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Calculo de Armadura A Flexion D - Parabola Rectangulo y D - Rectangulo
Calculo de Armadura A Flexion D - Parabola Rectangulo y D - Rectangulo
Calculo de Armadura A Flexion D - Parabola Rectangulo y D - Rectangulo
DIAGRAMA PARABOLA-RECTANGULO
Figura N° 1
c
0.85fcd
c
0.002 0.0035
𝜎 = 𝑎𝜀 + 𝑏𝜀 + 𝑐
Para calcular 𝑎, 𝑏 y 𝑐 se debe considerar que la parábola pasa por los puntos
(0,0); (0.002, 0.85fcd) y 𝜎′ = 0 en (0.002, 0.85fcd). La ecuación final resulta:
𝜎 = 0.85𝑓 𝜀 (1 − 250𝜀 )
Ingeniería civil MBM
Figura N° 2
0.002 0.0035
3 4
0.01 y
DOMINIO 2 (0 ≤ 𝑥 ≤ 0.259𝑑)
Caso 𝜺𝒄 ≤ 𝟎. 𝟎𝟎𝟐
En este caso se considera que parte o toda la parábola esta comprimida como
se ve en la figura.
Figura N° 3
0.85fcd 0.0035
0.002
b
c
x
h d
0.01
Ingeniería civil MBM
𝜀 0.01
=
𝑥 𝑑−𝑥
𝑥 1
ξ= = = 0.1667
𝑑 6
Figura N° 4
c
y
a d2 A2
dA
Nc
d
g
y
A1
𝐴= 𝜎 𝑑𝑦
La ecuación de la parábola es;
(𝑦 − 𝑘 ) = −4𝑝(𝜎 − ℎ)
Y pasa por los puntos: (0, a); (0.85fcd, 0). La ecuación final de la parábola es,
𝑦
𝜎 = 0.85𝑓 1−
𝑎
Ingeniería civil MBM
2𝑥
𝑎=
1000𝜀
0.85𝑓 𝑥𝑏
𝑁 = 1000𝜀 (6 − 1000𝜀 )
12
En la literatura es común el uso de la expresión
𝑁 = 𝜓𝑏𝑥𝑓
En el que
0.85
𝜓= 1000𝜀 (6 − 1000𝜀 )
12
De la Figura N° 3 se obtiene,
10𝑥
𝜀 =
1000(𝑑 − 𝑥)
0.85𝑓 𝑏𝑥 40
𝑁 = 5𝑑 − 𝑥
(𝑑 − 𝑥 ) 3
𝑥 3(4 − 1000𝜀 )
𝛿 =𝑑−𝑥+ 2−
1000𝜀 4(6 − 1000𝜀 )
Donde
1 3(4 − 1000𝜀 )
𝜆 =1− 2−
1000𝜀 4(6 − 1000𝜀 )
4𝑑 − 9𝑥
𝛿 =𝑑−𝑥
4(3𝑑 − 8𝑥)
𝐹=0
𝑁 +𝐴 𝜎 −𝐴 𝜎 =0
𝑀=0
𝑁 𝛿 + 𝐴 𝜎 (𝑑 − 𝑑 ) = 𝑀
𝑁 =𝐴 𝜎
𝑁𝛿 =𝑀
Remplazando y adoptando:
𝑓 =𝜎
𝐴 𝑓
𝜔 =
𝑏𝑑𝑓
𝑀
𝜇 =
𝑏𝑑 𝑓
Ingeniería civil MBM
Se obtiene:
5 4 − 12𝜉 + 3𝜉
𝜇 = 0.85 𝜉
4 (1 − 𝜉 )
0.85𝜉 40
𝜔 = 5− 𝜉
(1 − 𝜉 ) 3
0.85
𝑁 = 𝑓 𝑏𝑥 (16𝑥 − 𝑑)
15𝑥
Haciendo:
𝑁 = 𝜓𝑏𝑥𝑓
Entonces,
0.85
𝜓= (16𝑥 − 𝑑)
15𝑥
.
Cuando 𝜀 = 0.0035, 𝜓 = = 0.68809
𝑑 − 22𝑑𝑥 + 171𝑥
𝛿 =𝑑− 𝑥
20𝑥 (16𝑥 − 𝑑)
Finalmente,
0.85
𝜇 = (342𝜉 − 21 − 171𝜉 )
300
0.85
𝜔 = (16𝜉 − 1)
15
DOMINIO 3 (𝟎. 𝟐𝟓𝟗𝒅 ≤ 𝒙 ≤ 𝒙𝒍𝒊𝒎 )
En este caso la parte comprimida está compuesta por la parábola y el
rectángulo y la deformación 𝜀 = 0.0035
Ingeniería civil MBM
Los límites de este dominio se obtienen por las relaciones de las deformaciones:
Límite menor:
0.0035 0.01
=
𝑥 𝑑−𝑥
.
Despejando 𝑥 = 𝑑 = 0.259𝑑 , o también 𝜉 = = 0.259
.
Límite mayor:
0.0035 𝜀 + 0.0035
=
𝑥 𝑑
𝑥 0.0035
=𝜉 =
𝑑 0.0035 + 𝜀
𝑓
𝜀 =
𝐸
17
𝑁 = 0.85 𝑏𝑥𝑓
21
Dónde: 𝜓 = 0.85 = 0.6881
99
𝛿 =𝑑− 𝑥
238
Finalmente,
17 99
𝜇 = 0.85 𝜉 1− 𝜉
21 238
17
𝜔 = 0.85 𝜉
21
Ingeniería civil MBM
DOMINIO 4
De las condiciones de equilibrio
𝐹=0
𝑁 +𝐴 𝜎 −𝐴 𝜎 =0
𝑀=0
𝑁 𝛿 + 𝐴 𝜎 (𝑑 − 𝑑 ) = 𝑀
Adoptando
𝑀
𝜇 =
𝑏𝑑 𝑓
𝐴 𝑓
𝜔 =
𝑏𝑑𝑓
𝐴 𝑓
𝜔 =
𝑏𝑑𝑓
17 𝑥
0.85 =𝜔 −𝜔
21 𝑑
17
0.85 𝜉 =𝜔 −𝜔
21
17 99
0.85 𝜉 1− 𝜉 + 𝜔 (1 − 𝛿 ) = 𝜇
21 238
𝛿 = 𝑑 /𝑑
Ingeniería civil MBM
DIAGRAMA RECTANGULAR
0.85fcd c
y2 A2
x 0.8x Nc
y A1
𝐹=0
𝑁 +𝐴 𝜎 −𝐴 𝜎 =0
𝑀=0
𝑁 𝑑− + 𝐴 𝜎 (𝑑 − 𝑑 ) = 𝑀
Donde 𝑦 = 0.8𝑥
Adoptando
𝑀
𝜇 =
𝑏𝑑 𝑓
𝐴 𝑓
𝜔 =
𝑏𝑑𝑓
Ingeniería civil MBM
𝐴 𝑓
𝜔 =
𝑏𝑑𝑓
0.85 ∗ 0.8𝜉 = 𝜔 − 𝜔
0.85 ∗ 0.8𝜉 = 𝜔
Ejemplo
DATOS
CARACTERISTICAS DE MATERIALES
fck 210 kg/cm2
fyk 5000 kg/cm2
COEFICIENTE DE SEGURIDAD
c 1.5
s 1.15
SECCION DE LA VIGA
h 40 cm
b 15 cm
r 3.4 cm
DATOS DE DISEÑO
MOMENTO ULTIMO
Md 8 t-m
DIAGRAMA
DIAGRAMA PARABOLA-RECTANGULO RECTANGULAR
d 0.28439 Dominio 3 d 0.28439
y 0.00217 y 0.00217
lim 0.61686 lim 0.61686
lim 0.31554 lim 0.31596
0.53025 0.53100
x 19.40715 x 19.43456
1 0.36486 1 0.36108
2 0.00000 2 0.00000
𝑀 8 ∗ 100000
𝜇 = = = 0.28439
𝑏𝑑 𝑓 15 ∗ 36.6 ∗ 140
𝑥 0.0035
=𝜉 =
𝑑 0.0035 + 𝜀
𝑓 4347.83
𝜀 = = = 0.002173915
𝐸 2000000
0.0035
𝜉 = = 0.616858
0.0035 + 0.00217
Remplazando en
17 99
𝜇 = 0.85 𝜉 1− 𝜉
21 238
17 99
𝜇 = 0.85 ∗ 0.616858 1 − ∗ 0.616858 = 0.3155
21 238
Como 𝜇 < 𝜇 , entonces se encuentra en dominio 2 o 3.
El límite entre los dominio 2 y 3 puede determinarse con:
0.85
𝜇 = (342𝜉 − 21 − 171𝜉 )
300
. .
Donde 𝑥 = 𝑑o𝜉= . Remplazando:
. .
𝜇 = 0.159
17 99
𝜇 = 0.85 𝜉 1− 𝜉
21 238
17
𝜔 = 0.85 𝜉
21
Remplazando en la primera formula el valor de 𝜇 se obtiene 𝜉 = 0.53025.
Remplazando en la segunda fórmula se obtiene 𝜔 = 0.36486. Con este valor se
obtiene el área de la armadura a tracción.
Ingeniería civil MBM
𝐴 𝑓
𝜔 =
𝑏𝑑𝑓
Despejando A1
𝐴 = =6.45 cm2