Matemáticas

Actuariales
FINANZAS Y MÉTODOS ACTUARIALES

1
Finanzas
ELEMENTOS BÁSICOS DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS

2
Ventas en corto
• Una venta en corto es la venta de un valor que el vendedor no posee. Se puede
ejecutar a través de una cuenta de margen con una casa de bolsa.
• El vendedor toma prestado el valor de la casa de bolsa para entregárselo al
comprador.
• La venta se basa en la creencia de que el precio del valor bajará en el futuro para que
el vendedor pueda volver a comprar el valor a un precio más bajo, manteniendo así
la diferencia de precio como ganancia.
• Los ingresos de la venta en corto se mantienen en la cuenta de margen y no se
pueden invertir para obtener ingresos.
• El vendedor está obligado a colocar efectivo o valores en la cuenta de margen. El
margen porcentual inicial 𝑚 es el porcentaje de los ingresos del valor vendido en
corto que el vendedor debe colocar en la cuenta de margen.
• Si 𝑃0 es el precio del valor cuando se vende en corto, el depósito inicial 𝐷 es 𝑃0 𝑚. El
vendedor ganará intereses del depósito.
3
Ventas en corto
• En todo momento existe un margen de mantenimiento 𝑚∗ , que es el porcentaje
mínimo del patrimonio del vendedor en relación con el valor actual del valor vendido
en corto.
• Si el precio actual del título es 𝑃1 , el patrimonio 𝐸 es 𝑃0 + 𝐷 − 𝑃1 y 𝐸/𝑃1 debe ser
mayor que 𝑚∗ .
• Si 𝐸/𝑃1 cae por debajo de 𝑚∗ , el vendedor recibirá una llamada de margen del
corredor indicándole que recargue su cuenta de margen.
• Para calcular la tasa de retorno de una estrategia de venta en corto, observamos que
el capital es el depósito 𝐷 en la cuenta de margen. El rendimiento incluye los
intereses devengados en el depósito. Sin embargo, si hay algún pago de dividendos
el vendedor paga el dividendo al comprador. La tasa de rendimiento neta tendrá en
cuenta, por lo tanto, el interés devengado y el dividendo pagado.

4
Acreditación de intereses: método de tasa
anual y método de tasa de portafolio
• Un fondo agrupa las inversiones de inversores individuales, los cuales pueden
invertir dinero nuevo en el fondo en cualquier momento.
• Si bien el fondo invierte el total de las inversiones, existe el problema de cómo
acreditar los intereses a las cuentas de los inversores individuales.
• Un método sencillo es acreditar la rentabilidad promedio del fondo a todos los
inversores: esto se llama método de tasa portafolio.
• Este método puede no ser equitativo cuando las inversiones individuales se realizan
en momentos diferentes. Por ejemplo, en un momento en que aumentan los
rendimientos de los valores, es probable que las nuevas inversiones alcancen
mayores rendimientos en comparación con las inversiones anteriores. En este caso,
acreditar la rentabilidad media no será atractivo para nuevas inversiones.
• Cuando los rendimientos de los valores están disminuyendo, el método de tasa
portafolio puede otorgar mayores rendimientos a los nuevos inversores a expensas
de los antiguos.
5
Acreditación de intereses: método de tasa
anual y método de tasa de portafolio
• Otro método es acreditar las cuentas según su año de inversión. Este método se
denomina método de tasa anual.
• Bajo este método, a las nuevas inversiones se les acreditan las tasas de interés del
año de inversión durante un período de tiempo, luego de lo cual se les acredita a los
inversionistas la tasa de interés del portafolio.
• La siguiente tabla da un ejemplo. Por simplicidad, suponemos que las inversiones se
realizan al inicio del año calendario y los intereses se acreditan al final del año.
Año calendario de Tasas de inversión por año (%) Tasas de portafolio (%)
la inversión (Y) 𝑖1𝑌 𝑖2𝑌 𝑖3𝑌 𝑖 𝑌+3
2014 5.6 5.6 5.7 5.9
2015 5.6 5.7 5.8 6.2
2016 5.8 5.9 6.0 6.3
2017 6.2 6.3 6.6
2018 6.7 6.4
2019 7.1
6
Acreditación de intereses: método de tasa
anual y método de tasa de portafolio
• En la tabla anterior, las inversiones se acreditan a las tasas anuales de inversión en
los primeros 3 años. El año calendario de la inversión se denota por 𝑌, la tasa de
interés acreditada para el año 𝑡 de la inversión realizada en el año calendario 𝑌 es 𝑖𝑡𝑌
para 𝑡 = 1,2,3; e 𝑖 𝑌 es la tasa de portafolio acreditada por el año calendario 𝑌 .
• Usando estas notaciones, 𝑖𝑡𝑌 = 𝑖 𝑌+𝑡−1 para 𝑡 > 3.
Ejercicio. Un fondo acredita intereses de acuerdo con la vista anteriormente.
Encuentre el interés total acreditado en el período de 2017 a 2019 por
(a) una inversión en 2012,
(b) una inversión en 2016,
(c) una inversión en 2017,
(d) una inversión en 2017, retirada cada año y reinvertida en el fondo como dinero
nuevo.
Todas las inversiones, incluidas las reinversiones, se realizan el 1 de enero.

7
Inflación y Tasa de Interés Real
• La inflación se refiere al aumento en el nivel general de los precios de bienes y
servicios. La tasa de inflación suele medirse por la tasa de aumento de un índice
general de precios, como el índice nacional de precios al consumidor, el índice
nacional de precios al productor o el deflactor del producto interno bruto.
• Definimos la tasa de interés real como el interés ganado por una inversión después de
tener en cuenta la erosión del poder adquisitivo debido a la inflación.
• Denotamos 𝑟𝐼 como la tasa de inflación y 𝑟𝑁 como la tasa de interés nominal.
• La tasa de interés real 𝑟𝑅 se define entonces por la ecuación
1 + 𝑟𝑁
1 + 𝑟𝑅 =
1 + 𝑟𝐼
de la que obtenemos
1 + 𝑟𝑁 𝑟𝑁 − 𝑟𝐼
𝑟𝑅 = −1=
1 + 𝑟𝐼 1 + 𝑟𝐼

8
Inflación y Tasa de Interés Real
• Si la tasa de inflación 𝑟𝐼 es baja, de la ecuación anterior concluimos que
𝑟𝑅 ≈ 𝑟𝑁 − 𝑟𝐼
Lo cual dice que la tasa de interés real es aproximadamente igual a la tasa de interés
nominal menos la tasa de inflación.
1+𝑟𝑁 𝑟𝑁 −𝑟𝐼
• Nótese que 1 + 𝑟𝑅 = y 𝑟𝑅 = son relaciones ex post. Se mantienen
1+𝑟𝐼 1+𝑟𝐼
empíricamente y no se refieren a ninguna relación teórica entre las tres cantidades.
• El economista Irving Fisher argumentó que la tasa de interés nominal debería
aumentar uno a uno con la tasa de inflación esperada.
• Así, la llamada ecuación de Fisher establece que
𝑟𝑁 = 𝑟𝑅 + 𝐸(𝑟𝐼 )
donde 𝐸(𝑟𝐼 ) es la tasa esperada de inflación.

9
Inflación y Tasa de Interés Real
• Si la tasa de inflación 𝑟𝐼 es baja, de la ecuación anterior concluimos que
𝑟𝑅 ≈ 𝑟𝑁 − 𝑟𝐼
Lo cual dice que la tasa de interés real es aproximadamente igual a la tasa de interés
nominal menos la tasa de inflación.
1+𝑟𝑁 𝑟𝑁 −𝑟𝐼
• Nótese que 1 + 𝑟𝑅 = y 𝑟𝑅 = son relaciones ex post. Se mantienen
1+𝑟𝐼 1+𝑟𝐼
empíricamente y no se refieren a ninguna relación teórica entre las tres cantidades.
• El economista Irving Fisher argumentó que la tasa de interés nominal debería
aumentar uno a uno con la tasa de inflación esperada.
• Así, la llamada ecuación de Fisher establece que
𝑟𝑁 = 𝑟𝑅 + 𝐸(𝑟𝐼 )
donde 𝐸(𝑟𝐼 ) es la tasa esperada de inflación.

10
Presupuesto de capital y evaluación de
proyectos
• El presupuesto de capital y la evaluación de proyectos se refieren a la decisión de la
Gerencia de invertir en un proyecto. Existen varios métodos para tomar tales
decisiones.
• Un enfoque es la regla de la TIR, que requiere que el gerente calcule la TIR del
proyecto. Luego, la TIR se compara con la tasa de rendimiento requerida del
proyecto, que es la tasa mínima de rendimiento de una inversión necesaria para ser
aceptable para una empresa.
• Denotamos la tasa de rendimiento requerida por 𝑅𝑅 . La regla TIR acepta el proyecto
si TIR ≥ 𝑅𝑅 .
• Sin embargo, 𝑅𝑅 suele ser una cantidad difícil de identificar. Depende de factores
como la tasa de interés del mercado, el horizonte de la inversión y el riesgo del
proyecto. En lo que sigue, supondremos que se da 𝑅𝑅 y nos centraremos en la
aplicación de las reglas presupuestarias.
• Un enfoque alternativo es la regla del valor presente neto (VPN).
11
Valor presente neto
• Considere un proyecto con flujos de efectivo anuales y recordemos la definición de la
TIR. Descontando los flujos de efectivo futuros por 𝑅𝑅 , reescribimos la ecuación de
𝐶0 y definimos el VPN del proyecto como
𝑛
𝐶𝑗
𝑉𝑃𝑁 = − ෍ 𝑗
− 𝐶0
1 + 𝑅𝑅
𝑗=1
• Un VPN positivo implica que la suma de los valores actuales de las salidas de efectivo
generadas por el proyecto supera la suma de los valores actuales de todas las
inversiones. Por lo tanto, los gerentes deben invertir en proyectos con VPN positivo.
• Como hemos visto antes, la TIR puede no ser única. Cuando hay varias TIR, la
decisión es ambigua.
• La regla del VPN se puede aplicar con tipos de interés variables que reflejan una
estructura de plazos que no es plana.

12
Presupuesto de capital y evaluación de
proyectos
• Se puede modificar la última ecuación para calcular el VPN, donde el flujo de
efectivo en el momento j se descuenta por la tasa de interés 𝑅𝑗 , tal como
𝑛
𝐶𝑗
𝑉𝑃𝑁 = − ෍ 𝑗
− 𝐶0
𝑗=1 1 + 𝑅𝑗
• Si se adopta el método de la TIR, se debe suponer que la estructura de plazos es
plana.
• Si bien la penúltima ecuación de VPN del proyecto lo calcula al momento de su
finalización, ésta se puede modificar para calcular el VPN del proyecto en un
momento anterior a su finalización.
• Así, para 𝑡 ≤ 𝑛, definimos el VPN del proyecto hasta el tiempo t como
𝑡
𝐶𝑗
𝑉𝑃𝑁(𝑡) = − ෍ 𝑗
− 𝐶0
1 + 𝑅𝑅
𝑗=1

13
Presupuesto de capital y evaluación de
proyectos
• Si 𝑉𝑃𝑁(𝑡) cambia de signo solo una vez durante la duración del proyecto, podemos
calcular el valor de t en el que 𝑉𝑃𝑁(𝑡) se vuelve positivo por primera vez.
• Este valor de t se denomina plazo de recuperación descontado o payback
descontado. Formalmente, se define como
𝐷𝑃𝑃 = 𝑚í𝑛{𝑡: 𝑉𝑃𝑁(𝑡) > 0}
• Un criterio de presupuesto de capital es elegir el proyecto con el plazo de
recuperación descontado más bajo.
• Si 𝑅𝑅 en 𝑉𝑃𝑁(𝑡) se iguala a cero, el valor resultante de t en el que 𝑉𝑃𝑁(𝑡) se vuelve
positivo por primera vez se denomina período de recuperación. Aunque un método
de evaluación de proyectos puede basarse en el período mínimo de recuperación,
este método carece de rigor teórico ya que no se tiene en cuenta el valor del dinero
en el tiempo.

14
Saldo del préstamo: métodos
prospectivos y retrospectivos
• Considere un préstamo con un plazo fijo de vencimiento, para ser amortizado por
una serie de reembolsos.
• Si los reembolsos antes del vencimiento son únicamente para compensar los
intereses, el préstamo se denomina préstamo de interés únicamente.
• Si los reembolsos incluyen tanto el pago de intereses como el reembolso parcial del
principal, el préstamo se denomina préstamo de reembolso.
• Se consideran dos enfoques para calcular el saldo del préstamo: el método
prospectivo y el método retrospectivo.
• El método prospectivo es de proyección. Calcula el saldo del préstamo como el valor
presente de todos los pagos futuros a realizar.
• El método retrospectivo considera el pasado. Calcula el saldo del préstamo como el
valor acumulado del préstamo al momento de la evaluación menos el valor
acumulado de todas las cuotas pagadas hasta el momento de la evaluación.

15
Saldo del préstamo: métodos
prospectivos y retrospectivos
• Sea 𝐿 el monto del préstamo e 𝑖 la tasa de interés por período de pago. Si el
préstamo se pagará en 𝑛 cuotas de una anualidad inmediata, el monto de la cuota 𝐴
está dado por
𝐿
𝐴=
𝑎𝑛|𝑖
• También se denota 𝐿 = 𝐵0 , que es el saldo del préstamo en el momento 0.
• Inmediatamente después de que se ha realizado el m-ésimo pago, el préstamo es
reembolsable por una anualidad inmediata de plazo n−m. Denotamos el saldo del
préstamo después de la m-ésima cuota por 𝐵𝑚 , que es
𝐿𝑎𝑛−𝑚|𝑖
𝐵𝑚 = 𝐴𝑎𝑛−𝑚|𝑖 =
𝑎𝑛|𝑖
• Para utilizar el método retrospectivo, primero calculamos el monto acumulado del
préstamo en el momento m, que es 𝐿(1 + 𝑖)𝑚 .

16
Saldo del préstamo: métodos
prospectivos y retrospectivos
• El valor acumulado de las cuotas es 𝐴𝑠𝑚|𝑖 .
• Por lo tanto, el saldo del préstamo también se puede escribir como
𝐿(1 + 𝑖)𝑚 −𝐴𝑠𝑚|𝑖
• Para mostrar que los dos métodos son equivalentes, simplificamos la ecuación
anterior. Así, tenemos
𝑛 𝑚−1
1 − 𝑣 1 + 𝑖
𝐴𝑎𝑛|𝑖 (1 + 𝑖)𝑚 −𝐴𝑠𝑚|𝑖 = 𝐴 1 + 𝑖 𝑚−
𝑖 𝑖
1 − 𝑣 𝑛−𝑚
=𝐴
𝑖
= 𝐴𝑎𝑛−𝑚|𝑖

17
Amortización
• Si un préstamo se paga por el método de amortización, cada cuota se usa primero
para compensar los intereses incurridos desde el último pago. La parte restante de la
cuota se utiliza luego para reducir el principal.
• Considere un préstamo a ser reembolsado por una anualidad inmediata unitaria de
n-pagos. El principal es 𝑎𝑛|𝑖 y el interés incurrido en el primer período de pago es
𝑖𝑎𝑛|𝑖 = 1 − 𝑣 𝑛 .
• Así, del pago unitario, 1 − 𝑣 𝑛 se destina al pago de intereses y el principal se reduce
en la cantidad 𝑣 𝑛 .
• El capital se reduce entonces a
1 − 𝑣 𝑛 1 − 𝑣 𝑛 1+𝑖 1 − 𝑣 𝑛−1
𝑎𝑛|𝑖 − 𝑣 𝑛 = − 𝑣𝑛 = = = 𝑎𝑛−1|𝑖
𝑖 𝑖 𝑖
• Haciendo uso de este resultado, se puede construir un cuadro de amortización que
separe cada cuota en los componentes de interés y principal.

18
Fondo de amortización
• Un préstamo también se puede cubrir mediante el pago de intereses periódicos, con
una suma global igual al capital original pagado al final del período del préstamo.
• El prestatario deposita una cantidad periódicamente en un fondo de amortización
para acumular el principal.
• Considere un préstamo de cantidad 𝑎𝑛|𝑖 . Mediante el método del fondo de
amortización, el prestatario paga una cantidad 𝑖𝑎𝑛|𝑖 = 1 − 𝑣 𝑛 cada período para
cubrir los intereses. Deposita cuotas en un fondo de amortización.
• Suponga que el fondo de amortización acumula intereses a la tasa de interés i. Para
acumular a 𝑎𝑛|𝑖 en el momento n, cada cuota del fondo de amortización es
𝑎𝑛|𝑖
ൗ𝑠𝑛|𝑖 = 𝑣 𝑛 .
• El monto total que el prestatario debe pagar en cada período es
1 − 𝑣𝑛 + 𝑣𝑛 = 1
que es igual a la cantidad pagada en concepto de amortización.
19
Fondo de amortización
• La siguiente tabla presenta el cronograma del fondo de amortización basado en un
préstamo de 𝑎𝑛|𝑖 :
Depósito al Balance del
Tiempo Pago Pago de Interés
fondo fondo
1 1 𝑖𝑎𝑛| = 1 − 𝑣 𝑛 𝑣𝑛 𝑣 𝑛 𝑠1| = 𝑣 𝑛
2 1 𝑖𝑎𝑛| = 1 − 𝑣 𝑛 𝑣𝑛 𝑣 𝑛 𝑠2|
· · · ·
· · · ·
t 1 𝑖𝑎𝑛| = 1 − 𝑣𝑛 𝑣𝑛 𝑣 𝑛 𝑠𝑡|
· · · ·
· · · ·
n 1 𝑖𝑎𝑛| = 1 − 𝑣𝑛 𝑣𝑛 𝑣 𝑛 𝑠𝑛| = 𝑎𝑛|
Total 𝑛 𝒏 − 𝒗𝒏 𝒏𝒗𝒏
El interés pagado que se muestra en la tabla permanece constante en 1 − 𝑣 𝑛 ,
mientras que el interés pagado visto en la Tabla anterior, usando el método de
amortización, disminuye con el período de tiempo t.
20
Fondo de amortización
• Esto se debe a los intereses ganados en el fondo de amortización. En el momento t,
el interés devengado en el fondo de amortización durante el período de pago es
𝑖𝑣 𝑛 𝑠𝑡−1| = 𝑣 𝑛 1 + 𝑖 𝑡−1
− 1 = 𝑣 𝑛−𝑡+1 − 𝑣 𝑛
• Restamos esta cantidad del interés cubierto para obtener el interés neto pagado
como
1 − 𝑣 𝑛 − 𝑣 𝑛−𝑡+1 − 𝑣 𝑛 = 1 − 𝑣 𝑛−𝑡+1
que es igual al valor de la tabla previa.
• Consideremos ahora el caso en el que el fondo de amortización gana una tasa de
interés diferente a la cargada al préstamo.
• Suponga que el fondo de amortización gana intereses a una tasa de 𝑗 por período de
pago. Para un préstamo de cantidad 𝑎𝑛|𝑖 , acumular el principal en el fondo de
amortización durante n períodos, tiene la cuota periódica de
𝑎𝑛|𝑖 /𝑠𝑛|𝑗
21
Fondo de amortización
• Por lo tanto, la cuota total es
𝑎𝑛|𝑖 1
𝑖𝑎𝑛|𝑖 + = 𝑎𝑛|𝑖 𝑖 +
𝑠𝑛|𝑗 𝑠𝑛|𝑗
• Cuando 𝑖 = 𝑗, el método del fondo de amortización y el método de amortización son los
mismos, por lo que el pago mensual en esta ecuación es igual a 1. Por lo tanto, tenemos
1 1
𝑖+ =
𝑠𝑛|𝑖 𝑎𝑛|𝑖
Aquí, el lado derecho es la anualidad inmediata de n pagos a pagar por un préstamo de 1
mediante amortización, y el lado izquierdo establece que la anualidad consiste en el
1
pago de 𝑖 por el interés y de para el fondo de amortización.
𝑠𝑛|𝑖
De esta última ecuación podemos ver que un préstamo de monto unitario se puede
liquidar en n períodos por un fondo de amortización que carga la tasa de interés 𝑖 al
préstamo y acredita la tasa de interés 𝑗 al fondo de amortización, mediante el pago
1
periódico de la cantidad 𝑖 + .
𝑠𝑛|𝑖

22
Fondo de amortización
• Si esta cantidad se utiliza para liquidar un préstamo de cantidad unitaria por el
método de amortización a la tasa de interés 𝑖 ∗ , entonces tenemos
1 1
=𝑖+
𝑎𝑛|𝑖 ∗ 𝑠𝑛|𝑗
• Interpretamos 𝑖 ∗ como la tasa de interés para el método de amortización que es
equivalente al método del fondo de amortización cobrando la tasa de interés 𝑖 al
préstamo y acreditando la tasa de interés 𝑗 al fondo de amortización.
• Si 𝑖 > 𝑗, entonces 𝑠𝑛|𝑖 > 𝑠𝑛|𝑗 y tenemos
1 1 𝑎𝑛|𝑖 ∗
1 = 𝑎𝑛|𝑖 ∗ 𝑖 + > 𝑎𝑛|𝑖 ∗ 𝑖 + =
𝑠𝑛|𝑗 𝑠𝑛|𝑖 𝑎𝑛|𝑖
lo que implica 𝑎𝑛|𝑖 > 𝑎𝑛|𝑖 ∗ . De esto concluimos 𝑖 ∗ > 𝑖.
• Así, si el interés cargado al préstamo es mayor que el interés acreditado al fondo de
amortización, la tasa de interés equivalente del préstamo liquidado por amortización
es mayor.
23
Fondo de amortización
• Ahora consideramos un fondo en el cual el interés sobre los depósitos del fondo de
amortización se gana a una tasa de reinversión diferente de los depósitos del mismo.
• Suponemos que las cuotas pagadas al fondo de amortización generan intereses a la
tasa 𝑗, mientras que los intereses recibidos se reinvierten a la tasa de interés 𝑗′.
• Para calcular el monto acumulado, primero se considera el caso de un pago unitario
al fondo de amortización en el momento 0. Los intereses del monto 𝑗 se pagan en el
momento 1, 2,· · ·, 𝑛. Estos pagos de intereses ganan intereses a la tasa 𝑗′.
• El diagrama de tiempo del fondo se muestra en la siguiente diapositiva.

24
Diagrama de tiempo

25
Fondo de amortización
• El monto acumulado en el momento n está compuesto por el pago unitario en el
momento 0 y la anualidad inmediata de n pagos de monto 𝑗 que gana interés a la
tasa 𝑗′. Por lo tanto, el valor acumulado es 1 + 𝑗𝑠𝑛|𝑗′ .
• Si j = 𝑗′, esta expresión se reduce a (1 + 𝑗)𝑛 .
• Si se paga al fondo de amortización una anualidad inmediata de n pagos de monto
unitario, el valor acumulado de esta anualidad es
𝑠𝑛|𝑗 ′ − 𝑛
𝑛+ 𝑗(𝐼𝑠)𝑛−1|𝑗′ = 𝑛 + 𝑗
𝑗′
Ejercicio. Un préstamo de $1,000 a una tasa de interés efectiva del 6% anual debe
ser redimido durante 5 años por un fondo de amortización que acredita un interés
del 5.5% con una tasa de reinversión del 5%. Calcular las cuotas anuales de la
anualidad-inmediata requeridas para redimir el préstamo. ¿Cuál es la tasa de interés
equivalente utilizando el método de amortización?

26
Cuotas y tasas de interés variables
• No es necesario que las cuotas para pagar un préstamo sean uniformes. Suponga un
préstamo sobre 𝑛 periodos a una tasa de interés 𝑖, que debe reembolsarse mediante
una anualidad inmediata de 𝑛 pagos variables 𝐴1 ,· · ·, 𝐴𝑛 . El monto del préstamo 𝐿
está dado por
𝑛

𝐿 = ෍ 𝐴𝑡 𝑣 𝑡
𝑡=1
• El saldo del préstamo 𝐵𝑘−1 después del (𝑘 − 1)-ésimo pago es
𝑛

𝐵𝑘−1 = ෍ 𝐴𝑡 𝑣 𝑡−𝑘+1
𝑡=𝑘
• Por lo tanto, el interés del 𝑘-ésimo pago es 𝑖𝐵𝑘−1 y el principal es reducido por la
cantidad 𝐴𝑘 − 𝑖𝐵𝑘−1 .

27
Cuotas y tasas de interés variables
Ejercicio 1. Un préstamo a 20 años debe pagarse en cuotas de $100 al final del año 1,
$200 al final del año 2, y así sucesivamente, aumentando $100 cada año, hasta $600
al final del sexto año. De ahí en adelante se pagará una cuota nivelada de $600. La
tasa de interés cobrada es del 6%. Calcular el monto del préstamo. ¿Cuál es el
interés y la reducción del principal en los pagos 3 y 12?

28
Cuotas y tasas de interés variables
• Para el método del fondo de amortización en el que el préstamo cobra la tasa de
interés 𝑖 y el fondo de amortización acredita la tasa de interés 𝑗, el interés en cada
cuota es 𝑖𝐿.
• Si la contribución al fondo de amortización en el momento 𝑡 es 𝑆𝑡 para 𝑡 = 1,· · · , 𝑛,
entonces
𝑛

෍ 𝑆𝑡 (1 + 𝑗)𝑛−𝑡 = 𝐿
𝑡=1
• y la 𝑡-ésima cuota es 𝐴𝑡 = 𝑆𝑡 + 𝑖𝐿.
Ejercicio 2. Suponga que un préstamo a 20 años de $1,000 a una tasa de interés del
6% se pagará mediante el método del fondo de amortización que acredita los
depósitos del fondo de amortización al 5.5%. Si el depósito del fondo de
amortización aumenta un 5% en cada pago, ¿cuál es el monto de la sexta cuota de
este préstamo? ¿Cuál es el monto total de las cuotas para pagar este préstamo?

29
Comparación de costos de préstamos
• El costo de un préstamo depende de la tasa de interés cobrada y la forma en que se
calcula el interés.
• Por ejemplo, el saldo de un préstamo puede calcularse sobre una base de
acreditación periódica, cuando tal período se especifica en el contrato de préstamo.
• Esto significa que se cobran intereses sobre el saldo pendiente al inicio del período
por todo el período, aunque se pueden realizar cuotas antes del final del período.
• Para ilustrar, considere un préstamo de acreditación anual y un préstamo de
acreditación mensual. Un préstamo de acreditación anual cobra intereses por todo
el año, aunque las cuotas pueden hacerse mensualmente a lo largo del año.
• Ejercicio 3. Un hombre pide un préstamo para vivienda de $500,000 a un banco. La
tasa de interés cobrada es del 6.5% anual. Calcule las cuotas mensuales vencidas si el
préstamo se basa en (a) acreditación anual, y (b) acreditación mensual. Compare los
resultados entre un préstamo a 15 años y un préstamo a 20 años.

30
Comparación de costos de préstamos
• Cuando los préstamos pagan en cuotas del mismo intervalo de pago, se pueden
comparar convirtiendo las tasas cobradas a una tasa nominal equivalente con una
frecuencia de capitalización igual a la frecuencia de pago.
• Podemos convertir la tasa de interés cobrada para el préstamo sobre una base de
acreditación anual a una tasa de interés nominal equivalente (TNE) con base de
acreditación mensual.
• Considere un capital de monto 𝐿. Para un préstamo de 𝑛 años con acreditación anual
a una tasa cobrada 𝑟 a pagarse en cuotas mensuales, el monto de la cuota es
𝐿
12𝑎𝑛|𝑟
• Se denota la TNE anualizada sobre acreditación mensual por 𝑟 ∗ , de modo que la
cuota mensual
𝐿
𝑎12𝑛|𝑟 ∗ Τ12
31
Comparación de costos de préstamos
• es igual a la del punto anterior. Esto implica
12𝑎𝑛|𝑟 = 𝑎12𝑛|𝑟 ∗ Τ12
de donde se puede resolver numéricamente para 𝑟 ∗ .
• Cabe señalar que la TNE 𝑟 ∗ definida antes es, en realidad, 𝑟 (12) como se definió en
las primeras notas de repaso.
• Si la cuota se realiza 𝑚 veces al año, podemos modificar la ecuación para definir el
TNE en consecuencia, y se denota simplemente por 𝑟 (𝑚) .
• Nótese que la TNE es una tasa nominal, no una tasa efectiva como se define en las
primeras notas.

32
Bonos
• Un bono es un contrato/certificado de deuda en el que el emisor se compromete a
pagar al tenedor una sucesión de pagos de interés definidos, durante un período de
tiempo específico y a reembolsar el préstamo en una fecha de terminación específica
(llamada fecha de vencimiento o redención) .
• Hay muchos riesgos involucrados en invertir en bonos, incluyendo
Riesgo de tasa de interés: los inversores en bonos reciben pagos de intereses
periódicos antes de la fecha de amortización del bono. Los pagos de cupones de
interés suelen ser constantes durante la vida del bono. Después de que el
inversionista compró el bono, si la tasa de interés sube, el precio del bono bajará, ya
que el bono es menos atractivo. A esto se le llama riesgo de tasa de interés.
Riesgo de incumplimiento: es el riesgo de que el emisor del bono no pueda realizar
los pagos de intereses y/o el reembolso del rescate. Con base en la solidez financiera
del emisor de bonos, las agencias calificadoras de bonos otorgan una calificación
(una medida de la calidad y seguridad) del bono. Las agencias calificadoras clasifican
los bonos en dos categorías: bonos de grado de inversión (una clase más segura) y
bonos basura (una clase más riesgosa).
33
Riesgos asociados a los bonos
Riesgo de reinversión: en los bonos que pagan cupones, los inversores reciben pagos
de intereses periódicamente antes de la fecha de rescate. La reinversión de estos
pagos de interés depende del nivel de la tasa de interés vigente en el momento de la
reinversión. Los bonos cupón cero no tienen riesgo de reinversión.
Riesgo de rescate (llamada): El emisor de un bono exigible tiene derecho a redimir el
bono antes de su fecha de vencimiento a un precio de rescate preestablecido bajo
ciertas condiciones. Estas condiciones se especifican en la fecha de emisión de los
bonos y son conocidas por los inversores. El emisor generalmente considerará
rescatar un bono si está pagando una tasa de cupón más alta que la tasa de interés
actual del mercado. Los bonos exigibles a menudo llevan una disposición de
protección de la llamada. Especifica un período de tiempo durante el cual la
exigibilidad (llamada) no puede ser ejecutada.
Riesgo de inflación: surge debido a la incertidumbre en el valor real (es decir, el poder
adquisitivo) de los flujos de efectivo de un bono debido a la inflación. Los bonos
indexados a la inflación son populares entre los inversores que no desean asumir el
riesgo de inflación.
34
Riesgos asociados a los bonos
Otros riesgos de invertir en bonos incluyen:
• Riesgo de mercado, que es el riesgo de que el mercado de bonos en su conjunto
disminuya;
• Riesgo de liquidez, que es el riesgo de que los inversores puedan tener dificultades
para encontrar una contraparte para negociar.

35
Valuación de Bonos
• Las siguientes características de un bono a menudo se acuerdan en la fecha de
emisión.
Valor nominal: Denotado por 𝑉𝑁, también conocido como valor a la par o principal,
es el monto impreso en el bono sobre el que se calculan los intereses.
Valor de rescate: También llamado valor de redención o valor de vencimiento de un
bono, indicado por 𝐶, es la cantidad que el emisor se compromete a pagar en la
fecha de rescate. En la mayoría de los casos, el valor de redención es el mismo que el
valor nominal.
Tiempo al vencimiento: Se refiere al período de tiempo antes de que el valor de
rescate sea reembolsado al inversionista.
Tasa de cupón: Denotada por 𝑟, es la tasa a la que el bono paga intereses sobre su
valor nominal a intervalos de tiempo regulares hasta la fecha de redención.
• En adelante solo se consideran las matemáticas financieras de los bonos libres de
incumplimiento.
36
Valuación de Bonos
• Se denota como 𝑛 el número de períodos de pago del cupón desde la fecha de
compra (o de liquidación) hasta la fecha de vencimiento, 𝑃 como el precio de compra
e 𝑖 como la tasa de interés de mercado (llamada tasa de rendimiento o yield).
• La tasa de rendimiento refleja las condiciones actuales del mercado y está
determinada por las fuerzas del mercado, brindado a los inversionistas una
compensación justa por asumir los riesgos de invertir en el bono.
• Se asumirá que 𝑟 e 𝑖 se miden por período de pago de cupón.
Así, para los bonos con cupón semestral, 𝑟 e 𝑖 son las tasas de interés semestrales.
• El precio de un bono es la suma de los valores presentes de todos los pagos de cupón
más el valor presente del valor de redención adeudado al vencimiento.
• Asuma que se acaba de pagar un cupón y le interesa fijar el precio del bono después
de este pago.
• Suponga que la estructura de plazos es plana, por lo que los flujos de efectivo en
todo momento se descuentan a la misma tasa de rendimiento 𝑖.
37
Valuación de Bonos. Amortización de
bonos
• Por lo tanto, el precio justo 𝑃 del bono viene dado por la siguiente fórmula básica de
precios, donde las funciones de interés y de anualidad se calculan a la tasa de
rendimiento 𝑖:
𝑃 = 𝑉𝑁 ∙ 𝑟 𝑎𝑛| + 𝐶𝑣 𝑛
donde las funciones de interés y de anualidad se calculan a la tasa de rendimiento 𝑖.
• A partir de la fórmula básica del precio del bono, tenemos:
𝑃 = 𝑉𝑁 ∙ 𝑟 𝑎𝑛| + 𝐶𝑣 𝑛
= 𝑉𝑁 ∙ 𝑟 𝑎𝑛| + 𝐶(1 − 𝑖𝑎𝑛| )
= 𝐶 + (𝑉𝑁 ∙ 𝑟) − 𝐶𝑖 𝑎𝑛|
llamada fórmula de prima/descuento porque
𝑃 − 𝐶 = (𝑉𝑁 ∙ 𝑟) − 𝐶𝑖 𝑎𝑛|
representa la prima del bono (cuando es positiva) o el descuento del bono (cuando es
negativo).

38
Calendario de amortización de bonos
• En otras palabras, si el precio de venta de un bono es mayor que su valor de rescate,
se dice que el bono se negocia con una prima de valor 𝑃 − 𝐶 = (𝑉𝑁 ∙ 𝑟) − 𝐶𝑖 𝑎𝑛|
• Por otro lado, si el precio de venta de un bono es menor que su valor de rescate, se
dice que el bono se negocia con un descuento del monto 𝐶 − 𝑃 = (𝐶𝑖 − (𝑉𝑁 ∙

39
Calendario de amortización de bonos
• Considérese el método de interés efectivo para la amortización de un bono.
• Como ejemplo ilustrativo, considere un bono de 3 años de valor nominal de $1,000
(igual al valor de redención) con cupones semestrales a una tasa del 5% anual. La
tasa de rendimiento requerida actual 𝑖 para el bono es del 4% convertible
semestralmente. El precio del bono es
𝑃 = 1,000 × 0.25 𝑎6|0.02 + 1,000(1.02)−6 = 1,028.01,
y la prima es de $28.01.
• En cada período semestral se recibe un pago de cupón de $25. Esta cantidad es
mayor que el interés devengado a la tasa de rendimiento basada en el valor en libros,
que es de $1028.01 × 0.02 = $20.56 para el primer semestre.
• La parte restante del pago del cupón se utiliza luego para reducir la prima no
amortizada. Podemos construir un programa de amortización de la prima de bonos
basado en este principio. El resultado se muestra en la tabla que se muestra
continuación
40
Calendario de amortización de bonos
(Tabla 1)

Pago de Interés Efectivo Monto de prima Valor en

Semestre
Cupón Ganado amortizado libros
0 1,028.01a
1 25.00b 20.56c 4.44d 1,023.57e
2 25.00 20.47 4.53 1,019.04
3 25.00 20.38 4.62 1,014.42
4 25.00 20.29 4.71 1,009.71
5 25.00 20.19 4.81 1,004.90
6 25.00 20.10 4.90 1,000.00
Total 150.00 121.99 28.01

41
Calendario de amortización de bonos
• Los detalles del cálculo son los siguientes:
a. El precio de compra es el saldo inicial del valor en libros.
b. El pago del cupón es 1000(0.05/2)=$25.00.
c. El interés efectivo devengado en el primer semestre es 1.028.01(0.04/2)=$20.56.
d. El monto amortizado de la prima en el primer semestre es 25.00 − 20.56 = $4.44.
e. El valor en libros después de la amortización es 1,028.01 — 4.44 = $1,023.57.
• El cronograma de amortización de bonos es útil para los tenedores de bonos para
fines contables y tributarios. En algunos países, como en México, los ingresos por
intereses de los bonos están sujetos a impuestos. Sin embargo, en el ejemplo
mostrado, el pago del cupón de $25 recibido en cada período no debe estar sujeto a
impuestos en su totalidad.

42
Calendario de amortización de bonos
• En la situación de bonos a descuento, el tenedor de bonos compra el bono por
menos del valor nominal. El descuento representa un monto que debe ser pagado
por el emisor al inversionista al momento del vencimiento.
• El descuento (una forma de interés prepago) se amortizará periódicamente de los
pagos de cupón durante la vigencia del bono.
• Retómese el ejemplo ilustrativo. Para el bono a 3 años con valor nominal de $1,000
con cupones semestrales a una tasa de 5% anual, ahora se supone que la tasa de
rendimiento requerida es de 6% convertible semestralmente. El precio de compra de
este bono es de $972.91 y el descuento es de $27.09.
• Se construye un programa de amortización de descuento de bonos en la tabla de la
siguiente diapositiva. Los pasos de cálculo siguen de cerca los de la tabla antes vista.

43
Calendario de amortización de bonos
(Tabla 2)
Pago de Interés Efectivo Monto de prima Valor en
Semestre
Cupón Ganado amortizado libros
0 972.91
1 25.00 29.19 —4.19 977.1
2 25.00 29.31 —4.31 981.41
3 25.00 29.44 —4.44 985.86
4 25.00 29.58 —4.58 990.43
5 25.00 29.71 —4.71 995.15
6 25.00 29.85 —4.85 1,000.00
Total 150.00 177.09 —27.09
Se tiene:
Prima: 𝑃 − 𝐶 = 𝐶(𝑔 − 𝑖)𝑎𝑛| , si 𝑔 > 𝑖
Descuento): 𝐶 − 𝑃 = 𝐶(𝑖 − 𝑔)𝑎𝑛| , si 𝑔 < 𝑖
Donde 𝑔 = (VN ∙ 𝑟)/C se llama la tasa cupón modificada
44
Calendario de amortización de bonos
• Los detalles del cálculo son los siguientes:
a. La tasa cupón modificada es 𝑔 = 𝑉𝑁 ∙ 𝑟/𝐶 = 2% por semestre. El pago del
cupón es 𝐶𝑔 = 1080(0.02) = $21.60 y es lo mismo que 𝑉𝑁 ∙ 𝑟 =
1000(0.0216) = $21.60, donde r es 0.0432/2 = 2.16% por semestre.
b. El interés efectivo devengado en el vigésimo semestre es 0.025[1,080 +
1,080(0.02 − 0.025)𝑎11|0.025 ] = $25.72.
c. El importe amortizado en el vigésimo semestre es 1080(0.02 −
0.025)(1.025)−11 = −$4.12. Un monto amortizado negativo representa una
situación de descuento. Alternativamente, esto es igual a 21.60 − 25.72.
d. El saldo final (después del vigésimo pago del cupón) en valor en libros es 1080 +
1080(0.02 − 0025)𝑎10|0.025 = $1,032.74.
El resto de los cálculos se siguen de manera similar.

45
Valoración entre Fechas de Pago de
Cupón
• Las fórmulas de fijación de precios discutidas son aplicables a un bono en su fecha de
emisión o en una fecha inmediatamente posterior al pago de un cupón.
• Las transacciones de bonos pueden ocurrir en cualquier momento antes del
vencimiento.
• Ahora se considerará la fórmula de fijación de precios de un bono negociado entre
fechas de pago de cupón.
• En la práctica, el precio de mercado de un bono se expresa como un porcentaje de su
valor nominal (por ejemplo, 90.125 o 90.125%), que se denomina precio de
cotización (o precio limpio).
• Cuando se compra un bono entre las fechas de pago del cupón, el vendedor del
bono gana intereses a partir de la última fecha de pago del cupón, lo que se
denomina interés devengado
• El comprador del bono tiene que pagar los intereses devengados al vendedor ya que
el vendedor no tendrá derecho a ninguna cantidad del siguiente pago del cupón.
46
Valoración entre Fechas de Pago de
Cupón
• El interés acumulado se suma al precio cotizado para determinar el precio de compra
(también llamado precio sucio o precio de factura), es decir,
𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎 = 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑝𝑖𝑜 + 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑣𝑒𝑛𝑔𝑎𝑑𝑜𝑠
• Se denota 𝑘 como el tiempo inmediatamente posterior al k-ésimo pago del cupón.
• Considere un bono negociado entre dos fechas de pago de cupón (digamos, entre el
tiempo 𝑘 y 𝑘 + 1) en el tiempo 𝑘 + 𝑡, donde 𝑡 mide el tiempo transcurrido desde el
último pago de cupón como una fracción del tiempo entre 𝑘 y 𝑘 + 1.
• Si bien existen diferentes prácticas de mercado para definir 𝑡, se adoptará la
convención de conteo de días “act/act” y se define 𝑡 como
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑í𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑘
𝑡=
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑í𝑎𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑘 𝑦 𝑘 + 1
de modo que 0 < 𝑡 < 1.
• Se denota el precio del bono en el tiempo 𝑘 y 𝑘 + 1 por 𝑃𝑘 y 𝑃𝑘+1 , respectivamente.
47
Valoración entre Fechas de Pago de
Cupón
• Estos precios son los valores de los bonos después de los pagos de cupón. Para un
inversor que compró el bono después del pago del cupón en el momento 𝑘 y lo
mantuvo hasta el momento 𝑘 + 1, el valor de su inversión en el período se
modificará en función del devengo de intereses y su relación con la tasa de mercado.
• Si la tasa de rendimiento permanece sin cambios desde el tiempo 𝑘 hasta 𝑘 + 1,
tenemos la siguiente relación
𝑃𝑘+𝑡 = 𝑃𝑘 (1 + 𝑖)𝑡 = (𝑃𝑘+1 + 𝑉𝑁 ∙ 𝑟)(1 + 𝑖)−(1−𝑡)
donde 𝑖 es la tasa de rendimiento en el período de pago de cupón.
• Se puede descomponer 𝑃𝑘+𝑡 en dos componentes. En la práctica común, el método
de interés simple se usa para calcular el interés acumulado en el tiempo 𝑘 + 𝑡,
denotado por 𝐼𝑘+𝑡 .
• Usando la fórmula de interés simple, se tiene
𝐼𝑘+𝑡 = 𝑡(𝑉𝑁 ∙ 𝑟)

48
Valoración entre Fechas de Pago de
Cupón
• El valor en libros (precio limpio o precio de cotización) en el momento 𝑡, denotado
por 𝐵𝑘+𝑡 , viene dado por
𝐵𝑘+𝑡 = 𝑃𝑘+𝑡 − 𝐼𝑘+𝑡
Ejercicio: Suponga un bono del gobierno con las siguientes características
Fecha de emisión 15 de junio de 2005
Fecha de compra 15 de junio de 2009
Fecha de vencimiento 15 de junio de 2020
Tasa Cupón 4.2% pagadero semestralmente
Tasa de Rendimiento 4.0% convertible semestralmente
Las fechas cupón son el 15 de junio y el 15 de diciembre de cada año. El 18 de agosto de
2009, un inversionista compró el bono con un rendimiento del 3.8% convertible
semestralmente. Encuentre el precio de compra, el interés acumulado y el precio limpio
del bono en la fecha de compra, con base en un valor nominal de 100.
49
Bonos exigibles (callable)
• Los bonos exigibles son bonos que el emisor puede canjear antes de la fecha de
vencimiento de los bonos.
• Los inversionistas cuyos bonos son exigidos reciben un precio de rescate específico,
que se fijó en la fecha de emisión del bono.
• El precio de rescate puede ser el valor nominal del bono o puede ser un precio un
poco más alto. La diferencia entre el precio de la llamada (exigibilidad) y el valor
nominal se denomina prima de llamada (exigibilidad).
• Si se llama (exige) un bono entre fechas de cupón, el emisor debe pagar al
inversionista los intereses acumulados además del precio de llamada.
• Los inversionistas de bonos exigibles a menudo requieren un mayor rendimiento para
compensar el riesgo de llamada en comparación con los bonos no exigibles.
• Algunos bonos exigibles ofrecen un período de protección de llamada. El emisor no
puede llamar el bono antes de la fecha de finalización del período de protección. La
fecha de la primera llamada es la fecha después de la cual el bono es totalmente
exigible.
50
Bonos exigibles (callable)
• Teóricamente, existe una fecha de llamada óptima para que el emisor maximice el
beneficio de la llamada.
• Sin embargo, además del beneficio de la llamada, existen muchos otros factores
(como los costos de transacción, el posible impacto negativo en la reputación y la
competencia de la empresa, etc.) que afectan la decisión del emisor de realizar una
llamada. Por lo tanto, es difícil predecir cuándo exigirá el bono el emisor.
• Aquí se considera un enfoque de fijación de precios defensivo para el inversionista.
Bajo este enfoque, un inversionista asume que el emisor rescatará el bono en una
fecha que maximizará el beneficio de rescate.
• Si un bono exigible se negocia con descuento y el precio de llamada se fija en el valor
de redención del bono, la fecha de llamada óptima para el emisor es al vencimiento.
• Por otro lado, si un bono exigible se negocia con una prima y el precio de llamada se
fija en el valor de redención del bono, la fecha de rescate óptima para el emisor es la
primera fecha de rescate.

51
Bonos exigibles (callable)
• Cuando el precio de llamada varía en una relación prefijada con las posibles fechas de
llamada, no es fácil determinar la fecha de llamada óptima del emisor.
• En este caso, se puede aplicar la estrategia en la que el inversor paga el precio más
bajo entre los precios calculados asumiendo todas las fechas de llamada posibles.
Ejercicio 2. Considere un bono a 15 años con valor nominal $1,000 y una tasa cupón
de 4.0% convertible semestral. El bono es exigible y la primera fecha de llamada es la
fecha inmediata posterior al pago del cupón 15. Suponga que el emisor solo
rescatará el bono en una fecha inmediatamente posterior al enésimo cupón (15 ≤
𝑛 ≤ 30) y el precio de llamada (es decir, el valor de redención) es
1,000, 𝑠𝑖 15 ≤ 𝑛 ≤ 20
𝐶=ቊ
1,000 + 10 𝑛 − 20 , 𝑠𝑖 20 < 𝑛 ≤ 30
Encuentre el precio del bono si el inversionista quiere lograr un rendimiento de al
menos 5% compuesto semestralmente.
Ejercicio 1. Suponga que el bono de la tabla 1 es exigible y que la primera fecha de
llamada es la fecha inmediatamente posterior al pago del cuarto cupón. Encuentre el
precio del bono para que el rendimiento sea de al menos 4% compuesto
52
semestralmente.
Seguro de vida
COBERTURAS, PRODUCTOS Y TARIFICACIÓN (PRICING)

53
El seguro de vida
• Los primeros actuarios, a principios del S. XVIII, fueron empleados por las
compañías de seguros de vida para proporcionar una base científica para
administrar sus activos y pasivos.
• Modelar la mortalidad se convirtió en un tema de interés científico general y
comercial. Gran parte del trabajo inicial en el campo de la Probabilidad estuvo
relacionado con el desarrollo de soluciones para problemas actuariales.
• Se considera que se realiza una operación activa de seguros cuando, en caso de
que se presente un acontecimiento futuro e incierto previsto por las partes, una
persona, contra el pago de una cantidad de dinero, se obliga a resarcir a otra un
daño, de manera directa o indirecta o a pagar una suma de dinero.
• Un seguro de vida es un instrumento financiero en el que, en el caso de que el
asegurado fallezca durante la vigencia del contrato, la compañía paga un beneficio
económico a cambio del cobro por adelantado de una compensación económica.

54
El seguro de vida
• Considera las operaciones que tengan como base del contrato, riesgos que puedan
afectar la persona del asegurado en su existencia. Se consideran dentro de estas
operaciones los beneficios adicionales que, basados en la salud o en accidentes
personales, se incluyan en pólizas regulares de seguros de vida.
• También se consideran los contratos de seguro que tengan como base planes de
pensiones o de supervivencia relacionados con la edad, jubilación o retiro de
personas, ya sea bajo esquemas privados o derivados de las leyes de seguridad
social;
• Las primeras pólizas de seguro de vida establecían que el titular de la póliza
pagaría una cantidad a la aseguradora (prima). Si el asegurado de vida nombrado
fallecía durante el año de vigencia del contrato, el asegurador pagaría una cantidad
predeterminada (suma asegurada), al tomador del seguro o a su patrimonio.
• Así, los primeros contratos del seguro de vida fueron anuales. Cada año, la prima
aumentaría a medida que aumentara la probabilidad de muerte.
55
Seguro de vida – corto plazo
• En ese caso, si la persona asegurada se enfermara gravemente en la fecha de
renovación, posiblemente el seguro no se renovaría, en cuyo caso no se pagaría
ningún beneficio por su posterior muerte.
• En una gran cantidad de contratos, los ingresos por primas de cada año deberían
coincidir, aproximadamente, con los gastos por siniestros.
• Al método de hacer coincidir los ingresos y los gastos anualmente, sin intentar
suavizar o equilibrar las primas a lo largo de los años, se le llama tasación.
• La tasación todavía se usa para el seguro de vida grupo, donde un empleador
compra cobertura de seguro de vida para sus empleados año tras año

56
Propósito
La muerte de una persona puede afectar la vida de muchas personas quienes
dependen de una u otra manera de ella.
Si bien el seguro de vida no puede cubrir la pérdida emocional por el fallecimiento de
una persona, sí puede cubrir las pérdidas financieras en alguna de las siguientes
situaciones:
• Pérdida de ingreso Familiar
• Préstamos hipotecarios
• Gastos Funerarios
• Hombre Clave
• Compra/Venta de sociedades
• Pago de impuestos por sucesión testamentaria.

57
Propósito
Asimismo, el seguro de Vida puede ser conveniente para el ahorro y obtener ventajas
fiscales para futuras necesidades que no sea la muerte.
• El seguro de vida con pagos periódicos sirve para crear un hábito de ahorro.
• En algunos casos las primas pueden ser deducibles de impuestos.
• No se pagan impuestos por el ahorro ni por los intereses ganados hasta que se
rescata la póliza.
• Los beneficios pagados por el seguro de vida a los beneficiarios son libres de
impuestos.

58
Desarrollo de Productos
Las compañías son mayormente definidas por el mercado al que sirven y por los
productos que ofrecen.
En Servicios Financieros las compañías son definidas por como desarrollan,
distribuyen y dan servicio a su productos.
Las compañías exitosas son las que definen su mercado objetivo de forma específica y
desarrollan productos para servir a esos mercados y para eso requieren tener claridad
en los siguientes aspectos:
• Estrategia de Productos
• Organización del desarrollo de productos
• Estrategia de pricing
• Proceso de desarrollo de producto

59
Estrategia de Productos
Las decisiones más importantes del desarrollo de productos son qué productos
desarrollar y esas decisiones deben estar alineadas con la misión, la visión y los
valores de la compañía.

Antes de que una compañía articule la estrategia de productos necesita entender

claramente su propósito y tener una visión de qué compañía será en el futuro.

Se debe de enfocar en atender necesidades identificadas de su mercado objetivo

.
Esas necesidades de mercado ayudarán a definir qué productos desarrollar.

60
Estrategia de Productos
Mercado Objetivo

Es importante que la compañía defina uno o dos mercados a los que desea servir. Con
una idea clara del mercado objetivo será más eficiente organizar los esfuerzos para
entender y servir a ese mercado.
• Definición precisa o caracterización del mercado objetivo
• Metodología clara para llegar al mercado objetivo
• Mercado suficientemente grande para que hacerlo un objetivo valioso.
Una vez definido el mercado objetivo se debe aprender todo sobre ese mercado
como sus hábitos de compra, medios de pago, preferencias, necesidades de
asegurabilidad, actitudes, etc.

61
Estrategia de Productos
Competencias Principales

Un producto no solo debe enfocarse en el mercado objetivo sino también debe estar
construido con las fortalezas de la compañía, por ejemplo: bajo requerimiento de
capital, fortalezas financieras, eficiencia operativa, experiencia en suscripción, alta
persistencia, distribución, cobranza, alto valor al cliente, calidad de venta, etc.

62
Estrategia de Productos
Perfil de Riesgo

Decidir que mercado servir y que productos ofrecer son decisiones que tienen un
enorme efecto en la compañía.

Agregar un mercado o un producto debe verse como una decisión mayor con un
significativo compromiso de largo plazo.

El perfil de riesgo del producto, el tamaño y el tipo de riesgo inherente debe encajar
con las metas de la compañía en cuanto a los resultados de estabilidad financiera..

63
Organización del Desarrollo de
Productos
En el desarrollo de productos deben participar casi todas las áreas de la compañía.

Cuatro son las más relevantes, y e cuanto estén más integrados mejor serán los
resultados:
• Actuaría
• Mercadotécnia
• Implementación
• Legal

64
Organización del Desarrollo de
Productos
El equipo debe estar integrado por gente de altas competencias y conocimiento que,
en conjunto, posea todas las habilidades y conocimientos necesarios.

Los miembros deben de desarrollar una relación de trabajo cercana y tomar

decisiones que reflejan la sabiduría colectiva en lugar de la sabiduría de la
personalidad más fuerte.

El equipo debe ser liderado por alguien que mueva al equipo rápidamente y supere
obstáculos con otras áreas y sobre todo que o domine el proceso de toma de
decisiones.

Tener la autoridad en la toma de decisiones y no solo ser un comité que haga

sugerencias a la alta dirección.

65
Selección y suscripción
Al modelar los pasivos del seguro de vida, hay que considerar que la venta de pólizas
de este tipo de seguro es un negocio competitivo y las compañías continuamente
consideran formas de cambiar sus procedimientos para mejorar el servicio a sus
clientes y obtener una ventaja comercial sobre sus competidores.
En una descripción simplificada de lo que ocurre, suponga un seguro con vigencia de
10 años. La aseguradora tiene un sistema de tarificación de primas, cuyas tasas
dependerán del tamaño de la póliza y otros factores, conocidos como factores de
evaluación.
El nivel de riesgo de un solicitante se califica pidiéndole que complete un formulario
de propuesta que brinda información sobre factores de evaluación relevantes (edad,
sexo, hábitos de fumar, ocupación, pasatiempos peligrosos e historial de salud
personal y familiar, entre otros).

66
Selección y suscripción
La aseguradora puede pedir permiso para contactar al médico del solicitante para
preguntar sobre su historial médico. En algunos casos, particularmente en el caso de
sumas aseguradas muy elevadas, el asegurador puede exigir que un médico
empleado por él controle la salud del solicitante.
El proceso de recopilación y evaluación de esta información se denomina suscripción.
El propósito de la suscripción es:
• Clasificar a los asegurados potenciales en categorías de riesgo ampliamente
homogéneas; y
• Evaluar qué prima adicional sería apropiada para los solicitantes cuyos factores de
riesgo indican que las tarifas estándar de prima serían demasiado bajas.

67
Estrategia de Pricing
Muchas estrategias de pricing que aplican a productos no financieros se pueden
adaptar al Seguro de Vida. Sin embargo, hay dos diferencias importantes:

1. El Seguro de Vida no es bien entendido por la mayoría de los consumidores.

2. El Seguro de Vida comúnmente se vende, no se compra. La mayoría de los
consumidores son convencidos de comprar un Seguro de Vida por el agente.

Debido a estas diferencias, la mayoría de las decisiones de compra de los seguros de

Vida se basa en la confianza.

68
Competencia
Las compañías de seguros dan seguimiento a los productos de la competencia y
ajustan sus precios cuando creen que se encuentran significativamente fuera de línea
con la competencia.

Las compañías hacen los ajustes aún cunado el cambio en el precio no tiene un efecto
en ventas. Esto sucede porque a los empleados y agentes les gusta sentir que sus
precios son justos en relación a la competencia, en contraste otras industrias ponen
mayor atención al efecto que tiene el precio en el nivel de ventas tratando de
maximizar ganancias.

Las compañías no solo compiten en precio, sino en otros factores como la

compensación al agente y los valores de rescate.

69
 Matemáticas
Actuariales de Largo
Plazo
TARIFICACIÓN EN EL SEGURO DE VIDA
La Prima Nivelada
El desarrollo radical a finales del siglo XVIII fue el contrato de prima nivelada. Los
aumentos anuales de las primas desanimaban a los asegurados a renovar sus
contratos, pero la prima nivelada ofrecía al titular la opción de asegurar una prima
regular, pagadera tal vez mensual, trimestral o anualmente, durante varios años.
Esta prima era más popular entre los asegurados, ya que no se les descontaría el
precio del contrato de seguro cuando más lo necesitaban. Para la aseguradora, el
atractivo de un contrato más largo fue una mayor probabilidad de recibir primas por
más tiempo. Sin embargo, un problema para la aseguradora era que los contratos más
largos eran más complejos de modelar y ofrecían mayor riesgo financiero.
Las técnicas actuariales tuvieron que desarrollarse más allá de modelar anualmente
las probabilidades de mortalidad. En particular, fue necesario incorporar
consideraciones financieras en la modelación de ingresos y egresos. En un contrato de
1 año, el valor del dinero en el tiempo no es un aspecto crítico; pero durante un
contrato de, por ejemplo, 30 años, se convierte en una parte muy importante de la
modelación y gestión del riesgo.
71
Interés asegurable
Otro desarrollo en el seguro de vida en el siglo XIX fue el concepto de interés
asegurable. Este era un requisito en la ley de que la persona que contrataba para
pagar las primas del seguro de vida debería enfrentar una pérdida financiera a la
muerte de la vida asegurada, que no fuera menor que la suma asegurada en virtud de
la póliza. El requisito de interés asegurable prohibió el uso de seguros como una forma
de apostar en la vida de figuras públicas, pero lo que es más importante, eliminó el
incentivo para que un asegurado acelere la muerte de la vida asegurada nombrada.
Posteriormente, las pólizas de seguro tendieron a ser adquiridas por el asegurado de
vida, y en el resto de este tema utilizamos la convención de que el contratante o
tomador del seguro, que paga las primas, es también el asegurado de vida, cuya
supervivencia o muerte desencadena el pago de la suma asegurada bajo las
condiciones del contrato.

72
Tarificación en el seguro de vida
• Puede implicar una prima única o una serie de primas regulares, pagaderas siempre
que el titular de la póliza sobreviva o tal vez con una fecha de finalización fija.
• En los contratos tradicionales, la prima regular es un monto nivelado a lo largo de la
vigencia; en los contratos más modernos, la prima puede ser variable, a discreción
del titular de la póliza para productos de inversión, como los seguros vinculados a
acciones, o a discreción de la aseguradora para ciertos tipos de seguro temporales.
• Las primas regulares o periódicas pueden pagarse de forma anual, semestral,
trimestral o mensual. Las primas mensuales son comunes, pues es conveniente
que los asegurados paguen sus gastos con aproximadamente la misma frecuencia
que sus ingresos.
• Las primas se pagan al inicio de cada período. Suponga que un asegurado contrata
pagar primas anuales por un seguro a 10 años, las primas se pagarán al inicio del
contrato y luego al inicio de cada año subsecuente, siempre que el asegurado esté
vivo.
73
Tarificación en el seguro de vida
• Entonces, si contamos el tiempo en años desde 𝑡 = 0 al inicio del contrato, la
primera prima se paga en 𝑡 = 0, la segunda se paga en 𝑡 = 1, y así sucesivamente,
hasta la décima prima que se paga en 𝑡 = 9. De manera similar, si las primas son
mensuales, entonces la primera cuota mensual se pagará en 𝑡 = 0 y la prima final
11
se pagará al comienzo del último mes en 𝑡 = 9 años (a lo largo del curso
12
1
supondremos que todos los meses tienen la misma duración, años).
12

74
Anualidades contingentes o seguros de
vida
Los contratos de anualidad ofrecen una serie regular de pagos. Cuando una anualidad
depende de la supervivencia del beneficiario, se le denomina anualidad contingente
de vida. Si continúa hasta la muerte del beneficiario, se denomina renta vitalicia
(anualidad de vida entera). Si se paga por un período máximo, siempre que el
pensionado sobreviva ese período, se denomina anualidad temporal de vida.
A menudo, las personas mayores compran anualidades para generar ingresos durante
la jubilación. Comprar una renta vitalicia garantiza que los ingresos no se agotarán
antes del fallecimiento del beneficiario.
Anualidad diferida de prima única (ADPU). El titular paga una prima única a cambio de
una anualidad que comienza a pagarse en una fecha específica futura. La anualidad
sólo se paga si el titular de la póliza sobrevive hasta la fecha de pago; si fallece antes, es
posible que se deba un beneficio por fallecimiento. Si el titular fallece poco después
de comenzar la anualidad, puede haber un período de pago mínimo, denominado
período de garantía, y el saldo se pagaría a la herencia del titular de la póliza.

75
Anualidades contingentes o seguros de
vida
Anualidad Inmediata de Prima Única (AIPU). Este contrato es el mismo que el ADPU,
excepto que la anualidad comienza en cuanto se realiza el contrato. Esto podría usarse,
por ejemplo, para convertir un beneficio de jubilación de suma global en una renta
vitalicia para complementar una pensión. Al igual que con la ADPU, puede haber un
período de garantía aplicable en caso de muerte prematura del beneficiario de la
anualidad.
Renta Vitalicia Diferida con Prima Regular (RDPR). Ofrece una renta vitalicia diferida con
primas pagadas durante el período que fue diferido. Por lo demás, es lo mismo que la
ADPU.
Renta vitalicia conjunta. Una renta vitalicia conjunta se emite para dos vidas, por lo
general una pareja casada. La renta vitalicia (que puede ser de prima única o prima
regular, inmediata o diferida) continúa mientras sobreviven ambas vidas y cesa con la
primera muerte de la pareja.

76
Anualidades contingentes o seguros de
vida
Anualidad para el último sobreviviente. Es una anualidad similar a la anualidad vitalicia
conjunta, excepto que el pago continúa mientras sobrevive al menos una de las vidas y
cesa con la segunda muerte de la pareja.
Anualidad reversible. Esta anualidad está supeditada a dos vidas, generalmente una
pareja. Uno es designado como pensionado y el otro como asegurado. No se paga
ningún beneficio de anualidad mientras sobreviva la vida asegurada. A la muerte de la
vida asegurada, si el pensionado todavía está vivo, recibe una anualidad por el resto
de su vida.
Los contratos de seguros y anualidades descritos anteriormente dependen todos de
la muerte o la supervivencia. Existen otros riesgos contingentes de vida, en particular
los relacionados con la invalidez a corto o largo plazo. Estos se conocen como riesgos
de morbilidad.

77
Riesgos de morbilidad
Seguro de protección de ingresos. Cuando una persona enferma y no puede trabajar,
sus ingresos eventualmente se verán afectados. Para alguien con un empleo regular,
el empleador puede cubrir el salario por un período, pero si la enfermedad continúa,
el salario se reducirá y, en última instancia, dejará de pagarse. Para alguien que
trabaja por cuenta propia, los efectos de la enfermedad en sus ingresos serán
inmediatos. Las pólizas de protección de ingresos reemplazan al menos algunos
ingresos durante los períodos de enfermedad y suelen cesar a la edad de jubilación.
Seguro de enfermedades críticas. Algunas enfermedades graves pueden causar gastos
significativos al inicio de la enfermedad. El paciente puede tener que dejar el empleo,
cambiar su hogar o incurrir en gastos médicos severos. Este seguro paga un beneficio
en el diagnóstico de una o varias condiciones graves, como ciertos tipos de cáncer o
enfermedades del corazón. El beneficio suele ser en forma de una suma global.
Seguro de cuidados a largo plazo. Cubre los gastos de atención en la vejez, cuando el
asegurado no puede seguir viviendo de forma independiente. El beneficio sería en
forma de costos de atención a largo plazo, por lo que es un beneficio de anualidad.
78
Los planes de Pensión
Adicionalmente, muchos actuarios trabajan en el área de diseño, valoración y gestión
de riesgos de los planes de pensión.
Los planes de pensión suelen estar patrocinados por un empleador y suelen ofrecer a
los empleados (también llamados miembros del plan de pensiones) sumas globales o
beneficios de anualidades o ambos al jubilarse; o sumas globales diferidas o beneficios
de anualidades (o ambos) en retiros anticipados. Algunos ofrecen un beneficio de
suma global si el empleado muere mientras aún está empleado. Por lo tanto, los
beneficios dependen de la supervivencia y la situación laboral del miembro, y son de
naturaleza similar a los beneficios del seguro de vida, es decir, implican la inversión de
contribuciones a largo plazo para pagar beneficios futuros contingentes de vida.

79
Pensiones de beneficio definido
Las pensiones de Beneficio Definido (PBD) ofrecen ingresos de jubilación basados ​en el
servicio y el salario con un empleador, utilizando una fórmula definida para determinar
la pensión. Por ejemplo, supongamos que un empleado alcanza la edad de jubilación
con 𝑛 años de servicio (es decir, membresía en el plan de pensión) y con un salario
pensionable promedio 𝑆 en, digamos, los últimos tres años de empleo. Un plan de
salario final típico podría ofrecer una pensión anual al momento de la jubilación de
𝐵 = 𝑆𝑛𝛼, donde 𝛼 se denomina tasa de acumulación y suele ser de alrededor del 1%
o 2 %. La fórmula puede interpretarse como un beneficio de pensión de, digamos, 2%
del salario promedio final de cada año de servicio.
El beneficio definido se financia con las contribuciones pagadas por el empleador y
(generalmente) el empleado, durante la vida laboral del empleado. Las cotizaciones se
invierten, y las cotizaciones acumuladas deben ser suficientes, en promedio, para
pagar las pensiones a su vencimiento.

80
Pensiones de contribución definida
Las pensiones de Contribución Definida (PCD) funcionan más como una cuenta
bancaria. El empleado y el empleador pagan una contribución predeterminada
(generalmente un porcentaje fijo del salario) a un fondo y el fondo gana intereses.
Cuando el empleado se va o se jubila, los ingresos están disponibles para generar
nuevos ingresos durante la jubilación.
En el Reino Unido, la mayor parte de los ingresos deben convertirse en una renta
vitalicia. En EE. UU. y Canadá hay más opciones: el pensionista puede obtener fondos
para vivir sin comprar necesariamente una renta vitalicia de una compañía de
seguros. En México, el plan de pensiones vigente es del tipo de contribución definida,
con una participación estatal como complemento, además de que existe el elemento
de Pensión Mínima Garantizada.

81
Prima o valor de la póliza
Definición 1 El valor de la prima bruta de una póliza vigente con una duración de t (≥
0) años después de su compra es el valor esperado en ese momento de la variable
aleatoria de pérdida futura bruta sobre una base específica. Las primas utilizadas en el
cálculo son las primas reales pagaderas en virtud del contrato.
Definición 2 El valor de la prima neta de una póliza vigente con una duración de t (≥
0) años después de su compra es el valor esperado en ese momento de la variable
aleatoria de pérdida futura neta sobre una base específica (que no tiene en cuenta los
gastos) . Las primas utilizadas en el cálculo son las primas netas calculadas sobre la
base del valor de la póliza utilizando el principio de equivalencia, no las primas reales
pagaderas.

82
Supuestos del Pricing
Cuando se hace pricing, vamos a descubrir que los supuestos son mucho más
importantes que los métodos o fórmulas empleadas.

Los resultados de pricing son tan válidos como la validez de los supuestos.

La definición de supuestos es el aspecto más difícil y financieramente peligroso en el

proceso de pricing.

Testear los supuestos y diseñar el producto para ajustar los resultados futuros puede
reducir significativamente el resultado financiero.

83
Supuestos del Pricing
Hay varios supuestos en el pricing de los Seguros de Vida. Sin embargo, los más
importantes son:

◦ Mortalidad
◦ Caducidad
◦ Tasa de interés
◦ Gastos.

84
Modelos de Supervivencia
La variable más importante en el seguro de vida es la variable aleatoria del tiempo
futuro de vida.

(𝑥) Persona de edad 𝑥

𝑥 > 0 La muerte de (𝑥) puede ocurrir en cualquier edad mayor que 𝑥
Modelamos el tiempo futuro de vida de (𝑥) mediante una variable aleatoria continua
𝑇𝑥
𝑥 + 𝑇𝑥 representa la edad de muerte de 𝑥
Definimos 𝐹𝑥 como la función de distribución de 𝑇𝑋

85
Modelos de Supervivencia
𝐹𝑥 𝑡 = Pr(𝑇𝑥 ≤ 𝑡)

𝐹𝑥 (𝑡)representa la probabilidad de que (𝑥)no sobreviva más allá de 𝑥 + 𝑡.Nos

referimos a 𝐹𝑥 como la distribución del tiempo de vida de edad 𝑥.

En muchos problemas de seguro de vida nos interesa más la probabilidad de

supervivencia que la de fallecimiento.

86
Modelos de Supervivencia
Definimos:

𝑆𝑥 𝑡 = 1 − 𝐹𝑥 𝑡
𝑆𝑥 𝑡 = Pr(𝑇𝑥 > 𝑡)

𝑆𝑥 𝑡 representa la probabilidad de que 𝑥 sobreviva al menos 𝑡 años.

𝑆𝑥 (𝑡) es conocida como la función de supervivencia.

87
Modelos de Supervivencia
𝑇0 representa la vida futura de vida al momento del nacimiento.

Tiempo de vida futura desde el nacimiento

Tiempo de vida futura desde edad 𝑥

88
Modelos de Supervivencia
Pr 𝑇𝑥 ≤ 𝑡 = Pr 𝑇0 ≤ 𝑥 + 𝑡 𝑇0 > 𝑥
.
Pr(𝐴 ∩ 𝐵)
Pr 𝐴 𝐵 =
Pr(𝐵)

Pr(𝑥 < 𝑇0 ≤ 𝑥 + 𝑡)
Pr 𝑇𝑥 ≤ 𝑡 =
Pr(𝑇0 > 𝑥)

𝐹0 𝑥 + 𝑡 − 𝐹0 (𝑥)
𝐹𝑥 𝑡 =
𝑆0 (𝑥)

89
Modelos de Supervivencia
Pr(𝑥<𝑇𝑜 ≤𝑥+𝑇)
Pr 𝑇𝑥 ≤ 𝑡 =
Pr(𝑇0 >𝑥)
.
𝐹0 𝑥 + 𝑡 − 𝐹0 (𝑥)
𝐹𝑥 𝑡 =
𝑆0 (𝑥)

Usando 𝑆𝑥 𝑡 = 1 − 𝐹𝑥 (𝑡) Propiedades de 𝑆𝑥 𝑡

𝑆0 (𝑥 + 𝑡) 𝑆𝑥 0 = 1
𝑆𝑥 𝑡 = 𝑆𝑥 𝜔 = 0
𝑆0 (𝑥)
𝜕
𝑆 (𝑡) ≤ 0
𝜕𝑡 𝑥
𝑆0 𝑥 + 𝑡 = 𝑆0 (𝑥)𝑆𝑥 (𝑡)

90
Notación Actuarial
𝑡 𝑝𝑥 = 𝑆𝑥 𝑡 =Probabilidad de que (𝑥) sobreviva al menos 𝑡 años

𝑡 𝑞𝑥 = 𝐹𝑥 𝑡 = Probabilidad de que (𝑥)fallezca entre 𝑥 y 𝑥 + 𝑡

𝑢|𝑡 𝑞𝑥 = 𝑆𝑥 𝑢 − 𝑆𝑥 𝑢 + 𝑡 = 𝐹 𝑢 + 𝑡 − 𝐹𝑥 𝑢

Probabilidad de que (𝑥) sobreviva 𝑢 años y fallezca en los próximos 𝑡 años

Probabilidad de (𝑥) fallezca entre 𝑥 + 𝑢 y 𝑥 + 𝑢 + 𝑡

91
Tablas de Mortalidad
Las tablas de Mortalidad es una forma tabular de representar la función de
supervivencia.

Dado un modelo de supervivencia con probabilidades de supervivencia 𝑡 𝑝𝑥

podemos construir una Tabla de Mortalidad

Definimos 𝑙𝑥 para 𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜔

𝑙𝑥0 es un valor arbitrario 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑥

⇒ 𝑙𝑥𝑜 +𝑡 = 𝑙𝑥0 𝑡 𝑝𝑥

92
Tablas de Mortalidad
Las tablas de Mortalidad es una forma tabular de representar la función de
supervivencia.

Dado un modelo de supervivencia con probabilidades de supervivencia 𝑡 𝑝𝑥

podemos construir una Tabla de Mortalidad

Definimos 𝑙𝑥 para 𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜔

𝑙𝑥0 es un valor arbitrario 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑥

⇒ 𝑙𝑥𝑜 +𝑡 = 𝑙𝑥0 𝑡 𝑝𝑥
𝑙𝑥+𝑡
⇒𝑡 𝑝𝑥 =
𝑙𝑥
93
Seguros Tradicionales
Ordinario de vida

Seguro de vida con cobertura vitalicia 𝑥 − 𝜔 que paga un beneficio 𝑏 en caso de

fallecimiento de (𝑥)

94
Seguros Tradicionales
Temporal

Seguro de vida con cobertura por fallecimiento durante 𝑛 años que paga un beneficio
𝑏 en caso de fallecimiento de (𝑥)

95
Seguros Tradicionales
Dotal Puro

Seguro de supervivencia que paga un beneficio (𝑏) en caso de que (𝑥) sobreviva 𝑛
años

96
Seguros Tradicionales
Dotal Mixto

Seguro de Vida que paga un beneficio (𝑏1) en caso de que (𝑥) fallezca entre “𝑥” y
“𝑥 + 𝑛” o paga un beneficio (𝑏2) en caso de que (𝑥) sobreviva 𝑛 años

97
Valor Presente Actuarial
Ordinario de vida

𝜔−𝑥−1

𝐴𝑥 = ෍ 𝑘+1
𝑘 𝑝𝑥 𝑞𝑥+𝑘 𝑣
𝑘=0

98
Valor Presente Actuarial
Temporal

𝑛−1

𝐴1𝑥:𝑛| = ෍ 𝑘 𝑝𝑥 𝑞𝑥+𝑘 𝑣
𝑘+1

𝑘=0

99
Valor Presente Actuarial
Dotal Puro

𝑛𝐸𝑥 = 𝑛𝑝𝑥 𝑣 𝑛

100
Valor Presente Actuarial
Dotal (Mixto)

𝐴𝑥:𝑛| = 𝐴1𝑥:𝑛| + 𝑛𝐸𝑥 = σ𝑛−1

𝑘=0 𝑘𝑝𝑥 𝑞𝑥+𝑘 𝑣
𝑘+1 + 𝑝 𝑣 𝑛
𝑛 𝑥

101
Valores Conmutados
Para simplificar cálculos:

𝐷𝑥 = 𝑙𝑥 𝑣 𝑥
𝐶𝑥 = 𝑑𝑥 𝑣 𝑥+1

𝑤−𝑥 𝑤−𝑥
𝑀𝑥 = ෍ 𝐶𝑥+𝑡 𝑁𝑥 = ෍ 𝐷𝑥+𝑡
𝑡=0 𝑡=0

𝑤−𝑥
𝑤−𝑥

𝑅𝑥 = ෍ 𝑀𝑥+𝑡 𝑆𝑥 = ෍ 𝑁𝑥+𝑡
𝑡=0
𝑡=0

102
Valores Conmutados
:

𝑀𝑥
𝐴𝑥 = 𝐴𝑥:𝑛| = 𝐴1𝑥:𝑛| + 𝑛𝐸𝑥
𝐷𝑥

𝐷𝑥+𝑛 𝑀𝑥 − 𝑀𝑥+𝑛
𝑛𝐸𝑥 =
𝐷𝑥 𝐴1𝑥:𝑛| =
𝐷𝑥

103
Anualidades
Una anualidad cierta es aquella que se refiere a una serie de pagos que una persona
realizará durante un plazo determinado independientemente de la condición de
supervivencia.

Para 𝑛 entero tenemos que una anualidad cierta que se paga al principio del año es:
𝑛
1 − 𝑣
𝑎ሷ 𝑛| = 1 + 𝑣 + 𝑣 2 + ⋯ + 𝑣 𝑛−1 =
𝑑

Mientras que una anualidad cierta que se paga al final de los años es:
𝑎𝑛| = 𝑣 + 𝑣 2 + ⋯ + 𝑣 𝑛 = 𝑎ሷ 𝑛| − 1 + 𝑣 𝑛

104
Anualidades
Una anualidad contingente es aquella que se refiere a una serie de pagos que una
persona realizará mientras se mantenga con vida a la fecha de pago.

A diferencia de la anualidad cierta, la contingente considera la probabilidad de

supervivencia.

La anualidad contingente vitalicia con pago al inicio del año es:

𝑎ሷ 𝑥 = 1 + 𝑣1 𝑝𝑥 + 𝑣2 2 𝑝𝑥 + ⋯

𝑎ሷ 𝑥 = ෍ 𝑣𝑘 𝑘 𝑝𝑘
𝑘=0

105
Anualidades
Una anualidad contingente temporal está limitada por el número de años que durará
la serie de pagos.

La anualidad contingente temporal a 𝑚 años está dada por:

𝑎ሷ 𝑥:𝑚| = 1 + 𝑣1 𝑝𝑥 + 𝑣2 2 𝑝𝑥 + ⋯ + 𝑣𝑚−1 𝑚−1 𝑝𝑥

𝑚−1

𝑎ሷ 𝑥:𝑚| = ෍ 𝑣𝑘 𝑘 𝑝𝑥
𝑘=0

106
Principio de Equivalencia
Lo anterior implica:

𝐸 𝑉𝑃 𝑑𝑒 𝑃𝑎𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝐵𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠 − 𝑉𝑃 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑠 𝑛𝑒𝑡𝑎𝑠 = 0

Bajo el principio de equivalencia:

El valor presente esperado del Pago de beneficios es igual al valor presente esperado
de los ingresos por primas.

𝐴𝑥 = 𝑃𝑥 𝑎ሷ 𝑥

107
Prima Neta Nivelada

108
 Matemáticas
Actuariales de Largo
Plazo
CALCULO Y VALUACIÓN DE RESERVAS EN EL SEGURO DE
VIDA
El proceso de valuación
Un elemento importante en el control financiero de una aseguradora es el cálculo, a
intervalos regulares, de la suma de los valores de las pólizas vigentes en ese momento
y del valor de las inversiones de la compañía. Para que la empresa sea
financieramente sólida, las inversiones deben tener un valor mayor que el valor total
de las pólizas.
Este proceso se denomina valuación. En la mayoría de los países, las valuaciones son
requeridas por la autoridad supervisora ​de seguros.
En la literatura actuarial, los términos reserva, reserva prospectiva y valor de póliza
prospectivo a veces se usan en lugar de valor de póliza. Usamos valor de póliza como
el valor esperado de la variable aleatoria de pérdida futura, y reserva restringida para
denominar el capital real mantenido con respecto a una póliza, que puede ser mayor
o menor que el valor de la póliza.

110
Reservas
La tabla R.1 revela una característica típica de los flujos de efectivo netos: varios de
los flujos de efectivo netos en años posteriores son negativos. Esto ocurre porque la
prima nivelada es más que suficiente para pagar los gastos de renovación y los
reclamos por muerte esperados en los primeros años, pero, con una probabilidad
creciente de muerte, es insuficiente en los años posteriores. Los valores de flujo de
efectivo esperado en la columna final de la Tabla R.1 se calcularon de la misma
manera
La aseguradora necesita apartar activos para cubrir los flujos negativos de efectivo
futuros esperados. Los valores de las pólizas representan la cantidad que, en el
esperado, sería suficiente para cubrir los beneficios futuros con las primas futuras. Al
modelar los flujos de efectivo, usamos las reservas en lugar de los valores de las
pólizas. La reserva es la cantidad real de dinero que tiene el asegurador para hacer
frente a obligaciones futuras. La reserva puede ser igual al valor de la póliza, o puede
ser una cantidad diferente.

111
Tabla R.1
Prima en Reclamos Esperados Excedente
Tiempo t Gastos Gt Interés
t−1 por Muerte en t
0 700 -700
1 1500 0.00 82.50 1000 582.50
2 1500 52.50 79.61 1100 427.11
3 1500 52.50 79.61 1200 327.11
4 1500 52.50 79.61 1300 227.11
5 1500 52.50 79.61 1400 127.11
6 1500 52.50 79.61 1500 27.11
7 1500 52.50 79.61 1600 −72.89
8 1500 52.50 79.61 1700 −172.89
9 1500 52.50 79.61 1800 −272.89
10 1500 52.50 79.61 1900 −372.89

112
Reservas
La reserva no debe ser menor que el valor de la póliza, pero puede ser mayor para
tener en cuenta la incertidumbre o la experiencia adversa. Sin embargo, por lo
general, para los seguros tradicionales, el cálculo del valor de la póliza se utilizará para
establecer las reservas, tal vez utilizando una base conservadora. Tome en cuenta que
el flujo de efectivo negativo en el momento 0 en la tabla R.1 no requiere una reserva
ya que se habrá pagado tan pronto como se emitió la póliza.
El monto de las reservas se determina mediante un proceso separado de la prueba de
utilidades y se basa en un conjunto de supuestos, la base de reserva, que puede ser
diferente de la base de la prueba de utilidades. En la práctica, es probable que la base
de reserva sea más conservadora que la base de prueba de utilidades.
Es necesario seleccionar el método de reservas adecuado al tipo de producto a
desarrollar. El método de reserva a elegir dependerá de la regulación, de la cartera,
del tipo de producto y de cada compañía.
Para fines didácticos, se utilizará el método simplificado de reserva de prima nivelada.
113
Reservas
Fórmula de Acumulación de Reserva de Fackler

Este método permite calcular la reserva del siguiente año dad la reserva en curso, así
como: la prima neta, el beneficio de muerte, la tasa de mortalidad y la tasa de interés
del siguiente año.

Este método puede ser de gran ayuda para calcular reservas de manera fácil y rápida.
Permite analizar cambios en las reservas de un año a otro.

𝑡−1𝑉𝑥 + 𝑃𝑁𝑁𝑥+𝑡 1 + 𝑖 − 𝑏𝑞𝑥+𝑡

𝑡 𝑉𝑥 =
𝑝𝑥+𝑡

114
Valores Garantizados
Los valores garantizados comúnmente utilizados en las pólizas de seguro tradicional y
a los que se refiere la regulación son los siguientes:

Valor de Recate
Seguro Prorrogado
Seguro Saldado
Préstamo Automático
Préstamo Ordinario

115
Valores Garantizados
Valor de Rescate

Cantidad de dinero equivalente a un porcentaje de la reserva matemática que tiene

derecho a recibir el asegurado en caso de cancelación de la póliza. Esta cantidad es la
base para el cálculo de los demás valores garantizados.

Seguro Prorrogado

Seguir reducido a prima única que cubre al asegurado por fallecimiento considerando
la suma originalmente pactada, pero modificando el plazo de la cobertura del seguro
por uno menos io igual al originalmente pactado.

116
Valores Garantizados
Seguro Saldado

Seguro reducido a prima única que cubre al asegurado por fallecimiento

considerando el plazo originalmente pactado pero modificando la suma asegurada,
siendo menor o igual a la originalmente pactada.

Préstamo automático

Préstamo que se otorga de manera automática para pagar las primas, se considera el
valor de rescate como la garantía del préstamo y se cobra una tasa de interés
independientemente al seguro contratado. Una vez que el monto de la deuda alcanza
al valor de rescate, la póliza se cancela.

117
Valores Garantizados
Seguro Saldado

Seguro reducido a prima única que cubre al asegurado por fallecimiento

considerando el plazo originalmente pactado pero modificando la suma asegurada,
siendo menor o igual a la originalmente pactada.

Préstamo automático

Préstamo que se otorga de manera automática para pagar las primas, se considera el
valor de rescate como la garantía del préstamo y se cobra una tasa de interés
independientemente al seguro contratado. Una vez que el monto de la deuda alcanza
al valor de rescate, la póliza se cancela.

118
Valores Garantizados
Préstamo Ordinario

Préstamo que se otorga a solicitud del asegurado. Se considera el valor de rescate

como la garantía del préstamo y se cobra una tasa de interés independiente al seguro
contratado. Una vez que el monto de la deuda alcanza al valor de rescate, la póliza se
cancela.

119