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Carlos Ivorra Castillo
Carlos Ivorra Castillo
Carlos Ivorra Castillo
FUNCIONES DE
VARIABLE COMPLEJA
El camino más corto entre dos verdades del aná-
lisis real pasa por el análisis complejo.
Jacques Hadamard
Índice General
Introducción vii
v
vi ÍNDICE GENERAL
vii
viii Introducción
a sus características, no a la autoría de los resultados. Por ejemplo, en la sección [An 10.6] se
prueba que la función dseta de Riemann tiene una prolongación meromorfa a todo el plano
complejo y satisface una ecuación funcional relativamente simple, y estos resultados son de
Riemann, pero son “de Cauchy” en el sentido de que en ellos la geometría no es especialmente
relevante, más allá del hecho —aquí anecdótico— de que podamos ver los polos como puntos
donde una función es holomorfa con valor ∞ en C∞ . Además, por supuesto, muchos resultados
se deben a otros autores distintos de Cauchy o Riemann, que simplemente fueron los pioneros
de la teoría.
ix
El capítulo III está dedicado a los resultados topológicos específicos del aná-
lisis complejo de funciones de una variable. En primer lugar introducimos el
concepto de índice de un arco cerrado respecto de un punto, definido en mi
libro de Topología algebraica [TA] que se interpreta como el número de vueltas
que da el arco alrededor del punto, en términos del cual podemos enunciar y
probar una versión más general del teorema y las fórmulas integrales de Cauchy
y del teorema de los residuos. También probamos algunos resultados clásicos
más avanzados del análisis complejo en los que no entramos en [An], como el
principio del argumento, el teorema de Rouché o los teoremas de Picard, entre
otros.
En la sección 3.4 probamos que los abiertos Ω ⊂ C que son simplemente
conexos en el sentido introducido en [TA 8.6] tienen, por una parte, una carac-
terización muy simple (son los abiertos conexos tales que C∞ \ Ω es conexo)
y, por otra parte, tienen muchas caracterizaciones en términos del comporta-
miento de las funciones holomorfas definidas en ellos. Por ejemplo, veremos
que los abiertos simplemente conexos son los abiertos conexos en los que toda
función holomorfa tiene primitiva o en los que toda función holomorfa que no
se anula tiene un logaritmo holomorfo.
En realidad, la equivalencia entre todas estas caracterizaciones es relativa-
mente fácil de probar, pero no lo es tanto ver que realmente son equivalentes
a la conexión simple. Esto es consecuencia de un teorema de Riemann nada
trivial: dos abiertos simplemente conexos en C∞ cuyas fronteras tengan más de
un punto son necesariamente biholomorfos.
Menos trivial aún es el teorema de Osgood-Taylor-Caratheodory, que da una
condición suficiente muy simple para que una aplicación biholomorfa entre dos
abiertos de C∞ se extienda a un homeomorfismo entre sus clausuras (basta con
que los complementarios de las clausuras tengan interior no vacío). Combinando
este teorema con el teorema de la curva de Jordan [TA 2.7] probaremos el
teorema de Schoenflies que en [TA] enunciamos como [TA 2.18] y lo usamos sin
demostración, entre otras cosas para demostrar que toda superficie topológica
es triangulable [TA 2.29].
El capítulo IV es el único capítulo puramente à la Cauchy de todo el libro. En
él profundizamos en el estudio de los productos infinitos de funciones holomorfas
mostrando cómo construir mediante tales productos funciones meromorfas con
ceros y polos en puntos prefijados y con órdenes prefijados, y también como
descomponer en productos infinitos funciones holomorfas con factores que se
correspondan con sus ceros asegurando que los productos sean convergentes.
Como aplicación estudiamos más a fondo la función factorial y probaremos
cómo la fórmula de Stirling puede expresarse como una ecuación funcional de
la función factorial.
En el capítulo V estudiaremos las funciones meromorfas periódicas. En él
usaremos algunos resultados elementales sobre retículos probados en la sección
[ITAl 3.2]. Una función periódica puede ser de dos tipos muy distintos en-
tre sí: sus periodos pueden ser todos múltiplos de un único periodo mínimo,
como le ocurre a las funciones sen z, cos z, etc., o pueden tener dos periodos
x Introducción
en la sección [IC 1.2] (en los ejemplos tras el teorema de la función inversa)
vimos que es posible definir ramas uniformes del logaritmo logα : Hα −→ C,
donde Hα es el abierto que resulta de eliminar la semirrecta formada por el 0 y
los números complejos de argumento α. En particular, el logaritmo log−π está
definido en C menos en el semieje real negativo.
Imaginemos que partimos de z = 1, donde log−π (1) = 0, y nos movemos
siguiendo la circunferencia unitaria en sentido antihorario. Cuando lleguemos
a i el logaritmo valdrá logπ (i) = iπ/2 y a medida que nos acerquemos a −1 el
logaritmo log−π (z) tenderá a iπ. En cambio, si nos movemos en sentido horario,
cuando nos acerquemos a −1 el logaritmo log−π (z) tenderá a −iπ, y ésa es la
razón por la que log−π no puede extenderse a una función siquiera continua en
el semieje real negativo: que en un punto como −1 su valor debería ser iπ para
que fuera continua “por arriba” y −iπ para que fuera continua “por abajo”.
Pero esto no significa que la función logaritmo tenga ningún problema en el
semieje real negativo. En realidad, si nos movemos por la circunferencia unita-
ria calculando logaritmos a nuestro paso, nada nos obliga a detenernos en −1.
Podemos avanzar indefinidamente sin encontrar ninguna discontinuidad. Al lle-
gar a −1 (si nos movemos en sentido antihorario) llegaremos al logaritmo iπ, y
podemos seguir calculando logaritmos hasta llegar a −i, donde tendremos 3πi/2
y completar la vuelta hasta llegar a 1, donde obtendremos el valor 2πi, que es
un valor diferente al valor de partida, pero eso no significa que nos hayamos
encontrado con ninguna discontinuidad. Incluso podemos seguir avanzando y
calculando logaritmos a nuestro paso, y cuando completemos otra vuelta y lle-
guemos de nuevo a 1 habremos llegado al logaritmo 4πi. El único problema que
tendríamos si quisiéramos calcular logaritmos a la vez que avanzamos por una
curva sería si ésta pasara por 0, pues entonces nuestros logaritmos tenderían a
infinito.
En realidad sí que tenemos un problema, y es que si empezamos en z = 1
calculando log 1 = 0 y, después de “dar un paseo” calculando logaritmos llega-
mos (sin discontinuidades) a log 1 = 2πi, nuestro problema es que nos vemos
obligados a que la función log asigne varios valores al mismo punto 1, con lo que
no podemos considerarla como una función “uniforme” usual.
Riemann se dio cuenta de que el hecho de θ = 3π A
que “al pasear” no percibamos ninguna dis-
continuidad (siempre y cuando no tratemos θ=π
de pasar por 0) se traduce en que el problema θ = 2π
desaparece si pensamos que la función log no
está definida en C\{0}, sino en una superficie θ = −π
con el aspecto que muestra la figura. Sobre θ=0
el eje marcado con θ = 0 el logaritmo es el
θ = −3π
logaritmo real usual, y si partimos de z = 1,
tenemos log 1 = 0, pero a medida que gira- θ = −2π
mos vamos “subiendo”, de modo que cuando
hemos dado media vuelta estamos en el eje θ = π, donde log da logaritmos con
parte imaginaria π, y no es el mismo eje al que habríamos llegado si hubiéramos
“bajado” girando en sentido antihorario, pues en tal caso habríamos llegado al
xii Introducción
eje θ = −π, donde log proporciona logaritmos con parte imaginaria −π. Similar-
mente, si damos una vuelta entera en sentido antihorario, no volvemos al punto
de partida, sino que llegamos al eje θ = 2π, donde log z proporciona logaritmos
con parte imaginaria 2πi.
El dibujo (entendiendo que la superficie no está contenida en un cilindro,
sino que se prolonga indefinidamente siguiendo los ejes) representa lo que se
conoce como la superficie de Riemann de la función (multiforme) logaritmo. Si
la llamamos A, en ella hay definidas dos funciones holomorfas. Por una parte
una proyección π : A −→ C \ {0} que a cada punto z ∈ A le asigna el punto del
plano complejo sobre el que está situado. Así, en cada eje paralelo a θ = 0 hay
un punto con proyección 1, de modo que cuando damos una vuelta completa,
pasamos de un punto z0 tal que π(z0 ) = 1 a otro punto z2π tal que π(z2π ) = 1
igualmente. Por otra parte, tenemos la función log : A −→ C que a cada punto
z ∈ A le asigna un logaritmo de π(z), de modo que log(z0 ) = 0, log(z2π ) = 2πi,
etc.
Aquí es importante que A no es meramente “una superficie”, sino una super-
ficie analítica, es decir, una variedad diferencial con la estructura necesaria para
que tenga sentido decir que la función log definida sobre ella es holomorfa.
En el capítulo VII daremos una definición precisa de “función holomorfa mul-
tiforme” y veremos cómo asociar a cada una de ellas una superficie de Riemann
en la que puede verse como una función holomorfa uniforme. En el contexto
de las funciones multiformes tendrá sentido decir que la función log tiene una
singularidad aislada en z = 0, lo que esencialmente significa que la proyección
π : A −→ C \ {0} no se puede extender (ni siquiera ampliando A) para que 0
pase a estar en su imagen (y sin que π deje de ser una función holomorfa). Más
precisamente, log tiene dos singularidades aisladas, una en 0 y otra en ∞.
La situación es ligeramente distinta si en lugar
√ de considerar la función lo-
garitmo consideramos la función multiforme 3 z. En este caso, para hacerla
uniforme, no necesitamos una superficie √ de Riemann tan grande como la del lo-
garitmo. La superficie de Riemann de 3 z tiene el mismo aspecto que muestra la
figura anterior, pero entendiendo que la espiral no se prolonga indefinidamente,
sino que el eje marcado como θ = 3π es es el mismo que el marcado como
θ = −3π, de modo que cuando damos tres vueltas alrededor de 0 volvemos al
mismo punto de partida.
Esta superficie tiene también dos singularidades aisladas en 0 y en ∞, pero
con la diferencia de que ahora son ‘evitables’. Es posible compactificar A aña-
diéndole dos √ nuevos puntos,
√ uno con proyección 0 y otro con proyección ∞,
sobre los que 3 0 = 0 y 3 ∞ = ∞ y, con estos dos√puntos añadidos, la superficie
A se vuelve compacta (y las funciones π(z) y 3 z definidas sobre ella siguen
siendo holomorfas).
√
Veremos que esto es posible porque la función 3 z es ‘algebraica’, en el sen-
tido de que es raíz del polinomio w3 − z. En general, probaremos que cada
polinomio P (w, z) ∈ C(z)[w] determina una función multiforme meromorfa F
que cumple P (F (z), z) = 0 para todo punto z que no sea un polo de ninguno de
los coeficientes de P , y que las superficies de Riemann de las funciones mero-
morfas algebraicas en este sentido son compactas (o se pueden compactificar con
xiii
Funciones holomorfas
1
2 Capítulo 1. Funciones holomorfas
para todo ζ ∈ Ω.
1.1. Diferenciación de funciones complejas 5
f (ζ + h) − f (ζ)
f 0 (ζ) = lím ,
h→0 h
luego
f (ζ + h) − f (ζ) − f 0 (ζ)h
lím = 0.
h→0 h
Como la función h/|h| está acotada, podemos multiplicar por ella y concluir que
f (ζ + h) − f (ζ) − f 0 (ζ)h
lím = 0.
h→0 |h|
∂ Re f k ∂ Im f k ∂ Im f k ∂ Re f k
= , =− .
∂xj ζ ∂yj ζ ∂xj ζ ∂yj ζ
∂f k ∂ Re f k ∂ Im f k
= + i.
∂zj ζ ∂xj ζ ∂xj ζ
6 Capítulo 1. Funciones holomorfas
Que esta aplicación sea C-lineal significa que existen α1k , . . . , αnk ∈ C tales
que
n n
df k |ζ (h) =
P P
αjk hj = (Re αjk uj − Im αjk vj , Im αjk uj + Re αjk vj ).
j=1 j=1
∂ Re f k ∂ Im f k ∂ Re f k ∂ Im f k
Re αjk = = , Im αjk = − = .
∂xj ζ ∂yj ζ ∂yj ζ ∂xj ζ
∂(f + g) ∂f ∂g ∂(αf ) ∂f
= + , =α .
∂zj ζ ∂zj ζ ∂zj ζ ∂zj ζ ∂zj ζ
Basta tener en cuenta que las derivadas parciales son las derivadas de las fun-
ciones que resultan de fijar todas las variables menos la j-ésima.
Las reglas para la derivación de productos y cocientes se siguen de este
teorema sobre diferenciación:
8 Capítulo 1. Funciones holomorfas
∂ Re f −x2 + y 2 ∂ Im g ∂ Im g 2xy ∂ Re g
= 2 = , = 2 =− .
∂x (x + y 2 )2 ∂y ∂x (x + y 2 )2 ∂y
Además
∂g ∂ Re g ∂ Im g −x2 + 2xy + y 2 (x − yi)2 1
= + i= = − = − 2.
∂z ∂x ∂x (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2 z
• Usando la regla del cociente se prueba que la regla anterior vale para n < 0
en C \ {0}.
Observemos que en la sección [IC 7.1] adoptamos como definición que una
función f : Ω ⊂ C −→ C definida en un abierto del plano complejo es holo-
morfa si es derivable en el sentido complejo, lo que por 1.6 equivale a que sea
diferenciable, luego la definición que acabamos de dar extiende a la de [IC].
Si Ω1 , Ω2 ⊂ Cn son abiertos, una aplicación f : Ω1 −→ Ω2 es biholomorfa si
es biyectiva, holomorfa y con inversa holomorfa.
Del hecho de que la suma y el producto por escalares de funciones dife-
renciables son diferenciables se sigue que H(Ω, Cm ) es un subespacio vectorial
del espacio C(Ω, Cm ) de todas las funciones continuas de Ω en Cm (pues toda
función diferenciable en el sentido real es continua).
El espacio C(Ω, C) tiene además estructura de álgebra con el producto defi-
nido puntualmente, y el hecho de que el producto de funciones diferenciables sea
diferenciable implica que H(Ω) es una subálgebra de C(Ω, C). Más aún, como
las proyecciones zj son claramente holomorfas, concluimos que todo polinomio
es holomorfo en Cn , es decir, que C[z1 , . . . , zn ] ⊂ H(Cn ).
10 Capítulo 1. Funciones holomorfas
Seguidamente sumamos a cada fila par la fila anterior multiplicada por −i, con
lo que las submatrices se convierten en
∂ Re f k ∂ Im f k ∂ Im f k
∂f k ∂ Im f k
∂xj + ∂xj i ∂xj ∂z j ∂x j
ζ ζ ζ = ζ ζ
∂ Re f k ∂ Im f k
∂f k
.
0 ∂xj − ∂xj i 0 ∂z
ζ ζ j
ζ
Ahora permutamos las filas para poner todas las filas impares antes que
las pares, e igualmente con las columnas (lo cual no cambia el signo del de-
terminante, pues hacemos el mismo número de permutaciones de filas que de
columnas), y la matriz pasa a tener la forma
!
J ∗
,
0 J¯
En [IC 7.16] demostramos que toda función holomorfa es, de hecho, infi-
nitamente derivable. Más adelante veremos (teorema 1.25) que lo mismo es
cierto para funciones de varias variables, pero de momento vamos a aceptarlo
para demostrar las versiones complejas de los teoremas de la función inversa e
implícita:
∂f1 ∂fn
∂z1 ··· ∂z1
(w0 ,z0 ) (w0 ,z0 )
.. .. 6= 0.
. .
∂f1 ∂fn
∂zn ··· ∂zn
(w0 ,z0 ) (w0 ,z0 )
Son conjuntos abiertos, pues el segundo es todo el plano complejo menos una
semirrecta de origen 0, y es claro que la función exponencial se restringe a una
biyección Aα −→ Hα . Puesto que la derivada de la exponencial es ella misma y
no se anula en ningún punto, el teorema de la función inversa (el teorema 1.12
o simplemente [IC 1.8]), nos da que la inversa de esta función es una función
holomorfa
logα : Hα −→ C,
Como los abiertos Hα cubren C \ {0}, tenemos que todo punto de C \ {0}
tiene un entorno en el que hay definida una rama uniforme del logaritmo.
1
log0 (z) = .
z
2 Es habitual llamar discos a las bolas en C. Usaremos la notación D(ζ, r) para referirnos
π1 (Ω)
i∗
/ Π1 (C \ {0})
O 8
π1 (S 1 )
formado por los homomorfismos inducidos por las inclusiones, las flechas ver-
tical y oblicua son isomorfismos (por la existencia de una retracción), luego la
horizontal también lo es y la imagen de i∗ no es trivial.
Es claro que cada rama uniforme del logaritmo log : Ω −→ C determina una
rama uniforme
z a = ea log z
de Pa (z) en Ω, es decir una función tal que z a ∈ Pa (z) para todo z ∈ Ω.
Como las ramas uniformes del logaritmo son holomorfas, lo mismo sucede
con las ramas uniformes de las potencias, y las reglas de derivación nos dan que
(z a )0 = ea log z a/z = az a /z = az a−1 ,
donde hay que entender que las potencias z a y z a−1 se calculan con la misma
rama uniforme del logaritmo.
Hay que tener presente que ramas uniformes del logaritmo distintas pueden
dar lugar a la misma rama uniforme de una potencia. Por ejemplo, es fácil ver
que dos ramas uniformes del logaritmo definen una misma rama uniforme de la
función √n
z = z 1/n = {ew/n | w ∈ Log(z)}
si y sólo si se diferencian en un múltiplo entero de 2nπi.
√
Observemos que n z no es sino el conjunto de las n raíces n-simas de z,
y si tiene ramas uniformes en un abierto conexo Ω ⊂ C \ {0}, entonces tiene
exactamente n ramas uniformes, ya que si p1 y p2 son dos de ellas, el cociente
p1 /p2 es una función continua que toma valores en el conjunto finito de las√n
raíces n-simas de la unidad, luego tiene que ser constante. √
Por lo tanto, si n z
es una rama uniforme en Ω, las demás son las de la forma ω z, donde ω recorre
n
2. Si f : X −→ C es integrable, también lo es |f | y
Z Z
f dµ ≤ |f | dµ.
X X
Así
Z Z Z Z Z
f dµ = α f dµ = αf dµ = Re(αf ) dµ + i Im(αf ) dµ,
X X X X X
pero como se trata de un número real, la segunda parte ha de ser nula, o sea,
Z Z Z Z
f dµ = Re(αf ) dµ ≤ |αf | dµ = |f | dµ,
X X X X
donde hemos usado que, en general, Re z ≤ |z|, así como que |α| = 1.
Es inmediato que si µ es una medida de Borel finita en un espacio topológico
compacto K, entonces toda función continua f : K −→ C es medible y, al estar
acotada, es integrable. He aquí un resultado elemental que nos será útil en
numerosas ocasiones:
y, por consiguiente,
Z Z Z Z
µ(K)
f dµ − fk (z) dµ = f − fk dµ ≤ |f − fk | dµ ≤ < .
K K K K µ(K) + 1
de modo que cada restricción φ|[ti−1 ,ti ] sea diferenciable. La longitud de un arco
está definida como Z b
L(φ) = |φ0 (t)| dt.
a
20 Capítulo 1. Funciones holomorfas
Esta integral es la misma definida en [IC 7.5], pero ahora podemos considerar,
un poco más en general, el caso en que φ es diferenciable a trozos, y entonces
la integral se define como la suma de las integrales en los trozos.
Los resultados del teorema siguiente valen para arcos diferenciables o dife-
renciables a trozos. La prueba en el segundo caso se reduce a aplicar el primero
a cada trozo. En lo sucesivo, sobrentenderemos que todos los arcos considerados
son diferenciables a trozos.
∗
3. Si φ es un arco y f : φ −→ C es continua, entonces
Z Z
f (z) dz = − f (z) dz.
−φ φ
∗
5. Si φ es un arco y f : φ −→ C es continua, entonces
Z
f (z) dz ≤ L(φ) sup |f (z)| | z ∈ φ∗ ,
φ
Z Z b Z b
f φ(s) φ0 (s) ds ≤ f φ(s) |φ0 (s)| ds
f (z) dz =
φ a a
Z b
≤ S |φ0 (s)| ds = L(φ) S.
a
Nota Una consecuencia interesante del teorema anterior es que hay funciones
holomorfas que no tienen primitiva, como por ejemplo, la función f (z) = 1/z,
que no tiene primitiva en C \ {0} ni en ningún abierto que contenga una cir-
cunferencia de centro 0, pues según el ejemplo tras la definición 1.20 tenemos
que Z
1
dz = 2πi,
|z|=r z
El teorema 1.15 nos da ahora una prueba alternativa de que no puede existir
una rama uniforme del logaritmo en ningún abierto que contenga a la circunfe-
rencia, pues sería una primitiva de 1/z.
Terminamos esta sección demostrando el resultado fundamental del que de-
duciremos las propiedades más notables de las funciones holomorfas (compárese
con [IC 7.10]):
Vamos a aplicar el teorema [An 5.27], para lo cual hemos de separar las partes
real e imaginaria:
Z b Z b
0
Im f z, φ(t) Im φ0 (t) dt
F (z) = Re f z, φ(t) Re φ (t) dt −
a a
Z b Z b
Re f z, φ(t) Im φ0 (t) dt + i Im f z, φ(t) Re φ0 (t) dt.
+ i
a a
Las cuatro integrales están en las condiciones de [An 5.27], luego concluimos
que F es continua y tiene derivadas parciales continuas. Concretamente:
Z b Z b
∂ Re F ∂ Re f ∂ Im f
z, φ(t) Re φ0 (t) dt − z, φ(t) Im φ0 (t) dt,
=
∂xj a ∂xj a ∂xj
Z b Z b
∂ Im F ∂ Re f ∂ Im f
z, φ(t) Im φ0 (t) dt + z, φ(t) Re φ0 (t) dt,
=
∂xj a ∂x a ∂xj
Z b Z b
∂ Re F ∂ Re f ∂ Im f
z, φ(t) Re φ0 (t) dt − z, φ(t) Im φ0 (t) dt,
=
∂yj a ∂yj a ∂yj
Z b Z b
∂ Im F ∂ Re f ∂ Im f
z, φ(t) Im φ0 (t) dt + z, φ(t) Re φ0 (t) dt.
=
∂yj a ∂yj a ∂yj
24 Capítulo 1. Funciones holomorfas
Ahora bien, la función que resulta de fijar todas las coordenadas de f salvo
zj es derivable, luego f cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann respecto de
las variables xj , yj , de donde se sigue que F también las satisface. Además,
∂F ∂ Re F ∂ Im F
= +i
∂zj ∂xj ∂xj
Z b Z b
∂ Re f 0 ∂ Im f
z, φ(t) Im φ0 (t) dt
= z, φ(t) Re φ (t) dt −
a ∂x j a ∂x j
Z b Z b
∂ Re f ∂ Im f
z, φ(t) Im φ0 (t) dt + i z, φ(t) Re φ0 (t) dt
+ i
a ∂xj a ∂xj
Z b Z
∂f ∂f
z, φ(t) φ0 (t) dt =
= (z, ζ) dζ.
a ∂zj φ ∂zj
∂f
: Ω × φ∗ −→ C
∂zj
ahora bien, para que esto sea correcto necesitamos que la función f (z, φ(t))φ0 (t)
sea integrable en I, lo cual equivale a que lo sean su parte real y su parte
imaginaria. A su vez, esto equivale a que sus valores absolutos tengan integral
finita [An 4.54], para lo cual basta con que |f (z, φ(t))φ0 (t)| tenga integral finita,
lo cual se cumple porque lo cumple gK (con K = {z}). Así pues, F está bien
definida.
1.3. El teorema y la fórmula integral de Cauchy 25
S
Es claro que podemos expresar I = n In como unión creciente de intervalos
compactos. Llamamos φn = φ|In . Por el teorema anterior, las funciones
Z
Fn (z) = f (z, ζ) dζ
φn
Z Z Z Z
f (z, φ(t))φ0 (t) dt ≤ gK (t) dt = gK (t) dt − gK (t) dt,
I\In I\In I In
2. f es holomorfa en Ω.
U = D(a1 , r) × · · · × D(an , r) ⊂ Ū ⊂ Ω.
Pero también podemos considerar que ω|ζ : C −→ C, y entonces Λ11 (Ω) × Λ11 (Ω)
adquiere una estructura natural de módulo sobre el anillo C 1 (Ω, C) formado por
las funciones f : Ω −→ C de clase C 1 , a saber, la dada por
Equivalentemente,
ω = Re f dx − Im f dy + i(Im f dx + Re f dy),
Todas las propiedades que distinguen el cálculo diferencial complejo del real
dependen en última instancia de un hecho elemental, y es que las formas dife-
renciales holomorfas son cerradas (tienen diferencial nula). La comprobación se
reduce a aplicar las definiciones:
Si ω = f dx ∈ Λ1 (Ω, C), vista como elemento de Λ11 (Ω) × Λ11 (Ω) es
luego
∂ Im f ∂ Re f ∂ Re f ∂ Im f
d(f dz) = − − dx ∧ dy, − dx ∧ dy .
∂x ∂y ∂x ∂y
que hemos calculado tras la definición 1.20 puede verse ahora como
Z
1
dz = 2πi,
∂D(z0 ,r) z − z0
f (ζ) − f (z0 )
Z Z
1 f (ζ) 1
dζ − f (z0 ) = dζ
2πi |ζ−z0 |=r ζ − z0 2πi |ζ−z0 |=r ζ − z0
≤ L(φ) = .
2πr
Como esto se cumple para todo , concluimos que se da la igualdad buscada.
1.3. El teorema y la fórmula integral de Cauchy 31
Dado z tal que |z − z0 | < r, tomemos un radio s tal que D(z, s) ⊂ D(z0 , r).
Entonces el teorema 1.27, junto con la parte ya probada, implica que
Z Z
1 f (ζ) 1 f (ζ)
dζ = dζ = f (z),
2πi |ζ−z0 |=r ζ − z 2πi |ζ−z|=s ζ − z
pues las dos circunferencias constituyen la frontera del abierto D(z0 , r)\D(z, s).
Tenemos así una representación integral de f en D(z0 , r), cuyo interés es
que nos permite aplicar el teorema 1.23. Si llamamos φ : [0, 2π] −→ C al arco
φ(t) = z0 + reit , el integrando es una función continua g : D(z0 , r) × φ∗ −→ C
para la que existe
∂g f (ζ)
= ,
∂z (ζ − z)2
que es una función continua en D(z0 , r)×φ∗ , luego 1.23 afirma que f es derivable
en D(z0 , r) y que su derivada es
Z
0 1 f (ζ)
f (z) = dζ.
2πi |ζ−z0 |=r (ζ − z)2
Así tenemos la fórmula de Cauchy para n = 1, y el integrando vuelve a cumplir
las hipótesis del teorema 1.23. Trivialmente se razona por inducción que la
fórmula vale para todo n.
Ahora es fácil generalizar este teorema a funciones de varias variables. Em-
pezamos por la derivabilidad infinita:
Teorema 1.29 Las derivadas parciales de una función holomorfa son holomor-
fas. En particular, toda función holomorfa es infinitamente derivable.
Demostración: Sea Ω ⊂ Cn abierto y f : Ω −→ C una función holomorfa
en Ω. Sea a ∈ Ω y tomemos r > 0 tal que
U = D(a1 , r) × · · · × D(an , r) ⊂ Ū ⊂ Ω.
Para cada z ∈ U , la función que resulta de fijar en f todas las coordenadas
menos zj es holomorfa en D(aj , r), luego le podemos aplicar la fórmula integral
de Cauchy, según la cual
Z
∂f 1 f (z1 , . . . , ζj , . . . , zn )
= dζj .
∂zj 2πi |ζj −aj |=r (ζj − zj )2
Pero, llamando φ a una parametrización de la circunferencia, el integrando es
una función continua U × φ∗ −→ C que tiene derivadas parciales respecto de
z1 , . . . , zn continuas en U × φ∗ , luego el teorema 1.23 nos da que ∂f /∂zj tiene
derivadas parciales continuas en U .
32 Capítulo 1. Funciones holomorfas
Ahora es fácil dar una expresión integral para funciones de varias variables:
U = D(a1 , r1 ) × · · · × D(an , rn ) ⊂ Ū ⊂ Ω.
j1 ! · · · jn !
Z
f (ζ1 , . . . , ζn )
dζ1 · · · dζn .
(2πi)n |ζ1 −a1 |=r1 ,...,|ζn −an |=rn (ζ1 − z1 )j1 +1 · · · (ζn − zn )jn +1
∂f j1
Z
j1 ! f (ζ1 , z2 , . . . , zn )
= dζ1 .
∂z1j1 2πi |ζ1 −a1 |=r1 (ζ1 − z1 )j1 +1
∂f j1 +j2
Z
j1 ! 1 ∂f (ζ1 , z2 , . . . , zn )
j1 j2
= dζ1 .
∂z1 ∂z2 2πi |ζ1 −a1 |=r1 (ζ1 − z1 ) j1 +1
∂z2j2
∂f j1 +j2
Z Z
j1 !j2 ! f (ζ1 , ζ2 , z3 , . . . , zn )
j1 j2
= 2 j1 +1 (ζ − z )j2 +1
dζ2 dζ1 .
∂z1 ∂z2 (2πi) |ζ1 −a1 |=r1 |ζ2 −a2 |=r2 1 − z1 )
(ζ 2 2
entonces
∂f m j1 ! · · · jn !
≤ M (r).
∂z1j1 · · · ∂znjn a r1j1 · · · rnjn
∂f m j1 ! · · · jn ! M (r) j1 ! · · · jn !
≤ (2π)n r1 · · · rn j1 +1 = j1 M (r).
∂z1j1 · · · ∂znjn a
(2π)n r · · · rjn +1 r1 · · · rnjn
En particular:
∂f m j1 ! · · · jn !
≤ M.
∂z1j1 · · · ∂znjn a r1j1 · · · rnjn
y que ambas componentes tienen diferencial exterior nula, luego por definición
de H 1 (Ω) existen funciones g1 , g2 : Ω −→ R de clase C ∞ tales que
Equivalentemente,
∂g1 ∂g2 ∂g1 ∂g2
= Re f = , − = Im f = .
∂x ∂y ∂y ∂x
Esto significa que la función g = g1 + ig2 : Ω −→ C satisface las ecuaciones
de Cauchy-Riemann, luego es holomorfa, y además
∂g1 ∂g2
g0 = +i = f.
∂x ∂x
El teorema anterior no es trivial gracias al lema de Poincaré [GD 5.44], según
el cual los abiertos contractibles (por ejemplo, los discos abiertos) cumplen la
hipótesis H 1 (Ω) = 0. Así pues, resulta que toda función holomorfa en un abierto
de C tiene una primitiva en un entorno de cada punto, aunque ya hemos visto
que no la tiene necesariamente en todo su dominio. Combinando esto con la
regla de Barrow compleja obtenemos otro resultado fundamental:
Ya hemos visto que la función 1/z no tiene integral nula sobre la circunfe-
rencia unitaria, lo que muestra que la hipótesis sobre la cohomología de Ω es
necesaria.
Otra consecuencia de 1.34 es el teorema siguiente, que generaliza a [IC 7.29]:
donde h(z) = (z − a)g1 (z) es una función holomorfa en D(a, δ). Además se
cumple que h0 (a) = g1 (a) 6= 0.
Por el caso m = 1 ya probado, reduciendo δ, podemos tomar η > 0 de
modo que todo punto de D(0, η) tiene exactamente una antiimagen por h en
36 Capítulo 1. Funciones holomorfas
fm (ζ) − f (ζ)
Z
∂fm ∂f 1
− = dζ1 · · · dζn
∂zj ∂zj (2πi)n |ζ1 −a1 |=2R,...,|ζn −an |=2R (ζj − zj )2
1
≤ (4πR)n n+1 n = < .
(2π)n 2 R 2
38 Capítulo 1. Funciones holomorfas
Relación con las funciones harmónicas En [An 5.49] definimos las fun-
ciones harmónicas como las funciones de clase C 2 con laplaciano nulo, y en la
sección [An 8.5] probamos que las funciones harmónicas satisfacen varias pro-
piedades, algunas de ellas similares a las de las funciones holomorfas. Ahora
que sabemos que las funciones holomorfas son de clase C ∞ (en particular, de
clase C 2 ) es inmediato el teorema siguiente:
Teorema 1.41 Si Ω ⊂ Cn es abierto y f : Ω −→ C es una función holomorfa
en Ω, entonces Re f, Im f : Ω −→ R son funciones harmónicas.
Demostración: Lo probamos en primer lugar para n = 1. Dado z ∈ Ω,
tomamos un disco D(z, r) ⊂ Ω, donde, en virtud del teorema 1.34 tenemos que
existe una función g holomorfa en el disco tal que f = g 0 . Las ecuaciones de
Cauchy-Riemann nos dan que
∂ Re g ∂ Im g ∂ Im g ∂ Re g
Re f = = , Im f = =− ,
∂x ∂y ∂x ∂y
de donde
∂ 2 Re g ∂ 2 Re g ∂ Re f ∂ Im f
∆ Re g = + = − = 0,
∂x2 ∂y 2 ∂x ∂y
∂ 2 Im g ∂ 2 Im g ∂ Im f ∂ Re f
∆ Im g = + = + = 0,
∂x2 ∂y 2 ∂x ∂y
luego Re g, Im g son funciones harmónicas (en D(z, r), luego en todo Ω) y por
[An 8.22] también lo son Re f, Im f .
40 Capítulo 1. Funciones holomorfas
En el caso general, las funciones que resultan de fijar en f todas las variables
menos una son holomorfas, luego harmónicas, luego
∂ 2 Re f ∂ 2 Re f ∂ 2 Im f ∂ 2 Im f
2 + = 0, + = 0,
∂xj ∂yj2 ∂xj2 ∂yj2
Desarrollos en serie
En [IC 7.21] probamos que toda función holomorfa (de una variable) puede
expresarse como suma de una serie de potencias en un entorno de cada punto
en el que está definida. En muchos casos estos desarrollos convergen en todo el
plano complejo, lo que permite tomar tales desarrollos como definiciones de las
funciones elementales, como hicimos en [ITAn]:
∞ ∞ ∞
z
X zn X (−1)n 2n+1 X (−1)n 2n
e = , sen z = z , cos z = z .
n=0
n! n=0
(2n + 1)! n=0
(2n)!
41
42 Capítulo 2. Desarrollos en serie
pero hay que entender que este sumatorio es meramente formal, es decir, que,
en principio, no hay realmente ninguna suma infinita, sino que una serie formal
de potencias no es más que una asignación de un elemento aα ∈ A a cada
multi-índice α.
2.1. Series de potencias 43
aα X α + bα X α = (aα + bα )X α ,
P P P
α α α
α
P α
aα bβ X γ .
P P P
aα X bβ X =
α β γ α+β=γ
aα X α ∈ A[X1 , . . . , Xn ],
P
Fm =
|α|=m
donde, nuevamente, la suma es, en principio, una mera notación. Ahora, bien,
con esta notación se cumple:
P P P
F + G = (Fm + Gm ), FG = Fm1 Gm2 ,
m k m1 +m2 =k
donde ahora las operaciones entre formas son las del anillo A[X1 , . . . , Xn ].
En particular, si F y G son dos series formales de potencias no nulas, la
forma no nula de menor grado de F G es el producto de las formas no nulas de
menor grado de F y de G, lo que implica que A[[X1 , . . . , Xn ]] es un dominio
íntegro.
Más aún, es claro que podemos identificar a A[[X1 , . . . , Xn−1 ]] con un subani-
llo de A[[X1 , . . . , Xn ]], y es fácil definir un isomorfismo natural
A[[X1 , . . . , Xn ]] ∼
= A[[X1 , . . . , Xn−1 ]][[Xn ]].
F = aα X α ∈ K[[X1 , . . . , Xn ]]
P
α
aα xα
P
α
F (x) = aα xα .
P
α
Notemos que esta serie siempre converge para x = 0, pero si sólo converge
en este caso, entonces, por definición, Ω = ∅, pues no hay ningún entorno de 0
donde la serie converja.
En el caso de series de una variable, el teorema [An 3.59] muestra que su
dominio de convergencia en el sentido que acabamos de introducir coincide con
su disco de convergencia definido allí, que es una bola abierta de centro 0 o
bien todo K. La forma geométrica del dominio de convergencia de una serie de
potencias de varias variables es en general más complicada.
∞
xk1 xk2 es
P
Ejemplo El dominio de convergencia de la serie
k=0
Observemos que se trata de la región limitada por las cuatro ramas de las
dos hipérbolas xy = ±1, que es un subconjunto no acotado de R2 , pero no es
todo R2 .
Esto implica que Ω es conexo, pues puede expresarse como unión de polidis-
cos de centro 0 (obviamente conexos), luego todos los puntos de Ω están en la
componente conexa del 0.
∂f X α −1
= αj aα z1α1 · · · zj j · · · znαn ,
∂zj α
donde hay que entender que la suma recorre sólo los multi-índices con αj 6= 0,
pues los términos con αj = 0 tienen derivada nula. En particular, el teorema
de Weierstrass asegura que esta serie converge en Ω. Repitiendo el argumento
obtenemos el resultado general siguiente sobre derivación de series de potencias:
46 Capítulo 2. Desarrollos en serie
donde la suma recorre ahora los multi-índices α tales que αj ≥ βj para todo
índice j. Esto implica en particular la convergencia en Ω de la serie que define
la derivada. Además, necesariamente
Dα f (0)
aα = .
α!
(La última afirmación del teorema se sigue inmediatamente de evaluar en
z = 0 la expresión para la derivada, lo que nos da que Dβ F (0) = β! aβ .)
Ahora observamos que toda serie formal F ∈ R[[X1 , . . . , Xn ]] puede con-
siderarse también como serie formal en C[[X1 , . . . , Xn ]], y su dominio de con-
vergencia como serie real está contenido en su dominio de convergencia como
serie compleja (pues si converge absolutamente en un entorno de un punto a,
entonces converge absolutamente en un polidisco en Cn que contiene a a). Ade-
más, las derivadas parciales de la suma f calculadas sobre puntos de Rn son
—por definición— las mismas en el sentido real que en el sentido complejo, luego
podemos aplicar el teorema anterior para concluir:
aα xα es la función definida por una serie formal
P
Teorema 2.7 Si f (x) =
α
de potencias de R[X1 , . . . , Xn ] en su dominio de convergencia Ω, entonces f es
de clase C ∞ en Ω y, para todo x ∈ Ω, se cumple que
X α!
Dβ f (x) = aα xα−β ,
(α − β)!
α≥β
donde la suma recorre ahora los multi-índices α tales que αj ≥ βj para todo
índice j. Esto implica en particular la convergencia en Ω de la serie que define
la derivada. Además, necesariamente
Dα f (0)
aα = .
α!
donde las derivadas hay que entenderlas en sentido real o complejo según si K
es R o C.
aα X α ∈ K[[X1 , . . . , Xn ]]
P
F =
α
f (x) = aα xα
P
α
fa (x) = aα (x − a)α ,
P
α
donde
1
|α|
Z
Rα (x) = (1 − t)|α|−1 Dα f (a + t(x − a)) dt
α! 0
Las funciones Rα (x) son de clase C l en virtud del teorema [An 5.27].
El teorema de Taylor permite probar que, bajo hipótesis adecuadas sobre
acotación de las derivadas, los polinomios de Taylor proporcionan aproximacio-
nes cada vez mejores que una función alrededor del punto en el que se realiza el
desarrollo. Sin embargo, no todas las funciones de clase C ∞ pueden expresarse
como suma de sus series de Taylor.
2.2. Series de Taylor 49
Ejemplo La función
e−1/x si x > 0,
h(x) =
0 si x ≤ 0,
es de clase C ∞ en R y todas sus derivadas son nulas en 0 (véase el ejemplo tras
[An 5.12]), luego su serie de Taylor en 0 converge a la función nula y no a h.
Otro ejemplo menos trivial es la función g(x) = ex + h(x), que es de clase C ∞
y sus derivadas en 0 son las de ex , luego su serie de Taylor converge en todo R,
pero no a g(x), sino a ex .
Dado z ∈ Ω, como es abierto, podemos tomar w ∈ Ω tal que |zj | < |wj |,
para todo índice j y, tomando |zj | < rj < |wj |, tenemos que
En definitiva:
Z
1 X f (ζ)
f (z) = α1 +1 dζ1 · · · dζn z α .
(2πi)n α ∂ ∗ D ζ1 · · · ζnαn +1
El teorema 2.6 implica que el único desarrollo en serie que admite una función
holomorfa es el que estamos considerando.
Como consecuencia tenemos otra caracterización de las funciones holomorfas:
Teorema 2.12 Si Ω ⊂ Cn es un abierto no vacío, las funciones analíticas en Ω
coinciden con las funciones holomorfas en Ω.
Demostración: Si f : Ω −→ C es holomorfa en Ω, para cada a ∈ Ω
podemos tomar un polidisco D(a, r) ⊂ Ω, con lo que el teorema anterior aplicado
a D(0, r) (que es un dominio de Reinhardt completo) nos da que la serie de
Taylor de f alrededor de a converge a f en D(a, r), luego f es analítica en a.
Recíprocamente, si f es analítica en Ω y a ∈ Ω, tenemos que f coincide con
su serie de Taylor en un entorno de a, y ésta define una función holomorfa en
su dominio de convergencia, luego f es holomorfa en a.
Ahora probamos una relación fundamental entre las funciones analíticas
reales y las complejas:
Teorema 2.13 Si Ω ⊂ Rn es abierto y f : Ω −→ R, entonces f es analítica en
a ∈ Ω si y sólo si existe un abierto Ω∗ ⊂ Cn tal que a ∈ Ω0 = Ω∗ ∩ Rn ⊂ Ω y
existe una función holomorfa f ∗ : Ω∗ −→ C tal que f ∗ |Ω0 = f |Ω0 . En tal caso
la serie de Taylor de f alrededor de a es la misma que la de f ∗ .
Demostración: Si f es analítica en a, su serie de Taylor alrededor de a
converge a f en un entorno de a. Pero podemos ver a dicha serie con coeficientes
reales como una serie de potencias con coeficientes complejos, y su dominio de
convergencia como tal, digamos Ω1 , contiene al dominio de convergencia real.
Si Ω2 es un abierto en Cn tal que Ω2 ∩ Rn = Ω, entonces Ω∗ = Ω1 ∩ Ω2 cumple
que Ω0 = Ω∗ ∩ Rn ⊂ Ω y la serie de Taylor de f define una función holomorfa
en Ω∗ que extiende a f .
Recíprocamente, si f ∗ : Ω∗ −→ C es una función holomorfa que extiende
a f , entonces sus derivadas parciales en a en sentido complejo coinciden con sus
derivadas parciales en a en sentido real (lo que en particular implica que existen
y que f es de clase C ∞ en a), por lo que la serie de Taylor de f ∗ alrededor de a
es también la serie de Taylor de f alrededor de a y en particular converge a f
en Ω0 , luego f es analítica en a.
El teorema anterior deducir muchas propiedades de las funciones analíticas
reales a partir de las propiedades análogas de las funciones analíticas complejas.
Por ejemplo:
aα X α ∈ K[[X1 , . . . , Xn ]] una serie formal de po-
P
Teorema 2.14 Sea F =
α
tencias con dominio de convergencia Ω 6= ∅, sea a ∈ Kn , sea
Ωa = {x ∈ Kn | x − a ∈ Ω}
y sea fa : Ωa −→ K la función dada por
fa (x) = aα (x − a)α .
P
α
Entonces fa es analítica en Ωa .
52 Capítulo 2. Desarrollos en serie
K{X1 , . . . , Xn } −→ Ga (Kn )
converge (absolutamente) a Fa (x)Ga (x). Por [An 2.88] basta ver que la serie
aα bβ (x − a)α+β
P
α,β
convergen respectivamente a Fa (x) y Ga (x), luego por [An 2.86] tenemos que
∞ P
n
aαk bαn−k (x − a)αk +αn−k
P
n=0 k=0
converge absolutamente a Fa (x)Ga (x). Por otra parte, aplicando [An 2.86] a
las series
∞ ∞
|aαn ||x − a|αn , |bαn ||x − a|αn ,
P P
n=0 n=0
tenemos la convergencia de
∞ P
n
|aαk ||bαn−k ||x − a|αk +αn−k ,
P
n=0 k=0
aα bβ (x − a)α+β tam-
P
lo que nos permite aplicar [An 2.88] para concluir que
bién converge a Fa (x)Ga (x). α,β
2.3. Prolongación analítica 55
1. f = g.
Así pues, basta con que dos funciones analíticas coincidan en un abierto, por
pequeño que sea, para que deban coincidir en todo su dominio (si es conexo, o
en las componentes conexas que corten al abierto, en caso contrario).
56 Capítulo 2. Desarrollos en serie
La función
X hn) (a)
H(x) = (x − a)n−p
n!
n≥p
aα (z − z̄0 )α ,
P
f (z) =
α
f ∗ (z) =
P P
aα (z̄ − z̄0 ) = āα (z − z0 ),
α α
luego f ∗ está definida por una serie de potencias en un entorno de z0 y es, por
consiguiente, holomorfa.
Supongamos ahora que Ω es un abierto conexo tal que Ω∗ = Ω y que f es la
extensión de una función definida en un abierto de Rn con valores en R. Sobre
un punto z0 ∈ Ω∩Rn , las derivadas parciales de f en sentido complejo coinciden
con las reales, lo cual se traduce en que los coeficientes de la serie de Taylor de
f alrededor de z0 son números reales y, según el cálculo precedente, concluimos
que f ∗ = f en el dominio de convergencia de la serie de Taylor. Ahora bien,
por el principio de prolongación analítica la igualdad es válida en todo Ω. Con
esto hemos probado lo siguiente:
tiene una singularidad aislada en a = 0, pero es fácil ver que es evitable, sin
más que considerar el desarrollo en serie de Taylor del seno:
∞ ∞
1 X (−1)n 2n+1 X (−1)n 2n
f (z) = z = z
z n=0 (2n + 1)! n=0
(2n + 1)!
Las pruebas son inmediatas. Por ejemplo, para el segundo teorema obser-
vamos que, por compacidad, |f | debe alcanzar un máximo en Ω, pero por el
primer teorema no puede alcanzarlo en Ω, luego dicho máximo está en ∂Ω.
Nota Existe un principio del módulo mínimo, que es poco más que una refor-
mulación del principio del módulo máximo: afirma que si f : Ω −→ C es una
función holomorfa en un abierto conexo y |f | alcanza un mínimo local en un
punto z ∈ Ω, entonces f es constante o bien f (z) = 0.
2.4. El principio del módulo máximo 61
2r 2R
|f (z) − f (z0 )| ≤ (U − Re f (z0 )), |f k) (z)| ≤ (U − Re f (z0 )),
R−r (R − r)k+1
para todo k ≥ 1.
Notemos que Re φ(z) ≥ 0. Para todo 0 < r < R, la fórmula integral de Cauchy
nos da que
Z Z π
1 φ(ζ) 1
bn = dζ = φ(reiθ )e−inθ dθ. (2.1)
2πi |ζ|=r ζ n+1 2πrn −π
luego Z π
1
φ(reiθ )einθ dθ = 0.
2π −π
1 π
Z Z π
1
|bn |rn ≤ Re φ(reiθ ) dθ = Re φ(reiθ ) dθ = 2 Re b0 ,
π −π π −π
donde hemos usado (2.1) para n = 0. Si hacemos que r tienda a R, resulta que,
para todo n ≥ 1,
2 Re b0 2(U − Re f (0))
|cn | = |bn | ≤ n
= .
R Rn
A su vez, si |z| ≤ r < R
∞ ∞ 2r
cn z n | ≤ 2(U − Re f (0)) (r/R)n =
P P
|f (z) − f (0)| = | (U − Re f (z0 )).
n=1 n=1 R−r
Similarmente, si k ≥ 1,
∞
|f k) (z)| ≤ n(n − 1) · · · (n − k + 1)|cn ||z|n−k
P
n=k
∞
n(n − 1) · · · (n − k + 1) 2(U −Re f (0)) n−k
P
≤ Rn r
n=k
∞
!
dk X rn dk R
= 2(U − Re f (0)) k = 2(U − Re f (0))
dr n=0
Rn drk R − r
2R
= (U − Re f (z0 )).
(R − r)k+1
Como aplicación obtenemos una caracterización de los polinomios:
2.4. El principio del módulo máximo 63
2r/2
|f (z) − f (0)| ≤ (rα − Re f (0)) = 2(rα − Re f (0)).
r − r/2
rα − Re f (0)
|am | ≤ 2m+1 .
rm
Pero r puede tomarse arbitrariamente grande, y si m > α esta última ex-
presión tiende a 0. Así pues, am = 0 para m > α y, en consecuencia, f es un
polinomio de grado menor o igual que E[α].
El principio del módulo máximo implica en particular que el valor de una
función holomorfa en un punto z0 está acotado por el máximo de su módulo
en cualquier circunferencia de centro z0 , pero ahora vamos a probar que esta
cota puede mejorarse en función del número de ceros de la función alrededor del
punto:
Teorema 2.29 Sea f una función holomorfa en un entorno del disco D(0, R)
que tenga al menos n ceros (contados con su multiplicidad) en el disco D(z0 , r),
con 0 < r < R. Sea M el máximo de |f | en ∂D(z0 , R). Entonces
r n
|f (z0 )| ≤ M .
R
Demostración: Mediante una traslación podemos suponer que z0 = 0.
Sean a1 , . . . , an ceros de f en D(0, r) repetidos según su multiplicidad. Entonces
n
Y R(z − aj )
f (z) = g(z) ,
j=1
R2 − āj z
S = {z ∈ C | a < Im z < b}
una banda vertical en el plano complejo y sea f una función holomorfa y acotada
en un entorno de S. Si |f (x + ia)| ≤ Ma y |f (x + ib)| ≤ Mb para todo x ∈ R,
entonces, si a ≤ y ≤ b y x ∈ R,
(y−a)/b−a)
|f (x + yi)| ≤ Ma(b−y)/(b−a) Mb .
Equivalentemente
b−y y−a
log |f (x + yi)| ≤ log Ma + log Mb ,
b−a b−a
o también si, más concretamente, llamamos My = sup |f (x + yi)|, tenemos que
x∈R
b−y y−a
log My ≤ log Ma + log Mb ,
b−a b−a
lo que significa que log My es una función convexa.
2.4. El principio del módulo máximo 65
(b+iz)/(a−b) (iz+a)/b−a)
Demostración: Sea g(z) = f (z)Ma Mb , que es una
función holomorfa y acotada en S. Además
ix/(b−a)
|g(x + ia)| ≤ Ma |Ma(b−a+ix)/(a−b) ||Mb | = Ma Ma−1 = 1,
Esto equivale a que Mr = sup log |f (reiθ )| es una función convexa de log r.
θ∈R
Además
|z| − 1 |z| − 1 1 1
n+1
< n+1 = n < .
|z| |z| −1 |z| + · · · + |z| + 1 n+1
2.4. El principio del módulo máximo 67
Por consiguiente
N
1
|ak | Rk
P
|ωn (z)| < 2R M + + 2R.
k=0 n+1
n N n
k
P
|ak |Rk |ak |Rk |ak |R
P P
M+ M+
k=0 k=0 k=N +1
|ωn (z)| ≤ 4R2 = 4 +4
Rn+1 Rn−1 Rn−1
N n
Rk
P
|ak |Rk
P
M+
k=0 k=N +1
≤ 4 + 4
Rn−1 Rn−1
N
|ak |Rk
P
M+
k=0 Rn+1 − RN +1
= 4 + 4
Rn−1 (R − 1)Rn−1
N
|ak |Rk
P
M+
k=0 4R2
< 4 n−1
+ .
R R−1
luego
∞ K
ak z k <
P
f (z) − ,
k=0 ρ2
lo que implica que la serie converge a f uniformemente en σ.
68 Capítulo 2. Desarrollos en serie
donde necesariamente
Z
1 f (ζ1 , . . . , ζn )
am1 ,...,mn = dζ1 · · · dζn ,
(2πi) ∂ ∗ D(a;ρ1 ,...,ρn ) (ζ1 − a1 ) 1 +1 · · · (ζn − an )mn +1
n m
pero todos los integrandos tienen primitiva en C \ {aj } excepto cuando el ex-
ponente es −1, por lo que las integrales son nulas, y por otra parte sabemos
que Z
1
dζj = 2πi,
ζ
|ζj −aj |=ρj j − aj
luego, en definitiva,
Z
f (ζ1 , . . . , ζn )
dζ1 · · · dζn = (2πi)n ak1 ,...,kn ,
∂ ∗ D(a;ρ 1 ,...,ρn )
(ζ1 − a1 )k1 +1 · · · (ζn − an )kn +1
y esto nos da la expresión para ak1 ,...,kn dada en el enunciado.
Los teoremas [An 10.11] y [An 10.12] son casos particulares del teorema ante-
rior. No merece la pena reproducir aquí la sección [An 10.4] sobre la clasificación
de las singularidades aisladas de las funciones de una variable. En particular,
tenemos que toda singularidad aislada de una función holomorfa de una varia-
ble es evitable, un polo o es esencial. Conviene dar nombre a las funciones sin
singularidades esenciales:
Definición 2.36 Sea Ω ⊂ C un abierto no vacío. Una función meromorfa en Ω
es una función f ∈ H(Ω \ P ), donde P ⊂ Ω es un conjunto de puntos aislados
en los que f tiene polos. Llamaremos M(Ω) al conjunto de todas las funciones
meromorfas en Ω.
72 Capítulo 2. Desarrollos en serie
Con lo visto en este capítulo el lector está en condiciones de leer la sección A.2
del apéndice A, algunos de cuyos resultados serán necesarios en el capítulo
siguiente de forma ocasional.
Capítulo III
75
76 Capítulo 3. Funciones holomorfas de una variable
L(b) − L(a)
I(φ, z) = ,
2πi
donde L es cualquier determinación continua del logaritmo de φ−z. A su vez, de
aquí obtenemos una expresión más práctica para arcos diferenciables a trozos:
φ0 (t)
L0 (t) = log0 (φ(t) − z)φ0 (t) = .
φ(t) − z
Por lo tanto,
b b
φ0 (t)
Z Z Z
1
dζ = dt = L0 (t) dt = L(b) − L(a).
φ ζ −z a φ(t) − z a
3.1. Índices de arcos cerrados 77
Si z ∈ C \ φ∗ , el índice de φ respecto a z es
n
P
I(φ, z) = ai I(φi , z).
i=1
f (ζ) − f (z) si ζ 6= z,
g(ζ, z) = ζ −z
f 0 (z)
si ζ = z,
es holomorfa en Ω × Ω.
Demostración: Es obvio que g es holomorfa en los puntos donde ζ 6= z.
Fijemos, pues, un punto (ζ0 , z0 ) con ζ0 = z0 . Sea r > 0 tal que D(z0 , r) ⊂ Ω.
Basta probar que
Z
1 f (ξ)
g(ζ, z) = dξ, ζ, z ∈ D(z0 , r),
2πi |ξ−z0 |=r (ξ − ζ)(ξ − z)
pues el teorema 1.23 prueba entonces que g es holomorfa en D(ζ0 , r) × D(z0 , r).
Si ζ 6= z, las fórmulas de Cauchy nos dan
Z Z
1 f (ξ) 1 f (ξ)
f (ζ) = dξ, f (z) = dξ,
2πi |ξ−z0 |=r ξ − ζ 2πi |ξ−z0 |=r ξ − z
de donde
f (ζ) − f (z)
Z
1 f (ξ)
g(ζ, z) = = dξ.
ζ −z 2πi |ξ−z0 |=r (ξ − ζ)(ξ − z)
Si ζ = z entonces, también por las fórmulas de Cauchy,
Z Z
1 f (ξ) 1 f (ξ)
g(ζ, z) = f 0 (z) = dξ = dξ.
2πi |ξ−z0 |=r (ξ − z)2 2πi |ξ−z0 |=r (ξ − ζ)(ξ − z)
si z ∈ Ω
G(z)
F (z) = Z
f (ζ)
dζ si z ∈ V
ζ −z
φ
De aquí se sigue a su vez una versión más general del teorema de los residuos
[An 10.25]:
Notemos que todos los sumandos de la derecha son nulos salvo un número
finito. Se entiende que si z ∈ γ ∗ entonces Res(f, z) I(γ, z) = 0 (aunque el índice
no esté definido).
Demostración: Sea B el conjunto de singularidades no evitables de f .
Como todas las singularidades de f son aisladas, B es un conjunto discreto,
luego numerable. Obviamente Res(f, z) = 0 para cualquier z que no esté en B.
Más aún, B no puede tener puntos de acumulación en Ω, pues tales puntos no
serían singularidades aisladas de f .
Sea H = {z ∈ B | I(γ, z) 6= 0} ⊂ B. Si I(γ, z) 6= 0 entonces z no está
en la componente conexa no acotada de C \ γ ∗ , luego H está contenido en un
conjunto acotado. Si fuera infinito tendría un punto de acumulación z0 ∈ C \ Ω,
y por hipótesis I(γ, z0 ) = 0. Ahora bien, como el índice es constante en las
componentes conexas de C \ γ ∗ , resultaría que I(γ, z) = 0 en un entorno de z0 ,
luego habría puntos de H con índice nulo, contradicción. Así pues, H es finito.
Cambiando Ω por (Ω\B)∪H podemos suponer que f tiene un número finito
de singularidades en Ω (los puntos que hemos eliminado cumplen I(γ, z) = 0,
luego sigue siendo cierto que I(γ, z) = 0 para todo z ∈ C \ Ω).
Si z ∈ H, entonces z es una singularidad aislada de f , es decir, f es holomorfa
en un entorno reducido D0 (z, r). Consideremos la serie de Laurent
∞ ∞
X a−n (z) X
f (ζ) = + an (z)(ζ − z)n para ζ ∈ D0 (z, r).
n=1
(ζ − z)n n=0
Llamemos
∞
X a−n (z)
Sz (ζ) =
n=1
(ζ − z)n
∞
an (z0 )(ζ − z0 )n − para ζ ∈ D0 (z, r),
P P
g(ζ) = Sz (ζ)
n=0 z∈H\{z0 }
es decir,
Z XZ X ∞ ∞ Z
a−n (z) X X 1
f (ζ) dζ = n
dζ = a−n (z) dζ.
γ γ n=1 (ζ − z) n=1 γ (ζ − z)n
z∈H z∈H
Pero es claro que todos los integrandos tienen primitiva excepto para n = 1,
luego
Z Z Z
dζ X
f (ζ) dζ = a−1 (z) = 2πi Res(f, z) I(γ, z).
γ z∈H γ ζ −z z∈H
f 0 (z) 1 h(z)
=
f (z) z − z0 g(z)
f 0 (z) h(z)
Res(f 0 /f, z0 ) = lím (z − z0 ) = lím = k.
z→z0 f (z) z→z0 g(z)
= ai dt
2πi i αj f (ψi (t))
f 0 (ζ)
Z Z 0
1 X 1 f (ζ)
= ai dζ = dζ.
2πi i ψi f (ζ) 2πi φ f (ζ)
las variaciones del argumento de una función no es sencillo, por lo que el principio
del argumento no se presta a aplicaciones directas. Lo que vamos a ver es que
en ciertas circunstancias podemos asegurar que la variación del argumento de
dos funciones sobre un mismo arco es la misma, con lo que el principio del
argumento nos relaciona los ceros de ambas funciones. Esto es el teorema de
Rouché. La prueba se basa en un teorema geométrico intuitivamente evidente
que podemos parafrasear como sigue:
Un hombre pasea con su perro de tal modo que su distancia a cierto
árbol es siempre mayor que la longitud de la correa del perro. En-
tonces el hombre y el perro dan el mismo número de vueltas al árbol.
Teorema 3.12 Sean φ, ψ : [a, b] −→ C arcos cerrados y α un número complejo
tal que |φ(t) − ψ(t)| < |φ(t) − α| para todo t ∈ [a, b]. Entonces I(φ, α) = I(ψ, α).
Demostración: Las hipótesis implican que |φ(t) − α| > 0 para todo t,
luego α ∈/ φ∗ . Así mismo, si a ∈ ψ ∗ tendríamos que ψ(t) = α para cierto valor
de t, con lo que sería |φ(t) − ψ(t)| = |φ(t) − α|.
Esto prueba que los índices I(φ, α), I(ψ, α) están bien definidos. Haciendo
una traslación podemos suponer que α = 0. Entonces ψ y ψ no se anulan.
Claramente
ψ(t) − φ(t)
ψ(t) = φ(t) 1 + = φ(t)ρ(t).
φ(t)
Sean θ, θ0 : [a, b] −→ R determinaciones continuas del argumento de φ y ρ
respectivamente, es decir,
0
φ(t) = |φ(t)|eiθ(t) , ρ(t) = |ρ(t)|eiθ (t) .
La fórmula anterior nos da que
0
ψ(t) = |φ(t)| |ρ(t)|ei(θ(t)+θ (t)) ,
luego θ + θ0 es una determinación continua del argumento para ψ.
La definición de índice nos da ahora que I(ψ, 0) = I(φ, 0) + I(ρ, 0). Basta
probar que el último índice es 0. Ahora bien, por hipótesis
|ψ(t) − φ(t)|
|ρ(t) − 1| = < 1,
|φ(t)|
luego ρ∗ ⊂ D(1, 1). Esto implica que I(ρ, 0) = 0 (por ejemplo por 3.5 aplicado
al disco D(1, 1)).
Uniendo este teorema al principio del argumento obtenemos el hecho si-
guiente, cuya prueba es inmediata salvo por una pequeña cuestión técnica:
Teorema 3.13 Sea Ω un abierto en C y f , g dos funciones meromorfas en Ω.
Sea φ un ciclo tal que φ∗ ⊂ Ω y no pase por ningún polo de f . Supongamos que
I(φ, z) = 0 para todo z ∈ C \ Ω y que |f (z) − g(z)| < |f (z)| para todo z ∈ φ∗ .
Entonces P P
o(f, z)I(φ, z) = o(g, z)I(φ, z).
z∈Ω z∈Ω
86 Capítulo 3. Funciones holomorfas de una variable
luego el teorema de Rouché nos da que P (z) tiene en D(0, M + 1) tantos ceros
como z n , o sea, n ceros. Por supuesto que el teorema fundamental del álgebra
se deduce ya del teorema de Liouville, que es más sencillo, pero vemos que el
teorema de Rouché nos proporciona una cota para el módulo de las raíces.
Por el teorema de la aplicación abierta, si una función holomorfa en el disco
unitario cumple f (0) = 0, su imagen contiene un disco de centro 0. Ahora
probamos que el radio de este disco puede calcularse en función de f 0 (0) y de
una cota de f :
Teorema 3.15 Sea g una función holomorfa en D(0, R) que cumpla g(0) = 0,
|g 0 (0)| = µ > 0 y |g(z)| ≤ M para todo z ∈ D(0, R). Entonces la imagen de g
contiene al disco D(0, R2 µ2 /6M ).
Sea |w| < 1/6M 0 . Queremos probar que la función g(z) = f (z) − w tiene un
cero. Para ello notamos que si |z| = 1/4M entonces
Teorema 3.16 Sea f una función holomorfa en un disco D(a, r) con la pro-
piedad de que |f 0 (z) − f 0 (a)| < |f 0 (a)| para todo z 6= a en dicho disco. Entonces
f es inyectiva.
1 1 3
|f 0 (z) − f 0 (a)| ≤ |f 0 (z)| + |f 0 (a)| < + = . (3.1)
ρ0 2ρ0 2ρ0
Así, la función
f 0 (a + ρ0 z) − f 0 (a)
g(z) = 3
2ρ0
está en las hipótesis del lema de Schwarz 2.26, del que deducimos que
3|z − a|
|f 0 (z) − f 0 (a)| < , para todo z ∈ D(a, ρ0 ).
2ρ20
Teorema 3.19 Sea Ω un abierto conexo en C y sea {fn } una sucesión de fun-
ciones holomorfas e inyectivas en Ω que converja casi uniformemente a una
función f . Entonces f es constante o inyectiva.
= (−1)m 2(2n − 1) ,
92 Capítulo 3. Funciones holomorfas de una variable
luego cosh(2g(a)) = (−1)m (2n − 1), pero esto implica f (a) = 1. Concluimos
que g(a) no toma valores de la forma (3.2). Estos puntos forman los vértices de
una red de rectángulos que cubren el plano. La altura de los rectángulos es
√
|(m + 1)π/2 − mπ/2| = π/2 < 3.
La anchura (variable) es
√ √ √ √
log( n + 1 + n) − log( n + n − 1).
Veamos ahora que podemos obtener un resultado mucho más general. Una
función entera no polinómica tiene una singularidad esencial en el infinito y
sucede que el teorema de Picard vale para funciones holomorfas arbitrarias, no
necesariamente enteras, alrededor de una singularidad esencial. Más aún, proba-
remos que, alrededor de una singularidad esencial, una función holomorfa toma
infinitas veces cada valor complejo, con a lo sumo una excepción. Necesitamos
algunos resultados previos.
Teorema 3.26 Una función entera no polinómica toma infinitas veces cada
valor complejo con a lo sumo una excepción.
polinomio f 0 no tiene raíces, luego por el teorema fundamental del álgebra tiene
que ser constante f 0 (z) = a 6= 0, de donde f (z) = ax + b.
Vamos a probar que los abiertos conexos que cumplen el teorema anterior son
precisamente los abiertos simplemente conexos en el sentido topológico usual.
Notemos también que un abierto Ω cumple cualquiera de las propiedades 2, 3,
4, 5 del teorema anterior si y sólo si la cumplen todas sus componentes conexas,
por lo que restringirlo a abiertos conexos no supone ninguna limitación esencial.
En la prueba del teorema anterior hemos visto que si f es una función ho-
lomorfa (de una variable) que no se anula en ningún punto, entonces log |f | es
una función harmónica. Esto es cierto para funciones de varias variables y, más
en general:
Como la función log |z| es harmónica en C \ {0} (se puede comprobar calcu-
lando su laplaciano o bien observando que, en un entorno de cada punto, es la
parte real de una rama uniforme del logaritmo), si f : Ω ⊂ Cn −→ C es holo-
morfa y no se anula en ningún punto, entonces la función log |f | es harmónica,
por el teorema anterior.
Esto muestra en particular que el principio del módulo máximo para fun-
ciones holomorfas es una consecuencia del principio del máximo [An 8.17] para
funciones harmónicas, aplicado a la función log |f |. El ejemplo siguiente muestra
la necesidad de tomar el logaritmo:
Ejemplo Si Ω ⊂ Cn es un abierto conexo y f ∈ H(Ω) no es constante, las
funciones |f | y |f |2 no son funciones harmónicas.
En efecto, supongamos en primer lugar que n = 1 y sea
2 2
F (z) = |f (z)|2 = Re f (z) + Im f (z) .
3.4. Abiertos simplemente conexos 99
Derivando obtenemos
2 2
∂2F ∂ 2 Re f ∂ 2 Im f
∂ Re f ∂ Im f
= 2 + 2 Re f + 2 + 2 Im f ,
∂x2 ∂x ∂x2 ∂x ∂x2
2 2
∂2F ∂ 2 Re f ∂ 2 Im f
∂ Re f ∂ Im f
2
= 2 + 2 Re f 2
+ 2 + 2 Im f .
∂y ∂y ∂y ∂y ∂y 2
Sumamos teniendo en cuenta las ecuaciones de Cauchy-Riemann, así como
que Re f , Im f son harmónicas y, por lo tanto, tienen laplaciano nulo:
2 2 2
∂ Re f ∂ Im f ∂ Re f ∂ Im f
∆F = 4 +4 =4 +i = 4|f 0 |2 .
∂x ∂x ∂x ∂x
Así pues, F no es harmónica salvo que f 0 = 0, es decir, salvo si f es constante.
A su vez, si f no es constante existe un punto donde f no se anula, y podemos
tomar un disco donde ocurra lo mismo. Por la nota √ tras el teorema 1.36 la
función f tiene una raíz cuadrada holomorfa F = f en dicho disco, luego
|f | = |F |2 no es harmónica, por la parte ya probada.
Si n > 1 y |f | o |f |2 fueran harmónicas, también lo serían los módulos de las
funciones que resultan de fijar todas las variables menos una, en contradicción
con la parte ya probada.
La función log |z| es un ejemplo de función harmónica en C \ {0} que no es
la parte real de ninguna función holomorfa. En un entorno de cada punto es la
parte real de una rama uniforme del logaritmo, pero no existe ninguna función
holomorfa g : C \ {0} −→ C cuya parte real sea log |z|. En efecto, si la hubiera,
consideramos la rama uniforme del logaritmo log−π : H−π −→ C, que tendría
la misma parte real que g en su dominio, luego g − log−π tendría parte real
nula. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann implican que su parte imaginaria tiene
derivadas nulas, luego es constante en H−π (que es conexo). Equivalentemente,
sumando una constante a g, podemos suponer que g(z) = log−π (z) para todo
z ∈ H−π , pero esto implica que g no es continua, por ejemplo, en −1.
El teorema siguiente prueba que log |z| es esencialmente la única función
harmónica en C \ {0} que no es la parte real de una función holomorfa. Lo
probamos más en general para funciones sobre un anillo:
calcular término a término, pero todos los sumandos tienen primitiva en C\{0},
luego por la regla de Barrow 1.22 las integrales son nulas. El teorema de Morera
implica que la serie tiene una primitiva g en el anillo. Así pues,
a−1
f 0 (z) = (Re g(z))0 + .
z
En el abierto A = A(0, r, R) \ [0, +∞[ la función 1/z tiene como primitiva
a la función log z que a cada z le asigna su logaritmo con parte imaginaria en
]0, 2π[. Luego en A se cumple
f 0 (z) = (Re g(z))0 + (Re(a−1 log z))0 .
Esto significa que las funciones f y Re g(z) + Re(a−1 log z) tienen las mismas
derivadas parciales, luego existe una constante k ∈ R tal que
f (z) = Re g(z) + Re(a−1 log z) + k = Re g(z) + c log |z| + d arg z + k,
donde arg z es el argumento de z en ]0, 2π[. La función d arg z + k tiene una
extensión continua a todo el anillo, concretamente f (z) − Re g(z) − c log |z|, pero
claramente esto sólo es posible si d = 0. Cambiando g por g + k tenemos la
expresión del enunciado (que por continuidad vale en todo el anillo).
Volviendo a las propiedades del teorema 3.29, nos proponemos demostrar el
teorema siguiente:
Teorema 3.32 Sea Ω ⊂ C∞ un abierto conexo. Entonces, las afirmaciones
siguientes son equivalentes:
1. Ω es simplemente conexo.
2. C∞ \ Ω es conexo.
3. H 1 (Ω) = 0.
Nota Los resultados de [TA] permiten probar la equivalencia entre las tres
primeras condiciones. En efecto, la equivalencia entre 1) y 2) es [TA 13.10] (allí
está enunciado con R2 en lugar de C∞ , pero la equivalencia es inmediata).
Por otra parte el teorema [TA 8.34] nos da que π1 (Ω) es un grupo libre,
luego [TA 10.30] implica que H1 (Ω) es un Z-módulo libre del mismo rango,
luego por [TA 12.1] H1R (Ω) es un R-espacio vectorial de la misma dimensión,
y por [TA 12.9] el grupo de cohomología singular HR1 (Ω) es el espacio dual del
anterior, luego en particular π1 (Ω) = 1 si y sólo si HR1 (Ω) = 0, lo que equivale a
que el grupo de cohomología singular diferenciable sea trivial y, por el teorema
de De Rham [TA 13.15], esto equivale a su vez a que H 1 (Ω) = 0. Esto es la
equivalencia entre 1) y 3).
Si nos limitamos a los resultados que hemos probado aquí, vemos que el
teorema 3.5 nos da que 1) ⇒ 2), pues si z ∈ C \ Ω y φ es un arco cerrado
tal que φ∗ ⊂ Ω, por hipótesis φ es homotópico a un arco constante ψ, luego
I(φ, z) = I(ψ, z) = 0. Por otra parte, el teorema 3.29 nos da que 3) ⇒ 2), por
ejemplo por 1.34.
3.4. Abiertos simplemente conexos 101
Ahora vamos a probar un resultado de gran interés en sí mismo que vuelve in-
mediatas las implicaciones restantes. Para expresarlo de la forma más habitual,
en el enunciado del teorema siguiente debemos entender que, por definición, un
abierto conexo Ω ⊂ C∞ es simplemente conexo si y sólo si C∞ \ Ω es conexo.
Cuando hayamos probado 3.32 tendremos que el teorema también es válido con
la definición usual de abierto simplemente conexo.
Teorema 3.33 (Teorema de Riemann) Si Ω1 , Ω2 ⊂ C∞ son abiertos sim-
plemente conexos no vacíos cuyas fronteras contienen más de un punto, existe
una aplicación f : Ω1 −→ Ω2 biholomorfa.3
Demostración: Observemos en primer lugar que si f : Ω1 −→ Ω2 es
biholomorfa y Ω1 es simplemente conexo, también lo es Ω2 . Esto no es inmediato
a partir de la definición provisional que estamos adoptando, pero se sigue de la
caracterización 3) del teorema 3.29.
En efecto, si g ∈ H(Ω2 ), entonces (f ◦ g)f 0 ∈ H(Ω1 ), luego existe u ∈ H(Ω1 )
tal que u0 = (f ◦ g)f 0 , y es fácil ver que v = f −1 ◦ u ∈ H(Ω2 ) cumple v 0 = g.
Basta probar que todo abierto Ω ⊂ C∞ simplemente conexo (en el sentido
de que C∞ \Ω sea conexo) no vacío y cuya frontera contenga más de un punto es
biholomorfo al disco D(0, 1), pues entonces dos cualesquiera serán biholomorfos
entre sí.
En primer lugar vamos a demostrar que existe una aplicación biholomorfa
f : Ω −→ Ω∗ tal que Ω∗ ⊂ C es un abierto acotado.
Tomamos un punto p ∈ ∂Ω y consideramos una transformación de Möbius M
tal que M (p) = ∞, de modo que A = M [Ω] ⊂ C es también un abierto conexo
y simplemente conexo con ∞ ∈ ∂A. Por hipótesis ∂A contiene al menos otro
punto a ∈ C. Fijamos también un punto z0 ∈ A.
La función (z − a)/(z0 − a) es holomorfa en A y no se anula. Por 3.29 existe
la función
z−a
w = log
z0 − a
holomorfa en A. Además es inyectiva, pues su inversa es z = a + (z0 − a)ew .
La imagen de A por w es un abierto B que contiene a 0 (la imagen de z0 ).
Tomemos un r > 0 tal que D(0, r) ⊂ B. Entonces D(2πi, r) ⊂ C∞ \ B, pues
si un punto 2πi + w, con |w| < r, estuviera en B, la aplicación a + (z0 − a)ew
asignaría la misma imagen a los puntos w y 2πi + w, cuando tenemos que esta
aplicación es una biyección B −→ A.
Finalmente, la aplicación 1/(z − 2πi) está acotada por 1/r sobre B, y es
inyectiva, luego transforma B en un abierto acotado Ω∗ ⊂ C.
Si f : Ω −→ C es holomorfa, inyectiva y acotada y z0 ∈ Ω, entonces la
función
f (z) − f (z0 )
F (z) =
f 0 (z0 )
cumple lo mismo y además F (z0 ) = 0, F 0 (z0 ) = 1.
3 Aquí consideramos a C∞ como variedad analítica. Véase la sección A.1.
102 Capítulo 3. Funciones holomorfas de una variable
z−w M2 z − w
P (z) = M 2 = ,
z z̄ − w̄z z z̄ − w̄
z − F2 (z0 )
Q(z) = M 2 ,
M 2 − F2 (z0 )z
3.4. Abiertos simplemente conexos 103
Nota Si en el teorema 3.32 tomamos como hipótesis que Ω ⊂ C (o, más en gene-
ral, que Ω ⊂ C∞ no es compacto), entonces las tres afirmaciones del enunciado
son también equivalentes a una cuarta, a saber, a que Ω es contractible, pues el
teorema de Riemann nos da únicamente las opciones de que Ω sea difeomorfo
a C o a D(0, 1), y ambos espacios son contractibles.
Volviendo al teorema de Riemann, hemos probado que entre dos abiertos
simplemente conexos cuyas fronteras en C∞ tengan más de un punto existe
una aplicación biholomorfa, pero ésta no es única. Para determinar todas las
posibilidades necesitamos un resultado auxiliar, de interés en sí mismo:
g = M1 ◦ f ◦ M2 : D(0, 1) −→ D(0, 1)
una transformación de Möbius y de acuerdo con A.4 tiene que ser de la forma
F (z) = ζz, con |ζ| = 1, luego la condición F 0 (0) > 0 implica que ζ = 1.
φ(t) = −t + i sen(1/t),
Sin embargo, al contrario que el teorema 3.36, este teorema sí puede mejo-
rarse. Pensemos de nuevo en el caso del círculo cortado. La intersección con
el abierto de un entorno suficientemente pequeño de un punto z del corte tiene
dos componentes conexas que la aplicación biholomorfa separa. Mientras que
una sucesión puede saltar libremente de una a otra, una curva semiabierta con
límite z es un conexo que ha de estar en una componente fija, por lo que cabe
esperar que el conjunto límite de su imagen tenga un único punto. No es fácil
justificar con rigor este hecho. Nos basaremos en el ingenioso razonamiento que
sigue:
Teorema 3.39 Sea φ : [u, v[−→ D(0, 1) una curva semiabierta cuyo conjunto
límite esté contenido en la frontera del disco unidad y contenga más de un punto.
Sea f una función holomorfa y acotada en D(0, 1). Si existe lím f (φ(t)) = c
t→v
entonces f = c.
lím g(φ(t)) = 0.
t→v
a
b
a02 b02
a01 b01
b00
a00
hc (1) = hc (2r − 1) = 0,
unidad y transforma (a, b, c) en (1, −i, i). Así pues, existe una única transfor-
mación de Möbius M que deja fijo al disco unidad y además cumple M (a) = 1,
{M (b), M (c)} = {i, −i}. Razonando igualmente con (p, q, r) obtenemos una
transformación N que cumple N (p) = 1, {N (q), N (r)} = {i, −i}. Entonces
M N −1 cumple lo pedido. Si hubiera otra L 6= M N −1 , entonces LN 6= M y
cumpliría las mismas condiciones que M .
El teorema anterior es válido igualmente para abiertos no acotados siempre
y cuando sus complementarios en C∞ tengan interior no vacío, pues entonces
una transformación de Möbius los transforma en abiertos acotados y, al ser
homeomorfismos de C∞ , conservan todas las hipótesis.
Ahora es inmediato el teorema de Schoenflies, que en [TA] usamos sin de-
mostración:
lo cual equivale a que grad P (z) > grad Q(z). Necesitamos un resultado auxiliar:
Teorema 3.49 Sea φ un ciclo, f una función continua en φ∗ , K un compacto
en C que no corte a φ∗ y > 0. Entonces existe una función racional R cuyos
polos están todos en φ∗ tal que
Z
f (ζ)
dζ − R(z) < para todo z ∈ K.
φ ζ −z
Así, R es una función racional con todos sus polos sobre f ∗ (aquí hay que
observar que ∞ no es un polo). Además:
Z n Z ti n Z ti
f (ζ) X f (φ(t)) 0 X f (φ(ti−1 )) 0
dζ − R(z) = φ (t) dt − φ (t) dt
φ ζ − z i=1 ti−1
φ(t) − z i=1 ti−1
φ(t i−1 ) − z
n Z ti Z b
X f (φ(t)) f (φ(ti−1 ))
≤ − |φ0 (t)| dt ≤ |φ0 (t)| dt = .
i=1 ti−1 φ(t) − z φ(ti−1 ) − z L(φ) a
4 Esto es un caso particular de la definición general A.14 del orden de una singularidad
pues |z/a| ≤ R/|a| < 1. Esta serie converge en D(0, |a|), luego converge (unifor-
memente) en K. Las sumas parciales son polinomios (funciones racionales con
un polo en ∞ ∈ E), luego están en RE (K), luego el límite está en BE (K).
3) ∂V ⊂ K.
Si a ∈ ∂V pero a ∈/ K, tomamos d = d(a, K). Existe un b ∈ D(a, d/2) ∩ V ,
entonces a ∈ D(b, d/2) ⊂ D(a, d) ⊂ C \ K, luego d/2 ≤ d(b, K) y por 1)
concluimos que D(b, d/2) ⊂ V , luego a ∈ V , pero al ser V abierto es imposible
que a esté en V y en su frontera.
El paso 3) implica que V no tiene puntos de frontera en C \ K, luego V es
abierto y cerrado en C \ K. Si C es una componente conexa de C \ K entonces
V ∩ C es abierto y cerrado en C, luego o bien C ⊂ V o bien C ∩ V = ∅. Así,
para concluir que V = C \ K basta probar que V corta a todas las componentes
conexas de C \ K.
En efecto, si a ∈ E, a 6= ∞, entonces 1/(z−a) ∈ RE (K) ⊂ BE (K), luego por
definición a ∈ V . Si C es una componente conexa acotada de C \ K, entonces
también es una componente conexa de C∞ \ K y E contiene un punto de C, que
está en V , según acabamos de ver, luego V corta a C. Si C es la componente
conexa no acotada entonces C ∪ {∞} es la componente conexa no acotada de
C∞ \ K, y el razonamiento anterior vale salvo que el único punto de C ∪ {∞}
que esté en E sea ∞. Entonces por 2) sabemos que V contiene un anillo de la
forma A(0, R, ∞), que claramente contiene puntos de C.
Una vez probado que V = C \ K la conclusión es sencilla. Sea Ω un abierto
en C en el que f sea holomorfa y K ⊂ Ω. El teorema 3.4 aplicado a K y C∞ \ Ω
nos da que existe un ciclo γ tal que
1. γ ∗ ∩ K = ∅, γ ∗ ⊂ Ω,
2. Para todo z ∈ K se cumple I(γ, z) = 1,
3. Para todo z ∈ C \ Ω se cumple I(γ, z) = 0.
La propiedad 3) nos permite aplicar el teorema de Cauchy:
Z
1 f (ζ)
f (z) = dζ, para todo z ∈ K.
2πi γ ζ − z
Por el teorema anterior, dado > 0, existe una función racional R cuyos
polos están sobre γ ∗ (luego son finitos) tal que
Z
f (ζ)
dζ − R(z) < , para todo z ∈ K.
γ ζ −z
3.5. El teorema de Runge 117
Cambiando R(z) por R(z)/2πi tenemos una función racional en las mismas
condiciones tal que |f (z) − R(z)| < /2π < para todo z ∈ K, es decir, tal que
kf (z) − R(z)k < , donde la norma es la norma supremo en C(K), que induce
la topología de la convergencia uniforme en C(K).
Tomemos uno de los polos de R(z) y consideremos su desarrollo en serie
de Laurent. La parte regular del desarrollo (es decir, la suma de potencias
con exponente no negativo) es una función racional cuyos polos son los polos
restantes de R(z), a su vez desarrollamos esta parte regular alrededor de otro
de sus polos y seguimos así hasta agotar todos los polos.
Si R fuera una función arbitraria podríamos llegar a una parte regular sin
polos, es decir, a un polinomio, pero eso significaría que R tendría un polo en
∞, lo cual es falso. Por lo tanto terminamos con una expresión de la forma
r
X an
R(z) = ,
n=1
(z − bn )kn
Demostración: Hay que probar que para toda función f ∈ H(Ω), todo
compacto K ⊂ Ω y todo > 0 existe una función R(z) ∈ RE (Ω) tal que
|f (z) − R(z)| < para todo z ∈ K.
Para aplicar el teorema anterior habría que justificar que E corta a todas
las componentes conexas de C∞ \ K, pero esto es falso en general (por ejemplo
si K tiene un “agujero”). No obstante basta probar esta afirmación para los
compactos
Kn = {z ∈ Ω | |z| ≤ n, d(z, C \ Ω) ≥ 1/n},
pues cualquier compacto está contenido en uno de ellos, y éstos sí van a cumplir
la propiedad.
Sea, pues, K = Kn y sea C una componente conexa de C∞ \ K. Veamos
que C corta a C∞ \ Ω. Tomemos z ∈ C. Entonces z ∈ / K, luego hay tres
posibilidades:
1. z ∈
/ Ω,
2. |z| > n,
Productos infinitos
válidas en todo el plano complejo. Ahora veremos que todas las funciones enteras
admiten descomposiciones en productos infinitos que generalizan las descompo-
siciones en factores primos de los polinomios de C[z].
Comparemos, por ejemplo, el anillo H(C) de las funciones enteras y el subani-
llo C[z] de las funciones polinómicas:
Ambos son dominios íntegros, y en ambos se cumple que las unidades son
las funciones / polinomios que no se anulan en ningún punto. En el caso de los
polinomios se trata de las funciones constantes, mientras que en el caso de las
funciones enteras, por el teorema 1.36, son las funciones de la forma eg(z) , para
cierta g ∈ H(C). Además, ambos anillos tienen los mismos primos que, salvo
unidades, son los de la forma z − a, con a ∈ C.
En efecto, z − a es primo en H(C) porque, ciertamente, no es una unidad, y
el teorema [ITAn 10.19] implica que divide exactamente a las funciones enteras
que se anulan en a. De aquí se sigue inmediatamente que divide a un producto
si y sólo si divide a uno de sus factores (pues si un producto se anula en a, uno
de los factores debe anularse en a). A su vez, esto implica que no puede haber
más primos, pues toda función que no sea una unidad se anula en algún punto
a y, por consiguiente, es divisible entre z − a.
Mientras en las descomposiciones en factores primos “usuales” (es decir, fi-
nitas) las unidades son prácticamente irrelevantes, no sucede lo mismo con las
factorizaciones infinitas. Por ejemplo, no podemos factorizar
sen z = z(z − π)(z + π)(z − 2π)(z + 2π) · · ·
porque el producto infinito que resulta es divergente.
119
120 Capítulo 4. Productos infinitos
∞ ∞
P ∞ ∞
!r
− log fn (z)
P
log fn (z) X 1 X
= en=0 1−e n=k+1
≤M − log fn (z)
r=1
r!
n=k+1
∞ ∞ ∞
X (/2M )r X r−1 X 1
≤M = r−1 r−1
< = .
r=1
r! 2 r=1 2 M r! 2 r=1 2r−1
k
k
Q X fn0 (z)
fn (z) .
n=0 f (z)
n=0 n
Notemos que la última parte del teorema anterior afirma que la derivada
logarítmica de un producto infinito es la suma de las derivadas logarítmicas de
sus factores.
Del teorema [ITAn 8.5] se desprende inmediatamente el siguiente criterio de
convergencia absoluta:
Teorema 4.5 Para todo natural no nulo m y todo z tal que |z| ≤ 1 se cumple
|1 − Em (z)| ≤ |z|m+1 .
k=0
m k m k
= −(−1 + 1 − z m ) ez /k
= zm ez /k
Q Q
.
k=1 k=1
Por lo tanto
∞
X an
|1 − Em (z)| ≤ |z|n+m+1
n=0
n + m + 1
∞
X an
≤ |z|m+1 = f (1)|z|m+1 = |z|m+1 .
n=0
n + m + 1
Teorema 4.6 Sea {zn } una sucesión de números complejos no nulos que cum-
pla lím zn = ∞. Sea {pn } una sucesión de números naturales tal que
n
∞
(r/|zn |)pn +1 < +∞
P
n=0
converge absoluta y casi uniformemente a una función entera cuyos ceros son
exactamente los números zn y el orden de cada cero es igual al número de veces
que aparece en la sucesión.
Observemos que, dada una sucesión que cumpla lím zn = ∞, siempre es po-
n
sible encontrar una sucesión {pn } de números naturales que cumpla la hipótesis
del teorema anterior. En efecto, basta tomar pn = n. Entonces, dado un r > 0
siempre existe un n0 tal que para n ≥ n0 se cumple r/|zn | < 1/2, con lo que
(r/|zn |)n+1 < 1/2n+1 , y por lo tanto la serie converge.
Hemos enunciado el teorema para una sucesión arbitraria porque en muchos
casos pueden tomarse sucesiones mucho más simples, como hemos visto en el
caso del seno, donde nos ha servido pn = 1. De este modo los factores son más
sencillos.
El teorema siguiente es una consecuencia inmediata del teorema 4.6 junto
con la observación anterior:
4.1. Factorización de funciones holomorfas 125
(Basta formar una sucesión con los puntos de B donde cada punto z se repita
m(z) veces y tomar pn = n).
Finalmente llegamos al teorema general de factorización de funciones enteras:
Definición 4.11 Sea f una función entera. Para cada r > 0 definimos
Por consiguiente
log log Mf (r)
ρ = lím .
r→+∞ log r
Es fácil ver que esta igualdad vale también si f es de orden infinito.
Ejemplos El lector puede comprobar fácilmente que todo polinomio tiene orden
de crecimiento nulo. Para la función exponencial se cumple M (r) = er , por lo
que su orden es 1. Consideremos ahora la función seno. Si z = x + iy es claro
que
ey − e−y ey + e−y
≤ | sen z| ≤ ,
2 2
de donde
er − 1 er + 1
≤ M (r) ≤ ,
2 2
y de aquí se sigue claramente que su orden es 1 también. Un argumento similar
se aplica a la función coseno.
Ahora probamos que si P (z) es un polinomio de grado n, entonces la función
f (z) = eP (z) tiene orden n.
En efecto, digamos que P (z) = a0 + a1 z + · · · + an z n , con an 6= 0. Sea
ak = σk eiαk y z = reiθ . Entonces
n n
σk r k ei(αk +kθ) σk r k cos(αk +kθ)
P P
|f (z)| = e k=0 =e k=0 .
Si k > 0, se cumple
luego
ρ+/2
ekr
lím ρ+ = 0.
r→+∞ er
Teorema 4.13 Sea f una función entera de orden finito ρ. Si f no toma nunca
un cierto valor A, entonces ρ es un número natural y f es de la forma
f (z) = A + eP (z) ,
P (z)eQ(z) − R(z)eS(z) = C 6= 0.
Derivando queda
Si fuera P 0 (z) + P (z)Q0 (z) = 0 para todo z, entonces Q0 (z) = −P 0 (z)/P (z)
tendría polos en los ceros de P , lo cual es imposible, luego P 0 (z) + P (z)Q0 (z) es
un polinomio no nulo y podemos despejar
Vamos a probar que la sucesión de los ceros de una función entera de orden
finito tiene exponente de convergencia finito. La clave de la demostración nos
la da la llamada fórmula de Jensen.
Sobre la circunferencia |z| = R se cumple que |F (z)| = |f (z)|, pues todos los
factores
R2 − ai z
R(z − ai )
tienen módulo 1 (al multiplicarlos por z/R el numerador se convierte en el
conjugado del denominador). Teniendo esto en cuenta, la fórmula de Jensen es
inmediata.
Teorema 4.17 Sea f una función entera de orden finito ρ y sea {an } la su-
cesión de sus ceros no nulos ordenados de modo que sus módulos sean no de-
crecientes. Entonces el exponente de convergencia de esta sucesión es finito y
cumple τ ≤ ρ.
es convergente.
Si tomamos ρ < α < λ la definición de orden nos da que log |f (z)| ≤ |z|α
siempre que |z| sea suficientemente grande.
Aplicamos la fórmula de Jensen al disco |z| ≤ R = 2|an | + , donde n se
toma de modo que R satisfaga la desigualdad anterior y de modo que no haya
ningún cero am tal que 2|an | < |am | ≤ 2|an | + . El resultado es
X 2|an | +
log ≤ (2|an | + )α − log |f (0)|.
|am |
|am |<2|an |+
m > n. Los restantes cumplen log(2|an |/|am |) ≥ log 2, luego en total queda
n log 2 ≤ 2α |an |α − log |f (0)|. Por consiguiente
2α log |f (0)|
n≤ |an |α − .
log 2 log 2
Tomamos ahora α < β < λ. La función xα−β tiende a 0 cuando x tiende a
infinito. Como consecuencia, si dividimos el miembro derecho de la desigualdad
anterior entre |an |β obtenemos una sucesión que tiende a 0 con n, luego para
n suficientemente grande se cumple n < |an |β , luego |an | > n1/β . Finalmente,
|an |λ > nλ/β , luego (4.5) está mayorada por ζ(λ/β).
Aunque aquí no nos va a hacer falta, es interesante notar que el argumento
que acabamos de emplear nos da una estimación del número de ceros de una fun-
ción entera de orden finito en un disco dado. En efecto, si aplicamos la fórmula
de Jensen a un disco de radio 2R + , llegamos igualmente a la desigualdad
2α log |f (0)|
n≤ Rα − ,
log 2 log 2
donde ahora n es el número de ceros de f en el disco |z| ≤ R (contados según sus
órdenes). Vemos, pues, que n/Rβ tiende a 0. Esto prueba el teorema siguiente:
Teorema 4.18 Sea f una función entera de orden finito ρ y sea > 0. Enton-
ces el número de ceros de f de módulo menor o igual que R (contando órdenes)
es del orden de Rρ+ (en el sentido de que el cociente permanece acotado).
Continuamos nuestro estudio de la factorización de funciones enteras:
Teorema 4.19 (Teorema de Hadamard) Sea f una función entera de or-
den finito ρ. Sea {an } la sucesión de sus ceros no nulos (repetidos según su
multiplicidad y ordenados de modo que la sucesión de los módulos es no decre-
ciente). Entonces
∞
f (z) = eP (z) z k
Q
Eκ (z/an ).
n=0
donde, P (z) es un polinomio de grado menor o igual que ρ, k es el orden de 0
en f y κ es el orden de la sucesión {an }.
(En principio suponemos que f tiene infinitos ceros, aunque el teorema es
trivialmente cierto en caso contrario, con los convenios obvios).
Demostración: Sólo hay que probar que P (z) es un polinomio de grado
menor o igual que ρ. Llamemos
κ
X zi
un (z) = ,
i=1
iain
Si |z| = 2R se cumple
n(R)
2R − R
Mf (2R) ≥ |f (z)| ≥ (2R)k
Q
|gR (z)| ≥ |gR (z)|.
n=0 R
Así pues, MgR (2R) ≤ Mf (2R). Por el principio del módulo máximo, si
|z| < R se cumple también |gR (z)| ≤ Mf (2R). La función gR no se anula en
el disco |z| < R, luego tiene un logaritmo hR (z). Más precisamente, según el
teorema [ITAn 8.3], dicho logaritmo es
n(R) ∞
X X z
hR (z) = P (z) + un (z) + log 1 − + un (z) . (4.6)
n=0
an
n=n(R)+1
De |gR (z)| ≤ Mf (2R) se sigue que Re hR (z) ≤ log Mf (2R), para |z| < R.
Sea cn el coeficiente n-simo de la serie de Taylor de hR (z) alrededor de 0. Sea
α0 la parte real de c0 . Se cumple que Re(hR (z) − c0 ) ≤ log Mf (2R) − α0 y
podemos aplicar el teorema 2.27, que nos da, para |z| = R/2,
Consecuentemente,
∞
2k+1 (log Mf (2R) − α0 ) X 1
|dk | ≤ + .
Rk |an |k
n=n(R)+1
Ejemplo Como aplicación del teorema de Hadamard vamos a dar una prueba
muy sencilla de la factorización de la función seno (4.2). Como el orden de
crecimiento del seno es 1, tenemos la factorización del teorema anterior con
κ = 1 y P (z) = az + b (y k = 1). Sólo hay que probar que a = b = 0.
Ahora bien, es inmediato que la función f (z) = eaz+b ha de ser par, es decir
f (z) = f (−z), luego e2az = 1 para todo z, luego a = 0. Evaluando en 0 la
función (sen z)/z y el producto infinito queda que eb = 1, con lo que obtenemos
la factorización buscada.
Ahora probamos el recíproco del teorema de Hadamard:
Teorema 4.20 (Teorema de Borel) Sea f una función entera que admita
una factorización
∞
f (z) = eP (z) z k
Q
Eκ (z/an ),
n=0
donde P (z) es un polinomio de grado m y κ es el orden de convergencia de la
sucesión {an } de los ceros de f (que suponemos finito). Sea τ el exponente de
convergencia. Entonces f tiene orden finito ρ = máx{m, τ }.
Demostración: Si |z| ≤ 1/2 se cumple
κ κ ∞
zi zi zi
P
−
P P
i log(1−z)+ i i
|Eκ (z)| = (1 − z)ei=1 = e i=1 ≤ e i=κ+1
∞ ∞
|z|i
|z|κ+1 |z|κ+1 |z|i
P P
i+κ+1 κ+1 κ
≤ e i=0 ≤e i=0 ≤ e2|z| ≤ e|z| .
(En los últimos pasos hemos usado que |z| ≤ 1/2).
Si |z| > 1/2 hacemos
κ−1 κ−1
|z|κ 1
|z|κ 2i
P P
|z|i κ
|Eκ (z)| ≤ (1 + |z|)e i=0 ≤ (1 + |z|)e i=0 < e|2z| +log(1+|z|)
.
Tomemos un λ tal que κ ≤ τ ≤ λ < κ + 1 y que haga convergente a la serie
∞
X 1
.
n=0
|an |λ
Es fácil ver que log(1 + x)/xλ tiende a 0 cuando x tiende a +∞, luego
λ
las dos desigualdades que hemos probado se reúnen en que |Eκ (z)| < eC|z| ,
para una cierta constante C y todo z ∈ C. Cambiando z por z/an queda
λ
|Eκ (z/an )| < eC|z/an | . Es claro entonces que existe una constante K tal que
∞ λ λ+
Eκ (z/an ) < eK|z| < e|z|
Q
,
n=0
Esto prueba que el orden del producto infinito es menor o igual que λ, pero
λ puede tomarse arbitrariamente cerca de τ , por lo que el orden del producto
es a lo sumo τ .
Por otra parte el orden de eP (z) z k es m, luego, según 4.12, el orden de f es
ρ ≤ máx{m, τ }. La desigualdad opuesta la da el teorema de Hadamard.
Ejemplo Vamos a ver ahora una función entera con orden fraccionario. La
factorización de la función coseno es
∞ 4z 2
Q
cos z = 1− ,
n=1 (2n − 1)2 π 2
lo que nos permite definir
√ ∞
Q 4z
cos z= 1− .
n=1 (2n − 1)2 π 2
Se trata de una función entera cuyas sucesión de ceros es (2n − 1)2 (π/2)2 ,
cuyo exponente de convergencia es 1/2. El teorema de Borel nos da que el orden
√ función es también 1/2. Como consecuencia obtenemos que la función
de la
cos z toma infinitas veces todos los valores complejos.
Ejercicio: Probar que la ecuación sen z = Az tiene infinitas soluciones para cualquier
número complejo A.
válido para todo número complejo z que no sea un entero negativo, y en [IC 3.30]
la definimos mediante una integral para todo número real s > −1. En realidad
esta segunda definición vale para todo número complejo que cumpla Re z > −1:
Definición 4.21 Llamaremos Σ al semiplano Re z > −1. Sobre Σ definimos la
función factorial mediante
Z +∞
Π(z) = e−x xz dx.
0
Por [IC 3.30] sabemos que la función e−x xs es integrable en ]0, +∞[ para
todo s > −1, y que Π(s) define una función continua en ]−1, +∞[ que satisface
la ecuación funcional Π(s + 1) = (s + 1)Π(s), lo que en particular implica que,
para todo número natural n, se cumple Π(n) = n!
La función e−x xz es integrable porque lo es su módulo |e−x xz | = e−x xRe z ,
luego Π(z) está bien definida y obviamente extiende a la función factorial real
que definida en [IC].
4.3. La función factorial 137
Como e−x xM es integrable en ]0, +∞[ (la integral es Π(M )), la última in-
tegral tiende a 0 cuando n tiende a infinito, lo que prueba la convergencia
uniforme.
Finalmente notamos que las funciones Π(z + 1) y (z + 1)Π(z) son ambas
holomorfas y coinciden sobre el eje real positivo, luego por el principio de pro-
longación analítica son iguales.
Ahora demostramos que la función factorial así definida se extiende a una
función meromorfa en C. Por razones que se verán después conviene probar algo
ligeramente más general:
Teorema 4.23 Sea una función f ∈ H(Σ) que verifique la ecuación funcional
f (z + 1) = (z + 1)f (z). Entonces:
(−1)n−1
Res (f, −n) = f (0).
(n − 1)!
Por lo tanto el módulo de s tiene periodo 1 y basta probar que s está aco-
tada en una banda de anchura 1. Concretamente, si 0 ≤ Re z ≤ 1, entonces
s(z) se calcula evaluando g en dos puntos de la banda −1 ≤ Re z ≤ 0, luego
basta demostrar que g está acotada en esta última banda. Ahora bien, esto
es inmediato: por continuidad g está acotada en el compacto −1 ≤ Re z ≤ 0,
−1 ≤ Im z ≤ 1, y sobre los puntos −1 ≤ Re z ≤ 0, | Im z| ≥ 1 usamos la ecuación
g(z) = g(z + 1)/(z + 1) y la condición 2).
Veamos una primera aplicación de esta caracterización:
Teorema 4.25 Para todo número complejo z 6= −1, −2, −3, . . . se cumple
n! nz+1 e−γz
Π(z) = lím = Q
∞ .
n (z + 1)(z + 2) · · · (z + n + 1)
1 + kz e−z/k
k=1
nz+1 nz+1
f (z) = lím z+1 = lím .
n (n + 1) · · · z+n+1 n n+1
1 + kz
1 n+1
Q
(n + 1)
k=1
e−γz
f (z) = Q
∞ .
z
1+ k e −z/k
k=1
La factorización de 1/Π es la más sencilla que puede tener una función que
se anula en los enteros negativos. Esto nos hace pensar en la factorización del
seno (4.1), que también es la más sencilla que puede tener una función que se
anula en los múltiplos enteros de π. Para compararlas mejor conviene considerar
la función sen πz, que se anula en los enteros. Claramente
∞
Q z z/k Q∞ z −z/k
sen πz = πz 1− e 1+ e .
k=1 k k=1 k
Demostración: Definimos
2z z z − 1
f (z) = √ Π Π .
π 2 2
R k+1
Ahora observamos que cada sumando k
(1/x) dx aparece exactamente k
veces, luego
n−1 Z k+1 n−1
X Z k+1 k
X 1
log n! = n log n − k dx = dx.
k x k x
k=1 k=1
obtenemos una primitiva continua y periódica tal que φ(n) = 0 para todo nú-
mero natural y además −1/8 ≤ f (x) ≤ 0. Al integrar por partes queda
s 1 s
F [x] −
Z Z
2 φ(s) φ(x)
dx = + dx.
1 x s 1 x2
Multiplicamos por 2:
n 1
F [x] −
Z
2
log 2 · 2 · 4 · 4 · · · (2n)(2n) = (2n + 1) log n + 2n log 2 − 2n + 2 + 2 dx.
1 x
En (4.8) cambiamos n por 2n + 1:
Z 2n+1 1
F [x] −
1 2
log 1 · 2 · 3 · · · (2n + 1) = 2n + 1 + log(2n + 1) − 2n + dx.
2 1 x
Restamos las dos últimas fórmulas:
2 · 4 · 6 · · · (2n) 2n + 1 1
log = −(2n + 1) log − log(2n + 1) + 2n log 2
1 · 3 · 5 · · · (2n + 1) n 2
1
n
F [x] − 21
Z 2n+1
F [x] − 2
Z
+ 2+2 dx dx.
1 x 1 x
Expresamos el primer miembro como
1 2 · 2 · 4 · 4 · · · (2n)(2n)
log .
2 1 · 1 · 3 · 3 · · · (2n + 1)(2n + 1)
F [x] − 21
Z +∞
1 π
log = −1 − log 2 + 2 + dx.
2 2 1 x
Así pues,
Z +∞
F [x] − 1
2
√
dx = log 2π − 1.
1 x
Ahora expresamos
F [x] − 12 1 1
Z n Z +∞ +∞
F [x] − F [x] −
Z
2 2
dx = dx − dx.
1 x 1 x n x
Al sustituir en (4.8) queda
1 √ Z +∞
F [x] − 1
2
log n! = (2n + 1) log n − n + log 2π − dx.
2 n x
4.3. La función factorial 145
Definimos
+∞ 1
F [x] −
Z
2
µ(n) = − dx
n x
√
y aplicamos la función exponencial. Resulta n! = 2πn (n/e)n eµ(n) . Ahora
basta observar que 0 ≤ −φ(x) ≤ 1/8, luego
+∞ 1 +∞ +∞
F [x] −
Z Z Z
2 φ(x) 1 1 1
0 < µ(n) = − dx = − dx < dx = ,
n x n x2 8 n x2 8n
En [ITAn 6.7] vimos que el factor eθ/8n puede mejorarse hasta eθ/12n , pero
aquí nos interesa la igualdad
√
n! = 2πn (n/e)n eµ(n) ,
que es la que vamos a convertir en una ecuación funcional para la función fac-
torial. En la prueba hemos visto que
+∞ 1 +∞
F [x] −
Z Z
2 φ(x)
µ(n) = − dx = − dx,
n x n x2
donde a su vez F [x] es la parte fraccionaria de x y φ(x) = (1/2)F [x] F [x]−1 es
una primitiva de F [x] − 1/2, periódica de periodo 1 y tal que −1/8 ≤ φ(x) ≤ 0.
es holomorfa en C− = C \ {x ∈ R | x ≤ 0} y cumple:
1
|µ(z)| ≤ .
8 sen2 (δ/2) |z|
Como x < |y| resulta que tan |θ| = |y|/x > 1, luego |θ| > π/4. Además y, θ
tienen el mismo signo, luego e−yθ = e−|y||θ| ≤ e−|y|π/4 . En total resulta que
Esta función está acotada, luego se cumplen las hipótesis del teorema de
Wielandt. Con esto tenemos probado que
√
Π(z) = C 2π (z + 1)z+1/2 e−z−1 eµ(z+1) ,
donde C = 1/f (0). Falta probar que C = 1, para lo cual sustituimos el valor
de Π(z) que nos da esta ecuación en la fórmula de duplicación. Por simplifi-
car la manipulación de las exponenciales podemos trabajar con números reales
positivos x. Después de simplificar y agrupar los términos similares queda
Funciones meromorfas
periódicas
149
150 Capítulo 5. Funciones meromorfas periódicas
Es claro que las funciones que tienen entre sus periodos a los elementos de
un cierto retículo R ⊂ C forman un subcuerpo del cuerpo M(C) de todas las
funciones meromorfas en C, que además es cerrado para la derivación (de la
propia definición de derivada se sigue que la derivada de una función f tiene al
menos los mismos periodos que f ).
La observación siguiente no va a ser necesaria a lo largo de este capítulo, pero
a la hora de entender el comportamiento de las funciones periódicas resulta útil
tener en cuenta que, según probamos en A.29, si R es un retículo en C, el
grupo cociente C/R admite una única estructura de variedad analítica tal que
la proyección p : C −→ C/R es localmente biholomorfa. Si f : C −→ C∞
es una aplicación meromorfa cuyo grupo de periodos contiene a R, claramente
podemos definir f ∗ : C/R −→ C∞ mediante f ∗ ([z]) = f (z). La periodicidad
de f implica que la definición de f ∗ no depende de la elección del representante
de la clase con el cual se calcula. Además f ∗ está completamente determinada
por la relación p ◦ f ∗ = f .
El hecho de que p sea localmente biholomorfa implica que f ∗ es holomorfa
(como aplicación en C∞ , es decir, meromorfa), pues si p|U : U −→ W es biholo-
morfa, entonces f ∗ |W = (p|U )−1 ◦ f , y todo punto de C/R tiene un entorno W
en estas condiciones.
Teniendo esto en cuenta, el teorema siguiente es inmediato:
1 En realidad llegaríamos a que g es constante igual a 0, luego f sería constante igual a ∞,
o bien
∞
a0 X
f (z) = + (an cos nz + bn sen nz),
2 n=1
1 2π 1 2π
Z Z
an = f (t) cos nt dt, bn = f (t) sen nt dt.
π 0 π 0
La serie converge absoluta y uniformemente en cada banda horizontal.
Por consiguiente,
2π 2π
e−int + eint
Z Z
1 1
an = cn + c−n = f (t) dt = f (t) cos nt dt,
π 0 2 π 0
2π 2π
eint − e−int
Z Z
1 1
bn = i(cn − c−n ) = f (t) dt = f (t) sen nt dt.
π 0 2i π 0
El teorema 5.4 nos permite representar las funciones periódicas con periodo ω
como funciones meromorfas sobre la variedad cociente C/ hωiZ . Aunque no
hemos necesitado este hecho en ningún momento, conviene observar que tiene
una interpretación geométrica muy clara. Por ejemplo, si R = h2πiiZ , el cociente
C/R ∼= S 1 × R es geométricamente un toro, el toro que resulta de identificar los
lados de la banda horizontal R × [0, 2π], o también, de “enrollar” todo el plano
complejo en un cilindro dando una vuelta completa cada vez que se asciende o
se desciende 2π unidades en el eje imaginario.
2πi
πi
0
0
Así, una función meromorfa con periodo 2πi puede identificarse con una
función meromorfa sobre el cilindro, que no es sino el cociente del plano en el
que todos los puntos que se diferencian en un múltiplo de 2πi se identifican en
una misma clase de equivalencia.
El hecho de que toda función de periodo ω pueda transformarse en una
función de periodo 2πi mediante un cambio de variable lineal se corresponde con
el hecho de que si ω ∈ C es cualquier número complejo no nulo, el isomorfismo
h : C −→ C definido por h(z) = ωz/2πi induce un isomorfismo biholomorfo
h̄ : C/ h2πiiZ −→ C/R, que a su vez define un isomorfismo f 7→ f˜ = h̄ ◦ f entre
el cuerpo de las funciones meromorfas de periodo ω y el cuerpo de las funciones
meromorfas de periodo 2πi. Notemos que f˜ es la misma función que hemos
asociado a f al principio de esta sección.
En particular, vemos que los cilindros definidos por periodos distintos son
esencialmente la misma variedad analítica, si bien en la práctica hemos po-
dido expresar de forma sencilla la relación entre las funciones meromorfas de
periodo ω y las de periodo 2πi sin necesidad de mencionar ninguna variedad
analítica abstracta.
Más precisamente, todos los cilindros abstractos son biholomorfos al abierto
C \ {0}, pues es claro que la función exponencial induce un isomorfismo biho-
lomorfo g : C/ h2πiiZ −→ C \ {0}. (Como la exponencial es localmente biho-
lomorfa, la aplicación que induce en el cociente también lo es, pero además
es biyectiva, luego es biholomorfa). Esto nos da a su vez un isomorfismo
M(C \ {0}) −→ M(C/ h2πiiZ ) dado por f 7→ g ◦ f , que no es sino el consi-
derado en el teorema 5.5.
Así pues, el abierto C \ {0} sustituye perfectamente a las variedades abstrac-
tas C/ hωiZ a la hora de representar las funciones simplemente periódicas.
5.2. Funciones elípticas 155
lo cual equivale a
8 P n 1 8 Pn 1
≤ S(n) ≤ .
M α k=1 k α−1 mα k=1 k α−1
para todo ω ∈ R con |ω| > M y todo z con |z| ≤ M . La convergencia absoluta
de la serie se sigue entonces del criterio de mayoración de Weierstrass y del
teorema anterior. A su vez, esta desigualdad equivale a
α
z−ω 1
≥ = .
ω K
Para encontrar tomamos un ω ∈ R tal que |ω| > M pero que tenga módulo
mínimo |ω| = M + δ. Entonces, si |z| ≤ M se cumple
z−ω z |z| M
= 1− ≥1− ≥1− = .
ω ω |ω| M +δ
define una función elíptica sobre R con polos de orden 3 en cada uno de los
puntos de R.
1 X 1 1
℘(z) = 2 + − 2 .
z (z − ω)2 ω
ω∈R\{0}
Demostración: Claramente,
1 1 z(2ω − z)
− 2 = 2 .
(z − ω)2 ω ω (z − ω)2
Esto implica que la serie que define a ℘ (salvo un número finito de términos)
converge absoluta y uniformemente en cada disco D(0, M ), luego define una
función holomorfa. Al sumarle los primeros términos obtenemos una función
meromorfa con un polo doble en cada elemento de R. La derivada de ℘ puede
calcularse término a término, y es claramente la que se indica en el enunciado.
Observemos ahora que ℘ es par, es decir, que cumple ℘(z) = ℘(−z). En
efecto, usamos que
20
400
17.5
15
200
12.5
10
-1 -0.5 0.5 1
7.5
5 -200
2.5
-400
-1 -0.5 0.5 1
5.2. Funciones elípticas 159
-1 1 2 3 4 5
-1
f ∗ : C/R −→ C∞ para las que la función f definida por la relación anterior es elíptica
son precisamente las funciones meromorfas sobre la variedad analítica C/R, pero esto es lo
que decimos que no vamos a necesitar en ningún momento.
160 Capítulo 5. Funciones meromorfas periódicas
Teorema 5.15 (Primer teorema de Liouville) Toda función elíptica sin po-
los es constante.3
3 Usando que los toros complejos son variedades analíticas (compactas y conexas) tenemos
una prueba alternativa, consistente en aplicar el teorema A.10 a f vista como aplicación
holomorfa f : C/R −→ C.
5.2. Funciones elípticas 161
Z 1 Z 1
= ω1 f (a + tω1 ) dt + ω2 f (a + ω1 + tω2 ) dt
0 0
Z 1 Z 1
− ω1 f (a + ω2 + (1 − t)ω1 ) dt − ω2 f (a + (1 − t)ω2 ) dt
0 0
Z 1 Z 1
= ω1 f (a + tω1 ) dt + ω2 f (a + tω2 ) dt
0 0
Z 1 Z 1
− ω1 f (a + (1 − t)ω1 ) dt − ω2 f (a + (1 − t)ω2 ) dt
0 0
Z 1 Z 1
= ω1 f (a + tω1 ) dt + ω2 f (a + tω2 ) dt
0 0
Z 1 Z 1
− ω1 f (a + tω1 ) dt − ω2 f (a + tω2 ) dt = 0.
0 0
lo que se interpreta como que f toma o(f ) veces cada valor a ∈ C, contando
cada uno “con su multiplicidad”. En particular vemos que una función elíptica
no constante toma todos los valores de C∞ .
Veamos un último resultado general sobre la distribución de los ceros y polos
de una función elíptica:
Teorema 5.19 Sea f una función elíptica no constante sobre un retículo R y
sean z1 , . . . , zr los puntos de C/R donde f tiene ceros o polos, de multiplicidades
m1 , . . . , mr respectivamente. Entonces, en el grupo C/R se cumple que
r
P
mj zj = 0.
j=1
ξf 0 (ξ) r
Z
P
dξ = 2πi mj zj .
∂Pa f (ξ) j=1
1 Z 1
(a + tω1 )f 0 (a + tω1 ) (a + ω2 + tω1 )f 0 (a + ω2 + tω1 )
Z
ω1 dt − ω1 dt
0 f (a + tω1 ) 0 f (a + ω2 + tω1 )
Z 1 0 Z a+ω1 0
f (a + tω1 ) f (ξ)
= −ω1 ω2 dt = −ω2 dξ.
0 f (a + tω1 ) a f (ξ)
Una primitiva del integrando (sobre un entorno del segmento) es una deter-
minación holomorfa log f (z) del logaritmo de f (z) (que existe porque f no se
anula sobre el segmento). Por lo tanto la integral es la diferencia de dos logarit-
mos de f (a) = f (a + ω1 ). En total obtenemos −2kπiω2 , para cierto k ∈ Z. Lo
mismo es válido para la integral sobre el otro par de lados del paralelogramo,
luego
Pr
2πi mj zj = 2πi(k1 ω1 + k2 ω2 ),
j=1
luego ℘0 (ω) = 0. Esto hace que ω1 /2, ω2 /2, (ω1 + ω2 )/2 sean tres ceros de ℘0
distintos dos a dos (como elementos de C/R). Por el tercer teorema de Liouville
no puede haber más y tienen que ser simples, ya que la función tiene orden 3.
Tenemos que los valores ei son las imágenes por ℘ de los tres únicos puntos de
orden 2 del grupo C/R, luego (salvo el orden) son independientes de la elección
de la base de R. Por el teorema anterior son, junto con ∞, los únicos puntos de la
esfera de Riemann C∞ que tienen una única antiimagen por ℘. Todos los demás
puntos tienen dos antiimágenes (si una es z, la otra es −z). Más aún, los tres
números e1 , e2 , e3 son distintos dos a dos, pues si dos de ellos coincidieran, dos
de los números ω1 /2, ω2 /2, (ω1 + ω2 )/2 tendrían que ser congruentes módulo R,
y no es el caso.
Vamos a determinar el desarrollo en serie de Laurent alrededor de 0 de las
funciones de Weierstrass.
luego
∞
1 1 X n+1 n
− 2 = z .
(z − ω)2 ω n=1
ω n+2
Sumando sobre ω y teniendo en cuenta que todas las series convergen abso-
lutamente,
∞ ∞
1 X X 1 1 X
℘(z) = 2
+ (n + 1) zn = + (n + 1)Gn+2 z n .
z n=1
ω n+2 z 2
n=1
ω∈R\{0}
Como ℘ es una función par, las series de Eisenstein G2k+1 han de ser nulas,
con lo que queda la expresión del enunciado.
De aquí se deduce una relación algebraica entre las funciones ℘ y ℘0 o,
equivalentemente, que ℘ satisface una ecuación diferencial:
Teorema 5.25 La función ℘ de un retículo completo R satisface la ecuación
diferencial
℘02 = 4℘3 − g2 ℘ − g3 ,
donde g2 = 60G4 y g3 = 140G6 .
Demostración: Derivando la serie de Laurent de ℘ obtenemos que (para
todo z cercano a 0)
2
℘0 (z) = − + 6G4 z + 20G6 z 3 + · · ·
z3
Por lo tanto
4 24G4
℘0 (z)2 =
− 2 − 80G6 + · · ·
z6 z
donde los puntos suspensivos representan una función holomorfa que se anula
en 0. Por otra parte,
1 9G4
℘(z)3 = + 2 + 15G6 + · · ·
z6 z
Por consiguiente
℘0 (z)2 − 4℘3 + 60G4 ℘(z) = −140G6 + · · ·
Esta función es elíptica y no tiene polos, luego ha de ser constante, lo que
nos da la ecuación diferencial que buscamos.
166 Capítulo 5. Funciones meromorfas periódicas
Conocemos las raíces del polinomio del miembro derecho de la ecuación del
teorema anterior:
Demostración: Sea αi uno de los tres números ω1 /2, ω2 /2, (ω1 + ω2 )/2,
de modo que ℘(αi ) = ei . Como ℘0 (αi ) = 0, tenemos que αi es un cero de ℘ − ei
de orden al menos dos. Contando los polos vemos que la función tiene orden 2,
luego αi ha de ser su único cero y su orden ha de ser exactamente 2.
Por consiguiente, la función g(z) = 4(℘−e1 )(℘−e2 )(℘−e3 ) tiene exactamente
tres ceros dobles. Lo mismo podemos decir de la función ℘02 , que tiene orden 6
(sólo tiene polos de orden 6 en los puntos de R) y acabamos de ver que tiene
ceros de orden al menos 2 en los mismos puntos que g. Así pues, dichos ceros
han de ser exactamente de orden 2 y no puede tener más. El cociente
es una función elíptica sin ceros, luego ha de ser constante y, calculando su límite
en 0 (dividiendo entre ℘3 ), vemos que la constante ha de ser 1, y así tenemos la
igualdad del enunciado.
Vemos entonces que el polinomio
se anula en todos los números complejos (pues ℘ toma todos los valores com-
plejos), luego es idénticamente nulo.
Terminamos esta sección probando que las funciones de Weierstrass no son
dos meros ejemplos de funciones elípticas, sino que generan a todas las demás.
Empezamos demostrando lo siguiente:
Teorema 5.27 Si f es una función elíptica par sobre un retículo R cuyos polos
están todos en R, entonces f = P (℘), donde P (X) ∈ C[X] es un polinomio de
grado o(f )/2.
sigue siendo elíptica sobre R, par y sólo tiene polos en R. Por el teorema anterior
es de la forma P (℘), para cierto polinomio P , luego, tomando
r
(X − ℘(ζi ))ni ,
Q
Q(X) =
i=1
Teorema 5.32 Si V ⊂ P2 (C) es una curva elíptica, entonces cada recta pro-
yectiva corta a V en a lo sumo tres puntos, y es posible asignar un índice a
cada punto de la intersección para que, contando cada punto tantas veces como
indica su índice, el número de puntos de intersección sea exactamente 3. Por
cada punto de V pasa una única recta proyectiva cuyo índice de intersección es
mayor o igual que 2, la cual recibe el nombre de recta tangente a V por el punto
indicado.
g(x) = 4x3 − g2 x − g3 ,
está formada por los puntos [x0 , y0 , 1], donde y0 es una raíz de la ecuación
cuadrática y 2 = g(x0 ).
Si g(x0 ) 6= 0, tendremos dos valores distintos para b, luego dos puntos de
intersección además del punto infinito, por lo que en total hay tres y a cada uno
de ellos tenemos que asignarle un índice igual a 1.
Si g(x0 ) = 0, es que x0 es una de las tres raíces simples e1 , e2 , e3 de g(x), y
en estos tres casos el punto [ei , 0, 1] es el único punto de intersección, además
del punto infinito, por lo que le asignamos un índice de 2 (y un índice de 1 al
punto infinito).
En ambos casos, el punto O tiene índice 1 respecto de cualquier recta que
pase por él que no sea la recta infinita, luego ésta es la recta tangente a V en el
punto O.
7 La geometría algebraica permite dar una definición intrínseca del índice de intersección
entre dos curvas que no depende de argumentos ad hoc como los que estamos dando. No
obstante, es fácil entender que la asignación de un 3 no es arbitraria. Los puntos que cumplen
la ecuación de V y la ecuación z = 0 están determinados por la ecuación 4x3 = 0, que es
cúbica, luego tiene tres soluciones que “casualmente” son iguales. Igualmente sucede con los
demás casos que vamos a considerar.
170 Capítulo 5. Funciones meromorfas periódicas
que tiene raíz x0 . El índice será mayor que 1 si x0 es una raíz múltiple, es decir,
si la derivada se anula en x0 :
g 0 (x0 ) − 2my0 = 0.
que, según A.52, es la ecuación de la recta tangente a V0 como curva analítica, de modo que
la tangente en el sentido de la geometría algebraica coincide con la tangente en el sentido de
la geometría diferencial. También es fácil ver que la tangente a V en su punto infinito, de
acuerdo con las observaciones posteriores al teorema A.53 es la recta infinita, luego también
en este caso tenemos la equivalencia entre ambas definiciones.
5.3. Curvas elípticas 171
del toro complejo, es decir, que, dados dos puntos P, Q ∈ V , podemos definir
su suma como P + Q = π(p + q), donde p, q ∈ C/R son los únicos puntos que
cumplen π(p) = P , π(q) = Q.
Vamos a ver ahora que esta estructura de grupo puede caracterizarse en
términos puramente geométricos. Por ejemplo, como f (0) = O, vemos que el
elemento neutro de V es O. También es fácil determinar el opuesto de un punto
finito de V .
También es fácil caracterizar el punto opuesto de un punto finito (el de O es
él mismo, por ser el elemento neutro). Basta tener en cuenta que si f (u) = P ,
entonces −P = f (−u) = (℘(−u), ℘0 (−u)) = (℘(u), −℘0 (u)) es el simétrico de P
respecto al eje x. Esto todavía admite una expresión más geométrica:
Tiene que ser ℘(u) 6= ℘(v), pues en caso contrario u = −v por 5.21 (dado
que estamos suponiendo que A 6= B), pero entonces u + v = 0 y sería C = O.
La recta que pasa por A y B es la de ecuación
℘0 (v) − ℘0 (u)
y= (x − ℘(u)) + ℘0 (u).
℘(v) − ℘(u)
9 En principio vamos a probar el teorema para curvas elípticas asociadas a retículos com-
pletos R ⊂ C, que es en las únicas en las que tenemos definida la estructura de grupo, pero
en 6.18 demostraremos que toda curva elíptica está asociada a un retículo completo, luego el
teorema se aplica realmente a todas las curvas elípticas.
172 Capítulo 5. Funciones meromorfas periódicas
Por lo tanto, los puntos finitos en que esta recta corta a V son los de la
forma (℘(z), ℘0 (z)), donde
℘0 (v) − ℘0 (u)
h(z) = (℘(z) − ℘(u)) + ℘0 (u) − ℘0 (z) = 0.
℘(v) − ℘(u)
La función h(z) es elíptica sobre R con un único polo triple en [0]. Por otra
parte, se anula en z = u y z = v. Según el teorema 5.19 tiene un tercer cero w
tal que [u] + [v] + [w] = 0, luego h(−u − v) = 0 (en particular u + v ∈ / R), y
esto significa que C = π(−u − v) es el tercer punto de intersección entre V y la
recta AB.
Supongamos ahora que dos de los puntos son iguales, por ejemplo A = B.
Pongamos que A = (℘(u), ℘0 (u)), con lo que C = (℘(2u), −℘(2u)), y considere-
mos la recta tangente a V por A, cuya ecuación, según hemos visto en la prueba
de 5.32, es
Los puntos en que esta recta corta a V son los de la forma (℘(z), ℘0 (z)) tales
que
h(z) = ℘0 (u)(℘0 (z) − ℘0 (u)) − ℘00 (u)(℘(z) − ℘(u)) = 0.
La función h es elíptica y tiene un único polo triple en [0]. Por otra parte, se
anula en u y, más aún, el cero es (al menos) doble. En efecto, si consideramos
las series de Taylor alrededor de u de las funciones ℘(z) − ℘(u) y ℘0 (z) − ℘0 (u)
obtenemos que
∞ ∞
0
X ℘n+1) (u) n 00
X ℘n) (u)
h(z) = ℘ (u) (z − u) − ℘ (u) (z − u)n
n=1
n! n=1
n!
(x1 , y1 ) = (℘(u), ℘0 (u)), (x2 , y2 ) = (℘(v), ℘0 (v)), (x3 , y3 ) = (℘(u+v), −℘0 (u+v))
y 2 = 4x3 − g2 x − g3
luego
℘(u) − ℘(v)
= ℘0 (v) + (u − v)f (u),
u−v
luego
℘(u) − ℘(v)
lím = ℘0 (v).
u→v u−v
Igualmente se razona con ℘0 en lugar de ℘0 , por lo que basta tomar límites en
la fórmula del teorema de adición.
El teorema de adición puede verse como el análogo para la función ℘ de la
fórmula para el seno de una suma en términos de los senos y los cosenos de los
sumandos (el coseno es el análogo a ℘0 ), e igualmente, la fórmula de duplicación
es el análogo a la fórmula del seno del ángulo doble. En el caso del seno, su
segunda derivada vuelve a ser el seno (cambiado de signo) o, alternativamente,
en la fórmula de duplicación podemos eliminar ℘00 = 6℘ − g2 /2.
Ejemplo Consideremos la curva elíptica V determinada por la ecuación
y 2 = 4x3 − 4x + 1.
C = −A − B = (−1, −1),
por lo que A + B = (−1, 1). Por otra parte, si trazamos la tangente a V por A
encontramos el punto −2A = (1, −1), luego 2A = (1, 1).
Todo esto presupone que V es la curva elíptica asociada a un retículo com-
pleto en C, pues en otro caso no tenemos probado que las construcciones geomé-
tricas que estamos considerando determinen una estructura de grupo. No obs-
tante, como ya hemos avanzado, en 6.18 demostraremos que todas las curvas
elípticas están asociadas a retículos completos.
r3 G3 = (r/ω)2+1 ,
P
ω∈R\{0}
para todo r > 0, luego el teorema 4.6 afirma que, para conseguir una función
con ceros simples en los puntos de R, nos basta tomar factores primarios de
Weierstrass de orden 2:
σ(z)
10 lím = 1,
z→0 z
-2 -1 1 2 lo que equivale a que σ 0 (0) = 1.
-10 Todos estos hechos determinan una cierta analogía entre las
funciones σ(z) y sen z. La función sigma no puede ser elíptica
-20 sobre R, pues tendría orden 1. La figura muestra la función
sigma del retículo h1, iiZ . Presenta oscilaciones cuya amplitud
-30
crece muy rápidamente.
Para relacionar la función sigma con las funciones elípticas
introducimos la función dseta de Weierstrass, definida por
σ 0 (z)
ζ(z) = .
σ(z)
Se trata de una función impar meromorfa en C con polos simples en los
puntos de R. La convergencia absoluta del producto que define la función sigma
equivale a la convergencia absoluta y casi uniforme de la serie
X z2
σ(z) z z
log = log 1 − + + ,
z ω ω 2ω 2
ω∈R\{0}
luego
1 X 1 1 z
ζ(z) = + + + .
z z − ω ω ω2
ω∈R\{0}
40
20
1 2 3 4
-20
-40
La figura muestra la función dseta del retículo h1, iiZ . Vemos cómo, en efecto,
en cada “cuasiperiodo” se incrementa en una cierta cantidad.
En términos de la función sigma, la definición de ηω es
σ 0 (z + ω) σ 0 (z)
− = 2ηω .
σ(z + ω) σ(z)
σ(z+ω)
El miembro izquierdo es la derivada de la función log σ(z) , luego existe
cω ∈ C tal que
σ(z + ω)
log = 2ηω z + cω ,
σ(z)
luego
σ(z + ω) = σ(z)e2ηω z+cω . (5.5)
Para calcular la constante cω sustituimos z = −ω/2 y usamos que σ es impar:
Si suponemos que ω/2 ∈ / R (lo cual sucede, por ejemplo, cuando ω forma
parte de una base de R), llegamos a que ecω = −eωηω , luego
σ(z + ω) = −σ(z)eηω (2z+ω) . (5.6)
Esto justifica el comportamiento observado en la gráfica de sigma.
De aquí deducimos un resultado notable:
Teorema 5.37 (Abel) Sea R un retículo completo en C y sean α1 , . . . , αn ,
β1 , . . . , βn dos listas de puntos de C/R sin puntos en común, pero de modo que
en cada una puede haber repeticiones. Entonces existe una función elíptica en R
cuyos ceros sean α1 , . . . , αn y cuyos polos sean β1 , . . . , βn (con multiplicidades
iguales al número de veces que cada punto aparece en su lista) si y sólo si
α1 + · · · + αn = β1 + · · · + βn .
Demostración: La necesidad es el teorema 5.19. Si las listas cumplen la
condición indicada y elegimos representantes en C de cada una de las clases,
sucederá que α1 + · · · + αn − β1 − · · · − βn = ω ∈ R, pero podemos cambiar
βn por βn − ω y así tenemos igualmente que α1 + · · · + αn = β1 + · · · + βn ,
pero ahora como números complejos, no como clases en C/R. Consideramos la
función
σ(z − α1 ) · · · σ(z − αn )
f (z) = ,
σ(z − β1 ) · · · σ(z − βn )
que ciertamente tiene los ceros y los polos requeridos. Sólo falta probar que es
elíptica en R. Ahora bien, si ω ∈ R, por (5.5) se cumple que
e2ηω (z−α1 )+cω · · · e2ηω (z−αn )+cω
f (z + ω) = f (z) = f (z).
e2ηω (z−β1 )+cω · · · e2ηω (z−βn )+cω
σ(z + w)σ(z − w)
℘(z) − ℘(w) = − .
σ 2 (z)σ 2 (w)
σ(z + w)σ(z − w)
φ(z) =
σ 2 (z)
es elíptica sobre R y tiene los mismos ceros y polos de ℘(z) − ℘(w). Por consi-
guiente ℘(z) − ℘(w) = cφ(z). Basta probar que c = −1/σ 2 (w). En efecto,
σ(z + w)σ(z − w)
z 2 ℘(z) − z 2 ℘(w) = c
σ 2 (z)/z 2
℘0 (z)
= ζ(z + w) + ζ(z − w) − 2ζ(z).
℘(z) − ℘(w)
Intercambiando z y w obtenemos:
℘0 (w)
= ζ(z + w) + ζ(w − z) − 2ζ(w),
℘(w) − ℘(z)
℘0 (z) − ℘0 (w)
= 2ζ(z + w) − 2ζ(z) − 2ζ(w).
℘(z) − ℘(w)
Equivalentemente:
1 ℘0 (z) − ℘0 (w)
ζ(z + w) = ζ(z) + ζ(w) + .
2 ℘(z) − ℘(w)
Tenemos así una función que calcula la función dseta de una suma en térmi-
nos de los dos sumandos por separado y de las derivadas sucesivas de la función
dseta.
Volvamos al teorema 5.39. Si R = hω1 , ω2 iZ y llamamos ω3 = ω1 + ω2 ,
tenemos que
σ(z + ωi /2)σ(z − ωi /2)
℘(z) − ei = − .
σ 2 (z)σ 2 (ωi /2)
5.4. Las funciones sigma y dseta 179
Ahora bien,
luego
σ(z + ωi /2)2
℘(z) − ei = e−2ηi z .
σ 2 (z)σ 2 (ωi /2)
Esto nos permite definir
p σ(z + ωi /2)
℘(z) − ei = e−ηi z .
σ(z)σ(ωi /2)
Tenemos así tres funciones enteras con ceros simples en los puntos de ωi /2+R
y tales que
p σi (z)
℘(z) − ei = . (5.7)
σ(z)
La ecuación diferencial de ℘ nos da que
luego
σ1 (z)σ2 (z)σ3 (z)
℘0 (z) = ±2 .
σ 3 (z)
ω2 η1 − ω1 η2 = πi.
180 Capítulo 5. Funciones meromorfas periódicas
α + ω3 Demostración: Llamemos ω3 = ω1 + ω2
!!
α + ω2 !!
! ! y α = −ω3 /2. Integramos la función ζ sobre
la frontera del paralelogramo10 indicado en la
figura. En su interior, la función ζ tiene un
!! α + ω1
! único polo en 0 con residuo 1, luego la integral
!
!
! vale ±2πi. Por otra parte,
α
Z α+ω1 Z α+ω2
ζ(ξ) dξ + ζ(ξ) dξ =
α α+ω3
Z 1 Z 1
(ζ(α + tω1 )ω1 − ζ(α + ω2 + tω1 )ω1 ) dt = −2η2 ω1 dt = −2η2 ω1 ;
0 0
Z α+ω3 Z α
ζ(ξ) dξ + ζ(ξ) dξ =
α+ω1 α+ω2
Z 1 Z 1
(ζ(α + ω1 + tω2 )2ω2 − ζ(α + tω2 )ω2 ) dt = 2η1 ω2 dt = 2η1 ω2 .
0 0
σ(z + ωi /2 + ωj )
σi (z + ωj ) = e−ηi (z+ωj )
σ(ωi /2)
σ(z + ωi /2)
= −e−ηi (z+ωj )+ηj (2z+ωi +ωj )
σ(ωi /2)
= −e−ηi ωj +2ηj z+ηj ωi +ηj ωj σi (z) = −eηj (2z+ωj )+ηj ωi −ηi ωj σi (z).
Si i 6= j tenemos que ηj ωi − ηi ωj = ±πi, por lo que
Si i = j queda
σi (z + ωi ) = −eηi (2z+ωi ) σi (z).
Conviene observar también que, mientras que σ es impar, las funciones σi
son pares. En efecto,
+∞ 2
q n e2nπiz .
P
θ(z, q) =
n=−∞
2
Para todo n suficientemente grande, se cumple que 2n rn e2nπk < 1. Para
comprobarlo basta tomar logaritmos y tener en cuenta que log r < 0. Por con-
2
siguiente, la serie definida por |q n e2nπiz | está mayorada por la serie geométrica
definida por 1/2n , luego el teorema de mayoración de Weierstrass nos da la
convergencia absoluta y uniforme en K.
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
-2 -1 0 1 2
Vemos que tiene periodo 1, es decir, que θ(z + 1, q) = θ(z, q). Esto es válido
para todo (z, q) ∈ C × D(0, 1), como se sigue inmediatamente de la definición.11
Otro hecho general que se sigue de la expresión trigonométrica y que se constata
en la gráfica es que la función zeta es par, es decir, que θ(−z, q) = θ(z, q).
Llamemos H = {τ ∈ C | Im τ > 0} y consideremos q : H −→ D(0, 1) \ {0}
dada por
q(τ ) = eπiτ = e−v (cos πu + i sen πu).
Con ella podemos definir la función holomorfa θ : C × H −→ C dada por
+∞ 2
eπi(n τ +2nz)
P
θ(z, τ ) = θ(z, q(τ )) = .
n=−∞
Nota Ahora una expresión como θ(5, 0.5i) es ambigua, pues no queda claro si
es q = 0.5i o bien τ = 0.5i. Para evitar esta ambigüedad convenimos en que
consideraremos siempre a θ como función de (z, τ ) salvo que expresamente se
indique lo contrario, de modo que q no representará una variable independiente,
sino a la función q(τ ).
El interés de expresar el parámetro en términos de τ en lugar de q es que así
la función zeta cumple una relación adicional:
+∞ 2
+∞ 2
eπi(n τ +2nz+2nτ )
= e−πiτ eπi((n+1) τ +2nz)
P P
θ(z + τ, τ ) =
n=−∞ n=−∞
+∞ 2
= q −1 e−2πiz eπi(n τ +2nz)
= q −1 e−2πiz θ(z, τ ).
P
n=−∞
1 ∞ 2
q n cos(2nπz + nπ)
P
θ(z + , τ ) = 1+2
2 n=1
∞ 2
(−1)n q n cos 2nπz,
P
= 1+2
n=1
τ +∞ 2
+∞ 2
eπi(n τ +2nz+nτ )
= e−iπτ /4 eπi((n+1/2) τ +2nz)
P P
θ(z + , τ) =
2 n=−∞ n=−∞
+∞ 2
e−iπ(τ /4+z) eπi((n+1/2) τ +(2n+1)z)
P
=
n=−∞
∞
P 2
∞ 2
= q −1/4 e−πiz eπi((n+1/2) τ +(2n+1)z)
eπi((−n+1/2) τ +(−2n+1)z)
P
+
n=0 n=1
∞
P 2
∞ 2
= q −1/4 e−πiz eπi((n+1/2) τ +(2n+1)z)
eπi((−n−1/2) τ +(−2n−1)z)
P
+
n=0 n=0
∞ 2
q −1/4 e−πiz q (n+1/2) (eπi(2n+1)z + e−πi(2n+1)z )
P
=
n=0
∞ 2
−1/4 −πiz
2q (n+1/2) cos((2n + 1)πz),
P
= q e
n=0
1 τ ∞ 2
+ , τ ) = 2q −1/4 e−πiz−πi/2 q (n+1/2) cos((2n + 1)πz + (2n + 1)π/2)
P
θ(z +
2 2 n=0
∞ 2
= −q −1/4 e−πiz−πi/2 (−1)n 2q (n+1/2) sen((2n + 1)πz)
P
n=0
∞ 2
= −q −1/4 e−πi(z+1/2) (−1)n 2q (n+1/2) sen((2n + 1)πz).
P
n=0
Vemos así que al hacer estos cambios de variable obtenemos series trigonomé-
tricas similares a la que define a θ, multiplicadas por exponenciales. Eliminando
las exponenciales obtenemos las tres funciones zeta adicionales que vamos a con-
siderar.
12 En los cálculos usamos la notación q −1/4 . Las expresiones de este tipo serían ambiguas
si se aplicaran a un q ∈ C arbitrario, pero debemos recordar que q = eπiτ , por lo que, en
general, q α debe entenderse como eπiτ α .
184 Capítulo 5. Funciones meromorfas periódicas
∞
q 1/4 eiπz θ(z + τ2 , τ ) = q 1/4 2q n(n+1) cos((2n + 1)πz),
P
θ2 (z, τ ) =
n=0
∞ 2
2q n cos 2nπz,
P
θ3 (z, τ ) = θ(z, τ ) =1+
n=1
∞ 2
θ(z + 21 , τ ) (−1)n 2q n cos 2nπz.
P
θ4 (z, τ ) = =1+
n=1
θ1 θ2 θ3 θ4
1 −1 −1 1 1 N = q −1 e−2πiz .
τ −N N N −N
θ3 (z + 21 , τ ) = θ4 (z, τ ), θ4 (z + 21 , τ ) = θ3 (z, τ ).
Las series trigonométricas muestran que θ1 es impar y las otras tres son pares
(como funciones de z). También es claro que cuando τ es imaginario puro, las
cuatro funciones toman valores reales sobre los números reales. He aquí sus
gráficas para τ = i:
2 2
θ1 (z, i) θ2 (z, i)
1 1
-2 -1 1 2 -2 -1 1 2
-1 -1
-2 -2
2.0
θ3 (z, i) 2.0
θ4 (z, i)
1.5 1.5
1.0 1.0
0.5 0.5
-2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2
Aquí hay que entender que, por ejemplo, θ1 (z, q)q −1/4 es el nombre que
estamos dando a una función, no el producto de dos funciones. La convergencia
absoluta y casi uniforme de estas series se prueba análogamente a como hemos
probado la de θ3 (z, q). Mantenemos el convenio de entender que las variables
de las funciones de Jacobi serán siempre (z, τ ) salvo que se indique lo contrario,
pero el poder considerarlas como funciones de q tiene la ventaja de que permiten
calcular su valor cuando q = 0, mientras que este valor del parámetro no se
corresponde con ningún valor de τ . Concretamente, para q = 0, las cuatro
186 Capítulo 5. Funciones meromorfas periódicas
2
θ̃3 (v)
1 θ̃4 (v)
θ̃2 (v)
0 2 4 6 8
El hecho de que, como se aprecia en la gráfica, θ̃3 (v) y θ̃4 (v) tiendan a 1
cuando v → +∞ (con lo que q → 0) es un reflejo de que θ3 (0, 0) = θ4 (0, 0) = 1,
mientras que
lím θ2 (0, iv)eπv/4 = 2,
v→+∞
luego
lím θ2 (0, iv) = 2 lím e−πv/4 = 0,
v→+∞ v→+∞
∂θ ∞ 2 ∂2θ ∞ 2
eπin τ sen(2nπz)2nπ, = −8π 2 eπin τ cos(2nπz)n2 ,
P P
= −2 2
∂z n=1 ∂z n=1
∂θ ∞ 2
eπin τ πin2 cos 2nπz.
P
=2
∂τ n=1
luego
∂2θ 4i ∂θ
2
= .
∂z π ∂τ
Igualmente se comprueba que las cuatro funciones θj cumplen esta misma
ecuación en derivadas parciales.
Los ceros de las funciones zeta Una primera muestra elemental del interés
de haber introducido los cambios de variable que dan lugar a las funciones zeta
a partir de θ3 es que, por ejemplo, la expresión trigonométrica de θ1 muestra
claramente que θ1 (0, τ ) = 0, y a partir de ahí encontramos ceros para las demás
funciones zeta. Concretamente:
τ +1
θ1 (0) = θ2 (1/2, 0) = θ3 ( , τ ) = θ4 (τ /2, τ ) = 0.
2
5.5. Las funciones zeta de Jacobi 187
Teorema 5.44 Los ceros de las funciones zeta de Jacobi son exactamente los
de la forma α+m+nτ , para m, n ∈ Z, donde α es el dado por la tabla siguiente:
θ1 θ2 θ3 θ4
1 1+τ τ
α 0 2 2 2
1 1
θ0 (a + t, τ ) θ0 (a + τ + t, τ )
Z Z
+ dt − dt.
0 θ(a + t, τ ) 0 θ(a + τ + t, τ )
Derivando la relación θ(z + 1, τ ) = θ(z, τ ) vemos que θ0 (z + 1, τ ) = θ0 (z, τ ),
por lo que las dos primeras integrales se cancelan. Derivando la relación
obtenemos que
θ0 (z + τ, τ ) θ0 (z, τ )
= −2πi + ,
θ(z + τ, τ ) θ(z, τ )
por lo que
1
θ0 (ζ, τ )
Z Z
dζ = 2πi dt = 2πi.
γa θ(ζ, τ ) 0
Por el teorema de los residuos, esta integral es también 2πi por la suma de los
órdenes de todos los ceros de θ contenidos en el paralelogramo rodeado por γa .
Concluimos, pues, que hay un único cero simple en dicho paralelogramo.
Ahora podemos probar que los únicos ceros de la función θ son los de la
forma τ +1
2 + m + nτ , y que todos son simples.
Demostración: La función
θ22 (τ )θ32 (z, τ ) − θ32 (τ )θ22 (z, τ )
f (z) =
θ42 (τ )θ12 (z, τ )
∞
q 2n−1 e±2πiz converge absoluta y casi uniformemente en C, pues
P
La serie
n=1
∞
en un compacto |q 2n−1 e±2πiz | ≤ Kq 2n−1 , y la serie q 2n−1 converge absolu-
P
n=1
tamente por ser una subserie de una serie geométrica. Según el teorema 4.3,
∞ ∞ ∞
(1−q 2n−1 e2πiz ) (1−q 2n−1 e−2πiz ) = (1−2q 2n−1 cos 2πz+q 4n−2 )
Q Q Q
f (z) =
n=1 n=1 n=1
es una función entera, cuyos ceros (todos simples) son los puntos que cumplen
e(2n−1)πiτ ±2πiz = 1,
z = τ /2 + m + nτ
con m, n ∈ Z.
Así pues, los ceros de f son los mismos que los de θ4 . La segunda expresión
de f muestra que f (z + 1) = f (z), mientras que
∞ ∞
(1 − q 2n−1 e2πiτ e2πiz ) (1 − q 2n−1 e−2πiτ e−2πiz )
Q Q
f (z + τ ) =
n=1 n=1
∞ ∞
(1 − q 2n+1 e2πiz ) (1 − q 2n−3 e−2πiz )
Q Q
=
n=1 n=1
∞ ∞
(1 − q 2n−1 e2πiz ) (1 − q 2n−1 e−2πiz )
Q Q
=
n=2 n=0
1 − q −1 e−2πiz
= f (z) = −q −1 e−2πiz f (z),
1 − qe2πiz
y vemos que el factor que aparece es el mismo que para θ4 . Por consiguiente, el
cociente f (z)/θ4 (z, τ ) es una función elíptica sin ceros, luego es constante. Así
pues, existe una constante G ∈ C tal que
∞
(1 − 2q 2n−1 cos 2πz + q 4n−2 ).
Q
θ4 (z, τ ) = G
n=1
∞
(1 + q 2n−1 e2πiz )(1 + q 2n−1 e−2πiz ).
Q
=G
n=1
A su vez
∞
θ2 (z, τ ) = Gq 1/4 eiπz (1 + q 2n−1 e2πiz+πiτ )(1 + q 2n−1 e−2πiz−πiτ )
Q
n=1
190 Capítulo 5. Funciones meromorfas periódicas
∞ ∞
= Gq 1/4 eiπz (1 + q 2n e2πiz ) (1 + q 2n−2 e−2πiz )
Q Q
n=1 n=1
∞ ∞
= Gq 1/4 eiπz (1 + q 2n e2πiz ) (1 + q 2n e−2πiz )
Q Q
n=1 n=0
∞ ∞
= Gq 1/4 (1 + e−2πiz )eiπz (1 + q 2n e2πiz ) (1 + q 2n e−2πiz )
Q Q
n=1 n=1
∞
= Gq 1/4 (eiπz + e−πiz ) (1 + 2q 2n cos 2πz + q 4n )
Q
n=1
∞
= G2q 1/4 cos πz (1 + 2q 2n cos 2πz + q 4n ).
Q
n=1
Por último
∞
θ1 (z, τ ) = −θ2 (z + 1/2, τ ) = G2q 1/4 sen πz (1 − 2q 2n cos 2πz + q 4n ).
Q
n=1
luego
∞ ∞
θ0 (z, τ ) X 2πiq 2n−1 e2πiz X 2πiq 2n−1 e−2πiz
= − .
θ(z, τ ) n=1
1 + q 2n−1 e2πiz n=1 1 + q 2n−1 e−2πiz
∞ ∞
!
X (2πi)2 q 2n−1 e2πiz X (2πi)2 q 2n−1 e−2πiz
+θ(z, τ ) +
n=1
(1 + q 2n−1 e2πiz )2 n=1 (1 + q 2n−1 e−2πiz )2
y haciendo z = 0 queda
∞
X q 2n−1
θ300 (0, τ ) = −8π 2 θ3 (0, τ ) .
n=1
(1 + q 2n−1 )2
5.5. Las funciones zeta de Jacobi 191
Igualmente se obtiene:
∞
X q 2n−1
θ40 (0, τ ) = 0, θ400 (0, τ ) 2
= 8π θ4 (0, τ )
n=1
(1 − q 2n−1 )2
∞
!
q 2n X
θ20 (0, τ ) = 0, θ200 (0, τ ) = θ2 (0, τ ) −π − 8π 2 2
.
n=1
1 + q 2n
y derivando tres veces: θ1000 (0, τ ) = −π 3 φ(0, τ ) + 3πφ00 (0, τ ). Por lo tanto
∞
θ1000 (0, τ ) 2 2
X q 2n
= −π + 24π .
θ10 (0, τ ) n=1
(1 − q 2n )2
Ahora calculamos:
θ200 (0, τ ) θ300 (0, τ ) θ400 (0, τ )
π2 + + +
θ2 (0, τ ) θ3 (0, τ ) θ4 (0, τ )
∞ ∞ ∞
X q 2n−1 X q 2n−1 X q 2n
= −8π 2 2n−1 2
+ 8π 2
2n−1 2
− 8π 2
n=1
(1 + q ) n=1
(1 − q ) n=1
(1 + q 2n )2
∞ ∞
X qn X q 2n−1
= −8π 2 + 8π 2
n=1
(1 + q n )2 n=1
(1 − q 2n−1 )2
∞ ∞ ∞
X qn X qn X q 2n
= −8π 2 + 8π 2
− 8π 2
n=1
(1 + q n )2 n=1
(1 − q n )2 n=1
(1 − q 2n )2
∞ ∞ ∞
X q 2n X q 2n X q 2n
= 32π 2 2n 2
− 8π 2
2n 2
= 24π 2
n=1
(1 − q ) n=1
(1 − q ) n=1
(1 − q 2n )2
θ1000 (0, τ )
= π2 + .
θ10 (0, τ )
192 Capítulo 5. Funciones meromorfas periódicas
Así pues:
θ200 (0, τ ) θ300 (0, τ ) θ400 (0, τ ) θ000 (0, τ )
+ + = 10 .
θ2 (0, τ ) θ3 (0, τ ) θ4 (0, τ ) θ1 (0, τ )
Ahora usamos la ecuación en derivadas parciales que cumplen las funciones
zeta:
1 ∂θ10 (0, τ ) 1 ∂θ2 (0, τ ) 1 ∂θ3 (0, τ ) 1 ∂θ4 (0, τ )
= + + .
θ10 (0, τ ) ∂τ θ2 (0, τ ) ∂τ θ3 (0, τ ) ∂τ θ4 (0, τ ) ∂τ
Al sustituir en z = 0 queda
∞
(−1)n q n(n+1) (2n + 1).
P
2π
n=0
La serie converge en D(0, 1), y en 0 vale 2π, luego, haciendo q = eiπτ = e−v ,
también
lím e−v θ1 (iv) = 2π.
v→+∞
Ahora ya podemos calcular la constante G:
∞
θ10 (τ ) = πφ(0, τ ) = 2πGq 1/4 (1 − q 2n )2 ,
Q
n=1
∞ ∞
θ2 (τ ) = G2q 1/4 (1 + q 2n )2 , (1 + q 2n−1 )2 ,
Q Q
θ3 (τ ) = G
n=1 n=1
∞
Y
θ4 (τ ) = G (1 − q 2n−1 )2 .
n=1
5.5. Las funciones zeta de Jacobi 193
Por lo tanto
∞ ∞ ∞ ∞
(1 − q 2n )2 = G2 (1 + q 2n )2 (1 + q 2n−1 )2 (1 − q 2n−1 )2
Q Q Q Q
n=1 n=1 n=1 n=1
∞ ∞
= G2 (1 + q n )2 (1 − q 2n−1 )2 =
Q Q
n=1 n=1
∞ ∞ ∞ ∞
(1 − q 2n )4 = G2 (1 + q n )2 (1 − q n )2 = G2 (1 − q 2n )2 ,
Q Q Q Q
n=1 n=1 n=1 n=1
luego
∞
(1 − q 2n ).
Q
G=±
n=1
Teorema 5.48 La aplicación ]0, +∞[ −→ ]0, 1[ dada por v 7→ θ2 (iv)/θ3 (iv) es
biyectiva (y decreciente).
es una biyección ]0, 1[ −→ ]0, 1[ decreciente. Por una parte, el teorema 4.1
nos da una expresión para la derivada del producto. Teniendo en cuenta que
f (q) > 0 y que la derivada de cada factor es negativa, vemos que la derivada del
producto es negativa, luego es una función positiva decreciente, y al elevarla a
la octava potencia sigue siendo positiva y decreciente. Sabemos que
θ4 (iv)
lím = 1,
v→+∞ θ3 (iv)
luego el límite cuando q → 0 también es igual a 1, lo que prueba que la imagen
de f está en ]0, 1[. Por último, observamos que f (q) ≤ 1−q
1+q ≤ 1 − q, por lo que
lím f (q) = 0 y la conclusión es inmediata.
q→1
Teorema 5.49 Las funciones zeta de Jacobi satisfacen las ecuaciones funcio-
nales siguientes:
√ 2
θ1 (z/τ, −1/τ ) = −i −iτ eπiz /τ θ1 (z, τ ),
√ 2
θ2 (z/τ, −1/τ ) = −iτ eπiz /τ θ4 (z, τ ),
√ 2
θ3 (z/τ, −1/τ ) = −iτ eπiz /τ θ3 (z, τ ),
√ 2
θ4 (z/τ, −1/τ ) = −iτ eπiz /τ θ2 (z, τ ),
√ √
donde −iτ es la única raíz cuadrada que cumple | arg −iτ | < π/4. En par-
ticular, √
θ(−1/τ ) = −iτ θ(τ )
y la función θ̃(v) = θ(iv) cumple
√
θ̃(1/v) = v θ̃(v).
z 1 + τ0
= + m + nτ 0 ,
τ 2
luego
τ −1 τ +1
z= + mτ − n = + mτ − n − 1,
2 2
luego z es un cero del denominador y, como ambos son simples, ψ no se anula.
Concluimos que ψ es constante, de modo que
0
πz 2
A θ3 (z, τ ) = eiτ θ3 (zτ 0 , τ 0 ).
sn cn dn
Periodos 4K, 2K 0 i 4K, 2K + 2K 0 i 2K, 4K 0 i
Ceros 2mK + 2nK 0 i (2m + 1)K + 2nK 0 i (2m + 1)K + (2n + 1)K 0 i
Polos 2mK + (2n + 1)K 0 i 2mK + (2n + 1)K 0 i 2mK + (2n + 1)K 0 i
Paridad impar par par
Valor en 0 0 1 1
Valor en K 1 0 k0
Derivadas cn u dn u − sn u dn u −k2 sn u dn u
Residuos 1/k −i/k −i
Ceros y polos De los ceros y polos de las funciones zeta se deducen inme-
diatamente los ceros y polos de las funciones de Jacobi (todos los cuales son
simples). Por ejemplo, u es un polo de cualquiera de ellas si y sólo si u/2K es
un cero de θ4 , es decir, si u/2K = τ /2 + m + nτ , lo que equivale a que
4K 0 i c c s c s
n d n d n
s c s c s
n d n d n
s c s c s 4K
Paridad Teniendo en cuenta que θ1 es impar y las otras tres funciones zeta
son pares, concluimos que sn es impar, mientras que cn, dn son pares.
sn2 u + cn2 u = 1,
2 2 2
k sn u + dn u = 1.
d sn u θ2 θ2 (u/2K)θ3 (u/2K)
= 4 = cn u dn u.
du θ2 θ3 θ42 (u/2K)
Derivando las relaciones del apartado precedente obtenemos las derivadas de las
otras dos funciones. Estas derivadas determinan a su vez los coeficientes de las
series de Taylor en 0 de las tres funciones de Jacobi, así como los de las series
de Laurent alrededor de sus polos, todos los cuales son claramente polinomios
en k 2 (aunque no es fácil dar una expresión explícita o recurrente para el término
general).
200 Capítulo 5. Funciones meromorfas periódicas
Residuos El teorema [An 10.27] nos permite calcular los residuos en los polos.
Por ejemplo,
θ3 (τ ) θ1 (τ /2, τ ) θ3 (τ )πθ32 (τ ) iq −1/4 θ4 (τ ) 1
Res(sn u, K 0 i) = 0 = = ,
θ2 (τ ) θ4 (τ /2, τ )/2K θ2 (τ ) iπq −1/4 θ10 (τ ) k
donde θ40 (τ /2, τ ) se calcula derivando la expresión para θ4 (z + τ /2) y evaluando
en z = 0.
s02 2 2 2
1 = (1 − s1 )(1 − k s1 ), s02 2 2 2
2 = (1 − s2 )(1 − k s2 ).
Volviendo a derivar:
luego
s002 = −(1 + k 2 )s1 + 2k 2 s31 .
Igualmente llegamos a que
Operando obtenemos
luego13
1 1
(s0 s2 − s02 s1 )0 = (1 − k 2 s21 s22 )0 .
s01 s2 − s02 s1 1 1 − k 2 s21 s22
13 Esta igualdad requiere que los denominadores no sean idénticamente nulos, pero es fácil
ver que el primero sólo puede ser nulo si α ∈ h2K, 2K 0 iiZ o bien α ∈ K 0 i + h2K, 2K 0 iiZ (pues
en tal caso log0 s1 = ± log0 s2 , luego s1 = cs±1 0 0
2 ), y el segundo sólo si α ∈ K i + h2K, 2K iiZ .
En lo sucesivo excluimos esos valores de α.
202 Capítulo 5. Funciones meromorfas periódicas
14 Válida cuando (u, v) varía en el abierto de C2 que resulta de excluir los pares donde
que, como función de φ, está definida sobre toda la recta real, y es creciente. La
función F se llama integral elíptica de primera clase. Su inversa Am(u | m) se
llama amplitud. El cambio de variable x = sn u nos da que
Z sn u
dx
F (arcsen sn u, m) = p = u,
(1 − x 2 )(1 − mx2 )
0
En particular
luego √ √
2K = πθ32 = ω1 e1 − e2 , 2K 0 i = 2Kτ = ω2 e1 − e2 .
Igualmente
θ2
r
e3 − e2 σ(ω1 /2)σ2 (ω3 /2) λ(ω1 /2)
= = = 22 = k, (5.11)
e1 − e2 σ2 (ω1 /2)σ(ω3 /2) λ(ω3 /2) θ3
Funciones modulares
205
206 Capítulo 6. Funciones modulares
En cambio, como veremos enseguida, no todos los retículos de rango 2 —es decir,
los retículos completos— son linealmente equivalentes entre sí, por lo que no es
cierto que toda función elíptica pueda transformarse en otra con un retículo de
periodos prefijado mediante un cambio de variable lineal.
Si dos retículos S = αR son linealmente equivalentes, entonces la aplicación
φ : C/R −→ C/S
Teorema 6.3 Sean R = hω1 , ω2 iZ y S = hω10 , ω20 iZ dos retículos en C con bases
elegidas de modo que τ = ω2 /ω1 y τ 0 = ω20 /ω10 tengan parte imaginaria positiva.
Entonces R y S son linealmente equivalentes si y sólo si existen números enteros
a, b, c, d tales que
aτ + b
τ0 = , ad − bc = 1.
cτ + d
Demostración: Según acabamos de señalar, la condición sobre las bases
equivale a que estén orientadas. También hemos visto que R y S son lineal-
mente equivalentes a h1, τ iZ y h1, τ 0 iZ , respectivamente, luego serán linealmente
equivalentes si y sólo si lo son estos dos retículos. Esto sucede si y sólo si existe
un α ∈ C∗ tal que h1, τ iZ = hα, ατ 0 iZ , lo cual a su vez equivale a que existan
números enteros a, b, c, d tales que
o también a que
aτ + b
τ0 = , ad − bc = ±1.
cτ + d
Ahora observamos que
Im((aτ + b)(cτ̄ + d))) bc Im τ̄ + ad Im τ ad − bc
Im τ 0 = = = Im τ,
|cτ + d|2 |cτ + d|2 |cτ + d|2
y por la hipótesis de orientación tiene que ser ad − bc = 1.
Ahora es inmediato que existen infinitas clases de equivalencia lineal de
retículos completos, ya que cada clase sólo contiene una cantidad numerable
de retículos de la forma h1, τ iZ , y hay una cantidad no numerable de retículos
de esta forma. Enseguida precisaremos mucho más la situación.
Recordemos de A.3 (y las observaciones posteriores) que las transformaciones
de Möbius que fijan al semiplano
H = {τ ∈ C | Im τ > 0}
son las asociadas a matrices del grupo LE(2, R). El teorema anterior nos lleva
a considerar el subgrupo siguiente:
Diremos que dos puntos τ , τ 0 ∈ H son equivalentes respecto del grupo mo-
dular si existe una transformación modular f tal que τ 0 = f (τ ).
Obviamente esta equivalencia es una relación de equivalencia y, en estos
términos, el teorema 6.3 afirma que dos retículos h1, τ iZ y h1, τ 0 iZ con τ , τ 0 ∈ H
son linealmente equivalentes si y sólo τ y τ 0 son equivalentes respecto del grupo
modular.
Nota Si R = hω1 , ω2 iZ es un retículo completo en C y llamamos τ = ω2 /ω1 ,
para cualquier τ 0 ∈ H de la forma τ 0 = (aτ + b)/(cτ + d), podemos considerar
ω10 = dω1 + cω2 , ω20 = bω1 + aω2 , que forman también una base del mismo
retículo R y ω20 /ω10 = τ 0 .
Por lo tanto, aunque existe una cantidad no numerable de retículos lineal-
mente equivalentes a R, si tomamos cualquier base (orientada) de cualquiera
de ellos, el cociente τ = ω2 /ω1 sólo puede recorrer una cantidad numerable de
elementos de H (una clase de equivalencia respecto del grupo modular). Cada
uno de estos elementos determina un retículo de la forma h2K(τ ), 2K 0 (τ )iiZ que
constituyen los periodos de las funciones de Jacobi sn(u; τ ), cn(u; τ ), dn(u; τ ).
Así pues, de entre la cantidad no numerable de cuerpos de funciones elíp-
ticas con retículo de periodos linealmente equivalente a R, sólo una cantidad
numerable de ellos puede estudiarse (directamente) a través de las funciones de
Jacobi. Indirectamente pueden estudiarse todos, ya que las funciones de cual-
quiera de ellos se transforman en la de cualquier otro mediante un cambio de
variable lineal.
Notemos que, para transformaciones de determinante 1, como son las del
grupo modular, la fórmula que hemos considerado al final de la prueba del
teorema 6.3 se reduce a:
aτ + b 1
Im = Im τ. (6.1)
cτ + d |cτ + d|2
D = {τ ∈ H | | Re τ | ≤ 1/2, |τ | ≥ 1},
D
t−1 t
i
st−1 ρ s st
−1 0 1
210 Capítulo 6. Funciones modulares
Pongamos que
aτ + b
g(τ ) = .
cτ + d
Cambiando los signos podemos suponer que c ≥ 0. Intercambiando z y z 0
podemos suponer que Im z ≤ Im z 0 . Con tal intercambio estamos cambiando
g por g −1 , pero no perdemos generalidad porque la inversa de cualquiera de
las 10 matrices anteriores es una de ellas (o la opuesta de √ una de ellas). La
√ nos da entonces que |cz + d| ≤ 1, pero Im z ≥ 3/2, luego ha de
fórmula (6.1)
ser c ≤ 2/ 3, luego c = 0, 1.
Si c = 0 entonces ad = 1. Podemos suponer a = d = 1 y así g(τ ) = τ + b.
Esto ya implica que Im z = Im z 0 , y además | Re z − Re z 0 | = |b|, lo cual sólo es
posible si b = ±1 y z, z 0 tienen partes reales ±1/2. En particular, g es una de
las dos matrices distintas de la identidad de la primera fila de la enumeración
anterior.
Supongamos a partir de aquí que c = 1. La relación |z + d| ≤ 1 con |z| ≥ 1
sólo puede darse si d = −1, 0, 1.
Si d = 0 entonces |z| = 1 y la condición ad − bc = 1 se reduce a b = −1, luego
g(τ ) = a − 1/τ . Como −1/z también tiene módulo 1, para que z 0 = a − 1/z esté
en D, las únicas posibilidades son que a = 0 (y entonces z y z 0 son simétricos
respecto al eje imaginario) o bien que a = ±1 (y entonces z y z 0 han de ser ρ
y s(ρ)). En cualquiera de los dos casos se cumple lo que queremos probar, y
además g es necesariamente una de las tres matrices de la segunda fila de la
enumeración.
A partir de aquí suponemos que d = ±1. Entonces |z + d| ≤ 1 con z ∈ D
sólo puede darse si z = ρ y d = 1 o bien z = 1 + ρ y d = −1. Vamos a estudiar
el primer caso, pues el segundo es análogo. Tenemos que
aτ + a − 1 1
g(τ ) = =a− .
τ +1 τ +1
Teniendo en cuenta que ρ2 + ρ + 1 = 0, vemos que
z 0 = g(z) = g(ρ) = a + ρ = a + z,
Así pues, podemos ver a los puntos de D menos los puntos de su frontera
con parte real negativa (o, alternativamente, positiva) como representantes de
las clases de equivalencia de retículos respecto del grupo modular.
y que dos conjuntos g1 [D] y g2 [D] son disjuntos o tienen a lo sumo puntos
de su frontera en común. El hecho de que todos los trasladados de D por
las transformaciones de Γ sean “iguales” respecto a la geometría hiperbólica
puede enunciarse diciendo que dichos trasladados forman una teselación del
plano hiperbólico (un cubrimiento sin solapamientos —no triviales— por piezas
congruentes entre sí).
212 Capítulo 6. Funciones modulares
2. Diremos que g es elíptica si no tiene puntos fijos en R ∪ {∞} (en cuyo caso
tendrá dos puntos fijos, un z ∈ H y su conjugado z̄ ∈ / H).
Γz = {g ∈ Γ | zg = z},
tenemos que Γz contiene siempre las matrices ±I, y que z es elíptico si tiene
más de dos elementos.
Notemos que si z ∈ R ∪ {∞} es parabólico para Γ y g ∈ Γ, entonces g(z)
también lo es, pues si f ∈ Γ es parabólica y f (z) = z, tenemos que f g ∈ Γ
también es parabólico (por ejemplo, porque tiene la misma traza) y claramente
f g (g(z)) = g(z). Igualmente, la imagen de un punto elíptico z ∈ H por un
elemento de Γ es de nuevo un punto elíptico.
Teorema 6.9 Los puntos parabólicos del grupo modular son ∞ y los números
racionales. Todos ellos constituyen una única √clase de equivalencia. Los puntos
elípticos son los equivalentes a i y a ρ = (1 + −3)/2.
es holomorfa en H.
6.2. Ejemplos de funciones modulares 215
1 M
α
≤ ,
|m + nτ | |m + ni|α
para todo τ ∈ S y todo (m, n) ∈ Z2 \ {(0, 0)}. A su vez, basta ver que existe
una constante K tal que |m + nτ |2 > K|m + ni|2 para todo τ ∈ S. (Si T 2 > K,
entonces T α > K α/2 .) Si τ = x + iy, esto equivale a
(q + x)2 + y 2
> K.
1 + q2
δ2
K= .
1 + (A + δ)2
x x A δ
1+ ≥1− >1− = .
q q A+δ A+δ
qδ
Por consiguiente, |q + x| ≥ y
A+δ
(q + x)2 + y 2 δ2 q2 δ2 (A + δ)2
2
> 2 2
≥ = K,
1+q (A + δ) 1 + q (A + δ) 1 + (A + δ)2
2
Así pues:
Aquí nos hemos restringido a las funciones G2k (τ ) porque ya hemos obser-
vado que las funciones para índice impar son nulas.
Seguidamente probaremos que la función ℘(z; τ ) es holomorfa como función
de dos variables. Para ello necesitamos algunos cálculos previos. Partimos de
la factorización del seno dada por el teorema [ITAn 8.11] (demostrada también
en la página 135):
∞
Y z z
sen πz = πz 1− 1+ .
m=1
m m
donde la última serie geométrica converge cuando |e2πiz | < 1, es decir, cuando
Im z > 0. Así pues,
∞ ∞
1 X 1 1 X
+ + = πi − 2πi e2mπiz . (6.2)
z m=1 z − m z + m m=0
Derivando k − 1 veces:
∞ !
k−1 1 X 1 1
(−1) (k − 1)! + +
z k m=1 (z − m)k (z + m)k
∞
X
k
= −(2πi) mk−1 e2mπiz .
m=1
Hay que señalar que la serie del miembro izquierdo de (6.2) converge ab-
solutamente con los sumandos emparejados como están (porque así sucede con
el producto infinito de partida), pero no podríamos descomponerla en suma de
dos series. Sin embargo, para k ≥ 2, las series
∞
X 1
m=1
(z ± m)k
6.2. Ejemplos de funciones modulares 217
|z ± m|k
lím = 1,
m mk
lo que permite acotar una cola de la serie por 2ζ(k). Por consiguiente, podemos
agrupar los términos y escribir, para k ≥ 2 y z ∈ H,
+∞ ∞
X 1 (2πi)k X k−1 2mπiz
(−1)k = m e . (6.3)
m=−∞
(z + m)k (k − 1)! m=1
+∞
!
X 1
−2 .
n=−∞
(mτ + n)2
Aplicamos (6.4) a z, z + mτ y −z + mτ :
e2πiz π2
℘(z; τ ) = (2πi)2 −
(1 − e2πiz )2 3
∞ P
∞
+(2πi)2 ne2nπi(z+mτ ) + ne2nπi(−z+mτ ) − 2ne2nmπiτ .
P
m=1n=1
Equivalentemente:
1 1 e2πiz ∞ P∞
ne2πinmτ (e2nπiz + e−2nπiz − 2).
P
2
℘(z; τ ) = + 2πiz 2
+
(2πi) 12 (1 − e ) m=1n=1
son holomorfas en H.
σ22 (z; τ )
℘(z; τ ) = e2 (τ ) + ,
σ 2 (z; τ )
y el teorema 5.50 nos da a su vez la relación:
θ42 (z, τ )
℘(z; τ ) = π 2 θ22 (τ )θ32 (τ ) + e2 (τ ),
θ12 (z, τ )
y así es inmediato el teorema siguiente:
La hipótesis es que
g23 0 g203
= J(R) = J(R ) = .
g23 − 27g32 g203 − 27g302
Distinguiremos tres casos:
Si J(R) = J(R0 ) = 0, entonces g2 = g20 = 0, luego g3 6= 0 6= g30 (porque
∆ 6= 0 6= ∆0 ). Tomamos α ∈ C tal que α6 = g30 /g3 . Así, un punto (x, y) ∈ C2
está en V0 si y sólo si y 2 = 4x3 − g3 , si y sólo si (α3 y)2 = 4(α2 x)3 − α6 g3 , si y
sólo si h(x, y) ∈ V00 .
Si J(R) = J(R0 ) = 1, entonces g3 = g30 = 0, luego g2 6= 0 6= g20 . Tomamos
α ∈ C tal que α4 = g20 /g2 . Así, un punto (x, y) ∈ C2 está en V0 si y sólo si
cumple la ecuación y 2 = 4x3 − g2 x, si y sólo si (α3 x)2 = 4(α2 x)3 − α4 g2 (α2 x),
si y sólo si h(x, y) ∈ V 0 .
Supongamos, por último, que J(R) = J(R0 ) 6= 0, 1, lo que se traduce en
que las cuatro cantidades g2 , g3 , g20 , g30 son no nulas. Desarrollando la igualdad
J(R) = J(R0 ) llegamos a que (g20 /g2 )3 = (g30 /g3 )2 . Tomamos α ∈ C tal que
α4 = g20 /g2 . Entonces α12 = (g20 /g2 )3 = (g30 /g3 )2 , luego α6 = ±g30 /g3 . Si se
da el signo negativo, cambiamos α por iα, con lo que sigue cumpliéndose que
α4 = g20 /g2 , pero además α6 = g30 /g3 . Así, un punto (x, y) ∈ C2 está en V0 si y
sólo si y 2 = 4x3 − g2 x − g3 , si y sólo si (α3 y)2 = 4(α2 x)3 − α4 g2 (α2 x) − α6 g3 ,
si y sólo si h(x, y) ∈ V 0 .
En las condiciones del teorema anterior, es claro que H es una aplicación
biholomorfa, luego se restringe a una aplicación holomorfa H : V −→ P2 (C),
que a su vez puede verse como una aplicación holomorfa H : V −→ V 0 (por el
teorema A.45). Similarmente se razona que H −1 es holomorfa, luego concluimos
220 Capítulo 6. Funciones modulares
X 1
= = 2ζ(2k).
m2k
m∈Z\{0}
En particular,
4π 4 8π 6
lím g2 (τ ) = 120ζ(4) = , lím g3 (τ ) = 280ζ(6) = ,
Im τ →+∞ 3 Im τ →+∞ 27
luego
lím ∆(τ ) = lím g23 (τ ) − 27g32 (τ ) = 0,
Im τ →+∞ Im τ →+∞
y a su vez
g23 (τ )
lím J(τ ) = lím = ∞.
Im τ →+∞ Im τ →+∞ ∆(τ )
1 X 1 1 X 1
= =
ρ4 (mρ2 + n)4 ρ ((n − m) − mρ)4
(m,n)∈Z2 (m,n)∈Z2
(m,n)6=(0,0) (m,n)6=(0,0)
1 X 1 1
= = G4 (ρ),
ρ (m + nρ)4 ρ
(m,n)∈Z2
(m,n)6=(0,0)
para cierto n0 ∈ Z.
Las condiciones 2 y 3 afirman que la función f es, en cierto sentido, “me-
romorfa en ∞”. Si f no es idénticamente nula, entonces hay un mínimo n0
que cumple la propiedad 3 con an0 6= 0, y a dicho entero lo representaremos
por o(f, ∞).
Equivalentemente, si f (τ ) = f ∗ (e2πiτ ), estamos definiendo o(f, ∞) = o(f ∗ , 0).
Del mismo modo, diremos que f tiene un polo (resp. cero) de orden r en ∞
si f ∗ tiene un polo (resp. cero) de orden r en 0, lo cual equivale a su vez a que
o(f, ∞) = −r < 0 (resp. o(f, ∞) = r > 0). Si o(f, ∞) ≥ 0, podemos definir
f (∞) = lím f (x + iy) = a0 = f ∗ (0).
y→+∞
n2k z n converge para |z| < 1 (por ejemplo, por [An 3.60]), luego la
P
y la serie
n
serie de la derecha en (6.7) es absolutamente convergente, luego por [An 2.88]
también lo es la serie X
d2k−1 z n ,
(d,n)∈I
donde I = {(d, n) | d | n}, y ambos miembros de (6.7) coinciden con esta serie
precisamente por [An 2.88].
En particular, teniendo en cuenta que
π4 π6
ζ(4) = , ζ(6) = ,
90 945
6.3. Funciones y formas modulares 227
vemos que
(2π)4 ∞
P 2nπiτ
g2 (τ ) = 60G4 (τ ) = 2 1 + 240 σ3 (n)e ,
2 ·3 n=1
(2π)6 ∞
σ5 (n)e2nπiτ ,
P
g3 (τ ) = 140G6 (τ ) = 3 3 1 − 504
2 ·3 n=1
donde la función τ (n) (que no hay que confundir con la variable τ ) toma valores
enteros y τ (1) = 1.
Demostración: Llamemos
∞ ∞
σ3 (n)e2nπiτ , σ5 (n)e2nπiτ .
P P
A= B=
n=1 n=1
Entonces
64π 12
∆(τ ) = g23 (τ ) − 27g32 (τ ) = ((1 + 240A)3 − (1 − 504B)2 ).
27
Notemos que
(1+240A)3 −(1−504B)2 = 1+720A+3·2402 A2 +2403 A3 −1+1 008B −5042 B 2
= 122 (5A + 7B) + 123 (100A2 − 147B 2 + 8 000A3 ).
Además, para todo entero d se cumple que
3 2
d (d − 1) ≡ 0 (mód 3),
5d3 + 7d5 = d3 (5 + 7d2 ) ≡
d3 (1 − d2 ) ≡ 0 (mód 4),
y al sumar sobre todos los divisores de n ∈ Z obtenemos que 12 | 5σ3 (n)+7σ5 (n),
por lo que 12 divide a todos los coeficientes de la serie 5A + 7B y 123 divide a
todos los coeficientes de (1 + 240A)3 − (1 − 504B)2 . Así pues,
64π 12 3 P∞ ∞
τ (n)e2nπiτ = (2π)12 τ (n)e2nπiτ ,
P
∆(τ ) = 12
27 n=1 n=1
Notemos que G∗2 (τ ) es la serie que resulta de cambiar el orden de los su-
matorios en la definición de G2 (τ ). Para las series G2k con k ≥ 2, como la
convergencia es absoluta, esto puede hacerse sin alterar la suma, pero en el caso
k = 1 ya no podemos asegurarlo. De hecho, vamos a ver que no es cierto.
Concretamente, vamos a probar que
2πi
G∗2 (τ ) = G2 (τ ) − . (6.9)
τ
Por consiguiente:
Teorema 6.24 Se cumple la relación G2 (−1/τ ) = τ 2 G2 (τ ) − 2πiτ .
Demostración: Teniendo en cuenta (6.8), basta probar (6.9). Para ello
definimos:
+∞ +∞
X X 1
H(τ ) = ,
n=−∞ m=−∞
(nτ + m)(nτ + m − 1)
m6=0,1 si n=0
+∞ +∞
X X 1
H ∗ (τ ) = .
m=−∞ n=−∞
(nτ + m)(nτ + m − 1)
n6=0 si m=0,1
+∞ +∞
X X 1 1
= − .
n=−∞ m=−∞
(nτ + m)(nτ + m − 1) (nτ + m)2
m6=0,1 si n=0
6.3. Funciones y formas modulares 231
H(τ ) = F (τ ) + G2 (τ ) − 1
H ∗ (τ ) = F (τ ) + G∗2 (τ ) − 1,
G2 (τ ) − G∗2 (τ ) = H(τ ) − H ∗ (τ ).
H(τ ) = 2, H ∗ (τ ) = 2 − 2πi/τ.
luego
+∞
X 1 0 si n 6= 0,
=
m=−∞
(nτ + m)(nτ + m − 1) 2 si n = 0,
m6=0,1 si n=0
Ahora:
−1 +∞
X X 1 1
− =
m=−∞ n=−∞
nτ + m − 1 nτ + m
−1 +∞
X X 1 1
lím − =
M →∞ nτ + m − 1 nτ + m
m=−M +1 n=−∞
232 Capítulo 6. Funciones modulares
+∞ −1
X X 1 1
lím − =
M →∞
n=−∞ m=−M +1
nτ + m − 1 nτ + m
+∞
X 1 1
lím − ,
M →∞
n=−∞
nτ − M nτ − 1
+∞ X
+∞
X 1 1
− =
m=2 n=−∞
nτ + m − 1 nτ + m
M +∞
X X 1 1
lím − =
M →∞
m=2 n=−∞
nτ + m − 1 nτ + m
+∞ X
M
X 1 1
lím − =
M →∞
n=−∞ m=2
nτ + m − 1 nτ + m
+∞
X 1 1
lím − ,
M →∞
n=−∞
nτ + 1 nτ + M
+∞ +∞
X 1 1 X 1 1
− + − =
n=−∞
nτ − 1 nτ n=−∞
nτ nτ + 1
n6=0 n6=0
+∞ +∞
X 1 1 X 1 1
− =2+ − ,
n=−∞
nτ − 1 nτ + 1 n=−∞
nτ − 1 nτ + 1
n6=0
luego
+∞ +∞
∗
X 1 1 X 2M
H (τ ) = 2 + lím − = 2 + lím .
M →∞
n=−∞
nτ − M nτ + M M →∞
n=−∞
n2 τ 2 − M2
2M
f (z) = .
z2τ 2 − M 2
Cuyos únicos polos son ±M/τ y, como
1/τ −1/τ
f (z) = + ,
z − M/τ z + M/τ
y concluimos que
6.4. Propiedades de las funciones modulares 233
Es fácil ver que si f1 ∈ M2k (Γ) y f2 ∈ M2r (Γ), entonces f1 f2 ∈ M2(k+r) (Γ).
En efecto, respecto de la tercera propiedad de la definición de función mo-
dular tenemos que es equivalente a que f1 (τ ) = f1∗ (e2πiτ ), f2 (τ ) = f2∗ (e2πiτ ),
para ciertas funciones f1∗ , f2∗ meromorfas en un entorno de 0, y entonces se
cumple que f1 (τ )f2 (τ ) = (f1∗ f2∗ )(e2πiτ ), donde f1∗ f2∗ también es meromorfa en
un entorno de 0.
Equivalentemente, podemos expresar esto en la forma
Teorema 6.29 Sea f una función modular no nula de grado 2k. Entonces
1 1 P k
o(f, ∞) + o(f, ρ) + o(f, i) + o(f, z) = ,
3 2 z 6= i, ρ 6
Por lo tanto,
f 0 (s(ξ)) f 0 (ξ) 2k
2
= + .
ξ f (s(ξ)) f (ξ) ξ
Concluimos que
Z B 0 Z B0 0 Z B0
1 f (ζ) 1 f (ξ) 2k dξ
dζ = − dξ − ,
2πi A f (ζ) 2πi A0 f (ξ) 2πi A0 ξ
con lo que la suma de las integrales sobre los dos arcos considerados resulta ser
Z A0
2k dξ
.
2πi B 0 ξ
(Notemos que hemos invertido los extremos, de modo que ahora el arco se recorre
en sentido positivo).
Si hubiéramos rodeado otros polos situados sobre el arco, es claro que la
integral sobre el arco modificado coincide con la integral sobre el arco de circun-
ferencia sin modificar (porque ahora el integrando 1/ξ no tiene polos sobre la
circunferencia), y la integral es simplemente k/π por la longitud del arco A0 B 0 .
Cuando hacemos tender a 0 los radios de los arcos alrededor de los puntos
elípticos, dicha longitud tiende a 2π/12, luego la integral tiende a k/6.
En definitiva, si llamamos γr al ciclo formado con arcos de radio r alrededor
de los polos, hemos probado que
f 0 (ζ)
Z
1 k 1 1
lím dζ = − o(f, ρ) − o(f, i).
r→0 2πi γ f (ζ) 6 3 2
r
Todos los órdenes son números naturales, luego existe un único punto z ∈ H
módulo Γ tal que o(f, z) > 0, es decir, un único z tal que J(z) = α.
Del teorema 6.29 se desprenden también numerosas consecuencias sobre los
espacios M2k (Γ) de formas modulares de grado 2k:
6.4. Propiedades de las funciones modulares 239
• M2 (Γ) = 0.
Es claro que el miembro izquierdo de la fórmula de 6.29 no puede ser igual
a 1/6.
• M4 (Γ) = hg2 i.
Si f ∈ M4 (Γ), la fórmula del teorema 6.29 sólo puede cumplirse con el
miembro derecho igual a 1/3 si f tiene un único cero simple en ρ. Esto
nos da una prueba alternativa a la dada en 6.19 de que g2 (ρ) = 0. Además,
f /g2 es una forma modular de grado 0, luego es constante, luego f ∈ hg2 i.
• M6 (Γ) = hg3 i.
La prueba es análoga a la anterior.
• M8 (Γ) = g22 .
La fórmula del teorema 6.29 con 2/3 en el miembro derecho sólo puede
darse si f tiene un cero doble en ρ, con lo que f /g22 es una forma modular
de grado 0, luego es constante.
En particular:
∆(τ ) ∞
τ (n)e2πin .
P
12
=
(2π) n=1
Un caso más notable se obtiene al considerar el espacio M12 (Γ), que tiene
dimensión 2. Tenemos que E12 , E62 , ∆/(2π)12 ∈ M12 , luego tienen que ser
linealmente dependientes. Más concretamente, viendo la serie de Fourier
∞ ∞ n−1
E62 (τ ) = 1 − 1008 σ5 (n)e2nπiτ + 254016 σ5 (m)σ5 (n − m)e2nπiτ ,
P P P
n=1 n=1m=2
Para ello consideramos las funciones E62 , ∆/(2π)12 , J∆/(2π)12 ∈ M12 (Γ).
La dimensión del espacio es 2 y las series de Fourier
∞ ∞ n−1
E62 (τ ) = 1 − 1008 σ5 (n)e2πinτ + 5042 σ5 (k)σ5 (n − k)e2πinτ ,
P P P
n=1 n=2 k=1
∞ ∞ n−1
123 J(τ )∆(τ )/(2π)12 = 1 + τ (n + 1)e2πinτ + c(k)τ (n − k)e2πinτ ,
P P P
n=1 n=1 k=0
muestran que ∆/(2π)12 y 123 J∆/(2π)12 son linealmente independientes.
Por consiguiente ha de ser E62 = λ123 J∆/(2π)12 +µ∆. Igualando coeficientes
para n = 0 obtenemos que λ = 1, mientras que para n = 1 resulta:
−1008 = λ(τ (2) + c(0)τ (1)) + µτ (1).
Necesitamos los valores τ (2) = −24, que se calcula con (6.11), y c(0) = 744,
que puede calcularse refinando la prueba de 6.23. Con esto obtenemos µ = −123 .
Así pues, hemos probado que
E62 = 123 (J − 1)∆/(2π)12 .
Al igualar los coeficientes n-simos obtenemos la relación
n−1 n−1
−1008σ5 (n) + 5042 c(k)τ (n − k) − 123 τ (n).
P P
σ5 (k)σ5 (n − k) = τ (n + 1) +
k=0 k=0
definida en el semiplano H.
∞
(1 − z n ) es absolutamente conver-
Q
Observemos que el producto infinito
n=1
gente para |z| < 1, luego ciertamente η(τ ) es una función holomorfa en H que
no se anula en ningún punto. En términos de la función η, la fórmula de Jacobi
es
∆(τ ) = (2π)12 η 24 (τ ).
Esencialmente, el problema es demostrar que η 24 es una forma modular de
grado 12. En primer lugar notamos que
∞
η(τ + 1) = eπi(τ +1)/12 (1 − e2nπi(τ +1) ) = eπi/12 η(τ ),
Q
n=1
24 24
luego η (τ + 1) = η (τ ).
El punto más delicado es determinar el comportamiento de η bajo la trans-
formación τ 7→ −1/τ . La prueba clásica utiliza funciones elípticas, pero aquí
daremos una prueba corta debida a Siegel.
donde la raíz cuadrada es la rama uniforme que es positiva sobre el semieje real
positivo.
Ahora bien,
πy ∞ πy ∞ P∞ e−2πmny
log(1 − e−2ny ) = −
P P
log η(iy) = − + −
12 n=1 12 n=1 m=1 m
πy ∞ 1
P e−2πmy πy ∞
P 1
=− − −2πmy
=− + .
12 m=1 m 1 − e 12 m=1 m(1 − e2πmy )
Por consiguiente, hemos de probar que
∞ ∞
P 1 P 1 π 1 1
2πmy
− 2πm/y
− y− = − log y. (6.13)
m=1 m(1 − e ) m=1 m(1 − e ) 12 y 2
Definimos
1 πN z
Fn (z) = − cot(πiN z) cot , N = n + 1/2.
8z y
1 πim
cot .
8πm y
Pero
e−θ + eθ e2θ + 1
cos iθ 1 2
cot iθ = = i −θ θ
= −i 2θ
= 1− .
sen iθ e −e e −1 i 1 − e2θ
Similarmente,
n
P i Pn 1 i Pn 1
Res Fn (z) = − .
m=−n z=my/N 4π m=1 m 2π m=1 m(1 − e2πmy )
m6=0
246 Capítulo 6. Funciones modulares
(e−πz )2n+1 + 1
cot πiN z = i .
(e−πz )2n+1 − 1
Z y Z i Z −i Z −i Z y Z i
1 dz dz dz dz 1 dz dz
− + − + = − +
8 −i z y z i z −y z 4 −i z y z
1 πi πi 1
= − log y + + − log y = − log y.
4 2 2 2
generadores del grupo modular, luego es, de hecho, invariante por todo el grupo.
Claramente es holomorfa en H y no se anula. Veamos su comportamiento en el
punto ∞. En primer lugar:
∞
η 24 (τ ) = e2πiτ (1 − e2nπiτ )24 = g ∗ (e2πiτ ),
Q
n=1
∞
donde g ∗ (z) = z (1−xn )24 es holomorfa con un cero simple en z = 0. Además
Q
n=1
g ∗ (z)/z toma el valor 1 en 0
Teniendo en cuenta la serie de Fourier de ∆, es claro que f es holomorfa
en ∞ y f (∞) = (2π)12 . En definitiva, f es una función modular de grado 0
sin ceros. Esto sólo puede ser si f es constante. Concretamente, ha de ser
f = (2π)12 . Con esto queda probada la fórmula de Jacobi:
Funciones multiformes
249
250 Capítulo 7. Funciones multiformes
Aquí hay que entender que D(∞, r) = C∞ \ D(0, 1/r). En otras palabras, f
es holomorfa (o meromorfa) sobre γ si es localmente la composición de γ con una
función holomorfa (o meromorfa). En particular esto implica que f es continua.
Con más detalle, si f es una función meromorfa sobre un arco γ, tenemos
una familia de funciones meromorfas gt cuyos dominios van avanzando con γ y
determinan a f . Es fácil ver que cada gt debe coincidir en su dominio común
con las funciones gt0 , para parámetros t0 cercanos a t, por lo que cada una puede
considerarse una “continuación” de las anteriores, pero si γ pasa dos veces por el
mismo punto, las funciones gt correspondientes a distintos valores del parámetro
pueden ser completamente distintas, de modo que las funciones meromorfas en
este sentido “olvidan” los valores que han tomado tiempo atrás, por lo que
una contradicción con valores “antiguos” no impide el avance y no señala falsos
puntos singulares.
Por ejemplo, es fácil ver que toda determinación continua del logaritmo
sobre un arco es una función holomorfa en el sentido que acabamos de definir.
Sabemos que todo arco que no pase por 0 admite una determinación continua
del logaritmo que parta de cualquier valor predeterminado. Esto se traducirá
en que 0 es la única singularidad de la función logaritmo, en el sentido de que
es el único obstáculo real para prolongar un logaritmo.
Para precisar estas ideas necesitamos la siguiente versión del principio de
prolongación analítica para funciones definidas sobre arcos:
esto garantiza que si a ≤ u < v ≤ b, la imagen γ[[u, v]] no se reduce a un punto, sino que
es un compacto con puntos de acumulación, por lo que una función holomorfa (o meromorfa)
definida en un entorno está completamente determinada por los valores que toma sobre esta
imagen.
2 Notemos que no importa que h y h∗ puedan tener polos, pues en cualquier caso el conjunto
de polos es discreto, por lo que ambas coinciden en un conjunto con acumulación donde
son holomorfas, sus restricciones al conjunto donde toman valores finitos son iguales y por
continuidad lo son en todo el disco.
252 Capítulo 7. Funciones multiformes
Ejercicio: Probar que en las condiciones del teorema anterior basta con que f y g
coincidan en un conjunto con acumulación en [a, b].
De este modo, si una función meromorfa puede prolongarse hasta otra, puede
prolongarse a lo largo de una poligonal con vértices racionales. Puesto que la
cantidad de tales poligonales es numerable, el número de prolongaciones hasta
un dominio fijo es a lo sumo numerable. Es decir, se cumple el teorema siguiente:
Con la definición que hemos dado resulta que no es evidente que funciones
multiformes tales como el logaritmo sean holomorfas, pues falta comprobar que
satisfacen la condición 2) de la definición. Lo probaremos en un contexto mucho
más general.
f (γ(t0 )) ∈ Ut . Así, por definición de gt resulta h(t0 ) = γ(t0 ) = gt (φ(t0 )), como
queríamos probar.
Ahora falta ver que h coincide con las dos ramas dadas en un entorno de cada
extremo. Si nos fijamos —por ejemplo— en el extremo inicial, basta ver que
ga coincide con g1 en un entorno de z1 , pero g1 (z1 ) = w1 = γ(a) = ga (φ(a)) =
ga (z1 ), y hemos visto que si dos ramas uniformes coinciden en z1 coinciden en
un entorno.
√
Esto prueba en particular que la función logaritmo y las funciones n z son
holomorfas en C \ {0}, y no es difícil probar que son completas, pero esto no es
inmediato, pues en general no es cierto que la inversa de una función holomorfa
localmente inyectiva sea completa. Por ejemplo, la restricción de la función
3 Por la observación tras el teorema 1.37, si Ω ⊂ C y f no tiene polos, la hipótesis equivale
a exigir que la derivada no se anule. Por otra parte, es fácil ver que una función meromorfa
es inyectiva alrededor de un polo si y sólo si éste es simple.
256 Capítulo 7. Funciones multiformes
luego
φ(b) − φ(a) = 2πiI(γ, 0).
Esto significa que la rama uniforme del logaritmo alrededor de z0 a la que se llega
por prolongación analítica a lo largo de γ es la que resulta de sumar 2πiI(γ, 0)
a la rama de partida.
La función exponencial transforma cada banda de amplitud 2πi en todo
C \ {0}. Las rectas Im w = 2kπ se corresponden con el eje real. En el caso de la
figura, la rama uniforme inicial del logaritmo en el disco señalado alrededor de
z0 es la que asigna imágenes en C alrededor de w0 , mientras que la rama final
que se obtiene por prolongación a través de γ es la que toma valores alrededor
de w0 + 4πi. Para pasar a cualquier otra rama deseada sólo tenemos que tomar
un arco cerrado que dé el número de vueltas adecuado alrededor de 0.
15 6 γ
w0 + 4πi 4
ez - 2
z0
10
φ -6 -4 -2 2 4 6
-2
5
-4
-6
w0
2 4 6 8 10
√
El caso de la función n z es similar, pero cada vuelta de un arco alrededor
de 0 hace que la rama uniforme de partida se multiplique por ω = e2πi/n , con
lo que tras n vueltas volvemos a la rama inicial.
Definimos el arco seno Arcsen z como el conjunto de todos los números com-
plejos w tales que sen w = z. Similarmente se definen el arco coseno y el arco
tangente. Se trata, pues, de funciones multiformes, y vamos a estudiar la exis-
tencia de ramas uniformes continuas. Ante todo, observamos que la relación
sen(w + π/2) = cos w hace que Arcsen z = Arccos z + π/2, en el sentido de
que cualquier arco coseno de z se convierte en un arco seno sumándole π/2 y
258 Capítulo 7. Funciones multiformes
cualquier arco seno se convierte en un arco coseno restándole π/2. Esto permite
traducir todas las propiedades del arco coseno a propiedades del arco seno, por
lo que sólo nos ocuparemos de las funciones Arccos z y Arctan z.
Recordando que
eiz + e−iz
cos z = ,
2
resulta útil empezar estudiando la función racional
z + z −1 z2 + 1
w = λ(z) = = .
2 2z
Observemos que λ toma el valor ∞ exactamente en los puntos 0 e ∞. Dado
w ∈ C, un número z cumplirá w√= λ(z) si y sólo√si z 2 − 2wz + 1 = 0, lo que
a su vez equivale a que z = w + w2 − 1, donde w2 − 1 es cualquiera de las
raíces cuadradas de w2 − 1.
Así, si w 6= ±1, ∞ entonces w2 − 1 es un número complejo no nulo y tiene
dos raíces cuadradas distintas, con lo que w tiene exactamente dos antiimágenes
por λ (aunque esto último también vale para w = ∞). Los números complejos
w = ±1 son los únicos que tienen una única antiimagen por λ, a saber, λ(1) = 1,
λ(−1) = −1.
Para comprender con más detalle el comportamiento de λ estudiaremos en
primer lugar cómo transforma las circunferencias de centro 0. La circunferencia
unitaria |z| = 1 es un caso especial. Sus puntos son de la forma z = eit , con
t ∈ R, y se transforman en
eit + e−it
λ(z) = = cos t.
2
Por consiguiente la circunferencia unitaria se transforma en el segmento
[−1, 1]. Geométricamente, λ “aplasta” la circunferencia sobre el segmento, de
modo que todos los puntos de éste salvo sus extremos tienen dos antiimágenes
por λ, una en el semiplano superior y otra en el inferior.
Consideremos ahora una circunferencia de radio r > 0, r 6= 1. Sus puntos
son de la forma z = reit , con t ∈ R. Al aplicar λ obtenemos
r−1 + r r−1 − r
a= y b= .
2 2
La distancia focal c está determinada por la relación
a2 = b2 + c2 , luego es c = 1, es decir, los focos son ±1. En realidad, son dos
las circunferencias cuya imagen por λ es dicha elipse, las de radios r y r−1 .
7.2. Funciones multiformes meromorfas 259
Cada punto de la elipse tiene exactamente una imagen en cada una de las
circunferencias. Es fácil ver que las elipses de focos ±1 cubren todo el plano
complejo menos el intervalo [−1, 1]. Por consiguiente λ biyecta tanto el disco
abierto D(0, 1) como el complementario del disco cerrado D(0, 1) con C\[−1, 1].
iz
0 π ez −1 1
λ(z)
el plano complejo menos las semirrectas ]−∞, −1] y [1, +∞[. Si llamamos G a
este abierto, tenemos que el coseno biyecta la banda 0 < Re z < π con G.
Si precisamos el argumento veremos que la parte de la banda contenida en
el semiplano Im z > 0, se transforma en el semiplano superior y la parte inferior
Im z < 0 en el semiplano inferior, mientras que el segmento ]0, π[ se transforma
en ]−1, 1[. Más aún, las rectas Re z = 0 y Re z = π se transforman sucesivamente
en las rectas Im z = 0, Im z = π, luego en los semiejes ]0, +∞[, ]−∞, 0[ y λ los
transforma en las semirrectas]1, +∞[, ]−∞, −1[.
El comportamiento de la función coseno
en la banda −π < Re z < 0 se sigue fácil-
mente de la relación cos(−z) = cos z. La
semibanda superior se transforma ahora en
el semiplano superior y la inferior en el se-
miplano inferior. Como el coseno tiene pe- 0 π 2π
riodo 2π, ya sabemos su comportamiento
sobre las bandas kπ < Re z < (k + 1)π,
para todo entero k.
Sobre el eje real, el coseno se comporta
como es conocido, y toma imágenes en el
intervalo [−1, 1]. Las zonas sombreadas en claro (abiertas) se transforman bi-
yectivamente en el semiplano superior y las zonas oscuras en el inferior. Las
semirrectas verticales que separan las bandas se transforman unas en la semi-
rrecta ]1 + ∞[ y otras en ]−∞, −1[.
Esto muestra la existencia de ramas uniformes sencillas de la función arco
coseno. Por ejemplo, la inversa de cos z restringida a la banda 0 < Re z < π es
una rama uniforme de la función arco coseno definida sobre el abierto G, pero
hay otras posibilidades, como restringir cos z a la semibanda 0 < Re z < 2π,
Im z > 0, y entonces obtenemos una rama uniforme del arco coseno definida
sobre C menos la semirrecta [−1, +∞[. Similarmente podemos definir una rama
uniforme del arco coseno sobre C menos la semirrecta ]−∞, 1]. Estos tres ca-
sos prueban la existencia de ramas uniformes (necesariamente holomorfas, por
el teorema de la función inversa) de la función arco coseno en un entorno de
cualquier número complejo distinto de ±1.
Por otra parte, la derivada de cos z es sen z, que se anula en los múltiplos
de π, luego cos z no es localmente inyectiva alrededor de ninguno de ellos, lo que
se traduce a su vez en que el arco coseno no tiene ramas uniformes continuas
alrededor de ±1.
Vamos a encontrar expresiones explícitas para las ramas uniformes del arco
coseno. Notemos que si
eiz + e−iz
w = cos z = ,
2
despejando resulta que (eiz )2 − 2weiz + 1 = 0, luego
p
eiz = w + w2 − 1,
7.2. Funciones multiformes meromorfas 261
y en conclusión
1 p
z= log w + w2 − 1 , (7.2)
i
donde hay que entender que elegimos una raíz cuadrada y un logaritmo. Recípro-
camente, cualquier número de la forma (7.2) es un arco coseno de w. Si partimos
de un número complejo w 6= ±1 entonces w2 − 1 6= 0, luego podemos √ tomar una
rama uniforme continua de la raíz cuadrada en un entorno, y w + w2 − 1 6= 0
(pues en caso contrario elevaríamos al cuadrado y resultaría 1 = 0), con lo que
podemos tomar una rama uniforme continua del logaritmo en un entorno. En
definitiva, todo w 6= ±1 tiene en un entorno una rama uniforme continua del
arco coseno dada por (7.2), donde el logaritmo y la raíz cuadrada son ahora
ramas uniformes continuas de estas funciones, elegidas adecuadamente.
Más aún, localmente toda rama uniforme continua del arco coseno es de
esta forma. En efecto, si f (w) es una rama uniforme continua del arco coseno
definida alrededor de un punto w0 6= ±1, entonces podemos tomar otra de la
forma (7.2) definida en un entorno conexo Ω de w0 contenido en el dominio de f .
Entonces
1 p
f (w) = log w + w w2 − 1 + 2kw π,
i
donde w = ±1 y kw ∈ Z. La función
p
eif (w) = w + w w2 − 1
es continua, lo que obliga a que w sea continua —luego constante— en Ω. De
aquí
√ se sigue que √ kw también es continua y también es constante. Cambiando
w2 − 1 por w2 − 1 obtenemos √ otra rama
uniforme continua
√ de la raíz cua-
drada y cambiando log w + w w2 − 1 por log w + w w2 − 1 + 2kπi ob-
tenemos otra rama uniforme continua del logaritmo con las cuales f tiene la
forma (7.2).
Más sencillo es el caso del arco tangente. Si
1 eiz − e−iz 1 e2iz − 1
w = tan z = iz −iz
= ,
i e +e i e2iz + 1
entonces
1 1 + iw
z= log ,
2i 1 − iw
para una elección adecuada del logaritmo. Recíprocamente, esta expresión de-
termina un arco tangente de w para cualquier elección del logaritmo. Puesto
que la expresión dentro del logaritmo es una transformación de Möbius M , con-
cluimos que la función multiforme Arctan tiene las mismas propiedades que la
función logaritmo con las variaciones obvias que exige M . Así, al igual que el
logaritmo tiene ramas uniformes continuas en un entorno de cada punto dis-
tinto de 0 (y de ∞), la función arco tangente tiene ramas uniformes continuas
en un entorno de cada punto distinto de ±i. Al igual que el logaritmo tiene
ramas uniformes continuas en C∞ menos las semirrectas que conectan 0 e ∞,
la función arco tangente tiene ramas uniformes continuas menos en los arcos de
circunferencia que conectan a i con −i, incluyendo el segmento de extremos ±i
y las dos semirrectas verticales de extremos ±i.
262 Capítulo 7. Funciones multiformes
definida en C \ {0}. Cada número complejo no nulo tiene dos imágenes, excepto
el 1, que sólo tiene la imagen e1/2√. A partir de una rama uniforme de la raíz
cuadrada en D(1, 1) que cumpla 1 = 1 obtenemos una rama uniforme de F
respecto a la cual 1 es un punto regular, pero a partir de la rama que cumple
√
1 = −1 obtenemos una rama uniforme de F en D0 (1, 1) respecto a la cual 1
es una singularidad esencial.
Así pues, un mismo punto puede ser regular o singular para distintas ramas
uniformes de una misma función.
Empezaremos por dar una definición de singularidad aislada que generalice
al concepto que ya conocemos y recoja los nuevos casos que pueden presentarse
en funciones multiformes.
Notemos que una rama de F —en este sentido— que además sea uniforme
es precisamente lo que venimos llamando una rama uniforme de F . Acabamos
de probar que cada función multiforme meromorfa completa se descompone en
una o varias ramas holomorfas completas arbitrariamente prolongables en un
entorno reducido de cada singularidad aislada. Cada una de estas ramas puede
presentar un comportamiento distinto alrededor de la singularidad.
Ejemplos La función logaritmo tiene una singularidad aislada en z0 = 0, y en
cualquier entorno reducido D0 (0, r) tiene una única rama, pues antes hemos visto
que para pasar de una rama uniforme a otra basta prolongar analíticamente la
primera a lo largo de un arco que dé el número adecuado de vueltas alrededor
de 0, y siempre podemos tomar un arco así contenido en D0 (0, r) (basta tomar
una circunferencia de centro 0 parametrizada adecuadamente).
Lo mismo sucede con la singularidad z0 = ∞, es decir, que el logaritmo tiene
una única rama en cualquier entorno reducido D0 (∞, r), pues para pasar de una
264 Capítulo 7. Funciones multiformes
Como tres discos con intersección no vacía tienen intersección convexa (luego
conexa), tenemos que las prolongaciones de f a D(0, r) ∪ Di y D(0, r) ∪ Dj
coinciden en su dominio común, luego en total tenemos una única prolongación
de f a D(0, r0 ), contradicción.
Ahora bien, si f no admite prolongación meromorfa (holomorfa) hasta z ∈
∂D(0, r), entonces γ = [0, z] es un arco contenido en Ω a lo largo del cual f no
admite prolongación analítica, en contra de la hipótesis.
Con esto tenemos probado el teorema excepto en el caso en que Ω = C∞ .
Para él tenemos una extensión de f hasta C (que seguiremos llamando f ) y
nos falta probar que se extiende a C∞ , pero basta aplicar el segundo caso a la
restricción de f a C \ {0}, tomando Ω = C∞ \ {0}.
El nombre de “principio de monodromía” se debe a que si γ : [a, b] −→ Ω es
un arco que une un punto del dominio de f con otro punto z ∈ Ω y h es una
prolongación analítica de f a lo largo de γ, entonces por la unicidad ha de ser
h = γ ◦ g, donde g es la extensión de f a Ω. En particular h(b) = g(z), lo que
7.3. Singularidades aisladas 265
Observemos que el hecho de que F sea holomorfa presupone que todas sus
ramas uniformes están conectadas entre sí. Por ejemplo, 0 e ∞ son puntos de
ramificación logarítmicos para la√función logaritmo y puntos de ramificación
de orden n − 1 para la función n z, las funciones uniformes tienen puntos
√ de
ramificación de orden 0 en sus singularidades aisladas y la función e1/( z+1)
tiene puntos de ramificación simple en 0 e ∞ y se descompone en dos ramas
uniformes (no ramificadas a su vez) alrededor de 1.
1 p
g(z) = log w ± w2 − 1 ,
i
donde el signo es positivo si I(γ, 1) es par y negativo en caso contrario.
Así pues, desde una de las infinitas ramas del arco coseno en D sólo podemos
pasar a otra concreta mediante arcos contenidos en D0 (1, r), la que se obtiene
al cambiar de raíz cuadrada pero no de logaritmo. Esto significa que el arco
coseno tiene infinitas ramas en D0 (1, r), todas ellas biformes (el 1 es un punto
de ramificación simple para cada una de ellas). Lo mismo vale para el −1.
La situación en ∞ es distinta. Tomemos r > 2 y consideremos un disco
D ⊂ D0 (∞, r). Sea γ un arco cerrado que parta de un punto de D. Es fácil ver
que
I(γ 2 − 1, 0) = I(γ, 1) + I(γ, −1) = 2I(γ, 0),
donde usamos que 0 y ±1 están en la misma componente conexa de C \ γ ∗ .
Esto implica que al prolongar a lo largo de γ 2 − 1 una rama uniforme de la
raíz cuadrada llegamos a la misma rama de partida (porque el índice respecto
a 0 es par). Equivalentemente, al prolongar a lo largo de γ una rama uniforme
7.3. Singularidades aisladas 267
√
de w2 − 1 llegamos a la misma rama. En particular la prolongación es un arco
cerrado en C \ {0} y se comprueba sin dificultad que
p
I( γ 2 − 1, 0) = (1/2)I(γ 2 − 1, 0) = I(γ, 0).
-π π 2π 3π
-1
-2
Demostración: Sea F (z) = h(Log (z −z0 )), según el teorema anterior. Las
observaciones que acabamos de hacer muestran que h tiene periodo 2nπi. Pode-
mos definir entonces g(z) = h(nLog z), donde no importa la rama del logaritmo
que escojamos para calcularla, pues el resultado√ será el mismo. Claramente g
es una función uniforme holomorfa en D0 (0, n r) y
√ 1
g n z − z0 = g(e n Log (z−z0 ) ) = h(Log (z − z0 )) = F (z).
x
270 Capítulo 7. Funciones multiformes
1. π es localmente inyectiva.
Notemos que log0 z no está definido en [0, +∞[, luego log0 (1 − z) no está
definido en ]−∞, 1] y, como log−π z no está definido en ]−∞, 0], la rama anterior
está definida y es holomorfa en el plano complejo menos el intervalo ]−∞, 1].
La figura muestra la parte imaginaria de
la función log−π z +3 log0 (1−z), incluyendo
los límites en el intervalo donde no está de-
6π/4
finida. Esta parte imaginaria es el argu-
mento de la rama uniforme que hemos to- 7π/4
mado, y como 7π/4 y −π/4 se diferencian −π/4 0 1 3π/4
en 2π, resulta que dicha rama se extiende 0
continuamente al intervalo ]−∞, 0[. Pode-
mos construir otra rama de forma análoga
sobre el plano menos el intervalo [0, +∞[ y
ajustarla para que en ]−∞, 0[ tome argumento 7π/4. Esto prueba que la rama
original es holomorfa en C \ [0, 1].
Si multiplicamos esta rama por las constantes ±1, ±i obtenemos cuatro
ramas distintas en este abierto que toman los argumentos siguientes:
6π/4 0
2π/4 4π/4
Las cuatro ramas son discontinuas en el intervalo ]0, 1[, pero se conserva la
continuidad si suponemos que un arco que cruce este segmento desde el semi-
plano inferior de la primera rama aparece en el semiplano superior de la segunda,
etc. Con más precisión, podemos tomar cuatro copias de C \ {0, 1} sobre las que
definimos las cuatro ramas uniformes anteriores, entendiendo que a los puntos
del segmento ]0, 1[ les asignamos el valor del límite desde el semiplano superior.
276 Capítulo 7. Funciones multiformes
A continuación las “pegamos” a través del segmento ]0, 1[, en el sentido de que,
por ejemplo, los entornos básicos de un punto en el segmento de la tercera copia
es medio disco en el semiplano superior de dicha copia y el otro medio en el
semiplano inferior de la segunda. Así obtenemos una superficie de p Riemann S
que resulta ser la superficie de Riemann de la función multiforme 4 z(1 − z)3 .
La comprobación se reduce a ver que la función que hemos definido es holomorfa
en los puntos de las cuatro copias de ]0, 1[ y que en un entorno de cada número
complejo z 6= 0, 1 hay exactamente cuatro ramas uniformes de esta función.
Es claro que los gérmenes regulares pueden identificarse con los gérmenes
usuales que ya teníamos definidos, con lo que el conjunto de los gérmenes re-
gulares puede identificarse con la superficie de gérmenes S de F en el sentido
usual. De este modo S ⊂ S̃. La aplicación π̃ : S̃ −→ Ω que a cada germen le
asigna su soporte es suprayectiva y extiende a π.
Vamos a extender a S̃ la topología de S. Dado un germen u ∈ S̃ y D0 (a, r)
uno de sus dominios, consideramos el conjunto Vu,r formado por todos los gér-
menes de ramas holomorfas de u que tienen un dominio contenido en D0 (a, r)
(se entiende que los dominios son siempre entornos reducidos, es decir, discos
sin su centro). Claramente u es el único germen de Vu,r con soporte en a y,
puesto que D0 (a, r) no contiene puntos singulares de F , el conjunto Vu,r \ {u}
0
es precisamente el conjunto Vu,r considerado en el teorema 7.23.
Es fácil ver que los conjuntos Vu,r son la base de una topología de Hausdorff
en S̃ (la prueba es idéntica al caso de las superficies de gérmenes), así como que
ésta induce en S la topología que ya teníamos definida.
Teniendo en cuenta que, si u ∈ S̃ \ S, se cumple Vu,r ∩ (S̃ \ S) = {u}, es claro
que S es denso en S̃ y que S̃ \ S es discreto y cerrado en S̃.
√
El teorema 7.23 nos da homeomorfismos hu,r : Vu,r \ {u} −→ D0 (0, √ n
r),
donde n−1 es la multiplicidad de u. (Para π(u) = ∞ el radio del disco es 1/ n√r).
Es claro que hu,r se extiende a un homeomorfismo hu,r : Vu,r −→ D(0, n r)
haciendo hu,r (u) = 0 (notemos que h biyecta los entornos básicos de u de la
forma Vu,s con 0 < s < r con los entornos básicos de 0 de la forma D(0, s)).
Esto nos permite extender a S̃ la estructura analítica de S tomando como
cartas de S̃ las aplicaciones hu,r . La composición de una carta con la inversa
de otra es un homeomorfismo entre dos abiertos de C y es holomorfa salvo a
lo sumo en un punto aislado, pues el teorema 7.23 implica que la restricción de
hu,r a Vu,r \ {u} es holomorfa para la estructura de S, de donde se sigue que
dicha composición es holomorfa en todo su dominio.
Es claro que la estructura analítica de S̃ induce en S̃ la topología que aca-
bamos de definir e induce en S la estructura analítica que ya teníamos definida.
También es claro que S̃ es conexo, luego es una superficie de Riemann.
El teorema 7.23 nos da que en un entorno de cada punto de S̃ la proyección
π̃ se expresa como π̃ = hu,r ◦ en + π̃(u) (en principio esto vale para los puntos
distintos de u, pero para éste es trivial). Si π̃(u) = ∞ la fórmula es distinta,
7.5. Singularidades algebraicas 279
Vamos a probar que (S̃, π̃) es, salvo aplicaciones biholomorfas, la única con-
figuración analítica de F . La idea básica es que si F es una función algebraica
de grado n y tomamos un disco cerrado con centro en una de sus singularidades
(y que no contenga a ninguna otra), su antiimagen por π en S será una unión
de n cerrados disjuntos, cada uno de ellos homeomorfo a un disco cerrado o bien
a un disco cerrado menos su centro (pero siempre habrá alguno de este segundo
tipo), y los discos sin su centro no son compactos, luego π no es propia. En
cambio, su antiimagen por π̃ en S̃ es una unión de n cerrados homeomorfos a
discos cerrados, pues en S̃ “hemos tapado los agujeros de S”, lo que hace que π̃
sí sea una aplicación propia.
pues si v ∈ π̃ −1 [K] entonces π̃(v) ∈ D(ai , rai ) para algún i, luego v tiene un
dominio contenido en este disco y es arbitrariamente prolongable en D0 (ai , rai ),
luego se prolonga a una rama meromorfa (tal vez multiforme) u de F definida
7.5. Singularidades algebraicas 281
Sea a = π1 (b). Puesto que π2 es propia, el conjunto π2−1 [a] es finito. Digamos
que π2−1 [a] = {c1 , . . . , cs }. Sea Wj el dominio de una carta en X2 alrededor de
cada cj . Podemos exigir que los abiertos Wj sean disjuntos dos a dos. Puesto
que π2−1 [a] ⊂ W1 ∪ · · · ∪ Ws , el teorema A.20 nos da un entorno abierto U de a
tal que U ∩ E = {a} y π2−1 [U ] ⊂ W1 ∪ · · · ∪ Ws .
Sea V el dominio (conexo) de una carta alrededor de b tal que V ⊂ π1−1 [U ]
y V ∩ π1−1 [E] = {b}. Claramente V \ {b} ⊂ π1−1 [U ] es un abierto conexo de
X1 \ π1−1 [E], luego ψ[V \ {b}] es un abierto conexo en π2−1 [U ]. Por lo tanto
existe un índice k tal que ψ[V \ {b}] ⊂ Wk .
Sea g la carta definida sobre V y h la carta definida sobre Wk . Podemos
suponer que sus rangos son ambos iguales a D(0, r) y que g(b) = h(ck ) = 0.
Entonces u = g −1 ◦ ψ ◦ h : D0 (0, r) −→ D(0, r) es holomorfa y tiene una
singularidad evitable en 0. Definiendo ψ(b) = h−1 (u(0)) tenemos que ψ|V =
g ◦ u ◦ h−1 , luego hemos extendido ψ a una función holomorfa en b.
En general, ahora tenemos ψ : X1 −→ X2 . La igualdad ψ ◦ π2 = π1 es válida
sobre los puntos de X1 \π1−1 [E]. Como este conjunto es denso y ambos miembros
son continuos, de hecho es válida en todo X1 . Falta ver que ψ es biyectiva. En
principio vemos que es propia: si K es un compacto en X2 , entonces ψ −1 [K] es
un cerrado en X1 contenido en el compacto π1−1 [π2 [K]], luego es compacto. En
particular tenemos que ψ es suprayectiva.
Como los conjuntos πi−1 [E] son numerables, existe un punto y0 ∈ X2 \π2−1 [E]
de escisión para ψ y ψ −1 [y0 ] ⊂ X1 \ π1−1 [E], pero esto implica que y0 tiene
una única antiimagen, luego ψ tiene grado 1, y por A.24 concluimos que ψ es
inyectiva.
282 Capítulo 7. Funciones multiformes
Ahora es relativamente
√ fácil reconocer configuraciones analíticas. Por ejem-
plo, la de la función z es C∞ con la√proyección π(z) = z 2 , pues sabemos que
C\{0} es la superficie de Riemann de z y, como C∞ es compacto, la aplicación
π es propia.
Nota Observemos que si π : X −→ Ω es la configuración analítica de una
función algebraica F , entonces los puntos de escisión de π según A.21 coinciden
con los puntos regulares de F en el sentido de 7.10.
En efecto, si F es n-forme y b ∈ Ω es regular, por 7.13 sabemos que tiene
exactamente n antiimágenes, luego π tiene grado n en el sentido de A.23. En-
tonces, por A.24 tenemos que cada x ∈ π −1 [b] cumple e(π, x) = 1, luego b es un
punto de escisión de π.
Recíprocamente, si b es un punto de escisión de π, entonces tiene n antiimá-
genes y π es inyectiva en un entorno de cada una de ellas, luego (identificando X
con la superficie de gérmenes generalizados), la función π −1 ◦ Φ̃ determina n ra-
mas uniformes de F (arbitrariamente prolongables) en un entorno de b, que
tienen que ser distintas dos a dos (ya que determinan gérmenes distintos), luego
son todas las ramas uniformes de F en b y así b es un punto regular de F .
donde el grado de cada resto Ti es estrictamente menor que el del anterior, hasta
llegar a un resto Tp ∈ M(Ω). Tomamos p como el menor natural para el que se
cumple esto, es decir, suponemos que Tp−1 tiene grado no nulo.
Llamamos E al conjunto de los polos de los coeficientes de los polinomios
Tj y Qj . Si ∞ ∈ Ω lo incluimos también en E. Es claro que E es discreto y
cerrado en Ω. Veamos algunos hechos sencillos:
y a su derivada formal
2. Para cada z ∈ D(a, t) los números fj (z) son distintos dos a dos.
3. T (z, fj (z)) = 0 para todo z ∈ D(a, t).
4. Si f es una función meromorfa en un entorno de a y para cada z en dicho
entorno se cumple T (z, f (z)) = 0, entonces f coincide con una fj en un
entorno de a.
Demostración: Sea > 0 tal que los discos D(wj , ) sean disjuntos dos a
dos. Así, el polinomio T (a, w) tiene un único cero en cada disco, concretamente
en su centro. Usando la continuidad de T (z, w) en las dos variables y la com-
pacidad de las circunferencias, es fácil encontrar un radio t > 0 de modo que si
z ∈ D(a, t) y |w − wj | = , entonces T (z, w) 6= 0. En D(a, t) podemos definir
las funciones Z
1 Tw (z, w)
uj (z) = dw.
2πi |w−wj |= T (z, w)
El teorema de los residuos y el teorema 3.10 implican que uj (z) es el número
de ceros en D(wj , ) del polinomio w 7→ T (z, w) (contados con sus multiplicida-
des). En particular uj (z) es un número natural, pero por otra parte cada función
uj es continua, luego es constante en D(a, t). Concretamente, uj (z) = uj (a) = 1
para todo i. En otras palabras, cada polinomio T (z, w) tiene un único cero en
D(wj , ), al que llamaremos fj (z). Ciertamente, fijado z, los números fj (z) son
distintos dos a dos y se cumple T (z, fj (z)) = 0.
Veamos que las funciones fj son holomorfas. La función w 7→ 1/T (z, w),
definida en D(wj , ), tiene un polo simple en fj (z), luego la función
w − fj (z)
w 7→ Tw (z, w)
T (z, w)
luego Z
1 Tw (z, w)
fj (z) = w dw,
2πi |w−wj |= T (z, w)
lo que muestra la holomorfía de las funciones fj .
Sólo falta probar que cualquier función meromorfa f en un entorno de a que
cumpla T (z, f (z)) = 0 coincide con una de las fj . Reduciendo t si es necesario
podemos suponer que f está definida en D(a, t). Sea L el conjunto de puntos de
este disco que no son polos de f . Si z ∈ L, entonces f (z) es una de las raíces del
polinomio T (z, w), pero éstas raíces son las fj (z), luego f (z) = fj (z) para algún
índice j que depende de z. Ahora bien, ha de haber una cantidad no numerable
de puntos z ∈ L para los que el j correspondiente sea el mismo, con lo que f y
fj coinciden en un conjunto no numerable, luego coinciden en todo su dominio.
286 Capítulo 7. Funciones multiformes
√
1
F ∗ (z) = g o bien F ∗ (z) = g m
m
z−b √ si b = ∞.
z
esto para todo w ∈ C, lo que implica que T1 (b, w) es nulo, en contradicción con
lo anterior.
La prueba del teorema anterior muestra en realidad que cualquier función
que sea raíz de un polinomio es algebraica (de grado menor o igual que el
del polinomio). Ahora probaremos que toda función algebraica es raíz de un
polinomio. Necesitamos recordar los resultados básicos sobre los polinomios
simétricos elementales [Al 7.1]. El polinomio simétrico elemental de n variables
y grado j se define como
Sj (x1 , . . . , xn ) = (−1)j
P
xi1 · · · xij .
1≤i1 <···<ij ≤n
M
|gj (w)| ≤ , si 0 < |w| < r, j = 1, . . . , n.
|w|k
K
|Sj (z)| ≤ .
|z − a|m
Esto implica que (z − a)Sj (z) está acotada alrededor de a, luego Sj tiene
una singularidad evitable o un polo en a, como queríamos probar.
Falta ver que el polinomio T es irreducible, pero esto es sencillo: si se pudiera
descomponer en factores, es claro que F sería raíz de uno de ellos, digamos de
un factor T ∗ de grado p < n, pero entonces las ramas uniformes de F (salvo en
un conjunto discreto y cerrado) serían las raíces locales de T ∗ , que son p en un
entorno de cada punto, luego F tendría a lo sumo multiplicidad p, cuando en
realidad tiene multiplicidad n.
Con esto ya tenemos la caracterización que buscábamos de las funciones
algebraicas:
Entonces
−1 = o(z, ∞) = o(h3 − 3h, ∞) = 3o(h, ∞),
lo cual es absurdo. Así pues, T determina una función algebraica triforme
T : C∞ −→ C∞ .
Si un punto w es raíz múltiple de T (z, w), entonces es raíz de su derivada
3w2 − 3 = 0, luego w = ±1. Sustituyendo w = ±1 en T (z, w) = 0 resulta
z = ±2. Por lo tanto, los casos en que T es reducible son únicamente
T (2, w) = w3 − 3w − 2 = (w + 1)2 (w − 2)
T (−2, w) = w3 − 3w + 2 = (w − 1)2 (w + 2).
prueba que f (2) = 2 o bien f (2) = −1. Derivándola queda 3f 0 (z)(f (z)2 −1) = 1,
luego f (2) = 2 y f 0 (2) 6= 0. Por lo tanto f es inyectiva en un entorno V de 2.
La propia ecuación (7.4) muestra que la inversa de f en f [V ] viene dada por
f −1 (w) = w3 − 3w.
De aquí ya podemos deducir que la función f existe realmente. En efecto,
la función h(w) = w3 − 3w es inyectiva alrededor de 2, luego su inversa f
satisface (7.4). De hecho hemos probado que es la única rama uniforme de F
en un entorno de 2. Por consiguiente, F ha de tener otra rama biforme, para la
cual 2 es un punto de ramificación simple.
El punto −2 se trata análogamente. Concluimos que F tiene también dos
ramas holomorfas a su alrededor, una uniforme y otra biforme.
Para terminar de comprender cómo se articulan las distintas ramas uniformes
de F conviene observar lo siguiente:
2 − 2g 0 = 4 − (2g + i) − c,
Ejemplo La condición de que p(z) tenga sus raíces simples es esencial. Por
ejemplo, la configuración analítica del polinomio w2 − z 2 (z + 1) tiene género 0.
En efecto, el razonamiento precedente vale igualmente para concluir que los
puntos singulares de F son a lo sumo ∞, −1, 0, así como que −1 tiene una
única antiimagen tal que π(a−1 ) = 2 (porque√ −1 es raíz simple del polinomio
p(z) = z 2 (z + 1)). En cambio, la función z z + 1 tiene claramente dos ramas
uniformes en un entorno de 0, las cuales son ramas uniformes de F . Por lo
tanto, 0 es un punto regular de F y la fórmula de Hurwitz se reduce a
2 − 2g = 4 − 1 − c,
luego necesariamente c = 1 y g = 0.
= wn + A1 (a)wn−1 + · · · + An (a).
(Si x ∈ B pero todas las funciones Aj son finitas en π(b), la igualdad anterior
vale igual para x por continuidad.)
Sea, pues, c ∈ E y tomemos un disco abierto D en C∞ de centro c tal que
D ∩ E = {c}. Sea h : D −→ C cualquier función holomorfa no constante tal que
h(c) = 0. Sea f = π ◦ h, que es una función holomorfa en π −1 [D] y f (x) = 0
para todo x ∈ π −1 [c].
Si m es un número natural mayor que el orden de cualquier polo que Φ pueda
tener en π −1 [c], entonces g = f m Φ es holomorfa en π −1 [D].
Sea K ⊂ D un entorno compacto de c. Entonces π −1 [K] es un entorno
compacto de cada punto de π −1 [c], y existe un número real M > 0 tal que
|g(x)| ≤ M para todo x ∈ π −1 [K].
Si a ∈ K \ {c} tenemos que
X
Aj (a) = (−1)j Φ(φi1 ,a (a)) · · · Φ(φij ,a (a))
1≤i1 <···<ij ≤n
X
j
= (−1) Φ(xi1 ,a ) · · · Φ(xij ,a ).
1≤i1 <···<ij ≤n
≤ CM j .
Variedades analíticas
Exactamente igual que en el caso real (compárese con [GD 1.9]) se demuestra
que todo atlas analítico en un espacio topológico se extiende de forma única a
una estructura analítica, cuyas cartas son las compatibles con todas las cartas
del atlas.
1 En [GD 1.10] exigimos a las variedades diferenciales que tengan una base numerable.
Aquí no lo vamos a exigir porque así podremos demostrar (teorema B.42) que en el caso
unidimensional toda variedad analítica conexa tiene una base numerable. Por consiguiente,
para comparar ambas definiciones tendremos que restringirnos a variedades analíticas con esta
condición adicional.
297
298 Apéndice A. Variedades analíticas
que claramente son abiertos, y p−1 0 ◦p2 se calcula partiendo de unas coordenadas
afines (z1 , . . . , zn ), completándolas con un 1 en la primera posición, para formar
(1, z1 , . . . , zn ), pasando a las coordenadas equivalentes con tercera componente
igual a 1, que son (1/z2 , z1 /z2 , 1, z3 /z2 , . . . , zn /z2 ), y eliminando el 1. En total:
(p−1
0 ◦ p2 )(z1 , . . . , zn ) = (1/z2 , z1 /z2 , z3 /z2 , . . . , zn /z2 ),
U = p−1 n
0 [{z ∈ C | |z1 | < 1}], V = p−1 n
1 [{z ∈ C | |z1 | < 1}].
m0j z0 + · · · + mnj zn 6= 0.
M (∞) = a/c si c 6= 0,
n
∞ si c = 0.
Es evidente que las homografías son biyectivas y forman un grupo con la
composición de aplicaciones. Esto se deduce inmediatamente de la expresión
matricial en coordenadas homogéneas
Más aun, es claro que la aplicación LG(2, C) −→ M(C∞ ) que a cada matriz A
le asigna la homografía M de matriz A es un epimorfismo de grupos, cuyo núcleo
está formado por las matrices escalares αI, donde α ∈ C es no nulo (una matriz
induce la homografía identidad si y sólo si todos los vectores de C2 son vectores
propios, lo cual requiere que todos tengan el mismo valor propio).
Las homografías son biholomorfas, pues sus lecturas en las cuatro combina-
ciones posibles de cartas z y 1/z son cocientes de polinomios de grado 1, luego
son holomorfas en sus dominios.
Esto implica que, en realidad, cualquier homografía que transforme ∞ en un
punto finito sirve como carta de C∞ alrededor de ∞. La carta 1/z es la más
simple de todas.
Por otra parte, el teorema [G 8.20] implica que existe una homografía que
transforma tres puntos distintos cualesquiera en otros tres puntos distintos cua-
lesquiera (pues tres puntos distintos determinan un sistema de referencia en una
recta proyectiva), y cualquier homografía está determinada por la imagen de tres
puntos distintos. En particular, si fija a tres puntos, es que es la identidad.
Teorema A.3 Las transformaciones de Möbius que fijan a la recta real son las
de la forma
az + b
f (z) = , con a, b, c, d ∈ R, ad − bc 6= 0.
cz + d
Las que fijan al semiplano Im z > 0 son las que además cumplen ad − bc > 0,
aunque no perdemos generalidad si exigimos que ad − bc = 1.
para todo q ∈ U . No obstante, hay que tener presente que los coeficientes aα
dependen de la elección de la carta.
Definimos Hp (V ) como el conjunto de las funciones holomorfas definidas
en un entorno abierto de p. En este conjunto podemos establecer la relación
de equivalencia que relaciona dos funciones si coinciden en un entorno de p.
Llamaremos Gp (V ) al conjunto cociente, cuyos elementos reciben el nombre de
gérmenes de funciones holomorfas alrededor de a. Es claro que Gp (V ) tiene
estructura de C-álgebra con las operaciones dadas por [f ] + [g] = [f + g] y
[f ][g] = [f g].
El teorema 2.18 se generaliza inmediatamente a este contexto:
Teorema A.12 Si V es una variedad analítica y p ∈ V , cada carta z : U −→ Ũ
tal que z(p) = 0 y en la que Ũ es un polidisco determina un isomorfismo
C{Z1 , . . . , Zn } −→ Gp (V )
que a cada serie formal F (Z1 , . . . , Zn ) le asigna el germen de la función holo-
morfa Fp (q) = F (z(q)), definida en un entorno de p.
(p−1 k k
0 ◦ f ◦ q)(w) = q(f (x)) = F (p(x)) = (p(x)h(p(x))) = w .
Notemos que si f tiene imagen en C se cumple que e(f, a) = o(f − f (a), a).
Es fácil ver que el conjunto de puntos z ∈ S tales que e(f, z) > 1 es cerrado y
discreto en S (porque la función z k tiene orden 1 en todos los puntos no nulos).
Ahora podemos generalizar a variedades el concepto de orden de una función
holomorfa en una singularidad aislada:
Sea V una variedad analítica de dimensión 1, sea p ∈ V y sea z : U −→ Ũ
una carta alrededor de p. Para cada función f holomorfa en un entorno reducido
de p, definimos su orden en p como o(f, p) = o(z −1 ◦ f, z(p)).
A.2. Funciones holomorfas en variedades 311
que todo conjunto de diámetro menor que está contenido en un abierto del cubrimiento,
así como que todo triángulo puede subdividirse en triángulos de diámetro arbitrariamente
pequeño. Las subdivisiones se hacen uniendo los vértices con un punto interior, de modo que
se conservan las aristas exteriores.
A.4. Toros complejos 317
donde en la última suma a recorre los puntos de V tales que f (a) es un punto
crítico o, equivalentemente, los puntos con e(f, a) > 1 (pues sus imágenes son
puntos críticos y los sumandos con e(f, a) = 1 son nulos). La característica de
Euler de la superficie X resulta ser
2 − 2g = V 0 − A0 + C 0 = nV + (1 − e(f, a)) − nA + nC
P
a
0 P
= (2 − 2g )n + (1 − e(f, a)).
a
En particular, si aplicamos el teorema anterior a una aplicación holomorfa
no constante f : X −→ C∞ , obtenemos la fórmula
P
2 − 2g = 2o(f ) + (1 − e(f, a)),
a
3. La proyección p : V −→ V /R es un cubrimiento.
4. V /R es un espacio de Hausdorff.
p−1 [p[U ]] =
S
(r + U ),
r∈R
{(v1 , v2 ) ∈ V × V | v1 − v2 ∈ R},
f¯
V /R / (R/Z)r × Rn−r
O O
p p
V / Rn
f
En efecto, a través del diagrama anterior basta probarlo para los espacios de
la derecha, de modo que v ∈ Rn y basta tomar
W = v1 − 12 , v1 + 12 × · · · × vr − 12 , vr + 12 × Rn−r .
V
p
/ V /R
g
h
!
V0
V /R × V /R
+
/ V /R
O O
p×p p
V ×V /V
+
V / Rn
f
pR pS
C/R / C/S
φ
Teorema A.34 Dos toros complejos son biholomorfos si y sólo si son analíti-
camente isomorfos.
φ : C ⊗R C ∞ (U ) −→ C ∞ (U, C)
Tp (V, C) ∼
= C ⊗R Tp (V ),
C ∞ (V, C)
d / Tp (V, C)∗
O O
C ⊗R C ∞ (V ) / C ⊗R Tp (V )
1⊗d
df |p
Tp (V, C) / Tf (p) (W, C)
O O
C ⊗R Tp (V ) / C ⊗R Tf (p) (W )
1⊗df |p
∂f
=0 para k = 1, . . . , n
∂ z̄k p
A.5. El espacio tangente holomorfo 329
y en tal caso
∂f ∂(z −1 ◦ f )
= .
∂zk p ∂zk z(p)
∂(z −1 ◦ Im f ) ∂(z −1 ◦ Re f )
=− ,
∂xk z(p) ∂yk z(p)
lo cual a su vez, por la definición [GD 2.4] de derivada parcial en una variedad,
equivale a que
∂ Re f ∂ Im f ∂ Im f ∂ Re f
= , =− .
∂xk p ∂yk p ∂xk p ∂yk p
∂ Re f ∂ Im f ∂(z −1 ◦ f )
= +i = .
∂xk p ∂xk p ∂zk p
En particular, en un abierto no vacío U ⊂ Cn tomando como carta la iden-
tidad, tenemos definidas las derivaciones ∂zk |p , ∂z̄k |p , de modo que, sobre fun-
ciones holomorfas, las primeras son las derivadas parciales usuales.
Definición A.37 Si V es una variedad analítica, una función f : V −→ C es
antiholomorfa en un punto p ∈ V si su conjugada compleja f¯ es holomorfa.
En virtud del teorema anterior, fijada una carta analítica alrededor de p,
las funciones antiholomorfas en p son las que cumplen ∂zk f |p = ∂z̄k f¯ = 0, para
k = 1, . . . , n.
Las funciones coordenadas z1 , . . . , zn son holomorfas, mientras que sus con-
jugadas z̄1 , . . . , z̄n son antiholomorfas.
330 Apéndice A. Variedades analíticas
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + , =i +i ,
∂xk p ∂zk p ∂ z̄k p ∂yk p ∂zk p ∂ z̄k p
luego las proyecciones de las extensiones son ∂zk |p , i∂zk |p , que forman una base
de Tph (V ) como R-espacio vectorial. Por lo tanto, la composición es un isomor-
fismo.
A partir de aquí identificaremos Tp (V ) con Tph (V ). Conviene recordar que,
tal y como acabamos de ver, las derivaciones ∂xk |p , ∂yk |p se corresponden a
través de esta identificación con ∂zk |p , i∂zk |p .
En particular, si V es un abierto en Cn , la identificación canónica del espacio
tangente real Tp (V ) con R2n puede verse ahora como una identificación del
espacio tangente holomorfo con Cn .
Explícitamente, si z es la carta identidad, cada v ∈ Tp (V ) se identifica con
∂f ∂f
(z1 − p1 ) + · · · + (zn − pn ) = 0.
∂z1 p ∂zn p
336 Apéndice A. Variedades analíticas
∂z l
di|p (∂zk |p )(z l ) = = δkl ,
∂zk p
∂f ∂f ∂z n
+ = 0,
∂zk p ∂zn p ∂zk p
∂f ∂f
z1 + · · · + zn = 0.
∂z1 p ∂zn p
que equivale a
n n
X ∂F X ∂F
zk − ak = 0,
∂zk (1,a1 /a0 ,...,an /a0 ) ∂zk (1,a1 /a0 ,...,an /a0 )
k=1 k=1
pero también hemos visto en la prueba que el último término del miembro iz-
quierdo es ∂z0 F |(1,a1 /a0 ,...,an /a0 ) a0 , luego, llamando z0 = 1, la ecuación equivale
a
n
X ∂F
zk = 0.
∂zk (1,a1 /a0 ,...,an /a0 )
k=0
Curvas elípticas En 5.30 definimos las curvas elípticas (complejas) como los
conjuntos V de soluciones en el plano proyectivo P2 (C) de ecuaciones de la
forma
F (x, y, z) = 4x3 − g2 xz 2 − g3 z 3 − zy 2 = 0,
donde g2 , g3 ∈ C satisfacen que ∆ = g23 − 27g32 6= 0. Allí hemos observado que,
tomando como recta infinita la recta z = 0, una curva elíptica tiene únicamente
un punto infinito, que es necesariamente [0, 1, 0], y que la parte finita de la curva
se identifica con la curva afín V0 de ecuación
y 2 = 4x3 − g2 x − g3 .
La condición ∆ 6= 0 equivale a que el polinomio f (x) = 4x3 − g2 x − g3 tiene
tres raíces simples e1 , e2 , e3 . A continuación demostramos dos resultados que
hemos afirmado allí:
Teorema A.54 Las curvas elípticas son subvariedades analíticas de P2 (C) de
dimensión 1.
Demostración: En lugar de aplicar el teorema A.53, es más práctico apli-
car A.52 a la parte afín V0 , pues si la derivada respecto de y de la ecuación se
anula en un punto, es que y = 0, pero entonces x es una de las raíces ei del poli-
nomio f (x), luego f 0 (ei ) no se anula, porque son raíces simples, y ésta es también
la derivada de la ecuación en (ei , 0). Falta entonces estudiar el punto infinito
p, para el cual sí que conviene usar A.53: como la ecuación homogénea cumple
∂z F |p = 1, ésta no se anula en un entorno de p, y podemos concluir que V es
analítica en dicho entorno, luego, teniendo en cuenta el caso precedente, lo es
en un entorno de todos sus puntos, luego es una subvariedad analítica de P2 (C).
A.6. Subvariedades analíticas 341
Funciones harmónicas
Las funciones harmónicas, que estudiamos con detalle en la sección [An 8.5]
están muy relacionadas con las funciones holomorfas. En este apéndice ob-
tendremos algunos resultados adicionales sobre ellas que nos permitirán, en la
última sección, demostrar un resultado nada trivial sobre existencia de funciones
meromorfas en superficies de Riemann.
∂2f ∂2f
∆f = + ··· + = 0.
∂x1 ∂xn
343
344 Apéndice B. Funciones harmónicas
El teorema [An 8.23] prueba que una función continua que cumpla este teo-
rema del valor medio es necesariamente harmónica, lo que en particular implica
que es de clase C 2 , pero, de hecho, las funciones harmónicas son funciones de
clase C ∞ [An 8.22]. Más aún, enseguida demostraremos que las funciones har-
mónicas son analíticas.
Para probarlo recordemos antes que el valor de una función harmónica en
una bola abierta puede reconstruirse a partir de los valores que toma en la
esfera que la limita. Para ello se define el núcleo de Poisson para esferas como
la función
kyk2 − kxk2
P (x, y) = ,
kx − ykn
y se demuestra [An 8.21] la generalización siguiente del teorema del valor medio
de Gauss:
Es esta fórmula la que permite probar que las funciones harmónicas son de
clase C ∞ , y ahora vamos a usarla para demostrar que son analíticas.
(zi − yi )2 − 1 < 1.
P
j
En efecto, fijado y ∗ ∈ ∂B1 (0), por la continuidad de la función que hay dentro
del valor absoluto, existe un δy∗ > 0 tal que todo par (z, y) ∈ Bδy∗ (0)×Bδy∗ (y ∗ )
cumple la desigualdad. Las bolas Bδy∗ (y0 ) cubren ∂B1 (0), luego tomando un
subcubrimiento finito y haciendo δ igual al mínimo de los δy∗ correspondientes
a las bolas del subcubrimiento, se cumple lo requerido.
B.1. Propiedades básicas 345
P (z, y) = cα (y)z α ,
P
α
y una ligera modificación de la prueba del teorema 2.11 muestra que la serie
converge absoluta y uniformemente en cada conjunto de la forma K × ∂B1 (0),
con K ⊂ Bδ (0) compacto. Además, las funciones cα (y) = Dα P (0, y)/α! son
continuas en ∂B1 (0). En particular, todo esto vale si restringimos z a la bola
Bδ (0) ⊂ Rn . Notemos que entonces las funciones cα (x) toman valores reales,
pues se calculan a partir de las derivadas parciales (en sentido real) de
1 − kxk2 1 − kxk2
P (x, y) = p = .
( kx − yk2 )n kx − ykn
Por lo tanto,
Z
1
f (x) = P (x, y) f (y) dσ(y) =
σ(∂B1 (0)) kyk=1
Z
1 X
cα (y)xα f (y) dσ(y) =
σ(∂B1 (0)) kyk=1 α
Z
X 1
cα (y) f (y) dσ(y) xα ,
α
σ(∂B1 (0)) kyk=1
Para cada x ∈ Ω tomamos una bola K = B̄r (x) ⊂ Ω y vamos a probar que
{fm |K }∞
m=0 tiene una subsucesión uniformemente convergente. Por el teorema
de Ascoli-Arzelà [An 3.61] basta probar que la sucesión es equicontinua.
Dados dos puntos u, v ∈ B̄r (x), aplicando el teorema del valor medio a la
función fm ((1 − t)u + tv) obtenemos un punto w ∈ B̄r (x) tal que
Vamos a probar que ambos son abiertos, con lo que uno de ellos coincidirá
con Ω. Sea a ∈ Ω y tomemos R > 0 tal que la bola cerrada B̄R (a) ⊂ Ω. Si
kx − ak = r < R, tenemos que
R2 − r 2
Z
1
fm (x) = fm (y) dσ(y).
σ(∂BR (a)) ky−ak=R kx − ykn
Claramente R − r ≤ kx − yk ≤ R + r, luego
R−r R2 − r 2 R2 − r 2 R2 − r 2 R+r
n−1
= n
≤ n
≤ n
= .
(R + r) (R + r) kx − yk (R − r) (R − r)n−1
Por lo tanto,
R−r
Z
fm (y) dσ(y) ≤ fm (x)
σ(∂BR (a))(R + r)n−1 ky−ak=R
Z
R+r
≤ fm (y) dσ(y),
σ(∂BR (a))(R + r)n−1 ky−ak=R
es decreciente), y así todo x ∈ Br0 (a) cumple Cfm (a) ≤ fm (x), de donde se sigue
que {fm }∞m=0 converge uniformemente a +∞ en Br 0 (a). Como cada compacto
K ⊂ Ω puede cubrirse con un número finito de discos Br0 (a), concluimos que lo
mismo vale para K, luego la sucesión converge casi uniformemente a +∞.
En el caso Ω = B consideramos
R+r R + r0
≤ =C
(R − r)n−1 (R − r0 )n−1
y deducimos fm (x) ≤ Cfm (a), por lo que {fm }∞ m=0 está acotada en Br 0 (a).
Como todo compacto K ⊂ Ω puede cubrirse por un número finito de discos de
este tipo, resulta que la sucesión está uniformemente acotada en K, luego por el
teorema anterior tiene una subsucesión que converge casi uniformemente a una
función f ∈ H(Ω), pero la monotonía de {fm }∞ m=0 implica que toda la sucesión
converge.
350 Apéndice B. Funciones harmónicas
f 00 (x) ≤ 0, pues si f 00 (x) > 0 tendríamos que f 0 sería positiva a la derecha de x, con lo que f
sería creciente a la derecha de x y f (x) no podría ser un máximo.
2 Como en el caso de las funciones harmónicas, si n = 1 hay que reinterpretar el valor medio
como la media aritmética de los valores que toma f en los extremos del intervalo al que se
reduce la esfera. En la práctica continuaremos con el hábito de suponer tácitamente que n ≥ 2
en las demostraciones, pues es el único caso que nos va a interesar.
352 Apéndice B. Funciones harmónicas
Veamos el recíproco. Sea x0 ∈ Ω y sea R > 0 tal que B̄R (x0 ) ⊂ Ω. Sea h
la función continua en la bola y harmónica en su interior que coincide con f en
la frontera. Hemos de probar que f ≤ h. Sea g = f − h y m su supremo en la
bola cerrada. Hemos de ver que es menor o igual que 0. Supongamos, por el
contrario, que m > 0.
Como g es nula en la frontera de la bola, el conjunto
Así, el principio del módulo máximo para funciones holomorfas puede verse
ahora como un caso particular del teorema siguiente sobre funciones subharmó-
nicas:
Teorema B.13 (Principio del máximo) Sea f una función subharmónica
no constante en un abierto conexo Ω ⊂ Rn . Entonces
1. Para todo x0 ∈ Ω se cumple f (x0 ) < sup f (x).
x∈Ω
luego f ≤ h en Ω.
Las funciones subharmónicas son necesariamente diferenciables ni cumplen
un principio de prolongación analítica. Como contrapartida, esto las hace más
“flexibles”, en el sentido de que hay más manipulaciones que conservan el carácter
subharmónico, como muestran los dos teoremas siguientes:
Definimos f : Ω −→ R mediante
Z Z
f (y) = f (x)ρ (y − x) dx1 · · · dxn = f (x)ρ (y − x) dx1 · · · dxn .
Ω B̄ (y)
1. f es de clase C ∞ .
2. f es subharmónica en Ω .
4. Si K ⊂ Ω es compacto, para todo η > 0 existe un δ > 0 tal que si 0 < < δ
entonces K ⊂ Ω y kf |K − f |K kK < η.
S n−1 −→ Rn \ {0} dado por (r, x) 7→ rx. La relación entre los elementos de
medida es dm = rn−1 dr ∧ dσ, luego:
Z
f (y) = f (y − x)ρ (x) dx1 · · · dxn
B (0)
Z Z
= rn−1 f (y − rz)ρ (rz) dσ dr
0 kzk=1
Z Z
= rn−1 ρ (r) f (y − rz) dσ dr
0 kzk=1
Z 1 Z
n−1 n
= r ρ (r) f (y − rz) dσ dr
0 kzk=1
Z 1 Z
1
= ρ(r) f (z) dσ dr
0 n−1 kz−yk=r
Z 1 Z
1
= σ(∂B1 (0)) ρ(r)rn−1 f (z) dσ dr
0 σ(∂Br (y)) kz−yk=r
Z 1
= σ(∂B1 (0)) ρ(r)rn−1 M (f, y, r) dr.
0
Z 1 Z 1
n−1
≤ σ(∂B1 (0)) ρ(r)r |M (f, y, r) − f (y)| dr ≤ η σ(∂B1 (0)) ρ(r)rn−1 dr
0 0
Z 1 Z Z
=η ρ(rz)rn−1 dσ dr = η ρ(x) dx1 · · · dxn = η.
0 kzk=1 kxk≤1
∆(f ◦ g) = (f ◦ ∆g)|f 0 |2 .
Aplicando la última parte del teorema anterior a K = f [∂Br (z)] obtenemos que
el miembro derecho converge a la expresión análoga con g en lugar de g cuando
tiende a 0, luego concluimos que
Z
1
g(f (z)) ≤ g (f (z)) ≤ g(f (w)) dσ,
σ(∂Br (z)) kw−zk=r
log kxk
u(x) ≤ ,
log
para 0 < ≤ kxk < 1. Si fijamos x y hacemos tender a 0 queda u(x) ≤ 0 para
todo x ∈ B1 (0) \ {0} y toda u ∈ P (f, Ω). Por consiguiente Pf = 0 y no converge
a f en 0. No existe ninguna función harmónica en Ω continua en B1 (0) que
tome el valor 0 para kxk = 1 y el valor 1 en x = 0.
Veamos una condición necesaria para que las funciones continuas en la
frontera de un abierto acotado Ω se extiendan a funciones harmónicas en Ω.
Cuando Ω tiene esta propiedad se dice que es una región de Dirichlet. Dado un
punto a ∈ ∂Ω, podemos considerar la función
kx − ak
f (x) = .
1 + kx − ak
para todo x ∈ Ω.
La primera desigualdad se cumple porque f (a) − + Kw ∈ P (f, Ω). Para
probar la segunda tomamos u ∈ P (f, Ω), con lo que u|∂Ω ≤ f , luego
para todo x ∈ Ω, luego u ≤ f (a) + − Kw y, como esto vale para toda función
u ∈ P (f, Ω), vale también para Pf . Así pues:
para todo x ∈ Ω y, como vale para todo > 0, de hecho tenemos la desigualdad
|Pf (x) − f (a)| ≤ −Kw(x). Por último, como w es continua y w(a) = 0, esto
implica que existe
lím Pf (x) = f (a).
x→a
362 Apéndice B. Funciones harmónicas
• ∇kxkk = kkxkk−2 x.
• ∆(kxkk ) = k(k + n − 2)kxkk−2 (donde n es la dimensión del espacio).
• Si p ∈ R[X1 , . . . , Xm ] es una forma de grado m, entonces x · ∇p = mp.
En efecto, para todo λ ∈ R se cumple que p(λx) = λm p(x), y al derivar
respecto de λ queda ∇p(λx)x = mλm−1 p(x). Basta hacer λ = 1.
• Si p ∈ R[X1 , . . . , Xm ] es una forma de grado m, entonces
∆(kxkk p) = kxkk ∆p + k(2m + k + n − 2)kxkk−2 p.
(Se obtiene fácilmente aplicando los resultados precedentes.)
• Si p ∈ R[X1 , . . . , Xm ] es una forma de grado m, entonces
∆(kxk2−n−2m p) = kxk2−n−2m ∆p.
Si n = 2 esto se reduce a que lím f (x) = L, mientras que si n > 2 tenemos que
x→∞
límx→0 f (x/kxk) = 0 y por consiguiente lím f (x) = 0. Vamos a probar que
x→∞
estas condiciones necesarias son, de hecho, suficientes:
Teorema B.26 Sea n ≥ 3, sea Ω ⊂ Rn∞ un abierto tal que ∞ ∈ Ω y sea
f : Ω −→ R una función harmónica en Ω \ {∞}. Entonces f es harmónica
en ∞ si y sólo si existe lím f (x) = 0.
x→∞
El teorema [An 8.27] nos da que K[f ] se extiende a una función harmónica en 0,
luego f es harmónica en ∞.
El caso n = 2 tiene que ser tratado aparte:
Teorema B.27 Sea Ω ⊂ Rn∞ un abierto tal que ∞ ∈ Ω y sea f : Ω −→ R
una función harmónica en Ω \ {∞}. Entonces las afirmaciones siguientes son
equivalentes:
1. f es harmónica en ∞.
2. Existe lím f (x) ∈ R.
x→∞
f (x)
3. lím = 0.
x→∞ log kxk
4. Existe R > 0 tal que f está acotada en {x ∈ Rn | kxk ≥ r}.
Demostración: Ya hemos visto que 1) ⇒ 2) y claramente 2) ⇒ 3). Si se
cumple 3), tenemos que
K[f ](x) f (x/kxk2 ) f (x)
lím = lím = lím − = 0,
x→0 log kxk x→0 log kxk x→∞ log kxk
luego el teorema [An 8.27] implica que K[f ] se extiende a una función harmónica
en 0, luego se cumple 1). También es obvio que 2) ⇒ 4) ⇒ 3).
A su vez esto nos permite resolver el problema de Dirichlet para el comple-
mentario de una bola. Por simplicidad nos restringimos a la bola unitaria, pero
es fácil pasar de aquí al caso general:
B.4. La transformada de Kelvin 365
Teorema B.28 Sea B ∗ = Rn∞ \ B̄1 (0) y sea f : ∂B1 (0) −→ R una función
continua. Entonces existe una única función continua uf : B̄ ∗ −→ R, harmónica
en B ∗ que extiende a f .
Notemos que la unicidad del teorema anterior requiere que la función sea
harmónica en ∞, pues si a una solución del problema de Dirichlet le sumamos
kxk2−n (para n > 2) o bien log kxk (para n = 2) obtenemos otra solución
distinta harmónica en B ∗ \ ∞, pero no en ∞.
Podemos encontrar una expresión integral explícita para la solución del pro-
blema de Dirichlet en el exterior de una bola. Nos apoyamos en la igualdad:
y x
− kykx = − kxky ,
kyk kxk
que se prueba sin más que elevar al cuadrado y desarrollar los productos esca-
lares. En particular, si kyk = 1 se reduce a
x
kx − yk = − kxky .
kxk
1 − kx/kxk2 k2
Z
2−n 1
u = K[v] = kxk f (y) dσ
σ(∂B1 (0)) kyk=1 kx/kxk2 − ykn
1 − 1/kxk2
Z
1
= kxk2−n f (y) dσ
σ(∂B1 (0)) kyk=1 kx/kxk − kxky kn /kxkn
kxk2 − 1
Z
1
= f (y) dσ
σ(∂B1 (0)) kyk=1 kx/kxk − kxky kn
kxk2 − 1
Z
1
= f (y) dσ
σ(∂B1 (0)) kyk=1 kx − ykn
Z
1
= Pe (x, y)f (y) dσ,
σ(∂B1 (0)) kyk=1
kxk2 − kyk2
Pe (x, y) = = −P (x, y).
kx − ykn
366 Apéndice B. Funciones harmónicas
P = {u : X −→ R | u es subharmónica y u ≤ w}
Pφ = {φ−1 ◦ u | u ∈ P}
es una familia de Perron en φ[U ], así como que su envolvente superior Mφ verifica
M = φ◦Mφ . Por lo tanto, M |U es constante igual a +∞ o bien harmónica. Esto
prueba que el conjunto de puntos donde M toma el valor +∞ y el conjunto de
puntos donde M es harmónica (en un entorno) son dos abiertos disjuntos cuya
unión es X. Por conexión uno de ellos ha de ser igual a X.
Supongamos, pues, que X ⊂ C es un abierto conexo. El argumento que
vamos a dar es una ligera generalización del usado en B.20. Tomemos un punto
a ∈ X y sea D(a, r) un disco cuya clausura esté contenida en X. Claramente,
existe una sucesión {un } de funciones en P tales que M (a) = lím un (a) (tanto
n
si M (a) es finito como infinito). Sustituyendo un por el máximo de las funciones
anteriores podemos suponer que la sucesión {un } es monótona creciente. Sea vn
la modificación de Poisson de un en el disco D(a, r). Las funciones vn también
están en P, luego un ≤ vn ≤ M . En particular lím vn (a) = M (a). Además la
n
sucesión {vn } es también creciente, pues trivialmente lo es fuera de D(a, r) y,
si n < m, tenemos que vm − vn |∂D(a,r) = um − un |∂D(a,r) ≥ 0, y el mínimo
de vm − vn en D(a, r) tiene que alcanzarse en la frontera (pues la función es
harmónica en un entorno del disco cerrado), tiene que ser vm − vn |D(a,r) ≥ 0.
Por el teorema de Harnack B.8 tenemos que {vn } converge casi uniforme-
mente en el disco a una función v ≤ M que o bien es harmónica o bien es
constantemente igual a +∞. Basta probar que v = M en todo D(a, r), pues
entonces tendremos que el conjunto de puntos donde M es finita es abierto, al
igual que el conjunto de puntos donde es +∞. Por conexión uno de los dos
será vacío y si M es finita tenemos también que es harmónica. Ciertamente, si
v = +∞, tenemos v = M , luego podemos suponer que v es finita.
Ahora bien, si z ∈ D(a, r) podemos construir como antes una sucesión cre-
ciente {wn } de funciones de P harmónicas en D(a, r) con lím wn (z) = M (z).
n
B.5. Funciones harmónicas en superficies de Riemann 369
En efecto, sean
A = ínf{u(x) | x ∈ Ωr }, B = sup{u(x) | x ∈ Ωr }.
de donde
sup |um (x) − un (x)| x ∈ Ωr ≤ sup |um (x) − un (x)| x ∈ ∂D(a, r) ,
donde α(r) y β(r) son números reales elegidos de manera que el mínimo y el
máximo de Vr en D(a, 1) sean 0 y 1 respectivamente. La propiedad A) implica
que 0 ≤ Vr ≤ 1 en Ω1 .
Sea vr la restricción de Vr al anillo A(a, 1, 2). Estas funciones forman un
conjunto acotado en el espacio de funciones harmónicas en dicho anillo, luego
el teorema de Montel B.7 implica que es relativamente compacto (es claro que
la versión del teorema para funciones en A(0, 1, 2) ⊂ C implica su validez en
A(a, 1, 2) ⊂ X).
Por consiguiente, la sucesión {v1/n }n tiene una subsucesión convergente, es
decir, existe una sucesión {rn }n decreciente y convergente a 0 tal que la sucesión
{vrn }n converge uniformemente en los compactos de A(a, 1, 2) a una función
harmónica.
En particular la sucesión {Vrn }n converge uniformemente en cada circun-
ferencia D(a, s), para 1 < s < 2, luego la propiedad C) implica que converge
casi uniformemente en Ω1 a una función harmónica V0 : Ω1 −→ R. Obviamente
0 ≤ V0 ≤ 1. Hemos de probar que V0 puede extenderse hasta X \ {a}.
Por el teorema 3.31 se cumple
para r < |z| < 2 (o bien 1 < |z| < 2 si r = 0), donde c(r) ∈ R y la función
+∞
ak (r)z k es holomorfa en A(0, r, 2) (o bien A(0, 1, 2) si r = 0).
P
fr (z) =
k=−∞
Podemos suponer que a0 (r) ∈ R.
374 Apéndice B. Funciones harmónicas
Z 2π Z 2π
1 1
ak (r)sk + a−k (r)s−k = fr (seiθ )e−ikθ dθ + fr (seiθ )e−ikθ dθ
2π 0 2π 0
1 2π
Z
= Re(fr (seiθ ))e−ikθ dθ
π 0
1 2π c(r) log |s| 2π −ikθ
Z Z
iθ −ikθ
= Vr (ψ(se ))e dθ − e dθ
π 0 π 0
Z 2π
1
= Vr (ψ(seiθ ))e−ikθ dθ.
π 0
Así pues,
Z 2π
1
a0 (r) + c(r) log |s| = Vr (ψ(seiθ )) dθ,
2π 0
1 2π
Z
ak (r)sk + a−k (r)s−k = Vr (ψ(seiθ ))e−ikθ dθ, k ≥ 1. (B.1)
π 0
Si fijamos dos valores de s entre 1 y 2, cada una de las ecuaciones anteriores
se convierte en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (a0 (r) y c(r)
en el primer caso, ak (r) y a−k (r) en el segundo.) Despejándolas nos quedan
las incógnitas en función de las integrales. Lo aplicamos a rn y hacemos ten-
der n a infinito. Los integrandos Vrn (ψ(seiθ ))e−ikθ convergen puntualmente a
V0 (ψ(seiθ ))e−ikθ , y están acotados por 1, luego podemos aplicar el teorema de
la convergencia dominada y concluir que
Ahora probaremos que los coeficientes ak (0) son nulos para k < −1 esti-
mando los ak (rn ). En primer lugar, la ecuación (B.1), que en principio está
probada para 0 < r < s < 2, también es válida si s = r. Puesto que los
integrandos están acotados por 1, basta aplicar el teorema de la convergencia
dominada. Por lo tanto:
1 2π
Z
−k
k
ak (r)r + a−k (r)r = Vr (ψ(reiθ ))e−ikθ dθ
π 0
1 2π
Z
α(r)Ur (ψr (reiθ )) + β(r) e−ikθ dθ
=
π 0
B.5. Funciones harmónicas en superficies de Riemann 375
Z 2π Z 2π
α(r) 1 −ikθ β(r)
= Re e dθ + e−ikθ dθ
π 0 reiθ π 0
Z 2π
α(r)
= e−ikθ cos θ dθ.
rπ 0
Notemos que antes de sumar la primera serie hemos acotado (r2 /s) < r.
376 Apéndice B. Funciones harmónicas
4 sm+1
< , para todo r < s.
1−r 1−s 4
Fijando n0 ∈ N tal que si n ≥ n0
m
1 X 2rn2
|c(rn ) − c(0)| log < , |ak (r) − ak (0)| sk < , < ,
s 4 4 (1 − rn )2 4
k=−1
garantizamos que si n ≥ n0 entonces |Vrn (x) − u(x)| < para todo x ∈ D(a, s).
Ahora la propiedad C) implica que Vrn converge uniformemente a u en Ωs ,
y en particular en Ω1 . Puesto que las funciones Vrn toman los valores 0 y 1 en
D(a, 1), es claro que el límite u no es constante en D(a, 1).
Por último, veamos que a−1 (0) 6= 0. En caso contrario la función u tendría
límite en a (finito o infinito). Supongamos que el límite es L 6= ∞. Dado > 0
existe un δ > 0 tal que u[D(a, δ)] ⊂ ]L − , L + [. Por la propiedad A) tenemos
que u[Ω1 ] ⊂ u[Ωδ ] ⊂ ]L − , L + [, pero esto implica que u es constante en Ω1 ,
en contradicción con lo que hemos probado. Si L = ∞ el razonamiento es
similar.
El teorema B.29, cuya prueba tenemos pendiente, afirma la existencia de
funciones meromorfas, y lo que acabamos de probar es un resultado de existencia
de funciones harmónicas. Según 3.28, una función harmónica en un abierto
de C determina una función holomorfa, la que hemos llamado su derivada.
Sobre superficies de Riemann, las funciones harmónicas no determinan funciones
holomorfas, sino formas diferenciales holomorfas. En efecto:
∂(w−1 ◦ f ) ∂((w−1 ◦ z) ◦ (z −1 ◦ f ))
dw|p = dw|p
∂w w(p) ∂w w(p)
3 Por definición, una forma diferencial (C-lineal) ω en X es una aplicación que a cada p ∈ X
le asigna ωp ∈ Tp∗ (X). Es claro que, si U ⊂ X es el dominio de una carta z, existe una función
a : U −→ C tal que ω|U = a dz. La forma ω es holomorfa si las funciones coordenadas a
son holomorfas, para toda carta z. Diremos que ω es una forma diferencial meromorfa en X
si está definida salvo a lo sumo en un conjunto de puntos aislados y, si z es una carta de X
alrededor de uno de estos puntos, la coordenada de ω respecto de z tiene un polo en a.
B.5. Funciones harmónicas en superficies de Riemann 377
∂(z −1 ◦ f )
= (w−1 ◦ z)0 (w(p)) dw|p
∂z z(p)
−1
∂(z ◦ f ) dz
= dw|p
∂z z(p) dw p
−1
∂(z ◦ f )
= dz|p .
∂z z(p)
fi (xi ) = 1, fi (xj ) = 0 si j 6= i.
cumple f (xi ) = ci , luego si los ci son distintos dos a dos, la función f cumple
lo pedido.
Terminamos con una aplicación interesante del teorema anterior:
mente regular se sumerge en un producto de tantas copias del intervalo [0, 1] como abiertos
tiene una cualquiera de sus bases. El producto de una cantidad numerable de intervalos es un
espacio metrizable.
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