Derivada Implicita

S. una función esta devivada de manera

importa por
F(x yz) ,
=
0

endonces :

Ex
E3
Fe
2x
zy 0
-
=
:
:
y
Fz

Por otro lado se

preden intercambiar las variables obtener
y :

E ziry
= + 0
yx eyz
-

· =

Ey Fz ifx
xy
-

0
-
=
x
=

·
3
= -

Fx Fx

Ejemplo : Calcule
zxyzy sif(x , y ,
z) =

x +

2y + 424 -

yz =
0

zx =
-
Ex -
2X
I

Fz 1623 -

-
Es 4y z
zy
-
= -
+

Fz 7673 -

Derivada Direccional
Sea una función de dos varrables xe sea : + Un
y I
Un vector unrtarro . v entonces la devivado direccional de
IUll 191+/8)"

↑ en
la dreccio de v ,
se denota como Dof :

Duf(x y) .
=

b f(x+ tr , y +
tw2)-f(x y) ,

t =

0 t

teoremas :
Sit es una diferencrable de xe entonces la devorada direccional
y ,

de f la direccion del rector esta dada

5 U Y
Vay como :
+

i
=

en

Dif(x y) ,
=

fx(x y)v ,
+

fy(x , g) -

42
 Observaciones :
Si el vector vertavio 8 forma un angulo & con el erex

positivo , entonces 8 se
puede escribir como :

anterior transforma
.

5 Cos O +
Sen OU lo se en :
.

DEF(x y) ,
=

fx(x , y) -

(os0 +
fyhx , y) se o

Ejemplo :

1 .
Calcule In devorada direccional de la funcios f(x y) ,
:

15x-4y: en la
dirección indicada por angulo ⑦ I
el p (e 2)
:
-

=(
=

i) Hallar devivada parcral en x

y
en
y

fx 5
fy
2
-

= :

2/5x 4y -

/5x -

yy1

->

ii) Desperar Dr

D(x y) 5

Cos(5) ( *)
, = 2 Ser
·
-
·

205x-4y /5x-yyo

ii) Remplazar el
proto < ... ) en

D/ 1 ,
-1) = 5 E - 2 1

c 5/1) 4/07)" 41098

-

-
L V5x) -

/1 -1)
5 -
,
:

-
2
j
1
3 2

Bole -
b 1
0 39
=
:

,
-
,

2) Calcular la devorada direccional de la función f(x , g , 2) :

(n(x y z2) + +

en el pueto po : /2 ,
2 , -4) en la direction are va de pa
: /2 , 2 % -4)
hasta Q :

(3 ,
1, -5)-

: an :
Que Norma :
/ 1117 (-114 (-112 = 5

⑨ : (1 ,
-1 ,
-
1) Vector unitario en la direccion indicada .

I s
 y Az
mes
fx
i
=
2x
: 27
:

x +
yz + z2 x +

y2 +
zz

Dr(x z)
en ( (ne (ii) z()
=

, y , +

-(x z)
S gen) (I * !
2x
Este
27
y
=

,
,

x
+

y +

Gradrante = (x y , z)
,
=
f(x , y ,
z) -

Gradiante De La Función
Sea z =
f(x 9 z) una funcion tab are fx
fy /z existen
,
y
, ,

entonces denotado f(x

el
gradiante como , e ,
z) esta dado
por
:

4f(x , y, z) =
fx(x , y ,
z)i +

fy(x , y , z) +
fz(x , y, z)k

Observaciones :
1) El radiante es vector el plano NO un rector en
un en
pero es
.

I
,

el espacio .

2). Como el gradiante es un rector ,

la derivada direccional f en la direccion
I se
prede expresar como :

Dif(x es
(fx(a z)i fy(x z)[] (w)
=
+
:
, , ,
 UNIVERSIDAD EL BOSQUE
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
MATERIA: Cálculo vectorial. TEMA: Derivadas direccionales y
gradientes
Docente: Andrés Felipe Amaya Diaz.

Material complementario para retroalimentar los temas de gradiente y su

interpretación grafica.

Aclaración: Los materiales expuestos a continuación como: >Videos, cuestionarios, etc. Son
extraídos de algunas plataformas de educación y diferentes bibliografías del calculo multivariable,
y son usados para retroalimentación de las diferentes temáticas en clase de la asignatura
Matemáticas III.

Gradiente e interpretaciones
geométricas:
Link para profundizar gradiente y su interpretación geométrica:
https://drive.google.com/file/d/1gqXldiK-
Jb2jsY1Cvu_kfNQwyskVPzWl/view?usp=drive_link
Cuestionario:
Marque la respuesta que considere correcta según lo requerido:

1. Una interpretación común del vector gradiente implica dibujarlo en 3D, tangente
a la superficie de la gráfica. Al lado derecho se muestra la
gráfica de un campo escalar "f" y un punto "p": ¿Cuál es el
gradiente de “f" en “p" dibujado así?
Posibles Respuestas:
2. Una interpretación común del vector gradiente implica dibujarlo en 3D, tangente
a la superficie de la gráfica. Al lado derecho se muestra la
gráfica de un campo escalar "f" y un punto "p": ¿Cuál es
el gradiente NEGATIVO de “f" en “p" dibujado así?
Posibles Respuestas:

3. Una interpretación común del vector gradiente implica dibujarlo en 3D, tangente
a la superficie de la gráfica. Al lado derecho se muestra la gráfica
de un campo escalar "f" y un punto "p": ¿Cuál es el gradiente de
“f" en “p" dibujado así?
Posibles Respuestas:
4. Una interpretación común del vector gradiente implica dibujarlo en 3D, tangente
a la superficie de la gráfica. Al lado derecho se muestra la
gráfica de un campo escalar "f" y un punto "p": ¿Cuál es el
gradiente de “f" en “p" dibujado así?
Posibles Respuestas:

5. Una interpretación común del vector gradiente implica dibujarlo en 3D, tangente
a la superficie de la gráfica. Al lado derecho se muestra la
gráfica de un campo escalar "f" y un punto "p": ¿Cuál es
el gradiente NEGATIVO de “f" en “p" dibujado así?

Posibles Respuestas:
 Gradiente y curvas de nivel:
Link para profundizar gradiente y curvas de nivel:
https://drive.google.com/file/d/19WnQVswzuQo-
njFihBCtQoNJNJUTuIPu/view?usp=drive_link

Definición:

Ejemplo 1:

Recursos:
• Link gradiente y curvas de nivel en GeoGebra:
https://drive.google.com/file/d/1vE60ogn9mqZNDhOyTQmUqcKUYFS
m773K/view?usp=drive_link

• Link gradiente, derivada direccional y curvas de nivel en GEOGEBRA:

Gradiente, derivada direccional y curvas de nivel. – GeoGebra