ALGEBRA II “La matemática honra el espíritu huma no” Leibnitz UNIDAD N° 1

UNIDAD I

MATRICES

Objetivos específicos:

✓ Reconocer la importancia de las matrices como

elementos de almacenamiento de datos de cualquier
índole, que se relacionan entre sí dando lugar a nuevas
matrices, así como la simplicidad de su ejecución e
interpretación.
✓ Reconocer como se pueden cambiar los elementos de
una matriz sentando las bases de algoritmos matriciales
que permitirán resolver sistemas.
✓ Definir con un nombre especial a estas matrices que
servirán más adelante para determinados algoritmos.
✓ Establecer las bases para el algoritmo del método de
Gauss para calcular la inversa de una matriz.
✓ Calcular la inversa de una matriz.

Introducción.- Es necesario dedicar la primer unidad al estudio de las

matrices, dado el rol importante que estos entes
matemáticos desempeñan en la solución de problemas de
matemática, las ciencias e ingeniería.

Ejemplo.- Sea la tabla de posiciones del campeonato de fútbol de la

facultad de Tecnología la siguiente:

Definición de Matriz.- Las matrices son arreglos rectangulares de números

reales o complejos.
También se puede decir que una matriz es un arreglo ordenado de
números. Los números en el arreglo se denominan elementos de la matriz.
Las matrices generalmente se representan o denotan, con letras
mayúsculas.

Ejemplo.-
- 1 2  1 2 3 
3 - 1 2     
A=  B = 3 - 5 
C =  4 5 6
 1  5 9 6  7 8 9 
Como se puede ver en el ejemplo las matrices varían de tamaño, forma u
orden. El tamaño de una matriz se lo especifica de la manera siguiente.

(axb )
Número de filas o líneas horizontales.
Número de columnas o líneas verticales.

Autor: Elio Romero Cuéllar Página 1

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Para expresar en forma global una matriz se lo hace de la manera

siguiente:

➢ Se especifica el nombre de la matriz, el tipo de elemento que tiene y la

forma de la matriz, es decir:

Tipo de elementos

A  T(axb)
Indica el nombre. Forma, tamaño, dimensión u orden.

Ejemplo.- Expresar las matrices del ejemplo anterior con la notación

anteriormente indicada.

-1 2  1 2 3 
3 - 1 2     
A=  B = 3 - 5  C = 4 5 6
 1  5 9 6 7 8 9 
   

Solución: ¿?

Elemento genérico.- Sea la matriz A ϵ R(mxn) :

 a11 a12 a13 . . . a1n 
 
 a 21 a 22 a 23 . . . a 2n 
A =  a31 a32 a33 . . . a 3n 
 
 . . . . aij . . 
a a am3 . . . amn 
 m1 m2

El elemento genérico de esta matriz se lo representa simbólicamente d e l a

siguiente forma:

1  i  m
aij, 
1  j  n

Donde a ij , es el elemento de la matriz A que se encuentra en la fila i y en

la columna j. Al variar “i” entre 1 y m y “j” entre 1 y n se van generando
todos los elementos de la matriz A.

De esta manera se expresa de manera genérica todos los elementos de

una matriz, se utiliza para las demostrar igualdades matriciales de man e ra
elegante y clara.

Ejemplo.- Dada la matriz

Autor: Elio Romero Cuéllar Página 2

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1 2 - 1 6
 
H = 2 - 1 3 5 
4 0 - 1 6 
 
a) Expresar la matriz en notación global.
b) Determinar h 12, h32, h42.
c) Expresar el elemento genérico de la matriz.

Solución.- ¿?

Operaciones Matriciales:

Suma de Matrices:

Definición.- Sean las matrices A y B ϵ R(mxn) , entonces la suma de A con B

es una matriz que se denota por ( A + B )  R( mn ) y su elemento genérico se
define por:
1  i  m
(a+b) ij = a ij + b ij , 
1  j  n

Resumen.- Esta operación se resume en sumar los elementos

correspondientes entre sí.

Ejemplo.- Sean las matrices A y B ϵ R(4x3) determine:

2 - 1 5  5 3 - 1 
   
4 -3 6  2 4 6
A= B=
2 1 4 1 - 5 - 2 
   
- 1 0 2 0 1 5 

a) El elemento (a+b)32.
b) A+B

Solución.- ¿?

Multiplicación de una Matriz por un escalar:

Definición.- Sea la matriz A ϵ R(mxn) y el escalar k  R , entonces la

multiplicación de la matriz A por el escalar k que se denota k.A ϵ R(mxn) y su
elemento genérico se define por:

1  i  m
(k  a)ij = k  aij 
1  j  n

Resumen.- Esta operación consiste en multiplicar por el escalar k tod os los

elementos de la matriz A.

Autor: Elio Romero Cuéllar Página 3

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Ejemplo.- Sean la matrices A, B ϵ R(3x3); determinar:

a) 5·A+B
b) (2·a)23
c) 2·A.

2 - 1 3  -1 2
   
A = 5 - 1 6  B = - 1 3
2 - 1 7   0 0
   

Solución.- ¿?

Propiedades de la suma y la multiplicación de una matriz por un

escalar.-

Sean A, B y C  R(mxn) y sean k1, k2  R.

(P1) A+B = B+A (Conmutativa de la suma)

(P2) (A+B)+C = A+(B+C) (Asociativa de la suma)

(P3) A+Z= A (Propiedad neutro aditiva)

Donde Z la matriz nula de (mxn). Una matriz nula es aquella que tiene todos sus elementos nulos.

(P4) A+(-A)=Z donde ( -A) = (-1) . A (Inverso Aditivo)

(P5) k1.(A+B)= k1.A + k2.B (Distributiva de la multiplicación por escalar

con respecto a la suma de matrices).

(P6) (k1+ k2).A=k1.A+k2.A (Distributiva de la multiplicación por escalar

con respecto a la suma de escalares).

(P7) k1 (k2.A) = (k1.k2).A (Asociatividad de escalares en la

multiplicación por escalar).

(P8) Existe 1R, para toda matriz AR(mxn) tal que 1·A = A (Neutro de
la multiplicación por escalar).

Igualdad de matrices.-

Sean las matrices AR(mxn) y BR(mxn), son iguales, cuando teniendo la

misma forma tienen iguales sus elementos correspondientes entre si, es
decir:
1  i  m
aij = bij , 
1  j  n

Vamos a demostrar las siguientes propiedades usando la definición de

igualdad de matrices.

Autor: Elio Romero Cuéllar Página 4

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Ejemplo.- Demuestre la propiedad 3 (P3).

A+Z = A

Demostración.- ¿?

Ejemplo.- Demuestre la propiedad 5 (P5).

(p5) k1*(A+B) = k1*A + k2*B.

Demostración.- ¿?

Matriz Transpuesta.-

Definición.- Sea la matriz A ϵ R(mxn) su transpuesta se denota por

A T , A t o A' y pertenece a los reales de forma (nxm) y su elemento
genérico se define por:
1  i  n
(a t )ij = aij 
1  j  m
Resumen.- Esta operación consiste en expresar las filas de A como
columnas de A transpuesta o también las columnas de A como filas de A
transpuesta.

Ejemplo.- Dadas las matrices

2 - 1 4  1 5 2
   
A = 2 - 1 6  B = - 1 2 3
3 5 4 0 1 1 
  
Determinar:
 t
a) 2a + b 
21
b) Bt
c) 2A + B t

Solución.- ¿?

Propiedades de la Transpuesta:

(P1) (A )
t t
=A

(P2) (A + B)t = A t + Bt
(P3) (k  A )t = k  A t
(P4) (A  B)t = Bt  A t

Autor: Elio Romero Cuéllar Página 5

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Ejemplo.- Demostrar la propiedad 2 (P2): (A + B)t = A t + B t .

Solución.- ¿?

Producto de Matrices:

Definición.- Dadas las matrices A ϵ R(mxn) y B ϵ R(nxp) , entonces el producto

de A con B, denotado por (A·B) será una matriz que pertenezca a los reales
de forma (mxp), su elemento genérico se define por:

(a  b)ij =  aik  bkj 1  i  m

n

k =1 1  j  p

Análisis de Forma:

A · B
(m x n) (n x p)
Si no son iguales, entonces el
producto no está definido.

Si son iguales, entonces el producto

está definido.

Definen el tamaño de la matriz resultante.

Ejemplo.- Dadas las Matrices A, B determinar:

a) (a  b )43 = ?

b) A  B = ?
 t
c) A   A + B  = ?

2 -1 6 
  2 - 1 5 4 0
5 2 - 3  
A= B = 3 - 1 0 2 1 
4 -1 0 
  5 - 2 1 0 3 
 
1 1 2 
( 3x5)
( 4x3 )
Solución.- ¿?

Resumen de la Operación.- Para determinar el elemento genérico del

producto de dos matrices, es decir (a·b)ij se deben multiplicar y sum a r l o s
elementos de la fila i de la matriz A con los elementos de la columna j de l a
matriz B.

Autor: Elio Romero Cuéllar Página 6

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Propiedades del producto:

(P1) A·(B·C) = (A·B)·C (Asociativa del producto).

(P2) A·(B+C)=A·B+A·C (Distributiva del producto con respecto a la suma por la izquierda).

(P3) (B+C)·A = B·A + C·A (Distributiva del producto con respecto a la suma por derecha).

(P4) k·(A·B)=(k·A)·B =A·(k·B) (Asociativa de la multi por escalar en el producto de matrices).

Ejemplo.- Demuestre la propiedad 2 (P2).

Solución.- ¿?

Ejemplo.- Demuestre la propiedad 1 (P1).

Solución.- ¿?

t t
Ejemplo.- Demostrar que: (A  B)t = B  A .

Demostración.- ¿?

Matriz Cuadrada.-

Son aquellas matrices que tienen igual número de filas que de columnas.

Matriz Triangular Superior.- Es una matriz cuadrada que tiene la siguiente

condición para sus elementos:
(a)ij = 0 cuando i > j
a11 a12 .................a1n 
 
 0 a22 .................a2n 

A= 0 0 a33 ...........a3n 
 
..........
........................... 
0 0 0 ..........ann 


Matriz Triangular Inferior.- Sea A  R( nxn ) , se denomina triangular inferior

si y solo si (a)ij =0, cuando i<j.
a11 0 0 ........0 
 
a 21 a 22 0 ........0
A= 
....................... 0 
 
an1 an2 an3 ......ann 

Matriz Diagonal.- Son aquellas matrices cuadradas que son matrices

triangular superior e inferior a la vez.

Autor: Elio Romero Cuéllar Página 7

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Matriz Escalar.- Es una matriz diagonal con todos los elementos de su

diagonal principal iguales a un escalar k.

Matriz Identidad.- Es una matriz escalar con todos los escalares k=1.

Definición.- Sea la matriz A  R(nxn) es decir cuadrada esta matriz se

denomina matriz identidad si y solo si:

(a)ij = 1 cuando i = j (a) ij = 0, cuando i ≠ j

Una matriz identidad es aquella que tiene todos los elementos de su

diagonal principal iguales a la unidad y los elementos restantes iguales a
cero (0). Esta matriz generalmente se representa por:

I ϵ R(nxn) o I(n)

Ejemplo.- Determinar la matriz identidad de orden 3 :

1 0 0
 
I ϵ R(3x3) I(3) = 0 1 0
0 0 1


Propiedades de la matriz identidad:

(P1) Sea A ϵ R(mxn) , entonces:

A (mxn) .I (n) = A(mxn) I (mxm) .A (mxn) = A(mxn)

(Pos multip.) (Pre multip.)

Esta matriz actúa como elemento neutro en el producto de matrices.

( P2 ) I( n )+ I( n )+ ......+ I( n )= P  I ( p veces ).
p
( P3 ) I( n ) I( n ) ........ I( n ) = (I n )  = I( n ) ( p veces ).
 

Matriz Elemental.- Para definir una matriz elemental es preciso definir

previamente las operaciones elementales que son tres:

De permutación, de multiplicación y de adición.

1.- Operación elemental de permutación: Consiste en el cambio de

posición de una fila o columna con otra fila o columna de la matriz;
generalmente se denota por:
Pa,b , Pc
a,b

Autor: Elio Romero Cuéllar Página 8

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2.- Operación elemental de multiplicación: Consiste en multiplicar los

elementos de alguna fila o columna de una matriz por un escalar k diferente
de 0. Se denota por:
Ma( k ) , Mc
a( k )
3.- Operación elemental de adición: Consiste en adicionar una fila o
columna de una matriz, otra fila o columna multiplicada por un escalar k, se
denota por:
A a,b( k ) , Ac
a,b( k )

Ejemplo.- Sobre la matriz A aplicar las siguientes operaciones elementales,

en forma sucesiva.

A 3,(1 −2 ) ; Mc ; P3,1 ; Ac
2( 3 ) 3,(1 −4 )
2 - 1 3 5 
 
2 0 1 1
A=
3 - 1 2 - 2 
 
0 0 1 1

Solución.- ¿?

Definición de matriz elemental: Una matriz elemental es aquella que

resulta de aplicar una operación elemental sobre la matriz identidad.

También se puede definir que una matriz elemental es aquella que nos
permite obtener la matriz identidad aplicando una operación elemental
sobre sí misma.

Ejemplo.- Determinar si E1 y E2 son matrices elementales:

2 0 0 1 0 0
   
E1 = 0 0 1  E 2 = 0 0 1
0 1 0  0 1 0
   

Matriz No Singular.- Una matriz cuadrada A  R( nxn ) es no singular si y

solo si existe una matriz B  R( nxn ) tal que cumpla la condición de no
singularidad que es:
n
A·B = B·A = I

Matriz Inversa.- La matriz inversa de una matriz A  R( nxn ) es aquella

matriz cuya existencia hace que A sea no singular es decir es la matriz B de
la definición anterior, generalmente se la representa por:

Autor: Elio Romero Cuéllar Página 9

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A  B = B  A = In

A −1 A −1
Teorema 1.1.- Si A es una matriz no singular, entonces existe una única
n
matriz B tal que A·B = B·A = I , es decir la inversa de una matriz es única.

Demostración.- ¿?

Teorema 1.2.- Sean A y B matrices no singulares, entonces:

−1 −1 −1
a) A es también no singular y ( A ) = A .
−1 = B −1  A −1
b) (A·B) es también no singular y ( A  B ) .

Demostración.- ¿?

Corolario N°1.- Sean A1, A2, A3,............, An matrices no singulares,

entonces el producto de todas ellas es na matriz no singular y su inversa
será:

( A1  A 2  A 3,    , A n )−1 = A n
−1  A −1  A −1 ,    A −1  A −1
n−1 n−2 2 1

Teorema 1.3.- Toda matriz elemental es no singular es decir tiene inversa.

a ) E =(I n )  E-1 = E Matriz elemental de

Pa,b Permutación

b ) F =(I n )  F-1 =(I n ) Matriz elemental de

Ma(k) M 1 Multiplicación
a( )
k

c ) G =(I n )  G-1 =(I n ) Matriz elemental de

A a,b( k ) A a,b(-k) Adición

Ejemplo.- Determinar la inversa de las siguientes matrices elementales:

1 2 0 1 0 0  1 0 0
     
A 1 = 0 1 0  A 2 = 0 1 0  A 3 = 0 0 1
0 0 1 0 0 3 0 1 0
     

Solución.- ¿?

Autor: Elio Romero Cuéllar Página 10

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Teorema 1.4.- Cualquier operación elemental sobre las filas de una m a tri z
A  R( mxn) puede llevarse a cabo pre - multiplicando la matriz A por la
matriz elemental correspondiente a la operación.

Ejemplo.- Dada la matriz A aplicar sobre A la operación elemen tal

A 2,3( −2 ) y luego utilizando el teorema 1.4 obtener el mismo resultado.

1 2 3 5
 
A = 4 2 - 1 6 
1 - 2 0 4 
 

Solución.- ¿?

Matriz Fila y Matriz Columna.- Una matriz fila es aquella matriz que tiene
una sola fila es decir pertenece a los R(1xn) .

Una matriz columna es aquella matriz que tiene una sola columna e s d e ci r
pertenece a los R(mx1) .

Cuando nos referimos a una fila o a una columna de una matriz, como
matriz fila o como matriz columna, lo hacemos de la siguiente forma:

a11 a12 ........a1j ...........a1n 

  aij 
a 21 a 22 .......a2j ...........a 2n   
  a 2j 
.....................................  
A=  A i. = ai1 ai2 .......ain  A. j = a3j 
ai1 ai2 ...................... ain 
  (1xn) (mx1)  
.....................................  ..... 
a  amj 
 m1 am2.......amj.........amn   

Matriz Escalonada.- Una matriz A perteneciente a los reales de forma

(mxn) esta la forma escalonada si y solamente si cumple con las siguiente s
condiciones:

Primera Condición.- Si las filas i e (i+1) son filas sucesivas no nulas,

entonces el primer elemento no nulo de la fila (i+1) aparece a la derecha del
primer elemento no nulo de la fila i.

Segunda Condición.- Si existen filas nulas en la matriz estas se

encuentran ubicadas en la parte inferior.

Ejemplo.- Determinar si las siguientes matrices son escalonadas.

2 1 5 8 
0 0 3 3 - 1  3 2 1  
    0 4 6 1
A = 0 0 0 4 - 2  B = 0 0 5 C=
0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 3  
  
0 0 0 4
Es escalonada No es E.
No es E.

Autor: Elio Romero Cuéllar Página 11

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Ejemplo.- Usando operaciones elementales llevar la siguiente matriz a u n a

escalonada.

1 2 - 1 2  1 2 - 1 2  1 2 - 1 2 1 2 - 1 2 
       
A = 2 3 4 - 1  0 - 1 6 - 5   0 - 1 6 - 5   0 - 1 6 - 5 
3 5 3 1 3 5 3 1 0 - 1 6 - 5  0 0 0 0
       
A 2,(1 −2 ) A 3,(1 −3 ) A 3,2( −1) A escalonada

Matriz Escalón Reducida Por Filas.- Una matriz A de forma (mxn) es

escalón reducida si y solo si además de cumplir las condiciones de
escalonada cumple lo siguiente:

Tercera Condición.- Si una fila es no nula entonces el primer elemento n o

nulo de esa fila debe ser igual a la unidad. Condición del elemento
distinguido.

Cuarta Condición.- Todas las columnas que contienen el primer elemen to

diferente de cero de algunas filas tienen nulos sus elementos restantes.
Condición de columna distinguida.

Ejemplo.- Identificar si las siguientes matrices son Escalón Reducidas por

Filas:
1 0 2 1 
0 1 3 2 0  1 0 0 0   
    0 1 0 0
A = 0 0 0 0 1  B = 0 0 2 0 C=
0 0 1 0 
   
0 0 0 0 0 0 0 0 1   
0 0 0 0
Es E.R. No es E.R.
No es E.R.
Equivalencia Por Filas.- Sean las matrices A y B  R( mxn) , se dice que A
es equivalente por filas a B si y solo si B puede obtenerse a partir de una
serie finita de operaciones elementales aplicadas sobre A. Generalmente se
simboliza: A B .
O sea que A B si existen las matrices elementales
E1, E2, E3,........, En tal que: B = En ···········E3 ·E2 ·E1 ·A

Ejemplo.- Transformar la matriz A en matriz Escalón Reducida y luego

mostrar que A es equivalente filas a A E.R.
1 2 3 4
 
A = 2 - 1 3 5 
0 1 4 6 
 
.
Solución.- ¿?

Teorema 1.5.- Sean las matrices A, B y C  R( mxn) entonces:

a) A A .
b) Si (A B , entonces B  A) .
c) Si (Aa B  B a C) entonces Aa C .

Autor: Elio Romero Cuéllar Página 12

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Demostración: ¿?

Teorema 1.6.- Toda matriz A de orden (mxn) es equivalente por filas a un a

matriz escalón reducida.

Corolario N#2.- Para cada matriz A de orden (mxn) existe una matriz no
singular B de orden (mxm) que Pre - multiplicada por A nos da como
resultado A escalón reducida.

Justificación.-
AA ER
n matrices elementale s E1, E 2 , E 3 ,........., E n . Tales que :

A ER =( E n ,.......,E 3 , E 2 , E1 )  A

Es no sin gular por que todas las matrices elementale s son no sin gu −
lares y el producto de matrices no sin gular es no sin gular .

Si
B =( E n ,.......,E 3 , E 2 , E1 ) tenemos :
A ER = B  A

Ejemplo.- Transformar la matriz A en una matriz Escalón reducida y

determinar la matriz B que Pre - multiplicada por A nos da la AE.R.

1 3 2 - 1
 
A = 2 3 - 1 0 
- 1 0 3 - 1
 
Solución.- ¿?

Cálculo de la Inversa de una Matriz

Consideraciones Generales:

Lema N°1.- Sea la matriz A  R( mxm) , y se tiene una fila nula en dicha
matriz, entonces se dice que es una matriz no singular (no tiene inversa).

Demostración: ¿?

Lema N°2.- Si tenemos una matriz escalonada reducida de orden (mxm) no

singular, entonces esta matriz es la matriz identidad ( I ).

Corolario N°3.- Si A es una matriz escalón reducida, cuadrada y sin filas

nulas, entonces esta matriz es igual a la identidad.

Autor: Elio Romero Cuéllar Página 13

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Teorema 1.7.- Toda matriz no singular de orden (mxm) es equivalente fil a s

a la matriz identidad de forma (mxm).

Demostración: ¿?

Corolario N°4.- Una matriz cuadrada es no singular si y solamente si es

equivalente por filas a la matriz identidad.

Método de Calculo de la Inversa:

Inicio del proceso:

 
 
 A (I n ) 
 ( nxn ) Archivo de operacione s 
 elementale s en producto.


Sobre la matriz A se aplican operaciones elementales a fin de transformarla

en escalón reducida, toda operación que se aplique para este efecto so b re
la matriz A, también debe aplicarse sobre las filas de la matriz identidad o
sea que al final del proceso si la matriz A es no singular a la izquierda
surgirá la matriz identidad y la matriz de la derecha será la inversa de A.

Final del proceso:

 
 
 
 A ER B 
 Matriz Identidad Matriz Inversa de A 
 -
A .1 
 

Ejemplo.- Calcular la inversa de la siguiente matriz.

2 - 1 6 
 
A = - 1 4 5 
1 3 11
 

Solución.- ¿?

Autor: Elio Romero Cuéllar Página 14