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Contenido > Unidad > Evaluación
Evaluación Final
Evaluación Final
Realización
55
20
15
60
(2.00 puntos)
85
75
45
90
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=33354&id_curso=41223&wAccion=verevaluacion 1/4
10/4/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
(2.00 puntos)
180 grados
120 grados
90 grados
60 grados
(2.00 puntos)
11 u
12 u
13 u
10 u
(2.00 puntos)
La ecuación de la recta de pendiente 4/5 y que corta el eje de las ordenadas en -5 es:
4x-5y=5
4x-5y=25
4y-5x=5
4x+5y=5
Considere los puntos A(-4,2), B(3,-2), C(5,m), D(x,y). El área del paralelogramo ABCD
es 56 unidades cuadradas. Si m es positivo, el valor de x es:
-2
cero (0)
2
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10/4/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
51
53
57
61
Se intersecarán siempre.
Nunca se intersecarán.
Serán colineales.
Serán paralelas.
(2.00 puntos)
La medida de un ángulo, cuya longitud del arco subtendido es igual al radio del
circulo se llama:
Radián
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10/4/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Decimal
Sexagesimal
Complementario
(2.00 puntos)
Anterior
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10/4/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
Evaluación Final
Evaluación Final
Realización
Los datos para un trapecio son área (A) =32, base mayor B=10, h=4, entonces la base
menor debe medir
6
(2.00 puntos)
Los vértices del triángulo equilátero ABC son respectivamente (-3,4), (-3,-2), (m,n).
Considerando que la abscisa de A es menor que la abscisa de C, el valor de m es:
1
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-1
1+3*raízcuadrada(3)
-3+3*raízcuadrada(3)
El teorema de Pitágoras.
El postulado de Euclides
La hipótesis de Aristóteles.
La fórmula de Herón.
(2.00 puntos)
0.35
0.25
1.25
0.15
(2.00 puntos)
En una parábola las distancias: entre el punto focal y el vértice, y, entre el vértice y la
línea directriz:
Son iguales.
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Ángulos complementarios
Ángulo suplementario
Ángulos correspondientes
(2.00 puntos)
Al segmento que se obtiene sumando el segmento dado tantas veces como indique el
nnúmero lo llamamos:
División de segmentos
Resta de segmentos
Suma de segmentos
Anterior
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Evaluación Final
Evaluación Final
Realización
4/3
2
7/2
La expresión "El lugar geométrico de los puntos de un plano que tienen equidistancia
respecto a un punto fijo y una recta llamada directriz", es la definición de:
Parábola.
Elipse.
Hipérbola.
Circunferencia.
(2.00 puntos)
Se intersecarán siempre.
Nunca se intersecarán.
Serán colineales.
Serán paralelas.
(2.00 puntos)
-1
cero (0)
0.4
2.5
2.7
(2.00 puntos)
Al segmento que se obtiene sumando el segmento dado tantas veces como indique el
nnúmero lo llamamos:
División de segmentos
Resta de segmentos
Suma de segmentos
El teorema de Pitágoras.
El postulado de Euclides
La hipótesis de Aristóteles.
La fórmula de Herón.
(2.00 puntos)
La ecuación de la recta de pendiente 4/5 y que corta el eje de las abscisas en 5 es:
4x-5y=20
4x-5y=25
4y-5x=5
4x-5y=-20
El rayo que divide a un ángulo dado en dos ángulos de igual medida se llama:
Bisectriz
Mediatriz
Medianas
Alturas
(2.00 puntos)
Anterior
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Segundo parcial
Evaluación Final
Evaluación Final
Realización
Los datos para un trapecio son área (A) =32, base mayor B=10, h=4, entonces la base
menor debe medir
6
(2.00 puntos)
Los vértices del triángulo equilátero ABC son respectivamente (-3,4), (-3,-2), (m,n).
Considerando que la abscisa de A es menor que la abscisa de C, el valor de m es:
1
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-1
1+3*raízcuadrada(3)
-3+3*raízcuadrada(3)
El teorema de Pitágoras.
El postulado de Euclides
La hipótesis de Aristóteles.
La fórmula de Herón.
(2.00 puntos)
0.35
0.25
1.25
0.15
(2.00 puntos)
En una parábola las distancias: entre el punto focal y el vértice, y, entre el vértice y la
línea directriz:
Son iguales.
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Ángulos complementarios
Ángulo suplementario
Ángulos correspondientes
(2.00 puntos)
Al segmento que se obtiene sumando el segmento dado tantas veces como indique el
nnúmero lo llamamos:
División de segmentos
Resta de segmentos
Suma de segmentos
Anterior
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Evaluación Final
Evaluación Final
Realización
55
20
15
60
(2.00 puntos)
85
75
45
90
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(2.00 puntos)
180 grados
120 grados
90 grados
60 grados
(2.00 puntos)
11 u
12 u
13 u
10 u
(2.00 puntos)
La ecuación de la recta de pendiente 4/5 y que corta el eje de las ordenadas en -5 es:
4x-5y=5
4x-5y=25
4y-5x=5
4x+5y=5
Considere los puntos A(-4,2), B(3,-2), C(5,m), D(x,y). El área del paralelogramo ABCD
es 56 unidades cuadradas. Si m es positivo, el valor de x es:
-2
cero (0)
2
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51
53
57
61
Se intersecarán siempre.
Nunca se intersecarán.
Serán colineales.
Serán paralelas.
(2.00 puntos)
La medida de un ángulo, cuya longitud del arco subtendido es igual al radio del
circulo se llama:
Radián
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Decimal
Sexagesimal
Complementario
(2.00 puntos)
Anterior
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Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
Evaluación Final
Evaluación Final
Realización
Son complementarios.
Son suplementarios.
Son obtusos.
(2.00 puntos)
La ecuación de la recta de pendiente 4/5 y que corta el eje de las ordenadas en -5 es:
4x-5y=5
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4x-5y=25
4y-5x=5
4x+5y=5
Es el segmento arbitrario que se toma como unidad para medir otros segmentos:
Media proporcional
Segmento unitario
Suma de segmentos
Semirecta
(2.00 puntos)
181/4
73/4
37
21/4
En una parábola las distancias: entre el punto focal y el vértice, y, entre el vértice y la
línea directriz:
Son iguales.
El teorema de Pitágoras.
El postulado de Euclides
La hipótesis de Aristóteles.
La fórmula de Herón.
(2.00 puntos)
8.5
(2.00 puntos)
Sobre el eje x un punto que dista 5 unidades del punto (2,4) es:
(1,0)
(0,-1)
(5,0)
(0,5)
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10/4/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
4 lados y 3 vértices
2 diagonales y 2 vértices
(2.00 puntos)
Una recta
Una semirecta
Un rayo
Un segmento
(2.00 puntos)
Anterior
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10/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
Ninguna
El número de filas
El número de columnas
Ninguna
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10/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
La matriz nula es
Ninguna
Una matriz A tiene por elementos a11=2, a12=4, a13=5, a21=-3, a22=2, a23=-1,
a31=1, a32=1, a33=2 su determinante es
Ninguna
Una matriz A tiene por elementos a11=2, a12=2, a13=3, a21=1, a22=-1, a23=0,
a31=-1, a32=2, a33=1 la suma de la diagonal secundaria de la matriz inversa es
-3
-5
-1
-9
Ninguna
Anterior
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Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
AUTOEVALUACION 3: TEMA 3
AUTOEVALUACION 3: TEMA 3
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 08/08/2021 07:00 hasta 12/08/2021 23:59
Realización
0°
3
1
Ninguna
El piloto de un avión observa que el ángulo de depresión de una luz situada exactamente debajo de su línea de vuelo es 27°. Un
minuto más tarde ve que el ángulo de depresión es 39°. Si está volando horizontalmente y en línea recta a la velocidad de 300
km/h . Hallar la altura a la que está volando?
6.87 km
7.86 km
8.76 km
15.13 km
Ninguna
Una cuerda de 20 m no es lo suficientemente larga para medir la longitud que hay entre dos puntos P y Q situados en los lados
opuestos de un río. Un punto R se halla situado de tal manera que la distancia entr R-Q es de 18 m. Se ha determinado que el
ángulo PRQ es 107° y que el ángulo PQR es de 41°. Encuentre la distancia PQ
32.5
23.5
52.3
53.2
Ninguna
El ángulo de un vértice de un triángulo es 54° y los lados que se cortan en éste miden 89m y 75 m respectivamente. Calcular la
longitud del tercer lado.
75.49
57.49
94.57
49.75
Ninguna
128.68°
168.28°
182.68°
186.68°´
Ninguna
Anterior
9/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 3: TEMA 3
AUTOEVALUACION 3: TEMA 3
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 08/08/2021 07:00 hasta 12/08/2021 23:59
Realización
20°
pi/3
Ninguna
1043
1034
1124
1142
Ninguna
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=37965&id_curso=43406&wAccion=verevaluacion 1/3
9/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
32.5
23.5
52.3
53.2
Ninguna
Dos aviones salen del aeropuerto de Quito, el primero vuela con dirección (Azimut)
de 222° y el segundo con dirección 170°. Después que el primero ha volado 470 km
mira al segundo avión con rumbo N 82°E, a qué distancia se encuentra el segundo
avión del aeropuerto de Quito?
302.29
203.29
922.03
220.39
Ninguna
128.68°
168.28°
182.68°
186.68°´
Ninguna
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=37965&id_curso=43406&wAccion=verevaluacion 2/3
9/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Anterior
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9/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
Autoevaluación 3 Álgebra
Autoevaluación 3 Álgebra
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: Sí
Abierta: desde 08/08/2021 07:00 hasta 12/08/2021 23:59
Realización
2x
xx
raíz cuadrada de x
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=37866&id_curso=43314&wAccion=verevaluacion 1/3
9/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
(x^2-1)/(x^2-1)
x=1
una parábola
una elipse
una hipérbola
una circunferencia
una recta
Reales
Reales positivos
{}
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=37866&id_curso=43314&wAccion=verevaluacion 2/3
9/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=37866&id_curso=43314&wAccion=verevaluacion 3/3
7/9/21 08:22 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
Esta evaluación es para aquellos estudiantes que por enfermedad, calamidad doméstica,
fuerza mayor o por problemas de la plataforma, servicio de luz, internet u otros no
pudieron rendirla.
Puntaje total: 20.00
Puntaje de aprobación: 14.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 07/09/2021 07:00 hasta 07/09/2021 08:30
Realización
198 cm
41,46 cm
70,24 cm
20,74 cm
IV
II
III
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=39413&id_curso=43403&wAccion=verevaluacion 1/4
7/9/21 08:22 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
IV
II
III
20°
pi/3
Ninguna
128.68°
168.28°
182.68°
186.68°´
Ninguna
tan(y)
ctg(y)
sec(y)
csc(y)
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7/9/21 08:22 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
sec(2y)
ctg(2y)
tan(2y)
csc(2y)
El valor de es
221/140
-221/140
140/221
-140/221
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
I cuadrante
II cuadrante
III cuadrante
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7/9/21 08:22 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
IV cuadrante
Anterior
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Contenido > Unidad > Evaluación
Primer parcial
Realización
Teorema.
Corolario.
Hipótesis.
Axioma
Corolario.
Hipótesis.
Axioma
Longitud de un segmento
Media proporcional
Segmento abierto
Mediatrices
16,12 km
18 km
15,75 km
14,66 km
1078
1278
:
1178
978
Verdadero
Falso
30°
60°
180°
360°
Ninguna
Una recta
Una semirecta
Un rayo
Un segmento
Anterior Siguiente
:
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
Evaluación Final
Evaluación Final
Realización
3.5
2.5
2.82
2
(2.00 puntos)
-2
Bisectriz
Mediatriz
Medianas
Alturas
(2.00 puntos)
11 u
12 u
13 u
10 u
(2.00 puntos)
4x-5y=20
5x-4y=-25
4y-5x=-20
4x-5y=-20
181/4
73/4
37
21/4
Una hipérbola.
:
Una elipse.
Una parábola.
Un círculo.
(2.00 puntos)
16,12 km
18 km
15,75 km
14,66 km
(2.00 puntos)
Anterior
:
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
Realización
181/4
73/4
37
21/4
35
38
40
41
13
Si (4,2) es el punto medio del segmento formado al unir los puntos (a,-3) y
(5,b), el valor de b-a es:
4x-5y=5
4x-5y=25
4y-5x=5
4x-5y=-20
Segmentaria.
:
Normalizada.
Completa.
Funcional.
(2.00 puntos)
Una parábola.
Una elipse.
Una hipérbola.
Un círculo.
(2.00 puntos)
Parábola.
Elipse.
Hipérbola.
Recta.
(2.00 puntos)
Anterior
:
:
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
Autoevaluación Tema 4
Autoevaluación tema 4
Realización
¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3, -2) y su pendiente
es -3/2?
3x - 2y – 5 = 0
3x + 2y + 5 = 0
-3x + 2y – 5 = 0
Ninguna es correcta
3x – y – 17 = 0
3x + y + 17 = 0
-3x + y – 17 = 0
Ninguna es correcta
¿Dados los puntos A (-4, 1) y B (-10, 9), halle la ecuación de la recta que
pasa por B y está a 6 unidades de A?
7x + 24y + 146 = 0
7x - 24y – 146 = 0
7x + 24y – 146 = 0
Ninguna es correcta
x=3
x–3=0
x+3=0
Ninguna es correcta
9.75
-9.75
-97
Ninguna es correcta
Hallar la ecuación de la recta, que pasa por A(1, 5), y es paralela a la recta
2x + y + 2 = 0
2x – y + 7 = 0
-2x + y – 7 = 0
2x + y – 7 = 0
Ninguna es correcta
(x - 1)2= 16(y - 4)
(x + 5)2= 8(y - 4)
(x + 1)2 = 16(y + 4)
Ninguna es correcta
Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,-3) tal que, la
parte de esta recta este comprendida entre las rectas 3x + y - 2 = 0 y x - 5y +
:
10 = 0, quede dividida en dos por dicho punto
41x - 11y – 59 = 0
41x + 11y + 49 = 0
-41x - 11y – 49 = 0
Ninguna es correcta
Los puntos A(-1, 3) y B(3, -3), son vértices de un triángulo isósceles ABC que
tiene su vértice C en la recta 2x - 4y + 3 = 0 siendo AC y BC los lados
iguales. Calcular las coordenadas del vértice C
C(-8.5; -2.5)
C(8.5; 2.5)
C(2.5; 8.5)
Ninguna es correcta
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por lo puntos A(5, 4), B(4,
-3) y C(-2, 5)
x2 + y2 - 2x - 2y – 23 = 0
x2 - y2 + 2x + 2y + 23 = 0
x2 - y2- 2x - 2y – 23 = 0
Ninguna es correcta x2
(y + 2)2 = 12(x - 5)
(x + 2)2 = 12(y - 5)
(y - 2)2 = 12(x + 5)
Ninguna es correcta
5y2 = 4x
(x + 1)2 = 4(y + 4)
5y2 = 4(x - 1)
Ninguna es correcta
(x - 4)2 + (y - 2)2 = 36
(x - 3)2+ (y - 4)2 = 25
(x + 3)2 +( y + 4)2 = 25
Ninguna es correcta
x2 - (y - 3)2 = 25
x2 + (y + 3)2 = 25
x2 + (y - 3)2= 25
Ninguna es correcta
0.55
-0.55
2.5
Ninguna es correcta
Anterior
:
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Primer parcial
Realización
Teorema.
Corolario.
Hipótesis.
Axioma
Corolario.
Hipótesis.
Axioma
Longitud de un segmento
Media proporcional
Segmento abierto
Mediatrices
16,12 km
18 km
15,75 km
14,66 km
1078
1278
:
1178
978
Verdadero
Falso
30°
60°
180°
360°
Ninguna
Una recta
Una semirecta
Un rayo
Un segmento
Anterior Siguiente
:
01023435 6789
ÿ79ÿ
ÿ7ÿ7
8
'()*+),-(ÿ/ÿ1),-2-ÿ/ÿ34567589:;
34567589:;ÿG=Mÿ[5M8956
34567589:;ÿG=Mÿ[5M8956
[7;Q5\=ÿQLQ56?ÿAF]FF
[7;Q5\=ÿR=ÿ5KMLE589:;?ÿG^]FF
_;8LMM=8Q5SÿM=SQ5;?ÿ̀L
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GEOMETRÍA ANALÍTICA H.I.P.
PROLOGO
Al escribir este libro, he pretendido implementar un texto guía, que vaya de acuerdo con
los Objetivos que contemplan los programas analíticos y el nivel de profundidad que el
Instituto de Ciencias Básicas de la ESPE ha definido como indispensable, para los
alumnos que deseen seguir una de las carreras de ingeniería que la Escuela ofrece. Al
mismo tiempo he procurado presentarlo con explicaciones y demostraciones que resulten
claras y completas, complementadas con una buena cantidad de ejercicios resueltos, en
los que hago hincapié sobre los métodos de solución más importantes. Los gráficos los
he elaborado de manera que presenten claramente la esencia del tema o problema tratado.
Los ejercicios propuestos son de diversos tipos e incluyen aplicaciones interesantes,
además de que implican una revisión de los temas analizados anteriormente.
GEOMETRIA ANALITICA
OBJETIVO EDUCATIVO:
Demostrar iniciativa y criticidad en la solución de problemas, mediante el
perfeccionamiento continuo de los procesos analíticos que se van desarrollando en su
pensamiento, los que le proporcionan seguridad y autosatisfacción.
OBJETIVO INSTRUCTIVO:
Resolver problemas sobre: distancias, razones, lugares geométricos y simplificar
ecuaciones de segundo grado, mediante la correcta aplicación de las leyes, principios,
axiomas y teoremas fundamentales de la Geometría Analítica, utilizando procesos lógico-
deductivos.
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS H.I.P.
CAPITULO I
COORDENADAS RECTANGULARES
Fig. 1
Así, para la recta L. (Fig. 1). A y B son los puntos extremos y AB o BA representan
ambos adecuadamente al segmento, que tiene determinada longitud. En Analítica se
añade al concepto geométrico de segmento, la idea de "sentido o dirección". Por lo tanto
el segmento AB está generado por un punto que se mueve desde A hacia B, siendo A el
origen o punto inicial y B el extremo o punto final, o lo que es igual, el segmento AB está
dirigido desde A hacia B. Se puede obtener el mismo segmento dirigiéndolo desde B
hacia A; B será el origen y A el extremo, y el segmento se designará por BA:
Tomando en cuenta este concepto, la longitud de un segmento dirigido puede ser positiva
o negativa, según como se tome la dirección o sentido de la recta que contiene al
segmento, la que indicamos con una flecha.
Longitud AB = | AB |
AB = - BA o bien AB + BA = 0 [1]
-2-
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS H.I.P.
Fig. 4.
AB + BC = AC o AB + BC + CA = 0 [2]
Fig. 5.
Llamaremos coordenada del punto, al número real representado, que nos indica la
distancia dirigida que hay desde el cero al punto; eje, a la recta X'X y origen al
punto "o". El sentido positivo del eje X'X es universal.
Para determinar la magnitud entre dos puntos definidos en este sistema coordenado lineal,
o sea, tanto en su longitud como en su dirección, aplicamos el primer teorema de la
Geometría Analítica.
-3-
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS H.I.P.
DEMOSTRACION:
Fig. 6.
P1 P2 = P2 P1 = X1 − X 2 = X 2 − X1 [5]
EJERCICIOS DE APLICACION
1.- Dados los puntos A(2) y B(-7); determinar la magnitud del segmento dirigido BA.
BA = XA - XB
BA = 2 - (-7)
Fig. 7.
BA = + 9
2.- La magnitud del segmento definido por dos puntos es -9. Si uno de los extremos del
segmento tiene por coordenada (-3), determinar la coordenada del otro extremo.
-4-
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS H.I.P.
a.- Si tomamos la coordenada (-3) como la de P1, podemos generar el segmento P1P3 que
coincide con el sentido negativo del eje X'X.
P2P1 = X1 - X2
- 9 = - 3 - X2
Fig. 8.
X2 = 6
P1P3 = X3 - X1
-9 = X3 + 3
Fig. 9. X3 = -12
Sol. : X3 = -12
P1P2 = X2 - X1
P1P2 = 3 - (-3) = 6
6 = X3 – 3 finalmente
X3 = 9
4.- El punto medio de un segmento dirigido, tiene por coordenada (-3), si el segmento
tiene 8 unidades de longitud, hallar las coordenadas de los extremos.
-5-
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS H.I.P.
BC = XC - XB ; BC = 4 reemplazando:
-3 - XB = 4 de donde: XB = -7
CA = XA - XC = 4
XA - (-3) = 4 finalmente XA = 1
5.- Un segmento vertical dirigido se divide en tres partes iguales, las coordenadas de los
puntos de trisección son: (-2) y (4). Calcular las coordenadas de los extremos.
BD = DC = CA
DC = YC - YD
DC = 4 - (-2)
DC = 6
Coordenada de B.
BD = YD - YB
6 = -2 - YB de donde: YB = -8
Coordenadas de A:
CA = YA - YC
6 = YA - 4 de donde:
YA = 10.
-6-
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS H.I.P.
Fig. 13
Los ejes dividen al plano en cuatro regiones, llamadas cuadrantes. Las direcciones
positivas de los ejes son: hacia la derecha para XX’ y hacia arriba para YY’.
Para ubicar puntos en este sistema, necesitamos dar las distancias dirigidas que hay de
cada uno de los ejes al punto, las coordenadas de un punto serán entonces pares ordenados
de la forma ( X ; Y ) en cada uno de los cuadrantes están indicados los signos de estas
distancias por tanto:
Nota: Un par ordenado, es un conjunto formado por dos elementos que guardan un
estricto orden entre si.
Los cuatro cuadrantes, en los que queda dividido el plano, se enumeran en sentido
antihorario, empezando por el cuadrante superior derecho, en cada uno, tanto las abscisas
como las ordenadas tienen sus respectivos signos.
-7-
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS H.I.P.
Fig. 14
6.- Graficar los puntos: A(4 ; 2) ; B(-6 ; 3) ; C(-3 ; -2) ; D(2 ; -3) ; E(2 ; 6) ;
F(-1 ; 5) ; G(-2 ; -4) ; H(6 ; 6).
Fig. 15
En primer lugar, establecemos una escala adecuada. (No necesariamente las escalas en
los ejes X e Y deben ser iguales, en caso de no serlo, los gráficos salen deformados) y
siguiendo el procedimiento establecido, obtenemos los puntos deseados.
EJERCICIOS ORALES
1.- ¿Cuál es la diferencia entre magnitud y longitud?
-8-
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS H.I.P.
RESUMEN DE FORMULAS
P1P2 = X 2 − X1 ( magnitud )
P1P2 = X 2 − X1 ( longitud )
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- Hallar la distancia dirigida, entre los puntos: A(-5) y B(6). Sol. ±
11.
2.- Hallar la distancia entre los puntos de coordenadas: A(-8) y B(-12). Si el segmento
está dirigido de A hacia B. Sol.
4.
3.- Hallar la distancia entre los puntos de coordenadas: A(3) y B(-7). Si el segmento
está dirigido de B hacia A. Sol.
10.
4.- La distancia entre dos puntos es 9. Si uno de los puntos es de coordenada (-2), hallar
la coordenada del otro punto. Sol. (7) y
(-11).
5.- Un extremo de un segmento dirigido, es el punto (-8), y su punto medio es (3). Hallar
la coordenada del otro extremo. Sol.
14.
6.- Los extremos de un segmento son de coordenadas: (-6) y (9). Hallar las coordenadas,
de los puntos de trisección del segmento. Sol. (-1) ;
(4).
7.- Las coordenadas de tres puntos son: A(-3 ; -5) ; B(4 ; -3) y C(6 ; 3). Hallar las
coordenadas de sus proyecciones sobre los ejes..4. DISTANCIA ENTRE
DOS PUNTOS.
Al determinar la distancia entre dos puntos, se pueden presentar dos alternativas: que los
puntos pertenezcan a una recta paralela a los ejes coordenados o a una recta no paralela a
ellos.
En el primer caso, estos segmentos de recta coinciden con sistemas coordenados lineales;
la obtención de su magnitud o longitud, la realizaremos valiéndonos de las relaciones
obtenidas en [ 3 ] , [ 4 ] o [ 5 ].
Si los puntos están sobre una recta no paralela a los ejes coordenados, aplicaremos el
siguiente teorema:
-9-
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS H.I.P.
DEMOSTRACION:
Fig. 16
P1E = X E − X P1 = X 2 − X 1 (2)
EP2 = YP 2 − YE = Y2 − Y1 (3)
dP1 P2 = ( X 2 − X 1 ) + (Y2 − Y1 )
2 2
[6 ]
Reemplazando (2) y (3) en (1):
- 10 -
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS H.I.P.
Reemplazando ( 2 ) y ( 3 ) en (1):
dP1 P2 = ( X 1 − X 2 )2 + (Y1 − Y2 )2 [6 ]
Las dos relaciones obtenidas, nos entregan la distancia no dirigida entre los puntos P1 y
P2 lo que quiere decir que: no tiene importancia alguna, que punto tomemos como P1
o como P2.
EJERCICIOS DE APLICACION
7.- Un punto P del plano, tiene por coordenadas (x1 ; y1), si la distancia del punto al eje
de las Y es los 2/3, de su distancia al eje de las X ; de cual de los ejes, está más
distante el punto?.
Por los datos del problema: X1 = 2/3.Y1. Por tanto las coordenadas del punto las
podemos escribir como: P (2/3.y1 ; y1)
Como es obvio: y1 es mayor que 2/3.y1, por tanto el punto está más distante del eje de
las abscisas o lo que es igual, del eje X.
- 11 -
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS H.I.P.
25 = x12 + y12 (1 )
y1 =
3
x1 (2)
2
9 2
25 = x12 + x1 de donde : 100 = 13 x12
4
10 30
x1 = ± con estos valores : y1 = ±
13 2 13
10 30 10 30
Sol. P ; ; P − ;−
13 2 13 13 2 13
9.- Un punto P del plano dista del eje X, como 3/5 veces su distancia del eje Y. Si la
distancia del punto P al punto A (1 ; 1) es los 4/3 de su distancia al eje X. Hallar las
coordenadas de P.
Suponemos que el punto buscado es P, de coordenadas: (x1 ; y1). Por los datos del
problema podemos plantear:
y1 =
3
x1 (1) ;
4
y1 = (x 1 − 1)2 + (y1 − 1)2 (2)
5 3
16 2
y1 = x 12 − 2x 1 + y12 − 2 y1 + 2
9
16 9 2 9 2 6
x1 = x1 − 2 x1 + x1 − x1 + 2
2
hacemos términos semejantes :
9 25 25 5
- 12 -
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS H.I.P.
3
1ra . Sol. y1 = 3,7. = 2,22 ∴ P (3,7 ; 2,22)
5
P (0,75 : 0,45)
3
2 da . Sol. y1 = 0,75. = 0,45 ∴
5
10. - Hallar el perímetro del triángulo, cuyos vértices son los puntos: A(-3 ; -4) ; B(2 ;
5) y C(3 ; -2).
AB = (X A − X B )2 + (YA − YB )2
AB = (− 3 − 2)2 + (− 4 − 5)2 = 10,29
BC = (X B − X C )2 + (YB − YC )2
BC = (2 − 3)2 + (5 + 2)2 = 7,07
AC = (X A − X C )2 + (YA − YB )2
AC = (− 3 − 3)2 + (− 4 + 2)2 = 6,32
P = 23,68
dBP = dPA
Fig. 18
- 13 -
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS H.I.P.
x 12 − 6 x 1 + 13 = x 12 + 14 x 1 + 65
13 13
20 x 1 = −52 de donde : x 1 = − ∴ Sol. − ; 0
5 5
12.- Hallar las coordenadas del punto del plano, que se caracteriza por equidistar, de los
puntos: A(-3 ; 4) ; B(5 ; 3) y C(2 ; 0).
AP = PB = PC
AP = (− 3 − x 1 )2 + (4 − y1 )2
PB = (5 − x 1 )2 + (3 − y1 )2
PC = (2 − x 1 )2 + (0 − y1 )2
Fig. 19
x 12 + 6 x 1 + y12 − 8 y1 + 25 = x 12 − 10 x 1 + y12 − 6 y1 + 34
16 x 1 − 2 y1 − 9 = 0 (4)
- 14 -
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS H.I.P.
x 12 + 6 x 1 + y12 − 8 y1 + 25 = x 12 − 4 x 1 + y12 + 4
10 x 1 − 8 y1 + 21 = 0 (5)
Finalmente resolvemos el sistema entre (4) y (5), para esto hacemos: (4) – (5)
64 x 1 − 8 y1 − 36 = 0
− 10 x 1 + 8 y1 − 21 = 0
−−−−−−−−−−−−−−
19
54 x 1 − 57 = 0 de donde : x 1 =
18
Reemplazando en (4):
19 71
16. − 2 y1 − 9 = 0 de donde : y1 = por tanto :
18 18
19 71
Sol. P ;
18 18
13.- Hallar las coordenadas de los puntos que equidistan de: A (6 ; -3) ; B(-2 ; 1) y
están a 5 unidades del origen de coordenadas.
Fig. 20
- 15 -
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS H.I.P.
2y
x 2
= ∴ xA = A (2)
y 3 3
(x1 − 6) + ( y1 + 3) = (x1 + 2) + ( y1 − 1)
2 2 2 2
desarrollando:
16 x1 − 8 y1 − 40 = 0 simplificando:
2 x1 − y1 − 5 = 0 (4)
Hacemos d1 = d2
x 12 + y12 = 25 (5)
xB = 3 x A ; yB = 3 y A (1)
A( x A ; y A ) ; B(3 x A ; 3 y A )
Fig. 21
- 16 -
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS H.I.P.
2
2y 2y
8 = A − 3 A + ( y A − 3 y A )
2
realizamos las operaciones :
3 3
2 y − 6 yA
2
16 y A2
64 = A + (− 2 y A ) 64 = + 4 y A2
2
; finalmente :
3 9
15.- Un punto P cae perpendicularmente y topa al segmento AB, en un punto que está al
1/5 de la distancia de B hacia A. Hallar las coordenadas de P, si este punto dista 12
unidades del extremo A. Las coordenadas de los extremos son: A(-3 ; 2) y B(2 ;
1).
x P = x P ' = x P ''
x A = x A'
x B = x B'
Por lo tanto:
- 17 -
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS H.I.P.
(*) La recta P’P’’ divide en partes proporcionales, tanto al segmento AB, como al A’B’.
Sol. P (1 ; 13,3)
La solución negativa se desprecia, porque el punto debe estar sobre el segmento, para
que caiga sobre él.
- 18 -
AREA DE UN TRIANGULO H.I.P.
1. 5. AREA DE UN TRIANGULO
Uno de los métodos que nos permiten calcular el área de un triángulo, está en función de
las coordenadas de sus vértices, para su aplicación, enunciaremos el siguiente teorema:
x1 y1 1
A=
1
x2 y2 1 [7 ]
2
x3 y3 1
DEMOSTRACION:
Proyectamos los vértices del triángulo
sobre el eje X y obtenemos los puntos:
Q1 , Q2 y Q3, el área del triángulo la
podemos definir geométricamente por:
Fig. 23
A1 =
1
( y1 + y2 ) (x3 − x1 )
2
A2 =
1
(y 3 + y 2 ) (x 2 − x 3 )
2
A3 =
1
(y1 + y 2 ) (x 2 − x 1 )
2
- 19 -
AREA DE UN TRIANGULO H.I.P.
A=
1
[x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y1 − x 3 y 2 − x 2 y1 − x 1 y 3 ]
2
A=
1
[(y1 + y 3 ) (x 3 − x 1 ) + (y 3 + y 2 ) (x 2 − x 3 ) − (y1 + y 2 ) (x 2 − x 1 )]
2
x1 y1 1 x1 y1 1
1
x2 y2 1 por consiguiente : A P1 P3 P2 = x2 y2 1
2
x3 y3 1 x3 y3 1
El valor numérico del área del triángulo, puede ser positivo o negativo, dependiendo del
sentido y del orden en el que se tomen los vértices, para evitar errores tomaremos los
vértices en “sentido antihorario”; así las áreas obtenidas siempre serán positivas, por lo
que no tomaremos el valor absoluto del determinante. El área negativa se considerará
únicamente para recuperar soluciones.
EJERCICIOS DE APLICACION
16.- Los vértices de un triángulo son los puntos: A(3 ; 5) ; B(-4 ; 3) y C(-6 ; -5).
Calcular su área.
3 5 1
1
A= −4 3 1 desarrollando :
2
−6 −5 1
A=
1
[9 − 30 + 20 + 18 + 15 + 20]
2
Sol. A = 26u 2 .
Fig. 24
- 20 -
AREA DE UN TRIANGULO H.I.P.
17.- El área de un triángulo es 3u2. Dos de sus vértices tienen por coordenadas: A(2 ;
1) y B(1 ; -3). Si el tercer vértice del triángulo está sobre el eje OX, hallar su
abscisa.
x1 0 1
1
3= 2 1 1
2
1 −3 1
Fig. 25
Desarrollando el determinante:
6 = x 1 − 6 − 1 + 3x 1 ordenando :
13
4 x 1 = 13 de donde : x 1 =
4
13
Sol. C ; 0
4
18.- Calcular el área del polígono, si sus vértices son los puntos de coordenadas: A (3 ;
5) ; B(0 ; 7) ; C(-5 ; 4) ; D(-6 ; -2) y E(2 ; -1).
0 7 1
1
A BCD = −5 4 1 desarrollando :
2
−6 −2 1
A BCD =
1
[69 − 42] = 13,5 (A1 )
2
Fig. 26
- 21 -
AREA DE UN TRIANGULO H.I.P.
0 7 1
1
ABDE = − 6 − 2 1 desarrollando
2
2 −1 1
ABDE =
1
[24 + 42] = 33 ( A2 )
2
0 7 1
1
A BEA = 2 −1 1 desarrollando :
2
3 5 1
A BEA =
1
[34 − 14] = 10 ( A3 )
2
A Polígono = A1 + A2 + A3 = 13,5 + 33 + 10 = 56,5u 2 .
EJERCICIOS ORALES
2.- ¿La distancia del eje de las X al punto B(-3 ; -5) es?
3.- ¿Las coordenadas de las proyecciones del punto B(-3 ; - 4), sobre los ejes son?
4.- El eje Y es la perpendicular bisectriz del segmento que une los puntos A(4 ; 3) y
B(xB ; yB). ¿Cuáles son las coordenadas de B?
8.- ¿Qué sucede si tomamos los vértices del triángulo, en sentido horario, para formar el
determinante que define su área?
- 22 -
AREA DE UN TRIANGULO H.I.P.
RESUMEN DE FORMULAS
d P1 P2 = (x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )
2 2
d P1 P2 = (x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2
Area de un triángulo:
X1 Y1 1
1
A= X2 Y2 1
2
X3 Y3 1
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- Hallar el valor de “Q” que hace que los puntos: (1 ; 3) y (5 ; Q) disten entre sí 12
unidades. Sol: 8,29 ; -2,29.
2.- Valiéndose de distancias demostrar que los puntos: A(0 ¸12/5) ; B(10 ; - 18/5) y
C(-8 ; 36/5) pertenecen a una misma línea recta.
3.- Los vértices de un triángulo rectángulo son los puntos: A(1 ; -2) ; B(4 ; -2) y C(4 ;
2). Determinar las longitudes de los catetos, de la hipotenusa y el área del triángulo.
Sol. 4 ; 3 ; 5 ; 6u2.
4.- Tres de los cuatro vértices de un rectángulo, son los puntos de coordenadas: A (2 ; -
1) ; B(7 ; -1) y C(7 ; 3). Hallar las coordenadas del cuarto vértice y el área del
rectángulo. Sol. (2 ; 3) ; 20u2.
5.- Demostrar que los puntos: A(-5 ; 3) ; B(3 ; 2) y C(-1 ; -4) son los vértices de un
triángulo isósceles y calcular su área. Sol. 26u2.
6.- Demostrar que los puntos: (6 ; 5) ; (3 ; 7) y (2 ; -1) son los vértices de un triángulo
rectángulo y calcular su área. Sol. 13u2.
7.- Dos de los tres vértices de un triángulo equilátero son los puntos: A(-1 ; 1) y B(3 ;
1). Hallar las coordenadas del tercer vértice y su área. Sol. (1 ; 4,4) ; (1 ; -2,4) ;
6,92u2.
8.- Uno de los extremos de un segmento es el punto (7 ; 8), si el punto medio del segmento
es de coordenadas (4 ; 3) .Hallar las coordenadas del otro extremo. Sol. (1 ; -2).
- 23 -
AREA DE UN TRIANGULO H.I.P.
9.- La distancia entre los extremos de un segmento es 101/2. Las coordenadas de uno de
ellos, son la mitad de las del otro. Si las abscisas son a las ordenadas como 3 es a 2.
Determinar las coordenadas de los extremos. Sol. A(2,63 ; 1,75) ; B(5,26 ; 3,5).
10.- La distancia de un punto al eje Y, es los 3/5 de la distancia del punto al eje de las X.
Si el punto dista 4u. del punto A(3 ; 2), determinar sus coordenadas.
Sol. (3,57 ; 5,95) ; (-0,22 ; - 0,37).
11.- Un punto dista del eje Y como los 20/3 de su distancia al eje X. Si el punto dista
del punto A(6 ; 3), como los 6/5 de su distancia al eje Y. Hallar sus coordenadas.
Sol. (-34,1 ; -5,1) ; (3,2 ; 0,5).
12.- Un punto C equidista de los puntos: A(4 ; 5) y B(-2 ; -3). Si el área del triángulo
ABC es 10u2. Calcular las coordenadas de C. Sol. C(13/5 ; -1/5).
14.- Los extremos de la cuerda de una circunferencia de radio 2 2 son: A(0 ; 0) y B(0
; 4), determinar las coordenadas del centro. Sol. (2 ; 2).
15.- Determinar el valor de M, para que los puntos: A(2 ; 5) ; B(- 4 ; - 2) y C(0 ; M)
sean los vértices de un triángulo rectángulo. Sol. 6 ; - 3 ; 47/7 ; -38/7.
16.- Dos de los vértices de un triángulo son: A(6 ; -4) y B(-2 ; -2). Si el tercer vértice
C, está sobre el eje OY y el área del triángulo ACB es 16u2. Hallar las coordenadas
del vértice C. Sol. (0 ; 3/2).
17.- Dados los puntos: A(-3 ; 4) ; B(-1 ; -2) ; C(5 ; 6) y D(m ; -4), hallar el valor de
“m” para que el área del triángulo: ADB, sea igual al área del triángulo: ADC.
Sol. –9.
18.- La distancia de un punto P al eje de las X es los 4/3 de su distancia al eje de las Y.
Si al unir el punto P con los puntos A(-3 ; 2) y B(3 ; 1) el área del triángulo formado
es 12u2. Calcular las coordenadas del punto P. Sol:(33/9 ; 44/9) ; (-5/3 ; - 20/9).
19.- Hallar el valor de “q” para que los puntos:(1 ; 1) ; (0 ; -2) y (-2 ; q) sean
colineales. Sol: q = - 8.
- 24 -
DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA H.I.P.
P1 P
=r Podemos decir que P divide al segmento dirigido P1 P2 en la razón " r".
PP2
Para que la proporción entre segmentos dirigidos, genere una razón, se debe cumplir que:
“la letra que representa al punto que causa la división, se repita en la diagonal de la
proporción “ en caso contrario, tendremos únicamente una relación de longitudes o
distancias, sin que se genere una razón.
P1P
= r aquí P causa la división del segmento P1P2 y se genera la razón r.
PP2
P1P2
aquí se indica únicamente relación de segmentos, sin generar razón.
P1P
-- 24 --
DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA H.I.P.
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
1.- El punto que causa la división de un segmento, debe ser interior o exterior a éste. Si
es exterior, pertenecerá a la prolongación del segmento.
2.- El número “r” no depende del modo en que se ha tomado la dirección positiva de la
recta L.
3.- El número “r” no depende de la unidad elegida para la medida de las longitudes de
los segmentos definidos.
Si cambiamos de unidad de medida, las longitudes de todos los segmentos del eje L
quedan multiplicadas o divididas por un mismo número y la razón “r” generada por la
proporción, no varía.
4.- Si los segmentos tienen la misma dirección, la razón definida por la proporción es
positiva, si son de sentidos contrarios, es negativa.
Si el punto que causa la división del segmento, es exterior al mismo, la razón generada
por la proporción, debe ser negativa.
7.- Si el sentido del segmento ha ser dividido en una razón “r” por un punto P, está
definido, existe una sola posibilidad de hacerlo. Si el sentido no está definido, el
punto que divide al segmento en la razón dada, se puede ubicar de dos maneras
diferentes, (más cercano a cada uno de los extremos) por lo que habrán dos
soluciones.
En Geometría Analítica, los problemas consisten en determinar las coordenadas del punto
P desconocido, que divide al segmento P1P2 en una razón dada “r”, si se conocen las
coordenadas de los puntos P1 y P2.
- 25 -
DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA H.I.P.
X 1 + rX 2 Y1 + rY2
XP = ; YP = ; r ≠ −1 [8 ]
1+ r 1+ r
DEMOSTRACION:
P1 P A 1 A
= =r (1) pero :
PP2 AA 2
A 1 A = X A − X A1 = X P − X 1 (2)
AA 2 = X A 2 − X A = X 2 − X P (3)
Reemplazando (2) y (3) en (1):
X 1 + rX 2
X P − X1
XP = [8 ]
=r despejando X P : 1+ r
X2 − XP
P1 P B1 B
= =r (1) pero :
PP2 BB 2
B1 B = YB − YB1 = YP − Y1 ( 2)
BB 2 = YB 2 − YB = Y2 − YP (3)
YP − Y1
=r despejando y P :
Y2 − YP
Y1 + rY2
YP = ; r ≠ −1 [8 ]
1+ r
- 26 -
DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA H.I.P.
Relaciones en las cuales la razón debe ser diferente de -1, ya que si “r” toma este valor:
P1P = - PP2 y P1P + PP2 = 0 lo que no es posible porque P1 y P2 se
supusieron diferentes.
a.- Las fórmulas obtenidas, nos dan las coordenadas del punto que causa la división del
segmento, es decir, de la letra que se repite en la diagonal de la proporción.
b.- Las coordenadas (X1 ; Y1), corresponden a las coordenadas del punto, representado
por la primera letra del numerador.
c.- Las coordenadas (X2 ; Y2), corresponden a las coordenadas del punto, representado
por la segunda letra del denominador.
Así, en la proporción:
AB X A + rX C YA + rYC
=r ; XB = ; YB =
BC 1+ r 1+ r
El punto B está causando la división del segmento AC, las fórmulas enunciadas en el
teorema 4, nos dan sus coordenadas, siendo los valores de (X1 ; Y1) las coordenadas del
punto A, y los valores de (X2 ; Y2) los correspondientes a las coordenadas de B.
X1 + X 2 Y1 + Y2
XP = ; YP = [9 ]
2 2
- 27 -
DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA H.I.P.
EJERCICIOS DE APLICACION
AM 1 BM 2
= o =
MB 2 MA 1
Las dos proporciones planteadas, nos permiten determinar las coordenadas del punto M,
trabajaremos el problema con la segunda de ellas.
X B + rX A 7 + 2 (1)
XM = = = 3
1+ r 1+ 2
YB + rYA 4 + 2(1)
YM = = = 2 Sol : M ( 3; 2 )
1+ r 1+ 2
20.- Dados los puntos: A ( 1 ; 1 ) y B ( 7 ; 4 ). Hallar las coordenadas del punto M, que
se caracteriza por pertenecer a la prolongación del segmento y estar cuatro veces
más cerca al punto B, que al punto A.
AM BM 1
=−4 o =−
MB MA 4
En ambos casos la razón es negativa, ya que
el sentido de los segmentos tomados, es
diferente. Trabajando con la primera:
- 28 -
DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA H.I.P.
X A + rX B 1 + (−4) 7
XM = = = 9
1+ r 1− 4
YA + rYB 1 + (−4)4
YM = = = 5 Sol : M ( 9 ; 5 )
1+ r 1− 4
21.- Hasta que punto debe moverse, el extremo A del segmento AB, para que la longitud
final del segmento, sea a su longitud inicial, como 23 / 25. Si A(-6 ; -3) y B(4 ;
5).
Al ser la longitud final menor que la inicial quiere decir que el segmento se achica y lo
puede hacer de dos formas, por lo que el problema tiene dos soluciones.
2
− 6 + .4
X A' = 23 = −5,2
2
1+
23
2
− 3 + .5
YA' = 23 = −2,36
2
1+
23
AA' 2
= con las fórmulas :
A' B 23
X A + rX B
X A' =
1+ r
Sol. A’ (-5,2 ; - 2,36 )
- 29 -
DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA H.I.P.
AA" 48
=− aplicando las fórmulas :
A" B 23
48
− 6 + − .4
X A" = 23 = 13,2
48
1+ −
23
48
− 3 + − .5
Y A" = 23 = − 69 − 240 = 12,36
48 − 25
1+ −
23
22.- El segmento AB mide 10 unidades, su extremo A está sobre el eje de las X. Hallar
la posición de un punto P que divida al segmento AB en la razón 3 / 4. Si B (6 ;
4).
d AB = (x A − 6)2 + (0 − 4)2
100 = x A2 − 12 x A + 52 ordenando :
x A2 − 12 x A − 48 = 0 resolviend o :
x A1 = 15,16 ; x A2 = −3,16
El punto A, por tanto es de coordenadas: (15,16 ; 0) o (-3,16 ; 0), para cada una de estas
posiciones existe una única posibilidad de dividir el segmento en la razón dada, ya que el
sentido del segmento está establecido por el enunciado del problema.
- 30 -
DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA H.I.P.
3
− 3,16 + .6
AP 3 X + rX B 4 = 0,77
= ; XP = A =
PB 4 1+ r 1+
3
4
3
0 + .4
YP = 4 = 1,71 Pr imera Sol. P ( 0,77 ; 1,71 )
3
1+
4
3
15,16 + .6
AP 3
= ; XP = 4 = 11,23
PB 4 3
1+
4
3
0 + .4
YP = 4 = 1,71 Segunda Sol. P ( 11,23 ; 1,71 )
3
1+
4
23.- Hallar las coordenadas del punto P que divide al segmento NM en la relación 4/3.
Si M (-8 ; 4) y N(6 ; 12). No utilizar las fórmulas de razones.
- 31 -
DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA H.I.P.
NP N' P' 4
= = (1)
PM P' M ' 3
N ' P' = X P ' − X N ' = X P ' − 6 (2)
Reemplazando (2) y (3) en (1):
4 X P' − 6
= de donde : X P ' = −2 pero : X P ' = X P = −2
3 − 8 − X P'
NP N" P" 4
= = (1)
PM P" M" 3
4 YP" − 12
= de donde : YP" = 7,42 pero : YP" = YP = 7,42
3 4 − YP"
24.- Dados los puntos: A (1 ; 2) y B(7 ; 5). Hallar las coordenadas de los puntos C , D
y E, que cumplen que: DB/AE = EA/EB = CA/EA = - 3.
Las proporciones dadas no generan una razón, son únicamente relaciones de distancias,
por lo que no podemos aplicar las fórmulas de razones, debiendo trabajar con las
proyecciones sobre los ejes.
- 32 -
DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA H.I.P.
EA
= −3 En el sentido de las X :
EB
X A − X E 1− X E
= = −3 de donde :
XB − XE 7− XE
1 − X E = −21 + 3 X E finalmente :
X E = 5,5
YA − YE 2 − YE
= = −3 de donde :
YB − YE 7 − YE
DB
= −3 En el sentido horizontal :
AE
XB − XD 7− XD
= = −3 de donde : X D = 20,5
X E − X A 5,5 − 1
YB − YD 5 − YD
= = −3 de donde : YD = 11,75
YE − Y A 4,5 − 2
- 33 -
DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA H.I.P.
CA
= −3 En el sen tido de las X :
EA
X A − XC 1− XC
= =−3 de donde :
XA − XE 1 − 5,5
Y A − YC 2 − YC
En sentido vertical : = = −3 de donde :
Y A − YE 2 − 4,25
25.- Un punto Q cae verticalmente del segmento AB y choca con el eje X, se pide calcular
el ángulo agudo de rebote con dicho eje, para que el segmento AB al ser
interceptado por el rebote de Q, quede dividido en la relación 2/3. (supóngase que
la trayectoria de rebote es una línea recta. A(-2 ; -2) ; B(13 ; 8) y Q(11 ; 100/15).
Llamaremos: Q’ al punto de
contacto del punto Q y el eje X;
N al punto de intersección del
rebote de Q y el segmento AB.
Fig.36
AN 2
= trabajando con las proyecciones : XN − XA 2
NB 3 =
XB − XN 3
XN + 2 2
=
13 − X N 3
- 34 -
DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA H.I.P.
Para determinar el valor del ángulo de rebote, nos valemos de la definición de su tangente:
Tgβ =
N ´N
(1 )
N ´Q´
N ´N = YN − YN ´ = 2 − 0 = 2 (2)
N ´Q´= X Q´ − X N ´ = 11 − 4 = 7 (3)
3 X N + 6 = 26 − 2 X N
XN = 4
YN − YA YN + 2 2
= = operando :
YB − YN 8 − YN 3
Por tanto : N (4 ; 2 ).
Reemplazando (2) y (3) en (1):
2 2
Tg. β = de donde : β = Tg −1
7 7
Sol. β = 15,94°
26.- Sin utilizar las fórmulas de razones, hallar el valor de “n” para que la proporción
entre los puntos: N , Q y P genere una razón negativa, si: N (-8 ; 4); Q(5 ; n) ; P(8
; 15).
Para que se cumplan las condiciones del problema, el punto Q debe pertenecer a la recta
que pasa por N y P. Planteamos varias proporciones que generen una razón negativa,
entre los tres puntos:
NP QP QN PN
= r1 ; = r2 ; = r3 ; = r4
PQ PN NP NQ
- 35 -
DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA H.I.P.
NP X P − X N
= =r
PQ X Q − X P
8 + 8 16
= =r
5−8 −3
Fig. 37
YP − YN 15 − 4 16
= =− operando :
YQ − YP YQ − 15 3
Sol. YQ = n = 12,93
27.- El segmento AB se divide se divide en “n” partes iguales. Hallar las coordenadas
del punto medio del quinto segmento definido, el más cercano al extremo A. Si A
(3 ; 2) y B(12 ; 15)
Fig. 38
A cada división le damos el valor de uno, por lo tanto, todo el segmento valdrá “n”,
desde el punto A hasta el punto medio del quinto segmento definido hay 4,5 y desde
este punto, hasta el extremo B hay “n – 4,5”
Planteamos una proporción que nos permita hallar las coordenadas del punto P.
- 36 -
DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA H.I.P.
AP 4,5
= aplicando las fórmulas :
PB n − 4,5
4,5
3 + .12
XP = n − 4,5 = 3n − 13,5 + 54 = 3n + 40,5
4,5 n − 4,5 + 4,5 n
1 +
n − 4,5
4,5
2 + .15
YP = n − 4,5 = 2n − 9 + 67,5 = 2n + 58,5
4,5 n − 4,5 + 4,5 n
1 +
n − 4,5
3n + 40,5 2n + 58,5
Sol. P ;
n n
Fig. 39
AP
= −3 aplicando las fórmulas
PB
3 + (−3).7 18
XP = = =9
1 + (−3) 2
1 + (−3).7 20
YP = = = 10 1ra .Sol. P (9 ; 10 )
1 + (−3) 2
- 37 -
DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA H.I.P.
da
2 . Solución: Si el punto P está más cerca de A.
BP
= −3 aplicando las fórmulas :
PA
7 + (−3).3 2
XP = = =1
1 + (−3) 2
7 + (−3).1
2 da .Sol. P' (1 ; − 2 )
4
YP = = − = −2
1 + (−3) 2
29.- Las coordenadas del extremo A de un segmento son (-5 ; -3), si el punto Q(2 ; 1)
divide al segmento de modo que: 7AQ = 6BQ, hallar las coordenadas del extremo
B.
7AQ = 6BQ es una relación de distancias, al pasar a proporción debemos tener cuidado
con el signo que esta genera; un dato importante para ver cuantas soluciones tiene el
problema es que: BQ > AQ.
= (± )
AQ 6
debiendo verificarse las soluciones que se cumplan, en nuestro caso las
BQ 7
dos.
AQ 6 AQ 6
Primera solución: = Segunda solución: =−
BQ 7 BQ 7
- 38 -
DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA H.I.P.
7( xQ − x A ) = 6( xQ − x B ) operando 7( xQ − x A ) = −6( xQ − x B )
xQ − 7 x A = −6 x B reemplazando valores 13 xQ − 7 x A = 6 x B
2 − 7(−5) = −6 x B de donde 13(2) − 7(−5) = 6 x B
x B = − 37 x B = 61
6 6
y Q − 7 y A = −6 y B 13 y Q − 7 y A = 6 y B
1 − 7(−3) = −6 y B 13(1) − 7(−3) = 6 y B
y B = −11
3
(
entonces : B − 37
6
; − 11
3
) y B = 17
3
∴ B 61 ( 6
; 17
3
)
−5+2 3
XD = =−
2 2
1− 3
YD = = −1
2
Fig. 41
D ( -3/2 ; -1)
DM 1 CM
= o =2
MC 2 MD
- 39 -
DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA H.I.P.
3
0 + 2. −
XM = 2 = −1 por tanto : M (−1 ; 0)
1+ 2
YC + 2.(− 1) YC − 2
YM = ; 0= de donde :
1+ 2 3
YC = 2 ; C (0 ; 2)
31.- Hallar la razón, en la que se ha dividido el segmento QR, debido al punto M, que se
caracteriza por estar a 5u, del punto P(8 ; 6). Si Q(8 ; 1) y R(12 ; 7/3).
d PM = (8 − X M ) + (6 − YM )
25 = X M2 − 16 X M + 100 + YM2 − 12YM
X M2 + YM2 − 16 X M − 12YM + 75 = 0 (1)
12 − X M = 7 − 3YM de donde :
X M = 5 + 3YM (2)
- 40 -
DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA H.I.P.
Reemplazando (2) en (1):
El punto M por tanto, puede tener dos posiciones: M (11 ; 2) y M (8 ; 1), por lo que el
problema tiene dos soluciones.
QM X M − X Q 11 − 8
= =r= =3
MR X R − X M 12 − 11
QM X M − X Q 8−8
= =r= =0
MR X R − X M 12 − 8
Sol: r = 3 ; r = 0.
EJERCICIOS ORALES
5.- ¿Si el punto que causa la división del segmento, coincide con uno de los
extremos del mismo, que sucede con la razón?
6.- ¿Si el punto que divide al segmento, es punto medio de este, cuanto vale la
razón?
9.- ¿Siendo el punto que causa la división, exterior al segmento, se puede resolver el
problema con una razón positiva?
RESUMEN DE FORMULAS
P1 P
Si : =r
PP2
X 1 + rX 2 Y1 + rY2
XP = ; YP = ; r ≠ −1
1+ r 1+ r
X1 + X 2 Y1 + Y2
XP = ; YP =
2 2
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.- Hallar las coordenadas de los puntos de trisección y del punto medio, del
segmento cuyos extremos son: A(-2 ; 3) ; B(6 ; -3). Sol. (2/3 ;1) ;
(10/3;-1) ; (2 ; 0).
2.- Hallar las coordenadas del punto que está a un tercio de la distancia de A(-2 ; 6) a
B(7 ; 3). Sol. P(1 ; 5).
3.- El punto A, está, a los dos tercios de la distancia, entre los puntos: (1 ; 10) y (-8 ;
4). El punto B es punto medio del segmento definido por C (0 ; -7) y D(6 ; -
11). Calcular la distancia AB. Sol. 17,72 ;
17.
4.- Determinar las coordenadas de los extremos del segmento que es dividido en tres
partes iguales por los puntos: P(2 ; -1) y Q(3 ; 1). Sol. (1 ; -3) ; (4 ; 3).
5.- Encontrar las coordenadas del punto P que pertenece a la recta AB; sí P está a una
distancia doble de B que de A. ¿Cuál es el punto medio de AB? Si A ( 2 ; 2 ) y
B (-3: 1). Sol. (-0,5 ; 1,5) ; (1/3 ; 5/3).
6.- Dados los puntos: (2 ; 1) ; (1 ; -2) y (-1 ; 2), que son los puntos medios de los
lados de un triángulo. Hallar las coordenadas de sus vértices.
Sol. (0 ; 5) ; (4 ;-3) ; (-2 ; -1).
7.- Dos de los vértices de un triángulo son de coordenadas A(-4 ; 8) y B(3 ; -8), si
las coordenadas de su centro de gravedad son: G(2 ; 6), hallar las coordenadas del
tercer vértice. Sol. (7 ; 16).
- 42 -
DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA H.I.P.
8.- Determinar las coordenadas del punto P, exterior al segmento AB, que lo divide
de modo que: 3AP = 4PB. Si A(-3 ; -2) y B(5 ; 6). Sol. (29 ; 30).
9.- Hasta que punto debe moverse el extremo B del segmento AB, para que la longitud
final del segmento sea a la longitud inicial del mismo, como 25/27. Si A (-3 ; -3)
y B(5; 5). Sol. (119/27 ; 119/27) ; (-281/27 ; -281/27).
10.- El extremo A de un segmento AB, está sobre el eje de las ordenadas, su longitud
es de 7 unidades. Hallar las coordenadas del punto P, que divide al segmento
en la razón: -3/2, resolver el problema sin utilizar las fórmulas de razones. Si B
(5 ; 4). Sol. (15 ; -5,8) ; (15 ; 13,8).
11.- Dados los puntos: B (-2 ; -3) y C (5 ; 6) y la relación: BC/CD = CD/DE = DE/EF
= -1/3. Determinar las coordenadas del punto mas alejado de M (-10 ; 10).
Sol. F (-142 ; -183).
12.- Hallar las coordenadas del punto, que está a las tres quintas partes de la distancia
de A (7 ; 4) a B(-3 ; 2). Cuales son las coordenadas de su punto medio.
Sol. (1 ; 14/5) ; (2 ; 3).
13.- El punto R (1 ; 0) divide al segmento AB de modo que: 3AR = 2AB. Hallar las
coordenadas del extremo B, si A (-3 ; 4). Resolver sin usar las fórmulas de
razones. Sol. B (3 ; -2) ; (-9 ; 10).
14.- El área de un triángulo es 3 unidades, dos de sus vértices son los puntos: A (2 ; 1)
y B (1 ; -3). Si el centro de gravedad del triángulo, está en el eje OX, hallar las
coordenadas del tercer vértice. Sol. (3/4 ; 2) ; (15/4 ; 2).
15.- Hallar las coordenadas de los extremos del segmento, que ha sido dividido en tres
partes iguales por los puntos A (2 ; 2) y B(1 ; 5). Sol. (0 ; 8) ; (3 ; -1).
16.- Dados los puntos: A(7 ; 4) y B(1 ; 1), hallar en la prolongación de la recta que
estos determinan, las coordenadas de un punto Q, que esté dos veces mas cerca de
B que de A. Sol. (-5 ; -2).
17.- Los vértices de un triángulo son: A(5 ; -1) ; B(-1 ; 7) y C(1 ; 2). Calcular la
longitud de la bisectriz interior del ángulo A. ( Utilice la propiedad de razones).
Sol. 6,6.
18.- Dos de los vértices de un triángulo tienen por coordenadas: A(-4; 8) y B (3 ; -6),
si las coordenadas del centro de gravedad son: (2 ; 6), calcular las coordenadas del
tercer vértice. Sol. (7 ; 16).
19.- Un segmento es dividido por el punto P (-3 ; 5) en la relación -5/2, si uno de los
extremos del segmento tiene por coordenadas (-7 ; 1), calcular las coordenadas
del otro extremo. Sol. (-23/5 ; 17/5) ; (-13 ; -5).
20.- Se requiere prolongar el segmento de recta AB que resulta de unir los puntos: A
(-4 ; -5) y B (2 ; -2), hasta un punto C, de modo que se cumpla que: BC = 3AB.
Hallar las coordenadas de C. Sol. (20 ; 7) ; (-16 ; -11).
- 43 -
DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA H.I.P.
21.- Determinar la razón, para que un punto P, que divide a un segmento AB, tenga
coordenadas idénticas. Sol. r = (ya – xa) / (xb – yb).
22.- Hallar las coordenadas de los puntos P1; P2; P3 y P4, tales que, dividan al segmento
KL en 5 partes iguales, si las coordenadas de los extremos están en progresión
geométrica tanto para las abscisas como para las ordenadas.
23.- Dos de los vértices del triángulo ACB son: A (6 ; 5) y B(-3 ; 2), si el área del
triángulo es 12 y el tercer vértice está en el eje de las ordenadas, determinar las
coordenadas del punto de corte de las medianas. Sol. M (1 ; 38/9).
24.- Los puntos: P (-8 ; - 3) y Q(-1 ; -9) son los extremos de un segmento, sobre el
cual se ubican los puntos C y D que cumplen que: PC/CD = CD/DQ = ¼. Hallar
las coordenadas de C y D. Sol. C (-7,7 ; -3,3) ; D(-6,4 ; -4,4).
25.- Los extremos de un segmento son: A(3 ; 2) y B(-5 ; -7), sobre este se ubica el
punto P que divide al segmento de modo que: 3AP = 2BP. Hallar las coordenadas
de P. Sol. P (-1/5; -8/5).
26.- Los extremos de un segmento son: A (-5 ; -2) y B(4 ; 6), sobre la recta que los
contiene, se ubican los puntos C y D que cumplen que: AD/BC = 2 y AB/DC =
4/3. Hallar las coordenadas de C y D. Sol. C (25/4 ; 8) ; D(-1/2 ; 2).
27.- El segmento AB se divide en “n” partes iguales, si las coordenadas del extremo del
tercer segmento definido, el mas cercano al extremo B, se caracterizan porque la
abscisa es igual a la ordenada, calcular el valor que debe tener “n” si: A (-3 ; -2)
; B(6 ; 5). Sol. 6.
28.- El área de un paralelogramo es 14u2. Dos de sus vértices son los puntos: A (3 ; 5)
y B(4 ; 6). Hallar los otros dos vértices de este paralelogramo, sabiendo que el
punto de corte de sus diagonales está en el eje de las abscisas. Sol. (6 ; -6) ;
(7 ; -5).
- 44 -
LA RECTA H.I.P.
CAPITULO II
LA RECTA
2.1. PENDIENTE DE UNA RECTA.
2.3. PARALELISMO Y
PERPENDICULARIDAD.
-- 47 --
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
Se llama ángulo entre dos rectas dirigidas, al formado por los lados
que se alejan del vértice.
Fig. 43
Para definir el ángulo β, basta dar direcciones a las rectas L1 y L2, (fig. a) si en cambio,
queremos definir el ángulo θ, cambiamos la dirección de L2 (fig. b) con lo que el
problema queda solucionado.
Antes de enunciar el teorema que nos permite definir el valor del ángulo formado por dos
rectas que se cortan, revisemos algunos principios fundamentales:
empieza a generarse en la recta L2, que será el lado inicial, y termina en la recta L1 que
será el lado final.
3. Si L1 y L2 son paralelas, el ángulo entre ellas será: 0° si las rectas tienen igual
dirección y 180° si sus direcciones son opuestas.
5. El campo de variación del ángulo formado por dos rectas que se cortan, está
comprendido entre 0o y 180°.
0o ≤ α ≤ 180º
- 48 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
Si hacemos girar la recta L1 de manera que se acerque a una posición vertical con
respecto del eje X, su pendiente crecerá numéricamente tanto como nosotros queramos,
de aquí nace la expresión: tg 90° = ∞ cuyo significado debe tomarse con cuidado ya
que ∞ no representa un número real, sino una cantidad que no existe.
Y2 − Y1 Y1 − Y2
m= o m= si : X 1 ≠ X 2 [8 ]
X 2 − X1 X1 − X 2
DEMOSTRACION:
Fig. 45
Sean los puntos: P1(X1 ; Y1) y P2(X2 ; Y2) puntos de la recta L, como ésta no es
paralela al eje Y, se cumple que: X1 ≠ X2.
- 49 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
Por el punto P2 trazamos una recta paralela al eje de las Y y por P1 una paralela al eje de
las X, las rectas se cortan en el punto E cuyas coordenadas son (X2 ; Y1). Sin importar
que el ángulo α sea agudo u obtuso, porque tg (180 - α) = -tg α, se tiene que:
EP2
tag α = (1) en la que :
P1 E
EP2 = y P2 − y E = y 2 − y1 (2)
P1 E = x E − x P1 = x 2 − x 1 (3)
Re emplazando (2) y (3) en (1) :
y 2 − y1
tag α = = m
x 2 − x1
Si cambiamos el sentido de los segmentos que definen la tangente del ángulo α, tendremos:
P2 E y − y2
tag α = = 1 = m
EP1 x1 − x 2
Lo que indica, que no tiene importancia que punto tomemos como P1 o como P2.
EJERCICIOS DE APLICACION
32.- Hallar el valor de la pendiente y del ángulo de inclinación de, la recta que pasa por
los puntos: (3 ; 2) y B(-4 ; -1).
Hallamos el valor de la pendiente:
y2 − y1 − 1 − 2 3
m= = =
x2 − x1 − 4 − 3 7
3
Como : m = tg α =
7
3
α = Arc. tg ∴ α = 23,2°
7
33.- Hallar el valor de la pendiente y del ángulo de inclinación, de la recta que pasa por
los puntos: A(-3 ; 4) y B(5 ; 4).
- 50 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
Analíticamente:
4−4
m= =0
−3−5
α = Arc tg . 0
α = 0° o 180°
34.- Un punto de una recta tiene por coordenadas: (3 ; 4), si las coordenadas de otro
punto son: (n ; -2), determinar el valor de “n” si la recta no tiene pendiente.
DEMOSTRACION:
- 51 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
α 2 = θ + α1 de donde
θ = α 2 − α1 tomando tangentes
tg θ = tg (α 2 − α1 ) desarrollando
tg α 2 − tg α1
tg θ = (1)
1 + tg α 2 . tg α1
Pero tg α2 es la pendiente del lado final y tg α1 es la pendiente del lado inicial, por lo
que reemplazando en la expresión nos queda:
mf − mi
tg θ = si m f .m i ≠ −1
1 + m f .m i
tg(180 − α 2 ) = − tg α 2 reemplazando
tg α1 − tg α 2
tg β = (2)
1 + tg α1. tg α 2
m f − mi
tg β = si : m f .mi ≠ −1 [9]
1 + m f .mi
- 52 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
mf − mi
0=
1 + m f .m i
Para que esta fracción valga cero el numerador debe valer cero, por tanto:
0 = mf − mi o lo que es igual mf = mi
Si las rectas son perpendiculares, el ángulo formado formando por ellas es 90º como la
tg de 90º no esta definida, no podemos usar la relación [9] para definirla, pero tg =
1/ctg utilizando esta relación:
1 + m f .mi
c tg 90° =
m f − mi
Como ctg 90º = 0; el numerador de la fracción debe valer cero, por tanto:
1 + m f .m i = 0 o lo que es igual m f .m i = −1
Para que dos rectas sean perpendiculares entre si, es condición necesaria
y suficiente que, el producto de sus pendientes sea igual a –1.
Podemos decir también: dos rectas son perpendiculares entre si, si la pendiente de
una de ellas es inversa y de signo contrario de la pendiente de la otra.
1
m1 = − o
m2
1
m2 = −
m1
- 53 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
EJERCICIOS ORALES
2. ¿ Qué es la pendiente?
10. ¿Cómo están en el plano dos rectas, si el producto de sus pendientes es: + 1?
RESUMEN DE FORMULAS
y 2 − y1 y1 − y 2
m = o m = si : x1 ≠ x 2
x 2 − x1 x1 − x 2
m f − mi
tg φ = si : m f .mi ≠ − 1
1 + m f .mi
- 54 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
EJERCICIOS DE APLICACION
35.- Los vértices de un triángulo tienen por coordenadas: A (2 ; -1) ; B(-2 ; 0) y C(3 ;
2). Calcular el valor de sus ángulos interiores.
0 +1 1
m AB = =−
−2−2 4
2 +1
m AC = =3
3−2
2−0 2
m BC = =
3+ 2 5
1
− −3
tg φ = 4 = −13
1
1 + − .3
4
φ = tg −1 (− 13) = 94,36°
- 55 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
2 1
+
5 4 = 13 13
tg β = ; β = tg −1 = 35,84°
2 1 18
1− . 18
5 4
2
3−
5 = 13 13
tg θ = ; θ = tg −1 = 49,8°
2 11 11
1 + 3.
5
Comprobación: θ + φ + β = 180º
94,36º + 35,84º + 49,8º = 180º
Siendo el problema literal, podemos tomar cualquiera de las rectas como de pendiente
final o inicial. Tomando a L2 como la recta de pendiente final y llamando θ al ángulo
formado tendremos:
w −1
m L 2 − m L1 −w
tg θ = = w + 1
1 + m L 2 .m L1 w −1
1 + w.
w +1
w −1− w2 − w −1− w2
tg θ = =
w +1+ w2 − w w2 +1
− ( w2 + 1)
tg θ = = −1
w2 + 1
θ = tg −1 (− 1) = 135°
37.- La recta que pasa por los puntos: (6 ; -4) y (-3 ; 2), es paralela a la recta que pasa
por los puntos: (2 ; 1) y (0 ; n). Calcular el valor de “n”.
- 56 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
mL1 = mL2
−4-2 6 2
m L1 = =− =−
6 − (− 3) 9 3
n −1
mL2 =
0−2
2 n −1 7
− = operando : 4 = 3n − 3 finalmente : sol. n =
3 −2 3
38.- Hallar el ángulo formado, por el eje de las ordenadas y la recta que pasa por los
puntos: A(1 ;1) y B (-4 ; 5).
Calculamos la pendiente
1− 5 4
m= = −
1+ 4 5
39.- Una recta de pendiente –1/2, pasa por el punto: (2 ; 0); otra recta de pendiente 1
pasa por el punto: (-2 ; 0). En que punto se cortan las dos rectas?
x p + 2y p − 2 = 0
− x p + yp − 2 = 0
−−−−−−−−−−− 4
3y p − 4 = 0 de aquí : yp = con este valor :
3
- 57 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
0 − yp 1
m L1 = = −
2 − xp 2
x p − 2 = − 2y p ( 1)
0 − yp
mL2 = = 1
− 2 − xp
x p + 2 = yp (2 )
4 2
xp = yp − 2 = −2 = −
3 3
2 4
Sol. P − ;
3 3
40.- Demostrar que: el ángulo opuesto a la base de un triángulo isósceles, es dos veces el
ángulo, formado por la base y una de las alturas trazadas desde uno de los vértices
de la base.
0−b b
m AC = =
−a −0 a
0−b b
m CB = = −
a −0 a
Definimos la tg β:
b b
− −
m BC − m AC a a 2ab
tg β = = = − 2
1 + m BC .m AC b b a − b2
1 + . −
a a
- 58 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
Definimos la tg 2θ:
1
mh = − de donde :
m CB
1 a
mh = − = con este valor :
b b
−
a
2tg θ
tg 2θ = reemplazando :
1 − tg 2 θ
a
2.
tg 2θ = b = −
2ab
a
2
a − b2
2
1−
b
tg β = tg 2θ ∴ β = 2θ
41.- Los vértices de un triángulo son los puntos: A (3 ; -5) ; B (-3 ; 3) y C (-1 ; -2).
Determinar la longitud de la bisectriz interna del ángulo A.
Para resolver el problema, debemos determinar las coordenadas del punto D, para hacerlo
debemos plantear dos ecuaciones en las que intervengan sus coordenadas, estas son las
definiciones de las pendientes, tanto de la bisectriz, como de la recta BD.
3+ 2 5
m BC = = −
− 3 +1 2
−5−3 4
m AB = = −
3+3 3
−5+2 3
m AC = = −
3 +1 4
- 59 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
3 4
− +
m AC − m AB 4 3 7
tg A = = =
1 + m AC .m AB 4 3 24
1 + − . −
3 4
A
A = 16,26° por tanto : = α = 8,13°
2
4
m AD +
m − m AB 3 = 0,142
tg α = AD = operando :
1 + m AD .m AB 4m AD
1+
3
m AD = −1
yD + 5
−1 = operando : x D + yD + 2 = 0 (1)
xD − 3
yD − 3
= −
5
de donde : 5x D + 2y D + 9 = 0 (2)
xD + 3 2
5x D + 2y D + 9 = 0
− 2x D − 2y D − 4 = 0
−−−−−−−−−−−−−
3x D +5 = 0
5 1 5 1
xD = con este valor : y D = − ∴ D − ; −
3 3 3 3
- 60 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
2 2
5 1
d AD = − − 3 + − + 5 = 6,6
3 3
Sol. d = 6,6.
4−2 1
m1 = = −
−6−2 4
0−4 2
m2 = = −
0+6 3
1 2
− +
m1 − m2 4 3 = 5
tg θ = =
1 + m1 .m2 1 2 14
1+ .
4 3
- 61 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
m 2 − m3
tg α = pero :
1 + m2 .m3
5
tg α = por tanto :
14
2
− − m3
5
= 3 operando :
14 2 m3
1−
3
43
Sol. m3 = −
32
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Indicar en el gráfico (b) los ángulos de inclinación de los lados del triángulo; y
enumerar en forma descendente las pendientes de las rectas del gráfico (a).
3. Determinar el valor que debe tener “a” para que los puntos: (-7a ; -8) ; (-a ; 4)
y (14 ; 10a). Pertenezcan a una misma línea recta. Sol. 2 ; -1,4.
4. Los vértices de un triángulo son los puntos: A(-6 ; 4) ; B(12 ; 8) y C(-10 ; -6).
Calcular el valor de sus ángulos interiores. Sol. 35,72º ; 124,33º ; 19,95º.
- 62 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
5. Dos de los vértices opuestos de un cuadrado son los puntos: A(3 ; 1) y C(-4 ; 2).
Hallar las coordenadas de los otros dos vértices. Sol. B(0 ; 5) ; D(-1 ; -2).
6. Los vértices de un triángulo son los puntos: A(1 ; 1) ; B(-3 ; 4) y C(1 ; -5). Calcular
los ángulos formados por las medianas trazadas desde los vértices A y C.
Sol. 68,06º ; 111,9º.
9. Hallar el ángulo formado por las rectas, que van desde el origen de coordenadas, a
los puntos de trisección del segmento, definido por los puntos: A(-2 ; 3) y B(1 ; -
7). Sol. 71,56º.
10. Los vértices de un triángulo son los puntos: A(-4 ; -2) ; B(-3 ; 3) y C(5 ; -4)
determinar los ángulos formados por las alturas de los lados AB y CA al cortarse.
Sol. 91,21º ; 88,79º.
11. Una recta corta al eje de las abscisas en el punto A(-5 ; 0) y a la parte positiva del
eje Y en el punto B. El área del triángulo AOB es 20u2. Si el punto C está en el eje
X positivo y cumple con la condición AC/CO = -3, determinar las coordenadas del
baricentro del triángulo ACB y su área. Sol. (-5/6 ; 8/3) ; 30.
12. Los vértices de un triángulo son los puntos: A(3 ; 3) ; B(1 ; -3) y C(-1 ; 2). Hallar
el valor del ángulo formado, por la mediana del lado AB y la mediatriz del lado
AC, al cortarse. Sol. 137,72º ; 42,27º.
13. Los vértices de un triángulo son: A(-4 ;- 1) ; B(4 ; w) y C(-6 ; 13). Hallar el valor
de w, si la altura que pasa por C, corta a la mediana que pasa por B, formando un
ángulo de 45°. Sol. 3 ; -1.
14. Los vértices de un triángulo son los puntos: A(4 ; 4) ; B(2 ; -4) y C(-3 ; 4). Calcular
el ángulo agudo formado por, la mediana trazada desde el vértice C y la mediatriz
del lado AC, al cortarse. Sol. 56,3° ; 123,69°.
15. Por el punto A (6 ; 5) se trazan: una recta L que pasa por el origen de coordenadas,
y en ella se ubica el punto B tal que: AB/OB = 5/3, y la recta L1 que tiene un
ángulo de inclinación de 150°. Por el punto B se traza una recta L2 que forma con
el eje Y (lado inicial) un ángulo de 45° que corta a la bisectriz del ángulo A en el
punto M, determinar sus coordenadas. Sol. (8,7 ; -25,2).
16. Por el punto A(5 ; 6) se traza la recta L que pasa por (0 ; 0) y en ella se ubica el
punto B tal que: OA/OB = - 4/3. Por B se traza una recta L1 recta que forma con
el eje de las Y (lado inicial) un ángulo de 65°. Por el punto A se traza otra recta
L2 que tiene un ángulo de inclinación de 60°. Hallar las coordenadas del punto de
corte de L1 y L2. Sol. (-1,63 ; -5,49).
- 63 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
17. Los vértices de un triángulo son los puntos: A(-3 ; 3) ; B(-10 ; -4) y C(1 ; -5).
Calcular el ángulo obtuso formado por, la bisectriz del ángulo C y la mediana
trazada desde el vértice B, al cortarse. Sol. 127,14°.
19. Los vértices de un triángulo son los puntos: A(3 ; 2) ; B(-3 ; 3) y C(4 ; 5). Calcular
el ángulo formado por, la altura del lado AB y la bisectriz del ángulo interior A, al
cortarse. Sol. 40,52° ; 139,47°.
20. Los vértices de un triángulo son los puntos: A(-7 ; 8) ; B(3 ; 2) y C(5 ; -6). Calcular
el ángulo formado por, la mediana trazada desde el vértice A y la altura trazada
desde el vértice B, al cortarse. Sol. 82,87° ; 97,13°.
- 64 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
Para definir una línea recta analíticamente, debemos conocer previamente lo que es un
lugar geométrico, por lo que empezaremos dando su definición.
Al ser los lugares geométricos conjuntos de puntos que satisfacen condiciones dadas, es
posible establecer leyes matemáticas, que describan su comportamiento, y son
precisamente estas leyes, a las que les denominamos: ecuaciones de los lugares
geométricos.
La ecuación de una línea recta, que es un lugar geométrico, queda perfectamente definida
si conocemos dos condiciones que deben de cumplir los puntos pertenecientes a ella. Los
diferentes nombres de la ecuación de la recta, dependen del tipo de condiciones dadas.
Supongamos que una recta L, cuya ecuación deseamos hallar, pasa por el punto de
coordenadas: P1 (x1 ; y1) y tiene una pendiente dada “m”.
- 65 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
y − y1 = m ( x − x 1 ) [ 10 ]
y − y1
m = de donde :
x − x1
Debido a que la pendiente de una recta, que pasa por dos puntos se obtiene fácilmente,
la ecuación punto pendiente, se puede también emplear para encontrar la ecuación de la
recta, que une dos puntos cualesquiera.
y - y1 = m(x – x1).
- 66 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
Como todas las rectas caen bajo una de estas clasificaciones, cualquier otra forma de la
ecuación de la recta, debe reducirse a una de estas formas. Para algunos tipos de
problemas, son convenientes otras formas de la ecuación de la recta, por lo que
procedemos a exponerlas y estudiarlas.
y − y1 = m( x − x 1 )
y − b = m( x − 0)
y = mx + b [12]
Supongamos que una recta cuya ecuación queremos
encontrar, tiene pendiente “m” y una ordenada en el
origen “b”. Puesto que el punto (0 ; b) es un punto
de la recta, usando la ecuación en la forma punto
pendiente tendremos:
b−0 b
m = = −
0−a a
b
y − b = − ( x − 0) operando :
a
ay − ab = −bx ordenando :
bx + ay = ab dividiendo por ab :
x y
+ =1 [14]
a b
Para demostrar que la ecuación en la forma general, representa siempre una línea recta,
examinaremos las formas posibles de la ecuación.
Caso I: Si B = 0
Caso II: Si B ≠ 0
A C
y=− x−
B B
Pero ésta ecuación está en la forma: y = mx + b y por tanto, es la ecuación de una recta,
cuya pendiente es -A/B y su ordenada en el origen es - C/B.
Caso III: Si C = 0
A
y=− x que está en la forma : y = mx
B
Que es la ecuación de las rectas que pasan por el origen de coordenadas. En consecuencia,
en todos los casos, la ecuación en la forma general, representa una línea recta. Si la
ecuación está en la forma general, la abscisa en el origen se define: a = - C/A
- 68 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
B C B C
Dividiendo para A : x + y+ =0 ;
A A A A
A C A C
Dividiendo para B : x+ y+ =0 ;
B B B B
En los dos casos, quedan dos constantes a ser definidas, para calcular estas constantes
necesitamos dos ecuaciones independientes que las contengan. Como en Geometría
Analítica, la ecuación de una recta queda perfectamente definida por dos condiciones
independientes, podemos hallar el valor de los tres coeficientes.
L1 : Ax + By + C = 0 ; L 2 : A 1 x + B1 y + C1 = 0
Estas rectas pueden ser entre si: paralelas, perpendiculares, coincidentes o se cortan en un
punto. Analizaremos las relaciones que deben cumplir sus coeficientes, para cada una de
estas posiciones.
Si las rectas son paralelas, sus pendientes deben ser iguales, por lo tanto:
A A1
m L1 = − ; m L2 = − igualando :
B B1
A A A B
− =− 1 de donde : =
B B1 A 1 B1
- 69 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
La condición necesaria y suficiente, para que dos rectas sean perpendiculares entre si, es
que el producto de sus pendientes sea igual a menos uno, por lo tanto:
m L1 .m L 2 = −1 por lo tanto :
A A1
− . − = −1 de donde :
B B1
AA1 + BB1 = 0 [ 19 ]
C C1 A A1
− = − y − = − operando :
A A1 B B1
A C A B
= y = por lo tanto :
A 1 C1 A 1 B1
A
=
B
=
C
=K [ 20 ]
A 1 B1 C1
Es decir, dos rectas son coincidentes, si y solo si, sus coeficientes en la forma general son
proporcionales. Para el caso de que alguno de los coeficientes valga cero, escribimos la
relación de proporcionalidad como:
- 70 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
Dos rectas se cortan en un punto, si sus pendientes son diferentes, por lo que:
A A
− ≠− 1 operando :
B B1
AB1 − A 1 B ≠ 0 [ 21 ]
EJERCICIOS DE APLICACION
43.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto: P(-3 ; 2) y forma con el eje de
las Y, un ángulo de 60°. Si el ángulo se mide a partir del eje Y positivo.
m = tg .α por tanto :
3
m = −
3
Si conocemos un punto de la recta y su pendiente podemos utilizar la ecuación [10].
y−2 = −
3
(x + 3)
3
Sol. 3x + 3 y − 6 + 3 3 = 0
44.- Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos: A(2 ;-3) y B(-5 ; 4).
−3−4
m = = −1
2+5
Con este valor y uno cualquiera de los puntos, hallamos la ecuación de la recta.
- 71 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
y + 3 = − 1( x − 2) operando :
Sol. x + y + 1 = 0
45.- Una recta cuya ordenada en el origen es el doble de la ordenada en el origen de L1,
es paralela a la recta que pasa por los puntos (3 ; 1) y (1 ; 6). Hallar su ecuación,
si la ecuación de L1 es: 7x - 4y + 3 = 0.
3 3
b 3 = 2b1 = 2. =
4 2
6 −1 5
m = = −
1− 3 2
5 3
y=− x+ operando :
2 2
2 y = −5 x + 3 ordenando :
Sol. 5 x + 2 y − 3 = 0
46.- Una recta corta a los ejes coordenados, formando un triángulo de área 6u2. Si su
ordenada en el origen, es una unidad menor que su abscisa en el origen, hallar su
ecuación.
- 72 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
b = a −1 (1)
a.b
6= ∴ 12 = a . b (2)
2
12 = a (a − 1) operando y ordenando :
a 2 − a − 12 = 0 factorando :
(a − 4)(a + 3) = 0 de donde :
x y
+ =1 1ra. Sol.
4 3
x y
+ =1 2da. Sol.
−3 −4
47.- Trabajando únicamente con la forma general. Hallar la ecuación de la recta que pasa
por los puntos: A(2 ; 3) y B(-1 ; -4).
Como los puntos pertenecen a la recta, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación
general, por tanto:
- 73 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
B C
2+3 + =0
A A
B C
1+ 4 − =0
A A
−−−−−−−−−−−
B B 3
3+7 =0 de donde : =−
A A 7
B C
x+ y+ =0 reemplazam os los valores obtenidos :
A A
3 5
x− y− =0 quitamos deno min ado res : Sol. 7 x − 3 y − 5 = 0.
7 7
- 74 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
Llamaremos:
L1: x–y+2=0
L2: 2x + 3y – 6 = 0
L3: x+y=0
L4: recta buscada.
− 2x + 2 y − 4 = 0
2 x + 3y − 6 = 0
−−−−−−−−−−−−
5y − 10 = 0
x−2+2 = 0 de donde :
x=0 ; PI (0 ; 2)
2B + 5 = 0 de donde :
5
B=− reemplazando en L4 :
2
5
Ax − y+5 = 0 operando :
2
2 Ax − 5 y + 10 = 0 (1)
A 2A 2A
m L4 = − =− =
B −5 5
- 75 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
m L4 − m L3
tg 45° = ; m L3 = −1
1 + m L4 .m L3
1 + m L4 .m L3 = m L4 − m L3 reemplazando valores :
1 − m L4 = m L4 + 1 de donde :
m L4 = 0 pero :
2A
m L4 = =0 ∴ A=0 reemplazando en (1) :
5
− 5 y + 10 = 0 simplificando :
Sol. y=2
La recta respuesta, es una recta paralela al eje de las X. Se recomienda realizar la segunda
solución.
49.- Hallar las ecuaciones de las rectas, que pasando por el punto: A(1 ; 4) son paralelas
y perpendiculares a la recta: 3x – 2y + 40 = 0.
3
m L1 = m L 2 =
2
3
y−4= ( x − 1)
2
3x − 2 y + 5 = 0 Ec. L2 .
- 76 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
m L1 .m L3 = −1
2
m L3 = −
3
2
y − 4 = − ( x − 1)
3
2 x + 3 y − 14 = 0 Ec. L3 .
50.- Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento, que une los puntos: A(-3 ; 6) y B(5
; 2).
Si es mediatriz, divide al segmento en dos partes iguales, hallamos las coordenadas del
punto medio.
−3+5
xm = =1
2
6+2
ym = =4 ; m(1 ; 4)
2
1
m1 .m 2 = −1 ; m1 = − ∴ m2 = 2
2
y − 4 = 2( x − 1) operando y ordenando :
Sol. 2 x − y + 2 = 0
51.- Dados los vértices de un triángulo: A(2 ; -2) ; B(3 ; -5) y C(5 ; 7), hallar la ecuación
de la perpendicular, bajada desde el vértice C, a la recta que contiene a la bisectriz
del ángulo interno A.
- 77 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
7+2 9
mAC = = =3
5−2 3
−2+5
mAB = = −3
2−3
mAC − mAB
tg A =
1 + mAC .mAB
3+3 3
tg A = =−
1 + 3(−3) 4
A
A = 143,13° por tanto : = 71,565°
2
3 − mbi
3= operando :
1 + 3mbi
mbi = 0
Si la pendiente de la bisectriz vale cero, quiere decir que la bisectriz es paralela al eje de
las X, y la perpendicular a ella, trazada desde el vértice C, es paralela al eje de las Y,
siendo su ecuación de la forma : x = k, como la recta pasa por C su ecuación es:
Sol. x = 5.
52.- Un ángulo de 30°, tiene su vértice en el origen de coordenadas y uno de sus lados
sobre la recta, cuyo ángulo de inclinación es 15°; hallar las coordenadas de A y B
puntos de corte de los lados del ángulo con la recta, que pasando por el punto P(2 ;
- 78 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
mL2 = tg 45° = 1
forma: y = mx
YB = 0,27 xB (1)
YA = xA (2)
5
2 + − xA
2 4 − 5x A
xB = = de donde : − 3 x B = 4 − 5 x A (3)
5 −3
1−
2
5
10 + − y A
2 20 − 5 y A
yB = = de donde : − 3 y B = 20 − 5 y A (4)
5 −3
1−
2
- 79 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
3x B − 5 x A + 4 = 0
− 0,81x B + 5 x A − 20 = 0
−−−−−−−−−−−−−−−−
2,19 x B − 19 = 0 por tan to : x B = 7,31
3(7,31) + 4
Re emplazando en (3) : xA = = 5,19 ∴ y A = 5,19
5
mh = 1 por lo tanto :
mAC = −1 por perpendiculares.
Ec. AC : y = − x
- 80 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
Definimos las coordenadas del vértice A, haciendo sistema entre las ecuaciones del lado
AC y de la bisectriz:
x = −−6 0,414
con+ 1este valor : y = 6
tg φ = de donde : tg φ = 0,414
1 + 0,414
A(−6 ; 6)
Definimos la tangente del ángulo mitad:
Definimos el otro ángulo mitad, que tiene el mismo valor de la tangente, para hallar la
pendiente del lado AB:
mAB − mbi
tg φ = reemplazando valores :
1 + mAB .mbi
mAB + 0,414
0,414 = operando :
1 − 0,414mAB
6 3
mBC = =
10 5
3
Ec. BC : y = x o 3x − 5 y = 0
5
- 81 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
54.- Los lados de un triángulo están sobre las rectas: L1: 5x + 7y – 35 = 0 ; L2: 2x + y
= 0 ; L3: x – y = 0. Hallar las ecuaciones de las alturas.
5 7
m AB = − ∴ mh 3 =
7 5
1
m AC = −2 ∴ mh 2 =
2
m BC = 1 ∴ mh1 = −1
Haciendo sistema entre las rectas, definimos las coordenadas de los vértices del triángulo:
5 x + 7 y − 35 = 0 L1
− 14 x − 7 y =0 L2
−−−−−−−−−−−
− 9x − 35 = 0 de donde :
35 70
x=− y y=
9 9
70 35
Ec. h 1 : y− = −1 x +
9 9
Ec. h 1 : 9 x + 9 y − 35 = 0
5 x + 7 y − 35 = 0 L1
7x − 7 y =0 L3
−−−−−−−−−−
12 x − 35 = 0 de donde :
35 35
x= y y=
12 12
- 82 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
35 1 35
Ec.h2 : y − = x −
12 2 12
Ec.h2 = 12 x − 24 y + 35 = 0
C ( 0 ; 0) ; mh3 = 7/5
7
Ec. h 3 : y= x o 7 x − 5y = 0
5
EJERCICIOS ORALES
1. Indique la ecuación de las rectas que satisfacen las condiciones dadas:
a.- x = 2y
b.- 3x + 2y – 1 = 0
c.- y=-4
d.- 2x = 5
a.- 2y = 3x – 1
b.- x – 3y – 1 = 0
c.- y=-5
d.- x=4
e.- y/6 – x/3 = 1
a.- 2y = 4x + 3
b.- 5x – 3y – 2 = 0
c.- y=2
d.- x=-7
e.- 2x/5 + 3y/7 = 1
5. ¿Cuánto debe valer A para que las rectas dadas sean: paralelas, perpendiculares y
se corten en un punto?
L1: 3x + 2y – 3 = 0
- 83 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
L2: 6x – Ay + 4 = 0
6. ¿Cuánto deben valer A y B para que las rectas dadas sean coincidentes?
L1: 4x – 3y + 5 = 0
L2: Ay - Bx – 10 = 0
a.- Perpendiculares.
b.- Coincidentes.
c.- Se corten en un punto.
RESUMEN DE FORMULAS
y = mx + b Forma compacta.
x y
+ =1 Forma simétrica.
a b
Ax + By + C = 0 Forma general.
C C A
a=− ; b=− ; m=−
A B B
PROBLEMAS PROPUESTOS
2. Calcular el valor del ángulo agudo, que forman las rectas L1 y L2 al cortarse.
L1 : 2 x − 3 y + 5 = 0 ; L2 :
x y
− = 1. Sol . 6,12°
3 5
2 4
- 84 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
6. Hallar en la forma simétrica, la ecuación de la mediatriz del segmento que los ejes
coordenados determinan en la recta: 5x + 3y – 15 = 0. Sol. x/(-8/3) + y/(8/5) = 1.
7. Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(-2 ; 4) y determina sobre el eje X un
segmento igual a –9. Sol. 4x – 7y + 36 = 0.
9. A es el punto medio del segmento limitado por los puntos: (-2 ; 3) y (6 ; -1). B
está en el segmento MN, en el cual M(4 ; 3) y N(0 ; -3); si B dista de M los ¾ de
la distancia MN. Hallar la ecuación de AB. Sol. 5x – 2y – 8 = 0.
10. Una recta pasa por el punto (0 ; a) y su ángulo de inclinación es igual, al ángulo
suplementario, del ángulo que la recta: αx - βy + ε = 0, forma con el eje de las X.
Determinar su ecuación. Sol. αx - βy + aβ = 0. ; αx + βy - aβ = 0.
x −δ y −ε x −δ y −ε
L1 : = ; L2 : =−
α β β α
13. Hallar la ecuación de la recta, que forma con los ejes coordenados un triángulo de
14. Un triángulo isósceles tiene sus lados iguales sobre las rectas: L1 : 2x + 3y – 6 =
0 ; L2 : x – 3y – 12 = 0 ; si el tercer lado pasa por el punto (-2 ; 5). Hallar su
ecuación. Sol. 7,41x – y + 19,82 = 0 ; 0,134x + y – 4,7 =0.
15. Una recta pasa por el punto A(2 ; 4/3) y forma con los ejes coordenados un
triángulo cuyo perímetro es 12u. Hallar su ecuación.
Sol: 8x + 15y – 36 = 0 ; 4x + 3y – 12 = 0.
- 85 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
18. El punto A(-4 ; 5) es uno de los vértices de un cuadrado, cuya diagonal está
contenida en la recta: 7x – y + 8 = 0. Hallar las ecuaciones de los lados.
Sol. 3x – 4y + 32 = 0 ; 4x + 3y - 24 = 0 ; 3x – 4y + 7 = 0 ; 4x + 3y +1 = 0.
19. Los vértices de un triángulo son: A(5 ; -1) ; B(-1 ; 7) y C(1 ; 2). Calcular la
longitud de la bisectriz interna del ángulo A. Sol. 6,6.
20. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(5 ; 4), si la suma de sus
coordenadas al origen es igual a - 3. Sol. 2x – y – 6 = 0 ; 2x – 5y + 10 = 0.
21. Dado el vértice A(-1 ; -2) y las ecuaciones de las medianas trazadas desde los otros
dos vértices, hallar las ecuaciones de los lados. 3x – y – 8 = 0 ; y =1.
Sol. 6x – 5y – 4 = 0 ; 3x – 7y – 11 = 0 ; 3x + 2y – 20 = 0.
22. Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: A(12 ; 1) ; B(2 ; 1) y C(6 ;
7). Hallar la ecuación de la recta, paralela al lado BC y que divide al triángulo, en
dos partes de igual área. Sol. 3x – 2y – 12,8 = 0.
23. Los puntos: A(8 ; 6) y B(12 ; 4) al proyectarse sobre el eje X, definen sobre la
recta: x – 3y – 5 = 0 el segmento QR. Se pide hallar la razón en la que se divide
el segmento , debido a un punto M, distante 5u. del punto A. Sol. 3 ; 1/3 ; 0 ; ∞.
24. Los puntos A(2 ; 5) y B(4 ; 1) son los vértices de los ángulos agudos de un
triángulo rectángulo, de lados paralelos a los ejes coordenados. Hallar las
ecuaciones de las rectas, que pasan por el tercer vértice y dividen al ángulo recto
en tres partes iguales.
Sol . 3x − y + 1 − 2 3 = 0 ; 3 x − 3y + 3 − 2 3 = 0
25. Los vértices de sun triángulo son de coordenadas: A(4 ; 5) ; B(-4 ; 3) y C(4 ; -2),
se trazan la bisectriz del ángulo A y la mediana desde el vértice C que se cortan en
el punto P, hallar sus coordenadas. Sol. P(1,4 ; 1,91).
26. Dadas las rectas L1 ; L2 y L3. Determinar los valores de A y B, para que la recta
L1 sea paralela a L2 y forme con L3 un ángulo de 45 grados, si L1 es lado inicial.
L1: (A + 1)x + Ay – (2A + B) = 0 ; L2: (5B + 1)x + 4By +A + B = 0.
L3: Ax + (2.A + 6)y + A = 0. Sol. A = 2 , B = 1 ; A = -3/2 , B = -3/11.
27. El área de un triángulo es 10u2. Dos de sus vértices son los punto: A(1 : -2) y B(2
; 3), si C el tercer vértice, está sobre la recta: 2x + y – 2 = 0. Hallar las
coordenadas de C. Sol: (29/7 ; - 44/7) ; ( - 11/7 ; 36/7).
- 86 -
ECUACIONES DE LA RECTA. H.I.P.
28. Para que valor de “m” las rectas: (m – 1)x + my – 5 = 0 ; mx + (2m – 1)y + 7 =
0 se cortan en el eje de las abscisas. Sol. m = 7/12.
30. Los vértices de un triángulo, son los puntos: A(3 ; 2) ; B(3 ; -7) y C(-4 ; -5). Se
trazan, la bisectriz del ángulo interno C y la mediana desde el vértice A, que se
cortan en un punto P. Hallar el área del triángulo ACP. Sol. 11,48u2.
32. Los puntos: A(3 ; 5) y B(4 ; 1) son los vértices de los ángulos agudos de un
triángulo rectángulo, hallar las ecuaciones de las rectas, que pasando por el tercer
vértice C, dividen al ángulo recto en tres partes iguales. Si A = 36º.
33. Los vértices de un triángulo son de coordenadas: A(18 ; 0) ; B(6 ; 12) y C(0 ;
0). Hallar las ecuaciones de dos rectas paralelas al lado AC, de manera que el
triángulo quede dividido en tres partes de igual área, por estas rectas.
Sol. 5,07 ; 2,2.
- 87 -
FORMA NORMAL H.I.P.
X1 = p. cos w.
Y1 = p. sen w
La pendiente del segmento OP1 , para cualquier posición de la recta L, es siempre igual
a la tg w, por lo tanto la pendiente de L será: mL = -1/ tg w.
Como conocemos un punto y la pendiente, podemos definir la ecuación de L.
y − p. sen w = −
cos w
(x − p. cos w) de donde :
sen w
( )
x. cos w + y. sen w − p sen 2 w + cos 2 w = 0 finalmente :
- 88 -
FORMA NORMAL H.I.P.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
55.- Una recta es tangente a una circunferencia, de centro en el origen y radio igual a 5,
en el punto P (4 ; -3). Hallar su ecuación en la forma normal.
3 4
sen θ = ; cos θ =
5 5
3 4
sen w = − ; cos w =
5 5
Con estos valores: w = 323,13°
4 3
x + − y − 5 = 0 Forma normal. (2)
5 5
Las ecuaciones (2) y (3) son idénticas, si a la ecuación (2) le quitamos los denominadores
la ecuación pasa a la forma general.
56.- La ecuación de una recta en su forma normal es: x cos w + y sen w - 5 = 0. Hallar el
valor de w para que la recta pase por el punto (-4 ; 3).
El punto (-4 ; 3) satisface la ecuación de la recta, por tanto:
- 89 -
FORMA NORMAL H.I.P.
Segunda solución: L2
w = 360° - 30° = 330° ; p=5
Sol. x cos 330° + y sen 330° - 5 = 0
58.- Hallar la ecuación de la recta en la forma normal, sí esta pasa por los puntos: A (-
6 ; 2) y B(2 ; -4).
- 90 -
FORMA NORMAL H.I.P.
Los valores de “w” que satisfagan la ecuación (3), los tomaremos en cuenta para definir
el valor de “p”, los demás los desechamos.
Con: 53.13°. -8(0,6) + 6(0,8) = 0 este valor satisface, por tanto es solución.
Con: 126.87° -8(-0,6) + 6(0, ) 0 no satisface, lo desprec
Con: 233.13° -8(-0,6) + 6(-0,8) 0no satisface, lo despreciamos.
Con: 306.87° -8(0,6) + 6(-0,8) = 0 satisface, es solución.
- 91 -
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA H.I.P.
Ax + By + C = 0 y x cos w + y sen w – p = 0
cos w sen w − p
= = =k
A B C
cos2 w = k2.A2
2
sen w = k2.B2
--------------------------------------
cos2 w + sen2 w = k2 (A2 + B2)
1
Despejando: k= [23]
± A2 + B 2
cos w =
A
[24]
± A2 + B 2
sen w =
B
[25]
± A2 + B 2
−p=
C
[26]
± A2 + B 2
- 92 -
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA H.I.P.
Ax
+
By
+
C
=0 [ 27 ]
± A2 + B 2 ± A2 + B 2 ± A2 + B 2
EJERCICIOS DE APLICACION
1 1
k= =
25 + 49 74
- 93 -
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA H.I.P.
11 5 7
p= ; cos w = ; sen w = −
74 74 74
El signo del radical, por ser C = 0, será el mismo que de B, es decir negativo.
1 1
k= =−
− 9 + 16 5
3 4y
− x + =0 Ec. en la forma normal.
5 5
3 4
cos w = − ; sen w =
w es del 25do. Cuadrante: w = 5143,13° ; p=0
- 94 -
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA H.I.P.
x cos w + y sen w − (p + d) = 0
Las coordenadas del punto P deben satisfacer esta
ecuación, por lo tanto:
x1 cos w + y1sen w – p – d = 0
Expresión que nos permite calcular la distancia de un punto a una recta, cuando su
ecuación está dada en la forma normal, como las ecuaciones de la recta en la mayoría de
los casos vienen dadas en la forma general, basta transformar la expresión [28] para hallar
una nueva relación que nos defina la distancia.
Recordemos que: cos w = k.A ; sen w = k.B y -p = k.C. Reemplazando estos valores
en la expresión [28] obtenemos:
Ax1 + By1 + C
d=
± A 2 + B2 [29]
La distancia con signo se usa principalmente en: determinación de las ecuaciones de las
bisectrices de un ángulo formado por dos rectas al cortarse; problemas de circunferencias
tangentes a rectas dadas y para recuperar soluciones, en problemas en los que
interviniendo distancias, nos den soluciones imaginarias.
- 95 -
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA H.I.P.
Para hallar la distancia de un punto a una recta, dada en la forma general, tomamos
el valor absoluto de la expresión que resulta de: reemplazar las coordenadas del
punto, en la ecuación de la recta y multiplicarla por la constante de
proporcionalidad k.
Si deseamos distancia con signo, este lo escogemos de acuerdo a la regla enunciada,
o definiendo el signo del radical.
EJERCICIOS DE APLICACION
62.- Hallar la distancia dirigida, del punto P(6 ; 4) a la recta: x/6 + y/4 = 1.
2x + 3y –12 = 0 (1)
1 1
k= =
4+9 13
2(6) + 3(4) − 12 12
d= =
13 13
- 96 -
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA H.I.P.
Hacemos distancia:
16
b1 = 0 ; b2 = −
3
Reemplazando en (1):
Con b = 0:
64.- Demostrar que la recta: 5x – 2y – 1 = 0 , divide por la mitad, a la distancia entre las
rectas: 5x – 2y + 7 = 0 y 5x – 2y – 9 = 0.
Si: x = 3 entonces:
y = 7 ; P(3 ; 7)
Hallamos d1 y d2:
5(3) − 2(7) + 7 8
d1 = =
− 25 + 4 29
5(3) − 2(7) − 9 8
d2 = =
25 + 4 29
65.- Dados el punto A(4 ; 5) y la recta: x + 2y – 4 = 0. Determinar sobre la recta los puntos
B y C, tales que, al unirlos con el punto A formen un triángulo equilátero.
- 97 -
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA H.I.P.
Como el triángulo es equilátero podemos decir que su lado vale “a”, aplicando Pitágoras,
definimos la altura:
a2 a 3
h = a2 − =
4 2
4 + 2(5) − 4
h= = 4,47
1+ 4
a 3
4,47 = ∴ a = 5,17
2
Como el triángulo es equilátero: AB = AC = 5,17
Por tanto:
x1 + 2y1 – 4 = 0 de donde:
x1 = 4 – 2y1 (2)
Reemplazando (2) en (1):
(4 – 2y1)2 + y12 – 8(4 – 2y1) – 10y1 + 14,47 = 0
5y12 – 10y1 – 1,73 = 0 de donde:
y = 2,16 ordenada del punto B
y = -0,16 ordenada del punto A
Con estos valores:
xB = 4 – 2(2,16) = -0,32
xC = 4 – 2(-0,16) = 4,32
Sol. B(-0,32 ; 2,16) ; C(4,32 ; -0,16)
66.- La distancia de una recta al origen de coordenadas es: 2. Si la distancia del punto
A (8 ; 4) a la recta, es como 5/2 veces la distancia de la recta al origen, hallar su
ecuación.
- 98 -
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA H.I.P.
Al conocer la distancia del origen a la recta, es conocido “p”, por lo tanto, la ecuación de
la recta será de la forma: x cos w + y sen w – 2 = 0.
8 cos w + 4 sen w - 2
5=
cos 2 w + sen 2 w
Los valores de w que satisfagan la ecuación (1), serán solución del problema:
67.- Demostrar que: si la distancia de una recta al origen, es igual a tres veces el coseno
de su ángulo de inclinación, su ecuación en la forma general es:
x sen α - y cos α + 3 cos α = 0. Siendo α su ángulo de inclinación.
mx y b
− + =0
± m2 + 1 ± m2 + 1 ± m2 + 1
mx (−)y −b
+ − =0 Ec. En la forma normal
± m2 + 1 ± m2 + 1 ± m2 + 1
−b −b
p= ∴ 3 cosα =
± m2 + 1 ± m2 + 1
- 99 -
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA H.I.P.
b2
9 cos 2α = de donde :
1+ m2
senα
Como: m = tgα =
cosα
Reemplazando este valor:
b2 = 9 (sen2α + cos2α) = 9
+
Por lo tanto: b= 3
Reemplazando en la ecuación (1):
x senα
−y±3=0
cosα finalmente:
3.- Hallamos las distancias desde este punto, a las rectas que forman los lados del ángulo.
4.- Igualamos estas distancias tomando en cuenta sus signos, obtendremos como
resultado la ecuación de la bisectriz deseada.
- 100 -
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA H.I.P.
EJERCICIOS DE APLICACION
68.- Hallar las ecuaciones de las bisectrices, que las rectas L1 y L2 forman al cortarse.
L1: 2x + y – 4 = 0 ; L2: 6x – 3y + 12 = 0.
2x + y − 4
d1 =
5
6x − 3y + 12
d2 =
− 45
2x + y − 4 6x − 3y + 12
− =
5 − 45
3(2x + y – 4) = 6x – 3y + 12
2x + y − 4
d3 =
5
6x − 3y + 12
d4 =
− 45
Las igualamos con sus respectivos signos: -d3 = -d4 por tanto:
2x + y − 4 6 x − 3y + 12
− =−
5 − 45
-3(2x + y – 4) = 6x – 3y + 12
69.- Hallar las ecuaciones de las bisectrices, de los ángulos formados por las rectas: L1 y
L2 al cortarse. L1: 3x – 4y + 6 = 0 ; L2: 2y – 3 = 0.
3x − 4y + 6 3x − 4y + 6
d1 = =
− 25 −5
- 101 -
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA H.I.P.
2y − 3 2y − 3
d2 = =
4 2
3x − 4 y + 6 2 y − 3
− =
−5 2
Ec. b1: 2x – 6y + 9 =0
3x − 4y + 6 3x − 4y + 6
d3 = =
− 25 −5
2y − 3 2y − 3
d4 = =
4 2
d3 = d4 por tanto:
3x − 4 y + 6 2 y − 3
=
−5 2
Ec. b2: 6x + 2y – 3 = 0
70.- Hallar la distancia, del punto (-7 ; -8) a la bisectriz del ángulo obtuso, formado por
las rectas: L1 y L2 al cortarse. L1: 2x – 2y + 8 = 0 ; L2: x – 4y – 7 = 0.
d1 = - d2 por tanto:
2x − 2y + 8 x − 4y − 7
=−
− 8 17
Hallamos la ecuación de la bisectriz:
- 102 -
FAMILIA DE RECTAS H.I.P
Habíamos indicado que la ecuación y posición de una recta en el plano, quedan perfectamente
definidas si conocíamos dos de sus condiciones, si conocemos únicamente una de ellas,
existirán un número infinito de rectas que la cumplen, llamaremos a este grupo o conjunto
de rectas: familia o haz de rectas y a la ecuación que las define: ecuación de la familia.
Todas las rectas que pasan por un punto, por ejemplo el punto (3 ; 2); representan otra familia
de rectas cuya ecuación es: y – 2 = m(x - 3). De igual forma, para los diferentes valores de
la pendiente “m”, obtendremos las ecuaciones de las rectas particulares que la forman; siendo
“m” el parámetro de la familia.
La ecuación: x/a + y/2 = 1 es la ecuación de todas las rectas cuya ordenada en el origen vale
2, siendo “a” la abscisa en el origen, el parámetro de la familia.
2. Con los datos dados en el problema, definimos el valor del parámetro, lo que
siempre será factible de hacerlo, si el problema está bien concebido.
Como una de las familias de rectas más importantes, analizaremos a la familia de rectas que
pasan por el punto de intersección de dos rectas dadas.
Como no nos interesa obtener L1 y L2 a partir de [29] podemos escribir esta ecuación en
función de una sola constante arbitraria K, que sería el parámetro de la familia, con este fin
podemos enunciar:
-103-
FAMILIA DE RECTAS H.I.P.
(
Ax + By + C + K A / x + B / y + C / = 0 ) [30]
A / x + B / y + C / + K (Ax + By + C ) = 0 [31]
El procedimiento para resolver problemas en los que intervengan esta familia, es similar al
ya enunciado anteriormente, además de que no hace falta, determinar las coordenadas del
punto de intersección de las rectas dadas.
EJERCICIOS DE APLICACION
71.- Hallar la ecuación de la recta, que pasa por A(5 ; 20) y tal que, el producto algebraico
de los segmentos que determina sobre los ejes coordenados sea igual a –25/3.
Si la recta debe pasar por A(5 ; 20) planteamos la familia de rectas que pasa por este punto:
y – 20 = m (x – 5) ; m = parámetro.
Si : x = 0 → y = 20 -5m
5m-20
Si : y = 0 → x=
m
(20 - 5m ) 5m − 20 = − 25 operando :
m 3
3m 2 − 25m + 48 = 0 factorando :
16
m1 = ; m2 = 3
3
1ra sol. y − 20 =
16
(x − 5) de donde : 16x − 3y − 20 = 0
3
72.- Una recta corta a los ejes coordenados, formando un triángulo de área 24u2, si su
pendiente es –¾, hallar su ecuación.
4b
b
A = = 24
3
de donde : b 2 = 36 finalmente : b=±6
2
3
1 ra sol. y = − x+6 → 3x + 4y − 24 = 0
4
3
2 da sol. y = − x − 6 → 3x + 4y + 24 = 0
4
73.- Calcular el área de un triángulo, si las coordenadas del centro del círculo inscrito son (2
; 3), uno de los lados del triángulo está sobre la recta: 8x + 5y – 40 = 0 y uno de los
vértices es el punto (0 ; 0).
8(2 ) + 5(3) − 40
r= = 0,95
64 + 25
m(2 ) − 3
0,95 = operando :
m2 + 1
m1 = 3 ; m2 = 0 ,83 reemplazando:
8 x + 5( 3 x) − 40 = 0 → 23 x = 40 → x = 1,74
-105-
FAMILIA DE RECTAS H.I.P.
0 0 1
1
A = = 3,29 2,73 1 = 6
2
1,74 5,22 1
Planteamos la ecuación de la familia que pasa por el punto de intersección de las rectas:
3x + 2y − 5 + K (x − 3y + 2 ) = 0 ordenando :
x (3 + K ) + y(2 − 3K ) + 2K − 5 = 0
2K − 5
1= ordenando :
(3 + K ) 2 + (2 − 3K ) 2
(3 + K )2 + (2 - 3K )2 = 2K − 5 elevando al cuadrado :
9 + 6K + K 2 + 4 - 12K + 9K 2 = 4K 2 - 20K + 25
6K 2 + 14K - 12 = 0 factorando :
2
K1 = −3 ; K2 = reemplazando estos valores :
3
2
3x + 2y - 5 + (x - 3y + 2) = 0 operando :
3
9x + 6y - 15 + 2x - 6y + 4 = 0 términos semejantes :
2da. sol. x = 1
75.- Hallar la ecuación de la recta, que pasando por el punto de corte de L1 con el eje de las
ordenadas, divide al triángulo formado por las rectas: L1 ; L2 y L3 en dos áreas iguales.
La familia de rectas que pasa por la intersección de L1 y L3 tiene por ecuación: x(1+7
K) – y (1-2K) + 3 – 42K = 0. La familia de rectas que pasa por la intersección de L1 y
L2 tiene por ecuación: x – y (1 - K1) + 3 = 0.
-106-
FAMILIA DE RECTAS H.I.P.
x - y + 3 + K ( 7x + 2y – 42) = 0 (1)
x – y (1 - K1) + 3 = 0 operando:
x - y + K1y + 3 = 0 ordenando:
x - y + 3 + K1(y) = 0 (2)
Comparando las ecuaciones (1) y (2), podemos decir que las ecuaciones de las rectas son:
L1: x - y + 3 = 0
L2: 7x + 2y - 42 = 0 ;
L3: y = 0
7x – 2y - 42 = 0
2x – 2y + 6 = 0
-----------------------
9x - 36 = 0
C ( 4 ; 7)
Base = AB = XB - XA = 6 + 3 = 9 ; Altura = YC = 7
9.7
A= = 31,5u 2
2
A 31,5
A1 = A2 = = = 15,75u 2
2 2
En el triángulo: QPC
QC = (0 − 4)2 + ( 3 - 7 )2 =4 2
x1 − y1 + 3
h=
2
-107-
FAMILIA DE RECTAS H.I.P.
x − y + 3
4 2 1 1
A= 2 = 15.75
2
4 x1 − 4 y1 − 19,5 = 0 (1)
7 x1 + 2 y1 − 42 = 0 (2)
Hacemos sistema entre (1) y (2), para definir las coordenadas del punto P.
Las coordenadas del punto P, de acuerdo al gráfico elaborado, deben estar comprendidas
entre las coordenadas de los puntos C y B, en caso de que la abscisa de P sea mayor que la
abscisa de B, el triángulo corresponderla al área 2 y el cuadrilátero al área 1 por lo que se
debería resolver el problema nuevamente, luego de rectificar el gráfico.
18x1 - 103.5 = 0
y − 3 = −0,36( x − 0) operando :
Sol. 0,36 x + y − 3 = 0
En el triángulo ABP:
b.h 2a.y1
A= = =6 de donde :
2 2
y1 =
6
(1)
a
2 x1 + 3 y1 = 0 (2)
-108-
FAMILIA DE RECTAS H.I.P.
6
2 x1 + 3 = 0 de donde :
a
9
x1 = −
a
AB2 = AP 2 + PB2
(2a) 2 = ( ( x1 + a) 2 + y 2 ) 2 + ( ( x1 − a) 2 + y 2 ) 2
(2a )2 = (x1 + a )2 + y12 + ( x1 − a )2 + y1
2
4a 2 = 2x1 + 2y1 + 2a 2
2 2
a 2 = x12 + y12
2 2
9 6
a = − +
2
a a
a = 117
4
de donde : a = ±3,29 (dos soluciones )
9 9
x1 = − =− = −2,74
a 3,29
6 6
y1 = = = 1,82
a 3,29
1,82 − 0
Ec. L1 : y − 0 = (x − 3,29 )
− 2,74 − 3,29
L1 : y = − 0,3x + 0,99
1,82 − 0
Ec. L 2 : y - 0 = (x + 3,29 )
− 2,74 + 3,29
L 2 : y = 3,31x + 10,89
-109-
FAMILIA DE RECTAS H.I.P.
9
x1 = − = 2,74
3,29
6
y1 = = - 1,82
− 3,29
− 1,82 − 0
m= = −0,302
2,74 + 3,29
L 1 : y = − 0,3x − 0,99
− 1,82 − 0
mL 2 = = 3,31
2,74 − 3,29
L 2 : y = 3,31x - 10,90
77.- Los lados de un triángulo están sobre las rectas L1 ; L2 y L3. Sin hallar las
coordenadas de los vértices, determinar las ecuaciones de sus alturas. L1: 2x – 3y +
4 = 0 ; L2: x + y + 3 = 0 ; L3: 5x - 4y – 20 = 0
2 + k
mf = = mh 3
3-k
1 1 4
mh 3 = - = - = -
mL 3 3 5
5
4 2 + k
- = de donde: k = -22
5 3-k
2x - 3y + 4 + k(x + y + 3) = 0
x(2 + k) - y(3 – k) + 4 + 3k = 0
2x - 3y + 4 - 22(x + y + 3) = 0
2x - 3y + 4 + k(5x - 4y - 20) = 0
-110-
FAMILIA DE RECTAS H.I.P.
2 + 5k
mf = = mh 2
3 + 4k
1 1
mh 2 = - = − = 1
ml 2 −1
2 + 5k
=1 de donde : k = 1
3 + 4k
2x - 3y + 4 + 1 (5x - 4y - 20) = 0
Ec. h2: 7x - 7y - 16 = 0
x + y + 3 + k(5x - 4y – 20) = 0
1 + 5k
mf = - = mh1
1 - 4k
1 1 3
mh1 = - = - = -
ml1 2 2
3
1 + 5k 3 1
− = − = de donde: k =
1 − 4k 2 22
x + y +3 +
1
(5 x - 4 y - 20) = 0
22
EJERCICIOS ORALES
2.- ¿A qué es igual la constante de proporcionalidad, con que criterio escogemos el signo?
x y 2x y x y
a. − − =1 ; b. − + =1 ; c. − + =1
3 −2 4 −3 −2 −5
-111-
FAMILIA DE RECTAS H.I.P.
RESUMEN DE FORMULAS
x cos w + y sen w – p = 0 Forma normal.
Ax + By + C
=0 Forma normal.
± A 2 + B2
1
k= Constante de proporcionalidad .
± A 2 + B2
Ax1 + By1 + C
d= Distancia de un punto a una recta.
± A 2 + B2
Ax + By + C A′x + B′y + C′
± =± Ecuaciones de las bi sec trices.
± A +B
2 2
± A′2 + B′2
PROBLEMAS PROPUESTOS
4.- La distancia de una recta al origen es 5 unidades, si la recta dista del punto A(5 ; 5) como
2/5 de su distancia al origen. Hallar su ecuación. Sol. w = 53,13° ; w = 36,87°.
5.- La ecuación de una recta en la forma normal es: x cos w + y sen w – 4 = 0. Hallar el
valor de w, para que la recta pase por el punto (-2 ;− 12
. ). Sol. 240°.
6.- Si la distancia de una recta al origen, es igual a 3/2 veces la cosecante de su ángulo de
inclinación restado de su suplemento. Demostrar que su ecuación en la forma general
es: 4x sen2α.cosα - 4y senα.cos2α ± 3 = 0.
-112-
FAMILIA DE RECTAS H.I.P.
8.- La distancia de una recta al origen es 3, sí la recta pasa por el punto A (3√5 ; -3). Hallar
su ecuación. Sol. y + 3 = 0 ; x + 2y
5 – 9 = 0.
9.- Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a la recta: 8x + 15y – 10 = 0, que se
caracterizan por estar a 2 unidades de distancia del punto P (2 ; 1).
Sol. 8x + 15y – 65 = 0 ; 8x + 15y + 3 = 0.
10.- Dados los puntos A(-4 ; 1) y B(-10 ; 9), se pide hallar la ecuación de la recta que pasa
por B y está a 6 unidades de distancia de A. Sol. 7x + 24 y – 146 = 0.
11.- Desde el punto A(-2 ; 2) se trazan rectas a los puntos B(-3 ; 1); C(0 ; 2) y D(1 ; -1).
Probar que una de las rectas es bisectriz del ángulo formado por las otras dos.
14.- Una recta pasa por el punto M(-½ ; 4) y su distancia del origen es 2. Determinar el valor
de su pendiente. Sol. –4/3 ; 12/5.
15.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto(-2 ; -2) y corta a la bisectriz del
ángulo agudo formado por las rectas: x + 2y – 1 = 0 ; (5)1/2 x – (5)1/2 y – 5 = 0, en un
punto que dista 2 unidades de la recta y = 0. Sol. 0,21x – y – 1,58 = 0 ; y = -2.
18.- Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a la recta: 4x – 3y = 12 y que disten de ella
3 unidades. Sol. 4x – 3y – 27 = 0 ; 4x – 3y + 3 = 0.
19.- Demostrar que la distancia dirigida del punto M(6 ; -3), a una de las bisectrices de los
ángulos formados por las rectas: x + 2y – 11 = 0 ; 3x – 6y – 5 = 0, al cortarse es igual
a -1/3.
20.- Los lados de un triángulo están sobre las rectas L1: x + y – 3 = 0 , L2: 4x – 3y + 9 = 0
y L3 : 3x – 4y – 9 = 0. Calcular la longitud de las alturas. Sol. (21/2).21/2 ; 21/5.
21.- Una persona ubicada en el punto (1 ; -2) lanza una pelota, que rebota en una pared
situada sobre la recta de ecuación: 1,5x + 2y – 6 = 0. En que tiempo la persona escucha
el golpe de la pelota sobre la pared. Sol. t = 0,01s.
22.- Demostrar analíticamente que el punto (-1 ; -2) está entre las rectas paralelas: L1 y L2
. 4x - 3y + 12 = 0 ; 4x - 3y – 12 = 0.
23.- Dada la recta: x - 2 = 0 y el punto Q(6 ; 8), hallar las ecuaciones de las rectas que
pasando por Q, forman con la recta dada un triángulo de 4u2. Se conoce además que
la proporción entre las pendientes de las rectas pedidas es la misma que existe entre la
abscisa y la ordenada de Q.
Sol. y = -2x + 20 ; 2y = -3x + 34 ; y = 2x – 4 ; 2y = 3x – 2.
24.- Hallar la ecuación de la recta, que pasa por el origen de coordenadas y forma con las
rectas: x - y + 12 = 0 ; 2x + y + 9 = 0, un triángulo de área 1,5u2.
Sol. L1 : y = (-1/2)x ; L2: y = (-23/25)x.
25.- Hallar las ecuaciones de las rectas, que pasando por el punto de corte de las rectas:
3x + 4y - 48 = 0 ; 3x - 2y - 12 = 0, están a √10 u. del punto A(-6 ; -2).
-113-
FAMILIA DE RECTAS H.I.P.
26.- Hallar la ecuación de la recta, cuya distancia al origen es 17/4, y su distancia al punto
Q(-3 ; -3/5) es 13/17 veces la distancia del origen.
Sol. y = 0,6x + 4,9 ; y = - 0,14x – 4,3.
27.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por él punto de intersección de las rectas: 2x
- 3y - 5 = 0 ; x + 2y - 13 = 0, si se conoce que la magnitud del segmento que determina
sobre el eje X, es igual a dos veces su pendiente.
Sol. L1: 3x - y -18 = 0 ; L2: x - 2y - 1 = 0.
29.- Hallar la ecuación de la recta, que pasa por el punto de intersección de las rectas: x - 4y
+ 2 = 0 ; 3x + 4y -12 = 0 y forma con la primera recta, un ángulo igual al que la
segunda recta forma con el eje de las Y.
Sol. 26x + 32y – 101 = 0 ; 38x – 16y – 77 = 0.
30.- Para que la recta: x/5 + 7y/35 = 1 sea parte de la familia de rectas, dada por la ecuación:
2x + y - E + K(x + 4y + 1) = 0. Determinar el valor de E, sin calcular las coordenadas
del punto de intersección. Sol. 12.
31.- Hallar la ecuación de. la recta, que pasando por el punto de intersección de las rectas:
y = x + 2 ; y = 3, forma con la bisectriz del ángulo agudo, un ángulo que sea 4/3 veces
el ángulo agudo formado por las rectas dadas.
Sol. 1,8x - 2,8y - 8 = 0 ; x – 0,14y – 0,58 = 0.
32.- Hallar la ecuación de la recta, que forma con los ejes coordenados un triángulo de área
20u2. y es paralela a la recta: 2kx + 3ky - 8 = 0. Siendo K diferente de cero.
Sol. L1: 2x + 3y + 15,5 = 0 ; L2: 2x + 3y - 15,5 = 0.
33.- Hallar la ecuación de la recta, que pasa por el punto de intersección de las rectas: L1:2x
- y - 1 = 0 ; L2: x - y + 7 = 0. y por el punto de corte de las rectas: L3: x - 7
y - 1 = 0 ; L4: 2x - 5y + 1 = 0. Resolver el problema sin hallar los puntos de
intersección. Sol. 23x - 14y + 26 = 0.
34.- Hallar la ecuación de la recta, que pasa por el punto (-4 ; -3) y corta a los ejes
coordenados, determinando segmentos negativos y un triángulo de 27u2. de área.
Sol. L1: x/-6 + y/-9 = 1 ; L2: x/-12 + y/(-9/2) = 1.
35.- La abscisa en el origen de una recta, que pasa por el punto de intersección de las
rectas 9x - y + 3 = 0 ; x - 5y + 5 = 0, es igual al cuadrado de su ordenada en el
origen. Encontrar la ecuación de esta recta. Sol. 4x + 2y - 1 = 0 ; 121x + 55y - 25 = 0
36.- Hallar la ecuación de la recta, que pasa por el punto de intersección de las rectas: 5x
+ 2y + 1 = 0 ; x – y – 5 = 0 y tal que el punto (5 ; -4) esté a una distancia –2 de la
recta pedida. Sol. 8x - 15y - 66 = 0 ; 3x + 4y + 11 = 0.
37.- Hallar la ecuación de la recta, que dista del punto P(2 ; 1) dos unidades, si su pendiente
vale ¾. Sol. 3x – 4y + 8 = 0 ; 3x – 4y – 12 = 0.
38.- Determinar la ecuación de la recta, que pasa por el punto P(2 ; -3) y tal que, la parte de
esta recta, comprendida entre las rectas: 3x + y – 2 = 0 y x – 5y + 10 = 0, quede
dividida en dos por dicho punto. Sol. 41x + 11y – 49 = 0.
39.- Hallar las ecuaciones de los lados del triángulo ABC, conociendo uno de sus vértices
(2 ; - 1) y las ecuaciones de la altura: 7x – 10y + 1 = 0 y de la bisectriz: 3x – 2y + 5
= 0 , trazadas desde un mismo vértice. Resolver el problema sin calcular las
coordenadas de las vértices B y C.
Sol. 5x + y + 17 = 0 ; x – 5y – 7 = 0 ; 10x + 7y – 13 = 0.
40.- Hallar la ecuación de la recta, que dista del punto P(0 ; 1) una longitud igual a 1 / 5 y
pasa por el punto común de las rectas: L1: x + 2y – 1 = 0 y L2: 2x – y + 3 = 0.
Sol. x + 2y – 1 = 0 ; x – 2y + 3 = 0.
valor de “a” para que la recta: ax + 5y + 9 = 0 no pertenezca a este haz. Sol. a ≠ -2.
42.- Determinar el valor de “b” para que la recta: y = 3x + b pertenezca al haz de rectas que
pasa por el punto de intersección de las rectas: 3x – 4y + 6 = 0 y x – 5 = 0.
Sol. b = - 39/4.
43.- Una recta L1 pasa por P(4 ; 5), su distancia del origen es 4u. y su ángulo de inclinación
es menor que 90°. Otra recta L2 de pendiente negativa pasa por (0 ; 0) y corta a L1
formando con esta y el eje de las X un triángulo de área 20u2. Hallar las ecuaciones de
L1 y L2. Sol. L1: 9x – 40y + 164 = 0 ; L2: y = -0,21x.
-115-
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
CAPITULO III
LUGAR GEOMETRICO
3.1. DEFINICIONES.
-113-
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
3.1. DEFINICIONES.
a.- Dado un lugar geométrico, determinado por ciertas condiciones, hallar la ecuación
matemática que lo define.
b.- Dada la ecuación, dibujar el lugar geométrico que representa.
Por lo tanto, la curva representada por una ecuación, es la trayectoria de un punto que
se mueve de tal forma que, las distancias dirigidas que lo separan de los ejes
coordenados, están siempre en la relación dada por la ecuación del lugar geométrico.
El procedimiento para hallar las ecuaciones de los lugares geométricos, lo podemos resumir
en los siguientes pasos:
b.- Expresamos la o las condiciones pedidas, por medio de una o más ecuaciones
matemáticas.
d.- Involucramos de alguna manera las coordenadas (x.; y), del punto cualquiera, en las
ecuaciones obtenidas en ( b ).
e.- Transformamos las ecuaciones halladas a la forma: f(x ; y) = 0.
EJERCICIOS DE APLICACION
78.- Los extremos de un segmento AB de 10u. de longitud, resbalan sobre los ejes
coordenados. Hallar la ecuación del lugar geométrico que describe su punto medio.
- 113 -
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
x=
a
de donde : a = 2x ( 1)
2
y=
b
de donde : b = 2y (2)
2
En el triángulo formado por el segmento y los ejes, siempre se cumple con el Teorema de
Pitágoras, en nuestro caso:
[OA]2 = a2 y [OB]2 = b2
100 = a2 + b2 (3)
x2 + y2 = 25 Ec. L.G.
79.- Hallar la ecuación del lugar geométrico, de un punto que se mueve en el plano, de tal
manera que: el cuadrado de su distancia al punto (4 ; 1) es siempre igual a su distancia
del eje Y.
d12 = d2 (1)
d2 = x
d1 = (x - 4)2 + ( y − 1)2
Reemplazando en (1):
x= [ (x - 4) + ( y − 1) ]
2 2 2
x = x2 - 8x + 16 + y2 - 2y + 1 ordenando:
- 115 -
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
x2 + y2 - 9x - 2y + 17 = 0 Ec. L.G.
80.- Hallar la ecuación del lugar geométrico, de los puntos tales que: la pendiente del
segmento que une a estos, con el punto S(1 ; 2), es la mitad de la pendiente, del segmento
que une a estos, con el punto T(2 ; 5). Para que puntos no se cumple el lugar geométrico?
mSP =
1
m TP (1 ) condición del problema :
2
mSP =
y-2
(2)
x -1
m TP =
y-5
(3)
x-2
y-2 1 y-5
= ⋅ operando :
x -1 2 x - 2
2xy - 4x - 4y + 8 = xy - y - 5x + 5
Haciendo términos semejantes:
xy + x – 3y + 3 = 0 Ec. L.G.
81.- Dados los puntos: A(-4 ; 0) y B(4 ; 0). Hallar la ecuación del lugar geométrico, de
un punto que se mueve en el plano de forma que: la suma de los ángulos PAB y
PBA es siempre constante e igual a 135º.
α + β = 135 o
tg (α + β ) = tg135° operando :
tg α + tgβ
= -1 (1 )
1 - tg α .tgβ
- 116 -
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
Podemos definir las tangentes de los ángulos, en función de las pendientes de los lados que
los forman y de esta manera involucramos las coordenadas (x ; y) del punto P.
tg α =
m AP - m AB
(2)
1 + m AP . m AB
mAP =
y
(3 ) ; mAB = 0 (4)
x+4
tg β =
m AB - m BP
( 6)
1 + m AB . m BP
m BP =
y
(7 ) ; m AB = 0 ( 8)
x-4
y y
−
x + 4 x − 4 = −1 operando :
y −y
1- ⋅
x+4 x−4
y(x - 4) - y(x + 4)
= −1 finalmente :
(x + 4)(x - 4) + y 2
yx - 4y - yx - 4y = -x 2 + 16 + y 2 términos semejantes :
82.- Hallar la ecuación del lugar geométrico, que describe un punto móvil, que se mueve de
tal forma que: la suma de los cuadrados de sus distancias, a los vértices de un triángulo
equilátero de lado 6, es siempre igual a 51.
y c2 = 62 - 32 de donde :
yc = 3 3 por tanto (
C0 ; 3 3 )
Condición del problema:
- 117 -
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
(PA)2 = x 2 + y 2 + 6x + 9 (1 )
(PB )2 = x 2 + y 2 − 6x + 9 (2)
(PC )2 = (
x2 + y -3 3 )
2
(PC )2 = x 2 + y 2 - 6 3y + 27 (3 )
Reemplazamos: (1) , (2) y (3) en la condición del problema:
x 2 + y 2 + 6 x + 9 + x 2 + y 2 − 6 x + 9 + x 2 + y 2 - 6 3y + 27 = 51 términos semejantes:
3x 2 + 3y 2 - 6 3y - 6 = 0 simplificando :
83.- Un punto se mueve en el plano, de tal manera que su distancia respecto de la recta:
x + y - 6 = 0, es siempre igual a su distancia del punto (-2 ; -1). Hallar la ecuación del
lugar geométrico que describe el punto.
d2 = (x + 2)2 + (y + 1)2
x + y-6
(x + 2)2 + (y + 1)2 = elevando al cuadarado :
2
( )
x 2 + 4x + 4 + y 2 + 2y + 1 = x 2 + y 2 + 36 + 2xy - 12x - 12y
84.- Dada una circunferencia de centro en (10 ; 0) y radio 10, se trazan por el origen de
coordenadas todas las secantes posibles a la circunferencia, determinar el lugar
geométrico de los puntos medios de las cuerdas, contenidas en estas secantes.
- 118 -
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
r 2 = (OP ) + (PC ) (1 )
2 2
85.- Las coordenadas del vértice C de un ángulo de 45° son: (5 ; 5), los puntos en que los
lados de este ángulo, cortan a los ejes coordenados, se unen por una línea recta, que es
dividida por un punto P en la razón ¼. Hallar la ecuación del lugar geométrico que
describe el punto P, cuando el ángulo gira alrededor de su vértice.
AP 1
= ( primera solución)
PB 4
1 1
0+
xb ya + 0
4 x 4 = 4 ya
xp = = b (1) ; yp = (2)
1 5 1 5
1+ 1+
4 4
De ( 1 ) : xb = 5x
De ( 2 ) : ya = 5y/4
- 119 -
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
mCB − mAC
tg .45° = pero :
1 + mCB .mAC
5−0 5 1
mCB = = =
5 − xb 5 − 5 x 1 − x
5y
5−
5 − ya 4 = 4−y
m AC = = por tanto :
5−0 5 4
1 4−y
−
4 − 4 + y + 4x − xy
1 = 1− x 4 = operando :
1 4−y 4 − 4x + 4 − y
1+ .
1− x 4
86.- Dada la ecuación x2 + y2 = 25. Hallar la ecuación del lugar geométrico, que describen
los puntos, que dividen a todas las ordenadas de la ecuación dada, en la relación 1 es a
4.
AP 1
= ( primera solución)
PB 4
1
ya −0
4 4y
y= = a de donde :
1 5
1+
4
ya = 5y/4 ; xa = x
x A2 + y A2 = 25 reemplazando :
x + (5 y / 4) 2 = 0 operando :
16 x + 25 y − 400 = 0
2 2
Ec. del Lugar Geométrico.
87.- Una rueda de polea de centro en “o” y radio “r ”, gira en un plano vertical; del extremo A,
de un diámetro cualquiera, cuelga una varilla metálica AB, articulada en A y de longitud
“L” al girar la rueda la varilla siempre permanece vertical, hallar la ecuación del lugar
geométrico, que describe el extremo B de la varilla.
- 120 -
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
x 2 + ( y + L) 2 = r 2 operando :
x + y + 2 Ly + L − r = 0
2 2 2 2
Ec. del Lugar geométrico.
88.- Hallar la ecuación del lugar geométrico, que describe el vértice del ángulo recto, de una
escuadra de 60º, cuando se mueve en el plano, al resbalar los extremos de su hipotenusa
sobre los ejes coordenados. Si la hipotenusa tiene 8 u. de longitud.
En el triángulo ABC:
BC BC
cos .60° = = de donde :
AB 8
BC = 8. cos 60° = 4
( AB) 2 = ( BC ) 2 + ( AC ) 2
( AC ) 2 = 64 − 16 = 48
En el triángulo: OBA:
Pero: OB = x – BQ
OA = y + RA por tanto:
64 = ( x − BQ) 2 + ( y + RA) 2 (1 )
En el triángulo: BQC
(BQ)2 = 16 – y2 (2)
En el triángulo: RCA
(RA)2 = 48 – x2 (3)
- 121 -
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
64 = (x − 16 − y 2 ) 2 + (y + 48 − x 2 ) 2 operando :
x 16 − y 2 = y 48 − x 2 elevamos al cuadrado :
16 x 2 − x 2 y 2 = 48 y 2 − x 2 y 2 términos semejantes :
16 x 2 − 48 y 2 = 0 simplificando :
x2 − 3 y 2 = 0 Ec. del Lugar Geométrico.
Si las coordenadas de un punto satisfacen una ecuación dada, aseguramos que este punto
pertenece a la curva representada por la ecuación, en caso contrario, el punto no pertenece a
ella; por consiguiente, para obtener puntos que pertenezcan al lugar geométrico, bastará dar
valores a x o y, según nos convenga, para luego despejar los valores de la otra variable,
este proceso no lo podemos realizar para todos los puntos de la curva, por lo que deberemos
seleccionar algunos de ellos y unirlos mediante una curva continua (siempre y cuando la
ecuación así lo permita) para obtener una gráfica correcta.
Principios Fundamentales
a.- Al transponer uno o más términos de una ecuación, no se modifican sus soluciones.
3x2 – 8y + 5 = 0 ; 3x2 = 8y – 5
b.- Al multiplicar o dividir, los dos miembros de una ecuación, por una cantidad
determinada, no nula, no se alteran sus soluciones.
c.- Si el segundo miembro de una ecuación es cero, se puede factorar el primer miembro e
igualar a cero cada uno de los factores, obteniéndose un grupo de ecuaciones, que
representan el mismo lugar geométrico que la ecuación original.
x2 − y2 = 0 (1) factorando :
( x + y )( x − y ) = 0 igualando a cero cada factor :
( x + y) = 0 (2) ; ( x − y) = 0 (3)
d.- Si elevamos al cuadrado los dos miembros de una ecuación dada, obtendremos una nueva
ecuación, la misma que representará, a la curva de la ecuación dada y a la de su
complemento.
- 122 -
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
[ x2 + y 2 + 4 ][ ]
x2 + y 2 − 4 = 0
x² + y² = 4 (2)
x² + y² = −4 (3)
La ecuación ( 2 ) tiene idénticas soluciones que la ecuación ( 1 ), mientras que la ecuación (
3 ) no tiene solución, pues no se dan valores negativos al extraer una raíz cuadrada; por
Si la ecuación a graficar es de primer grado, simplemente hallamos dos de sus puntos y los
unimos con una línea recta, de acuerdo a lo estudiado en el capítulo II; si en cambio, la
ecuación a graficar es de grado mayor que el primero, realizaremos el siguiente análisis, que
nos permitirá determinar parámetros esenciales, para obtener un gráfico correcto.
Mediante este análisis, determinaremos si la curva buscada, corta a los ejes coordenados o
no los corta. Lo que nos permite tener una idea inicial, de la ubicación de la curva respecto
de los ejes coordenados..
Para determinar los puntos de corte con el eje X, asignamos el valor 0 a la variable “y” y
calculamos los valores correspondientes de “x”.
Para determinar los puntos de corte con el eje Y, asignamos a la variable “x” el valor 0 y
calculamos los valores correspondientes de “y”.
b.- Simetrías:
Existen varias clases de simetrías, mencionaremos a continuación las que interesan a nuestro
estudio.
Simetría respecto a una recta: Dos puntos son simétricos respecto de una recta, si esta, es
perpendicular al segmento que resulta de unirlos, en su punto medio.
L = eje de simetría
Simetría de una curva respecto a un centro de simetría: Se cumple con esta simetría, si:
para cada punto de la curva, existe otro punto, también de la curva, tal que estos dos sean
simétricos, respecto del centro de simetría. (Fig. 94)
Simetría de una curva respecto a un eje de simetría: Una curva cumple con esta simetría
si: para cada punto de la curva, existe otro punto correspondiente también de ella, tal que,
estos dos puntos, son simétricos respecto del eje de simetría.
- 123 -
LUGARES GEOMETRICOS H.I.P.
El análisis de las simetrías, nos facilita el trazado de las gráficas de los lugares
geométricos, al reducir totalmente el número de puntos que debemos calcular para
graficarlas, cuando existe alguna de las simetrías.
Este análisis no es mas que la definición del dominio y codominio de la relación dada,
en otras palabras, es la determinación de los intervalos en los cuales las variables “x” e
“y” toman valores reales, o para qué valores de las variables existe gráfico. De este
análisis obtenemos la información, sobre si la curva es cerrada o de longitud infinita.
- 124 -
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
ASINTOTA: Es una línea recta, tal que, a medida que un punto de una curva se
aleja indefinidamente del origen, la distancia de ese punto a esta recta, decrece
continuamente y tiende a cero.
Las curvas, no necesariamente, deben tener una o mas asíntotas, en caso de poseerlas su
longitud será infinita, o lo que es igual, no serán curvas cerradas.
Las asíntotas verticales, son las más importantes, ya que nos permiten saber de cuantas
partes estará formado nuestro gráfico, pues estas dividen al plano en regiones, en cada
una de las cuales existirá una determinada parte del gráfico. Generalmente: el gráfico
constará de tantas partes, como asíntotas verticales mas uno existan.
Si al despejar la variable “y” se forma una fracción cuyo numerador y denominador son
polinomios en x, y, el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del
denominador, entonces la curva tiene asíntota inclinada; para definir su ecuación
dividimos
- 125 -
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
EJERCICIOS DE APLICACION
a. Puntos de corte:
b. Simetrías:
x(− y ) − 3(− y ) − x − 2 = 0
− xy + 3 y − x − 2 = 0
− xy − 3 y + x − 2 = 0
Al reemplazar las “x” por “- x” la ecuación original se altera, por tanto no hay simetría
respecto al eje Y.
Al reemplazar las “x” por “-x” y las “y” por “-y” , la ecuación original se altera, por
tanto no hay simetría respecto del origen de coordenadas.
c. Extensión:
- 126 -
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
Si el denominador de esta fracción, se hace igual a cero, la fracción no existe, por lo que
la variable “x” puede tomar todos los valores de los reales excepto el 3.
3y + 2
x=
y −1
Para que exista la variable “x”, el denominador de la fracción debe ser diferente de cero,
por lo tanto, la variable “y”, puede tomar todos los valores de los reales, excepto el valor
1.
Luego de este análisis, sabemos que habrá gráfico para todos los valores de “x”, excepto
el 3, y para todos los valores de “y”, excepto el 1, así como, que la curva, es abierta o de
longitud infinita.
d. Asíntotas:
Como existe una asíntota vertical, la gráfica de la ecuación constará de dos partes, una a
la derecha de la asíntota y otra a la izquierda de ella.
Como al despejar la variable “x” se forma una fracción y en el denominador de ella hay
la variable “y”, existe asíntota horizontal, para definir su ecuación, igualamos a cero el
denominador de la fracción.
y =1 Ec. asíntota vertical.
Al despejar la variable “y” se forma una fracción, cuyo numerador y denominador son
polinomios en “x”, pero el grado de ellos es idéntico, por lo que no hay asíntota inclinada.
Al saber que nuestra gráfica es de longitud infinita y que existe una asíntota vertical,
debemos construir dos tablas de valores. Es conveniente dar un valor cercano al de la
asíntota, para conocer el comportamiento exacto de la curva, al acercarse a ella.
- 127 -
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
x -3 -2 -1 0 1 2 2,9 x 3,1 4 5
y 1/6 0 -1/4 -2/3 -3/2 -4 -49 Y 51 6 7/2
a) Puntos de corte:
b) Simetrías:
Al eje X: (-y)2 = -(x +4)(x – 4)(x + 2)2 . La ecuación no se altera, por tanto si hay
simetría respecto al eje x.
Al origen: (-y)2 = - (-x + 4)(- x – 4) (-x + 2)2. La ecuación se altera, no hay simetría.
- 128 -
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
c) Extensión:
y = ± − ( x + 4 )( x − 4 )( x + 2 )2
Analizamos la inecuación:
-4 -2 4
x+4 - 0 + + +
x-4 - - - - 0 +
(x +2)2 + + 0 + + +
Prod. + 0 - - 0 - - 0 +
Por lo tanto:
Dominio : − 4 ≤ x ≤ 4
- 129 -
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
e) Tabla de valores:
Codominio : − 14 ≤ y ≤ 14
a) Puntos de corte:
b) Simetrías:
Como la ecuación resultante, no es igual a la original, no hay simetría respecto del eje
X.
Como la ecuación resultante, no es igual a la original, no hay simetría respecto del eje
Y.
Como la ecuación original se altera, no hay simetría respecto del origen de coordenadas.
c) Extensión:
- 130 -
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
El único valor que no puede tomar la variable "x" es el uno, por tanto:
Dominio : ℜ− {1 }
Despejamos la variable "y":
x 2 − x − xy + y + 6 = 0 ; agrupando : x 2 − x( y + 1) + y − 6 = 0
1+ y ± (1 + y )2 − 4( y − 6)
x= por lo tanto:
2
(1 + y ) 2 − 4( y − 6) ≥ 0 operando :
y 2 − 2 y + 25 ≥ 0 finalmente :
El trinomio no es factorable y se caracteriza por ser siempre mayor que cero, por tanto:
Codominio : ℜ
d) Asíntotas:
x2 − x − 6
y=
x −1
x2 − x − 6 −6
= x+ por lo tanto :
x −1 x −1
- 131 -
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
e) Tabla de valores:
x -10 -4 -3 -2 -1 0 0,9
y -9,45 -2,8 -1,5 0 2 6 60,9
x 1,1 2 3 4 10
y -58,9 -4 0 2 9,33
a) Puntos de corte:
Si: x = 0 ; y=2 ∴ P1 (0 ; 2)
b) Simetrías:
- 132 -
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
c) Extensión.
Despejamos la variable Y:
2 2
y= ; y=
x − 2x + 1
2
( x − 1) 2
(x – 1)2 ≠ 0 ∴ x ≠1
y ( x 2 − 2 x + 1) = 2 de donde :
yx 2 − 2 xy + y − 2 = 0 aplicando la fórmula :
Nuestra curva será de longitud infinita y existirá únicamente para valores de “y”
positivos
2y ± 8y
x= debiendo cumplirse que :
2y
y ≠ 0 ; 8y ≥ 0 finalmente :
Si igualamos a cero los denominadores de las fracciones definidas, al despejar cada una
de las variables, obtenemos las ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales:
- 133 -
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
Como existe asíntota vertical, deberemos hacer dos tablas de valores, ya que nuestro
gráfico constará de dos partes.
-2 -1 0 0,9 x 1,1 2 3
x
y 0,22 0,5 2 200 y 200 2 0,5
x-2
93. - Graficar y analizar la ecuación : y2 =
x -3
a) Puntos de corte.
- 134 -
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
b) Simetrías
x- 2 x−2
Al eje X : (-y)2 = ; y2 =
x -3 x−3
(- x) - 2 −x−2 x+2
Al eje Y : y2 = ; y2 = ; y2 =
(- x) - 3 − x−3 x+3
Para que “y” exista, la cantidad subradical debe ser mayor o igual a cero, por tanto:
x−2
≥ 0 resolvemos la inecuación :
x−3
2 3
x-2 - O + +
x-3 - - O +
Fracc. + O - n.e +
- 135 -
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
xy 2 − 3 y 2 = x − 2 de donde :
3y2 − 2
x= 2 para que exista " x":
y −1
y2 − 1 = 0 por tanto : y ≠ ±1
d) Asíntotas.
Igualamos a cero los denominadores de las fracciones obtenidas al despejar las variables,
obteniendo las ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales.
x=3 Asíntota vertical.
y = ±1 Asíntotas horizontales.
-1 0 1 2 x 3,1 4 5
x
y 0,86 0,81 0,71 0 y 3,11 1,41 1,22
- 136 -
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
x2 −9
94. - Analizar y graficar la ecuación : y2 =
x 2 - 16
a) Puntos de corte
b) Simetrías:
x2 - 9 x2 − 9
Al eje X : (-y)2 = ; y2 =
x 2 - 16 x 2 − 16
(- x) 2 - 9 x2 − 9
Al eje Y : y2 = ; y2 =
(- x) 2 - 16 x 2 − 16
Al existir simetría respecto a los dos ejes, existe también simetría respecto al origen.
c) Extensión:
x2 - 9
y = ± para que exista " y" :
x 2 - 16
x2 − 9
≥ 0 factorando :
x 2 − 16
( x -3)( x + 3)
≥ 0 resolvemos la inecuación :
( x − 4) ( x + 4)
+ - + - +
o o
-4 -3 3 4
- 137 -
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
( 4y - 3 ) ( 4y + 3 )
x= ± para que exista " x":
(y - 1) ( y + 1 )
16 y 2 - 9
x= ± factorando :
y2 - 1
( 4y - 3 ) ( 4y + 3 )
≥ 0 resolviendo la inecuación :
(y - 1) ( y + 1 )
+ - + - +
o o
-1 -0,75 0,75 1
Igualando a cero los denominadores de las fracciones obtenidas, al despejar “x” e “y”:
x 2 − 16 = 0 de donde :
x = 4 ; x = −4 Ec. asíntotas verticales.
y2 − 1 = 0 de donde :
y = 1 ; y = −1 Ec. asíntotas horizontales.
Debido a que la curva tiene las tres simetrías, sólo calcularemos algunos de sus puntos:
x y x y
1 0,73 5 1,3
2 0,64 6 1,16
3 0 7 1,1
- 138 -
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
2x
95. - Analizar y graficar el lugar geométrico : y = 2
x - 4
a) Puntos de corte:
Si : x = 0 ; y=0 ∴ P1 ( 0 ; 0 )
b) Simetrías:
2x 2x
Al eje X : (-y) = ; -y =
x2 - 4 x −4
2
2 (-x ) - 2x
Al eje Y : y = ; y=
(-x ) 2 - 4 x2 − 4
2 (-x ) - 2x 2x
Al origen : -y = ; -y = ; y=
(-x ) 2 - 4 x2 − 4 x −4
2
- 139 -
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
c) Extensión:
Para que “y” exista, el denominador de la fracción debe ser diferente de cero, por tanto:
x2 − 4 ≠ 0 ; x ≠ ± 2 por tanto :
Dominio : {ℜ − ( −2;2 )}
Despejamos la variable “x” para definir el codominio:
yx 2 − 2 x − 4 y = 0 aplicando la fórmula :
2± 4 - 4(y)(-4y)
x= debiendo cumplirse que :
2y
4 + 16 y 2 ≥ 0 ; y≠0
Codominio: ℜ − {0}
Aparentemente, parecería que hay alguna contradicción, pues la curva debe pasar por el
punto ( 0 ; 0 ) y la “y” no puede tomar el valor cero, lo que sucede, es que la “y” no puede
tomar el valor cero, para valores de “x” mayores que 4 y menores que -4 , ya que para
este intervalo el eje de las X, es una asíntota horizontal.
d) Asíntotas:
Igualando a cero, los denominadores, de las fracciones obtenidas al despejar las variables:
Por la simetría de la curva respecto del origen, calculamos únicamente los puntos:
x 0 1 1,9 x 2,1 3 4
y 0 -0,66 -9,74 y 10,24 1,2 0,66
- 140 -
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
Análisis de la ecuación ( 1 ) :
a) Puntos de corte:
Si : x = 0 ; y=0 ∴ P1 (0 ; 0 )
- 141 -
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
b) Simetrías:
Al eje X : (− y ) = 2 x 2 ; − y = 2x2
La ecuación se altera, no hay simetría respecto del eje X.
c) Extensión:
No hay ningún impedimento para que la “x ” tome todos los valores reales, por lo que :
y
x=± para que " x" exista :
2
y
≥ 0 por tanto : y≥0
2
Codominio: { 0 ≤ y < ∞ }
d) Asíntotas:
x 0 1 2
y 0 2 8
Análisis de la ecuación ( 2 ) :
- 142 -
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
EJERCICIOS ORALES
5.- ¿Qué condición cumple el punto, cuya trayectoria está dada por la ecuación : x = y
?
6.- ¿Cómo saber, que un punto pertenece a una curva, representada por una ecuación ?
- 143 -
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.- Un punto se mueve en el plano, de modo que, su distancia del punto A (8 ; 0) es tres
veces mayor, que su distancia del punto B (-1 ; 0). Hallar la ecuación del lugar
2.- Dados dos vértices de un triángulo: A (3 ; 2) y B (-1 ; 1). Hallar la ecuación del lugar
geométrico, que describe el tercer vértice; si el área del triángulo es siempre constante,
e igual a 5u2. Sol. x – 4y – 5 = 0 ; x – 4y + 15 = 0.
3.- Una recta pasa por los puntos: A (3 ; 2) y B (0 ; 1) . Hallar la ecuación del lugar
geométrico, que describe un punto P, si el ángulo formado por la recta que resulta de
unir el punto P con el origen ( lado inicial ) y la recta dada, es siempre de 1350 .
Sol. Excepto el origen todos los puntos de: y = 2x.
4.- Hallar la ecuación del lugar geométrico, que describe un punto P, si está siempre, tres
veces mas lejos de A (9 ; 0), que de B (1 ; 0) Sol. x2 + y2 –9 = 0.
6.- Las coordenadas del vértice C, de un ángulo recto son: (m ; n). Los puntos en que los
lados del ángulo, cortan a los ejes coordenados, se mueven unidos por una recta, que
se divide en una razón K, debido a un punto P. Hallar la ecuación del lugar geométrico,
que describe el punto P, cuando el ángulo gira alrededor de C.
Sol. xm ( 1 + K ) + kny ( 1 + k ) – k( m2 + n2 ) = 0.
7.- Un triángulo tiene como base, la recta que une los puntos: A (a ; 0) y B (-a ; 0), los
ángulos de la base son tales, que la suma de sus tangentes es siempre igual a dos.
Hallar la ecuación del lugar geométrico, del tercer vértice. Sol. x2 + ay – a2 = 0.
8.- Un punto se mueve en el plano, de modo que: la suma de los cuadrados de su distancia,
a dos de los vértices de un triángulo equilátero, es igual al doble, del cuadrado de su
distancia al tercer vértice. Demostrar que la ecuación del lugar geométrico que
describe, es una línea recta, paralela a uno de los lados.
9.- Los extremos de un segmento de recta móvil se apoyan constantemente sobre los ejes
coordenados, demostrar que el punto medio del segmento, describe una circunferencia.
11.- Determinar la ecuación del lugar geométrico del vértice C, de un triángulo OAC, de
base OA igual a seis, en el cual la diferencia de los cuadrados de las longitudes de
las medianas que pasan por los vértices O y A, es igual a la mitad del área del
triángulo. Sol. 6x – y – 18 = 0.
- 144 -
LUGARES GEOMÉTRICOS H.I.P.
- 145 -
LA CIRCUNFERENCIA H.I.P.
CAPITULO IV
LA CIRCUNFERENCIA
4.2. DEFINICIONES
- 146 -
LA CIRCUNFERENCIA H.I.P.
En los capítulos anteriores observamos que toda ecuación de primer grado, representa una
línea recta y las ecuaciones de grado mayor, representaban generalmente curvas. Ahora
empezaremos el estudio de las curvas, representadas por ecuaciones de segundo grado.
Toda ecuación de segundo grado, en las variables “x” e “y” se puede escribir en la forma:
Ecuación en la cual, todos los coeficientes son constantes y al menos uno de los tres primeros, es diferente
de cero. Como iremos viendo, de acuerdo al valor que tomen los coeficientes, tendremos un tipo de curva
específica.
4.2. DEFINICION.
CP = r pero :
CP = (x − h )2 + ( y − k )2 por tanto :
r = (x − h) + ( y − k )
2 2
de donde :
(x − h )2 + ( y − k )2 = r 2 [ 32 ]
x2 + y2 = r 2 [ 33 ] Forma Canónica.
- 147 -
LA CIRCUNFERENCIA H.I.P.
x 2 + y 2 − 2hx − 2ky + h 2 + k 2 − r 2 = 0
Si comparamos esta última ecuación, con la ecuación general de segundo grado, vemos
que: A = C = 1 y que: B = 0. Es decir, la ecuación de cualquier circunferencia se la
puede escribir también en la forma:
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 [ 34 ]
Comprobaremos ahora, si toda ecuación escrita en esta forma, representa una
circunferencia; para esto agrupamos los términos que contienen la variable x, los que
contienen la y, y completamos cuadrados en los términos agrupados.
D2 2 E2 D2 E 2
x 2 + Dx + + y + Ey + = − F + +
4 4 4 4
D2 + E 2 − 4F
2 2
D E
x+ + y + = (1)
2 2 4
D2 + E 2 − 4F
a. − Si : > 0
4
D E 1
C − ; − ; r= D2 + E 2 − 4F
2 2 2
D2 + E 2 − 4F
b. − Si : = 0
4
- 148 -
LA CIRCUNFERENCIA H.I.P.
D D
x+ =0 solo si : x=−
2 2
E E
y+ =0 solo si : y=−
2 2
D E
Es el punto : P − ; −
2 2
A este punto se le puede considerar como una circunferencia de radio cero, razón por la
cual se le llama circunferencia nula.
D2 + E 2 − 4F
c. − Si : < 0
4
Observando las ecuaciones [32] , [33] y [34], podemos enunciar que: para que la
ecuación de una circunferencia quede perfectamente definida, necesitamos conocer
tres condiciones, las que nos permitirán hallar las coordenadas del centro y el valor del
radio.
- 149 -
LA CIRCUNFERENCIA H.I.P.
EJERCICIOS DE APLICACION
4(0) − 3(0) + 5
r= =1
16 + 9
Sol. x 2 + y 2 = 1
98.- Hallar la ecuación de la circunferencia, que pasa por (1 ; -4) y es concéntrica con la
circunferencia: x2 + y2 – x + 10y + 18 = 0.
( x 2 − x) + ( y 2 + 10 y ) = −18
2 1 1
x − x + + ( y + 10 y + 25) = −18 + + 25
2
4 4
2
1 1
x − + ( y + 5) =
29
∴ C ; − 5
2
2 4 2
- 150 -
LA CIRCUNFERENCIA H.I.P.
2
1
r = − 1 + (− 5 + 4 ) =
2 5
2 4
2
1
Sol. x − + ( y + 5) =
2 5
2 4
(h ; k ) en : 3 x − y − 7 = 0
3h − k − 7 = 0 (1 )
h+k −7
r= (2)
2
r= (h − 2)2 + (k − 3)2 (3)
Igualando (2) y ( 3 ):
h+k −7
(h − 2)2 + (k − 3)2 =
2
(h − 2)2 + (k − 3)2 = (h + k − 7 )
2
- 151 -
LA CIRCUNFERENCIA H.I.P.
Haciendo las operaciones.
h 2 + k 2 + 6h + 2k − 2hk − 23 = 0 (4)
De (1) : k = 3h − 7 reemplazamos en (4 ) :
Operando : 4h 2 − 16h + 12 = 0
Factorando : (h − 1) (h − 3) = 0
Finalmente : h1 = 1 ; h2 = 3
k1 = −4 ; k2 = 2 ∴ C1 (3 ; 2) ; C2 (1 ; − 4)
r1 = (3 − 2) 2 + (2 − 3) 2 = 2
r2 = (1 − 2) 2 + (−4 − 3) 2 = 50
C1 : ( x − 3) 2 + ( y − 2) 2 = 2
C2 : ( x − 1) 2 + ( y + 4) 2 = 50
100.- Hallar la ecuación de la circunferencia, que pasa por los puntos: A(6 ; 2) y B(8 ;
0), si su centro está sobre la recta: 3x + 7y + 2 = 0.
- 152 -
LA CIRCUNFERENCIA H.I.P.
(6 − h ) 2 + ( 2 − k ) 2 = r 2 (1)
(8 − h) 2 + (0 − k ) 2 = r 2 (2)
36 − 12h + h 2 + 4 − 4k + k 2 = 64 − 16h + h 2 + k 2
Operando : 4h − 4k − 24 = 0
De donde : h = k + 6 (3)
Las coordenadas del centro satisfacen la ecuación de la recta.
3h + 7 k + 2 = 0 (4)
3(k + 6) + 7k + 2 = 0 de donde :
k = −2 → h = 4 ∴ C (4 ; − 2)
(8 − 4) 2 + (0 + 2) 2 = r 2 por tanto : r 2 = 20
Sol. ( x − 4) 2 + ( y + 2) 2 = 20
- 153 -
LA CIRCUNFERENCIA H.I.P.
Ecuación de la bisectriz:
x=y
Reemplazando en la ecuación de la
recta dada:
2h – 3h + 6 = 0 de donde:
h=k=r=6
102.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: (6 ; 10) ; (-2 ; -4)
y (3 ; -5).
Las coordenadas de los puntos dados, deben satisfacer esta ecuación, por lo que:
4 + 16 - 2D – 4E + F = 0 → 2D + 4E - F = 20 (2)
9 + 25 + 3D – 5E + F = 0 → 3D - 5E + F = -34 (3)
(4) 4D + 7E = -58
(5) -4D – 20E = 136
-----------------------------
- 13E = 78
- 154 -
LA CIRCUNFERENCIA H.I.P.
De donde: E = -6.
Sol. x2 + y2 – 4x – 6y – 52 = 0 ; C (2 ; 3) ; r2 = 65.
103.- Hallar las ecuaciones de las circunferencias, que son tangentes a las rectas: x + y –
4 = 0 ; x – y = 0. Si su radio es igual a 4.
Para C1:
h−k
d1 = =4
− 2
−4 2 = h−k (1)
h+k −4
d2 = =4
2
4 2 = h+k −4 (2)
- 155 -
LA CIRCUNFERENCIA H.I.P.
−4 2 = h−k
4 2 = h+k −4
−−−−−−−−−−−
0 = 2h −4 de donde :
h−k
− d3 = = −4
− 2
4 2 = h−k (3)
h+k −4
− d4 = = −4
2
−4 2 = h+k −4 (4)
4 2 = h−k
−4 2 = h+k −4
−−−−−−−−−−−−
0 = 2h −4 de donde :
Sol. C2 : ( x − 2) 2 + ( y + 3,66) 2 = 16
- 156 -
LA CIRCUNFERENCIA H.I.P.
h−k
− d5 = = −4
− 2
4 2 = h−k (5)
h+k −4
d6 = =4
2
4 2 = h+k −4 (6)
4 2 = h−k
4 2 = h+k −4
−−−−−−−−−−−
8 2 = 2h −4 de donde :
Sol. C3 : ( x − 7,66) 2 + ( y − 2) 2 = 4
h−k
d7 = =4
− 2
−4 2 = h−k (7)
h+k −4
− d8 = = −4
2
−4 2 = h+k −4 (8)
- 157 -
LA CIRCUNFERENCIA H.I.P.
−4 2 = h−k
−4 2 = h+k −4
−−−−−−−−−−−−
− 8 2 = 2h −4 de donde :
Sol. C4 : ( x + 3,66) 2 + ( y − 2) 2 = 16
D E 1
C − ;− ; r= D2 + E 2 − 4F
2 2 2
C1 (3 ; 1) ; r = 4
C2 (10 ; 1) ; r = 3
dC1C3 = 7 = (h − 3) 2 + (k − 1) 2 operando :
39 = h 2 − 6h + k 2 − 2k (1)
− 65 = h 2 − 20h + k 2 − 2k (2)
- 158 -
LA CIRCUNFERENCIA H.I.P.
39 = h 2 − 6h + k 2 − 2k
65 = −h 2 + 20h − k 2 + 2k
−−−−−−−−−−−−−−−
104 = 14h de donde :
52
h= este valor en (1) :
7
2
52 52
39 = − 6 + k 2 − 2k operando :
7 7
2
52
x − + ( y − 6,42) = 9
2
Sol.
7
105.- Hallar la ecuación de la circunferencia, que pasa por el punto A (8 ; 7), tiene un
radio igual a 6 y una cuerda común de 3u. de longitud, con la circunferencia: x2
+ y2 – 8x – 4y + 11 = 0.
C (4 ; 2) ; r = 3
(h − 4) 2 + (k − 2) 2 = (8,41) 2 desarrollando :
h 2 + k 2 − 8h − 4k − 50,68 = 0 (1)
(8 − h) 2 + (7 − k ) 2 = 36 operando :
h2 + k2 – 8h – 4k – 50,68 = 0
- h2 – k2 + 16h + 14k – 77 =0
----------------------------------------
8h + 10k – 127,68 = 0
- 160 -
LA CIRCUNFERENCIA H.I.P.
mL = 1 ∴ mC1C2 = -1
2−k
−1 = operando :
1− h
2-k=-1+h de donde:
h=3-k (1)
1− 2 − 3 h−k −3
− = de donde : h = k +7 (2)
2 2
Igualando ( 1 ) y ( 2 ):
Como las circunferencias son simétricas, sus radios son iguales, por lo tanto:
107.- Las rectas L1 y L2, al pasar por el punto Q(-1 ; 2), determinan sobre la
circunferencia: x2 + y2 – 10x – 2y + 1 = 0, cuerdas de 8u. de longitud. Se pide,
determinar el área del triángulo formado por: L1 , L2 y el eje de las Y.
De: x2 + y2 – 10x – 2y + 1 = 0 ; C (5 ; 1) ; r =5
- 161 -
LA CIRCUNFERENCIA H.I.P.
y – 2 = m (x + 1) operando:
mx - y + 2 + m = 0 (1)
En el triángulo CDG:
5m − 1 + (m + 2)
−3 =
± m2 + 1
27 m 2 + 12m − 8 = 0 resolviendo :
m1 = 0,37 ; m2 = − 0,81
Para definir el área del triángulo HQG, hallamos los puntos de corte de estas rectas, con
el eje de las Y.
- 162 -
LA CIRCUNFERENCIA H.I.P.
−1 2 1
1
A = 0 2,37 1 = 0,59 u 2
2
0 1,19 1
La ecuación de la tangente es de la
forma:
y = mx + b de donde:
mx – y + b = 0 f. general
3m − 2 + b
4= despejando :
m2 + 1
3m − 2 + b
m2 + 1 = (1)
4
2m − 3 + b
5= despejando :
m2 + 1
2m − 3 + b
m2 + 1 = (2)
5
2m − 3 + b 3m − 2 + b
= operando :
5 4
7m + 2 + b = 0 de donde : b = −7 m − 2 (3)
- 163 -
LA CIRCUNFERENCIA H.I.P.
5 m 2 + 1 = 2m − 3 − 7 m − 2 términos semejantes :
m 2 + 1 = −m − 1 elevando al cuadrado :
m + 1 = m 2 + 2m + 1 de donde :
m=0 ∴ b = −2
Para recuperar la segunda solución conviene recordar que: la recta de los centros es la
bisectriz del ángulo formado por las tangentes. Definimos su ecuación:
3−2
m= = −1
2−3
y − 2 = −1( x − 3) de donde :
x+ y+5 = 0
Al ser la pendiente de la recta de los centros –1 y analizando los ángulos en la fig. 114
deducimos que las tangentes deben ser perpendiculares entre sí. Como las rectas paralelas
al eje Y son de la forma: x = k.
EJERCICIOS ORALES
2.- ¿Cuáles son los tres parámetros, que determinan la ecuación de una circunferencia?
a.- x2 + y2 = 12
- 164 -
LA CIRCUNFERENCIA H.I.P.
b.- (x – 3) + (y + 2)2 = 25
2
RESUMEN DE FORMULAS
x2 + y2 = r2 Ec. Canónica.
C (0 ; 0) ; r = r
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 Ec. general
D E 1
C − ; − ; r= D2 + E 2 − 4F
2 2 2
PROBLEMAS PROPUESTOS
4.- Hallar la ecuación de la circunferencia, que pasa por los puntos: A(-1 ; -3) y B (-
5 ; 3) y tiene su centro sobre la recta: x – 2y + 2 = 0. Sol. (x + 6)2 + (y + 2)2
= 26.
- 165 -
LA CIRCUNFERENCIA H.I.P.
9.- El centro de una circunferencia tangente a los ejes coordenados, está sobre la recta:
2x – 5y + 21 = 0. Hallar su ecuación.
Sol. (x - 7)2 + (y – 7)2 = 49 ; (x + 3)2 + (y – 3)2 = 9.
10.- Hallar la ecuación de la circunferencia, de centro sobre el eje Y, si pasa por los
puntos: A(0 ; -2) y B(3 ; 7). Sol. x2 + (y – 3)2 =
25.
11.- Los extremos de una varilla, de 16u. de longitud, se mueven sobre los ejes
coordenados; hallar la ecuación del lugar geométrico, que describe el punto medio
de la barra. Sol. x2 + y2 =
64.
13.- Hallar la ecuación de la circunferencia, que pasa por los puntos: A(-8 ; 3) y B
(4 ; -5) si su centro está sobre la recta: 2x – 3y – 14 = 0.
Sol. (x + 8)2 + (y + 10)2 =
169.
19.- Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos, cuya distancia del punto:
A (3 ; 0) es el doble de la distancia al punto: B(-3 ; 0). Sol. (x + 5)2 + y2
= 16.
- 167 -
FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS H.I.P.
(x – 3)2 + (y – 2)2 = r2
Todas las circunferencias de centro sobre el eje X y de radio 3, representan otra familia
de circunferencias, cuya ecuación es:
(x – h) + y2 = 9
C1: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Para todos los valores del parámetro K, excepto el valor -1, las expresiones [35] y [36]
representan circunferencias; si K toma el valor -1, las expresiones se transforman en la
ecuación de una línea recta, denominada eje radical, de cuyo estudio nos ocuparemos
más adelante.
- 168 -
FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS H.I.P.
Las circunferencias dadas, pueden ubicarse de tres formas en el plano: se cortan en dos
puntos; son tangentes y no se topan. En los dos primeros casos las expresiones [35] ó
[36] siempre serán las de una circunferencia, en el tercer caso no siempre obtendremos
una circunferencia real por lo que debemos verificar los resultados obtenidos.
PROBLEMAS DE APLICACION
D E
C − ; − = (3 ; 5)
2 2
La ecuación buscada será de la forma:
Las coordenadas del punto: P(-7 ; 5), satisfacen la ecuación de la familia, al reemplazar
las coordenadas del punto, obtendremos el valor del parámetro “r”.
110.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos de corte de las
circunferencias: x2 + y2 - 10x – 6y + 25 = 0 ; x2 + y2 –6x – 10y +18 = 0, y tiene
su centro sobre la recta: x - y = 0.
- 169 -
FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS H.I.P.
C1 : C (5 : 3) ; r = 3
C2 : C ( 3 ; 5) ; r = 4
Para que nos quede la ecuación en la forma general, debemos eliminar los coeficientes
de las variables elevadas al cuadrado, para esto dividimos toda la ecuación para: (1 + k).
− 10 − 6k − 6 − 10k 25 + 18k
x2 + y2 + x+ y+ =0
1+ k 1+ k 1+ k
4k = 4 finalmente : k =1
x 2 + y 2 − 10 x − 6 y + 25 + 1( x 2 + y 2 − 6 x − 10 y + 18) = 0 operando :
2 x 2 + 2 y 2 − 16 x − 16 y + 43 = 0 dividiendo para 2 :
Sol. x2 + y2 – 8x – 8y + 43/2 = 0
- 170 -
FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS H.I.P.
111.- Hallar la ecuación de la circunferencia, que pasa por los puntos de corte de las
circunferencias: x2 + y2 = 4 ; x2 + y2 – 2x - 2y – 7 = 0 y por el punto: A (-5 ; -4).
x 2 + y 2 − 4 + k ( x 2 + y 2 − 2 x − 2 y − 7) = 0 operando y agrupando :
x 2 (1 + k ) + y 2 (1 + k ) − 2kx − 2ky − 4 − 7 k = 0
x2 + y2 − 4 −
37 2
52
(
x + y2 − 2x − 2 y − 7 = 0 ) operando :
112.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos de intersección de
las circunferencias: x2 + y2 – 10x – 10y = 0 ; x2 + y2 + 6x + 2y – 40 = 0. Si su
radio vale 5.
x 2 (1 + k ) + y 2 (1 + k ) + x (6 − 10k ) + y (2 − 10k ) − 40 = 0
6 − 10k 2 − 10k 40
x2 + y2 + x + y − =0
1+ k 1+ k 1+ k
6 − 10k 2 − 10k
2 2
1 160
r= + + operando :
2 1+ k 1+ k 1+ k
- 171 -
FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS H.I.P.
k 2 − 2k + 1 = 0 de donde : k = 1
x 2 + y 2 + 6 x + 2 y − 40 + 1( x 2 + y 2 − 10 x − 10 y ) = 0 operando :
2 x + 2 y − 4 x − 8 y − 40 = 0
2 2
simplificando :
x 2 + y 2 + 7 x − 10 y + 31 + k ( x 2 + y 2 − x − 6 y + 3) = 0 operando :
x 2 (1 + k ) + y 2 (1 + k ) + x (7 − k ) − y (10 + 6k ) + 31 + 3k = 0
7−k 10 + 6k 31 + 3k
x2 + y2 + x − y + =0
1+ k 1+ k 1+ k
7 − k 10 + 6k 31 + 3k
2 2
1
r= + − 4 operando :
2 1+ k 1+ k 1+ k
1 25k 2 − 30k + 25
r= (1)
2 (1 + k ) 2
- 172 -
FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS H.I.P.
7−k 10 + 6k k −7 5 + 3k
C − ; ; C ;
2(1 + k ) 2(1 + k ) 2(1 + k ) 1+ k
k −7 5 + 3k
7 + 9 + 27
2(1 + k ) 1+ k
r = operando :
49 + 81
115k + 95
r= (2)
2 130 (1 + k )
Igualamos (1) y (2):
1862 7 198 33
k1 = − =− ; k2 = − =−
798 3 798 133
7 2
x 2 + y 2 + 7 x − 10 y + 31 − ( x + y 2 − x − 6 y + 3) = 0
3
1ra Sol. C1 : x 2 + y 2 − 7 x − 3 y − 18 = 0
33 2
x 2 + y 2 + 7 x − 10 y + 31 − ( x + y 2 − x − 6 y + 3) = 0
133
- 173 -
EJE RADICAL H.I.P.
4 - 5. EJE RADICAL
x ( D − D′) + y ( E − E ′) + F − F ′ = 0 [ 37 ]
Si las circunferencias no son concéntricas siempre se cumplirá que: D ≠ D’ o E ≠ E’, por
lo que esta ecuación resultante, siempre representará una línea recta, la misma que se
caracteriza por pasar por los puntos de intersección de las circunferencias dadas, el
eje radical posee además propiedades especiales que las iremos analizando.
Como las circunferencias pueden tener tres tipos de posiciones relativas entre sí en el
plano, el eje radical dependerá de ello, si C1 y C2 se cortan en dos puntos, el eje radical
pasa por estos puntos de corte y por tanto contiene a la cuerda común de las
circunferencias, si C1 y C2 son tangentes, el eje radical pasa por el punto de tangencia y
finalmente si las circunferencias no tienen ningún punto de contacto, entonces el eje
radical no tiene puntos de contacto con las circunferencias, como se ilustra en la fig. 121.
Fig. 118
Entre las principales propiedades del eje radical, mencionaremos las siguientes:
Para demostrar esta propiedad, definimos las pendientes de la recta de los centros y del
eje
radical, su producto debe ser igual a: –1.
E E′
− +
mC1C 2 = 2 2 = E′ − E operando : mE :R = −
D − D′ D′ − D
=
D D′ D′ − D E − E′ E − E′
− +
2 2
E ′ − E D′ − D
mC1C 2 .mE :R = • = −1
D′ − D E − E ′
- 173 -
EJE RADICAL H.I.P.
EJERCICIOS DE APLICACION
114.- Hallar la distancia que hay del centro de la circunferencia: (x – 2)2 + (y + 3)2 =16 a
la recta que pasa por los puntos de intersección de las circunferencias C1 y C2 de
ecuaciones: C1: (x + 2)2 + (y – 3)2 = 4 ; C2: (x – 1)2 + (y – 6)2 = 9.
x2 + y2 + 4x – 6y + 9 = 0
- x2 - y2 + 2x + 12y – 28 = 0
------------------------------------
6x + 6y – 19 = 0
Planteamos la distancia del centro al eje radical, como, no nos interesa el signo de la
distancia, tomamos el valor absoluto.
6(2) + 6(−3) − 19 25
d = = = 2,9
36 + 36 72
115.- Hallar la ecuación del eje radical de las circunferencias C1 y C2 y demostrar que
es perpendicular a la recta de los centros C1 : (x + 4)2 + (y + 5)2 = 16 ; C2: (x
– 3)2 + (y – 4)2 = 4.
Pasamos las ecuaciones a la forma general y las restamos, obteniendo así la ecuación del
eje radical, ecuación de la cual obtenemos la pendiente.
C1 : x2 + y2 + 8x + 10y + 25 = 0
C2: -x2 – y2 + 6x + 8y – 21 = 0
-------------------------------------------
E. R. 14x + 18y + 4 = 0
- 174 -
EJE RADICAL H.I.P.
−5−4 9 7
mR.C . = = ; mE :R = −
−4−3 7 9
9 7
mE :R • mR:C = • − = −1 L.Q.Q.D.
7 9
116.- Dadas las circunferencias C1 y C2 demostrar que las longitudes de las tangentes,
trazadas desde un punto exterior del eje radical, a las circunferencias, son iguales.
C1: x2 + y2 – 6x – 4y + 9 = 0 ; C2: x2 + y2 – 12x – 6y + 36 = 0.
x2 + y2 – 6x – 4y + 9 = 0
-x2 - y2 + 12x + 6y - 36 = 0
----------------------------------
6x + 2y – 27 = 0
En el triángulo C2PT:
( PT ) 2 = ( PC2 ) 2 − (C2T ) 2
35
2
( PT ) = − 6 + (− 4 − 3) − 9
2 2
6
1441
PT = = 6,33
36
- 175 -
EJE RADICAL H.I.P.
En el triángulo C1T1P:
2
35
( PT1 ) = − 3 + (−4 − 2) 2 − 4
2
6
1441
PT1 = = 6,33
36
Las longitudes de las tangentes, desde un punto del eje radical a las circunferencias, son
iguales, como lo enunciamos en la segunda propiedad.
La ecuación de C2 es de la forma:
( x − 7) 2 + ( y − 6) 2 = r 2
x 2 + y 2 − 14 x − 12 y + 85 − r 2 = 0
x2 + y2 – 14x – 12y + 85 – r2 = 0
- x2 - y2 + 2x + 8y - 8 =0
-------------------------------------------
-12x – 4y + 77 – r2 = 0
Las dos ecuaciones que tenemos del eje radical deben ser de rectas coincidentes.
12 4 r 2 − 77
= = =1
12 4 − 61
Condición de la cual:
- 176 -
EJE RADICAL H.I.P.
− 4 −1
mC1C 2 = = −1 de donde : Ec. C1C2 : x + y + 1 = 0
3+ 2
x2 + y2 – 6x + 8y - 1 = 0
-x2 – y2 – 4x + 2y + 11 = 0
----------------------------------
x- y - 1 =0
Determinamos las coordenadas de los vértices del triángulo, para lo cual, hacemos
sistema entre las ecuaciones de las tres rectas:
Coordenadas de B:
x+y+1=0
-y+k=0
------------------
x+1+k=0
Si: x = - 1 – k entonces: y = k ∴ B ( -1 – k ; k)
Coordenadas de C:
x–y–1=0
y–k=0
---------------------
x-1– k =0
Si: x = 1 + k entonces: y = k ∴ C (k + 1 ; k)
- 177 -
EJE RADICAL H.I.P.
Base = AB = (0 + 1 + k ) 2 + (−1 − k ) 2
Altura = AC = (0 − k − 1) 2 + (−1 − k ) 2
1
A= (1 + k ) 2 + (−1 − k ) 2 . (−k − 1) 2 + (−1 − k ) 2
2
[
18 = (1 + k ) 2 + (−1 − k ) 2 ] operando :
k 2 + 2k − 8 = 0 factorando :
(k + 4)(k − 2) = 0 de donde :
k1 = −4 ; k2 = 2
C1: (4 ; 2) ; r1 = 6
C2: (7 ; 4) ; r2 = 4
x2 + y2 - 8x – 4y – 16 = 0
-x2 – y2 + 14x + 8y – 49 = 0
6x + 4y – 65 = 0
3 2
mE . R = − ∴ mR.C =
2 3
- 178 -
EJE RADICAL H.I.P.
13.357
β= α ∴ β = 45°
10.000
3 3 1
1− mf = mf + de donde : mf = −
2 2 5
2+k
Pero : m f = − por tanto :
2k − 3
1 2+k
− =− simplificando :
5 2k − 3
13
2k − 3 = 10 + 5k finalmente : k = −
3
C2: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
C1: -x2 – y2 + 4x +1=0
----------------------------------------
x (D + 4) + Ey + F + 1 = 0
- 179 -
EJE RADICAL H.I.P.
Esta ecuación debe ser la misma que la ecuación del eje radical dada, aplicando la
condición de coincidencia:
1 2 −7
= = = K
D+4 E F +1
1
=K ∴ 1 = 4 K + KD (1)
4+ D
2
=K ∴ 2 = KE (2)
E
−7
=K ∴ −7 = K + F (3)
F +1
No podemos resolver el sistema, pues tenemos tres ecuaciones con cuatro incógnitas,
debemos buscar otra ecuación, para esto, hallamos la ecuación de la recta de los centros,
que se satisface para las coordenadas del centro y planteamos la distancia entre los
centros, de estas ecuaciones ya podemos deducir el valor de D y E
1
mER = − por tanto : mC1C 2 = 2
2
E D
− = 2 − − 4 de donde : E = 2D + 8 (4)
2 2
2 2
D E
6 5= 2 + + 0 + desarrollando :
2 2
D2 E 2
180 = 4 + 2 D + + finalmente : D 2 + E 2 + 8 D − 704 = 0 (5)
4 4
- 180 -
EJE RADICAL H.I.P.
D 2 + (2 D + 8) 2 + 8 D − 704 = 0 desarrollando :
5 D 2 + 40 D − 640 = 0 simplificando :
D 2 + 8 D − 128 = 0 factorando :
( D + 16) ( D − 8) = 0 de donde :
Tendremos dos soluciones, que verificándolas, cumplen con las condiciones pedidas.
C1 : x 2 + y 2 − 16 x − 24 y + 83 = 0
C2 : x 2 + y 2 + 8 x + 24 y − 85 = 0
121.- Hallar la ecuación de la recta, que determina cuerdas de igual longitud sobre las
circunferencias dadas: C1: x2 + y2 - 6x + 8y – 1 = 0 ; C2: x2 + y2 + 4x - 2y - 11
= 0.
Hallamos las coordenadas de los puntos de corte de las circunferencias, para esto
definimos la ecuación del eje radical y hacemos sistema con una de las ecuaciones de las
circunferencias:
x2 + y2 – 6x + 8y – 1 = 0
-x2 – y2 – 4x + 2y + 11 = 0
- 10x + 10y + 10 = 0
Simplificando:
E.R x − y −1 = 0 ∴ x = y +1
Re emplazando en C1 :
( y + 1) 2 + y 2 − 6( y + 1) + 8 y − 1 = 0
y2 + 2 y − 3 = 0 factorando :
- 181 -
EJE RADICAL H.I.P.
3−2 1 − 4 +1 3 1 3
xm = = ; ym = =− ∴ M ; −
2 2 2 2 2 2
3
1+
mAM = 2 =5
1 3
2−
2
3
mL = − ; A (2 ; 1)
5
3
y − 1 = − ( x − 2) finalmente : Ec. L : 3 x + 5 y − 11 = 0
5
Si trazamos desde los centros, perpendiculares a las cuerdas, estas las dividen en dos
partes iguales y son paralelas a la recta AM, cumpliéndose que: PD = DA = AE = EQ =
C1M = C2M. Por lo que L es la recta buscada, pues: PA = AQ.
122.- Hallar el valor de "n”, para que las circunferencias dadas tengan un eje radical, tal
que forme con los ejes coordenados un triángulo de área 1u2. C1: x2 + y2 = a2.
C2 : x2 + y2 - (x + y) (na / ( 2)1/2) = 0.
na.x na. y
x2 + y2 − − =0
2 2
− x2 − y2 + a2 = 0
−−−−−−−−−−−−−−−
na.x na. y
− − + a2 = 0
2 2
- 182 -
EJE RADICAL H.I.P.
Definimos los puntos de corte del eje radical con los ejes coordenados:
a 2 a 2
Si : x = 0 → y= ∴ P 0 ;
n n
a 2 a 2
Si : y = 0 → x= ∴ P1 ; 0
n n
a 2 a 2
• 2
1 = n n = a finalmente :
2 n2
EJERCICIOS ORALES
1.- ¿Qué representa la ecuación: x2 + y2 + Dx - 4y - 3 = 0. ?
3.- ¿A que recta, deben satisfacer las coordenadas de los centros de las circunferencias,
pertenecientes a la familia de circunferencias que pasa por los puntos de corte de dos
circunferencias dadas?
RESUMEN DE FORMULAS
x 2 + y 2 + Dx + EY + F + K1 ( x 2 + y 2 + D′x + E ′y + F ′) = 0
x 2 + y 2 + D′x + E ′y + F ′ + K 2 ( x 2 + y 2 + Dx + Ey + F ) = 0
- 183 -
EJE RADICAL H.I.P.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.- Hallar la ecuación de la circunferencia, que pasa por los puntos de intersección de las
circunferencias dadas y tiene su centro, en la recta: x - y = 0. C1: (x - 1)2 + (y -5)2 =
50 C2 : (x - 1)2 + (y + 1)2 = 10. Sol: 3x2 + 3y2 – 6x – 6y – 40 = 0.
3.- El centro de una circunferencia está sobre la recta: x = 0, si pasa por los puntos de
corte de las circunferencias: (x - 1)2 + (y + 3)2 = 4 ; (x + 2)2 + (y - 2)2 = 9 . Hallar su
ecuación. Sol: 3x2 + 3y2 + 8y + 11 = 0.
4.- Hallar la ecuación de una circunferencia, cuyo diámetro es la cuerda común de las
circunferencias: C1: x2 + y2 - 18x – 16y + 45 = 0 ; C2: x2 + y2 + 6x - 4y - 27 =
0. (y - 4)2 = 20.
5.- Los centros de dos circunferencias son: C1: (5 ; -1) ; C2: (-1; 5), si: r1 = (13)1/2 y la
ecuación de su eje radical es: x - y = 0. Hallar la ecuación de C2.
Sol: (x + 1)2 + (y – 5 )2 = 13.
8.- Hallar la ecuación de la circunferencia, que pasa por los puntos de corte de las
circunferencias: C1: x2 + y2 - 16 = 0 ; C2: (x - 3)2 + (y - 4)2 = 49 y es tangente a
la recta: 3x + 4y = 25. Sol: 29x2 + 29y2 - 27x - 36y - 500 = 0.
10.- Los centros de dos circunferencias que se cortan son: C1 (-4 ; 4) y C2 (0 ; 1). Si el
eje radical de estas circunferencias tiene por ecuación: 4x - 3y + 19 = 0, hallar las
ecuaciones de dichas circunferencias, si el radio de la mayor (C2) es 8/5 veces más
grande que el radio de la menor (C1).
Sol: (x + 4)2 + (y - 4)2 – 175/39 ; x2 + (x -1)2 = 448/39.
- 184 -
TANGENTES A UNA CURVA PLANA H.I.P.
Antes de hallar, las ecuaciones de las tangentes a curvas planas, representadas por
ecuaciones algebraicas de segundo grado, realizaremos en primer lugar, el siguiente
análisis.
Analizando un poco mas este razonamiento, podemos decir que: la tangente es el límite,
al que tiende la secante a una curva dada, cuando uno de los puntos de corte, tiende al
otro que se mantiene fijo y que llega a convertirse en el punto de tangencia, lo que
equivale, a condicionar el discriminante para que se haga igual a cero. Definiéndose la
pendiente de una curva como:
Partiendo de este concepto, podemos definir ya, el ángulo formado por dos curvas
-185-
TANGENTES A UNA CURVA PLANA H.I.P.
planas al cortarse.
Llamase ángulo entre dos curvas, en uno de sus puntos de corte, a cualquiera de
los ángulos suplementarios, formados, por las tangentes a las curvas, en dicho
punto. Si este ángulo es de 90° las curvas se denominan ortogonales.
PROBLEMAS DE APLICACION
123.- Hallar las coordenadas del punto perteneciente a la curva: 5x2 + 8y2 = 92 que se
caracteriza porque su distancia a la recta: 5x – 12 y + 60 = 0 es mínima.
Este punto, es el punto de tangencia entre la curva y una recta de igual pendiente que la
recta dada
5 x + 12b
2
5x + 8
2
= 92 operando :
12
90 x 2 + 25 x 2 + 120bx + 144b 2 − 1656 = 0 tér min os semejantes :
115 x 2 + 120bx + 144b 2 − 1656 = 0 (1 )
Aplicamos la condición de tangencia: b2 – 4ac = 0
-186-
TANGENTES A UNA CURVA PLANA H.I.P.
2
23 23
115 x 2 + 120 x + 144 − 1656 = 0 operando :
6 6
x + 4x + 4 = 0
2
factorando : ( x + 2) 2 = 0 por tan to : x = −2
Si : m = −2 → Ec. flia : y = −2 x + b
Tg1 : y = −2 x − 19 ; Tg 2 : y = −2 x + 1
Primera solución:
Segunda solución:
2 x + y − 1 + k1 ( x) = 0
-187-
TANGENTES A UNA CURVA PLANA H.I.P.
k1 = −2 reemplazando :
2 da. Sol : y − 1 = 0
-188-
TANGENTES A UNA CURVA PLANA H.I.P.
A=
OA . OB x1 . y1
= = r2 (1)
2 2
x12 + y12 . r
A=
AB . OT
= = r2 (2)
2 2
2r 2
De (1) : x1 = (3)
y1
4r 2 ± 16r 2 − 16r 2 4r 2
y =
2
1 = = 2r 2
2 2
y1 = ± r 2 ∴ x1 = ± r 2
x y
Sol. + =1
±r 2 ±r 2
127.- Hallar el ángulo que forman las tangentes trazadas a la circunferencia C1 desde el
punto
A (6 ; - 4). C1: x2 + y2 + 2x - 2y - 35 = 0
Planteamos la familia de rectas que pasan por el punto A(6 ; - 4):
y + 4 = m ( x − 6) despejando : y = mx − 6m − 4
-189-
TANGENTES A UNA CURVA PLANA H.I.P.
operaciones:
Como las pendientes son inversas y de signos contrarios, las tangentes son
perpendiculares entre sí, por lo que el ángulo formado por ellas es de 90°.
128.- Hallar la ecuación de la recta, que une los puntos de contacto de las tangentes de
pendiente uno, a la circunferencia: x2 + y2 – 10 x + 2y + 18 = 0.
y = x+b reemplazamos en C1 :
x + ( x + b) − 10 x + 2( x + b) + 18 = 0
2 2
desarrollando :
2 x + x (2b − 8) + b + 2b + 18 = 0
2 2
La recta que une los puntos de contacto, es perpendicular a las tangentes y pasa por el
centro de la circunferencia, por tanto su ecuación es:
m = −1 ; P (5 ; − 1) planteando :
y + 1 = −1 ( x − 5) operando :
Sol : x + y − 4 = 0
-190-
TANGENTES A UNA CURVA PLANA H.I.P.
C1 : x2 − 2x + y 2 − 3 = 0
C2 : − x 2 − 2 x − y 2 + 3 = 0
−−−−−−−−−−−−−−
− 4x =0 de donde : x = 0 con este valor
y2 = 3 finalmente : y = ± 3 tomamos : PC . (0 ; 3 )
y = mx + 3 reemplazando en C1 :
x 2 − 2 x + (mx + 3 ) 2 − 3 = 0 operando :
x − 2 x + m x + 2mx 3 = 0
2 2 2
agrupando :
x (1 + m ) + x (2m 3 − 2) = 0
2 2
1 3
(2m 3 − 2) 2 = 0 de donde : m1 = =
3 3
x 2 + 2 x + (mx + 3 ) 2 − 3 = 0 desarrollando :
x 2 + 2 x + m 2 x 2 + 2mx 3 + 3 − 3 = 0 ordenando :
x 2 (1 + m 2 ) + x (2 + 2m 3 ) = 0
1 3
( 2 + 2m 3 ) 2 = 0 de donde : m2 = −
= −
3 3
Planteamos la tangente de uno de los ángulos formados, por las tangentes al cortarse:
-191-
TANGENTES A UNA CURVA PLANA H.I.P.
3 3 2 3
− − −
tg θ = 3 3 = 3 = −2 3 = − 3
3 3 1−
1 2
1 + −
3 3 3
θ = 120° ; β = 60°
EJERCICIOS ORALES
1.- ¿Cómo hallamos las coordenadas de los puntos de corte de una curva y recta dadas?
2.- ¿Qué debe cumplirse para que una curva y recta dadas, no tengan puntos de corte?
3.- ¿Qué debe cumplirse para que haya tangencia entre una curva y una recta dadas?
5.- ¿Cuánto vale la pendiente de una curva, en el punto P(x1 ; y1) de ella?
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.- Para qué valores de k, la recta: y = kx – 2 no corta a la curva: x2 - 8y = 0.
Sol: -1 < k < 1.
2.- Hallar el ángulo agudo formado por las tangentes, trazadas desde el punto A(-2 ; -4)
a la curva: x2 = 8y, al cortarse. Sol: 71,56°.
3.- Hallar las ecuaciones de las tangentes a la curva: 2x2 + 3y2 = 12 que son
perpendiculares a la recta: x = (y + 7)/4. Sol: x + 4y ± (70)1/2 = 0.
8.- Hallar el valor del ángulo obtuso, formado por las curvas de ecuaciones: y2 =
(51 - 3x2)/3 ; (x - 6)2 + (y - 2)2 = 29. al cortarse. Sol: 97o 46'.
-192-
SECCIONES CÓNICAS H.I.P.
CAPITULO V
SECCIONES CONICAS
5.1. DEFINICIONES.
5.3. LA PARABOLA.
5.4. LA ELIPSE.
5.5. LA HIPERBOLA.
-193-
SECCIONES CÓNICAS H.I.P.
5.1. DEFINICIONES.
Las secciones cónicas o cónicas, son curvas que se obtienen al interceptar un plano, con
un cono circular recto de dos mantos, como se muestra en la fig.124.
Fig. 127
Las cónicas generales son:
La parábola: que se obtiene al cortar el cono con un plano, cuya inclinación, es igual que
la de la superficie lateral del cono.
La elipse: que se obtiene al cortar el cono con un plano, cuya inclinación es menor, al
ángulo que forma la superficie lateral del cono con la base.
Hipérbola: que se obtiene al cortar el cono con un plano, cuya inclinación es mayor, al
ángulo que forma la superficie lateral del cono con la base. Es de notar que en este caso,
el plano corta a los dos mantos del cono.
Al cortar el plano al cono se pueden dar cuatro casos particulares de cónicas, cómo se ve
claramente en la fig. 127
1.- La circunferencia, como caso particular de la elipse, cuando el plano corta al cono
horizontalmente.
2.- Dos rectas que se cortan como caso particular de la hipérbola, cuando el plano de corte
es vertical, y pasa por el vértice de los mantos.
4.- Un punto, cuando el plano corta a los conos únicamente en los vértices.
- 194 -
SECCIONES CÓNICAS H.I.P.
Fig. 128
Si: e = 1 obtenemos una parábola; si: 0 < e < 1 una elipse y si: e > 1 una hipérbola.
- 195 -
SECCIONES CÓNICAS H.I.P.
Por ejemplo: Hallar las coordenadas del punto A (8 ; 7), respecto a un nuevo sistema de
ejes, paralelos a los originales, cuyo nuevo origen es B (4 ; 3).
O ′A′ = x A′ − xO′ = 8 − 4 = 4
O ′B ′ = y B′ − y O′ = 7 − 3 = 4
A (4 ; 4 )
Lo que en realidad hicimos fue restar las coordenadas del nuevo origen O´ de las
coordenadas del punto A.
(8 ; 7) – (4 ; 3) = {(8 - 4) ; (7 - 3)} = (4 ; 4)
Luego de este ejemplo sencillo, podemos citar el teorema que nos da las ecuaciones de
traslación de coordenadas:
- 196 -
LA PARÁBOLA H.I.P.
5 – 3. LA PARABOLA.
5 – 3 – 1. DEFINICION.
Parábola: Es el lugar geométrico, de un punto que se mueve en el plano, de tal manera
que su distancia no dirigida a una recta fija llamada directriz, es siempre igual a su
distancia no dirigida respecto de un punto fijo llamado foco.
De acuerdo a la definición, siempre se cumplirá que: d1 = d2 para cualquier punto
de la parábola.
5 – 3 – 2. ELEMENTOS.
Cuerda: La recta que une dos puntos cualesquiera de la parábola, como: AA/.
197
LA PARÁBOLA H.I.P.
Radio Focal: Denominado también radio vector, es la línea que une el foco con un punto
cualquiera de la curva, como: DF ; VF.
Diámetro: La recta que une los puntos medios de un sistema de cuerdas paralelas de la
parábola, es siempre paralelo al eje.
5 - 3 – 3. ECUACIONES DE LA PARABOLA.
La parábola tiene varias formas de ecuación, las que dependen de su posición respecto de
los ejes coordenados o de su presentación. Empezaremos nuestro estudio por las formas
canónicas, que corresponden a parábolas, cuyo eje es coincidente con uno de los ejes
coordenados y tienen su vértice en el origen.
Pf = PA pero :
Pf = ( x − p ) 2 + ( y − 0) 2
PA = x+ p igualando :
( x − p) 2 + y 2 = x+ p
x 2 − 2 px + p 2 + y 2 = x 2 + 2 px + p
198
LA PARÁBOLA H.I.P.
Analizando la ecuación obtenida, vemos que la curva pasa por el origen y es simétrica al
eje X; si despejamos el valor de “y”:
y = ± 2 px
y = ±2 px
Por tanto, para los diferentes valores de p, la variable “x” debe tener igual signo que p,
para que exista la cantidad subradical y por ende “y”, presentándose dos alternativas:
a.- Si p es positiva, “x” será también positiva y la curva se abrirá hacia la derecha.
Como no se excluye ningún valor de “x” (para el primer caso los positivos, para el
segundo los negativos) y la variable “y” puede tomar todos los valores de los reales, el
lugar geométrico resultante es una curva de longitud infinita.
Al despejar los valores de “x” e “y” de la ecuación, decimos que la curva carece de
asíntotas horizontales. La longitud del lado recto, es igual al valor absoluto de 4p.
Las coordenadas del foco serán para este caso: f (0 ; p) y la ecuación de la directriz
(paralela al eje X); y = - p ; aplicando la definición de lugar geométrico y siguiendo un
proceso idéntico al anterior, obtenemos que la ecuación de la parábola es:
PROBLEMAS DE APLICACION
130.- Hallar las ecuaciones de la parábola y de la directriz, y el valor del lado recto, si la
curva tiene eje coincidente con el eje X, vértice en el origen, y pasa por el punto
(1 ; -3).
199
LA PARÁBOLA H.I.P.
9
p= reemplazando :
4
9
Ec.Parb. y 2 = 4 x ∴ y2 = 9x
4
9
Lado recto : = 4 p ; LR = 4. ; LR = 9
4
200
LA PARÁBOLA H.I.P.
Sol. x2 = - 12y.
133.- Una recta pasa por el foco de una parábola, de vértice en el origen y eje coincidente
con el eje X, cortando la directriz en el punto (-3 ; 8). Hallar las coordenadas del
punto de corte de la parábola y la recta.
8−0 4
m= ; m=−
−3−3 3
y−0 = −
4
( x − 3) ∴ 4 x + 3 y − 12 = 0
3
Hacemos sistema entre la recta y la curva:
12 − 3 y
De la ecuación de la recta : x =
4
12 − 3 y
y 2 = 12 operando :
4
y 2 + 9 y − 36 = 0 factorando:
( y + 2 ) ( y − 3) = 0 de donde:
y1 = -12 ; y2 = 3
Sol: P1 ( 12 ; - 12 ) ; P2 ( 0,75 ; 3 )
201
LA PARÁBOLA H.I.P.
134.- Hallar la ecuación del diámetro de la parábola: y2 = - 8x. para un sistema de cuerdas
de pendiente uno.
4 p = −8 ∴ p = −2 y f (−2 ; 0)
y − 0 = 1( x + 2) operando : x− y+2=0
y 2 = − 8 ( y − 2) operando :
y 2 + 8 y − 16 = 0 resolviendo :
−8 ± 64 + 64 −8 ± 8 2
y = = = −4 ± 4 2
2 2
Definimos la ordenada del punto medio, por que al ser una parábola horizontal el diámetro
es paralelo al eje y su ecuación es de la forma: y = k.
−4 − 4 2 − 4 + 4 2
y = = 4
2
Sol. y = 4
202
LA PARÁBOLA H.I.P.
8
3 p + 2(0) = 8 ∴ p=
3
8
f ; 0
3
8
y2 = 4 x ∴ Sol. 3 y 2 = 32
3
136.- Hallar el área del triángulo equilátero, inscrito en la parábola: x2 = 4py si uno de
los vértices del triángulo, coincide con el origen.
Como el problema es literal, podemos trabajar con una parábola, que se abra hacia
arriba o hacia abajo, tomaremos la primera.
∠ COB = 30°
α OB = 60°
mOB = tg 60° ; mOB = 3
Ec. OB : y = 3. x ( 1)
Ec, Parab. x 2 = 4 py (2)
Resolvemos el sistema entre: (1) y (2):
(
x 2 − 4 3 xp = 0 ) factorando :
(
x x − 4 3p = 0 ) finalmente:
(
B 4 3 p ; 12 p ) por simetría: (
A -4 3 p ; 12 p )
203
LA PARÁBOLA H.I.P.
Base: 2 4 3 p ( ) ; altura: 12 p
Area =
(
2 4 3 p ⋅ 12 p ) ; A = 48 3. p 2
2
137.- En la parábola: y2 = -16x determinar las coordenadas de los puntos, cuyos radios
focales son iguales a 13u.
f (− 4 ; 0)
169 = x1 + 8 x1 + y1 + 16
2 2
(1)
El punto P (x1 ; y1) satisface la ecuación de la parábola
por tanto:
x1 − 8 x1 - 153 = 0
2
resolviend o :
8 ± 64 + 612 8 ± 26
x1 = ; x1 =
2 2
y = ± − 16 x1 ; y= ± (−16) . (−9) ; y = ± 12
204
LA PARÁBOLA H.I.P.
138.- Los cables que soportan un puente colgante, tienen forma parabólica, y tocan al
piso del puente en su punto medio; las torres que los sostienen están separadas
800mts. Y los cables están atados a ellas 40mts. sobre el nivel del piso del puente.
Qué longitud tendrá el cable vertical que está a 100mts. de la torre.
x2 = 4py.
Sol. y1 = 22,5m.
140.- Al diseñar una antena parabólica cuyo alimentador está en el foco y a 20 cts. del
vértice, se necesita saber cual es el diámetro de su boca, si la antena debe tener una
profundidad de 80 cts.
205
LA PARÁBOLA H.I.P.
x 2 = 4 px de donde : x ( x − 4 p) = 0 finalmente :
x1 = 0 ; x2 = 4 p ∴ P (4 p ; 4 p)
Si : y = 5 p entonces : 25 p 2 = 4 px de donde :
25
x= p ∴ y < x si y > 4p y obviamente : y > x si y < 4p
4
y( y − 8 p) = 0 de donde : y = 8p
Si : y = 8 p entonces : x = 16 p ∴ P (16 p ; 8 p )
206
LA PARÁBOLA H.I.P.
y′2 = 4 px′ (1 )
Para obtener la ecuación respecto de los ejes originales, usamos las ecuaciones de
traslación de ejes:
x = x′ + h ; y = y′ + k de donde :
x′ = x − h ; y′ = y − k reemplazando en ( 1 ) :
( y − k ) 2 = 4 p ( x − h) [ 40 ] Ec. Ordinaria.
( x − h) 2 = 4 p ( y − k ) [ 41 ] Ec. Ordinaria
207
LA PARÁBOLA H.I.P.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
142.- Hallar la ecuación de la parábola de vértice en (3 ; 3) y foco en (8 ; 3), e indicar
sus parámetros principales.
( y − k )2 = 4 p ( x − h )
Definimos el valor de p:
O ′f = x f − x O′ ; O ′f = 8 − 3 = 5
Ec. ( y − 3 )2 = 20 ( x − 3 )
La directriz es paralela al eje Y. Definimos la abscisa de A:
AO ′ = x O′ − x A ; AO ′ = 5 reemplazando :
5 = 3− xA ∴ xA = − 2 ; Ec. dirt. x = − 2
Lado recto = 4 p = 4 . 5 = 20
−1− 2
p = = 3
1
Como la parábola se abre hacia abajo, debemos tomar el valor de “p” negativo.
La ecuación es de la forma:
208
LA PARÁBOLA H.I.P.
Sol. (x - 3)2 = - 12 (y + 1)
3(2) + 7k + 1 = 0 de donde
k = -1 ∴ V(2 ; -1)
Definimos el valor de p:
p = VF ; p = y F − yV ; p =1+1 ; p=2
Ec. forma : ( x − h) 2 = 4 p ( y − k )
Reemplazamos valores:
Sol. (x – 2)2 = 8 (y + 1)
145.- Hallar la ecuación de la parábola de foco en: (-1 ; 3) si pasa por el punto A(3 ; 6)
y tiene su eje paralelo al eje Y.
Si el eje es paralelo al eje de las Y, su directriz será horizontal debiendo cumplirse que:
la distancia del punto al foco sea igual a la distancia del punto a la directriz, existiendo
dos soluciones, según la parábola se abra hacia arriba o hacia abajo.
209
LA PARÁBOLA H.I.P.
d= (− 1 − 3)2 + (3 − 6)2 =5
El punto de corte de la directriz con el eje, es de coordenadas: (-1 ; 1); como el vértice es
punto medio entre este y el foco, hallamos sus coordenadas:
3 +1
yV = =2 ∴ V ( −1 ; 2 )
2
p = y f − yV ; p =3−2 ; p =1
1ra . Sol. ( x + 1) 2 = 4 ( y − 2)
El punto de corte del eje de la curva con la directriz es de coordenadas: (-1; 11), con un
procedimiento similar al anterior, encontramos las coordenadas del foco y el valor de p:
3 + 11
yv = =7 ∴ V (−1 ; 7)
2
p = yV − y f ; p = 3−7 ; p = −4
2 da . Sol. ( x + 1) 2 = − 16 ( y − 7)
210
LA PARÁBOLA H.I.P.
7
7 = 4p de donde : p=
4
Pero este valor puede ser positivo o negativo dependiendo de hacia donde hagamos que
se abra la parábola, por lo que tendremos dos soluciones:
9 23
( y + 2) 2 = −7 ( x − 4) ; f ; − 2 ; Ec. dirt. x =
4 4
147.- El lado recto de una parábola es 12u, su directriz tiene por ecuación: y + 5 = 0 si
su vértice está sobre la recta: 2x + y - 6 = 0. Hallar su ecuación.
L.R = 4 p = 12 ∴ p=3
k = −5 + 3 ; k = −2
2h − 2 − 6 = 0 de donde : h = 4
211
LA PARÁBOLA H.I.P.
1era. Sol. (x – 4 )2 = 12 ( y + 2 )
k = −5 − 3 ; k = −8 reemplazando en la recta :
2h − 8 − 6 = 0 de donde : h = 7 ∴ V (7 ; − 8)
Al ser la directriz horizontal, el eje será vertical, por lo que el vértice y el foco tienen igual
valor en su abscisa.
(5 − h) 2 = 4 p (6 − k ) (3)
212
LA PARÁBOLA H.I.P.
(5 − h) 2 = 4 ( y1 − k ) (6 − k ) (5)
h − k +1 = 0
− h − y1 − 3 = 0
−−−−−−−−−−
− k − y1| − 2 = 0 de donde
y1 = − k − 2 (6)
(5 − k + 1) 2 = 4 (−k − 2 − k ) (6 − k ) operando :
(6 − k ) 2 − 4 (−2k − 2) (6 − k ) = 0 factorando :
(6 − k ) [ (6 − k ) − 4 (−2k − 2) ] = 0 de donde :
6−k = 0 ∴ k1 = 6
6 − k + 8k + 8 = 0 ∴ k2 = − 2
h1 5 ; y1 = −8 ; f 1 (5 ; − 8) ; V1 (5 ; 6) ; p = −14
1ra. Sol. ( x − 5) 2 = − 56 ( y − 6)
2 da. Sol. ( x + 3) 2 = 8 ( y + 2)
213
LA PARÁBOLA H.I.P.
150.- Un arco parabólico de acero cuyos extremos están apoyados en el suelo, tiene una
altura máxima de 25m., se pide calcular la distancia entre los apoyos del arco, para
que el foco esté 15m. bajo el nivel del suelo.
V ( 0 ; 25 ) ; F ( 0 ; -15 )
Ec. x2 = 4p ( y – 25 )
Definimos el valor de p:
p = d vf ; p = y f − yv ; p = − 25 − 15 ; p = − 40
x 2 = − 160 ( y − 25)
Si y = 0 → x 2 = 4000 ∴ x = ± 20 10
Sol. d = 40 10
y − 1 = m ( x + 4) de donde :
y = mx + 4m + 1 (1)
214
LA PARÁBOLA H.I.P.
(mx + 4m + 1) 2 = −8 x operando :
- 8 m 2 - 2m - 8 ± (- 8m 2 - 2m - 8 ) 2 − 4 m 2 ( 16m 2 + 8m + 1 )
x =
2 m2
La presencia del doble signo nos da las abscisas de los puntos A y B, para ahorrar trabajo
llamaremos al radical Q. Definimos la abscisa del punto medio, que es conocida:
- 8 m 2 - 2m - 8 + Q - 8 m 2 - 2m - 8 − Q
+
4 = 2 m2 2 m2 operando :
2
32m 2 + 4m + 16 = 0 resolviendo :
Al resolver la ecuación las raíces son imaginarias, para recuperar las soluciones del
problema, cambiamos de signo el área del triángulo.
Sol. y = −4 x − 15
215
LA PARÁBOLA H.I.P.
x 2 − 2hx − 4 py + h 2 + 4 pk = 0
y 2 − 4 px − 2ky + k 2 + 4 ph = 0
Observamos que cada una contiene solamente un término de segundo grado, sea este x2
o y2. Haciendo referencia a la ecuación general de segundo grado:
y 2 + Dx + Ey + F = 0 [42]
Si ahora pasamos esta ecuación a la forma ordinaria completando cuadrados, tendremos:
E2 E2
y 2 + Ey + = − Dx − F + (1)
4 4
E 2 − 4F
2
E
y + = − D x −
2 4 D
y 2 + Ey + f = 0
Esta ecuación representará dos rectas horizontales diferentes, dos rectas horizontales
coincidentes o ningún lugar geométrico, según el valor de sus raices. (la variable x no
aparece en la ecuación)
2do caso: si B = C = 0.
216
LA PARÁBOLA H.I.P.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
( x 2 − 4 x + 4) = 4 y + 4 de donde :
( x − 2) 2 = 4 ( y + 1)
El vértice es punto medio entre el foco y el punto A, por lo que las coordenadas del punto
A son: (2 ; -2) siendo la ecuación de la directriz: y = -2.
154.- Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical, que pasa por los puntos: A( 4 ; -
1) B ( 6 ; 2 ) y C ( -2 ; 2 ).
16 + 4 D − E + F = 0 (1)
36 + 6 D + 2 E + F = 0 (2)
4 − 2D + 2E + F = 0 (3)
217
LA PARÁBOLA H.I.P.
Resolvemos el sistema:
(1) 16 + 4 D − E + F = 0
(2) − 36 − 6 D − 2 E − F = 0
−−−−−−−−−−−−−−−−−−
− 20 − 2 D − 3E =0 (4)
(1) 16 + 4 D − E + F = 0
(3) − 4 + 2D − 2E − F = 0
−−−−−−−−−−−−−−−−−−
12 + 6 D − 3E =0 (5)
(4) − 20 − 2 D − 3E = 0
(5) − 12 − 6 D + 3E = 0
−−−−−−−−−−−−−−−−
− 32 − 8 D =0
− 12 − 24 = 3E ∴ E = −4
4+8−8+ F =0 ∴ F = −4
Sol. x 2 − 4 x − 4 y − 4 = 0
x2 − 4x + 4 = 4 y + 4 + 4 ∴ ( x − 2) 2 = 4 ( y + 2)
E
por tan to : p=− (2)
4
218
LA PARÁBOLA H.I.P.
Definimos la ecuación de la recta que pasa por el foco y tiene pendiente uno.
x2 E
− + =x ordenando :
E 4
4 x 2 + 4 Ex − E 2 = 0 resolviendo :
− 4 E ± 16 E 2 + 16 E 2 − 4E ± 4E 2 −E ± E 2
x= ; x= ; x=
8 8 2
E −E ± E 2 E
y = x− por tan to : y = − operando :
4 2 4
− 2E ± 2E 2 − E − 3E ± 2 E 2
y= ; y=
4 4
−E−E 2 − 3E + 2 E 2 −E+E 2 − 3E + 2 E 2
A ;
; B ;
2 4 2 4
2 2
−E−E 2 −E+E 2 − 3E + 2 E 2 − 3E + 2 E 2
16 = − + −
2 2 4 4
2 2
− 2E 2 − 4E 2
16 = + finalmente :
2 4
16 = 4 E 2 por tan to :
Sol. E = 8
219
LA PARÁBOLA H.I.P.
Si la cónica no tiene los ejes, ni paralelos, ni coincidentes con los ejes coordenados,
ninguna de las ecuaciones estudiadas nos servirá para representarla, y generalmente
decimos que la curva está rotada.
Para hallar las ecuaciones de las parábolas en estas posiciones, aplicamos su definición
como lugares geométricos, obteniendo ecuaciones que están en la forma:
EJERCICIOS DE APLICACION
1
md = − ∴ meje = 2
2
La ecuación del eje es:
y + 1 = 2 ( x + 1) de donde :
2x − y +1 = 0
Hacemos sistema entre la ecuación del eje y de la directriz, para hallar las
coordenadas del punto A.
x + 2y − 1 = 0
4x − 2 y + 2 = 0
−−−−−−−−−−
5x +1 = 0 de donde :
1 3 1 3
x=− con este valor : y = ∴ A − ;
5 5 5 5
220
LA PARÁBOLA H.I.P.
1
xf −
5 9
−1 = de donde : x f = −
2 5
3
yf +
5 13 9 13
−1 = de donde : y f = − por tan to : f − ; −
2 5 5 5
x + 2y −1
2 2
9 13
x + +y + = elevando al cuadrado :
5 5 5
18 81 26 169 x 2 + 4 y 2 + 1 + 4 xy − 2 x − 4 y
x2 + x+ + y2 + y+ = denominador común :
5 25 5 25 5
Sol. 4 x 2 − 4 xy + y 2 + 20 x + 30 y + 49 = 0
d Pf = x2 + y2
x + 2y + 2
d Pdi =
5
221
LA PARÁBOLA H.I.P.
x + 2y + 2
= x2 + y2 de donde :
5
x 2 + 4 y 2 + 4 + 4 xy + 4 x + 8 y = 5 x 2 + 5 y 2 términos semejantes :
Sol. 4 x 2 − 4 xy + y 2 − 4 x − 8 y − 4 = 0
158.- Hallar la ecuación de la parábola, si los extremos de su lado recto, están formados
por los puntos de corte de la recta: 2x + y – 4 = 0 con los ejes coordenados.
F(1; 2)
1
m LR = −2 por perpendiculares : m eje = por tan to :
2
1
y−2 = ( x − 1) operando :
2
Ec. Eje : x − 2 y + 3 = 0
Sea el vértice: V (x1 ; y1). Como el lado recto vale 4p se cumple que:
1
d (Vf ) = ( AB) por lo tan to :
4
1
( x1 − 1) 2 + ( y1 − 2) 2 = (0 − 2) 2 + (4 − 0) 2 operando :
4
222
LA PARÁBOLA H.I.P.
1
x 12 − 2 x1 + 1 + y12 − 4 y1 + 4 = 4 + 16 elevando al cuadrado :
4
x1 − 2 y1 + 3 = 0 de donde : x1 = 2 y1 − 3 (2)
Hacemos sistema entre (1) y (2):
4 (2 y1 − 3) 2 + 4 y12 − 8 (2 y1 − 3) − 16 y1 + 15 = 0 operando :
20 y12 − 80 y1 + 75 = 0 factorando :
5 3
y1 = ; y1 = con estos valores :
2 2
5 3
V1 2 ; ; V2 0 ;
2 2
Como el vértice es punto medio entre el foco y el punto de corte de la directriz y el eje:
1 + x2
0= de donde : x 2 = −1
2
3 2 + y2
= de donde : y2 = 1
2 2
223
LA PARÁBOLA H.I.P.
2x + y + 1
( x - 1 )2 + ( y - 2 )2 = operando :
5
[ ]
5 x 2 − 2 x + 1 + y 2 − 4 y + 4 = 4 x 2 + y 2 + 1 + 4 xy + 4 x + 2 y finalmente :
Sol. x 2 − 4 xy + 4 y 2 − 14 x − 22 y + 24 = 0
RESUMEN DE FORMULAS
FORMAS CANONICAS
FORMAS ORDINARIAS
FORMAS GENERALES
x2 + Dx + Ey + F = 0 ; E ≠ 0
y2 + Dx + Ey + F = 0 ; D ≠ 0
224
LA PARÁBOLA H.I.P.
EJERCICIOS ORALES
1.- ¿Qué entiende por parábola?
6.- Si las coordenadas del vértice son : (3 ; 2) y la directriz tiene por ecuación : y = -
1 ¿cuánto vale “ p ” ?
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.- Hallar la ecuación de la parábola, de eje coincidente con el eje X, si tiene vértice en
el origen de coordenadas y pasa por el punto: P (5 ; 2) Sol. 5 y2 = 4x.
2.- Hallar la ecuación del diámetro de la parábola: x2 = 12y , para un sistema de cuerdas
de pendiente - 4. Sol. x = -24.
5.- El punto medio de una cuerda de la parábola: x2 = 16y es : (3 ; 6). Hallar la ecuación
de dicha cuerda. Sol. 3x - 8y + 39 = 0.
6.- El punto medio de una cuerda de la parábola: x2 = 16y es : (3 ; 6). Hallar la ecuación
de dicha cuerda. Sol. 3x - 8y + 39 = 0.
7.- Hallar la ecuación de las cuerdas, que pasando por el foco de la parábola: x2 = 8y
tienen una longitud de 25 / 2. Sol. 3x + 4y - 8 = 0 ; 3x - 4y + 8 = 0.
9.- Uno de los extremos, de una cuerda que pasa por el foco de la parábola: y2 = 4x es
(4 ; 4). Hallar la ecuación de la circunferencia, que pasa por los extremos de la
cuerda y por el vértice de la parábola. Sol. 4x2 + 4y2 - 29x - 3y = 0.
225
LA PARÁBOLA H.I.P.
10.- Determinar la mayor altura que puede tener un vagón de ferrocarril, de techo plano
y de 10 m. de ancho, para que pueda entrar en un túnel de forma parabólica, si el alto
y el ancho del túnel son de 20m. Sol. < 15 mts.
11.- La boca de un túnel tiene forma parabólica, siendo la base de 20 mts. y la altura
máxima de 8 mts. . A partir de qué distancia de uno de sus extremos, puede pasar
por el túnel un carro de 4 mts. de alto. Sol. 2,9 mts.
12.- El cable de un puente colgante soporta una calzada de 300 m. mediante cables
verticales, si el cable principal, cuelga adoptando una forma parabólica y los cables
verticales más largos y más cortos miden 90m. y 20m. respectivamente Cuál es la
longitud de los cables verticales , que están a 50 m. del centro del puente.
Sol. 27,77 mts.
13.- Una puerta en forma de arco parabólico tiene 12mts. de altura en el centro y 5 mts.
de ancho en la base. Una caja rectangular de 9 mts. de alto tiene que ser deslizada
a través de la puerta. ¿Cuál es el máximo ancho posible que puede tener la caja.?
Sol. < 2,48 mts.
14.- Hallar la ecuación de la recta, que pasa por los puntos de la parábola: y2 = 8x, cuyas
ordenadas son: 2 y 8. Sol. 4x - 5y + 8 = 0.
16.- Hallar la ecuación de la parábola de vértice en: (-1 ; - 4) y foco en: (-1 ; 0).
Sol. (x + 1)2 = 16 (y + 4).
17.- Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical, si pasa por (1 ; -2) y su vértice está
en: (-1 ; 0). Sol. (x + 1)2 = -2y.
19.- Hallar la ecuación de la parábola de eje horizontal, que pasa por los puntos: (-2 ; -1)
; (4 ; 5) y (4 ; -3) . Sol. y2 – 2x - 2y – 7 = 0.
20.- Hallar la ecuación de la parábola, de ejes paralelos a los ejes coordenados y que pasa
por los puntos: (0 ; 0) ; (8 ; -4) y (3 ; 1).
Sol. x2 – 5x + 6y = 0 ; y2 – x + 2y = 0.
21.- Hallar la ecuación de la parábola de eje horizontal cuyo vértice es: V(1 ; -3) y cuyo
foco está sobre la recta: 2x+ 3y – 6 = 0. Sol. (y + 3)2 = 26(x - 1).
22.- Hallar la ecuación de la parábola, de foco en: (4 ; -1) , eje: x = 4 , si pasa por el
punto (8 ; 2). Sol. (x – 4)2 = 4 (y + 2) ; (x – 4)2 = -16 (y – 3).
226
LA PARÁBOLA H.I.P.
26.- Una parábola pasa por los puntos P(4 ; -2) y Q(-2 ; 4). Su tangente en el vértice
es la recta: y + 4 = 0. Cuál es su ecuación.
Sol. (x - 2)2 = 2(y + 4) ; (x – 10)2 = 18(y + 4).
27.- Hallar la ecuación de la parábola, de foco en: (-9/5 ; -13/5) y vértice en : (-1 ; -1).
Sol. 4x2 - 4xy + y2 + 20x + 30 y + 49 = 0.
28.- El punto de corte entre el eje y la directriz de una parábola, es: (-1 ; 1) si el vértice
es el punto: (0 ; 3/2), hallar la ecuación de la curva .
Sol. x2 - 4xy + 4y2 - 14x - 22y + 24 =
0.
29.- Hallar la ecuación de la parábola de vértice en: (-2 ; -3), si la ecuación de su directriz
es : 2x - y – 4 = 0. Sol. x2 + 4xy + 4y2 + 56x + 12y + 84 = 0.
30.- Los puntos: L(-9 ; 3) y R(-1 ; -5) son los extremos del lado recto de una parábola.
Hallar su ecuación. Sol. x2 + y2 –2xy – 8x – 24y – 144 = 0 ; x2 – 2xy + y2 +24x
+ 8y + 48 = 0.
31.- Dados el vértice V(-2 ; -3) y un extremo del lado recto (-2 ; 7) de la parábola, obtener
la ecuación de la curva. Sol. x2 – 4xy + 4y2 – 88x – 24y – 264 = 0.
227
LA ELIPSE H.I.P.
5.4.- LA ELIPSE.
5.4.1.- DEFINICION.
La elipse, es el lugar geométrico de un punto del plano, que se mueve de tal manera que:
la suma de sus distancias respecto de dos puntos fijos también del plano, es siempre igual
a una constante.
En la figura se observa que la longitud de un lado del triángulo f2Pf1 es “f1f2” y que la
suma de los otros dos lados es mayor que esta cantidad, por tanto, la constante se
caracteriza por ser mayor que la distancia entre los puntos fijos. Estos puntos fijos se
denominan, focos de la elipse.
5.4.2.- ELEMENTOS.
Eje: es la recta que pasa por los focos de la elipse, se le conoce también como eje focal.
Los puntos de corte del eje con la curva son los vértices de la elipse.
228
LA ELIPSE H.I.P.
Eje Normal: es la recta perpendicular al eje focal en su punto medio, este eje corta a la
elipse en los puntos A1 y A2.
Eje Mayor: es la parte del eje focal comprendido entre los vértices: V1V2
Lado Recto: es la cuerda focal perpendicular al eje. En la elipse hay dos lados rectos:
DD1 y EE1.
Radios Vectores o radios focales: son las rectas que unen un punto cualquiera de la
curva con los focos, como: Gf1 ; Gf2.
Diámetro: es la cuerda que pasa por el centro de la elipse, uniendo los puntos medios de
un sistema de cuerdas paralelas, como: V1V2 ; A1A2 ; H H1. Existe un número infinito
de diámetros.
Como se estableció en la definición, debe cumplirse que: 2a > 2c o bien a > c por
tanto: a2 > c2
229
LA ELIPSE H.I.P.
( x − c) 2 + y 2 + ( x + c ) 2 + y 2 = 2a resolviendo :
[ ( x − c) + y 2 ] = [ 2a −
2
( x + c) 2 + y 2 ]
2
de donde :
x 2 − 2 xc + c 2 + y 2 = 4a 2 − 4a ( x + c) 2 + y 2 + x 2 + 2cx + c 2 + y 2 ordenando :
− 4 xc − 4a 2 = − 4a ( x + c) 2 + y 2 simplificando :
[ xc + a ]2 2
[
= a ( x + c) 2 + y 2 ]
2
operando :
x 2c 2 + 2a 2 xc + a 4 = a 2 x 2 + 2a 2 xc + a 2c 2 + a 2 y 2 operando nuevamente :
x 2c 2 + a 4 = a 2 x 2 + a 2c 2 + a 2 y 2 ordenando :
a 4 − a 2c 2 = a 2 x 2 − x 2c 2 + a 2 y 2 factor común :
a 2 (a 2 − c 2 ) = x 2 (a 2 − c 2 ) + a 2 y 2 pero :
b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2 dividiendo por a 2b 2 :
x2 y2
+ = 1 [ 44 ] 1ra ecuación canónica.
a2 b2
230
LA ELIPSE H.I.P.
Puntos de corte:
En este caso, la elipse es simétrica con respecto a los ejes y al origen, en cualquier
posición que la curva se halle, siempre es simétrica respecto a su centro y a sus ejes.
b
y = ± a2 − x2 para que exista Y :
a
a2 − x2 ≥ 0 factorando :
(a − x) (a + x) ≥ 0 por tan to :
a
x = ± b2 − y 2 para que exista x :
b
b2 − y 2 ≥ 0 factorando :
(b − y ) (b + y ) ≥ 0 de donde :
De lo que concluimos que la elipse es una curva cerrada y de longitud finita; se halla
inscrita en un rectángulo, cuyos lados están sobre las rectas: x = a ; x = - a ; y =
b y = - b. La abscisa del foco f2 es “c” sustituyendo las coordenadas de uno de los
extremos del lado recto (c ; y1) en la ecuación de la elipse obtenemos:
231
LA ELIPSE H.I.P.
c 2b 2 + a 2 y12 = a 2b 2 despejando :
a 2 y12 = b 2 (a 2 − c 2 ) finalmente :
b
2
b2 b2
y1 = ± ∴ c ; ; − c ; −
a a a
son las coordenadas de los extremos del lado recto, su longitud es por tanto:
2b 2
LR =
a
Un elemento importante de la elipse es su excentricidad (e), que se define por la
relación:
e = c/a ; como: a > c este valor es menor que 1. En general: 0 < e < 1.
x2 y2
+ =1 [45 ] 2da Ecuación canónica.
b2 a2
son los puntos: (0 ; a) ; (0 ; -a). El lado recto y la excentricidad, mantienen los valores
definidos para las elipses horizontales.
Para determinar si una ecuación en una de las formas canónicas, corresponde a una elipse
horizontal o vertical, basta fijarse debajo de qué variable está el valor de a2, es decir, el
denominador de mayor valor, si está debajo de las X, es una elipse horizontal y si está
debajo de las Y, es vertical.
232
LA ELIPSE H.I.P.
dV 1 f = a − c y dV 1Q = k − a reemplazando en (1)
definición dada :
dV 2 f 1
=e de donde : dV 2 f 1 = e . dV 2Q (3) pero :
dV 2Q
a − c = e (k − a) operando : a − c = ek − ea (2)
dV 2 f 1 = a + c y dV 2Q = a + k reemplazando en (3) :
a + c = e (k + a ) operando : a + c = ek + ea (4)
Resolviendo el sistema entre (2) y (4):
a + c = ek + ea
a - c = ek - ea
----------------------
2a = 2 ek de donde:
a a
k = ∴ x = Ec. directriz derecha.
e e
Por la simetría de la elipse, la ecuación de la otra directriz es: x = - a / e.
a2 a2
x = - ; x =
c c
233
LA ELIPSE H.I.P.
EJERCICIOS DE APLICACION
159.- Los vértices de una elipse son los puntos: (-8 ; 0) y (8 ; 0) y su excentricidad es 3
/ 4.
Se pide hallar la ecuación de la elipse y sus parámetros principales.
x2 y2
+ = 1 (1)
a2 b2
c 3 c
e = por tanto : = de aquí : 24 = 4c y c = 6
a 4 8
b2 = a 2 − c2 por tanto : b 2 = 64 − 36 = 28
234
LA ELIPSE H.I.P.
x2 y2
Sol. + = 1
64 28
Eje mayor = 2a = 2 . 8 = 16
Ejemenor = 2b = 2 . 28 = 4 7
f1 (−6 ; 0) ; f 2 (6 ; 0)
2b 2 2 . 28
Lado recto : = = 7
a 8
V1 (-4 ; 0) ; V2 (4 ; 0)
2b 2
LR = por tanto :
a
b2 b2
CF2 = = (1)
a 4
En el triángulo COD el ángulo COD vale 60° por ser el triángulo equilátero :
CF2 c 3
tg 30° = ∴ CF2 = (2)
c 3
235
LA ELIPSE H.I.P.
b2 c 3
= de donde :
4 3
4c 3
b2 = como :
3
a 2 = b2 + c2 tendremos :
4c 3
16 = + c2 operando :
3
3c 2 + 4c 3 − 48 = 0 resolviendo :
b 2 = a 2 − c 2 = 16 − 9 = 7 finalmente :
x2 y2
Sol. + = 1
16 7
161.- Hallar la ecuación de la elipse de focos en el eje de las abscisas y centro en el origen,
si se sabe que la distancia entre sus directrices es 5 y la distancia entre sus focos es
4.
2c = 4 ∴ c = 2
f1 (2 ; 0) ; f2 (-2 ; 0)
236
LA ELIPSE H.I.P.
b2 = a 2 − c2 ∴ b2 = 5 − 4 = 1
x2 y2
Sol. + =1
5 1
P (48 ; 15) ; a = 52
c 1
e= = como : c = 2 ; a = 6
a 3
b 2 = 36 − 4 = 32
237
LA ELIPSE H.I.P.
x2 y2
+ = 1
36 32
4 y12 16 16
+ = 1 de donde : y1 = ; M 2 ;
36 31 3 3
a2 36
x= reemplazando : x = por lo tanto : x = 18
c 2
Distancia: d = 18 - 2 = 16 ; Distancia: d1 = 18 + 2 = 20
164.- Hallar la ecuación de la elipse de vértice en: (-2 ; 0), centro en el origen y
excentricidad ¾.
dVC = a ∴ a=2
c 3 3a
e= = de donde : c=
a 4 4
3
Como : a = 2 → c =
2
9 7
b" = a 2 − c 2 reemplazando : b2 = 4 − =
4 4
x2 4 y2
Sol. + = 1
4 7
238
LA ELIPSE H.I.P.
165.- Hallar la ecuación de la elipse horizontal, de centro en el origen, si esta pasa por el
( )
punto − 5 ; 2 y la distancia entre sus directrices es 10.
a2 a2
5= de donde : c= ( 1)
c 5
x2 y2
+ = 1
a2 b2
5 4
2
+ 2 = 1 de donde :
a b
5b 2 + 4a 2 = a 2b 2 (2)
Por la relación fundamental de la elipse:
a 2 = b2 + c2 (3)
Resolvemos el sistema, reemplazamos (1) en (3):
a4
a2 = b2 + de donde :
25
25a 2 − a 4
b2 = (4)
25
25a 2 − a 4 25a 2 − a 4
5 + 4a 2 = a 2 operando :
25 25
239
LA ELIPSE H.I.P.
15
c= =3 por tan to : c2 = 9 finalmente :
5
x2 y2
Sol. + = 1
15 6
d1 + d 2 = 2a por tanto :
8 + 6 = 2a de donde :
a=7 ∴ a 2 = 49
x2 y2
b 2 = 49 − 25 = 24 con estos valores : Sol. + = 1
49 24
167.- Hallar en la elipse de ecuación: 4x² + 9y² = 36; la ecuación del diámetro que biseca
cuerdas de pendiente 2.
x2 y2
+ =1 por tan to :
9 4
a=3 y b=2
c2 = 9 − 4 = 5 por tan to : c= 5
240
LA ELIPSE H.I.P.
y − 0 = 2 (x − 5) operando :
y = 2x − 2 5
4 x 2 + 9 (2 x − 2 5 ) 2 = 36 operando :
40 x 2 − 72 5 x + 144 = 0 resolviendo :
6 5 3 5
x1 = ; x2 =
5 5
2 5 4 5
y1 = ; y2 = − finalmente
5 5
6 5 2 5 3 5 4 5
A ;
; B ; −
5 5 5 5
Calculamos las coordenadas del punto medio de AB, punto en que el diámetro corta a la
cuerda:
6 5 3 5 2 5 4 5
+ −
xm = 5 5 = 9 ; ym = 5 5 = − 1
2 2 5 2 5
9 1
Pm ; −
2 5 5
Hallamos la ecuación del diámetro, el mismo que pasa por el origen y por el punto
medio de la cuerda AB:
241
LA ELIPSE H.I.P.
1
− −0
5 2
m = =
9 9
2 5 −0
2
y= x finalmente :
9
Sol. 2 x + 9 y = 0
168.- La órbita de la tierra es una elipse, ocupando el sol uno de los focos; si la longitud del
semieje mayor es de 140 millones de km y la excentricidad es igual a 0,0168,
determinar las distancias máxima y mínima de la tierra al sol, durante su movimiento
de traslación.
c
e= = 0,0168
a
BS = a + c = 142´352.000 Km.
SA = a − c = 137´648.000 Km.
169.- Hallar las ecuaciones de los lados, del triángulo equilátero circunscrito a la elipse: 4x²
+ 36y² - 144 = 0. Si uno de los vértices esta sobre el eje X.
242
LA ELIPSE H.I.P.
x 2 y2
+ =1
36 4
Por tanto: a = 6
V1(6 ; 0) ; V2 (-6 ; 0)
El ángulo V2AB vale 30 grados por ser el triángulo equilátero y la elipse simétrica al eje
X, por lo cual la pendiente del lado AB es:
3
m AB = tg .150° = −
3
Planteamos la familia de rectas que tienen esta pendiente y pasan por el punto A:
y=−
3
(x − a )
3
4 x 2 − 6ax + 3a 2 − 36 = 0
( )
36a 2 − 16 3a 2 − 36 = 0 operando :
3a 2 = 144 de donde : a = ± 4 3
243
LA ELIPSE H.I.P.
3
mAC = Tg .30° =
3
Ec. Tg . AC. y =
3
3
(
x−4 3 )
Si los centros de las elipses ya no están en el origen, pero sus ejes son paralelos a los ejes
coordenados, debemos deducir las ecuaciones que sirven para representar a estas curvas, a
las que llamaremos ecuaciones ordinarias.
Para definir las ecuaciones de estas elipses, trazamos por el nuevo centro: O'(h ; k)
un sistema de ejes coordenados X'Y', paralelos a los ejes originales XY con lo que
conseguimos que las elipses tengan su centro en el origen de coordenadas y sus ejes
sean coincidentes con los nuevos ejes, las ecuaciones de las elipses respecto de estos
nuevos ejes serán por tanto las ecuaciones canónicas, que ya se determinaron en el
tema anterior:
244
LA ELIPSE H.I.P.
( x − h) 2 ( y − k ) 2
+ =1 [ 46 ] Ec. ordinaria ( H )
a2 b2
( x − h) 2 ( y − k ) 2
+ =1 [ 47 ] Ec. ordinaria (V )
b2 a2
Estas elipses son simétricas respecto de sus ejes, en ellas se cumple la relación fundamental:
EJERCICIOS DE APLICACION
170.- Hallar la ecuación de la elipse de centro en (-3 ; 1), un extremo del eje menor en (-1 ;
1) si la curva pasa por el punto (-2 ; -2)
( x + 3) 2 ( y − 1) 2
+ =1
b2 a2
Definimos el valor de b:
b = −1 + 3 = 2
1 9
+ 2 =1 de donde :
4 a
a 2 + 36 = 4a 2 por tan to :
3a 2 = 36 finalmente : a 2 = 12
( x + 3) 2 ( y − 1) 2
Sol. + =1
4 12
245
LA ELIPSE H.I.P.
171.- Hallar la ecuación de la elipse, de vértice izquierdo en el origen y eje coincidente con
el eje X, si la ecuación de la directriz más alejada del origen es: x = 12 y las
coordenadas del foco más cercano al origen son (2 ; 0).
( x − a ) 2 ( y − 0) 2
+ =1
a2 b2
a2
12 = +a operando : 12c = a 2 + ac ( 1)
c
c = a−2 (2)
Resolvemos el sistema entre (1) y (2):
12 (a − 2) = a 2 + a (a − 2) operando y ordenando :
2a 2 − 14a + 24 = 0 simplificando :
a 2 − 7 a + 12 = 0 factorando :
(a − 4) (a − 3) = 0 de donde :
c1 = 2 ; c2 = 1
246
LA ELIPSE H.I.P.
b12 = 16 − 4 = 12
( x − 4) 2 y 2
Sol. + =1
16 12
( x − 3) 2 y 2
Sol. + =1
9 8
172.- Hallar la ecuación de la elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados, si tiene su
centro en (0 ; ½), un foco en (0 ; 1) y pasa por el punto (2 ; 2).
4 9
2
+ 2 =1 operando :
b 4a
16a 2 + 9b 2 − 4a 2b 2 = 0 (1 )
Definimos el valor de c:
1 1
c = y f − yo ; c = 1− ; c=
2 2
247
LA ELIPSE H.I.P.
a 2 = b2 +
1
(2)
4
4b 2 + 1 4b 2 + 1 2
16 + 9b − 4
2
b = 0 operando :
4 4
4b 4 − 24b 2 − 4 = 0 simplificando :
b 4 − 6b 2 − 1 = 0 resolviendo :
154 641
b2 = con este valor : a 2 = por tan to :
25 100
25 x 2 100 ( y − 1 2) 2
Sol. + =1
154 641
173.- Uno de los vértices de una elipse está en (2 ; 5) y uno de los extremos de su eje menor
en (4 ; 2), si los ejes son paralelos a los ejes coordenados, hallar su ecuación.
a = d CV = yV − yC ; a =5−2 =3
b = d CA = x A − xC ; b =4−2=2
248
LA ELIPSE H.I.P.
Sol.
(x − 2)2 + ( y − 2)2 =1
4 9
174.- Hallar la ecuación de la elipse de focos en (-4 ; 2) y (2 ; 2), si la suma de los radios
focales de un punto de la elipse, es igual a cuatro veces la longitud del lado recto.
( x − h) 2 ( y − k ) 2
+ =1
a2 b2
−4+2
xC = = −1 por tanto : C (−1 ; 2)
2
definimos el valor de c:
2b 2
d1 + d 2 = 4.LR pero : d1 + d 2 = 2a y LR = por tan to :
a
8b 2
2a = de donde : a 2 = 4b 2 (1 )
a
a2 = b2 + c2 ∴ 4b 2 = b 2 + 9 operando :
( x + 1) 2 ( y − 2) 2
Sol. + =1
12 3
249
LA ELIPSE H.I.P.
175.- Hallar la ecuación de la elipse, de vértices: V1(1 ; -4) y V2(1 ; 6), si su foco pertenece
a la recta: 2y – x – 7 = 0.
2a = dV 1V 2 = yV 2 − yV 1 = 6 + 4 = 10 ∴ a=5
c = d Cf = y f − yC = 4 − 1 = 3
b 2 = 25 − 9 ; b 2 = 16
( x − 1) 2 ( y − 1) 2
Sol. + =1
16 25
De la ecuación de la circunferencia:
C (2 ; -1) ; r = 2
Definimos el valor de c:
c = d Cf 2 ; c = x f 2 − xC ; c = 4−2 = 2
250
LA ELIPSE H.I.P.
a 2 = b2 + 4 (2)
− 4 ± 16 + 64 − 4 ± 80
b2 = operando : b2 = finalmente : b 2 = 2 5 − 2
2 2
16 8
a2 = simplificando : a2 = racionalizando :
2 5−2 5 −1 |
8 5 +1 8 5 + 8 4(2 5 + 2)
a2 = operando : a2 = = = 2 5+2
5 −1 5 +1 5 −1 4
( x − 2) 2 ( y + 1) 2
Sol. + = 1
2 5+2 2 5−2
Las ecuaciones ordinarias, de las elipses de ejes paralelos a los ejes coordenados, las
podemos escribir:
Podemos observar que ambas ecuaciones contienen términos en x² e y², cuyos coeficientes
son de diferente valor pero del mismo signo, así también, ambas ecuaciones carecen de
términos en xy. Si hacemos relación a la ecuación general de segundo grado:
251
LA ELIPSE H.I.P.
Para que esta ecuación represente a una elipse, en una de las posiciones ordinarias, debe
cumplirse que: B = 0 y que: A y C sean de diferente valor pero de igual signo. La
ecuación toma la forma:
Para saber si toda ecuación escrita en la forma general, representa siempre una elipse en una
de las posiciones ordinarias, realizamos el siguiente análisis:
D D2 2 E E2 D2 E 2
A x 2 + x + +C y + y + = − F + +
A 4 A2 C 4C 2 4 A 4C
D 2C + E 2 A − 4 ACF
2 2
D E
A x+ +C y + =
2A 2C 4 AC
TEOREMA 11: Una ecuación de segundo grado, que carece de termino en xy, en la
cual, los coeficientes de los términos en x² e y² son diferentes, pero tienen el mismo
signo, representa: una elipse en una de las posiciones ordinarias, un punto o ningún
lugar geométrico.
PROBLEMAS DE APLICACION
Como los coeficientes de x² y y² son iguales en signo pero de diferente valor, la ecuación
parece ser de una elipse, para comprobarlo y hallar sus parámetros principales, la pasamos
a la forma ordinaria, para esto agrupamos y completamos cuadrados:
16( x 2 − 4 x + 4) + 36( y 2 − 6 y + 9) = 188 + 64 + 324 operando :
16( x − 2) 2 36( y − 3) 2
+ =1 finalmente :
576 576
( x − 2) 2 ( y − 3) 2
+ =1 Ec. elipse horizontal de V (2 ; 3)
36 16
252
LA ELIPSE H.I.P.
De la ecuación: a = 6 ; b=4
c = 36 − 16 = 20 por tan to :
f1 (2 + 20 ; 3) ; f 2 (2 − 20 ; 3)
V1 (2 + 6 ; 3) ; V2 (2 − 6 ; 3)
2b 2 2.16 16
L.R = = =
2 6 3
V (8 ; 3) ; V2 (− 4 ; 3)
A1 (2 ; 3 + 4 ) ; A2 (2 ; 3 − 4 ) finalmente :
A1 (2 ; 7 ) ; A2 (2 ; − 1)
178.- El vértice de una parábola, es el foco superior de la elipse:3x² + 4y² - 52x - 24y + 36 =
0. Si la parábola pasa por los extremos del eje menor de la elipse, hallar su ecuación.
( x − 2) 2 ( y − 3)
+ =1 Ec. Elipse vertical.
4 13
a = 13 ; b=2 ; c=3
253
LA ELIPSE H.I.P.
f (2 ; 3 + 3) ; f (2 ; 6) vértice parábola
A(0 ; 3) ; B(4 ; 3)
( x − 2) 2 = 4 p ( y − 6)
1
(0 − 2) 2 = 4 p (3 − 6) de donde : p=−
3
4
Sol. ( x − 2) 2 = − ( y − 6)
3
a) c = a.e
b) e² = (a² - b²) / a²
c) b² = a²(1 - e²)
9
( x 2 + 4 x + 4) + 4 y 2 − 3 y + = 51 + 4 + 9
4
2
3
( x + 2) + 4 y − = 64
2
finalmente :
2
( x + 2) 2 ( y − 3 2)
2
+ =1 Ec. elipse horizontal.
64 16
a=8 ; b=4 ∴ c = 48
c 48
e= =
a 8
254
LA ELIPSE H.I.P.
Parte a) c = a.e
48
48 = 8. simplificando : 48 = 48
8
48 64 − 16 48 48
= por tanto : =
64 64 64 64
Parte c) b² = a² (1 - e²)
48 16
16 = 64 1 − operando : 16 = 64 finalmente :
64 64
16 = 16 L.Q.Q.D.
180.- Dada la ecuación de la cónica: 5x² + 9y² - 30x + 18y + 9 = 0. Hallar las ecuaciones de
sus directrices.
5 ( x 2 − 6 x + 9) + 9 ( y 2 + 2 y + 1) = −9 + 45 + 9
5( x − 3) 2 + 9( y + 1) 2 = 45 simplificando :
( x − 3) 2 ( y + 1) 2
+ =1 Ec. elipse horizontal.
9 5
C (3 ; − 1) ; a 2 = 9 ; b2 = 5 ∴ c2 = 4
a2 9
d= =
c 2
9
Ec. directriz derecha : x = +3 de donde : 2 x = 15
2
9
Ec. directriz izquierda : x = 3− de donde : 2 x = −3
2
255
LA ELIPSE H.I.P.
Para hallar las ecuaciones de las elipses en esta posición, aplicaremos su definición
como lugares geométricos, obteniendo ecuaciones que están en la forma:
La presencia del término en xy nos indica que la curva no tiene los ejes, ni paralelos, ni
coincidentes con los ejes coordenados.
EJERCICIOS DE APLICACION
181.- Hallar la ecuación de la elipse, de focos en: (-3 ; 2) y (4 ; -2), si su eje mayor mide
11u.
La elipse está rotada, para hallar su ecuación, aplicamos su definición como lugar
geométrico, debiendo cumplirse que: Pf1 + Pf2 = 2a
Pf1 = ( x − 4) 2 + ( y + 2) 2
Pf 2 = ( x + 3) 2 + ( y − 2) 2
( x − 4) 2 + ( y + 2) 2 + ( x + 3) 2 + ( y − 2) 2 = 11
( x − 4) 2 + ( y + 2) 2 = 11 − ( x + 3) 2 + ( y − 2) 2
x 2 − 8 x + 16 + y 2 + 4 y + 4 = 121 − 22 ( x + 3) 2 + ( y − 2) 2 + x 2 + 6 x + 9 + y 2 − 4 y + 4
256
LA ELIPSE H.I.P.
182.- Hallar la ecuación de la elipse, si se conocen las coordenadas del foco (3 ; -1) las de
su vértice correspondiente (5 ; -2), y su excentricidad igual a 4/5.
d FV = a − c
a − c = (3 − 5) 2 + (−1 + 2) 2 = 5 (1 )
Por la definición de excentricidad:
e=
c 4
= ∴ c=
4a
(2)
a 5 5
4a
5 =a− de donde : a=5 5
5
con este valor : c=4 5
Hallamos la ecuación del eje, para esto, empezamos definiendo el valor de la pendiente:
−1+ 2 1
m= =−
3−5 2
1
y + 1 = ( x − 3) ∴ Ec. eje : x + 2 y − 1 = 0
2
de la cual : x =1− 2y ( 3)
Valiéndonos de la distancia entre los focos, podemos plantear:
8 5 = ( x − 3) 2 + ( y + 1) 2 (4)
Elevando los dos miembros al cuadrado y reemplazando ( 3 ) en ( 4 ):
320 = (1 − 2 y − 3) 2 + ( y + 1) 2 operando :
5 y 2 + 10 y − 315 = 0 factorando :
( y + 9)( y − 7) = 0 de donde :
( x + 13) 2 + ( y − 7) 2 + ( x − 3) 2 + ( y + 1) 2 = 10 5
x 2 + 26 x + 169 + y 2 − 14 y + 49 = x 2 − 6 x + 9 + y 2 + 2 y + 1 + 500 − 20 5 ( x − 3) 2 + ( y + 1) 2
8 x − 4 y − 73 = −5 5 ( x − 3) 2 + ( y + 1) 2 elevando al cuadrado :
0 + 9 + 7 16 2a 2a 2
d= = = = ( 1)
2 2 e c
Calculamos el valor de c:
2c = (2 + 2) 2 + (3 + 1) 2 = 32 = 4 2
258
LA ELIPSE H.I.P.
16 2a 2
= de donde : a = 4
2 2 2
c 2 2 2
e= = =
a 4 2
d Pf 2 2 ( x + 2) 2 + ( y + 1) 2
e= = por tan to : = operando :
d Pdi. 2 2 x+ y+7
2
1 ( x + 2) 2 + ( y + 1) 2
= elevando al cuadrado :
2 x+ y+7
x 2 + y 2 + 49 + 2 xy + 14 x + 14 y = 4 x 2 + 16 x + 16 + 4 y 2 + 8 y + 4 finalmente :
Sol. 3 x 2 − 2 xy + 3 y 2 + 2 x − 6 y − 29 = 0
d Pf
e=
d Pdi.
1 ( x − 3) 2 + ( y − 0) 2
= operando :
2 x + y −1
2
[2 2 ( x − 3) 2 + y 2 ] = [ x + y +1]
2
2
8 x 2 − 48 x + 72 + 8 y 2 − x 2 − y 2 − 2 xy − 1 + 2 x + 2 y = 0 finalmente :
Sol. 7 x 2 − 2 xy + 7 y 2 − 46 x + 2 y + 71 = 0
259
LA ELIPSE H.I.P.
x2 y2 x2 y2
+ =1 ; + =1
a 2 b2 b2 a 2
En ellas se cumple que x² e y², no son mas que las distancias elevadas al cuadrado, de un
punto de la curva P(x ; y) a los ejes de esta.
AP = x ; (AP)² = x²
BP = x ; (BP)² = x²
( AP )2 + ( BP )2 =1 ;
( AP )2 + ( BP )2 =1
a2 b2 b2 a2
( x − h) 2 ( y − k ) 2 ( x − h) 2 ( y − k ) 2
+ =1 ; + =1
a2 b2 b2 a2
260
LA ELIPSE H.I.P.
AP = (x - h) ; ( AP)² = (x - h)²
BP = (y - k) ; ( BP)² = (y - k)²
Por lo que las ecuaciones ordinarias las podríamos escribir en las formas:
( AP) 2 ( BP) 2 ( AP) 2 ( BP) 2
+ =1 ; + =1
a2 b2 b2 a2
En todos los casos, la distancia del punto al eje normal está sobre a2, y la distancia del
punto al eje focal sobre b2.
( AP) 2 ( BP) 2
+ =1
a2 b2
Esta manera de analizar la ecuación de la elipse, es muy útil cuando los ejes de la elipse
no son ni paralelos, ni coincidentes, con los ejes coordenados.
EJERCICIOS DE APLICACION
185.- Hallar la ecuación de la elipse, si sus ejes mayor y menor miden (5)½ y 2 y están
contenidos en las rectas de ecuaciones: x = -y ; x = y, respectivamente.
( AP) 2 ( BP) 2
+ =1
a2 b2
( x − y)2 ( x + y)2
2 + 2 =1 operando :
54 1
261
LA ELIPSE H.I.P.
2( x 2 − 2 xy + y 2 ) x 2 + 2 xy + y 2
+ =1 quitando denominadores :
5 2
4 x 2 − 8 xy + 4 y 2 + 5 x 2 + 10 xy + 5 y 2 − 10 = 0 finalmente :
Sol. 9 x 2 + 2 xy + 9 y 2 − 10 = 0
186.- Hallar la ecuación de la elipse de focos en (-2 ; 1) y (2 ; 3), si su eje mayor tiene 8
unidades de longitud.
1
y −1 = ( x + 2)
2
x − 2y + 4 = 0
−2+2 1+ 3
xm = =0 ; yM = =2 ∴ C (0 ; 2)
2 2
y − 2 = −2 ( x − 0) de donde : 2x + y − 2 = 0
c = (0 + 2) 2 + (2 − 1) 2 = 5
b 2 = 16 − 5 = 11
262
LA ELIPSE H.I.P.
2x + y + 2 4 x 2 + y 2 + 4 xy − 8 x − 4 y + 4
2
( AP) =
2
=
5 5
x − 2y + 4 x 2 + 4 y 2 − 4 xy + 8 x − 16 y + 16
2
( BP) =
2
= reemplazando :
5 5
4 x 2 + y 2 + 4 xy − 8 x − 4 y + 4 x 2 + 4 y 2 − 4 xy + 8 x − 16 y + 16
+ =1 operando :
5 16 5 11
Sol. 12 x 2 + 15 y 2 − 4 xy + 8 x − 60 y − 116 = 0
TEMAS DE INTERES
a) Las leyes de Kepler del movimiento planetario, afirman que los planetas siguen
trayectorias elípticas, con el sol en uno de sus focos.
b) La elipse tiene una propiedad reflexiva no totalmente diferente de la parábola; una onda
de luz, sonido que se emane de un foco, sería reflejada por una superficie elíptica para
llegar al otro foco. Las llamadas galerías de susurros utilizan este principio; un susurro
en un foco, es perfectamente audible en el otro foco.
RESUMEN DE FORMULAS
FORMAS CANONICAS
x2 y2
+ =1 ; C (0 ; 0) Elipse horizontal .
a 2 b2
x2 y2
+ =1 ; C (0 ; 0) Elipse vertical.
b2 a 2
263
LA ELIPSE H.I.P.
FORMA ORDINARIA
( x − h) 2 ( y − k ) 2
+ =1 ; C (h ; k ) Elipse horizontal.
a2 b2
( x − h) 2 ( y − k ) 2
+ =1 ; C (h ; k ) Elipse vertical.
b2 a2
FORMA GENERAL
a 2 = b2 + c2 Re lación fundamental.
2b 2 c
Lado recto = ; e= siempre < 1
a a
EJERCICIOS ORALES
264
LA ELIPSE H.I.P.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- Hallar la ecuación de la elipse de vértice en (4 ; 0), si uno de los extremos del eje
menor está en (0 ; -2) y centro en (0 ; 0). Sol. x2 + 4y2 – 16 = 0.
2.- Hallar la ecuación de la elipse de centro en (0 ; 0), que tiene uno de los extremos del
eje menor en (-3 ; 0) y uno de los focos en (0 ; 2). Sol. 13x2 + 9y2 – 117 = 0.
3.- Hallar la ecuación de la elipse de lado recto 4u. Si tiene uno de sus vértices en (-5 ; 0)
y su centro en el origen Sol. 2x2 + 5y2 – 50 = 0.
4.- Hallar la ecuación de la elipse de centro en el origen , si uno de los extremos del eje
menor está en (8 ; 0) y el lado recto mide 4u. Sol. 16x2 + y2 – 1024 = 0.
5.- Hallar la ecuación de la elipse de centro en (0 ; 0), si pasa por el punto P (1 ; 2) y tiene
uno de sus vértices en (0 ; 4). Sol. 12x2 + y2 – 16 = 0.
6.- Hallar la ecuación de la elipse de focos en el eje de las ordenadas y simétricos al origen,
si su excentricidad vale 16/20, y el lado recto 18/5. Sol. 25x2 + 9y2 – 225 = 0.
8.- Hallar la ecuación de la elipse, si su eje mayor mide 20, y la distancia entre las
directrices vale 40, se sabe además que los focos están sobre el eje de las ordenadas
y son simétricos al origen. Sol. 4x2 + 3y2 – 300 = 0.
9.- Dada la ecuación de la elipse: 4x2 + 3y2 – 300 = 0, hallar la distancia del foco inferior,
a la directriz unilateral correspondiente. Sol. 15.
10.- El punto Q(-2 ; -2) es un extremo del eje menor de una elipse, de focos en la recta:
x = 4, si la excentricidad vale ½, hallar la ecuación de la elipse.
Sol. (x - 4)2 /36 + (y + 2)2 /48 = 1.
11.- El lado recto de una parábola, es el eje menor de la elipse: 41x2 + 16y2 – 656 = 0. Hallar
su ecuación. Sol. x2 = 8y + 16 ; x2 = - 8y + 16 = 0.
12.- Demostrar que: si P (0 ; -1) es el punto medio de una cuerda de la elipse: x2 + 4y2 – 16
= 0, la ecuación de la cuerda es: y + 1= 0.
13.- Hallar la ecuación de la elipse de directriz: x = -1, foco en (4 ; -3) y excentricidad 2/3.
Sol. 20(x-8)2 + 36(y + 3)2 -720 = 0.
14.- Los radios vectores de una elipse horizontal de centro en (0 ; 0), trazados desde un
punto de una elipse, miden 10 y 15 unidades, si son perpendiculares entre si, hallar
la ecuación de la curva. Sol. x2/156,25 + y2/75 = 1.
265
LA ELIPSE H.I.P.
15.- Un punto se mueve de tal forma que: su distancia al punto Q (0 ; 5) es los 5/6 de su
distancia no dirigida a la recta: 5y - 36 = 0. Encontrar la ecuación del lugar geométrico
que describe el punto. Sol. 36x2 + 11y2 - 396 = 0.
19.- Hallar la ecuación de la elipse de vértices en : (7 ; -2) y (-5 ; -2), si pasa por el punto
Q (3 ; 2). Sol. (x - 1)2 + 2(y + 2)2 = 36.
23.- Una elipse de centro en el origen y eje mayor sobre la recta: 3x – 4y = 0, pasa por los
puntos: (4 ; - 2) y (5 ; 5). Hallar su ecuación. Sol. 43x2 – 48xy + 57y2 = 1300.
24.- Hallar la ecuación de la elipse, si el eje mayor de longitud 4, está sobre la recta: x –
2y = 0, y su eje menor de longitud 2, está sobre la recta: 2x + y = 0.
Sol. 8x2 – 12xy + 17y2 – 20 = 0.
26.- Hallar la ecuación de la elipse de focos en (3 ; 6) y (-5 ; -2), si se conoce que su eje
mayor mide 10(2)1/2. Sol. 17x2 – 16xy + 17y2 + 66x - 84y – 333 = 0.
266
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
5.5 LA HIPÉRBOLA.
5.5.1 DEFINICIÓN.
Fig. 194
La hipérbola está formada por dos ramas. Para los puntos que están en la rama derecha
tenemos que: PF1 – PF2 igual a la constante dada, mientras que para los puntos de la otra
rama PF2 – PF1 es igual a dicha constante. Restaremos siempre la distancia menor de la
mayor.
5-5-2.- ELEMENTOS.
Eje: Es la recta que pasa por los focos de la hipérbola, se le conoce también como eje
focal. Los puntos de corte del eje y la curva son los vértices de la hipérbola.
Centro: Es el punto medio del segmento que une los focos de la hipérbola.
Eje normal: Es la recta perpendicular al eje focal en su punto medio, un segmento A1A2
de él, constituye el eje conjugado.
Eje transverso: Es la parte del eje, comprendida entre los vértices. V1V2.
267
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
Fig. 195
Cuerda: Es la recta que une dos puntos cualesquiera de la hipérbola, como: CC’ ; DD’.
Cuerda focal: Es la cuerda que pasa por uno de los focos, como: HH’.
Radios focales o radios vectores: Son las rectas que unen un punto cualesquiera de la
hipérbola con los focos, como: IF1 y IF2.
Al igual que la parábola y la elipse, la hipérbola tiene algunas ecuaciones que sirven para
representarla, las que dependen de la posición de la curva respecto de los ejes coordenados
o de su presentación. Empezaremos con las ecuaciones en las formas canónicas, que
corresponden a hipérbolas de centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes
coordenados.
Sea “c” la distancia que separa a cada foco del centro, de modo que la distancia entre los
focos es “2c” y sea “2a” la constante a la que debe ser igual la diferencia de las distancias
del punto a los focos.
268
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
Fig. 196
( x + c ) 2 + y 2 − ( x − c ) 2 + y 2 = 2a
[ ( x + c) 2
+ y2 ] 2
= 2a +
(x − c )2 + y 2
2
x 2 + 2 xc + c 2 + y 2 = 4a 2 + 4a ( x − c) 2 + y 2 + x 2 − 2 xc + c 2 + y 2
xc − a 2 = a ( x − c) 2 + y 2 elevamos al cuadrado :
x 2 c 2 − 2a 2 xc + a 4 = a 2 x 2 − 2a 2 xc + a 2 c 2 + a 2 y 2
Ordenando y agrupando:
x 2 (c 2 − a 2 ) − a 2 y 2 = a 2 (c 2 − a 2 )
269
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
b2 = c2 − a2 reemplazando :
x 2b 2 − a 2 y 2 = a 2b 2 dividiendo para a 2 b 2 :
x2 y2
− =1 [49] 1ra Ec. Canónica.
a2 b2
Hay que tomar en cuenta que en la hipérbola no hay una relación fija entre los valores de
“a” y “b”, pudiendo ser: a < b , a > b o a = b, en el último caso la hipérbola se
denomina equilátera.
Los puntos de corte de la curva con el eje X, son: (-a ; 0) y (a ; 0) que son las coordenadas
de sus vértices, por tanto, la longitud del eje transverso es igual a 2a.
Se cumple además que: c = distancia del punto al foco ; a = distancia del centro al
vértice y b = distancia del centro a uno de los extremos del eje conjugado.
b 2
y=± x − a2
a
x2 − a2 ≥ 0
Como la expresión comparada con cero, es una suma de cuadrados perfectos, cualquier
valor que tome la variable “y” hará que la inecuación se cumpla, por tanto el campo de
variación de “y” es: - ∞ < x < ∞ Lo que implica que la curva, es de longitud infinita.
Para definir la longitud del lado recto sustituimos x = c en la ecuación [49] y usando la
relación: c2 = a2 + b2 hallamos que los extremos de uno de los lados rectos son:
b2 b2
c ; ; c ; −
a a
y2 x 2
− =1 [50] 2da Ec. Canónica.
a 2 b2
Fig. 197
A diferencia de las otras cónicas, una hipérbola tiene asociadas dos rectas que guardan
una relación importante con ella. Estas rectas son las diagonales prolongadas del
rectángulo, cuyos lados son paralelos e iguales a los ejes conjugado y transverso, este
rectángulo recibe el nombre de rectángulo fundamental de la hipérbola.
271
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
Fig. 198
y2 x 2 y2 x 2
− =1 ; − =0 factorando :
a 2 b2 a 2 b2
y xy x
+ − =0 ; by − ax = 0 ; by + ax = 0 Ec. asíntotas.
a ba b
x 2 y2 x 2 y2
− =1 ; − =0 factorando :
a 2 b2 a 2 b2
x y x y
+ − =0 ; bx + ay = 0 ; bx − ay = 0 Ec. asíntotas.
a ba b
Puesto que resulta sencillo graficar las ecuaciones de las asíntotas, estas deben emplearse
siempre para trazar los gráficos de las hipérbolas.
x2 − y2 = a2 Hip. Horizontal.
y2 − x2 = a2 Hip. Vertical.
272
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
DIRECTRICES DE LA HIPERBOLA
Las ecuaciones de las directrices de la hipérbola, son las mismas ecuaciones que ya
dedujimos para las directrices de la elipse, razón por la cual no hacemos su demostración.
Si queremos calcular los radios focales de un punto de la rama izquierda, estos serán:
r1 = - ex - a ; r2 = ex - a
PROBLEMAS DE APLICACION
a = xV − x C ; a = 6−0 ; a = 6
273
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
c 5 5a 5.6
e= = de donde : c = = = 10
a 3 3 3
b2 = c2 − a 2 ∴ b 2 = 100 − 36 = 64
x2 y2
Sol. − =1
36 64
Para obtener las ecuaciones de las asíntotas, igualamos a cero el segundo miembro de la
ecuación y factoramos:
x yx y
+ − =0 de donde :
6 86 8
Sol. 8x − 6 y = 0 ; 8x + 6 y = 0
De la relación fundamental:
b2 = c2 − a 2
b 2 = 4a 2 − a 2 = 3a 2
x2 y2 25 16
− =1 ∴ − =1 operando :
a2 b2 a 2 3a 2
59
a2 = reemplazando en : b 2 = 3a 2
3
Obtenemos que: b2 = 59 finalmente:
274
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
3x 2 y 2
Sol. − =1
59 59
189.- Una hipérbola, tiene por vértices los focos de la elipse, cuyos semiejes miden 5 y
3 respectivamente, y por focos los vértices de la elipse. Si los ejes de simetría de
las dos curvas coinciden con los ejes coordenados, hallar la ecuación de la
hipérbola.
a = 5 ∴ V (5 ; 0) ; V ' (−5 ; 0)
c 2 = 25 − 9 = 16 ∴ c=4
F (4 ; 0) ; F ' (−4 ; 0)
F(5 ; 0) ; F’(-5 ; 0) ; c = 5
Determinamos el valor de b:
b 2 = c 2 − a 2 ∴ b 2 = 25 − 16 ; b 2 = 9
x2 y2
Sol. − =1
16 9
190.- Hallar los puntos de la hipérbola: 9x2 – 16y2 = 576, cuyos radios vectores respecto
del foco derecho, son iguales a 9/2.
x2 y2
− =1
64 36
a =8 ; b=6
275
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
c2 = a2 + b2 ; c 2 = 64 + 36 ; c 2 = 100
La distancia de un punto P(x1 ; y1) de la hipérbola, al foco derecho, debe ser 9/2, por
tanto:
9
= (x1 − 10)2 + y12 elevamos al cuadrado :
2
81
= x12 − 20 x1 + 100 + y12 ordenando :
4
x1 = 10 ; x2 =
14
(no solución )
5
9 x12 − 576 9
y12 = de donde : y1 = ±
16 2
276
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
191.- Las coordenadas de los focos de una hipérbola son: (10 ; 0) y (-10 ; 0), si la
ecuación de una de sus asíntotas es: 4x + 3y = 0, hallar la ecuación de la curva.
x2 y2
− =1 sus asíntotas son :
a2 b2
bx − ay = 0 ; bx + ay = 0
La asíntota dada es de la forma:
4 b
bx + ay = 0 se cumplirá que : = lo que es igual que : 4a = 3b
3 a
a 2 + b 2 = 100 ( 2)
Resolviendo el sistema entre (1) y (2):
9b 2
100 = + b2 resolviendo : b 2 = 64
16
9 . 64
a2 = = 36 con estos valores :
16
x2 y2
Sol. − =1
36 64
192.- Dada la ecuación de la hipérbola: 25x2 – 144y2 = 3600, hallar la distancia que hay
entre el foco y la asíntota derechos.
x2 y
− =1 ∴ a = 12 ; b=5
144 25
277
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
x y x y
− + =0 de donde :
12 5 12 5
5 x − 12 y = 0 ; 5 x + 12 y = 0
13 (5) − 0
d= =5 de donde : Sol. d =5
13
193.- Hallar la ecuación de la hipérbola de focos en: (8 ; 0) y (-8 ; 0), si las ecuaciones
de sus asíntotas son: 3x – 2y = 0 ; 3x + 2y = 0.
Por las coordenadas de los focos, sabemos que se trata de una hipérbola horizontal de
centro en el origen, siendo el valor de c = 8. La ecuación y las asíntotas de la curva son
de la forma:
2
x2 y
2
− 2 =0 ; bx − ay = 0 ; bx + ay = 0
a b
b 3 3a
= ∴ b = (1)
a 2 2
64 = a 2 + b 2 (2)
9a 2 256
64 = a +
2
de donde : a2 = con este valor :
4 13
9a 2 576 13 x 2 13 y 2
b =
2
; b = 2
finalmente : Sol. − =1
4 13 256 576
278
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
3b + 4a = 0 (2)
3b + 4 400 − b 2 = 0 resolviendo :
y2 x2
Sol. − =1
144 256
195.- La excentricidad de una hipérbola es 3/2, las ecuaciones de sus directrices son: x
= ± 4/3, hallar la ecuación de la curva, si el centro coincide con el origen de
coordenadas.
La ecuación de la hipérbola es de la
forma:
x2 y2
− =1
a2 b2
c 3
= de donde : c=
3a
(1 )
a 2 2
279
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
a2 a2 4
x= por tan to : = de donde :
c c 3
3a 2
c= ( 2)
4
3a 3a 2
= de donde :
2 4
3. 4
c= =3 por la relación fundamental :
4
b2 = 9 − 4 = 5 finalmente :
x2 y2
Sol. − =1 Hip. horizontal.
4 5
Cuando una hipérbola tiene el eje transverso de igual longitud que el eje conjugado,
decimos que la hipérbola es equilátera o rectangular.
Como : a = b la ecuación :
b 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2b 2 toma la forma :
x− y =0 ; x+ y =0
Una forma muy útil y simple de la hipérbola equilátera es: xy = k, siendo k una constante
diferente de cero. Esta curva tiene por asíntotas a los ejes coordenados. Si k es positiva
su gráfica es similar a la de la figura.
280
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
196.- Hallar la ecuación de la hipérbola equilátera, que pasa por el punto P(-2 ; -3) y tiene
por asíntotas, a los ejes coordenados.
k =6 por tan to :
Sol. xy = 6
HIPERBOLAS CONJUGADAS.
Si se tienen dos hipérbolas tales que: el eje transverso de cada una, es igual al eje
conjugado de la otra, decimos que estas hipérbolas son conjugadas. Cada hipérbola es la
hipérbola conjugada de la otra.
x2 y2
− =1 entonces :
a 2 b2
y2 x2
− =1 es la conjugada.
b2 a 2
Para obtener la ecuación de la hipérbola conjugada, basta cambiar el signo, de uno de los
miembros de la ecuación original, por ejemplo: si la ecuación de la hipérbola es:
Las hipérbolas conjugadas tienen un centro común, sus asíntotas son también comunes y
sus focos equidistan del centro. Si construimos el rectángulo fundamental, es fácil
realizar un bosquejo de un par de hipérbolas conjugadas, ya que las diagonales del
rectángulo, son las asíntotas de las hipérbolas conjugadas.
281
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
16 x 2 − 9 y 2 = 144 entonces :
9 y 2 16 x 2
− =1 por tanto :
144 144
y2 x2
− =1 Hip. vertical.
16 9
De esta ecuación:
5
c 2 = 16 + 9 = 25 ∴ c = 5 y f 3 (0 ; 5) ; f 4 (0 ; − 5) ; e=
4
Si los centros de las hipérbolas ya no están en el origen, pero sus ejes son paralelos a los
ejes coordenados, deberemos deducir las ecuaciones que sirven para representar a estas
curvas, a las que se conoce como ecuaciones ordinarias.
282
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
Trazamos por el centro (h ; k), un nuevo sistema de ejes X’ Y’, paralelos a los ejes
originales XY, las hipérbolas tienen ya su centro en el origen y sus ejes son coincidentes
con los nuevos ejes, las ecuaciones de las curvas respecto de los nuevos ejes X’Y’ , son
por tanto las ecuaciones canónicas, que se determinaron en el tema anterior.
x' 2 y' 2
− 2 =1 Hipérbola horizontal.
a2 b
y ' 2 x' 2
− 2 =1 Hipérbola vertical
a2 b
(x − h)2 ( y − k)2
− =1 [51] Ec. ordinaria.
a2 b2
( y − k)2 (x − h)2
− =1 [52] Ec. ordinaria.
a2 b2
Las hipérbolas representadas por estas ecuaciones ordinarias, son simétricas con respecto
de sus ejes y del nuevo origen, siguen cumpliendo con la relación fundamental: c2 = a2 +
b2 ; su excentricidad e = c/a siempre es mayor que uno; la longitud del lado recto
sigue siendo L.R = 2b2/a.
EJERCICIOS DE APLICACION
198.- Hallar la ecuación de la hipérbola, de focos en: (-6 ; 2) y (0 ; 2), si uno de los
extremos de su eje conjugado es de coordenadas: (-3 ; 3).
−6+0
xC = = −3 por tan to :
2
C (−3 ; 2)
283
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
b = 3−2 =1
c = 0 − (−3) = 3
a 2 = c2 − b2 = 9 − 1 = 8
Finalmente:
( x + 3) 2 ( y − 2) 2
Sol. − =1
8 1
2x − y − 6 = 2x + y − 2
− 2y − 4 = 0 de donde
y = −2 con este valor :
x=2 ∴ C (2 ; − 2)
(2 x − y − 6) (2 x + y − 2) = a 2 b 2 operando :
4 x 2 − 16 x − y 2 − 4 y + 12 = a 2 b 2 agrupando :
( ) ( )
4 x 2 − 4 x + 4 − y 2 + 4 y + 4 + 12 − 16 + 4 = a 2 b 2
4( x − 2 ) − ( y + 2) = a 2 b 2
2 2
Ec. Hipérbola
284
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
4(− 11 − 2 ) − (8 + 2 ) = a 2b 2
2 2
realizando las operaciones :
Sol.
(x − 2)2 − ( y + 2)2 =1
144 576
(x − 2)2 − ( y + 3)2 =1
a2 b2
b 2 ( x − 2 ) − a 2 ( y + 3) = a 2 b 2
2 2
b 2 (3 − 2) − a 2 (1 + 3) = a 2 b 2
2 2
b 2 − 16a 2 = a 2b 2 (1)
b 2 (6 − 2 ) − a 2 (8 + 3) = a 2b 2
2 2
285
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
Estos valores no pueden ser solución del problema, por tanto no existe la hipérbola
horizontal. (una cantidad elevada al cuadrado no puede ser negativa).
(y + 3)2 − (x − 2)2 =1
a2 b2
b 2 (y + 3) − a 2 (x − 2) = a 2 b 2
2 2
b 2 (1 + 3) − a 2 (3 − 2) = a 2 b 2
2 2
16b 2 − a 2 = a 2 b 2 (1)
b 2 (8 + 3) − a 2 (6 − 2) = a 2 b 2
2 2
b22 = 0 ; b22 = 9 / 7
a 2 = (9 / 7 )7 = 9
( y + 3) 7( x − 2 )
2 2
Sol. − =1
9 9
201.- Hallar la ecuación de la hipérbola, que tiene uno de sus vértices en el punto (3 ;-
1), si el foco más próximo es de coordenadas (5 ; -1) y su excentricidad vale 3/2.
286
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
dVF = c − a = xF − xV = 5 − 3 = 2
De la excentricidad:
e=
c 3
= ∴ c=
3a
(2)
a 2 2
3a
c−a = 2 reemplazando : − a = 2 de donde : a = 4 con este valor :
2
3.4
c= =6 ; definimos b 2 : b 2 = 36 − 16 ; b 2 = 20
2
Calculamos el valor de h:
d CF = 6 ; d Cf = x F − x C ; 6 = 5 − xC ∴ x C = −1 C (−1 ; − 1)
Sol.
(x + 1) 2 − ( y + 1) 2 = 1
16 20
( y − 2)2 − ( x + 2)2 =1
a2 b2
Calculamos el valor de b:
d CA = b ; b = x A − x C ; b = 0+2 = 2
287
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
36
−1 = 1 de donde : a 2 = 18
a2
( y − 2) 2 ( x + 2) 2
Sol : − =1
18 4
203.- Hallar la ecuación de la hipérbola de centro en (2 ; 3), si uno de sus focos está en:
(6 ; 3) y la directriz correspondiente es: x = 3.
c = d Cf ; c = x f − xC ; c = 6−2 = 4
a2
= 3−2 de donde : a2 = 4
c
( x − 2) 2 ( y − 3) 2
b 2 = 16 − 4 = 12 con estos valores : Sol. − =1
4 12
b 2 (x − h ) − a 2 ( y − k ) = a 2 b 2
2 2
Hipérbola de eje horizontal.
b 2 ( y − k ) − a 2 (x − h ) = a 2 b 2
2 2
Hipérbola de eje vertical.
288
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
b 2 x 2 − a 2 y 2 − 2b 2 hx + 2a 2 ky + b 2 h 2 − a 2 k 2 − a 2 b 2 = 0
− a 2 x 2 + b 2 y 2 + 2a 2 hx − 2b 2 ky + b 2 k 2 − a 2 h 2 − a 2 b 2 = 0
Para que ésta ecuación represente una hipérbola, en una de las posiciones ordinarias, debe
cumplirse que: B = 0 y que, A y C sean de diferente signo, tomando la ecuación la
forma:
Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 [ 53 ]
Para saber si las ecuaciones escritas en esta forma, representan siempre hipérbolas
ordinarias, realizamos el siguiente análisis:
Dx D 2 2 Ey E2 D2 E 2
A x 2 + + − C ' y − + = − F + −
A 4 A2
C ' 4C '2 4 A 4C '
2
E
2
D D2 E 2
A x + − C ' y − = − −F
2A 2C ' 4 A 4C '
PROBLEMAS DE APLICACION
204.- Analizar y determinar los principales parámetros del lugar geométrico representado
por la ecuación : 4x2 – 9y2 + 16x – 54y – 101 = 0
289
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
(
Agrupando : 4 x 2 + 4 x − 9 y 2 + 6 y = 101 ) ( )
( ) (
4 x 2 + 4 x + 4 − 9 y 2 + 6 y + 9 = 101 + 16 − 81 )
4( x + 2 ) − 9( y + 3) = 36
2 2
finalmente :
Definimos el valor de c:
c 2 = 9 + 4 = 13
V ' (− 5 ; − 3) ; V (1 ; 3)
Para hallar las coordenadas de los focos, a la abscisa del centro le sumamos y restamos el
valor de “c”:
(
F ' − 2 − 13 ; − 3 ) ; (
F − 2 + 13 ; − 3 )
Para hallar las coordenadas de los extremos del eje conjugado, sumamos y restamos a la
coordenada del centro, el valor de “b”:
Calculamos la excentricidad:
c 13
e= ; e= ; e > 1
a 3
2b 2 2.4 8
LR = ; LR = ; LR =
a 9 9
290
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
Para definir las ecuaciones de las asíntotas, igualamos a cero el término independiente de
la ecuación y factoramos.
4( x + 2 ) − 9( y + 3) = 0
2 2
factorando :
2x − 3y − 5 = 0 ; 2 x + 3 y + 13 = 0 Ec. Asíntotas.
Para definir las ecuaciones de las directrices, las hallamos primero referidas al nuevo
sistema de ejes:
a2 a2 3 3
x´ = ; x´ = − por tanto : x ´ = ; x´ = −
c c 13 13
2 2
x = − 2 ; x = − − 2
13 13
205.- Dada la ecuación: 16x2 – 9y2 = 14y hallar el valor de los semiejes, las coordenadas
de los focos, la excentricidad, las ecuaciones de las asíntotas y directrices y
graficar el lugar geométrico.
2
14 49 49 7 49
16 x − 9 y 2 + y + = −
2
factorando : 16 x − 9 y + = −
2
9 81 9 9 9
2 2
7 7
9 y + y+
9 9
2
16 x x2
− =1 finalmente : − =1 por tan to :
49 49 49 49
− −
9 9 81 144
7 49 49
C 0 ; − ; a2 = ; b2 =
9 82 144
49 49 11025 35
c2 = + ; c2 = operando : c=
82 144 11664 36
291
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
49
82 126 126
y ´= → y ´= ; y ´= −
35 205 205
36
126 7 301
= y −− de donde : y=− ; y = − 0,163
205 9 1845
126 7 2569
− = y −− de donde : y=− ; y = − 1,39
205 9 1845
Calculamos la excentricidad:
35
c 36 ; e = 5
e = ; e= > 1
a 7 4
9
49
2
144
2
2b 7
LR = ; LR = ; LR =
a 7 8
9
Coordenadas de los focos: para determinar las ordenadas de los focos, basta sumar y
restar el valor de “c” a la ordenada del centro.
7 35 7 7
YF1 = − + ; YF1 = ∴ F1 0 ;
9 36 36 36
7 35 21 21
YF2 = − − ; YF2 = − ∴ F2 0 ; −
9 36 12 12
292
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
2
7
y+
9 x2
− = 0 operando :
49 49
81 144
2
7
81 y + − 144 x 2 = 0 factorando :
9
7
9 y + − 12 x = 0 de donde : 12 x − 9 y − 7 = 0
9
7
9 y + + 12 x = 0 de donde : 12 x + 9 y + 7 = 0
9
C 2 D E F C D E F
x2 + y + x+ y+ =0 ; =P ; =Q ; =R ; =S
A A A A A A A A
Re emplazando : x 2 + Py 2 + Qx + Ry + S = 0
( 1) y (2 ) ( 1) y (3 )
P+R+S =0 P+ R+S =0
− 25P + 5R − S = 0 − 4 P − 2Q + 2 R − S = 4
−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−
− 24 P + 6 R =0 (5 ) − P − 2Q + 3R =4 ( 6)
293
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
( 1) y (4) (6 ) y (7 )
P +R+S = 0 3P + R + S = −4
− 4 P − 6Q + 2 R − S = 36 − P − 2Q + R = 12
−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−
− 3P − 6Q + 3R = 36 ( 7) 2P − 2R =8 (8 )
Finalmente: (8) y (5):
− 8P + 2 R = 0
2P − 2R = 8
−−−−−−−−−
4
− 6P =8 por tan to : P = −
3
4 16
R = 4P ∴ R = 4 − ; R=−
3 3
4 16 20
S =− P−R ; S = − − − − ; S=
3 3 3
Reemplazando en (3):
− 4 − 4P + 2R − S −4−4 −4 ( 3
) + 2 ( − 16 3 ) − 20 3
Q= ; Q= ; Q =−8
2 2
4 2 16 20
x2 − y − 8x − y + =0 operando :
3 3 3
Sol. 3 x 2 − 4 y 2 − 24 x − 16 y + 20 = 0.
Si la cónica no tiene los ejes, ni paralelos, ni coincidentes con los ejes coordenados,
ninguna de las ecuaciones estudiadas nos servirá para representarla, y generalmente
diremos que la curva esta rotada.
Para hallar las ecuaciones de las hipérbolas en esta posición, aplicamos su definición
como lugares geométricos, obteniendo ecuaciones que están en la forma:
294
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
EJERCICIOS DE APLICACION
210.- Hallar la ecuación de la hipérbola de focos en: (2 ; 3) y (-4 ; 1), si el eje transverso
es igual a 2.
PF − PF' = 2a
PF = ( x − 2) 2 + ( y − 3) 2
PF' = ( x + 4) 2 + ( y − 1) 2
( x − 2) 2 + ( y − 3) 2 − ( x + 4) 2 + ( y − 1) 2 = 2
[ ( x − 2) 2 + ( y − 3) 2 ]2 = [ 2+ ( x + 4) 2 + ( y − 1) 2 ]2
Ordenamos y elevamos nuevamente al cuadrado los dos miembros:
[ 3x + y + 2 ] 2 = [ ( x + 4) 2 + ( y − 1) 2 ]2 desarrollando :
9 x 2 + y 2 + 12 x + 4 y + 4 + 6 xy = x 2 + 8x + y 2 − 2 y + 17
Sol. 8 x 2 + 6 xy + 4 x + 6 y − 13 = 0
211.- Hallar la ecuación de la hipérbola, de centro en: (3 ; 1), si uno de sus focos está
en (7 ; 3) y uno de los extremos del eje conjugado es el punto (2 ; 3).
295
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
1− 3 1
m= ; m=
3−7 2
x1 − 2 y1 − 1 = 0 de donde : x1 = 2 y1 + 1 (1)
d CF = c ; c= (3 − 7) 2 + (1 − 3) 2 ; c= 20
d CF = d CF ' d CF = ( x1 − 3) 2 + ( y1 − 1) 2 ; d CF = 20
4 y12 + 4 y1 + 1 + y12 − 12 y1 − 6 − 2 y1 − 10 = 0
5 y12 − 10 y1 − 15 = 0 resolviendo :
Hallamos el valor de “b”, que es la distancia del centro al extremo del eje conjugado:
b= (2 − 3) 2 + (3 − 1) 2 ; b= 5
a2 = c2 −b2 ; a 2 = 20 − 5 ; a2 = 5
2 15 = ( x − 7) 2 + ( y − 3) 2 − ( x + 1) 2 + ( y + 1) 2
[ ( x − 7) 2 + ( y − 3) 2 ] = [2
2
15 + ( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 ] 2
− 16 x − 8 y − 4 = 4 15 ( x + 1) 2 + ( y + 1) 2
Sol. x 2 − 11y 2 + 16 xy − 22 x − 26 y − 29 = 0.
212.- Hallar las coordenadas de los focos de la hipérbola, si los extremos del eje
conjugado, son los puntos de corte de la recta: x + y + 1 = 0, con los ejes
coordenados, se sabe además, que la recta que pasa por el punto P(4 ; 0) y por
uno de los focos, contiene al lado recto.
−1+ 0 1 0 −1 1
xC = =− ; yC = =−
2 2 2 2
297
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
mL = − 1 ∴ m eje = 1
1 1
y+ =1 x + operando : Ec. eje : x − y = 0
2 2
La recta que pasa por P(4 ; 0) contiene al lado recto, por tanto, es perpendicular al eje,
hallamos su ecuación:
y − 0 = 1 ( x − 1) ∴ x+y=4
x+ y = 4
x− y =0
−−−−−−−
2y = 4 de donde : y = 2
2 2
1 1 5 2
c= 2 + + 2 + =
2 2 2
Valiéndonos de que el centro es punto medio entre los focos, calculamos las coordenadas
de F’, que son de igual valor y signo, por ser el eje, la bisectriz del primer cuadrante.
1 2 + xF '
− = de donde :
2 2
xF ' = yF ' = −3
298
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
(OB) 2 ( BP) 2
− =1
a2 b2
x2 y2 y2 x2
− =1 ; − =1
a2 b2 a2 b2
En ellas se cumple que x2 e y2 no son más que las distancias de un punto cualquiera de
la curva P(x ; y) a los ejes de esta, elevadas al cuadrado.
AP = OB = x ; ( AP) 2 = x 2
BP = Y ; ( BP) 2 = y 2
( x − h) 2 ( y − k)2
− =1
a2 b2
( y − k)2 ( x − h) 2
− =1
a2 b2
En ellas se cumple que el centro es de coordenadas (h ; k); siendo las ecuaciones de las
rectas que contienen a los ejes transverso y conjugado: y = k ; x = h respectivamente,
y los términos (x – h)2 y (y – k)2 son las distancias elevadas al cuadrado, que hay de un
punto de la curva a estos ejes.
299
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
AP = OB = (x – h)
(AP)2 = (x – h)2
PB = (y – k)
(PB)2 = (y – k)2
(OB) 2 ( PB) 2
− =1
a2 b2
(OB) 2 ( PB) 2
− =1
a2 b2
(OB) 2 ( PB) 2
− = 1
a2 b2
EJERCICIOS DE APLICACION
300
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
(OB) 2 ( PB) 2
− =1
a2 b2
1− 3
m= = −2
3− 2
y − 3 = −2( x − 2) ; 2x + y − 7 = 0
1
y −3 = ( x − 7) ; x − 2 y −1 = 0 Ec. eje transverso.
2
2x + y − 7 x − 2 y −1
OB = ; BP =
5 5
c= (3 − 7) 2 + (1 − 3) 2 = 20
b= (3 − 2) 2 + (1 − 3) 2 = 5
a2 = b2 + c2 ∴ a 2 = 20 − 5 ; a=5
2x + y − 7 x − 2 y − 1
2 2
5 − 5 =1 operando :
15 5
4 x 2 + y 2 + 49 + 4 xy − 28 x − 14 y − 3 x 2 − 12 y 2 − 3 + 12 xy + 6 x − 12 y = 75 finalmente :
Sol. x 2 + 16 xy − 11 y 2 − 22 x − 26 y − 29 = 0
301
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
(OB) 2 ( BP) 2
− =1
a2 b2
2 6
a= =1 ; b= =3
2 2
x − 2y 2x + y
BP = ; OB =
5 5
2 2
2x + y x − 2y
5
−
5
=1 desarrollando :
[2 x + y ]2 − [x − 2 y ]2 =1
1 9 5 45
36 x 2 + 36 xy + 9 y 2 − x 2 + 4 xy − 4 y 2 − 45 = 0 finalmente :
Sol. 7 x 2 + 8 xy + y 2 − 9 = 0
217.- Hallar la ecuación de la hipérbola cuyo eje no focal, tiene por extremos los puntos
de corte de la recta: x + y + 1 = 0 con los ejes coordenados. Se conoce además
que la recta que pasa por el punto P (4 ; 0) y por uno de los focos, contiene al lado
recto.
Si x=0 → y = −1 ∴ A (0 ; − 1)
1 1
Si y=0 → x = −1 ∴ B (−1 ; 0) ; C − ; −
2 2
302
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
m eje focal = 1
1 1
y+ = 1 x + de donde :
2 2
y − 0 = −1 ( x − 4) de donde :
Ec.L.R. x + y − 4 = 0 (2)
Hacemos sistema entre (1) y (2) para hallar las coordenadas del foco:
x+x = 4 de donde : x = 2 ∴ f (2 ; 2)
2 2
1 1 5 2
C = d Of = − − 2 + − − 2 =
2 2 2
2 2
1 1 2
b = d OA = − + 1 + − − 0 =
2 2 2
25 1
a2 = − ; a 2 = 12
2 2
x− y x + y +1
BP = ; OB =
2 2
303
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
2 2
x + y + 1 x− y
2
−
2
=1 desarrolla ndo :
[x + y + 1]2 − [x − y ]2 =1
12 1 24 1
2
x 2 + y 2 + 1 + 2 xy + 2 x + 2 y − 24 x 2 + 48 xy − 24 y 2 − 24 = 0 finalmente :
Sol. 23 x 2 − 50 xy + 23 y 2 − 2 x − 2 y + 23 = 0
RESUMEN DE FORMULAS
FORMAS CANONICAS
x2 y2
− 2 =1 Eje coinidente con el eje X . V (0 ; 0)
a b
y2 x2
− =1 Eje coincidente con el eje Y . V (0 ; 0)
a2 b2
FORMAS ORDINARIAS
( x − h) 2 ( y − k ) 2
− =1 Eje paralelo al eje X . V (h ; k )
a2 b2
( y − k ) 2 ( x − h) 2
− =1 Eje paralelo al eje Y . V (h ; k )
a2 b2
FORMA GENERAL
c2 = a2 + b2 Relación fundamental.
304
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
TEMAS DE INTERES
1.-Las rectas que unen los focos con cualquier punto de la hipérbola, forman ángulos
iguales con la tangente a la hipérbola en dicho punto. Por tanto, si la superficie de un
reflector es generada por la revolución de una hipérbola alrededor de su eje transverso,
todos los rayos de luz provenientes del exterior que converjan sobre un foco, se
reflejarán pasando por el otro foco. Esta propiedad se emplea en los telescopios junto
a reflectores parabólicos.
2.-La diferencia de los tiempos en que un sonido se oye en dos puestos de escucha
distintos, es proporcional a las distancias que separan a la fuente sonora de los puestos
de escucha. Se sabe, por tanto, que este punto está sobre una cierta hipérbola. Si se
emplea un tercer puesto de escucha para poder determinar otra hipérbola, la fuente
sonora está en la intersección de las dos curvas.
EJERCICIOS ORALES
1.- ¿Qué representa la constante “c” en la hipérbola?
3.- Si la diferencia de las distancias de un punto a los focos, es mayor que 2a ¿qué
posición tiene el punto respecto de la hipérbola?
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- Los extremos del eje conjugado de una hipérbola, son los puntos ( 0 ; 3) y (0 ; -3), y
la longitud de cada lado recto es 6. Hallar la ecuación de la hipérbola y su
excentricidad. Sol. x2 – y2 – 9 = 0.
305
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
5.- Hallar la ecuación de la hipérbola de centro en el origen, si pasa por P(0 ; 6) y una
de sus asíntotas tiene por ecuación: 2x + 3y = 0. Sol. 9y2 – 4x2 – 324 = 0.
6.- Hallar la ecuación de la hipérbola de centro en el origen, si pasa por P(10 ; 9/2) y
tiene un foco en (10 ; 0). Sol. 9x2 – 16y2 = 576.
7.- Dada la ecuación de la hipérbola: x2/5 – y2/4 = 1, hallar la ecuación del diámetro que
pasa por el punto medio de la cuerda: x – y - 3 = 0. Sol. 4x – 5y = 0.
8.- Dada la ecuación de la hipérbola: 7x2 – 3y2 = 21, hallar la ecuación de la cuerda cuyo
punto medio es: A(3 ; -1). Sol. 7x + y – 20 = 0.
9.- Hallar la ecuación de la hipérbola de centro en el origen, si uno de los extremos del
eje conjugado está en: (0 ; 2) y su lado recto vale uno. Sol. x2 – 16y2 – 64 = 0.
10.- Hallar la ecuación de la hipérbola, cuyos focos están situados en el eje de las abscisas
y son simétricos respecto del origen de coordenadas; se sabe además que la distancia
entre sus directrices es 64/5 y las ecuaciones de sus asíntotas son: y = ±3/4. X.
Sol. 36x2 – 64y2 = 2304.
11.- Hallar la ecuación de la hipérbola, cuyos focos están situados sobre el eje de las
ordenadas y son simétricos al origen, si su excentricidad vale 7/5 y la distancia entre
sus directrices es 50/7. Sol. 24y2 – 25x2 = 600.
13.- Hallar la ecuación de la hipérbola que tiene los mismos focos que la elipse: 3y2 + 4x2
= 48, y su excentricidad, es una unidad mayor que la de la elipse.
Sol. 45y2 – 36x2 = 80.
14.- Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos vértices son los puntos: ( 1 ; 4) y (5 ; 4),
si la longitud del lado recto es 5. Sol. 5x2 – 4y2 – 30x + 32 y – 39 = 0.
16.- Hallar la ecuación de la hipérbola de ejes paralelos a los ejes coordenados, si sus
asíntotas tienen por ecuaciones: x – 3y + 2 = 0 ; x + 3y + 2 = 0, y su vértice está
en: (-5 ; 0). Sol. (x + 2)2 – 9y2 = 9.
17.- Dada la ecuación de la hipérbola: 9x2 – 4y2 + 54x +16y + 29 = 0, hallar las ecuaciones
de las asíntotas de la hipérbola conjugada a la dada.
Sol. 3x + 2y + 5 = 0 ; 3x – 2y + 13 = 0.
18.- Hallar la ecuación de la hipérbola, de vértice en: ( 2 ; -1), un extremo del eje
conjugado en: (-1 ; -3), si los ejes de la cónica, son paralelos a los ejes coordenados.
Sol. 9 ( y + 3)2 – 4 (x – 2)2 = 36.
306
LA HIPÉRBOLA H.I.P.
20.- Analizar y determinar los principales parámetros de la curva que tiene por ecuación:
12x2 – 4y2 +72x + 16y + 44 = 0.
21.- Hallar la ecuación de la hipérbola, si uno de sus focos está en: (-2 ; -5), una de sus
directrices tiene por ecuación: 3y + 5 = 0, y su excentricidad vale 3/2.
Sol. 4x2 – 5y2 + 16x +10y + 91 = 0.
22.- Hallar la ecuación de la hipérbola equilátera, cuyas asíntotas son los ejes coordenados
y pasa por el punto: (-4 ; 5). Sol. xy + 20 = 0.
24.- Hallar la ecuación de la hipérbola, de foco en: ( a ; a), cuya directriz tiene por
ecuación: x + y – a = 0, y su excentricidad vale raíz de dos. Sol. 2xy = a2.
25.- Uno de los focos de una hipérbola es: (4 ; 5) y uno de sus vértices es: (1 ; 1). Si se
sabe que los puntos están en lados opuestos del eje conjugado y que el lado recto es
los 2/3 del eje transverso, calcular las coordenadas del otro foco.
Sol. (0,618 ; 0,49).
26.- Hallar la ecuación de la hipérbola, de focos en: (3 ; 4) y (-3 ; -4), si la distancia entre
sus directrices es 18/5. Sol. 7y2 + 24xy – 144 = 0.
307
18/3/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
Autoevaluación Tema3
Autoevaluación Tema3
Realización
Los vértices de un triángulo son: A(5, -1), B(-1, 7) y C(1, 2). Calcular la longitud de la
bisectriz interior del ángulo A.
6,6
-6,6
10,5
Ninguna corresponde
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?wAccion=verevaluacion&wid_evaluacion=31905&id_curso=41225 1/6
18/3/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
10,55
-10,55
22,22
Dados los puntos: B (-2, -3) y C (5, 6) y la relación: BC/CD = CD/DE = DE/EF = -1/3.
Determinar las coordenadas del punto más lejano de
M(-10, 10).
F(-142, -183)
F(142, 183)
F(183, -142)
Ninguna es correcta
90º
38º
142º
Dos de los vértices de un triángulo son: A(6, 4) y B(-2, -2). Si el tercer vértice C esta
sobre el eje Y y el área del triángulo ABC es . Hallar las coordenadas del vértice C.
C(0, -1.5)
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18/3/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
C(-1.5 ,0)
C(0, 1.5)
Ninguna es correcta
Las pendientes de dos rectas son: 2 y -3, determinar la pendiente de la bisectriz del
ángulo agudo, que forman las rectas al cortarse.
6,6º
14,07º
86º
Ninguna corresponde
El segmento de recta que une un vértice de un triángulo con el punto medio del lado
opuesto se llama mediana del triángulo con vértices A(4, -4), B(l0, 4), C(2, 6), Y los
respectivos puntos medios de los lados opuestos D(6, 5), E(3, 1), F(7, 0). Encuentre el
punto de cada mediana que se halla dos tercios de la distancia del vértice al punto
medio del lado opuesto.
(5.33; 2)
(-5.33; 2)
(5.33; -2)
-2,14 y 0,47
2,14 y 0,47
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18/3/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
2,14 y 0,47
Determinar las coordenadas del punto P, exterior al segmento AB, que lo divide de modo
que: 3AP = 4PB. Si A(-3, -2) y B(5, 6).
P(15,14.5)
P(1, 1)
P(30, 29)
P(29, 30)
Dos de los vértices de un triángulo son: A(-4, 8), B(3, -6), si las coordenadas del centro
de gravedad son: (2, 6) calcular las coordenadas del tercer vértice.
C(-7, -16)
C(16, 7)
C(7, 16)
Ninguna es correcta
Los extremos de un segmento son de coordenadas (-6), (9), hallar las coordenadas de
los puntos de trisección del segmento.
(-1), (4)
(1), (-4)
(-1), (-4)
Ninguna es correcta
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18/3/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Dados A(3, -1) y B (5, 7), vértices de un triángulo y su ortocentro H(4, -1), calcular el área
del triángulo.
Ninguna es correcta
Calcular el área del triángulo dados los siguientes puntos: A(-5, 3), B(3, 2), C(-1, -4)
Ninguna es correcta
Hallar el ángulo formado por las rectas, que van desde el origen de coordenadas a los
puntos de trisección del segmento, definido por los puntos: A(-2, 3) y B(1, -7)
71,56º
108,44º
56º
Ninguna corresponde
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10/4/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
Evaluación Final
Evaluación Final
Realización
Los datos para un trapecio son área (A) =32, base mayor B=10, h=4, entonces la base
menor debe medir
6
(2.00 puntos)
Los vértices del triángulo equilátero ABC son respectivamente (-3,4), (-3,-2), (m,n).
Considerando que la abscisa de A es menor que la abscisa de C, el valor de m es:
1
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10/4/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
-1
1+3*raízcuadrada(3)
-3+3*raízcuadrada(3)
El teorema de Pitágoras.
El postulado de Euclides
La hipótesis de Aristóteles.
La fórmula de Herón.
(2.00 puntos)
0.35
0.25
1.25
0.15
(2.00 puntos)
En una parábola las distancias: entre el punto focal y el vértice, y, entre el vértice y la
línea directriz:
Son iguales.
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?wAccion=verevaluacion&id=33344&id_curso=41213 2/4
10/4/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Ángulos complementarios
Ángulo suplementario
Ángulos correspondientes
(2.00 puntos)
Al segmento que se obtiene sumando el segmento dado tantas veces como indique el
nnúmero lo llamamos:
División de segmentos
Resta de segmentos
Suma de segmentos
Anterior
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Primer parcial
Realización
Teorema.
Corolario.
Hipótesis.
Axioma
Corolario.
Hipótesis.
Axioma
Longitud de un segmento
Media proporcional
Segmento abierto
Mediatrices
16,12 km
18 km
15,75 km
14,66 km
1078
1278
:
1178
978
Verdadero
Falso
30°
60°
180°
360°
Ninguna
Una recta
Una semirecta
Un rayo
Un segmento
Anterior Siguiente
:
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Segundo parcial
Evaluación Final
Evaluación Final
Realización
3.5
2.5
2.82
2
(2.00 puntos)
-2
Bisectriz
Mediatriz
Medianas
Alturas
(2.00 puntos)
11 u
12 u
13 u
10 u
(2.00 puntos)
4x-5y=20
5x-4y=-25
4y-5x=-20
4x-5y=-20
181/4
73/4
37
21/4
Una hipérbola.
:
Una elipse.
Una parábola.
Un círculo.
(2.00 puntos)
16,12 km
18 km
15,75 km
14,66 km
(2.00 puntos)
Anterior
:
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
Realización
181/4
73/4
37
21/4
35
38
40
41
13
Si (4,2) es el punto medio del segmento formado al unir los puntos (a,-3) y
(5,b), el valor de b-a es:
4x-5y=5
4x-5y=25
4y-5x=5
4x-5y=-20
Segmentaria.
:
Normalizada.
Completa.
Funcional.
(2.00 puntos)
Una parábola.
Una elipse.
Una hipérbola.
Un círculo.
(2.00 puntos)
Parábola.
Elipse.
Hipérbola.
Recta.
(2.00 puntos)
Anterior
:
:
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Segundo parcial
Autoevaluación Tema 4
Autoevaluación tema 4
Realización
¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3, -2) y su pendiente
es -3/2?
3x - 2y – 5 = 0
3x + 2y + 5 = 0
-3x + 2y – 5 = 0
Ninguna es correcta
3x – y – 17 = 0
3x + y + 17 = 0
-3x + y – 17 = 0
Ninguna es correcta
¿Dados los puntos A (-4, 1) y B (-10, 9), halle la ecuación de la recta que
pasa por B y está a 6 unidades de A?
7x + 24y + 146 = 0
7x - 24y – 146 = 0
7x + 24y – 146 = 0
Ninguna es correcta
x=3
x–3=0
x+3=0
Ninguna es correcta
9.75
-9.75
-97
Ninguna es correcta
Hallar la ecuación de la recta, que pasa por A(1, 5), y es paralela a la recta
2x + y + 2 = 0
2x – y + 7 = 0
-2x + y – 7 = 0
2x + y – 7 = 0
Ninguna es correcta
(x - 1)2= 16(y - 4)
(x + 5)2= 8(y - 4)
(x + 1)2 = 16(y + 4)
Ninguna es correcta
Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,-3) tal que, la
parte de esta recta este comprendida entre las rectas 3x + y - 2 = 0 y x - 5y +
:
10 = 0, quede dividida en dos por dicho punto
41x - 11y – 59 = 0
41x + 11y + 49 = 0
-41x - 11y – 49 = 0
Ninguna es correcta
Los puntos A(-1, 3) y B(3, -3), son vértices de un triángulo isósceles ABC que
tiene su vértice C en la recta 2x - 4y + 3 = 0 siendo AC y BC los lados
iguales. Calcular las coordenadas del vértice C
C(-8.5; -2.5)
C(8.5; 2.5)
C(2.5; 8.5)
Ninguna es correcta
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por lo puntos A(5, 4), B(4,
-3) y C(-2, 5)
x2 + y2 - 2x - 2y – 23 = 0
x2 - y2 + 2x + 2y + 23 = 0
x2 - y2- 2x - 2y – 23 = 0
Ninguna es correcta x2
(y + 2)2 = 12(x - 5)
(x + 2)2 = 12(y - 5)
(y - 2)2 = 12(x + 5)
Ninguna es correcta
5y2 = 4x
(x + 1)2 = 4(y + 4)
5y2 = 4(x - 1)
Ninguna es correcta
(x - 4)2 + (y - 2)2 = 36
(x - 3)2+ (y - 4)2 = 25
(x + 3)2 +( y + 4)2 = 25
Ninguna es correcta
x2 - (y - 3)2 = 25
x2 + (y + 3)2 = 25
x2 + (y - 3)2= 25
Ninguna es correcta
0.55
-0.55
2.5
Ninguna es correcta
Anterior
:
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Realización
Teorema.
Corolario.
Hipótesis.
Axioma
Corolario.
Hipótesis.
Axioma
Longitud de un segmento
Media proporcional
Segmento abierto
Mediatrices
16,12 km
18 km
15,75 km
14,66 km
1078
1278
:
1178
978
Verdadero
Falso
30°
60°
180°
360°
Ninguna
Una recta
Una semirecta
Un rayo
Un segmento
Anterior Siguiente
:
01023435 6789
ÿ79ÿ
ÿ7ÿ7
8
'()*+),-(ÿ/ÿ1),-2-ÿ/ÿ34567589:;
34567589:;ÿG=Mÿ[5M8956
34567589:;ÿG=Mÿ[5M8956
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99833
790
8
3
7
87!"7#
7$!7%
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01023435 6789
ÿ79ÿ
ÿ7ÿ7
8
CDE
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790
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01023435 6789
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ÿ7ÿ7
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99833
790
8
3
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01023435 6789
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99833
790
8
3
7
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7$!7%
7#41541$7%8#&202& &3&
18/3/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
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Autoevaluación Tema3
Autoevaluación Tema3
Realización
Los vértices de un triángulo son: A(5, -1), B(-1, 7) y C(1, 2). Calcular la longitud de la
bisectriz interior del ángulo A.
6,6
-6,6
10,5
Ninguna corresponde
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?wAccion=verevaluacion&wid_evaluacion=31905&id_curso=41225 1/6
18/3/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
10,55
-10,55
22,22
Dados los puntos: B (-2, -3) y C (5, 6) y la relación: BC/CD = CD/DE = DE/EF = -1/3.
Determinar las coordenadas del punto más lejano de
M(-10, 10).
F(-142, -183)
F(142, 183)
F(183, -142)
Ninguna es correcta
90º
38º
142º
Dos de los vértices de un triángulo son: A(6, 4) y B(-2, -2). Si el tercer vértice C esta
sobre el eje Y y el área del triángulo ABC es . Hallar las coordenadas del vértice C.
C(0, -1.5)
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18/3/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
C(-1.5 ,0)
C(0, 1.5)
Ninguna es correcta
Las pendientes de dos rectas son: 2 y -3, determinar la pendiente de la bisectriz del
ángulo agudo, que forman las rectas al cortarse.
6,6º
14,07º
86º
Ninguna corresponde
El segmento de recta que une un vértice de un triángulo con el punto medio del lado
opuesto se llama mediana del triángulo con vértices A(4, -4), B(l0, 4), C(2, 6), Y los
respectivos puntos medios de los lados opuestos D(6, 5), E(3, 1), F(7, 0). Encuentre el
punto de cada mediana que se halla dos tercios de la distancia del vértice al punto
medio del lado opuesto.
(5.33; 2)
(-5.33; 2)
(5.33; -2)
-2,14 y 0,47
2,14 y 0,47
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18/3/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
2,14 y 0,47
Determinar las coordenadas del punto P, exterior al segmento AB, que lo divide de modo
que: 3AP = 4PB. Si A(-3, -2) y B(5, 6).
P(15,14.5)
P(1, 1)
P(30, 29)
P(29, 30)
Dos de los vértices de un triángulo son: A(-4, 8), B(3, -6), si las coordenadas del centro
de gravedad son: (2, 6) calcular las coordenadas del tercer vértice.
C(-7, -16)
C(16, 7)
C(7, 16)
Ninguna es correcta
Los extremos de un segmento son de coordenadas (-6), (9), hallar las coordenadas de
los puntos de trisección del segmento.
(-1), (4)
(1), (-4)
(-1), (-4)
Ninguna es correcta
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18/3/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Dados A(3, -1) y B (5, 7), vértices de un triángulo y su ortocentro H(4, -1), calcular el área
del triángulo.
Ninguna es correcta
Calcular el área del triángulo dados los siguientes puntos: A(-5, 3), B(3, 2), C(-1, -4)
Ninguna es correcta
Hallar el ángulo formado por las rectas, que van desde el origen de coordenadas a los
puntos de trisección del segmento, definido por los puntos: A(-2, 3) y B(1, -7)
71,56º
108,44º
56º
Ninguna corresponde
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18/3/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
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10/4/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
Evaluación Final
Evaluación Final
Realización
Los datos para un trapecio son área (A) =32, base mayor B=10, h=4, entonces la base
menor debe medir
6
(2.00 puntos)
Los vértices del triángulo equilátero ABC son respectivamente (-3,4), (-3,-2), (m,n).
Considerando que la abscisa de A es menor que la abscisa de C, el valor de m es:
1
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10/4/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
-1
1+3*raízcuadrada(3)
-3+3*raízcuadrada(3)
El teorema de Pitágoras.
El postulado de Euclides
La hipótesis de Aristóteles.
La fórmula de Herón.
(2.00 puntos)
0.35
0.25
1.25
0.15
(2.00 puntos)
En una parábola las distancias: entre el punto focal y el vértice, y, entre el vértice y la
línea directriz:
Son iguales.
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10/4/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Ángulos complementarios
Ángulo suplementario
Ángulos correspondientes
(2.00 puntos)
Al segmento que se obtiene sumando el segmento dado tantas veces como indique el
nnúmero lo llamamos:
División de segmentos
Resta de segmentos
Suma de segmentos
Anterior
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10/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 3: TEMA 3
AUTOEVALUACION 3: TEMA 3
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 08/08/2021 07:00 hasta 12/08/2021 23:59
Realización
0°
Ninguna
1043
1034
1124
1142
Ninguna
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=37959&id_curso=43336&wAccion=verevaluacion 1/3
10/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
6.87 km
7.86 km
8.76 km
15.13 km
Ninguna
Una cuerda de 20 m no es lo suficientemente larga para medir la longitud que hay entre
dos puntos P y Q situados en los lados opuestos de un río. Un punto R se halla situado
de tal manera que la distancia entr R-Q es de 18 m. Se ha determinado que el ángulo
PRQ es 107° y que el ángulo PQR es de 41°. Encuentre la distancia PQ
32.5
23.5
52.3
53.2
Ninguna
128.68°
168.28°
182.68°
186.68°´
Ninguna
Anterior
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10/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
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3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
EVALUACIÓN PARCIAL 2
EVALUACIÓN PARCIAL 2
Puntaje total: 20.00
Puntaje de aprobación: 14.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 03/09/2021 07:00 hasta 03/09/2021 08:30
Realización
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38772&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 1/4
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
tan(A)
cot(A)
csc(A)
sec(A)
Dos aviones salen del aeropuerto de Quito, el primero vuela con dirección (Azimut)
de 222° y el segundo con dirección 170°. Después que el primero ha volado 470 km
mira al segundo avión con rumbo N 82°E, a qué distancia se encuentra el segundo
avión del aeropuerto de Quito?
302.29
203.29
922.03
220.39
Ninguna
128.68°
168.28°
182.68°
186.68°´
Ninguna
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable x entre 0° y 360°
son:
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3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Una bicicleta que tiene una llanta de 50cm de radio y una catalina de 16cm. El
ciclista pedalea 1 vuelta/segundo. El piñón está soldado a la llanta y tiene 8cm de
radio, determinar la distancia que gira la catalina en una vuelta.
37,70 cm
87,96 cm
50,26 cm
100,53 cm
Un satélite describe una órbita alrededor de la tierra a una altura de 533 Km. En
cierto intervalo de tiempo su radio vector (origen en el centro de la tierra) genera un
ángulo de 15°. Qué distancia se desplaza en ese intervalo?. R tierra= 6 371 Km
1 445,97 Km
1 807,46 Km
1 334,34 Km
1 667,92 Km
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3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
280° y 80°
80° y 280°
80° y 80°
280° y 280°
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38772&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 4/4
27/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
En la siguiente ecuación, los valores entre 0° y 360° que puede tomar la variable x son:
x=60° y 300°
x=30° y 330°
x=45° y 315°
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929729&id_curso=19601&wAccion=verevaluacion 1/3
27/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=60° y 240°
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Anterior
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929729&id_curso=19601&wAccion=verevaluacion 2/3
27/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
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Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones] https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929731&id_cur...
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
th=
th=
th=
th=
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360° son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
Si en un triángulo rectángulo el ángulo agudo A mide 40° y la hipotenusa mide 75 cm , ¿cuánto mide el cateto
adyacente?
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
I cuadrante
II cuadrante
III cuadrante
IV cuadrante
Anterior
1 de 1 27/8/2021 14:35
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable x entre 0° y 360°
son:
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
th=
th=
th=
th=
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38447&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 1/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=
x=
x=
x=
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360°
son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38447&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 2/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38443&id_curso=43412&wAccion=verevaluacion 1/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=
x=
x=
x=
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
I cuadrante
II cuadrante
III cuadrante
IV cuadrante
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38443&id_curso=43412&wAccion=verevaluacion 2/2
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
En la siguiente ecuación, los valores entre 0° y 360° que puede tomar la variable x
son:
x=60° y 300°
x=30° y 330°
x=45° y 315°
x=60° y 240°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38443&id_curso=43412&wAccion=verevaluacion 1/2
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360°
son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
Verdadero
Falso
Anterior
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25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38437&id_curso=43406&wAccion=verevaluacion 1/2
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable x entre 0° y 360°
son:
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38437&id_curso=43406&wAccion=verevaluacion 2/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?wAccion=verevaluacion&wid_evaluacion=38435&id_curso=43404 1/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360° son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?wAccion=verevaluacion&wid_evaluacion=38435&id_curso=43404 2/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable x entre 0° y 360°
son:
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
En la siguiente ecuación, los valores entre 0° y 360° que puede tomar la variable x
son:
x=60° y 300°
x=30° y 330°
x=45° y 315°
x=60° y 240°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38434&id_curso=43403&wAccion=verevaluacion 1/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
I cuadrante
II cuadrante
III cuadrante
IV cuadrante
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38434&id_curso=43403&wAccion=verevaluacion 2/2
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
th=
th=
th=
th=
I cuadrante
II cuadrante
III cuadrante
IV cuadrante
Anterior
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
th=
th=
th=
th=
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38436&id_curso=43405&wAccion=verevaluacion 1/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360°
son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38436&id_curso=43405&wAccion=verevaluacion 2/2
27/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38437&id_curso=43406&wAccion=verevaluacion 1/2
27/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=
x=
x=
x=
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
Verdadero
Falso
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38437&id_curso=43406&wAccion=verevaluacion 2/2
29/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
En la siguiente ecuación, los valores entre 0° y 360° que puede tomar la variable x
son:
x=60° y 300°
x=30° y 330°
x=45° y 315°
x=60° y 240°
x=
x=
x=
x=
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38434&id_curso=43403&wAccion=verevaluacion 1/2
29/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360°
son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
I cuadrante
II cuadrante
III cuadrante
IV cuadrante
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38434&id_curso=43403&wAccion=verevaluacion 2/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?wAccion=verevaluacion&wid_evaluacion=38435&id_curso=43404 1/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360° son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?wAccion=verevaluacion&wid_evaluacion=38435&id_curso=43404 2/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929728&id_curso=19595&wAccion=verevaluacion 1/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
Anterior
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929728&id_curso=19595&wAccion=verevaluacion 2/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable x entre 0° y 360°
son:
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929731&id_curso=19603&wAccion=verevaluacion 1/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
th=
th=
th=
th=
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360°
son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
Anterior
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929731&id_curso=19603&wAccion=verevaluacion 2/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929728&id_curso=19595&wAccion=verevaluacion 1/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
I cuadrante
II cuadrante
III cuadrante
IV cuadrante
Anterior
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929728&id_curso=19595&wAccion=verevaluacion 2/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929731&id_curso=19603&wAccion=verevaluacion 1/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=
x=
x=
x=
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360°
son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
Anterior
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929731&id_curso=19603&wAccion=verevaluacion 2/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929730&id_curso=19602&wAccion=verevaluacion 1/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360°
son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
I cuadrante
II cuadrante
III cuadrante
IV cuadrante
Anterior
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929730&id_curso=19602&wAccion=verevaluacion 2/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
th=
th=
th=
th=
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929730&id_curso=19602&wAccion=verevaluacion 1/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Verdadero
Falso
Anterior
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929730&id_curso=19602&wAccion=verevaluacion 2/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable x entre 0° y 360°
son:
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
x=
x=
x=
x=
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38432&id_curso=43337&wAccion=verevaluacion 1/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Verdadero
Falso
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38432&id_curso=43337&wAccion=verevaluacion 2/2
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38437&id_curso=43406&wAccion=verevaluacion 1/2
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable x entre 0° y 360°
son:
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38437&id_curso=43406&wAccion=verevaluacion 2/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
x=
x=
x=
x=
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38436&id_curso=43405&wAccion=verevaluacion 1/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38436&id_curso=43405&wAccion=verevaluacion 2/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38431&id_curso=43336&wAccion=verevaluacion 1/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
th=
th=
th=
th=
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
Verdadero
Falso
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38431&id_curso=43336&wAccion=verevaluacion 2/2
27/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
En la siguiente ecuación, los valores entre 0° y 360° que puede tomar la variable x son:
x=60° y 300°
x=30° y 330°
x=45° y 315°
x=60° y 240°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360° son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38433&id_curso=43402&wAccion=verevaluacion 1/3
27/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
a=90°;180°
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38433&id_curso=43402&wAccion=verevaluacion 2/3
27/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38433&id_curso=43402&wAccion=verevaluacion 3/3
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
-7/3
7/3
-3/7
3/7
[0.3,0.4]
(0.3,0.4]
[-0.3,0.4)
(-0,3,0.4)
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38374&id_curso=43438&wAccion=verevaluacion 1/3
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
1/3
-3
10
15
20
x>-2
[-2, ]
(-2, )
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38374&id_curso=43438&wAccion=verevaluacion 2/3
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38374&id_curso=43438&wAccion=verevaluacion 3/3
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable x entre 0° y 360°
son:
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
En la siguiente ecuación, los valores entre 0° y 360° que puede tomar la variable x
son:
x=60° y 300°
x=30° y 330°
x=45° y 315°
x=60° y 240°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360°
son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Anterior
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable x entre 0° y 360°
son:
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
En la siguiente ecuación, los valores entre 0° y 360° que puede tomar la variable x
son:
x=60° y 300°
x=30° y 330°
x=45° y 315°
x=60° y 240°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360°
son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Anterior
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable x entre 0° y 360°
son:
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
x=
x=
x=
x=
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38432&id_curso=43337&wAccion=verevaluacion 1/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Verdadero
Falso
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38432&id_curso=43337&wAccion=verevaluacion 2/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
th=
th=
th=
th=
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929730&id_curso=19602&wAccion=verevaluacion 1/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Verdadero
Falso
Anterior
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929730&id_curso=19602&wAccion=verevaluacion 2/2
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38437&id_curso=43406&wAccion=verevaluacion 1/2
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable x entre 0° y 360°
son:
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38437&id_curso=43406&wAccion=verevaluacion 2/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
x=
x=
x=
x=
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38436&id_curso=43405&wAccion=verevaluacion 1/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38436&id_curso=43405&wAccion=verevaluacion 2/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38431&id_curso=43336&wAccion=verevaluacion 1/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
th=
th=
th=
th=
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
Verdadero
Falso
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38431&id_curso=43336&wAccion=verevaluacion 2/2
27/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
En la siguiente ecuación, los valores entre 0° y 360° que puede tomar la variable x son:
x=60° y 300°
x=30° y 330°
x=45° y 315°
x=60° y 240°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360° son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38433&id_curso=43402&wAccion=verevaluacion 1/3
27/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
a=90°;180°
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38433&id_curso=43402&wAccion=verevaluacion 2/3
27/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38433&id_curso=43402&wAccion=verevaluacion 3/3
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38437&id_curso=43406&wAccion=verevaluacion 1/2
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable x entre 0° y 360°
son:
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38437&id_curso=43406&wAccion=verevaluacion 2/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
-5
-3
-7/2
7/2
-2
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38374&id_curso=43438&wAccion=verevaluacion 1/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
[0.3,0.4]
(0.3,0.4]
[-0.3,0.4)
(-0,3,0.4)
1/3
-3
Una solución del sistema de ecuaciones está dado por x=7, y=-5
Una solución del sistema de ecuaciones está dado por x=7, y=5
Una solución del sistema de ecuaciones está dado por x=-7, y=-5
Una solución del sistema de ecuaciones está dado por x=-7, y=5
Ninguna
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38374&id_curso=43438&wAccion=verevaluacion 2/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta
29/08/2021 23:59
Realización
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38443&id_curso=43412&wAccion=verevaluacion 1/4
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38443&id_curso=43412&wAccion=verevaluacion 2/4
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38443&id_curso=43412&wAccion=verevaluacion 3/4
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
I cuadrante
II cuadrante
III cuadrante
IV cuadrante
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38443&id_curso=43412&wAccion=verevaluacion 4/4
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
-7/2
7/2
-2
[0.3,0.4]
(0.3,0.4]
[-0.3,0.4)
(-0,3,0.4)
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?wAccion=verevaluacion&wid_evaluacion=38376&id_curso=43440 1/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
1/3
-3
-5
Una solución del sistema de ecuaciones está dado por x=7, y=-5
Una solución del sistema de ecuaciones está dado por x=7, y=5
Una solución del sistema de ecuaciones está dado por x=-7, y=-5
Una solución del sistema de ecuaciones está dado por x=-7, y=5
Ninguna
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?wAccion=verevaluacion&wid_evaluacion=38376&id_curso=43440 2/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable x entre 0° y 360°
son:
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
x=
x=
x=
x=
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38432&id_curso=43337&wAccion=verevaluacion 1/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Verdadero
Falso
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38432&id_curso=43337&wAccion=verevaluacion 2/2
27/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38437&id_curso=43406&wAccion=verevaluacion 1/2
27/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=
x=
x=
x=
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
Verdadero
Falso
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38437&id_curso=43406&wAccion=verevaluacion 2/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable x entre 0° y 360°
son:
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
th=
th=
th=
th=
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38447&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 1/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=
x=
x=
x=
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360°
son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38447&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 2/2
3/9/21 8:04 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
EVALUACIÓN PARCIAL 2
EVALUACIÓN PARCIAL 2
Puntaje total: 20.00
Puntaje de aprobación: 14.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 03/09/2021 07:00 hasta 03/09/2021 08:30
Realización
5pi/3
pi/4
pi/2
5pi/6
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38772&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 1/4
3/9/21 8:04 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
El valor de es
-1
-1/2
Una bicicleta que tiene una llanta de 50cm de radio y una catalina de 16cm. El
ciclista pedalea 1 vuelta/segundo. El piñón está soldado a la llanta y tiene 8cm de
radio, determinar la distancia que recorre en un segundo la bicicleta.
376,99 cm/s
351,36 cm/s
585,59 cm/s
628,32 cm/s
4,17 m
8,35 m
12,56 m
16,8 m
IV
II
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38772&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 2/4
3/9/21 8:04 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
III
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Verdadero
Falso
20°
pi/3
Ninguna
Dos aviones salen del aeropuerto de Quito, el primero vuela con dirección (Azimut)
de 222° y el segundo con dirección 170°. Después que el primero ha volado 470 km
mira al segundo avión con rumbo N 82°E, a qué distancia se encuentra el segundo
avión del aeropuerto de Quito?
302.29
203.29
922.03
220.39
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38772&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 3/4
3/9/21 8:04 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Ninguna
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38772&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 4/4
13/7/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
Primer parcial
AUTOEVALUACION 2: TEMA 2
AUTOEVALUACION 2: TEMA 2
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 12/07/2021 07:00 hasta 14/07/2021 23:59
Realización
Si (-1;2) es el punto medio del segmento formado al unir los puntos (-3;-1) y
(a;b). El valor de a+b es:
-1
6
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=36207&id_curso=43335&wAccion=verevaluacion 1/3
13/7/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
51
53
57
61
8/3
2x-5y=20
2x-4y=10
2x-5y=10
5x-2y=20
Anterior Siguiente
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=36207&id_curso=43335&wAccion=verevaluacion 2/3
13/7/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=36207&id_curso=43335&wAccion=verevaluacion 3/3
13/7/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 2: TEMA 2
AUTOEVALUACION 2: TEMA 2
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 12/07/2021 07:00 hasta 14/07/2021 23:59
Realización
-1
El diámetro de la circunferencia de centro (-3,7) y que pasa por el punto (2,-5) mide:
13
15
26
30
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?wAccion=verevaluacion&wid_evaluacion=36208&id_curso=43336 1/2
13/7/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
La ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,-3) y (5,6) es:
4x-3y=5
4x-9y=31
3x-4y=5
3x+2y=4
9x-4y=-21
8/3
Al intersecar un plano y un cono recto de modo que el plano sea perpendicular al eje
del cono se forma:
Un círculo.
Una elipse.
Una parábola.
Una hipérbola.
Anterior Siguiente
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?wAccion=verevaluacion&wid_evaluacion=36208&id_curso=43336 2/2
Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones] https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id_curso=41217&wAccio...
Segundo parcial
Autoevaluación Tema3
Autoevaluación Tema3
Realización
El segmento de recta que une un vértice de un triángulo con el punto medio del lado
opuesto se llama mediana del triángulo con vértices A(4, -4), B(l0, 4), C(2, 6), Y los
respectivos puntos medios de los lados opuestos D(6, 5), E(3, 1), F(7, 0). Encuentre el
punto de cada mediana que se halla dos tercios de la distancia del vértice al punto
medio del lado opuesto.
(5.33; 2)
1 de 6 18/03/2021 9:23
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Determinar las coordenadas del punto P, exterior al segmento AB, que lo divide de
modo que: 3AP = 4PB. Si A(-3, -2) y B(5, 6).
P(29, 30)
Dados los puntos: B (-2, -3) y C (5, 6) y la relación: BC/CD = CD/DE = DE/EF = -1/3.
Determinar las coordenadas del punto más lejano de
M(-10, 10).
F(-142, -183)
Dos de los vértices de un triángulo son: A(6, 4) y B(-2, -2). Si el tercer vértice C esta
sobre el eje Y y el área del triángulo ABC es . Hallar las coordenadas del vértice
C.
C(0, 1.5)
2 de 6 18/03/2021 9:23
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Dos de los vértices de un triángulo son: A(-4, 8), B(3, -6), si las coordenadas del centro
de gravedad son: (2, 6) calcular las coordenadas del tercer vértice.
C(7, 16)
Hallar el ángulo formado por las rectas, que van desde el origen de coordenadas a
los puntos de trisección del segmento, definido por los puntos: A(-2, 3) y B(1, -7)
71,56º
2,14 y 0,47
Las pendientes de dos rectas son: 2 y -3, determinar la pendiente de la bisectriz del
ángulo agudo, que forman las rectas al cortarse.
3 de 6 18/03/2021 9:23
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14,07º
Dados A(3, -1) y B (5, 7), vértices de un triángulo y su ortocentro H(4, -1), calcular el
área del triángulo.
Los extremos de un segmento son de coordenadas (-6), (9), hallar las coordenadas
de los puntos de trisección del segmento.
(-1), (4)
4 de 6 18/03/2021 9:23
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Calcular el área del triángulo dados los siguientes puntos: A(-5, 3), B(3, 2), C(-1, -4)
Los vértices de un triángulo son: A(5, -1), B(-1, 7) y C(1, 2). Calcular la longitud de la
bisectriz interior del ángulo A.
6,6
5 de 6 18/03/2021 9:23
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142º
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6 de 6 18/03/2021 9:23
23/3/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
Autoevaluación Tema 4
Autoevaluación tema 4
Realización
¿Dados los puntos A (-4, 1) y B (-10, 9), halle la ecuación de la recta que pasa por B y
está a 6 unidades de A?
7x + 24y + 146 = 0
7x - 24y – 146 = 0
7x + 24y – 146 = 0
Ninguna es correcta
(y + 2)2 = 12(x - 5)
(x + 2)2 = 12(y - 5)
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id_curso=41225&wAccion=verevaluacion&id=32072 1/5
23/3/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
(y - 2)2 = 12(x + 5)
Ninguna es correcta
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por lo puntos A(5, 4), B(4, -3) y C(-2,
5)
x2 + y2 - 2x - 2y – 23 = 0
x2 - y2 + 2x + 2y + 23 = 0
x2 - y2- 2x - 2y – 23 = 0
Ninguna es correcta x2
5y2 = 4x
(x + 1)2 = 4(y + 4)
5y2 = 4(x - 1)
Ninguna es correcta
0.55
-0.55
2.5
Ninguna es correcta
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id_curso=41225&wAccion=verevaluacion&id=32072 2/5
23/3/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,-3) tal que, la parte de
esta recta este comprendida entre las rectas 3x + y - 2 = 0 y x - 5y + 10 = 0, quede
dividida en dos por dicho punto
41x - 11y – 59 = 0
41x + 11y + 49 = 0
-41x - 11y – 49 = 0
Ninguna es correcta
(x - 1)2= 16(y - 4)
(x + 5)2= 8(y - 4)
(x + 1)2 = 16(y + 4)
Ninguna es correcta
x2 - (y - 3)2 = 25
x2 + (y + 3)2 = 25
x2 + (y - 3)2= 25
Ninguna es correcta
x=3
x–3=0
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id_curso=41225&wAccion=verevaluacion&id=32072 3/5
23/3/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x+3=0
Ninguna es correcta
3x – y – 17 = 0
3x + y + 17 = 0
-3x + y – 17 = 0
Ninguna es correcta
(x - 4)2 + (y - 2)2 = 36
(x - 3)2+ (y - 4)2 = 25
(x + 3)2 +( y + 4)2 = 25
Ninguna es correcta
Hallar la ecuación de la recta, que pasa por A(1, 5), y es paralela a la recta 2x + y + 2
=0
2x – y + 7 = 0
-2x + y – 7 = 0
2x + y – 7 = 0
Ninguna es correcta
x?5=0
9.75
-9.75
-97
Ninguna es correcta
¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3, -2) y su pendiente es -3/2?
3x - 2y – 5 = 0
3x + 2y + 5 = 0
-3x + 2y – 5 = 0
Ninguna es correcta
Los puntos A(-1, 3) y B(3, -3), son vértices de un triángulo isósceles ABC que tiene su
vértice C en la recta 2x - 4y + 3 = 0 siendo AC y BC los lados iguales. Calcular las
coordenadas del vértice C
C(-8.5; -2.5)
C(8.5; 2.5)
C(2.5; 8.5)
Ninguna es correcta
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id_curso=41225&wAccion=verevaluacion&id=32072 5/5
12/7/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 2: TEMA 2
AUTOEVALUACION 2: TEMA 2
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 12/07/2021 07:00 hasta 14/07/2021 23:59
Realización
Si (-1;2) es el punto medio del segmento formado al unir los puntos (-3;-1) y (a;b). El
valor de a+b es:
El perímetro de un cuadrado cuyos dos vértices consecutivos son (-7,3) y (-1,-5) es:
10
20
40
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=36224&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 1/3
12/7/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
60
-1
Considere los puntos A(-5,1), B(-1,7), C(5,-1). La longitud de la mediana relativa al lado
BC del triangulo ABC es:
51
53
57
61
8/3
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=36224&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 2/3
12/7/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
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https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=36224&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 3/3
12/7/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 2: TEMA 2
AUTOEVALUACION 2: TEMA 2
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 12/07/2021 07:00 hasta 14/07/2021 23:59
Realización
El perímetro de un cuadrado cuyos dos vértices consecutivos son (-7,3) y (-1,-5) es:
10
20
40
60
51
53
57
61
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=36224&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 1/2
12/7/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
La ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,-3) y (5,6) es:
4x-3y=5
4x-9y=31
3x-4y=5
3x+2y=4
9x-4y=-21
8/3
Al intersecar un plano y un cono recto de modo que el plano sea paralelo al eje del
cono se forma:
Una hipérbola.
Una elipse.
Una parábola.
Un círculo.
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https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=36224&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 2/2
23/3/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
Autoevaluación Tema 4
Autoevaluación tema 4
Realización
¿Dados los puntos A (-4, 1) y B (-10, 9), halle la ecuación de la recta que pasa por B y
está a 6 unidades de A?
7x + 24y + 146 = 0
7x - 24y – 146 = 0
7x + 24y – 146 = 0
Ninguna es correcta
(y + 2)2 = 12(x - 5)
(x + 2)2 = 12(y - 5)
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23/3/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
(y - 2)2 = 12(x + 5)
Ninguna es correcta
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por lo puntos A(5, 4), B(4, -3) y C(-2,
5)
x2 + y2 - 2x - 2y – 23 = 0
x2 - y2 + 2x + 2y + 23 = 0
x2 - y2- 2x - 2y – 23 = 0
Ninguna es correcta x2
5y2 = 4x
(x + 1)2 = 4(y + 4)
5y2 = 4(x - 1)
Ninguna es correcta
0.55
-0.55
2.5
Ninguna es correcta
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id_curso=41225&wAccion=verevaluacion&id=32072 2/5
23/3/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,-3) tal que, la parte de
esta recta este comprendida entre las rectas 3x + y - 2 = 0 y x - 5y + 10 = 0, quede
dividida en dos por dicho punto
41x - 11y – 59 = 0
41x + 11y + 49 = 0
-41x - 11y – 49 = 0
Ninguna es correcta
(x - 1)2= 16(y - 4)
(x + 5)2= 8(y - 4)
(x + 1)2 = 16(y + 4)
Ninguna es correcta
x2 - (y - 3)2 = 25
x2 + (y + 3)2 = 25
x2 + (y - 3)2= 25
Ninguna es correcta
x=3
x–3=0
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23/3/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x+3=0
Ninguna es correcta
3x – y – 17 = 0
3x + y + 17 = 0
-3x + y – 17 = 0
Ninguna es correcta
(x - 4)2 + (y - 2)2 = 36
(x - 3)2+ (y - 4)2 = 25
(x + 3)2 +( y + 4)2 = 25
Ninguna es correcta
Hallar la ecuación de la recta, que pasa por A(1, 5), y es paralela a la recta 2x + y + 2
=0
2x – y + 7 = 0
-2x + y – 7 = 0
2x + y – 7 = 0
Ninguna es correcta
x?5=0
9.75
-9.75
-97
Ninguna es correcta
¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3, -2) y su pendiente es -3/2?
3x - 2y – 5 = 0
3x + 2y + 5 = 0
-3x + 2y – 5 = 0
Ninguna es correcta
Los puntos A(-1, 3) y B(3, -3), son vértices de un triángulo isósceles ABC que tiene su
vértice C en la recta 2x - 4y + 3 = 0 siendo AC y BC los lados iguales. Calcular las
coordenadas del vértice C
C(-8.5; -2.5)
C(8.5; 2.5)
C(2.5; 8.5)
Ninguna es correcta
Anterior
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23/3/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
Autoevaluación Tema 4
Autoevaluación tema 4
Realización
¿Dados los puntos A (-4, 1) y B (-10, 9), halle la ecuación de la recta que pasa por B y
está a 6 unidades de A?
7x + 24y + 146 = 0
7x - 24y – 146 = 0
7x + 24y – 146 = 0
Ninguna es correcta
(y + 2)2 = 12(x - 5)
(x + 2)2 = 12(y - 5)
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23/3/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
(y - 2)2 = 12(x + 5)
Ninguna es correcta
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por lo puntos A(5, 4), B(4, -3) y C(-2,
5)
x2 + y2 - 2x - 2y – 23 = 0
x2 - y2 + 2x + 2y + 23 = 0
x2 - y2- 2x - 2y – 23 = 0
Ninguna es correcta x2
5y2 = 4x
(x + 1)2 = 4(y + 4)
5y2 = 4(x - 1)
Ninguna es correcta
0.55
-0.55
2.5
Ninguna es correcta
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id_curso=41225&wAccion=verevaluacion&id=32072 2/5
23/3/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,-3) tal que, la parte de
esta recta este comprendida entre las rectas 3x + y - 2 = 0 y x - 5y + 10 = 0, quede
dividida en dos por dicho punto
41x - 11y – 59 = 0
41x + 11y + 49 = 0
-41x - 11y – 49 = 0
Ninguna es correcta
(x - 1)2= 16(y - 4)
(x + 5)2= 8(y - 4)
(x + 1)2 = 16(y + 4)
Ninguna es correcta
x2 - (y - 3)2 = 25
x2 + (y + 3)2 = 25
x2 + (y - 3)2= 25
Ninguna es correcta
x=3
x–3=0
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23/3/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x+3=0
Ninguna es correcta
3x – y – 17 = 0
3x + y + 17 = 0
-3x + y – 17 = 0
Ninguna es correcta
(x - 4)2 + (y - 2)2 = 36
(x - 3)2+ (y - 4)2 = 25
(x + 3)2 +( y + 4)2 = 25
Ninguna es correcta
Hallar la ecuación de la recta, que pasa por A(1, 5), y es paralela a la recta 2x + y + 2
=0
2x – y + 7 = 0
-2x + y – 7 = 0
2x + y – 7 = 0
Ninguna es correcta
x?5=0
9.75
-9.75
-97
Ninguna es correcta
¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3, -2) y su pendiente es -3/2?
3x - 2y – 5 = 0
3x + 2y + 5 = 0
-3x + 2y – 5 = 0
Ninguna es correcta
Los puntos A(-1, 3) y B(3, -3), son vértices de un triángulo isósceles ABC que tiene su
vértice C en la recta 2x - 4y + 3 = 0 siendo AC y BC los lados iguales. Calcular las
coordenadas del vértice C
C(-8.5; -2.5)
C(8.5; 2.5)
C(2.5; 8.5)
Ninguna es correcta
Anterior
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Segundo parcial
Autoevaluación Tema3
Autoevaluación Tema3
Realización
El segmento de recta que une un vértice de un triángulo con el punto medio del lado
opuesto se llama mediana del triángulo con vértices A(4, -4), B(l0, 4), C(2, 6), Y los
respectivos puntos medios de los lados opuestos D(6, 5), E(3, 1), F(7, 0). Encuentre el
punto de cada mediana que se halla dos tercios de la distancia del vértice al punto
medio del lado opuesto.
(5.33; 2)
1 de 6 18/03/2021 9:23
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Determinar las coordenadas del punto P, exterior al segmento AB, que lo divide de
modo que: 3AP = 4PB. Si A(-3, -2) y B(5, 6).
P(29, 30)
Dados los puntos: B (-2, -3) y C (5, 6) y la relación: BC/CD = CD/DE = DE/EF = -1/3.
Determinar las coordenadas del punto más lejano de
M(-10, 10).
F(-142, -183)
Dos de los vértices de un triángulo son: A(6, 4) y B(-2, -2). Si el tercer vértice C esta
sobre el eje Y y el área del triángulo ABC es . Hallar las coordenadas del vértice
C.
C(0, 1.5)
2 de 6 18/03/2021 9:23
Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones] https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id_curso=41217&wAccio...
Dos de los vértices de un triángulo son: A(-4, 8), B(3, -6), si las coordenadas del centro
de gravedad son: (2, 6) calcular las coordenadas del tercer vértice.
C(7, 16)
Hallar el ángulo formado por las rectas, que van desde el origen de coordenadas a
los puntos de trisección del segmento, definido por los puntos: A(-2, 3) y B(1, -7)
71,56º
2,14 y 0,47
Las pendientes de dos rectas son: 2 y -3, determinar la pendiente de la bisectriz del
ángulo agudo, que forman las rectas al cortarse.
3 de 6 18/03/2021 9:23
Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones] https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id_curso=41217&wAccio...
14,07º
Dados A(3, -1) y B (5, 7), vértices de un triángulo y su ortocentro H(4, -1), calcular el
área del triángulo.
Los extremos de un segmento son de coordenadas (-6), (9), hallar las coordenadas
de los puntos de trisección del segmento.
(-1), (4)
4 de 6 18/03/2021 9:23
Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones] https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id_curso=41217&wAccio...
Calcular el área del triángulo dados los siguientes puntos: A(-5, 3), B(3, 2), C(-1, -4)
Los vértices de un triángulo son: A(5, -1), B(-1, 7) y C(1, 2). Calcular la longitud de la
bisectriz interior del ángulo A.
6,6
5 de 6 18/03/2021 9:23
Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones] https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id_curso=41217&wAccio...
142º
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6 de 6 18/03/2021 9:23
4/10/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
Evaluación Final
Evaluación Final
Realización
Se intersecarán siempre.
Nunca se intersecarán.
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=33344&id_curso=41213&wAccion=verevaluacion 1/5
4/10/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Serán colineales.
Serán paralelas.
(2.00 puntos)
60 grados
90 grados
120 grados
30 grados
(2.00 puntos)
Los puntos A(-2,4), B(4,12), C(m,n) son los vértices consecutivos del cuadrado ABCD. Si C pertenece al primer cuadrante, el valor
de m es:
10
14
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=33344&id_curso=41213&wAccion=verevaluacion 2/5
4/10/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
2/3
3/4
5/4
5/2
(2.00 puntos)
Al intersecar un plano y un cono recto de modo que el plano tenga la misma inclinación que la generatriz del cono y además que
sea su tangente se obtiene:
Una elipse.
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=33344&id_curso=41213&wAccion=verevaluacion 3/5
4/10/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Una hipérbola.
Un círculo.
(2.00 puntos)
Si una mediana de un triángulo es igual a los dos segmentos que forma en el lado del triángulo, el triángulo es:
Equilátero
Obtusángulo
Rectángulo
Acutángulo
(2.00 puntos)
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=33344&id_curso=41213&wAccion=verevaluacion 4/5
4/10/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
1.5
-2
(2.00 puntos)
Es el segmento arbitrario que se toma como unidad para medir otros segmentos:
Media proporcional
Segmento unitario
Suma de segmentos
Semirecta
(2.00 puntos)
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=33344&id_curso=41213&wAccion=verevaluacion 5/5
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?wAccion=verevaluacion&wid_evaluacion=38451&id_curso=43449 1/2
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
I cuadrante
II cuadrante
III cuadrante
IV cuadrante
Verdadero
Falso
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?wAccion=verevaluacion&wid_evaluacion=38451&id_curso=43449 2/2
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
th=
th=
th=
th=
x=
x=
x=
x=
Anterior
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
Encuentre los valores de x en la ecuación siguiente, que se encuentran entre 0 y 2p:
x=
x=
x=
x=
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360°
son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
I cuadrante
II cuadrante
III cuadrante
IV cuadrante
Anterior
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Verdadero
Falso
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38435&id_curso=43404&wAccion=verevaluacion 2/2
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
1/3
-3
2/3
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929538&id_curso=19594&wAccion=verevaluacion 1/3
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
10
15
20
x>-2
[-2, ]
(-2, )
Ninguna
Anterior
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929538&id_curso=19594&wAccion=verevaluacion 2/3
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929538&id_curso=19594&wAccion=verevaluacion 3/3
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
En la siguiente ecuación, los valores entre 0° y 360° que puede tomar la variable x
son:
x=60° y 300°
x=30° y 330°
x=45° y 315°
x=60° y 240°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38444&id_curso=43413&wAccion=verevaluacion 1/2
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38444&id_curso=43413&wAccion=verevaluacion 2/2
Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones] https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=37956&id_curso=434...
AUTOEVALUACION 3: TEMA 3
AUTOEVALUACION 3: TEMA 3
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 08/08/2021 07:00 hasta 12/08/2021 23:59
Realización
20°
pi/3
Ninguna
0°
1 of 3 8/9/2021, 7:58 PM
Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones] https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=37956&id_curso=434...
Ninguna
20°
pi/3
Ninguna
Qué ángulo forma la diagonal de un cubo con otra diagonal trazada desde el mismo
vértice?
35.25°
45°
90°
30°
Ninguna
2 of 3 8/9/2021, 7:58 PM
Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones] https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=37956&id_curso=434...
32.5
23.5
52.3
53.2
Ninguna
Anterior
3 of 3 8/9/2021, 7:58 PM
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=
x=
x=
x=
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38438&id_curso=43407&wAccion=verevaluacion 1/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360°
son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
I cuadrante
II cuadrante
III cuadrante
IV cuadrante
Verdadero
Falso
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38438&id_curso=43407&wAccion=verevaluacion 2/2
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
th=
th=
th=
th=
En la siguiente ecuación, los valores de x comprendidos entre 0° y 360° son:
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360°
son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
Anterior
8/25/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360°
son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38434&id_curso=43403&wAccion=verevaluacion 1/2
8/25/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
I cuadrante
II cuadrante
III cuadrante
IV cuadrante
Verdadero
Falso
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38434&id_curso=43403&wAccion=verevaluacion 2/2
17/7/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
EVALUACIÓN PARCIAL 1
EVALUACIÓN PARCIAL 1
Puntaje total: 20.00
Puntaje de aprobación: 14.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 17/07/2021 07:00 hasta 17/07/2021 08:45
Realización
r=1
r = 1/2
Encuentre la pendiente de la mediatriz del segmento determinado por los puntos (7, 4)
(-1, -2)
3/4
-3/4
4/3
-4/3
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=36520&id_curso=43402&wAccion=verevaluacion 1/4
17/7/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Los vértices de un triángulo son: A (-4, -1); B (4, w) y c (-6, 13). Hallar el valor de w, si la
altura que pasa por c, corta a la mediana que pasa por B formando un ángulo de 45
grados.
-3
-1,24
7,24
La pendiente de la recta que pasa por los puntos (3,2) y (7,6) es:
En una parábola las distancias: entre el punto focal y el vértice, y, entre el vértice y la
línea directriz:
Son iguales.
Una parábola.
Un círculo.
Una elipse.
Una hipérbola.
Si el perímetro de un rectángulo es: (20x - 14) y uno de los lados mide (4x + 1), la
medida del otro lado es:
6x-6
12x-12
6x-8
12x-16
Los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo son 64 y 36. Calcular la altura
relativa a la hipotenusa
4.8 u
8u
6u
10u
(3,6,9)
(5,10,12)
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=36520&id_curso=43402&wAccion=verevaluacion 3/4
17/7/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
(2,4,8)
(3,7,11)
Anterior Siguiente
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=36520&id_curso=43402&wAccion=verevaluacion 4/4
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
EVALUACIÓN PARCIAL 2
EVALUACIÓN PARCIAL 2
Puntaje total: 20.00
Puntaje de aprobación: 14.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 03/09/2021 07:00 hasta 03/09/2021 08:30
Realización
20°
pi/3
Ninguna
Respuesta correcta
1043
1034
1124
1142
Ninguna
Respuesta incorrecta
1043
1034
1124
1142
Ninguna
Respuesta correcta
Una bicicleta que tiene una llanta de 50cm de radio y una catalina de 16cm. El
ciclista pedalea 1 vuelta/segundo. El piñón está soldado a la llanta y tiene 8cm de
radio, determinar la distancia que recorre en un segundo la bicicleta.
376,99 cm/s
351,36 cm/s
585,59 cm/s
628,32 cm/s
Respuesta incorrecta
376,99 cm/s
351,36 cm/s
585,59 cm/s
628,32 cm/s
IV
II
III
Respuesta correcta
pi/3
pi/4
pi/2
pi/6
Respuesta correcta
5pi/3
pi/4
pi/2
5pi/6
5pi/3
pi/4
pi/2
5pi/6
El valor de es
65/33
-33/65
-65/33
33/65
Respuesta incorrecta
65/33
-33/65
-65/33
33/65
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
Respuesta correcta
th=
th=
th=
th=
Respuesta correcta
Anterior Siguiente
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
EVALUACIÓN PARCIAL 2
EVALUACIÓN PARCIAL 2
Puntaje total: 20.00
Puntaje de aprobación: 14.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 03/09/2021 08:30 hasta 03/09/2021 10:00
Realización
20°
pi/3
Ninguna
6.87 km
7.86 km
8.76 km
15.13 km
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38760&id_curso=43404&wAccion=verevaluacion 1/4
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Ninguna
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
Una bicicleta que tiene una llanta de 50cm de radio y una catalina de 16cm. El
ciclista pedalea 1 vuelta/segundo. El piñón está soldado a la llanta y tiene 8cm de
radio, determinar la distancia que gira la catalina en una vuelta.
37,70 cm
87,96 cm
50,26 cm
100,53 cm
Una bicicleta que tiene una llanta de 50cm de radio y una catalina de 16cm. El
ciclista pedalea 1 vuelta/segundo. El piñón está soldado a la llanta y tiene 8cm de
radio, determinar la distancia que recorre en un minuto la bicicleta.
376,99 m/min
351,36 m/min
585,59 m/min
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38760&id_curso=43404&wAccion=verevaluacion 2/4
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
628,32 m/min
El minutero de un reloj mide 6 cm. Cuál es el área que se genera cuando el extremo
del minutero recorre 33 minutos.
3564 cm^2
124 cm^2
62,2 cm^2
746,28 cm^2
El valor de es
221/140
-221/140
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38760&id_curso=43404&wAccion=verevaluacion 3/4
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
140/221
-140/221
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38760&id_curso=43404&wAccion=verevaluacion 4/4
Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones] https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38761&id_curso=434...
EVALUACIÓN PARCIAL 2
EVALUACIÓN PARCIAL 2
Puntaje total: 20.00
Puntaje de aprobación: 14.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 03/09/2021 08:30 hasta 03/09/2021 10:00
Realización
x=
x=
x=
x=
x=120°;240°
x=60°;120°
1 de 4 3/9/2021 9:01
Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones] https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38761&id_curso=434...
x=60°;240°
x=30°;210°
1°30' 0''
180°00' 00''
87°56' 40''
280° y 80°
80° y 280°
80° y 80°
280° y 280°
IV
II
III
2 de 4 3/9/2021 9:01
Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones] https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38761&id_curso=434...
6.87 km
7.86 km
8.76 km
15.13 km
Ninguna
Una escalera de 6.2 mde largo es colocada a 1.75 m de la base de un muro inclinado
y alcanza una distancia de 5.1 mmedida sobre dicho muro. Hállese la inclinación en
grados del muro
58°20´
85°20´
20°58´
20°85´
Ninguna
pi/3
pi/4
pi/2
pi/6
3 de 4 3/9/2021 9:01
Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones] https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38761&id_curso=434...
Anterior
4 de 4 3/9/2021 9:01
3/9/21 8:47 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
EVALUACIÓN PARCIAL 2
EVALUACIÓN PARCIAL 2
Puntaje total: 20.00
Puntaje de aprobación: 14.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 03/09/2021 08:30 hasta 03/09/2021 10:00
Realización
20°
pi/3
Ninguna
0°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38760&id_curso=43404&wAccion=verevaluacion 1/4
3/9/21 8:47 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Ninguna
tan(A)
cot(A)
csc(A)
sec(A)
El valor de es
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38760&id_curso=43404&wAccion=verevaluacion 2/4
3/9/21 8:47 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
280° y 80°
80° y 280°
80° y 80°
280° y 280°
IV
II
III
210° y 30°
150° y 30°
170° y 10°
160° y 20°
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38760&id_curso=43404&wAccion=verevaluacion 3/4
3/9/21 8:47 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38760&id_curso=43404&wAccion=verevaluacion 4/4
Contenido > Unidad > Evaluación
EVALUACIÓN PARCIAL 2
EVALUACIÓN PARCIAL 2
Puntaje total: 20.00
Puntaje de aprobación: 14.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 03/09/2021 07:00 hasta 03/09/2021 08:30
Realización
5pi/3
pi/4
pi/2
5pi/6
El valor de es
-65/33
-33/65
65/33
33/65
56/65
65/56
-56/65
-65/56
1500
26,18
10
45 rpm
252 rpm
18,79 rpm
504 rpm
210° y 30°
150° y 30°
170° y 10°
160° y 20°
Los valores de la variable y entre 0° y 360° son:
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
1043
1034
1124
1142
Ninguna
6.87 km
7.86 km
8.76 km
15.13 km
Ninguna
Anterior
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
EVALUACIÓN PARCIAL 2
EVALUACIÓN PARCIAL 2
Puntaje total: 20.00
Puntaje de aprobación: 14.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 03/09/2021 07:00 hasta 03/09/2021 08:30
Realización
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38772&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 1/4
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
tan(A)
cot(A)
csc(A)
sec(A)
Dos aviones salen del aeropuerto de Quito, el primero vuela con dirección (Azimut)
de 222° y el segundo con dirección 170°. Después que el primero ha volado 470 km
mira al segundo avión con rumbo N 82°E, a qué distancia se encuentra el segundo
avión del aeropuerto de Quito?
302.29
203.29
922.03
220.39
Ninguna
128.68°
168.28°
182.68°
186.68°´
Ninguna
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable x entre 0° y 360°
son:
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38772&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 2/4
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Una bicicleta que tiene una llanta de 50cm de radio y una catalina de 16cm. El
ciclista pedalea 1 vuelta/segundo. El piñón está soldado a la llanta y tiene 8cm de
radio, determinar la distancia que gira la catalina en una vuelta.
37,70 cm
87,96 cm
50,26 cm
100,53 cm
Un satélite describe una órbita alrededor de la tierra a una altura de 533 Km. En
cierto intervalo de tiempo su radio vector (origen en el centro de la tierra) genera un
ángulo de 15°. Qué distancia se desplaza en ese intervalo?. R tierra= 6 371 Km
1 445,97 Km
1 807,46 Km
1 334,34 Km
1 667,92 Km
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38772&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 3/4
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
280° y 80°
80° y 280°
80° y 80°
280° y 280°
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38772&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 4/4
8/25/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360°
son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38434&id_curso=43403&wAccion=verevaluacion 1/2
8/25/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
I cuadrante
II cuadrante
III cuadrante
IV cuadrante
Verdadero
Falso
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38434&id_curso=43403&wAccion=verevaluacion 2/2
3/9/21 7:58 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
EVALUACIÓN PARCIAL 2
EVALUACIÓN PARCIAL 2
Puntaje total: 20.00
Puntaje de aprobación: 14.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 03/09/2021 07:00 hasta 03/09/2021 08:30
Realización
5pi/3
pi/4
pi/2
5pi/6
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38775&id_curso=43448&wAccion=verevaluacion 1/4
3/9/21 7:58 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
El valor de es
56/65
65/56
-56/65
-65/56
Una rueda de molino tiene 2 m de radio y gira a razón de 80 rpm. Encontrar la distancia
que recorre en un segundo, un punto del borde de la rueda.
4,17 m
8,35 m
12,56 m
16,8 m
IV
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38775&id_curso=43448&wAccion=verevaluacion 2/4
3/9/21 7:58 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
II
III
20°
pi/3
Ninguna
20°
pi/3
Ninguna
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
I cuadrante
II cuadrante
III cuadrante
IV cuadrante
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38775&id_curso=43448&wAccion=verevaluacion 4/4
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
EVALUACIÓN PARCIAL 2
EVALUACIÓN PARCIAL 2
Puntaje total: 20.00
Puntaje de aprobación: 14.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 03/09/2021 07:00 hasta 03/09/2021 08:30
Realización
Qué ángulo forma la diagonal de un cubo con otra diagonal trazada desde el mismo
vértice?
35.25°
45°
90°
30°
Ninguna
1043
1034
1124
1142
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38776&id_curso=43449&wAccion=verevaluacion 1/4
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Ninguna
Indicar la medida en radianes del ángulo central subtendido por el arco de 30cm en
un círculo de radio 20cm
1,5 rad
85,94 rad
15 rad
0,15 rad
1°30' 0''
180°00' 00''
87°56' 40''
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable x entre 0° y 360°
son:
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38776&id_curso=43449&wAccion=verevaluacion 2/4
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=0°;180°;270°;360°
th=
th=
th=
th=
pi/3
pi/4
pi/2
pi/6
El valor de es
65/33
-33/65
-65/33
33/65
El valor de es
56/65
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38776&id_curso=43449&wAccion=verevaluacion 3/4
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
65/56
-56/65
-65/56
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38776&id_curso=43449&wAccion=verevaluacion 4/4
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
EVALUACIÓN PARCIAL 2
EVALUACIÓN PARCIAL 2
Puntaje total: 20.00
Puntaje de aprobación: 14.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 03/09/2021 07:00 hasta 03/09/2021 08:30
Realización
En la siguiente ecuación, los valores entre 0° y 360° que puede tomar la variable x
son:
x=60° y 300°
x=30° y 330°
x=45° y 315°
x=60° y 240°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360°
son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38772&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 1/4
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Una bicicleta que tiene una llanta de 50cm de radio y una catalina de 16cm. El
ciclista pedalea 1 vuelta/segundo. El piñón está soldado a la llanta y tiene 8cm de
radio, determinar la distancia que gira la catalina en una vuelta.
37,70 cm
87,96 cm
50,26 cm
100,53 cm
0,086 Km/seg
11,12 Km/seg
27,80 Km/seg
0,463 Km/seg
198 cm
41,46 cm
70,24 cm
20,74 cm
75.49
57.49
94.57
49.75
Ninguna
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38772&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 2/4
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Una escalera de 6.2 mde largo es colocada a 1.75 m de la base de un muro inclinado
y alcanza una distancia de 5.1 mmedida sobre dicho muro. Hállese la inclinación en
grados del muro
58°20´
85°20´
20°58´
20°85´
Ninguna
sec(B)
ctg(B)
tan(B)
csc(B)
El valor de es
-65/33
-33/65
65/33
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38772&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 3/4
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
33/65
Anterior
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3/9/21 07:33 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
EVALUACIÓN PARCIAL 2
EVALUACIÓN PARCIAL 2
Puntaje total: 20.00
Puntaje de aprobación: 14.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 03/09/2021 07:00 hasta 03/09/2021 08:30
Realización
En la siguiente ecuación, los valores entre 0° y 360° que puede tomar la variable x
son:
x=60° y 300°
x=30° y 330°
x=45° y 315°
x=60° y 240°
x=
x=
x=
x=
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38772&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 1/4
3/9/21 07:33 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
45 rpm
252 rpm
18,79 rpm
504 rpm
Sin respuesta
El minutero de un reloj mide 6 cm. Cuál es el área que se genera cuando el extremo
del minutero recorre 33 minutos.
3564 cm^2
124 cm^2
62,2 cm^2
746,28 cm^2
Sin respuesta
77,18 rev
154,33 rev
38,58 rev
7,24 rev
32.5
23.5
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38772&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 2/4
3/9/21 07:33 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
52.3
53.2
Ninguna
Dos aviones salen del aeropuerto de Quito, el primero vuela con dirección (Azimut)
de 222° y el segundo con dirección 170°. Después que el primero ha volado 470 km
mira al segundo avión con rumbo N 82°E, a qué distancia se encuentra el segundo
avión del aeropuerto de Quito?
302.29
203.29
922.03
220.39
Ninguna
sec(x)-tan(x)
ctg(x)-csc(x)
tan(x)-ctg(x)
csc(x)+ctg(x)
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38772&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 3/4
3/9/21 07:33 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Anterior
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3/9/21 7:52 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
EVALUACIÓN PARCIAL 2
EVALUACIÓN PARCIAL 2
Puntaje total: 20.00
Puntaje de aprobación: 14.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 03/09/2021 07:00 hasta 03/09/2021 08:30
Realización
0°
Ninguna
1043
1034
1124
1142
Ninguna
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38758&id_curso=43402&wAccion=verevaluacion 1/4
3/9/21 7:52 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
4,17 m
8,35 m
12,56 m
16,8 m
350° y 10°
10° y 345°
10° y -350°
15° y 345°
Dos ángulos en posición normal son coterminales cuando tienen diferente lado
terminal y su valor es distinto, por el sentido del giro o por el número de vueltas
del lado terminal.
pi/3
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38758&id_curso=43402&wAccion=verevaluacion 2/4
3/9/21 7:52 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
pi/4
pi/2
pi/6
4pi/3
pi/4
pi/2
5pi/8
th=
th=
th=
th=
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38758&id_curso=43402&wAccion=verevaluacion 3/4
3/9/21 7:52 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
Anterior
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Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
EVALUACIÓN PARCIAL 2
EVALUACIÓN PARCIAL 2
Puntaje total: 20.00
Puntaje de aprobación: 14.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 03/09/2021 07:00 hasta 03/09/2021 08:30
Realización
Fecha: 03-sep-2021 07:05:22
Tiempo realización: 00:29:27 No aprobada - 12.00
Cantidad de veces realizada: 1
Cantidad de respuestas correctas: 6 / 10
94,25 cm/s
188,5 cm/s
47,12 cm/s
31,42 cm/s
Una bicicleta que tiene una llanta de 50cm de radio y una catalina
de 16cm. El ciclista pedalea 1 vuelta/segundo. El piñón está
soldado a la llanta y tiene 8cm de radio, determinar la distancia
que recorre en un segundo la bicicleta.
376,99 cm/s
351,36 cm/s
585,59 cm/s
628,32 cm/s
IV
II
III
pi/3
pi/4
pi/2
pi/6
pi/3
pi/4
pi/2
5pi/6
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
Una cuerda de 20 m no es lo suficientemente larga para medir la
longitud que hay entre dos puntos P y Q situados en los lados
opuestos de un río. Un punto R se halla situado de tal manera que
la distancia entr R-Q es de 18 m. Se ha determinado que el ángulo
PRQ es 107° y que el ángulo PQR es de 41°. Encuentre la distancia
PQ
32.5
23.5
52.3
53.2
Ninguna
168.28°
182.68°
186.68°´
Ninguna
Anterior
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
EVALUACIÓN PARCIAL 2
EVALUACIÓN PARCIAL 2
Puntaje total: 20.00
Puntaje de aprobación: 14.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 03/09/2021 07:00 hasta 03/09/2021 08:30
Realización
4pi/3
pi/4
pi/2
5pi/8
sec(B)
ctg(B)
tan(B)
csc(B)
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38773&id_curso=43446&wAccion=verevaluacion 1/4
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
tan(A)
cot(A)
csc(A)
sec(A)
Una bicicleta que tiene una llanta de 50cm de radio y una catalina de 16cm. El
ciclista pedalea 1 vuelta/segundo. El piñón está soldado a la llanta y tiene 8cm de
radio, determinar la distancia que desarrolla el pinón en una vuelta.
37,70 cm
87,96 cm
50,27 cm
100,53 cm
El minutero de un reloj mide 6 cm. Cuál es el área que se genera cuando el extremo
del minutero recorre 33 minutos.
3564 cm^2
124 cm^2
62,2 cm^2
746,28 cm^2
IV
II
I
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3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
III
Qué ángulo forma la diagonal de un cubo con otra diagonal trazada desde el mismo
vértice?
35.25°
45°
90°
30°
Ninguna
32.5
23.5
52.3
53.2
Ninguna
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38773&id_curso=43446&wAccion=verevaluacion 3/4
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
th=
th=
th=
th=
Anterior
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3/9/21 7:21 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
EVALUACIÓN PARCIAL 2
EVALUACIÓN PARCIAL 2
Puntaje total: 20.00
Puntaje de aprobación: 14.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 03/09/2021 07:00 hasta 03/09/2021 08:30
Realización
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
I cuadrante
II cuadrante
III cuadrante
IV cuadrante
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3/9/21 7:21 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
La longitud del arco determinado por un ángulo central de 50° en una circunferencia
de 30 pulgadas de radio es:
1500
26,18
10
Una bicicleta que tiene una llanta de 50cm de radio y una catalina de 16cm. El
ciclista pedalea 1 vuelta/segundo. El piñón está soldado a la llanta y tiene 8cm de
radio, determinar la distancia que gira la catalina en una vuelta.
37,70 cm
87,96 cm
50,26 cm
100,53 cm
280° y 80°
80° y 280°
80° y 80°
280° y 280°
20°
pi/3
Ninguna
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3/9/21 7:21 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
1043
1034
1124
1142
Ninguna
4pi/3
pi/4
pi/2
5pi/8
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3/9/21 7:21 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Anterior
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27/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
En la siguiente ecuación, los valores entre 0° y 360° que puede tomar la variable x son:
x=60° y 300°
x=30° y 330°
x=45° y 315°
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929729&id_curso=19601&wAccion=verevaluacion 1/3
27/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=60° y 240°
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Anterior
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929729&id_curso=19601&wAccion=verevaluacion 2/3
27/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929729&id_curso=19601&wAccion=verevaluacion 3/3
Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones] https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929731&id_cur...
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AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
th=
th=
th=
th=
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360° son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
Si en un triángulo rectángulo el ángulo agudo A mide 40° y la hipotenusa mide 75 cm , ¿cuánto mide el cateto
adyacente?
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
I cuadrante
II cuadrante
III cuadrante
IV cuadrante
Anterior
1 de 1 27/8/2021 14:35
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable x entre 0° y 360°
son:
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
th=
th=
th=
th=
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38447&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 1/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=
x=
x=
x=
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360°
son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38447&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 2/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38443&id_curso=43412&wAccion=verevaluacion 1/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=
x=
x=
x=
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
I cuadrante
II cuadrante
III cuadrante
IV cuadrante
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38443&id_curso=43412&wAccion=verevaluacion 2/2
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
En la siguiente ecuación, los valores entre 0° y 360° que puede tomar la variable x
son:
x=60° y 300°
x=30° y 330°
x=45° y 315°
x=60° y 240°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38443&id_curso=43412&wAccion=verevaluacion 1/2
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360°
son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
Verdadero
Falso
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38443&id_curso=43412&wAccion=verevaluacion 2/2
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38437&id_curso=43406&wAccion=verevaluacion 1/2
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable x entre 0° y 360°
son:
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38437&id_curso=43406&wAccion=verevaluacion 2/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?wAccion=verevaluacion&wid_evaluacion=38435&id_curso=43404 1/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360° son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?wAccion=verevaluacion&wid_evaluacion=38435&id_curso=43404 2/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable x entre 0° y 360°
son:
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
En la siguiente ecuación, los valores entre 0° y 360° que puede tomar la variable x
son:
x=60° y 300°
x=30° y 330°
x=45° y 315°
x=60° y 240°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38434&id_curso=43403&wAccion=verevaluacion 1/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
I cuadrante
II cuadrante
III cuadrante
IV cuadrante
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38434&id_curso=43403&wAccion=verevaluacion 2/2
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
th=
th=
th=
th=
I cuadrante
II cuadrante
III cuadrante
IV cuadrante
Anterior
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
th=
th=
th=
th=
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38436&id_curso=43405&wAccion=verevaluacion 1/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360°
son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38436&id_curso=43405&wAccion=verevaluacion 2/2
27/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38437&id_curso=43406&wAccion=verevaluacion 1/2
27/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=
x=
x=
x=
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
Verdadero
Falso
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38437&id_curso=43406&wAccion=verevaluacion 2/2
29/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
En la siguiente ecuación, los valores entre 0° y 360° que puede tomar la variable x
son:
x=60° y 300°
x=30° y 330°
x=45° y 315°
x=60° y 240°
x=
x=
x=
x=
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38434&id_curso=43403&wAccion=verevaluacion 1/2
29/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360°
son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
I cuadrante
II cuadrante
III cuadrante
IV cuadrante
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38434&id_curso=43403&wAccion=verevaluacion 2/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?wAccion=verevaluacion&wid_evaluacion=38435&id_curso=43404 1/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360° son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?wAccion=verevaluacion&wid_evaluacion=38435&id_curso=43404 2/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929728&id_curso=19595&wAccion=verevaluacion 1/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
Anterior
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929728&id_curso=19595&wAccion=verevaluacion 2/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable x entre 0° y 360°
son:
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929731&id_curso=19603&wAccion=verevaluacion 1/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
th=
th=
th=
th=
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360°
son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
Anterior
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929731&id_curso=19603&wAccion=verevaluacion 2/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929728&id_curso=19595&wAccion=verevaluacion 1/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
I cuadrante
II cuadrante
III cuadrante
IV cuadrante
Anterior
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929728&id_curso=19595&wAccion=verevaluacion 2/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929731&id_curso=19603&wAccion=verevaluacion 1/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=
x=
x=
x=
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360°
son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
Anterior
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929731&id_curso=19603&wAccion=verevaluacion 2/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929730&id_curso=19602&wAccion=verevaluacion 1/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360°
son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
I cuadrante
II cuadrante
III cuadrante
IV cuadrante
Anterior
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929730&id_curso=19602&wAccion=verevaluacion 2/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
th=
th=
th=
th=
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929730&id_curso=19602&wAccion=verevaluacion 1/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Verdadero
Falso
Anterior
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929730&id_curso=19602&wAccion=verevaluacion 2/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable x entre 0° y 360°
son:
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
x=
x=
x=
x=
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38432&id_curso=43337&wAccion=verevaluacion 1/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Verdadero
Falso
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38432&id_curso=43337&wAccion=verevaluacion 2/2
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38437&id_curso=43406&wAccion=verevaluacion 1/2
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable x entre 0° y 360°
son:
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38437&id_curso=43406&wAccion=verevaluacion 2/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
x=
x=
x=
x=
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38436&id_curso=43405&wAccion=verevaluacion 1/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38436&id_curso=43405&wAccion=verevaluacion 2/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38431&id_curso=43336&wAccion=verevaluacion 1/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
th=
th=
th=
th=
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
Verdadero
Falso
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38431&id_curso=43336&wAccion=verevaluacion 2/2
27/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
En la siguiente ecuación, los valores entre 0° y 360° que puede tomar la variable x son:
x=60° y 300°
x=30° y 330°
x=45° y 315°
x=60° y 240°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360° son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38433&id_curso=43402&wAccion=verevaluacion 1/3
27/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
a=90°;180°
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38433&id_curso=43402&wAccion=verevaluacion 2/3
27/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38433&id_curso=43402&wAccion=verevaluacion 3/3
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
-7/3
7/3
-3/7
3/7
[0.3,0.4]
(0.3,0.4]
[-0.3,0.4)
(-0,3,0.4)
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38374&id_curso=43438&wAccion=verevaluacion 1/3
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
1/3
-3
10
15
20
x>-2
[-2, ]
(-2, )
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38374&id_curso=43438&wAccion=verevaluacion 2/3
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38374&id_curso=43438&wAccion=verevaluacion 3/3
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable x entre 0° y 360°
son:
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
En la siguiente ecuación, los valores entre 0° y 360° que puede tomar la variable x
son:
x=60° y 300°
x=30° y 330°
x=45° y 315°
x=60° y 240°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360°
son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Anterior
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable x entre 0° y 360°
son:
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
En la siguiente ecuación, los valores entre 0° y 360° que puede tomar la variable x
son:
x=60° y 300°
x=30° y 330°
x=45° y 315°
x=60° y 240°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360°
son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Anterior
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable x entre 0° y 360°
son:
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
x=
x=
x=
x=
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38432&id_curso=43337&wAccion=verevaluacion 1/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Verdadero
Falso
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38432&id_curso=43337&wAccion=verevaluacion 2/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
th=
th=
th=
th=
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929730&id_curso=19602&wAccion=verevaluacion 1/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Verdadero
Falso
Anterior
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7929730&id_curso=19602&wAccion=verevaluacion 2/2
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38437&id_curso=43406&wAccion=verevaluacion 1/2
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable x entre 0° y 360°
son:
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38437&id_curso=43406&wAccion=verevaluacion 2/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
x=
x=
x=
x=
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38436&id_curso=43405&wAccion=verevaluacion 1/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38436&id_curso=43405&wAccion=verevaluacion 2/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38431&id_curso=43336&wAccion=verevaluacion 1/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
th=
th=
th=
th=
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
Verdadero
Falso
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38431&id_curso=43336&wAccion=verevaluacion 2/2
27/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
En la siguiente ecuación, los valores entre 0° y 360° que puede tomar la variable x son:
x=60° y 300°
x=30° y 330°
x=45° y 315°
x=60° y 240°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360° son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38433&id_curso=43402&wAccion=verevaluacion 1/3
27/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
a=90°;180°
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38433&id_curso=43402&wAccion=verevaluacion 2/3
27/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38433&id_curso=43402&wAccion=verevaluacion 3/3
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38437&id_curso=43406&wAccion=verevaluacion 1/2
25/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable x entre 0° y 360°
son:
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38437&id_curso=43406&wAccion=verevaluacion 2/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
-5
-3
-7/2
7/2
-2
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38374&id_curso=43438&wAccion=verevaluacion 1/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
[0.3,0.4]
(0.3,0.4]
[-0.3,0.4)
(-0,3,0.4)
1/3
-3
Una solución del sistema de ecuaciones está dado por x=7, y=-5
Una solución del sistema de ecuaciones está dado por x=7, y=5
Una solución del sistema de ecuaciones está dado por x=-7, y=-5
Una solución del sistema de ecuaciones está dado por x=-7, y=5
Ninguna
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38374&id_curso=43438&wAccion=verevaluacion 2/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta
29/08/2021 23:59
Realización
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38443&id_curso=43412&wAccion=verevaluacion 1/4
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38443&id_curso=43412&wAccion=verevaluacion 2/4
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38443&id_curso=43412&wAccion=verevaluacion 3/4
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
I cuadrante
II cuadrante
III cuadrante
IV cuadrante
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38443&id_curso=43412&wAccion=verevaluacion 4/4
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
-7/2
7/2
-2
[0.3,0.4]
(0.3,0.4]
[-0.3,0.4)
(-0,3,0.4)
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?wAccion=verevaluacion&wid_evaluacion=38376&id_curso=43440 1/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
1/3
-3
-5
Una solución del sistema de ecuaciones está dado por x=7, y=-5
Una solución del sistema de ecuaciones está dado por x=7, y=5
Una solución del sistema de ecuaciones está dado por x=-7, y=-5
Una solución del sistema de ecuaciones está dado por x=-7, y=5
Ninguna
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?wAccion=verevaluacion&wid_evaluacion=38376&id_curso=43440 2/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable x entre 0° y 360°
son:
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
x=
x=
x=
x=
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38432&id_curso=43337&wAccion=verevaluacion 1/2
26/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
57.5 cm
55.7 cm
48.2 cm
42.8 cm
Verdadero
Falso
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38432&id_curso=43337&wAccion=verevaluacion 2/2
27/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38437&id_curso=43406&wAccion=verevaluacion 1/2
27/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=
x=
x=
x=
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
Verdadero
Falso
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38437&id_curso=43406&wAccion=verevaluacion 2/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
AUTOEVALUACION 4: TEMA 4
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 25/08/2021 07:00 hasta 29/08/2021 23:59
Realización
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable x entre 0° y 360°
son:
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
th=
th=
th=
th=
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38447&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 1/2
28/8/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
x=
x=
x=
x=
x=100°;220°
x=120°;240°
x=150°;270°
x=160°;280°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360°
son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38447&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 2/2
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
EVALUACIÓN PARCIAL 2
EVALUACIÓN PARCIAL 2
Puntaje total: 20.00
Puntaje de aprobación: 14.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 03/09/2021 08:30 hasta 03/09/2021 10:00
Realización
20°
pi/3
Ninguna
32.5
23.5
52.3
53.2
Ninguna
4,17 m
8,35 m
12,56 m
16,8 m
210° y 30°
150° y 30°
170° y 10°
160° y 20°
Dos ángulos en posición normal son coterminales cuando tienen diferente lado
terminal y su valor es distinto, por el sentido del giro o por el número de vueltas
del lado terminal.
th=
th=
th=
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360°
son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
2pi/3
pi/4
pi/2
5pi/6
5pi/3
pi/4
pi/2
5pi/6
tan(A)
cot(A)
csc(A)
sec(A)
Anterior
Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones] https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38763&id_curso=434...
EVALUACIÓN PARCIAL 2
EVALUACIÓN PARCIAL 2
Puntaje total: 20.00
Puntaje de aprobación: 14.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 03/09/2021 08:30 hasta 03/09/2021 10:00
Realización
20°
pi/3
Ninguna
Una escalera de 6.2 mde largo es colocada a 1.75 m de la base de un muro inclinado
y alcanza una distancia de 5.1 mmedida sobre dicho muro. Hállese la inclinación en
grados del muro
58°20´
85°20´
1 de 4 3/9/2021 9:32
Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones] https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38763&id_curso=434...
20°58´
20°85´
Ninguna
x=30°;120°;210°;300°
x=30°;180°;250°;330°
x=30°;150°;210°;330°
x=30°;150°;245°;300°
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
2 de 4 3/9/2021 9:32
Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones] https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38763&id_curso=434...
sec(B)
ctg(B)
tan(B)
csc(B)
Indicar la medida en radianes del ángulo central subtendido por el arco de 30cm en
un círculo de radio 20cm
1,5 rad
85,94 rad
15 rad
0,15 rad
Si una rueda de 20cm de radio, gira 90 vueltas en un minuto, qué distancia recorre la
rueda en un segundo.
94,25 cm/s
3 de 4 3/9/2021 9:32
Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones] https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38763&id_curso=434...
188,5 cm/s
47,12 cm/s
31,42 cm/s
210° y 30°
150° y 30°
170° y 10°
160° y 20°
Anterior
4 de 4 3/9/2021 9:32
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
EVALUACIÓN PARCIAL 2
EVALUACIÓN PARCIAL 2
Puntaje total: 20.00
Puntaje de aprobación: 14.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 03/09/2021 08:30 hasta 03/09/2021 10:00
Realización
th=
th=
th=
th=
Verdadero
Falso
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38763&id_curso=43407&wAccion=verevaluacion 1/4
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
pi/3
pi/4
pi/2
5pi/6
tan(y)
ctg(y)
sec(y)
csc(y)
El valor de es
-1
-1/2
0°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38763&id_curso=43407&wAccion=verevaluacion 2/4
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Ninguna
Qué ángulo forma la diagonal de un cubo con otra diagonal trazada desde el mismo
vértice?
35.25°
45°
90°
30°
Ninguna
La longitud del arco determinado por un ángulo central de 50° en una circunferencia de
30 pulgadas de radio es:
1500
26,18
10
Una bicicleta que tiene una llanta de 50cm de radio y una catalina de 16cm. El ciclista
pedalea 1 vuelta/segundo. El piñón está soldado a la llanta y tiene 8cm de radio,
determinar la relación entre las distancias desarrolladas entre la catalina y el piñón.
2,33
6,28
2,66
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38763&id_curso=43407&wAccion=verevaluacion 3/4
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
IV
II
III
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38763&id_curso=43407&wAccion=verevaluacion 4/4
10/4/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
Evaluación Final
Evaluación Final
Realización
Trazamos las alturas de cada uno de los lados y el punto de cruce es el centro
de la circunferencia
Trazamos las bisectrices desde los vértices de los ángulos y el punto de cruce
es el centro de la circunferencia
(2.00 puntos)
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=33355&wAccion=verevaluacion&id_curso=41224 1/4
10/4/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Al intersecar un plano y un cono recto de modo que el plano sea perpendicular al eje
del cono se forma:
Un círculo.
Una elipse.
Una parábola.
Una hipérbola.
(2.00 puntos)
Si (-1;2) es el punto medio del segmento formado al unir los puntos (-3;–1) y (a;b). El
valor de a+b es:
La medida de un ángulo, cuya longitud del arco subtendido es igual al radio del
circulo se llama:
Radián
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=33355&wAccion=verevaluacion&id_curso=41224 2/4
10/4/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Decimal
Sexagesimal
Complementario
(2.00 puntos)
Al segmento que se obtiene sumando el segmento dado tantas veces como indique
el nnúmero lo llamamos:
División de segmentos
Resta de segmentos
Suma de segmentos
Un cilindro tiene por altura (125,66 cm) la misma longitud que la circunferencia
(perímetro) de la base. Su radio es ?
22
20
25
32
(2.00 puntos)
81
100
127
137
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=33355&wAccion=verevaluacion&id_curso=41224 3/4
10/4/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
La ecuación de la recta de pendiente 5/4 y que corta el eje de las abscisas en -5 es:
4x-5y=20
5x-4y=-25
4y-5x=-20
4x-5y=-20
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=33355&wAccion=verevaluacion&id_curso=41224 4/4
10/4/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
Evaluación Final
Evaluación Final
Realización
Los datos para un trapecio son área (A) =32, base mayor B=10, h=4, entonces la base
menor debe medir
6
(2.00 puntos)
Los vértices del triángulo equilátero ABC son respectivamente (-3,4), (-3,-2), (m,n).
Considerando que la abscisa de A es menor que la abscisa de C, el valor de m es:
1
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?wAccion=verevaluacion&id=33344&id_curso=41213 1/4
10/4/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
-1
1+3*raízcuadrada(3)
-3+3*raízcuadrada(3)
El teorema de Pitágoras.
El postulado de Euclides
La hipótesis de Aristóteles.
La fórmula de Herón.
(2.00 puntos)
0.35
0.25
1.25
0.15
(2.00 puntos)
En una parábola las distancias: entre el punto focal y el vértice, y, entre el vértice y la
línea directriz:
Son iguales.
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?wAccion=verevaluacion&id=33344&id_curso=41213 2/4
10/4/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Ángulos complementarios
Ángulo suplementario
Ángulos correspondientes
(2.00 puntos)
Al segmento que se obtiene sumando el segmento dado tantas veces como indique el
nnúmero lo llamamos:
División de segmentos
Resta de segmentos
Suma de segmentos
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?wAccion=verevaluacion&id=33344&id_curso=41213 4/4
10/4/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
Evaluación Final
Evaluación Final
Realización
55
20
15
60
(2.00 puntos)
85
75
45
90
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=33354&id_curso=41223&wAccion=verevaluacion 1/4
10/4/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
(2.00 puntos)
180 grados
120 grados
90 grados
60 grados
(2.00 puntos)
11 u
12 u
13 u
10 u
(2.00 puntos)
La ecuación de la recta de pendiente 4/5 y que corta el eje de las ordenadas en -5 es:
4x-5y=5
4x-5y=25
4y-5x=5
4x+5y=5
Considere los puntos A(-4,2), B(3,-2), C(5,m), D(x,y). El área del paralelogramo ABCD
es 56 unidades cuadradas. Si m es positivo, el valor de x es:
-2
cero (0)
2
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=33354&id_curso=41223&wAccion=verevaluacion 2/4
10/4/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
51
53
57
61
Se intersecarán siempre.
Nunca se intersecarán.
Serán colineales.
Serán paralelas.
(2.00 puntos)
La medida de un ángulo, cuya longitud del arco subtendido es igual al radio del
circulo se llama:
Radián
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=33354&id_curso=41223&wAccion=verevaluacion 3/4
10/4/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Decimal
Sexagesimal
Complementario
(2.00 puntos)
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=33354&id_curso=41223&wAccion=verevaluacion 4/4
Contenido > Unidad > Evaluación
EVALUACIÓN PARCIAL 2
EVALUACIÓN PARCIAL 2
Puntaje total: 20.00
Puntaje de aprobación: 14.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 03/09/2021 07:00 hasta 03/09/2021 08:30
Realización
Respuesta incorrecta
Respuesta incorrecta
El valor de es
Sin respuesta
Si una rueda de 20cm de radio, gira 90 vueltas en un minuto, qué distancia recorre la
rueda en un segundo.
94,25 cm/s
188,5 cm/s
47,12 cm/s
31,42 cm/s
Sin respuesta
94,25 cm/s
188,5 cm/s
47,12 cm/s
31,42 cm/s
Una bicicleta que tiene una llanta de 50cm de radio y una catalina de 16cm. El
ciclista pedalea 1 vuelta/segundo. El piñón está soldado a la llanta y tiene 8cm de
radio, determinar la relación entre las distancias desarrolladas entre la catalina y el
piñón.
2,33
6,28
2,66
Sin respuesta
2,33
2
6,28
2,66
4,17 m
8,35 m
12,56 m
16,8 m
Sin respuesta
4,17 m
8,35 m
12,56 m
16,8 m
Desde un punto P situado a nivel del suelo, el ángulo de elevación de la parte más
alta de una torre es 24°25´. De un punto que está a 28 m más cercano a la torre y en
la misma linea con P y la base de la torre, el ángulo de elevación de la parte alta es
49°53. Calcular la altura de la torre?.
20.54
45.02
25.40
54.20
Ninguna
Sin respuesta
20.54
45.02
25.40
54.20
Ninguna
75.49
57.49
94.57
49.75
Ninguna
Sin respuesta
75.49
57.49
94.57
49.75
Ninguna
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
Sin respuesta
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
Sin respuesta
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
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Contenido > Unidad > Evaluación
EVALUACIÓN PARCIAL 1
EVALUACIÓN PARCIAL 1
Puntaje total: 20.00
Puntaje de aprobación: 14.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 17/07/2021 07:00 hasta 17/07/2021 08:45
Realización
Considere los puntos A(3,1); B(9,1) y C(3,7). El área del triángulo ABC es:
16
18
24
Los vértices del triángulo equilátero ABC son respectivamente (-3,4), (-3,-2), (m,n).
Considerando que la abscisa de A es menor que la abscisa de C, el valor de n es:
-1
4/3
7/2
La ecuación de la recta que pasa por el punto (1,2) y tiene un ángulo de inclinación
de 36.87° es:
4x-3y=5
3x-4y=3
3x-4y=-5
3x+2y=4
3x-y=3
4u
8u
2u
16u
Cuál es el polígono regular cuyo lado es el doble de la apotema
Cuadrado
Pentágono
Hexágono
Octágono
0 grados
180 grados
90 grados
45 grados
45 grados
tan(45)
180 grados
tan(180)
85,93 grados
14,07 grados
45 grados
40,93 grados
Anterior Siguiente
Contenido > Unidad > Evaluación
EVALUACIÓN PARCIAL 1
EVALUACIÓN PARCIAL 1
Puntaje total: 20.00
Puntaje de aprobación: 14.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 17/07/2021 13:25 hasta 17/07/2021 23:59
Realización
Determinar el valor que de debe tener "a" para que los puntos: (-7a, -8) (-a, 4) y (14, 10a)
pertenezcan a una misma línea recta.
2 y 1,4
1,4 y -2
-2 y -1,4
2 y -1,4
Las pendientes de las rectas son 2 y -3, determinar la pendiente de la bisectriz del
ángulo agudo, que forman las rectas al cortarse.
63,43
108,43
85,93
14,07
Los vértices de un triángulo son: A (-4, -1); B (4, w) y c (-6, 13). Hallar el valor de w, si la
altura que pasa por c, corta a la mediana que pasa por B formando un ángulo de 45
grados.
-3
-1,24
7,24
6u
8u
4u
2u
15u
8u
17u
10u
La ecuación de la recta de pendiente 4/5 y que corta el eje de las ordenadas en 5 es:
4x-5y=-25
4x-5y=25
4y-5x=5
4x+5y=5
2
8/3
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12/7/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
Primer parcial
AUTOEVALUACION 2: TEMA 2
AUTOEVALUACION 2: TEMA 2
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 12/07/2021 07:00 hasta 14/07/2021 23:59
Realización
51
53
57
61
La ecuación de la recta que pasa por el punto (1,2) y tiene un ángulo de inclinación
de 36.87° es:
4x-3y=5
3x-4y=3
3x-4y=-5
3x+2y=4
https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7927739&id_curso=19602&wAccion=verevaluacion 1/2
12/7/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
3x-y=3
Al intersecar un plano y un cono recto de modo que el plano sea perpendicular al eje
del cono se forma:
Un círculo.
Una elipse.
Una parábola.
Una hipérbola.
La expresión "El lugar geométrico de los puntos de un plano que tienen equidistancia
respecto a un punto fijo y una recta llamada directriz", es la definición de:
Parábola.
Elipse.
Hipérbola.
Circunferencia.
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https://evirtual.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=7927739&id_curso=19602&wAccion=verevaluacion 2/2
13/7/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 2: TEMA 2
AUTOEVALUACION 2: TEMA 2
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 12/07/2021 07:00 hasta 14/07/2021 23:59
Realización
El perímetro de un cuadrado cuyos dos vértices consecutivos son (-7,3) y (-1,-5) es:
10
20
40
60
Las coordenadas del baricentro de un triángulo que se forma al unir los puntos
A(-1,5); B(3,9) y C(7,1) son:
(2,3)
(3,2)
(-7,3)
(3,5)
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=36214&id_curso=43406&wAccion=verevaluacion 1/2
13/7/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
La ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,-3) y (5,6) es:
4x-3y=5
4x-9y=31
3x-4y=5
3x+2y=4
9x-4y=-21
Al intersecar un plano y un cono recto de modo que el plano sea paralelo al eje del
cono se forma:
Una hipérbola.
Una elipse.
Una parábola.
Un círculo.
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https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=36214&id_curso=43406&wAccion=verevaluacion 2/2
12/7/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 2: TEMA 2
AUTOEVALUACION 2: TEMA 2
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 12/07/2021 07:00 hasta 14/07/2021 23:59
Realización
El perímetro de un cuadrado cuyos dos vértices consecutivos son (-7,3) y (-1,-5) es:
10
20
40
60
Las coordenadas del baricentro de un triángulo que se forma al unir los puntos A(-1,5);
B(3,9) y C(7,1) son:
(2,3)
(3,2)
(-7,3)
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=36228&id_curso=43449&wAccion=verevaluacion 1/3
12/7/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
(3,5)
(0,1)
(0,0)
(0,2)
(0,4)
La expresión "El lugar geométrico de los puntos de un plano que tienen equidistancia
respecto a un punto fijo y una recta llamada directriz", es la definición de:
Parábola.
Elipse.
Hipérbola.
Circunferencia.
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https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=36228&id_curso=43449&wAccion=verevaluacion 2/3
12/7/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=36228&id_curso=43449&wAccion=verevaluacion 3/3
12/7/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 2: TEMA 2
AUTOEVALUACION 2: TEMA 2
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 12/07/2021 07:00 hasta 14/07/2021 23:59
Realización
El perímetro de un cuadrado cuyos dos vértices consecutivos son (-7,3) y (-1,-5) es:
10
20
40
60
Las coordenadas del baricentro de un triángulo que se forma al unir los puntos
A(-1,5); B(3,9) y C(7,1) son:
(2,3)
(3,2)
(-7,3)
(3,5)
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=36218&id_curso=43410&wAccion=verevaluacion 1/2
12/7/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
51
53
57
61
Al intersecar un plano y un cono recto de modo que el plano sea paralelo al eje del
cono se forma:
Una hipérbola.
Una elipse.
Una parábola.
Un círculo.
La expresión "El lugar geométrico de los puntos de un plano que tienen equidistancia
respecto a un punto fijo y una recta llamada directriz", es la definición de:
Parábola.
Elipse.
Hipérbola.
Circunferencia.
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https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=36218&id_curso=43410&wAccion=verevaluacion 2/2
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 2: TEMA 2
AUTOEVALUACION 2: TEMA 2
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 12/07/2021 07:00 hasta 14/07/2021 23:59
Realización
Si (-1;2) es el punto medio del segmento formado al unir los puntos (-3;-1) y (a;b). El
valor de a+b es:
Las coordenadas del baricentro de un triángulo que se forma al unir los puntos A(-1,5);
B(3,9) y C(7,1) son:
(2,3)
(3,2)
(-7,3)
(3,5)
El diámetro de la circunferencia de centro (-3,7) y que pasa por el punto (2,-5) mide:
13
15
26
30
Considere los puntos A(-5,1), B(-1,7), C(5,-1). La longitud de la mediana relativa al lado
BC del triangulo ABC es:
51
53
57
61
La expresión "El lugar geométrico de los puntos de un plano que tienen equidistancia
respecto a un punto fijo y una recta llamada directriz", es la definición de:
Parábola.
Elipse.
Hipérbola.
Circunferencia.
Anterior Siguiente
12/7/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 2: TEMA 2
AUTOEVALUACION 2: TEMA 2
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 12/07/2021 07:00 hasta 14/07/2021 23:59
Realización
Si (-1;2) es el punto medio del segmento formado al unir los puntos (-3;-1) y (a;b). El
valor de a+b es:
-1
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=36221&id_curso=43413&wAccion=verevaluacion 1/2
12/7/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
La ecuación de la recta que pasa por el punto (1,2) y tiene un ángulo de inclinación
de 36.87° es:
4x-3y=5
3x-4y=3
3x-4y=-5
3x+2y=4
3x-y=3
8/3
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https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=36221&id_curso=43413&wAccion=verevaluacion 2/2
12/7/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 2: TEMA 2
AUTOEVALUACION 2: TEMA 2
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 12/07/2021 07:00 hasta 14/07/2021 23:59
Realización
-1
El diámetro de la circunferencia de centro (-3,7) y que pasa por el punto (2,-5) mide:
13
15
26
30
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=36213&id_curso=43405&wAccion=verevaluacion 1/2
12/7/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
51
53
57
61
La ecuación de la recta que pasa por el punto (1,2) y tiene un ángulo de inclinación
de 36.87° es:
4x-3y=5
3x-4y=3
3x-4y=-5
3x+2y=4
3x-y=3
(0,1)
(0,0)
(0,2)
(0,4)
Anterior Siguiente
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=36213&id_curso=43405&wAccion=verevaluacion 2/2
12/7/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
AUTOEVALUACION 2: TEMA 2
AUTOEVALUACION 2: TEMA 2
Puntaje total: 5.00
Puntaje de aprobación: 4.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 12/07/2021 07:00 hasta 14/07/2021 23:59
Realización
-1
El diámetro de la circunferencia de centro (-3,7) y que pasa por el punto (2,-5) mide:
13
15
26
30
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=36220&id_curso=43412&wAccion=verevaluacion 1/2
12/7/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
La ecuación de la recta que pasa por el punto (1,2) y tiene un ángulo de inclinación
de 36.87° es:
4x-3y=5
3x-4y=3
3x-4y=-5
3x+2y=4
3x-y=3
(0,1)
(0,0)
(0,2)
(0,4)
Al intersecar un plano y un cono recto de modo que el plano sea perpendicular al eje
del cono se forma:
Un círculo.
Una elipse.
Una parábola.
Una hipérbola.
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https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=36220&id_curso=43412&wAccion=verevaluacion 2/2
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
EVALUACIÓN PARCIAL 2
EVALUACIÓN PARCIAL 2
Puntaje total: 20.00
Puntaje de aprobación: 14.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 03/09/2021 08:30 hasta 03/09/2021 10:00
Realización
En la siguiente ecuación, los valores entre 0° y 360° que puede tomar la variable x
son:
x=60° y 300°
x=30° y 330°
x=45° y 315°
x=60° y 240°
th=
th=
th=
th=
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38765&id_curso=43409&wAccion=verevaluacion 1/4
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
0°
Ninguna
Dos aviones salen del aeropuerto de Quito, el primero vuela con dirección (Azimut)
de 222° y el segundo con dirección 170°. Después que el primero ha volado 470 km
mira al segundo avión con rumbo N 82°E, a qué distancia se encuentra el segundo
avión del aeropuerto de Quito?
302.29
203.29
922.03
220.39
Ninguna
4pi/3
pi/4
pi/2
5pi/8
tan(A)
cot(A)
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38765&id_curso=43409&wAccion=verevaluacion 2/4
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
csc(A)
sec(A)
El valor de es
-1
-1/2
Una bicicleta que tiene una llanta de 50cm de radio y una catalina de 16cm. El
ciclista pedalea 1 vuelta/segundo. El piñón está soldado a la llanta y tiene 8cm de
radio, determinar la distancia que desarrolla el pinón en una vuelta.
37,70 cm
87,96 cm
50,27 cm
100,53 cm
350° y 10°
10° y 345°
10° y -350°
15° y 345°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38765&id_curso=43409&wAccion=verevaluacion 3/4
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
El lado final del ángulo cae sobre el semi eje positivo de las abscisas
El lado inicial del ángulo cae sobre el semi eje de las abscisas
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38765&id_curso=43409&wAccion=verevaluacion 4/4
3/9/21 9:28 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
Segundo parcial
EVALUACIÓN PARCIAL 2
EVALUACIÓN PARCIAL 2
Puntaje total: 20.00
Puntaje de aprobación: 14.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 03/09/2021 08:30 hasta 03/09/2021 10:00
Realización
x=30°;120°;210°;330°
x=60°;120°;210°;330°
x=60°;150°;210°;300°
x=60°;120°;240°;300°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable x entre 0° y 360°
son:
x=30°;150°;210°;300°
x=45°;135°;225°;315°
x=60°;120°;240°;300°
x=0°;180°;270°;360°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38761&id_curso=43405&wAccion=verevaluacion 1/4
3/9/21 9:28 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
pi/3
pi/4
pi/2
pi/6
2pi/3
pi/4
pi/2
5pi/6
El valor de es
-1
-1/2
0°
1
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38761&id_curso=43405&wAccion=verevaluacion 2/4
3/9/21 9:28 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Ninguna
Una escalera de 6.2 mde largo es colocada a 1.75 m de la base de un muro inclinado
y alcanza una distancia de 5.1 mmedida sobre dicho muro. Hállese la inclinación en
grados del muro
58°20´
85°20´
20°58´
20°85´
Ninguna
Una bicicleta que tiene una llanta de 50cm de radio y una catalina de 16cm. El
ciclista pedalea 1 vuelta/segundo. El piñón está soldado a la llanta y tiene 8cm de
radio, determinar la distancia que desarrolla el pinón en una vuelta.
37,70 cm
87,96 cm
50,27 cm
100,53 cm
IV
II
III
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38761&id_curso=43405&wAccion=verevaluacion 3/4
3/9/21 9:28 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Dos ángulos en posición normal son coterminales cuando tienen diferente lado
terminal y su valor es distinto, por el sentido del giro o por el número de vueltas
del lado terminal.
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38761&id_curso=43405&wAccion=verevaluacion 4/4
Contenido > Unidad > Evaluación
EVALUACIÓN PARCIAL 2
EVALUACIÓN PARCIAL 2
Puntaje total: 20.00
Puntaje de aprobación: 14.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 03/09/2021 07:00 hasta 03/09/2021 08:30
Realización
5pi/3
pi/4
pi/2
5pi/6
El valor de es
-65/33
-33/65
65/33
33/65
56/65
65/56
-56/65
-65/56
1500
26,18
10
45 rpm
252 rpm
18,79 rpm
504 rpm
210° y 30°
150° y 30°
170° y 10°
160° y 20°
Los valores de la variable y entre 0° y 360° son:
y=60°;120°;240°;300°
y=45°;135°;225°;315°
y=0°;90°;180°;270°
y=30°;150°;210°;330°
x=120°;240°
x=60°;120°
x=60°;240°
x=30°;210°
1043
1034
1124
1142
Ninguna
6.87 km
7.86 km
8.76 km
15.13 km
Ninguna
Anterior
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Contenido > Unidad > Evaluación
EVALUACIÓN PARCIAL 2
EVALUACIÓN PARCIAL 2
Puntaje total: 20.00
Puntaje de aprobación: 14.00
Incorrectas restan: No
Abierta: desde 03/09/2021 07:00 hasta 03/09/2021 08:30
Realización
En la siguiente ecuación, los valores entre 0° y 360° que puede tomar la variable x
son:
x=60° y 300°
x=30° y 330°
x=45° y 315°
x=60° y 240°
En la ecuación siguiente, los valores que puede tomar la variable a entre 0° y 360°
son:
a=30°;150°
a=60°;120°
a=45°;135°
a=90°;180°
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38772&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 1/4
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Una bicicleta que tiene una llanta de 50cm de radio y una catalina de 16cm. El
ciclista pedalea 1 vuelta/segundo. El piñón está soldado a la llanta y tiene 8cm de
radio, determinar la distancia que gira la catalina en una vuelta.
37,70 cm
87,96 cm
50,26 cm
100,53 cm
0,086 Km/seg
11,12 Km/seg
27,80 Km/seg
0,463 Km/seg
198 cm
41,46 cm
70,24 cm
20,74 cm
75.49
57.49
94.57
49.75
Ninguna
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38772&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 2/4
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
Una escalera de 6.2 mde largo es colocada a 1.75 m de la base de un muro inclinado
y alcanza una distancia de 5.1 mmedida sobre dicho muro. Hállese la inclinación en
grados del muro
58°20´
85°20´
20°58´
20°85´
Ninguna
sec(B)
ctg(B)
tan(B)
csc(B)
El valor de es
-65/33
-33/65
65/33
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38772&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 3/4
3/9/2021 Sistema Virtual de Educación [Evaluaciones]
33/65
Anterior
https://evirtual2.espe.edu.ec/evaluaciones.cgi?id=38772&id_curso=43445&wAccion=verevaluacion 4/4