MAT - E1 - Guía08 3M OA11 Docente

Pauta para docentes

Matemática
III° medio
Etapa 1: Guía N°8 OA 11
Etapa 1: Matemática III° medio
Guía N°8 OA 11
Inicio
Estimado estudiante, con la siguiente guía, fortalecerás tus conocimientos sobre combinatoria, es
decir, sobre técnicas de conteo.
Objetivo de la clase: conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados a las técnicas de conteo
(permutación, variación o combinación).
Actividad N°1 (15 minutos aproximados)
1. En una situación de sobre técnicas de conteo, debes hacerte la siguiente pregunta, para
poder clasificarlas.
a. ¿Se usan todos los elementos?

i. Si, estás frente a una PERMUTACIÓN
ii. No, estás frente a una COMBINACIÓN O VARIACIÓN
Si usas todos los elementos, estás frente a una permutación, que se clasifican en:
i. Lineal ⟹ Pn=n !
ii. Circular ⟹ Pn=(n−1)!
n!
iii. Con repetición ⟹ Pn=
∏ ki !
Cuando NO usas todos los elementos es necesario hacerse la siguiente pregunta
¿importa el orden?
i. Si, ⇒ Variación
ii. No, ⇒ Combinación
Practiquemos!!!
Identifica qué técnica de conteo representa cada una de las situaciones que se presentan a
continuación:
 30 personas se deben ubicar en una fila. ¿De cuántas maneras pueden hacerlo?
Respuesta: Como se eligen todos los elementos la técnica de conteo a utilizar es

PERMUTACIÓN
 Si de estas 30 personas se eligen 3 al azar, para ir a comprar, ¿Qué técnica de conteo

ocuparías, para identificar de cuántas maneras pueden ser elegidas?
Respuesta: Como no se eligen todas las personas y no importa el orden en que sean
escogidas, la técnica de conteo es COMBINACIÓN
 En este grupo de 30 personas, es necesario elegir a 3 de ellas, para que puedan cancelar, y
cada una de ellas lo hará de acuerdo como fueron escogidas.
Respuesta: No se eligen todos los elementos y SI importa el orden en que sean escogidas,
la técnica de conteo es VARIACIÓN.
Actividad N° 2: Actividad Guiada (40 minutos aproximados).
a) Dado un ejemplo de técnica de conteo, donde hay “n” elementos y solo se eligen “k ” de
ellos, es decir, no se eligen todos y si importa el orden en que estos sean elegidos estamos
frente a una Variación “V”.
n n!
Donde, V k =
( n−k ) !
b) Si en un ejemplo de conteo de “n” elementos y donde se consideran “k ” de ellos, sin

importar el orden de selección, estamos frente a una Combinación “C”.
n n!
Donde, C k =
( n−k ) ! • k !
Identifica si los siguientes ejercicios representan una combinación o variación y calcula.
 En una carrera participan 10 atletas. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden repartir
los 3 primeros lugares?
Respuesta: No se eligen todos los elementos y si importa el orden, por tanto, representa
una Variación
n n! 10 10 ! 10• 9 •8 •7 !
Vk= =V 3 = = =10 • 9 •8=720 formas diferentes
( n−k ) ! ( 10−3 ) ! 7!
 ¿De cuántas maneras diferentes puedes escoger 3 lápices de un total de 10?
Respuesta: No se eligen todos los elementos y no importa el orden, por tanto, representa
una Combinación
n! 10 ! 10 •9 •8 •7 ! 10 • 9• 8
C nk = =C 10
3 = = = =120 maneras
( n−k ) ! • k ! (10−3 ) !•3 ! 7 ! •3 ! 3 •2 •1
diferentes
Chequeo de la comprensión
 Se quiere seleccionar 4 personas, de un curso de 15 alumnos, para un concurso de cueca.

¿De cuántas formas puedo hacer la selección?
Respuesta:
En este caso, no importa el orden y no se repiten los elementos, por lo tanto, es una
combinación de 15 sobre 4.
15 15 !
c4 = =¿
( 15−4 ) ! • 4 !
15• 14 •13 •12 •11• 10• 9 •8 •7 •6 • 5• 4 • 3• 2• 1
=¿
(11 •10 •9 • 8• 7 •6 •5 • 4 •3 •2 •1 ) • ( 4 •3 •2 •1 )
15• 14 •13 •12

=1365
4 • 3• 2
Hay 1365 maneras de hacer la selección de 4 alumnos de un curso de un total de 15.
 De un grupo de 7 estudiantes, se eligen 3 estudiantes, el 1° será el presidente, el 2° será el

tesorero y el 3° será el secretario. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ser elegidos los
cargos señalados?
o n=7 (número de estudiantes)

o k =3 (personas elegidas)
o No son elegidas todas las personas y Si importa el orden, (1° presidente, 2° tesorero y
3° secretario). En este caso estamos hablando de una Variación “V ”
n n!
Donde V k =
( n−k ) !
7 7! 7 ! 7 • 6 •5 • 4 •3 •2 •1
⇒V 3 = = = =7 •6 •5=210
( 7−3 ) ! 4 ! 4 •3 •2 •1
Se pueden formar 210 maneras diferentes de elegir presidente, tesorero y secretario.
Actividad N° 3: Práctica independiente (25 minutos aproximados)
 En un Residencia de adultos mayores cada lunes juegan al BINGO (que contiene bolas
numeradas del 1 al 15). Si Estela tiene 1 cartón con los números {1,3,7,9,13}.
¿Cuál es la probabilidad de que los primeros 5 números anunciados sigan el mismo orden
que el cartón de Estela?
Respuesta:
Casos Favorables: Solo 1 caso es favorable para Estela {1,3,7,9,13}.
Casos Totales: (todas las posibles combinaciones de los números, no importa el orden y no
se repiten elementos):
15 15 ! 15! 15 •14 •13 •12• 11

C5 = = = =3.003
( 15−5 ) !•5 ! 10! • 5! 5 • 4 •3 •2 •1
casos favorables 1
P= = ≈ 0,0003 ≈ 0,03 %
casostotales 3.003
La probabilidad es aproximadamente un 0,03 %
 Cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden formar con 1, 2, 3, 4, 5, 6
Respuesta: No se eligen todos los elementos y Si importa el orden de elección, por tanto,
es una Variación
6 6! 6 ! 6 •5 • 4 •3 •2 •1
V 3= = = =6 •5 • 4=120
( 6−3 ) ! 3 ! 3 •2 •1
 En un grupo de 8 personas, 3 de ellas son llamadas al azar, para izar la bandera del liceo.
¿De cuántas maneras pueden ser conformados los grupos?
o Cantidad de personas del grupo, 8 personas

o Se selecciona a 3 personas al azar
o Por tanto, no son elegidas todas las personas y No importa el orden de selección, por
tanto, es una combinación “C ”
n n!
donde C k =
(n−k )! •k !
Entonces para el ejemplo tenemos
8! 8! 8 •7 •6 • 5• 4 • 3• 2• 1 8 •7 •6
C 83= = = = =56
(8−3)!• 3! 5 ! •3 ! (5 •4 • 3 •2• 1)•(3• 2• 1) 3 •2 •1
Se podrán formar 56 grupos de 3 personas.
 El directorio de un club deportivo está compuesto por 4 hombres y 2 mujeres. Como

ninguno de ellos quiere asumir los cargos de presidente o presidenta, ni de vicepresidente
o vicepresidenta, deciden elegirlas al azar con el siguiente procedimiento: anotan los
nombres en seis papelitos, los echan en una bolsa y después sacan al azar dos papelitos,
uno después del otro. El primero corresponderá al presidente o la presidenta, y el
segundo, al vicepresidente o la vicepresidenta.
a) Dentro del directorio hay una persona que de ninguna manera quiere ser presidente o
presidenta, ni vicepresidente o vicepresidenta. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea
elegido para ninguno de los dos cargos?
Imaginemos que el H1 es quien no quiere participar en el sorteo, luego

Casos totales:
6 6! 6 •5 •4 •3 •2 •1
2 •C 2=2 • =2 • =2• 15=30
( 6−2 ) ! •2 ! 4 •3 •2 •1• 2• 1
Como salen 2 personas de 6, entonces Casos favorables (no salir): 20
Luego, la probabilidad de que no sea elegido para ninguno de los dos cargos:
20 2
= =0 , 6=66 ,6 %
30 3
Actividad de síntesis (ticket de salida) (10 minutos aproximados)
En el desarrollo de un medicamento trabajan cuatro científicos; se elegirá a 2 de ellos para que

gestionen la parte financiera de la investigación. No habrá ninguna prioridad entre las personas
elegidas.
a) ¿Cuántas pares de científicos se podrían elegir para gestionar las finanzas de la
investigación?
Se le asocia un número a cada científico. Luego, el total de parejas que pueden formar:
(1; 2), (1; 3), (1; 4), (2; 3), (2; 4), (3; 4)
En este caso, no importa el orden y no se repiten los elementos, por lo tanto, es una
combinación de 4 sobre 2:
4
c2= ( 42)= ( 4−24)!!• 2! = ( 24•1•3) •(2
•2 •1
•1)
=
4 •3 •2 •1
2• 2
=6
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una de las parejas de científicos sea elegida?

Respuesta:
Casos favorables: 1 Casos totales: 6
Luego, la probabilidad de que una de las parejas sea elegida es:
1
=0,1 6=16 , 6 %
6

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Actividad N°1 (15 minutos aproximados)

a. ¿Se usan todos los elementos?

Respuesta: Como se eligen todos los elementos la técnica de conteo a utilizar es

 Si de estas 30 personas se eligen 3 al azar, para ir a comprar, ¿Qué técnica de conteo

Actividad N° 2: Actividad Guiada (40 minutos aproximados).

b) Si en un ejemplo de conteo de “n” elementos y donde se consideran “k ” de ellos, sin

Identifica si los siguientes ejercicios representan una combinación o variación y calcula.

 ¿De cuántas maneras diferentes puedes escoger 3 lápices de un total de 10?

 Se quiere seleccionar 4 personas, de un curso de 15 alumnos, para un concurso de cueca.

15• 14 •13 •12

Hay 1365 maneras de hacer la selección de 4 alumnos de un curso de un total de 15.

 De un grupo de 7 estudiantes, se eligen 3 estudiantes, el 1° será el presidente, el 2° será el

o n=7 (número de estudiantes)

15 15 ! 15! 15 •14 •13 •12• 11

La probabilidad es aproximadamente un 0,03 %

 Cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden formar con 1, 2, 3, 4, 5, 6

o Cantidad de personas del grupo, 8 personas

 El directorio de un club deportivo está compuesto por 4 hombres y 2 mujeres. Como

Imaginemos que el H1 es quien no quiere participar en el sorteo, luego

Como salen 2 personas de 6, entonces Casos favorables (no salir): 20

Actividad de síntesis (ticket de salida) (10 minutos aproximados)

En el desarrollo de un medicamento trabajan cuatro científicos; se elegirá a 2 de ellos para que

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una de las parejas de científicos sea elegida?

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