RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

QUÍNTICAS

POR EL MÉTODO DE ECUACIONES PARCIALES

Lic. Edgar C. Sánchez Smith

1
 ECUACIONES DE PIMER GRADO
1. DEFINICIÓN: Una ecuación lineal o de primer grado, es una ecuación que tiene la siguiente
forma general: 𝐸𝑐: 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, para 𝑎 ≠ 0.
Donde, “x” es la variable y “a”, “b” son los coeficientes o constantes. Además, “a” es el coeficiente
lineal y “b” es el termino independiente.
1.1. MÉTODO DE RESOLUCIÓN:
Para resolver las ecuaciones lineales o de primer grado, se procede a despejar la variable de la
𝑏
ecuación: 𝑥 = −
𝑎

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

2. DEFINICIÓN: Una ecuación cuadrática o de segundo grado, es una ecuación que tiene la
siguiente forma general: 𝐸𝑐: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0; para 𝑎 ≠ 0.
Donde, “x” es la variable y “a”, “b”, “c” son los coeficientes o constantes. Además, “a” es el
coeficiente cuadrático, “b” el coeficiente lineal y “c” es el termino independiente.
2.1. MÉTODO DE RESOLUCIÓN:
2.1.1. POR FORMULA CUADRÁTICA:
Sea la ecuación cuadrática o de segundo grado: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 , donde 𝑎 ≠ 0 y la
−𝑏±√𝑏−4𝑎𝑐
fórmula cuadrática general: 𝑥 = ; de donde el conjunto solución de la ecuación está
2
dado por:

−𝑏 + √𝑏 − 4𝑎𝑐
𝑐𝑠 = 2
−𝑏 − √𝑏 − 4𝑎𝑐
{ 2

ECUACIONES DE TERCER GRADO

3. DEFINICIÓN: Una ecuación cúbica o de tercer es una ecuación que tiene la siguiente forma
general: 𝐸𝑐: 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0, para 𝑎 ≠ 0
Donde, “x” es la variable y “a”, “b”, “c”, “d” son las constantes. Además, “a” es el coeficiente cúbico,
“b” es el coeficiente cuadrático, “c” el coeficiente lineal y “d” es el termino independiente
3.1. MÉTODO DE RESOLUCIÓN:
3.1.1. POR FORMULA CUBICA:
Sea la ecuación cúbica o de tercer grado: 𝑥 3 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 y la fórmula cúbica general:

3 2 3
𝑞 𝑞 𝑝
𝑥 = √− 2 ± √(2) + (3) ; de donde el conjunto solución de la ecuación está dado por:

2
 3
𝑞 𝑞 2 𝑝 3 3 𝑞 𝑞 2 𝑝 3
√− − √( ) + ( ) + √− − √( ) + ( )
2 2 3 2 2 3

3 3
𝑞 𝑞 2 𝑝 3 1 𝑞 𝑞 2 𝑝 3 1
√− − √( ) + ( ) (− + √3 𝑖) + √− − √( ) + ( ) (− − √3 𝑖)
𝑐𝑠 = 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2
( ) ( )

3 3
𝑞 𝑞 2 𝑝 3 1 𝑞 𝑞 2 𝑝 3 1
√− − √( ) + ( ) (− − √3 𝑖) + √− − √( ) + ( ) (− + √3 𝑖)
2 2 3 2 2 2 2 3 2 2
{( ) ( )

ECUACIONES DE CUARTO GRADO

4. DEFINICIÓN: Una ecuación cuártica o de cuarto grado es una ecuación que tiene la siguiente
forma general: 𝐸𝑐: 𝑎𝑥 4 + 𝑏𝑥 3 + 𝑐𝑥 2 + 𝑑𝑥 + 𝑒 = 0, para 𝑎 ≠ 0
Donde, “x” es la variable y “a”, “b”, “c”, “d”, “e” son las constantes. Además, “a” es el coeficiente
cuartico, “b” es el coeficiente cubica, “c” el coeficiente cuadrático y “d” es el coeficiente lineal y “e”
es el termino independiente.
4.1. MÉTODO DE RESOLUCIÓN:
Sea la ecuación cuártica o de cuarto grado, en su forma reducida: 𝑥 4 + 𝑝𝑥 2 + 𝑞𝑥 + 𝑟 = 0
Esta ecuación cuártica se puede resolver, teniendo en cuenta las siguientes condiciones:
4.1.1. POR FÓRMULA BICUADRADA:
Sea la ecuación cuártica o de cuarto grado: 𝑥 4 + 𝑝𝑥 2 + 𝑟 = 0; donde el valor de 𝑞 = 0 y la
fórmula bicuadrada:

−𝑝±√𝑝2 −4𝑟
𝑥 = ±√ ;
2

y el conjunto solución de la ecuación está dado por:

√−𝑝 + √𝑝2 − 4𝑟
+
2

−𝑝 − √𝑝2 − 4𝑟
+√
2
𝑥=
−𝑝 + √𝑝2 − 4𝑟
−√
2

−𝑝 − √𝑝2 − 4𝑟
−√
{ 2

3
4.1.2. POR FÓRMULA CUÁRTICA:
Sea la ecuación cuártica o de cuarto grado: 𝑥 4 + 𝑝𝑥 2 + 𝑞𝑥 + 𝑟 = 0; donde el valor de 𝑞 ≠ 0
√𝑤 𝑤 𝑝 𝑞
y la fórmula cuártica general: 𝑥 = ± ± √− 2 − 2 ∓ 2 ; de donde la ecuación cúbica
2 √𝑤
resolvente es:
𝑤 3 + 2𝑝𝑤 + (𝑝2 − 4𝑟) − 𝑞 2 = 0 y el conjunto solución de la ecuación está dado por:

√𝑤 𝑤 𝑝 𝑞
+ + √− − −
2 4 2 2√𝑤

√𝑤 𝑤 𝑝 𝑞
+ − √− − −
2 4 2 2√𝑤
𝑥=
√𝑤 𝑤 𝑝 𝑞
− + √− − +
2 4 2 2√𝑤

√𝑤 𝑤 𝑝 𝑞
− − √− − +
2 4 2 2√𝑤
{

ECUACIONES DE QUÍNTO GRADO

5. DEFINICIÓN: Una ecuación quíntica o de quinto grado es una ecuación que tiene la siguiente
forma general: 𝐸𝑐: 𝑎𝑥 5 + 𝑏𝑥 4 + 𝑐𝑥 3 + 𝑑𝑥 2 + 𝑒𝑥 + 𝑓 = 0, para 𝑎 ≠ 0
Donde, “x” es la variable y “a”, “b”, “c”, “d”, “e”, “f” son las constantes. Además, “a” es el coeficiente
quíntico, “b” es el coeficiente cuártico, “c” el coeficiente cúbico y “d” es el coeficiente cuadrático,
“e” es el coeficiente lineal y “f” es el termino independiente.

5.1. MÉTODO DE RESOLUCIÓN:

Para resolver las ecuaciones quínticas o de quinto grado con una variable, se tienen que expresar
como el producto de dos factores o ecuaciones parciales, una de segundo y otro de tercer grado.
Los cuales se pueden resolver aplicando la fórmula cuadrática y cubica, respectivamente:
5.1.1. ECUACIONES QUÍNTICAS (Forma reducida):
Sea la ecuación quíntica o de quinto grado: 𝑥 5 + 𝑝𝑥 3 + 𝑞𝑥 2 + 𝑟𝑥 + 𝑠 = 0 y sus ecuaciones
parciales:
𝑠
𝑥 3 + 𝛼𝑥 2 + (𝛼 2 − 𝜀 + 𝑝)𝑥 + = 0
{ 𝜀
2
𝑥 − 𝛼𝑥 + 𝜀 = 0
5.1.1.1. Primer caso: ∀𝒒 = 𝟎
𝑠 (𝜀 2 −𝑝𝜀+𝑟)
De donde la ecuación cuadrática resolvente es: 𝛼 2 − 𝜀2 𝛼 2 − =0
𝜀

4
Para valores que cumplen la siguiente condición: 𝜀 3 − 𝜀 2 + 𝑝𝜀 − (𝑟 + 𝑠) = 0 y el conjunto
solución de la ecuación está dado por:
𝛼 + √𝛼 2 − 4𝜀
2
𝛼 − √𝛼 2 − 4𝜀
2
3 3
−27𝑣 + √(27𝑣)2 − 4(3𝑢) √−27𝑣 − √(27𝑣)2 − 4(3𝑢)
−𝛼 + √ +
2 2
3
𝑥=
3 3
−27𝑣 + √(27𝑣)2 − 4(3𝑢) −1 + 𝑖√3 −27𝑣 − √(27𝑣)2 − 4(3𝑢) −1 − 𝑖√3
−𝛼 + ( √ )( ) + (√ )( )
2 2 2 2

3
3 3
−27𝑣 + √(27𝑣)2 − 4(3𝑢) −1 − 𝑖√3 −27𝑣 − √(27𝑣)2 − 4(3𝑢) −1 + 𝑖√3
−𝛼 + ( √ )( ) + (√ )( )
2 2 2 2

{ 3

Donde:
3(𝛼 2 − 𝜀 + 𝑝) − 𝛼 2
𝑈=
3
𝑠
2𝛼 2 − 9𝛼(𝛼 2 − 𝜀 + 𝑝) + 27 (𝜀 )
𝑉=
{ 27
5.1.1.1.1. EJEMPLOS:
Ejemplo 1: Determinar las raíces de la siguiente ecuación de 5to grado.

Sea la Ec: x 5 − 9x + 27 = 0
1ro determinamos el valor de: ε3 − ε2 − (−9 + 27) = 0 => ε = 3
0
2do determinamos el valor de: α2 − 3α = 0 => α = {
3
Reemplazando los valores en las ecuaciones parciales:

3 + √3𝑖
𝑥 2 − 3𝑥 + 3 = 0 => 𝑥 = 2
3 − √3𝑖
{ 2
𝑥 3 + 3𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = 0 => 𝑧 3 + 3𝑧 + 5 = 0

5
 5 2 5 2
3 3
√ 5 3 3 √ 5 3 3
√ √
−1 + − + ( ) + ( ) + − − ( ) + ( )
2 2 3 2 2 3

3 2 3 2
3 3
𝑥 = −1 + √− 5 + √(5) + (3) (−1 + 𝑖√3) + √− 5 − √(5) + (3) (−1 − 𝑖√3)
2 2 3 2 2 2 3 2

5 2 5 2
3 3
5 3 3 −1 − 𝑖√3 5 3 3 −1 + 𝑖√3
−1 + √− + √( ) + ( ) ( ) + √− − √( ) + ( ) ( )
2 2 3 2 2 2 3 2
{

Ejemplo 2: Determinar las raíces de la siguiente ecuación de 5to grado.

Sea la Ec: x 5 − 171x + 135 = 0

1ro determinamos el valor de: ε3 − ε2 − (−171 + 135) = 0 => ε = −3
−3
2do determinamos el valor de: α2 − 15α − 54 = 0 => α = {
+18
Reemplazando los valores en las ecuaciones parciales:

−3 + √21
𝑥 2 + 3𝑥 − 3 = 0 => 𝑥 = 2
−3 − √21
{ 2
𝑥 3 − 3𝑥 2 + 12𝑥 − 45 = 0 => 𝑧 3 + 9𝑧 − 35 = 0

35 2 35 2
3 3
√ 35 9 3 √35 9 3
1+ √
+ ( ) +( ) + √
− ( ) +( )
2 2 3 2 2 3

3 2 3 2
3 3
𝑥 = 1 + √35 + √(35) + (9) (−1 + 𝑖√3) + √35 − √(35) + (9) (−1 − 𝑖√3)
2 2 3 2 2 2 3 2

35 2 35 2
3 3
35 9 3 −1 − 𝑖√3 35 9 3 −1 + 𝑖√3
1 + √ + √( ) + ( ) ( ) + √ − √( ) + ( ) ( )
2 2 3 2 2 2 3 2
{

5.1.1.1.2. DEMOSTRACIÓN DEL MÉTODO DE RESOLUCIÓN

Sea la ecuación quíntica de la forma de Bring-Jerrard: 𝑧 5 + 𝑝𝑧 3 + 𝑟𝑧 + 𝑠 = 0
Factorizando la ecuación:
(𝑧 3 + 𝛼𝑧 2 + 𝛽𝑧 + 𝛾)( 𝑧 2 + 𝛿𝑧 + 𝜀)
Multiplicando miembro a miembro los términos de las ecuaciones parciales:

6
𝑧 5 + (𝛼 + 𝛿)𝑧 4 + (𝛽 + 𝛼𝛿 + 𝜀)𝑧 3 + (𝛾 + 𝛽𝛿 + 𝛼𝜀)𝑧 2 + (𝛾𝛿 + 𝛽𝜀)𝑧 + (𝛾𝜀) = 0
Comparando los términos de la ecuación quíntica obtenida con la ecuación quíntica de Bring-
Jerrard, se obtienen las siguientes ecuaciones auxiliares:
𝑖) 𝛼 + 𝛿 = 0 => 𝛼 = −𝛿
𝑖𝑖) 𝛽 − 𝛼𝛿 + 𝜀 = 𝑝 => 𝛽 = 𝛼 2 − 𝜀 + 𝑝
𝑖𝑖𝑖) 𝛾 + 𝛽𝛿 + 𝛼𝜀 = 0 => 𝛾 = 𝛼 3 − 2𝜀𝛼 + 𝑝𝛼
𝑖𝑣) 𝑟 = 𝛾𝛿 + 𝛽𝜀 => 𝑟 = (𝛼 2 − 𝜀 + 𝑝)𝜀 − (𝛼 3 − 2𝜀𝛼 + 𝑝𝛼)𝛼
𝑠
𝑣) 𝛾𝜀 = 𝑠 => 𝛾 =
𝜀
Reemplazando los valores de las ecuaciones auxiliares en las ecuaciones parciales:
𝑠
𝑧 3 + 𝛼𝑧 2 + (𝛼 2 − 𝜀 + 𝑝)𝑧 + = 0
{ 𝜀
2
𝑧 − 𝛼𝑧 + 𝜀 = 0
Operando de forma adecuada las ecuaciones auxiliares obtenemos la ecuación cuadrática
𝑠 (𝜀 2 −𝑝𝜀+𝑟)
resolvente: 𝛼 2 − 𝜀2 𝛼 − =0
𝜀

Operando de forma conveniente la ecuación cuadrática resolvente, aplicando la fórmula

𝑠±√𝑠2 −4𝜀 3 (𝜀 2 −𝑝𝜀+𝑟)
cuadrática general: 𝛼 = ,
2𝜀 2

Al aplicar de forma conveniente la propiedad de la discriminante de una ecuación cuadrática o de

segundo grado:
𝛥 = (𝑥1 − 𝑥2 )2 => 𝛥 = (𝑥1 + 𝑥2 )2 − 4𝑥1 𝑥2 ; se obtiene: 𝜀 3 − 𝜀 2 + 𝑝𝜀 − (𝑟 + 𝑠) = 0

5.1.1.1.3. EJERCICIOS PROPUESTOS:

1. x5 + x − 1 = 0
2. x 5 − 5x + 3 = 0
3. x 5 − 44x + 32 = 0
4. x 5 − 9x + 27 = 0
5. x 5 − 171x + 135 = 0
6. x 5 − 80x + 128 = 0
7. x 5 − 464x + 384 = 0
8. x 5 − 275x + 375 = 0
9. x 5 − 1025x + 875 = 0
10. x 5 − 684x + 864 = 0
11. x 5 − 1980x + 1728 = 0
12. x 5 − 1421x + 1715 = 0
13. x 5 − x 3 − 3x + 2 = 0
14. x5 − x3 + x − 2 = 0
15. x 5 − 3x 3 + 10x − 12 = 0
16. x 5 − 5x 3 − 14x + 12 = 0

7
 17. x 5 − x 3 − 3x + 18 = 0
18. x 5 − 3x 3 − 135x + 108 = 0
19. x 5 + 2x 3 + 8 = 0
5.1.1.1.4. CONJUNTO SOLUCIÓN
3 2
1. {𝑥 2 + 𝑥 − 1 = 0
𝑥 −𝑥+1= 0
3 2
2. { 2 − 𝑥 + 2𝑥 − 3 = 0
𝑥
𝑥 +𝑥−1=0
3 2
3. { 2 − 2𝑥 + 6𝑥 − 16 = 0
𝑥
𝑥 + 2𝑥 − 2 = 0
3 2
4. {𝑥 2 + 3𝑥 + 6𝑥 + 9 = 0
𝑥 − 3𝑥 + 3 = 0
3 2
5. { 2 − 3𝑥 + 12𝑥 − 45 = 0
𝑥
𝑥 + 3𝑥 − 3 = 0
3
6. { +
𝑥 4𝑥 2 + 12𝑥 + 32 = 0
𝑥 2 − 4𝑥 + 4 = 0
3 2
7. { 𝑥2 − 4𝑥 + 20𝑥 − 96 = 0
𝑥 + 4𝑥 − 4 = 0
3 2
8. {𝑥 2 + 5𝑥 + 20𝑥 + 75 = 0
𝑥 − 5𝑥 + 5 = 0
3 2
9. { 𝑥2 − 5𝑥 + 30𝑥 − 175 = 0
𝑥 + 5𝑥 − 5 = 0
3 2
10. {𝑥 2 + 6𝑥 + 30𝑥 + 144 = 0
𝑥 − 6𝑥 + 6 = 0
3 2
11. { 2 − 6𝑥 + 42𝑥 − 288 = 0
𝑥
𝑥 + 6𝑥 − 6 = 0
3 2
12. { 2 + 7𝑥 + 42𝑥 + 245 = 0
𝑥
𝑥 − 7𝑥 + 7 = 0
3 2
13. {x2 − x + x − 2 = 0
x +x+1=0
3 2
14. { x2 + x − x − 2 = 0
x −x+1=0
3 2
15. {x2 + 2x − x − 6 = 0
x − 2x + 2 = 0
3 2
16. {x2 − 2x + x + 6 = 0
x + 2x − 2 = 0
3 2
17. { x2 + 3x + 5x + 6 = 0
x − 3x + 3 = 0
3 2
18. { x2 − 3x + 9x − 36 = 0
x + 3x − 3 = 0
3 2
19. {x 2 + 2x + 4x + 8 = 0
x − 2x + 2 = 0

5.1.1.2. Segundo caso: ∀𝒒 ≠ 𝟎

De donde la ecuación cuártica resolvente es: 𝛼 4 + (𝑝 − 3𝜀)𝛼 2 + 𝑞𝛼 + (𝜀 2 − 𝑝𝜀 + 𝑟) = 0
𝑞2
Para valores que cumplen la siguiente condición: 𝜀 = 𝑝2 −4𝑟 y el conjunto solución de la
ecuación está dado por:

8
 𝛼 + √𝛼 2 − 4𝜀
2
𝛼 − √𝛼 2 − 4𝜀
2
3 3
−27𝑣 + √(27𝑣)2 − 4(3𝑢) √−27𝑣 − √(27𝑣)2 − 4(3𝑢)
−𝛼 + √ +
2 2
3
𝑥=
3 3
−27𝑣 + √(27𝑣)2 − 4(3𝑢) −1 + 𝑖√3 −27𝑣 − √(27𝑣)2 − 4(3𝑢) −1 − 𝑖√3
−𝛼 + ( √ )( ) + (√ )( )
2 2 2 2

3
3 3
−27𝑣 + √(27𝑣)2 − 4(3𝑢) −1 − 𝑖√3 −27𝑣 − √(27𝑣)2 − 4(3𝑢) −1 + 𝑖√3
−𝛼 + ( √ )( ) + (√ )( )
2 2 2 2

{ 3

Donde:
3(𝛼 2 − 𝜀 + 𝑝) − 𝛼 2
𝑈=
3
𝑠
2𝛼 − 9𝛼(𝛼 2 − 𝜀 + 𝑝) + 27 (𝜀 )
2
𝑉=
{ 27
5.1.1.2.1. EJEMPLOS:
Ejemplo 1: Determinar las raíces de la siguiente ecuación de 5to grado.

Sea la Ec: x 5 − 2x 3 + 8x 2 − 3x + 20 = 0
82 64
1ro determinamos el valor de: ε = (−2)2 −4(−3) => ε = 16 => ε = 4

√4 5(4) 2 8
2do determinamos el valor de: α = +√ + 2 − 2√4 => α = 1 + √4 => α = 3
2 4

Reemplazando los valores en las ecuaciones parciales:

3 + √7𝑖
𝑥 2 − 3𝑥 + 4 = 0 => 𝑥 = 2
3 − √7𝑖
{ 2
3
−1 + √−4
3 −1 + √3𝑖
3 2
−1 + √−4 ( )
𝑥 + 3𝑥 + 3𝑥 + 5 = 0 => 𝑥 = 2
3 −1 − √3𝑖
−1 + √−4 ( )
{ 2

Ejemplo 2: Determinar las raíces de la siguiente ecuación de 5to grado.

Sea la Ec: x 5 + 10x 3 + 24x 2 + 9x + 243 = 0

9
 242 9𝑥64
1ro determinamos el valor de: ε = (10)2 => ε = => ε = 9
−4(9) 64

2do determinamos el valor de:

√9 5(9) 10 24 3 9 3 3
α= +√ − − => α = + √ => α = + => α = 3
2 4 2 2√9 2 4 2 2

Reemplazando los valores en las ecuaciones parciales:

3 + 3√3𝑖
𝑥 2 − 3𝑥 + 9 = 0 => 𝑥 = 2
3 − 3√3𝑖
{ 2

𝑥 3 + 3𝑥 2 + 10𝑥 + 27 = 0 => 𝑧 3 + 7𝑧 + 19 = 0

19 2 19 2
3 3
19 7 3 19 7 3
−1 + √− + √( ) + ( ) + √− − √( ) + ( )
2 2 3 2 2 3

3 2 3 2 3 3
𝑥 = −1 + √− 19 + √(19) + (7) (−1 + 𝑖√3) + √− 19 − √(19) + (7) (−1 − 𝑖√3)
2 2 3 2 2 2 3 2

19 2 19 2
3 3
19 7 3 −1 − 𝑖√3 19 7 3 −1 + 𝑖√3
−1 + √− + √( ) + ( ) ( ) + √ − − √( ) + ( ) ( )
2 2 3 2 2 2 3 2
{

5.1.1.2.2. DEMOSTRACIÓN DEL MÉTODO DE RESOLUCIÓN

Sea la ecuación quíntica: 𝑎𝑥 5 + 𝑏𝑥 4 + 𝑐𝑥 3 + 𝑑𝑥 2 + 𝑒𝑥 + 𝑓 = 0 Donde: 𝑎 ≠ 0
𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓
Dividiendo la ecuación entre “a”: 𝑥 5 + 𝑎 𝑥 4 + 𝑎 𝑥 3 + 𝑎 𝑥 2 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 = 0

Realizando un cambio de variable (transformación de Tschirnhaus):

𝑏 𝑏
Si: 𝑧 = 𝑥 + 5𝑎 ; Entonces: 𝑥 = 𝑧 − 5𝑎 ;

Reemplazando el valor de “x” en la ecuación cuártica:

𝑏 5 𝑏 𝑏 5 𝑐 𝑏 3 𝑑 𝑏 2 𝑒 𝑏 𝑓
(𝑧 − ) + (𝑧 − ) + (𝑧 − ) + (𝑧 − ) + (𝑧 − ) + = 0
5𝑎 𝑎 5𝑎 𝑎 5𝑎 𝑎 5𝑎 𝑎 5𝑎 𝑎
Tenemos: 𝑧 5 + 𝑝𝑧 3 + 𝑞𝑧 2 + 𝑟𝑧 + 𝑠 = 0

10
 5𝑎𝑐−2𝑏 2
𝑝=
5𝑎2
25𝑎2 𝑑−15𝑎𝑏𝑐+4𝑏 3
𝑞= 25𝑎3
Donde: 125𝑎3 𝑒−50𝑎2 𝑏𝑑+15𝑎𝑏 2 𝑐−3𝑏 4
𝑟= 125𝑎4
3125𝑎4 𝑓−625𝑎3 𝑏𝑒+125𝑎2 𝑏2 𝑑−25𝑎𝑏 3 𝑐+4𝑏 5
{𝑠 = 3125𝑎5

Por lo tanto, sea la ecuación quíntica reducida: 𝑧 5 + 𝑝𝑧 3 + 𝑞𝑧 2 + 𝑟𝑧 + 𝑠 = 0

Factorizando la ecuación:
(𝑧 3 + 𝛼𝑧 2 + 𝛽𝑧 + 𝛾)( 𝑧 2 + 𝛿𝑧 + 𝜀)
Multiplicando miembro a miembro los términos de las ecuaciones parciales:
𝑧 5 + (𝛼 + 𝛿)𝑧 4 + (𝛽 + 𝛼𝛿 + 𝜀)𝑧 3 + (𝛾 + 𝛽𝛿 + 𝛼𝜀)𝑧 2 + (𝛾𝛿 + 𝛽𝜀)𝑧 + (𝛾𝜀) = 0
Comparando los términos de la ecuación quíntica obtenida con la ecuación quíntica reducida, se
obtienen las siguientes ecuaciones auxiliares:
𝑖) 𝛼 + 𝛿 = 0 => 𝛼 = −𝛿
𝑖𝑖) 𝛽 − 𝛼𝛿 + 𝜀 = 𝑝 => 𝛽 = 𝛼 2 − 𝜀 + 𝑝
𝑖𝑖𝑖) 𝛾 + 𝛽𝛿 + 𝛼𝜀 = 𝑞 => 𝛾 = 𝛼 3 − 2𝜀𝛼 + 𝑝𝛼 + 𝑞
𝑖𝑣) 𝑟 = 𝛾𝛿 + 𝛽𝜀 => 𝑟 = (𝛼 2 − 𝜀 + 𝑝)𝜀 − (𝛼 3 − 2𝜀𝛼 + 𝑝𝛼 + 𝑞)𝛼
𝑠
𝑣) 𝛾𝜀 = 𝑠 => 𝛾 =
𝜀
Reemplazando los valores de las ecuaciones auxiliares en las ecuaciones parciales:
𝑠
𝑧 3 + 𝛼𝑧 2 + (𝛼 2 − 𝜀 + 𝑝)𝑧 + = 0
{ 𝜀
2
𝑧 − 𝛼𝑧 + 𝜀 = 0
Operando de forma adecuada las ecuaciones auxiliares obtenemos la ecuación cuártica
resolvente: 𝛼 4 + (𝑝 − 3𝜀)𝛼 2 + 𝑞𝛼 + (𝜀 2 − 𝑝𝜀 + 𝑟) = 0
Operando de forma conveniente la ecuación cuártica resolvente, aplicando el método de Ferrari,
p q
descartes o Euler, para una ecuación de cuarto grado: α2 ± √kα + 2 − ε ∓ 2√k = 0

√𝑘 𝑘 𝑝 𝑞
Despejando la variable: 𝛼 = ± ± √4 − 2 + 𝜀 ∓ 2√𝑘 ,
2

Al aplicar la formula cuartica general se obtiene la ecuación cúbica resolvente:

𝑘 3 + (2𝑝 − 6𝜀)𝑘 2 + (5𝜀 2 − 2𝑝𝜀 + 𝑝2 − 4𝑟)𝑘 − 𝑞 2 = 0
Resolviendo de forma conveniente la ecuación cúbica resolvente, por el método de aspa doble o
por el método de Ruffini:
𝑞2
Donde, si: 𝑘 = 𝜀, se obtiene que el valor de: 𝜀 = 𝑝2 −4𝑟 , sólo para valores donde: 𝑞 ≠ 0

11
5.1.1.2.3. EJERCICIOS PROPUESTOS:
1. x 5 − 4x 3 + 6x 2 − 5x + 1 = 0
2. x 5 − 6x 3 + 4x 2 + 5x − 4 = 0
3. x 5 − 2x 3 + 8x 2 − 3x + 20 = 0
4. x 5 − 5x 3 + 7x 2 − 6x + 1 = 0
5. x 5 + 5x 3 + 6x 2 + 4x + 32 = 0
6. x 5 + 10x 3 + 24x 2 + 9x + 243 = 0
7. x 5 − 10x 3 + 8x 2 + 9x − 8 = 0
8. x 5 + 2x 3 + 12x 2 − 8x + 32 = 0
9. x 5 − 4x 3 + 6x 2 + 3x + 189 = 0
10. x 5 − x 3 + 3x 2 − 2x + 1 = 0
11. x 5 − x 3 + 6x 2 − 2x + 24 = 0
12. x 5 − 3x 3 + 3x 2 + 2x + 207 = 0
13. x 5 + 6x 3 − 8x 2 − 7x + 8 = 0
14. x 5 + 4x 3 − 4x 2 + 3x + 44 = 0
15. x 5 − 5x 3 + 9x 2 + 4x + 171 = 0
16. x 5 − 15x 3 + 13x 2 + 14x + 13 = 0
17. x 5 + 6x 3 + 8x 2 + 5x + 28 = 0
18. x 5 + 7x 3 + 9x 2 + 10x + 261 = 0
19. x 5 + 2x 2 − x + 1 = 0
20. x 5 − 2x 2 − x + 2 = 0
21. x 5 + 4x 2 − x + 28 = 0
22. x 5 − 6x 2 − x + 261 = 0
23. x 5 + x 3 + 2x + 32 = 0
24. x 5 + 4x 3 + 8x + 32 = 0
25. x 5 − 4x 3 − 8x 2 + 32 = 0
5.1.1.2.4. CONJUNTO SOLUCIÓN
3 2
1. { 𝑥2 + 𝑥 − 4𝑥 + 1 = 0
𝑥 −𝑥+1=0
3 2
2. { 𝑥2 + 2𝑥 − 3𝑥 − 4 = 0
𝑥 − 2𝑥 + 1 = 0
3 2
3. { 𝑥2 + 3𝑥 + 3𝑥 + 5 = 0
𝑥 − 3𝑥 + 4 = 0
3 2
4. { 𝑥2 + 𝑥 − 5𝑥 + 1 = 0
𝑥 −𝑥+1=0
3 2
5. { 𝑥2 + 2𝑥 + 5𝑥 + 8 = 0
𝑥 − 2𝑥 + 4 = 0
3 2
6. { 𝑥2 + 3𝑥 + 10𝑥 + 27 = 0
𝑥 − 3𝑥 + 9 = 0
3 2
7. { 𝑥2 + 2𝑥 − 7𝑥 − 8 = 0
𝑥 − 2𝑥 + 1 = 0
3 2
8. { 𝑥2 + 2𝑥 + 2𝑥 + 8 = 0
𝑥 − 2𝑥 + 4 = 0
3 2
9. { 𝑥2 + 5𝑥 + 12𝑥 + 21 = 0
𝑥 − 5𝑥 + 9 = 0

12
 3 2
10.{ 𝑥2 + 𝑥 − 𝑥 + 1 = 0
𝑥 −𝑥+1=0
3 2
11.{ 𝑥2 + 3𝑥 + 4𝑥 + 6 = 0
𝑥 − 3𝑥 + 4 = 0
3 2
12.{ 𝑥2 + 5𝑥 + 13𝑥 + 23 = 0
𝑥 − 5𝑥 + 9 = 0
3 2
13.{ 𝑥2 + 2𝑥 + 9𝑥 + 8 = 0
𝑥 − 2𝑥 + 1 = 0
3 2
14.{ 𝑥2 + 3𝑥 + 9𝑥 + 11 = 0
𝑥 − 3𝑥 + 4 = 0
3 2
15.{ 𝑥2 + 5𝑥 + 11𝑥 + 19 = 0
𝑥 − 5𝑥 + 9 = 0
3 2
16.{ 𝑥2 + 2𝑥 − 12𝑥 + 13 = 0
𝑥 − 2𝑥 + 1 = 0
3 2
17.{ 𝑥2 + 𝑥 + 3𝑥 + 7 = 0
𝑥 −𝑥+4=0
3 2
18.{ 𝑥2 + 4𝑥 + 14𝑥 + 29 = 0
𝑥 − 4𝑥 + 9 = 0
3 2
19.{ x2 + x − 1 = 0
x −x+1= 0
3 2
20.{x 2 + 2x + 3x + 2 = 0
x − 2x + 1 = 0
3 2
21.{ x2 + 3x + 5x + 7 = 0
x − 3x + 4 = 0
3 2
22.{x 2 + 5x + 16x + 29 = 0
x − 5x + 9 = 0
3 2
23.{ x2 + 3x + 6x + 8 = 0
x − 3x + 4 = 0
3 2
24.{ x2 + 2x + 4x + 8 = 0
x − 2x + 4 = 0
3 2
25.{ x2 + 4x + 8x + 8 = 0
x − 4x + 4 = 0

13