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    2 Polinomios

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    Lenin Montenegro
    Este documento presenta varios problemas relacionados con polinomios. En particular, contiene 10 problemas que piden calcular diferentes expresiones relacionadas con polinomios, sus coeficientes y raíces.

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    2 POLINOMIOS

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    de 3

    Capı́tulo 2

    Polinomios

    1. ax3 + bx2 + cx ≡ 12 + 22 + 32 + 42 + · · · + x2 6. Si los polinomios siguientes poseen el mismo val-


    Hallar a, b, c y dar el valor de: or numérico para todo x

    E = a−(b/2)
    (c/12)−1
    P (x) = (a + b + c)x2 + (a2 + b2 + c2 )x + abc
    S(x) = nx2 + n2 x + 2n3
    A) 16 B) 27 C) 32 D) 81 E) 64
    halle
    2. Calcule:
    K = (a + b − c)(a + c − b)(b + c − a)
    a−1 + b−1
    Z= ; abc 6= 0
    c−1 en función de “n”.
    si el polinomio: A) n2 B) 15n C) −17n3 D) 18n2 E) −10n3
    7. Si la regla polinomial:
    P (x) = (ab−bc−m2 )x4 +(bc−ac−4mn)x2 +(ca−ab−4n2 )
      c
    2 +a−53 b−9 −4
    es idénticamente nulo. P (x) = xa + x+ 3
    − 11
    2 2
    A) 8 B) 6 C) 4 D) 3 E) 2
    tiene 3 raı́ces, carece de término independiente y
    3. Si se cumple que: el término de primer grado tiene un coeficiente
    iguala a 12 veces el término principal. Hallar a +
    (a3 b − 3)xn + (b3 c − 4)xn−1 + (ac3 + 5)xn−2 ≡ b + c; a < 0.
    a3 cxn + ab3 xn−1 + bc3 xn−2 A) 110 B) 108 C) 106 D) 104 E) 103
    È
    donde n ∈ Z+ ; n ≥ 3. Calcular 8. Si F (x) = x2 + 2F (x), ∀ x ∈ R, tal que F (x) ≥
     c ‹3  c ‹3 2; calcular:
    T =3 +4 È 
    a b 2000 − F 19972 − 1
    A) 3 B) 5 C) 6 D) 9 E) 12
    A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
    4. Si el polinomio:
    9. Si
    2 2 3 2 2 2
    • 12 3
    ˜
    20
    • ˜
    P (x) = (a + 3ab + b )x + (b + 5bc + c )x P (x) = a a − 6 + x +b b−8+ x+
    a b
    (c2 + 7ac + a2 )x + abc − 3 • 30
    ˜
    c c − 10 +
    es idénticamente nulo. Calcular c
    2
    Q(x) = 3x(x − 1) + 7(x + 1) − 2
    L = (a − b)4 c2 + (b − c)4 a2 + (c − a)4 b2
    tal que P (x) − Q(x) ≡ 0, calcule el valor de “M ”
    A) 1400 B) 1250 C) 1395 D) 1300 E) 1245 si:
    5. Si a 6= b y se cumple (a − 3)2 (b − 4)2 (c − 5)2
    M= + +
    3 4 5
    ab x3 + aa y 9 ≡ b4a x3 + bb y 9
    √ donde a, b, c ∈ R.
    calcular: 3 ab A) 2 B) 1/2 C) 3 D) 1/3 E) 4 A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0

    4
    CENTRO PRE UNIVERSITARIO
    CICLO VIRTUAL 2022-IB

    10. Si: ” — 17. Sabiendo que el grado de:


    n n n+1 n+1
    P x6 − 33 = x2 + 9x−2 ɀ Š2 √
    (ab)−1
    calcular P (0) M (x) = xa2 +b2 · x4
    A) 5 B) 8 C) 10 D) 15 E) 20
    es 16. Calcular el grado respecto a “y” en:
    11. Se tiene una función que verifica: q È
    a+b
    P (x, y) = x3 y a+b+12
    2 1
    F (n) + F (n − 1) = 2 ; F (1) =
    n −1 2 A) 0 B) 3/4 C) 2 D) 4 E) 16
    halle: 18. Se muestran los tres primeros términos del poli-
    nomio:
    S = F (1) + F (2) + F (3) + · · ·
    1
    Q(x, y) = xm+5 y n−3 +xm+4 y n−2 +xm+3 y n−1 +· · ·
    A) 0 B) 1 C) 2 D) 2 E) No existe
    el cual es completo y ordenado para “x”. Además
    12. Si F (x) = x(x − 6) + 9 calcular
    GRx = 10; GRy = 15. Calcular: m · n.
    Éh i2 A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60
    3
    9
    F (x)F ( 2 )
    E= 19. Sabiendo que en el monomio:
    F (x + 3) − F (x − 2) − 5
     q È n3n−2
    nn−1n
    A) 1/10 B) 3 C) 10 D) 1/3 E) 1/5 M (x, y) = n
    (xn )n2n−1 (y n2n−1 )n1−n
    13. Un polinomio P (x) lineal cumple la relación :
    el GRx = 32. Halle GRy .
    P [P (x)] = 4x − 3 A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

    Calcular F (x) si: 20. Calcule “m” en:

    P [F (x + 1)] = P (x) F (x) = (3xm + xm−1 )m (mx2 − x + 3)3 (x2 + 192)

    considerar el coeficiente principal de P (x) posi- Sabiendo que el coeficiente principal del produc-
    tivo. to es igual al término independiente del mismo.
    A) x − 1 B) x C) x + 1 D) 1 − x E) −x A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

    21. La suma de los grados absolutos de todos los


    14. Si: Ê
    xx xx1+3x términos de un polinomio entero, homogéneo y
    F (xx − 2) = 1+2x completo de dos variables es 600. ¿Cuál es su
    xx
    grado absoluto?
    calcular F (1) A) 8 B) 16 C) 18 D) 24 E) 34
    A) 240 B) 270 C) 81 D) 729 E) 256
    22. Si el polinomio
    15. Si:
    √ P (x, y) = xn y+· · ·+3xa y b +5xa−1 y 3 +5x3 y c +· · ·+xn+1
    F (x) = 2x99 − x100 + 1
    √
    G(x) = 3ax3 − a4 + 2 − 2x4 es homogéneo. Además con respecto a “x” es
    completo y ordenado en forma descendente.
    hallar F [G(a)]. Según ello, hallar el valor de: “a + b + c + n”.
    A) 0 B) −1 C) −2 D) 2 E) 1 A) 10 B) 12 C) 16 D) 17 E) 18
    16. Se sabe que: 23. Si el polinomio P (x) es completo y ordenado; y
    tiene catorce términos. Hallar (a + n); donde:
    J(a, b) = 3an−3 b5−m + 4am+1 bn−5
    P (x) = xn−3 + xn−2 + xn−1 + · · · + xa+4
    es un monomio. Indicar el grado absoluto
    A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 A) 12 B) 15 C) 3 D) 7 E) 9

    Chachapoyas: Campus Universitario - Primer piso Escuela de Posgrado cel. 957 232 517 web: cepre.untrm.edu.pe pág.
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    Filial Bagua: Campus Universitario, av. Libertad N◦ 1300 cel. 930967958 ✂5 ✁
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    24. Sabiendo que el polinomio son idénticos.


    c
    2 Hallar el valor de: (b + d)a .
    P (x, y, z) = (xa + y b )a+b z 3b + 2(x2 y 4 )ab ; a>0 A) 2 B) 3 C) 4 D) 9 E) 16
    es homogéneo y el grado relativo a “y” es 72.
    Hallar el grado relativo de “x”.
    A) 24 B) 30 C) 32 D) 45 E) 54

    25. Sabiendo que el valor de “m” para que:


    2 √ b2 √ 2
    P (x, y) = xa +2a+m − 6 x y a+1 + 6 y b +30

    nos representa un polinomio homogéneo cuyo


    grado sea el menor posible. Además: 2a < b;
    b ∈ Z.
    A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

    26. Dados
    h n innn
    nn n
    P (x) = 3x − 7x + 3
    h n i2
    nn
    Q(x) = 8x − 3x + 10
    R(x) = 11x + 5

    si el grado de P (x) · Q(x) · R(x) es 289. Calcular


    el grado de
    ” n —2 ” n —
    M (x) = 11xn + 1 x2n−x

    A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 16
    27. Se tienen dos polinomios completos y ordenados
    P (x) y Q(x), si se verifica que la suma de grados
    relativos de los términos de P (x) exceden en 24
    a la suma de grados relativos de los términos de
    Q(x) y que el grado del producto de multiplicar
    ambos es 15. Hallar el grado absoluto de la suma
    de ellos.
    A) 3 B) 4 C) 6 D) 9 E) 12

    28. Dados los polinomios P (x) y Q(x), se sabe que


    los polinomios P 3 (x) · Q(x) y P 3 (x) ÷ Q2 (x), son
    de grado 17 y 2 respectivamente. Hallar el grado
    P (x)Q(x).
    A) 4 B) 6 C) 10 D) 15 E) 9
    29. Sean dos polinomios: P (x) y Q(x) con Gr(P ) >
    (P + Q)3
    Gr(Q). Si el grado de es 12 y el grado
    √ Q
    4
    de P Q es 2, determinar el grado de P (x).
    A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
    30. Si:

    P (x) = 7xd−1 + dxb+c + bxa − 1


    Q(x) = ax4 + (2a + 1)xa−1 + 5xa + c

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