Proyecto y Calculo de Estructura en Hormigon

www.libreriaingeniero.
com
J. Calave
Calavera
ra
Dr. Ingeniero de Caminos
Tomo I
INTEMAC
INSTITUTO TÉCNICO DE MATERIAI.ES Y CONSTRUCCIONES
www.libreriaingeniero.com
A Ma rina, José, Beatr iz, Javier, Jai me , Ign acio , A na y

Fáti ma. Todos ellos, enc anta dor as difi cul tad es pa ra
terminar este libro.
© José C alavera Ruiz

INTEMAC, S.A.
Depósito legal:
ISBN: 84 88764 06 5 Tomo I
ISBN: 84 88764 05 7 (Obra completa)
Impreso en España por
INFOPRINT, S.A.
PRÓLOGO
"Esperar a saber bastante, para actuar

con toda seguridad, es condenarse a la
in a cció n
J ea n R o st a n d
Este libro contempla, en su totalidad, el proyecto y el cálculo del hormigón

estructural, es decir, las estructuras de hormigón en masa, las estructuras de hormigón
armado y las de hormigón pretensado, tanto en su variante de armaduras pretesas como
en la de armaduras postesas.
En cierta manera la raíz de este libro está en otro libro mío, más breve y
restringido sólo al hormigón armado, titulado "Proyecto y Cálculo de Estructuras de
Hormigón para Edificios" del que se publicaron dos ediciones, en 1983 y 1991,
respectivamente. Sin embargo el nuevo libro, aparte de su extensión mucho mayor
(aún conservando una parte del material de él) difiere profundamente de aquél, en
par tic ula r e n los aspe ctos sigui ente s:
- La publicación de la Instrucción de Hormigón Estructural EHE a primeros de
Enero de 1999 ha supuesto no sólo cambios muy profundos en el tratamiento de
muchos temas, sino que ha incluido
incluido múltiples campos y teorías
teorías nuevos.
- Este nuevo libro aborda también los otros campos no cubiertos por EHE, EHE, es decir
las estructuras de hormigón en masa, las de hormigón pretensado con armaduras
pret esa s y la s d e h orm igó n p rete nsad o con arma dura s p oste sas.
- Se cubre el campo completo de la Edificación, las Obras Industriales y las Obras
Públicas.
- Como he ü'atado de hacer en la mayoría de mis libros, también en éste intento
pre sen tar los tema s aun and o el rig or teóri co con . la apli cab ilid ad prá cti ca y
pres tan do una ate nci ón esp eci al al tema de los det alle s c onst ruct ivos .
Pienso que el libro, aparte de ser útil a los profesionales en ejercicio, también El Capítulo 25 realiza un estudio extenso del tema de juntas, tanto de dilatación
podr á serlo a los alum nos de últim os curso s de las Escu elas Técn icas. Natu ralm ente , como de trabajo y contracción. Aunque las dos últimas corresponden a la fase de
dada la extensión y detalle con que se presentan la mayor parte de los temas, el uso del ejecución, es esencial que el proyectista las especifique y prevea adecuadamente.
libro como texto en las Escuelas ha de ser guiado por la experiencia de los profesores, Los Capítulos 25 a 31 contienen la introducción al Hormigón Pretensado, que he
par a d ecid ir lo que debe sele ccio nars e, cosa difí cil dado s lo s a ctua les plane s d e estu dio. tratado de hacer con el detalle y el rigor necesarios. En particular el Capítulo 29 dedicado
Algunos aspectos del libro requieren comentarios específicos: a las pérdidas de fuerza en el pretensado, lo he redactado con mucha extensión ya que
pien so que, con inde pen denc ia de su c uan tific ació n numé rica, la comp rensi ón cier ta de
Notaciones y Unidades. He seguido las del CEB, básicamente coincidentes con las pérdidas es esencial para tener un concepto claro del pretensado. Se ha hecho un gran
las del Eurocódigo EC-2 y con la Instrucción EHE. En una nota inicial se expone el esfuerzo con la inclusión de numerosas fotografías que espero sirvan para quienes se
tema de las unidades,
unidades, que evidentemente resultará nuevo para muchos lectores, pero que inicien en el pretensado, para familiarizarse con los equipos y procesos de esta técnica.
al ser ya el utilizado en toda Europa y tener un importante desarrollo en Norteamérica
y Canadá, no presenta más opción que la del decidido paso a su uso cotidiano. Los Capítulos 30 y 33 merecen muy especial mención. El 30 está dedicado a la
Durabilidad, un aspecto cuya importancia hoy nadie discute, pero he tratado de resaltar
Cálculo Manual y Cálculo Informático. En la formación universitaria, este en él la gran importancia que el proyecto tiene en la durabilidad. El Capítulo 33,
dilema es ya clásico. En los Capítulos 3 al 11, junto a otros temas de inmediata dedicado al método de Bielas y Tirantes, una de las novedades en todas las Normas
aplicación práctica, he presentado un resumen de los métodos de cálculo manual. La recientes y muy en particular de la Instrucción EHE, amplía el tema considerablemente.
formación de un profesional, con sólo los recursos informáticos, constituye no sólo un
gran error sino también un grave riesgo. Los métodos de cálculo manual, los Los Capítulos 34 a 48 se dedican fundamentalmente a la exposición del cálculo
aproximados que expongo en el Capítulo 15 y los métodos de predimensionamiento de los diferentes Estados Límite Ultimos y de Servicio.
incluidos en el Capítulo 16, son básicos en la formación de un Proyectista. Quien se He dedicado el Capítulo 49 a las Piezas Compuestas, tema esencial para el
forme sólo con recursos informáticos, ni desarrollará su intuición ni adquirirá el proy ect o d e piez as p refa bric ada s y gen eral men te p oco trata do en la s di fere ntes Norm as.
sentido de los órdenes de magnitud, aptitudes esenciales para la labor de proyecto.
Los Capítulos 50 y 51 están dedicados a los elementos auxiliares en las
Normativa. Básicamente el libro se ajusta a la Instrucción española de Hormigón construcciones de estructuras de hormigón, tales como sistemas de atado, separadores,
Estructural EHE (1999). Sin embargo, frecuentemente se completan sus soldadura, tensores, elementos de suspensión, "inserts diversos", etc. y a los detalles
especificaciones con las de las Normas siguientes: constructivos fundamentales.
MODEL CODE 90 (CEB-FIP) (1990) Los Capítulos 52 a 70 se dedican al dimensionamiento y armado de los diferentes
EUROCÓDIGO EC-2 (1993) tipos de piezas. Quiero destacar el Capítulo 70, dedicado a los pavimentos, porque los
BUILDING CODE REQUIREMENTS FOR STRUCTURAL CONCRETE errores en su proyecto son con frecuencia múltiples y de graves consecuencias.
(ACI 318-95)
He añadido cinco Anejos que tratan temas muy específicos, entre los que debo
Las adiciones a diversos temas de acuerdo con estas Normas, se han realizado destacar el de las tolerancias y el del proyecto con hormigón de alta resistencia.
cuando presentan una documentación alternativa o complementaria, que ha parecido
interesante. Ello se hace siempre con el cuidado que el cambio de normativa requiere. En muchos Capítulos se hace referencia a gráficos y tablas que facilitan el cálculo
y que alcanzan el número de 139. Van
Van dispuestos al final del libro para no interrumpir
Designación de armaduras. Tanto en armaduras activas como en pasivas nos la lectura.
hemos ceñido a la normativa española, hoy muy en la línea de las normas CEN del
Comité Europeo de Normalización. Sin embargo, como muchos de mis libros son de Aún con la considerable extensión del libro, no es posible naturalmente entrar en
uso frecuente en Iberoamérica, he mantenido también designaciones de acero, y por tipos de estructuras muy especializadas. Lo he hecho, en algunos casos, en otro de mis
supuesto tratamientos de cálculo,
cálculo, correspondientes a aceros que están allí en
en uso y no libros. En todo caso la bibliografía que acompaña a cada capítulo, puede ser una buena
lo están en Europa. guía para las ampliaciones y profundizaciones.
La ordenación del libro. Los Capítulos 1a 16 se han dedicado al cálculo estructural, Debo terminar expresando mi agradecimiento a muchas personas que me han
incluida la determinación de las acciones. El Capítulo 10, en particular,
particular, presenta temas ayudado en múltiples aspectos. A Enrique González Valle, Juan Cortés Bretón, Justo
sobre los que la información disponible suele ser escasa y que sin embargo tienen gran Díaz Lozano, Jaime Fernández Gómez, Ramón Alvarez Cabal y José José Ma Izquierdo
trascendencia en el cálculo de las estructuras y en el coste de las mismas. Bemaldo de Quirós, todos ellos de INTEMAC, por sus críticas y sugerencias.
El Capítulo 17 presenta los métodos de cálculo no lineal y los de redistribución A Raúl Rodríguez y Francisco Santos, también de INTEMAC , por su ayuda en la
limitada, hoy de empleo obligado en muchos casos. pro gra mac ión de l os Ejem plos de los Cap itul os 31 y 48 , r esp ecti vam ente .
Los Capítulos 18 al 23 tratan los métodos de cálculo de esfuerzos de los tipos A Noelia Ruano, Claudia Patricia Garavito (Ingeniera Civil Colombiana) y a
estructurales básicos. Benjamín Navarrete (Constructor Civil de la Universidad Católica de Santiago de
Chile), doctorandos en mi Cátedra de la Escuela de Ingenieros de Caminos de Madrid,
les debo un doble agradecimiento por su revisión general de todo el original y por la
corrección de las pruebas de imprenta.
He tenido la fortuna de seguir contando con la colaboración de Maxi Carrero,
Isabel Muñiz, Mercedes Julve y María José G iménez para la mecanografía y con la de
Antonio Machado, Julián Pérez y Teodomiro Villalón, para la delineación de figuras.
He de terminar agradeciendo a INTEMAC su constante ayuda para la edición de
este libro, en particular a A.M. Calavera, Jefe del Servicio de Documentación de
INTEMAC, que ha coordinado la edición.
Madrid, Marzo de 1999 NOTACIONES DE REFERENCIAS

José Calavera
1. Se recuerda que las referencias a otros apartados del libro se realizan por su número
P. ej. “Véase 10.8 ...”
2. La notación entre
entre corchetes
corchetes indica fórmulas
fórmulas
[10.2]
3. La notación entre paréntesis indica referencias bibliográficas

bibliográficas
P. ej. (10.2)
es la segunda referencia bibliográfica del Capítulo 10
UNIDADES Cantidad Unidades S.I.
En este libro se ha adoptado el Sistema Internacional de Unidades y Medidas
S ím b o lo s E q u iv a le n c ia s
(S.I.). Este sistema es el adoptado por la Instrucción española EHE-98, por el
Eurocódigo EC-2 de Estructuras de Hormigón y por el MODEL CODE CEB-FIP 1. Densidad kg/m3 -
1990.
2 . P e s o e s p e cí
cí fi
fi c o k N /m 3 1 k N / m 3 = 10-6 N / m m 3
El sistema es el correspondiente a la Norma Internacional ISO 1000 (3a Edición,
1 de Noviembre de 1992
1992)) “S.I. units and recomendation for the use of these múltiples 3 . L o n g itit u d es
es d i m e ns
ns i on
on a l es
es
and of certain other units”. de las piezas de la estructura
Luces m 1 m = 1000 mm
De acuerdo con ello, las unidades básicas son las siguientes:
Anchos mm
Cantos mm
Cantidad básica Unidad básica S.I. Recubrimientos, etc. mm
N om br e Símbolo 4 . Á r e a s de
de l as
as a r m ad
ad u rraa s mm 2 -
Longitud Metro m 5 . Á r e a s de
de l as
as s e c ci
ci o ne
ne s
Masa Kilogramo transversales de las piezas mm2 _
kg
Tiempo Segundo s 6 . C a p a c id
id a d e s m e c á n ic
ic a s de
de
las áreas de armaduras kN 1 kN = 1000 N
7 . E s f u e rz
rz o s ax
ax i le
le s kN 1 kN = 1000 N
8. E sfuerzos cortantes kN 1 kN = 1000 N

De ellas se derivan las que figuran a continuación:
9 . E s f u er
er z o s r a sa
sa n t es
es kN 1 kN = 1000 N
Unidad S.I. derivada 10. Momentos flectores m kN 1 m k N = 1 06
06 m m N
Cantidad derivada Expresión en 11.
11. Mome ntos torsores m kN 1 kN = 1000 N
términos de unidades
N om br e es pe cia l Símbolo 12. Módulos de elasticidad N /m n r -
bá sic as o de riv ad as
S.I. mm3
13.
13. Módulos resistentes -
Frecuencia Hercio Hz 1Hz= ls'1
14. Momentos de inercia mm 4 -
Fuerza N ew ton N 1 N = 1 k g --m
m / s2
s2
15. Acciones
Presión, tensión Pascal Pa 1Pa = 1N/m2
- Puntuales kN 1 kN = 1000 N
- Lineales uniformemente kN/m 1 k N /m
/m = 1 N / mm
mm
repartidas
- Superficiales kN/m2 1 k N / m 2 = 1 0'
0' 3 N / m m 2
uniformemente repartidas
UNIDADES DE EXPRESIÓN DE LAS FÓRMULAS
16.
16. Tensiones N /m m 2 -
En general todas las fórmulas de este libro están expresadas en mm y N. En los
casos en que se usan otras (múltiplos
(múltiplos o submúltiplos),
submúltiplos), se indic a ex presa men te en cada 17. Resistencias del hormigón MPa (Megapascales) 1 MPa = 1N/mm2
caso.
En cambio, los datos se expresan en los múltiplos de uso habitual en la
normalización europea, transformándose en las unidades S.I. antes de sustituirlos en
las fórmulas. A continuación se indican los más habituales.
CAPÍTULO 1
PLANTEAMIENTO ESTRUCTURAL DEL EDIFICIO
1.1 INTRODUCCIÓN
La función primaria de la estructura es resistir las acciones a que ha de estar
sometida. En este sentido, muchas veces ha sido comparada al esqueleto en el cuerpo
humano, aunque el carácter dinámico del esqueleto hace que la comparación no resulte
completamente exacta.
La resistencia de la estructura, mencionad a en el párrafo anterior,
anterior, debe entenderse
en sentido amplio y no restringirse solamente a la resistencia mecánica de las
solicitaciones derivadas de las acciones actuantes. En particular la resistencia a las
acciones ambientales y la adecuada durabilidad durante el período de vida útil previsto
en el proyecto de la estructura, son aspectos también esenciales.
esenciales.
Raras veces la estructura constituye por sí misma la construcción y lo más
frecuente es que esté interconectada con otras partes, tales como los cerramientos,
divisiones e instalaciones. En este sentido, la estructura no debe nunca ser concebida
aisladamente sino que es necesario integrarla desde la concepción inicial en el conjunto
del proyecto, de forma que resulte plenamente compatible con el resto de la obra.
Esta compatibilidad no siempre es fácil de alcanzar, especialmente porque el gran
desarrollo actual de los métodos de cálculo y de las calidades de los materiales ha
conducido a que nuestras estructuras sean, o puedan ser, mucho más flexibles que lo
eran antiguamente. En sentido vertical, la flexibilidad de los forjados de los edificios
está creando problemas en las tabiquerías. Las acciones horizontales sobre edificios
cada vez más altos y más esbeltos, han conducido a daños en fachadas y han obligado
a desarrollar los sistemas
sistemas de fachadas "flotantes" y de muros cortina ( l. l) 1.
1 Los números entre

entre paréntesis
paréntesis corresponden
corresponden a las referencias
referencias bibliográficas
bibliográficas indicadas
indicadas al fin
fin de cada
capítulo.
13
En algunos casos, la estructura cumple, aparte sus funciones resistentes, otras estructura de hormigón desempeña aquí un doble papel, pues por un lado soporta las
tales como las de cerramiento, división o contención. La tendencia actual es clara en cargas verticales de zonas secundarias de exposición y de paso de visitantes y, por otro
ese sentido y está basada en el principio general de construcción de que es interesante lado, fue utilizada simultáneamente para resistir los empujes inclinados de la cubierta
desde el punto de vista económico asignar a cada elemento el máximo número de en bóveda espacial de 60 m de luz. La fotografía 1-6 corresponde a las Torres del
funciones posibles. World Trade Center de Nueva York, con 110 plantas de altura, que deben ser citadas
Sin embargo, la función resistente prima siempre en el concepto esencial de la como un ejemplo de integración de conceptos en el proyecto y de excelente correlación
estructura y resalta su trascendencia desde muchos puntos de vista, pero sobre todo entre proyecto y proceso constructivo.
desde el del riesgo y la responsabilidad que su proyecto y ejecución suponen. En
claras palabras, el Profesor Fernández Casado lo expresa en su libro
"RESISTENCIA" (1.2).
"Este horizonte de la rotura da un dramatismo vital a esta esfera de conocimientos"
1.2 TIPOS DE CONST RUCCIONES

Los tipos de construcciones de hormigón y en particular los edificios han llegado
hoy a un grado de diversificación tal, que suponen el empleo de un número muy
variado de soluciones estructurales.
Fo to gra fía 1-3. Tel efé rico de Fu en te- De Fo to gr afí a 1-4. Ed ifi cio de co nt en ció n en la
(Santander). Central Nuclear de Asco, Aseó (Tarragona)
Ingeniero de Caminos: J. Calavera Ruiz Oficina de ingeniería del proyecto INYPSA-
Arquitecto: A. Hernández Morales INITEC
INITEC-BECHTEL
-BECHTEL
Fo tog raf ía 1-2. Fa cto ría de p ap el er a de

An da luc ía, M en jib ar (Ja én)
Ingeniero de Caminos: J. Calavera Ruiz
Fo tog ra fía 1-1. Torr es de Jer ez (M ad ri d)
Arquitecto: A. Lamela; Ingenieros de Caminos:
C. Fernández Casado; J. Manlerola; L.
Fernández Troyano
La fotografía 1-1
1-1 corresp onde a las Torres de Jerez, en Madrid, proyecta das como Fo tog ra fía 1-5. Fe ria l d e Ga na do, To rre lav ega Fo tog ra fía 1-6. Wo rld Tra de Ce nte r
edificios para oficinas, "colgados" de unos núcleos resistentes. La fotografía 1-2 es de (Santander) (Nueva York); Arquitectos: M. Yamasaki and
la Factoría de Papelera de Andalucía en M enjibar (Jaén) y representa uno de los tipos Arquitecto: F. Cabrillo; Ingenieros de Cam inos: Associated-E. Roberlson and sons; Ingenieros
de edificio industrial sometido a mayores cargas de uso, que además tienen un fuerte J. Calavera Ruiz; E. González Valle
carácter dinámico. La fotografía 1-3
1-3 representa la Estación Inferior del Teleférico de
Fuente-Dé (Santander). Su estructura, en la que se anclan los cables del teleférico, que
La fotografía 1-7 corresponde a las Torres Petronas en Kuala-Lumpur,
en 1.419 m de longitud salvan un desnivel de 754 m sin apoyos intermedios entre
construidas con estructura de hormigón armado de alta resistencia (80 MPa) y que con
estaciones, se encuentra sometida a acciones horizontales muy importantes. La
88 plantas y 450 m de altura constituyen por ahora el récord de altura en edificios.
edificios.
fotografía 1-4 corresponde
corresponde al Edificio de Contención de la Central Nuclear de Aseó y
se refiere a un tipo de construcción de tecnología muy avanzada y de elevada Finalmente, la fotografía 1-8
1-8 presenta la Tome
Tome de Comunicaciones de la CNR en
complejidad de proyecto. La fotografía 1-5 es del Ferial de Ganado de Torrelavega. La Toronto,
Toronto, que con 549 m es el récord de altura en construcciones de hormigón.
14 15
e) Dur abil idad . Una estructura de hormigón debe ser proyectada, construida y
utilizada de forma que bajo las condiciones de uso y de exposición ambiental
pre visi ble, ma nte nga en u n n ivel ade cua do su s egu rida d, fun cio nal ida d y buen
aspecto durante el tiempo explícito o implícito para su vida útil.
La capacidad de absorción de energía de una pieza de hormigón armado está
bas ada en su duc tili dad y e s a su v ez esen cia l par a que la est ruct ura pue da res isti r si n
derrumbamiento, acciones horizontales tales como las producidas por terremotos,
explosiones, etc.
1.4 ACCIONES SOBRE LA ESTRUCTURA

La estructura ha de resistir acciones de muy vallados tipos. Algunas son de
carácter permanente y otras de carácter variable. Entre ellas, las hay que actúan en
dirección vertical u horizontal y otras que pueden actuar en cualquier sentido. Una
clasificación genérica es la siguiente:
Fo tog ra fía 1-7. Tor res Pe tro na s Fo to gra fía 1-8. Torr e d e Co mu nic ac ion es
(Kuala Lumpur) de la CNR (Toronto) Las acciones pueden c lasificarse desde cuatro puntos de vista generales:
- Por su naturaleza
- Por su variación en el tiempo
1.3 EXIGEN CIAS DE COMPORTA MIENTO - Por su variación en el espacio
La complejidad y abundancia de los tipos de estructura, tal como hemos señalado - Por su carácter estático o dinámico
en el apartado anterior, conduce a que también sean complejas las condiciones de
comportamiento que se les han de exigir. Podemos destacar las siguientes: Clasificación de las acciones por su naturaleza. Desde este punto de vista pueden
distinguirse:
a) Resis tenc ia. En este aspecto, el progreso de los métodos de cálculo, por un
lado, y los estudios probabilísticos sobre la seguridad, por otro, permiten hoy - Acc ion es direct as. Son las que se aplican de forma directa a la estructura, como
estudios muy rigurosos. po r eje mpl o el pes o prop io de la estru ctur a, las resta nte s carg as per man ent es,
las sobrecargas de uso, las acciones de viento, los empujes del terreno, etc.
b) Estabilid ad. Independientemente de los puros aspectos resistentes, el edificio ha
de ser estable, tanto frente a acciones de vuelco como a movimientos del terreno. - Acc ion es indir ectas. Son aquellas deformaciones o aceleraciones importantes
impuestas a la estructura y que de forma indirecta producen fuerzas sobre la
c) Cumplimiento de las condiciones de servicio. Durante la vida útil de la estructura, como por ejemplo las acciones reológicas, los efectos de las
construcción, la estructura debe mantenerse en un nivel aceptable de variaciones de temperatura, los asientos de los cimientos, las acciones del
condiciones de servicio. Entre los estados límit e. de servicio, cabe destacar: pret ensa do, las acc ione s sísm icas, etc.
- Deformaciones verticales de forjados y vigas. Clasificación de las acciones por su variación en el tiempo. Desde este punto de
- Deformaciones laterales de la estructura. vista pueden distinguirse:
- Fisuración excesiva de las piezas, debida al alargamiento de las armaduras. - Acc ion es p erm ane nte s. Las denominaremos con la letra G y son aquellas que
actúan en todo instante con magnitud y posición constantes, como por ejemplo
- Fisuración o desintegración del hormigón debidas a tensiones excesivas de el peso propio de la estructura, las restantes cargas permanentes y las
compresión. sobrecargas de carácter fijo.
- Percepción por lo ocupantes de los movimientos del edificio. (Vibraciones - Acc ion es per ma ne nte s de val or no const ante . La denominaremos con la letra
prod ucid as p or c arga s de uso, flec has late rale s d ebid as al v ient o, etc.) . (1.3), G*, y son aquellas que actúan en todo instante con posición fija, pero cuya
(1.4), (1.5), (1.6). magnitud no es constante a lo largo del tiempo, tales como las acciones
d) Duc tilid ad. Se entiende por ductilidad de una estructura la capacidad de reológicas, los asientos en los cimientos, la fuerza del pretensado, etc.
soportar deformaciones después de alcanzada la deformación de agotamiento, - Ac cio nes vari able s. Las denominaremos con la letra Q y son aquellas que
mientras aún resiste cargas. pue den actu ar o no sob re la estru ctu ra, com o po r ejem plo las sobr eca rgas de
16 17
uso, las acciones de viento, las debidas a las variaciones de temperatura, las
debidas a los procesos constructivos empleados, etc.
- Acc ion es acci dent ales . Las denominaremos con la letra A y son aquellas cuya
prob abil idad de act uac ión es muy baja pero que pro duc en efec tos de gran
importancia, como por ejemplo los impactos imprevistos, las explosiones, los
efectos sísmicos, etc.
Clasificación de las acciones por su variación en el espacio. Desde este punto de
vista pueden distinguirse:
- Ac cio nes fi ja s. Son las que actúan siempre en el mismo punto y con la misma
dirección y sentido, como por ejemplo los pesos propios de la estructura y las
cargas permanentes.
- Ac cio nes libres. Son aquellas cuyo punto de aplicación, dirección o sentido
Fi gu ra . 1- 9 F ig u ra 1- 10
pue de cam bia r a lo la rgo del tiem po, como por ejem plo las sobr ecar gas de uso.
La organización más habitual es la de entramados paralelos entre sí, enlazados
Clasificación de las acciones por su carácter estático o dinámico. Pueden por forja dos o l osas trab aja ndo en una sola dire cció n. (Fig. 1-10).
distinguirse:
Para luces grandes, y en especial para edificios industriales, pueden disponerse
- Acc ion es está tica s o cuas i-est átic as. Son aquellas que no presentan variaciones entramados cruzándose en dos sentidos, en cuyo caso los forjados se transforman en
especiales de su intensidad a lo largo de la vida de la estructura, o bien plac as. (Fig. 1-11).
prese ntan sólo un núm ero red uci do de varia cion es apre ciab les.
- Acc ion es diná mica s. Son las que presentan un número elevado de variaciones
importantes de su intensidad a lo largo de la vida de la estructura.
Nue stras exig enc ias de seg urid ad no son igual es fren te a todos los tipos de
acciones. Frente a aquellas cuya aparición se considera muy probable, norm almente se
exige que el edificio mantenga sus condiciones de servicio. Para otras, como las
acciones sísmicas y la mayoría de las accidentales, se exige simplemente que no se
pro duz ca el d erru mbam ient o de la e struc tura, pero se a cept a n o sólo que el e difi cio no
mantenga íntegras sus condiciones de servicio, sino que incluso se produzcan
agotamientos locales de la estructura. Lo contrario, al conducir a la exigencia de
niveles altos de seguridad frente a acciones sumam ente improbables, conduciría a un
coste insostenible de la mayoría de las estructuras. Fi gu ra . 1- 11 F ig ur a 1- 12
Una variante interesante del caso anterior es la de los forjados sin vigas, o
pla cas sob re apo yos ais lad os, bien mac iza s o bie n ali ger ada s, tal com o se ind ica en
la Fie. 1-12.
1.5 SISTEMAS ESTRUCT URALES
El número de sistemas estructurales es enormemente variado. A continuación y
de manera convencional, los analizaremos someramente, clasificándolos en dos
grandes grupos según sean primordialmente aptos para resistir acciones verticales u
horizontales.
1.5.1 SISTEMAS ESTRUCTURALES ADECUADOS PARA RESISTIR

ACCIONES VERTICALES
La solución clásica está constituida por forjados, vigas y pilares que transmiten
las cargas a la cimentación. (Fig. 1-9).
18 19
El interés principal de este tipo de solución reside en el hecho de que permite una La solución puede estar constituida íntegramente po r pantallas, tal como se indica
mayor facilidad de distribución en los edificios de viviendas, oficinas, etc., al no existir en la figura 1-18.
vigas aparentes en los techos. Una solución alternativa a la indicada en la figura 1-10
se indica en la 1-13 y emplea vigas planas, es decir del mismo canto del forjado. Una variante interesante de lo an teriores la indicada en la figura 1-19, con pantallas
alternadas en los diferentes pisos, permitiendo la creación de grandes espacios diáfanos
Finalmente, un sistema actualmente en uso es el de losas y muros construidos por (1.3). Obsérvese que la luz funcional de las losas es el doble de la luz estructural.
el sistema de "encofrados túnel" o sistemas variantes que se indica en la figura 1-14.
1.5.2 SISTEMAS ESTRUCTURALES ADECUADOS PARA RESISTIR

ACCIONES HORIZONTALES - A í l _ f]
Si éstas no son muy importantes, el sistema de entramados puede seguir siendo b rzi n
una solución válida (Fig. 1-15). Los forjados funcionan como grandes vigas pL n IT
horizontales, repartiendo las acciones horizontales a todos los entramados mediante lo tt H
que habitualmente se denomina "Acción diafragma". “T3 1 A ?
- i i i k-L
2 3 SECCION LONGITUDINAL
PERSPECTIVA
F ig u ra 1- 19 F ig ur a 1- 2 0
Para estructuras muy altas y esbeltas, suele emplearse la solución en tubo (Fig. 1-20).
Se entiende por estructura en tubo aquella formada por tres o más estructuras o pantallas
unidas por sus bordes para resistir las acciones horizontales funcionando como un
voladizo. Los tubos pueden materializarse en cajas de escaleras, huecos de ascensores y
organizarse también en las fachadas, aligeradas por los huecos necesarios (1.4).
Una solución, aún más pote nte en cuanto a recursos, es la indicad a en la figura 1-21,
compuesta de un tubo en fachada y un núcleo interior, conocida por "tubo en tubo".
n
Mayor rigidez se consigue rellenando los recuadros de los entramados, total o
par cia lm ent e, con ma ter ial es tal es com o lad rill o, blo que s pre fab ric ad os, etc . (Fig.
1-16).
Si las acciones horizontales cobran importancia, será necesario asociar pantallas
y entramados, solidarizados por los forjados, tal como se indica en la figura 1-17.
• £ ¿2'-rr' A l
XÉL n
J L n . _Q__ Q - L_,
A . -CLJ i——.
""A A j Q 5
i SECCION LONGITUDINAL
F ig ur a 1- 21 F ig u ra 1- 22
PERSPECTIVA
La agrupación de estructuras "tubo en tubo" en paquetes interconectados conduce

F ig u ra 1- 18 (Fig. 1-22) al paquete de tubos, que es actualmente la solución de mayores posibi-
20 21
Teorema: NM es po siti vo c uan do e l se ntido del v ecto r NM c oinc ide c on l a di rec ción posi tiva
El áng ulo (p2.¡ fo rm ad o p or las tang ente s t2 y t} en dos pu nto s de la elá stic a de del eje y.
abscisas x2y x¡, es igual al área comprendida entre el eje x, las abscisas x¡ y x9y la
Teorema:
curva cuyas ordenadas valen en cada punto — — . Si en la viga el producto El es
El La dist anc ia de un p un to N de la elásti ca, de absc isa x }, a l p un to M dond e la
tangente a la elástica en otro punto de abscisa x2 corta a la ordenada de x}, es igual
constante entre las abscisas x¡ y x2, la curva es la del diagrama de mom entos flecto res,
al momento estático respecto a x = x, del área encerrada entre el eje x, las ordenadas
bastando dividir el área por El.
x = x¡, x = x2 y la curv a de mom ent os div idid os p or EL
3.3.2. SEGUNDO TEOREMA DE MOHR

3.4. PIEZA RECTA, EMPOTRADA POR SUS EXTREMOS, DE
SECCIÓN E l VARIABLE
Sean dos puntos de abscisas Xj y x2 (Fig. 3-5). Vamos a determinar el valor del
segmento MN, siendo N el punto de la elástica de abscisa x1y M el de intersección con
su ordenada de la tangente t2, en el punto de abscisa x9.
+y
Metí
Sea x la abscisa de un punto variable entre Xj y x2 y x + dx un punto infinitamente

próx imo. Las semi tang ente s en estos punt os form arán un ángu lo d(p. F ig u ra 3 -6
En el triángulo PQR, PQ = PR, pues d(p es infinitésimo y podemos aceptar eos cp= 1.
Sea Mj el momento flector en la viga a poyada por sus extremos y sometida a las
Luego, dl= (x—Xj) dtp mismas cargas. Las secciones de apoyo girarían unos ángulos 0dy 0f. Para reducir esos
ángulos a cero, aplicamos unos momentos en los extremos, de valores Med y Mef.
NM = - “(x — x,)dcp 1 (Momentos que el empotramiento ejerce sobre los extremos de la pieza).
Consideramos un caso de carga, el de la viga isostática a la que corresponde una
Mf ley de momentos M 1 (x), unas reacciones de apoyo Yld, Y lf, y una ley de esfuerzos
y como cp = sen cpde [3.3 ] res ult a dep = — - dx
El cortantes (x).
f Consideremos otro estado, el de la viga isostática pero sometida solamente a la
2 Mf acción de los momentos exteriores Med, Mef que dará una nueva ley de momentos
NM : (x — x,) dx [3.8] flectores M 2 (x), unas reaccione s de apoyo Y2d, Y2f, y una ley de esfuerzos co rtantes
El
Q200.
La suma de los dos estados nos da el estado de doble empotramiento.
1 El signo menos se introduce por conveniencia para la regla de signos de NM que se indica más abajo. Tenemos para el segundo estado aplicando las ecuaciones de equilibrio
36 37
Mef + Med y las reacciones de apoyo

Mef + Med + Y2f L - O -» Y2f = ■ [3.9]
L Mef + Med
Yf=Ylf- [3.17]
Mef + Med
”^2d + Y 2f - O •Y [3.10]
Mef + Med
[3.18]
M2 ( x ) = Mef - Mef+Med (L - x) = M ef ^ + Med [3.11]
Caso particular
La ley de momentos flectores del estado suma será
Un caso particular de notable importancia lo constituye la pieza recta de sección
x x L El constante.
Mf —Mj (x) + M f — h M ed-------- [3.12]
En este caso el sistema [3.13], [3.14] se transforma en
La condición de doble empotramiento puede expresarse por medio de los dos
teoremas de MOHR aplicados a las secciones extremas.
En primer lugar, el ángulo formado por las tangentes a la elástica en los puntos Mj (x) d x + ----- dx
X A H------ (x- L) dx = 0
de abscisas x = 0 y x = L ha de ser nulo, luego o L 4o L
Mf
dx = 0 M.,
o El MP1
x M1(x) dx + - x2 dx + - x (x - L) dx = 0
y en segundo lugar, la tangente en el punto de la elástica de abscisa x = L ha de L *,o
interceptar en la vertical de abscisa x = 0 una distancia nula, o sea
o bien
Mf
x dx = 0 Mi (x) dx + — (Mef - M ed) = 0 [3.19]
o El o 2
resultando el sistema
i L2 L2
L
dx Mef dx M,ed dx x M , (x) d x H M ef - — M ed = 0 [3.20]
Mj (x) — + — ( x -L ) — = 0 [3.13] o 3 6
0 El L •'o El L El
Resolviendo el sistema y llamando:
dx Mef dx L
xM , (x) — +- ef x (x - L) — = 0 [3.14] M. (x) dx = área de la curva de momentos flectores en la viga simplemente
El L *o El L 'c El A=
''o apoyada con las mismas cargas.
L
Resolviendo este sistema se obtiene Med y Mef y con ello las expresiones S= x Mj (x) dx = momento estático, respecto al apoyo dorsal, de la curva de
generales de los esfuerzos resultan: momentos flectores en la viga simplemente apoyada con las
mismas cargas.
M f = M 1 ( x ) + M ef -^ + M ed^ L [3.15] se obtiene 2A _ 6S
r — __ [3.21]
ef L L2
Mpf + M .j
Q = Q i(x) - -------------------------------------------[3.16] r — 4A 6S
[3.22]
ed L L2
38 39
3.5. COEFICIENTES ELASTICOS En el caso particular de piezas de sección El constante resulta
Supongamos una pieza recta de sección El variable, con articulación dorsal y L
empotramiento frontal. (x2- Lx) dx
+y Mcf = -M d
x2 dx
vo
3.5.1. FACTOR DE TRANSMISION

Se define como el cociente del momento transmitido Mef, al aplicado Md y lo
F ig u ra 3- 7 designaremos por pdf (transmisión del extremo dorsal al frontal).
De acuerdo con la fórmula [3.24] resulta
Suponemos que en el extremo dorsal (articulado) actúa un momento exterior (no L
un momento de empotramiento) Md. Esto producirá un momento de empotramiento dx
(x2 - Lx) EI
frontal Mef y unas reacciones Yd, Yf. Vamos a calcularlos. M ef
[3.25]
P d f ------- mh
Aplicando las ecuaciones de equilibrio. - dx
Yd + Yf = 0 x2 El
Md + Mef
Md + Mef + Yf L = 0 Yf = Md ^ •
L Para el caso de sección El constante, ya hemos visto que Mef es decir,
El momento flector en el punto de abscisa x vale
Mef = J_ [3.26]
Mr = Mef + Yf (L -x ) [3.23] Md 2
o bien
x- L Análogamente existe un factor de transmisión Pfd (del extremo frontal al dorsal).
M f = Mef-*~ + Md- Podría deducirse una fórmula análoga a la [3.24], pero es más sencillo situar la pieza
L
en posición inversa, en el mismo sentido de ejes. Por supuesto, si la pieza es simétrica,
Aplicando el segundo teorema de MOHR, imponemos la condición de
Pdf “ Pfd*
empotramiento en el apoyo frontal
3.5.2. RIGIDEZ DE LA PIEZA EMPOTRADA

dx Mef x2^ - ^ dx
xMf— = 0 (x2 - L x )— = 0 Se define como la relación entre el momento aplicado en el extiemo libie paia
♦'o El L o El L o El
girar (el dorsal en nuestro caso), y el giro producido. Por tanto, para cada pieza, según
se suponga libre para girar el extremo dorsal o el frontal, existe la rigidez dorsal y la
dx frontal (Kd, Kf).
(x2- Lx) H
y por tanto Mcf = - Md- [3.24] En nuestro caso
M,i [3.27]
x El K„ =
Esta expresión nos proporciona el valor del momento que resulta en un extremo siendo 0 el ángulo girado
empotrado, cuando en el otro, libre para girar, se aplica un momento exterior. De acuerdo con el primer teorema de MOHR
40 41
O para empotramiento perfecto. Este método permite considerar valores Por tanto:
K
intermedios d e para casos de empotramientos semirrígidos. Más adelante Mfd = -M d [4.4]
YK [4.5]
Mff = Mf
ampliaremos este tema.
4.3.3. MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO Y MOMENTOS FLECTORES 4.3.4. REACCIONES Y ESFUERZOS TOTALES
En la práctica del método (4.3.6) deben distinguirse con claridad ambos Consideramos la parte de entramado indicada en la Fig. 4-7 y en particular la
conceptos, no siempre coincidentes y ligados al sentido de avance elegido para la pieza pie za DF y sean MD y M F los mom ento s de em potr ami ent o final es en sus extre mos.
considerada.
Sea el pórtico de la Fig. 4-6a sometido a una carga descendente uniformemente +y
repartida sobre el dintel. Supongamos realizado el cálculo por el método de Cross y +J
sean los momentos finales de empotramientos los indicados sobre la figura b)1. Los
F
diagramas de momentos flectores se indican en c) y la deformada en d).
MF
Obsérvese que, considerando por ejemplo el pilar izquierdo y con los sentidos de
avance indicados en b), el momento de empotramiento (acción del nudo sobre la pieza) md
en el extremo A es negativo mientras que el momento flector (ver curvatura en la >» D0 *
deformada) es positivo. +
q kN/m F ig ur a 4 -7 F ig u ra 4- 8
n m u n u n i
Aun cuando no actúen cargas directamente sobre la pieza DF, es decir aun cuando
los momentos de em potramiento resultantes MD, MF sean debidos a los efectos de las
acciones sobre otras piezas, la DF se encuentra en general sometida a esfuerzos
D cortantes. Su deducción es inmediata en valor y signo asociando un sistema de ejes
coordenados con origen en el extremo dorsal y con el eje +X coincidiendo con DF en
[a ) te] pos ició n y sent ido de avan ce. Par a may or cla rida d repr ese nta mos aisl ada la pie za DF
+ M, en la figura 4-8 colocada en la posición habitual con lo cual estamos en el caso
-M , + M, analizado en el apartado 3.4
y de acuerdo con [3.9] y [3.10]
M
Mrd + Mp r.
•M]
Y2f
^ f == Yn
YF== ------
------ -
- ------ [4-6]
L
Cb) F ig u ra 4- 6 [d i
md + mf [4 7]
Y2d = YD= +
Para el extremo B del mismo pilar el momento de empotramiento es negativo y
el momento flector lo es también. En definitiva se deduce lo siguiente: Las fórmulas [3.9] y [3.10] pueden ponerse en función de los momentos flectores
- En el extremo dorsal el momento flector es igual en valor absoluto y de signo en los apoyos en lugar de emplear los de empotramiento (del nudo sobie la pieza).
contrario al momento de empotramiento. Basta ver que
- En el extremo frontal el momento flector es igual en valor y signo al de Med = -M fd
empotramiento. Mef = Mff
siendo Mfdy Mff los momentos flectores dorsal y frontal respectivamente y resulta por
1 Los valores y M2 representan en esta ocasión los valores absolutos con objeto de que figure
explícito el signo. tanto:
53
dejándose de considerar de ahí en adelante el voladizo a todos sus efectos. Los
[4.8] esfuerzos en el voladizo son, naturalmente, los correspondientes isostáticos.
A
Mff + Mfli
Y2d = YD = - fl fd [4.9]
B {
M2 = MF + Md ~ ~ ~ [4 -10J
% 3? 7/
La Ley de esfuerzos cortantes es: Figura 4-10

Mn + M f Debe prestarse atención al signo con que el momento M del voladizo se introduce
Q = Yp = - — 5------- L [4.11] en la suma I Mo. Al ser acciones del nudo sobre la pieza, con las cargas y sentidos de
avance de la figura, el signo de M es negativo para el voladizo A y positivo para el
voladizo B. Ver ejemplos b) y d) del apartado siguiente.
Puede resultar también interesante en algunos casos expresar Q en función de los
fnomentos flectores. Aplicando [4.4] y [4.5] en [4.11].
4.3.6. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
[4.12] a) Viga continua
L Consideramos una viga continua de tres tramos, con luces de 5, 6 y 4,5 m sección
200 x 500 y carga uniformem ente distribuida de 20 kN/m (Fig. 4-11).
Si sobre la pieza incidiesen cargas directas los esfuerzos totales se obtendrían
sumando a los [4.6], [4.7] y [4.10] los correspondientes a la pieza considerada como Se ha comenzado por dibujar un esquema de la estructura. Como las piezas son
isostática, tal como se indicó en [3.15], [3.16], [3.17] y [3.18]. simétricas, Kd = Kf = K. El valor K se ha escrito en el centro de cada pieza. (Si Kd *
Kf, cada valor debe escribirse en la extremidad correspondiente).
Para el caso de los esfuerzos axiles (Fig. 4-9) se procede análogamente. Tomando
como ejemplo el pilar AB, el esfuerzo axil transmitido por la planta DAF viene dado A continuación se han calculado los coeficientes de reparto —— en cada uno de
por la sum a de las reac cion es tota les, front al del vano DA y dorsa l del vano AF, los extremos de pieza. K
compuestas a su vez de las correspondientes isostáticas e hiperestáticas tal como
hemos visto. K
Para los apoyos extremos debe tenerse en cuenta que — - 1, puesto que es
LK
apoyo articulado (o deslizante) y no concurren otras piezas en el nudo.
o A F
Los factores de transmisión se han escrito junto a los de reparto, en la extiemidad
de cada pieza. En cada nudo se ha escrito el valor X K, puesto que conviene teneilo
¿
anotado para posibles comprobaciones.
Seguidamente se calculan los momentos de empotramiento perfecto (Mo), que en
F ig ur a 4 -9
este caso valen -L qp dorsales y - L q[2 ios frontales1. A continuación, en cada
12 12
nudo se calcula I Mo, que es el momento de desequilibrio2. A cada extremidad de
4.3.5. CASO DE ENTRAMADO CON VOLADIZOS
1 Nótese que estos momentos de empotramiento son del nudo sobre la pieza.
Los voladizos al tener libre el extremo opuesto al empotrado en el nudo, ni 2 De hecho, como los valores son momentos del nudo sobre las piezas, los de las piezas sobre el nudo
aceptan momentos al girar los nudos ni tampoco transmiten momentos de un extremo serían - Mo y el momento de desequilibrio del nudo sería X (- Mo) y X Mo el equilibrante del nudo,
a otro. que al repartirlo a las piezas debería ser nuevamente cam biado de signo, para obtener momentos
sobre las piezas, que son los que nos interesan. Com o se verá en lo que sigue, es más sencillo calcular
Su papel en la aplicación del método de Cross se reduce a co nsiderar su momento X Mo y cam biar de signo al repartir, manejando así siempre momentos del nudo sobre las piezas, es
de empotramiento (acción del nudo sobre la pieza) e incluirlo en la £, Mo inicial, decir, momentos de empotramiento.
55
54
pie za se le rep art e un mo me nto - (X M o) , cuyos valores se escriben como M. 7
455,'3V
IK Ms=+0,3
M5=+ 0,1
M¿.=—0.2 M4= 0
La raya que se traza a continuación del valor Mj sirve para recordar que en ese M3=- 1.2 M3=-0 ,3
M2=+2,4 m2= 0
nudo se ha terminado el ciclo de reparto. Se procede análogamente con los demás Pdf =0-50 Mi =+1,3 Pdf =0-50 Mi =+4.7
K:EK=0,52 MO=+60 K:EK=0,50 .Mq =+50,6
nudos y a continuación se realiza la transmisión a los extremos opuestos, cuyos valores EK = 694
se escriben como M2. Una vez realizadas las transmisiones, se calculan los valores EM2=+2,4
EM0=-9,4
EM2= +0,6
X M2, que son los nuevos momentos de desequilibrio y el ciclo se repite tantas veces 3/4 K=315 EM4=-0,2 EM4=-0,6 3/4 K=347
Mo=-62,5 M0 = - 6 0 ,
como la precisión exigible a los resultados lo requiera. Ml=+1,2
K:EK=0,48 Mi=+4,7
KÍK=0.50
M2 = 0 Pfd M2 = + 0 , 6 Pf d =0.50
M3 = - 0 . 3
Na tur alm en te los mo me nto s en los apo yos ext rem os han de res ult ar 0, p ues to que M3=-1,2
M4=—0,6
m4 = 0 |
en estos apoyos todos los momento s al ser K = 1, se equilibran automáticam ente. Mfi=+0,1 Ms=+0,3
!
:+ 6T r5'v '+ 5 4 1-8.v
q=20 kN/m
M5= - 4,1 Ms=+ 0,1 M5=+ 0,2
M¿=+ 4.1 Ma =- 2.E M¿=- 3.B
M3=+ 5 M3=+ 7 M3= - 7.2 “ZS"
M2=— 5 M2=+ 5,6 M2=+16, 9
ftjf =°-50 ¥j=-4f.7
K:EK=1.00 Mq=+41 ,7
Pdf =0'50 Mí =- 8,4
K:£K=0,46 Mq=+ 60
Pdf =°-50 Mí =+14,9
K:EK=0,57 M0=+33.8
4 -
EK = 417 EK = 764 EK = 810 EK = 463
EM0=+41,7 EM0=+18, 3 EM0=—26,2 EM0 =-3 3,8
EMZ=- 5,1 EM2=-15,2 EM2=+12,7 em2=+ 7,4 Valores de k en m kN • 10'
EM4=+ 4.2 K=417 EM4=- 0,3 K=347 EM4= - 0,3 K=463 sm4= - 3,6
-41,7 M0= - 60 Mq =—33,8 i
K:EK=0,54 K:EK=0,43 K:EK=1.00
- 9.9
/3fd =0.50
Mi=+11,3
Pfd -0,50
Mi =+33,8
Pf d =0.50
SECCION DE VIGA 20 0 x 500
M2=-2 0, M2=- 4,2 M2= + 7,4
M3=+ 8. m3= - 5,5 M3= - 7,4
M4=+ 2.5 m4=+ 3,5 | M4=~ 3,6 Figura 4-12
Ms-4 0.2 m5=+ 0.1 Mfi=+ 3,6
,± s. 1-5-: : - 5 4 8- v !
q = 20 kN/m
M5=- 6,5 M5=+4,5

M4= + 6.5 M4= —4,5
M3= - 6 M3=+ 19,6 .•*55.2-::
Mp=+ 6 M2=—5,6
P df =o.5 ° Mi=-54 Pdf -0'50 Mt=+18 M0=+35,2
Valores de k en mkN *10'A K:£K= 1.00 ■Mq =+54 K:£K=Q,50 r Mq =+24
EK = 750 EK = 1875 EK =1125
EM0=+54 ZM0=-30 £M0=+11,2
SECCION DE VIGA 200x500 £M2=+ 6 EM2= -32, S EM2=+ 9
£M4= + 6,5 EM4=:—7,5 EM4=+ 9.3
Figura 4-11 Mq =-54 . K:EK=0.40 Mq=—24 ¡ K:EK=1,00
«1=+12 Mj =- 11,2
M2= -27 Pfd -° '50 M2= + 9 Pfd =0.50
M3= +13 m3= - 9
M4=- 3 I m4=+ 9,B
En la figura 4-12 se ha resuelto el mismo problema pero con una simplificación M5= + 3 ¡ Mf}=- 9.8
que abrevia notablemente los cálculos y que consiste en emplear la rigidez de la pieza •- 5 6 •••• - 3 5 ,2'v
í
empotrada en un extremo y articulada en el otro, que como se recordará es 3/4 de la P=1OkN
pie za em pot rad a. La dif ere nc ia con la res olu ció n ant eri or est rib a en que, en est e cas o, q = 18 kN /m
en los extremos opuestos a las articulaciones, el factor de transmisión es nulo, pues la
ZN ZN ~ZE“
pie za no pu ede ace pta r mo me nto s en la arti cul aci ón. Po r su pue sto los mo me nto s de
1 1
empotramiento M„ son - 62,5 y 50,6 que corresponden a pl2 y — pl2 4
8 8
V a l o r es d e k e n m k N • 10 '
respectivamente, por tratarse de vigas empotrado-apoyadas.
SECCION D E V I GA 2 5 0 X 6 0 0
1 En lo s c aso s d e r ed o nd eo d e n ú mero s q u e termin an en 5 , se fu erza la cifra an terio r si es p ar, y n o se

fuerza si es impar. Esto se hace con la intención de distribuir errores (cfr. Norma UNE 7018).
F ig ur a 4- 13
57
4.3.10. ENTRAMADO S REDUCIDOS EN CASO DE SIMETRÍA

De acuerdo con lo anterior, si hay simetría de forma y cargas, se tiene lo
siguiente:
a) Entr ama do con núme ro imp ar d e v anos. El entramado reducido (Fig. 4-21) es
la mitad izquierda, suponiéndose empotramientos virtuales en los puntos
medios de BB’ y DD \ Los momentos de empotramiento perfecto dorsales de
BB’ y DD \ son los correspondientes a la carga real sobre la luz completa L. En
Análogamente cambio las rigideces de las piezas virtuales BM y DN se toman de acuerdo con
[4.13] y [4.14] (Para el caso de sección constante iguales a la mitad de las
V = Kd [ l - p df] [4.14] correspondientes a BB’ y DD’). Los momentos de empotramiento en la mitad
derecha son iguales en valor absoluto y de signo contrario a los obtenidos para
y como Kf - Kd y pfd= pdf, Kfv= Kdvde acuerdo con la simetría de la estructura. la izquierda.
Para el caso de sección constante, pfd = pdf = 0,5 y resulta:
Kfv= 0,5 Kf [4.15]
X .
Kdv= 0,5 Kd [4-16]
Q
J F
4.3.9. RIGIDEZ VIRTUAL EN EL CASO DE ANTIMETRÍA

Análoga mente, en las fórmulas [4.2] y [4.3] se tiene Md= M f, Med = Mef y 0d = 0f
con lo que:
Mf - Mef + Kf 0f [ 1 + p fd]
F ig ur a 4- 21 F ig u ra 4- 22
Mf - Mef
= KfV= Kf [1 + p fd] [4.17]
b) Ent ram ado con núme ro p ar de vanos. Sea el entramado de la figura 4-22. En
este caso la simetría obliga a que el giro de los nudos C y F sea nulo, y por
Análogamente se obtiene: tanto el entramado reducido es el de la mitad izquierda, suponiendo para el
cálculo empotramiento perfecto de los dinteles en C y F respectivamente. Los
Kdv= Kd [l + Pdf] [4.18] pila res situa dos en el eje de sim etrí a no está n some tido s a mo men tos flec tore s
ni a esfuerzos cortantes.
y para pieza de sección constante:
Nat ura lmen te, en este caso las rig idec es de la s pie zas BC y EF son las real es y no
Kfv = 1,5 Kf [4.19] las virtuales. Los momentos de empotramiento en la mitad d erecha son iguales en valor
Kdv= 1,5 Kd [4.20] absoluto y de signo contrario, a los obtenidos en la m itad izquierda.
Las fórmulas [4.19] y [4.17] se deducen directamente del hecho de que la

antimetría supone (Fig. 4-20) la existencia de un punto de momento nulo en la mitad 4.3.11. ENTRAMADO S REDUCIDOS EN CASO DE ANTIMETRÍA
de la luz, por lo que a todos los efectos la pieza real puede reemplazarse por otra de luz
mitad empotrada en su extremo real y articulada en una articulación virtual situada en Análogamente se pueden presentar los dos casos siguientes, cuando hay simetría
el punto medio de la luz. La rigidez de esta pieza virtual resulta: de forma y antimetría de cargas:
3 El 6 El a) Ent ram ado con núm ero imp ar de vanos. Sea el entramado de la figura 4-23.
Kdv= Kfv= [4.21] El entramado reducido es el de la mitad izquierda con articulaciones en M y
_L L
2 N. Pa ra la pie za BM, se tom an las carg as rea les, actu ante s sobr e BM
que es vez y media la rigidez de la pieza real. solamente, como luz se adopta ^ y como rigideces las dadas por [3.32], que en
62 63
el caso de sección cons tante son 1,5 veces las de la pieza de luz L,
correspondientes a la pieza de luz ~ y articulada en un extremo1.
Los momentos de empotramiento en la mitad derecha son iguales en valor

absoluto y del mismo sígno que en la mitad izquierda.
A
I
R
T
E
M
I
T
N
A
Y
A
I
Figura 4-23 R
T
E
M
I
b) En tra m ad o con nú me ro p a r de van os. Sea el entramado de la figura 4-24. El S
entramado reducido es el de la mitad izquierda tomando para las piezas cuyas R

O
directrices coinciden con el eje de simetría, momentos de inercia iguales a la P
mitad de los reales. La razón de esto es que dichas piezas experimentan

S
deformaciones debidas por partes iguales a las cargas situadas en la mitad E
N
izquierda y en su simétrica. Para que en el entramado reducido dichas piezas O
I
C
tengan las mismas deformaciones que en el real, al actuar sólo las cargas A
C
correspondientes a la mitad del pórtico ha de tomarse momento de inercia, I
F
I
rigideces y esfuerzos iniciales (momentos) mitad. L
P
M
I
Los momentos de empotramiento en la mitad derecha son iguales en valor S
absoluto y del mismo signo que en la mitad izquierda. Los esfuerzos en las piezas E
D
cuyas directrices coinciden con el eje de simetría son del mismo signo pero de valor
doble que los obtenidos en el entramado reducido. N
E
M
La tabla 4.1 resum e todo lo relativo a simetrías y antimetrías. U
S
E
R
1 Naturalmente puede también suponerse la luz completa Ld e B B\ las cargas actuantes sobre toda la
luz y rigidez 1,5 veces la correspondiente a la luz L, considerando en ese caso la pieza BB! como
biem pot rad a. En sen tido estric to, este pro ced im ien to es el que se de riv a de 3.3.9 per o pare ce más
intuitivo el expuesto de considerar articulación en el punto medio y las cargas actuantes sobre la
mitad izquierda de la pieza.
64 65
4.3.12. ORDENACIÓN PRÁCTICA DE LOS CÁLCULOS
BIBLIOGRAFÍA
Hasta aquí, hemos empleado un sistema de ordenación de los cálculos en los
distintos ejemplos, que resulta útil para la explicación, pero es muy prolijo para la
prá cti ca hab itu al del mét odo de Cross . De aqu í en ade lan te emp lea rem os el (4.1.) FERNÁNDEZ CASADO, C.; FERNÁNDEZ CASADO, J.L. “Cálculo de Estructuras
pro ced imie nto prác tico usua l cons iste nte en la rep rese ntac ión , más esqu emá tica , Reticulares”. Séptima Edición. Dossat. Madrid 1958.
indicada en la figura 4-25 que corresponde a un nudo del ejemplo d) del apartado 4.3 A FERN ÁND EZ CA SADO , C. “Estructuras de Edificios”. Dossat. Madrid 1955.
(4.2.)
F ig u ra 4- 24
F ig u ra 4- 2 5
4.3.13. COMPROBAC IÓN DE LOS CÁLCULOS

Independientemente de la condición I M = 0 que debe cumplirse en cada nudo,
existe una comprobación adicional simple en cada nudo y es verificar que todas las
piez as con cur rent es en el nudo han gira do el mism o ángu lo a cau sa de las carga s
aplicadas.
Para ello basta comprobar que en la extremidad de cada pieza concurrente en el
nudo el ángulo 0 es igual para todas las piezas.
66 67
b) En el caso ant erio r h a ba stad o c on rea liz ar el c álc ulo trasl acio nal. Ello ha sido
debido a que los pilares eran de la misma longitud. Veamos ahora el caso de 6-20.000 300-6003-0,6
la figura 5-17 cuyo entramado se encuentra sometido a una elevación de •io-6
temperatura de 20°C con E = 20.000 N/mm2 y un coeficiente de dilatación dilatación (12- 103)'
Yb + Y c = -16,33- ■= - 16
16 ,,33 3 — = - 0 , 4 4 k N
térmica de 10-5. 100 100
Al ser los dos pilares de longitudes desiguales, la elevación de temperatura
pro duc e un asce nso rela tivo del pun to C re spe cto al B. Esta suma de fuerzas, al no estar en equilibrio, provoca la traslación del dintel
hacia la derecha, hasta que esta traslación A-, produzca unas reacciones iguales
A, = (600 0 - 3000 ) • 10*5 . 20 = 0,6 mm y de signo
signo contrario
contrario aY B+ Yc.
6EIA,- 10-6
Lo que introduce unos momentos primarios en los extremos del dintel Llamando A2a la traslación y haciendo - -= 100 los momentos en
(3 • 103)
103)
6EI A, 6EI A,
M b = Mc = L _ . 10
------------- 1 0-« el pilar izquierdo, los momentos en el derecho serán------------ -10*6
(12 • 10+ (6 ■103)
iguales por tanto a 250. El cálculo traslacional se indica en la figura 5-19.
uHaciendo--------------
j 6E
6E I A i T = 100 se realiza el cálculo traslacional indicado en la
Haciendo--------------T j-BSl
(1 2 • 10 3)~
'-'653 * 1+261
figura 5-18. 1+271 r
V7
7.
VALORES ADOPTADOS
■ 0 ,6
,6 7 ¡+0,24|
0.33 o.ao 0,20
>+: 8 :6 :
77Z
+ 65 :+:2.6':
Fi gu ra 5- 19 F ig ur a 5- 20
Sea K el momento primario inducido en el pilar izquierdo por la traslación del

dintel. Las reacciones del dintel sobre los soportes valen:
Fi gu ra 5- 18 65 + 86 26 + 27 K
0,592 K
3 6 /1 00
Las reacciones del dintel contra los pilares que resultan de este cálculo
traslacional valen y para que el dintel esté en equilibrio se habrá de cumplir
-0,44 - 0,592 K = 0 -+ K = - 0,74

Y b = - 25 t 12 = - 12,
12,33
33 kN; Vc - ^ ‘ S = -4,0 kN
3 6 Los momentos finales
finales se obtienen
obtienen multiplicando los de lafigura 5-18 por
Y b + Yc = - 12,33 - 4, = - 16,33KN 6EI Aj - 106 y sumándole
sumándoless los
los de la figura
figura 5-19
5-19 multiplica
multiplicados
dos por
(12 - 1000)2•
1000)2• 100
100
Las reacciones primarias del dintel sobre los pilares debidas al alargamiento K _ Los resultados se indican en la figura 5-20.
5-20.
de los soportes valen realmente: 100 100
81
En todo lo anterior hemos considerado únicamente los efectos debidos al En eLsegundo caso:
alargamiento ocasionado por el incremento de temperatura que se produce en
los pilares. Veamos ahora los efectos debidos al alargamiento del dintel. +6+13 +90+77
Y, = ------------------------------- = -34,17 kN
La dilatación del dintel será:1 3 6
y habrá de cumplirse:
Ab + Ac = 12 • 10
1033 - lO5 • 20 = 2,4 mm [5.9
[5.9]]
5 0,
0,50 - 34,17 W =0
Para el pilar izquierdo los momentos primarios de empotramiento valdrán: l 100 / 100 [5.12]
6 E I A r - 10 ' 6
-6EI Ab • 10-6
10-6
De ^— = K resulta
--------------- resulta
(3 ■103)' [5.10] (6 • 10+
igualando este valor a - 100, se realiza el cálculo traslacional indicado en la
figura 5-21: (3 • 103
103)2 K
Ab = = -0,111 K mm
------------------------------------------
6 ■20.000 ■— ■3004 -10-6

-10-6
12
[±rl ~TED mm
EE L Fácil ,
77 7 77 7 6EI Ac • 10-6
10-6
■ 0 ,6
,6 7
VALORES ADOPTADOS VALORES ADOPTADOS y -------— = K' resu lta
0.33 (6 • 103
103)
+ 100
-20
0
0
-3
0
(6 ■103)2
■103)2 K7
+77: Ar = H-----------------------------------------= - 0,444 K’mm
1
6 •20.000
•20.000 ••— — • 3004-1
3004-100-6
12
F ig ur a 5- 21 F ig ur a 5- 22
y sustituyendo en [5.9] se tiene:
Para el soporte derecho:
-0,111K + 0,4444K’ = 2,4
6EI Ar ■10-6
Mc = M d = + -
y de [5.12]
(6 ■103)
■103) [5.11]
-0,505
-0,505 K - 0,341
0,341 K’ = 0
e igualando este valor a 100 se realiza el cálculo traslacional que se indica en
la figura 5-22. Resuelto el sistema se obtiene:
Sean K y K ' los valores de los momentos [5.10] y [5.11]
[5.11] en lugar de - 100 y 100, K = - 3,13
respectivamente. Las reacciones horizontales del dintel contra los pilares son: K’= 4,62
En el primer caso:
y por tanto:
v -84 -62 -4-7

Y] -------------------------- = + 50,50 kN Ac = 2,1 mm
los momentos de empotramiento finales se obtienen mediante la expresión:
M = — — M,
M, + — M,
I ABy Ac
Ac son aquí los valores absolutos de los corrimien tos. 100 100
82 83
donde Mj y M2 son los los del primer
primer y segundo cálculo
cálculo traslacional A'3 - A'2 = A l - L2
respectivamente. El resultado se indica en la figura 5-23.
| +^
+^ 5 I [5.13]
i-3-34í l-yisl l~3.saí

777. K - AV i = Ai ■L„.,
EÊL
*777. 777. Además, cortando por un plano horizontal a nivel de las cabezas de los pilares de
Figura 5-23 Figura 5-24
pla nta baja , la suma de esfue rzos , al no hab er acci ones hor izon tale s exte rior es y esta r
la estructura en equilibrio, debe ser nula, luego:
Los momentos totales finales debidos al alargamiento de soportes y dintel se
obtienen sumando los indicados en la figura 5-20 con los de la figura 5-23. El
resultado se indica en la figura 5-24. Y lf + Y2f + ... + Ynf = 0 [5.14]
Los valores de A\, A 2, A'3, ..., A'ny

A'ny de Y lf, Y2f,
Y2f, ..., Ynf
Ynf se determi nan a partir de los
corrimientos
corrimientos ficticios ÁL, A9
A9, A ndados aisladamente a cada cabeza cabeza de pilar,
pilar, mediante
mediante
5.1.4.2.1 Generalización
los cálculos traslacionales correspondientes y coeficientes Kj tales que A’¡= Kj A¡.
El método se generaliza fácilmente para el caso de un entramado cualquiera, tal
Las ecuaciones [5.13] y [5.14] forman un sistema de n ecuaciones con n
como el de la figura 5-25, con pilares de igual longitud en cada piso.
incógni tas K l5 K2, ..., y los moment os finales son:
M = M l Kj + M2K2 + ...
... +M nKn
p - i
siendo M 1? M2, ..., Mn los momentos de los respect ivos cálculos traslacion ales.
p-2 Si los pilares de planta baja fueran de diferente longitud unos de otros, basta
añadir a los momentos considerados los debidos a las diferencias de elevaciones
pro duc ida s por la desig ual dila taci ón de los pila res en que apo ya cad a vano . Esto
equivale a realizar tantos cálculos traslacionales como vanos y a sumar los momentos
resultantes de todos ellos a los anteriormente obtenidos.
5.1.4.3 Accion es exteriores

a) Sea el pórtico de la figura 5-26 a) sometido a la acción de una fuerza
fuerza
horizontal de 50 kN y supongamos Ec= 20.000 N/mm2.
Es evidente que el pórtico se trasladará hacia la derecha hasta que, por la
deformac ión de los pilares, éstos ejerza n sobre el dintel unas fuerzas FB,
Figura 5-25
Fc tales que FB+ Fc = - 50 kN. (Figura 5-26 b)).
Llama remos Ap A9,
A9, ...
... Anla s traslacion es ficticia s de las cabezas de los pilares Sea A el corrimiento necesario del dintel, que inducirá en losextremos
extremos de los
consideradas como positivas hacia la derecha1y A' u A A'2
'2,, ..., A'nlos corrimie ntos reales. pila res uno s mom ent os prim arios .
Se habrán de cumplir, siendo Aj el coeficiente de variación lineal correspondiente
al fenómeno que se estudie, las relaciones siguientes: 6EI A
M = ----------- * 10
10-6
-6
A'2- A'[ = A1*Lj (3 ■103)~
Adoptando 100 mkN como valor de M, el cálculo traslacional se indica en la
figura 5-26 c) en la que la fuerza de 50 kN se ha supuesto actuando por
1 Como “a priori” puede haber duda en algunos pilares de hacia qué
qué lado se produce
produce la traslación
traslación A, es mitades en B y C con lo que se puede hacer uso de la simplificación de
más simple suponerlas todas hacia la derecha. antimetría.
84 85
5 0 kN B 300*60 0 C Los valores de los momentos flectores y el croquis de la deformada se indican
en las figuras 5-26 e) y f).
Y
b) Sea el mi smo pórt ico de l a fig ura ante rior, pero some tido a una carg a un iform e
de 20 kN/m sobre el pilar izquierdo (figura 5-27 a).
Existen ahora flexiones directas ocasionadas por la carga uniforme y otras
debidas a la traslacionalidad del pórtico. Realizamos el cálculo intraslacional
- 86 . indicado en la figura 5-27 b), con momentos de empotramiento en el pilar
izquierdo:
'■ U.OD 20 32 -
+93
0.14
Fm M = ± ------------- = ± 15 m- kN
0 + 100 12
- 7 - 14
0
+ 100 0 1+56 I "E m
o 1+931 í+931 ,
0 +8 6 777. V77.
/ 9;
7
VALORES ADOPTADOS
+1:478- TñZ] E lZ j
+ 1.9
- 2.4 F ^ ...
0
0 *777. 7 77 .
36,0 36
36..0 f- f + 12,0
36,0 rz± 0 VALORES ADOPTADOS
0,80 ©
i Á ©
0,20 0.80 0,20
d) e) m +L6;:5:
f) /
N
k
—¡r
0.5
0
2
Fi gu ra 5- 26 *777.
De acuerdo con ello, las acciones de los pilares sobre el dintel serán: V
7777
86 + 93_=
93_= _ 59 6? ^
a) b)
Sea K el valor real del momento M en lugar de 100 m-kN. m-kN. Se habrá de cumplir Fi gu ra 5- 27
par a q ue esté en equ ilib rio el dinte l. (Fig ura 5-26 d)).
2 -K • 59,67
59,67 Las reacciones del dintel sobre los extremos superiores de los pilares valen:
+ 50 = 0 -+ K = 41,9
100
Y| C = , 0, 6 t N
Los valores reales de los momentos se obtendrán multiplicando los
los de la 2 3 3
figura 5-26 c) por y en definitiva existe una componente de 28,9 kN actuando sobre el dintel
100 hacia la izquierda que es la que origina la traslación del pórtico en esa
El valor del corrimiento A será: dirección.
Sea A el corrimiento del pórtico (positivo hacia la derecha), que originará unos
41,9 • (3 ■103)2
■103)2 momentos en los extremos de los pilares:
A: - = 5 mm
3004
6 • 2 0 .0
.0 00
00 - - ^ - - Í O - 6 6EIA
12 M = -------------1 06
L2
86 87
Haciendo este valor igual a 100 m-kN, el cálculo traslacional es el mismo de experimenta una traslación horizontal A . Llamemos 100 al al momento originado en un
la figura 5-26 c). pila r cu alq uie ra de las series de pi lare s i nme dia tam ent e s uper iore s e inf erio res al d intel
considerado. El momento producido por la traslación Ap en cualquier pilar de dichas
Las reaccione s del dintel sobre los extremos de los pilares valen por
tanto - 59,67 kN cada una. series valdrá 100 ■— , siendo I¡I¡ el momento de inercia de la sección transversal de ese
Siendo K el valor real del momento M y considerando el equilibrio del dintel,
dintel, lo
se tiene: pil ar e I0 el del pila r al que se asig na el mom ento 100. Con ocid os los mome ntos
prim ario s prod ucid os por A , se pu ede rea liza r el cál culo trasl acio nal corr espo ndie nte.
Llamando Kp el valor real del momento adoptado como 100, los momentos reales se
+ 28,9
28,9 - 2 ■— 59,67 = 0 —> K = 24,2 xr
obtendrían multiplicando los obtenidos en el cálculo traslacional Por_j~Q
y los valores de los momentos se obtienen multiplicando los de la figura 5-26
Aislemos ahora (figura 5-29 b)) la parte superior del entramado que resulta al
24,2 cortar por un plano horizontal inmediatamente por debajo del dintel del piso p.
Por 100 ' ûm ant^° a éstos l°s del cálculo intraslacional se tienen por tanto
Llame mos YJ a la reacció n del pilar i situado bajo el dintel del piso j sobre este dintel,
los momentos finales de empotramiento. En la figura 5-28 se indican los debida a la traslación
traslación del piso 1 deducida del correspondiente cálculo traslacional
traslacional a
momentos flectores y la deform ada de pórtico. El valor de traslación resulta:
resulta: par tir del mom ento 100. El val or real de Yl será K| YJ
Los valores de las acciones Y de los pilares sobre el dintel p serán:
LEYES DE CROQUIS DE LA
ETAPA MOMENTOS FLECTORES DEFORMADA
INTRASLACIONAL
16,5
20.3
TRASLACIONAL
1
22,5
t+
RESULTANTE
V
(3 ■103)'- 24,2
A =-
3004 F„ ----- |--------- ]--------- ^--------- \--------- ^--------- 1---------
6 -20.000 -^Y_-10-6
12
F„-,-------- ------------------------------------------------ - ------------
5.1.4.3.1. Generalización
Pueden utilizarse dos métodos. fp— tYIip 1Y2P 1Y3P 1Yíp 1Ykp Y1m.1P IYm
MÉTODO A bj
Supongamos un entramado general (figura 5-29 a)) sometido a acciones
Fi gu ra 5- 29
horizontales F¡. Tomemos sucesivamente cada uno de los dinteles y supongamos que
K. www.libreriaingeniero.com
A Y- + N Y?„ + ... + -Y?. b
100 lp 100 100
y ¡ i }
2P
A ÍL Y?d +
YL + — E
.... . + — Ys2p
[5.15]
100 100 100
3 K 2 3 K
a; bj
Y = — Y 1 + — Y2 + + — Yn
mp 10 0 mp 10 0 mp ' 10 0 mp
Expresando ahora que la zona superior del entramado que hemos aislado está en
)////
A
UP
equilibrio, se tiene:
Y lp + Y2p + ... + Ymp

Ymp + Fp + Fp+
Fp+1 + ... + Fn = 0 [5.16]
A,
111I
don de Y lp,
lp, Y2p
Y2p ...
... Ymp
Ymp son las expr esione s [5.15].
t
Escribiendo la ecuación [5.16] para cada dintel, se obtiene un sistema de n
ecuaciones con n incógnitas, siendo n el grado de traslacionalidad del entramado. Los
valores finales de los momentos serán: 1J
Figur a 5- 30
M = + M 2 ^ - + . .... + M n - î
î L [ 5-
5-17]
100 100 100
El planteamiento y resolución son idénticos al caso anterior con la única
siendo
siendo M ]5 M2 ... Mn los valoresvalores obtenidos
obtenidos en en los
los cálculos
cálculos traslaci
traslacionales
onales diferencia de que, al suponer trasladado un d intel y realizar el el correspondiente cálculo
correspondientes a las traslaciones de los pisos 1, 2 ... n. traslacional, solamente tienen momentos primarios no nulos de empotramiento los
Si sobre el entramado existen acciones verticales u horizontales directamente pil ar es de l pis o inf eri or , en lu ga r de los pis os su pe rio r e in fe rio r com o ocu rr e en el
aplicadas sobre las piezas, debe realizarse el cálculo intraslacional correspondiente método A.
añadiendo en la ecuación [5.16] de cada dintel los valores Yjp debidos al cálculo
intraslacional y análogamente en la ecuación [5.17] deben añadirse los momentos de
empotramiento debidos al cálculo intraslacional.
Obsérvese que la aplicación del método al plantear el sistema de ecuaciones BIBLIOGRAFÍA
[5.16] proporciona los esfuerzos debidos a la traslacionalidad del entramado motivada
no sólo por la acción de las fuerzas exteriores F, sino también por las posibles
asimetrías de carga y forma que pudieran existir. (5.1) FERNÁNDE Z CASADO, C.; C.; FERNÁNDEZ CASADO, J.L. "Cálculo de Estructuras
Reticulares". T Edición. Dossat. Madrid, 1958.
MÉTODO B (5.2) FERNÁNDE Z CASADO, C. "Estructuras

"Estructuras de Edificios". Dossat. Madrid, 1955.
El método es esencialmente el mismo. La única diferencia es que, en lugar de (5.3) CALAVERA, J.J. "Proyecto y Cálculo de Estructuras de Hormigón Armado para
suponer traslaciones A¡ de cada dintel suponiendo los restantes sin traslación, en esta Edificios". 2aEdición. Madrid, 1991.
variante se comienza a dar traslaciones por el dintel superior (figu ra 5-30 b)). Para los
dinteles inferiores (figura 5-30 c) y d)) se supone que, cuando un dintel se traslada, lo
hacen con él y en la misma magnitud todos los superiores.
90 91
CAPÍTULO 6
ESTRUCTURAS CON APOYOS ELÁSTICOS Y

EMPOTRAMIENTOS FLEXIBLES
6.1 APOYO S ELÁSTICOS
Entendemos por tales aquéllos en los que la pieza experimenta una traslación o
giro en el apoyo, proporcionales a la reacción producida por ese apoyo. Su resolución
es inmediata con lo anteriormente visto y se aclara a continuación con algunos
ejemplos.
6.1.1
6.1.1 APOYOS CON TRASLACIONES ELASTICAS
ELASTICAS
a) Sea la viga continua de la figura 6-1, con dos vanos de sección 200
200 • 500 mm
con hormigón
hormigón tal que Ec = 20.000 N/mm2 y sometidos
sometidos a una carga vertica
verticall
descendente de 30 kN/m. El apoyo central es elástico con una relación entre
reacción YB(en kN) y asiento experimentado A (en mm) tal que A = 0,00002
Y b 1-
30 kN/m
A
u iu m u u u m u u A - 60.00
A B C Jl
4.00 j. 4.00 j. ¿m m
1 El coeficiente
coeficiente 0,00002
0,00002 es denominado
denominado “constante
“constante de muelle”
muelle” del apoyo B y es la deformació
deformaciónn
produ cida en el apoyo para una reacci ón u nidad.
93
En primer lugar, resolvemos el problema por el Método de Cross suponiendo y como A¡ = 0,00002 YBde las dos ecuaciones anteriores se obtiene, con
el apoyo B intraslacional. El proceso se indica en la figura 6-2, habiéndose
hecho uso de la simplificación de simetría y considerado la pieza como M?r • L2
empotrada-apoyada. A = —^ ------
3 El
La reacción en B vale por tanto:
Y ib 15 0
30 -4 60 . K= — = o 209
209
Y1r = 2 + ----- 1= 150 kN 5 0.
0. 0000 0 A - Y 2B
2B 5 0.
0. 0000 0 ----------1 0 0 _ £ -------------+ 5Q
2 4
3 •20.000
•20.000 • 103103 •0,002
30-4 60 \
y 1a = y 1c = ------------------- = 45 kN El momento final de empotramiento en B resulta combinación lineal:
2 4 /
MB= m ib + k m 2B
A continuación realizamos el cálculo traslacional para un descenso -A del
apoyo B. Para ello hacemos uso de la simplificación de simetría y M b = - 60 + 100 • 0,209 = - 39,1
39,1 mkN
3EIA
consideramos la pieza empotrada-apoyada con M2B = 100. El Y la reacción final análogamente:
L2
resultado se indica en la figura 6-3.
Yb = 150-50 ■0,209 = 139,6 kN
100
R e s u l ta Y 2B = 2 = - 50 kN 240- 139,6
4 Ya = Yc = ------------ =50,2 kN
+100
Y2A
Y2A = Y2C
Y2C = -------- = 25 kN El asiento final viene dado por:
Yb 139,6
Ai = ------------ = --------------- = 2,8 mm
E S T AD
AD O 1 ZS” “ZS” 50.000 50.000
t t
Y1B Y in Obsérvese que el asiento del apoyo reduce los esfuerzos en ese apoyo,
aumentando los de otras zonas de la estructura.
' B ESTADO 2
A + 100
t t b) Sea la m ism a vig a que en el eje mpl o ante rior pero supo nga mos que el apoyo
+TD0 . Y? R Y ?r C es también elástico con relación A = 0,00001 Yc.
Como en el caso anterior comenzamos por realizar el cálculo intraslacional, lo
ESTADO 1+K2 que conduce a los resultados de la figura 6-2, siendo
30-4 60
— = 45 kN Y 1B= 150 kN M ]B= - 60 mkN
2 4
Figura 6-3 F ig ur a 6- 4
A continuación suponemos un asiento ABdel apoyo B y haciendo
Sea - A, = - KA el asiento real.
real. Se habrá de cumplir:
cumplir: ™ _ 3 EI(-A b)
= 100
YB= Y1B+ KY2B
KY2B L2
A[ = KA
KA * se obtienen los resultados de la figura 6-3.
94 95
Supongamos ahora un tercer estado, correspondiente a un descenso - Ac del Como A1B
A1B = 0,00002 YB; YB = 50.000 A1B=
A1B= 50.000 K AB
apoyo C, lo que provocará en el apoyo B (Fig. 6-5) un momento de
empotramiento
100 • 42
3 El (—Ac)
Ac ) o sea, Y b = 50.000 K ------------------------------- = 666,67 K
1VL 3 • 20.000
20.000 • 103103 •0,002
L2
“ZS”
A1C=
A1C= 0,00001 Y c; Yc = 1 00.000 A]C
A]C = 100.000 K ’ A‘C,
ESTADO 1
100 •42
o sea: Yc = 100.000K
100.000K * ---------------------------------- = 1.333,33 K’
ESTADO 2
3 •20.000 • 103 103 • 0,002
0,002
Sustituyendo valores en el sistema [6.1] se obtiene el [6.2]

ESTADO 3 “ST A 0.50
716,67
716,67 K - 25 K’ = 150
150 |
t t ’ 0“
[6.2]
-2 5 K + 1.34
1.345,83 K’= 45 j
5,83
EST AD O 1 + K . 2 + K '. 3 ; “í-
“í- que resuelto conduce a:
t t
K = 0,2106
K’= 0,0373
3 El Ac con lo que
Haciendo = 100 se realiza el cálculo traslacional según se indica en la
L2 Y b = 666,67 ■0,2106 = 140,4 kN
figura 6-6.
Las reacciones resultan: Yc = 1.333,33
1.333,33 • 0,0373 = 49,8 kN
kN
50 Y a = 8 • 30 - (140,4 + 49,8) = 49,9 kN

Y
El valor del momento en B puede obtenerse directamente tomando momentos

50 de las cargas actuantes en el vano derecho respecto al punto B.
Y3B=
Y3B= - 2 ------ = 25 kN
MIB= 49,8 ■4
■4 - 4 • 30 •2 = - 40,8 mkN
mkN
50
^3C “ ' 12.5 kN Los valores de los asientos en B y C resultan:
4
A]B
A]B = 0,00002 ■140,4 = 2,8 mm
El estado final, se obtiene (Fig. 6-5) por superposición de los estados 1, 2 y 3,
siendo AjC= 0,00001 •49,8 = 0,5 mm
A,B= K Ab y A]C
A]C = K’ Ac los
los asientos re ales de los apoyos B y C, se tiene:
c) En el pórtico de la figura 6-7 la inercia del dintel
dintel es El = 4.000 ■1010
■1010 Nmm2
'Y B= Y 1B+ KY 2B+ K’Y3B
K’Y3B y la de los pilares El = 2.000 ■ 1010
1010 Nmm2. El pilar izqu ierdo desca nsa sobre
[6 . 1] un apoyo elástico tal que A = - 0,0005 Ya(A en mm para YAen kN).
Yr = Y1C+
Y1C+ K Y9r
L 2 C '+ K’ Y3 C
Calcular los momentos finales de empotramiento.
96 97
ESTADO 1 •60:
ESTADO 3
100kN/m *:357:$
+533.3 0,60
w u u m m w i r e __ 0,33 , 0.40
O
O 0,67
7.V/D_4
-2 0
- T
+ 100 , F a o l,
* 1+601 Feo " 1+601
--- f+áffl r
777. V7
7.
f A D
8.00 " K 33 7*3
VALORES ADOPTADOS
hl7H| r
Eü é ü .
^77? 777. 77 7
Figura 6-10
t t Figura 6-9
t Y 1A Y- id
Como se ob serva en la figura 6-9 las reacciones horizontales del dintel contra
Y ia VALORES ADOPTADOS
20-40
Figur a 6- 7 Figu ra 6-8 los pilares son iguales a - = 15 kN cada una, es d ecir que la acción
de los pilares sobre el dintel es de - 30 kN, lo que ocasiona la traslación del

R< 2 . 0 0 0 ■ 1 0 10
Las rigideces relativas de pilares y dintel son —- = 1, ya que pó rti co ha ci a la izq ui erd a, ha st a q ue dic ha tra sla ció n ne ut ral ice la acc ión so bre
Rt 4.000
4.00 0 ■101Q el dintel.
0,5 . 1010, por lo que toma mos rigidez unidad par a las tres piezas.
8.000
Sea A2 la traslación (positiva hacia la derecha) que experimente ahora el
Realizamos en primer lugar el cálculo intraslacional, utilizando la dintel. Se originarán unos momentos primarios de empotramiento en ambos
simplificación de simetría, con rigidez de dintel 0,5 de la real (Fig. 6-8). pil ar es de val or:
Los valores de las reacciones son: 6 El A2

M
L2
Y 1A = Y 1D= 1 0 0 - 400 kN
Suponiendo este valor del momento igual a 100, realizamos el cálculo
traslacional tal como se indica en la figura 6-10, en la que se ha hecho uso de
Sea ahora A x el corrimiento vertical, positivo hacia arriba, del apoyo izquierdo la simplificación de antimetría.
A, que será igual para el punto B. Hagamos
Las reacciones resultan:
6 El (Arí - 60 - 60
M = — = 100
------- Y 3A - 15 kN
L2
- 60 - 60
y con ese valor de los momentos primarios de empotramiento inducidos por el 15 kN
3D
asiento del pilar en el dintel, se realiza el cálculo traslacional indicado en la
figura 6-9, en la que se ha hecho uso de la simplificación de antimetría, con
rigidez de dintel 1,5 veces la real. y las reacciones horizontales del dintel contra los pilares serán iguales a
Los valores de las reacciones resultan:
_ ^ + ^.9 = - 35 kN cad a un a y la de los pi lar es co nt ra el di nte l 70 kN .
40 + 40
Y2a = = 10 kN
La reacción final YA será la debida a una combinación lineal de los tres
estados analizados, es decir:
40 + 40
Y2D “ “ - 10 kN
YA= Y 1A+K , y 2A+ k 2 y 3a
98 99
donde:
A¡
Kj es la relac ión entre el asiento realmente experimentado por el pórtico
Ai
en A, y el supuesto At.
A2
K2 es la relación — - entre el corrimiento horizontal realmente experimentado
por el pór tico y e l supu esto A2.
Por otra parte, las acciones horizontales de los pilares contra el dintel serán
ahora las de los estados 2 y 3 multiplicadas por Kj y K-, respectivamente, y
habrán de estar en equilibrio. Por lo tanto, Figura 6-11 Figura 6-12
- 30 + 70 K2 = 0
Un empotramiento flexible viene definido por una constante J (llamada
y en definitiva se obtiene el sistema: usualmente constante de muelle) que define la relación constante para este tipo de
enlace entre el momento aplicado y el giro producido en la extremidad de la pieza.
y a = y ia + K] Y2A+ K2Y3A M
■ - 30 Kj + 70 K2 = 0 [6.3] ” 0
a; = - 0,0005 y a Conocida la constante J de cada empotramiento flexible, la estructura de la figura
6-11 pue de sust itui rse por la de la figu ra 6-12, resultante de prolongar las piezas con
extremos flexiblemente empotrados con unas piezas articuladas en los extremos
100 • 82 opuestos y con rigideces Kj = J| y K2 = J2, siendo Jj y J2 las constantes de muelle de
siendo A¡ = K¡Aj = K , ---------------= 0,02666 KT
6 ■40.000 F y D respectivamente.
Resuelto el cálculo de la nueva estructura, los vanos FF’ y DD’ se suprimen,
Resuelto el sistema [6.3] se obtiene: siendo los momentos en F y D los momentos elásticos finales.
K] = - V
La justificación de este método, que es inmediata, se da en 6.3.3.
K2 = - 3
6.3 EMPOTRAM IENTOS FLEXIBLES
A¡ = - 187 mm
En lo visto en los capítulos anteriores, se ha supuesto que los giros de todas las
Y a = 375 kN piez as que conc urrí an en u n n udo, eran igua les, o di cho de otra forma , que la u nió n de
las piezas al nudo era perfectamente rígida (Fig. 6-13 a). Existen casos1 en que las
pie zas se u nen a los nud os med iant e el eme nto s qu e pe rmi ten un cier to g iro al a ctua r un
Los momentos se obtienen a partir de K, y K9 por aplicación de la fórmula momento en la unión. Esto se visualiza en la figura 6-13 b) concibiendo el nudo como
M = Mj + K, M2 + K2M3. una pieza a la que se enlazan las barras2. Bajo la acción de los momentos en las
extremi dades de las piezas se produce n giros 0j, 02 ... 04 lo que origina que los giros
reales de las barras sean 0 - 0]50 - 02 ... 0 - 04 que no resultan ya iguales entre sí.
6.2 APOYOS CON EMPOTRAM IENTO FLEXIBLES
1 Esta situación se presenta frecuentemente en estructuras metálicas y es un cambio menos frecuente
Sea la estructura cualquiera de la figura 6-11 en la cual algunas piezas tales como en las estructuras de hormigón.
CF y CD están empotradas flexiblemente y no rígidamente. La unión se puede 2 Obsérvese que el caso no es el mismo que se ha tratado en 6.2 que correspondía a enlaces de
visualizar suponiendo un muelle al cual están unidas las piezas en esas extremidades. extremidad siendo los restantes nudos rígidos.
100 101
Aplicando el segundo teorema de MOHR:
*o
M
h= (x - L) dx
L El
y sustituyendo M en [6.4] e integrando, suponiendo El constante, se obtiene:
2-=tged=ed= M d - L -M f- L [6.5]
L 3 El 6 El
©
y análogamente por simetría,
Figu ra 6-13 Figu ra 6-14
L L [6.6]
0f = M f — -M d
El comportamiento de una unión de la barra al nudo queda reflejado por el 3 El 6 El
correspondiente diagrama momentos-giro tal como el de la figura 6-14.
Frecuentemente tales diagramas pueden reemplazarse, dentro del campo Sea ahora (Fig. 6-16) una viga biapoyada con momen tos Md y Mf aplicados en
estudiado, por leyes simples y en particular por una ley lineal sus extremos y juntas flexibles Ud, Uf en esos extremos, que representaremos por
muelles ficticios en la figura.
m = je
Los giros 0d y 0f p roducidos bajo la acción de Md y M f serán por un lado los
pr op or cio na do s po r las fó rm ul as [6.5 ] y [6.6 ] y po r ot ro los oc ur rid os en las j un ta s U d
lo que supone un comportamiento hookeano para la junta entre barra y nudo. J se
Md Mf . n
denomina “módulo de junta” o “constante de muelle” como vimos en 6.2. y Uf , que se rá n y respectivamente, con lo que los giros totales resultan:
Las estructuras con empotramientos flexibles pueden calcularse por los métodos Jd h
vistos en los capítulos 4 y 5 siempre que se generalicen los conceptos de factor de L L Md
transmisión, rigidez y mom ento de empo tramiento de acuerdo con los apartados 6d = Md - M f +—1 [6.7]
3 El 6 El Jd
siguientes.
L L Mf
e f = M f -M d +— - [6.8]
6.3.1 RIGIDEZ Y FACTOR DE TRANSMISION EN EL CASO DE 3 El 6 El Jf
EMPOTRAMIENTOS FLEXIBLES
Sea en primer lugar, una pieza biarticulada, figura 6-15 a la que se aplica unos 6.3.1.1 Pieza biempotrada con empotramientos flexibles en los dos extremos
mom entos M f y M d con lo que se tiene:
Supongamos ahora la pieza biempotrada con el apoyo dorsal liberado para girar
Md + Mf X / X y el frontal empotrado y con las dos juntas flexibles Ud y Uf (Fig. 6-17) y apliquem os
Yf = — ------- M = M f------Md 1 ------ [6.4] un mom ento Md en el extremo dorsal, lo que provocará la aparición de un momento
L L L
Mf como respuesta en el apoyo frontal.
Figu ra 6-15 Figura 6-16 Figur a 6 -17
10 2 103
6 El A 1 + 2 ti f
Md = — -------------------—-^ ------------ [6.29]
i m L2 1 + 4 (r|d+ r|f + 3 r|dr|f)
M- ( C "JMf
6 El A 1 -h 2 r|d
Mf = ------------------------------~------------ [6.30]
L2 1+ 4 (rid+ r|f + 3 r|dr|f)
a; Si los dos empotramientos son iguales r\á = r|f = r| y se obtiene:
6 El A 1
Md= Mf= ------------ [6.31]
zZ Zx ^ C jjUU A 2x L2 1 + 6 r|
A K.= B
' d ^ _____________ L
6.3.4.2 Viga biempotrada con empotramiento flexi ble en an solo extremo
b; En este caso (Fig. 6-24) según lo visto anteriormente basta sustituir en [6.27] y
F ig ur a 6- 22 [6.28] los valores [6.13], [6.14], [6.15] y [6.16] y se obtiene:
6 El A 1 + 2 T]f
El método se generaliza inm ediatamente al caso en que h aya junta flexible en un M j
solo extremo, algún extremo articulado, etc. L2 1+ 4 %
6 El A 1
L2 1 + 4 T|f
6.3.4 MOMENTOS INDUCIDOS EN UNA VIGA CON EMPOTRAMIENTOS
FLEXIBLES POR LA TRASLACIÓN DE UN APOYO
6.3.4.3 Pieza articulada con empotramiento flexi ble
6.3.4.1 Viga biempotrada con empotram ientos flexi bles en ambos extremos
Sea la pieza de la figura 6-25 con un extremo articulado y el otro con junta
Vimos según [4.2] [4.3] que flexible.
i
Md = (Kd + p H Kf) A [6.27]
Mf - (Kf + pdf Kd) A [6.28]

F ig ur a 6- 25
Sea ahora la viga de la figura 6-23 con empotramientos flexibles Ud, Uf sometida
a una traslación A de apoyo. De la definición de rigidez y del valor [6.18] se obtiene:
Mr, A
3 El 1 L
1+3r|d
3 El A
Fi gu ra 6- 23 F ig ur a 6- 24 de donde Md :
1+ 3fld
Sustituyendo en [6.27] y [6.28] los valores de Kd, Kf, pdfy pfdobtenidos en [6.11],
[6.12], [6.9] y [6.10] y simplificando se obtiene:
108 109
CAPÍTULO 7
INTERACCIÓN DE ENTRAMADOS
7.1 FUNCIÓN CONECTADORA DE LOSAS Y FORJADOS

En el Capítulo 5, hemos supuesto siempre que el entramado está aislado. En los
edificios usuales, la situación suele ser muy diferente, ya que los forjados, unidos
mono líticamente a los dinteles de los entramados, interconectan a éstos.
c
La figura 7-1 muestra como ejemplo el ca5t> de una estructura de un edificio de

una planta con tres entramados paralelos, los ABC y DEF de dos vanos y el GH de un
vano, interconectados por el forjado de techo. Una fuerza Fp actuando sobre el nudo
D del entramado DEF, es evidente que no solamente es resistida por ese entramado,
sino que, a través del forjado, se reparte también a los ABC y GH. Lo anterior
pr es up on e qu e el fo rja do es co nc eb ido co rre cta me nte y qu e sus de tall es co ns tru cti vo s
y en especial sus enlaces a los dinteles, son diseñados de forma que sean capaces de
resistir y transmitir los esfuerzos que la función interconectadora entraña. Si esto es así,
el forjado, en la mayoría de los casos, puede ser considerado com o infinitamente rígido
en su plano y la función interconectadora entre entramados la establece funcionando
como un cuerpo rígido, que se traslada y gira sin deformarse. (7.1), (7.2).
111
N atu ra lm en te, en el ca so de en tra m ad os igu ale s sit ua do s en pl an os pa ra le lo s y Ec ua cio ne s:
sometidos cada uno de ellos a sistemas de fuerzas idénticos, las deformaciones de
Condición de linealidad de los corrimientos, al considerarse el foijado como un sólido
todos los entramados son las mismas, la interacción entre entramados es nula y, por
rígido que experimenta por tanto corrimientos y giros pero no deformaciones en su plano.
tanto, el forjado no realiza ninguna función de interconexión
En la planta k podemos expresar la condición
7 . 2. CÁLCULO DE LAS FUERZAS DE INTERACCIÓN

Sean los entramados 1, 2, 3 , n de la figura 7-2. Aunque, por simplificación
de la figura, los entramados figuran como de un vano y una planta, deben ser po r ta nto , n- 2 ec ua cio ne s.
concebidos como de un número de vanos variable de unos a otros y un número de
En el total p de plantas —» (n-2)p ecuaciones.
pla nt as ta mb ién va ria bl e de un as zo na s a otr as de l ed ifi cio . Su po nie nd o, en ge ne ral ,
que sea m el número de vanos y p el de plantas, llamemos X a las fuerzas resultantes Por otra parte, en cada planta el conjunto de fuerzas paralelas Xk ha de estar en
de la interacción en cada dintel y 5 a los corrimientos finales. equilibrio, lo que supone dos ecuaciones por plan ta1.
En el total p de p lantas —» 2 p ecuac iones.
Total de ecua cione s —» np.
En general, tenemos por tanto un sistema de np ecuaciones con np incógnitas2.
El tratamiento aquí expuesto no deja de introducir simplificaciones importantes,
ya que concibiendo la estructura del edificio, como lo que realmente es, habría que
tener en cuenta las torsiones de vigas y pilares. La complejidad que esto introduce es
tal que el cálculo sólo puede resolverse m ediante los métodos ex puestos en el Capítulo
13, en especial los rogramas expuestos en 13.6.
7 .3 . C Á L C U L O D E L O S E N T R A M A D O S
Conocidos los valores de X, es posible ahora proceder a la determinación de
Designare mos con 5L el corrimieto en el pórtico i, del dintel de la planta j, debido esfuerzos de acuerdo con lo expuesto en el Capítulo 5.
a las fuerzas exteriores aplicadas a dicho dintel.
Es claro que la aparición de fuerzas X de interconexión no es debida sólo a la
Designaremos como 5L al corrimiento en el entramado i, del dintel de la planta j, existencia de fuerzas exteriores paralelas a los dinteles, sino, en general, a cualquiera
debido a una fuerz a unidad ac tuando en el dintel de la planta k del mismo e ntram ado1. de las causas de traslacionalidad analizadas en el Capítulo 5.
Análogamente, Xk designa la fuerza de la interacción en el dintel de la planta k del
También es evidente que el alto grado de hiperestatismo que el problema presenta
entramado i.
hace que su cálculo manual sea inabordable, salvo en el caso particular de estructuras
Llamando ~al corrimiento total del dintel de la planta j del entram ado i, se tiene: de muy reducido número de entramados y plantas. Como veremos más adelante, aquí
el cálculo mediante ordenador se impone claramente.
k =p
5i,j..= 5°i.).+ kX X ki 5k.
i.j [7.1]-*
L
7 . 4. C A S O P A R T I C U L A R D E E D I F I C IO S M U Y A L A R G A D O S
Podemos considerar un sistema lineal formado por: En lo anterior, hemos supuesto el forjado como sólido rígido, debido a que hemos
aceptado que su rigidez en su plano podía ser considerada como infinita. Esto es cierto
In có gn ita s:
en la inmensa mayoría de los edificios, pero no lo es siempre.
X- -> np 2
(tantas como dinteles)
1 Obsérvese que, en la condición de equilibrio, entran no sólo el conjunto de incógnitas X \, sino
1 El cáculo de los valores de d'x aunque muy laborioso, no ofrece dificultad de acuerdo con lo visto también las acciones directas aplicadas en el plano de cada entramado y contenidas en el plano de
anteriormente. cada forjado de planta.
2 El valor de np corresponde al caso en que todos los pórticos tienen el mismo número de plantas. En 2 Si los entramados no tienen todos el mismo número de plantas, el sistema tiene un número de
realidad hay tantas incógnitas como dinteles. incógnitas y ecuaciones igual al de dinteles.
11 2 113
10.6 CASO DE CARGAS RÍGIDAS El tema que abordamos ahora es el de rigidización de los entramados mediante
En general, en el cálculo de estructuras se presupone que la carga aplicada a las rellenos claramente resistentes, que introducen una alteración sustancial del
piez as es flex ible , es decir, aco mpa ña a la pie za en su defo rmac ión, sin que dicha funcionamiento de los entramados. Su disposición afecta tanto a la resistencia a
acciones verticales como horizontales, aunque su uso más frecuente es para mejorar la
deformación altere la distribución de la acción de las cargas. En algunos pocos casos
esto es así y la carga es de tal rigidez que no sigue a la pieza en su deformac ión1. resistencia y la rigidez del entramado frente a estas últimas, constituyendo en cierto
modo una solución alternativa a la de pantallas que veremos en el Capítulo 21.
Un caso de gran importancia para lo que nos ocupa es el de muros de ladrillo
En todo lo que sigue, se supone que el relleno está en contacto íntimo con pilares
sobre dinteles de hormigón, tal como se indica en la figura 10-10.
y dinteles, siendo frecuente que estos últimos sean hormigonados sobre el propio
relleno. La figura 10-11, tomada de la referencia (10.6) indica una disposición usual.
10.7.1 TRANSMISIÓN DE CARGAS VERTICALES

a) Caso en que todos los recuadros están rellenos, (figura 10-12). Llamando E9
al módulo de deformación del hormigón del entramado y Er, al del material de
relleno, el conjunto funciona como una sección compuesta. Designaremos por
Acl, Ac2, ... Acnla s secc ione s de los pi lar es1 y por Arl, Ar2 ... Arn_, las secc ione s
horizontales de los paneles de relleno.
F ig ur a 10 -1 0
La fábrica de ladrillo sobre el dintel A-A no puede deformarse para seguir al

dintel en su deformación. En la realidad sólo las zonas de carga interiores a unos
ciertos arcos de descarga deben ser realmente consideradas como carga a efectos de
flexión y de corte. El establecimiento de la ley de formación de los arcos de descarga
es complejo y por ello la Norma Básica NBE FL-90 (10.4) establece que, cuando por
encima y a los lados de un dintel exista muro que permita producir efecto arco, sin
huecos que lo perturben, se considerará sólo como carga el peso de muro comprendido
en una altura 0,6 L, siendo L la luz entre ejes del vano, debiendo considerarse también
todas las cargas de forjados y aisladas situadas hasta una altura L.
El resto de las cargas, como hemos dicho, no se consideran ni a efectos de flexión
ni de corte, pero naturalmente deben ser consideradas íntegramente a efectos del
cálculo de los esfuerzos axiles en los pilares. Fi gu ra 10- 11 F ig ur a 10 -1 2
En la aplicación de lo anterior debe prestarse atención a la existencia de ventanas
y otros tipos de huecos q ue pueden perturbar la formación de arcos de descarga. El área equivalente, expresada en términos de sección de hormigón, al ser
comunes los acortamientos verticales de hormigón y relleno, resulta
Para un cálculo más preciso, véase (10.5).
E
A cq = I A c l+ ^ - I A rl [1 0.7 ]
10.7 INFLUENCIA DE LOS RELLENOS DE FÁBRICA EN EL
COMPORTAMIENTO DE LOS ENTRAMADOS Si es N la carga vertical total, la tensión en el hormigón resulta por tanto
Ya hemos comentado la influencia que los rellenos, incluidos los de simple
tabiquería, tienen sobre el comportamiento de los entramados tanto desde el punto de
vista resistente como de deformabilidad y su relación por tanto con la posible
intraslacionalidad de los mismos. I En sentido estricto deberían manejarse las secciones homogeneizadas, es decir obtenidas al añadir el
área de la sección de hormigón (m-1) As, donde As es el área de la armadura vertical de los pilares
Es
y m =—-c la relación del módulo de elasticidad del acero al módulo de deformación del hormigón•-
] Una excepción típica la constituyen las vigas de cimentación. Véase 63.16.
156 157
N BERTERO y BROKKEN de la referencia (10.8), contienen información adicional
— [10.8] importante. Véanse también los trabajos de T. TASSIOS y E. VINTZELEOU
realizados en la Universidad de Atenas (10.9).
E La figura 10-14 tomada de la referencia (10.6) indica los tres modos típicos de
agotamiento de los rellenos, que habitualmente se hacen con materiales frágiles,
y la tensión e n el relleno aunque los ensayos han demostrado que la interacción con el entramado ductiliza en
cierto grado su comportamiento.
Er N [10-9] - La figura 10-14 a) indica una rotura por corte horizontal.
Or = oc = —
E, E - La 10-14 b) corresponde a una rotura por tracción diagonal.
'X \i + X A rí
E, - Finalmente, la 10-14 c) corresponde a un agotamiento por compresión del
material del relleno.
Conocida la tensión en el hormigón es inmediato el cálculo del esfuerzo axil
en cada pilar, que deberán ser comprobados de acuerdo con el Capítulo 28. La
tensión ú r deberá ser comparada con el valor límite correspondiente al tipo de
tu -
material empleado para el relleno.
b) Caso en que algún recuadro no está relleno. Este caso presenta particularidades
que deben ser tenidas en cuenta (figura 10-13). Si en la columna de recuadros W
alguno aislado no está relleno, como el ABCD de la figura, la pieza AB a)
funciona como una viga que puede suponerse perfectamente empotrada, ya que
el giro de los nudos A y B está rígidamente bloqueado por el relleno. En cambio
la pieza CD no sufre flexiones y su cálculo se rige por lo dicho en a). J\==ÍU
1111
n U i n
n i11
t n H 111
M t n
H 111
I n HU1
rft rr
1
A B
m an
E F
c)
Fi gu ra 10 -1 4
En lo que sigue, nos basamos en un método simplificado expuesto por FUENTES

iliiiil ■idiiil
G H en la referencia (10.10).
F ig ur a 10 -1 3
Si una columna de recuadros completa no está rellena, las piezas EF, GH, etc.
recibirán cargas de forjados y prácticamente funcionan como perfectamente
empotradas.
17.2 TRANSM ISIÓN DE CARGAS HORIZONTALES

El problema ha sido poco estudiado, aunque, actualmente están en marcha
amenosas investigaciones en muchos países. Los trabajos de STAFEOR y Fig ura . 10 -1 5
IDDINGTON (10.7) y los de PARDUCCI y CHECCHI (10.6), asi como los de
159
15 8
La biela com primida que se considera resistente a efectos de cálculo, es la indicada
De acuerdo con la figura 10-16, la tensión o r actúa sobre un cuadro elemental de
como ABCD en la figura 10-15, donde H es la fuerza horizontal a ser resistida por el
lado unidad. La com ponente según el eje horizontal OX vale
recuadro considerado.Los puntos A, B, C,D, se obtienena partir de los ángulos 0
indicados, siendo tg 0=3].En nuestro caso, elancho mínimo dela biela es el AF = b y, oreos a
llamand o a a su ángulo con el plano horizontal, se tiene que la fuerza C de compresión av=
en la biela viene dada por BF
H AB
C =-- -------- [10.11] y como BF
eos a eos a eos a
La compresión C puede considerarse descom puesta en dos, C { y C2, actuando en a = <r eos2 a [10.15]
los puntos medios de AG y DG respectivamente, con valores
AG La tensión tangencial paralela a OY vale

C, = C [10.12]
AG + DG
a. sen a
t v= = - ar sen a eos a
y BF
C, = C -----— ------ [10.13]
AG + DG
La componente según OY se deduce de
o, sen a
Cj introduce un esfuerzo axil en el dintel de valor Cj eos a y un momento flector
pr od uc ido po r su co mp on en te ve rti ca l C 1se n a ac tua nd o e n AG , ade má s d e u n c ort an te °y AE
igual a C, sen a menos la carga descendente aplicada en AG, si es que existe.
y como AE sen a
Debe comprobarse también que la componente vertical de C2 , más el eventual
cortante ascendente producido por C [ sen a son menores que el esfuerzo axil N\ del
pi la r 1. ay= — or sen2a [10.16]
Análogamente se procede para la comprobación a flexión y corte de las zonas
GD, HB y HC. Na tur alm en te
Conocido el valor de C y el espesor e del relleno, la tensión en el relleno en la a r eos a
dirección a viene dada por t =-------------- = o. sen a eos a [10.17]
xy AE
Gr = - <=— = ------ - ------- [10.14]
b ■e b • e eos a En el relleno, la tensión vertical total será
y o y = a j - a r sen 2 a [10.18]
donde cq es la compresión transmitida por el dintel superior si existe.
<tx = ar•eos2a
ay= Gj + crrsen¿a
sy = a,i sen a eos a

F ig ur a 10 -1 6 tvv [10.19]
1 I n s i st i m o s e n e l c a rá c t e r p u r am e n t e ap r o x im a d o d e l m é t o d o , P A R D U C H I y C H E C C H I e n l a
r e f e r e n c i a ( 1 0 . 6 ) t o m a n A G i g u a l a l a m i t a d d e l a l u z l i b re . trazamos el círculo de MOH R (Fig. 10-17)
160 161
z (10.9) VINTZE LEOU , E. "Seismic behaviour and design of infilled reinforced concrete
18 ^ 1 9 90 ÔHferencia pronunciada en el Co legio de Ing enieros de Caminos de M adrid,
(10.10) FUENTES, A. "Cálculo práctico de estructuras de edificios en hormigón armado".

Editores Técnicos Asociados. Barcelona, 1976.
(10.11) SAM ARA SING HE, W.; PAGE, A.W.; HENDRY, A.W. "Behaviour or brick masonry
shear walls". The Structural Engineer. Septiembre, 1981.
(10.12) STAFFORD SMITH, B. "Model test results of vertical and horizontal loadme of
infilled frames". ACI Journal 1968.
Fi gu ra 10 -1 7
con lo que obtenemos las tensiones máximas y m ínimas en el relleno. Actualmente no

existe una normalización específica en cuanto a tensiones máximas admisibles en los
diversos materiales de relleno. SAMARASINGHE, PAGE y HENDRY (10.11) y
STAFFORD SMITH (10.12) han realizado ensayos muy interesantes para el caso
pa rtic ula r d e r elle nos de ladri llo.
FUENTES en la referencia (10.10) recomienda que la altura del paño de relleno
no rebase 15 veces el espesor ni 20 veces la menor dimensión del soporte. Ambas
recomendaciones están basadas en consideraciones de inestabilidad.
BIBLIOGRAFÍA
(10.1 ) "Regles techniques de conception et de calcul des ouvrages et constructions en betón

arme suivant la methode des etats limites". REGLES BAEL 83. Eyrolles. París, 1983.
(10.2) EHE "In strucción para el Proyecto y la Ejecución de Obras de Hormigón Estru cturar .
Ministerio de Fomento. Madrid, 1998.
(10.3) CALAVE RA, J. "Patología de estructuras de hormigón armado y pretensado".
INTEMAC. M adrid, 1996.
(10.4) Norm a Básica de la Edificación NBE FL-90, "Muros resistentes de fábrica de ladrillo.
Ministerio de Obras Públicas y Urbanismo. Madrid, 1991.
(10.5) BEAL L, C. "Masonry design and detailing". Prentice Hall. New Jersey, 1984.
(10.6) PARD UCCI, A.; CHECCHI, A. "Interazione dei pannelli di muratura con i telai di
cemento armato: comportamento del sistema strutturale per azioni complanari".
LTndustria Italiana del Cemento 2/1982.
(10.7) STAFF ORD SMITH , B.; RIDDIN GTON , J.R. "The design of masonry infilled steel
trames for bracing structures". The Structural Engineer. Marzo, 1978.
(10.8) BERTER O, V.; BROKKEN , S. "Infills in seismic resistant building". Journal ASCE
Structural División. 1983.
162
163
CAPÍTULO 11
ENLACES TEÓRICOS Y ENLACES REALES.

APARATOS DE APOYO.
RÓTULAS PLÁSTICAS. BROCHALES.
ENLACE DE LOS PILARES A LA CIMENTACIÓN
11.1 TIPOS DE ANCLA JE
En todo lo anterior hemos contemplado en general tres tipos de enlaces entre

pie zas. Po r un lad o el em po tra mie nto , qu e es el más fre cu en te en est ruc tur as de
hormigón y en el cual reside su ventaja del m onolitismo. A veces hemos considerado
la existencia de rótulas y también de apoyos deslizantes.
Estos enlaces teóricos presentan dificultades inevitables para ser materializados
de forma perfecta en la práctica, aunque su técnica ha progresado de manera
importante en los últimos años.
El uso de rótulas y apoyos deslizantes es poco frecuente en los edificios de
entramados múltiples y se usa en cambio con más frecuencia en los edificios de
grandes luces (industriales, deportivos, salas de espectáculos, etc.) y en muchas obras
púb lic as, en esp eci al en los pue nte s.
11.2 CLASES DE APOYO S
Los apoyos de las estructuras son una necesidad relativamente reciente,

fundamentalmente motivada por la aparición de las estructuras metálicas y de
hormigón en el siglo XIX.
Hasta ese momento, las estructuras de piedra y ladrillo cuando alcanzaban luces
considerables presentaban grandes espesores de forma que eran poco sensibles a los
165
^1 7 = ^ 1 + 0 , 7 5 ^ 0B > [12.8]
¿5 Z Z ------------------------
------------------------ Z Z ---------------------------
---------------------------1
A B c D
L, | L2 1--------- L3 --------------- j - M lf - M ef2 + 0,5 k 2 0 B + K2 6 c [12.9]
Figu ra 12-1 y en forma matricial
De acuerdo con las fórmulas [4,2] y [4.3] del Capítulo 4, en cada vano se tiene
M if' M e fk 0,75/ti 0 V [ 12 . 10]
— +
M d = M ed + k ( 0 d + 0 ¿ 6f) [12.1] 0,5 k 2 k0
MV . M ef2 .
Mf = M ef + k (0,5 0d + 0f) [12.2] Empleando la notación

notación
que pued e expresarse m atricialment

atricialmentee k ,/
' M2i
M2i V
kJ = ; k /] = ; [e] =
M 3d ' m 2/_ 0C
Md K , k 0,5 k [12.3]
— +
Mf . M ef 0,5 k k êd,2 ' M e fk
k J = • k ] =
. M ed,3 .
donde la matriz
k [12.4] pa ra los ve cto re s co lu m na y lla m an do a l as m atr ice s de rig id ez
K =
0,5 k k
k2 0,5 k- [12.11]
es la matriz de rigidez de la viga.
0 k,
Aplicando las ecuacio nes [12.1] y [12.2] a los
los extremos d orsales de los vanos, con
M [d = 0, por ser ese extrem o articulado, y llam ando k ls k2,
k2, k3 a las rigideces de los tres
vanos, se tiene: 0,75 k x 0 [ 12 . 12]
0,5 k^ k2
^ i d = M edt2 + k 2 0B + 0,5 k2 0C [12.5]
la expresión matricial resulta
M 3i = M íA3 + k 3 9c [12.6]
[m J = [ m J + [ie-J[e] [12.13]
dond e Med2
Med2 y Med
Med 3 son los mom entos dorsales de empotram iento perfecto, de los
vanos de luces L 3 y L3, y 0B, 0C los giros en los apoyos B y C, respectivamente.
N = K / ] + k /]
/][e] [12.14]
Expresando [12.5] y [12.6] en forma matricial
Como en cada apoyo se ha de cumplir
M ei , k2 0,5 k2
+ k J +K ] =o [12.15]
m m . _ M e d,
d,3 o L °c .
Operando análogam ente para los extremos frontales, teniendo en cuenta que 0D = 0 3El
po r tra tar se de em po tra mi en to pe rfe cto 1 Se hace uso de la rigidez para pieza articu
articulad
lada.
a.
192
193
193
teniendo en cuenta [12.13] y [12.14] se obtiene:
nudos1. Conocidos sus valores, las ecuaciones [5.5], [5.6] del Capítulo 5 nos
pr op or ci on an in m ed ia ta m en te los m om en to s fin al es de em po tra m ie nt o.
K + M 2\ + k + ^]
^] [ ® ] = 0
y con la notación
k1 + 0 J5 k, 0,5^ ¿ i i m n n n n m
M =
0,5 k, kj + ^3
êcL2 + Mef\
K ] =
M ed,3 + M ef 2
j - L, 4 -
[Me] + [K ][0] = 0 [12.16] F ig ur a 12- 2
po r tan to Definimos como 8 el vector columna2.
[0] = - m " [m J [12.17]
y sustituyendo [12.13] y [12.14]
8=
[ 12.20 ]
k,l =k J - kJ k f kJ [12.18]
M =kJ - kl k f k l [12.19]
Apliquemos ahora a la estructura, sucesiva y aisladamente, cada uno de los

que son la solución del problema en expresión matricial. corrimientos y giros constituyentes del vector columna [8] pero con valor unidad.
[K] recibe el nombre de matriz de rigidez y es siempre una matriz de banda. Designarem os por la reacción paralela a OX, producida en el nudo i, por el
corrimiento aplicado en el nudo j. Por M¡ ¡, se designa, análogam ente, el m omento
pro du cid o en el nu do i, p or el co rri m ie nto ap lic ad o en el nu do j . X ’¡ y de sig na n,
1 2 .3
.3 E J E M P L O N ° 2 . C Á L C U L O M A T R I C IA
IA L D E U N E N T R A M A D O análogamente, las reacciones y momentos en i, debidas al giro aplicado en j.
AISLADO
En la figura 12-3 se resumen los resultados. Las reacciones y momentos se
Como ampliación de lo visto en el apartado anterior, consideremos ahora el obtienen por aplicación directa de las fórmulas
entramado de la figura 12-2, que se supone aislado, es decir no conectado a ningún otro
po r fo rja do s o vig as .
En lo que sigue llamaremos k v a la rigidez de los dos dinteles, que se suponen
iguales, y k p a la de los cuatro pilares que también se suponen iguales entre sí.
La deformación del entramado queda definida si se conocen los corrimientos 1 Se desprecia el acortamiento de las
las piezas debido al
al efecto de los
los esfuerzos axiles.
axiles.
horizon tales 8A, 8C de los dos dinteles y los giros 0A,
0A, 0B,
0B, 0C y 0D de los cuatro 2 Expresam os por 8 indistintamen te un
un corrimiento o un giro.
194 19
1955
Expresando ahora las condiciones de equilibrio del entramado, se tiene:
( X A ,A
,A + X B .a ) + ( X A ,C
,C + X B .C
.C ) ¿fc + ( X > A . A'
A' + X > B ,A
,A ) #4 + ^
{x a ,b + x b ,b ) ®b + {x a .c + x ' b .c ) 0c + (X ’AD + 0D= P2
( x c.A + x d ,a ) $a + ( x c .c + X D ,c ) Sc + ( x ’c a + x ’d .a ) 9a +
L^—. z z j
( X ’ c.
c.B + X ’ d , b ) 0B + ( X ' c ,c
,c + X ' d ,c ) °c + ( X ’ c, D + * D,d) °D = P \
M J á ^ + M a r (5
(5r + M ’AA0d + M ’a f) 0D+ M \ n 0r-
0r- +
qU [12.23]
+ M A D 0D
12
M b,a â + M B'C 8c + M b a 6a + M bb 0 b + M ’b c 6 c +
n qL2 qL\ [12'24]

+ M B ,D
,D & D = ------------------- + ---------------
12 2
M c ,a ^4 ^ c . c 8c+ M ca 0a
0a + M cb 6b+ M c ,c @c +
[12.25]
qU
+ M CD 0D
12
M d ,a ^ a + X ^ d .c 8 C + M DA 6a + M d b 0b + M d c 6 c +
qL\ t 12-24]
12-24]
+ M ’DD eD = - -L — + -1 — + L{
12 2
La ecuación [12.21] expresa el equilibrio de fuerzas paralelas a OX en el dintel

(« ) LOS SIGNOS DE X SON POSITIVOS DE ACUERDO CON EL SISTEMA DE EJES DE LA Fig , 12 -2 , AB. La [12.22]
[12.22] en CD. Las [12.23] a [12.26],
[12.26], los equilibrios de mome ntos en los nudos
(**) LOS MOMENTO
MOMENTOSS PRODUC
PRODUCIDOS
IDOS EN LOS
ABSOLUTO Y DE SIGNO CONTRARIO,
LOS PILARE S DE AMBOS PISOS SON IGUALES EN VALO
CONTRARIO,
VALOR A, B, C y D, respectivamente.
(***) EL VALOR ES DEBIDO A LAS REACCIONES DE LOS PILARES DE AtyBOS PISOS,
PISOS,
Si disponemos los coeficientes de los corrimientos y giros del sistema de
ecuaciones anterior en forma de matriz, sustituyendo los valores de X y M por los
F ig ur a 12 -3 indicados en el cuadro de la figura 12-3, tenemos:
196 197
h K [K] [8] = fS] [12.29]
6 — - A 1,5 — 1,5— 1 ,5 —
h2 h2 h 4 h y despejando
[5] = [K]'1[S] [12.30]
K K
-« A 12 — 0
h2 h2 ~l'5Í - 4 Obsérvese que, si bien en el ejemplo 12.2 la matriz era de 2 x 2 y por lo tanto
fácil de invertir por procedimiento manual, la [12.27] es de 6 x 6 y su resolución
0,5 ky 0,5 kp manual es muy dificultosa. Si se considera la sencillez del entramado a que
4 - 4 K +K corresponde, un solo vano y dos pisos, se comprende que el método de cálculo
[12.27]
matricial no presenta ningún interés para el cálculo m anual. Sin embargo, la inversión
M= de la matriz es muy rápida y simple con un ordenador y de ahí la potencia e interés
0,5 z kv + kp 0 0,5 k del método. Como puede apreciarse, el método, aparte de su compacidad de
■ 4 - ' 4
expresión, tiene la ventaja de que lala matriz invertida es función
función únicame nte de las
las
características geométricas y mecánicas de la estructura y no depende de las cargas
K aplicadas. Si existen varios estados de cargas, b asta transformar el vector columna [F]
[F]
0 0,5 k, 0
l '5
'5 f en una matriz con tantas columnas como estados de carga, sin que por ello se requiera
invertir de nuevo la matriz de rigidez. Esta ventaja, aunque sólo utilizable si se
i A 0 0 0,5 ¿p 0,5 kp dispone de un ordenador, es importante frente a todos los demás métodos vistos
h anteriormente.
que es la matriz de rigidez del entramado. Esta matriz es, naturalmente, independiente
de las cargas aplicadas y válida por tanto para cualquier sistema de cargas aplicadas. 1 2 .4
.4 P L A N T E A M I E N T O G E N E R A L D E L C Á L C U L O M A T R I C I A L D E
Es naturalmente simétrica com o con secuencia del teorema de reciprocidad de
E N T R A M A D O S E S P A C IA
IA L E S
deformaciones
deformaciones de MAXW ELL. Entendemos por entramados espaciales aquellos entramados situados en planos
Definimos como matriz de carga el vector columna diferentes, con piezas de enlace entre los diferentes entramados. El caso frecuente es
el de entramados situados en planos paralelos, unidos en algunos o en todos los nudos
po r vig as de dir ec ció n pe rp en dic ul ar a l a de los pla no s de los en tra ma do s.
P2
qU
12
[sh qL2 qL [12.28]

12
qL2
12
ciU_ qL + p ,l ,
12
Considerando [12.20], [12.27] y [12.28], el sistema [12.21] a [12.26] se puede

escribir en forma matricial F ig ur a 12 -4
198 19
1999
En la figura
figura 12-4 se representan dos nudos de dos entramados paralelos, 1 y 2, S í5
formados el primero por el pilar y el dintel v, y el segundo por el pilar P2 y el
el dintel
dintel X ] = EA— - E A — [12.31]
v2.
v2. Ambo s están unidos por la viga vt, que,
que, como las v t y v2,
v2, puede ser físicamente una L L
viga o tener además un forjado asociado. (esfuerzo axil)
Cualquier corrimie nto1del nudo 1 transmitirá corrimientos al nudo 2 y,
y, de éste,
éste, a
las piezas de su entramado. Plantearemos el caso más general, en el que el nudo puede E lz E lz E l7 El
Fi= 12— - A l - 12~ — +6 ± co.]
co.] +6 [12.32]
experimentar corrimientos en tres direcciones y giros respecto a tres ejes. Obsérvese
-------------------------------
D ' U - L2 U
que lo que sigue generaliza lo tratado en el Capítulo 7.
En la figura 12-5 se representa el sistema de coordenadas local para la pieza, en el que (cortante horizontal)
se supone que los ejes (y) y (z) son los principales para la sección transversal; asimismo
están representados los seis corrimientos que puede tener cada uno de los extremos de la
barr a. Lla ma rem os y p9 a los vec tor es de car ga que soli cita n, res pe cti vam ent e, a los EL EL, El El
z, = 12 -— &, - - 6 -Z -o v , - 6 — [12. 33]
nudos 1 y 2 de la barra; análogamente, para los vectores corrimien to d1 y d2 . De acuerdo
con el convenio de signos utilizado en la fig ura 12-52,
12-52, será:
será:
(cortante vertical)
vertical)
M x] - — ^ - c o t2
t2 (momento torsor) [12.34]
[12.34]
Ely EL E l, EJ
M yl = - 6 — ^ S .J + 6 — ^ 8 z2 + 4 — covl
covl + 2 — - m v2 [ 1 2 .3 5 ]
f’ L- Z, I.
(momento flector en el plano del entramado)
E l. E l. E l. El
M z\ ~ 6 Ai _ ^ Sy2 + 4 + 2 ----- -ú):2 [12.36]
_ _ ■ ■ ■ ■ ■ ■ L" L-, ]_, E
X, x2 8x i ^x2
Y, y 2 8y l Ar (momento flector en el plano normal al del entramado)

z, z2 s„ 5.2 Análogamente pueden expresarse las ecuaciones para las cargas que solicitan al
; p2 = ; d, = ; ^2 - extremo 2.
M x, M x2 “ x2
Las ecuaciones anteriores [12.31] a [12.36] pueden formularse de manera más
M yl CÚy2
® yl compacta en la siguiente forma:
M zl
■ m m
^Z2 u ■ ® zl
Ll m 3 .
Los esfuerzos para el extremo 1 de la barra se deducen inme diatamente de lo lo [Pi] = [k„ ] [d,] + [k12
[k12] [ d j [12.37]
[12.37]
expuesto en el Capítulo 2 y de las fórmulas [5.5] y [5.6] y, para una pieza recta de
sección El constante, son los siguientes: donde las matrices kMy kl2 presentan la forma:
1 Se entiende
entiende por corrimientos,
corrimientos, en forma
forma generalizada,
generalizada, tanto las
las traslaciones
traslaciones como los giros
giros..
2 El planteamiento que sigue conside ra las flexiones en dos direcciones, la torsión, los cortantes en dos i G es el
el módulo de elasticidad transversal y J el momento polar de inercia de la
la sección transversal
direcciones y el esfuerzo axil de las piezas, así como los efectos de todos esos esfuerzos. de la pieza.
200 20
2011
EA 0 0 0 0 0 ■ EA
L L
0 EL 0 0 0 EL 0 EIZ EIZ
1 2—
2— - 6—- - 12 - -6 -
D U- D ' L2
0 0 0 0 EIV
12— -1 2 — E i
D V- D V-
lCn = 0 0 0 GJ 0 0 [12.38] 0 GJ 0 [12.41]
L L
0 0 0 0 0
- 63 -6 E l >Ei
V- L V L
0 EL 0 0 0 EL 0 EL
6— 1
U L V-
EA 0 0 0 0 0 “1 EA
L L
0 EL 0 0 0 EL 0 EIZ EL
-12 — 6— 1 12 - - 6—
6— -
D O L3 V-
0 0 EIV 0 0 0
-12— -6 — L 12 -E l E l
O L2 O L2
k j2— 0 0 0 GJ 0 0 [12.39] GJ 0 [12.42]
L L
0 0 0 EIv 0 0 EL
2—- 6— ^
Lr L L2
0 EL 0 0 0 EL E Iz 0 EL
2— -
L2 L V-
La consideración conjunta de las ecuaciones [12.37] y [12.40] permitiría definir

la matriz de rigidez k de la barra, de acuerdo a la expresión siguiente:
Expresiones análogas pueden obtenerse para las ecuaciones que ligan el vector de
cargas p2 del extremo 2 con los movimientos de la barra: [12.43]
[p] = M [d]
donde:
[p2] = [k21] [d,] + [k22] [d2] [12.40]
Pi [12.44]
P=
donde las matrices k21
k21 y k22
k22 son las siguientes: P2
202 20 3
La matriz de rigidez de la estructura de (n) nudos es una matriz cuadrada definida
[12.45] po r n x n su bm atr ice s ca da un a de las cu ale s re pr es en ta la su m a de las co nt rib uc ion es
de rigidez que todas las barras concurrentes en un nudo aportan en el mismo (lo que se
1 corresponde con el planteamiento de la condición de equilibrio en cada uno de los
nudos). De esta forma, una barra cualquiera (i,j) colaborará con su matriz k’u en la
“ kj 2
subm atriz (i,i) y con sus mat rices k ‘12 ‘12, k’2]
k’2] y k’22
k’22 en las su bma trices (i,j), (j,i) y (jj),
1 I [12.46] respectivamente.
respectivamente. La matriz obtenida k’ es un matriz simétrica como corresponde corresponde
...
también por la aplicación directa del teorema de la reciprocidad de Maxwell-Betti.
..
k22
1—
El planteamiento general conduce, por tanto, a una expresión de la forma:
Sin embargo, la obtención de la matriz de rigidez completa de la barra no es
necesaria pues, com o se verá más adelante, la matriz de rigidez general de la estructura [12.53]
se forma a partir de las
las matrices parciales de las barras. k k k ] k]
Previamente al ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura, es preciso
referir todas las matrices de barras a un sistema de referencia global, definido por los donde p’ y d’ son, respectivamente, los vectores de carga y corrimiento generales y se
ejes (x \ y ’, z’). Si se representan por eos eos a x, eos a yy eos a z los cosenos directores de han constituido en la manera siguiente:
la di rec triz de la p iez a (i,j) y po r eos |3X
|3X, eos (3y, eos Pz y eos yx, eos yy, y eos yz los d e
los otros dos ejes coordenados de la pieza, se tiene la siguiente matriz T de m m Pn m
transformación: P 1 d j
P ’l d\
eos ax eos px eos yx 0 0 0 P\ d 3
eos av eos py eos Yy 0 0 9 [12.55]
0 [pl [12.54] ; [di =
eos a. eos p. eos y 0 0 0
0 [12.47]
0 0 eos ax COS p x e o s yx )
0 0 0 eos ay eos py eos y 5
0 0 0 eos a z eos p eos yz P ’i. d'„
■ ■ m m
Mediante la matriz de transformación T, obtenida para cada barra, se pueden

Hasta ahora, la matriz de rigidez k ’ es singular y, por tanto,
tanto, carece de inversa, lo
calcular las expresiones de todos los vectores y matrices en las nuevas coordenadas
globales: que corresponde, físicamente, con el hecho de que no se han impedido los
movimientos generales de la estructura considerada como sólido rígido. La
[P l = [T ] [P] [12.48] introducción de las condiciones de apoyo hace regular la matriz.
La obtención del vector d ’ a partir de [12.53] puede hacerse invirtiendo la matriz
[di = [r] [d] [12.49] de rigidez
rigidez k \ con lo que:
que:
[12.50] [12.56]
N =M y [tV k k k í ' k ]
Las ecuaciones [12.37] y [12.40] pasan a ser:
aunque suele ser más usual resolver el sistema de ecuaciones; además, la resolución del
sistema permite aprovechar otras especiales características de la matriz -además de la
\p i] = [k’n] [d i] + [k'!2] [d 2] [12.51] simetría- tal como el hecho de que presenta sus elementos dispuestos en banda
-siempre que la numeración de nudos se haya hecho adecuadamente-, lo que reduce
considerablemente las exigencias de memoria cuando el sistema se resuelve mediante
[p '2] = [k -2¡]
-2¡] p ’; ] + [k ’22]
’22] [cr
[cr 2] [12.52]
ordenador.
204 205
Una vez obtenido el vector de corrimientos d’ puede desglosarse www.libreriaingeniero.com
en sus
sus
componentes d’]; d’2, etc. según [12.55], para obtener los corrimientos -en
coordenadas globales- en los extremos de las barras. Aplicando sucesivamente para
cada barra las ecuaciones [12.48] y [12.49] pueden hallarse los esfuerzos p y los
corrimientos d en las coordenadas locales de la barra y proceder a su
dimensionamiento.
El caso analizado corresponde a un estudio del entramado que, desde el punto de
vista teórico es muy completo. Sin embargo, como veremos en el Capítulo 14, las
incertidumbres en las características mecánicas, en especial, E, I, G, J, y la interacción
de las partes no estructurales del edificio sobre la estructura, hacen que no pueda
pr ete nd er se un a ex ce si va pre cis ió n en los re su lta do s.
CAPÍTULO 13
BIBLIOGRAFÍA
(12.1) SAEZ BENITO , J.M. "Cálculo matricial de estructura s formadas por piezas piezas
prismá ticas" . Fo ndo Editor ial d e In genierí a Na val. Madrid , 1975. CÁLCULO MEDIANTE ORDENADOR
(12.2) VÁZQUEZ , M. "Cálculo matricial de estructuras". Colegio de
de Ingenieros Técnicos de
Obras Públicas. Madrid, 199
1992.
2.
(12.3) ARGU ELLES ALVAREZ, R.; ARGU ELLES BU STILLO , R. R. "Análisis de 13.1 INTRODUCCIÓN
estructuras”. Fundación Conde Valle de Salazar. Madrid, 199
1996.
6.
En los capítulos precedentes, y en especial en el 12, 12, hemos visto las ventajas que
(12.4) MEEK, J.L. "Matrix
"Matrix structural analysis".
analysis". Mc.Graw-Hill. New York,
York, 1971.
1971. la utilización del ordenador representa para el cálculo de estructuras en general y en
(12.5) LIVESLEY, R.K.
R.K. "Métodos matriciales para cálculo
cálculo de estructuras".
estructuras". Versión
Versión española pa rti cu la r p ara el cas o de las es tru ct ura s de ho rm igó n.
de Editorial Blume. Madrid, 197
1970.
0. (Traducción de J. Martínez Calzón). El cálculo mediante ordenador, a partir de las mismas hipótesis que el cálculo
convencional, no supone una mayor exactitud y sus resultados adolecerán de las
mismas debilidades que se señalaron en el Capítulo 3. Incluso la aparente ventaja que
una mayor precisión operatoria pudiera suponer, es de importancia despreciable pues
el mayor número de decimales exactos que el ordenador puede proporcionar es
absolutamente superfluo en la inmensa mayoría de los cálculos estructurales. La gran
ventaja del ordenador reside fundamentalmente en dos aspectos:
- Hace posible el cálculo de estructuras que, bien por el gran número de
operaciones que su resolución presenta (entramados de muchos pisos, por
ejemplo) o por lo tedioso de las mismas (entramados espaciales, por ejemplo)
eran, en la práctica, inabordables mediante el cálculo manual.
- En la mayoría de los casos reduce a límites despreciables el riesgo de errores
operatorios.
El ordenador no sólo presta importantes servicios en el cálculo de es fuerzos sino
también en el dimensionam iento de las secciones y las piezas, así como en el dibujo de
los planos. Sin embargo, debe prestarse atención a que el tamaño de ordenador
empleado sea el adecuado para el problema que se pretende resolver.
resolver. A veces, el
intento de resolver problemas complejos en pequeños ordenadores conduce al empleo
de programas con simplificaciones excesivas, que afectan gravemente a la validez de
los resultados.
206 207
13.2
13.2 NORMAL IZACIÓN ESPAÑOLA SOBRE EL USO DE ORDENA-
ORDENA- COMENTARIOS
DORES EN EL CÁLCULO DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN
Es conveniente que, para la descripción de datos y resultados, se incluyan dibujos
Las especificaciones españolas están recogidas en la Instrucción EHE, apartado y gráficos que faciliten su comprensión y contraste.
4.2.3 "Cálculos en Ordenador". Estas especificaciones deben ser tenidas muy en
cuenta, no sólo por su interés técnico sino por su clara trascendencia jurídica en el tema Es conveniente que todos los listados de resultados en forma tabular, lleven en su
de responsabilidad profesional y se reproducen a continuación: encabezamiento la notación y unidades para cada magnitud considerada, y que el
mismo encabezamiento se repita en cada página distinta."
distinta."
Con independencia de lo anterior, la realidad actual es que el proyectista, como
"4.2.3 Cálculos en ordena dor usuario de programas, no puede proceder a una revisión integral del mismo y por lo
tanto es claro que en caso de un error de proyecto debido a un fallo del programa, debe
4.2.3.1 Utilizació n de programa s distinguirse entre dos casos muy diferentes:
Cuando se efectúen los cálculos con ayuda de ordenadores se recomienda separar - Aquel en que el proyectista selecciona erróneamente el programa, entre un
en anejos especiales cada una de las etapas del cálculo resuelto con ordenador, conjunto de ellos suficientemente claros en cuanto a su campo de aplicación.
debiendo dichos anejos constituir por sí mismos unidades completas y ordenadas. - Aquel otro en que el programa seleccionado se emplea dentro de un campo
De cada programa utilizado se indicará su identificación, su objeto y su campo de específico de aplicación, definido p or el autor del mismo, pero contiene errores
aplicación. bie n en la defi nic ión de su cam po de apl icac ión, bien en otros punt os, que no
son fácilmente detectables por el usuario.
usuario.
El primero de los casos es evidente que supone una clara responsabilidad del
COMENTARIOS proy ecti sta. En el segu ndo caso, es clar o tamb ién que la res pon sab ilid ad será
Debe tenerse presente que el autor del Proyecto deberá poner especial cuidado en compartida por el proyectista con el autor del programa, en proporciones que no es
el control del uso de los programas dentro del ámbito de aplicación fácil definir y deberán ser precisadas en cada caso particular.
correspondiente y de la comprobación de los datos introducidos y los resultados Es interesante comparar los párrafos citados de EHE con los equivalentes que
obtenidos. figuraban en las ediciones anteriores de las sucesivas Instrucciones EH y ER Es
En particular se llama la atención sobre el problema que entraña el uso de evidente que se ha abandonado la teoría de que el responsable de los resultados
pro gra mas inte gra dos , no suf ici en tem ent e tra nsp are nte s, par a el pro yec to obtenidos mediante la utilización de un programa informático de cálculo estructural es
automático de estructuras.
estructuras. siempre el Autor del Proyecto.
No es aco nse jab le el uso de pro gram as sin con tar con una docu men tac ión de los Ello es lógico si se tiene en cuenta que para desarrollar un programa informático
mismos, que defina como mínimo: de este tipo es necesaria la conjunción de un conjunto de conocimientos:
- Título, versión y fecha de la misma. - Informáticos
- Nombre y titulación del autor o autores. - De cálculo estructural de los esfuerzos
- Nombre y razón social de la organización distribuidora. - De dimensionamiento de las secciones
- Ejemplos de estructuras resueltas. - De desarrollo de los detalles constructivos
Es importante contar con una asistencia técnica por parte del autor o del Rara vez tal conjunto de conocimientos se dan en una sola persona y lo más
distribuidor del programa, que garantice la eliminación de errores o defectos de frecuente es que se necesite un equipo de varias personas para desarrollar un programa
funcionamiento. de este tipo.
4.2.3.2 Presentación de datos y resultados 13.3 ASPECTOS GENERALES DE LOS PROGRAMAS PARA EL
El listado de datos contendrá tanto los datos introducidos por el proyectista como CALCULO DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN
los generados por el programa, de forma que queden definidas todas las La gran demanda de este tipo de programas ha provocado la aparición de una
características consideradas, debiendo contener indicaciones concretas sobre voluminosa oferta, de calidad muy variable según los casos.
notación, unidades y criterios de signos de las magnitudes utilizadas.
El tema ha sido analizado en profundidad en el Boletín n° 3 del GRUPO
El listado de salida definirá los resultados necesarios para justificar ESPAÑOL DEL HORMIGÓN (GEHO), titulado "Programas de dimensionamiento
adecuadamente la solución obtenida. automático de estructuras de hormigón" (13.1).
208 209
El documento citado señala los siguientes riesgos potenciales en el propio programa: e) La persona que revisa los resultados de un cálculo con ordenador debe ser
- "Empleo de personal insuficientemente capacitado en la preparación del capaz de estimar los órdenes de magnitud y los signos de los resultados
pro gr am a. esperables. De ahí el interés de los métodos aproximados y de los métodos
de predimensionamiento (Capítulos 15 y 16), no sólo por su valor
- Falta de concordancia entre lo que el programa realm ente hace y lo que se dice formativo, sino también como métodos de comprobación. Si la persona no
que hace en su descripción, en el caso de que esta falta de concordancia sea tiene esa capacidad, el ordenador puede ser un instrumento peligroso en
susceptible de producir errores graves de proyecto. sus manos.
- Errores de program ación que podrían haberse detec tado som etiendo al
pr og ra ma a un nú me ro su fic ien te de pru eb as an tes de po ne rlo a l a ven ta.
1 3 .4 T I P O S D E P R O G R A M A S
- Defectos en el programa o la documentación del mismo que permite que el
usuario lo aplique de forma incorrecta o a estructuras o condiciones de proyecto Esencialmente los programas que actualmente existen puede clasificarse en dos
distintas de las previstas por el autor. grandes grupos.
- Adopción de criterios de proyecto estructural inadecuados, especialmente en el a) Programas para el cálculo de entramados planos. Resuelven el caso de
caso de que estos criterios no estén explícitamente indicados en la entramados en el que todas las piezas tienen un plano medio común, en el que
documentación del programa. están situadas las acciones (Capítulos 4 y 5). Frecuentemente los programas
tienen en cuenta la influencia de los acortamientos axiles de las piezas y
- Errores importantes en el programa que hayan sido detectados después de su
pu ed en co ns id era r ap oyo s y/o em po tra mi en tos elá st ico s. (C ap ítu lo 6).
venta e incluso corregidos en versiones posteriores, sin haber sido advertido el
comprador de esta circunstancia.". b) Pr og ram as pa ra el cá lcu lo de en tra ma do s es pa cia les . Co rre sp on de n al cá lcu lo
del caso general planteado en el Capítulo 12 y consideran en general las
Análogamente y con igual claridad, señala los riesgos potenciales correspondientes
deformaciones de flexión, de torsión y axiles de las piezas.
al usuario del programa : "Lo que sucede es que muchas veces el nuevo dueño del
ordenador carece de experiencia en el proyecto de estructuras. Antes lo encargaba a una En todos los casos el programa suele requerir del Proyectista solamente la
empresa o profesional especializado. Ahora, por el contrario, corre el riesgo de pensar que definición geométrica de la estructura, las características de los materiales y
la compra de un programa basta para suplir esta inexperiencia y llegar a proyectar sus los valores y casos de combinación de acciones a considerar, proporcionando
estructuras. En ciertos casos puede incluso suceder que llegue a pensar que gracias al los valores de los esfuerzos en los puntos que se deseen de la luz de las piezas,
pro gra ma el pro yec to est ruct ura l es una lab or rut ina ria qu e pu ede con fia r a auxil iares . y eventualmente los corrimientos y giros de los nudos.
Siendo todavía escaso el control de proyectos, puede sucede r que nadie le saque de su error
Los programas más sofisticados de los actualmente disponibles permiten
y que las estructuras así proyectadas se construyan y se usen. Y como existe el coeficiente
resolver cualquier problema de cálculo lineal, esto es, mientras puedan
de seguridad, pued e suceder que nad ie se dé cuenta. A corto o medio plazo, claro.".
suponerse pequeñas deformaciones y con estricta proporcionalidad entre
Parece conveniente que el técnico actual, al considerar las posibilidades de la momentos y curvaturas. Dentro de esta limitación pueden simularse, por
informática, reflexione sobre los cuatro aspectos siguientes: ejemplo, vibraciones en cualquier fase y frecuencia, impactos e incluso
acciones que van actuando progresivamente en el tiempo sobre distintos
a) Los resultados salidos del ordenador nunca tendrán más precisión que la
elementos de la estructura, como sucede, por ejemplo, con una onda expansiva
que tengan los datos introducidos. La incertidumbre en luces, cargas,
pro du cid a en el in te rio r o en el ex te rio r de l ed ifi cio , o co n la co ns tru cc ión de
inercias, rigideces, relación momentos-curvatura, etc, que hemos
un puente por voladizos sucesivos.
expuesto, en especial en los Capítulos 8, 9, 10 y 11, hace ilusoria la
pretensión de una gran exactitud en la mayoría de los casos. Actualmente empiezan a generalizarse los programas que permiten considerar
diagramas no lineales de momentos-curvaturas, permitiendo diagramas
b) Obtener una solución con muchos decimales no quiere decir que se
elastoplásticos, birectilíneos o poligonales, si bien su gran com plejidad, con la
obtenga una solución de gran exactitud.
consiguiente limitación del tipo de ordenador a que obliga el incremento del
c) El ordenador no ha aumentado la calidad científica del cálculo de tiempo de cálculo y su elevado coste, restringen su aplicación a problemas
estructuras de hormigón, de la misma manera que su participación en el muy concretos.
proceso de redacción e impresión de libros no ha mejorado la calidad
c) Programas basados en el MEF (Método de Elementos Finitos). En su base
literaria de las obras producidas.
matemática el Método de Elementos Finitos es, desde el punto de vista
d) El ordenador es una máquina que se fabrica para que las personas que conceptual, muy antiguo, pero de imposible aplicación, debido a la laboriosidad
saben calcular lo hagan más deprisa y con menor esfuerzo, no para que de los cálculos necesarios, hasta la aparición de los ordenadores. Desde el punto
las personas que no saben calcular, puedan calcular. de vista práctico su desarrollo comenzó en la década 1950-1960.
21 0
Esencialmente el método parte de plantear los problemas estructurales en
corrimientos, y no en fuerzas como hacen los métodos clásicos, hoy todavía
en uso la mayoría de ellos.
El método permite calcular la mayor parte de las estructuras, tanto planas
como espaciales. En las dos últimas décadas su desarrollo y su potencia han
aumentado considerablemente en el campo del hormigón estructural, debido a
la posibilidad de modelizar el comportamiento no lineal del material, la
fisuración, el anclaje de las armaduras a partir de los labios de las fisuras, etc.
N o só lo es un a al ter na tiv a in ter es an te a los pr og ram as ex pu es to s en a) y b),
sino que permite estudios mucho más complejos. De hecho el empleo de
modelos reducidos, habituales en problemas especiales, se circunscribe hoy a
un nivel muy reducido, dadas las posibilidades del M.E.F. Una exposición del
tema puede verse en (13.3) y (13.4).
CAPÍTULO 14
1 3. 5 P R O B L E M A S DERIVADOS DEL USO ERRÓ NEO DEL
ORDENADOR
La ignorancia de lo anteriormente expuesto, en especial de los puntos a) a e) EXAMEN CRÍTICO DE LOS MÉTODOS DE
citados en el apartado 13.3, va conduciendo a la generación de un conjunto creciente
de casos de Patología específica del Ordenador. Véase J. CALAVERA (13.2). CÁLCULO LINEAL
14.1 GENERALIDADES
BIBLIOGRAFÍA
Los métodos expuestos hasta aquí adolecen de defectos importantes que
analizaremos a continuación. Su análisis justifica el porqué los métodos simplificados
(13.1) "Programas de dimensionamiento automático de estructuras de hormigón". GEHO. y gran parte de los aproximados han conducido, durante muchos años, a estructuras
Boletín n° 3. Diciembre 1989. que, siendo teóricamente incorrectas, han presentado un comportamiento satisfactorio.
(13.2) CALAVERA, J.: "Patología de estructuras de hormigón armado y pretensado". Puede adelantarse ya que los métodos lineales siguen representando, por el
INTEMAC. Madrid. 1996. momento, la herramien ta más eficaz y de empleo más general de que disponemos. Los
métodos de cálculo no lineal, aunque interesantes y prometedores, no presentan
(13.3) "Finite element handbook". McGraw-Hill Book Company. 1987. todavía, a nivel práctico, procedimientos que puedan considerarse suficientemente
(13.4) OÑATE, E.: "Cálculo de estructuras por el método de elementos finitos". Centro sencillos y de aplicación general. En el Capítulo 17 veremos algunos métodos
aplicables a ciertos tipos estructurales.
Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería. Barcelona. 1992.
A continuación analizamos las principales fuentes de error de los métodos de
cálculo lineal. Basándose el desarrollo del método de cálculo en que la relación
momentos-curvaturas viene dada por la ecuación [3.2]
la influencia de E e I es naturalmente destacada en cuanto a la validez de los resultados.

En la figura 14-1 se representa esquemáticamente la relación momentos-
curvatura para una sección de hormigón armado sometida a flexión pura. El
comportamiento dista mucho de ser lineal, e incluso en los dos tramos OA y AB que
pu ed en ac ep tar se co mo ap ro xi m ad am en te lin ea les , los áng ulo s a y (3no sól o de pe nd en
212 213
de la resistencia del hormigón sino de otras muchas de sus cualidades y las de sus hormigón, conduce también a que en ciertas zonas las tensiones del hormigón en
componentes. Influencia esencial en el diagrama tiene el c arácter breve o duradero del
proc eso de car ga y, fina lme nte, el m áxi mo val or de 0 v ien e fu ert eme nte infl uido por la ■■ f
servicio sean muy altas y desde luego muy superiore s al valor——que suele aceptarse
armadura transversal, a través del confinamiento que ésta ejerce en la cabeza
comprimida. como límite para la hipótesis de proporcionalidad entreoc y e
Esto hace en definitiva que el valor de E c a considerar en la fórmula [14.1] no sea
constante en todos los puntos de la estructura, como simplificadamente supone el
método lineal.
Lo anterior, en especial en el caso de entramados cuyos dinteles llevan forjados
asociados, se agrava por el hecho que esquemáticamente se indica en la figura 14-3 que
representa un vano de un dintel de edificio. De acuerdo con el cálculo lineal, los
momentos vienen representados por el diagrama de trazo continuo y el de apoyo
resulta en general del orden de vez y media el de vano. Esto quiere decir que en la
sección de apoyo el hormigón presentará, en condiciones de servicio, una tensión de
compresión en la zona comprimida (en este caso la inferior), representada en el
diagrama tensión deformación de la figura 14-2 por un punto como por ejemplo el B.
Al ser la pieza de sección constante, la cuantía necesaria y la tensión del hormigón en
servicio en el centro del vano serán considerablemente menores. El punto
14.2 MÓDULO DE DEFORMAC IÓN Ec correspondiente en el diagrama de la figura 14-2 será uno tal como el A. Esto conduce
La fórmula de uso habitual para la determinación del valor de Ec expresa el ya a que las curvaturas en ambas secciones no estén en la relación de los momentos,
módulo como función lineal de la raíz cúbica de la resistencia. Las variaciones de sino en otra mayor dada la diferencia de los módulos Ecen A y B. El efecto de esto es
resistencia del hormigón, de unas zonas a otras de la estructura, afectarán por tanto a "descolgar" el diagrama a una posición como la de trazos de la figura 14-3.
Ec. Sin embargo esto no es lo más importante, sino el hecho de que en la fórmula citada
se ignoran otras influencias más acentuadas, tales como la relación A/C, el tipo de
cemento y la clase de árido. Solamente el paso del empleo de árido rodado a árido de
machaqueo, a igualdad de dosificación y resistencia, supone cerca de un 20% de
incremento en el valor de Ec, a favor del árido de machaqueo, que aunque de menor
resistencia y módulo de deformación intrínsecos que el rodado, presenta una mayor
adherencia a la matriz del mortero.
Por otra parte, sea cualquiera el valor de Ec, su constancia, es decir, la aceptación
de una relación lineal entre tensiones y deformaciones, no puede ser mantenida (fig.
14-2). El problema se ha agravado con la aplicación del método de cálculo de los
estados límites, pues este método, al conducir a un aprovechamiento más intenso de la
capacidad resistente del
Fi gu ra 14- 3
La situación es realmente más grave que la indicada, ya que si, como es habitual
y vimos en el Capítulo 10, para el cálculo de los esfuerzos se ha considerado como
sección del dintel sólo la de la viga y se ha despreciado la colaboración del forjado,
ello no impedirá que en el funcionamiento real de la estructura el forjado colabore de
forma importante, reduciendo considerablemente la tensión en servicio, <j a, del
hormigón en la zona central del vano, de forma que su punto representativo en el
diagrama de la figura 14-2 ya no será el A, sino otro A’correspondiente a una tensión
notablemente inferior. Esto acentúa aún más la diferencia de valores de Ec. Si además
Fi gu ra J4 -2 se considera que las deformaciones diferidas del hormigón serán de una o dos veces
214 215
las elásticas instantáneas, aún se agrava más el prob lema y, especialmente en los casos la rodea. En las fisuras, el esfuerzo de la tracción necesario para equ ilibrar el momento,
de estructuras cuya carga permanente es importante frente a la sobrecarga (lo cual es evidentemente ha de ser proporcionado íntegramente por la armadura y las tensiones
frecuente en muchos edificios), conducirá en definitiva a que con el tiempo se vayan c s, en ella son máxim as. Al alejarse la armadura de una fisura, se realiza
reduciendo los momentos de apoyo y aumentando los de vano, apartándose la pa ul ati na m en te su an cla je en el ho rm ig ón , tan to má s de pr isa cu an to má s fin o se a el
distribución notablemente de lo que indica el cálculo lineal. Esta situación, que diámetro y más eficiente el corrugado de las barras y, como consecuencia de ello, la
analizaremos con mayor rigor más adelante, está en parte paliada por el hecho, armadura reduce sus tensiones y transfiere parte del esfuerzo de tracción al hormigón.
corrector en cierta medida del fenómeno indicado de que si el cálculo lineal se da por El proceso se invierte al acercarse la armadura a la fisura siguiente. Correlativamente
correcto, la estructura se arm ará con arreglo a él. a lo anterior, las tensiones de tracción, c cp en el hormigón, son naturalm ente nulas en
las fisuras y aumentan gradualmente entre dos fisuras consecutivas.
En conjunto, las investigaciones realizadas han conducido a que, en condiciones
de servicio, las estructuras reales se comporten con una razonab le concordancia con las Consecuencia de todo ello es que el valor de I varía a lo largo de la luz, con
pr ev isi on es de l cá lcu lo line al. En ca mb io, en fa ses de pr e- ro tu ra y ro tur a, las mínimos en los planos de las fisuras. Estos valores mínimos son considerablemente
diferencias son importantísimas. inferiores a los de la sección sin fisurar. Entre dos fisuras consecutivas el hormigón
pr es en ta un fe nó m en o de "r igi diz aci ón " de la pi ez a y tod o ell o ha ce qu e la ev alu aci ón
del valor de I sea muy incierta, afectando naturalmente a la validez de los cálculos.
1 4 .3 M O M E N T O D E IN E R C I A I Un segundo aspecto que introduce error en los resultados del cálculo lineal es el
Ya en el Capítulo 10 señalamos la incertidumb re del valor a tomar, incertidumbre de la modificación que en los valores de I a lo largo de la luz introduce la existencia de
especialmente grande si las vigas llevan forjados asociados. pila res . En la fig ur a 14-5 se rep re sen ta un a zo na de un en tra ma do . Si se co ns ide ra la
viga AA de luz L entre ejes de apoyos, entre B y B’ su canto es hr y su momento de
Existe, además otra fuente de incertidumbre importante, suponiendo establecida inercia puede ser calculado, con las incertidumbres introducidas por las consideraciones
con claridad la sección a tomar en el cálculo. Su origen reside en el hecho de que en expuestas anteriormente. Pero al llegar a las zonas AB y B ’A\ su sección no es de canto
las zonas de máximos momentos de ambos signos en las piezas, el hormigón estará ht, sino de la altura de piso h. Esto supone un efecto de acartelamiento enormemente
fisurado. Esto es habitualmente más acusado en las vigas que en los pilares y es un importante. Su trascendencia ha sido evaluada aproximadamente por WINTER,
hecho más intensamente producido también con los nuevos métodos de cálculo de URQUHART, O’ROURQUE y NILSON (14.1) a partir de estudios de
secciones, tales como el hoy habitual de los estados límites y con el empleo de las GERMUNDSSON (14.2) en órdenes de un aumento de los momentos de apoyo y una
armaduras d e alto límite elástico. reducción de los de vano del 4% del mo mento isostático del tramo.
En la figura 14-4 se representa una parte de viga correspondiente a la zona de
momentos máximos (positivos o negativos). En condiciones de servicio, en especial
cuando la sobrecarga nominal se produce realmente o cuando su valor es poco
importante en relación a las cargas permanentes, la fisuración será apreciable. En la
figura se han representado, en corr esponden cia con la posición de las fisuras, las leyes
generales de distribución de tensiones de tracción en la armadu ra y en el hormigón que
-E
4>
Figu ra 1 4-4 Figur a 14 -5
21 7
21 6
1 4 .4 LUCES DE CÁLCULO
Ya en el apartado 1 del Capítulo 10 analizamos el problem a del redondeo de los
momentos negativos debido a la distribución de la reacción de apoyo en el ancho del
pi lar . A un qu e la cu es tió n es in su fi ci en te m en te co no ci da , la lu z ef ec tiv a es tá
comp rendida entre la libre y la luz entre ejes, pero no es posible fijar con exactitud su
valor. En ciertos tipos de estructura, especialmente en edificios industriales sometidos
a grandes cargas, el ancho del pilar es importante frente a la luz y lo anterior tiene una
importancia no desdeñable.
14.5 A LGUNA S HIPÓTESIS BÁSICAS

Todo lo expuesto en los Capítulos anteriores presupone una estructura exenta, es
decir no coaccionada por partes no estructurales del edificio.
En bastantes edificios indu striales y deportivos esto es sustancialmen te cierto. Sin CAPÍTULO 15
embargo, en muchos otros ed ificios, sobre todo en edificios de viviendas, oficinas, etc.,
la situación es bastante diferente y pueden destacarse tres tipos de coacciones muy
frecuentes:
a) Las tabiquerías y fachadas, en especial las de ladrillo, coaccionan de forma MÉTODOS APROXIMADOS
importante la deformabilidad vertical de forjados y vigas.
b) La s fa ch ad as no flo tan tes , es de cir las un ida s de fo rm a r íg id a a l a es tru ctu ra y
las tabiquerías reducen los corrimientos horizontales de la estructura.
c) Los cerramientos d e cajas de escalera y de ascensores producen en ocasiones 1 5 .1 I N T E R É S A C T U A L D E L O S M É T O D O S A P R O X I M A D O S
los efectos a) y b), en especial este último. Durante muchos años los métodos aproximados constituyeron la única
Estas coacciones hacen que las situaciones reales de muchas estructuras sean po sib ili da d pr ác tic a de ab or da r el cá lcu lo de es tru ctu ras co m pl eja s o, sim ple m en te, de
ba sta nt e di fer en tes de las an un cia da s po r el cál cu lo. Un a ap ro xi m ac ió n al tem a del gran número de piezas. Aunque muchos de ellos conducen a resultados que se apartan
cálculo de estas coacciones ha sido realizada por SMITH (14.3). Sin embargo, en claramente de los obtenidos med iante un análisis riguroso de acuerdo con las hipótesis
nuestra opinión, estas colaboraciones deben ser consideradas con cautela, pues si bien del cálculo lineal, la experiencia de su uso fue en general satisfactoria.
son razonablemente eficaces para estados de servicio, es muy dudoso que persistan Sin embargo, lo anterior debe interpretarse con cuidado, pues el buen
hasta la rotura, por lo cual, la situación de la estructura en su estado lím ite último sería funcionamiento (o mejor dicho el funcionamiento no malo) que estos métodos
la de la estructura independiente de esas coacciones. “heterodoxos” han presentado, en general, no sólo debe atribuirse a las causas
analizadas en el Capítulo 14, sino, en ocasiones, también a una simple reducción de
los coeficientes de seguridad de la estructura.
Actualmente, con la facilidad de uso de los ordenadores, creemos que el interés
BIBLIOGRAFÍA de los métodos aproximados se ha reducido pero no ha desaparecido. El análisis
riguroso, bien de la estructura completa, bien de partes reducidas de la misma de
acuerdo con lo que expusimos en el Capitulo 8, es muy sencillo.
(14.1) WINTER, G.; URQUHART, L.C.; O’ROURQUE C.E.; NILSON, A.H. "Design of
concrete structures". McGraw-H ill. New York. 1964. Sin embargo, creemos que los Métodos aproximados siguen presentando tres
campos de utilización interesantes:
(14.2) GERDMUSS ON, T.: "Effect of column width on continuous beam moment".Journal
ACI. Junio 1958. a) Para el análisis preliminar de las soluciones de anteproyecto.
(14.3) SMITH, B.S. "Behaviour of square infilled frames". Proceedings, ASCE. Febrero b) Pa ra el pr ed im en sio na m ien to de la es tru ctu ra co n vis tas al cál cu lo de fin itiv o
1966. con métodos más rigurosos, tema que abordaremos en el Capítulo 16.
c) Para la comprobación local de puntos de la estructura, caso en que no tiene
interés alguno repetir el cálculo completo de la misma.
218 219
En este sentido, toda persona que calcula estructuras, aunque analice como es c) Dentro de cada vano, las piezas son de sección constante, es decir, no existen
lógico sus cálculos con ordenador, debería conocer estos métodos aproximados, que cartelas.
son los que le permitirán realizar estimaciones rápidas de los resultados esperables y
po r tan to ve ri fi ca r los da to s de sa lid a de los pr og ra m as in fo rm áti co s. d) Las luces de dos vanos adyacentes cu alesquiera no difieren entre sí en más del
20% de la mayor.
En este sentido exponemos a continuación los métodos más frecuentes.
A) MOM ENTOS FL ECT ORE S1. Los valores se indican en la figura 15-1.
1 5 .2 M É T O D O S S I M P L I F I C A D O S P A R A E L C Á L C U L O D E
TABLA 15.1 2
ESFUERZOS DEBIDOS A ACCIONES VERTICALES
1 MOMENTOS POSITIVOS
15.2.1 M ÉTOD O DE LA NO RMA ACI 318-95 1.1 Vanos extrem os.
La norma citada (15.1) establece los dos métodos siguientes: a) Extrem o exterior no coaccionado . P^2
11
15.2.1.1 Vigas continuas b) Ex tre m o ex te rio r co ns tru id o m on ol íti ca m en te co n su ap oy o. P^2

14
El método se aplica a aquellos casos que cumplen las cuatro condiciones
siguientes: 1.2 Vanos interio res. P^2
16
a) Hay como mínimo dos vanos.
2 MOMENTOS NEGATIVOS
b) L a m ay or de ca da do s luc es co nt ig ua s no ex ce de en m ás de l 20 % a la me no r 2.1 En la cara exterior del primer apoyo interior.
(33%).
a) Dos vanos. P^
c) Las cargas pueden considerarse uniformemente distribuidas. 9
d) Las sobrecargas no ex ceden el triple del valor de las cargas permanen tes. b) M ás de do s va no s. _P^
10
Cumplidas las condiciones anteriores, los valores de los esfuerzos se obtienen
directam ente de la Tabla 15.1. El valor que en b) se indica entre paréntesis correspond e 2.2 En la cara exterior de otros apoyos interiores. __Pf
a la opinión del autor y am plía considerablemente el alcance del método. 11
2.3 En la cara exterior de todos los apoyos interiores para
forjados cuya luz máxima no excede los 3 m y vigas en las pf
15.2.1.2 Entramados que la relación de la suma de rigideces de los pilares superior \2
Se acepta con carácter absolutamente general que el cálculo de cualquier dintel y e inferior de cada extremo de la viga no es inferior a ocho
de los pilares superiores e inferiores puede realizarse suponiendo los extremos veces la rigidez de la viga.
opuestos de estos pilares perfectamente empotrados. Este método coincide con lo
expuesto en 8.3. 2.4 En la cara exterior del apoyo extremo de vigas o losas construidas
monolíticamente con sus apoyos.
a) Cuand o el apoyo es una viga en la que la considerad a _
15.2.2 MÉTODO DE LA INSTRUCCIÓN EHE
se emp otra produc iendo torsiones. 24
Presenta como ventaja importante respecto al método visto en 15.2.1.2 el que
pr op or ci on a no só lo lo s es fu er zo s en los di nt ele s sin o ta m bi én en los pil ar es. b) Cu an do el ap oy o es un pi la r ex tre mo . _ _P?
16
El método es sólo aplicable a entramados que cumplen simultáneamente las
cuatro condiciones siguientes:
Los coeficientes multiplican a q f, donde q es la carga por unidad de longitud y í es la luz del vano,
a) La estructura está som etida exclusivam ente a la acción de cargas verticales, par a l os mo me nto s po siti vo s, y la sem isu ma de las luc es de los van os co nti gu os pa ra los mo me nto s
uniformemente repartidas de igual valor por unidad de longitud. negativos. Se toman como luces las distancias entre ejes de pilares del piso inferior.
p es la carga por unidad de longitud, í es la luz libre entre caras de apoyo para momentos positivos
b) L a ca rg a v ar ia bl e no es su pe ri or a la m ita d de la ca rg a pe rm an en te. y la semisuma de las luces libres de los vanos contiguos para momentos negativos.
220 221
El método es bastante más conservador que el del ACI indicado en 15.2.1.1, ya
3 CORTANTES
pd que si bien los coeficientes indicados en la Tabla 15-1 son prácticamente iguales a los
3.1 Cortante en la cara exterior del apoyo interior en vano 1,15 — que se adoptan para momentos flectores de vigas en la figura 15-1, debe tenerse en
extremo. 2 cuenta el distinto valor adoptado para las luces, que es el de la luz libre en el método
del ACI y el de la luz entre ejes de apoyo s en el método de EHE. Con un valor de ancho
EL
3.2 Cortante en la cara exterior de todos los demás apoyos. 2 de soporte a luz entre ejes de soportes del vano de — , la diferencia en los valores de
los momen tos es del 10%. En zonas bajas de edificios de altura media y en zonas medias
DOS TRAMOS MÁS DE DOS TRAMOS
y bajas de edificios de gran altura, el valor es frecuentem ente superado y las

35 1
-isf— t — T
------ --------
- 18- f 1 - T - íT
h
diferencias son, por tanto, aún más importantes.
o, ,(1)
(1), 1 i
O) h , HS1B
(3 ) nm Un inconveniente importante del método de EHE es la condición b), de que la
-131 - 3+ u
1 1' 110 'I
carga variable no supere la mitad de la carga permanente. A nuestro juicio, se trata de
0)
01, CDt i i 1
una limitación excesivamente prudente y restringe el empleo del método prácticamente
-3J.2Q
Jíú ^ 2> 9Í9 l2) 2 ü | - l S - I3S1. L2 ' 0
(2 ) 10lió
a sólo los edificios de viviendas y las cubiertas. Creemos que dicho límite puede
Hsl I I | l"3 --1d5 + l 1
( 1) * ( 1) (1)
ÍZ i?
elevarse hasta cargas variables iguales a la permanente, lo cual extiende la
(11, , , ,U) m, 1 1 aplicabilidad del método a la mayoría de los casos prácticos de edificios de oficinas,
(1) 10 110
X
il hospitales, hoteles, etc. y a un gran número de edificios industriales.
-fif i 1
4 ' Í 1,1 T ~ T (1) 1 ÍZ IB
(2); ,1S jJJZ) (2),

(1)
1 1
10110
-ISI'S
1 5. 3 M É T O D O S S I M P L I F I C A D O S P A R A E L C Á L C U L O D E
- sif J> J_ 1 10
X ’l1
(2 ) (2) SOLICITACIONES DEBIDAS A ACCIONES HOR IZONTALES 1
(3), , , ,, , ,0) (3), i
TT ll1
(n
; f -IS + X
u
X
16
15.3.1 MET ODO DEL PORTICO 2
"(3) U O) O)
(*) LOS NÚMEROS ENTRE PARENTESIS INDIC AN RIGICECES RELATIVAS El método presupone que los puntos de momento nulo, bajo las acciones
horizontales, se hallan en el punto med io de la luz tanto en vigas como en pilares
F ig u ra 15 -1
(figura 15-2).
Obsérvese que el método desprecia los momentos flectores en los pilares
interiores. De acuerdo con lo visto en el Capítulo 14 y con las limitaciones b) y d) yt
Ni
expuestas, esto es fácilmente aceptable. La costumbre en cambio de despreciar los
momentos en los pilares interiores con diferencias de luces o desequilibrios de cargas
importantes, no es realmente justificable.
M
A
Fk.,=¡> s
B) ESFUERZOS CORTANTES
pd
- En sección de apoyo de vano extremo en pilar interior
1,15T - f,H>
*77. --- 77■
77----- 77 „ _______ . T,— -7
7
1
- En todas las demás secciones de apoyo
2 F ig u ra 15 -2
C) ESFUERZOS AXILES 1 De todos los sistemas que exponemos, en nuestra opinión el más adecuado es el pórtico, expuesto en
15.3.1 con la correcc ión de SVE D y BUL L que se detalla en 15.3.3. De todas formas todos estos
Se calculan de acuerdo con los valores establecidos para los cortantes. métodos so n eficaces para determ inar los esfuerzos axiales en los pilares extrem os de los pórticos,
per o su uso req uie re un cie rto en tre na mi en to pa ra ap lica rlo a l os pil are s rest ant es.
1 EHE no indica el valor de ea tomar para el cálculo de los esfuerzos cortantes. Es lógico tomar el libre. 2 Este método fue publicado por A.SMITH en 1915 (15.2).
223
222
Supongamos aislado el dintel A B , por ejemplo, con las mitades de los pilares Esta distribución supone que aproximadamente los pilares de fachada tienen
superiores e inferiores (figura 15-3). rigidez mitad de los interiores y que éstos son todos de igual rigidez.
De acuerdo con lo anterior, respeto al sistema de ejes indicado en la figura 15-2,
el momento flector en arranque del pilar superior del nudoA vale:
[=» r=fr f=fr ■=D> =í>
A B
4=Q/2 4= q <H <1= P h 1
q Q/2 MP1Jfc= ~ - [15.3]
' 2 2
F ig ur a 15 -3
Para el pilar inferior del mismo nudo: (Qes positiva hacia la derecha. El valor del
momento corresponde al momento flector, no al de empotramiento).
Sea Z u F; la suma de acciones horizontales desde cubierta hasta el piso
*+i ■
Oh 2
inmediato superior al considerado y Fj la suma desde cubierta hasta el piso A ÍV i = - " [15-4]
considerado1. k 2 2
Para el extremo dorsal de la viga del primer vano, el momento de empotramiento

El valor Z a F¡ se repartirá entre toda la serie de articulaciones de pilaresMN. ha de equilibrar el nudo, luego -Mv¡k + M p}¡í} ) ya que en los extremos
k+ i J
dorsales los momentos flectores son de igual valor pero de signo contrario a los de
F
En lo que sigue, se supone que d icha distribución se realiza según los valores— empotramiento. El m omento flector vale por tanto
y p de la figura 15-3 2 , siendo:

M\,k = ~ ( p - Q) [15.5]
k +1
P= - Para los nudos interiores, los momentos de empotramiento en pilares son dobles
m - 1 de los proporcionados por las fórmulas [15.3] y [15.4] y para las restantes
[15.lj extremidades de vigas, al estar el punto de momento nulo en el centro de la luz, el valor
donde m - 1 es el número de vanos del dintel. (Acciones de la estructura superior [15.5] se propa ga a lo largo del dintel siendo el mismo para todos los empotramie ntos
sobre los tramos de semiluz de los pilares superiores interiores). de vigas hasta la fachada opuesta.
El cálculo de los esfuerzos axiles es inmediato a partir de los esfuerzos cortantes
en cada vano.
Análogamente el valor F- se reparte entre todas las articulaciones de la serie
k Mfd - Mff
-V = V f=— --- í- [15.6]
ST de la figura 15-2, según los valore s-^- y Q de la figura 15-3, siendo: d f L
n y teniendo en cu enta que M^d viene dada por [15.5] y Mês igual y de signo contrario,
se obtiene para todos los vanos
I f ,
Q [15.2]
m- 1 .y = y' [15.7]
S 2L
1 Tanto en este método como en el siguiente, deducimos las fórmulas generales. Para el trabajo bas tand o p ara ca da pi la r e n ca da pla nta sum ar l os co rta nte s c orr esp on die nte s a ese pil ar
prá ctico , es m ejor cal cul ar dir ecta me nte los valo res num éric os corr ecto s.
desde esa planta hasta más alta para obtener el esfuerzo axil.
2 Se supone por lo tanto que todos los pilares interiores absorben el mismo cortante y que ios de
fachada absorben la mitad. Esta hipótesis se basa por tanto en aceptar que los pilares de fachada Se suponen todos los pisos de la misma altura. El cálculo es también muy simple aunque las alturas
tienen rigidez mitad de la de los interiores. sean diferentes.
Existen variantes del método.Una muy conocida es suponer que los cortantes se reparten entre los Las fuerzas P y Q son acciones del resto de la estructura sobre la estructura parcial indicada en la
pilar es en pro por ción a la s l uces trib utar ias de cor tan te isos táti co cor resp ond ien tes a ca da pilar, Esto figura 15-3. Los sentidos de avance se consideran coincidentes con las direcciones positivas de los
tiene el inconveniente de q ue los esfuerzos axiles resultan nulos en todos los pilares interiores.
ejes. Recuérdese que P y Q se consideran positivas en el sentido positivo del eje OX.
22 4 225
Obsérvese que para luces iguales, las reacciones de las dos vigas sobre cualquier
nudo interior son iguales en valor y de signo contrario, lo que supone que el método articulaciones M, N situadas en la mitad de la altura de los pilares será igual a y
del pórtico conduce, en ese caso, a que los esfuerzos axiles debidos a las cargas k
su momento respecto a G será
horizontales son nulos en todos los pilares interiores, lo que puede conducir a errores
importantes en el caso de edificios esbeltos.
^ i=n i~n
15.3.2 MÉTODO DEL VOLADIZO 1 M = - Y , p i + H p ^ r y k)

¿ i=k i=k [15.9]
El método se basa en las hipótesis siguientes:
donde h es la altura del piso considerado.
a) Los puntos de mom ento nulo se hallan en el punto med io de la luz, tanto en
vigas como en pilares. Llamando G¡, a2 , ... crm las tensiones en los pilares 1, 2,.. . m, y x ¡, xg2, ... xgm las
distancias de sus ejes al baricentro, se ha de cumplir
b) L a di st rib uc ión de ten sio nes en los dis tin tos pil are s del ent ram ado es
pro po rci on al a sus dis tan cia s al ba ric en tro de las áre as de sus secc ion es.
(Figura 15-4). M = o> S¡ xg! + o2 S2xg2 + . . . + amSmxgm
[15.10]
y por la linealidad de deformaciones aceptada
G i° i
yn Oi C72
[15.11]
A *gl *g2 *gm
1
Yk
y eliminando O], o 2 ... 0m_i de [15.11 ] y sustituy end o en [15.10] se obtie ne:
*g [15.12]
x]
Figura 15-4
De acuerdo con b), en un pilar j la tensión Gj (figura 15-4) es proporcional a la De [15.12] se obtienen los valores de a en cada pilar, que multiplicados por las
distancia X . del baricentro G al eje de ese pilar. (De ello viene el nombre del método,
áreas respectivas nos proporcionan los valores N¡, N2, ..., Wmde los esfuerzos axiles.
por se me jan za co n los res ult ad os de co ns id era r AB como la sección de un voladizo de
Esta operación se repite para cada planta.
luz la altura del entramado y sometido a las cargas horizontales).
Considerando el nudo //, correspondiente al soporte i, de la figura 15-5, se
La determinación del punto G, si llamamos 5- al área de la sección recta del pilar obtienen las fórmulas para los esfuerzos en cualquie r vano, de acuerdo con lo que
j y Xj a su distancia al eje del pilar 1, se obtiene directam ente tomando mom entos
sigue.
estáticos de las áreas S ¡ .
i r.;-------- r . ~ ~ r r. ¡.
fllN 2,k+1 |N 3.k+1 |ÍN4. k+1 !f|^ i,k+1 pNn.k+1
x 2 S2 + * 3 S3 + ... + x mA + x m Sr Xl-k+1<¡sá ? X2-k+1'O- ^ J< X3-k+1^ ó X¿*Jk+l<1=Y XL.k+1<b>^ Xn > 1 ^
o:1 , k + l '<H <1=
i,k-H
S] + s 2 + . . . + Sm 2,k+l 3.k+l Ak+1 Vk-»t
[15.8] Yi.k Y2.k Ya.k Yi -1, k Yi.k
t t t:
n °l.k^ °2.k^ °i,k©
4,k o:
Si llamam os a la resultan te de todas las cargas horizontale s desde la planta :H>W
© X 1.k 5? X 2 ,k 5^ X 3,k ^ X ¿ .k ^ X L,k ^ X n ,k
k considerada hasta cubierta, la resultante de las acciones horizontales en la fila de © ^ k
(D ^
® k ^
© k r©© L-k AV
®
1 Este método fue publicado por A.WILSON en 1908 (15.3) Figura 15-5
226 227
El equilibrio del sólido 0¡_lik; 0 ”iM¡; 0 ¡k; 0j k; 0 ’ik pe rm ite es tab lec er
Las fórmulas [15.13] a [15.19] son válidas para cualquier vano, incluidos los del
dintel superior y los vanos extremos de cualquier dintel, sin más que hacer nulos en
~Y¡-\,k + N itk + Yjk - N ik+1 = 0 ellas los términos correspondientes.
de donde Conocido s los valores TVde los esfuerzos axiles, el cálculo mediante las fórmulas
[15.13] a [15.19] debe comenzarse por un nudo extremo del dintel más alto y
[15.13] continuarse con el resto del dintel y los pilares en que se apoya. A continuación, se
calcula el dintel inferior, comenzando también por un nudo extremo y así
sucesivamente.
Tomando momentos respecto al nudo H
H-i h 15.3.3 CORRE CCIÓN DE BU LL Y SVED A LOS MÉTODOS D EL PÓRTICO Y

yi. u f + X u - + Yí k j . + X IMi- = 0 DEL VOLADIZO
Tanto el método del pórtico como el método del voladizo satisfacen a las
ecuaciones de la estática pero no a las de compatibilidad de deformaciones. Esto hace
v ^ Yi,k + V] Yi-i,k + x hk+l h que dichos métodos introduzcan errores importantes, especialmente en las zonas bajas
A; I, — ------------
de estructuras de edificios altos. F.B. BULL y G. SVED desarrollaron en 1962 un
h
[15.14] método que puede estudiarse en detalle en la referencia (15.4). Dicho método corrige
en gran medida el error de suponer que los momentos son nulos en los puntos medios
y los esfuerzos resultan por tanto
de la luz de los pilares (figura 15-6 a) cuando en realidad los puntos de momentos
Viga de luz C, nulos pueden estar fuera de la luz del pilar (figura 15-6 b).
Momento flector: BULL y SVED establecen un factor C que, multiplicado por el momento flector
del pilar dado por los métodos del pórtico o del voladizo, proporciona el valor del
momento con bastante mejor aproximación.
[15.15] Es fácil ver que, si la rigidez de las vigas es despreciable frente a la de los pilares,
éstos trabajan como voladizos, sin que las acciones horizontales induzcan en ellos
esfuerzos axiles. En este caso, el coeficiente C para la planta baja, al crecer el núm ero
Esfuerzo cortante: n de plantas, tiende hacia el valor n.
yu [15.16]
1
Esfuerzo axil:
/
/
/
x^ ~ E xj [15.17] Á
i i /
/
Pilar , i, de l p is o k-1 al k /
/
Momento flector: /
/
y
MPlk = ~ x ^ Y [15.18] /
2
Esfuerzo cortante: DISTRIBUCION DE MOMENTOS EN PILARES SEGÚN EL
MÉTODO DEL PORTAL (a) V DISTRIBUCIÓ N REAL (tú EN
UN EDIFICIO ALTO DE TIPO MEDIO.
VZ* = X itk [15.19]

F ig ur a 15 -6
228
22 9
Por el contrario, si la rigidez de las vigas es infinita frente a la de los pilares, los
métodos del pórtico y del voladizo resultan ciertos y C tiende hacia la unidad. pl an ta s in fer io res en las tre s si tu ac io ne s sig uie nte s:
Para edificios sin sótanos, el gráfico de la figura 15-7 da, en función del número A. Estructura empotrada a nivel de planta baja en el terreno. (Coincide con lo
recogido en la figura 15-7).
K
total n de plantas y de la relación —- de rigideces del pilar a las vigas1 , el valor del
K B. Estructura que tiene impedidos los corrimientos en toda la profundidad del
coeficiente C a aplicar a los pilares de planta baja. sótano, bien sea por la naturaleza del suelo, bien por la rigidez de muros y
forjados o por cualquier otro procedimiento.
Como puede apreciarse, a partir de seis plantas los valores de C no dependen
pr ác tic am en te de l nú m er o de pl an tas . C. Estructura en la que la reacción horizontal en la profundidad del sótano se
reparte uniformemente en los distintos niveles de cimentación y forjados
comprendidos en dicha profundidad.
Los coeficientes C deben aplicarse a las tres plantas a partir del terreno y a las
de sótano. Para las superiores, puede aceptarse C = 1 si, como es usual, las secciones
de los pilares se van reduciendo. En caso contrario, C puede alcanzar valores
apreciablem ente mayores que la unidad, pero esto no resultará crítico en la elección
de la escuadría del pilar de hormigón1.
En cualquier caso, los esfuerzos axiles se obtienen multiplicando los resultantes
del cálculo según el m étodo del pórtico o el del voladizo por un coeficiente X que viene
dado por la expresión
Á = 1+ 1 T T ^ [15.20]
NUMERO DE PLANTAS
Figura 15-7
donde C es el coeficiente resultante de los gráficos de las figuras 15-7 ó 15-8
Los coeficientes C para pilares pueden variar de forma importante respecto a lo respectivamente, n el número de plantas de la estructura y ni el de la planta considerada
expuesto si el edificio tiene sótano. contada desde el terreno.(Para n¿ = n, debe tomarse en [15.20] el valor X =1).
15.3.4 MÉTODO DE LA NORM A BAEL 83

La Norm a Francesa BAEL 83 (15.5) indica como utilizable un método que es mezcla
de los del pórtico y del voladizo, con alguna adición propia. Consiste en lo siguiente:
a) El método es de aplicación a entramad os en los cuales la rigidez de las vigas
no es inferior al quinto de la de los pilares en que apoyan.
b) La s fu er za s ho riz on ta le s qu e ac tú an so br e la fil a de pi la re s de un pis o
determinado se reparten entre esos pilares proporcionalmente a sus rigideces,
afectada la rigidez de los pilares extremo s de un coeficiente igual a 0,8.
c) En los pilares de plantas distintas de la baja,se supone que el pu nt ode
momento nulo está en la mitad de la luz.
d) La norma no da reglas para situar el punto de mom ento nulo en los pi la re s
pl an ta baj a. N ue st ra op in ió n es qu e pu ed e co ns id er ar se ta m bi én a u n me di o de
la altura2.
COEFICIENTES C PARA EDIFICIOS ALTOS (n>10)
Figur a 15-8 1 Como se indicó, se parte de que estos métodos van a ser usados como métodos de predimensionamiento.
2 Si bien es cierto que la unión al terreno se aleja habitualme nte mucho del empotramiento perfecto,
1 k es, en general, la suma de rigideces de las dos vigas contiguas al pilar considerado. también ocurre eso en la unión al dintel de techo.
230 231
e) Los esfuerzos de los pilares se suponen proporcion ales a su distancia al punto
medio de la longitud total del dintel. (Punto M en la figura 15-9).
Fn =¡>
Fn-1 ■={>
Xj
*
4 n¡i.k Yn
F2 c=¡>
Yk
F, =f>
7?7>
2
Figu ra 15-9
CAPÍTULO 16
El Esfuerzo axil Nl¡k del soporte j (figura 15-9) en la planta k, viene dado por lo
tanto por
í—n t —ti
[15.21] PREDIMENSIONAMIENTO
y X Ft + X Ft < y' -Y 0
z i=k i-k
16.1 CONSIDERACIONE S PREVIAS

En todas las estructuras es necesario, para realizar su cálculo de esfuerzos, fijar
Los valores de x son positivos para pilares más alejados de la fachada de
pr ev iam en te sus dim en sio ne s. En el cas o de las iso stá tic as , es ta ne ce sid ad sur ge
ba rlo ve nt o qu e el pu nto me di o M del dintel y negativos en caso contrario.
exclusivamente de la necesidad de conocer su peso propio. C omo en la mayoría de los
Obsérvese que este método sólo es válido para el cálculo de esfuerzos axiles en casos el peso propio representa una fracción pequeña de la carga total, un error de
pil ar es (q ue es el pr ob lem a fu nd am en tal en el pr ed im en sio na m ien to ), pe ro no lo es estimación suele tener escasa im portancia.
pa ra ha lla r es fu er zo s co rt an tes ni m om en to s fle cto res en vig as, ya qu e los esf ue rzo s
En el caso de estructuras hiperestáticas, el problema es más complejo pues las
axiles en pilares no están en equilibrio.
dimensiones, al influir en las rigideces de las piezas, afectan de manera importante a
En nuestra opinión, la corrección del BULL y SVED debe aplicarse también a la distribución de los esfuerzos. Un error grande de apreciación en el tamaño de una
este procedimiento. pi ez a pu ed e oc as io na r el qu e no sea cap az, co n la sec ció n ele gid a, de res ist ir los
esfuerzos resultantes o, más frecuentemente, que conduzca a una cuantía
excesivamente alta o, en otros casos, a escuadrías excesivas.
BIBLIOGRAFÍA
Es clara por tanto no sólo la necesidad de un predimensionamiento para poder
(15.1) ACI 318-95 “Building code requirements for structural Concrete”. American Concrete
realizar el cálculo de las estructuras hiperestáticas, sino la necesidad también de que
Institute. Detroit, 1995.
este predimensionamiento conduzca a unas secciones adecuadas a los esfuerzos que
(15.2) SMTTH, A. “Wind stresses in the frames of office buildings”. Journal of the Western resultarán del cálculo.
Society of Engineers. U.S.A.. Abril 1915.
Errores apreciables en el predimensionamiento conducirán a repeticiones
(15.3) WILSON, A.C. “Wind bracing with knee braces or gusset plates”. Engineering Record. costosas del cálculo.
Septiembre 1908.
Aunque es evidente que la experiencia y la habilidad del Proyectista son en esto
(15.4) BULL, F.B.; SVED, G. “The design of tall buildings under wind loads”. Symposium las mejores armas, los métodos sim plificados que vimos en el Capítulo 8 y, sobre todo,
on the design of high buildings. Hong-Kong 1962. los aproximados expuestos en el Capítulo 15, suponen una ayuda muy importante.
(15.5) Regles tecniques de conception et de calcul des ouvrages et constructions en betón El proceso exige dos etapas: Determinación aproximada de Esfuerzos y Elección
armé suivant la méthode des états limites. Regles BAEL 83. Eyrolles. París 1983. de Secciones adecuad as para resistirlos.
232 233
Debe advertirse que no se incluye en este Capítulo el predimensionamiento de
pl ac as ni el de pa vi m en to s, ya qu e la in fo rm ac ió n co nt en id a en los Ca pí tu lo s 20 y 70 ,
dedicados específicamente a esos temas, proporciona un predimensionamiento
inmediato.
16.2. DETERMINACIÓN DE ESFUERZOS Y DIMENSIONES

En lo que sigue se definen reglas para el predimensionamiento de los elementos
estructurales de uso más frecuente.
REGLAS DE PREDIMENSIONAMIENTO
Si no se indica otra cosa gd y qá son los valores de cálculo de las cargas
pe rm an en tes y de las so br ec ar ga s (v er Ca pí tu lo 31 ) qu e se co ns id er an un ifo rm em en te
repartidas.
234 235
236 237
238 239
240 241
242 243
244 245
e s
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246 247
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251
250
CAPÍTULO 24
JUNTAS DE DILATACIÓN
JUNTAS DE ASIENTO
JUNTAS DE HORMIGONADO
JUNTAS DE CONTRACCIÓN
24.1 JUNTAS DE DILATACIÓN
24.1.1 CONCE PTOS GENER ALES

Las variaciones de temperatura ocasionan cambios dimensionales, tanto en la
estructura como en el resto de los componentes del edificio, de forma que éste se
comporta como un objeto dinámico.
El proyectista se ve obligado a disponer juntas de dilatación que permitan la
contracción y la expansión de la estructura y reduzcan los esfuerzos que dichos
movimientos, siempre parcialmente impedidos, introducen en ella. El hecho de que los
métodos actuales de cálculo permitan calcular las estructuras con mayor precisión que
en otros tiempos, conduce, en definitiva, a estructuras más afinadas y ello hace que
muchas reglas empíricas sobre el tem a de las juntas de dilatación no resulten ya válidas
y sea necesario un análisis más racional del tema. A esto se suma el que gran parte de
nuestra experiencia se refiere a construcciones antiguas, que englobaban un número
reducido de materiales, que además tenían un comportamiento térmico relativamente
homogéneo, mientras que el proyectista actual interconecta sus estructuras con muchos
materiales y de comportamientos térmicos que, con frecuencia, son muy diferentes.
La información sobre el tema es poca, especialmente por lo que se refiere a
mediciones sobre edificios construidos. A título de ejemplo durante muchos años se ha
estimado que en edificios la distancia entre juntas de dilatación de las estructuras no
473
debía pasar de 30 m. Como se verá por lo que sigue, en muchos casos es fácil lies
normal de construcción el período consecutivo del año durante el cual la
doble e incluso al triple. La creencia errónea venía de que al hacer las juntas de dilata^ temperatura mínima diaria no es inferior a 0°C.
a esa distancia, tanto para la estructura, como para los cerramientos de ladrillo de ^
fachadas y a veces para las azoteas, con distancias mayores se producían desórde ^ Y = Temperatura igualada o excedida, por término medio, el noventa y nueve por
graves, pero no en la estructura, sino en las partes no estructurales del edificio. ^ ciento del tiempo durante los meses de invierno de Diciembre a Febrero.
Unos órdenes de magnitud realistas para las juntas de dilatación para edificios d
pl an ta re ct an gu la r son los sig ui en te s:
TABLA T-24.1.- DISTANCIA ENTRE JUNTAS DE DILATACIÓN
DISTANCIA MÁXIMA ENTRE

PARTE DE OBRA JUNTAS DE DILATACIÓN
(m)
ESTRUCTURA DE HORMIGÓN 60 a 90
CERRAMIENTOS DE LADRILLO 12 a 18
EN FACHADAS
VARIACION DE TEMPERATURA OE CALCULO (°C)
AZOTEAS 5a 8
Figu ra 24-1
El error venía de pensar que todas las partes del edificio, en especial la estructura
y los cerramientos podían tener la misma distancia entre juntas.
24.1.2 CÁLCU LO DE LA JUNTA. MÉTO DO EMPÍRICO
Las referencias (24.1), (24.2), (24.3) y (24.4) contienen información importante
sobre este asunto.En particu lar el Informe de laN at io na lAcademyof Sciences de a) D is ta nc ia en tre ju nt a s
Wa shington "Expa nsión Joints in Buildings", (24.2), basado enel estudio de medidas Para estructuras de edificios formadas por entramados, entramados y pantallas
sobre nueve edificios reales y en numerosos cálculos de estructuras teóricas, contiene, y/o núcleos, la distancia entre juntas puede ser determinada mediante el
a nuestro juicio, la información más válida sobre el tema. gráfico de la figura 24-1, (24.2) correspondiente a estructuras en las que puede
En lo que sigue llamaremos Variación de temperatura de Cálculo al may or de los suponerse que los pilares están articulados en su unión al cimiento y que el
valores. edificio tiene calefacción1.
A la distancia entre juntas resultante del gráfico de la figura 24-1, se le deben
A=r - Tm [24.1]
aplicar las siguientes correcciones.
A =Tm-T, [24.2] - Si el edificio va a tener aire acondicionado, aumentar la distancia en el
donde: 15%-
- Si el edificio no va a tener calefacción, reducir la distancia en el 33%3
Ts, = Temperatura que, como término medio, es excedida solamente el uno por ciento
del tiempo durante los meses de verano de Junio a Septiemb re1.
1 Lo que sigue no es aplicable a estructuras situadas exteriormente a los cerramientos del edificio.
—Temperatura media durante la época normal de construcción en la zona en que se
2 Si se considera probable que el equipo de aire acondic ionado sufra interrup ciones en su
va a construir el edificio. Como norma general puede definirse como época
funcionamiento de más de dos días, no debe aplicarse esta corrección.
3 Se considerará también esta corrección si se supone probable que el equipo de calefacción sufra
En todo lo que sigue nos referimos al hemisferio Norte. interrupciones en su funcionamiento de más de dos días.
474 475
- Si los pilares pueden considerarse empotrados en su unión al cimiento En la expresión [24.4] debe tomarse como L el valor medio de las dos
reducir la distancia en el 15%]. distancias entrejuntas de los bloques contiguos a la junta considerada. Si se
está en uno de los casos de rigidez asimétrica, como el indicado en la figura
NUCLEOS RIGIDOS 24-2 c), debe tomarse como distancia del bloque la real aumentada en un 50%
si la zona rígida está en el lado opuesto a la junta considerada, y la real
reducida en un 33% si está en el mismo lado que la junta considerada.
c) An ch o de j u n ta s1
. l /2 |. L/2 . L /2 |. L /2 1/2 j- 1/2 I 1,2 J- 1/2
L L
Para tener en cuenta las tolerancias de construcción y las características de
deformabilidad del material de sellado de la junta, se dispondrá un ancho de
NUCLEOS RIGIDOS ju nt a
u = Kj Ct [24.5]
r*
L l
donde C, viene dado por [24.4] y los valores de k} son:
1 2* l _„ f 2/1L -4
kj = 2 para edificios sin calefacción
kj = 1.7 para edificios con calefacción pero sin aire acondicionad o2
Figura 24-2 k¡ =1 .4 para edificios con calefacción y aire acondicionado1
El ancho mínimo de junta debe ser, en cualquier caso, de 25 mm.
Todo lo anterior es aplicable (24.1), (24-2) a casos tales co mo los a) y b) de la
figura 24-2, en que lasdeform aciones por tempe ratura se distribuyen
simétricamente a cadalado del plano medio en trejun tas. Si se dan situaciones 24.1.3 CÁLCU LO DE LA JUNTA. MÉTODO ANA LÍTICO
como la c) de la figura 24-2, en que la deformación se produce esencialmente Para aquellos casos en que el método em pírico no sea de aplicación o bien cuando
hacia un lado de la junta, la d istancia indic ada por el gráfico de la figura 24-1 se estime que los resultados a que conduce son demasiado conservadores, cabe el
debe reducirse en un 33%. cálculo directo mediante los métodos expuestos en 5.1.4.4., aplicados a una variación
Los porcentajes de corrección indicados en los anteriores párrafos se aplicarán de temperatura c ( Ts - Tm) donde
sumándolos algebraicamente si coexisten varias de dichas situaciones. c = 1 p ar a e d if ic io s s in c a le fa cc ió n
b) Cierre máximo de las juntas c - 0,7 para edificios con calefacción pero sin aire acond icionado 1
El máximo cierre teórico de una junta en un edificio de entramado, sometido c = 0,55 para edificios con calefacción y aire acondic ionado 1
a una variación de temperatura en grados centígrados:
El cierre máximo de juntas y el ancho de juntas se calculan de acuerdo con lo
A = T ,- T m [24.3] indicado en 24.1.2 b) y c) respectivamen te.
En todo cálculo analítico de juntas es esencial introducir hipótesis conrectas
con una distancia L entre juntas, viene dado por acerca de la unión de los pilares al cimiento, o mejor dicho, del conjunto pilar-cimiento
al suelo. Véase a estos efectos el método expuesto en 11.7, para considerar un
C,= [ T s - T m ] L - 1 ,1- 10-5 [24.4] empotramiento flexible, y no rígido, entre el pilar y su cimiento y el suelo.
1 Puede considerarse que se está en este caso cuando se cimente en suelos muy compactos o 24.1.4 TIPOS DE JUNTAS
rocosos.Un análisis teórico conduce a que los esfuerzos producidos en dos edificios, uno con pilares En los edificios usuales de entramados pueden presentarse diversas situaciones y
articulados y otro con pilares empotrados en su cimentación, son sustancialmente idénticos en todos
los pisos excepto el bajo, en el que los esfuerzos en el caso de empotramiento son casi el doble. diferentes tipos de juntas que se indican en la figura 24-3.
En cualquier caso, los máximos momentos flectores y esfuerzos cortantes se presentan en los pilares
y dinteles contiguos a las juntas, mientras que los máximos esfuerzos axiles inducidos en los dinteles
se producen en la zona equidistantes de dos juntas consecutivas. En el Capítulo 6 se vio un 1 Para zonas sísmicas, véase el Capítulo 67.
pro ce dim ie nto pa ra ten er en cu en ta su gra do de em pot ram ien to va ria ble en fun ció n de la 2 Se recuerda que los equipos de calefacción y aire acondicionado sólo deben ser tenidos en cuenta si
deformabilidad del terreno. no es probable que su funcionamiento se interrumpa por más de dos días consecutivos.
476 477
El caso indicado en la figura 24-3 a) corresponde a entramados paralelos a las 2 4.1 .5 CON SIDERAC IONES ADICIONA LES
fachadas de mayor longitud, con pilares duplicados en junta, formando lo que se llama
a) Como aplicación a lo dicho en 25.1.2 b) sobre el valor de L a considerar en los
una "junta en dia pas ón11.
cálculos de cierre y ancho de juntas, la figura 24-4 indica tres diferentes casos:
La solución indicada en la figura 24-3 b) resuelve el mismo problema sin duplicar
En el caso a) los dos bloques que coinciden en la junta tienen una distribución
el pilar en junta, pero empleando ménsulas de apoyo.
aproximadamente uniforme y simétrica de rigideces respecto a los puntos
El caso de la figura 24-3 c) corresponde a entramados perpendiculares a las medios de sus longitudes L¡ y L2 de forma que sólo los cambios dimensionales
fachadas d e may or longitud, y de nuev o utiliza la "junta en diapas ón1' con duplicación de las longitudes
de pilares.
La solución de la figura 24-3 d) resuelve el mismo problema sin duplicar los ^ afectan a la junta y por tanto
soportes pero con la doble complejidad de necesitar ménsulas para recibir las vigas de
fachada y de que la viga del entramado de junta adopta la sección en L para
materializar un apoyo deslizante del forjado del bloque de la derecha. [24.6]
Las soluciones habituales utilizan hoy, casi sin excepción, el sistema de "junta en
diapasón", ya que evita la complejidad de los apoyos deslizantes y su mantenimiento,
que con frecuencia es problemático. Por otra parte, la necesidad de acusar las juntas en
fachada conduce también a la preferencia de este tipo de juntas por motivos estéticos.
La forma de ejecución y los detalles constructivos se indican en el Capítulo 49. a)
PUNTO RIGIDO
H ". ’ JTT -J.'jr":' ■ * ■ ■ * 1

---------- ---------- ---------- --------- ---------
b)
PUNTO RIGIDO
- ....... 'Ü ""'" *1:"']1!" —• .. W ...... . V .. . .. .W . .
- .. .. . ,w ... ’ ’ * • • • • ■•-tér- — * 7 . 7 . " . * l ¿ v - \ \ 7 . * . v . . - •••••••»•• a - w v ... j

0)
C)
/ A ' v . . v . * . 1: . \ A v / . A .\ V . v '\ H A A M " A A 1
\[
tr ........ A .......... M ■
■
'■
' • M ■ . A . .? •• •• K . i 'i -l i j 1 3
Figura 24-4
-
1 K t
1---------- ■ ---------- * ■
---------- ---------- M --------- ■ ---------- «
b) En el caso b), una zona de rigidez sustancialmente mayor que la del resto de
rr.— j ? rr — ) rrrrn rrrrn trrrrri r - r r ) i"" '.'.'.'.i
la estructura está situada en el extrem o del bloque más alejado de la junta. Los
íM cambios d imensionales d e la junta son, por tanto, mayores que los del caso
A IF/F) Í::-7V) 1 1 b v - D L v ;: j r:::. ::i ( 1 anterior y tomaremos
l,;—iJf 1 1L . _ l t— J S
L = 1.’.5 ¿ ' + ¿ 2 [24.7]
En el caso c) la zona de mayor rigidez está al lado de la junta y, por análogas

consideraciones, tomaremos
2 / 3L , + L7
L= Y
------ [24.8]
b) Conindepende ncia de los valores proporcionados por el cálculo, ya dijimos

Figura 24-3 que elancho de junta no debe ser inferior a 25mm. Siresulta necesario un
478 479
ancho superior a 50 mm, la junta requerirá un estudio muy cuidadoso del 24.2 JUNTAS DE ASIENT O
comportamiento de las partes no estructurales del edificio, tanto desde el
pu nt o de vi st a es té tic o co m o de co nd ic io ne s de se rv ic io . 24.2.1 CONCEPTO S GENERALES
c) Las juntas deben afectar al edificio en su totalidad, con excepción de los Las juntas de asiento tienen como misión permitir asientos diferentes de dos zonas
cimie ntos enterrados, que no nece sitan junta s. Sin embarg o, al enfriarse el de un edificio. Son por tanto juntas que afectan a la totalidad del edificio, incluida la
edificio y tal como se indica en la figura 24-5, se inducen fuerzas F¡ en la cimentación. Como un ejemplo, en la figura 24-6 se representa en sección y planta un
cara superior de la zapata. En general no es necesario un cálculo específico edificio compuesto de una torre de gran altura y pequeña superficie en planta, rodeada
de estos esfuerzos pero sí es aconsejable la disposición de una cierta en su zona baja de un área edificada en una gran extensión, pero con poca altura. Los
armadura A que controle la posible fisuración en la cara superior, debida a la asientos previsibles en las dos zonas de alturas tan diferentes habrán de ser también muy
tracción F r distintos y ello requiere u na jun ta de asiento inde pendizando ambas partes del edificio.
JUNTA
/
Figura 24-6
24.2.2 POSICIÓN DE LAS JUNTAS

Salvo un estudio especial de la situación planteada, deben disponerse juntas de
asiento en los siguientes ca sos:
Figu ra 2 4-5
- Para separar zonas del edificio de alturas muy diferentes.
- Para separar zonas del edificio cimentad as en suelos de diferentes características.
d) Las juntas requieren una cierta conservación con el fin de evitar que la
introducción de materiales extraños en ella dificulte su corr ecto - Para separar zonas del edificio cimentadas a profundidades muy diferentes.
funcionamiento. Ello exige que su situación permita la inspección periódica.
Por supuesto, una junta de asiento puede coincidir con una junta de dilatación,
e) En general, los cálculos teóricos sobre juntas conducen a resultados que que, en este caso, ha de afectar también a la cimentación.
discrepan apreciablemente del comportamiento real, debido en general a que
las partes no estructurales del edificio revisten la estructura y hacen que ésta
siga con un cierto retraso los cambios de temperatura y los amortigüen
2 4. 3. J U N T A S D E H O R M I G O N A D O 12
pa rc ia lm en te .
24.3.1 CONCE PTOS GENERALES
K.K. KARPATI y P.J. SEREDA (24.3) procedieron a mediciones en edificios
Las juntas de hormigonado son prácticamente inevitables en las estructuras de
reales y llegaron a la conclusión de que los movimientos de las juntas en la
hormigón, si se exceptúan las de muy pequeña dimensión. Su necesidad surge de dos
pa rt e su pe ri or de lo s ed if ic io s so n ap ro xi m ad am en te la mi ta d de los
orígenes diferentes:
pr op or ci on ad os po r el cá lc ul o te ór ic o y re su lt an pr ác tic am en te nu los en la
pa rte inf eri or . 1 El tema de las juntas de hormigonado se incluye aquí, aunque el libro esté dedicado al Proyecto y no a la
f) No deb e olvidarse que todo lo que aq uí se dice se refiere a las distancias entre Ejecución de Estructuras de Hormigó n. La razón es que el proyectista debe dar reglas generales de la posición
y distancia de estas juntas. No es en cambio posible que se fije en el proyecto la posición de las juntas, y ello
ju n ta s ad m isi bl es de sd e el pu nt o de vi st a de los es fu er zo s pr ov oc ad os en lá
por dos razon es. Una, es que la separ ación entre las jun tas de contr acció n depe nde de la époc a de
estructura por las variaciones térmicas. Los materiales no estructurales pueden construcción, cosa difícil de prever al redactar el proyecto. Otra es que el problema de la disposición de juntas
requerir juntas m ás próximas y/o mayor núm ero de juntas, com o vimos en la de contracción admite diferentes soluciones y es recomendable respetar la libertad de elección del
Tabla 24.1. constructor, siempre que la solución que elija respete las reglas generales establecidas en el proyecto.
2 Lo que sigue es válido para estructuras en general. Debe excluirse de ello el caso de las presas, terna
g) Las juntas en zonas de alto riesgo sísmico requieren anchos especiales según que cae fuera del alcance del libro y los casos de muros y pavimentos que tienen reglas específicas
veremos en el Capítulo 67. que se exponen en los Capítulos 64 y 70.
480 481
- La necesidad de interrumpir el hormigonado al finalizar la jom ada de trabajo. El
GRAFICO TIPICO DE TEMPERATURAS GRAFICO TIPICO DE TEMPERATURAS
hormigonado de la pieza se continúa al siguiente día laborable. En este caso, la DEL HORMIGON Y AMBIENTE DEL HORMIGON Y AMBIENTE
ju nt a d e h or m igo na do sue le d en om ina rs e ju nt a d e c on str uc ció n o ju nt a d e tr abajo C O N TE N I D O D E C E M E N TO E S O k p / m 3 C O N T EN I D O D E C E M EN T O 4 0 0 k p / m 3
- La necesidad de permitir que se produzca una fracción apreciable de la

contracción térmica. En este caso, la junta corresponde a una interrupción del
hormigonado de varios días y suele denominarse junta de contracción.
En am bos casos es esencial consegu ir una buena transm isión de esfuerzos a través
de la junta y esto se ha de conseguir mediante la adherencia entre el hormigón viejo y
el nuevo1.
Los aspectos más fundamentales de las juntas afectan a los temas siguientes: TlEUPO TRANSCURRIDO DESDE EL VERTIDO TlEUPO TRANSCURRIDO DESDE EL VERTIDO
- Posición
- Rugosidad Figura 24-7
- Tratamiento
- Duración de la interrupción del hormigonado En la figura 24-7, tomada de la referencia (24.11) se indican saltos térmicos
(diferencia entre la temperatura interior de la pieza de hormigón y la ambiente) para
que serán expuestos a continuación. los hormigones típicos.
Debe señalarse que existe poca documentación sobre este tipo de juntas y las Como puede verse, la temperatura de la pieza iguala a la del ambiente en un plazo
opiniones sobre ellas, en muchos casos, son contradictorias. de 4 a 6 días y en la mitad de esos plazos se ha reducido la diferencia considerablemente.
En particular, la Instrucción EHE (24.5) trata el tema muy brevemente en sus Sin embargo, en piezas de longitud considerable si la deformación por la
artículos 4.4 y 71. contracción térmica producida al enfriarse la pieza está coartada se ocasionan
La cuestión es importante, porque la disposición de juntas y su técnica de tracciones importantes en el hormigón y éste puede fisurarse.
ejecución afectan de manera notable al ritmo de construcción. La información que El curado adecuado del hormigón, las cuantías mínimas de contracción y
sigue está recogida, fundam entalmente, de la Tesis Doctoral de la referencia (24.6)2 y retracción son condiciones necesarias en tales casos para evitar la fisuración del
de las publicaciones (24.7), (24-8), (24.9) y (24.10). hormigón pero no suficientes. La disposición correcta de juntas de contracción es un
complemento imprescindible en la mayoría de los casos.
24.3.2 ASPECTOS ESENCIALES DE LA CONTRACCIÓN TÉRMICA

La contracción térmica del hormigón es debida a las reacciones exotérmicas 24.3.3 JUNTAS HORIZONTALES EN PIEZAS DE DIRECTRIZ VERTICAL O
pr od uc id as du ra nt e la hi dr at ac ió n de l ce m en to . El lo pr od uc e un au m en to de CUASIVERTICAL
temperatura en la masa del hormigón, que alcanza niveles claramente por encima de la En la figura 24-8 se indican distintos casos de este tipo de juntas.
temperatura ambiente.
En todos los casos, la contracción térmica no está coartada en sentido vertical y por
El hormigón de la pieza próximo a la superficie de la misma, disipa calor con lo tanto este tipo de juntas es simplem ente de juntas de trabajo y no p resenta problemas
facilidad y tiende a alcanzar en poco tiempo la temperatura del aire y a seguir sus en la práctica. La rugosidad natural que queda en las superficies horizontales al vibrar el
variaciones. Sin embargo, el hormigón del interior de la pieza no puede hacer esto con hormigón y el estado de limpieza de que se habla en 24.3.4 son suficientes en la práctica.
facilidad y tarda varios días en uniform ar su ciclo de temperaturas con él ambiente que
rodea a la pieza. El problema es tanto más grave cuanto más baja es la relación El único caso que puede requerir un análisis especial es el de los muros de
superficie/volumen de la pieza de hormigón. contención, pero co m o' veremos en el Capítulo 64, con las dimens iones que
habitualmente se emplean para el espesor del muro en el arranque, la jun ta no presenta
ningún problema. Los casos b) y c) de la figura 24-8 se benefician además de
1 La palabra adherencia es puramente convencional aqui. El fenómeno de transmisión engloba compresiones importantes normales a la junta.
comportamientos muy complejos que abarcan adherencia, rozamientos, imbricación, etc.
Lo anterior es válido siempre que no existan acciones sísmicas, ni efectos de
2 CAFFAR ENA, J “Estudio experimental de juntas de hormigonado en estructuras de edificios”. Tesis fatiga ni el esfuerzo axil ortogonal al plano de la junta sea de tracción. Para tales casos
Doctoral realizada en la Cátedra de Edificación y Prefabricación de la Escuela de Ingenieros de
Caminos de M adrid, bajo la dirección de J. CALAVERA. véase el Capítulo 40.
482 483
MURO DE CONTENCION ENTRAMADO
b)
Junio horizontal ds
hormigonado
J U N T A H O R IZ O N T A L = J U N T A I N CL I N A D A
D E T R A B A JO DE CONTRACCIÓN
J U N T A IN C L IN A D A J U N T A V E R T IC A L
D E T R A B A JO “ DE CONTRACCIÓN
PILAS OE PUENTE
<0
F ig u ra 24 -9
F ig u ra 24 -8
24.3.4 JUNTAS EN PIEZAS DE DIRECTRIZ HORIZONT AL O 24.3.5 CUESTIONES BÁSICA S PLANTEADA S POR LAS JUNTAS DE
CUASIHORIZONTAL SOMETIDAS A FLEXIÓN TRABAJO Y DE CONTRA CCIÓN EN PIEZAS DE DIRECTRIZ
Este caso es considerab lemen te distinto del anterior. Corresponde, p. ej. a los HORIZONTAL O CUASIHORIZONTAL SOMETIDAS A FLEXIÓN
dinteles de las figuras 24-9 a) y b). En la figura 24-9 se representan dos casos diferentes Las juntas de trabajo en este caso, plantean las siguientes cuestiones:
de hormigonado de un dintel. En el caso a) el entramado se hormigona de izquierda a
a) Posició n a lo largo de la luz.
derecha y no existen problema s derivados d e la contracción térm ica. De acuerdo con las
po sib ili da de s de ho rm ig on ad o (d el di nt el y de las zo na s de lo sa aso cia da s, dinte les b) In cl in ac ió n re sp ec to a la di re ct riz de la pie za .
pa ra le lo s qu e se h or m ig on an co nj un ta me nt e, et c.) un a po sib le sol uc ió n es la d ispo sici ón
c) Rugo sidad de la superficie.
únicamente de juntas de trabajo, por ejemplo las C y D. Los tramos consecutivos de
hormigonado, tales como A C y D C o CD y D B , se diferencian solamente en unas 12 d) Tratamiento previo de la superficie endurecida antes de la continuación del
horas de edad, correspondiente a la interrupción diaria del trabajo. hormigonado.
Sin embargo si la luz L es apreciable, tal solución no es posible p. ej. conL = ó.m? e) Compactación del nuevo horm igón fresco junto a la junta.
la longitud A C sería del orden de 28 m, la cual es excesiva por razones de contracción
térmica, como más adelante veremos. Si por ejemplo la máxima longitud posible son En el caso de las juntas de contracción, a las cinco cuestiones anteriores deben
añadirse otras tres:
22 m, sería necesario disponer juntas de contracción (no de trabajo) tales como las E,M
o las G .H de la figura 24-9 b). (Ampliaremos este tema en 24.3.6.8) f) Longitud máxima de hormigonado.
Debe considerarse que la contracción térmica no sólo está condicionada por la g) Disposiciones para que la armadura longitudinal de la pieza, situada en la
longitud de pieza hormigonada. Existen en general dos posibles coacciones extemas. zona abierta de junta, no coarte el acortamiento de las dos zonas
hormigonadas.
- Las armaduras horizontales del dintel, si no se interrumpen de forma adecuada^
como más adelante veremos. h) Tiempo mínimo de apertura de la junta.
- La coacción impuesta por los pilares. En menos de 24 horas, según J l Por tanto, el caso más complejo es el de las juntas de contracción y las de trabajo
temperatura ambiente, se desarrolla la adherencia entre el dintel recien son un caso particular en el que no intervienen las cuestiones f), g) y h).
hormigonado y los pilares entrejunta y junta.
Desarrollamos a continuación por tanto el caso más general de las juntas de
El acortamiento del dintel encuentra la coacción de los pilares, y segúri su contracción, del que se deriva, como caso particular más simple, el de las juntas de
flexibilidad, introduce tracciones en el dintel más o menos elevadas. trabajo.
485
24.3.6 JUNTAS DE CONTRA CCIÓN EN PIEZAS DE DIRECTRIZ HORIZONTAT La solución A- B corresponde a junta vertical situada en la zona de máximos
O CUASIHORIZONAL SOMETIDAS A FLEXIÓN momentos de vano, que es la de cortante nulo. Durante mucho tiempo, este tipo de
jun ta fu e de fic ie nt e y ad em ás po co pr ác tic o, po r ser ne ce sa rio en co fra rla .
Modernamente se ha recurrido al empleo de metal desplegado o malla muy tupida (25
24.3.6.1 Posición e inclinación . 25 mm) gene ralmente galvaniz ados, que retienen el hormigó n dejando la jun ta muy
Como norma general, suele recomenda rse que las juntas se dispongan en zonas rugosa y no siendo necesario retirar el metal o malla.
de esfuerzos reducidos. Esto no es posible en la mayoría de los casos. Unas veces La solución C- D, investigada en la Tesis de J. CAFFARENA (24.6) corresponde
como en el caso de la viga continua de las figuras 24-10 a) y b), los mínimos de a una junta inclinada situada en el punto de momento nulo, al que corresponden
momentos flectores no coinciden con los mínimos de esfuerzos cortantes. En otros esfuerzos cortantes de magnitud media, en cuanto a un plano ortogonal a la directriz,
casos, como en el del muro de contención de la figura 24-10 c), es necesario disponer pero nu los en el pla no C-D de junta. Teóricamente, el ángulo de la junta con la
po r ra zo ne s co ns tru cti va s, un a ju nt a d e h orm igo na do en la sec ció n, que , p reci sam ent e' horizontal debería ser el de talud natural del hormig ón, o sea de unos 30°. Sin embargo,
es la de máximo momento flector y máximo esfuerzo cortante. A B en vigas de ancho hasta 50 cm, la presencia de la armadura y el rozamiento con los
encofrados laterales permiten que el ángulo se aproxime al teóricamente d eseable de 45°.
Otra posibilidad es "encofrar" la junta con m etal desplegado, dejando un pequeño
tramo vertical M N para asegurar un buen llenado de la zona MN , tal como se indica en
la figura 24-12. Debe tenerse cuidado de introducir los extremos A y B del metal
desplegado o malla hacia dentro, pues al ser zonas cortadas las puntas no están
galvanizadas. Lo mismo debe hacerse junto a los encofrados laterales. El metal
desplegado o malla se cortan para permitir el paso de las armaduras. En piezas grandes
resultarán necesarios trozos de despunte atados a los estribos para contener el empuje
del hormigón fresco junto al metal o malla y evitar que se deforme excesivamente.
LAMINA DE METAL
DESPLEGADO 0 MALLA
F ig ur a 24 -1 0
F ig ur a 24 -1 2
En la figura 24-13 se indica la red de isostáticas de un dintel continuo. Tanto la

junta AB como la CD están dispuestas ortogonalmente a la red de isostáticas de
compresión y, por tanto, no están sometidas a esfuerzos cortantes.
F ig ur a 24 -11
En el caso más frecuente en dinteles, existen dos soluciones que vienen

pra cti cá nd ose co n bu en os res ult ado s y que se ind ica n en la fig ura 24-1 1. Figura 24-13
486 487
Los ensayos de BROOK (24.8) y MONK S y SADGRO VE (24.9)1han arrojad - Superficies encofradas. Por extensión pueden asimilarse a ellas también las
información interesante sobre estos temas y sus conclusiones se resume n a continuación* superficies fratasadas. Su capacidad de adherencia es baja pero no nula, y si los
- La disposición de una junta en una viga de hormigón armado, en zonas no esfuerzos cortantes en la sección son despreciables, puede ser una solución
sujetas a esfuerzos cortantes apreciables, no afecta significativamente ni a la aceptable para una junta. La dificultad principal de una junta de este tipo reside
rigidez ni al momento de rotura de la viga. en la casi imposibilidad de disponer armaduras pasantes en el caso de juntas no
horizontales, ya que, de otra forma, el encofrado se complica
- Existe una cierta tendencia, en las juntas verticales, a que se produzca en ellas considerablemente. (Puede conseguirse con el empleo de planchas de
una fisura de flexión, aunque su ancho no suele rebasar el admisible. po lie st ire no ap oy ad as en de sp un te s de ar ma du ra . (Ve r (2 4.6 )).
- Cuand o la junta está som etida a flexión y corte, el com portamiento de la junta* - Superficies cepilladas. Son las recomendadas en muchas normas, y en particular
si ésta presenta sup erficie rugosa, es sim ilar al de una vig a monolítica. Si la junta en la Instrucción EH E. El método consiste en cepillar la superficie del hormigón
se encofra, la reducción de la capacidad a corte puede alcanzar hasta el 40% transcurrido un tiempo que suele oscilar de dos a dieciséis horas, a partir de la
Todo lo anterior indica como preferibles las juntas AB y CD , aunque si la colocación del hormigón, de forma que se retire parte del mortero y quede visto
superficie es rugosa y el tratamiento adecuado, la solución E F de la figura 24-13 nó el árido grueso. El problema es que si el cepillado es prematuro se corre el
pu ed e se r re ch az ad a, si bi en la po sib le fi su ra ac on se ja re du ci r su em pl eo a cas os de pe lig ro de qu e el ár id o vi st o qu ed e "su elt o", es dec ir, qu e se ro mp a la ad he re nc ia
ambientes normales. No debe olvidarse que este último tipo de junta, como ya de ese árido con la matriz del mortero. Con ello, al colocarse el nuevo hormigón,
indicamos en la figura 24-10 c), es habitual en muros de contención, precisamente en adherirá a un árido gmeso que no estaría adherido a su vez al hormigón antiguo.
zonas de máximo momento flector y m áximo esfuerzo cortante, sin que la experiencia Por el contrario, si el cepillado se retrasa, se corre el riesgo de que el mortero esté
adquirida sea desfavorable. De todas formas, estas juntas en zonas de esfuerzos excesivamente duro para que el cepillo pueda levantarlo. La eficacia del
cortantes grandes es siempre aconsejable que sean comprobadas a esfuerzo rasante, de pr oc ed im ie nt o est á, po r tan to, mu y lig ad a a la ve lo ci da d de en du re ci mi en to de l
acuerdo con lo que se indica en el Capítulo 40. hormigón, la que a su vez depende del cemento empleado y de la temperatura
ambiente. Como además los ensayos han puesto en evidencia que esta rugosidad
Por lo que se refiere a los tipos habituales AB y CD , el segu ndo presenta la ventaja no es apreciablemente mejor que la natural, nuestra opinión es contraria a este
de que en toda la superficie de la junta no hay ni tracciones ni tensiones de corte. Es el tipo de rugosidad, que además es relativamente costoso de realizar.
tema investigado en la referencia (24.7).
- Superficie natural. Es la obtenida simplemente al vibrar el hormigón. Debe
llamarse la atención sobre el peligro de que, por un exceso de vibración, se
24.3.6.2 Rugosidad forme, en el caso de superficies horizontales, una lechada de cemento en la
superficie, que es perjudicial para la adherencia de ambos hormigones. Esto
El tema de la rugosidad de la superficie de las juntas ha sido objeto de numerosas pu ed e de te ct ar se fá ci lm en te ra ya nd o la ju n ta co n un cl av o. La ju nt a ho ri zo nt al
investigaciones, no sólo en relación con las juntas de hormigonado de las estructuras es muy frecuente en la unión de pilares a cimientos y de pilares a vigas en los
hormigonadas "in situ", sino, muy especialmente, en relación con el esfuerzo rasante entramados (figura 24-8 b)).
entre piezas prefabricadas y hormigones "in situ". Las investigaciones realizadas en los
últimos años han obligado a revisar muchas ideas y prácticas constructivas que se han Los ensayos han demostrado que esta junta tiene análoga adherencia que la
mostrado erróneas. obtenida por cepillado.
A los efectos de juntas de hormigonado, las superficies que pueden obtenerse de - M et al de sp leg ad o o ma lla tup ida . De acuerdo con la Tesis de J. CAFFARENA
una manera simple, que las haga adecuadas para la práctica de obra, son las siguientes: (24.6) es evidente que, de las cuatro analizadas, es la de mayor capacidad
adherente. Sin embargo, debe prestarse atención a que el metal tenga un
- Superficies encofradas galvanizado de espesor tal que su duración no sea inferior a la vida prevista para
- Superficies cepilladas la estructura, pues en otro caso, en especial en amb ientes húmedos, pueden surgir
manchas de corrosión en la superficie de la junta. Esto es debido a que el metal
- Superficies con rugosidad natural desplegado situado en el plano de junta ha d e entrar en contacto, forzosamente, con
- Superficies encofradas con metal desplegado los encofrados, y en definitiva quedará en contacto con la superficie del hormigón.
Un estudio comparativo de las tres primeras ha sido realizado por CALAVERA, Un tratamiento , en cambio, que debe ser prohibido, es el "picado" de la junta
GON ZÁLEZ VALLE, DELIBES e IZQUIERD O (24.12). Sus principales conclusiones se con medios mecánicos. Los ensayos demuestran que produce una
exponen a continuación: microfisuración del hormigón que debilita la adherencia de la junta.
Na tu ra lm en te , tra ta m ie nt os co mo el ch or ro de ar en a, la im pr im ac ió n co n
1 Ni los ensayos de BROOK ni los de MONKS y SADGROV E incluían juntas del tipo CD indicado resinas, etc. pueden cond ucir a junta s excelentes, pero por su elevado coste no
en la figura 24-8, que fue estudiada en la Tesis Doctoral de J. Caffarena (24.6) son de empleo usual en las juntas de estructuras, salvo casos especiales.
488 489
24.3.6.3 Tratamiento previo a la continuación del hormigon ado pr ob le m as de or ga ni za ci ón de los taj os de ho rm ig on ad o, la le ch ad a se se qu e y
fisure por retracción antes de que se deposite el nuevo hormigón, dañando
El primer tratamiento a aplicar a la junta, antes de verter el nuevo hormigón gravemente la adherencia de la junta, ya que la lechada seca se transforma en
limpiarla adecuadamente. Esto exige disponer los encofrados de forma que la íu U un polvo inerte inteipuesto en la junta.
pu ed a re al m en te li m pi ar se y pu ed a re ti ra rse el po lv o y la su ci ed ad lim pi ad os La&
zonas muy densas de armaduras pueden presentar dificultades apreciables L S - Un tratamiento b astante difundido es frotar la superficie de la junt a con mortero,
ensayos descritos en la referencia (24.12) pusieron en evidencia que cantidadeS inmediatamente antes de depositar el nuevo hormigón. La técnica intenta evitar
pe qu eñ as de po lv o pu ed en re du ci r la ad he re nc ia en un 30% . que, por segregación del vertido del nuevo hormigón, la zona de contacto de la
ju n ta qu ed e em po br ec id a de mo rte ro. El mo rte ro qu e se em pl ea pu ed e ser
El mejor tratamiento de limpieza es la retirada de polvo y suciedad con obtenido por cribado del propio hormigón. La dificultad reside en que el
aspiradoras, pero esta técnica sólo se aplica en presas. pr oc ed im ie nt o es di fíc il de ap lic ar cu an do la de ns id ad de ar ma du ra s es gr an de y,
La técnica de limpieza con chorro de aire mediante una manguera conectada aun po r ot ra pa rte , al de se nc of ra r la ca pa de mo rte ro se ap re ci a en la su pe rfi ci e de
compresor es incorrecta, salvo en superficies verticales, pues como se indica en la contacto, creando problemas de aspecto si el hormigón va a quedar visto. Puede
figura 24-14, el aire a presión lanza el polvo a la atmósfera, pero transcurrido algún ser un sistema adecuado en casos en que, por segregación de vertido del
tiempo este se vuelve a depositar en las juntas. hormigón nuevo, se tema un empobrecimiento en la zona de junta.
- A nuestro juicio, el m ejor proced imiento es, despu és de la limpieza,
simplemente humedecer la superficie de hormigón antiguo y depositar el nuevo
cuando la superficie comienza a estar visiblemente seca. Con esto no existe
pe lig ro de qu e el ho rm ig ón an tig uo ab so rb a ag ua de l nu ev o. L a té cn ic a de
mantener la superficie húmeda hasta el hormigonado se ha demostrado en
ensayos recientes que reduce la resistencia.
SUPERFIC IE LIMPIA INMEDIAT AMENTE

24.3.6.4 Duración máxima de la apertura de la junta
.DESPUES DE U LIMPIEZA CON
CHORRO DE AIRE El tiempo transcurrido entre el final de la puesta en obra del hormigón antiguo y
el comienzo de la del hormigón nuevo no tiene influencia apreciable sobre la
adherencia de la junta. Los ensayos de WATERS (24.13) demostraron que la
resistencia de la unión no variaba dentro de plazos de apertura de la junta de 1 a 100
NUEVA CAPA DE POLVO
DEPOSITADA ALGUN TIEMPO
SUPERFI CIE LIMPIAOA CON
CHORRO DE AGUA
días. Los ensayos ya citados de CAFFARENA (24-6) no apreciaron diferencias entre
DESPUES DE U LIMPIEZA
PCON CHORRO OE AIRE pie zas co n ju n ta s ab ie rta s 2, 7 y 155 dí as 1.
24.3.6.5 Compactación en la zona próxim a a la junt a

En el caso de juntas de hormigonado en general, la resistencia de la junta está
fuertemente condicionada por la compactación del hormigón nuevo junto a la
Figur a 24-14 superficie de la junta. Los ensayos demuestran que la resistencia puede reducirse a la
mitad si en vez de una vibración enérgica y cuidadosa de la junta, se coloca el
Para las juntas de estructuras usuales el mejor procedimiento es la limpieza con hormigón sin vibración. El curado de la zona de la junta debe ser tambi én
chorro de a gua 1. Ciertam ente este proced imiento d eja algo de barro formado por polvo especialmente cuidadoso.
húmedo en los valles y cráteres de la superficie de las juntas, (figura 24-11 b)) pero en
cambio deja limpias todas las zonas altas como las A, B, C, D y F de la figura, que 24.3.6.6 D istancia entre junta s de contracción
aseguran un buen contacto con el hormigón fresco.
En el caso particular de las juntas de contracción, la distancia entre ellas está muy
Además de la limpieza, habitualmente se aplica algún tratamiento adicional a influida por las condiciones higrotérmicas del ambiente y por la cuantía de armaduras.
la junta. Si las cuantías son elevadas, la estructura puede incluso hormigonarse sin juntas. Sin
- Un tratamiento, hoy abandonado, fue el de aplicar lechada de cemento. El
pr oc ed im ie nt o en sí no es pe rj ud ic ia l, pe ro ex is te un rie sg o gr an de de que, por; 1 Es interesante aclarar que la unión entre ambos hormigones no debe su eficacia a ningún tipo de
reacción química del cemento de ambos hormigones, y por eso siempre que la superficie esté limpia
conserva la junta su capacidad de unión, con independencia de la edad a la que produzca la unión.
Realmente, la superficie de la junta no es una superficie “cerrada” sino un fractal. Para una
I Nos referim os al uso de agua a baja presión, no al empleo de chorro de agua a alta presión que se
exposición general de la teoría matemática de loa fractales, véase MAND ELBROT (24.14)
emplea en juntas de presas.
491
490
embargo, en las estructuras usuales, las cuantías no suelen ser tan importantes y por lo
tanto se hace necesario dispon er juntas. Se sugieren los valores de la tabla T-24.2 como
distancias máximas.
TABLA T-24.2.- DISTANCIA MÁXIM A ENTRE JUNTAS DE

CONTRACCIÓN EN FORJADOS, LOSAS, DINTELES DE ENTRAMADOS
DINTELES DE PUENTES, ETC.
TIPO DE EPOCA DEL ANO

CLIMA
CALUROSA fría
SECO 16 m 20 m Armadura
superior
HÚMEDO 20 m 24 m Armadura
ínferior
* Reducir un 15% si los pilares tienen rigideces importantes. <0

NOTA- EL DESPIECE INDICADO ES EL CORRESPONDIENTE A
* Aumentar un 25% si los pilares son muy flexibles o el dintel se apoya sobre L A S O L U C I O N c ) . NO S E I N D I C A N L O S S O L A P E S E D E L A S
SOLUCIONES a) Y b)
aparatos de apoyo que facilitan el acortamiento.
Figu ra 24-1 5
24.3.6.7 Tiempo mínimo de apertura de la junta
Un punto controvertido es el del tiempo a transcurrir entre el vertido de ambos
24.3.6.9 Casos de fatig a o esfuerzos de tracción normales a la junta
hormigones. Nuestra experiencia es que dos días en invierno y tres en verano son
suficientes en la práctica, para obras usuales, si se respetan las cuantías mínimas Todo lo anterior es válido para cargas estáticas, como son las habituales. En el
reglamentarias y el curado es adecuado. Este plazo tiene por supuesto una caso de estructuras sometidas a fatiga, disponemos de menos inf ormación
incidencia grande en el rendimiento del hormigonado y, por lo tanto, en el coste de experimental, aunque los ensayos de FOUR E (24.15) realizados en 1988, confirman la
la estructura. tesis expuesta por CALAVERA en 1981 (24.16) en el sentido de que, en casos de
fatiga, la adherencia hormigón-hormigón debe ser despreciada y el cosido confiado
exclusivamente a las armaduras. (Véase el Capítulo 40 para más detalles). Lo mismo
24.3.6.8 Posición a lo largo de la directriz vale para planos de junta sometidos a un esfuerzo total axil de tracción.
Existen, en general, tres procedimientos en cuanto a la disposición de juntas de
contracción, que se indican esquem áticamente en la figura 24-14. El primero consiste
24.3.7 JUNTAS DE TRAB AJO
en dejar sin hormigo nar una zona de corta longitud, usualmente de 0,50 m a 1,00 m en
zona de esfuerzo cortante despreciable (figura 24-14 a)). El segundo consiste en Como anunciamos, todo lo expuesto en el apartado anterior 24.3.6, es
interrumpir el horm igonado entre cuartos de la luz (figura 2 4-14 b)). El tercero es el íntegramente aplicable, excepto los puntos 24.3.6.4, 24.3.6.6 y 24.3.6.7 que
representado en la figura 24-14 c), en la que las juntas A o B se hacen en vanos corresponden a situaciones que no se presentan en este caso, ya que en este tipo de
contiguos. Los tres tipos tienen que ser estudiados para elegir la solución que perturbe ju nt as el ho rm ig on ad o se co nt in úa al dí a si gu ien te.
menos el plan de hormigonado. La solución c), la mejor técnicamente, con los
De todas formas, si por cualquier causa accidental una junta de trabajo se
esquemas actualmente en uso para el despiece de ferralla, hace que la armadura esté
interrumpe durante un tiempo prolongado, les serían aplicable los aspe ctos
interrumpida en la zona no ho rmigon ada de los solapes sobre el pilar, permitiendo su
correspondientes de las de contracción.
corrimiento de acuerdo con el acortamiento de las dos zonas hormigonad as. La primera
y segunda soluciones exigen en cambio disponer solapes que independicen las
armaduras de ambas zonas. Esto exige cuidados especiales en la disposición de
24.3.8 EJECUCIÓN DE LAS JUNTAS HORIZONTALES DE TRABAJO EN
estribos en la zona de solape, si está situada en zona de grandes mom entos Rectores,
PIEZAS DE DIRECTRIZ VERTICAL O CUASIVERTICAL
tal como demo straron los ensayos de MON KS y SADG ROV E citados en la referencia
(27.9). Véase el Capítulo 44, para la longitud Cde solape, que es el doble de la estándar Expusimos este tipo en 24.3.3. La rugosidad es en este caso la natural y la
al solaparse la totalidad de la armadura. limpieza y compactación deben h acerse según lo expu esto en 24.3.6.3 y 24.3.6.5.
492 493
(24.14) MANDELBROT, B.B. "The frac tal geometry of nature". Walter Frreman. N ew York,
24.3.9 CONSIDERACIONES ESPEC IALES PARA JUNTAS DE TRABAJO v
CONTRACCIÓN EN EL CASO DE HO RMIGONES VISTOS 1983.
Recuérdese lo dicho en 24.3.6.3 que desaconseja en este caso el frotado de las (24-15) FOURE, B. "Comportement des surfaces de reprise de bétonnage vis-a-vis du
ju nt as co n mo rte ro , po r el ca mb io de co lo ra ci ón qu e ell o pr od uc e. cisaillement". Annales de IT.T.B.T.P. Febrero 1988.
Por otra parte, en este caso es esencial que no se aprecien las juntas en la (24.16) CALAVERA, J. "Cálculo, construcción y patología de forjados de edificación". Ia.
superficie de las piezas, por lo que en el Proyecto deben especificarse condiciones Edición. INTEMAC. Madrid, 1981.
especiales para los encofrados. Véase el MANUAL DE DETALI (24-17) CALAVERA. J. "Manual de detalles constructivos en obras de hormigón armado".
CONSTR UCTIVOS, citado en la referencia (24.17).
INTEMAC. Madrid, 1993.
BIBLIOGRAFÍA
(24.1) MATTHEISS, I. "Hormigón armado. Hormigón armado a ligerado. Hormigón
prete nsado ". Editor ial Reve rte. Barce lona, 1980.
(24.2) "Expansión joints in buildings". Technical Report N° 65. National Academy of
Sciences. Washington 1974.
(24.3) KARPATI, K.K.; SEREDA, P.J. "De la mesure du comportement des joints de
dilatation". Bátiment International. Noviembre/Diciembre 1976.
(24.4) LENCZNER, D. "Movements in buildings". Pergamon Press. Oxford. Second Edition
1981.
(24.5) INSTRUCC IÓN EHE PARA EL PROYECTO Y LA EJECUCIÓN DE OBRAS DE
HORMIGÓN ESTRUCTURAL. Ministerio de Fomento. Madrid, 1998.
(24.6) CAFFARENA, J. "Estudio experimental de junta s de hormigonado en estructuras de
edificios". Tesis doctoral bajo la dirección de J. CALAVERA. Universidad Politécnica
de Madrid. Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos,
Madrid, 1986.
(24.7) CAFFARENA, J.; CALAVERA, J. "Estudio experimental de juntas de hormigonado
en estructuras de edificios". Hormigón y Acero n° 167, 1988.
(24.8) BROOK, K.M. "Construction joints in concrete". Cement and Concrete Associatioh.
Technical Report. London. Mayo 1969.
(24.9) MONKS, W.L.; SADGROVE B.M. "The effect of construction joints on the perfomance of
reinforced concrete beams". Cement and Concrete Association. London. Diciembre 1973.
(24.10) BUSELL, M.N.; CATHER, R. "Design and constructio n of joints in concrete structurés
CIRIA Report 146. London, 1995.
(24.11) CALAVERA, J.; GONZÁLEZ VALLE, E. "Juntas en co nstrucciones de hormigón".
CUADERNOS INTEM AC n° 14. INTEMAC. Madrid, 2o trimestre 1994..
(24.12) CALAVERA, J.; GONZÁLEZ VALLE, E.; DELIBES, A.; IZQUIERDO, J.M.
"Ensayos de corte en la superficie de co ntacto entre hormigon es de piezas prefabricadas
y hormigones vertidos «in situ»". Hormigón y Acero, n° 119 y 120. (1976).
(24.13) WATERS, T. "A study of the tensile strength of concrete across construction joints".
Magazine of Concrete Research. Diciembre 1954.
494 495
CAPÍTULO 25
CONCEPTO Y SISTEMAS DE HORMIGÓN

PRETENSADO
25.1. DEFINICIÓN DEL HORMIGÓN PRETENSADO.

El pretensado es una técnica consistente en la introducción en la estructura de
fuerzas que producen tensiones, en general de signo contrario a las producidas por las
restantes acciones aplicadas, con la intención de mejorar su capacidad resistente o su
comportamiento.
Esta definición es general y no exclusivamente aplicable a las estructuras de
hormigón.
2 5 .2 . C O N C E P T O G E N E R A L D E L P R E T E N S A D O
En toda aplicación del pretensado debe existir un elemento en tracción -en
general denominado tendón- y otro elemento comprimido. En el caso del hormigón
pr et en sa do el te nd ón su ele se r un a ar m ad ur a de ac ero y el el em en to co mp rim id o, la
pi ez a de ho rm igó n.
La idea intuitiva del pretensado es inmediata y el hombre ha recurrido desde
siempre a su desarrollo.
En la figura 25-1.a) se representa una rueda de carro. Del aro arrancan los radios
de madera que confluyen en el cubo central. La llanta metálica se fabrica con un radio
ligeramente menor que el del aro de madera y se calienta para dilatarla, colocándola
entonces en contacto apretado con el aro. Al enfriarse la llanta, comprime el aro y ella
se queda en tracción. La compresión sobre el aro origina la compresión de los radios.
Cuando sobre el vehículo se aplica una carga (Fig. 25-I.b)), ésta se transmite al eje
497
consigue por el entumecimiento de las duelas de madera (Fig. 25-3.b)). Al
incrementarse el ancho ^ de la duela por efecto de la humedad transmitida por el agua
contenida, se originan en la junta fuerzas T p cuya com ponente T2 produce tracciones
en los aros metálicos, cuya reacción a su vez comprime las duelas y cierra sus juntas.
La figura 25 -4.a) muestra una sien'a de carpintero. A través del torzal trenzado, se
introducen fuerzas C [ en la parte superior de los balancines que provocan tracciones Tj
en los otros extremos A y C y colocan a la hoja en tracción. Al serrar una pieza de
madera, por ejemplo con el sentido de desplazamiento hacia la derecha, el rozamiento
F ig ur a 25 -1 .a) F ig ur a 25 -1 .b ) de los dientes de la sierra con la madera crea en la hoja una fue rza T2 de sentido
contraiio al desplazamiento. La parte de hoja AB está sometida a una fuerza
y, por éste, al cubo de la rueda. El radio en posición inferior AB -y en menor medida T
los inmediatos- aumenta su compresión y la longitud AB se reduce. Correlativamente Tj -——que, si el tesado del torzal es suficiente, es positiva e impide el pandeo de la
el radio en posición s uperior A’B’ se alarga, pero la com presión previa introducida hace T
que el esfuerzo resultante sea todavía de compresión. (Los radios no están preparados hoja. La parte BC incrementa su tracción al valor Tj -t- — .
pa ra re si st ir tra cc io ne s).
F ig ur a 25 -4 .a ) F ig ur a 25 -4 .b )
Consideremos la figura 25-5.a) que representa una rueda de bicicleta. La llanta

F ig ur a 25 -2 .a ) F ig ur a 25 -2 . b) metálica y los radios no tienen rigidez suficiente para resistir la fuerza P transmitida
po r la ho rq ui lla del cu ad ro al cu bo rad ia l. Si n em ba rg o, m ed ia nt e el gir o de los
En la figura 25-2.a) se representa un barril de madera. La superficie lateral está terminales roscados en los extremos de cada radio, éstos se tensan, poniéndose en
formada por duelas de madera, con juntas entre ellas. Los aros metálicos se encajan tracción los radios y situando a la llanta en compresión. La carga P, al comprimir los
con mazo y escoplo y, en definitiva, crean compresiones circunferenciales que
comprimen las juntas entre duelas y hacen estanco el barril (Fig. 25-2.b)). Los aros
quedan naturalmente en tracción. El estado tensional y la estanquidad mejoran al
absorber la madera parte del líquido contenido, lo que produce su hinchamiento.
En la figura 25-3.a) se representa una sella gallega. En este caso no existe, como en
el caso anterior, una tapa superior. La estanquidad de la sella para contener el agua se
F ig ur a 25 -5 .a ) F ig ur a 2 5- 5. b)
radios de la zona en contacto con el suelo, acorta dichos radios, pero gracias a la
tensión previa aplicada, siguen en tracción. Los radios de la zona opuesta, es decir
de la superior, al descender el eje del cubo radial, se alargan e incrementan su
tracción.
Finalmente la figura 25-6.a) muestra un ejemplo clásico de cómo una persona
pu ede tra ns po rta r un a se rie de lib ro s si m pl em en te ap lic an do co n las m an os un a
compresión. Obsérvese la analogía completa con una viga prefabricada por dovelas,
F ig ur a 25 -3 . b) con un tendón pretensado.
498 499
43 M ■800/2
500.8003
12
y expresando M en mkN, M = 229,3 mkN, se produce en el punto medio de la luz
pa ra u na car ga uni for me P = 18,3 k N/m . (Co mo el p .p. de la vig a es de 9,6 kN /m,
las acciones exteriores que producen la rotura corresponden sólo a 8,7 kN/m).
Figura 25-6.a) Figura 25-6.b)

b) Su po ng am os qu e qu er em os so po rta r un a c ar ga p.m .l. de 100 kN /m , in cl ui do el
pe so pro pio . Ev id en te m en te la se cc ió n de ho rm ig ón en ma sa no pu ed e
Todos los ejemplos apuntados, usados durante muchos años en la vida diaria soportarla. Bajo la carga de 100 kN/m, la pieza estaría sometida al momento
muestran cómo el pretensado es una idea intuitiva. No lo es en cambio la técnica del
hormigón pretensado, como veremos en los apartados siguientes. M = ± — 1 0 0- 1 02 = 1 2 50 m kN
8
1 00 k N / m
2 5 .3 . C O N C E P T O S E S T R U C T U R A L E S D E L H O R M I G Ó N
PRETENSADO a) _ 7
3 ^ ,500, -23.66 N/mPn2
25.3.1. COM PENSACION DE TENSIONES

b) ÜJ7S
------------------------------------------ íü-
ZT 800
La aplicación de las ideas intuitivas expuestas en el apartado anterior, como era -------------------------------------
3 * 2 3 . 6 6 - 6 . 3 N/ m m J
lógico esperar tuvieron pronto su aplicación, a raíz de la invención del hormigón
•23.66 N/mm2
armado, a finales del siglo XIX.
r
Un elevado número de publicaciones y patentes, muchas de ellas procedentes de “zr — 6,3 N /mm1
pe rso na s co n es ca sís im os co no ci m ie nt os de co ns tru cc ió n, de sa rro lla ro n de una u otra
forma la idea expuesta en la figura 25-7. Figura 25-8
Un sistema elemental, muchas veces patentado, es el que exponemos á que originaría en la sección situada en el punto medio de la luz, las tensiones
continuación. (Fig. 25-8.a).
Sea una viga de hormigón H-40, simplem ente apoyada, y de sección 500 • 800 mm 1250 • 106 ■800/2 AT/ ,
G = ± ---------------------------= ± 23,44 N/ mm "
con luz de 10 m. J_- 500 - 8003
a) Si la consideram os como de horm igón en masa, la resistencia a tracción del 12
hormigón H-40 viene dada por la fórmula [28.7].
La viga de hormigón en masa no puede soportar tales tensiones. Sin embargo,
W = 0 ’3 7 V 40 2 - 4 ,3 N / mm 2 si a la viga de hormigón en masa le aplicamos un tendón de acero, lo tesamos
y lo anclamos en las caras extremas de la viga, todo ello a un tercio del canto
a partir de la fibra inferior, la fuerza introducida creará un diagrama triangular
p=18.3kN/m de compresiones, con valor máximo en la fibra inferior y nulo en la superior.
+■4.3 N/m m^
m u m m m n n u u m Si la fuerza N en el tendón se dispo ne (fig. 25-8.b)) para que la com presión en
la fibra inferior sea igual a (23,44 - 4,3) N/mm2, el valor de N necesario,
500 — 4.3 N/r
expresado en kN, será
10.00 m
N = 500 ■800 -7(2 3,4 4 -4,3) ■10‘3= 3828 kN
a) b) c)
Figura 25-7 Si ahora aplicamos la acción exterior de 100 kN/m, el diagrama final de
tensiones resultante será el indicado en la figura 25-8.c), con compresión de
El momento flector en N-mm que produce la tensión de tracción de 4,3 N/mm2 23,44 N/mm2en fibra superior y la tensión de resistencia a flexotracción en la
en la fibra inferior (Fig. 25-7) se obtiene de inferior. La aplicación del pretensado, sí se excluye el p.p. de la viga, ha
500 501
pe rm it id o pa sa r de un a ca rg a p de ro tu ra de 8,7 kN /m , co mo sec ció n d N + h ■S • 24
hormig ón en masa, a otra de 100 - 9,6 = 90,4 kN/m cuando se emplea t i — ------------------- = 150 kN/m2
S
pretensado. Su cap acidad portante se ha increme ntado en - ? ík t = i n a
87 veces. de donde, adoptando h = 4 m,
S = 18,5 m2
La mayoría de los intentos de realización del hormigón pretensado en
etapa inicial, giraron alrededor de casos com o el expuesto. Todos ellos fracasaba** Adoptando un macizo de cimentación de 6 x 3 m2 en planta y 4 m de canto (ver
en plazos muy cortos, debido a la ignorancia de los acortamientos del hormigón figura 25-10), será válido si compensamos la reacción horizontal Nh= 1111 kN.
debidos a retracción y fluencia, que reducían seriamente la fuerza en el tendón v
a la ignorancia del fenómeno de relajación de la tensión del acero, generalmente 1.000 kN
acero ordinario, que también reducía seriamente la fuerza en el tendón.
El nacimiento del pretensado como técnica real es debido a E. FREYSSINET
(25.1), que intuyó con claridad las pérdidas de tensión y desarrolló materiales y
técnicas para reducirlas e introdujo el empleo de aceros de alta resistencia.
25.3.2. COMPENSA CIÓN DE DEFORMACIONES

Esta utilización de la técnica del pretensado es mucho menos intuitiva que la
anterior pero también de un gran interés. Veamos su aplicación mediante un ejemplo.
F ig ur a 25 -1 0
Si no la compensamos, el sistem a M, Nv, Nh actuante sobre la cara superior de la

zapata, sería sustituido por las fuerzas N v, Nh actuando en M, donde OM = 11,11 m.
Resistir directamente tales acciones a tal distancia exigiría un cimiento
costosísimo, por lo que adoptaremos un tirante enlazando los dos cimientos opuestos
de forma que centren la presión o t de respuesta del suelo.
F ig ur a 25 -9 Planteando las condiciones de equilibrio
En la figura 25-9 se indica en sección transversal un hangar de 100 m de luz con 1000 + 3- 4- 6 - 24 = o ,- 3- 6 ot = 151,56 kN/m2
cubierta formada por arcos parabólicos biarticulados. Las acciones sobre los pilares
extremos, para una carga permanente de 10 kN/m (por m.l. de luz) y una acción Tomando momentos en A
variable (nieve) de 10 kN/m, p.m.l. de luz en proyección horizontal del arco, son las
siguientes. - T ■3,85 + 1000 ■3 + 11110 + 1111 • 4 + 3 •4 • 6 • 24 - 151,56 ■3 *6 ■3 = 0
Las reacciones verticales N en los pilares valen Resultando T = 4040 kN.
V = 5 0 ■ 2 0 = 1 0 0 0 kN Veamos la materialización del tirante que ha de enlazar las dos zapatas opuestas,
resistiendo la fuerza T de tracción.
La reacció n horizontal N h, al ser el arco parabólico (véase 16.2.11), vale
Solución A. Tirante metálico formado con perfiles laminados con 260 N/mm2 de
límite elástico (yG = 1,35, yQ = 1, 5, ys = 1). Como la carga permanente es igual a la
N h = — ' 1Q° 2 =11 11 kN
" 8 ■22,5 , 1,35 + 1,5 i a?
sobrecarga, tomamos y - -------- =1,43.
Si el terreno permite una presión admisible de 0,20 N/mm2, tantearemos la

superficie S de cim entación en m 2 para resistir la reacción vertical, siendo h la altura E j = 200.000 N /m m 2
del cimiento en m y el peso específico del hormigón 24 kN/m3, con 0,15 N/mm2de
pr es ió n ad mi sib le. 7\a = 1,43 ■4040 = 5777,2 kN
502 503
, 57 7 7,2 - 10 3 „„ , tesamos al 72% de su tensión de rotura y que las pérdidas de tensión sean del 17%], la
1 ""------- 26 0------ 22220 rara2 tensión de pretensado permanente del tendón será
El alargamiento en servicio A de la semiiuz de tirante correspondiente a Gsp = 0,72 (1 - 0,17) • 1600 = 960 N /m m 2
zapata resulta na
A_ 4040000 (50000 - 3000) A Llamando A’ al área de acero del tendón en mm2 necesaria paraintroducirla
= 42,7 mm compresión de 404?) kN, se tiene
22.220 • 200.000
A' sp -960 = 4040000
Solución B. Tirante de hormigón armado con acero B 400 S. y = l 35 y = r e
Ys = 1,15. Tal com o se e xp on e en el C ap ítulo 34 G ’ Q ’ > A ’sp - 4208 mm 2
Td = 1,43 •4040 = 5777,2 kN

Por lo tanto, la consideración de crear las compresiones en servicio exige una
armadura ligeramente superior a la del estado límite último.
/ v a = - ^ - = 347,8 M m ra 2 Sea Ac el área de hormigón del tirante en mm2. (Se desprecia la importancia del
área ocupada por la armadura).
5777 ^ •103 Supongamos que queremos reducir el alargamiento A a 1,7 mm, es decir a unas
A = ---------—------- = 16611 mm 2
347,8 veinte veces menos del obtenido con tirantes de estructura metálica o de hormigón
armado.
El alargamiento en servicio A, en teoría, valdría en esta solución El área homogeneizada de hormigón será
A 4 0 4 00 0 0 (5 0 0 00 - 3 00 0) „
A - --------- 77------------------------- ■= 57,15 mm
16611-200.000
Con E = 20.000 N /m m 2 y E = 200.000 N/ m m 2 m = 20(1 000 = 10
3 5 20.000
Sin embargo, al estar embebida la armadura de barras de acero B 400 S en un
tirante de hormigón, el fenómeno de "tension-stiffening’', que analizaremos en detalle
en el Capítulo 34, reduce la tensión media de la armadura a lo largo de su longitud y, A ch, = A c + 10 ■4208 = Ac + 42080 mm 2
po r lo ta nt o, re du ce su al ar ga mi en to. Es tim am os el al ar ga mi en to rea l co m o 0,6 del;
teórico. y con ello
40400 00 (50.000 - 3000) 9494000
A = 0,6 • 57,15 = 34,3 mm (Ac + 42080) 20.000 ~ Ac + 42080
Solución C. Tirante de hormigón pretensado con armadura postesa. Acero de y para A = 1,7 mm, resulta
1600 N/mm2 de carga de rotura. yG= 1,35 yQ= 1,50, ys = 1,15.
A C = 5 ,’5 m2
Como en la solución B, Td = 5777,2 kN.
Por consideraciones de estado límite último, La sección de 5,5 m2 la puede proporcionar, sin coste extra de hormigón , el propio
pa vi me nt o de ho rm ig ón de la na ve , alo jan do en él los te nd on es de l tir an te.
. 5777 200 A1co ,
= = 4153 mm 2 Si suponemos un suelo con módulo de balasto 0,08 N/mm3, el giro de la zapata,
sp 1600/1,15 en función del corrimiento A, vale2
Supongamos que empleamos hormigón H-50, con un módulo de deformación
pa ra ca rga s de la rg a du ra ci ón qu e es tim am os en Ec = 20 .0 00 N/ m m 2.
1 Estos temas se exponen en detalle en el Capítulo 29.
La fuerza de pretensado permanente tiene que ser tal que introduzca en el tirante 2 Véase J. CALAVERA. “Cálculo de Estructuras de Cimentación, 3a Edición. INTEMAC , Madrid
una compresión igual a la tracción en servicio, 4040 kN. Aceptando que el acero lo 1991. Capítulo 4.
504 505
a = _ a ti - <*’ t2 Solución no válida e indicadora de que la
3.850 k • 6000 resultante cae fuera de la zapata.
donde a \ [ y a ‘l2 son las tensiones sobre el terreno. Para la solución C
(Tirante de horm igón prentensa do) A = 1,7 mm
100 kN
a ‘n = 0,26 N /m m 2
j 0.30 T
g ‘p = 0,04 N/ m m 2
Como la presión admisible era de 0,2 N/mm2 puede adoptarse 0,26 en borde sin
pro ble ma s.
Obsérvese que es la posibilidad de reducir las deformaciones, que la solución
de tirante pretensado ap orta, la que permite resolver el prob lem a1.
Figu ra 25-11 2 5 .4 . T I P O S D E P R E T E N S A D O
De acuerdo con la figura 25-11 y con la expresión de a La técnica del hormigón pretensado ha evolucionado mucho y se ha diversificado
desde su nacimiento.
0,08 •6000 Actualmente se utilizan básicamente dos técnicas generales, la segunda de las
A = 0,125 A N/mm *
3850 cuales presenta tres variantes2.
Pero como, según vimos al dimensionar, el cimiento
25.4.1. HORMIGÓN PRETENSADO CON ARMADURAS PRETESAS.
° ii + ° a En esencia, consiste en la aplicación del proceso indicado esquemáticamente en
C „ = 0 ,15 N /m m 2
la figura 25-12.
operando
0,125 A+ 0,300 A A
a ti = N /m m T - T - ■ T
-0,125 A + 0,300
N /m m 2
b) *>>},))>!>
Para la solución A
(Tirante metálico) A = 42,7 mm
a ‘tl = 2,82 N /m m 2
o \ 2 = - 2,52 N /m m 2
c)
f
■M ' ^ r / r/ ' / / / / / ' / / / ? / ^ 7 / / / ' ///.■/'M/'7 Z7/77777 77W 77,
F=1 =ífo
Solución no válida. Los valores de a ‘tl y a ‘t2
no son reales pero indican que'la resultante
está muy lejos del tercio central de la zapata. d) /\/ '/ , 77
* fo
(Realmente la resultante se sitúa fuera de la
zapata).
Para la solución B Figura 25-12
(Tirante de hormigón armado) 1 La ventaja de la menor deformabilidad de los tirantes pretensados fue ya conocida y utilizada desde
Como A = 34,3, los resultados son: el principio del pretensado. El ejemplo desarrollado no es más que una versión simplificada de la
G ‘t¡ = 2,29 N /m m 2 adoptada por el Prof. MAGN EL en 1946 en el proyecto de hangares en Bélgica.
2 Se excluye de lo que sigue la técnica del pretensad o con armaduras fuera del canto de la pieza, como
G‘[2 = - 2,00 N /m m 2 es el caso de los puentes atirantados.
506 507
En la etapa a), la armadura se tesa y se ancla en dos anclajes fijos a la "meco a
pr et en sa do ". J me sa de 0^2
En la etapa b), o más frecuentemente ya en la a), se coloca el molde M a
continuación se vierte, comp acta y cura el hormigón. *
En la etapa c), una vez endurecido el hormigón y alcanzada una resistencia au
garantice la posibilidad de anclaje de las armaduras pretesas por adherencia aí
hormigón, se transfiere la fuerza de la armadura de los anclajes A a la pieza p
Usualmente se emplea algún curado de tipo térmico o bien hormigones de muy alta
resistencia, para reduc ir este plazo que, en la práctica, oscila de 14 horas como mínimn a)
hasta 3 días como máximo. SECCION B-B
Obsérves e que, para que se pueda transferir la fuerza de pretensado a la pieza ésta
Figur a 25-13
debe poder acortarse y en el caso habitual de que la fuerza de pretensado no actúe eri
el c.d.g. de la sección, debe poder tomar la contraflecha instantánea de pretensado Es En la figura 25-13 se indica esquemáticamente este inconveniente. En el
po r lo ta nto ne ce sa rio "ab rir" los la ter al es del m ol de M an tes de re al iz ar la momento de la transferencia (Fig. 25-13.a)) la pieza toma contraflecha e
transferencia. inmediatamente por tanto, además del pretensado, actúa sobre ella su peso propio. Ello
conduce a que en las secciones inmediatas a los extremos, como la A-A, sólo existan
En la etapa d) se cortan los alambres o cordones y la pieza toma su contraflecha
las tensiones debidas al pretensado, con valor a c] en fibra inferior y a c2 en fibra
A continuación se traslada y almacena en parque hasta el momento de su transporte a
obra y montaje. superior. Estas tensiones son las que controlan el máximo pretensado que puede
aplicarse a la pieza. Sin embargo en la sección central B-B, las tensiones extremas son
Esta técnica es normalmente empleada en prefabricación y, sucintamente a ” el, = a el, - a ’c\, J
y a ” c2 = - a c2
~ + a ’c2^
. que son claramente, inferiores
T •T a las de la sección
expuestos, tiene las ventajas e inconvenientes siguientes.
1 1
A-A y por tanto infenores a las máximas admisibles. Lo ideal sena levantar la
armadura, o reducir su sección, al alejarse del punto medio de la luz, con lo cual
po dr ían au m en ta rs e las ten sio ne s de pr et en sa do ha st a al ca nz ar en el pu nt o m ed io de la
Ventajas luz las máximas admisibles, sin riesgo de rebasarlas al acercarse a los extremos.
1. Produ cción rapidísima y en serie. Todo el proceso de ejecución de la pieza Esto realmente puede conseguirse y de hecho se realiza en la práctica, pero con
dura entre 14 horas y 3 días. Usualmente se almacenan las piezas en parque, pr ob lem as qu e co m pl ic an y en ca re ce n la pr od uc ci ón in du st ria l en se rie . Ex is ten pa ra
pe ro no son rar os los ca so s en qu e se en ví an di re ct am en te a obr a. ello dos soluciones:
2. Producc ión industrializada, con posibilidad de alcanzar una alta calidad en los a) Una solución, que será expuesta con más d etalle en el Capítulo 26, es la
materiales y en la ejecución, fruto de la especialización del personal. indicada en la figura 25-14 en la que los tendones se desvían, generalm ente en
dos puntos, tales como M y N, mediante anclajes al molde o a la solera de la
3. Si el curado térmico se realiza en ambiente húmedo, se consigue una
mesa de prefabricación, capaces de resistir las fuerzas ascendentes provocadas
importante reducción de las pérdidas de tensión debidas al acortamiento por
fluencia del hormigón. en ellos por los tendones.
Inconvenientes
1. Se comprim en hormigon es muy jóvenes, po r lo que las pérdidas de tensión de
las armaduras por acortamiento elástico instantáneo y por deformaciones
diferidas del hormigón son elevadas.
Figur a 25 -14 Figur a 2 5-15
2. Si se aplica curado térmico, se produce una pérdida adicional de tensión en las
armaduras, de importancia apreciable, debida a la dilatación de la armadura
antes de su adherencia al hormigón. b) Ot ra so luc ió n es la in di ca da en la fig ur a 25- 15 .
3. El inconvenien te importante de la técnica de armad uras pretesas es que, en la Los tendones se suponen esquemáticamente colocados en tres capas como un
pr ác tic a, es ca si sin ón im o de ar m ad ur a co ns ta nt e en se cc ió n de ex tre mo a ejemplo general. La capa C se deja adherida de extremo a extremo, es de cir en
extremo de la pieza y constante en cuanto a su posición en la sección de la las condiciones ordinarias. En la capa B, desde los puntos 2 a los extremos, los
pie za . tendones (alambres o cordones) se vendan o entuban en plástico de forma que
508 509
se impida su adherencia al hormigón. Análogamente se hace con los tendones
de la capa A, que se entuban a partir del punto l.
Con esta técnica, a efectos prácticos, el c.d.g. de la armadura varía a lo lamo
de la luz y también lo hace la fuerza de pretensado. Obsérvese que la solución
no ahorra directamente armadura, puesto que la longitud total de tendones
adheridos o no, es siempre la misma. ’
Los dos sistemas expuestos en a) y b) son de gran interés técnico pero su empleo
no es frecuente ya que los costes reales de aplicación sobrepasan generalmente las
economías producidas en la sección y volumen de la pieza.
SISTEMA ESTRUCTURAL PARKING
Las formas típicas de piezas preten sadas con e sta técnica se indican en la figura 25-16 PRE FAB RIC ADO
(cortesía del GRUPO CASTELO& PUJOL)
F ig ur a 25 -2 0
a \ r o o o o
VIGUETAS DE FORJADOS LOSAS PARA FORJADOS Y CUBIERTAS
Edi fici o de 5 pla nta s en Tres
Cantos. (Madrid). Luz 17,50 m.
sobr ecar ga 200 0 k g/m 2
I pre fab ric aci ón, incl uso escal eras.
PIEZAS T T V T PARA FORJAOOS Y CUBIERTAS (cortesía de ALVISA)
Figura 25-1 9
VIGAS DE PISOS Y CUBIERTAS
(cortesía de PACADAR)
VIGAS PARA PUENTES PILOTES

Fi gu ra 25 -2 1
25.4.2. HORMIGON PRETENSADO CON ARMADURAS POSTESAS.

25.4.2.1. Aspectos generales
En sus líneas esenciales la técnica utilizada se indica en la figura 25-22.
F ig ur a 25 -1 6
________________ Ia
En las figuras 25-17 a 25-21 se reproducen algunas realizaciones.
a) '
.. ,a
b) o o o 1—C
- E í st r ' - ;
c) HZ X X
d)
Na ve s pr efa bri cad as de 20 m d e luz y cuatro Est ruc tura de cubi erta de 30 m. d e luz con viga
pue nte s grúa par a inst ala ción de mes as per alta das pa ra nave de A uson ia en Toledo
universales de prefabrt'cación (cortesía de PRA1NSA) N
e) M
(cortesía de CADE, S.A.) 1 1 '■ v’ ■>X X X/ ¿ J ^ x x ^ « x x 9 x m x : x z m y y x x í x ^ 7 2
Figura25-17 Figura 25-18 ■M
Figura25-22
5 10 51 1
En la primera operación se coloca y arma el molde (Fig. 25-22.a)). &
continuación se coloca la armadura pasiva de estribos y eventualmente longitudinal y
a
se colocan y fijan las vainas de los tendones postesos (Fig. 25-22.b)). A continuación VAINAS INYECT AD AS CON LECHADA DE CEMENTO
se procede al hormigonado de la pieza (Fíg. 25-22.c)). Cuando el hormigón ha
alcanzado una cierta resistencia, se envainan los tendones en sus vainas y se abre él
molde (Fig. 25-22.d)). Cuando el hormigón ha alcanzado resistencia suficiente, se
tesan los tendones, en general disponiendo un anclaje fijo en su extremo N y tesando
contra la extremidad de la viga en el anclaje activo M. La pieza toma la contraflecha
correspondiente.
El sistema tiene las ventajas e inconvenientes siguientes:
Ventajas
TENDONES SITUADO S EXT ERIORMENTE A LA SECCION
1. Al poder se r curvo el trazado de los tendones, és tos se levantan e incluso se
cortan antes de llegar a los apoyos, adaptándose a las condiciones tensionales
en todas las secciones sín los inconvenientes que vimos en las armaduras F ig ur a 25 -2 3
pre tesa s.
2. El tesado de los tendones se realiza en hormigones de mayor edad y resistencia 25.4.2.3. Formas típicas
que en el caso anterior, con la consiguiente reducción de pérdidas de tensión.,
Las formas típicas de piezas pretensadas con esta técnica se indican en la figura
3. La inclinación de los tendones tiene un efe cto reductor del esfuerzo cortante, , 25-24 y son de una extraordinaria variedad. En las fotografías se recogen algunas
4. El sistema se adapta con facilidad a piezas hiperestáticas, cambios de realizaciones notables.
curvatura, etc.
Inconvenientes
1. La coloca ción de tendones y su tesado son mucho men os industrializadas que
en el caso de armaduras pretesas.
FO R JA DO S SIN V IG A S VIGA S CONT INU AS
2. La ejecución está más pr óxima a las condiciones de una obra que a las de una
instalación industrial.
3. El trazado curvo de los tendones introduc e una mayor incertidum bre en la
evaluación de las pérdidas de tensión.
4. Si, como veremos a continuación, se inyectan con lechada de cemento las
vainas para proteger de la corrosión los tendones, el recubrimiento de éstos es
de menor calidad que en el caso de tendones adheridos al hormigón de la EDIFICIOS COLGADOS DEPOSIT OS PRETENSADOS
pie za, com o era el c aso de arm adu ras pre tesa s.
25.4.2.2. Variantes del sistema

Básicamente se derivan de la forma de colocación de los tendones (fig. 25-23).
En la variante a), hoy por hoy la más común, la vaina se inyecta con lechada.
En la variante b), que como veremos tiene un interés específico en algunas CUPULAS
aplicaciones, la vaina no se inyecta y por lo tanto el tendón no está adherido a la
pie za. La va ria nte c) tam po co tie ne adh er ido el ten dó n a la pie za, pe ro se cons igue
una buena protección contra la corrosión inyectando grasa soluble en agua en las F ig ur a 25 -2 4
vainas. Finalmente, la solución d) tiene las armaduras exentas, es decir situadas fuera
de la pieza. Las fotografías de las figuras 25-25 a 25-32 reproducen algunas realizaciones.
512 513
2 5. 5. C O M B I N A C I Ó N D E D I F E R E N T E S T I P O S D E P R E T E N S A D O
Un ejemplo que muestra las grandes posibilidades que encierra la combinación de
técnicas y tipos diferentes de pretensado es el que se indica en la figura 25-33.
Losa de cubierta del auditorio del Centro Cultural de la Villa de Madrid.

(La losa aligera da postesada, tiene planta de sector circular de 90°, con
radio exterior de 36,20 rn. 1,50 m. de canto. Arquitecto: Man uel Herrero
Palacios. Ingeniero consultor: José E. Bofil. Ingeniero Jefe de Obra:
Torre de comunicaciones de la Jes ús Lu zuri aga. Em pre sa constr uctora : Con stru ccio nes y Contratas, S .A VAINAS CON TENDONES SIN TESAR
CN R (Toronto) _fg - r r ib
18N/mm2
Figu ra 25-2 6 SECCION A-A
Figu ra 25-25 " lA^ j IB '^ OgN/mmS
b)
L ARMADURA PRETESA
■L ___ i
13 ty'mm*
SECCION B-B
ARMADURA DE ESPERA
APOYO DE NEOPRENO VAINAS CON TENDONES SIN TESAR
AGLOMERADO ASFALTICO
LOSA DE HORMIGON
lB
c)
5 N/mm»
SECCION B - I
514 515
Se trata de realizar un aparcamiento subterráneo en una calle, reduciendo al hea ia sección mateada en la figura 25-34 y sea 0 su c.d.g. al que asociamos
mínimo posible la perturbación del tráfico por la ejecución de las obras. ejes indicados en la figura. Sea A el c.d.g. de los tendones pretensados y P la
componente horizontal de laxw. fuerza
i de îwiwiwuuu.
pretensado. Designaremos
Iû oig iiaic inu o con
I-U11signo
oigliu positi
po sit ivo
Se emplea una solución de piezas prefabricadas TT, con armaduras pretesas y con
las compresiones y consideraremos la excentricidad e de la fuerza como positiva en el
otras postesas. Los tendones a postesar se introducen en sus vainas durante la
sentido de los ejes1.
pr ef ab ric ac ió n de las pie zas , pe ro no se tes an ha st a un a po ste rio r et ap a en ob ra.
El estado de tensiones en la sección se rige por la fórmula de Navier,
Etapa a). Se realizan dos muros pantalla y se excava la calle hasta una cota
considerando la sección sometida a un esfuerzo de compresión Py a un momen to
ligeramente inferior a la del nivel inferior de las piezas.
flector M = P ■e. Para un elemento diferencial A, la tensión será
Etapa b). Se colocan las piezas descabezando un poco los muros pantalla. Las piezas
han sido prefabricadas con hormigón H-50. Se supone que a las 14 horas, con curado al P P - e ■v
a = — + ---------- —
vapor, se obtienen ya 30 N/mm2 de resistencia, con lo que el máximo pretensado vendrá
limitado por la compresión en la fibra inferior a f k[ = 0,6 ■30 = 18 N/mm2 (Sección A- A C Jc [25.1]
A). Naturalmente, la sección central (sección B-B) queda holgada debido a la acción en donde
ella del peso propio.
Ac Area de la sección
Etapa c). Se vierte la losa armada de hormigón de 15 cm sobre las piezas
I Mo mento de inercia de la sección respecto al eje x-x 2.
pr ef ab ric ad as y la ca pa de ag lo m er ad o so br e ella . E sta s car ga s pr od uc en tra cc io ne s en
la fibra inferior de la sección compuesta y compresiones en la superior, con lo que las En la práctica suelen interesar sólo las tensiones en las fibras extremas inferior 1
tensiones en la sección B-B cambian a 5 y 4,5 N /m m 2. y superior 2, respectivamente, y aplicando [25.1]
Etapa d). Dado el tiempo transcurrido, el hormigón ya ha alcanzado su
resistencia nom inal de 50 MP a y por lo tanto ahora admitirá en fibra inferior de la pieza P P ■e ' y,
Gcpl. = ----- + ------------ Li
una compresión de 0,6 ■50 = 30 N/mm2. Las conseguimos tesando ahora los tendones A j
[25.2]
que vienen alojados en sus vainas. A continuación se horm igona el enlace de la losa de
hormigón con la cabeza del muro pantalla.
P P -e
Etapa e). Es la de uso normal del tablero bajo carga de tráfico. Las plantas del a n = — + -------- y 2
aparcamiento se han resuelto por métodos usuales. c A I [25.3;
Obsérvese que el empleo de armaduras pretesas y postesas ha permitido Frecuentemente es útil presentar estas fórmulas de otra manera
compensar con el pretensado la carga de losa de hormigón y de aglomerado,
incrementando además el pretensado para resistir las acciones de tráfico, que actúan, P Pe
lo mismo que la carga de aglomerado, sobre la sección compuesta de piezas
pr ef ab ric ad as y lo sa de ho rm ig ón "in si tu ”. ° cpl ~ A C + W.1 [25.4]
P Pe
2 5 .6 . F O R M U L A S B A S I C A S D E U N A S E C C I O N P R E T E N S A D A + ^ [25 .5 ]
Con independencia del tipo de pretensado empleado y sin entrar ahora en detalles
que se expondrán en el Capítulo 30. veamos el estado tensional de una sección pretensada. y también teniendo en cuenta que I = A . • r2, donde r es el radio de giro de la sección,
[25.6]
1 En general en todo el libro se consideran positivas las comprensiones. La única excepción se hace
par a cu est ion es rel aci on ad as con las ten sion es pri nci pal es en esf ue rzo co rta nte (C apí tulo 39) y se
avisará explícitamente.
2 No entramos ahora en más refinamientos. Lueg o analizaremos los distintos valores de Acy de P a lo
largo de la vida útil de la pieza..
516 517
OS En la solución de horm igón pretensado, si no hay acciones exteriores, C = T y
1 +
r- [25.7] además coinciden en posición. Si las acciones exteriores producen un
momento flector M, (Fig. 25-36), el diagrama final presenta unos valores de
M y C que no han variado y en cambio las dos fuerzas C y T se han
descentrado para crear un par que compense el momento de las acciones
2 5 .7 . F O R M A S D E C O N S I D E R A C I Ó N D E L P R E T E N S A D O
M M
Existen d iferentes formas de considerar el pretensado, cad a una de ellas útil en un exteriores. El valor del brazo z = ----- = ------ .
cierto campo de aplicación. C T
a) Consideración de la pieza pretensada como constituida por un material Obsérvese que esta forma de consideración surge de considerar la pieza
homogéneo. Consideremos , por ejemplo, la pieza indicada en la figura 25-35; pr et en sa da co m o la su m a d e la pi ez a d e h or m igó n má s el ten dó n, ais la da me nt e
sometida a un pretensado centrado. La pieza se fisurará cuando, bien, bajo un considerados (fig. 25-37).
_j ------------------------------ u~ - i i —
A 7a
Figura 25-35 Figur a 25 -37
c) Consideración del tendón como un cable antifunicular de una parte de las
esfuerzo de tracción axil, un momento flector o cualquier combinación dé acciones exteriores. La idea se esquematiza en la figura 25-38.
ambos, se alcance en una fibra la resistencia a flexotracción del hormigón.
b) Consideración de la pieza como un conjunto del hormigón y del tendón,
separadamente considerados. En la figura 25-36 representamos dos vigas rl l l l l t m i l l l t l 1 A + * - ° ü l LI 1 1 1 1 1 1 1 1 L L L 1 Ü - *
idénticas y sometidas a idénticas cargas.

i j ~ rrn mmn i itTrn
n n n n h m n n m m n m m n u n m Figur a 25 -38
¡ pA Cada una de estas formas de consideración es útil para ciertos tipos de
HORMIGÓN ARMADO HORMIGÓN PRETENSADO pr ob le m as y se rán ut ili za da s en los Ca pí tul os sig uie nte s.
k T =C - É P t M
T
m r- + AW m ) = f / * r BIBLIOGRAFÍA
m M É r> T ^
Figur a 25 -36
(25.1) FREYS SINET, E. "A revolution in the Technique of the Utilization of
Concrete". Institution of Structural Engineers. London. 1936.
En el caso de la solución de hormigón armado, el momento aplicado en la:
sección A-A se compensa con un par C,T, donde C es la resultante dé
compresiones en el hormigón y T la de las tracciones en la armadura. En la
pr ác tic a
C = T ~ ——— [25.8]
0,85 d
donde z ~ 0,85 d.
Al aumentar el momento, se incrementan C y T pero su brazo prácticamente
no varía.
518 519
CAPÍTULO 26
MATERIALES Y EQUIPOS PARA HORMIGÓN

PRETENSADO CON ARMADURAS
POSTESAS
26.1 GENERALIDADES
El concepto esencial del proceso se indica en la figura 26-1. Colocado el molde
y la armadura pasiva, se colocan las vainas y en ellas se alojan los tendones.
Figura 26-1
A continuación se vierte, compacta y cura el hormigón. Habitualmente el

hormigón se cura a temperatura ambiente, pero no es raro el empleo de curados
acelerados, en particular con vapor1. Una vez se ha alcanzado la resistencia suficiente
en el hormigón se tesan los tendones bien des de anclajes ac tivos A, siendo pasivos los
opuestos, C, bien tesando desde anclajes activos en ambos extremos. El hormigón en
ese momento debe tener resistencia suficiente para los esfuerzos introducidos por el
pre ten sa do en las di fer en te s se cc ion es y ta m bi én pa ra so po rta r la s f ue rz as co nc en tra da s
baj o los anc laj es.
1 Si se aplica vapor deben sellarse las vainas para impedir la entrada de vapor por ellas, ya que la
dilatación del metal de las vainas es más rápida que la de hormigón que las rodea y puede fisurarlo.
Si los tendones están ya en las vainas el vapor aceleraría además la corrosión.
521
En general el pretensado introducirá contraflechas en la pieza y por lo tanto antes Las vainas suelen fabricarse en muchos casos en obra, pues su transporte es
del tesado deben retirarse las partes de los moldes que se opongan a la contraflecha costoso y su manejo delicado. Los empalmes se hacen con cinta adhesiva. Debe
considerarse que la estanquidad de la vaina es esencial, particularmente por impedir la
Una vez tesados, los tendones se protegen, bien con lechadas (tendones entrada de lechada o mortero durante el hormigonado de la pieza, sin perder de vista
adheridos) bien con grasas solubles o productos similares (tendones no adheridos) que es inevitable el choqu e de los vibradores contra las vainas du rante la compactació n
Existen también tendones que se suministran con protección de un tubo de material del hormigón. Ello requiere -por tan to una rigidez adecuada, la cual también es
pl ás tic o, pa ra el ca so de te nd on es no ad he rid os .
necesaria para que la colocación de la vaina no exija excesivo número de separadores
o puntos de suspensión.
26.2 MATERIALES Y EQUIPOS Por razones económicas se procura que la vaina sea lo más reducida posible, de
acuerdo con la constitución del tendón. Sin embargo, no es aconsejable que el área de
La pieza indicada en la figura 26-2 contiene casi todos los elementos necesarios la sección transversal del tendón supere el 50% de la de la vaina, pues ello conduce a
pa ra un pr et en sa do ge ne ra l. En el an cl aj e ac tiv o A , se dispone la boquilla de entrada la formación de huecos en la vaina inyectada, con grave peligro para la durabilidad.
Es inevitable que, de acuerdo con la curvatura del tendón, los alambres o
cordones se sitúen tal como se indica en la figura 26-4 en las secciones A y BK
ANCLAJE_/l
26.2.2 TENDONES
Básicamente los tendones se forman con grupos de cordones. Algunos sistemas
Figu ra 2 6-2 de pretensado emplean tendones formados por alambres paralelos, como veremos más
adelante. Existen también sistemas que emplean barras. Todos estos materiales son
de la inyección. En los puntos bajos del trazado de las vainas se disponen tubos de analizados en detalle en el Capítulo 32.
pu rga , qu e se ut il iz an pa ra de sa gu ar las va in as y ev en tu al m en te pa ra in ye ct ar lec had a El enfilado de los alambres o cordones en las vainas se hace a veces por
desde ellos. Cuand o la inyección los alcanza se obturan. En los puntos altos del trazado pr oc ed im ie nt os ma nu al es , pe ro ge ne ra lm en te las Em pr es as de Pr et en sa do fa br ic an
se disponen tubos de purga de la inyección, que sirven para eliminar aire de las máquinas enfiladoras (fig. 26-5).
bu rb uj as de la in ye cc ió n y co m pr ob ar el pr og re so ad ec ua do de la mi sm a. Un a ve z l a
inyección alcanza cada punto E , el tubo correspon diente se obtura para pod er mantener
la presión de inyección mientras la lechada avanza por la vaina. El acoplador D
representa un hipotético empalme de tendones.
A continuación se describen los equipos y el proceso con mayor detalle.
26.2.1 VAINAS
En el caso de tendones no adheridos la solución más frecuente es el tubo de
pl ás tic o. En el ca so us ua l de te nd on es ad he rid os la s va in as su el en se r de cha pa
galvanizada corrugada. (Fig. 26-3).
ENFILADORA BBR E N F I LA D O R A F R E Y S SI N E T
(Cortesía de BBR , S.A.) (Cortesía de Freyssinet)
Fig ura 26 -5 Fig ura 26 -6
Tanto para la colocación de vainas como de tendones puede consultarse la

referencia (26.1).
1 A veces se emplean '‘separadores” de alambres o cordones, formados por diafragmas perforados,

generalmente de material plástico. Su uso es hoy reducido pues crean problemas para una correcta
Figura26-3 Figura26-4 inyección de la vaina.
522 523
26.2.3 GATOS TABLA T-26.1
Son unos elementos esenciales de todo sistema de pretensado. Varían mucho Caudal de aceite 7,6 1/min
según su potencia y hoy día muchos de ellos disponen de un mecanismo auxiliar, P re sió n d e tra ba jo m áx im a 7 10 ba rs
(con bomba de baja presión) que em puja y clava las cuñas, antes de reducir la tensión R efrige ra ción In terc a m bia dor con m otor eléctric o y term ostato
de los tendones, reduciendo así la penetración de las mismas por acoplamiento del Válvulas Válvula de control del pistón principal
anclaje.
Válvula del pistón de empuje
Válvula de presión máxima
Válvula de descarga
Suministro eléctrico 3 fases
380 v + neutro + tierra
64 A, 50 Hz
Aceite Aceite hidráulico ISO 46
El funcionamiento genérico de un gato se indica en la figura 26-11.
FASE DIAGRAMA DESCRIPCIÓN
Sobre la placa terminal del anclaje

se coloca una pieza (A) destinada
GATO FREYSSINET TIPO C G A T O S T R O N G H O L D G - 5 00 a la realización del enclavado de
(Cortesía de Freyssinet) (Cortesía de C TT-Stronghold, S.A.) las cuñas, en la cual se enhebran
los tendones
Fi gu ra 26 -7 F ig ur a 26 -8
Las figuras 26-7, 26-8 y 26-9 muestran modelos de gatos y la 26-10 una bomba Se avanza el gato y los tendones
quedan sujetos por las cuñas del
de presión. El mando de los gatos se realiza mediante bombas que suelen funcionar con gato (B)
alta presión de aceite durante el tesado y como hemos dicho con una presión mucho
menor para clavado previo de las cuñas.
Se da presión al gato y se tesan
los tendones a la pieza y recorrido
prefijados
El mecanismo de enclavado (C)

avanza y empuja la pieza (A)
enclavando las cuñas del anclaje
Eliminada la presión del gato cesa

el apriete de sus cuñas
GATO y BOMBA MK4 BOMBA MK4

Se retira el gato que pasa a tesar
(Cortesía de Mekan o4, S.A.) (Cortesía de Mekano4, S.A.) otro anclaje
F ig ur a 26 -9 F ig ur a 26 -1 0
Figura26-11
524 525
El tipo de gato descrito es básicamente el general para el pretensado con
tendones, tanto adheridos como no adheridos.
FUERZA (UN) P ES O DE L DIAMETRO

TIPO DE INTERIOR GATO DE PUESTA
RG CABLE
ANCLAJE DE LA VAINA
70 •/. 80 % 100 % kg/m mm
7 K 13 899 1.027 1.284 5,60 50 K-100
7 K 15 1 .2 74 1 . 45 6 1.820 7.91 65 K-200
12 K 13 1.540 1.761 2.201 9,60 65 K-200
12 K 15 2 .1 83 2 .4 95 3 .1 19 1 3, 56 as K-350
19 K 13 2.440 2.788 3.485 15,20 85 K-350
19 K 15 3.457 3.951 4.939 21,47 95 K-500
27 K 13 3.467 3.962 4.953 21,60 95 K-S00
37 K 15 4 .7 50 5. 43 0 6 .7 87 2 9, 60 no K-700
27 K 15 4 . 91 3 5 .6 1 5 7.019 30,51 110 K-700
37 K 15 6.733 7.695 9.619 41,81 130 K-1.000
55 K 13 7.623 8.712 10.690 44,00 130 K-1 000
ANCLAJES MONOGRUPO DE FREYSSINET

(Cortesía de Freyssinet, S.A.)
F ig ur a 26 -1 3
GATO PLANO FREYSSINET
(Cortesía de Freyssinet, S.A.)
F ig ur a 26 -1 2 La figura 26-14 contiene detalles del anclaje MS de MK4
Para algunas aplicaciones especiales pero de gran interés, se emplean los

llamados "gatos planos" (fig. 26-12) que en definitiva son células de chapa que
incrementan su espesor al inyectarse aceite a presión en su interior. Sus aplicaciones
son muy variadas, tales como el pretensado contra macizos, el control de secciones de
apoyo, el levantamiento de vigas para cambiar aparatos de apoyo, etc.
En todo caso, el proyectista debe tener una información suficiente de los tipos de
gatos de posible empleo, pues sus características condicionan la separación y posición
de los anclajes en el proyecto, para permitir la operación del gato.
26.2.4 ANCLAJES
Es el elemento b ásico de todo sistema de preten sado y de acuerdo con la variedad
de sistemas existe una gama muy amplia de anclajes.
26.2.4.1 Anclajes activos

Como ya se dijo son aquéllos desde los que se tesa el tendón.
La figura 26-13 muestra un anclaje monogrupo del tipo Freyssinet y la tabla
adjunta contiene la información de la serie, que cubre un campo de fuerzas de L01= LONGITUD VAINA DE ACOPLE
pr ete ns ad o de sd e 1.3 00 a 10 .00 0 kN . L01= 200+0.2LR
LR= LONGITUD RECTA MINIMA
01, 02= DIAMETROS INTERIORES DE VAINA
ANCLAJES MS DE MK4
(Cortesía de Mekano4, S.A.)
F ig ur a 26 -1 4
526
Upo
Tipotanúta
3 -0.5* Ti 71
s
48
c
108 |
D
100
U
120
LA
400
¡91 02 M ohM m
4acu-mura Cuando el pretensado se realiza con barras (ver Capítulo 32), el anclaje se re at o
41 41 3.000
4- 0.5" T2 81 48 128 100 120 400 41 41 3.000 mediante tuercas, roscando las puntas de las barras. Estos sistemas son especialmente
5- 0.5- TO 91
7 •D.S" T4 105
48
48
145
162
105
115
120
' 120
600
600
48
51
45
51
3.000
3.000
indicados en tendones cortos, en los cuales los anclajes de cuñas conducirían a unas
c
9-0,5- T5 125 46 194 150 120 600 62 62 3.000 pérd ida s de fue rza mu y ele va da s. E n el cas o de bar ras lis as, los fab ric ant es suel en
12-0.5" TS 144 SO 220 175 125 900 72
« 4.000
disponer de procedimientos pa ra que las roscas en los extremos no reduzcan la capacidad
s 15-0,5- T7 161 55 2S4 200 130 900 85 85 4.000
19-0,5- T9 177 65 266 230 150 900 88 65 4.000 resistente de la barra. En el caso particular de las barras roscadas Dywidag, los resaltos
24 -0.5* T1S 196 66 300 350 ISO 1.200 90 90 4.S00
27-0.5* T13 219 73 320 395 160 1200 103 100 . 5 .0 00
per ten ece n a un m ism o fil et e de ro sc a (lo qu e ex ige un a lam ina ció n mu y esp eci al) y
31-0.5* T17
T2
225
82
BO 355 415 170 1200 103 100 5.000 pue den em pa lm ar se co n ma ng uit os . (Vo lve rem os so br e e llo en el Cap ítu lo 50).
3-0.6* 50 128 100 120 400 41 41 3.000
4-0.6* T3 94 50 145 105 120 400 48 45
5-0,6* T4 106 50 162 115 120 600 51 51
3.000
3.000
Las figuras 26-16 y 26-17 muestran dos sistemas de anclaje para pretensado con
rd 7-0,6*
9-0,6*
T5
T6
122
144
61
60
194
220
150
175
135
135
600
900
62 í 62 3.000 bar ras.
75 72 4.000
12-0,6* T7 165 72 254 200 145 900 85 85 4.000
15-0.6- T8 186 78 282 235 155 1200 93 90 4.500
19-0,6* TIO 200 94 314 230 170 1200 103 100 5.000
24-0,6* T14 245 95 375 340 170 1.500 110 110 5.000
27-0,6* T16 2S2 105 416 405 180 1500 ,15 115 5.500
31-0,6* TI 6 260 115 416 405 195 1500 120 120 6.000
ANCLAJES MS DE MK4
(Cortesía de Mekano4, S.A.)
F ig ur a 26 -1 4
Un sistema especial de anclaje es el indicado en la figura 26-15, del Sistema

BBRV, que emplea como tendón un conjunto de alambres paralelos, que van
remach ados en sus puntas, rec alcando sob re el anclaje. El sistema es especialmente útil
cuando se desea evitar la pérdida de fuerza que suponen los sistemas de cuñas.
TEND ONE S ESTAN DAR (C. R. = 1700 N/mm2)
TIPO NÚMERO SECCIÓN PESO C A R G A D I Á M E T R O I N T E R I O R V A I NA

OE DE DE ________ __ fmml____________ Cotas en mm
TENDÓN ALAMBR ES ( mm J) ( kg /ml ) R O T U R A M O N T A D O E N A E N F I LA R
_____________________________________________ íkN) FABRICA EN OBRA
35 7 *7 269 2,11 460 30 39
ANCLAJES de BARRAS MACALLOY

(Cortesía de Me kano4, S.A.)
F ig ur a 26 -1 6
500 10 2* 7 3.925 30,B0 6.670 100 f 115

800 16 2* 7 6.234 40,92 10.600 126 141
1.000 20 4* 7 7.850 61,61 13.350 141 159
1.200 24 6* 7 9.466 74,29 16.100 155 173
b)
TENDONES DE ALAM BRES. SISTEMA BBRV

(Cortesía de BBR, S.A.)
F ig ur a 2 6- 15
528 529
ANCLAJES Y MANGUITOS i T A PA DE IN Y EC C IÓ N
(— CABEZA DE ANCLAJE
,— PLACA DE REPARTO
l 4m i n a d e p r o t e c c i ó n
ANCLAJE ACTIVO PARA INYECCION DE ALTA

2 CORDONES DE 12,7mm PRESTACIÓN
CORDÓN ENCAPSUIAOO
DETALLE DE LA INYECCIÓN
Lista de anclajes y manguitos conectares
Tipo de armaduraposlesa Barrasroscada
SISTEMA VSLAB+™ DE VSL

Diámetronominal 26.S 32.0 36,0 26.5 32,0 36,0 (Cortesía de "THE VSL GROUP")
Códigoda laArmadurapoatesa 26G 32 G 36 G 26C 3 2C 36C 266 326 36E 26 0 32 0 360
F ig ur a 26 -1 8
Anclajesde placa nervadaA. cuadrada
Anclajesde placa nervadaB, cuadrada
Anclajes daplaca nervadaA. rectangular
Anclajesda placa nervadaB, rectangular
Anclajesde placamacizaS, cuadrada
26.2.4.2 Anclajes ciegos o pasivo s
Anclajesde placamaciza B. rectangular
Anclajede Campana A Tai como ya se indicó son aquéllos cuya única misión es exclusivamente la de
Anclajeda Campana B
Anclajede placaOH, A, B anclaje sin que sea necesario el tesar desde ellos.
Mangudo roscado
Manguito compensador
Mangudodetransición
ANCLAJES DYWIDAG
(Cortesía de Dywidag-Sistem International)
F ig ur a 2 6- 17
Para el caso particular del pretensado de forjados sin vigas se requieren anclajes
con soluciones específicas. Un ejemplo es el anclaje "TWO STRAND" para dos
cordones desarrollado por VSL. (Fig. 26-18).
ANCLAJE PASIVO POR ANCLAJE PASIVO BBR

ADHERENCIA VSL TIPO H (Cortesía de BBR, S.A.)
(Cortesía de "THE VSL GROUP") F ig ur a 26 -2 0
F ig ur a 2 6- 19
Las figuras 26-19 y 26-20 muestran dos sistemas.
530 531
2 6 .2 .5 ACO PLADO RES O EMPALM ES
correctamente previsto, pueden ocurrir problemas como los indicados en la figura
Surgen de la necesidad de em palmar tendones, bien por exc esiva longitud o más 26-23. Si no se tesa primero e inyectan las vainas de los tendones A y se espera a que
frecuentemente debido al proceso constructivo. aane resistencia la lechada, el tesado de los tendones B abollaría las vainas A.
O
TOBERA DE INYECCION
VIROLA TROMPETA
_ J ____ í) . 1
m
1500 PLACA DE EMPALME i *1 '
LR
F ig ur a 26 -2 3
EMPALME MC de MK4 ACOPLADOR VSL TIPO K
(Cortesía de Mekano4, S.A.) (Cortesía de "THE VSL GROUP") 26.4 CONTROL DE LA INYECCIÓN
F ig ur a 26 -2 1 F ig ur a 26 -2 2
La calidad de la inyección es de gran importancia para la durabilidad de la pieza
pret ens ada . Co mo he mo s dic ho, ex iste n dos tip os gen era les de iny ecc ión : Un o es el de
Las figuras 26-21 y 26-22 m uestran dos ejemplos. la lechada de cemento, que conduce a un tendón adherido al hormigón y otro es el de la
inyección con grasas solubles o productos similares que si bien protegen a la armadura
de la corrosión, no crean adherencia entre el tendón y el hormigón. El empleo de
26.3 CONTROL DE TESADO tendones no adheridos tiene campos específicos de aplicación, como veremos más
adelante. En lo que sigue nos referimos a las inyecciones con lechada de cemento.
El control de la operación del tesado se realiza simultáneamente por dos medios
diferentes. Las condiciones de la lechada se definen en EHE y en (26.3). Regularmente debe
comprobarse la viscosidad con el cono de Marsch y la estabilidad (exudación y
a) Fuerza ejercida por el gato. Todos los tipos de gatos llevan un manómetro variación de volumen) mediante el método expuesto en el Anejo 6ode EHE.
que medirá la fuerza ejercida en una escala graduada o en un indicador digital.
Es esencial disponer de un equipo de células de tarado para tárar La inyección de la lechada se realiza mediante una bomba de inyección. La
frecuentemente los gatos. figura 26-24
b) Recorrido de tesado. (Alargamiento del tendón). Se compara la medida real
en obra con el valor teórico. Este tema se desarrollará ampliamente en el
apartado 29.3.2 del Capítulo 29.
La forma de realizar este control es en general aplicando primero unac a r g a del
10% y midiendo el recorrido para el valor entre el 10% y el 100% de la fuerza
aplicada. El alargamiento real se ca lcula por proporcionalidad.
De acuerdo con EHE, la diferencia entre el alargamiento teórico y el reál no
superará el 15% pa ra cada tendón individual ni el 5% para el conjunto de tendones de
la sección. El alargamiento teórico debe ser calculado de acuerdo con la sección y el
módulo de deformación real del tendón. Para más detalles véase (26.2). El control dél
tesado debe quedar recogido en un Parte de C ontrol de Tesado.
El tesado de una estructura debe ser objeto de un plan previo, denominado Plan EQUIPO DE INYECCIÓN VSL
de Tesado. Ello tiene interés para el cálculo correcto de las pérdidas de fuerza de (Cortesía de "THE VSL GROUP")
pr ete nsa do co mo ve rem os en el Ca pít ul o 29. Per o ade má s, si el te sad o no esta F ig ur a 26 -2 4
532 533
muestra el equipo MX7 de STRONGHOLD, que con dos depósitos de mezcla permite 5 a 10 m/minuto. La consistencia de la inyección que rebosa por los tubos de purga
un bombeo continuo. Normalmente estos equipos pueden alcanzar presiones de 12 situados en los puntos altos debe ser igual que la que tiene en la boquilla de
15 atmósferas, aunque como veremos ésta no es la presión aconsejable usualmente El inyección.
caudal de bombeo suele oscilar según los modelos de 30 a 90 1/min.
Una vez llena la vaina y cerrados todos los tubos de purga debe mantenerse la
El empleo de la lechada tiene tres ventajas principales: pre sió n du ra nte m ed io m in ut o co mo m íni mo a u n mi nu to co m o má xim o, pa ra as eg ur ar
- Coloc a al tendón en un medio alcalino que le protege de la corrosión. la eliminación de huecos. Después de esto se cierra la boquilla.
- Solidariza al tendón, a través de la adheren cia tendón-lechada, lechada-vaina y En vainas superiores a 125/150 mm de diámetro, es conveniente, para compensar
vaina-hormigón, con el hormigón de la pieza, con ventajas importantes en el asiento plástico de la lechada, proceder a una segunda inyección dos horas después
cuanto a fisuración y tensión última de la armadura frente a otras soluciones de finalizada la primera.
- Al rellenar la vaina impide la entrada de agua en ella. Esta agua, aparte del En el caso de conduc tos verticales, para e vitar los problem as del asiento
riesgo de corrosión para el tendón, entraña en climas fríos el riesgo de que su plá sti co y la ex ud ac ió n, de be di sp on er se un re ci pi en te pr ov isi on al en la ca be za del
dilatación al congelarse fisure el hormigón que rodea la vaina.
Conviene que la inyección se haga antes de dos días a partir de la fecha en que
fue colocado el tendón y antes de 24 horas a partir de su tesado. Si se prevé la
necesidad de plazos más prolongados, debe aplicarse al tendón alguna protección, o
rellenar la vaina con grasa soluble que se lava con agua a presión antes de proceder a
la inyección.
Frecuentemente se usan agentes expansivos añadidos a la lechada, con el fir de
evitar la formación de coqueras o huecos, al menos de tamaño importante. Sin
embargo, la expansión no debe superar el 10%, ya que podría provocar la fisuración Figura 26-25
del hormigón que rodea la vaina. Debe controlarse que el momento en que se produce
la expansión asegure que se produce en la vaina y no en la mezcladora. tendón en el que se concentren estos fenómenos. (Fig. 26-25).El volumen de lechada
en este recipiente natu ralmente se retira al finalizar la inyección.
Todos los equipos de inyección poseen un sistema de filtrado de la lechada para
asegurar la eliminación de grumos. El proceso de inyección debe quedar siempre reflejado en un Parte de Control de
la Inyección.
Probablem ente la clave de la buena ca lidad de la inyección está en la relación A/C
de la lechada, que no debe superar el valor 0,45. En vainas muy grandes (superiores a El tiempo necesario para la inyección viene dado por la fórmula.
125 ó 150 mm de diámetro) por razones económicas de ahorro de cemento, suele
añadirse arena, es decir se inyecta mortero y no lechada. *L v
Tinv= — — P 6 -1]
La calidad y la facilidad de la inyección de pende de que las vainas sean realmente 1.OOOQ,
estancas. Si hay dudas deben comprobarse con aire comprimido o agua a presión. Esto
también sirve para detectar posibles obstrucciones y se debe realizar previamente al donde
enfilado del tendón en la vaina. Tiny = Tiempo total de inyección del tendón, en minutos.
En los puntos bajos del trazado del tendón deben disponerse llaves de purga para Av = Area de la sección transversal de la vaina en mm 2.
evacuar la posible agua antes de inyectar y que permiten, si es necesario, inyectar
desde los puntos bajos a lo largo de la vaina. Lv = L ongitud de la vaina en m.
En los puntos altos se disponen llaves de purga para e vacuar el aire y controlar la Qmy = Caudal de la bom ba de inyección en 1/min. (Para la presión
pr og re si ón de la in ye cc ió n, co m o ya dij im os . empleada).
Las boquillas de inyección se disponen en los anclajes y en el caso de tendones Un método práctico de controlar la inyección de una vaina, es redactar el gráfico
largos, en algunos puntos bajos, como hemos dicho, funcionando también como llaves que relaciona las presiones de inyección con la duración de la misma.
de purga.
La inyección debe comenzarse en cada tendón, con una presión del orden dé
0,3 N/m m2. Lentam ente se eleva la presión hasta un máximo de 1 N/m m2. Esto permite
una inyección sin huecos y con una velocidad de avance aceptable, del orden de
534 535
BIBLIOGRAFIA
BOQUILLADE
(26.1) H.P.5-79 "Rec omen daciones para la colocación y disposición de armad uras". ATEP.
Madrid, 1979.
(26.2) H.P.2-73 "Recom endacion es para la ejecución y el control del tesado de las armaduras
po st es as ". AT EP . M ad ri d, 19 73 .
(26.3) H.P.3-73 "R ecom endacione s para la ejecución y control de la inyección ". ATEP.
Madrid, 1973.
(26.4) GE RW ICK B.C. "Construction of prestressed concrete structures". Wiley-Interscien ce.

N ew Y or k, 19 71 .
10 20
LONGmjD TEÓRICA IN YECTADA (m)
F ig ur a 26 -2 6
Para el ejemplo de la figura 26-26, asimilando la longitud de vaina a 30 m y con

una bomba con Qínv - 50 Q/min, el tiempo total de inyección es, de acuerdo con [26.1]
11 752 30
j ¡ny
- — 4 ------------ = 2,65
’
minutos
' 1.000-50
Una inyección correcta sería la reflejada por la línea (A), o u na próxima a ella.
Una línea como la (B) indica una pérdida importante en el punto M.
Una línea como la (C ) indica que la inyección ha sido correcta pero hubo un
atasco en el punto N.
Una línea como la (D ) indica un atasco grave en el punto P y una presión
necesaria para la inyección, que supera la admisible.
Finalmente, una curva como la (E) indica que la lechada está perdiendo fluidez,
aunque la inyección es correcta.
Obsérvese que la posición de los puntos M, N, P sólo puede calcularse a partir del
volumen inyectado, información que suministra el equipo de inyección.
Para más detalles, véase (26.3) y (26.4).
536 537
CAPÍTULO 27
MATERIALES Y EQUIPOS PARA HORMIGÓN

PRETENSADO CON ARMADURAS PRETESAS
27.1 GENERALIDADES
Las piezas pretensadas prefabricadas presentan una de las características
esenciales para una prefabricación eficaz, como es la producción en serie de grandes
piezas igu ale s. P or es te mo tiv o, de sd e el pr in ci pi o del de sa rro llo de la té cn ic a del
hormigón armado, se comenzó a prefabricar piezas de este tipo. La aparición de la
técnica del pretensado con armaduras pretesas adherentes, en conjunción con el
desarrollo de mesas largas de prefabricación, favoreció aún más la aplicación de las
técnicas de prefabricación a este tipo de piezas.
Nos re fer im os es pe ci al m en te a l a p re fa br ica ci ón en ins ta lac io ne s in du st ria le s f ija s
que son las que permiten una producción realmente industrializada con una calidad
muy controlada y uniforme. La prefabricación a pie de obra en instalaciones
provi siona les, ca si nu nc a re pr es en ta un pr oc es o in du st ria liz ad o y no di fie re en cas i
ningún aspecto de la construcción “in situ”. No debe olvidarse tampoco que una
instalación industrial fija sólo produce piezas de garantía si simultáneamente emplea
proyecto s co rre ct os , in st al ac io ne s ad ec ua da s, y ma ter ia les y pro ce so s ef ic az m en te
controlados, lo cual no puede alcanzarse sin personal técnico altamente especializado.
2 7.2 P R E F A B R I C A C I Ó N G E N E R A L D E P I E Z A S P R E T E N S A D A S E N
MESAS
En lo que sigue, describirem os el proceso usual de fabricación en mesas de piezas
áe hormigón pretensado.
La figura 27-1 muestra unos esquemas típicos de mesas para fabricación de
piezas de ho rm ig ón pr ete ns ad o en líne a.
539
En los principios de esta técnica, como las piezas tenían cuantías bajas y
dimensiones reducidas, ello conducía a que al anclar los tendones (fig. 27-1 a)) ]a !
1“ I
h
resultante de las fuerzas de pretensado fuera de escasa importancia, y la altura del L,
J
T
c.d.g. de los tendones tesos sobre la mesa era también reducida. Ello permitió que 1 r 1
J I
f
L< |7](T]
durante un cierto tiempo las cabezas de anclaje pudieran solucionarse con perfiles
metálicos hormigonados en macizos autorresistentes.
Lq
El crecimiento de la fuerza de pretensado y de la altura de su resultante sobre la PLANTA DE NAVE
mesa fueron creciendo continuamente y la solución 27-1 a) resultaba muy costosa y
técnicamente problemática.
U/—: \ UU / " \UU/' \ U I”
SECCION LONGITUDINAL
TIPOS DE MESAS DE PRETENSADO
SECCION TRANSVERSAL
F ig ur a 27 -2
los fosos extremos de los macizos, sino a otros intermedios, de ancho parcial. En el
caso de la figura 27-2 permite por tanto tesar tendones de longitudes L v L0, L y L4, Ls
y Lq. Esto es de especial interés, ya que a veces en una mesa de este tipo, es necesario
fabricar un número de piezas cuya suma de longitudes no alcanza la total de la mesa.
Tesar los tendones entre cabezas alojadas en los fosos extremos, obliga como veremos
C) MESA UNIVERSAL
a dejar tendones cortados a longitudes inferiores a LQ, que deben ser enrollados en
espera de una futura utilización mediante acopladores de empalme, que más adelante
F ig ur a 27- 1 describiremos.
La solución fue la creación de las llamadas “mesas ligeras”, que equilibraban el

tiro de los tendones anclados con la transmisión por la solera de hormigón de la mesa,
que unía los dos macizos extremos (fig. 27-1 b))1.
Esta solución resolvía técnicamente el problema planteado, pero exigía dejar
hormigonados a lo largo de todo el ancho de la mesa, en ambos macizos extremos*
pe sa das cab eza s d e a ncl aje , pre par ada s par a la m áx im a d ens ida d d e te ndo nes po r metro
de ancho de mesa. Esto era naturalmente muy costoso.
Una segunda evolución fue la llamada “mesa universal”. Su diferencia con la
versión anterior es que las cabezas metálicas de anclaje no están hormigonadas en la
mesa, sino que son independientes de ella.
Se dispone el número de cabezas necesario para anclar la densidad de armaduras
pr eci sa en cad a zon a, en el anc ho de la me sa. La s cab eza s se gua rda n en un almacén, F ig ur a 27 -3 F ig ur a 27 -4
y se colocan en la mesa sólo las necesarias. Las cabez as se alojan en fosos transversales
extremos (fig. 27-1 c)).
Las figuras 27-3 y 27-4 muestran una vista general y detalles de una cabeza de
Una tercera evolución es la “mesa universal de longitudes múltiples”, que se este tipo. Obsérvese que los tendones se anclan en anclajes terminales (“barriletes”)
indica en la figura 27-2. La mesa permite colocar cabezas de anclaje, gracias no sólo a que apoyan en una placa de acero (placa de destesado). Esta se apoya mediante tres
tomillos de punta avellanada en las propias cabezas. Aflojando los tomillos se
produ cirá, en el mo me nto ade cua do, la tra nsf ere nci a de la fue rza de pr ete ns ado de las
E l s i s te m a e s c o n o c i d o e n i n g l é s c o m o “ l o n g l i n e ” cabezas de anclaje provisional a las piezas.
540 541
acopladores o “barriletes” de empalme (fig. 27-8) fabricados sobre la idea de los de
anclaje simple (fig. 27-7).
Los tendones, de extremo a extremo de la mesa, ocupan la posición
correspondiente a su situación en la sección transversal de la pieza de hormigón. Sin
embargo, tal como se indica en la figura 27-9, al llegar a las cabezas de anclaje los
tendones deben converger en dirección vertical y horizontal para llegar a las placas de
destesado. Ello se consigue por
p p
F ig ur a 27 -5 F ig ur a 27 -6
La figura 27-5 presenta una vista general de una mesa de este tipo, en este caso
al aire libre. Como puede verse se están fabricando piezas en K y se emplean para las placas de desvío, P, u na delante de cada cabeza. L os tendones atraviesan las placas
anclar los tendones cuatro cabezas con seis placas de destesado. por tal adr os de bo rde s av ell an ad os y e n e llo s se de sv ían ha cia la cab ez a. El de sv ío de be
ser moderado, generalmente no sup erior a 20°, y en todo caso produce una pérdida de
Las m esas de este tipo son m uy versátiles y perm iten la fabricación de piezas de tensión en el tendón.
características muy diversas. En ellas pueden instalarse equipos específicos como el
indicado en la figura 27-6, destinado a la fabricación de viguetas. El anclaje de los La figura 27-10 muestra una placa de desvío. Como está sometida a esfuerzos
tendones en las placas de destesado (fig. 27-4) se hace mediante anclajes metálicos importantes debe ser rígida y estar debidamente amostrada.
(fig. 27-7) parecidos a los que se usan para armaduras postesas, pero que en este caso
llevan
Dt OESItiAO
F ig ur a 2 7- 10 F ig ur a 27 -11
F ig ur a 27 -7 F ig iirci 2 7 ~8 La separación de piezas se hace con placas separadoras, que llevan no sólo los
taladros de los tendones empleados en un caso concreto, sino taladros en todas las
además un muelle que, tan pronto como el gato reduzca fuerza sobre el tendón, pos ible s po sic ion es de te nd on es qu e se de n co n e l p erf il de pi ez a ad op ta do (fig. 27- 11) .
enclavan las cuñas, reduciendo la penetración. El tesado de los cordones se realiza con gatos especiales ya que con las mesas
Antes hem os hablado de que la mesa universal de longitudes múltiples redúce la actuales, que sobrepasan ya los 300 m de longitud, el recorrido de tesado puede
necesidad de tesar tendones con la longitud de m esa com pleta para fabricar P*ez^s alcanzar los dos metros. No sirven por tanto los gatos habituales de tesado de
no ocupen la longitud entera. Ello reduce también, si bien no elimina, la necesidad ae armaduras postesas. (Fig. 27-12). De todas formas, en mesas muy largas es frecuente
utilizar trozos de tendón, ya cortados, es decir no procedentes de rollos. Para poder os el tesado de los tendones por ambos extremos. Un sistema interesante es el que se
usar en tesados largos, en particular para longitud completa de mesa, se usan o indica en planta en la fig. 27-13.
542 543
Figur a 2 7-15 Fig ura 27- 16
Las placas separadoras deben quedar libres entre sí, pues cualquier unión entre
ellas, haría que al destesar la mesa, las zonas de tendone s entre placas no se destesarán.
Los moldes se apoyan en travesaños, apoyados a su vez generalmente en placas
de elastómero con el fin de que no se pierda energía de vibración a través de la solera.
Una vez cortados los tendones, la pieza está ya completamente pretensada y
pue de se r tra sl ad ad a al pa rqu e.
A 1 °1 1 Q* I °a w Qj 1 Q„
Figura 27-1 7
El proyecto de los m oldes es un asp ecto de especial interés y de gran importancia
y requiere proyectistas muy especializados y con la adecuada experiencia práctica. La
figura 27-14 muestra un molde extensible en cantos y anchos para piezas en %. Las Sin embargo es necesario considerar la situación indicada en la figura 27-17: Si
pe nd ie nt es tra ns ve rsa les del ne rv io de l 5% , son un m ín im o ab so lut o ya qu e ap es an de l destesamos en el extremo A de la mesa, y la fuerza total de pretensado después de la
agente desencofrante empleado, se produce una apreciable resistencia al despegue e transferencia es P[t a esa fuerza se oponen las fuerzas de rozamiento entre moldes y
izado de la pieza con el puente grúa. mesa, iguales a p Q p p Q v p Q y ... siendo p el coeficiente de rozamiento y Q r Q7, Q ...
los pesos de cada pieza con su molde. El empleo de placas de elastómeros reduce
El molde debe proyectarse siempre pensando que la pieza, al transferirse el mucho el valor de p. En todo caso, en la pieza /, la fuerza de pretensado realmente
pr et en sa do , to m a l a co nt ra fle ch a c or re sp on di en te . Si el m old e im pi de es a d efo rm aci ón,
impide también la transferencia del pretensado al hormigón. Por tanto en secciones en i=j-l
las que los moldes coarten la contraflecha, es necesario hacer moldes que permitan actuante en el extremo M N de la pieza J es P — p Q. que puede ser muy inferior
desmóldeos parciales previos a la transferencia. Las figuras 27-15 y 27-16 muestran i=l
casos reales. a Pr Deben cortarse tendones empezando por A y hacia el otro extremo, de forma que
Los moldes se colocan en segmentos de cierta longitud, en contacto entre vayan desapareciendo rozamientos.
extremos, materializando un molde continuo de extremo a extremo de la mesa. La En mesas muy largas puede ser necesario destensar por ambos extremos y
división en piezas se realiza colocando placas (fig. 27-11) separadoras, por parejas, a comenzar a cortar tendones también por ambos.
distancias de 8 a 20 cm según el canto y tipo de pieza. Es necesario considerar que el
corte de tendones se realiza normalmente con cizalla y hace falta por tanto un cierto Realizada la operación de destesado y corte de alambres, la única operación que
espacio entre placas separadoras para poder introducirla. resta es el transporte de la pieza al parque. Aunque en el parque seria una medida
544 5 45
excelente prolongar el curado por riego durante algunos días, cuando se aplica el mecanismo de este fenómeno ha sido estudiado por ALEXANDERSON (27.2).
tratamiento por vapor es bastante corriente que no se realice ningún curado Téngase, además, en cuenta que, durante el tiempo de espera, la temperatura del
complementario y los resultados son aceptables. hormigón ya sube apreciablemente, debido a las reacciones químicas del fraguado.
Todas las operaciones descritas pueden realizarse aproximadamente en los
siguientes tiempos (en la práctica, algunas operaciones se solapan):
Limpieza de mesa ..................................................................................... 0,5 h

Colocación y alineación de m oldes .....................................................
Aplicación de desencofrantes ...............................................................
} 3 ,0 h
Colocación de armaduras .......................................................................
TIEMPOS (HORAS)
Tesado y anclaje ........................................................................................
Vertido y compactación del h ormigón ............................................... 1,5 h Figura 27-18
Período de espera ...................................................................................... 2,0 h

No pu ed e es ta bl ec er se un tip o ge ne ral y úni co de cic lo de tra ta mi en to po r v apo r,
Tratamiento por vapo r ......................................................................... 6,0 h pue s es tá fu er te m en te co nd ici on ad o po r la lo ng itu d de la me sa , la di sp os ici ón de
Destesado y corte de armaduras .......................................................... 0,5 h moldes y, sobre todo, por el tipo de cemento. Un cambio de tipo de cemento obliga a
reestudiar el ciclo. En general, el curado al va por permite alcanzar, en pocas horas, la
Transporte de piezas a parque ............................................................... 2,0 h resistencia que con un curado normal se alcanza en una semana. Puede producir una
TO TA L 15,5 horas reducción muy ligera de las resistencias a largo plazo. Véase (27.3) y (27.4).
No rm al me nt e, du ra nte la ba ja da de te m pe ra tu ra de l ho rm ig ón y an tes de que la
Resulta posible, pues, realizar un ciclo de fabricación diario, con lo que se consigue misma se iguale de nuevo con la del ambiente, se procede a la transferencia, es decir,
un rendimiento muy elevado de la instalación. En algunos casos, incluso en países muy al paso de la fuerza de pretensado de las armaduras ancladas en la cabeza de la mesa,
industrializados y con climas fríos, no se aplican tratamientos térmicos, empleándose al hormigón, mediante el anclaje por adherencia. La operación se realiza mediante el
cementos de muy alta resistencia y un ciclo de fabricación de dos a tres días, según la destesado, actuando sobre los tomillos de las placas de destesado o sobre los gatos de
estación del año. La situación en este tema es muy dispersa de unos fabricantes a otros. cabeza de mesa, según el tipo de instalación. Es esencial que la operación se realice
Un método que puede resultar interesante en épocas largas en zonas amplias de lentamente para evitar cualquier efecto dinámico en la operación de anclaje, que, como
pa íse s cá lid os es el cu ra do m ed ia nt e el ca lo r del sol, cu br ie nd o las pie za s con plá stic os veremos, aumentaría de forma importante la longitud de transmisión, reduciendo la
transparentes. El sistema ha sido empleado con éxito en Israel (27.1). eficacia del pretensado1. (Véase el Capítulo 32).
Los métodos de tratamiento térmico pueden ser muy variados, pero describiremos De todas formas, debe siempre enjuiciarse con cuidado cualquier proceso de
solamente el de calefacción por vapor a presión atmosférica, por ser el de empleo más transferencia teóricamente “instantánea”. Si los tendones son cordones de siete
generalizado, ya qu e une las ventajas de una gran flexibilidad de aplicación con las de alambres y se cortan con sierra, el corte paulatino de los alambres incrementa
un curado húmedo. fuertemente la tensión de los restantes, que experimentan alargamientos absolutos
apreciables, que al referirse a longitudes vistas de tendón de 8 a 20 cm suponen
En esquema, el sistema consiste en una caldera de producción de vapor y un grandes alargamientos unitarios, con lo que la transferencia no debe considerarse
sistema de tuberías que se disponen a lo largo de la mesa, con perforaciones pars la realmente instantánea.
salida de vapor situadas a distancias calculada s para obtener una distribución uniforme
de temperaturas. Tanto las piezas como las tub erías se disponen bajo un túnel formado La razón de realizar esta operación durante la bajad a de temperatura y no al final
con lonas o plásticos para concentrar el vapo r en contacto con las piezas a un volumen de ese período reside en el interés de introducir compresiones en el hormigón antes de
reducido y evitar costes inútiles. El tratamiento se indica en la figura 27-18 y se su enfriamiento com pleto para evitar la tendencia que de otra forma tendrían las piezas
compone de un tiempo de espera desde la colocación del hormigón, una subida de a Asurarse por tracción. (Véase el Capítulo 29).
temperatura a un ritmo de unos 20/30 °C por hora, un período a temperatura constante
y un período de bajada de temperatura.
El tiempo de espera es esencial, pues una aplicación prematura del vapor puede
2 Antes de realizar la transferencia, debe verificarse, mediante la rotura de probetas curadas en el
pr od uc ir re du cc io ne s gra nd es e irr ec up era bl es de la re si st en ci a del hor mi gó n. El mismo ambiene que las piezas, que se ha alcanzado la resistencia necesaria en el hormigón.
546 547
2 7 .3 E M P L E O D E M Á Q U I N A S D E E N C O F R A D O D E S L I Z A N T E
Estas máquinas, conocidas habitualmente como “ponedoras”, permiten fabricar
sin moldes fijos.
En el caso particular de las piezas pretensadas, la máquina, que lleva incorporada
una tolva de alimentación (fig. 27-24), recorre la mesa desde una cabeza a la otra. Los
alambres son mantenidos en posición por una guía situada en la parte frontal de la
máquina.
Los perfiles de posible producción se indican de manera orientativa en la figura 27.25.
F ig ur a 2 7 -1 9
© hqloeaoora
La figura 27-19 indica la carga en camión en la nave, para un transporte directo a © T O LV A
obra, lo cual no es lo normal pero se realiza a veces. Usualmente la pieza se almacena © VIBRADORES
en parque y el manejo se realiza con puentes grúa, pórticos o plumas según los casos © PERFILADORA
(figs. 27-20 y 27-21). © B A S TI D OR
© C A R R IL E S
© APOYOS ELASTICOS
© MESA DE MOLDEO
F ig ur a 27 -2 4
nuil mui mnn

F ig ur a 2 7- 20 F ig ur a 27 -2 1
El proceso descrito es el más general que cabe. En muchos casos, especialmente

en los casos de fabricantes de una sola línea de productos, el proceso particular se
simplifica mucho. Las figuras 27-22 y 27-23 indican vistas de una mesa de fabricación
F ig ur a 27 -2 5
exclusiva de losas.
La calidad es satisfactoria, ya que no sólo la superficie superior, sino también las

laterales, quedan rugosas, permitiendo una excelente adherencia al hormigón “in situ”,
mejor que si esas superficies hubieran sido moldeadas. El proceso fabrica una pieza
continua de uno a otro extremo de la mesa, ya que no hay separadores. Una vez
realizada la transferencia, se procede al corte de las piezas (hormigón y armaduras)
mediante una sierra de disco de diamante, viajera a lo largo de la mesa.
Obsérvese que este procedimiento no produce, de manera apreciable, anclaje por
impacto, ya que no hay físicamente ningún tramo de alambre desnudo entre una pieza
y la contigua.
F ig ur a 27 -2 2 F ig ur a 27 -2 3
El sistema es igualmente aplicable a piezas de hormigón armado fabricadas en
línea. La velocidad de avan ce de las máquinas oscila de 1 a 1,5 m/minuto, según las
Una exposición general del sistema puede seguirse en (27.5). marcas y tipos de perfil y según la plasticidad del hormigón que se emplee.
548 549
El ciclo de producción, excepto en lo alterado por la ausencia de moldes, es el
mismo indicado en 27.2.
2 7 .4 P I E Z A S F A BR I C A D A S P O R E X T R U S I Ó N
El procedimiento de extrusión se realiza actualmente con maquinaria muy
especializada. Esencialmente consiste en compactar un hormigón de muy baja relación
agua/cemento y de reducido descenso de cono, mediante husillos sin fin que
comprimen y hacen avanzar el hormigón en los moldes.
La figura 27-26 representa una máquina de este tipo. El producto más habitual
obtenido por extrusión es la losa alveolar (Hollow-Core). En la figura 27-27 se
representan perfiles de posible fabricación con la máquina ELEMATIC EL 900 E.
CAPÍTULO 28
iflO-OPj ro n
a) 4/500
PROPIEDADES GENERALES DEL HORMIGÓN.
DEFORMACIONES. FLUENCIA. RETRACCIÓN.
■QQHQ.i n o n .c o TEMPERATURA
o a a a o o
e) 6/200
28.1 GENERALIDADES
En lo que sigue se expone un conjunto de propiedades del hormigón relacionadas
Máquina para producir piezas Figur a 2 1-21 con su resistencia y deformación. Se analizan en particular las deformaciones por
por extrusi ón. Model o fluencia, retracción y variaciones de temperatura. Estos temas serán completados más
ELEMATIC EXTRUDER adelante, en especial en el Capítulo 31.
EL 900 E de PCE Engineering La documentación que aquí se incluye es bastante más amplia que la que figura
(Cortesía de PCE Engineering) en EHE y procede, básicamente, de estudios del CEB. En particular se ha
Figur a 27-26 pro fu nd iza do tan to en el pr ob le m a de las de fo rm ac io ne s co m o en las mo di fic ac io ne s
introducidas en su determinación por estar sometida la p ieza a temperaturas
diferentes de la estándar de 20 °C.
BIBLIOGRAFÍA
(27.1) JAEGERM AN, C.H.; PUNDAK, B.; RAVINA. “Métodos de curado acelerado para 2 8. 2 R E S I S T E N C I A S Y MÓ DULO DE DEFO RMACIÓN DEL
elementos de hormigón prefabricados en un clima cálido”. VII Congreso Internacional HORMIGON
de Prefabricados de Hormigón. Barcelona, 1972.
(27.2) ALEXAN DERSON, J. “Efectos físicos del curado térmico del hormigón”. VII 28.2.1 RESISTENC IA A COMPRESIÓN
Congreso Internacional de Prefabricados de Hormigón. Barcelona, 1972.
La resistencia a compresión se especifica en los proyectos según su valor
(27.3) “Accelerated curing of concrete at atmospheric pressure. State of the Art” ACI característico f c¡., medido en probetas cilindricas de 15 cm de diámetro y 30 cm de
517.2R-80. altura, curadas a no menos del 95% de humedad relativa y a 20 ± 2 °C y ensayadas en
(27.4) “Acceleration of concrete hardening by thermal curing”. F.I.P. March 1982. estado saturado1.
(27.5) FOGARAS1, G. “Prestressed concrete technology”. AKADE MIAI KIADÓ. Budapest, 1 Por supuesto, la estructura real suele estar en otras condiciones. Volveremos sobre todo esto más
1986. adelante.
550 55 1
En lo anterior se entiende por valor característico el asociado a un 95% de nivel
de confianza, es decir, corresponde a aquel valor por debajo del cual sólo es esperable donde el canto h viene expresado en mm y como f ctn ./ se tiene
que caiga un 5% de la población. Ampliaremos esto en el Capítulo 31. 0,21 cr'm"’
_ / 16,7 5 + fe0-7 \
Jck.flex ~ 1)43 \ ^0 7 j fctk.mn
28.2.2 RESISTEN CIA A TRACCION
[28.5]
Salvo que se indique otra cosa esta expresión se refiere a la resistencia a tracción
axi l1. Manejaremos un valor límite su perior y un valor límite inferior, ambos La fórmula [28.5] se representa en la figura 28-1.
entendidos como valores característicos.
U,n<n= 0.21 [28.1]
fck,,,<b = ° ¿ 9 i{ K k [28.2]
fck, flex
Estos valores corresponden a niveles de confianza de 0,95 y 0,05,
fctk, mín
respectivamente.
En sentido estricto, deberíamos, como en el caso de la resistencia a compresión,
emplear un valor medio. Este puede ser estimado mediante la fórmula 100 200 300 400 500 600 700
h (mm)
/™ = 0,30 [28.3]
Figura 28-1
([28.1], [28.2] y [28.3] vienen expresadas en N/mm2). En la Tabla T-28.1 figuran
los valores correspondientes. Dada la escasa variabilidad de la relación puede adoptarse, simplificadamente
TABLA T-28.1
Clases de fck .fl ex = 0 , 3 9 ^ f \ k [28.6]

H-12 H-16 H-20 H-25 H-30 H-35 H-40 H-45 H-50 H -6 0 H -70 H -80 H-100
hormigón
fck 12 16 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 100 que corresponde aproximadamente a un canto medio de 300 mm.

fctm 1,6 1,9 2,2 2,6 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1 4,6 5,1 5,6 6,5
2,0 2,2 2,4 2,7 2,8 3,5 3,8 4,4 Otra expresión, debida a FAVRE y sus colaboradores (28.1), es
fctk,mín 1,1 1,3 1,5 1.8 3,1
fctk,máx 2,1 2,5 2,9 3,3 3,8 4,2 4,7 4,9 5,4 6,1 6,8 7,4 8,6
/rt,^ = (°>6 +4t

yh [28.7]
Para el cálculo de flechas en piezas sometidas a flexión, la resistencia que debe
manejarse es la resistencia a flexotracción. Este valor está fuertemente influido por donde f am es la resistencia media a tracción axil y h el canto en metros.
muchas variables, en especial por el canto de la pieza.
El MODEL CODE indica la fórmula general siguiente: Con fam = °.3 ° v V t >según [28.3], para hmedio= 0,3 m, se tiene
f = f { 16 >75 + h°J )
Jck.flex Jcun \ j qj J
[28.4] fck jle x ~ 0 . 3 0 f P ck [28.8]
1 No existe norma española para su determinación. Puede usarse la Norma RILEM CPC 7. valor semejante a [28.6].
552 553
28.2.3 MODULO DE DEFORMA CION Lo anterior es válido, como hemos dicho para árido cuarcítico. Si el árido es de
otro tipo, los valores anteriores de Ec y E ci deben multiplicarse por el coeficiente cc^
Para hormigón con árido cuarcítico, el módulo de deformación puede ser indicado en la ta bla T-28.2.
estimado mediante la fórmula del CEB
TABLA T-28.2
E ci = 10. 000 f 1/3 1 [28.9]
ÁRIDO VALORES DE a
Para el cálculo de flechas y otros propósitos es m ás lógico referirse al valor medio CUARCITA 1
de la resistencia que de acuerdo con el MO DEL C ODE 90 puede estimarse mediante ARENISCA 0,70
la fórmula
CALIZA NORM AL 0,90
fcm ~ f c k + 8
DENSA 1,2
donde f cm y f ck deben expresarse en N/mm 2 2.
<o OFITA, BASALTO, Y OTRAS POROSO 0,9
Adoptando de acuerdo con el MODE L COD E la relación f cm = f ck + 8 , se obtiene ROCAS VOLCÁNICAS NOR MAL 1,2
<2>GR ANIT O Y OTRAS RO CAS PL UTÓN ICAS 1,1
Ec i= 10.000 (/,, + 8 )i* [28.10]
DIABASAS 1,3
donde f ck y E d vienen en N/mm2. (1) En este grupo se incluyen rocas com o lariolita , dacita, andesita y ofita. Las rocas pertene cientes a este
grupo (ofita, basalto y otras rocas volcánicas) presentan normalmente una baja porosidad y elevada
[28.11] es la expresión adoptada por EHE.
densidad, pero pueden presentarse casos con porosidades relativamente altas, reflejadas por ejemplo
Eci es el valor del módulo tangente. P ara cálculos simplificados en los que no se en coeficientes de absorción del 3,5% ó superiores. Por ello, la tabla indica, además del valor 1,2 para
consideren las deformaciones plásticas instantáneas, puede tomarse el módulo secante el caso normal, el valor 0,9 para el caso de porosidad elevada.
(2) En este grupo se incluyen rocas como la sienita y diorita.
E \i = 8 . 5 0 0 = 8.500 ( f ck + 8 )' [28.11]

Recuérdese que/.¿.corresponde a probeta en estado saturado1.
En la figura 28-2 se representan ambas expresiones y también la adoptada por el
EURO CÓD ICO EC-2, que sustituye el coeficiente 8500 por 9500. 28.2.4 DESARROLLO DE LA RESISTENCIA A COMPRESIÓN CON EL TIEMPO
El valor de f ck a una edad determinada, depende de muchas variables, en
H +- 4- pa rti cu lar del tip o de ce me nto , la te m pe ra tu ra y la hu m ed ad am bie nte .
3,-90
m i? * Para T - 2 0 ° C y H R > 95%, la variación de resistencia con el tiempo viene dada por
E
E fcm W ~ Pee (?) fc m, 28 [28.12]
2 20.000
siendo
p cc (t) = e ‘' ¡ ' - ( f r l [2 8 .1 3 ]
o 10 20 30 40 50
y, por tanto,
fCK (MPa) (PROBETA CILINDRICA)
Figur a 28-2 L ,(t) [28.14]
1 Para muchos casos interesa el c’alculo de Ea en función del valor m edio de la resistencia a
compresión del hormigón.
1 El paso de saturación a estado seco en el hormigón supone un aumento de resistencia del orden del
2 Esta fórmula está deducida a partir de extensas inves tigaciones experime ntales y es preferible a la
20% y una reducción de £ n-del orden del 10%.
adoptada desde los años 60 por la normativa españo la, incluso hasta EH-91.
555
554
donde 28.3 DEFORMACION ES DEL HORMIGÓN
fcm,28 = R esistencia media a compresión a 28 días en condiciones normalizadas Su cálculo es de gran importancia para muchas cuestiones, pero en especial para
fcm (t) = Resistencia media a compresión a la edad de t días.
una evaluación correcta de las pérdidas de tensión en las piezas pretensadas. La
tabla T-28.3 contiene una clasificación general.
t = Edad en días, corregida en su caso de acuerdo con [28.14],
s = Coeficiente dependie nte del tipo de cemento.
TABLA T-28.3
5 = 0,20 para cementos de alta resistencia y endurecimiento rápido (Se
entienden como tales los de las clases 42,5 R, 52,5 ó 52,5 R) DEPENDIENTES DE LA TENSIÓN INDEPENDIENTES
DE LA TENSION
s = 0,25 para cementos de endurecimiento normal o rápido. (Los de DEFORMACIONES INSTANTÁNEAS DIFERIDAS (fluencia)
clase 32,5 R y 42,5). Reversibles Elásticas Elásticas diferidas Termohigrométricas
s = 0,38 para cementos de endurecim iento lento. (Los de clase 32,5) Irreversibles Remanentes Plásticas diferidas Retracción
Si la temperatura del hormigón es distinta de 20 °C, en algún periodo, la edad t en

[28.12] debe sustituirse por una edad corregida tT , que viene dada por la fórmula D ef or m ac io ne s re ve rs ibl es
Son aquéllas que, al cesar la tensión que las ha producido, se recuperan bien
instantáneamente (elásticas), o bien de forma diferida.
i=n 4.000
13,65
tT 273 + T (.Ati) D ef or m ac io ne s irr ev er sib les
i=i [28.15]
Son las que se producen bajo el efecto de las tensiones, bien en forma instantánea
donde (plasticidad instantánea), bien a lo largo del tiempo (plasticidad diferida).
tT = Temperatura corregida. D ef or m ac io ne s de f lu en ci a
Es el aumento en el tiempo de las deformaciones producidas por tensiones
T(Át¡)= Temperatura durante el período At¡.
pe rm an en te s. A ba rca , pu es , tan to la el as tic id ad di fe rid a co m o a la pl as tic id ad dif eri da .
At¡ = Tiempo durante el que actúa la temperatura T(At¡). Frecuentemente, se considera incluida también la plasticidad instantánea, ya que ésta
no se produce realmente de tal forma.
La expresión [28.15] es la adoptada por el MO DEL CODE 90. Está basada en el D efo rm ac io ne s te rm oh ig ro m étr ic as
concepto de madurez, pero deducido a partir de las teorías de activación de energíá
Son las producidas en el hormigón endurecido por los cambios de temperatura y
pa ra la hi dr at ac ió n de l c em en to. Es un a v er si ón m uc ho m ás pe rfe cc io na da del con cep to
de madu rez que la clásica, pero, al igual que ésta, sólo es aplicable a cem entos portland humedad.
o a lo sumo con bajos contenidos de adición. Véase la referencia (28.2). D ef or m ac io ne s de re tra cc ión
Son las sufridas por el hormigón durante su período de endurecimiento.
28.2.5 DESARRO LLO DEL MÓD ULO DE DEFORMACIÓN CON EL TIEMPO
Para una edad t, diferente de 28 días, el módulo de deformación puede estimarse 2 8. 4 F L U E N C I A , R E T R A C C I Ó N Y T E M P E R A T U R A
mediante la fórmula
La deformación total en el instante t, de un hormigón sometido a carga en el
E ci (t) = $ E ( t ) E ci [28.16] instante t0, bajo u na tensión constante a c (t 0), se descompone de la forma siguiente;
siendo £c (t) = Ec¡ (t0) + £cíp(t) + Ec s (t ) + Ec J [28.18]
PE (t) = [ P cc ( t ) f [28.17]
donde
eci(t0) = Deformación instantánea bajo carga.
donde ¡3cc (t) viene dada, como vimos, po r [28 .13 ] co n análogas consideraciones a la§
que allí se hicieron para el caso de temperaturas diferentes a 20 °C y tipo de cemento. E (t) = Deform ación de fluencia hasta el instante t > t0.
556
£cs (r) = Deformación de retracción hasta el instante t > t0. <l>0 =<t>HR'P(fan)'P(to) [28.23]
ec T = Deformación debida a la variación térmica. siendo
0 = 1 + i£íLZ Í/L [ 28 .2 4]
28.4.1 FLUENCIA
9,9ef w
Para tensiones inferiores a 0,45 f au (tj , puede aceptarse proporcionalidad entre la
tensión y la deformación de fluencia 1.
P (fJ = A ^ = ^ [28.25]
Para una tensión <7c (t 0) aplicada en el instante t0 y mantenida constante, en Vri+ 8
el instante t > t0, se tiene:
M í o) P (t0) = ------ ' ------- [28.26]

£c<p(t.t0) = £ <P ( V a ) [28.19] 0 , 1 + (go .2
ci.28
donde: con los significados siguientes:

<p(t, t j = Coeficiente de fluencia. HR = Humedad relativa dei ambiente en que está situada la estructura, en %.
E ci2S = Módu lo de deforma ción a 28 días a 20 °C y HR > 95% obtenido 2AC
mediante [28.10]. ef = Espesor ficticio = siendo A el área de la sección transversal de la
J it
1 pie za y a la part e de per íme tro qu e está en con tac to con la atm ósfe ra,
[28.20] (¿y en mm),
E ' , i ( h j)
f an = Resistencia del hormigón a 28 días de edad en probeta y condiciones
estándar.
que puede ser representada simbólicamente por
t0 =; Instante de la puesta en carga, expresado en días a partir de la fecha de
ec<f(t, t 0) = a c (t 0) J ( t , t0) [28.21] hormigonado. (t0 se corrige, si ha lugar, de acuerdo con [28.16] y [28.29]).
donde:
j (t, t j = Función fluencia, que proporciona la deformación total diferida por (La edad t de cálculo, no se corrige en ningún caso).
unidad de tensión.
E ’c¡ (t j = Módulo de deformación a la edad % c alculado con la expresión En la fórmula [28.22], el factor ¡3c (t - t j viene dado por
[28.17],
E ’d = Módulo de deformación a 28 días medido en probeta y condiciones
&fí-0 = [28.27]
estándar. Ph + t-f0
El coeficiente de fluencia (p (t, f(¡) pue de esti mar se par a T - 20 °C y cualquier
humedad relativa mediante la expresión2 siendo
<j>(t,t0) = <p0 P l : ( t - t 0 ) [28.22]
donde HR [28.28]
150 1 + 1,2 • - + 250 < 1.500
100 100
1 D e b e p r e s t a r s e a t e n c i ó n a q u e c o n l os s is t e m a s a c t u a l e s de c á l c u l o , e s p e c i a l m e n t e si l o s c o e fi c i e n te s
d e p o n d e r a c i ó n y ( se reducen a valores próximos a los mínimos permitidos y se utilizan cuantías con los mismos significados anteriores.
pr óx im as a la cr íti ca su pe rio r, las te ns io ne s en se rv ic io pu ed en su pe ra r ap re ci ab le m en te el lím ite 0,4
fo n (V- V éase referencia (28.3). El M OD EL COD E 90 y, sobre todo, la referencia (28.4) dan
La tabla T-28.4 procedente de EHE proporciona los valores de <p( t - t j para t0
pr oc ed im ie nt os d e co rre cc ió n, pe ro ex tra or di na ria m en te co mp le jos . variable y t hasta 10.000 días para los casos más habituales. (Está basada en una
2 Obsérv ese que la expresión no es aditiva, es decir, la fluencia entre dos instantes í¡ y t2 no es temperatura de 20 °C).
0 (ri, t¡ ) sino 0(r2, g -0 (r ftr0).
558 559
TABLA T-28.4 Si la temperatura durante el período de aplicación de la carga es constante, pero
diferente de 20 °C, su efecto sobre la fluencia puede ser calculado, en primer lugar,
Valores del coeficiente de fluencia (¡) (t, t0)
usando el coeficiente P HT&n lugar de fiH en [28.28], siendo
H u m e d a d r e l a t i v a (% ) P h.t = Ph ■Pr [28.30]

Edad
pu e st a 50 60 70 80
donde ¡3^ viene dado por [28.28] y PT por la expresión
Espesor medio (mm)

t0 (días) 1500 ^-5 12
50 150 60 0 50 150 600 50 150 60 0 50 15 0 60 0
p r = e l 273 +7 ’ “ / [28.31 ]
1 5 ,4 4 ,4 3,6 4,8 4,0 3,3 4,1 3,6 3,0 3, 5 3,1 2,7
donde T es la temperatura en °C.
7 3,8 3,1 2,5 3,3 2,8 2,3 2,9 2,5 2,1 2,5 2,2 1,9 En segundo lugar, el coeficiente <pHR de [28.24] debe ser sustituido por
14 3,3 2,7 2,2 2,9 2,4 2,0 2,5 2 ,2 1,8 2,2 1,9 1,7
28 2, 9 2, 4 1,9 2,6 2,1 1,8 2, 2 1,9 1,6 1,9 1,7 1,5
(¡)H¡tT = e°.°ls(T-20>+ ( < V - i) • eo,oi5l(T-20)6 [28.32]
60 2,5 2,1 1,6 2,2 1,9 1,5 1,9 1,7 1,4 1,6 1,4 1,3 donde <j)HR viene dado por [28.24] y T se expresa en °C.
90 2,3 1,9 1,5 2, 0 1,7 1,4 1,8 1,5 1,3 1,5 1,3 1,2 Los nuevos coeficientes pHT y tyHRtT, sustituyen a p H y (pHR en [28.28] y [28.24],
36 5 1,8 1,4 1,2 1,6 1,3 1,1 1,4 1,2 1,0 1,2 1,0 0,9 respectivamente, para el cálculo de (f)(t, t j mediante [28.23].
1800 1,3 1,1 0, 8 1,1 1,0 0,8 1,0 0,9 0,7 0,8 0,7 0,7
c) Corrección del coeficiente de fluencia por una variación de temperatur a,
(*) La tabla no considera la resistencia del hormigón. Está calculada para f ck= 37,5 MPa. durante el período de carga
Si durante el período de carga se produce una variación de temperatura AT, su
efecto instantáneo en la fluencia puede calcularse mediante la expresión3:
a) Corrección del coeficiente de fluencia según la temper atura de curado y el tipo
de cemento <j)(t, t0,T ) = <]>0 • Pc (t -tB) + á <¡>AT¡mns [28.33]
Ambos efectos pueden ser considerados modificando el instante de carga donde (¡)0 y t p c (t - t0) fueron ya indicados en [28.23] tenida en cuenta la variación a
mediante la fórmula. temperatura constante diferente a 20 °C, según el párrafo anterior, para (¡)0 y p c (t - t j
y el valor de A<pmran s, viene dado por
t0 — t0T + 1 > 0 ,5 d ía s [ 28 .2 9] ^ ^ = 0 ,0 0 0 4 ( ^ 2 0 )2 [28-34]
donde: 28.4.2 RETRACCIÓN

t0T = Edad corregida de carga, de acuerdo con la fórmula [28.16]. El acortamiento total por retracción, para T = 20 °C, puede estimarse a partir de
la expresión
a = Coeficien te de valor:
a = -1 para cementos de endurecimiento lento.
ecs(t,tr) = ecsM- Pjf -f ,. ) 2 C28-35!
donde:
a - 0 para cementos de endurecimiento normal o rápido. ecs0 = Coeficiente base de retracción.
a = 1 para cementos de endurecimiento rápido y alta resistencia. Ps ([ - tr) = Coeficiente de desarrollo de la retracción en el tiempo.
b) Corrección del coeficiente de fluencia por temperatura dura nte el período de
aplicación de la carga 1 Lo que sigue se refiere al efecto instantáneo de la variación térmica sobre la fluencia. El efecto debido
a la duración a partir de ese instante, se rige por lo expuesto en b).
El efecto de la temperatura durante el período de curado inicial, fue tenido en 2 Obsérvese que la expres ión no es aditiva, es decir, la retracción entre dos instantes t, y t2no es ecs(t,, t2)
cuenta mediante la fórmula [28.29] del apartado a) anteiior. s i n o e cs( M 0) - e J t , , t 0).
560 561
= E dad del horm igón en el mom ento para el que se calcula la retracción TABLA T-28.5
(Sin corregir).
Valores del coeficiente de retracción £cs(t,tr) • 1 0 '6
= Edad a la que comienza la retracción (normalmente t r « 1 día, pues
los curados de tipo habitual a temperatura ambiente, no afectan Humedad relativa (%)
apreciablemente al valor de la retracción). (Sin corregir)
t-tr 50 60 70 80
(días)
En [28.35] se tiene Espesor medio (mm)
50 150 600 50 150 600 50 150 600 50 150 600
£ c s, 0 - £s(fcnJ ' Phr [28.36] 14 -193 -69 -17 -173 -61 -15 -145 -51 -13 -107 -38 -10
30 -262 -99 -25 -235 -89 -23 -197 -75 -19 -146 -55 -14
donde: 90 -369 -166 -44 -331 -149 -39 -277 -125 -33 -206 -93 -24
q
f
J cm
£s(faJ = 160+ 10/3, • i o- 6 [28.37] 365 -466 -292 -87 -417 -262 -78 -350 -219 -65 -260 -163 -49
"7ó
1825 -507 -434 -185 -454 -388 -165 -381 -326 -139 -283 -242 -103
10000 -517 -499 -345 -463 -448 -309 -388 -375 -259 -288 -279 -192
f cm = Resistencia media del hormigón en N/mm 2 en condiciones normalizadas
a 28 días. (Puede aceptarse a falta de otra información f cm - f ck + 8) ( * ) L a t a b l a n o c o n s i d e r a l a r e s i s t e n c ia d e l h o r m i g ó n . E s t á c a c u l a d a p a r a f c k ~ 37,5 MPa.
Psc = Coeficiente dependiente del tipo de cemento. (Ver 28.2.4) Para la mayoría de los casos habituales en la práctica, la tabla T-28.5 procedente
de EHE proporcion a directamen te los valores de £cs. (Está basada en una temperatura
Psc = 4 para cementos de endurecimiento lento.
de 20 °C y cemento de endurecimiento normal).
Psc = 5 para cementos de endurecimiento normal o rápido.
a) Corrección de la retracción para temperaturas diferentes de 20 °C
Psc = 8 para cementos de endurecimien to rápido y alta resistencia.
Si la temperatura durante el desarrollo de la retracción es diferente de 20 °C, su
efecto sobre ella puede ser estimado mediante la expresión
(EHE adopta f cm = f ck + 8 y supone p sc = 5, llegando a e s ( f c m) = ( 5 7 0 - 5 f ck) 1 0 *
a rT = 0,0350 [ ef j 2 e W - » ) [ 28 .4 0]
HR
Phr = -'¿ 5 1 para 40% < HR < 99 %
100
-
donde T viene en °C y h en mm.

El coeficiente a rT reemplaza al término 0,035 e2f en la expresión [28.39]. Al
mismo tiempo la influencia en es (fcni), se obtiene sustituyendo p HR en [28.36], por
0,25 para H R >99% [28.38]
siendo H R la humedad relativa ambiente en %
P h r j — P h r ' P rT [28.41]
Ps ( t " tP viene dada por la expresión
donde Phr se expuso en [28.38] y p rT viene dada por
(t - o
PsO-tr) = [28.39]
0,035 ej +t - tr
PrT = 1 + ( ----- [28.42]
H,T 1103 - H R J \ 40 /
donde efes el espesor ficticio en mm. siendo H R = humedad relativa en % y T en °C.

Con [28.40] se calcula p s (t - tr) y con [28.39], [28.40] [28.42] y [28.37] se
calcula [28.36].
562 563
G T -2
-2 C Á L C U L O D E F A C T O R E S D E T R A N S M I S I Ó N G T -3
-3 P I E Z A R E C TA
T A R ÍG
ÍG I D A M E N T E
EN PIEZAS ACARTELADAS EMPOTRADA EN SUS EXTREMOS
D E S E C C I Ó N ( E l)
l) C O N S T A N T E . R E A C C I O N E S
PIEZA CON CARTELAS SIMÉTRICAS Y ANCHO CONSTANTE
TIPO DE CARGA M ed M ef Y ecj Yef
>+y
iP u af
a2,
a ,
êf | -Poíi - U p T d - T ) -p('-T?< 3-2x>]
VALOR DEL FACTOR DE TANSMISIÓN SIENDO I q/I i

+° + i
-+ --------- ----------
1
Jf
y 1,00 0,8 0 0,6 0 0,40 0,30 0,20 0,10 0,08 0,0 6 0,04 0,03 0,02
0,05 0,50 0,51 0,5 2 0,53 0,53 0,54 0,55 0,5 5 0 ,5 5 0,56 0,56 0,56 P—
L P P
§2— ¡ Y 1
0,57 0,59 0,60 0,61 0,61 0,61 0,62 B “ 2 ~ 2
--------
0,10 0,5 0 0,51 0,53 0 ,55 0,56

0,15 0 ,5 0 0,51 0,5 4 0,5 7 0,58 0,60 0,63 0,6 4 0,6 5 0,6 6 0,6 7 0,68
0,20 0,5 0 0,52 0,5 5 0,58 0,60 0,63 0,6 7 0 ,6 8 0 ,69 0,71 0,7 2 0 ,7 3
0,25 0,5 0 0 ,52 0,55 0,59 0,6 2 0,65 0,7 0 0,71 0,73 0,75 0,76 0,77 tP tP
— í - g P (1 -^ )0 -P -P
0,3 0 0,5 0 0,52 0,56 0,60 0,6 3 0,67 0,7 2 0 ,74 0 ,7 6 0,78 0,8 0 0,81
0,35 0 ,50 0 ,5 2 0,5 6 0,60 0,6 3 0,68 0,74 0,75 0 ,7 7 0,80 0,82 0,84 í ü ^ - 4
0,40 0,50 0 ,5 2 0,56 0,60 0,63 0,67 0,74 0,7 6 0 ,7 8 0,81 0,83 0,86
0,4 5 0,50 0 ,5 2 0,,55 0,59 0,62 0,66 0,73 0,75 0,77 0,8 0 0,82 0,85
0,50 0,50 0,52 0,55 0,5 8 0,61 0,65 0,71 0,73 0,75 0,7 8 0,81 0,83
-p T - p í
PIEZA CON UNA CARTELA Y ANCHO CONSTANTE

- p i
a a ?-
?- o 3 f l f - 04 - ¿ K
-2(°?-<H)}
VALOR DEL FACTOR
FACTOR DE TRANSMISIÓN SIENDO I q/I,
y 1,00 0,80 0,60 0,40 0,30 0,20 0,10 0,08 0,06 0,04 0,03 0,02
0,0 5 0 ,5 0 0,50 0,5 0 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,5 0 0,50 0,50 0,50 -P-t-2 -p»Ío
0 20 0 30
0,10 0,5 0 0,50 0,50 0,50 0 ,5 0 0,49 0,49 0,49 0,4 9 0,49 0,49 0,49
0 ,50 0,50 0,50 0,50 0,49 0 ,4 9 0,48 0,4 8 0 ,48 0,48 0,48 0,48
O 0,15
Q 0,20 0 ,50 0 ,5 0 0,49 0,49 0,48 0 ,4 8 0,47 0,47 0,47 0,47 0,47 0,46
>L
VL 0,25 0 ,50 0,49 0,49 0,48 0,48 0,47 0,46 0,46 0,46 0,4 5 0,45 0,45 * 2 P ^
-p ^ L 96 -pL^
0,43 0,43 L 96
0,30 0,50 0,4 9 0,4 8 0,47 0,4 7 0,46 0,45 0,4 4 0 ,4 4 0,43 2 2 2 2
3 0,4 9 0,47 0,46 0,45 0,43 0,41 0,41 0 ,4 0 0,39 0,39 0,38
a 0,40 0,50
N 0,50 0 ,5 0 0 ,48 0,46 0 ,4 4 0,4 2 0,40 0,38 0,37 0 ,3 6 0,35 0,34 0,34
0,75 0,50 0,4 7 0,44 0,40 0,38 0,34 0,30 0,28 0,27 0,25 0,24 0,22 \
0,20 0,18 - P - f
1,00 0,5 0 0,47 0,44 0,40 0,37 0,33 0,28 0,2 6 0 ,24 0,22 0 32 ~ P°
P° T - p° T
0,05 0,5 0 0,51 0,52 0,53 0,53 0,5 4 0 ,55 0,55 0,56 0,5 6 0,56 0,56 L ¿ 4
0,10 0,50 0,51 0,5 3 0,55 0,56 0,58 0,60 0,61 0,6 2 0 ,62 0,63 0,63
0,70 0,71
n 0,15 0,50 0,52 0,54 0,5 7 0,59 0,62 0,65 0,66 0,68
0,7 4
0,69
0,7 6 0,77 0,79
6a ,
-M -jj (1
0 .
T 0,20 0,50 0,53 0,56 0,60 0,62 0,66 0,71 0,72 « — — i
O 0,25 0,5 0 0,53 0,57 0,61 0,6 5 0,69 0,76 0,78 0,80 0,83 0,85 0,87
LU 4 ^ 4
0,30 0,50 0,5 3 0,58 0,63 0,68 0,73 0,82 0 ,8 4 0 ,87 0,91 0,93 0,96
tr 1,07 1,15 1,16
LU 0,40 0,50 0,5 4 0,5 9 0,66 0,72 0 ,7 9 0 ,9 2 0,96 1,00
Q 0,50 0 ,50 0,54 0,60 0,68 0,74 0,83 1,00 1,06 1,13 1,22 1,30 1,38
0,75 0 ,5 0 0,5 4 0,5 9 0,6 7 0,73 0,84 1,06 1,14 1,25 1,42 0,56 1,77
0,50 0 ,5 3 0 ,5 7 0,63 0 ,6 7 0 ,7 5 0,88 0,93 1,00 1,10 1,18 1,30
| 1,00
807
806
GT-4 PIEZ A RECTA
RECTA RÍGIDAME NTE EMPOTRADA GT-5 FORJADO CONTINUO DE DOS TRAMOS
TRAMOS
EN UN EXTREMO Y ARTICULADA EN EL OTRO, CON CARGA UNIFORME qf
SECCIÓN (El) CONSTANTE. REACCIONES
Luces / y momentos de inercia J igu

iguales paralos
ra losdo
dos tramos; g = carga permanente; p =
TIPO DE CARGA M ecj êd Y ef carga variable; q = g + p \ A=g/q
i+y
AP
% r ...
A '- T ^ - T i]
i ,
■+------- 1= -------- Jf
3L
-P —
16 -prl -Pf6
3o , M o.
ua u - pt 0 - t ) -T [ ’«
’« ! < ' - * ) ] -T [ « T « ’- f) j
-p¥ - V
Para cargatota
cargatotal deam
de ambos tramos: D0 = 0,3 75 q£\ Di = 1,25 q £
>I q 5
N s míns
ín s parae
ra el apoyotipo
yotipo
O < m
P a? —aa af- o4
a b
£ * 4 1 2 3 4 5
0,00 0,87/ 10,45 0,00 / 0,00
,00 /
0,10 0,86/
,86/ 10,75 0,00 / 0,19 /
g íÜ Ü i ü ^ f- P°B -P.| ~ P° 10 0,20 0,85/
,85/ 11,07 0,25/ 0,50
,50 /
0,30 0,84 / 11,40 0,46/ 0,60/
0,40 0,82/
82/ 11,75 0,56
,56 / 0,66
,66 /
P 9L. P 1^=
0,50 0,81
,81 / 12,12 0,62/ 0,69
,69 /
PL 40 Pl 40 0,60 0,80/ 12,50 0,67 / 0,71 /
0,70 0,79/ 12,90 0,70 / 0,72
,72 /
0,80 0,77 / 13,32 0,72
,72 / 0,73/
73 /
- p L ^64 PL ^64 - P L ^64 0,90 0,76/ 13,76 0,74 / 0,74 /
2 2 2 1,00 0,75
,75 / 14,22 0.75 / 0,75/
75/
Paralos
Para losm
momentos mínimos:
- p^ - • t r° ^64
-P Tipo
Tipo deapoyo
deapoyoa:
a: Forjados apoyados sobrem
obre mampostería:
r = (2 g + p)
p)
16
* .. - i > - ^ u 3 ' 2-
2- f ) Tipo deapo
de apoyo b. Forjados rígidamenteunido
enteunidos a vigasde
vigasdeho
hormigónarm
igón armado;
4 4
x- = - U ' V g + \p )
808 809
GT-6
GT-6 FORJADO CONTINUO DE TRES TRAMOS
TRAMOS GT-7 FORJADO
FORJA DO CONTINUO DE CUATRO TRAMOS
CON CARGAS IGUALES qí CON CARGAS IGUALES qí
Luces / iguales; momentos de inercia J iguales para todos los tramos; g = carga perma
nente; p ~ carga variable;
variable; q = g + p; X = g/ q
Luces / iguales; momentos de inercia iguales para todos los tramos; g = carga permanen
te; p = carga variable; q = g + p; X - g/q
Para carga total de todos los tramos: Do = 0,4 qt, Di = 1,1 qt
mín s 1 para el apoyo tipo

2— I
IIQAi
V Ü— j I
IlaA ÍVl ^
ÍV —-
-
--
--
-
--
k=giq Si m1 mx s2 m2 m 2x m, ~ m2
a b
Para carga total de todos los tramos: D0 = 0,393 q£; D1 = 1,143 q/; D2= 0,928 q£
1 2 3 4 5 6 7 8
0, 00 0 ,9 0 / 9, 8 8 8,5 7 0,77/ 1 3, 33 0 ,0 0 / 0,00 /
0,10 0,89 e 10,19 8 ,7 0 0,74 / 1 4, 2 8 0,0 0 / 0,35/
0, 20 0 ,88 C 1 0, 3 3 8,8 2 0,72 / 1 5, 38 0,40 / 0,60 / X = g / q Si m 1 m u m2 m2x s2 mín Sí
Sí para el a poyo tipo
0,30 0,87 e 10,57 8, 95 0,69 / 16,67 0,57/ 0,68/ a b
0,40 0,86 / 1 0, 8 2 9, 09 0, 66 / 18,18 0,65 / 0,72 /
20,00 0 ,70/ 0,75 /
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 , 50 0,85 e 11,07 9, 23 0 , 63 /
0 ,60 0 , 8 4 /' 11,34 9, 37 0 , 60 / 22,22 0 ,73 / 0,77 / 0,00 0,89
0,89 / 10,04 8,30 12,40 9,33 0,80
0,80 / 0,00/ 0,00
0,00 /
0,70 0,83 e 11,61 9,52 0,58 / 2 4,0 0 0 ,76 / 0,78 / 0,10 0,88
0,88 / 10,28 8,39 13,14 9,65 0,78
0,78 / 0,00
0,00 / 0,30
0,30 /
0,80 0,82 / 11,90 9 ,68 0 , 58 / 2 4,00 0,77 / 0,79 / 0,20 0,87/ 10,53 8,48 13,96 10,00 0,76
0,76 / 0,36
0,36 / 0,57
0,57 /
0, 90 0,81 / 1 2 ,1 9 9 ,8 4 0,58/ 24,00 0,79 / 0,79 / 0,30 0,86/ 10,80 8,58 14,87 10,37 0,73/ 0,53/ 0,66/
1, 00 0 ,8 0 / 1 2 ,5 0 10,00 0,58/ 2 4,00 0 ,80 / 0,80 / 0,40 0,85
0,85 / 11,07 8,68 15,92 10,76 0,71
0,71 / 0,62
0,62 / 0,70
0,70 /
0,50 0,84/ 11,36 8,78 17,12 11,20 0,68
0,68 / 0,68
0,68 / 0,73
0,73 /
Para los m omentos mínimos: r-¡- 0,220 / ; r2 = 0,265 / 0,60 0,83 / 11,65 8,89 18,52 11,66 0,66 / 0,71 / 0,75 /
Tipo de apoyo a: Forjados sobre manipostería: 0,70 0,82
0,82 / 11.96 8,99 20,17 12,17 0,63/ 0,74/ 0,76
0,76 /
0,80 0,81
0,81 / 12,28 9,10 22,14 12,73 0,60/ 0,76
0,76 / 0,77 /
0,90 0,80 / 12,61 9,22 24.00 13,33 0,58
0,58 / 0,77
0,77 / 0,78 /
A" = - ¿ C 2 ( 2 g + P )
1,00 0,79 / 12.96 9,33 24.00 14,00 0,58/ 0,79/ 0,79 /
Tipo de apoyo b : Forjados rígidamente unidos a vigas de hormigón armado:
Para los momentos mínimos: r-,= 0,229 / ; r2= 0,2 53 C; r3= 0,216 /
x'= i ¿ tÍ 2g+\p
2g+\p))
Para los tres tipos de apoyo :
Tipo de apoyo a: Forjados sobre manipostería:
x ; = - X t >(2 g + p )
En los tercios del segundo tramo: jo
A /, = - gC2 + X '
2 9
810 811
GT-7
GT-7 FORJADO CONT INUO DE CUATRO
CUATRO TRAMOS GT-8
GT-8 FORJADO CONTINUO CON UN NÚMERO
CON CARGAS IGUALES qü (Continuación) INFINITO DE TRAMOS: CARGA UNIFORME qí
Luces / iguales; momentos de inercia iguales en todos los tramos; g = carga permanente;
Tipo de apoyo b ; Forjados rígidamente unidos a vigas de hormigón armado: p = carga variable; q - g + p; X - g / q
q t
máx M =
X ' = ~ T 6 ° í 2 g + 1 2 P)
Para los tres tipos de apoyo :
T 2=| x ,' mín M 2 = ^ - g l 2 + ^ x ;

O D
En los tercios del segundo tramo:
X =g / q s m m2
1 2 3 4
0,00 0,82 / 12,00 8,78
0,10 0 ,8 0 / 12,63 9,03
0,20 0 ,7 7 / 13,33 9,28
0,30 0 , 75 / 14,12 9,55
0,40 0,73/ 15,00 9,84
0,50 0,71 / 16,00 10,14
0,60 0,68/ 17,14 10,46
0,70 0,66 / 18,46 10,81
0,80 0,63 / 20 ,00 11,18
0,90 0 ,6 0 / 21 ,82 11,57
1,00 0 ,5 8 / 24 ,00 12,00
Para los momentos mínimos: r= 0,226 /

momentos mínimos:
Tipo de apoyo a: Forjados sobre mampostería:
* = £ ( 2 Z + P)
Tipo de apoyo b : Forjados unidos a vigas de hormigón armado:
* ■ = - £ ( 2* 4 , )
Para los tres tipos de apoyo:
mín M - i g£2 + X'

8 6
Momento en los tercios de la luz:
Mm
Mm= lg e 2+X'
813
GT-9 GT-10
b b
814 815
GT-11 GT-12
b
b
NOTA.- Para cargas w descendentes en el
el sentido de la figura,
figura, el momento de em
potramiento dorsal (acción del nudo
nudo sobre el extremo de la pieza) tiene
el sentido de la figura y es por tanto positivo y el
el momento de empotra
miento frontal negativo.
817
GT-13 (Continuación)
K
NOTA.-
NOTA.- Paracargas
ParacargasP Pdescendentesen
teseneel sentidode
ntidodelalafigura,
figura, el momentode
entodeemem
potramientodo
ientodorsal (acción del nudo sobreel
re el extremo dela
delapieza)
pieza) tiene
elsentido dela
dela figura y espo
esportantopo
topositivoy el momentodeem
todeempotra
miento frontal negativo.
8 19
GT-13 (Continuación) GT-13 (Continuación)
82
8211
GT-14 GT-15
O DE MOMENTOS EN FORJADOS CÁLCULO DE MOMENTOS EN FORJADOS
FORJADOS
B A E L - 83 c< ¿ 1 /6
M É T O D O B A E L - 83 o< = 0.25
K
ad K
v K
af K
ad K
v K
af
K
ad K
v K
af K
ad K
v K
af K
ad K
v K
af
O
,70 -0,5
0
-0,20 0,68 -0,5
5 0,58 -0 ,40 0,83 -0,50
0,73 -0,50 0,6
3 -0,40
0,65 -0,60 -0,5
5 0,55 .-
O ,45 0,00 -0,5
,55
0,70 -0,55 0,6
0 -O,45
0,63 -0,65 0,53 -
0, 5
0 0,70 -0,60
o
-0,20 0,68 -0,60 -0,50 0,
5 8 -0,5
0
0,75 .-0,65
° -0, 2
0 0,65 -0,65 0,
5 5 -0,55
0,68 -0,5
0 0,55 -0,40 0,73 -
O ,70
-0,20 0,64 -0,6
8 O,54 -O,58
-0 25 0,6
5 -0,5
5 -0,6
0 0,53 -0,45 0,70 -0,75
0,6
3 -O,60 0,6
8 -0,80
0,70 -0,50 0,6
0 -0,4
0
o m'JU
-0,6
5 0,53 -O,40 i 0,65 -0,85
1I
0,6B -0,55 O,58 -0,45
0,65 -0,5
,50 0,64 -0,88
-0,2
5 0,65 -0,60 0,55 -0,50
11
-0,3
0 0,6
3 -
O ,55
O
,64 -0,6
3 0,54 -0,5
3
0,8
0 -0,50
-0 3
5 0,63 -0,50 0,7
8 -0,5
,55
0,68 -0,50 0,
5 8 -O,40
0,7
5 -0, 6
0
0,65 -O,55 0,60 0,55 -0,4
5
0,65 -0,40 0,7
3 -0,65
0,6
4 -0,5
8 0,54 -0,40
0,63 -0,45 -0, 0
5 0,70 -0,70
-0,4
0 0,60 -0,50 0,68 -0,75
0,6
5 -O,50 0,55 -0,40
0,50 -0,55 0,65 -0,80
-0,3
5 0,
6 4 -0,5
3 -0,65 0,54 -0,4
3
0,55 -0,60 0,64 -0,8
3
0,53 -0,65
0,
6 8 -0,4
0
0,7
0 -0,5
0
0,
6 5 -0,45
0,6
3 -0,4
0 0,75 -0,5
5
0,63 -0,50
0,6
0 -0, 4
5 0,73 -0,60
-0 4
0 0,60 -0,55
-0,4
5 0,
5 8 -0,50 -0, ÍO 0,70 -0,65
0,58 -O,60
0,55 -0,55 0,6
8 -0,70
0,55 -0,
0,65
0,53 -0,60 0,
6 5 -0,7
5
O,54 -0,6
8
O,64 -0,78
0,60 -0, 4
0 0,65 -0,4
0
-0,S
O O,58 -0,4 5 0,7
5 -0,5
0
0,63 -0,4
5
0,55 -0,50 0,7
3 -0,5
5
-0,4
5 0,60 -0,5
0
0,5
3 —
0;5
5 -0, 1
5 0,70 -0,6
0
0,5
8 -0,5
5
0,6
8 -0,6
5
0,55 -0,6
0
0,65 -0,7
0
0,54 -0,6
3
0,64 -0,7
3
GT-16 GT-17
CÁLCULO DE MOMENTOS EN FORJADOS CÁLCULO DE MOMENTOS EN FORJADOS
M E T O D O B A E L - 83
M É T O D O B A E L - 83 £X = 0 . 5 0 o< = 0. 75
Kad Kv Ka f Kad Kv Kaf Kad Kv Ka f

0 , 90 -0 , 30 0,90 -0, 30
0 , 70 -0,53 0,70 -0, 40
O, 98 -0,33 0, 60 -0, 43
O, 03 -0 , 60 -0 . 20 0, 73 -0 , 60 -0,30 O, 63 Kad Kv Kaf Kad Kv Kaf
0, 73 -0 , 63 -0,30
O, tí 3 -0, 63 0, 63 -0,33
0, 00 0, 00 -0, 70 0,70 -0 , 70
0, 6 0 -0, 73 0, 60 -0, 60 0,90 - 0 , 50
0, 70 -0, 73 0, 30 -0, 63 0 , 93 - 0 , 50
0, 73 -0, 00
0, 70 -0, 30 0, 95 -0, 55 0 , 90 - 0 , 55
0, 73 -°,P = 0, 60 -0,40
0 , 70 -0, 90 0 , 73 -0,33 0, 63 -0, 43
0,93 - 0 , 60 0 , 00 - 0 , 60
0, 68 -O , 95 -O, 23 0, 73 -0,60
0 , 70 -0 , 63
-0,33 0,63 -0 , 30 O, 90 - 0 , 65 0, 05 -0, 65
0, 60 -0, 70 0, 60 -0,33 0 , 08 -0, 70
0,80 -0,30 0 , 30 -0 , 60 O, 83 - 0 , 70
0, 03 -0, 33 0, 05 - 0 , 75 1 0 O
0,03 -0, 60 0 , 73 -0,30 0, 63 O, 80 - 0 , 75
0,73 -0, 35 -0 , 40 O, OO 0, 03 -0,00
0, 00 -0 , 65 0 , 63 -0, 43 0, 70 - 0 , 80
-0, 03 0, 70 -0 , 70 -ü, 30 0 , 70 -0 , 60
0, 68 -0, 63
-0 , 60 0 , 60 -0 , 30 0, 00 -0, 05 0, 75 - 0 , 85
0, 73 -0,73 0, 30 -0,53
O, 73 -O , 80 O , 78 - 0 , 90 0, 73 -0, 90
O, 70 -0,05 0, 73 -0, 50 0, 63 -0, 40 0,75 - 0 , 95
0, 60 -0, 90 0, 70 -0,33 -0,63 0, 60 -0 , 43 0,71 -0, 93
O, 60 -O , 60 0 , 3B -0, 30 0,73 -1 , 00
O, 03 -0, 30 0,71 -1,03
0,03 -0 , 33 0, 73 -O, 40 0, 60 -0 , 40 0 , 90 -0 , 50
0 , 00 -0, 60 0,73 -0,43
0 , 70 -0, 30
-0, 70 0, 3B -0, 43 0, 88 -0, 55
- 0 , io 0, 70 -0,63 0 , 95 -0 , 50
0,73 -0 , 70 0 , 60 -0, 33 -O 73 0 , 3B -O , 40 O, 85 -0, 60
0, 73 -O, 73 -0,40 O, 63 -O , 60 O, 93 -0 , 55 0, B3 -0, 65
0 , 70 -0,00 0, 63 -0. 63
0,60 -0,70 0 , 90 -0 , 60 0, 00 -O, 70
O, 60 -0, 03 - 0 , 15
0, 50 -0,73 O, 00 -0 , 65 0, 70 -0, 75
O, 83 -0 , 30 0 , B5 -0 , 70
0 , 00 -0,33 0,73 -0,40 0, 75 -0, 80
0, 70 -0 , 60 0, 70 -0, 43 - 0 , 05 0, 03 -0 , 75
0, 60 -0. 30 O, 73 -O, 85
-0, 13 0,75 -0,63 0 , BO -0 , 00
O, 73 -0,70 -0, 43 O, 65 -O , 33 0,71 -0, 00
0, 70 -0, 73 0, 63 -0, 60 0, 70 -0, 05
0 , 69 -0 , 00 0, 60 -0,65
0 , 50 -0, 70 0, 75 -O, 90 0, 80 -0, 50
0, 73 -0, 95 O, 05 -O, 55
0,71 -0 , 90 O, 03 -0, 60
0, 0O -0, 65
-O, 20 0, 70 -0, 70
O, 75 -0, 75
0, 73 -0 , 80
0, 71 -O, 03
824 825
GT-17 GT-17
CÁLCULO DE MOMENTOS EN FORJADOS (Continuación) CÁLCULO DE MOM ENTOS EN FORJADOS (Continuación)
M E T O O O B A E L 83 <X = 0. 75 MÉTODO BAEL-83 oc = 0 . 75
Kad Kv Kaf Kad Kv Kaf Kad Kv Kaf
0, 95 -O, 50 0, 90 -O, 40
0,93 -0 , 55 0, 79 -0, 43 0, 75 -0 , 40
0, 90 -0 , 60 0, 75 -0, 50 0, 73 -0 , 45
-0, 25 O, 70 -0,65 O, 73 -0, 55 0, 70 -0 , 50
1 0 *4 1
“ 0
0, 75 -O , 70 0, 70 -0, 60 -0, 55 O, 68 -0 , 55
0,73 -0,75 0, 6B -0, 65 O, 65 -0 , 60
0,71 - 0 , 78 O, 65 -O, 70 0, 63 -0 , 65
0, 63 -0, 75 0,61 -0, 69
0, 83 -0, 50 0,61 -0, 70
0 , 80 -O, 55 0, 73 -0 , 40
1O WO 0, 70 -O, 60 0, 78 -0, 40
* 0, 70 -0 , 45
0, 75 -O , 65 0, 75 -0, 43 O, 68 -0, 50
0,73 -0 , 70 0 , 73 -O , 50 -0 , 60 0, 65 -0 , 55
0,71 -0, 73 0, 70 -0, 55 0, 63 -0 , 60
-0, 50 0, 69 -0, 60 0,61 -0, 63
O, 90 -0 , 50 0, 65 -0, 65
O, 78 -0 , 55 0, 63 -0, 70 0, 70 -0 , 40
-0, 35 O, 75 -0 , 60 0,61 -0, 73 0, 69 -0 , 45
0, 73 -0 , 65 -O, 65 0, 65 -O , 50
0,71 -0, 68 0, 63 -0 , 55
0,61 -0, 59
0, B3 -0 , 40
0, BO -0 , 45 0, 68 -O , 40
O, 78 -0 , 50 0, 65 -0 , 45
O, 75 -O , 55 -0, 70 0, 63 -0 , 50
-0, 40 0, 73 -0 , 60 0,61 -O, 53
0, 70 -0 , 65
O, 60 -O, 70 0, 65 -0 , 40
0, 65 -O , 73 -0 75 0, 63 -O , 45
0,63 -0 , 80 0, 61 -O, 48
0,61 -0, 83
0, 63 -0, 40
-0, 90 0,6 1 -0, 43
826 827
GT-18 GT-18
CÁLCULO DE MOMENTOS EN FORJADOS CÁLCULO DE MOMENTOS EN FORJADOS (Continuación)
M E T O D O B A E L - 83 CK 1 . 00 M É T O D O B A E L - 8 3
Kad Kv Kaf Kad ' Kv Kaf

Kad Kv Kaf Kad Kv Kaf
1, 05 - 0 , 50 1 , 00 -0, 50
1, 03 -0, 55 0, 98 -0, 55 0, 95 -0 , 50 0, 00 -0, 50
1 f 00 - 0 , 60 0, 95 -0 , 60 0, 93 -0 , 55 0, 05 -0, 55
0, 98 - 0 , 65 0, 90 -0 , 60 - 0 , 35 0, 83 -0 , 60
0, 93 -0, 65
0, 95 - 0 , 70 0, 88 -0 , 65 0, 00 - O , 65
0, 90 -0, 70
0, 93 - 0 , 75 -0, 20 0, 05 -0 , 70 0, 70 - 0 , 70
- 0 , 10 0 , 08 -0, 75
0, 00 0, 90 - 0 , 00 0, 83 -O , 75 0, 75 - 0 , 75
0, 85 -0, 80
0, 88 - 0 , 85 0, 00 -0 , 00
0 , 03 -O, 85
0, 05 - 0 , 90 0, 70 -0 , 05 0, 90 - 0 , 40
0, 00 -0, 90
0, 83 - 0 , 95 0,75 -0, 90 0, 80 - 0 , 45
0,78 -0, 95
0, 80 - 1 , 00 0, 75 0, 85 - 0 , 50
- 1, 00 0, 93 -0 , 50
0, 70 - 1 , 05 0, 83 - 0 , 55
0 , 90 -0 , 55 0, 80 - 0 , 60
0 , 75 -1 ,10 0 , 98 -0,50 0, 80 -0 , 60 - 0 , 40 0, 78 - 0 , 65
0, 95 - 0 , 55 -0, 25 0, 85 -0 , 65
i , 03 - 0 , 50 0, 93 -0, 60 0, 75 - 0 , 70
0,03 -0, 70 0, 73 - 0 , 75
1, 00 -0, 55 0, 90 -0 , 65 0, 00 -0 , 75
0 , 90 - 0 , 60 0, 00 - 0 , 70 0, 70 - 0 , 00
0 , 78 -0 , 00 0, 68 - 0 , 05
0 , 95 - 0 , 65 -0,15 0, 85 - 0 , 75 0, 75 -0, 85 0 , 65
0, 93 - 0 , 70 0 , 83 - 0 , 00 -0, 90
-O, 05 0, 90 - 0 , 75 0 , 80 - 0 , 05 0, 90 -0 , 50 0 , 80
0,88 - 0 , 80 0, 70 - 0 , 90 -0, 40
0, 88 -0 , 55
0, 85 - 0 , 05 0, 75 - 0 , 95 0 , 85 - 0 , 45
0, 85 -0 , 60 -0 , 50
0, 03 - 0 , 90 10 KO
>
0, 83
0, 03 -0 , 65 0 , 00 - 0 , 55
0, 00 - 0 , 95 0 , 00 -0 , 70
0, 70 -1,00 - 0 , 45 0 , 78 - 0 , 60
0, 78 -0 , 75 0 , 75 - 0 , 65
0, 75 -1 , 05 0, 75 -0, 00 0 , 73 - 0 , 70
0, 70 - 0 , 75
O , 68 -0, 00
0, 65 - 0 , 85
828 829
GT-24 COEFICIENTES PARA LA DISTRIBUCIÓN DE GT-25 COEFICIENTES PARA LA DISTRIBUCIÓN
MOMENTOS EN LOSAS MACIZAS CON CAPITELES DE MOMENTOS EN LOSA MACIZA CON ÁBACOS O LOSA
ALIGERADA CON MACIZADO Y SOPORTE CON CAPITELES
1 -JTWlUüi
C1/l, ° 2A 2 P k P C i /G i C z/ t 2 P k P
0.00 0.083 4.000 0.500 0.30 0.091 5.401 0.576
0.05 0.083 4.000 0.500 0.35 0.093 5.672 0.588 O Constantes parad; = 1.25 d-, Constantes parad;; = 1*5 d 2
0.10 0.083 4.000 0.500 0.25 0.40 0.094 5.952 0.800
0.15 0.083 4.000 0.500 0.45 0.095 6.238 0.812 ClA P k P P k P
C
M
0.20 0.083 4.000 0.500 0.50 0.098 8.527 0.823
0.00 0.25 0.083 4.000 0.500 0.00 0.086 4.795 0.542 0.093 5.837 0.589
0.30 0.083 4.000 0.500 0.00 0.083 4.000 0.500
0.35 4.000 0.05 0.088 4.795 0.542 0.093 5.837 0.569
0.083 0-500 0.05 0.085 4.235 0.514
0.40 0.083 4.000 0.500 0.088 0.10 0.066 4.795 0.542 0.063 5.637 0.569
0.10 4.468 0.527
0.45 0.083 4.000 0.500 0.15 0.068 4.780 0.542 0.00 0.15 0.088 4.795 0.542 0.093 5.837 0.589
0.50 0.083 4.000 0.500 0.20 0.069 5.050 0.558 0.20 0.088 4.795 0.542 0.093 5.837 0.589
0.30 0.25 0.091 5.361 0.571 0.25 0.086 4.795 0.542 0-093 5.837 0.589
0.00 0.083 4.000 0.500 0.30 0.092 5.692 0.066 4.797 0.542 0.093 5.837 0.589
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0.20 0.085 4.181 0.513 0.05 0.066 4.846 0.545 0.093 0.591
o.os 0.25 0.085 0.50 0.098 7.205 0.642 0.10 0.089 4.696 0.548 0.093 5.942 0.594
4.222 0.518
0.30 0.085 4.261 0.518 0.05 0.15 0.089 4.944 0.551 0.093 5.993 0.566
0.00 0.083 4.000 0.500 4.990 0.553 0.094 8.041 0.598
0.35 0.086 4.299 0.521 0.05 0.065 4.264 0.514 0.20 0.069
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0.45 0.529
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0.090 0.560
0.35 0.25 0.091 5.575 0.578 0.00 0.066 4.795 0.542 0.063 5.637 0.566
0.00 0.083 4.000 0.500 5.940
0.05 0.084 4.091 0.506 0.30 0.093 5.979 0.593 0.05 0.066 4.694 0.548 0.093 0.583
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0.15 0.085 4.272 0.519 0.40 0.096 6.686 0.828 0.10 0.15 0.090 5.039 0.559 0.094 6.142 0.602
0.20 0.088 4.362 0.524 0.45 0.098 7.395 0.642 0.20 0.090 5.184 0.584 0.094 6.240 0.607
o.-to 0.25 0.087 4.449 0.530 0.50 0.099 7.935 0.656 0.25 0.091 5.278 0.569 0.095 6.335 0.611
0.30 0.087 4.535 0.535 0.30 0.091 5.366 0.573 0.095 6.427 0.615
0.35 0.088 4.618 0.540 0.00 0.063 4.000 0.500
0.40 0.068 4.698 0.545 0.05 0.065 4.269 0.515 0.00 0.088 4.795 0.542 0.093 5.837 0.569
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0.40 0.090 5.090 0.565 0.05 0.065 4.311 0.515 5.361 0.571 0.095 6.416 0.613
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5.480 0.564 0.25 0.093 5.760 0.590 0.095 6.818 0.628
0.20 0.090
0.00 0.083 4.000 0.500 0.45 0.25 0.092 5.987 0.583 0.30 0.094 5.962 0.590 0.097 7.015 0.635
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0.20 0.088 4.717 0.543 0.45 0.100 8.825 0.862 0.10 0.090 5.245 0.565 0.094 6.300 0.608
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0.05 0.085 4.204 0.512 0.30 0.094 6.760 0.803 0.10 0.090 5.317 0.587 0.095 6.372 0.810
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.8 .9
-2 -2
T T
G G
84 0 84 1
GT-52 GT-54
CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA EN TODA LA ALTURA CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA EN TODA LA ALTURA
l{,v r
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1 , 1 , 1
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/ / 1
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0
Fg ( y ) Fe ( y)
F [O] F (o)
GT-53 GT-55
CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA EN TODA i
f CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA EN TODA LA ALTURA
1.0 H
_L, i . J.
10 3 O
O
N 0. 8 H £
E íKp/íKv=1Q CE
R
R CE
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0. 6 H
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0.2 H £
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D
1.0 0.8 0.6 0.* 0.2
Fe (y)
Fe ( y)
F (o)
F (o)
864 865
GT-56 GT-58
CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA EN TODA LA ALTURA CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA EN TODA LA ALTURA
1.0 H
1.0 H /? y
1 1 1 ii'
•10 ' 2 * 3 / Á
A / 0. 8 H uj
í K p / í K v = 20 A cr
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1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0
Fe t y )
F (o)
F(o)
GT-57 GT-59
CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA EN TODA LA ALTURA DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR DE CARGAS
1.0 H
1 1 1
TF’ T 'T ftl r O
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0. 8 H lu
*Kp/aKv=10
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/ v. \
1.0 08 0.6 0.4 0.2

Fg í y ) Fe (y)
F (o) F (o)
867
866
GT-60 GT-62
DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR DE CARGAS DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR DE CARGAS
1. O H 1.0 H
O
0. 8 H 5
0. 6 H 0. 6 H
0.2 H £ 0.2 H
Fe (y) Fc (y)
F (o) F (o)
GT-61 GT-63
DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR DE CARGAS DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR DE CARGAS
1. 0 H 1.0 H
o
0. 8 H m
a.
oc
UJ
0. 6 H 0. 6 H
0. 2 H — 0.2 H
Fe (y) Fe (y)
F (o) F (O)
86 8 8 69
4 ..33 ..44 R E A C C I O N E S Y E S F U E R ZO
ZO S T O T A L E S 53
CAPÍTULO 7. INTERACCIÓN DE ENTRAMADOS 111
111
................................................................................
4 ..33 ..55 C A S O D E E N T R A M A D O CO
CO N V O L A D I Z O S ...................................................................... 54
7 ..11 FUNCIÓN CONECTADORA DE LOSAS Y FORJAD OS ...................................................................... 111
4 . 3 .6
.6 EJEMPLOS DE APL ICAC IÓN ........................................................................................................... 55
7.2 CÁLCULO DE LAS FUERZAS DE INTERA CCIÓN .............................................................................. 11 2
4 . 33.. 7 S I M P L I F IC
IC A C I O N E S P O R S IM
IM E T R Í A Y A N T I M E T R Í A . T E O R E M A D E
7 ..33 CÁLCULO DE LOS ENTRA MA DOS ............................................................................................................... 11 3
ANDRÉE ............................................................................................................................................................ 61
7 ..44 C A S O P A R T IC
IC U L A R D E ED
E D I F IC
IC I O S M U Y A L A R G A D O S ............................................................ 11 3
4 ..33 . 8 RIGIDEZ VIRTUAL EN EL CASO DE SIM ETR ÍA ............................................................ 61
7 ..55 F U N C I O N A M I E N T O D E L F O R J A D O E N U N S O L O P L A N O ( A C C IÓ
IÓ N
4 . 3 .9
.9 RIGIDEZ VIRTUAL EN EL CASO DE AN TIM ETR ÍA .................................................... 62
DIAFRAGMA) ............................................................................................................................................................... 11 4
4 . 33.. 1 0 ENTRAM ADO S REDUCIDOS EN CASO DE SIM ETR ÍA ............................................ 63
4 ..33 ..11 1 ENTRAMADOS REDUCIDOS EN CASO DE AN TIMETR ÍA 63
CAPÍTULO 8. MÉTODOS SIMPLIFICADOS DE CÁLCULO DE ESTRUCTURAS
ESTRUCTURAS
....................................
4 . 33.. 1 2 ORDENA CIÓN PRÁCTICA DE LOS CÁLCULOS 66

BAJO ACCIONES VERTICALES Y HORIZONTALES. CÁLCULO
..............................................................
4 . 33.. 1 3 COM PROBACIÓN DE LOS CÁLCULOS 66

..................................................................................
DE ENTRAMADOS BAJO ACCIONES DE VIENTO Y SISMO.
C A P Í T U L O 5 . M É T O D O S C L Á S I C O S D E C Á L C U L O D E E ST
ST R U C T U R A S FLEXIONES NORMALES A LOS ENTRAMADOS 115
115
TRASLACIONALES .......................................................................................................................... 69 8 ..11 TIPOS DE SIMPLIFICACIONES ........................................................................................................................... 115
5 ..11 ENTRAM ADO S TRASLACIONA LES ............................................................................................................ 69 8 ..22 S I M P L I F IC
IC A C I O N E S P A R A E L C A S O D E E N T R A M A D O S C O N V A N O S D E
5 ..11 ..11 M O M E N T O S IN
IN D U C I D O S P O R L A T R A S L A C I Ó N D E U N A P O Y O ...................... 70 LUCES IGUALES SOMETIDOS A CARGAS VERTICALES ........................................................... 116
116
5 . 11.. 2 CAUSAS DE TRASLACION ALIDA D ............................................................................................ 71 8 ..33 S I M P L I F IC
IC A C I Ó N P A RA
RA E L C Á L C U L O D E E N T R A M A D O S E N G E N E R A L ,
5 . 11.. 3 PLANTEAM IENTO GENER AL DEL PROBLEM A ................................................................ 72 S O M E T ID
ID O S A C A R G A S V E R T I C A L E S ...................................................................... ..............................
. 118
5 . 11.. 4 MÉTO DO DE CROSS ................................................................................................................................. 73 8 ..44 S I M P L I F IC
IC A C I Ó N P A R A E L C A S O D E C A R G A S H O R I Z O N T A L E S . M É T O D O A 1 18
18
5 ..11 ..44 ..11 A S I E N T O D E A P O Y O S ........................................................................................................ 73 8 ..55 S I M P L I F IC
IC A C I Ó N P A R A E L C A S O D E C A R G A S H O R I Z O N T A L E S . M É T O D O B 1 20
20
5 . 11.. 4 .2
.2 E F E C T O S T E R M O H I G R O M É T R I C O S ............ 78 8.6 C Á L C U L O D E E N T R A M A D O S B A J O A C C I O N E S D E V I E N T O Y S I SM
SM O 1 21
21
5 . 11.. 4 .3
.3 A C C I O N E S E X T E R I O R E S .................................................................................................. 85 8 ..77 CASO PARTICULAR DE ACCIONES HORIZONTALES EN SENTIDO
P E R P E N D IC
IC U L A R A L P L A N O M E D I O D E L E N T R A M A D O ........................................................ 12 2
CAPÍTULO 6. ESTRUCTURAS CON APOYOS ELÁSTICOS Y EMPOTRAM IENTOS
8.8 F L E X IO
IO N E S N O R M A L E S A L E N T R A M A D O .......................................................................................... 12 5
FLEXIBLES ............................................................................................................................................... 93
6 ..11 APOYOS ELÁS TICOS ................................................................................................................................................. 93 CAPÍTULO 9. HIPÓTESIS DE CARGA EN EL CÁLCULO DE ESTRUCTURAS 127
6 ..11 ..11 APOYOS CON TRASLACIONES ELÁSTICAS ........................................................................ 93
9 ..11 CARGA EN VANO ......................................................................................................................................................... 12 7
6 ..22 APOYOS CON EMPOTRAMIENTO FLEXIBLES .................................................................................... 10 0
9 ..22 COMBINACIONES DE CARGA EN ENTRAM ADO S ......................................................................... 12 8
6 ..33 EMPOTRA MIENTOS FLEXIBLES ...................................................................................................................... 101
9.3 RE D U CC IÓ N D E S O B RE C A R G A S...............
. ...............
. ...............
. ...............
. ...............
. ...........
............
. ...............
. ...............
. ...............
. ...............
. ...............
. ...............
. ...............
. .......130
6 ..33 ..11 RIGIDEZ Y FACTOR DE TRANSMISIÓN EN EL CASO DE
9 ..44 SOBRECARG AS ............................................................................................................................................................ 131
EMPOTRAMIENTOS FLEXIBLES 10 2
9 ..44 ..11 S O B R E C A R G A S D E U S O E N E D I FI FI C I O S D E V I V I E N D A S , O F IC IC I N A S Y
..................................................................................................
6 . 33.. 11.. 1 P I E Z A B I E M P O T R A D A C O N E M P O T R A M I E N T O S F L E X I B L E S
ANÁLOGOS .................................................................................................................................................... 13 1
EN LOS DOS EXTREMO S 10 3
9 ..44 ..11 ..11 REDUC CIÓN DE SOBRECAR GAS 131
..................................................................................................
............................................................................
6 . 33.. 11.. 2 P I E Z A B I E M P O T R A D A C O N E M P O T R A M I E N T O F L E X I B L E E N
9 . 44.. 2 S O B R E C A R G A S D E U S O E N E D I F I C IO
IO S IN
IN D U S T R I A L E S ......................................... 13 6
UN EXTREMO 10 5
9 ..44 ..33 SOBRECARGA DE USO EN GARAJES APARCAM IENTOS 13 7
.............................................................................................................................
........................................
6 . 33.. 11.. 3 P I E Z A A R T I C U L A D A C O N E M P O T R A M I E N T O F L E X I B L E 105

9 . 44.. 4 SOBRECARGA S DE USO EN PUENTES DE CARRE TERA 13 7
...................
.........................................
6 ..33 . 2 M O M E N T O S D E E M P O T R A M I E N T O D E L A P I E ZA
ZA B I E M P O T R A D A
9 . 44.. 5 SOBRECARGA S DE USO EN PUENTES DE FERROCA RRIL ..................................... 13 9
CON EMPOTRA MIENTOS FLEXIBLES EN AMBOS EXTREM OS Y
9 ..44 . 6 SOBRECARG A DE NIEVE ..................................................................................................................... 14 2
S O M E T I D A A C A R G A U N I F O R M E M E N T E R E PA
P A R T ID
ID A S O B R E T O D A
9 ..44 ..77 S O B R E C A R G A D E V I E N T O .................................................................................................................. 142
LA LU Z ........................................................................................................................................... 10 6 9 ..55 C O M B I N A C I O N E S P É S I M A S P A R A E L D I M E N S I O N A M I E N T O ............................................... 14 3
6 ..33 ..33 M O M E N T O S D E EM
E M P O T R A M I E N T O D E L A P IE
I E Z A CO
CO N
9.5.1 DINTELES ......................................................................................................................................................... 14 3
EMPOTRAMIENTOS FLEXIBLES SOMETIDA A CARGAS
9.5.2 PILARES ............................................................................................................................................................... 14 4
CUALESQUIERA - ................................................ - ................ ................ ................ ............... .............. 10"?
6 ..33 ..44 M O M E N T O S I N D U C I D O S E N U N A V I G A C O N EM
EM P O T R A M I E N T O S
CAPÍTULO 10. LUCES, MÓDULOS DE DEFORMACIÓN E INERCIAS A
F L E X IB
IB L E S P O R L A T R A S L A C I Ó N D E U N A P O Y O ....................................................... 10 8 CONSIDERAR EN EL CÁLCULO. TRASLACIONALIDAD E
6 ..33 ..44 ..11 VIGA BIEMPOTRADA CON EMPOTRA MIENTOS FLEXIBLES INTRASLACIONALIDAD DE LAS ESTRU CTURAS. REDUCCIÓN
EN AMBOS EXTREM OS ..................................................................................................... 10 8 DE CARGAS PUNTUALES Y CARGAS UNIFORMES A LO LARGO
6 . 33.. 4 .2
.2 V I G A B I E M P O T R A D A C O N E M P O T R A M I E N T O F L E X I B L E
DE LA LUZ. CASO DE CARGAS RÍGIDAS. INFLUENCIA DE LOS
EN UN SOLO EXTREMO 10 9
..................................................................................................
RELLENOS DE FÁBRICA SOBRE EL COMPORTAMIENTO COMPORTAMIENTO DE LA
6 . 33.. 4 .3
.3 P I E Z A A R T I C U L A D A C O N E M P O T R A M I E N T O F L E X I B L E 10 9
...................
ESTRUCTURA.................................................................................................... 149
882 883
1 0.
0. 1 LUCES DE CÁLC ULO ................................................. 149
1 5 .2
.2 MÉTODO S SIMPLIFICADOS PARA EL CÁLCULO DE ESFUERZOS DEBIDOS A
1 00.. 2 M Ó D U L O D E D E F O R M A C I Ó N ............................ |5()
A C C I O N E S V E R T I C A L E S ............................................................................................................................. 22 0
1 00.. 3 M O M E N T O S D E I N E R C IA
IA A C O N S ID
ID E R A R E N E L C Á L C U L O ............................................. 151
1 5 .2
.2 . 1 M É T O D O D E L A N O R M A A C I 3 1 8 -9 -9 5.................................................................................. 22 0
1 00.. 4 T R A S L A C IO
IO N A L I D A D E I N T R A S L A C IO IO N A L I D A D D E L O S E N T R A M A D O S 1 5533
1 5 .2
.2 . 11.. 1 V I G A S C O N T I N U A S ................................................................................................. 22 0
1 0 .5
.5 REDUC CIÓN DE CARGAS PUNTU ALES Y CARGAS UNIFORM ES A LO
15.2.1.2 E N T R A M A D O S ............................................................................................................. 22 0
L A R G O D E L A L U Z ................................................................ 154
1 5 .2
.2 . 2 MÉTOD O DE LA INSTRUCCIÓN EHE ................................................................................ 22 0
1 0 .6
.6 C A S O D E C A R G A S R Í G I D A S ......................................................................... I56
1 5.
5. 3 M É T O D O S S I M P L I F I C A D O S P A R A E L C Á L C U L O D E S O L I C I TA
TA C I O N E S
1 0 .7
.7 INFLUENCIA DE LOS RELLENOS DE FÁBRICA EN EL COMPORTAM IENTO
D E B I D A S A A C C I O N E S H O R I Z O N T A L E S ........................................................................................... 223
DE LOS ENTRAMADOS ,
................................................................................................................................ 156 1 5 .3
.3 ..11 M É T O D O D E L P Ó R T I C O .............................................................................................................. 22 3
10.7 .1 T R A N S M I S I O N D E C A R G A S V E R T I C A L E S ..................................................................... 157
1 55.. 3.
3. 2 MÉTODO DEL VOL ADIZO ........................................................................................................ 22 6
1 0 .7
.7 . 2 T R A N S M I S I Ó N D E C A R G A S H O R I Z O N T A L E S ............................................................. 158
1 5 .3
.3 . 3 C O R R E C C I Ó N D E B U L L Y S V E D A LO
LO S M É T O D O S D E L P Ó R T I C O Y
DEL VOLADIZO .............................................................................................................................. 22 9
C A P Í T U L O 1 1.
1. ENLAC ES TEÓRICOS Y ENLACE S REALES. APARATOS DE
1 5 .3
.3 . 4 MÉTODO DE LA NORM A BAEL 83 ...................................................................................... 231
APOYO. ROTULAS PLÁSTICAS. BRO CHALES. ENLACE DE LOS
PILARES A LA CIMENTACIÓN
11 .1 T I PO
PO S D E A N C L A J E .................................................................................
165
|6 -
CAPÍTULO 16. PREDIMENSIONAMIENTO 233
1 6.
6. 1 C O N S I D E R A C I O N E S P R E V I A S ................................................................................................................. 23 3
1 11.. 2 CIASES DE APO YO S ............................................................................. 165
1 6 .2
.2 D E T E R M I N A C I Ó N D E E S F U E R Z O S Y D I M E N S I O N E S .............................................................. 23 4
1 1.
1. 3 CÁLCULO DE DISPOSITIVOS DE CENTRAD O DE CAR GA S 173
1 6.
6. 2.
2. 1 LOSAS Y FORJADOS CON LA MISMA CAPACIDAD RESISTENTE A
1 11.. 4 C Á L C U L O D E A P O Y O S E L A S T O M É R I C O S ......................................................................... ' i , 76
M O M E N T O S P O S I TI
TI V O S Y N E G A T I V O S ......................................................................... 23 5
1 1.
1. 5 C Á L C U L O D E R Ó T U L A S P L Á S T I C A S ........................................... lg ]
1 6 .2
.2 . 2 VIGAS CONTINUAS Y DINTELES DE ENTRAM ADOS SOMETIDOS A
11.6 B R O C H A L E S ....................................................................................... .................................................... Ig 4
A C C I O N E S V E R T I C A L E S .......................................................................................................... 23 9
1 1.
1. 7 E M P O T R A M I E N T O S I M P R E V I S T O S ............................................................. 185
1 6 .2
.2 ..33 P I L A R E S D E E N T R A M A D O S S O M E T I D O S A A C C I O N E S V E R T I C A L E S . .... 240
1 1.
1. 8 ENLAC E DE LOS PILARES A LA CIMEN TACIÓN ....................................................................... 185
1 6 .2
.2 . 4 ENTRAM ADOS SOMETIDOS A ACCIONES HORIZONTALES Y
VERTICALES .................................................................................................................................... 24 2
C A P Í T U L O 12 . N O C I O N E S D E C Á L C U L O M A T R I C I A L D E E S T R U C T U R A S 191 1 6 .2
.2 . 5 FORJADOS SIN VIGAS SOMETIDOS A ACCIONES V E R T I C A L E S........ 24 3
1 2 . 1 I N T R O D U C C I Ó N ............................................................................................................ I91
1 6 .2
.2 . 6 FORJADOS SIN VIGAS SOMETIDOS A ACCIONES HORIZON TALES 245
1 2 .2
.2 EJEMPLO N° 1. CÁLCULO MATRICIAL DE UNA VIGA CON TINUA .............................. 191
1 6 .2
.2 . 7 P Ó R T I C O S S I M É T R IC
IC O S D E U N S O L O V A N O C O N D I N T E L
1 2 .3
.3 E J E M P L O N ° 2 . C Á L C U L O M A T R I C I A L D E U N E N T R A M A D O A I S L A D O .................. 194
H O R I Z O N T A L ................................................................................................................................... 24 6
1 2 .4
.4 PLANTEAM IENTO GENERAL DEL CÁLCULO MATRICIAL DE ENTRAM ADOS
1 6 .2
.2 . 8 P Ó R T I C O S S I M É T R I C O S A D O S A G U A S ......................................................................... 27 0
E S P A C I A L E S ....................................................................................... I99
1 6 .2
.2 . 9 PÓRTICOS DE VARIOS VANOS Y UN SOLO PIS O ................................................... 28 6
1 6 .2
.2 . 1 0 A R C O S P A R A B Ó L I C O S T R I A R T I C U L A D O S ................................................................ 28 8
3. C Á L C U L O M E D I A N T E O R D E N A D O R 2 07
07
1 6.
6. 2.
2. 11
11 A R C O S P A R A B Ó L I C O S B I A R T I C U L A D O S ................................................................... 29 6
1 3 . 1 I N T R O D U C C I Ó N ....................................................................................... 9Q7
1 6 .2
.2 . 1122 M U R O S D E C O N T E N C I Ó N ....................................................................................................... 301
1 3 .2
.2 NORM ALIZACIÓN ESPAÑOLA SOBRE EL USO DE ORDEN ADOR ES EN EL
1 6 .2
.2 . 1133 ZAPATAS CORRIDAS DE HORM IGÓN ARMAD O CON CARGA
C Á L C U L O D E E S TR
TR U C T U R A S D E H O R M I G Ó N ......................................................................... 20 8
L I N E A L V E R T IC
IC A L C E N T R A D A D E V A L O R C O N S T A N T E ................................. 303
1 3 .3
.3 ASPECTOS GENERALES DE LOS PROGRA MAS PARA EL CÁLCULO DE
1 6 .2
.2 . 1 4 Z A P A TA
TA S A IS
IS L A D A S D E P L A N T A C U A D R A D A D E H O R M I G Ó N
E S T R U C T U R A S D E H O R M I G Ó N ............................................................................ 20 9
A R M A D O C O N C A R G A V E R T IC
IC A L C E N T R A D A ....................................................... 30 4
1 3 .4
.4 T I P O S D E P R O G R A M A S .................................................................................. 211
1 66.. 3 TANTEO DE DIMENSION AMIFNTO ................................................................................................... 305
1 33.. 5 P R O B L E M A S D E R IV
IV A D O S D E L U SO
SO E R R Ó N E O D E L O R D E N A D O R .............................. 21 2
1 66.. 4 N E C E S ID
ID A D EV
EV E N T U A L D E C O R R E C C I O N E S ........................................................................... 305
4. E X A M E N C R Í T I C O D E L O S M É T O D O S D E C Á L C U L O L I N E A L 2 13
13 CAPÍTULO 17. C Á L C U L O N O L IN
IN E A L ....................................................................................................... 307
1 4 . 1 G E N E R A L I D A D E S .................................................................................... 9I 3
1 7.
7. 1 GENERALIDA DES SOBRE CÁLCULO NO LINEAL. RÓTULAS PLÁ STICA S 307
1 44.. 2 M Ó D U L O D E D EF
EF O R M A C I Ó N £ ....................................................................... 21 4
1 7 .2
.2 REDISTRIBUCIÓN DE MOM ENTOS CON FORMA CIÓN DE RÓTULAS
1 44.. 3 MOMENTO DE INE RC IA/ !............................................................ 916
P L Á S T I C A S ............................................................................................................................................................ 31 0
1 4 .4
.4 LUCES DE CÁLCU LO ............................................................................................. 21 8
1 7 .3
.3 DEFORM ACIONES ELÁSTICAS Y PLÁSTICAS. CURVATURAS Y
1 4.
4. 5 ALGUN AS HIPÓTESIS BÁ SICA S 21 8
R O T A C I O N E S ........................................................................................................................................................ 315
..............................................................................
1 7 .4
.4 R E D I S T R I B U C I Ó N D E M O M E N T O S C O N FO
FO R M A C I Ó N D E Z O N A S
5. MÉTODO S APROXIMAD OS 2 19
19
P L A S T I F I C A D A S ................................................................................................................................................ 318
1 55.. 1 I N T E RÉ
RÉ S A C T U A L D E L O S M É T O D O S A P R O X I M A D O S ..................................... 21 9
1 7 .4
.4 ..11 M O D E L O S G E N E R A L E S ............................................................................................................. 31 8
88 4
88 5
17.4.2 www.libreriaingeniero.com
17.4.2 GRADO DE REDISTRIBUCIÓN .................................................................................... 322
1 9 .4
.4 ..11 ..11 CÁLCU LO A FLEXIÓN DE LA PLACA ................................................................ 36 9
1 77.. 5 M É T O D O S G E N E R A L E S D E C Á L C U L O N O L IN
IN E A L 323
1 9 .4
.4 ..11 ..22 CÁLCULO A PUNZON AM IENTO 38 0
........................................................................
.............................................................................
1 7.
7 . 5 ..11 P L A N T E A M I EN
EN T O G E N E R A L 323
1 9 .4
.4 ..11 ..33 CÁLCU LO A ESFUERZO RA SA NT E 38 0
...........................................................................................................
.....................................................................
1 7 .5
.5 ..11 ..11 M É T O D O D E L A S R O T A C I O N E S IM
IM P U E S T A S ( M A C H I ) .................... 32 8 1 9 .4
.4 ..11 ..44 ESFUERZOS AXILES Y MOM ENTOS EN PILAR ES ................................. 38 2
1 7 .5
.5 . 11.. 2 M É T O D O D E L A S R O T A C I O N E S Ú L T IM
IM A S ( B A K E R ) .......................... 329
1 9 .4
.4 ..22 MÉTO DO GENERAL DE LOS PÓRTICOS VIRTUA LES ............................................... 38 5
1 77.. 55.. 2 S O L U C I Ó N M E D I A N T E M É T O D O S D E C Á L C U L O N U M É R I C O ......................... 330 1 9 .4
.4 ..22 ..11 ACCIONE S VERT ICALES ............................................................................................... 38 6
1 7 .6
.6 M É T O D O S B A S A D O S E N L A R E D I S T R I B U C I Ó N A PA
PA R T I R D E L O S 1 9 .4
.4 ..22 ..22 ACCIONES HORIZON TALES ....................................................................................... 38 6
RESULTADOS DEL CÁLCU LO LINEAL, PARA ELEMEN TOS LINEALES DE
1 9 .4
.4 ..22 ..33 ALTERNA NCIA DE SOB RECA RGA S ................................................................... 39 0
H O R M IG
IG Ó N A R M A D O ................................................................................................................................................. 33 {
1 9 .4
.4 ..22 ..44 DISTRIBUCIÓN DE M OM EN TO S ............................................................................ 39 0
1 7 .6
.6 ..11 M É T O D O D E L A M E R I C A N C O N C R E T E I N S T I T U T E ( A C I ) .................................. 332
1 9.
9. 44.. 3 RIGIDECES, FACTORES DE TRAN SMISIÓN Y MOM ENTOS DE
1 77.. 66.. 2 M É T O D O D E L A I N S T R U C C IÓ
IÓ N E H E ..................................................................................... 335
E M P O T R A M I E N T O Q U E D E B E N S E R C O N S I D E RA
RA D O S
1 7 .6
.6 ..33 M É T O D O D E L M O D E L C O D E C E B - F I P Í M C - 9 0 ) ............................................................. 33 5 E N A M BO
BO S M É T O D O S .......................................................................................................................... 39 0
1 7 .6
.6 ..44 MÉTOD O DEL EUROCÓD IGO EC -2 .......................................................................................... 337
1 9 .4
.4 . 4 TRAN SMISIÓN DE MOM ENTOS DE LAS PLACAS A LOS PILAR ES 3 91
91
1 77.. 7 P R O G R A M A S D E O R D E N A D O R P A RA
R A CÁ
CÁ L C U L O N O L I N E A L .............................................. 33 7 1 9 .4
.4 ..44 ..11 M É T O D O D E L A C I ................................................................................................................ 391
1 7 .8
.8 SITUACIÓN ACTUA L DE LA APLICABILIDAD PRÁCTICA DEL CÁLCULO 1 9 .4
.4 ..44 ..22 MÉTO DO EH E .......................................................................................................................... 39 3
N O L IN E A L 33g
19.4.5 VOLADIZOS 39 4
........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
1 9 .4
.4 ..66 T O R S I O N E S . T O R S I O N E S E N V I G A S Y Z U N C H O S D E B O R D E ......................... 39 5
C A P Í T U L O 1 88.. C Á L C U L O D E E S F U E R Z O S E N F O R J A D O S U N I D I R E C C IO
IO N A L E S 3 4433 1 9 .4
.4 ..77 DEFO RM ACION ES .................................................................................................................................... 39 6
1 8.
8. 1 GEN ERALID ADE S ............................................................................................................................................................ 343
1 9 .4
.4 ..77 ..11 MÉTO DO SIMPLIFICADO DE SCANLON Y MURRAY .......................... 39 6
1 88.. 2 COMBINACIONES DE ACC IONES ..................................................................................................................... 34 3
1 9 .4
.4 ..77 ..22 MÉTO DO DE GARC ÍA DUTARI Y CALAVERA ............................................. 39 7
1 88.. 3 MÉTODOS BASADOS EN EL CÁLCULO LINEAL ................................................................................ 344 1 9 .4
.4 ..77 ..33 DEFORM ACIONES EN EL CASO DE FORJADOS
1 8 .3
.3 ..11 C A S O D E V A N O S D E LU
LU C E S I G U A L E S ................................................................................... 34 4 PRETENSADOS CON ARM ADURAS POSTES AS ........................................ 39 8
1 8 .3
.3 ..22 M É T O D O D E C R O S S P A R A F O R J A D O S D E S E C C IÓ
IÓ N C O N S T A N T E 1 9.
9. 5 ABERTURA S EN LA PLA CA ................................................................................................................................. 39 8
CON EXTREMOS EXTERIORES SIMPLEMENTE APOYADOS .............................. 34 4 1 9.
9. 6 CÁLCULO FUERA DE LAS NOR MA S ............................................................................................................ 39 9
1 8 .3
.3 ..33 M É T O D O S IM
IM P L I F I C A D O D E L A M E R I C A N C O N C R E T E IN
IN S T I T U T E
(ACI) PARA FORJADOS CO NTINUO S CUYAS LUCES NO DIFIEREN C A P Í T U L O 2 00.. CÁLCULO DE ESFUERZOS EN PLACAS 4 0033
EN MÁS DEL 20% ....................................................................................................................................... 34 6 2 0 .1

.1 GEN ERALIDA DES .......................................................................................................................................................... 40 3
1 88.. 4 M É T O D O S B A SA
SA D O S E N L A R E A D A P T A C I Ó N P L Á S T I C A ....................................................... 34 7 2 00.. 2 MÉTODOS GENERALES DE CÁLCU LO ..................................................................................................... 40 4
2 0 .2
.2 ..11 MÉTO DOS ELÁ STICOS 40 5
1 8 .4
.4 ..11 M É T O D O D E L A I N S T R U C C I Ó N B A E L - 8 3 PA
PA R A F O R J A D O S C O N
........................................................................................................................
SOBRECARGA M ODERADA Y LUCES DE VANOS CONSECUTIVOS 2 0 .2

.2 . 2 MÉTO DOS EN ESTADO LÍM ITE ................................................................................................... 4 10
C O M P R E N D I D A S E N T R E 0 , 8 0 Y 1 , 25
25 V E C E S L A D E L V A N O 2 0 .2
.2 ..22 ..11 M É T O D O D E L A S L ÍN
ÍN E A S D E R O T U R A ( J O H A N S E N )......................... 41 0
CONSIDERADO .............................................................................................................................................. 34 7 2 0 .2
.2 . 22.. 2 M É T O D O D E L A S B A N D A S (H
(H I L L E R B O R G ) ................................................ 4 10
1 8 .4
.4 ..11 ..11 CASO EN QUE NO EXISTEN VOLA DIZO S ..................................................... 35 2 2 0 .3
.3 ESFUERZOS COR TAN TES ...................................................................................................................................... 41 5
1 88.. 44.. 11.. 2 C A S O E N Q U E E X I S T E N V O L A D I Z O S ............................................................... 35 4 2 0 .4

.4 CASO DE CARGAS CONCEN TRADA S ......................................................................................................... 4 16
1 8 .4
.4 ..22 MÉTO DO DE LA INSTRUCCIÓN EF ............................................................................................. 35 6 CAPÍTUL O 21. PANTALLAS Y NÚC LEOS 4 2211
1 88.. 5 P U N T O S D E C O R TE
TE D E L A S B A R R A S D E L A A R M A D U R A ...................................................... 35 9 2 1 .1
.1 GEN ERALIDA DES .......................................................................................................................................................... 42 1
1 88.. 5 ..11 MÉTODOS BASADOS EN LA CONTINUIDAD TEÓRICA .......................................... 35 9 2 1 .2
.2 DISPOSICIÓN EN PLA NTA ..................................................................................................................................... 422
1 88.. 55.. 2 MÉTODOS BASADOS EN LA READAPTACIÓN PLÁSTICA .................................... 36 0 2 1 .3
.3 FUERZAS EN CADA PLANT A .............................................................................................................................. 42 3
1 88.. 6 CONSIDERACIÓN GENERAL DE LOS MÉTODOS EXPUESTOS BASADOS EN 2 1 .4
.4 D I S T R I B U C I Ó N D E L A F U E R Z A H O R I Z O N T A L D E P L A N T A E N T R E LA
LA S
L A R E A D A P T A C IÓ
IÓ N P L Á S T I C A .......................................................................................................................... 361 DIVERSAS PANTALLAS ............................................................................................................................................. 42 3
1 88.. 7 C A S O D E F O R J A D O S D E U N S O L O V A N O O D E F O R J A D O S D E V A R IO
IO S 2 1 .4
.4 ..11 DISTRIBUCIÓN ISOSTÁ TICA ......................................................................................................... 42 3
VANOS CALCULADOS COMO ISOSTÁTICOS ......................................................................................... 36 1 2 1 .4
.4 . 2 D I S T R I B U C I Ó N H IP
IP E R E S T Á T I C A . C A S O P A R T I C U L A R D E P A N T A L L A S
PARALELAS ...................................................................................................................................................... 42 5
C A P Í T U L O 1 99.. C Á L C U L O D E E S F U E R Z O S E N F O R J A D O S S IN
IN V I G A S 3 6655 2 1 .4
.4 . 3 DISTRIBUCIÓN HIPERESTÁTICA. MÉTO DO DE LIN PARA EL CÁLCULO
1 9.
9. 1 GEN ERALID ADE S ............................................................................................................................................................ 36 5 D E L A D I S T R I B U C IÓ
IÓ N D E L A F U E R Z A H O R I Z O N T A L A C T U A N T E E N
1 9 .2
.2 TERM INOL OG ÍA ............................................................................................................................................................... 36 7 UNA PLANTA ENTRE LAS DIFERENTES PANTALLAS EN CUALQ UIER
1 9.
9. 3 REQUISITOS DIME NSIONA LES ........................................................................................................................... 36 7 POSICIÓN ......................................................................................................................................................... 42 7
1 99.. 4 CÁLCULO DE ESFUERZ OS ..................................................................................................................................... 36 8 2 1 .5
.5 D E T E R M I N A C I Ó N D E LA
LA D I R E C C I Ó N P É S I M A D E L A F U E R Z A H O R I Z O N T A L
1 9 .4
.4 ..11 MÉTO DO SIMPLIFICADO ..................................................................................................................... 36 9 P A R A U N A P A N T A LL
LL A D E T E R M I N A D A ...................................................................................................... 43 8
88 6 88 7
21.6 C Á L C U L O D E E S F U E R Z O S E N PA
PA N T A L L AS
AS C O N H U E C O S ................................................ 44 0 2 4 . 33.. 3 J U N T A S H O R I Z O N T A L E S E N P IE
IE Z A S D E D I R E C T R I Z V E R T I C A L O
2 1 ..77 M É T O D O D E R O S M A N - B E C K P A R A T E N E R E N C U E N T A LA
LA D E F O R M A C I Ó N C U A S ¡ V E R T I C A L ................................................................................................................................ 48 3
DE LAS MÉNSULAS DEBIDA AL ESFUERZO AXIL ....................................................................... 44 5 2 4 . 3 ..44 JUNTAS EN PIEZAS DE DIRECTRIZ HORIZONTAL O CUASIHORIZON TAL
2 i.s A b a c o s d e a l b i g e s y g o u l e t p a r a e l c á l c u l o d e p a n t a l la s c o n S O M E T I D A S A F L E X I Ó N .............................................................................................................. 48 4
H U E C O S .......................................................................................................................................................................... 44 8 2 4 . 33.. 5 CUESTIONES BÁSICAS PLANTEA DAS POR LAS JUNTAS DE TRABA JO
2 1 .8
.8 . 1 C A S O G E N E R A L ( 1 < a < 1 0 ) ................................................................................................... 44 8 Y DE CON TRACCIÓN EN PIEZAS DE D IRECTRIZ HORIZONTAL O
2 1 . 8 ..22 CASO PARTICULAR CORR ESPON DIENTE A a < 1 ................................................... 45 0 CUASIHORIZONTAL SOMETIDAS A FLEXIÓN ............................................................ 48 5
2 1 . 8 ..33 CASO PARTICULAR CORR ESPON DIENTE A a < 1 0 ................................................ 45 0 2 4 . 3 ..66 JUNTAS DE CONTR ACCIÓN EN PIEZAS DE DIRECTR IZ HORIZON TAL O
21.9 P A N T A L L A S C O N V A R IA
IA S F I L A S D E H U E C O S .............................................................................. 45 0 CUASIHORIZONTAL SOMETIDAS A FLEXIÓN ............................................................ 48 6
2 1 ..11 0 C A R G A S V E R T I C A L E S E N P A N T A L LA
LA S C O N H U E C O S . M É T O D O D E 2 4 .3
.3 . 6 ..11 POSICIÓN E INCL INAC IÓN ................................................................................... 48 6
D A V I D O V I C I ........................ 45 0 24.3.6.2 RUGOSIDAD ..................................................................................................................... 48 8
2 1 .1
.1 1 C A S O P A R T I C U L A R D E PA
PA N T A L L A S A P O Y A D A S S O B R E P I L A R E S E N 2 4 . 3 ..66 . 3 T R A T A M I E N T O P R E V I O A L A C O N T I N U A C I Ó N D E L
PL A NT A B A JA ....................................
......................................
......................................
.......................................
.......................................
......................................
......................................
........................
..... 45 2 HORMIGONADO ............................................................................................................ 49 0
2 1 ..11 2 O T R O S M É T O D O S D E C Á L C U L O .............................................................................................................. 45 3 2 4 ..33 . 6.
6. 4 D U R A C I Ó N M Á X I M A D E L A A P E R T U R A D E L A JU
JU N T A ................. 49 1
21.13 NÚCLEOS ............................................ 45 4 2 4 . 3 ..66 . 5 C O M P A C T A C I Ó N E N L A Z O N A P R Ó X I M A A L A J U N T A ................... 491
2 4 . 3 ..66 . 6 D I S T A N C I A E N T R E J U N T A S D E C O N T R A C C I Ó N .................................. 491
C A P Í T U L O 2 2 . I N T E R A C C I Ó N D E E N T R A M A D O S C O N P A N T A LL
LL A S 2 4 ..33 .6
.6 .7
.7 T I E M P O M Í N I M O D E A P E R T U R A D E L A J U N T A ................................... 49 2
Y NÚCLEOS ...................................................................................................................................... 45 7 2 4 . 3 ..66 . 8 P O S I C I Ó N A L O L A R G O D E L A D I R E C T R I Z .............................................. 49 2
22.1 G E N E R A L I D A D E S ............................................................................................................... 45 7 2 4 . 3 ..66 . 9 C A S O S D E F A T I G A O E S F U E R Z O S D E T R A C C I Ó N
2 2 ..22 CONSIDERACIONES SOBRE LOS MÉTODOS DE CÁLCULO ................................................ 45 8 N O R M A L ES A LA JU N T A ......................................................................................... 49 3
2 2 ..33 M É T O D O D E K H A N Y S B A R O U N I S ......................................................................................................... 45 9 2 4 . 3 ..77 J U N T A S D E T R A B A J O .................................................................................................................... 49 3
2 2 ..33 .1
.1 ORDENACIÓN DE LOS GRÁFICOS .......................................................................................... 45 9 2 4 . 3 ..88 EJECUC IÓN DE LAS JUNTAS HORIZONTALE S DE TRAB AJO EN PIEZAS
2 2 ..33 . 2 D E S A R R O L L O D E L M É T O D O ..................................................................................................... 461 DE DIREC TRIZ VERTICAL O CUAS [VERTICAL .......................................................... 49 3
2 2 ..33 . 3 VALIDEZ DEL MÉTODO ................................................................................................................... 46 2 2 4 . 3 ..99 CONSIDER ACIONES ESPECIALES PARA JUNTAS DE TRABA JO Y
2 2 ..44 C A S O P A R T I C U LA
LA R D E E S T R U C T U R A S F O R M A D A S P O R P A N TA
TA L L A S Y CONTRACCIÓN EN EL CASO DE HORMIGONES VISTOS ..................................................................... 49 4
FORJADOS SIN VIGAS ........................................................................................................................................ 46 3
C A P Í T U L O 2 55.. C O N C E P T O Y S I S T EM
EM A S D E L H O R M I G Ó N P R E T E N S A D O 4 9977
3. E S T R U C T U R A S R E A L I Z A D A S C O N E N C O F R A D O T Ú N E L 2 55.. 1 D E F I N I C IÓ
IÓ N D E L H O R M I G Ó N P R E T E N S A D O ................................................................................ 49 7
Y S IS
IS T E M A S A N Á L O G O S .................................................................................................... 46 5 2 5 ..22 CONCEPTO GENERAL DEL PRETENSADO ....................................................................................... 49 7
23.1 G E N E R A L I D A D E S .................................................................................................................................................. 46 5 2 5 ..33 CONCEPTOS ESTRUCTURALES DEL HORMIGÓN PRETEN SADO ................................. 50 0
2 3 ..22 CÁLCULO DE ESFUE RZOS ................................................................................................... 46 6 2 5 ..33 .1
.1 COMPENSACIÓN DE TENSIONE S ........................................................................................ 50 0
2 3 ..33 ESTRUCTURAS CON VIGAS-TAB IQUE ................................................................................................. 46 7 2 5 ..33 . 2 COMPENSACIÓN DE DEFOR MA CIONES ....................................................................... 50 2
2 3 ..33 .1
.1 C O N C E P T O S G E N E R A L E S ............................................................................................................. 467 2 5 ..44 TIPOS DE PRETENSA DO ................................................................................................................................ 50 7
2 3 ..33 . 2 C Á L C U L O D E E S F U E R Z O S ............................................................................................................ 46 9 2 5 ..44 .1
.1 HORMIGÓN PRETENSADO CON ARMADURAS PRET ESAS ............................ 50 7
2 5 ..44 . 2 HORMIGÓN PRETENSADO CON ARMADURAS POSTESA S ............................ 511
C A P Í T U L O 2 44.. J U N T A S D E D I L A T A C I Ó N . JU
JU N T A S D E A S I E N T O . J U N T A S D E 2 5 . 44.. 2 ..11 A S P E C T O S G E N E R A L E S ........................................................................................... 511
HORMIGONAD O. JUNTAS DE CONTRACCIÓN 4 7733 2 5 . 4 ..22 . 2 V A R I A N T E S D E L S I S T E M A .................................................................................... 51 2
2 4 .1
.1 JUNTAS DE DILATAC IÓN ................................... 47 3 2 5 . 4 ..22 . 3 F O R M A S T Í P I C A S .......................................................................................................... 51 3
2 4 ..11 .1
.1 C O N C E P T O S G E N E R A L E S .............................................................................................................. 47 3 2 5 ..55 C O M B I N A C I Ó N D E D IF
IF E R E N T E S T I P O S D E P R E T E N S A D O ............................................... 51 5
2 4 . 11.. 2 C Á L C U L O D E L A JU
JU N T A . M É T O D O E M P Í R I C O .............................................................. 47 5 2 5 ..66 F Ó R M U L A S B Á S IC
IC A S D E U N A S E C C I Ó N P R E T E N S A D A ....................................................... 51 6
2 4 ..11 .3
.3 C Á L C U L O D E L A J U N TA
TA . M É T O D O A N A L Í T I C O ............................................ 47 7 2 5 ..77 FORMAS DE CONSIDERACIÓN DEL PRETENSAD O .............................................................. 51 8
2 4 . 1 ..44 T I P O S D E J U N T A S ................................................... 477
2 4 ..11 .5
.5 C O N S I D E R A C I O N E S A D I C I O N A L E S ....................................................................................... 47 9 CAPÍTULO 26. MAT ERIALES Y EQUIPOS PARA HOR MIGÓ N PRETENSADO CON
2 4 . 2 J U N T A S D E A S I E N T O ............................................................................................................................................ 481 ARMADURAS POSTESAS ..................................................................................................... 521
2 4 ..22 .1
.1 C O N C E P T O S G E N E R A L E S ..................................................................................... 481 26.1 G E N E R A L I D A D E S ................................................................................................................................................ 521
2 4 . 2 ..22 P O S I C I Ó N D E L A S J U N T A S ............................................................................................................ 481 2 6 ..22 M A T E R I A LE
LE S Y E Q U I P O S .............................................................................................................................. 52 2
2 4 ..33 J U N T AS
AS D E H O R M I G O N A D O ..................................................................................................................... 481 26.2.1 VAINAS .................................................................................................................................................... 52 2
2 4 ..33 .1
.1 C O N C E P T O S G E N E R A L E S ....................................... 481 26.2.2 TENDONES ............................................................................................................................................ 52 3
2 4 ..33 . 2 A S P E C T O S E S E N C I A L E S D E L A C O N T R A C C I Ó N T É R M I C A ...................... 48 2 26.2.3 G A T O S ....................................................................................................................................................... 52 4
88 8 88 9
2 6 . 2 .4
.4 ANCL AJES
526
..........................................................................................................................................................
2 9 .4
.4 . 2 .1
.1 P É R D I D A A P 10 D E F U E R Z A D E P R E T E N S A D O D E B ID
ID A A L
2 6 .2
.2 ..44 . 1 ANCLA JES ACT IVOS .......................................................................................................... 52 6 ACORTAMIENTO ELÁSTICO ...................................................................................... 615
2 6 . 2 .4
.4 . 2 A N C L A J E S C IE
IE G O S O P A S I V O S ................................................................................ 53 1 2 9 . 4 .2
.2 . 2 P É R D I D A S D I F E R I D A S ..................................................................................................... 6 16
2 6 ..22 ..55 ACOPLADORES O EM PALM ES ....................................................................................................... 53 2 2 9 . 4 .3
.3 M É T O D O S IM
IM P L I F I C A D O P A R A E L C Á L C U L O D E L A S P É R D I D A S D E
2 6 ..33 CONTROL DE TESA DO .............................................................................................................................................. 53 2 FUERZA DE PRETENSADO ................................................................................................................ 6 l6
2 6 ..44 CONTROL DE LA INYECCIÓN ............................................................................................................................. 5 33 2 9 . 4 .4
.4 MÉTO DO PARA TANT EOS .................................................................................................................... 61 9
29.5 FUERZA FINAL DE PRETENSA DO .............................................................................................................. 620
7. MA TERIALES Y EQUIPOS PARA HORM IGÓN PRETENSAD O CON
ARMADURA S PRETESAS 5 39
39 C A P Í T U L O 3 0.
0 . C O N S I D E R A C I Ó N D E L A D U R A B I L ID
ID A D E N E L P R O Y E C T O 6 37
37
2 7 .1
.1 GENE RALIDA DES ............................................................................................................................................................ 53 9 3 0.
0.1 I N T R O D U C C I Ó N ^^ _ 63 7
2 7 ..22 P R E F A B R I C A C IÓ
IÓ N G E N E R A L D E PI
PI E Z A S P R E T E N S A D A S E N M E S A S ........................ 53 9 3 0 ..22 GEN ERALIDADES ¿ ' 'Á
'Á . T
............................................................................................................ 638
2 7 ..33 E M P L E O D E M Á Q U I N A S D E E N C O F R A D O D E S L I Z A N T E .................................... 54 9 3 0 ..33 L A E T A PA
PA D E C O N C E P C I Ó N D E L A E S T R U C T U R A ,^ ......................... - ; ; . . . , ' Á 644
2 7 ..44 P I EZ
EZ A S F A B R I C A D A S P O R E X T R U S I Ó N ................................................................................................... 550 3 0 ..44 A S P E C T O S G E N E R A L E S R EL
E L A C I O N A D O S C O N E L P R O Y l g C T O ........rU . ' :; 2 647
3 0 ..44 ..11 EMPLEO DE UN HORM IGÓN ADEC UAD O Ájj 647
8. P R O P IE
IE D A D E S G E N E R A L E S D E L H O R M I G Ó N . D E F O R M A C I O N E S 30.4.2 REC UBR IMIEN TOS Y SEPAR ACIÓN DE ARM ADU RAS ........ . ............. 6 4 8
FLUENCIA. RETRA CCIÓN. TEMPER ATURA 5 51
51 3 0 .4
.4 ..22 . 1 R E C U B R I M I E N T O S ..................................................................... ^ ■ 648
2 8 .1
.1 GEN ERA LIDAD ES ........................................................................................................................................................... 55
55 1 3 0 ..44 ..22 ..22 S E P A R A C IÓ
IÓ N D E A R M A D U R A S ............................................................................. 650
2 8 ..22 R E S I ST
ST E N C I A S Y M Ó D U L O D E D E F O R M A C I Ó N D E L H O R M I G Ó N ................................. 55 1 3 0.
0 . 4 .3
.3 SEPARADORES ~ ^ 652
2 8 .2
.2 ..11 RESISTENCIA A CO M PRE SIÓN ..................................................................................................... 55 1 3 0 ..44 ..44 CONTROL DEL ANCHO DE FISURA .............................................................................................. 6 53
2 8 . 2 .2
.2 RESISTENCIA A TRA CCIÓN .............................................................................................................. 55 2 3 0 ..55 A S P E C T O S E SP
S P E C Í F IC
IC O S R E L A C IO
IO N A D O S C O N E L H O R M I G Ó N '
........................................ 653
2 8 ..22 ..33 MÓDULO DE DEFO RM ACIÓN ....................................................................................................... 5 54 3 0 ..55 ..11 CALIDAD DEL HOR MIGÓ N .................................................................................................................. 65 3
2 8 ..22 ..44 D E S A R R O L L O D E L A R ES
E S I S T EN
E N C I A A C O M P R E S I Ó N C O N EL
EL T I E M P O , . 5 55
55 3 0 ..55 ..22 PUESTA EN OBRA DEL HORM IGÓN .............................................................................................. 656
2 8 ..22 ..55 DESARROLLO DEL MÓD ULO DE DEFORMA CIÓN CON EL TIEMPO 556 3 0 ..66 CORROSIÓN DE ARM ADU RAS .............................................................................................................................. 657
2 8 ..33 DEFORMA CIONES DEL HORM IGÓN ............................................................................................................. 55 7 3 0 .7
.7 SISTEMAS DE PROTE CCIÓN CONTRA LA CORRO SIÓN Y OTROS
2 8 ..44 FLUENCIA, RETRACCIÓN Y TEMPERATURA ........................................................................................ 5 57 ATAQUES 65 8
......................................................................................................................................................................................
28.4.1 FLUENCIA ......................................................................................................................................................... 55 8 3 0 ..77 ..11 P R O T E C C I Ó N SU

S U P E R F I C IA
IA L D E L E L E M E N T O D E L H O R M I G Ó N ...................... 658
2 8 ..44 ..22 RETRA CCIÓN ................................................................................................................................................. 56
56 1 3 0 ..77 ..22 P R O T E C C I Ó N S U P E R F IC
IC I A L D E L A S A R M A D U R A S ...................................... 659
3 0 .7
.7 . 3 PROTEC CIÓN DE LOS ANC LAJES .................................................................................................. 660
CAPÍTULO 29. PÉRDIDAS DE LA FUERZA DE PRETENSADO . FUERZA FINAL DE 3 0 ..88 A L G U N A S C O N S I D E R A C IO
I O N E S F IN
IN A L E S S O B R E L A D U R A B I L ID
ID A D .............................. 660
PRETENSADO .......................................................................................................................................... 5 65
2 9 ..11 INTROD UCCIÓN ...............................................................................................................................................................5 65 CAPÍTULO 31. C O M P R O B A C I O N E S T E N S IO
IO N A L E S D E L A P I E Z A P R E T E N S A D A
2 9 ..22 T E N S I Ó N I N IC
IC I A L D E P R E T E N S A D O ........................................................................................................... 56 5 EN ESTADO DE SERVICIO. PREDIMENSIONA MIENTO DE
2 9 ..33 P É R D I D A S D E L A FU
F U E R Z A D E PR
PR E T E N S A D O C U A N D O S E E M P L E A N PIEZAS PRETENSADAS 6 65
65
ARMADU RAS POSTESAS ............................................................................................................................................ 566 3 1 ..11 INTRO DUCC IÓN ..................................................................................................................................................................6 65
2 9 .3
.3 ..11 PÉRDIDAS INSTANTÁNE AS DE FUE RZA ............................................................................ 56 7 3 1 ..22 P I E ZA
Z A S P R E T E N S A D A S C O N A R M A D U R A S P O S T E S A S ................................................................ 6 6 5
2 9 ..33 ..22 R E C O R R I D O D E T E S A D O E N A R M A D U R A S P O S T E S A S ........................................ 5 82 3 1 .2
.2 . 1 T E N S I O N E S M Á X I M A S A D M I S IB
IB L E S E N E L I N S T A N T E
2 9 .3
.3 . 3 PÉRDIDAS DIFERIDAS DE FUER ZA .......................................................................................... 58 3 DEL TESADO ....................................................................................................................................................... 66 6
2 9 ..44 PÉRDIDAS DE LA FUERZA DE PRETENSADO CUANDO SE EMPLEAN 3 1 .2
.2 . 2 T E N S I O N E S M Á X I M A S A D M I S I B L E S E N E S T A D O D E S E R V I C I O .................... 669
ARMADURAS PRETESAS ............................................................................................................................................ 5 97 3 1 .2
.2 ..33 SIGNIFICADO GEOM ÉTRICO DEL CONJUN TO DE CONDICIONES
2 9 ..44 ..11 M É T O D O G E N E R A L . P É R D I D A S D E LA
LA F U E R Z A D E P R E T E N S A D O TENSIONALES ................................................................................................................................................... 6 73
C U A N D O S E A P L IC
IC A C A L E F A C C I Ó N ........................................................................................ 5 99 3 1 ..22 ..44 PREDIMENSIONAMIENTO DE LA SECC IÓN ....................................................................... 675
2 9 .4
.4 . 1.
1. 1 PÉRDIDA S DE FUERZA DE PRETENS ADO HASTA LA 3 1 ..22 ..55 TRAZADO DE TEND ONE S ................................................................................................................... 678
TRANSFERENCIA ................................................................................................................... 59 9 3 1 ..22 ..66 F Ó R M U L A S P A RA
R A L A D E F I N IC
IC I Ó N D E LO
LO S T E N D O N E S ......................................... 680
2 9 . 4 .1
.1 . 2 CONSIDER ACIONES SOBRE LAS PÉRDIDAS POR RELAJACIÓN 3 1 ..33 P I E ZA
ZA S P R E T E N S A D A S C O N A R M A D U R A S P R E T E S A S ............................................................... 6 8 2
HASTA LA TRANSFERENCIA CUANDO SE USA SISTEMA DE 3 1 .3
.3 ..11 T E N S I O N E S M Á X I M A S A D M I S IB
IB L E S E N E L I N S T A N T E D E L A
CALEFACCIÓN ......................................................................................................................... 61 3 TRANSFERENCIA ........................................................................................................................................... 68 3
2 9 . 4 . 1.
1. 3 P É R D I D A S D E F U E R Z A D E P R E T E N S A D O P O S T E R I O R E S 3 1 . 33.. 2 TENSIONES MÁX IMAS ADM ISIBLES EN EL ESTADO DE SERV ICIO 685
A LA TRAN SFERENCIA .................................................................................................... 6 14 3 1 .3
.3 . 3 S I G N I F IC
IC A D O G E O M É T R I C O ............................................................................................................. 68 7
2 9 ..44 ..22 P É R D ID
I D A S C U A N D O N O SE
SE A P L I C A C A L E F A C C I Ó N ............................................... 61 5 3 1 ..33 ..44 C A S O D E V I G A S P R E T E N S A D A S D E CA
C A N T O V A R I A B L E ....................................... 688
890 891
2. M É T O D O D E L O S E S T A D O S L Í M I T E Y O T R O S M É T O D O S D E 3 2 .1
.1 2 UTILIZACIÓN DE NORMAS DIFERENTES A LA EHE ............................................... 76 8
C Á L C U L O . C A R A C T E R Í S T IC
IC A S D E L H O R M I G Ó N . 3 2 ..11 3 C O N C E P T O D E S E G U R I D A D G L O B A L D E T E R M I N I S T A ........................................ 76 9
C A R A C T E R Í S T IC
I C A S D E L A S A R M A D U R A S . IN
IN T R O D U C C I Ó N D E 3 2 ..11 4 C O N C E P T O D E S E G U R I D A D A S O B R E C A R G A S .......................................................... 77 1
LA SEGURIDAD EN EL CÁLCU LO 7 05
05
3 2.
2. 1 CONCEPTOS GENERALES SOBRE LOS MÉTODOS DE CÁLCULO DE CAPÍTULO 33. R E G I O N E S D E D I S C O N T I N U I D A D . B IE
IE L A S Y TIRANTES 775
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN .................................................................................................................. 70 5 3 3 .1
.1 ZONAS DE CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD EN LAS ESTRUCTU RAS DE
3 2 ..22 INTRODUCCIÓN DE LA SEGURIDAD ...................................................................................................... 70 7 HORMIGÓN ................................................................................................................................................................ 77 5
3 2 ..22 ..11 EL CONCEPTO DE SEGURIDAD ............................................................................................... 70 7 3 3 ..22 MÉTODOS DE CÁLCULO DE LAS ZONAS DE DISCONTINUIDAD ................................. 77 7
3 2 ..22 ..22 DETERMINISMO Y PROBA BILISMO ..................................................................................... 70 8 3 3 .3
.3 P L A N T E A M I E N T O D E L M É T O D O D E L A S B I E L A S Y T I R A N T E S .................................... 77 8
3 2 ..22 ..33 M É T O D O S E L Á S T IC
IC O S Y M É T O D O S P L Á S T I C O S ...................................................... 70 8 3 3 ..44 C O M P R O B A C I Ó N D E L O S C A M P O S D E T E N SI
SI O N E S E N E L H O R M I G Ó N D E
3 2 .3
.3 M É T O D O D E L O S E S T A D O S L ÍM
ÍM I T E ( I N S T R U C C I Ó N E H E ) .................................................... 70 9 LAS BIELAS ................................................................................................................................................................ 78 0
3 2 .3
.3 .L
.L B A SE
SE S G E N E R AL
A L E S............................................................................................................................ 70 9 3 3 .4
.4 .1
.1 T E N S I O N E S D E C O M P R E S I Ó N D E L H O R M I G Ó N E N B IE
IE L A S NO
3 2 . 3 .2
.2 D E F I N I C I Ó N D E L O S ES
ES T A D O S L Í M I T E ............................................................................. 71 0 C O N F I N A D A S ................................................................................................. 78 0
3 2 .3
.3 . 3 E S T A D O S L Í M I T E Ú L T I M O S ......................................................................................................... 711 3 3 . 4.
4. 2 TENSIONES DE COMPRESIÓN EN EL HORM IGÓN EN BIELAS CON
3 2 . 3 .4
.4 ESTADOS LÍMITE DE UTILIZA CIÓN ..................................................................................... 71 1 ARMADURAS COMPRIMIDAS Y/O ARMADURAS DE
3 2 .3
.3 . 5 NIVELES DE CÁLC ULO EN ESTADOS LÍMITE .............................................................. 71 2 CONFINAMIENTO .............................................................................................................................. 78 3
32.4 ACCIONES .................................................................................................................................................................... 71 2 3 3 ..55 C O M P R O B A C I Ó N D E L O S C A M P O S D E T E N S IO
IO N E S E N L O S T I R A N T E S................ 78 3
32 .4.1 CL A SIF IC A CI Ó N D E LA S A C C IO N E S........
S...........
. .....
. .....
. .....
. .....
. .....
. .....
. .....
. .....
. .....
. .....
. .....
. .....
. .....
. .....
. .....
. .....
. .....
. .....
. .....
. .....
. .....
. .....
. .....
. .....
. ... 712 3 3 ..66 D I M E N S I O N A M I E N T O D E L O S N U D O S ............................................................................................... 78 4
3 2 . 4 .2
.2 V A L O R E S C A R A C T E R Í S T I C O S D E L A S A C C I O N E S ................................................... 71 4 3 3 ..77 DIMENSIONAMIENTO DE LAS BIELA S ............................................................................................. 78 6
32 .4 .3 V IB R A C IO N E S ..................................
.................................
.................................
..................................
.................................
.................................
..................................
....................
... 71 7 3 3 ..88 C O M P R O B A C I Ó N D E L A N C L A J E D E L OS
OS T IR
IR A N T E S E N L O S N U D O S ...................... 78 8
32.5 MATERIALES .............................................................................................................................................................. 71 7 3 3 ..99 ESQUEMAS BÁS ICOS ....................................................................................................................................... 79 0
32.5.1 HORMIGÓN ............................................................................................................................................... 71 8
3 2 . 5.
5. 2 A R M A D U R A S P A S I V A S .............................................. 72 4 GRÁFICOS Y TABLAS G T-1A GT-80 ....................................................................................................................... 80 5
32.5.2.1 PRODUCTOS ...................................................................................................................... 7 24
3 2 . 5 .2
.2 . 2 V A L O R E S C A R A C T E R Í S T I C O S ............................................................................ 72 9
3 2 .5
.5 . 2 .3
.3 C L A S I F I C A C I Ó N D E L O S A C E R O SS E G Ú N S U D U C T I L I D A D . . 730
3 2 .5
.5 . 3 A R M A D U R A S A C T I V A S ................................................................................................................... 73 2
32.5.3.1 G E N E R A L I D A D E S ......................................................................................................... 73 2
32.5.3.2 ALAMBRE ............................................................................................................................ 73 2
32.5.3.3 TORZAL ................................................................................................................................ 73 6
32.5.3.4 CORDÓN ............................................................................................................................... 73 6
32.5.3.5 B A R R A S ....................................................................................................... 73 9
3 2 . 5 . 3 . 6 T R A T A M I E N T O S .............................................................................................................. 73 9
3 2 ..55 ..33 ..77 DIAGRAMA TENSIÓN-DEFORMAC IÓN ........................................................ 73 9
3 2 ..55 ..33 ..88 L O N G I T U D E S D E D E F I N IC
IC I Ó N D E L P R E T E N S A D O ............................ 7 40
32.5.3.9 RELAJACIÓN .................................................................................................................... 74 7
3 2 . 5 .3
.3 . 1 0 C O E F I C I E N T E S D E E F I C A C I A ............................................................................. 75 0
3 2 . 5 .4
.4 N U E V O S M A T E R I A L E S ..................................................................................................................... 7 50
3 2 .5
.5 .4
.4 . 1 N U E V O S H O R M I G O N E S ........................................................................................... 751
32.5.4.2 A R M A D U R A S .................................................................................................................... 75 1
3 2 ..66 A P L I C A C IÓ
IÓ N D E L M É T O D O D E L O SE
SE S T A D O S L Í M I T E ............................................................. 75 2
3 2 ..77 COMBINACIÓN DE ACC IONES .................................................................................................................... 75 7
3 2 ..88 E S T A D O D E D E F O R M A C I O N E S E N U N A S E C C IÓ
IÓ N A R M A D A S O M E T I D A A
E S F U ER
ER Z O S N O R M A L E S .................................................................................................................... 76 3
3 2 ..99 E S T A D O D E D E F O R M A C I O N E S E N U N A S E C C IÓ
I Ó N S O M E T I D A A LA
LA A C C IÓ
IÓ N
D E L P R E T E N S A D O ............................................................................................................................. 76 5
3 2 ..11 0 E S T A D O D E D E F O R M A C I O N E S E N U N A S E C C I Ó N P R E T E N S A D A S O M E T I D A A
E S F U ER
ER Z O S N O R M A L E S .................................................................................................................................. 76 6
3 2 .1
.1 1 O T R A S N O R M A S D E C Á L C U L O ................................................................................................................... 76 6
89 2 89 3
ÍNDICE DE AUTORES1
AUTORES 1
A G U A D O D E C E A , A . , 3 39
39 , 3 4 0 C A R O L , V . I .,., 3 3 9 , 3 4 0
ALBIGES, M., 448, 450, 455 CARRASCO ORT1Z, S., 340
A L E X A N D E R S O N , J - , 5 47
47 , 5 5 0 CARRUTH ERS, N.B., 772
ALVAREZ CABAL, R., 139, 147, 381, 772 CASTANHETA, M., 709, 772
A L L E N , F .,., 1 2 3 , 3 8 7 , 4 0 0 CATHER, R„ 482, 494
A P A R I C I O , A . . C . , 3 09
09 CLARKE, J.L., 773
A R E N A S D E P A B L O , J . J . , 1 1 1 , 1 1 4,
4, 3 0 9 , 3 3 9 COLLINS, M .P, 778, 800
ARGÜELLES ALVAREZ, R., 191, 206 CONWAY, D.J., 16,23
A R G U E L L E S B U S T I L L O , R „ 1 9 11,, 2 0 6 CORRES, H„ 330, 337,339, 340
ARM ER, G.S.T., 410, 411, 419 CRANE, A.P, 662

CRAWFORD, R.L., 410, 419
ARROYO, R., 772
A S D U K I E W I C Z , A . , 1 1 6 , 37
37 0 , 4 0 0 CULVERT, 716
BAKER, A.L.L., 323, 326, 329, 339, 340 C U V I L L O , R . L . , 11 1 , 114
BARQU INS, J.A., 464 CHAUSSIN, R-, 595, 636

CHE CCH I, A., 158, 160, 162
162
BEALL, C., 156, 162
BECK, H., 440, 445 CHITTY, L., 440, 445
D A R W A L L , P - , 1 2 3,
3, 3 8 7 , 4 0 0
BENITO, J.R., 772
D A V I D O V I C I , V . E .,., 4 5 0 , 4 5 1 , 4 5 5
BERANEK, W.J., 772
DELIBES, A., 488, 494
BER TER O, V.
V.,, 159, 162
162
D I A Z L O Z A N O , J . , 1 4 0,
0, 1 4 7
BLANCO, F., 305, 306
DIVER, M., 448, 455
BRANCH , 749
DOBLARE, M., 410, 419
BROOK , K.M., 488, 494
BROOKEN, 159, 162 DOLAN, CH.W., 773
D U R I E W I C Z , A . , 1 1 6,
6, 1 2 5
BUSELL, M.N., 482, 494
BULL,F.B., 223, 229, 232 ELISES, N.M., 613
BURÓN, M., 655, 662 ERDELYI, 613

FAVRE, R., 553, 564, 636
BUSELL, M.N., 482, 494
F E R N Á N D E Z C A S A D O , C „ 1 4,
4, 2 3 , 6 7 , 9 1,
1,
BUXADÉ, C., 459, 464
CAFFARENA, J., 482, 487, 489, 491, 494 118, 125
F E R N Á N D E Z C A S A D O , J . L . , 6 7,
7, 9 1
CALAVERA, J., 13, 14, 23, 91, 111, 114, 125,
FERNÁNDEZ GOMEZ, J., 140, 147, 339, 340
140, 144, 147, 155, 162, 212, 301, 303, 305,
F E R N Á N D E Z P R A D A , M . A . , 3 3 9 , 3 41
41
322, 337, 339, 340, 362, 397, 401, 482, 488,
493, 505, 564, 638, 655, 662, 729, 773, 769 FERRY BORGES, J., 709, 772
1 L o s n ú m e r o s i n d i c a n l a s p ág
ág i n a s d o n d e es
es t á n c itit a d o s lo
lo s a u t o r e s c o r r e s p o n d i e n t e s
89 5
FINTEL, M., 468,469, 471 L O N G , J . E . , 1 7 8,
8, 1 9 0 RICE, P.F., 401 S U N G U L H O N G , 8 01
01
FOGA RASI, G., 548, 550 LOSER, B., 344, 363 R I D D I N G T O N , J . R . , 1 58
58 , 1 62
62 SVED, G„ 223, 229, 232
FOU RE,B., 493,495 L L E Y D A D I O N I S , J . L .,., 1 8 1 , 1 90
90 R I P O L L , J . B . , 1 1 1 , 1 14
14 TAS SIOS, T., 159, 637, 662
F R E Y S S I N E T , E . , 1 7 3 , 1 81
81 , 3 1 9 M A C L E O D , L . A . , 4 5 9 , 4 64
64 RITTER, W„ 778, 800 THONIER, H., 339, 341
FUE NTE S, A., 162, 339, 341, 636 M ACC HI, G„ 323, 328, 339 RITZ, P., 800 THÜRLIMANN, B„ 778, 800
F U R L O N G , R . W . , 1 28
28 , 1 47
47 M A C D O N A L D , A . J.
J. , 7 7 2 ROSSMAN, R., 440, 445 TICHY, M., 323, 339
G A R C Í A D U T A R I , L „ 3 9 7 , 40
40 1 M A G N E L , 5 07
07 ROTTER, J.M., 376, 400 T I M O S H E N K O , S .P
.P .,., 4 0 5 , 4 1 8
G A R C Í A M E S E G U E R , A . , 4 14
14 , 41
41 9 M A N D E L B R O T , B . B . , 4 9 1 , 49
49 5 RÜSCH, H., 778, 800 T O R R O J A , E . , 1 2 8 , 1 4 7 , 7 0 9 , 7 72
72
GERE, J.M., 344, 363 MARGARIT, J.,459, 464 S A D G R O V E , B . M . , 4 8 8 , 4 9 2,
2, 4 9 4 TREDOPP, R., 14 0,145,147
G E R M U N D S S O N , T „ 21
21 7 , 2 1 8 M A R I , A . , 3 39
39 , 3 4 0 SÁEZ B ENITO , J.M., 191, 206, 454, 455 URQUHART, L.C., 217, 218
GER WICK , B.C., 536, 537, 566, 636 M A R T I , P . , 7 7 8 , 8 00
00 S A M A R A S I N G H E , W .,., 1 62
62 V Á Z Q U E Z , M . , 1 9 1 ,2
,2 0 6
G Ó M E Z H E R M O S O , J . , 3 05
05 , 3 0 6 , 7 23
23 , 7 73
73 M A S S O N N E T , C H „ 3 2 8,
8, 3 4 0 S Á N C H E Z G Á L V E Z , V .,., 6 1 3 VER DE, A., 305, 306
G O N Z Á L E Z E S T E B A N , J .L
.L . , 1 7 8,
8, 1 9 0 M A T T H E I S , L „ 4 7 4 , 4 94
94 S A N T O S M E S A , J . , 1 4 0,
0, 1 4 7 V1JAYARANGAN, B., 376, 400
GO NZÁ LEZ VALLE, E„ 381, 488, 494 MATTO CK, A.H., 340 S A N T O S O L A L L A , F . , 1 4 0 , 14
14 7 VILLAM ONTE VA RELA, L„ 181, 190
G O N Z Á L E Z V I D O S A , F .,., 3 3 9,
9, 3 4 0 M E D W A D O W S K Y , S .,., 4 2 7 , 4 5 5 SAVE, N„ 340 VILLEGAS, L„ 658, 663
GOULET, J„ 448,451,455 ME EK, J.L., 191, 206 S B A R O U N I S , J .A
.A . , 4 5 7 , 4 5 9 , 4 6 4 VINTZELEO U, E„ 159
G U M B A , 1 8 1 , 19
19 0 MESNAGER, 173 S C A N L O N , A . , 3 9 6 , 3 9 8 , 40
40 1 VLASO V, B.Z., 454, 455
G U T I É R R E Z J I M É N E Z , J .P
.P . , 4 2 7 , 4 5 5 MITCHELL, D., 778, 800 SCHÁFER, K., 778, 801 WATERS.T., 396, 491,494
HALL, A.S., 376, 400 M Ó N K S , W . I .,., 4 8 8 , 4 9 2 , 4 9 4 SCHLAICH, J., 778, 800 WEISCH EDE, D., 800
HART, G.C., 715, 772 M O N N 1 N G , E „ 1 8 1,
1, 19
19 0 SERED A, P.J., 474, 480, 494 WESTE RGA ARD , H.M., 365, 400
H E N D R Y , A . W . , 1 62
62 M O R A G U E S , J .J
.J . , 3 05
05 , 3 0 6 , 7 2 3 , 7 7 2 SLATER, W.A., 365, 400 WILSON, A., 226, 232
H E R R E R O B E N I T E Z , J .E
.E . , 1 8 1,
1, 1 9 0 MOR ÁN, F., 340,415, 419 SM ITH, A., 223, 232 WINTER, G„ 217, 218
H I L L E R B O R G , A . , 4 0 4 , 4 1 0 , 41
41 1 , 4 1 5 , 41
41 8 MÓ RSCH, E„ 778, 800 SMITH, B.S., 218 WIPP EL, I.H., 409, 418
H O F F M A N , E . S . , 4 0011 MOSLEY, H„ 707, 772 SOSA, P.M., 339, 341 W O I N O W S K Y - K R I E G E R , S . , 4 0 5 , 41
41 8
H O L M B E R G , A . , 7 4 5,
5, 7 73
73 MOY, S.S J„ 340 STAFFO RD, S.B., 158, 162 WO OD , R.H., 410, 411, 418, 419
HOUGHTON, G.L., 772 MUELLER, P., 778, 800 STAR OSO LSKI, W„ 116, 125, 370, 400 YO UN G, D.H., 135
IGLESIA, J., 114 MULCAHY, J.F., 376, 400 STIGLAT, K., 409, 418 Z I M M E R L I , B . , 80
80 0
IZQUIERD O, J.M., 488, 494 M U R C I A , J.
J. , 3 3 9 , 3 4 1
JAEGER MA N, CH„ 546, 550 MURRAY, D.W., 396, 398, 401
J E N N E W E I N , M „ 7 7 8 , 80
80 1 N IC H O L S , J. R ., 3 6 5 ,4 0 0
J I M É N E Z M O N T O Y A , P .,., 4 1 5,
5, 4 1 9 N IL S O N , A .H ., 2 17 , 2 1 8 ,3 9 6
JOHANSEN, K.W., 404, 410, 411, 418 O’ROURQUE, C.E., 217, 218
K A L M A N O K , S . A . , 4 0 8 , 4 18
18 OLATER, W., 365
KARPATI, K.K., 474, 480, 494 OÑATE, E., 212
KHAN, F.R., 427, 457, 459, 464 ORTE GA VA LENC IA, H., 337, 340, 732, 773
KOPRNA, M„ 564, 636 PÁEZ, A., 709, 772
KOSIOREK, 613 PAGE, A.W., 162
KOTSOVOS, M.D., 340 P A R D U C C I , A . , 1 5 8 , 1 6 0 , 16
16 2
KUPPER, H., 778, 800 PARM E, A.L., 123,387
LACROIX, R., 595, 636 P A U L O V I C , M . N . , 3 40
40
LAHUERTA, J., 356, 363 PERCHA T, J., 595, 636
LENCZN ER, D., 474, 494 P R A L O N G , J . , 8 00
00
LEÓN, J., 330, 337, 339, 340 P U G S L E Y , A . , 7 0 7 , 77
77 2
L E O N H A R D T , F „ 1 8 1,
1, 1 9 0 , 7 7 8 , 8 0 0 P U N D A K , B . , 5 4 6 , 5 50
50
L E O N T O V I C H , V ..,, 2 4 6 , 3 05
05 RA DO JICI, A., 553, 564, 636
L E Y U R Z Á I Z , J .,., 1 4 0 , 1 47
47 RAKOSNIK, J„ 323,339
LIN, T.Y., 427, 455 RAVINA, 546, 550
L1NDGREM, S., 745, 773 RECUERO , A., 427, 455
LIVESLEY, R.K., 191,206 R E I M A N N , H . , 17
17 0 , 19
19 0
896
www.libreriaingeniero.com FE DE ERRATAS
PROYECTO Y CÁLCULO DE
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN
Capítulo Página Línea DICE DEBE DECIR J. Calavera
Dr. Ingeniero de Caminos
_ +CF‘' ^ J f fdü. ue +O
44 344 12 TO
y
~ J Je,/ tJn , - Í J c,
c, l
44 34 4 -2 Resistencia garantizada para la unión soldada Resistencia garantizada para la unión soldada
TOMO I
( con ys = 1.15)
Capítulo Página
44 344 -2 Resistencia garantizada para la unión soldada Resistencia garantizada para la unión soldada
( c o n ys = 1.15)
EHE-98 EHE
44 346 4 Momento flector Mj Momento flector Mf
44 347 4 n L o s e s f u e r z o s p a r a e l e x trtr e m o 1 d e l a b a r r a Las expresiones que relacionan las acciones
44 35 9 19 valor de El valor de exteriores aplicadas y las deformaciones en
60 652 Fig60-17 cota: a-| cota: a e l e x t re
re m o 1 d e l a b a r r a
60 652 Fig60-17 cota: a cota: a-| 371 compresión de la flexibilidad comprensión de la flexibilidad
0,08 l(yíg g+ yíq ■0,5 q) (2 t2ln - y, g ‘l2 ( f'ln)2]
f'ln)2]
63 697 5 4,
4 _N„.h-ch
- 4 J
382 Mrl =-------------------------------
1
Mrl=
0,08 [{y, g+ y, ■0, 5 q) t2 F, n - y, g 'f 2 (CJ^j
Mrl= -----------------------------_ "
---- -------------
4 h
63 699 17 Fsx -0,81/? = x ' O r /^/^ a —j Fsx-G$\h = x - o íl{[ c , - ^ Puente de los Santos de Rlbadeo, (Lugo) Puente de los Santos de Rlbadeo, (Lugo).
Figuras, 25-27 Proyeto: M.JULIÁ; Ingeniero de Caminos.
Director de Obra: IGNACIO GARCÍA ARANGO;
63 718 14 0,25 d > 0,25 m
Ingeniero de Caminos.
Empresa Constructora:
CUBIERTAS Y TEJADOS, S.A.
- ^ “ ( v+
v+ 0 ,2
,2 5 a )
T Nd(v+0,25 a) Figura 25-27
63 745 -3
d 0,85 d Puente de Barrios de Luna, 440 m. de luz Puente de Barrios de Luna, 440 m. de luz.
0,85 d
Figura 25-28 P r o y e c to
to : C . F E R N Á N D E Z C A S A D O ,
63 749 -8 Estos números Indican pie de página
J. MANTEROLA y L. FERNÁ NDEZ TROYANO;
64 762 Ingenieros de Caminos
F
70 858 una capa de 20/50 una capa de arena de 20/50 Empresa Constructora: FILIARTE Y CIA.
FIGURA 25-28
Puente del Centenario, (Sevilla) Puente del Centenario, (Sevilla)
Figura 25-29 P r o y e c t o:
o: J O S É A . F E R N Á N D E Z O R D Ó Ñ E Z ,
JULIO MARTÍNEZ CALZÓN, GUILLERMO
ONTAÑÓN, FRANCISCO MILLANES Y
MANUELBURÓN;
Ingeniero de Caminos
Prefabricación: PACADAR
Empresas Constructoras:
Constructoras:
CUBIERTAS Y DRAGADOS
Figura 25-29
556 ty= T emperatura corregida ty= Edad corregida
. 655 profundidad penetración
739 relación relajación
753 la figura 32-11 las figuras 32-8 y 32-9

Proyecto y Calculo de Estructura en Hormigon

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A Ma rina, José, Beatr iz, Javier, Jai me , Ign acio , A na y

© José C alavera Ruiz

"Esperar a saber bastante, para actuar

Este libro contempla, en su totalidad, el proyecto y el cálculo del hormigón

Madrid, Marzo de 1999 NOTACIONES DE REFERENCIAS

3. La notación entre paréntesis indica referencias bibliográficas

8. E sfuerzos cortantes kN 1 kN = 1000 N

PLANTEAMIENTO ESTRUCTURAL DEL EDIFICIO

1 Los números entre

1.2 TIPOS DE CONST RUCCIONES

Fo tog raf ía 1-2. Fa cto ría de p ap el er a de

1.4 ACCIONES SOBRE LA ESTRUCTURA

1.5.1 SISTEMAS ESTRUCTURALES ADECUADOS PARA RESISTIR

1.5.2 SISTEMAS ESTRUCTURALES ADECUADOS PARA RESISTIR

La agrupación de estructuras "tubo en tubo" en paquetes interconectados conduce

3.3.2. SEGUNDO TEOREMA DE MOHR

Sea x la abscisa de un punto variable entre Xj y x2 y x + dx un punto infinitamente

Mef + Med y las reacciones de apoyo

3.5.1. FACTOR DE TRANSMISION

3.5.2. RIGIDEZ DE LA PIEZA EMPOTRADA

4.3.3. MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO Y MOMENTOS FLECTORES 4.3.4. REACCIONES Y ESFUERZOS TOTALES

La Ley de esfuerzos cortantes es: Figura 4-10

M5=- 6,5 M5=+4,5

1 En lo s c aso s d e r ed o nd eo d e n ú mero s q u e termin an en 5 , se fu erza la cifra an terio r si es p ar, y n o se

4.3.10. ENTRAMADO S REDUCIDOS EN CASO DE SIMETRÍA

4.3.9. RIGIDEZ VIRTUAL EN EL CASO DE ANTIMETRÍA

Las fórmulas [4.19] y [4.17] se deducen directamente del hecho de que la

Los momentos de empotramiento en la mitad derecha son iguales en valor

entramado reducido es el de la mitad izquierda tomando para las piezas cuyas R

mitad de los reales. La razón de esto es que dichas piezas experimentan

4.3.13. COMPROBAC IÓN DE LOS CÁLCULOS

Sea K el momento primario inducido en el pilar izquierdo por la traslación del

-0,44 - 0,592 K = 0 -+ K = - 0,74

6 ■20.000 ■— ■3004 -10-6

v -84 -62 -4-7

i-3-34í l-yisl l~3.saí

Los valores de A\, A 2, A'3, ..., A'ny

5.1.4.3 Accion es exteriores

Y lp + Y2p + ... + Ymp

MÉTODO B (5.2) FERNÁNDE Z CASADO, C. "Estructuras

ESTRUCTURAS CON APOYOS ELÁSTICOS Y

6.1 APOYO S ELÁSTICOS

Figura 6-1 Figura 6-2

Sustituyendo valores en el sistema [6.1] se obtiene el [6.2]

50 Y a = 8 • 30 - (140,4 + 49,8) = 49,9 kN

El valor del momento en B puede obtenerse directamente tomando momentos

de los pilares sobre el dintel es de - 30 kN, lo que ocasiona la traslación del

Los valores de las reacciones son: 6 El A2

por el pór tico y e l supu esto A2.

y sustituyendo M en [6.4] e integrando, suponiendo El constante, se obtiene:

Figu ra 6-15 Figura 6-16 Figur a 6 -17

a; Si los dos empotramientos son iguales r\á = r|f = r| y se obtiene:

Md = (Kd + p H Kf) A [6.27]

Mf - (Kf + pdf Kd) A [6.28]

7.1 FUNCIÓN CONECTADORA DE LOSAS Y FORJADOS

La figura 7-1 muestra como ejemplo el ca5t> de una estructura de un edificio de

7 . 2. CÁLCULO DE LAS FUERZAS DE INTERACCIÓN

10.7.1 TRANSMISIÓN DE CARGAS VERTICALES