1) El documento presenta un problema de asignación resuelto a través del método simplex. Se muestra la solución óptima con un valor objetivo de $40,000. 2) Explica que las variables artificiales permiten convertir las desigualdades en igualdades para representar el sobrante de recursos. 3) Describe las técnicas de la gran M y de las dos fases para resolver problemas donde el origen no es factible.
0 calificaciones0% encontró este documento útil (0 votos)
41 vistas12 páginas
1) El documento presenta un problema de asignación resuelto a través del método simplex. Se muestra la solución óptima con un valor objetivo de $40,000. 2) Explica que las variables artificiales permiten convertir las desigualdades en igualdades para representar el sobrante de recursos. 3) Describe las técnicas de la gran M y de las dos fases para resolver problemas donde el origen no es factible.
1) El documento presenta un problema de asignación resuelto a través del método simplex. Se muestra la solución óptima con un valor objetivo de $40,000. 2) Explica que las variables artificiales permiten convertir las desigualdades en igualdades para representar el sobrante de recursos. 3) Describe las técnicas de la gran M y de las dos fases para resolver problemas donde el origen no es factible.
1) El documento presenta un problema de asignación resuelto a través del método simplex. Se muestra la solución óptima con un valor objetivo de $40,000. 2) Explica que las variables artificiales permiten convertir las desigualdades en igualdades para representar el sobrante de recursos. 3) Describe las técnicas de la gran M y de las dos fases para resolver problemas donde el origen no es factible.
Según las matrices mostradas se ve como estamos en un punto óptimo, donde hay variables no básicas con coste reducido a 0, por lo que existen diversos valores para cada una de las variables de decisión que permiten obtener el valor óptimo de:
Z = 40000, los cuales están contenidos en el segmento de la recta:
10𝑋1 + 15𝑋2 + 5𝑋3 = 40000
La solución óptima es: 𝑋1= 1000, 𝑋2= 2000, 𝑋3= 0, 𝑆1= 4000, 𝑆2= 0, 𝑆3= 0 Parte II Aplicación de las variables artificiales en el método Simplex.
Las variables de holgura o variables artificiales permiten determinar los excedentes de las restricciones que podrían ser empleados en otros fines sin que la solución óptima se altere. Las variables de holgura permiten convertir las desigualdades de las restricciones en igualdades, lo cual llega a representar el sobrante de las disponibilidades de cada recurso; en el caso que se desarrolla como ejemplo, es la capacidad de horas máquina en cada proceso o departamento. En el ejemplo desarrollamos. Las restricciones lineales de forma:
Agregando una nueva variable no negativa al lado izquierdo de la desigualdad se pueden
convertir en ecuaciones, ésta variable es numéricamente igual a la diferencia entre el lado izquierdo y derecho de la desigualdad. Por lo cual las desigualdades quedan con vértices en las siguientes ecuaciones: Las variables de holgura S1 y S2 muestran los excedentes de tiempo en la capacidad no utilizada en los procesos I y II respectivamente. En la solución óptima determinada por método gráfico algebraico cuando: x1 = 600 x2 = 2.100 Las variables de holgura son:
Por tanto, las variables de holgura:
S1 = 0 S2 = 0 Significa que no se tienen tiempo ocioso en los procesos I ni II. Para esta información se consultó la página, www.solocontabilidad.com
Técnica de la gran M
El método de la M grande es una forma derivada del método simplex, usado para resolver problemas donde el origen no forma parte de la región factible de un problema de programación lineal. Para realizar este algoritmo, se siguen los mismos pasos que en el método simplex, pero antes tenemos que cambiar la función objetivo para que incluya a las variables artificiales. Estas variables tendrán que estar multiplicadas por un numero suficientemente grande para que no se elimine a través de la operaciones, llamado M y que además deberá irse solamente cuando se sume o reste con otra M. Para el caso de maximizacion, tenemos que restar las variables artificiales junto con sus coeficientes para que estas variables no entren a la base, pero si minimizamos entonces tendremos que sumar las variables artificiales Para ello consideremos el siguiente modelo de Programación Lineal en 2 variables:
A continuación agregamos las variables no negativas (holgura restricción 1), (auxiliar
restricción 2), (exceso restricción 3) y (auxiliar restricción 3). El modelo ahora es:
Donde el parámetro M es una constante positiva suficientemente grande para representar
una penalización adecuada en la función objetivo. La tabla inicial del método esta dada por:
Antes de continuar con las iteraciones se debe procurar que el costo reducido de las variables y sean ceros. Para ello multiplicamos por -M la fila 2 y la fila 3 y luego sumamos a la fila 4, obteniendo lo siguiente:
Ahora debemos seleccionar que variable no básica ingresa a la base. El menor costo reducido corresponde a la variable en consecuencia dicha variable ingresa a la base.
Luego calculamos el mínimo cuociente en dicha columna: , el
cual se alcanza en la fila 1, por tanto la variable deja la base. Se actualiza la tabla: Siguiendo con las iteraciones ahora la variable entra a la base. El criterio de factibilidad
indica que: la variable abandona la base (el pivote se
encuentra en la fila 3). Actualizamos la tabla:
Una nueva iteración indica que ingresa a la base. El mínimo cuociente en la respectiva
columna es: Ahora el pivote se encuentra en la fila 2 y en
consecuencia deja la base. Se actualiza la tabla:
Se ha alcanzado la solución óptima con y . Notar que las variables
auxiliares (r1 y r2) son no básicas en el óptimo. El valor óptimo es 21/4 (notar que el signo esta cambiado). Esta información fué consultada en las siguientes páginas: sites.google.com y gestiondeoperaciones.net.
Técnica de las 2 fases
En muchas ocasiones nos encontraremos con modelos donde el conjunto de soluciones
factibles no consideran al origen como una de ellas, por lo cual sera imposible utilizar el método simplex. Para este tipo de casos se han creado muchas metodologías que buscan resolver este tipo de problemáticas buscando la solución a través de diversos procesos. Una de estas alternativas es el método de las dos fases, el cual, como su nombre lo indica, trabaja por medio de 2 fases o procedimientos, con el objetivo de encontrar primeramente una solución factible inicial y después pasar a resolver el modelo a través del método simplex. Para utilizar este método se deber tener el modelo en su forma ampliada, las variables de decisión deben de ser reales y mayores a cero. Las fases del método se describen a continuación: Fase 1 (Se busca la primera Solución básica factible): Consideramos un modelo de programación lineal que se encuentra en su forma canónica, este modelo debe de ser transformado en su forma ampliada agregando variables artificiales en las restricciones donde el origen no es una solución. Ahora se cambia la función objetivo por una función de minimización donde las variables de decisión son las variables artificiales, pero tomamos el conjunto de restricciones de la función original. Procedemos a resolver el modelo que tenemos planteado hasta que se de uno de los siguientes casos: las variables artificiales salen de la base o la función objetivo obtiene el valor de cero. Si no ocurre ninguno, entonces el modelo no tiene solución Fase 2 (Resolvemos el modelo con la nueva solución encontrada): Eliminamos las variables artificiales de las restricciones, pero conservamos los cambios que se dieron durante la fase 1. Regresamos a la función objetivo original y resolvemos el modelo con los cambios que se dieron en las restricciones durante la fase 1. Información consultada en sites.google.com.
Definición de problema Dual, su relación entre el problema primal y su aplicación
El problema dual es una programación lineal definida en forma directa y sistemática a partir del modelo original (o primal) de programación lineal. Los dos problemas están relacionados en forma tan estrecha que la resolución óptima de un problema produce en forma automática la resolución óptima del otro. Relaciones entre problemas primales y duales El número de variables que presenta el problema dual se ve determinado por el número de restricciones que presenta el problema primal. El número de restricciones que presenta el problema dual se ve determinado por el número de variables que presenta el problema primal. Los coeficientes de la función objetivo en el problema dual corresponden a los términos independientes de las restricciones (RHS), que se ubican del otro lado de las variables. Los términos independientes de las restricciones (RHS) en el problema dual corresponden a los coeficientes de la función objetivo en el problema primal. La matriz que determina los coeficientes técnicos de cada variable en cada restricción corresponde a la transpuesta de la matriz de coeficientes técnicos del problema primal. Solución de un problema dual, paso a paso Dado el siguiente modelo primal:
X1 = 28,75 X2 = 120 S1 = 79.5 S3 = 51.25 Función objetivo = 3310 Procedemos a resolver el problema dual Paso 1: Definimos el problema dual
Este paso se lleva a cabo teniendo en cuenta las relaciones que se expusieron en la definición de la dualidad. Ahora las variables en el dual las representaremos por «ʎ» y corresponden a cada restricción. El modelo queda de la siguiente forma: ZMIN = 700ʎ1 + 612ʎ2 + 80ʎ3 + 120ʎ4 16ʎ1 + 6ʎ2 + ʎ3 ≥ 40 2ʎ1 + 3ʎ2 + ʎ4 ≥ 18 ʎ1;ʎ4 ≥ 0 Ahora preparamos el modelo para ser resuelto mediante Método Simplex, utilizaremos el procedimiento en el cual la función objetivo es multiplicada por (-1) y resolveremos el modelo mediante maximización. ZMIN = 700ʎ1 + 612ʎ2 + 80ʎ3 + 120ʎ4 Lo que es igual (-Z)MAX = -700ʎ1 – 612ʎ2 – 80ʎ3 – 120ʎ4 Ahora dado que los signos de las inecuaciones son mayor o igual procedemos a volverlas ecuaciones agregando variables de exceso, recordemos que en este caso las variables de exceso se restan del lado izquierdo de la igualdad, por ende. 16ʎ1 + 6ʎ2 + ʎ3 + 0ʎ4 – 1S1 + 0S2 = 40 21ʎ1 + 3ʎ2 + 0ʎ3 + ʎ4 + 0S1 – 1S2 = 18 ʎ1;ʎ4 ≥ 0 Recordemos que el Método Simplex solo es posible por la formación de la matriz identidad, sin embargo en una matriz identidad no pueden ir coeficientes negativos, el cual es el caso, por ende recurriremos al artificio denominado «Método de la M grande» utilizando variables artificiales, las cuales siempre se suman. 16ʎ1 + 6ʎ2 + ʎ3 + 0ʎ4 – 1S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 ≥ 40 21ʎ1 + 3ʎ2 + 0ʎ3 + ʎ4 + 0S1 – 1S2 + 0A1 + 1A2 ≥ 18 ʎ1;ʎ4 ≥ 0 Ahora si observamos la matriz identidad formada por las variables artificiales, nuestra función objetivo es la siguiente (varía dada la incorporación de las nuevas variables). (-Z)MAX = -700ʎ1 – 612ʎ2 – 80ʎ3 – 120ʎ4 + 0S1 + 0S2 – MA1 – MA2 Recordemos que el coeficiente de las variables de holgura y exceso es 0, además que los coeficientes de las variables artificiales es M, donde M corresponde a un número grande poco atractivo cuyo signo en la función objetivo depende del criterio de la misma, dado que la función es maximizar el signo es negativo. Dado que utilizaremos el Método Simplex y no un software para la resolución del modelo es necesario que M adquiera valor, en este caso será «-10000» un número bastante grande en el problema. Las iteraciones que utiliza el Método Simplex son las siguientes:
Podemos observar que todos los Cj – Zj son menores o iguales a 0, por ende hemos llegado a la solución óptima del problema, sin embargo recordemos que la función objetivo fue alterada en su signo al principio, por ende se hace necesario regresarle su signo original a Zj y a la fila Cj – Zj. (-Z)max = -3310 * (-1) Zmax = 3310 Podemos cotejar con la función objetivo del modelo primal y encontraremos que hallamos el mismo resultado. Ahora se hace necesario interpretar los resultados de la tabla dual respecto al modelo primal, y esta interpretación se realiza siguiendo los siguientes principios. La interpretación del tabulado final del modelo dual es la siguiente:
Información obtenida de Christian5t1is.blogspot.com y
