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Señales y Sistemas
Semana 2

Dr. Fernando Arias

0866 | Señales y Sistemas
Universidad Tecnológica de Panamá
2023
2

Señales

▪ Funciones de una o más variables independientes que contienen

información acerca del comportamiento o naturaleza de un fenómeno.
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Señales

▪ Funciones de una o más variables independientes que contienen

información acerca del comportamiento o naturaleza de un fenómeno.
▪ Señales Eléctricas: Voltajes, corrientes, campos electromagnéticos.
▪ Señales acústicas: Presión acústica en el tiempo (sonido)
▪ Señales mecánicas: Velocidad de un auto en el tiempo, posición de un resorte.
▪ Señales de imagen: Nivel de intensidad como función de posición (x,y)
▪ Señales de video: Nivel de intensidad de un pixel fijo en el tiempo (varios cuadros)
▪ Datos: Demográficos, meteorológicos, financieros, etc.
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Señales - Notación

▪ Funciones de una o más variable independiente (tiempo) que contienen

información acerca del comportamiento o naturaleza de un fenómeno.
▪ Dos tipos de señales:
▪ Continuas – x(t) – paréntesis = tiempo continuo. 𝑡 ∈ ℝ (números reales)
▪ Discretas – x[n] – brackets = tiempo discreto. 𝑛 ∈ ℤ (números enteros)
▪ Las señales se representan con letras minúsculas.
5

Señales - Operaciones

▪ Suma
▪ z(t) = x(t) + y(t)
▪ Resta
▪ z(t) = x(t) - y(t)
▪ Multiplicación
▪ z(t) = x(t)  y(t)

t=-2:0.01:2;
x=cos(2*pi*t);
y=1+sin(2*pi*1.5*t);
z1=x+y; z2=x-y; z3=x.*y;
subplot(2,2,1),plot(t,x,t,y);grid;title('x(t), y(t)');
subplot(2,2,2),plot(t,z1);grid;title('z(t) = x(t)+y(t)');
subplot(2,2,3),plot(t,z2);grid;title('z(t) = x(t)-y(t)');
subplot(2,2,4),plot(t,z3);grid;title('z(t)= x(t)y(t)')
6

Señales - Operaciones

▪ Escalamiento
▪ z(t) = Ax(t)
▪ Si A>1, se amplifica la señal
▪ Si A<1, se atenúa la señal
▪ Si A=-1, se invierte la señal
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Problema
Dado g(t), graficar las señales
a) (1/2) g(t)
b) -g(t)
8
Problema
Dado g(t), graficar las señales
a) (1/2) g(t)
b) -g(t)

a) b)
9

Señales - Operaciones

▪ Corrimiento en el tiempo
▪ Si t → t-t0, g(t) → g(t-t0)

▪ Si t0>0, se retrasa la señal.

▪ Si t0<0, se adelanta la señal.
10
Problema
Dado g(t), graficar la señal g(t-1)
11
Problema
Dado g(t), graficar la señal g(t-1)
12

Señales – Transformaciones de la variable independiente

▪ Cambio de escala en el tiempo

▪ Si t → at, g(t) → g(at)

▪ Si a>1, se comprime la señal.

▪ Si a<1, se expande la señal.
13

Señales – Transformaciones de la variable independiente

▪ Cambio de escala en el tiempo

▪ Caso especial: Si t → -t, g(t) → g(-t)
▪ Se invierte la señal en el tiempo.

▪ Ejemplo: Dadas las señales g(t) y x[n], graficar g(-t) y x[-n]

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Señales – Transformaciones de la variable independiente

𝑥[𝑛] = 𝑒 −𝑛/2 , −5 < 𝑛 < −1
▪ Inversión en el tiempo (t → -t) nx=-5:-1;
x=exp(nx/2);
𝑥 𝑡 = 𝑒 −𝑡/2 , −5 < 𝑡 < −1 y=fliplr(x);
tx=-5:0.1:-1; ny=-fliplr(nx);
x=exp(t/2); stem(nx,x);axis([-6 6 0 0.7]);grid
y=fliplr(x); hold on
ty=-fliplr(t); stem(ny,y)
plot(tx,x,ty,y);axis([-6 6 0 0.7]);grid
15

Operaciones sobre señales: Resumen

▪ Operaciones individuales:
▪ Suma
▪ Resta
▪ Multiplicación
▪ Escalamiento
▪ Corrimiento en tiempo
Transformaciones de la
▪ Escalamiento en tiempo variable independiente
▪ Inversión en tiempo
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Transformaciones Múltiples de Señales

▪ Operaciones múltiples!
▪ Suma
▪ Resta
▪ Multiplicación
▪ Escalamiento
▪ Corrimiento en tiempo
Transformaciones de la
▪ Escalamiento en tiempo variable independiente
▪ Inversión en tiempo

𝑡 − 𝑡0
𝑔 𝑡 → 𝐴𝑔
𝑎
17 𝑡 − 𝑡0
𝑔 𝑡 → 𝐴𝑔
𝑎
Transformaciones Múltiples de Señales

▪ Transformaciones múltiples pueden realizarse por pasos

𝑡 𝑡 𝑡0
𝑔 𝑡 → 𝐴𝑔 𝑡 → 𝐴𝑔 → 𝐴𝑔 −
𝑎 𝑎 𝑎

▪ La secuencia de pasos es importante!

𝑡 𝑡−𝑡0
𝑔 𝑡 → 𝐴𝑔 𝑡 → 𝐴𝑔 𝑡 − 𝑡0 → 𝐴𝑔 − 𝑡0 ≠ 𝐴𝑔
𝑎 𝑎
18 𝑡 − 𝑡0
𝑔 𝑡 → 𝐴𝑔
𝑎
Transformaciones Múltiples de Señales

▪ Transformaciones múltiples pueden realizarse por pasos

1. Escalamiento de amplitud
2. Escalamiento en tiempo
3. Corrimiento en tiempo

𝑡+2
𝑔 𝑡 → −2𝑔
4
1
𝑔 𝑡 → −2𝑔 𝑡+2
4
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Problema
Dado x(t), graficar la señal x(2t-3)
20
Problema
Dado x(t), graficar la señal x(2t+3)

2 Soluciones:
21

Clasificación de Señales

▪ Funciones de una variable independiente (tiempo) que contienen

información acerca del comportamiento o naturaleza de un fenómeno.
▪ Dos tipos de señales:
▪ Continuas – x(t) – paréntesis = tiempo continuo. 𝑡 ∈ ℝ (números reales)
▪ Discretas – x[n] – brackets = tiempo discreto. 𝑛 ∈ ℤ (números enteros)
▪ Las señales se representan con letras minúsculas.
22

Clasificación de Señales

▪ Funciones de una variable independiente (tiempo) que contienen

información acerca del comportamiento o naturaleza de un fenómeno.
▪ Dos tipos de señales según su variable independiente:
▪ Continuas – x(t) – paréntesis = tiempo continuo. 𝑡 ∈ ℝ (números reales)
▪ Discretas – x[n] – brackets = tiempo discreto. 𝑛 ∈ ℤ (números enteros)
▪ Dos tipos de señales según su variable dependiente:
▪ Analógicas: Su amplitud puede tomar cualquier valor en un rango continuo.
▪ Digitales: Su amplitud puede tomar solamente un número finito de valores.
23

Clasificación de Señales

▪ Señal Periódica:
▪ El menor valor To que satisfaga la condición
de periodicidad = Período de la señal.
▪ 𝑔 𝑡 = 𝑔 𝑡 + 𝑇𝑜 , ∀ 𝑡 (señales continuas)
▪ 𝑔 𝑛 = 𝑔 𝑛 + 𝑁 (señales discretas)

▪ Señal Aperiódica:
▪ No tiene ningún comportamiento periódico.
24

Clasificación de Señales

▪ Señal Determinística:
▪ Tiene una descripción física 100% conocida y
predecible, ya sea en forma gráfica o
matemática.
▪ 𝑔 𝑡 = 3 + 2𝑡 2

▪ Señal Probabilística:
▪ Se conoce únicamente en términos de
descripciones probabilísticas, tales como
promedio, valor cuadrático medio, etc.
▪ Ruido gaussiano
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Señales Par / Impar

▪ Señal Par:
▪ 𝑥(−𝑡) = 𝑥(𝑡)
▪ 𝑥 −𝑛 = 𝑥[𝑛]

▪ Señal Impar:
▪ 𝑥 −𝑡 = −𝑥(𝑡)
▪ 𝑥 −𝑛 = −𝑥[𝑛]
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Señales Par / Impar

▪ Cualquier señal es separable en la suma de dos señales: una señal par

y una señal impar.
27

Señales Par / Impar: Ejemplo

▪ Determinar (gráficamente) los componentes

par e impar de la señal f(t):
28

Señales Par / Impar: Ejemplo

▪ Determinar (gráficamente) los componentes

par e impar de la señal f(t):
29

Señales Par / Impar: Integrales

30

Señales Par / Impar: Integrales

a a a

ò g ( t ) dt = 2 ò g ( t ) dt
-a 0
ò g ( t ) dt = 0
-a
31

Señales Par / Impar: Integrales

▪ Evaluar la integral

Tip:
32

Señales Par / Impar: Integrales

▪ Evaluar la integral
33

Energía y Potencia de Señales

▪ Medida de una señal

▪ Generalmente las señales se relacionan directamente a cantidades
físicas que capturan energía y potencia de un sistema físico.

▪ Ejemplo: Circuito eléctrico resistivo

▪ Potencia Instantánea:
▪ 𝑝 𝑡 = 𝑣 𝑡 𝑖 𝑡 = 𝑣 2 𝑡 /𝑅
▪ Energía total gastada en un intervalo T:
𝑇 𝑇1 2
▪ 𝐸 = ‫׬‬0 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 = ‫׬‬0 𝑣 𝑡 𝑑𝑡
𝑅
▪ Potencia promedio durante un intervalo T:
1 𝑇 1 𝑇1 2
▪ 𝑃 = ‫׬‬0 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 = ‫׬‬0 𝑣 𝑡 𝑑𝑡
𝑇 𝑇 𝑅
34

Energía y Potencia de Señales en un Intervalo

▪ La energía total de una señal en un intervalo t1

 t  t2 (ó n1  n  n2 ) es
𝑡 2 𝑑𝑡
▪ 𝐸 = ‫ 𝑡׬‬2 𝑥 𝑡 (para señal continua)
1
2𝑛 2
▪ 𝐸 = σ𝑛=𝑛1
𝑥𝑛 (para señal discreta)

▪ La potencia promedio en un intervalo t1  t  t2

(ó n1  n  n2 ) es
1 𝑡2 2
▪ 𝑃= ‫׬‬ 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 (para señal continua)
𝑡2 −𝑡1 𝑡1
1
▪ 𝑃= σ𝑛𝑛=𝑛
2
𝑥 𝑛 2
(para señal discreta)
𝑛2 −𝑛1 +1 1
35

Energía y Potencia de Señales en un Intervalo

▪ Los términos “energía” y “potencia” se usan independientemente de si

las cantidades estén en verdad relacionadas con la energía física.

▪ En el caso de señales de voltaje o corriente se denominan “energía

normalizada” y “potencia normalizada” de una señal x(t) o x[n].
36

Energía y Potencia de Señales en un Intervalo Infinito

▪ En muchos casos se desea la energía/potencia de una señal en un

intervalo infinito.
▪ Energía:
∞ ∞
2 2
𝐸=න 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 𝐸= ෍ 𝑥𝑛
−∞ 𝑛=−∞
▪ Potencia:
𝑇 𝑁
1 2
1 2
𝑃 ≜ lim න 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 𝑃 = lim ෍ 𝑥𝑛
𝑇→∞ 2𝑇 −𝑇 𝑁→∞ 2𝑁 + 1
𝑛=−𝑁
▪ Señal de energía: energía finita → Potencia cero
▪ Señal de potencia: potencia finita distinta de cero → Energía infinita
una señal no puede ser de potencia y energía al mismo tiempo!
▪ Hay señales que no son ni de energía ni de potencia
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Problema
• Clasificar las siguientes señales en continuas/discretas, reales/complejas
• Calcular la energía y la potencia
r(t) = A cos(2 𝝅 fot)
s(t) = exp[j(2t + 𝝅)]
x(t) = A exp(–2t), t ≥ 0
y(n) = (1/2)n, n ≥ 0
38
Problema
• Clasificar las siguientes señales en continuas/discretas, reales/complejas
• Calcular la energía y la potencia
r(t) = A cos(2 𝝅 fot) ▪ r(t) = A cos(2fot)
s(t) = exp[j(2t + 𝝅)] • Continua/real
x(t) = A exp(–2t), t ≥ 0 • Energía E = 
y(n) = (1/2)n, n ≥ 0 • Potencia P = 0.5A2
▪ s(t) = exp[j(2t + )]
• Continua/compleja
• Energía E = 
• Potencia P = 1

▪ x(t) = A exp(–2t), t  0
• Continua/real
• Energía E = A2/4
• Potencia P = 0

▪ y(n) = (1/2)n, n  0
∞
1 1 4 • Discreta/real
𝐸=෍ 𝑛= = • Energía E = 4/3
4 1 3
𝑛=0 1−4 • Potencia P = 0
39
Problema
• Clasificar las siguientes señales en continuas/discretas, reales/complejas
• Calcular la energía y la potencia
• x(n) = (1/2)n
• r(t) = 5 cos(210t) • Discreta/real
• Continua/real • Energía E = 4/3
• Energía E = 
• Potencia P = 0
• Potencia P = 0.5A2 = 12.5

f = 10; T = 1/f; n = 0:15;

X = (1/2).^n;
dt=T/25;
Ex = sum(x.^2);
t = 0:dt:50*T; Px = sum(x.^2)/length(x);
x=5*cos(2*pi*f*t); stem(n,x);grid;
Px=sum(x.^2)/length(x); fprintf('Ex = %4.2f, Px = %4.2f',Ex,Px);
Ex=dt*sum(x.^2);
Ex = 1.33, Px = 0.08
plot(t,x);grid;axis([0 5*T -5 5]);
fprintf('Px = %4.2f, Ex = %4.2f',Px,Ex);

Px = 12.51, Ex = 62.60
40

Señales de Interés
Funciones continuas f(t) Secuencias discretas f[n]

Escalón unitario

Impulso unitario
𝛿 𝑡 = 0 para 𝑡 ≠ 0
∞

න 𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = 1
−∞

Pulso rectangular
unitario
41

Señales de Interés
Funciones continuas f(t) Secuencias discretas f[n]
𝑛
tri(t/D) o Δ(t/D) Δ(n/D) =ቐ1 −
𝐷+1
−𝐷 ≤ 𝑛 ≤ 𝐷
Pulso triangular
unitario 0 𝑑𝑒 𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜

eat u(t) an u[n]

Exponencial

𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑜 𝑡 + ∅ 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑜 𝑛 + ∅

Sinusoidal real
42

Señales de Interés
Funciones continuas f(t) Secuencias discretas f[n]

sinc(x ) =
( )
sin  x
sinc(nT ) =
sin ( nT )
 x  nT
T = 0.5
Función de
Interpolación
43

Señales de Interés

▪ Función signo:

ì 1 , t > 0ü
ï ï
sgn ( t ) = í 0 , t = 0 ý
ï-1 , t < 0 ï
î þ
44

Señales de Interés

▪ Relación entre funciones

escalón e impulso:
45
Problema
• Graficar las señales mostradas
∞
−𝛼𝑡 2 𝑡+1
න 𝑒 𝛿 𝑡 − 10 𝑑𝑡 3 𝑟𝑒𝑐𝑡
4
−∞

𝑡−1
𝑢 𝑡 + 𝑢 10 − 𝑡 𝑟𝑒𝑐𝑡 + 𝑟𝑒𝑐𝑡 𝑡 − 1
2
46
Problema
• Graficar las señales mostradas
∞
−𝛼𝑡 2 𝑡+1
න 𝑒 𝛿 𝑡 − 10 𝑑𝑡 3 𝑟𝑒𝑐𝑡
4
−∞

∞
−𝛼102
𝑒 න 𝛿 𝑡 − 10 𝑑𝑡 = 𝑒 −100𝛼
−∞

𝑡−1
𝑢 𝑡 + 𝑢 10 − 𝑡 𝑟𝑒𝑐𝑡 + 𝑟𝑒𝑐𝑡 𝑡 − 1
2
47
Problema clc; clear;
• Graficar los siguientes pulsos (Octave)
𝑡−1 fs = 50;
• Un pulso rectangular 2𝑟𝑒𝑐𝑡 en el T = 4;
4
intervalo –4 ≤ t ≤ 8. t= -4:1/fs:8;
x1=2*rectpuls(t-1,T);
• Utilice la función rectpuls.
𝑛−2
• Un pulso rectangular 2𝑟𝑒𝑐𝑡 en el n=-4:8;
5
x2=2*(n>=0 & n<=4);
intervalo [-4, 8].
• Utilice directamente pulsos discretos. subplot(1,2,1);
plot(t,x1,'linewidth',3);
grid;
subplot(1,2,2);
stem(n,x2,'linewidth',3);
grid;
48

Señal Continua Exponencial

▪ La señal exponencial está dada por

𝑥 𝑡 = 𝐶𝑒 𝛼𝑡
▪ donde 𝐶, 𝛼 ∈ ℂ

▪ Señal exponencial real: 𝐶, 𝛼 ∈ ℝ

49
𝑥 𝑡 = 𝐶𝑒 𝛼𝑡
Señal Continua Exponencial Compleja

▪ Si 𝛼 es imaginario, 𝛼 = 𝑗𝜔𝑜

𝑥 𝑡 = 𝑒 𝑗𝜔𝑜 𝑡
▪ 𝑥 𝑡 es una señal exponencial compleja periódica

▪ Propiedad de periodicidad
▪ 𝑒 𝑗𝜔𝑜𝑡 = 𝑒 𝑗𝜔𝑜 𝑡+𝑇 = 𝑒 𝑗𝜔𝑜𝑡 𝑒 𝑗𝜔𝑜𝑇
▪ Siempre que 𝒆𝒋𝝎𝒐𝑻 = 𝟏. De lo contrario, 𝑥 𝑡 ≠ 𝑥 𝑡 + 𝑇 .

▪ Período fundamental 𝑇0 (menor valor de 𝑇)

2𝜋
𝑇0 =
𝜔0
50
𝑥 𝑡 = 𝐶𝑒 𝛼𝑡
Señal Continua Exponencial Compleja

▪ La función

𝑥 𝑡 = 𝐴𝑒 𝑗 𝜔𝑜 𝑡+𝜃

▪ Se conoce como fasor giratorio.

▪ Se caracteriza por 3 parámetros:
▪ Amplitud
▪ Frecuencia
▪ Fase

▪ Forma conveniente de
representar sinusoidales a través
de la identidad de Euler.
51

Señal Continua Sinusoidal

2𝜋𝑡
𝑔 𝑡 = 𝐴 cos + 𝜃 = 𝐴 cos 2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜃 = 𝐴 cos 𝜔0 𝑡 + 𝜃
𝑇0
▪ A – Amplitud
▪ 𝑇0 - Período
▪ 𝜃 - Fase
▪ 𝑓0 - Frecuencia Cíclica (Hz)
▪ 𝜔0 - Frecuencia Angular (rad/s)
52

Señal Continua Sinusoidal

2𝜋𝑡
𝑔 𝑡 = 𝐴 cos + 𝜃 = 𝐴 cos 2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜃 = 𝐴 cos 𝜔0 𝑡 + 𝜃
𝑇0
▪ A – Amplitud
A = 5;
▪ 𝑇0 - Período f = 10;
▪ 𝜃 - Fase phi = pi/4;
T = 1/f;
▪ 𝑓0 - Frecuencia Cíclica (Hz) t = 0:T/50:3*T;
▪ 𝜔0 - Frecuencia Angular (rad/s) x=A*cos(2*pi*f*t-phi);

plot(t,x,'linewidth',2);grid;
53

Señal Continua Exponencial Compleja y Sinusoidal

▪ Partiendo de la identidad de Euler

▪ 𝑒 𝑗𝜔𝑜𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑜 𝑡 + 𝑗𝑠𝑖𝑛𝜔𝑜 𝑡

▪ Podemos decir que

𝐴 𝐴
▪ 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑜 𝑡 + ∅ = 𝑒 𝑗∅ 𝑒 𝑗𝜔𝑜𝑡 + 𝑒 −𝑗∅ 𝑒 −𝑗𝜔0𝑡
2 2
▪ (Amplitudes complejas)

▪ En consecuencia,
▪ 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑜 𝑡 + ∅ = 𝐴 𝑅𝑒 𝑒 𝑗 𝜔𝑜 𝑡+∅

▪ 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑜 𝑡 + ∅ = 𝐴 𝐼𝑚 𝑒 𝑗 𝜔𝑜 𝑡+∅

Una señal real resulta de la suma de dos señales

complejas conjugadas.
54
Problema
• Expresar las siguientes señales como a) La parte real de fasores
giratorios, y b) la suma de fasores giratorios.

𝜋
𝑥 𝑡 = 2 cos 10𝜋𝑡 +
6

𝜋
𝑥 𝑡 = 3 sin 19𝜋𝑡 −
3
55
Problema
• Expresar las siguientes señales como a) La parte real de fasores
giratorios, y b) la suma de fasores giratorios.

𝜋
𝑗 10𝜋𝑡+ 6
𝜋 a) 𝑥 𝑡 = 2 𝑅𝑒 𝑒
𝑥 𝑡 = 2 cos 10𝜋𝑡 +
6 𝜋
𝑗 10𝜋𝑡+ 6
𝜋
−𝑗 10𝜋𝑡+ 6
b) 𝑥 𝑡 = 𝑒 +𝑒

𝜋 𝜋 5𝜋
𝑗 19𝜋𝑡− 3 − 2 𝑗 19𝜋𝑡− 6
a)𝑥 𝑡 = 3 𝑅𝑒 𝑒 = 3 𝑅𝑒 𝑒
𝜋
𝑥 𝑡 = 3 sin 19𝜋𝑡 −
3
3 𝑗 19𝜋𝑡−5𝜋 3 −𝑗 19𝜋𝑡−5𝜋
b) 𝑥 𝑡 = 𝑒 6 + 𝑒 6
2 2
56

Exponenciales complejas relacionadas armónicamente

▪ Conjunto de exponenciales periódicas con frecuencias fundamentales

múltiplos enteros de una sola frecuencia positiva 𝜔0 .
▪ 𝜑𝑘 𝑡 = 𝑒 𝑗𝑘𝜔𝑜 𝑡 , 𝑘 = 0, ±1, ±2, …
▪ Para k = 0, 𝜑𝑘 𝑡 es una constante
▪ Para k ≠ 0, 𝜑𝑘 𝑡 es periódica con frecuencia fundamental 𝑘 𝜔𝑜 y
período fundamental
2𝜋 𝑇0
▪ =
𝑘 𝜔𝑜 𝑘

▪ La k-ésima armónica 𝜑𝑘 𝑡 también es periódica con período 𝑇0 .

▪ El intervalo 𝑇0 tiene exactamente 𝑘 de sus períodos fundamentales.
57

Exponenciales complejas relacionadas armónicamente

▪ Podemos expresar la suma de dos

exponenciales como el producto de dos
factores: 𝑥 𝑡 = 𝑒 𝑗2𝑡 + 𝑒 𝑗3𝑡
▪ una exponencial compleja.
▪ una onda sinusoidal.

▪ Se factoriza la expresión usando un

factor exponencial complejo 𝑥 𝑡 = 𝑒 𝑗2.5𝑡 𝑒 −𝑗0.5𝑡 + 𝑒 𝑗2.5𝑡 𝑒 𝑗0.5𝑡
▪ El factor tiene frecuencia igual al promedio 𝑥 𝑡 = 𝑒 𝑗2.5𝑡 (𝑒 −𝑗0.5𝑡 + 𝑒 𝑗0.5𝑡 )
de las frecuencias de las componentes
exponenciales. 𝒙 𝒕 = 𝟐𝒆𝒋𝟐.𝟓𝒕 𝒄𝒐𝒔(𝟎. 𝟓𝒕)
▪ Identidad de Euler
58

Exponenciales complejas generales

𝑥 𝑡 = 𝐶ⅇ𝛼𝑡
▪ Donde en forma polar
▪ 𝐶 = |𝐶|𝑒 𝑗𝜃
▪ En forma rectangular
▪ 𝛼 = 𝑟 + 𝑗𝜔0

▪ Entonces
▪ 𝑥 𝑡 = |𝐶|𝑒 𝑟𝑡 𝑒 𝑗 𝜔0 𝑡+𝜃
▪ 𝑥 𝑡 = |𝐶|𝑒 𝑟𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝜔0 𝑡 + 𝜃 + 𝑗𝑠𝑖𝑛 𝜔0 𝑡 + 𝜃
59
Problema
• Determinar si la función es periódica y, de ser así, determinar su período
fundamental y el número de los armónicos de sus componentes
𝟐𝝅 𝟑𝝅
𝒋𝟑𝒕 𝒋𝟒𝒕
𝒙 𝒕 = 𝒆 +𝒆
60
Problema:
• Determinar si la función es periódica y, de ser así, determinar su período
fundamental y el número de los armónicos de sus componentes
𝟐𝝅 𝟑𝝅
𝒋𝟑𝒕 𝒋𝟒𝒕
2𝜋 3𝜋 𝒙 𝒕 = 𝒆 +𝒆
𝑗 𝑡 𝑗 𝑡
𝑥 𝑡 = 𝑒 3 +𝑒 4
2𝜋 2𝜋 8 𝑇1 9
𝑇1 = 2𝜋 = 3, 𝑇2 = 3𝜋 =
3
= es un número racional, por ende es periódica
3 4 𝑇2 8

El período fundamental es el mcm de los períodos de sus componentes:

8 𝑚𝑐𝑚 3,8 24 1
𝑇0 = 𝑚𝑐𝑚 3, = = = 24, 𝑓0 =
3 𝑚𝑐𝑑 1,3 1 24
El número de armónico se determina como la razón de sus frecuencias
individuales y la frecuencia fundamental:
𝟏ൗ
𝟑
Componente 1: 𝒇𝟏ൗ𝒇 = 𝟏ൗ = 𝟖° armónico
𝟎 𝟐𝟒
𝟑ൗ
𝟖
Componente 2: 𝒇𝟐ൗ𝒇 = 𝟏ൗ = 𝟗° armónico
𝟎 𝟐𝟒
61
Problema de Repaso:
• Determinar si la función es periódica y, de ser así, determinar su período
fundamental y el número de los armónicos de sus componentes
𝒙 𝒕 = 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝟎𝝅𝒕 + 𝒄𝒐𝒔 𝟕𝟎𝝅𝒕
𝑇1 = 1/25 𝑇2 = 1/35

𝑇1 35 7
= = es un número racional, por ende es periódica
𝑇2 25 5

El período fundamental es el mcm de los períodos de sus componentes:

1 1 𝑚𝑐𝑚 1,1 1 1
𝑇0 = 𝑚𝑐𝑚 , = = , 𝑓0 = =5
25 35 𝑚𝑐𝑑 25,35 5 𝑇0

Componente 1: 𝟓° armónico
Componente 2: 𝟕° armónico
62

Exponenciales complejas discretas

𝑥[𝑛] = 𝐶𝛼 𝑛
▪ Donde 𝐶, 𝛼 ∈ ℂ

▪ Señal exponencial real (𝐶, 𝑎 ∈ ℝ)

63

Exponenciales complejas discretas

▪ La secuencia
𝑥 𝑛 = 𝑒 𝑗𝜔0 𝑛 = 𝑐𝑜𝑠 𝜔0 𝑛 + 𝑗𝑠𝑖𝑛 𝜔0 𝑛

▪ Está íntimamente relacionada con

𝐴 𝑗∅ 𝑗𝜔 𝑛 𝐴 −𝑗∅ −𝑗𝜔 𝑛
𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑜 𝑛 + ∅ = 𝑒 𝑒 𝑜 + 𝑒 𝑒 0
2 2
64

Exponenciales complejas generales discretas

𝑥[𝑛] = 𝐶𝛼 𝑛
▪ Donde en forma polar
▪ 𝐶 = |𝐶|𝑒 𝑗𝜃
▪ En forma rectangular
▪ 𝛼 = |𝛼|𝑒 𝑗𝜔0

▪ Entonces
▪ 𝑥[𝑛] = 𝐶𝛼 𝑛 = |𝐶||𝛼|𝑛 𝑒 𝑗𝜃 𝑒 𝑗𝜔0
▪ 𝑥[𝑛] = |𝐶||𝛼|𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝜔0 𝑛 + 𝜃 + 𝑗|𝐶||𝛼|𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝜔0 𝑛 + 𝜃
65

Exponenciales complejas generales discretas

𝑥[𝑛] = |𝐶||𝛼|𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝜔0 𝑛 + 𝜃 + 𝑗|𝐶||𝛼|𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝜔0 𝑛 + 𝜃

▪ Si 𝛼 = 1: Secuencia sinusoidal

▪ Si 𝛼 > 1: Secuencia sinusoidal creciente

▪ Si 𝛼 < 1: Secuencia sinusoidal decreciente

66

Propiedades de periodicidad de exponenciales discretas

▪ Consideremos una exponencial compleja con frecuencia 𝝎𝟎 + 𝟐𝝅

𝑒𝑗 𝝎𝟎 +𝟐𝝅 𝑛 = 𝑒 𝑗2𝜋𝑛 𝑒 𝑗𝜔0 𝑛 = 𝑒 𝑗𝜔0 𝑛

▪ Entonces, una señal con frecuencia 𝜔0 es idéntica a las señales con

frecuencias 𝜔0 + 2𝜋, 𝜔0 + 4𝜋, …

▪ Por esto, sólo necesitamos considerar un intervalo de frecuencia de

longitud 2𝜋 dentro del que se escoge 𝜔0
▪ Generalmente se usan los intervalos 𝟎 < 𝝎𝟎 < 𝟐𝝅 ó −𝝅 < 𝝎𝟎 < 𝝅
67

Propiedades de periodicidad de exponenciales discretas

68

Propiedades de periodicidad de exponenciales discretas

▪ Para que la señal 𝑒 𝑗𝜔0 𝑛 sea periódica con período N>0, se debe cumplir

𝑒 𝑗𝜔0 𝑛+𝑁 = 𝑒 𝑗𝜔0 𝑛

▪ Por lo que 𝑒 𝑗𝜔0 𝑁 = 1, y 𝜔0 𝑁 = 𝑚 ∙ 2𝜋
▪ Donde 𝑚 es un número entero

▪ En otras palabras,
𝜔0 𝑚
= 𝑓0 = , (número racional)
2𝜋 𝑁
▪ Esta propiedad es igualmente válida para sinusoidales discretas
69

Propiedades de periodicidad de exponenciales discretas

▪ En resumen:
70

Propiedades de periodicidad de exponenciales discretas

▪ Estas propiedades indican que en la señal

2𝜋
𝑗𝑘 𝑛
𝜑𝑘 𝑛 = 𝑒 𝑁 , 𝑘 = 0, ±1, ±2, …

▪ Existen únicamente N señales exponenciales periódicas distintas en el

conjunto dado:
2𝜋
𝑗(𝑘+𝑁) 𝑛
𝜑𝑘+𝑁 𝑛 = 𝑒 𝑁
2𝜋
𝑗𝑘 𝑛
=𝑒 𝑁 𝑒 𝑗2𝜋𝑛
2𝜋
𝑗𝑘 𝑛
=𝑒 𝑁
71
Problema
• Determinar si la función es periódica y, de ser así, determinar su período
fundamental
𝟐𝝅 𝟑𝝅
𝒋𝟑𝒏 𝒋𝟒𝒏
Recordar que para una señal exponencial discreta periódica 𝒙[𝒏] = 𝒆 + 𝒆
2𝜋
𝑗𝑚 𝑁 𝑛
𝑥[𝑛] = 𝑒
𝑁 𝜔0 𝑚
y el período fundamental es 𝑁𝑜 = = 𝑓0 =
𝑚𝑐𝑑(𝑁,𝑚) 2𝜋 𝑁
72
Problema
• Determinar si la función es periódica y, de ser así, determinar su período
fundamental
𝟐𝝅 𝟑𝝅
𝒋𝟑𝒏 𝒋𝟒𝒏
Recordar que para una señal exponencial discreta periódica 𝒙[𝒏] = 𝒆 + 𝒆
2𝜋
𝑗𝑚 𝑁 𝑛
𝑥[𝑛] = 𝑒
𝑁 𝜔0 𝑚
y el período fundamental es 𝑁𝑜 = = 𝑓0 =
𝑚𝑐𝑑(𝑁,𝑚) 2𝜋 𝑁

2𝜋 3𝜋
𝑗3𝑛 𝑗4𝑛
𝑥[𝑛] = 𝑒 + 𝑒
𝑁1 = 3, 𝑚1 = 1
𝑁2 = 8, 𝑚2 = 3
𝑁0 = 𝑚𝑐𝑚 3,8 = 𝟐𝟒
73

Sistemas

▪ Entidades compuestas de varios componentes para realizar una tarea

▪ Responde a señales de entrada.
▪ Produce señales de salida.

Entrada/ Sistema Salida/

Estímulo (hardware/software) Respuesta

▪ Sistemas continuos: 𝑥(𝑡) → 𝑦(𝑡)

▪ Sistemas discretos: 𝑥 𝑛 → 𝑦[𝑛]
74

Sistemas: Ejemplo

▪ Voltaje de capacitor en circuito RC

▪ Sistema descrito por una ecuación diferencial.

▪ Reducción de número de bits: se

almacena el primer número y luego las
diferencias sucesivas
▪ Ecuación de diferencia 𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝑥[𝑛 − 1]
▪ Diagrama de bloques:
75

Sistemas: Interconexiones Serie:

▪ Generalmente consisten de la
interconexión de varios subsistemas
Paralelo:

Serie-paralelo:

Con retroalimentación:
76

Sistemas: Interconexiones

▪ ¿Tipo de interconexión?
▪ ¿Qué ventajas/desventajas ofrecen estas
interconexiones?
77

Sistemas: Propiedades básicas

▪ Memoria:
▪ Sistemas sin memoria
▪ Sus salidas para cada valor de la variable independiente depende únicamente
de la entrada en ese mismo tiempo.
▪ Ejemplo: resistor
▪ Sistemas con memoria
▪ Su salida para cada valor de la variable independiente en un tiempo dado
depende de la entrada en instantes distintos del tiempo actual.
▪ Ejemplo: acumulador, retraso, capacitor
78

Sistemas: Propiedades básicas

▪ Invertibilidad:
▪ Sistemas invertibles
▪ Distintas entradas producen distintas salidas.
▪ Si el sistema es invertible, entonces existe un sistema inverso que, al ser conectado
en cascada con el sistema original, produce la misma señal de entrada

▪ Aplicaciones importantes
▪ Codificadores/decodificadores, compresión, criptografía, corrección de
errores, etc.
79

Sistemas: Propiedades básicas

▪ Causalidad:
▪ Sistema causal:
▪ Aquellos que tienen salidas que, en cualquier instante, dependen sólo de los
valores de la entrada en el momento presente y pasado.
▪ Sistema no anticipativo

▪ Ejemplos:
▪ 𝑦 𝑛 = σ𝑛
𝑘=−∞ 𝑥[𝑘].
▪ 𝑦 𝑛 = 𝑥 −𝑛 .
▪ 𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝑥[𝑛 − 1].
80

Sistemas: Propiedades básicas

▪ Causalidad:
▪ Sistema causal:
▪ Aquellos que tienen salidas que, en cualquier instante, dependen sólo de los
valores de la entrada en el momento presente y pasado.
▪ Sistema no anticipativo

▪ Ejemplos:
▪ 𝑦 𝑛 = σ𝑛
𝑘=−∞ 𝑥[𝑘]. Causal: k sólo usa valores pasados hasta n.
▪ 𝑦 𝑛 = 𝑥 −𝑛 . No causal: ¿Qué pasa si n=-2?
▪ 𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝑥[𝑛 − 1]. Causal: Valor presente y pasado de x
81

Sistemas: Propiedades básicas

▪ Estabilidad:
▪ Sistema causal:
▪ Aquel que cuando su entrada es limitada, su salida también es limitada y no
puede divergir.

▪ En sistemas eléctricos, generalmente la estabilidad resulta de la presencia de

componentes que disipan energía
82

Sistemas: Propiedades básicas

▪ Estabilidad:
▪ Ejemplos:
▪ 𝑦 𝑡 =𝑥 𝑡 ∙𝑡
▪ ¿Qué pasa si t tiende a infinito?

▪ 𝑦 𝑡 = 𝑒𝑥 𝑡

▪ Si x(t) es limitada, ¿Lo es y(t)?

83

Sistemas: Propiedades básicas

▪ Invarianza en el tiempo:
▪ Sistema invariante en el tiempo:
▪ Aquellos para los que un corrimiento de tiempo en la entrada resulta en un
corrimiento en tiempo de la salida.
▪ Su comportamiento y características son fijas en el tiempo

▪ Si una entrada 𝑥 𝑛 produce 𝑦 𝑛 , 𝑥 𝑛 − 𝑇 produce 𝑦 𝑛 − 𝑇 .

84

Sistemas: Propiedades básicas

▪ Invarianza en el tiempo: Circuitos Eléctrónicos

▪ ¡Las escalas de tiempo importan!

85

Sistemas: Propiedades básicas

▪ Invarianza en el tiempo

▪ ¿El sistema 𝑦 𝑛 = 𝑥 −𝑛
es invariante en el tiempo?
86
Problema
• Determinar si el siguiente sistema es invariante en el tiempo 𝒚 𝒏 =𝒙 𝒏 −𝒙 𝒏−𝟏

Sea
𝑦1 𝑛 = 𝑥1 𝑛 − 𝑥1 [𝑛 − 1]
Para
𝑥2 𝑛 = 𝑥1 𝑛 − 𝑛0
Entonces
𝑦2 𝑛 = 𝑥2 𝑛 − 𝑥2 𝑛 − 1
= 𝑥1 𝑛 − 𝑛0 − 𝑥1 𝑛 − 1 − 𝑛0

Observamos que
𝑦1 𝑛 − 𝑛0 = 𝑥1 𝑛 − 𝑛0 − 𝑥1 [𝑛 − 1 − 𝑛0 ]
𝑦1 𝑛 − 𝑛0 = 𝑦2 𝑛

El sistema es invariante en el tiempo.

87

Sistemas: Propiedades básicas

▪ 𝛼, 𝛽 ∈ ℂLinealidad:
▪ Sistema lineal:
▪ Posee la propiedad de superposición. Es decir, que la salida de un sistema para
una entrada que consiste de la suma de múltiples señales es igual a la suma de
las respuestas individuales del sistema a estas señales por separado.

▪ Forma general: Si y1(t) es la respuesta del sistema a x1(t), y y2(t) es la respuesta del
sistema a x2(t), entonces el sistema es lineal si:
▪ la respuesta a 𝛼x1(t) + 𝛽x2(t) es 𝛼y1(t) + 𝛽y2(t), donde 𝛼, 𝛽 ∈ ℂ
88
Problema
• Determinar si el siguiente sistema es lineal 𝒚 𝒏 = 𝟐𝒙 𝒏 + 𝟑

𝑦1 𝑛 = 2𝑥1 𝑛 + 3
𝑦2 𝑛 = 2𝑥2 𝑛 + 3

Sea 𝑥3 𝑛 = 𝑥1 𝑛 + 𝑥2 𝑛
𝑦3 𝑛 = 2𝑥3 𝑛 + 3 = 2 𝑥1 𝑛 + 𝑥2 𝑛 + 3
𝑦3 𝑛 = 2𝑥1 𝑛 + 2𝑥2 𝑛 + 3
≠
𝑦3 𝑛 = 𝑦1 𝑛 + 𝑦2 𝑛 = 2𝑥1 𝑛 + 2𝑥2 𝑛 + 6

El sistema no es lineal
89
Problema
• Determinar si el siguiente sistema es lineal 𝒚 𝒕 = 𝒕 ∙ 𝒙(𝒕)

𝑦1 𝑡 = 𝑡𝑥1 𝑡
𝑦2 𝑡 = 𝑡𝑥2 𝑡

Sea 𝑥3 𝑡 = 𝑥1 𝑡 + 𝑥2 𝑡
𝑦3 𝑡 = 𝑡𝑥3 𝑡 = 𝑡 𝑥1 𝑡 + 𝑥2 𝑡
𝑦3 𝑡 = 𝑡𝑥1 𝑡 + 𝑡𝑥2 𝑡
=
𝑦3 𝑡 = 𝑦1 𝑡 + 𝑦2 𝑡 = 𝑡𝑥1 𝑡 + 𝑡𝑥2 𝑡

El sistema es lineal
90
Problema
• Determinar si el siguiente sistema es lineal 𝒚 𝒕 = 𝒙𝟐 (𝒕)

𝑦1 𝑡 = 𝑥12 𝑡
𝑦2 𝑡 = 𝑥22 𝑡

Sea 𝑥3 𝑡 = 𝑥1 𝑡 + 𝑥2 𝑡
𝑦3 𝑡 = 𝑥32 𝑡 = 𝑥12 𝑡 + 2𝑥1 𝑡 𝑥2 𝑡 + 𝑥22 𝑡
≠
𝑦3 𝑡 = 𝑦1 𝑡 + 𝑦2 𝑡 = 𝑥12 𝑡 + 𝑥22 𝑡

El sistema no es lineal