TRABAJO PRÁCTICO 7:

INTEGRACIÓN DEFINIDA
ANÁLISIS MATEMÁTICO 1

UTN – Facultad Regional Haedo

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TP 7 – Integración Definida

TRABAJO PRÁCTICO 7: Integración Definida

Integral de Función Escalonada- Integral de Riemann – Teoremas y Propiedades

del Cálculo Integral

Ej. 7-01Calcular la integral definida de las siguientes funciones escalonadas:

2 x  3,5  3 x   2,1
  2 x   1,3
a) f ( x)  7 x  5,9 
b) f ( x)  
4 x  9,10
  5 x  3,7
 3 x  7,11

Ej. 7-02 Calcular una suma de aproximación para la integral de la función dada, en el
intervalo cerrado indicado y con el número desubintervalos señalado. Comparar los
resultados calculando la primitiva de la función y aplicando la Regla de Barrow.

f (x) = x 2; [-3,8] para n = 2, n = 4, n = 8

Teorema Fundamental del Cálculo Integral

Primera Parte (derivada de la función integral)

Si f es una función continua en [a, b] entonces

𝑥
para a  x  b: la función 𝐹(𝑥) = ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 es derivable

y verifica F ' (x)  f(x) para todo x del intervalo.

Segunda Parte (regla de Barrow)

Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y F una primitiva cualquiera,

𝑏
entonces: ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

Ej. 7-03:En cada caso calcular F’(x)

x x 10
a) F ( x)   log(t  4)dt .
2
b) F ( x)   t sent.dt
3
c) F ( x)   (e t  e t ).dt
0 0 x
x
Ej. 7-04:Sea F ( x )   cos 2 ( t )dt . Hallar los posibles puntos extremos (máx./mín.) de
1
dicha función, en el intervalo [0;2π].

1
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Ej. 7-05: Resolver:

a) b) c)
d  
tg( x )
d  3 2  d  
x
3
1
 dt 
x
   cos(t 2  1) dt 
dx  1
t  1 dt dx  1 t 2
 
  dx  x 

2

Ej. 7-06: hallar el valor de las integrales definidas, sobre los intervalos indicados en
cada caso, aplicando la regla de Barrow:

1 6 3  2x 2 1 x2
a)  x.e x .dx  b)  2 x 2 dx  c)  0 1  x 2 dx 
0
2 4  x3 3 5
d) 1 dx  e)  ln x.dx  f)  (1  x  x 2 )dx 
x4 1 2
 3 
g) 0
2
x.senx.dx  h)  x 2 . ln x.dx  i) 
6

tgx .dx 
1 3

2 1 2 𝑑𝑥 4
j) 0 x2  x 1
dx  k) ∫ 3
1 𝑥
= l)  1 x x .dx 

Ej. 7-07 Hallar la función f y el valor real “a” de modo que:

x 1
a 
x
a) f ( t )dt  cos x  c) f (t )dt   e 2 x  3
2 a

x 1

x
b) 
a
t f ( t ) dt  senx  x cos x  x 2
2
d)
a
t f (t ) dt  1  x 2  x 2  1

Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral

Dada cualquier función f continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un valor c en
𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑥).𝑑𝑥
dicho intervalo tal que: 𝑓(𝑐) = 𝑏−𝑎

La interpretación geométrica del Teorema permite

observar que dicho punto c nos da en f(c) la altura que genera un rectángulo con
área exacta igual al área bajo la curva, es decir:
𝑏
𝑓(𝑐). (𝑏 − 𝑎) =
⏟ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏𝑎𝑠𝑒.𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 ⏟𝑎
á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎
á𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [𝑎;𝑏]

Ej. 7-08 Obtenga el valor promedio de f en [a;b] y el valor de x que corresponde a

dicho valor promedio: y= 9-x2, en [0;3]. Graficar.

2
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Ej. 7-9: Dada la función f (x) = x2 , aplique el teorema del valor medio para hallar el
punto c є [0, 2] tal que dicha área limitada seaigual a la de un rectángulo de base 2 y
altura f(c).
Ej. 7-10 :Calcular el valor medio de la función y=a.x2 en el intervalo [a;b].

Ej. 7-11:

a) Calcular el valor medio de la función f (x) = ln x en el intervalo [1,e] y hallar el valor

xc que indica el Teorema.

b) Como f no está definida en x = 0, proponer si es posible y justificando la respuesta,

un valor medio para f en el intervalo (0,1]. ¿Cuál sería en ese caso un valor xc
(0,1] tal que f (xc) coincida con el valor medio propuesto?

Ej. 7-12 :
Encontrar los valores reales de b tales que el valor medio def(x)= 2+ 6x - 3x2 en el
intervalo [0,b] sea igual a 3.

Ej. 7-13 :

a) Suponga que la población mundial actual es de 5 mil millones y que la población

dentro de t años está dada por la ley de crecimiento exponencial p(t)=e 0,023t.
Hallar la población mundial promedioenlospróximos30años.

b) Se inyecta una dosis de 2 miligramos de cierta droga en el torrente sanguíneo

de una persona. La cantidad de droga que queda en la sangre después de t
horas, está dada por f(t)=2e-0.32t. Hallar la cantidad promedio de la droga en el
torrente sanguíneo, durante la segunda hora.

Aplicación 1: Cálculo de Áreas (Coordenadas Cartesianas)

g(y)

𝒃
𝒃
𝑨 = ∫ 𝒇(𝒙). 𝒅𝒙 = 𝑭(𝒃) − 𝑭(𝒂) 𝑨 = ∫ 𝒈(𝒚). 𝒅𝒚 = 𝑮(𝒃) − 𝑮(𝒂)
𝒂
𝒂

Ej. 7-14:Calcular el área encerrada por las curvas dadas y el eje de las x. En los casos
indicados, utilizar el intervalo para la integración:

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1 2 1 2  
a) y = x -8 b) y = x + 4 ; [-3,3] c) y = cos x ;[  , ]
2 2 2 2
d) y =
1
; [1, 3 ] e) y = -
2
; [2,4] 
x x f) y = senx. cos x ; [0 , ]
2
 ln x i) y = 4 x ; [0,5]
g) y = sen2 x ; [0 , ] h) y  ; [ 1, e ]
2 x

2
Ej. 7-15: Comprobar que:  2 x  1 dx  5 / 2
0
 x 2 si  2  x  0

Ej. 7-16: Se considera la función g ( x)  2 x si 0  x  2
10  3x si 2  x  4


Representarla y calcular el valor de las siguientes integrales definidas:

1 4 4
I=  g ( x)dx J=  g ( x)dx K=  g ( x)dx
2 1 2

Ej. 7-17: Calcular el área limitada por las curvas y  x 2 e y  x2

Ej. 7-18:Calcular el área encerrada por las funciones y las rectas dadas:

a) y = x2 + 1 ; y = 0 ; x = -3 y x=2 b) y = x3 ; y = 0 ; x = 2

c) y = x 3 - 9 ; y = 0 ; x = -1 ; x = 2 d) y = arctg x; y = 0 ; x = 1 ; x = -1

e) y = 3 x2 - 2x ; y = 0 ; x = -1 ; x = 1 f) y = sen x ; y = 0 ( un período)

Ej. 7-19: Calcular el área encerrada por las curvas:


y  x 1
2
y  x 2  4  y  x3
a)  b)  c) 

 y  x  9 y  x  2  y  4. x
2

y 2  x  1  1 3  y  2x
d)   y  2 .x 
y  x  3 e)  f)  y  2  x
y  x  2
x  1 y  4
 


4
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
2 y  3 y  x  1
2 𝑥 = 4𝑦 2 𝑦2 = 𝑥 + 4
g)  2 i){
h){𝑥 = 4(𝑦 − 2)2 𝑒𝑗𝑒 𝑦

y  2y  x  3 𝑒𝑗𝑒 𝑦

Ej. 7-20:Calcular el área de las siguientes regiones

y  x2 y  x2 y  x2  1
    y   3 x 1
a)  y  3.x  4 b)  y  x  2 c)  y   x 2  8 d)  y  x  1
y  4  y  x  2 
y  7x  y  5 x  15
   

Ej.7-21:

a) Determinar el valor de k>0, para que el área encerrada por las curvas dadas en
el primer cuadrante y el eje x, sea la indicada.

i) y=kx+5; x=k. Área: 11/2ii) y=kx-x 2 . Área: 36

b) Hallar c>1, de modo que el área de la región limitada por las curvas

y  e 2( x 5 ) , y  e 2( x 5 ) y la recta de ecuación y=c, sea igual a 1.

c) El área de la región limitada por las rectas y = a.x,y = a2y la curva y = x2, es igual
a 7/48. Calcular el valor de a.

Aplicación 2: Cálculo de Volumen (Coordenadas Cartesianas)

Volumen generado por y=f(x) girando alrededor del eje x, en un intervalo [a,b]

𝒃
𝑽𝒙 = 𝝅 ∫ 𝒇(𝒙)𝟐 . 𝒅𝒙
𝒂

Volumen generado por x=g(y) girando alrededor del eje y, en un intervalo [c,d]

𝒅
𝑽𝒚 = 𝝅 ∫ 𝒈(𝒚)𝟐 . 𝒅𝒚
𝒄

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Ej. 7-22: Calcular el volumen engendrado por la figura encerrada por las curvas dadas,
al girar alrededor del eje x.
2
a ) y  x ; y  0 ; x  2 ; x  9 b ) y  x 2 ; y  0 ; x  3 ; x  3
3
2
c ) y  x2  3 ; y  0 ; x  2 ; x  2 d ) y   x  4 ; y  0
e ) y2  4 x ; y  0 , x  4 f ) y  6  2 x  x 2 ; y  0 ; x  1 ; x  0

Ej.7-23: Calcular el volumen del cuerpo generado por la figura encerrada por las curvas
dadas, al girar alrededor del eje x:


y  x
2

y  x
2
 1 3
a)  b)  y  x
  c)  32
 y  x  8  y   x  3x
2 2
y2  x


 4  y  senx  y  sec x
y   
d)  x e)  y  cos x (1er.cuadrante) f)  y  tgx
 y   x  5 x  0 x  0 , x  1
 

Ej. 7-24: Calcular el volumen del cuerpo, generado por la figura encerrada por las
curvas dadas, al girar alrededor del eje y:

y  x3  y  arcsen x  2
   y
a)  y  8 
b)  y 
 c)  
x
x  0 2 y  2 ; y  1
 
 x  0 
 2
x 2  y 2  9  3
 y  x 2

 y  x 2 f)  2
y  0 ; y  4   y  8 x
d)  e)  y 2   x  2
x  0 y  0


Ej.7-25: Calcular el volumen del cuerpo generado por la figura encerrada por las curvas
dadas, alrededor del eje indicado.

 y  2  4x  x 2 y 2  x3  y 2  8x
  
a)  y  2 b)  x  4 y  4
c) 
eje : y  2 eje : x  4 x  0
eje : x  2
 y  2 senx  3 y  x 1
 y  x 
y  2   y  1
d)  (0  x  )
x  0 x  1 , x  3 f) 
x  5
2 e) 
eje : y  2 y 1
 eje : y  4

eje : x  3

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Ej. 7-26: La ecuación de la parábola representada en la figura es y = x 2.

C4---------------------|A Calcular el volumen generado cuando el área:

|
a) OAB gira alrededor del eje x
3 |
| b) OAB gira alrededor de AB
| c) OAB gira alrededor de CA
2
|
d) OAB gira alrededor del eje y
|
| e) OAC gira alrededor del eje y
1
| f) OAC gira alrededor de CA
| g) OAC gira alrededor de AB
O 0.5 1 1.5 2 B
h) OAC gira alrededor del eje x

Ej.7-27: Calcular el volumen generado por el área encerrada por las curvas
y  e x , y  e , x  0 al girar alrededor de:
a) El eje x b) el eje y c) la recta y=e d) la recta x=1

Ej.7-28: Calcular el volumen de:

a) Una esfera de radio r b) Un cono de altura h y radio de la base r

Integrales Impropias o Generalizadas

Ej. 7-29: Resolver las siguientes integrales impropias e indique si son convergentes o
divergentes.

 dx  dx   x
a) 0 x2  1
b) 0 a  b2 x2
2 c) 
0
e .senx. dx
 dx 1 0 x
e) 
0
d) 2 x3   (1  x ) 2
dx f)   e dx


0 dx cos x 1 dx
g) 1 x2
h) 04 senx
dx i) 1 x2  1

5 dx 3 dx
4 (5  x)2/5
1
j) k) 2 x2  x  6
l) 
0
x ln x dx
∞ ∞
1 𝑥
𝑚) ∫ 2
𝑑𝑥 𝑛) ∫ 𝑑𝑥
−∞ 1 + 𝑥 −∞ (𝑥 2 + 4)3/2

Ej. 7-30: Hallar el área situada a la derecha de x =3 y limitada por la curva de ecuación
1
y 2 y el eje x.
x 1

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1
Ej. 7-31: Hallar el área limitada por la curva de ecuación y  y el eje x y
x.( x  1) 2
situada en el semiplano x 2.

1
Ej. 7-32:Demostrar que el área del primer cuadrante limitada por y  e 2 x es igual a
2
(unidad de superficie) y que el volumen generado en la rotación de dicha área
1
alrededor del eje x es  (unidad de volumen).
4

Ejercicios conceptuales Teórico-Práctico

Ej. 7-33: Resolver las siguientes situaciones problemáticas, aplicando conceptos y

propiedades de integral definida:

a 1 b 1 ab 1
a) Demostrar que :  dt  
dt  dt 
1 t 1 t 1 t

b) Demostrar que los valores de las siguientes expresiones no dependen de x.

1
x x senx
1 1 1
i)  2
dt   2
dt ii)  dt
0 1 t 0 1 t  cos x 1 t2
c) Siendo f integrable en el intervalo [-  ,  ] , demostrar que el valor mínimo de :
 1 
    f ( x) cos nx dx
2
( f ( x ) a cos nx) dx es para a
  

d) Suponer que el área de la región entre el gráfico de una función positiva, continua f
y el eje x desde x=a hasta x=b es de 4 unidades cuadradas. Hallar el área entre las
curvas y= f(x) e y= 2f(x) desde x=a hasta x=b.

Otras Aplicaciones:

Longitud de Arco de Curva

Aplique la siguiente fórmula, para calcular la longitud de un arco de curva

correspondiente a y=f(x) en el intervalo [a;b]:

 
b
Y=f(x) L  1  f ' ( x ) 2 dx
a
L

a b

Ej. 7-34:Calcular la longitud del arco de la curva indicada en el intervalo señalado:

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a) circunferencia de radio 3
 4
3
b) y   x 2
0 , 3 
e x  e x
c) y  0 ,1 
2
2 2 2
d) x  y  2
3 3 3
 0 ,2 

Área de Superficie de Revolución

Aplique la siguiente fórmula, para calcular la superficie en revolución que se genera al

hacer girar, alrededor del eje x, un arco de curva correspondiente a y=f(x) en el
intervalo [a;b]:

Y=f(x)

a b

 
b
Suprevol  2  f ( x ). 1  f ' ( x )2 dx
a

Ej. 7-35: Calcular el área de la superficie de revolución engendrada por el arco indicado
al girar alrededor del eje dado.

1
a) y  x  2 ,8  eje x
2
1
b) y  x 3  0 ,2  eje x
9
 3 15 
c) y  x  4 , 4  eje x
d ) y 2  9x  0 ,1  eje x

9
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ALGUNAS RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

Ej.7-01:a) 36 b)-3

Ej.7-02: 539/3

Teorema Fundamental del C. I.

Ej. 7-03: a) F’(x) = f(x) = log(x2+4)b) F’(x) = f(x) = x3.senx c) F’(x) = f(x) =e-x- ex

Ej. 7-04: x=π/2 ; x= 3π/2

Ej. 7-05: a) 3x 2 3 x 6  1 b) 1 c) 2 cos(x 2  1)

Ej.7-06:
a) 1 b) 9 c) 1-  /4 d) 7/6-ln2 e) 3ln3-2 f) –287/6 g) 1 h) 9ln3-26/9 i) ½ ln3 j) ln((5+2
7 )/3) k) 3/2 l) 62/5

Ej. 7-07:a) f(x) =-senx; a=  /3 +2kπ a=  5/3+2kπb) f(x) =senx-1; a=0

c) f(x)= 2e 2 x ; a=(-ln3)/2 d) f(x)=(1/ x 2  1 )+2; a=0

Teorema del Valor Medio del C. I.

Ej.7-8: V.P.= 6, en x=√3

Ej.7-9: c=2/√3
𝑎 3
3
(𝑏 −𝑎3 )
Ej. 7-10: µ=
𝑏−𝑎

Ej. 7-11: a) xc= 1.79 b) xc= 1/e

Ej. 7-12: b1 = 3/2+√5/4 b2 = 3/2 - √5/4

Ej.7-13:
a) Aprox. 6,44 mil millones
b) Aprox. 1,47 mg

Areas

Ej. 7-14:a) 128/3 b)33 c) 2 d)ln3 e) 2ln2 f) ½ g)  /4 h)1/2 i)38/3

Ej. 7-16: I=11/3 J=19/3 K=10

Ej. 7-17: 4,5

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Ej. 7-18: a) 50/3 b) 4 c) 93/4 d) π/2 - ln2 e) 62/27 f) 4

Ej. 7-19: a) 64/3 b)9/2 c) 8 d)9/2 e) 13/8 f) 16-6ln2 g) 9/2 h) 8/3i)32/3

Ej. 7-20: a) 15/2 b)7/3 c) 89/6 d)8

7 7
Ej. 7-21:a) i)1 ii) 6 b) c=e c) a  3  y a3
8 8
Volumen

Ej. 7-22: a)  2884/27 b)  486/5 c)  404/5 d)  512/15 e) 32  f)  668/15

Ej. 7-23: a)  512/3 b)  81/32 c)  40/7 d)  9 e)  ½ f) 

Ej. 7-24: a)  96/5 b)  2 /4 c) 6  d)  172/3 e)  256/105 f)  24/5

Ej. 7-25: a)  512/15 b)  2048/35 c)  112/15 d)3  2  8 e) (18ln3-16)  f) 

53/6

Ej.7-26: a)  32/5 b)  8/3 c)  224/15 d) 8  e) 8  f)  256/15 g)  40/3 h) 

128/5

1 1 2
Ej.7-27: a)  (e 2  1) / 2 b)  (e  2) c)  (2e   e ) d)  (4  e)
2 2

Ej.7-28: a) Ve=4/3 π r3u3 b) Vc=1/3π r2h u3

 
3
1 1 5 1
Ej.7-29: a) b) c) d) e)1 f )1 g )   h) 2 4
i)   j) k )   l) 
2 2 ab 2 8 3 4
m) π n) 0

Ej.7-30: ArgTh(1/3)  0.347

Ej.7-31: 1-ln2  0.307

Ej.7-33:a) Es correcto.

Otras Aplicaciones

56
Ej.7-34: a) 6  b) c) Sh1 d) 3
27
Ej.7-35: a) 15 5 b)  98/81 c)  28/3 d) 9.9 

11