremos
de dicho intervalo.

Calculamos pues, la primera aproximación:

Como solamente tenemos una aproximación, debemos avanzar en el proceso.

f ( xr1 )  arctan( 0.5600991535)  0.5600991535  0.070662953  0

Evaluamos

Y hacemos nuestra tabla de signos: 

De lo cual vemos que la raíz se localiza en el intervalo

0,0.5600991535 .
Así pues, calculamos la nueva aproximación:
Y calculamos el error aproximado:

Puesto que no se cumple el objetivo, seguimos avanzando en el proceso.

f ( xr2 )  arctan( 0.5231330281)  0.5231330281  1  0.00511533  0

Evaluamos .

Y hacemos nuestra tabla de signos: 

De los cual vemos que la raíz se localiza en el intervalo

0,0.5231330281, con el cual
podemos calcular al siguiente aproximación:

Y el siguiente error aproximado:

Como se ha cumplido el objetivo, concluímos que la aproximación buscada es:

Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del método de la regla falsa

contra la lentitud del método de la bisección.

Por supuesto que puede darse el caso en el que el método de la regla falsa encuentre
la aproximación a la raíz de forma más lenta que el método de la bisección. Como

ejercicio, el estudiante puede aplicar ambos métodos a la función f ( x)  x 6  1 ,

comenzando en el intervalo
0,1.5 , donde notará que mientras que el método de
a  1%
bisección requiere de 8 aproximaciones para lograr que , el método de la
regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones.
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 
Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A
diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre
un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.

xi a la raíz x r de f (x) , 
Supongamos que tenemos la aproximación

Trazamos la recta tangente a la curva en el punto

xi , f ( xi )  ; ésta cruza al eje x en
xi 1 que será nuestra siguiente aproximación a la raíz x r .
un punto

x
i 1 , calculamos primero la ecuación de la recta tangente.
Para calcular el punto
Sabemos que tiene pendiente

Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:

Hacemos y  0 :

Y despejamos x:
Que es la fómula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximación:

,  
si

Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure
que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos
aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no
converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los
casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es
uno de los métodos preferidos por excelencia.

if ( x )  0
También observe que en el caso de que , el método no se puede aplicar. De
hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y
por lo tanto no intersecta al eje x en ningún punto, a menos que coincida con éste,
xi mismo es una raíz de f (x) ! 
en cuyo caso

EJERCICIO MODELO

Usar el método de Newton-Raphson para aproximar La función f(x) = x3 + 4 x2 - 10 tiene

una raíz en [1; 2]

Se deriva la función dada

F(x)’=3x2-8x

Ahora generamos la sucesión

Pn= pn-1-(f(x)/ f(x)’)

Pn-1: valor anterior

i po p E%
1 1 1,454545455  
 2 1,454545455 1,368900401 0,062564854
3 1,368900401 1,3652366 0,002683638
4 1,3652366 1,36523001 4,82466E-06

En cuatro iteraciones nos da la raíz buscada 1.36523001. ya que se cumple la

condición de que el error sea

Po= 1 es el primer valor de la raíz que nos da el ejercicio

Po2= al valor de p en la condición inicial

Po3= p en la condición anterior. y asi sucesivamente

P1 es igual a evaluar po en la sucesión generada

Pn-1= valor de Po de la interacción que estamos trabajando

Es decior.

Pn-1 en la iteración 1 es =1

Pn-1= en la iteración 2 es =1.454545455+

.
.
.

Entonces el valor buscado es 1.366523001

Ejemplo 1

Usar el método de Newton-Raphson, para aproximar la raíz de f ( x)  e  x  ln x ,

x0  1 y hasta que a  1% . 
comenzando con

Solución
En este caso, tenemos que

De aquí tenemos que:

 x0  1 y obtenemos:
Comenzamos con

En este caso, el error aproximado es,

Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidió.

Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

Aprox. a la raíz Error aprox.

1  
1.268941421 21.19%
1.309108403 3.06%
1.309799389 0.052%

De lo cual concluímos que la aproximación obtenida es:

Ejemplo 2
Usar el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz de f ( x)  arctan x  x  1 ,
x0  0 y hasta que a  1% . 
comenzando con

Solución
En este caso, tenemos que

La cual sustituimos en la fórmula de Newton-Raphson para obtener:

 x0  0 para obtener:
Comenzamos sustituyendo

0.5  0
a   100%  100%
En este caso tenemos un error aproximado de 0.5

Continuamos con el proceso hasta lograr el objetivo. Resumimos los resultado en la

siguiente tabla:

Aprox. a la raíz Error

aprox.
0  
0.5 100%
0.5201957728 3.88%
0.5202689918 0.01%

De lo cual concluímos que la aproximación obtenida es:

Ejemplo 3
Usar el método de Newton-Raphson para aproximar raíces cuadradas de números
reales positivos. 

Solución 

Sea R  0 . Queremos calcular x tal que x  R ; elevando al cuadrado x 2  R , o

bien:

x2  R  0

2
Esto nos sugiere definir la función f ( x )  x  R de donde f ( x)  2 x . Al sustituir
estos datos en la fórmula de Newton-Raphson nos da:

xi2  R
xi 1  xi 
2 xi

La cual simplificada nos da:

1 R
xi 1   xi  
2 xi 
Esta fórmula era conocida por los antiguos griegos (Herón).

Para fijar un ejemplo de su uso, pongamos R  26 y apliquemos la fórmula obtenida,

x0  5 . Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
comenzando con

Aprox. a la raíz Error aprox.

5  
5.1 1.96%
5.099019608 0.019%
5.099019514 0.0000018%

De lo cual concluímos que 26  5.099019514 , la cual es correcta en todos sus

dígitos!

La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raíces n -ésimas
de números reales positivos.

Observe que cuando el método de Newton-Raphson converge a la raíz, lo hace de una

forma muy rápida y de hecho, observamos que el error aproximado disminuye a pasos
agigantados en cada paso del proceso. Aunque no es nuestro objetivo establecer
formalmente las cotas para los errores en cada uno de los métodos que hemos
estudiado, cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor precisión
la rapidez ó lentitud del método en estudio.

EJERCICIOS PARA PRACTICAR

NOTA: Usa todos los dígitos en tu calculadora para que la aproximación sea lo más
exacta posible.

1.  Usa el método de bisección para aproximar la raíz de

comenzando en el intervalo y hasta que .

Solución: . 

2.  Usa el método de bisección para aproximar la raíz de

comenzando en el intervalo y hasta que .

Solución: . 
3.  Usa el método de la regla falsa para aproximar la raíz de

comenzando en el intervalo y hasta que .

Solución: . 

4.  Usa el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz de

comenzando con y hasta que .

Solución: . 

5.  Usa el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz de ,

comenzando con y hasta que .

Solución: .