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Coordenadas Cilíndricas
Coordenadas Cilíndricas
Coordenadas Cilíndricas
com/solver/double-integrals- hgv-tyyi-qxz
calculator/%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B4-
x%5E2%7D%20%5Cleft(4-x%5E%7B2%7D-y%5Cright)dydx?or=input
Coordenadas cilíndricas
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝒛 = 𝒛
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑧
𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧) |𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦
| 𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 0
= = |𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 0| = 𝑟(𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2 𝜃) = 𝒓
𝜕(𝑟, 𝜃, 𝑧)
| 𝜕𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑧 | 0 0 1
𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧
𝜕𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑧
𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)
| |=𝒓
𝜕(𝑟, 𝜃, 𝑧)
2𝜋
𝑫 = {(𝒙, 𝒚)/𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏, 𝟎 ≤ 𝒚 ≤ √𝟏 − 𝒙𝟐 }
2 2 2 2
1 √1−𝑥 2 1−𝑥 −𝑦 1 √1−𝑥 2 1−𝑥 −𝑦
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝒛 = 𝒛
𝜋/2 1 1−𝑟 2
𝐼 = ∫ ∫ ∫ 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑟 2 𝑟𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃
0 0 0
𝜋/2 𝜋/2
1
𝑟5 𝑟7 2 2
𝐼 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝜃 ( − )| 𝑑𝜃 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 =
5 7 0 35 35
0 0
𝑧 = 12 − 2𝑥 2 − 𝑦 2
Sol. 𝑥 2 + 2𝑦 2 = 12 − 2𝑥 2 − 𝑦 2 ⇒ 3𝑥 2 + 3𝑦 2 = 12 ⇒ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4
En coordenadas cilíndricas
𝜋/2 2 12−𝑟 2 −𝑟 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 𝜋/2 2
2 √4−𝑥 2
𝑉 = ∫−2 ∫−√4−𝑥 2 [12 − 2𝑥 2 − 𝑦 2 − (𝑥 2 + 2𝑦 2 )]𝑑𝑦𝑑𝑥
2 √4−𝑥 2
𝑉 = 4 ∫0 ∫0 [12 − 3𝑥 2 − 3𝑦 2 ]𝑑𝑦𝑑𝑥
2𝜋
del plano 𝑧 = 0 y abajo del cono 𝑧 2 = 4𝑥 2 + 4𝑦 2 ( 5 )
3 √9−𝑦 2 √25−𝑥 2 −𝑦 2
5. ∫0 ∫0 ∫4 𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦
1 √1−𝑥 2 5
6. ∫−1 ∫−√1−𝑥 2 ∫0 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 (5𝜋)
2 √4−𝑥 2 4
7. ∫0 ∫0 ∫𝑥 2 +𝑦2 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 (2𝜋)
8. ∭𝐸 𝑧 2 𝑠𝑒𝑛(𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑉 , 𝐸 = {(𝑥, 𝑦, 𝑥)/ 1 ≤ 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 4; 0 ≤ 𝑧 ≤ 1}
𝜋
𝑅𝑝𝑡𝑎. (𝑐𝑜𝑠 1 − 𝑐𝑜𝑠 4)
3
9. ∭𝐸 √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑉; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐸 es el sólido limitado por las superficies
𝜋
𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2 ; 𝑧 = 1 ( )
6
𝜋
10. ∭𝐸 (2𝑧𝑥 2 + 2𝑧𝑦 2 )𝑑𝑉 , 𝐸 = {(𝑥, 𝑦, 𝑥)/ 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1; 0 ≤ 𝑧 ≤ √𝑥 2 + 𝑦 2 } ( 3 )
E es el sólido que esta fuera del cono superior y dentro del cilindro
𝑉 = ∭ 𝑑𝑉
𝐸
1. 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 ; 𝑧 = 36 − 3𝑥 2 − 3𝑦 2 (162𝜋)
2. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2𝑥 corta a la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 4( interior a ambos)
32
𝑅𝑝𝑡. (3𝜋 + 8)
9
3
2𝜋
3. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4; 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 16; 𝑧 = 0 [ 3 (64 − 122 )]
81𝜋
4. 𝑧 = 10 − 𝑥 2 − 𝑦 2 ; 𝑧 = 1 ( )
2
625𝜋
5. 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 ; 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25; 𝑧 = 0 ( )
2
6. 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑧 2 ; 2𝑦 = 𝑥 2 + 𝑧 2 + 4
7. 𝑧 = 4; 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 (8𝜋)
81𝜋
8. 𝑧 = 0; 𝑧 = 9 − 𝑥 2 − 𝑦 2 ( )
2
10. 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 ; 𝑧 = 12 − 2𝑥 2 − 2𝑦 2 (24𝜋)
11. Arriba el paraboloide 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 ; 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑧 = 0; 𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1
𝜋
lateralmente ( 2 )