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Trigonometria La Pre
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Trigonometria La Pre
Matemático
RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO Semana 11
Sesión 2
Funciones trigonométricas
(senos y cosenos)
Actividad
Luna
B
A C
Sol
Tierra
2
Funciones trigonométricas
Dado un triángulo oblicuángulo ABC con a, b, y c lados del triángulo se cumple lo siguiente:
Ley de senos:
a/sen A = b/sen B = c/sen C
Ley de cosenos:
a2 = b2 + c2 – 2 bc . Cos A
b2 = a2 + c2 – 2 ac . Cos B
c2 = a2 + b2 – 2 ab . Cos C
b a
A B
c
3
Retos
4
5. Halla la regla de correspondencia de una función tipo seno cuya gráfica es la siguiente:
0
0 π/2 π 3π/2 2π
–2
–1
a) f(x) = 4sen 4x
b) f(x) =1/2sen 4x
c) f(x) = 1/4sen 4x
d) f(x)= 2sen 4x
e) f(x) = sen 4x
8. Calcular la medida del lado de un rombo, en donde uno de sus ángulos mide 106° y
su diagonal menor 12 cm.
a) 8 cm
b) 20 cm
c) 10 cm
d) 15 cm
e) 25 cm
5
9. Determinar el ángulo comprendido entre dos fuerzas de 30 N y 35 N, si su resultante
es de 5√127 N.
30N
R
35N
a) 60°
b) 150°
c) 120°
d) 240°
e) 300°
10. Un edificio y un poste se encuentran sobre un plano horizontal. Desde el pie y la par-
te superior del poste que mide 4,8 m se observa el extremo superior del edificio con
ángulos de 60° y 30°, respectivamente. Hallar la distancia entre el poste y el edificio.
a) 2,4 √3 m
b) 4,8 √3 m
c) 1,2 √3 m
d) 7,2 √3 m
e) 2,3 √3 m
11. Se tienen dos submarinos que zarpan de la base al mismo tiempo: uno navega a 20
nudos por hora y el otro 10 nudos por hora. Al cabo de dos horas distan entre sí 20 √3
nudos. ¿Cuál es el ángulo compartido entre sus direcciones?
a) 120°
b) 150°
c) 60°
d) 100°
e) 300°
6
12. Calcular el lado menor de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 15 cm y uno
de sus ángulos 51°
a) c = 15cos 39°
b) c = 15/sen 51°
c) c = 15sen 51°
d) c = 15cos 51°
e) c = 15/cos 39°
14. En una circunferencia de radio r, se traza una cuerda que mide 20 cm, de tal manera
que el ángulo central que determinan sus extremos mide 53°. Calcular la medida del
radio de la circunferencia.
a) 5 √10 cm
b) 10 √3 cm
c) 10 √5 cm
d) 5 √3 cm
e) 10 √2 cm
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Resolvemos los retos
1. Respuesta e.
Reemplazamos cada función trigonométrica por su valor, teniendo en cuenta las
razones de los ángulos notables:
R = 4√3cos2 30° tg 60° – √6sen 45°ctg 30° + 2sen 45°cos 45°
R = 4√3 (√3/2)2(√3) – √6(√2/2)(√3) + 2(√2/2)(√2/2)
R = 4√3 (3/4)(√3) – √6(√6/2) + 2(2/4)
R=9–3+1=7
2. Respuesta a.
Para resolver agrupamos los dos primeros para formar una diferencia de cuadrados.
E = sec4α – tg4α – 2tg2α
E = (sec4α – tg4α) – 2tg2α
E = (sec2α – tg2α)( sec2α + tg2α) – 2tg2α (por identidades)
E = (1)(sec2α + tg2α) – 2tg2α (quitamos los signos de colección)
E = sec2α + tg2α – 2tg2α
E = sec2α – tg2α (por identidades)
E=1
3. Respuesta a.
Formamos un sistema con los datos de x e y
x = senα + cosβ
y = senα – cosβ
Elevamos al cuadrado ambas ecuaciones
x2 = (senα + cosβ)2
y2 = (senα – cosβ)2
Resolviendo
x2 = sen2α + 2senα.cosβ + cos2β
y2 = sen2α – 2senα.cosβ + cos2β
x2 + y2 = 2sen2α + 2 cos2β (factorizando el segundo miembro)
x2 + y2 = 2(sen2α + cos2β) (por identidades)
x2 + y2 = 2(1)
x2 + y2 = 2
8
4. Respuesta b.
Nos piden el seno del ángulo duplo, para ello elevamos al cuadrado la ecuación
senα – cosα = 1/5
(senα – cosα)2 = (1/5)2 (resolvemos)
sen α – 2senα cosα + cos α = 1/25 (agrupamos)
2 2
5. Respuesta d.
0
0 π/2 π 3π/2 2π
–2
–1
6. Respuesta b.
Aplicamos las funciones de ángulos duplos seno y cosenos
[1 + (cos2B – sen2B)] / [4(2senB.cosB)]
[1 + cos2B – sen2B] / [8senB.cosB] (agrupamos)
[1 – sen B) + cos B)] / [8senB.cosB] (por identidades)
2 2
9
7. Respuesta c.
Resolvemos aplicando diferencia de cuadrados:
cos4 x – sen4x = 1
(cos2x – sen2x)(cos2x + sen2x) = 1 (por identidades)
(cos2x – sen2x)(1) = 1 (reemplazando cos2x)
(1 – sen2x) - sen2x = 1 (quitando paréntesis)
1 – 2sen2x = 1
1 – 1 = 2sen2x
0 = 2sen2x
0 = sen2x
0 = sen x
Veamos qué valores puede tener x que cumpla la condición de que el seno sea 0 y
que este dentro del parámetro [-π;π]
sen 0°, sen 180° y sen(-180°)
8. Respuesta c.
Representamos el problema con un gráfico:
B
x x
A C
37°
6 cm
106°
x x
Las diagonales del rombo son las bisectrices de los ángulos A y D, y los dividen en 2
partes iguales; por lo tanto, los ángulos formados miden 37° y 53°, respectivamente.
Aplicamos una razón trigonométrica para hallar x:
sen 37° = 6/x
x = 6/sen 37°
x = 6/ (3/5)
x = 30/3
x =10 cm
10
9. Respuesta c.
Representamos las fuerzas:
10. Respuesta a.
Graficamos la situación:
30°
h 4,8 m
60°
Distancia horizontal: x
Utilizaremos razones trigonométricas:
tg 30° = y/x tg 60° = (h + y)/x
√3/3 = y/x √13= (4,8 + y)/x
Despejamos x en ambas ecuaciones:
x = 3y/√3 (1)
x = (4,8 + y)/√3 (2)
Igualamos (1) y (2):
3y/√3 = (4,8 + y)/√3
3y = 4,8 + y
2y = 4,8
y = 2,4
Reemplazamos el valor de y en (2):
x = (4,8 + 2,4)/√3 = 7,2√3 /3 = 2,4√3m
11
11. Respuesta b.
Graficamos el problema:
20 20√3n
B
40 n
12. Respuesta d.
Para solucionar representamos en un triángulo rectángulo:
A El lado menor es c porque a menor lado
se opone menor ángulo.
51°
Relacionamos los datos mediante una
c b = 15m
razón trigonométrica:
cos 51° = c/15
C
B a Despejamos: c = 15 cos 51°
13. Respuesta d.
Factorizamos la expresión:
f(x) = sen2 x + 2 sen x + 1
f(x) = (sen x + 1)2
Como en la función seno los valores están en el intervalo [–1; 1]:
-1 ≤ sen x ≤ 1
-1 + 1 ≤ (sen x + 1) ≤ 1+ 1
0 ≤ (sen x + 1) ≤ 2 (elevamos al cuadrado)
0 ≤ (sen x + 1)2 ≤ 22
0 ≤ f(x) ≤ 4
Rango: [0; 4]
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14. Respuesta c.
Para visualizar el problema lo graficamos
Aplicamos la ley de cosenos:
a2 = b2 + c2 – 2bc.cos A
202 = r2 + r2 – 2(r)(r) cos 53°
400 = 2r2 - 2r2(3/5)
r 20 cm
400(5) = 2(5)r2 - 6r2
53° 2000 = 4r2
r 500 = r2
√500 = 10√5= r
El radio mide 10√5 cm.
15. Respuesta d.
Analizamos cada proposición:
I. La función f(x) = sen x es periódica
Es verdadero, porque sus valores se presentan a intervalos regulares y su periodo
es la longitud del intervalo; cada ciclo de onda es de 2π.
II. En la función f(x) = 2 cos 1/3x, el periodo es 6π.
Es verdadero, porque para saber cuál es el periodo reconocemos primero que la
función es de la forma f(x) = A cos Bx, entonces B = 1/3.
El valor del periodo será 2π/(1/3) = 6π porque se divide el periodo de la función
entre B.
III. En la función f(x) = -3 sen 4x, la amplitud es –3.
Es falso, pues la amplitud es siempre dada en forma de valor absoluto, por lo tanto,
es 3 y no –3.
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