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    Igualdad de Series de Potencias Por Punto Límite

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    FEDE G LOPERA
    Este documento presenta el teorema de igualdad de series de potencias por punto límite. El teorema establece que si dos series de potencias convergentes tienen un conjunto E de puntos donde son iguales y E tiene un punto límite dentro del intervalo de convergencia S, entonces las series son iguales en todo S. La demostración usa la continuidad de las funciones asociadas a las diferencias de los términos de las series para llegar a una contradicción si no son iguales en todo S.

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    Igualdad de Series de Potencias Por Punto Límite

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    Este documento presenta el teorema de igualdad de series de potencias por punto límite. El teorema establece que si dos series de potencias convergentes tienen un conjunto E de puntos donde son iguales y E tiene un punto límite dentro del intervalo de convergencia S, entonces las series son iguales en todo S. La demostración usa la continuidad de las funciones asociadas a las diferencias de los términos de las series para llegar a una contradicción si no son iguales en todo S.

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    Igualdad de series de potencias por punto límite

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    Este documento presenta el teorema de igualdad de series de potencias por punto límite. El teorema establece que si dos series de potencias convergentes tienen un conjunto E de puntos donde son iguales y E tiene un punto límite dentro del intervalo de convergencia S, entonces las series son iguales en todo S. La demostración usa la continuidad de las funciones asociadas a las diferencias de los términos de las series para llegar a una contradicción si no son iguales en todo S.

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    Igualdad de series de potencia por punto lı́mite

    Presentado por
    Federico Lopera - floperag@unal.edu.co

    Profesor
    Eddye Alejandro Bustamante Monsalve
    eabusta0@unal.edu.co
    31/10/2023

    Universidad Nacional de Colombia


    Sede Medellı́n
    Facultad de ciencias
    Escuela de matemáticas
    1

    [an xn ] y [bn xn ] series convergentes en el intervalo S =


    P P
    Teorema 3,22: Sean
    n∈N n∈N
    (−R, R) y sea E el conjunto de los puntos x en S tales que:
    X X
    [an xn ] = [bn xn ]
    n∈N n∈N

    Si E tiene un punto de lı́mite en S, entonces la igualdad se cumple ∀(x) ∈ S.

    Demostración: ∀(x) ∈ N definamos cn = an − bn , y ∀(x) ∈ S definamos:


    X
    f (x) = [cn xn ]
    n∈N

    Ası́, f (x) = 0, ∀(x) ∈ E.


    Ahora, sea A = E ′ ∩S, como E ′ es un conjunto cerrado, entonces A lo es. De esta manera,
    B = S − A es un conjunto abierto. Tome x0 ∈ S arbitrario y como A ⊂ S, entonces por el
    teorema 3, 21:
    X
    f (x) = [dn (x − x0 )n ] |x − x0 | < R − |x0 |
    n∈N

    Si dn = 0, ∀(n) ∈ N, entonces podemos continuar con la prueba, razonando por reducción


    al absurdo, supongamos que ∃(k) ∈ N tal que dj ̸= 0, ∀(j) ≥ k, ası́:

    ∞
    X ∞
    X ∞
    X
    n k n−k k
    f (x) = [dn (x−x0 ) ] = (x−x0 ) [dn (x−x0 ) ] = (x−x0 ) [dn+k (x−x0 )n ] := (x−x0 )k g(x)
    n=k n=k n=0

    f (x)
    De esta manera g(x) = (x−x 0)
    k , y además esta es una serie de potencias. Note que g y f

    convergen para los mismos valores de x. O sea, g(x) converge si |x − x0 | < R − |x0 |. De esta
    manera, g es continua en x0 y g(x0 ) = dk ̸= 0. Ası́, ∃(δ) > 0 tal que 0 < δ < R − |x0 | tal que
    g(x) ̸= 0 si |x − x0 | < δ. Esto implica que f (x) ̸= 0 siempre y cuando x ̸= x0 y |x − x0 | < δ,
    sin embargo, esto es una contradicción pues x0 ∈ E ′ .
    Ası́ f (x) = 0, x ∈ I ⊂ S, dónde I es un intervalo que contiene a x0 . Luego, todos
    I ⊆ E ′ ∩ S = A, entonces A es abierto. Como S es un conjunto conexo, y S = A ∪ B,
    entonces se debe cumplir que alguno de los conjuntos es el vacı́o y el otro S. Como A ̸= ∅,
    luego B = ∅ y A = S.
    Notemos que A ⊆ E pues, si x ∈ A, entonces existe una sucesión (xn ) en E tal que
    n∈N
    lı́m [xn ] = x. Como f es continua en S, entonces lı́m [f (xn )] = f (x), dado a que f (xn ) = 0,
    n→∞ n→∞
    ∀(n) ∈ N, entonces f (x) = 0 y x ∈ E. Concluimos que E = S.

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